[obm-l] Re: [obm-l] Animação do site da OBM

[Leonardo Borges Avelino]

Trata-se do tema de inversão e tem um artigo na Eureka 4
https://www.obm.org.br/content/uploads/2017/01/eureka4.pdf

Abs

On Sat, Oct 17, 2020 at 3:14 PM Felippe Coulbert Balbi <
felippeba...@hotmail.com> wrote:

> A muitos anos atras durante um coloquio de matemática no IMPA, no grupo de
> olimpíada, estavam resolvendo um problema se não me engano da IMO e durante
> a resolução houve um comentário dessa resolução com a animação do logo no
> site da OBM.
>
> Eu estou fazendo um programa que tem haver com vídeos e queria colocar
> essa animação no meu programa. Eu procurei meus materiais antigos sobre o
> algoritmo para gerar ele mas não achei nada.
>
> Alguém consegue dar uma força?
>
> Até,
> Felippe
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avg.com
> .
> <#m_-8807507600612609615_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Irredutibilidade de polinômios

[Leonardo Borges Avelino]

Daria pra aplicar o critério de Eisenstein diretamente?
Dado um polinômio P(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_0 com a_k
inteiros, suponha que exista um primo p t.q:
1) p não divide a_n
2) p divide a_k para k=0, 1, ..., n-1
3) a_0 não é divisível por p^2
Então P é irredutível em Q

Neste problema
a_n = 1,
a_(n-1)=5,
a_(n-2), ..., a_1 =0 e
a_0=3
Para um primo p=5, vemos que o o teorema é válido, portanto P é irredutível
em Q. Como mdc dos coeficientes é 1, P também será irredutível em Z

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[obm-l] Re: [obm-l] Sequências

[Leonardo Borges Avelino]

Pense no seguinte triângulo:

1
22
333

...
Esse triângulo gera uma propriedade bem interessante, que são os números
triangulares. Para a sua questão, verifique o primeiro número triangular
acima de 1000 e o primeiro abaixo de 1000. Olhando dessa forma, você
consegue descobrir a resposta e fechar uma fórmula, se desejar

Abs

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Re: [obm-l] Iniciantes da OBM

[Leonardo Borges Avelino]

Obrigado pela referência, Pacini!

Tive aula como Professor Carlos Victor no Colégio Naval em 2005. É um
professor sensacional e extremamente didático.
Muito bacana este PDF
(
http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/156/2011_00014_CARLOS_ALBERTO_DA_SILVA_VICTOR.pdf?sequence=1
)

Abs

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Re: [obm-l] Desigualdade

[Leonardo Borges Avelino]

Bom dia

Você pode tentar olhar pra expansão de e^x em Taylor.. e^x = 1 + x + x^2/2
+ x^3/6 + ... e notar que você tem um pedaço da expressão sua da direita
mais algo que será positivo

Abs

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[obm-l] Re: [obm-l] OFF TOPIC caronnet 1 2 4 5 só em francês

[Leonardo Borges Avelino]

Se não me engano, o 5 é de elipses, hipérbole, parábolas e hélices. Se for
isso mesmo eu o tenho em português. Acho que tenho o vol 3 em português tb.

abs

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do IME

[Leonardo Borges Avelino]

O IME sempre teve costume de usar questões de livros famosos, como Lidski,
Caronnet e outros. Realmente é muito difícil ter acesso a estes livros (em
papel), pois são caros. Muitos tem como achar na internet em PDF, mas eu
sempre gostei de ter os livros.

Recomendo a seguinte engine de busca de livros para compra:
http://www.fetchbook.info/

Sempre fui muito feliz comprando da abebooks e da alibris, amazon e outros.
Olhando por este livro que indicaram (
http://www.fetchbook.info/compare.do?userId=1search=9785396001015destinationKey=BRAcurrencyKey=BRLSubmit=Update)
deu pra achar por 70 reais (livro +frete)

abs

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[obm-l] Re: [obm-l] Valor mínimo da expressão

[Leonardo Borges Avelino]

faltou o 6

Seria 6* raiz_sexta(16*(x^4)*(y^4)*(z^4))

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[obm-l] Re: [obm-l] Valor mínimo da expressão

[Leonardo Borges Avelino]

Boa tarde Pedro

Reescreva a expressão como a soma dos 6 termos: x^2 + 2xy + 2xy + 4y^2 +
z^2 + z^2.

Aplicando MA=MG vem: que expressão = raiz_sexta(16*(x^4)*(y^4)*(z^4))

abs

Leonardo Borges

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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Valor mínimo da expressão

[Leonardo Borges Avelino]

E = x^2 + 4xy + 4y^2 + 2z^2 = x^2 + 2xy + 2xy + 4y^2 + z^2 + z^2.

Aplicando MA = MG (reais positivos) nos termos de E, teremos:

(x^2 + 2xy + 2xy + 4y^2 + z^2 + z^2)/6 = raiz_sexta[(x^2)*(2xy)*(2xy)*
(4y^2)*(z^2)*(z^2)] = raiz_sexta[16*(x^4)*(y^4)*(z^4)]

Mas x*y*z = 32. Logo:

E/6 = raiz_sexta(16*32^4) = 16 . E = 6*16 = 96 . Com igualdade
sss:

x^2=2xy=4y^2=z^2, ou seja x=2y=z. x=4, y=2, z=4

abs

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Re: [obm-l] Prove - desigualdade

[Leonardo Borges Avelino]

Como se chega nesta desigualdade?

Usa-se desigualdade das médias:

(a + b + c)/3 = (a*b*c)^(1/3)

e troque a por 1/x, b por 1/y e c por 1/z, sendo a, b e c reais positivos

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Inversão de Matrizes

[Leonardo Borges Avelino]

Tem um truque que é legal, que não lembro muito bem mas é algo assim:

(*) Primeiramente, se B é inversível então:
det(I-AB)= det(B˜) det(I-BA) det(B) = det(I-BA)

Se B não é inversível, faça C = B + xI, com x real e I a identidade.
Como det(C) é um polinômio em x, e o mesmo zera para um conjunto finito de
x.
Assim, para todos os valores x, que não zeram det(C), a gente pode aplicar
a propriedade (*) e assim teremos det(I-AC)=det(I-CA). Mas como det(I-AC)
 e det(I-CA) são polinômios que se igualam para infinitos valores de x,
eles são idênticos. Assim para x=0 em especial,
vem que det(I-AB)=det(I-BA)


abs

Re: [obm-l] Blog interessante

[Leonardo Borges Avelino]

Lembre-se da trigonometria que sen(x) = cos(90-x)
no caso ele usa os ângulos complementares 2x e 3x, o que ocorre quando x=18


2011/5/24 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com

 Por que sen(2x) = cos(3x) ?

 2011/5/22 DadosDeDeus Blog dadosded...@gmail.com:
  Caros companheiros,
  pedimos desculpas pelo incômodo da mensagem (não é spam! rs), mas
  gostaríamos de convidá-los a acessar o blog Dados de Deus
  (http://dadosdedeus.blogspot.com).
  Desenvolvido por estudantes das melhores universidades do país, o Dados
  consiste em uma página sem fins lucrativos que visa à divulgação da
  matemática com qualidade em diversos níveis, com postagens desde assuntos
  específicos para vestibulares (IME/ITA) e olimpíadas a tópicos
 pertinentes
  ao ensino superior.
  Em nosso último post publicamos duas formas interessantes de determinar
  sin18°, uma utilizando a geometria do pentágono regular e outra
 algébrica.
  Agradecimentos aliás aos professores Nehab e Victor (dinossauros da
 lista,
  rs) que nos mostraram em alguma aula esses belos raciocínios.
  Estamos abertos a críticas/sugestões e desde já agradecemos pela atenção.
  --
  Al Marcos Valle
  Instituto Militar de Engenharia - IME
  http://dadosdedeus.blogspot.com
 



 --
 Henrique

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =

[obm-l] Taylor

[Leonardo Borges Avelino]

Seja Y(h)=1-2*(sen2*pi*h)^2 e F(y)= 1/(1-sqrt(1-y))

Prove que F(Y(h))= g(h) + o(h^2) e  Determine g(h)

Eu tenho um professor que só aceita g(h) como polinômio e não colocou para
qual valor h tende.
Gostaria de saber se ele está certo ou não??

