Re: [obm-l] PA de quadrados perfeitos
Em seg., 3 de fev. de 2020 às 14:26, marcone augusto araújo borges escreveu: > > Determine os inteiros positivos a, b e c tais que (a^2, b^2, c^2) é uma PA > -- 2b^2 = a^2+c^2 Se um primo p diferente de 2 dividir a e c ao mesmo tempo, também dividirá b. Assim, podemos supor que o MDC de a e c é da forma 2^k. Se a e c são ambos pares, então (2a1)^2+(2c1)^2=2b^2, e portanto 2a1^2+2c1^2=b^2, e assim b é par também, logo 2a1^2+2c1^2=(2b1)^2, ou a1^2+c1^2=2b1^2. Dessa forma, podemos supor que a e c são primos entre si. Como seus quadrados somam um par, ambos devem ser ímpares. Escrevamos a=x+y, c=x-y, onde x e y são de paridades diferentes. Assim, temos (x+y)^2+(x-y)^2=2b^2, o que nos leva a x^2+y^2=b^2. Agora, basta usar a fórmula das ternas pitagóricas! Se ambos pares > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] PA de quadrados perfeitos
Determine os inteiros positivos a, b e c tais que (a^2, b^2, c^2) é uma PA -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrados perfeitos
Boa dia!
Para 11n +10^10 ser um quadrado perfeito
se faz necessário que seja da forma
(10^5+a)^2 com a > 0; pois, n>=1 e a <= [raiz(12)-1*10^5] onde[x]= parts
inteira de x; pois,
(10^5+a)^2 <=11*10^10+10^10
10^5+a <=raiz(12)*10^5
a <= (raiz(12)-1)*10^5
Temos também que 11| 2*10^5a +a^2; pois, (10^5+a)^2=
10^10+2*10^5*a+a^2=10^10 +11*n
10^5=-1mod11 então:
-2a +a^2=0 mod11; a(a-2)=0 mod11.
Como 11 é primo a=2 ou a=0 mod11.
Agora é só contar quantos temos.
n11=[[(raiz(12)-1)*10^5]/11]=22.400
n2=[([(raiz(12)-1)*10^5]-2)/11)]=22400
Nt=44.800
Saudações,
PJMS
Em qua, 27 de nov de 2019 20:36, Esdras Muniz
escreveu:
> Percebi agora que tô errado. Desculpa.
>
> Em qua, 27 de nov de 2019 19:22, Esdras Muniz
> escreveu:
>
>> Pensei assim, o 10^10= (10^5)^2 é qp, daí, (10^5+1)^2, (10^5+2)^2, ...,
>> [Sqrt{12×10^5}] são só quadrados que queremos contar.
>>
>> Estou usando [x] para demorar a parte interna de x.
>>
>> Em qua, 27 de nov de 2019 15:30, Caio Costa
>> escreveu:
>>
>>> 10^5([sqrt{2}]-1) ??
>>>
>>>
>>> Em qua., 27 de nov. de 2019 às 13:41, Esdras Muniz <
>>> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>>> 10^5([sqrt{12}]-1)
>>>>
>>>> Em qua, 27 de nov de 2019 08:57, marcone augusto araújo borges <
>>>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>>>
>>>>> Seja n E N tal que 1 < = n < = 10^10. Quantos números M = 11n +
>>>>> 10^10 são quadrados perfeitos?
>>>>> --
>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>>
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrados perfeitos
Percebi agora que tô errado. Desculpa.
Em qua, 27 de nov de 2019 19:22, Esdras Muniz
escreveu:
> Pensei assim, o 10^10= (10^5)^2 é qp, daí, (10^5+1)^2, (10^5+2)^2, ...,
> [Sqrt{12×10^5}] são só quadrados que queremos contar.
>
> Estou usando [x] para demorar a parte interna de x.
>
> Em qua, 27 de nov de 2019 15:30, Caio Costa
> escreveu:
>
>> 10^5([sqrt{2}]-1) ??
>>
>>
>> Em qua., 27 de nov. de 2019 às 13:41, Esdras Muniz <
>> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> 10^5([sqrt{12}]-1)
>>>
>>> Em qua, 27 de nov de 2019 08:57, marcone augusto araújo borges <
>>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>>
>>>> Seja n E N tal que 1 < = n < = 10^10. Quantos números M = 11n + 10^10
>>>> são quadrados perfeitos?
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrados perfeitos
Pensei assim, o 10^10= (10^5)^2 é qp, daí, (10^5+1)^2, (10^5+2)^2, ...,
[Sqrt{12×10^5}] são só quadrados que queremos contar.
Estou usando [x] para demorar a parte interna de x.
Em qua, 27 de nov de 2019 15:30, Caio Costa escreveu:
> 10^5([sqrt{2}]-1) ??
>
>
> Em qua., 27 de nov. de 2019 às 13:41, Esdras Muniz <
> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:
>
>> 10^5([sqrt{12}]-1)
>>
>> Em qua, 27 de nov de 2019 08:57, marcone augusto araújo borges <
>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>
>>> Seja n E N tal que 1 < = n < = 10^10. Quantos números M = 11n + 10^10
>>> são quadrados perfeitos?
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrados perfeitos
10^5([sqrt{2}]-1) ??
Em qua., 27 de nov. de 2019 às 13:41, Esdras Muniz <
esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:
> 10^5([sqrt{12}]-1)
>
> Em qua, 27 de nov de 2019 08:57, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Seja n E N tal que 1 < = n < = 10^10. Quantos números M = 11n + 10^10
>> são quadrados perfeitos?
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrados perfeitos
10^5([sqrt{12}]-1)
Em qua, 27 de nov de 2019 08:57, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
> Seja n E N tal que 1 < = n < = 10^10. Quantos números M = 11n + 10^10
> são quadrados perfeitos?
