Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
on 01.06.04 00:40, niski at [EMAIL PROTECTED] wrote: Afinal de contas, qual é a definição de função polinomial? Eh uma funcao que leva um numero real x no numero: F(x) = a_0 + a_1*x + ... + a_n*x^n, com n inteiro nao-negativo e os a_i reais (todos fixos de antemao). Claudio Buffara wrote: Uma versao um pouco mais dificil: Sejam a e b numeros reais com a b. Prove que F:[a,b] - R dada por F(x) = cos(x) nao eh uma funcao polinomial. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Oi, Osvaldo: A solucao que eu tinha em mente usa o fato de que a derivada (n+1)-esima de uma funcao polinomial de grau n eh a funcao identicamente nula e obtem uma contradicao a partir disso, pois as derivadas de ordem superior da funcao cosseno nunca sao identicamente nulas. De uma olhada na solucao do Fabio. Por outro lado, acho que o caminho que voce tomou eventualmente chega lah, mas a algebra pode ficar meio enrolada, com voce deve ter percebido. Alem disso, ha um erro no coeficiente de x^1 do lado esquerdo, o qual deveria ser 4*a_1*a_2 + 2*a_1*a_0 = 2*a_1*(2*a_2 + a_0). Uma forma melhor eh comecar supondo que cos(x) seja um polinomio de grau n. Claramente, n = 1, pois cos(x) nao eh constante. Nesse caso, expandindo cos^2(x) + sen^2(x), obtemos que o coeficiente de x^(2n) serah igual a a_n^2. Mas cos^2(x) + sen^2(x) = 1. Logo, a_n^2 = 0 == a_n = 0 == cos(x) tem grau no maximo (n-1) == contradicao == cos(x) nao pode ser um polinomio. []s, Claudio. on 01.06.04 01:35, Osvaldo at [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu tentei, mas acho que errei em algum lugar. Por favor encontrem meu erro! Vou supor que cos possa ser escrito como um polinomio. cos x = a_0+a_1.x+a_2.x^2+...+a_n.x^n; a_i reais nao simultaneamente nulos. Derivando vem que cos'x = sen x = a_1+2.a_2.x+...+n.a_n.x^(n-1) Da identidade cos^2(x)+sen^2(x)=1 vem: [a_1+2.a_2.x+...+n.a_n.x^(n-1)]^2+ [a_0+a_1.x+a_2.x^2+...+a_n.x^n]^2 = 1 Logo, temos que a_1^2+a_0^2=1 (*) 4.a_2^2+a_1^2=0 . . . n^2.a_(n-1)^2+a_n^2=0 Mais 4.a_2^2+a_1^2=0 em R somente se a_2 e a_1 são ambos nulos. logo a_1=0 (**) Substituindo ** em * eu vejo que a_0^2 deve ser 1 e logo que a_0 é 1. Acho que isso é uma contradiçao, pois x varre o intervalo [a,b] e a!=b. Se assim o for está provado, mais acho que devo ter errado em algum lugar, se puderem me enviem o erro. Até Uma versao um pouco mais dificil: Sejam a e b numeros reais com a b. Prove que F:[a,b] - R dada por F(x) = cos(x) nao eh uma funcao polinomial. Dessa vez o argumento de infinitas raizes nao se aplica... []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Eu sempre defini polinomial como uma combinaçao linear de potencias da variavel livre xniski [EMAIL PROTECTED] wrote: Afinal de contas, qual é a definição de função polinomial?Claudio Buffara wrote: Uma versao um pouco mais dificil: Sejam a e b numeros reais com a b. Prove que F:[a,b] - R dada por F(x) = cos(x) nao eh uma funcao polinomial.-- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski[upon losing the use of his right eye]"Now I will have less distrraction"Leonhard Euler=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) N.F.C. (Ne Fronti Crede)Yahoo! Mail - Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique aqui!