[obm-l] limite

[Leonardo Borges Avelino]

Calcule o limite:

lim(x-inf)   exp(x)*[ e- (1+1/x)^x ]

Re: [obm-l] Re: [obm-l] recomendação de um livro

[Leonardo Borges Avelino]

Interessante são tb o Apostol e o Courant q são mto bons

Em 01/06/07, Rodolfo Braz [EMAIL PROTECTED] escreveu:


Certamente esse professor deve sofrer de algum problema neurológico pra
dizer que o Piskounov é ruim!

*Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]* escreveu:

Nossa, Piskounov... nunca vi esse livro, mas me lembro bem de um professor
de cálculo dizendo que era horroroso, que eu deveria queimar cada edição que
encontrasse desse livro! (um pouco radical...)

2007/6/1, Rafael [EMAIL PROTECTED]:

 O livro é incrivelmente facil de se achar em bibliotecas, visto que
 assim como os livros de calculo do Anton é uma bibliografia muito
 difundida.

 Posso lhe dar minha opniao a respeito do livro, assim como outros irao
 dar, mas nao existe aquela que sera absoluta, pois voce pode achar que
 as coisas estao se encaixando melhor na sua cabeca ao estudar esse
 livro do que qualquer outro ou pode achar o contrario.

 Na minha opniao existem livros melhores. Recomendo Thomas-Finney ou
 entao Larson ou entao Piskounov(esse pode ser dificil de
 encontrar) como autores de livros de calculo.


 On 5/31/07, R Parenti [EMAIL PROTECTED] wrote:
  errata:
  o nome do autor do livro eh swokowski =p
  valeu
- Original Message -
From: R Parenti
To: obm -l
Sent: Sunday, May 27, 2007 4:42 PM
Subject: [obm-l] recomendação de um livro
 
 
olá para todos, eu ouvi dizer q tem um livro de um autor chamado
 chocovski
  (axo q eh assim =p) e gostaria de saber se vcs sabem me dizer se o
 livro é
  bom e se é facil de se axar
agradeço desde já
renato


 --
 -
  RAFAEL


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 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 http://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.html

 =




--
Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000

e^(pi*i)+1=0


--
Novo Yahoo! Cadê? http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomisso+ - Experimente
uma nova busca.

Re: [obm-l] Apostol - Continuidade

[Leonardo Borges Avelino]

Olá
Para a (a) faça v-u = f(u)-f(v) = u-v supondo uv qdo u tende a v
temos q f(x) eh contínua pra todo x no intervalo pelo teorema do
confronto...
para (b) faça

|(integral de a ate b f(x)dx) - (b-a)f(x)| = ((b-a)^2)/2 =
|(integral de a ate b f(x)dx) - integral de a ateh b dx)| = ((b-a)^2)/2 e
use a letra a
abraço
Leonardo Borges Avelino

Em 27/05/07, Adriano Torres [EMAIL PROTECTED] escreveu:


Seja f uma função tal que |f(u) - f(v)| = |u-v|, para todo u e v no
intervalo [a,b].
a)Prove que f é continua em cada ponto de [a,b]
b)Considerando f integrável em [a,b], prove que

|(integral de a ate b f(x)dx) - (b-a)f(x)| = ((b-a)^2)/2

Valeu pela ajuda. Esse livro é tenso!

_
O Windows Live Spaces é seu espaço na internet com fotos (500 por mês),
blog
e agora com rede social http://spaces.live.com/

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[obm-l] Integral maior q zero

[Leonardo Borges Avelino]

1)
F(x)= Int [1a x]  (e^t)*dt / t  , x0

Para quais valores de x vale: Ln x = F(x)



2) Provar que 1/(x+1/2)  Ln(1+1/x)  1/x  para todo x0

[obm-l] Livro de Álgebra Linear

[Leonardo Borges Avelino]

Gostaria d saber bons livros d álgebra linear em teoria...

[obm-l] Limite

[Leonardo Borges Avelino]

Calcule o limite:

lim [cos(k/x)]^x x-infinito com k constante sem utilizar l'hospital ou
série ou equivalência. somente por limites fundamentais..
grato

Leonardo Borges Avelino

[obm-l] Álgebra linear

[Leonardo Borges Avelino]

Alguém conhece algum livro de álgebra linear q seja mto bom em teoria???
grato

Re: [obm-l] questão para provar - IME

[Leonardo Borges Avelino]

Este número eh 11..11*10^(n+1) + 2*11.11*10 + 5 =N
(n-1 1's)(n 1's)

veja q 111...11 com x 1's eh (10^x -1)/9 vem da soma da PG 1+10+100+...+100..0
aplique isso em N e veja o quadrado

Leonardo Borges Avelino

Em 03/01/07, João Nestares[EMAIL PROTECTED] escreveu:

opa galera, tudo bom com vcs?
escuta, eu encontrei essa questão do IME de 2004, se não me engano, e não
tava com idéia, e tava precisando de um help aqui
a questão é a seguinte

prove que esse número:

...1.25 é quadrado para todos os números N=1
(n-1 vezes) (n vezes)

agradeço desde já :D
renato

_
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com

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[obm-l] polinômio

[Leonardo Borges Avelino]

Bem estou em dúvida nesta questão:
Para quais inteiros a o polinômio x^2 - x + a é um fator de x^13 + x + 90
naum resolvi dividir nada pq acho q deve existir uma idéia esperta pra kestaum qria saber qual é
e se eh possível generalizar como a primeira espressão sendo fator de x^n + x + k fazendo alguma restrição

Leonardo Borges Avelino

Re: [obm-l] Equação 2 grau

[Leonardo Borges Avelino]

Bruna vc sabe q o produtos das duas raízes é c/a mas c/a0 logo o produto  0 
então as raízes tem sinais contrários, pois a,b e c são  0
2006/10/17, Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED]:
Demostrar que dada uma equação do segundo grau ax^2+bx=c=0, 
a,b, c reais e a diferente de zero, se a e c tem sinais contraios, isto é, 
a é positivo e c negativo ou vice versa, então a equação admite duas raízes reais, distintas, sendo um positiva e outra negativa.

[obm-l] Re: testes

[Leonardo Borges Avelino]

hauhhuuaha bem Carmagedon essa kestaum

Em 18/09/06, Marcus Aurelio[EMAIL PROTECTED] escreveu:

Alguém da lista sabe onde posso encontrar livros de testes psicotécnicos…
como esse.



TESTE 1)

MOTORISTA = 10

PEDESTRE =9

ACIDENTE =?



a) 9

b) 8

c) 7

d) 6

e) 5







=
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[obm-l] Re: Os limites e a falta de limite e de bom senso...