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Quadrados perfeitos
Seja n E N tal que 1 < = n < = 10^10. Quantos números M = 11n + 10^10 são quadrados perfeitos? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Quadrados perfeitos
Dois quadrados perfeitos são ditos amigáveis se um é obtido a partir do outro acrescentando o dígito 1 à esquerda. Por exemplo, 1225 = 352 e 225 = 152 são amigáveis. Prove que existem infinitos pares de quadrados perfeitos amigáveis e ímpares. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] quadrados perfeitos
A idéia é chegar numa equação de Pell. Começamos com 3x^2 - 2y^2 = 1. Multiplicando por 2: 6x^2 - 4y^2 = 2 Pondo z = 2y: z^2 - 6x^2 = -2 Elevando ao quadrado: (z^2 - 6x^2)^2 = 4 ==> (z^2 + 6x^2)^2 - 24x^2z^2 = 4 (usando o bom e velho (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab) Mas 6x^2 = z^2 + 2 ==> (2z^2 + 2)^2 - 24x^2z^2 = 4 Dividindo por 4: (z^2 + 1)^2 - 6x^2z^2 = 1. Pondo u = xz e v = z^2 + 1, obtemos: ´ v^2 - 6u^2 = 1. Esta nós sabemos resolver. É uma equação de Pell, cujas soluções são obtidas a partir da solução fundamental (u,v) = (2,5), usando-se uma relação de recorrência na linha do que sugeriu o Anderson: u(0) = 2v(0) = 5 u(k+1)*raiz(6) + v(k+1) = (u(k)*raiz(6) + v(k))*(2*raiz(6) + 5) ==> u(k+1) = 5*u(k) + 2*v(k) v(k+1) = 12*u(k) + 5*v(k) As soluções (u,v) são (2,5), (20,49), (198,485), (1960,4801), (19402,47525), ... Agora, u = xz = 2xy e v = z^2 + 1 = 4y^2 + 1 ==> y = raiz(v - 1)/2 e x = u/2y = u/raiz(v - 1) Os (x,y) correspondentes são: k = 0: (2,5) <==> (1,1) k = 2: (198,485) <==> (9,11) k = 4: (19402,47525) <==> (89,109) k = 6: (1901198,4656965) <==> (881,1079) ... Repare que só os (u(k),v(k)) com k par produzem soluções INTEIRAS da equação original. Aqueles com k ímpar também produzem soluções (x,y) de 3x^2 - 2y^2 = 1, mas não são inteiras (nem mesmo racionais). Isso é porque nós passamos de (x,y) (ou (x,z)) para (u,v) através de uma transformação quadrática (u = xz e v = z^2 - 1) Ao fazer isso, nós passamos a admitir que x e z pudessem ser, além de inteiros, irracionais quadráticos tais que xz e z^2 - 1 fossem inteiros. []s, Claudio. 2018-02-15 23:37 GMT-02:00 Anderson Torres <torres.anderson...@gmail.com>: > Em 15 de fevereiro de 2018 22:02, marcone augusto araújo borges > <marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > > Existem infinitos n tais que 2n+1 e 3n+1 são ambos quadrados perfeitos? > > Claudio encontrou n = 3960 > > x^2=2n+1 > y^2=3n+1 > > 3x^2-2y^2=1 > > Usando algum truque, como (x*raiz(3) + y*raiz(2)) * (x*raiz(3) - > y*raiz(2)) = 1, eleva à N-ésima potência e expande, pode-se obter > outras soluções. > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] quadrados perfeitos
Em 15 de fevereiro de 2018 22:02, marcone augusto araújo borges <marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Existem infinitos n tais que 2n+1 e 3n+1 são ambos quadrados perfeitos? > Claudio encontrou n = 3960 x^2=2n+1 y^2=3n+1 3x^2-2y^2=1 Usando algum truque, como (x*raiz(3) + y*raiz(2)) * (x*raiz(3) - y*raiz(2)) = 1, eleva à N-ésima potência e expande, pode-se obter outras soluções. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] quadrados perfeitos
Existem infinitos n tais que 2n+1 e 3n+1 são ambos quadrados perfeitos? Claudio encontrou n = 3960 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] quadrados perfeitos
2n + 1 = a^2 ==> a é ímpar ==> 2n = a^2 - 1 é múltiplo de 8 ==> 2n = 8m ==> n = 4m 3n + 1 = b^2 ==> 12m + 1 = b^2 ==> b é ímpar ==> 12m = b^2 - 1 é múltiplo de 8 ==> 12m = 8k ==> 3m = 2k ==> m é par ==> n = 4m é múltiplo de 8 (i) Agora, precisamos provar que n é múltiplo de 5. 2n + 1 = a^2 3n + 1 = b^2 ==> Somando e subtraindo estas duas equações, obtemos: 5n + 2 = a^2 + b^2 == 2 (mod 5) n = b^2 - a^2 Mas os quadrados mod 5 são 0, 1 e 4. Logo, uma soma de dois quadrados só será congruente a 2 mod 5 se ambos forem congruentes a 1. Ou seja a^2 == b^2 == 1 (mod 5) ==> n = b^2 - a^2 == 0 (mod 5) ==> n é divisível por 5 (ii) (i) e (ii) ==> n é múltiplo de 40. *** Além da solução n = 40, eu achei n = 3960 ==> 2n + 1 = 7921 = 89^2 e 3n + 1 = 11881 = 109^2 []s, Claudio. 2018-02-14 21:57 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com>: > Se 2n+1 e 3n+1 são quadrados perfeitos, então 40 divide n. > Não é dificil mostrar. > Para n = 40, temos 81= 9^2 e 121 = 11^2 > Há outros valores de n tais que 2n +1 e 3n+1 são ambos quadrados? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] quadrados perfeitos
blockquote, div.yahoo_quoted { margin-left: 0 !important; border-left:1px
#715FFA solid !important; padding-left:1ex !important; background-color:white
!important; } Não quero mais receber essas mensagens.
Enviado do Yahoo Mail para iPhone
Em quarta-feira, fevereiro 14, 2018, 9:32 PM, marcone augusto araújo borges
<marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
#yiv2809240828 P {margin-top:0;margin-bottom:0;}Se 2n+1 e 3n+1 são quadrados
perfeitos, então 40 divide n.Não é dificil mostrar.Para n = 40, temos 81= 9^2 e
121 = 11^2Há outros valores de n tais que 2n +1 e 3n+1 são ambos quadrados?