RE: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Olha, sem derivadas, eu pensei em usar séries de Fourrier... e provar que o grau do poliômio seria infinito. -Original Message- From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, June 01, 2004 1:57 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2) Simples: as derivadas de cos nunca sao identicamente nulas num intrvalo aberto de IR, ao contrario das derivadas de ordem grande o bastante de um polinomio. Mas essa e uma soluçao que se usa de derivadas. Sera que nao tem algo menos apelador? Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Uma versao um pouco mais dificil: Sejam a e b numeros reais com a b. Prove que F:[a,b] - R dada por F(x) = cos(x) nao eh uma funcao polinomial. Dessa vez o argumento de infinitas raizes nao se aplica... []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) N.F.C. (Ne Fronti Crede) _ http://br.rd.yahoo.com//mail_br/tagline/?http://mail.yahoo.com.br/ Yahoo! Mail - Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique http://br.rd.yahoo.com//mail_br/tagline/?http://br.surveys.yahoo.com/global _mail_survey_br aqui! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Sem derivadas, acho que podemos fazer o seguinte: se cos for uma funcao
polinomial P de grau n, entao P tem um numero finito =n de raizes em [a,b].
Para todo real a, temos entao que cos(a*x) eh tambem um polinomio de grau n
e, desta forma, tem em [a,b] um numero finito, tambem =n de raizes. Mas
fazendo-se a suficientemente grande podemos fazer com que cos(a*x) tenha em
{a,b] quantos raizes se desejem. Desta contradicao, vemos que cos nao pode
ser polinomial em nenhum intervalo [a,b], com ab.
Artur
w
- Mensagem Original
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: '[EMAIL PROTECTED]' [EMAIL PROTECTED]
Assunto: RE: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Data: 01/06/04 14:51
Olha, sem derivadas, eu pensei em usar séries de Fourrier... e provar que o
grau do poliômio seria infinito.
-Original Message-
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
[mailto:[EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, June 01, 2004 1:57 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Simples: as derivadas de cos nunca sao identicamente nulas num intrvalo
aberto de IR, ao contrario das derivadas de ordem grande o bastante de um
polinomio.
Mas essa e uma soluçao que se usa de derivadas. Sera que nao tem algo menos
apelador?
Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
Uma versao um pouco mais dificil:
Sejam a e b numeros reais com a b.
Prove que F:[a,b] - R dada por F(x) = cos(x)
nao eh uma funcao polinomial.
Dessa vez o argumento de infinitas raizes nao se aplica...
[]s,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI
CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE
Fields Medal(John Charles Fields)
N.F.C. (Ne Fronti Crede)
_
http://br.rd.yahoo.com//mail_br/tagline/?http://mail.yahoo.com.br/ Yahoo!
Mail - Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique
http://br.rd.yahoo.com//mail_br/tagline/?http://br.surveys.yahoo.com/global
_mail_survey_br aqui!
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
OPEN Internet
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Title: Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2) Que tal isso aqui? Se cos:[a,b] - R eh uma funcao polinomial de grau n, entao a funcao: F: [a,b] - R dada por F(x) = cos(mx) (m inteiro e fixo) tambem serah uma funcao polinomial de grau n em x. Mas se n for grande o suficiente, F terah mais do que n raizes em [a,b] == contradicao. []s, Claudio. on 01.06.04 13:57, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote: Simples: as derivadas de cos nunca sao identicamente nulas num intrvalo aberto de IR, ao contrario das derivadas de ordem grande o bastante de um polinomio. Mas essa e uma soluçao que se usa de derivadas. Sera que nao tem algo menos apelador? Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Uma versao um pouco mais dificil: Sejam a e b numeros reais com a b. Prove que F:[a,b] - R dada por F(x) = cos(x) nao eh uma funcao polinomial. Dessa vez o argumento de infinitas raizes nao se aplica... []s, Claudio.
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Title: Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2) Eu quis dizer: se m for grande o suficiente. Enfim, o Artur jah havia dado a mesma solucao. on 01.06.04 15:27, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote: Que tal isso aqui? Se cos:[a,b] - R eh uma funcao polinomial de grau n, entao a funcao: F: [a,b] - R dada por F(x) = cos(mx) (m inteiro e fixo) tambem serah uma funcao polinomial de grau n em x. Mas se n for grande o suficiente, F terah mais do que n raizes em [a,b] == contradicao. []s, Claudio. on 01.06.04 13:57, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote: Simples: as derivadas de cos nunca sao identicamente nulas num intrvalo aberto de IR, ao contrario das derivadas de ordem grande o bastante de um polinomio. Mas essa e uma soluçao que se usa de derivadas. Sera que nao tem algo menos apelador? Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Uma versao um pouco mais dificil: Sejam a e b numeros reais com a b. Prove que F:[a,b] - R dada por F(x) = cos(x) nao eh uma funcao polinomial. Dessa vez o argumento de infinitas raizes nao se aplica... []s, Claudio.