[Leonardo Borges Avelino]

Nehab...
Gostaria de agradecer por suas palavras q foram tão sensatas e sábias...
Falar assim é fácil até ser grosso com um amigoO q é fácil pra
você eh tudo aquilo q vc está preparadoPor mais absurdas mensagens
que já enviei nunca me respnderam assim
Quanto mais as pessoas sabem mais devem ficar humildes por não saberem
quase nada Um exemplo de humildade é o russo Grisha Perelman, que
rejeitou a medalha Fields (Ele foi Perfect score na IMO quando tinha
14 anos, se não me engano)

Leonardo B Avelino

Em 15/09/06, Carlos Eddy Esaguy Nehab[EMAIL PROTECTED] escreveu:

Caros,

Vou meter o bedelho onde NÃO fui chamado e pela primeira vez com
alguma tristeza.   Tenho 60 anos e fui professor de uma quantidade
inacreditável de profissionais que hoje habitam esta lista e com
absoluta certeza, a maioria com neurônios matemáticos muito mais
competentes que os meus (mesmo na época de meus 20, 30 40 e 50 anos
de idade).Fui professor de gênios - não fizeram nenhuma força
para isto - é uma dádiva.   E eu sempre assinalava isto.

Nunca me inclui neste clube simplesmente porque não era e não o
sou.  Não sou hipócrita de achar que minha habilidade com a
Matemática é trivial.  Não, não é.  Sou bom nisto.  Mas não sou ótimo
e já fui melhor.   Mas continuo sendo muito, mas muito feliz.

Mas meu maior prazer na vida sempre foi a sala de aula e certamente,
quando jovem (comecei muito cedo nisto), eu dava aula para mim  mesmo
e com toda certeza com um quê de arrogância.  Do tipo isto é
óbvio,  como você não aprendeu isto ainda?, etc.Nesta época eu
ainda não sabia que não sabia...

Lá pelos 30 anos descobri que muito mais prazer do que mostrar o que
eu sabia era fazer com que os alunos se motivassem a saber o que eu
sabia (e se possível muito mais).   Meu maior prazer NÃO era mais a
sala de aula em si (a serviço de um narcisismo idiota), mas poder
propiciar aos alunos minha experiência de aprendizado, meu prazer com
a beleza da Matemática e, mandatóriamente, aumentar a auto-confiança
e auto-estima dos que ainda não possuiam habilidade adequada a seu
nivel escolar com a Matemática (lugar comum na realidade brasileira).

O povão que habita esta lista (e ai me incluo), é chegado numa
competição e num bom desafio.  E a forma como cada um gerencia o grau
de envolvimento nestes processos (ou lutas?) também depende da
consciência do que representa esta competição e este desafio para a
psiquê de cada um de nós.   Infelizmente muitas vezes se pisa na
bola.  É uma pena.   E em geral é porque há outros tipos de neurônios
não matemáticos que também precisam ser desafiados para a gente
compreender um pouco mais o outro e a nós mesmos.   Ou seja,
aprender a ver os outros como tal e não como simples espelhos de nós mesmos

Um sociólogo extremamente criativo (Zygmunt Bauman), em um de seus
textos aborda a forma como uma sociedade vê um estranho, um
suposto invasor, que possui questões que põem em risco a
estabilidade da tal sociedade.  São perigosas para o status quo,
para o atual equilíbrio.  Bauman usa a metáfora de engulir o
estranho para depois regurgitá-lo, expelindo-o e faz uma analogia
com a forma como a sociedade esconde seu lixo (os mendigos, os
sem-terra, os sem-nada, etc).

Não pude evitar a lembrança deste belo e instigante texto, quando
acompanhei alguns emails sobre o que eu deveria saber sobre limite
mas não sei ou o que você está fazendo nesta lista, mude de
curso, etc, e outros tantos prejulgamentos muitas vezes equivocados
e preconceituosos.

Sugiro a todos os que vibram com o ensino da matemática (e não apenas
ela por ela mesma - que também tem sua beleza) quem façam um
estagiozinho dando aulas em alguma escola particular (conceituada ou
não) e passará a entender a realidade brasileira e a frustração do
colega que buscou ajuda nesta lista e nós quase que só comprovamos a
metáfora do Bauman.  Mais uma vez uma pena.

Mesmo sem ter procuração de ninguém nesta lista, peço desculpas a
você, Washington.   Admiro a busca por soluções para suas
dificuldades e a forma madura e elegante como respondeu a descortesia
(inconsciente ou não) que encontrou na lista.

É muito fácil ser professor do Nicolau (o coordenador desta lista), a
quem admiro há muitos anos.  Mas também desafiador e instigante é ser
seu professor.   Aceito este desafio como uma parceria.Mas espero
que você não queira aprender a integral de Lebesgue.  Fiquemos apenas
com o Cálculo, que definitivamente não tem nada de simples nem de
complicado.

Ora bolas, simples é o que a gente já sabe, já dizia um filósofo de
botequim que não lembro o nome...  ou em outra versão: problema óbvio
e o que já sei como se resolve   Frases absolutamente idiotas,
mas pelo menos divertidas.

Atenciosamente,
Carlos Nehab

At 16:09 14/9/2006, you wrote:
Bom, nesta lista sempre se consegue ajuda, a menos que seja um
assunto que ninguém aqui conheca ou um problema que ninguém aqui
consiga resolver. Mas quando a questão é muito geral, como uma
pergunta sobre o 

[obm-l] Re: Problema de Steiner?!

[Leonardo Borges Avelino]

faça pr indução

Leonardo B Avelino

2006/9/15, Douglas Ribeiro Silva [EMAIL PROTECTED]:

Dadas n retas não coincidentes num plano, tal que 3 retas não
concorram no mesmo ponto, determinar o número de pontos de intersecção
e o número de regiões em que é dividido o plano.

Um professor me falou que esse problema e outros desse tipo foi
estudado por Steiner, no entanto tentei procuprar algo sobre isso na
internet e não encontrei. Alguém pode confirma isso e/ou mandar alguma
referência sobre problemas de combinatória envolvendo geometria? Sei
resolver usando PA de ordem superior mas gostaria de outras sugestões
de solução.

Abraços, Douglas.

=
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[obm-l]

[Leonardo Borges Avelino]

Caros amigos da lista...
Estava resolvendo algumas questões sobre desigualdades e resolvi algumas
do seguinte modo: (Gostaria de saber se estão corretas, além disso
gostaria de ver outras soluções também)

1) (Canadá 2002)  a,b ec reais maiores que 0 prove:
a^3/bc + b^3/ca + c^3/ab  = a+b+c

fazendo MA-MG temos a^3/bc + b^3/ca = 2 ab/c
fazendo o mesmo para b^3/ca + c^3/ab  e  a^3/bc + c^3/ab
teremos:  a^3/bc + b^3/ca + c^3/ab = ab/c + ac/b + bc/a
saih fazendo MA-MG em ab/c + ac/b = 2 a
fazendo igualmente para ac/b + bc/a e ab/c + bc/a segue o resultado
com igualdade sss a=b=c.

2) (Rússia 1995) (x,y0)

1/(xy)  = x/(x^4 + y^2) + y/(y^4 + x^2)

sendo x^4 + y^2 = 2x^2y  temos  1/2x^2y = 1/(x^4 + y^2)
multiplica-se x em ambos os membros
1/2xy = x/(x^4 + y^2) (*)
e fazendo o mesmo para y^4 + x^2 teremos  1/2yx = y/(y^4 + x^2) (**)
somando (*) e (**) vem o desejado com igualdade sss x=y=1.