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] quadrados perfeitos
Se 2n+1 e 3n+1 são quadrados perfeitos, então 40 divide n. Não é dificil mostrar. Para n = 40, temos 81= 9^2 e 121 = 11^2 Há outros valores de n tais que 2n +1 e 3n+1 são ambos quadrados? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Infinitos quadrados perfeitos
Suponhamos que um dos termos da PA (a_n) seja um quadrado. Sem perda de generalidade, podemos supor que o próprio a seja um quadrado pefeito,de modo que a = b^2 para um inteiro b = 0. a_n será um quadrado perfeito para os valores de n para os quais a_n = a + n d = b^2 + nd =c^2 para algum inteiro c = 0. Logo, se, e somente se, n = (c^2 - b^2)/d = (c + b)(c - b)/d for inteiro. Existem uma infinidade de inteiros c para os quais c + b seja múltiplo de d. Para cada um destes valores de c, haverá um n para o qual a_n seja um quadrado perfeito. Logo, a Pa terá uma infinidade de quadrados. Artur Em sábado, 8 de agosto de 2015, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Mostre que na sequência a + 0d, a + d, a + 2d, a + 3d,... onde a,d E N, se há um termo quadrado, então há infinitos termos quadrados. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Infinitos quadrados perfeitos
Mostre que na sequência a + 0d, a + d, a + 2d, a + 3d,... onde a,d E N, se há um termo quadrado,então há infinitos termos quadrados. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrados perfeitos
Oi Marconi. Pq qualquer cara depois do 1444 qdo dividido por 4 dá um ímpar do tipo 36111 e esse ímpar pra ser quadrado de um sujeitinho tb ímpar deveria deixar resto 1 qdo dividido por 4. E não deixa, pois 36...110 qdo dividido por 4 deixa resto 2. Abs Nehab Em 15/05/2015 23:47, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Mostre que entre os números da forma 14,144,1444,144...4,... os únicos que são quadrados perfeitos são 144 e 1444 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Quadrados perfeitos
Mostre que entre os números da forma 14,144,1444,144...4,... os únicos que são quadrados perfeitossão 144 e 1444 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Quadrados perfeitos
Determine todos os n tais que n! é quadrado perfeito. Eu diria n = 0 e n = 1.Mas como justificar? Se n é primo, n! não é quadrado perfeito. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrados perfeitos
Os casos 0! e 1! são os únicos exemplos em que um fatorial pode ser um
quadrado perfeito.
Vamos considerar N = 2.
Seja {p_i} (i natural) a sequência dos primos. Vamos usar a seguinte
desigualdade (Chebychev): p_(n+1) 2 * p_(n) para todo n natural.
Seja também j natural tal que p_(j) = N p_(j+1). Assim, vamos ter: p_(j)
= N p_(j+1) 2 * p(j) = (p(j))^2. Podemos reparar, então, que o piso
de (N / p_(j)) = 1 e ainda que o piso de (N / p_(j)^(alpha)) = 0 para todo
alpha = 2.
A fórmula de Polygnac afirma que o expoente de um primo p_(i) qualquer na
expansão de N! é dado por: somatório_{alpha = 1}^{+ infty} piso((N /
p_(i)^(alpha))). No caso do nosso primo p_(j), esse somatório é unitário.
Assim, N! não pode ser um quadrado perfeito.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrados perfeitos
Sim, se n é primo, n! não é quadrado perfeito. Além disto, se n é primo, então n + 1, n + 2 n + n - 1 = 2n - 1 não têm em suas fatorações o fator n. Logo, nas decomposições primas dos fatoriais destes números, n aparece com expoente 1, o que significa que nenhum destes fatoriais é quadrado perfeito. Disto concluimos que se um composto está ente um primo p e 2p, então n! não é quadrado perfeito. Mas todo composto está entre um primo p e 2p. Sendo m um composto, seja p o maior primo menor que m. Segundo um teorema, há um primo p' tal que p p' 2p. Como p é o maior primo menor que m, temos que p m p' 2p, mostrando que m está entre p e 2p. Assim, para nenhum composto n! é quadrado perfeito. E como para n primo também não é, segue-se que n! só é quadrado perfeito para n = 0 ou n = 1. Isto mostra que, para todo n 1, na decomposição de n! em fatores primos, há um p que aparece com expoente 1. Assim, na realidade, para n 1, n! não é potência inteira 1 de nenhum inteiro. Veja se cometi algum engano. Abraços Artur Artur Costa Steiner Em 18/12/2014, às 22:59, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Determine todos os n tais que n! é quadrado perfeito. Eu diria n = 0 e n = 1.Mas como justificar? Se n é primo, n! não é quadrado perfeito. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] quadrados perfeitos
Olá Raul e lista,Tive problemas no recebimento durante alguns dias dos emails da lista. E gostaria saber se alguem postou alguma solução para este problema.Grande abraço,Felipe SardinhaRaul [EMAIL PROTECTED] escreveu: Boa noite! Encontrar todos os números naturais cujos quadrados se escrevem, na base 10, usando apenas algarismos ímpares. Agradeço soluções. Raul Yahoo! Search Dê uma espiadinha e saiba tudo sobre o Big Brother Brasil.
Re: [obm-l] quadrados perfeitos
Esse problema é bastante difícil. Consultando os arquivos, verifiquei que não houve resposta. Vou tentar esboçar alguns caminhos para solução. Primeiro note que oÚLTIMO algarismo do número é impar. Então para algarismos de 1 número temos que --1 --9 são os únicos númerosímpares que satisfazem esse critério. Ao pesquisar algarismos com dois números, verificamos que eles não existem. OU SEJA não existem algarismos de 2 números com quadrado perfeito composto apenas por algarismos ímpares. Vamos tentar entender porque: (10x + y)^2 = 100x^2 + 10xy + y^2 onde x e y são dígitos veja que temos 3 dígitos de modo que para o número ter 2 dígitos temos que x = 0. Neste caso resta apenas y^2. Examinando todos os quadrados perfeitos até 100 descobrimos que não há nenhum número nestas condições. Troque agora x por 10x_1 +x_2 e repita o raciocínio acima. Tentaremos verificar todos os números de 3 dígitos que tem quadrado perfeito composto por ímpares. (10(10x_1 +x_2)+y)^2 = 100(10x_1+x_2)^2 + 10(10x_1 +x_2) + y^2 = 100 (100x_1^2 + 20x_1x_2 + x_2^2) + 100x_1 + 20x_1x_2 +x_2^2 _ y_2^2 = 1000x_1^2 + 2020x_1x_2 + 100x_1 + (x_2^2 + y_2^2) Note que se x_2^2 + y_2^2 for um quadrado perfeito de dois números então tem que ter os dois algarismos ímpares, o que não é possível. Também não podem ser de um número pois a combinação dá par. Então concluímos que x_2^2 + y_2^2 tem 3 números... Não sei se dá para ir adiante com essas idéias. Prefiro deixar as pessoas mais especialistas como Yuzo Shinecriticarem-nas. Ronaldo L . Alonso - Original Message - From: Felipe Sardinha To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, March 21, 2006 12:41 PM Subject: Re: [obm-l] quadrados perfeitos Olá Raul e lista,Tive problemas no recebimento durante alguns dias dos emails da lista. E gostaria saber se alguem postou alguma solução para este problema.Grande abraço,Felipe SardinhaRaul [EMAIL PROTECTED] escreveu: Boa noite! Encontrar todos os números naturais cujos quadrados se escrevem, na base 10, usando apenas algarismos ímpares. Agradeço soluções. Raul Yahoo! SearchDê uma espiadinha e saiba tudo sobre o Big Brother Brasil.