RE: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Só não entendi uma coisa Pq se cos(x) é Não é um polinômio, cos(k*x) também não o será? Tá, intuitivamente isto é óbvio, mas e para provar isso? E se k=0??? Daí cos(k*x) seria um polinômio! -Original Message- From: Claudio Buffara [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, June 01, 2004 3:28 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2) Que tal isso aqui? Se cos:[a,b] - R eh uma funcao polinomial de grau n, entao a funcao: F: [a,b] - R dada por F(x) = cos(mx) (m inteiro e fixo) tambem serah uma funcao polinomial de grau n em x. Mas se n for grande o suficiente, F terah mais do que n raizes em [a,b] == contradicao. []s, Claudio. on 01.06.04 13:57, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote: Simples: as derivadas de cos nunca sao identicamente nulas num intrvalo aberto de IR, ao contrario das derivadas de ordem grande o bastante de um polinomio. Mas essa e uma soluçao que se usa de derivadas. Sera que nao tem algo menos apelador? Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Uma versao um pouco mais dificil: Sejam a e b numeros reais com a b. Prove que F:[a,b] - R dada por F(x) = cos(x) nao eh uma funcao polinomial. Dessa vez o argumento de infinitas raizes nao se aplica... []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
on 01.06.04 16:02, João Gilberto Ponciano Pereira at [EMAIL PROTECTED] wrote: Só não entendi uma coisa Pq se cos(x) é Não é um polinômio, cos(k*x) também não o será? Tá, intuitivamente isto é óbvio, mas e para provar isso? E se k=0??? Daí cos(k*x) seria um polinômio! Tah legal! Temos que excluir k = 0, mas tudo bem porque queremos k grande. F(x) eh um polinomio em x, digamos de grau n == F(x) = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n == F(kx) = a_0 + a_1kx + a_2k^2x^2 + ... + a_nk^nx^n == F(kx) = b_0 + b_1x + ... + b_nx^n, onde b_i = k^i*a_i, para 0 = i = n == F(kx) = polinomio em x de grau n (se k 0). Satisfeito agora? []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Se P eh um polinomio de grau n=0, entao P(x) = Soma (i =0,n) c_i*x^i. Se k eh um real, entao P(k*x) = Soma (i =0,n) c_i*(k*x)^i = Soma (i =0,n) (c_i*k^i)*x^i S. Assim, P(k*x) eh um polinomio de grau n cujos coeficientes sao c_i*k^i, i=0,1n. Se k=0, entao P(k*x) = p(0) = a_0 para todo x, que pode ser visto como um polinomio de grau zero. Um exemplo pratico: Em muitos modelos computacionais, a curva que representa a variacao da area do reservatorio de uma usina hidreletrica em funcao da cota do espelho dagua eh estimada por um polinomio do quarto grau. Geralmente os coeficientes sao calculados para a cota em metros e a area em km2. Mas se vc quiser usar um modelo em que a cota seja dada em centimetros, com saida ainda em km2, a funcao continua sendo um polinomio. O termo independente naum sera alterado, o do primeiro grau serah divido por 10.., e o do quarto grau por 1. Artur Somaa_0 + a_n*x^no --- João_Gilberto_Ponciano_Pereira [EMAIL PROTECTED] wrote: Só não entendi uma coisa Pq se cos(x) é Não é um polinômio, cos(k*x) também não o será? Tá, intuitivamente isto é óbvio, mas e para provar isso? E se k=0??? Daí cos(k*x) seria um polinômio! -Original Message- From: Claudio Buffara [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, June 01, 2004 3:28 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2) Que tal isso aqui? Se cos:[a,b] - R eh uma funcao polinomial de grau n, entao a funcao: F: [a,b] - R dada por F(x) = cos(mx) (m inteiro e fixo) tambem serah uma funcao polinomial de grau n em x. Mas se n for grande o suficiente, F terah mais do que n raizes em [a,b] == contradicao. []s, Claudio. on 01.06.04 13:57, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote: Simples: as derivadas de cos nunca sao identicamente nulas num intrvalo aberto de IR, ao contrario das derivadas de ordem grande o bastante de um polinomio. Mas essa e uma soluçao que se usa de derivadas. Sera que nao tem algo menos apelador? Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Uma versao um pouco mais dificil: Sejam a e b numeros reais com a b. Prove que F:[a,b] - R dada por F(x) = cos(x) nao eh uma funcao polinomial. Dessa vez o argumento de infinitas raizes nao se aplica... []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do you Yahoo!? Friends. Fun. Try the all-new Yahoo! Messenger. http://messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
E os a_i's devem ser finitos? Claudio Buffara wrote: on 01.06.04 00:40, niski at [EMAIL PROTECTED] wrote: Afinal de contas, qual é a definição de função polinomial? Eh uma funcao que leva um numero real x no numero: F(x) = a_0 + a_1*x + ... + a_n*x^n, com n inteiro nao-negativo e os a_i reais (todos fixos de antemao). -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Ah, no exemplo que eu dei eu quis dizer cota em decimetros, naum em centimetros! Artur __ Do you Yahoo!? Friends. Fun. Try the all-new Yahoo! Messenger. http://messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
on 01.06.04 17:32, niski at [EMAIL PROTECTED] wrote: E os a_i's devem ser finitos? Como seria um a_i infinito? Claudio Buffara wrote: on 01.06.04 00:40, niski at [EMAIL PROTECTED] wrote: Afinal de contas, qual é a definição de função polinomial? Eh uma funcao que leva um numero real x no numero: F(x) = a_0 + a_1*x + ... + a_n*x^n, com n inteiro nao-negativo e os a_i reais (todos fixos de antemao). = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Acho que me expressei mal. Quis dizer se o numero de coeficientes deve ser finito. Se é necessariamente finito, basta mostrar que a expansao da funcao trigonometrica em questao é uma serie com numero de coeficiente infinitos. Não? E os a_i's devem ser finitos? Como seria um a_i infinito? Claudio Buffara wrote: on 01.06.04 00:40, niski at [EMAIL PROTECTED] wrote: Afinal de contas, qual é a definição de função polinomial? Eh uma funcao que leva um numero real x no numero: F(x) = a_0 + a_1*x + ... + a_n*x^n, com n inteiro nao-negativo e os a_i reais (todos fixos de antemao). = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
on 01.06.04 19:17, niski at [EMAIL PROTECTED] wrote: Acho que me expressei mal. Quis dizer se o numero de coeficientes deve ser finito. Sim, caso contrario nao teriamos um polinomio. Se é necessariamente finito, basta mostrar que a expansao da funcao trigonometrica em questao é uma serie com numero de coeficiente infinitos. Não? Existem demonstracoes mais simples. No fim das contas, a que eu gosto mais eh a do Artur, que eh totalmente elementar. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Okay!, valeu, entendi. Oi, Osvaldo: A solucao que eu tinha em mente usa o fato de que a derivada (n+1)-esima de uma funcao polinomial de grau n eh a funcao identicamente nula e obtem uma contradicao a partir disso, pois as derivadas de ordem superior da funcao cosseno nunca sao identicamente nulas. De uma olhada na solucao do Fabio. Por outro lado, acho que o caminho que voce tomou eventualmente chega lah, mas a algebra pode ficar meio enrolada, com voce deve ter percebido. Alem disso, ha um erro no coeficiente de x^1 do lado esquerdo, o qual deveria ser 4*a_1*a_2 + 2*a_1*a_0 = 2*a_1*(2*a_2 + a_0). Uma forma melhor eh comecar supondo que cos(x) seja um polinomio de grau n. Claramente, n = 1, pois cos(x) nao eh constante. Nesse caso, expandindo cos^2(x) + sen^2(x), obtemos que o coeficiente de x^(2n) serah igual a a_n^2. Mas cos^2(x) + sen^2(x) = 1. Logo, a_n^2 = 0 == a_n = 0 == cos(x) tem grau no maximo (n-1) == contradicao == cos(x) nao pode ser um polinomio. []s, Claudio. on 01.06.04 01:35, Osvaldo at [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu tentei, mas acho que errei em algum lugar. Por favor encontrem meu erro! Vou supor que cos possa ser escrito como um polinomio. cos x = a_0+a_1.x+a_2.x^2+...