3) (Hungria 1996)  (a+b=1, a,b0)

   a^2/(a+1) + b^2/(b+1) = 1/3

Somando e diminuindo 1/(a+1) e 1/(b+1) do membro esquerdo, simplificando
vem:
1/(a+1) + 1/(b+1) = 4/3 q eh o que devemos provar agora
tirando o mmc vem: 3/(ab+2) = 4/3 ou seja ab= 1/4  que o devemos provar,
mas isto eh d fato resultado de MA-MG  de a+b=1 = 2sqrt(ab).

grato desde já..
Leonardo Borges Avelino

=
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=

[obm-l] Re: obm-l

[Leonardo Borges Avelino]

Opa Nehab.. td bem??
eu tenho este artigo sim do Antônio Caminha, que por sinal é excelente
eh q eu peguei um artigo do Kedlaya e tava vendo umas coisas q nunca
vi, como desomogeinizar e tudo, peguei pra resolver algumas questões
da lista do Hojoo Lee, essas q postei, soh q sem usar coisas mto
malucas..
Aih fico sem saber se estão todas certas e tal..
Eu conheço desigualdades de médias, potenciais, Chebyshev, rearranjo,
cauchy-Shwarz, Jensen, e estava aprendendo outras aqui como
bunching... Gostaria de saber quais eu preciso saber pra que eu
consiga resolver um número grande de desigualdades..
Ah e saber também se as soluções estaum corretas..
grato

Em 25/08/06, Carlos Eddy Esaguy Nehab[EMAIL PROTECTED] escreveu:

Oi, Leonardo,

Aumente sua coleção com
http://www.obm.org.br/semana/desigualdades.doc  (você vai gostar) e
verá que o uso da desigualdade das médias (como você usou) e a
desigualdade de Schwarz  é uma forma extremamente eficaz para provar
desigualdades olímpicas não muito cabeludas...

Nehab

At 22:46 24/8/2006, you wrote:
Caros amigos da lista...
Estava resolvendo algumas questões sobre desigualdades e resolvi algumas
do seguinte modo: (Gostaria de saber se estão corretas, além disso
gostaria de ver outras soluções também)

1) (Canadá 2002)  a,b ec reais maiores que 0 prove:
a^3/bc + b^3/ca + c^3/ab  = a+b+c

fazendo MA-MG temos a^3/bc + b^3/ca = 2 ab/c
fazendo o mesmo para b^3/ca + c^3/ab  e  a^3/bc + c^3/ab
teremos:  a^3/bc + b^3/ca + c^3/ab = ab/c + ac/b + bc/a
saih fazendo MA-MG em ab/c + ac/b = 2 a
fazendo igualmente para ac/b + bc/a e ab/c + bc/a segue o resultado
com igualdade sss a=b=c.

2) (Rússia 1995) (x,y0)

1/(xy)  = x/(x^4 + y^2) + y/(y^4 + x^2)

sendo x^4 + y^2 = 2x^2y  temos  1/2x^2y = 1/(x^4 + y^2)
multiplica-se x em ambos os membros
1/2xy = x/(x^4 + y^2) (*)
e fazendo o mesmo para y^4 + x^2 teremos  1/2yx = y/(y^4 + x^2) (**)
somando (*) e (**) vem o desejado com igualdade sss x=y=1.

3) (Hungria 1996)  (a+b=1, a,b0)

a^2/(a+1) + b^2/(b+1) = 1/3

Somando e diminuindo 1/(a+1) e 1/(b+1) do membro esquerdo, simplificando
vem:
1/(a+1) + 1/(b+1) = 4/3 q eh o que devemos provar agora
tirando o mmc vem: 3/(ab+2) = 4/3 ou seja ab= 1/4  que o devemos provar,
mas isto eh d fato resultado de MA-MG  de a+b=1 = 2sqrt(ab).

grato desde já..
Leonardo Borges Avelino

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[obm-l] Re: Limite da seqüência a_n = sen n

[Leonardo Borges Avelino]

Eh o tal do Lema de Kronecker??

Em 23/08/06, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu:

Acho que sua prova estah legal. Não mostra que a aseq.
eh densa em [-1, 1], mas mostra que eh divergente.

Alias, na realidade sen(n) eh densa em [-1, 1] e nao
apenas em [0,1] como disse antes.

A prova do teorema geral baseia -se no fato de que, se
a eh irracional, entao o conjunto {m*a + n | m e n sao
inteiros} eh denso em R. Uma possivel prova baseia-se
no princiupio da casa dos pombos.

Artur

--- Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Nossa! Legal, Arthur, vou procurar nos arquivos da
 lista. Eu bem que
 imaginei que eu pudesse pegar uma subseqüência que
 levasse a qualquer número
 de [0,1], só que como não tinha idéia de como provar
 isso, acabei por não
 usar.

 Minha demonstração foi a seguinte:
 sejam b_n = a_[pi/2 + 2npi], c_n = a_[3pi/2 + 2npi],
 onde [x] representa o
 maior inteiro menor do que ou igual a x. Aí basta
 escrever algumas
 desigualdades, e considerar o crescimento de seno e
 mostrar que todos os
 temor b_n estão no intervalo [1/2, 1], e que os
 termos c_n estão em [-1,
 -1/2] (a desigualdade é : x - 1  [x] = x, então
 pi/2 + 2npi - 1  [pi/2 +
 2npi]  pi/2 + 2npi, e como -pi/3  -1, pi/2 - pi/3
 + 2npi  [pi/2 + 2npi] 
 pi/2 + 2npi. Como seno é crescente nos intervalos da
 forma [pi/6 + 2npi,
 pi/2 + 2npi], tomamos o seno dos termos na
 desigualdade, sem alterar o
 sentido delas, obtendo: 1/2  b_n  1. Analogamente
 para -1  c_n  -1/2.).
 Dessa forma, se b_n ou c_n forem divergentes, então
 temos que a_n também o
 será. Por outro lado, se ambas as seqs b_n e c_n
 forem convergentes,
 necessariamente convergem para limites diferentes
 (b_n -- L em [1/2,1], e
 c_n -- M [-1,-1/2]), e portanto a__n é divergente.
 Em todo caso, a_n é
 divergente.

 On 8/22/06, Artur Costa Steiner
 [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
   A sequencia eh de fato divergente, pois eh densa
 em [0,1]. Isto eh, todo
  elemento de [0,1] eh limite de alguma subsequencia
 de sen(n). Isto eh um
  caso partcular de um teorema que discutimos aqui
 na lista em outubro ou
  novembro de 2004.
 
  Seja f uma funcao continua e periodica de R em R
 cujo periodo fundamental
  p seja irracional. Temos entao que a sequencia
 (f(n)), n=1,2,3...,eh densa
  no intervalo fechado f([0, p]).
 
  No caso, f(x) = sen(x), que eh continua e cujo
 periodo fundamental eh o
  irracional 2*pi.
 
  Artur
 
 
   -Mensagem original-
  *De:* [EMAIL PROTECTED]
 [mailto:[EMAIL PROTECTED]
  nome de *Bruno França dos Reis
  *Enviada em:* terça-feira, 22 de agosto de 2006
 15:36
  *Para:* OBM
  *Assunto:* [obm-l] Limite da seqüência a_n = sen n
 
  Olá.
 
  Recentemente, me deparei com o seguinte problema:
 verificar se a seqüência
  definida por a_n = sen(n) é convergente ou
 divergente.
 
  A intuição nos diz que é divergente. Encontrei uma
 demonstração para tal
  fato, mas acredito que devam ter outras mais
 bonitas. Alguem conhece ou quer
  tentar?
  Não vou postar a minha demo agora para deixar quem
 quiser brincar. Amanhã
  eu posto.
 