Re: [obm-l] quadrados perfeitos
Pensei na seguinte solução: Para que o algarismo das unidades do quadrado do número seja ímpar, o número deve ser ímpar.Podemosrepresentar qualquer natural ímpar como sendo 10a+b, onde a é natural e b é ímpar entre 1 e 9. (10a + b)^2 = 100a^2 + 20ab + b^2 Vamos verificar a paridade do algarismo da dezena: - veja que o primeiro termo é multiplo de 100, portanto não altera o algarismo da dezena. - veja que o segundo termo é um número par (2ab) multiplicado por 10, logo só pode gerar um algarismo par para dezena. - veja que b^2 é o quadrado de um ímpar entre 1 e 9, logo deve ser:1, 9, 25, 49 ou 81. Assim sendo ele só pode contribiur para dezena adicionando 2, 4 ou 8. Não altera assim o fato da dezena ser par. Concluímos que todo número ímpar elevado ao quadrado possui algarismo da dezena par. Portanto somente há dois números naturais cujos quadrados se escrevem utilizando apenas algarismos ímpares: 1 e 3. Abraços, Raul - Original Message - From: Ronaldo Luiz Alonso To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, March 21, 2006 2:46 PM Subject: Re: [obm-l] quadrados perfeitos Esse problema é bastante difícil. Consultando os arquivos, verifiquei que não houve resposta. Vou tentar esboçar alguns caminhos para solução. Primeiro note que oÚLTIMO algarismo do número é impar. Então para algarismos de 1 número temos que --1 --9 são os únicos númerosímpares que satisfazem esse critério. Ao pesquisar algarismos com dois números, verificamos que eles não existem. OU SEJA não existem algarismos de 2 números com quadrado perfeito composto apenas por algarismos ímpares. Vamos tentar entender porque: (10x + y)^2 = 100x^2 + 10xy + y^2 onde x e y são dígitos veja que temos 3 dígitos de modo que para o número ter 2 dígitos temos que x = 0. Neste caso resta apenas y^2. Examinando todos os quadrados perfeitos até 100 descobrimos que não há nenhum número nestas condições. Troque agora x por 10x_1 +x_2 e repita o raciocínio acima. Tentaremos verificar todos os números de 3 dígitos que tem quadrado perfeito composto por ímpares. (10(10x_1 +x_2)+y)^2 = 100(10x_1+x_2)^2 + 10(10x_1 +x_2) + y^2 = 100 (100x_1^2 + 20x_1x_2 + x_2^2) + 100x_1 + 20x_1x_2 +x_2^2 _ y_2^2 = 1000x_1^2 + 2020x_1x_2 + 100x_1 + (x_2^2 + y_2^2) Note que se x_2^2 + y_2^2 for um quadrado perfeito de dois números então tem que ter os dois algarismos ímpares, o que não é possível. Também não podem ser de um número pois a combinação dá par. Então concluímos que x_2^2 + y_2^2 tem 3 números... Não sei se dá para ir adiante com essas idéias. Prefiro deixar as pessoas mais especialistas como Yuzo Shinecriticarem-nas. Ronaldo L . Alonso - Original Message - From: Felipe Sardinha To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, March 21, 2006 12:41 PM Subject: Re: [obm-l] quadrados perfeitos Olá Raul e lista,Tive problemas no recebimento durante alguns dias dos emails da lista. E gostaria saber se alguem postou alguma solução para este problema.Grande abraço,Felipe SardinhaRaul [EMAIL PROTECTED] escreveu: Boa noite! Encontrar todos os números naturais cujos quadrados se escrevem, na base 10, usando apenas algarismos ímpares. Agradeço soluções. Raul Yahoo! SearchDê uma espiadinha e saiba tudo sobre o Big Brother Brasil. No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.385 / Virus Database: 268.2.6/287 - Release Date: 21/3/2006
[obm-l] quadrados perfeitos
Boa noite! Encontrar todos os números naturais cujos quadrados se escrevem, na base 10, usando apenas algarismos ímpares. Agradeço soluções. Raul
[obm-l] Raiz quadrada e quadrados perfeitos
Prove que se um quadrado perfeito é par então sua raiz quadrada é par e que se um quadrado perfeito é impar sua raiz quadrada é ímpar. Yahoo! Mail - Com 250MB de espaço. Abra sua conta!
Re:[obm-l] Raiz quadrada e quadrados perfeitos
Basta provar que o quadrado de um par é par e o quadrado de um ímpar é ímpar e observar que: 1) n^2 ímpar == nímpar é equivalente a n par == n^2 par e 2) n^2 par == n par é equivalente a n ímpar == n^2 ímpar. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 23 Mar 2005 05:16:36 -0300 (ART) Assunto: [obm-l] Raiz quadrada e quadrados perfeitosProve que se um quadrado perfeito é par então sua raiz quadrada é par e que se um quadrado perfeito é impar sua raiz quadrada é ímpar. Yahoo! Mail - Com 250MB de espaço. Abra sua conta!