+a_n.x^n; a_i reais nao simultaneamente nulos. Derivando vem que cos'x = sen x = a_1+2.a_2.x+...+n.a_n.x^(n-1) Da identidade cos^2(x)+sen^2(x)=1 vem: [a_1+2.a_2.x+...+n.a_n.x^(n-1)]^2+ [a_0+a_1.x+a_2.x^2+...+a_n.x^n]^2 = 1 Logo, temos que a_1^2+a_0^2=1 (*) 4.a_2^2+a_1^2=0 . . . n^2.a_(n-1)^2+a_n^2=0 Mais 4.a_2^2+a_1^2=0 em R somente se a_2 e a_1 são ambos nulos. logo a_1=0 (**) Substituindo ** em * eu vejo que a_0^2 deve ser 1 e logo que a_0 é 1. Acho que isso é uma contradiçao, pois x varre o intervalo [a,b] e a!=b. Se assim o for está provado, mais acho que devo ter errado em algum lugar, se puderem me enviem o erro. Até Uma versao um pouco mais dificil: Sejam a e b numeros reais com a b. Prove que F:[a,b] - R dada por F(x) = cos(x) nao eh uma funcao polinomial. Dessa vez o argumento de infinitas raizes nao se aplica... []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Pois é me falta uma aulinha de fundamentos tambem vou ter ki ser aluno especial... on 01.06.04 19:17, niski at [EMAIL PROTECTED] wrote: Acho que me expressei mal. Quis dizer se o numero de coeficientes deve ser finito. Sim, caso contrario nao teriamos um polinomio. Se é necessariamente finito, basta mostrar que a expansao da funcao trigonometrica em questao é uma serie com numero de coeficiente infinitos. Não? Existem demonstracoes mais simples. No fim das contas, a que eu gosto mais eh a do Artur, que eh totalmente elementar. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Uma versao um pouco mais dificil: Sejam a e b numeros reais com a b. Prove que F:[a,b] - R dada por F(x) = cos(x) nao eh uma funcao polinomial. Dessa vez o argumento de infinitas raizes nao se aplica... []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Afinal de contas, qual é a definição de função polinomial? Claudio Buffara wrote: Uma versao um pouco mais dificil: Sejam a e b numeros reais com a b. Prove que F:[a,b] - R dada por F(x) = cos(x) nao eh uma funcao polinomial. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] said: Uma versao um pouco mais dificil: Sejam a e b numeros reais com a b. Prove que F:[a,b] - R dada por F(x) = cos(x) nao eh uma funcao polinomial. [...] F = F = F^(4k) = F, mas se F é uma função polinomial de grau n, então F^(n+1) = 0. Mas tomando 4k = n+1, F^(4k) = F = 0, logo F é identicamente nula, absurdo. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAvAc9alOQFrvzGQoRAjm/AJ9Ah/0BIP04mSHIWCJocP6ZHMoFJACgqknp +iEe7Grgty5DwhXM78IbWlk= =Xuot -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Eu tentei, mas acho que errei em algum lugar. Por favor encontrem meu erro! Vou supor que cos possa ser escrito como um polinomio. cos x = a_0+a_1.x+a_2.x^2+...+a_n.x^n; a_i reais nao simultaneamente nulos. Derivando vem que cos'x = sen x = a_1+2.a_2.x+...+n.a_n.x^(n-1) Da identidade cos^2(x)+sen^2(x)=1 vem: [a_1+2.a_2.x+...+n.a_n.x^(n-1)]^2+ [a_0+a_1.x+a_2.x^2+...+a_n.x^n]^2 = 1 Logo, temos que a_1^2+a_0^2=1 (*) 4.a_2^2+a_1^2=0 . . . n^2.a_(n-1)^2+a_n^2=0 Mais 4.a_2^2+a_1^2=0 em R somente se a_2 e a_1 são ambos nulos. logo a_1=0 (**) Substituindo ** em * eu vejo que a_0^2 deve ser 1 e logo que a_0 é 1. Acho que isso é uma contradiçao, pois x varre o intervalo [a,b] e a!=b. Se assim o for está provado, mais acho que devo ter errado em algum lugar, se puderem me enviem o erro. Até Uma versao um pouco mais dificil: Sejam a e b numeros reais com a b. Prove que F:[a,b] - R dada por F(x) = cos(x) nao eh uma funcao polinomial. Dessa vez o argumento de infinitas raizes nao se aplica... []s, Claudio. = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