  Bruno
 
  --
  Bruno França dos Reis
  email: bfreis - gmail.com
  gpg-key:

http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
  icq: 12626000
 
  e^(pi*i)+1=0
 
 


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 Bruno França dos Reis
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[obm-l]

[Leonardo Borges Avelino]

Pessoal
Se definirmos M(k) = {[(a_1)^k + (a_2)^k + ... + (a_n)^k]/n}^(1/k)  ou seja
a média potencial de n números reais positivos com k real.
Eu tava vendo aki que o lim[x-0] M(x) se torna a média geométrica,
que deu pra demostrar com
um modificação e l'hospital.. Porém não consegui demonstrar:
a) lim[x- -inf] M(x) = min{a_1,a_2,...,a_n}
b) lim[x- +inf] M(x) = max{a_1,a_2,...,a_n}
onde min e max denotam o mínimo e máxim dos conjuntos respectivamente..

grato
Leonardo Borges Avelino

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[obm-l] Re: Livro de Física para Ensino Médio

[Leonardo Borges Avelino]

Sinceramente... Beatriz Alvarenga é chutaçõ de balde... Para o ITA e
IME acho interessante:
-Tópicos de Física 3vols.(Helou, Gualter e Newton)
- Dalton Gonçalves 5vols
formam uma base sólida.
Para pegar bons exercícios o Saraeva ou o Kósel
Para um rigor um pouco maior é interessante dar uma olhada no Halliday
ou Alonso/Finn ou Tipler...
Pegar Moyses ou Írodov é perda de tempo pois é querer atirar em um
pombo com canhão de guerra
abraços

2006/8/17, Helena Iwamoto [EMAIL PROTECTED]:

Boa noite Marcus!

Vc poderia me mandar o livro??

Obrigado... Helena


Em 17/08/06, Marcus Aurelio [EMAIL PROTECTED] escreveu:

   Eu tenho esse livro no meu computador... (em PDF) …quem quiser me avise


  --

 *De:* [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] *Em
 nome de *aguinaldo goncalves jr
 *Enviada em:* quarta-feira, 16 de agosto de 2006 12:36

 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
 *Cc:* [EMAIL PROTECTED]

 *Assunto:* Re: [obm-l] Livro de Física para Ensino Médio



 Iuri,



 Me interessei pelo Sareava, que livro é esse???



 Grato

 Aguinaldo

 *Iuri [EMAIL PROTECTED]* escreveu:

 Eu to me preparando pro ita. Pra quem tá começando, normalmente indicam o
 Fisica Classica do Sergio Calçada, ou entao o Tópicos da Fisica, que nao
sei
 o autor. Se a base já for boa, e dependendo do concurso que você vai
 participar, vale a pena partir pra outros como Halliday ou Tipler. Tem um
 pouco de cálculo e algumas teorias que não caem em lugar nenhum, mas ajuda
 bastante. Além desses, tem o Saraeva, que é só de problemas, e vem com
todos
 resolvidos. Eu pelo menos acho que é o mais dificil dos que eu citei,
apesar
 de ele resolver tudo com matemática elementar.

 Iuri

 On 8/16/06, *Pierry Ângelo Pereira* [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Olá pessoal, estou me preparando para concursos militares e gostaria que
 me informassem um bom livro de física com uma teoria rigorosa e com bons
 exercícios.

 Agradeço desde já.

 -

 Pierry Ângelo Pereira
 http://pierry.fronteirasonline.com
 msn: [EMAIL PROTECTED]






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 O Yahoo! está de cara nova. Venha
conferirhttp://us.rd.yahoo.com/mail/br/tagline/spirit/*http:/br.yahoo.com
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[obm-l] Re: quando é inteiro?

[Leonardo Borges Avelino]

Cara.acho q assim vai... (3p+25)/(2p-5) = (2p-5+p+30)/(2p-5) = 1 - (p+30)/(2p-5)
mas se 1 - (p+30)/(2p-5) eh inteiro entaum (p+30)/(2p-5)  tb o eh e tb
se (p+30)/(2p-5) eh inteiro 2 vezes isso tb eh = (2p+60)/(2p-5) = 1+ 65/(2p-5)
logo (2p-5) deve dividir 65 e fazendo 1 - (p+30)/(2p-5)  0 temos a solução
abraçao
Leonardo B. Avelino

2006/7/19, Iuri [EMAIL PROTECTED]:

k=(3p+25)/(2p-5)

Fazendo uma divisao polinomial, vemos que 3p+25 = (3/2)(2p-5) + (65/2),
portanto:

k = [(3/2)(2p-5) + (65/2)]/(2p-5) = 3/2 + (65/2)/(2p-5) = [3 + 65/(2p-5)]/2

Para k ser inteiro, [3 + 65/(2p-5)] deve ser par. Para que isso ocorra,
65/(2p-5) deve ser impar.

65/(2p-5) = 13*5/(2p-5)

Dai basta fazer as combinacoes para que 2p-5 divida 65, ou seja, que (2p-5)
seja igual a um dos elementos do conjunto {1,-1,5,-5,13,-13,65,-65}.

2p-5=1 ... p=3

2p-5 =-1 ... p=2

2p-5=5 ... p=5

2p-5=-5 ... p=0

2p-5=13 ... p=9

2p-5=-13 ... p  0

2p-5=65 ... p=35

2p-5=-65 ... p  0

Como respostas, temos o conjunto {2,3,5,9,35} para os valores de p.

Iuri

On 7/19/06, Carlos Gomes  [EMAIL PROTECTED] wrote:

  Vê se alguem me ajuda com essa

 Se p é um inteiro positivo, quais são os valores de p para os quais
 (3p+25)/(2p-5) é um inteiro positivo?


 ValewCgomes






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[obm-l] Re: Ajuda no problema da Eureka.

[Leonardo Borges Avelino]

Na Eureka 4 ou 5 existe uma solução interessantíssima para tal kestaum...
abraçao

Em 18/07/06, [EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Mensagem Original:
 Data: 12:29:11 18/07/2006
 De: sjdmc [EMAIL PROTECTED]
 Assunto: [obm-l] Ajuda no problema da Eureka.

 Saudações aos amigos desta lista.
 Gostaria de obter ajuda em uma questão da Eureka n°=3. Exercicío
 proposto 18. Fui tentar obter ajudar com o programa Maple e me enrolei
 mais ainda na questão. Peço uma ajuda na questão .

 Seja a(alfa) a maior raiz real da equação x^3 -3x^2 + 1 = 0.
 Prove que [a^2004] é divísivel por 17.
 Obs: [y] é o único inteiro tal que [y]=y=[y]+1.


 Agradeço qualquer informação.
 []'s, Saulo.


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[obm-l] Re: desigualdades!!!