Re: [obm-l] Raiz quadrada e quadrados perfeitos
Podemos também fazer da seguinte maneira: Seja 2k o tal quadrado perfeito par. Daí, todos os expoentes dos fatores primos de k são números pares, exceto o expoente do fator 2. Portanto o expoente do 2 não pode ser 0 (o expoente deve ser ímpar) e dever ser um ímpar maior ou igual a 1. Então o número 2k possui certamente o fator 2 elevado a um exponte par. Logo, raiz de 2k também é par. Para um quadrado perfeito ímpar é ainda mais simples, visto que na sua decomposição em fatores primos não pode figurar o fator 2. Um abraço Paulo Cesar On Wed, 23 Mar 2005 07:09:48 -0300, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Basta provar que o quadrado de um par é par e o quadrado de um ímpar é ímpar e observar que: 1) n^2 ímpar == n ímpar é equivalente a n par == n^2 par e 2) n^2 par == n par é equivalente a n ímpar == n^2 ímpar. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Wed, 23 Mar 2005 05:16:36 -0300 (ART) Assunto:[obm-l] Raiz quadrada e quadrados perfeitos Prove que se um quadrado perfeito é par então sua raiz quadrada é par e que se um quadrado perfeito é impar sua raiz quadrada é ímpar. Yahoo! Mail - Com 250MB de espaço. Abra sua conta! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Nao-quadrados perfeitos
Prove que 2^n + 3^n nao eh quadrado perfeito para nenhum inteiro positivo n. 2^n + 3^n é ímpar, logo se x^2 = 2^n + 3^n então x^2 ~ 1 (mod 4). para n = 2, temos que x^2 ~ 3^n (mod 4), logo n é par. seja n = 2r. 2^(2r) + 3^(3r) = x^2 Apenas corrigindo um erro numérico aqui seria 3^(2r) 3^(2r) = (x - 2^r)(x + 2^r) como 3 é primo, devemos ter, para algum inteiro s x - 2^r = 3^s (1) x + 2^r = 3^(2r - s) (2) (1) + (2) : 2x = 3^s + 3^(2r - s) note que s 2r - s e, Até aqui eu saquei, tem como explicar essa parte entre aspas abaixo melhor ? portanto, 3^s divide x mas se s 0 então 2^n = x^2 - 3^n e 3 divide o lado direito, o que é absurdo. se s = 0, então x - 2^r = 1 = x = 2^r + 1 x + 2^r = 2^(r + 1) + 1 3^(2r), absurdo. Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia Elétrica, 2ºano UNESP - Ilha Solteira __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Nao-quadrados perfeitos
3^(2r) = (x - 2^r)(x + 2^r) como 3 é primo, devemos ter, para algum inteiro s x - 2^r = 3^s (1) x + 2^r = 3^(2r - s) (2) (1) + (2) : 2x = 3^s + 3^(2r - s) note que s 2r - s e, Até aqui eu saquei, tem como explicar essa parte entre aspas abaixo melhor ? portanto, 3^s divide x 3^s divide 3^s + 3^(2r - s), pois s 2r - s, então, como divide o lado direito, divide o lado esquerdo (que é 2x), mas 3 é primo e então 3^s divide x. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Nao-quadrados perfeitos
Vamos la! 2^n+3^n=x^2 Se n=1 ou 2, nao da! Modulo 4: 2^n+3^n=0+(-1)^n=x^2. E os quadrados modulo 4 sao 0 e 1. Logo x e impar e n e par. Seja n=2y. 2^(2y)+3^(2y)=x^2 x^2-(2^y)^2=9^y (x-2^y)(x+2^y)=3^2y Logo x-2^y=3^a e x+2^y=3^b, com a+b=2y 2x=x+2^y+x-2^y=3^b-3^a=3^a*(3^(b-a)-1) 2x=3^a*(3^(b-a)-1) E daqui, pelo teorema da fatoraçao, 3^(b-a)-1=2, ou b-a=1 b-a=1, b+a=2y, logo da pau! E fim! E isso? Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Prove que 2^n + 3^n nao eh quadrado perfeito para nenhum inteiro positivo n.[]s,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] Nao-quadrados perfeitos
Prove que 2^n + 3^n nao eh quadrado perfeito para nenhum inteiro positivo n. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Nao-quadrados perfeitos
Claudio Buffara wrote: Prove que 2^n + 3^n nao eh quadrado perfeito para nenhum inteiro positivo n. 2^n + 3^n é ímpar, logo se x^2 = 2^n + 3^n então x^2 ~ 1 (mod 4). para n = 2, temos que x^2 ~ 3^n (mod 4), logo n é par. seja n = 2r. 2^(2r) + 3^(3r) = x^2 3^(2r) = (x - 2^r)(x + 2^r) como 3 é primo, devemos ter, para algum inteiro s x - 2^r = 3^s (1) x + 2^r = 3^(2r - s) (2) (1) + (2) : 2x = 3^s + 3^(2r - s) note que s 2r - s e, portanto, 3^s divide x mas se s 0 então 2^n = x^2 - 3^n e 3 divide o lado direito, o que é absurdo. se s = 0, então x - 2^r = 1 = x = 2^r + 1 x + 2^r = 2^(r + 1) + 1 3^(2r), absurdo. [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] AINDA SOBRE O PROBLEMA DOS QUADRADOS PERFEITOS...
Pessoal, eu consegui provar, não sei se utilizando de argumentos coerentes ou não, que, desde que a e b sejam diferentes de 0,para que (a^2 + b^2) / ab + 1 seja um quadrado perfeito, desde que seja um inteiro, |a| = |b|, mas, se a e b são naturais, então a = b. Bom, gostaria de saber se isso é válido... Dai, o que estava tentando fazer era provar que (2a^2) / (a^2+1) era um quadrado perfeito, desde que fosse um inteiro. Gostaria que desse um contra-exemplo ou pusessem a posição a respeito. Se vcs quiserem, eu mostro como eu cheguei a esta conclusão... Um abração Alan PellejeroAugusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu estou senil ou esse problema passou pela lista na semana passada e teve uma linda solução apresentada por alguem (Claudio? Dirichlet?)? Morgado==Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.brTel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331 Fax: (21) 2295-2978Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online-- Original Message ---From: Cesar Gomes Miguel <[EMAIL PROTECTED]>To: [EMAIL PROTECTED]Sent: Mon, 19 Apr 2004 17:56:57 -0300Subject: Re: [obm-l] PROBLEMA DOS QUADRADOS PERFEITOS Olah Allan, A solução para esse problema vc pode encontrar nesse link: www.linux.ime.usp.br/~adriano []'s Cesar Citando Alan Pellejero <[EMAIL PROTECTED]>: Olá companheiros da lista, pessoal, eu achei esse problema num site ai que estavam divulgando aqui na lista: Prove que se a e b pertencem aos naturais, e se (a^2 + b^2) / (ab+1) for inteiro, então será um quadrado perfeito. Pessoal, eu não consegui resolver inteirofiz algumas coisas e travei. Vou tentar terminá-lo, mas enquanto isso, fico aguardando a resolução ou a sugestão de vocês. Caso eu consiga - ou não, estarei disponibilizando a minha idéia para críticas e/ou sugestões e até mesmo para verificar se ela é válida. Espero a colaboração de vocês, um abração Alan Pellejero = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =--- End of Original Message ---=Instruções para entrar na lista, ssair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=r/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] AINDA SOBRE O PROBLEMA DOS QUADRADOS PERFEITOS...
Title: Re: [obm-l] AINDA SOBRE O PROBLEMA DOS QUADRADOS PERFEITOS... on 20.04.04 11:36, Alan Pellejero at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, eu consegui provar, não sei se utilizando de argumentos coerentes ou não, que, desde que a e b sejam diferentes de 0, para que (a^2 + b^2) / ab + 1 seja um quadrado perfeito, desde que seja um inteiro, |a| = |b|, mas, se a e b são naturais, então a = b. Bom, gostaria de saber se isso é válido... Dai, o que estava tentando fazer era provar que (2a^2) / (a^2+1) era um quadrado perfeito, desde que fosse um inteiro. Gostaria que desse um contra-exemplo ou pusessem a posição a respeito. Se vcs quiserem, eu mostro como eu cheguei a esta conclusão... Um abração Alan Pellejero Oi, Alan: Repare que 2a^2/(a^2 + 1) = 2 - 2/(a^2 + 1) e isso soh eh inteiro quando a^2 +1 divide 2, ou seja, quando a^2 + 1 = 1 ou 2 == a = 0 ou 1. Se excluirmos o caso a = 0, entao soh sobra a = 1 == 2a^2/(a^2 + 1) = 1 = 1^2. Assim, o que podemos afirmar eh que se a = b 0, entao: (a^2 + b^2)/(1 + ab) eh inteiro == (a^2 + b^2)/(1 + ab) = 1 == (a^2 + b^2)/(1 + ab) eh quadrado perfeito. No entanto, existem outros casos onde (a^2 + b^2)/(1 + ab) eh inteiro (e quadrado perfeito) com a b. Por exemplo, tome a = n^3 e b = n, com n um natural qualquer. []s, Claudio.
Re: [obm-l] AINDA SOBRE O PROBLEMA DOS QUADRADOS PERFEITOS...
nao, o Morgado nao esta louco!Eu mandei uma soluçao com um supercomentario da sua historia (talvez o Tio Ed tenha mais detalhes.Alias em se falando de historia de IMOs esse cara e uma enciclopedia ambulante!) --- Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED] escreveu: Pessoal, eu consegui provar, não sei se utilizando de argumentos coerentes ou não, que, desde que a e b sejam diferentes de 0, para que (a^2 + b^2) / ab + 1 seja um quadrado perfeito, desde que seja um inteiro, |a| = |b|, mas, se a e b são naturais, então a = b. Bom, gostaria de saber se isso é válido... Dai, o que estava tentando fazer era provar que (2a^2) / (a^2+1) era um quadrado perfeito, desde que fosse um inteiro. Gostaria que desse um contra-exemplo ou pusessem a posição a respeito. Se vcs quiserem, eu mostro como eu cheguei a esta conclusão... Um abração Alan Pellejero Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu estou senil ou esse problema passou pela lista na semana passada e teve uma linda solução apresentada por alguem (Claudio? Dirichlet?)? Morgado == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331 Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Cesar Gomes Miguel To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Mon, 19 Apr 2004 17:56:57 -0300 Subject: Re: [obm-l] PROBLEMA DOS QUADRADOS PERFEITOS Olah Allan, A solução para esse problema vc pode encontrar nesse link: www.linux.ime.usp.br/~adriano []'s Cesar Citando Alan Pellejero : Olá companheiros da lista, pessoal, eu achei esse problema num site ai que estavam divulgando aqui na lista: Prove que se a e b pertencem aos naturais, e se (a^2 + b^2) / (ab+1) for inteiro, então será um quadrado perfeito. Pessoal, eu não consegui resolver inteirofiz algumas coisas e travei. Vou tentar terminá-lo, mas enquanto isso, fico aguardando a resolução ou a sugestão de vocês. Caso eu consiga - ou não, estarei disponibilizando a minha idéia para críticas e/ou sugestões e até mesmo para verificar se ela é válida. Espero a colaboração de vocês, um abração Alan Pellejero = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =r/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) __ Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] AINDA SOBRE O PROBLEMA DOS QUADRADOS PERFEITOS...