[Leonardo Borges Avelino]

Cara essa primeira eu fiz assim espero q esteja td ok

Sejam os reais positivos a,b e c, tem-se:

c(a^2-ab+b^2)^1/2 + a(b^2-bc+c^2)^1/2 = b(a^2+ac+c^2)^1/2  (i)
por simetria podems escrever tb:
b(a^2-ac+c^2)^1/2 + c(a^2-ab+b^2)^1/2 = a(b^2+bc+c^2)^1/2  (II)
b(a^2-ac+c^2)^1/2 + a(b^2-bc+c^2)^1/2 = c(a^2+ab+b^2)^1/2   (III)

somando I II e III vem:
2c(a^2-ab+b^2)^1/2 + 2a(b^2-bc+c^2)^1/2  + 2b(a^2-ac+c^2)^1/2 =
b(a^2+ac+c^2)^1/2  + a(b^2+bc+c^2)^1/2  + c(a^2+ab+b^2)^1/2

agora transpondo os termos do segundo membro para o primeiro teremos:
a[2(b^2-bc+c^2)^1/2 - (b^2+bc+c^2)^1/2 ] + b[2(a^2-ac+c^2)^1/2 -
(a^2+ac+c^2)^1/2 ] + c[2(a^2-ab+b^2)^1/2 - (a^2+ab+b^2)^1/2 ] = 0
basta provarmos q cada uma destes fatores saum =0
Suponha q:  a[2(b^2-bc+c^2)^1/2 - (b^2+bc+c^2)^1/2 ]  0
rearranjado td teremos 3b^2 - 5bc +3c^2  0 mas isso equivale a
3(b-c)^2 + bc  0.. absurdo!!
logo a desigualdade persiste e eh maior q 0... Agora naum consegui
achar qdo ocorre a igualdade...peço ajuda e possíveis correções

Abraço a todos..
Leonardo Borges Avelino


Em 29/06/06, diego andres[EMAIL PROTECTED] escreveu:

gostaria que alguem tambem resolvesse mais essas questoes:

1)  para quaisquer reais positivos a,b,c mostre que :

c(a²-ab+b²)^(1/2)+a(b²-bc+c²)^(1/2) =b(a²+ac+c²)^(1/2)

2)se  somatorio de xi²=1(sao reais positivos) entao determine o valor maximo
de:

nn
somatorio[  (xi^5)/(  (somatorio xj) -  xi )  ]
i=1j=1


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[obm-l]

[Leonardo Borges Avelino]

Cara essa primeira eu fiz assim espero q esteja td ok

Sejam os reais positivos a,b e c, tem-se:

c(a^2-ab+b^2)^1/2 + a(b^2-bc+c^2)^1/2 = b(a^2+ac+c^2)^1/2  (i)
por simetria podems escrever tb:
b(a^2-ac+c^2)^1/2 + c(a^2-ab+b^2)^1/2 = a(b^2+bc+c^2)^1/2  (II)
b(a^2-ac+c^2)^1/2 + a(b^2-bc+c^2)^1/2 = c(a^2+ab+b^2)^1/2   (III)

somando I II e III vem:
2c(a^2-ab+b^2)^1/2 + 2a(b^2-bc+c^2)^1/2  + 2b(a^2-ac+c^2)^1/2 =
b(a^2+ac+c^2)^1/2  + a(b^2+bc+c^2)^1/2  + c(a^2+ab+b^2)^1/2

agora transpondo os termos do segundo membro para o primeiro teremos:
a[2(b^2-bc+c^2)^1/2 - (b^2+bc+c^2)^1/2 ] + b[2(a^2-ac+c^2)^1/2 -
(a^2+ac+c^2)^1/2 ] + c[2(a^2-ab+b^2)^1/2 - (a^2+ab+b^2)^1/2 ] = 0
basta provarmos q cada uma destes fatores saum =0
Suponha q:  a[2(b^2-bc+c^2)^1/2 - (b^2+bc+c^2)^1/2 ]  0
rearranjado td teremos 3b^2 - 5bc +3c^2  0 mas isso equivale a
3(b-c)^2 + bc  0.. absurdo!!
logo a desigualdade persiste e eh maior q 0... Agora naum consegui
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[obm-l] Desigualdades!!!

[Leonardo Borges Avelino]

Desculpem a falta do ASSUNTO..
novamente:

Cara essa primeira eu fiz assim espero q esteja td ok

Sejam os reais positivos a,b e c, tem-se:

c(a^2-ab+b^2)^1/2 + a(b^2-bc+c^2)^1/2 = b(a^2+ac+c^2)^1/2  (i)
por simetria podems escrever tb:
b(a^2-ac+c^2)^1/2 + c(a^2-ab+b^2)^1/2 = a(b^2+bc+c^2)^1/2  (II)
b(a^2-ac+c^2)^1/2 + a(b^2-bc+c^2)^1/2 = c(a^2+ab+b^2)^1/2   (III)

somando I II e III vem:
2c(a^2-ab+b^2)^1/2 + 2a(b^2-bc+c^2)^1/2  + 2b(a^2-ac+c^2)^1/2 =
b(a^2+ac+c^2)^1/2  + a(b^2+bc+c^2)^1/2  + c(a^2+ab+b^2)^1/2

agora transpondo os termos do segundo membro para o primeiro teremos:
a[2(b^2-bc+c^2)^1/2 - (b^2+bc+c^2)^1/2 ] + b[2(a^2-ac+c^2)^1/2 -
(a^2+ac+c^2)^1/2 ] + c[2(a^2-ab+b^2)^1/2 - (a^2+ab+b^2)^1/2 ] = 0
basta provarmos q cada uma destes fatores saum =0
Suponha q:  a[2(b^2-bc+c^2)^1/2 - (b^2+bc+c^2)^1/2 ]  0
rearranjado td teremos 3b^2 - 5bc +3c^2  0 mas isso equivale a
3(b-c)^2 + bc  0.. absurdo!!
logo a desigualdade persiste e eh maior q 0... Agora naum consegui
achar qdo ocorre a igualdade...peço ajuda e possíveis correções

Abraço a todos..
Leonardo Borges Avelino

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Re: [obm-l] Problemas Primos

[Leonardo Borges Avelino]

Em 22/04/06, cleber vieira [EMAIL PROTECTED] escreveu:

Ricardo Khawge [EMAIL PROTECTED] escreveu: 


Se alguém puder me ajudar nestas questões eu agradeço:1) Mostrar que todo inteiro composto maior que 1000 tem um fator primo menor que 37.2) Mostrar que um inteiro da forma 4^(2n+1) nunca é primo.


3) Mostrar que, se p não divide n, para todos os primos p menores ou iguais a raiz cúbica de n, então n é primo ou é o produto de dois primos.4) Sejam p e q primos distintos. Demonstrar: p^(q-1) + q^(p-1) ==1(mod pq)
Obrigado

Acho q eh isso ex1
Você pode supor q um número composto N pode ser representado por um produto de primos ond cada um deles eh maior q sqrt(N), porém este produto eh maior q N(absurdo).. Usando a idéia para 1000, ele deve pssuir pelo menos um primo menor q sqrt(1000)=31,algumacoisa e segue o resultado


Leonardo Borges Avelino

Re: [obm-l] problema - multiplos de 5, 7, 9 e 11

[Leonardo Borges Avelino]

tente utilizar congruência.. esta kestaum caiu ontem na OBM fase2
nível3... a resposta eh 1735

Em 04/09/05, Adroaldo Munhoz[EMAIL PROTECTED] escreveu:
 olá,
 
 recebi o problema abaixo de um amigo, e estou tendo dificuldades para
 resolvê-lo.
 
 seja 'a' um número inteiro positivo tal que 'a' é múltiplo de 5, 'a+1'
 é múltiplo de 7, 'a+2' é múltiplo de 9 e 'a+3' é múltiplo de 11.
 determine o menor valor que 'a' pode assumir.
 
 alguém pode me auxiliar na solução deste problema?
 
 atenciosamente,
 
 aldo
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Re: [obm-l] Questoes da Cone Sul

[Leonardo Borges Avelino]

É uma solução sim... a1+a2+...+a10 cong 0 (mod 10) q mostra q
a1+a2+...+a2000 cong 0 (mod 10) e a2001+a2002+...+a2005 cong 5 (mod
10)

Em 29/05/05, Marcio M Rocha[EMAIL PROTECTED] escreveu:
 Olá a todos.
 
 Estive olhando o primeiro problema da Cone Sul, que segue abaixo:
 
 PROBLEMA 1
 Considere a seguinte seqüência:
 a_1 = último dígito da soma dos dígitos do número 2005
 a_2 = último dígito da soma dos dígitos do número 20052005
 a_3 = último dígito da soma dos dígitos do número 200520052005
 ...
 Calcule: a_1+a_2+a_3+···+a_2005
 
 Se não dei uma de jeca, encontrei a solução abaixo. Penso que seria 
 interessante que todas elas fossem resolvidas.
 