pessoal, eu provei que para isso ser verdade, sendo a e b 0, a = b, conforme eu disse no e-mail anterior... Minha prova é a seguinte, por favor, analisem se esta é verdadeira Um inteiro é da forma p/q, q0, p e q inteiros e p sendo múltiplo de q (mdc entrea e b é 1). (a^2 + b^2) / (ab + 1) = p/q então a^2 = p - b^2 a = (q - 1) / b = a^2 = (q - 1)^2/b^2 Portanto, p - b^2 = (q - 1)^2/b^2 = p = [(q - 1)^2/b^2] + b^2 da mesma maneira, p = [(q - 1)^2/a^2] + a^2 então, tem-se que a^2 = b^2 sendo a e b naturais, a = b Então teríamos o seguinte: Prove que, sendo inteiro, 2a^2/(a^2 + 1) é um quadrado perfeito... Foi ai que eu travei... Eu tentei frações parciais e nada, tentei provar que isso era a soma dos n primeiro números ímpares, de acordo com a teoria pitagórica de números e tal...mas nada! Então, digam se eu errei nessa demonstração, pois é ela que me está dando suporte para provar... Pessoal, avaliem o que eu fiz, por favor, inclusive dizendo onde e por qual motivo eu errei ou acertei... Muito obrigado!!! Um abração Alan Pellejero Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 20.04.04 11:36, Alan Pellejero at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, eu consegui provar, não sei se utilizando de argumentos coerentes ou não, que, desde que a e b sejam diferentes de 0, para que (a^2 + b^2) / ab + 1 seja um quadrado perfeito, desde que seja um inteiro, |a| = |b|, mas, se a e b são naturais, então a = b.Bom, gostaria de saber se isso é válido...Dai, o que estava tentando fazer era provar que (2a^2) / (a^2+1) era um quadrado perfeito, desde que fosse um inteiro.Gostaria que desse um contra-exemplo ou pusessem a posição a respeito.Se vcs quiserem, eu mostro como eu cheguei a esta conclusão...Um abraçãoAlan PellejeroOi, Alan:Repare que 2a^2/(a^2 + 1) = 2 - 2/(a^2 + 1) e isso soh eh inteiro quando a^2 +1 divide 2, ou seja, quando a^2 + 1 = 1 ou 2 == a = 0 ou 1.Se excluirmos o caso a = 0, entao soh sobra a = 1 ==2a^2/(a^2 + 1) = 1 = 1^2.Assim, o que podemos afirmar eh que se a = b 0, entao:(a^2 + b^2)/(1 + ab) eh inteiro == (a^2 + b^2)/(1 + ab) = 1 == (a^2 + b^2)/(1 + ab) eh quadrado perfeito.No entanto, existem outros casos onde (a^2 + b^2)/(1 + ab) eh inteiro (e quadrado perfeito) com a b. Por exemplo, tome a = n^3 e b = n, com n um natural qualquer.[]s,Claudio.Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] AINDA SOBRE O PROBLEMA DOS QUADRADOS PERFEITOS...
Title: Re: [obm-l] AINDA SOBRE O PROBLEMA DOS QUADRADOS PERFEITOS... on 20.04.04 18:35, Alan Pellejero at [EMAIL PROTECTED] wrote: pessoal, eu provei que para isso ser verdade, sendo a e b 0, a = b, conforme eu disse no e-mail anterior... Minha prova é a seguinte, por favor, analisem se esta é verdadeira Um inteiro é da forma p/q, q0, p e q inteiros e p sendo múltiplo de q (mdc entre a e b é 1). (a^2 + b^2) / (ab + 1) = p/q então a^2 = p - b^2 a = (q - 1) / b = a^2 = (q - 1)^2/b^2 Portanto, p - b^2 = (q - 1)^2/b^2 = p = [(q - 1)^2/b^2] + b^2 da mesma maneira, p = [(q - 1)^2/a^2] + a^2 * O ERRO ESTAH AQUI * [(q - 1)^2/b^2] + b^2 = [(q - 1)^2/a^2] + a^2 nao implica necessariamente que a^2 = b^2. Por exemplo, tome a = 8, b = 2 e q = 17. *** então, tem-se que a^2 = b^2 sendo a e b naturais, a = b Então teríamos o seguinte: Prove que, sendo inteiro, 2a^2/(a^2 + 1) é um quadrado perfeito... Foi ai que eu travei... Eu tentei frações parciais e nada, tentei provar que isso era a soma dos n primeiro números ímpares, de acordo com a teoria pitagórica de números e tal...mas nada! Então, digam se eu errei nessa demonstração, pois é ela que me está dando suporte para provar... Pessoal, avaliem o que eu fiz, por favor, inclusive dizendo onde e por qual motivo eu errei ou acertei... Muito obrigado!!! Um abração Alan Pellejero Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 20.04.04 11:36, Alan Pellejero at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, eu consegui provar, não sei se utilizando de argumentos coerentes ou não, que, desde que a e b sejam diferentes de 0, para que (a^2 + b^2) / ab + 1 seja um quadrado perfeito, desde que seja um inteiro, |a| = |b|, mas, se a e b são naturais, então a = b. Bom, gostaria de saber se isso é válido... Dai, o que estava tentando fazer era provar que (2a^2) / (a^2+1) era um quadrado perfeito, desde que fosse um inteiro. Gostaria que desse um contra-exemplo ou pusessem a posição a respeito. Se vcs quiserem, eu mostro como eu cheguei a esta conclusão... Um abração Alan Pellejero Oi, Alan: Repare que 2a^2/(a^2 + 1) = 2 - 2/(a^2 + 1) e isso soh eh inteiro quando a^2 +1 divide 2, ou seja, quando a^2 + 1 = 1 ou 2 == a = 0 ou 1. Se excluirmos o caso a = 0, entao soh sobra a = 1 == 2a^2/(a^2 + 1) = 1 = 1^2. Assim, o que podemos afirmar eh que se a = b 0, entao: (a^2 + b^2)/(1 + ab) eh inteiro == (a^2 + b^2)/(1 + ab) = 1 == (a^2 + b^2)/(1 + ab) eh quadrado perfeito. No entanto, existem outros casos onde (a^2 + b^2)/(1 + ab) eh inteiro (e quadrado perfeito) com a b. Por exemplo, tome a = n^3 e b = n, com n um natural qualquer. []s, Claudio. Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
RES: [obm-l] AINDA SOBRE O PROBLEMA DOS QUADRADOS PERFEITOS...