 Solução:
 
 Seja S(n) a soma dos dígitos de n.
 S(2005) = 7 = a_1 = 7
 S(20052005) = 2 x 7 = 14 = a_2 = 4
 S(200520052005) = 3 x 7 = 21 = a_3 = 1
 
 Logo,
 a_4 = 8
 a_5 = 5
 a_6 = 2
 a_7 = 9
 a_8 = 6
 a_9 = 3
 a_10 = 0
 
 A partir daí, tudo se repete de 10 em 10.
 De a_1 até a_2005 temos essa mesma seqüência 200 vezes, onde a soma dos a's é 
 igual a 45 (totalizando 9000) e mais os cinco primeiros termos, cuja soma é 
 25.
 
 Daí, temos que a_1+a_2+a_3+···+a_2005 = 9025.
 
 É só isso ou estou sendo ingênuo demais?
 
 []s,
 
 Márcio.
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Dvidas??

[Leonardo Borges Avelino]

1) A primeira dvida  sobre o significado das 
seguintes simbologias:

i.e.
deg(x)
tq

2) Suponhamos um lbum com n figurinhas, e que 
compramos 1 figurinha por dia. Por que o n esperado de dias para que 
esselbum fiquecompleto  n*ln(n) ??? Como demonstrar 
isto??

3) Pergunto aos amigos o que acham dos livros: 


Problemas de Aritmtica ( Comte. Paulo Pessoa) 

Problemas de Algebra ( Comte. Paulo Pessoa) 

Exerccios de Geometria Plana ( Edgar de 
Alencar Filho) 
Problemas Selecionados de Matemtica - Volume I 
(Antonio Luiz do Santos e Raul F. W. Agostinho) 




Valeu!!
Leonardo Borges 
Avelino.

[obm-l] Livro Geometria

[Leonardo Borges Avelino]

Bom, muito obrigado às respostas. Também gostaria 
de declarar que iria xerocar o livro do meu amigo, pois seria o único jeito de 
me apoderar dessa obra que é simplesmente fantástica, mas agora irei 
encomendá-lo na livraria onde o prof. Morgado recomendou. E no embalo, 
encomendarei (só estou esperando o $) a Coleção do Professor de Matemática, que 
é uma coleção maravilhosa (e falando também, barata, pois o que encontramos nos 
livros da coleção e outros como o Geometria II vale mais que qualquer fortuna no 
mundo, o conhecimento, na sua forma mais interessante possível).

Obs: Aos da lista que não têm o Geometria II, 
Coleção do Professor de Matemática e os outros que o prof. Morgado recomendou, 
por minha vez recomendaria que comprassem também.

Valeu!!
Leonardo Borges Avelino

[obm-l] Livro Geometria

[Leonardo Borges Avelino]

Caros amigos:

Estava na casa de meu amigo e ele me mostrou 
um livro impressionante, que se chama: Geometria II dos prof.s Eduardo Wagner, 
Augusto Morgado e Miguel.
Pergunta:

Onde consigo este livro? e (desculpem-me se a 
pergunta for idiota) se existe o Geometria I?


Valeu!!
Leonardo Borges

[obm-l] Diversos

[Leonardo Borges Avelino]

Caros amigos da lista:

1)Estava um dia em minha casa e comecei a estudar 
construções geométricas( com régua lisa e compasso, somente) e bolei alguns 
exercícios para eu mesmo resolver. Por exemplo: construir duas retas 
perpendiculares, logo após contruir um ângulo de 30º, logo após, contruir um 
ângulo de 15º, logo após contruir um triângulo retângulo de ângulos agudos 30 e 
60 graus, isso como incentivo para continuação no estudo de construções que 
auxiliam na geometria. A questão é: Se não me engano, vi um livro que se chama 
Contruções Geométricas do prof. Eduardo Wagner, da Coleção do professor de 
Matemática. Este livro é completo para o estudo de questões sobre este tema da 
OBM?

Obs: Estas questões para vocês são moleza, mas só 
citei pois comecei a estudar tal assunto somente agora.

2) Caro Faelccmm, vc estava perguntando sobre 
exercícios de geometria, né? Então gostaria de citar uns livrinhos que ajudam 
para começar: Geometria do Oswaldo Marcondes e Ed. do Brasil de 1969; 
Geometria plana Vol9 da "coleção do Iezzi".
Gostaria de dizer também, que eu acho legal se vc 
pegasse algumas provas de matemática do Colégio Naval, pois tem exercícios de 
geometria que eu considero interessantes.

Obs: Citei estes livros pois tratam de assuntos 
importantes e demonstram alguns teoremas, mas não são base total para a 
OBM.

[obm-l] En: Diversos

[Leonardo Borges Avelino]

Caros amigos da lista:

1)Estava um dia em minha casa e comecei a estudar 
construções geométricas( com régua lisa e compasso, somente) e bolei alguns 
exercícios para eu mesmo resolver. Por exemplo: construir duas retas 
perpendiculares, logo após contruir um ângulo de 30º, logo após, contruir um 
ângulo de 15º, logo após contruir um triângulo retângulo de ângulos agudos 30 e 
60 graus, isso como incentivo para continuação no estudo de construções que 
auxiliam na geometria. A questão é: Se não me engano, vi um livro que se chama 
Contruções Geométricas do prof. Eduardo Wagner, da Coleção do professor de 
Matemática. Este livro é completo para o estudo de questões sobre este tema da 
OBM?

Obs: Estas questões para vocês são moleza, mas só 
citei pois comecei a estudar tal assunto somente agora.

2) Caro Faelccmm, vc estava perguntando sobre 
exercícios de geometria, né? Então gostaria de citar uns livrinhos que ajudam 
para começar: Geometria do Oswaldo Marcondes e Ed. do Brasil de 1969; 
Geometria plana Vol9 da "coleção do Iezzi".
Gostaria de dizer também, que eu acho legal se vc 
pegasse algumas provas de matemática do Colégio Naval, pois tem exercícios de 
geometria que eu considero interessantes.

Obs: Citei estes livros pois tratam de assuntos 
importantes e demonstram alguns teoremas, mas não são base total para a 
OBM.

[obm-l] Diversos

[Leonardo Borges Avelino]

Caros amigos da lista:

1)Estava um dia em minha casa e comecei a estudar 
construções geométricas( com régua lisa e compasso, somente) e bolei alguns 
exercícios para eu mesmo resolver. Por exemplo: construir duas retas 
perpendiculares, logo após contruir um ângulo de 30º, logo após, contruir um 
ângulo de 15º, logo após contruir um triângulo retângulo de ângulos agudos 30 e 
60 graus, isso como incentivo para continuação no estudo de construções que 
auxiliam na geometria. A questão é: Se não me engano, vi um livro que se chama 
Contruções Geométricas do prof. Eduardo Wagner, da Coleção do professor de 
Matemática. Este livro é completo para o estudo de questões sobre este tema da 
OBM?

Obs: Estas questões para vocês são moleza, mas só 
citei pois comecei a estudar tal assunto somente agora.

2) Caro Faelccmm, vc estava perguntando sobre 
exercícios de geometria, né? Então gostaria de citar uns livrinhos que ajudam 
para começar: Geometria do Oswaldo Marcondes e Ed. do Brasil de 1969; 
Geometria plana Vol9 da "coleção do Iezzi".
Gostaria de dizer também, que eu acho legal se vc 
pegasse algumas provas de matemática do Colégio Naval, pois tem exercícios de 
geometria que eu considero interessantes.

Obs: Citei estes livros pois tratam de assuntos 
importantes e demonstram alguns teoremas, mas não são base total para a 
OBM.

[obm-l] Diversos

[Leonardo Borges Avelino]

Caros amigos da lista:

1)Estava um dia em minha casa e comecei a estudar 
construções geométricas( com régua lisa e compasso, somente) e bolei alguns 
exercícios para eu mesmo resolver. Por exemplo: construir duas retas 
perpendiculares, logo após contruir um ângulo de 30º, logo após, contruir um 
ângulo de 15º, logo após contruir um triângulo retângulo de ângulos agudos 30 e 
60 graus, isso como incentivo para continuação no estudo de construções que 
auxiliam na geometria. A questão é: Se não me engano, vi um livro que se chama 
Contruções Geométricas do prof. Eduardo Wagner, da Coleção do professor de 
Matemática. Este livro é completo para o estudo de questões sobre este tema da 
OBM?

Obs: Estas questões para vocês são moleza, mas só 
citei pois comecei a estudar tal assunto somente agora.

2) Caro Faelccmm, vc estava perguntando sobre 
exercícios de geometria, né? Então gostaria de citar uns livrinhos que ajudam 
para começar: Geometria do Oswaldo Marcondes e Ed. do Brasil de 1969; 
Geometria plana Vol9 da "coleção do Iezzi".
Gostaria de dizer também, que eu acho legal se vc 
pegasse algumas provas de matemática do Colégio Naval, pois tem exercícios de 
geometria que eu considero interessantes.

Obs: Citei estes livros pois tratam de assuntos 
importantes e demonstram alguns teoremas, mas não são base total para a 
OBM.

[obm-l] Um site muito estranho

[Leonardo Borges Avelino]

Ei pessoal,
Tenho algum conhecimento sobre HTML,PHP e alguma 
coisinha em Flash. 
Qualquer coisa que precisarem para montar o site e 
eu puder ajudar...
Apoio completamente esse site.


Leonardo Borges Avelino.
Valeu!!

[obm-l] QI e outros

[Leonardo Borges Avelino]

Ei pessoal
Em um dia que estava navegando na internet achei 
algo sobre QI's e encontrei que o maior QI do mundo é de uma tal de Marilyn ... 
Gostaria de perguntar se alguém já ouviu falar sobre ela e se alguém confia em 
tais testes de QI.
E também, li que ela resolveu um problema de mouth 
hall(não sei se eh assim que escreve), que é sobre uma probabilidade de um 
programa de TV que tem cabras e um carro. Essa questão já foi resolvida pelo 
Prof. Nicolau na Eureka 1.


Leonardo Borges Avelino
Valeu!!

[obm-l] En: Questão de Geometria

[Leonardo Borges Avelino]

- Original Message - 
From: Leonardo 
Borges Avelino 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Friday, September 06, 2002 10:56 AM
Subject: Questão de Geometria

Ei pessoal
Acho que todos conhecem a questão de geometria que 
existe uma circunferência e duas tangentes. As tangentes se encontram num ponto 
P. Ligamos os pontos de tangência que determinam os pontosA e B. Do 
segmento AB levantamos uma perpendicular que toca a circunferência no 
ponto C. Dados os valores das distâncias C até a reta AP; e de C até BP. Calcule 
o valor da perpendicular.
(Não está muito claro de entender o enunciado pois 
eu escrevi com pressa.)

Essa questão jah caiu no Colegio Naval/2001 e me 
disseram que ela caiu no IME, e também ela está num livrinho preto do prof. 
Eduardo Wagner.
Para todos que conhecem tal questão e 
principalmente ao Prof. Eduardo Wagner, pergunto:
* Essa questão eh nível IMO?
* Quem eh o autor dessa questão?

Valeu!!
Leonardo Borges Avelino

[obm-l] Reta de Simson

[Leonardo Borges Avelino]

Caro Leonardo
recomendo baixar este arquivo que é um material 
usado na V Semana Olímpica

www.obm.org.br/semana/retasimson.doc

Valeu!!
Leonardo Borges Avelino

[obm-l] Olimpíada virtual

[Leonardo Borges Avelino]

Ei Eric

Foi uma ótima idéia e concordo plenamente com esse 
torneio cultural
Eu tb propus um canal em mIRC, mas ninguém retornou 
até agora..

Valeu!!
Leonardo Borges Avelino

[obm-l] Circuncírculo

[Leonardo Borges Avelino]

Amigos da lista, peço a definição de circuncírculo 
(desculpem-me pela ignorância) e se possível exercícios
com o respectivo assunto.

Leonardo Borges

[obm-l] Questão IME

[Leonardo Borges Avelino]

Ei pessoal
É fácil perceber o seguinte:
caso1) K termina em 0, 1, 5 ou 6; K^5 terminará nos 
respectivos algarismos.
caso2) K termina em 4 ou 9, onde se terminar em 4 
terá dois valores possíveis p/ último algarismo, assim como 9.
E K^5, onde 5=1 (mod 2), ou seja, o último 
algarismo de K^5 é o mesmo último de K^1.
caso3) K termina2, 3, 7 ou 8, onde K 
terminando com um destes algarismos terá quatro valores possíveis p/ último 
algarismo
E K^5, onde 5=1 (mod4), ou seja, o último algarismo 
de K^5 é o mesmo último de K^1.

Valeu
Leonardo Borges Avelino

[obm-l] Re: [obm-l] Questão antiga obm

[Leonardo Borges Avelino]

**
Ei
blz, me chamo Leonardo Borges Avelino
e interessante sua resolução
Sobre essa kestaum

Olhe minha solução e diga o que achou:

 Suponhamos por uma absurdo que entre a 100-nésima e 300-nésima
casa decimal de sqrt(2)
seja toda preenchida de zeros, te'riamos o seguinte   sqrt(2)=
1,414213...A000...000B..., onde A representa
a 100-nésima casa decimal de sqrt(2) e B a 300-nésima casa decimal
do mesmo.
Com uma seqüência tão grande de zeros? Vamos pensar. Quando temos uma
seqüência dessa de zeros, poderíamos dizer
que B=0 e teríamos o seguinte: sqrt(2)=1,414213...A......, ei se
continuarmos a seqüência teríamos zeros e mais zeros. com efeito poderiamos
dizer que sqrt(2)=1,414213...A  que é racional. Absurdo! sqrt(2) é racional.

P.S: Algum erro ou observação, peço que me mande.


- Original Message -
From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, July 28, 2002 6:27 PM
Subject: [obm-l] Questão antiga obm


 Ola pessoal! Essa solução é boa?

 Questão.
 Provar que existe um algarismo diferente de 0 entre a 1.000.000-ésima e a
 3.000.000-ésima casa decimal de r=raiz(2).

 Seja M=10^(10^6). Suponhamos por absurdo que seja falso o enunciado, daí
 existe um inteiro 0aM e um real 0=b=1 tal que
 raiz(2) = aM^(-1) + bM^(-3), elevando ao quadrado e multiplicando por M^2
 2M^2 - a^2 = 2abM^(-2) + b^2M^(-4) (*)
 o lado esquerdo de (*) é inteiro e no lado direito
 0 = 2abM^(-2) + b^2M^(-6)  2MM^(-2) + M^(-6) = 2M^(-1) + M^(-6)  1
 Portanto 2M - a^2 é um inteiro em [0,1) logo raiz(2) = a/M que é racional,
 absurdo!

 Eduardo Casagrande Stabel.
 Porto Alegre, RS.




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