Este é o Problema 6 da Olimpíada Internacional de Matemática de 1988 da Austrália... Difícil, mas belíssimo... A conclusão de que a=b está errada; você chegou a uma expressão do tipo "p=x+K/x=y+K/y" e concluiu que "x=y" -- é falso, poderia ser x=K/y, que, aliás, é exatamente o caso (x=a^2; y=b^2 e K=(q-1)^2). Aliás,como o Buffara citou, você não vai conseguir mostrar que a=b, já que a=b^3 sempre faz com que (a^2+b^2)/(ab+1) seja inteiro. E não é só isso: há outras soluções ainda mais esquisitas, como por exemplo a=8 e b=30... Experimente: a^2+b^2=964, ab+1=241, dividindo dá 4 -- quadrado perfeito. Abraço, Ralph -Mensagem original-De: Alan Pellejero [mailto:[EMAIL PROTECTED]Enviada em: terça-feira, 20 de abril de 2004 18:36Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: Re: [obm-l] AINDA SOBRE O PROBLEMA DOS QUADRADOS PERFEITOS... pessoal, eu provei que para isso ser verdade, sendo a e b 0, a = b, conforme eu disse no e-mail anterior... Minha prova é a seguinte, por favor, analisem se esta é verdadeira Um inteiro é da forma p/q, q0, p e q inteiros e p sendo múltiplo de q (mdc entrea e b é 1). (a^2 + b^2) / (ab + 1) = p/q então a^2 = p - b^2 a = (q - 1) / b = a^2 = (q - 1)^2/b^2 Portanto, p - b^2 = (q - 1)^2/b^2 = p = [(q - 1)^2/b^2] + b^2 da mesma maneira, p = [(q - 1)^2/a^2] + a^2 então, tem-se que a^2 = b^2 sendo a e b naturais, a = b Então teríamos o seguinte: Prove que, sendo inteiro, 2a^2/(a^2 + 1) é um quadrado perfeito... Foi ai que eu travei... Eu tentei frações parciais e nada, tentei provar que isso era a soma dos n primeiro números ímpares, de acordo com a teoria pitagórica de números e tal...mas nada! Então, digam se eu errei nessa demonstração, pois é ela que me está dando suporte para provar... Pessoal, avaliem o que eu fiz, por favor, inclusive dizendo onde e por qual motivo eu errei ou acertei... Muito obrigado!!! Um abração Alan Pellejero Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 20.04.04 11:36, Alan Pellejero at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, eu consegui provar, não sei se utilizando de argumentos coerentes ou não, que, desde que a e b sejam diferentes de 0, para que (a^2 + b^2) / ab + 1 seja um quadrado perfeito, desde que seja um inteiro, |a| = |b|, mas, se a e b são naturais, então a = b.Bom, gostaria de saber se isso é válido...Dai, o que estava tentando fazer era provar que (2a^2) / (a^2+1) era um quadrado perfeito, desde que fosse um inteiro.Gostaria que desse um contra-exemplo ou pusessem a posição a respeito.Se vcs quiserem, eu mostro como eu cheguei a esta conclusão...Um abraçãoAlan PellejeroOi, Alan:Repare que 2a^2/(a^2 + 1) = 2 - 2/(a^2 + 1) e isso soh eh inteiro quando a^2 +1 divide 2, ou seja, quando a^2 + 1 = 1 ou 2 == a = 0 ou 1.Se excluirmos o caso a = 0, entao soh sobra a = 1 ==2a^2/(a^2 + 1) = 1 = 1^2.Assim, o que podemos afirmar eh que se a = b 0, entao:(a^2 + b^2)/(1 + ab) eh inteiro == (a^2 + b^2)/(1 + ab) = 1 == (a^2 + b^2)/(1 + ab) eh quadrado perfeito.No entanto, existem outros casos onde (a^2 + b^2)/(1 + ab) eh inteiro (e quadrado perfeito) com a b. Por exemplo, tome a = n^3 e b = n, com n um natural qualquer.[]s,Claudio. Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: RES: [obm-l] AINDA SOBRE O PROBLEMA DOS QUADRADOS PERFEITOS...
Hum..tenho quer rever meus conceitos! Cláudioe Ralph, muito obrigado! Abração Alan PellejeroRalph Teixeira [EMAIL PROTECTED] wrote: Este é o Problema 6 da Olimpíada Internacional de Matemática de 1988 da Austrália... Difícil, mas belíssimo... A conclusão de que a=b está errada; você chegou a uma expressão do tipo "p=x+K/x=y+K/y" e concluiu que "x=y" -- é falso, poderia ser x=K/y, que, aliás, é exatamente o caso (x=a^2; y=b^2 e K=(q-1)^2). Aliás,como o Buffara citou, você não vai conseguir mostrar que a=b, já que a=b^3 sempre faz com que (a^2+b^2)/(ab+1) seja inteiro. E não é só isso: há outras soluções ainda mais esquisitas, como por exemplo a=8 e b=30... Experimente: a^2+b^2=964, ab+1=241, dividindo dá 4 -- quadrado perfeito. Abraço, Ralph -Mensagem original-De: Alan Pellejero [mailto:[EMAIL PROTECTED]Enviada em: terça-feira,, 20 de abril de 2004 18:36Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: Re: [obm-l] AINDA SOBRE O PROBLEMA DOS QUADRADOS PERFEITOS... pessoal, eu provei que para isso ser verdade, sendo a e b 0, a = b, conforme eu disse no e-mail anterior... Minha prova é a seguinte, por favor, analisem se esta é verdadeira Um inteiro é da forma p/q, q0, p e q inteiros e p sendo múltiplo de q (mdc entrea e b é 1). (a^2 + b^2) / (ab + 1) = p/q então a^2 = p - b^2 a = (q - 1) / b = a^2 = (q - 1)^2/b^2 Portanto, p - b^2 = (q - 1)^2/b^2 = p = [(q - 1)^2/b^2] + b^2 da mesma maneira, p = [(q - 1)^2/a^2] + a^2 então, tem-se que a^2 = b^2 sendo a e b naturais, a = b Então teríamos o seguinte: Prove que, sendo inteiro, 2a^2/(a^2 + 1) é um quadrado perfeito... Foi ai que eu travei... Eu tentei frações parciais e nada, tentei provar que isso era a soma dos n primeiro números ímpares, de acordo com a teoria pitagórica de números e tal...mas nada! Então, digam se eu errei nessa demonstração, pois é ela que me está dando suporte para provar... Pessoal, avaliem o que eu fiz, por favor, inclusive dizendo onde e por qual motivo eu errei ou acertei... Muito obrigado!!! Um abração Alan Pellejero Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 20.04.04 11:36, Alan Pellejero at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, eu consegui provar, não sei se utilizando de argumentos coerentes ou não, que, desde que a e b sejam diferentes de 0, para que (a^2 + b^2) / ab + 1 seja um quadrado perfeito, desde que seja um inteiro, |a| = |b|, mas, se a e b são naturais, então a = b.Bom, gostaria de saber se isso é válido...Dai, o que estava tentando fazer era provar que (2a^2) / (a^2+1) era um quadrado perfeito, desde que fosse um inteiro.Gostaria que desse um contra-exemplo ou pusessem a posição a respeito.Se vcs quiserem, eu mostro como eu cheguei a esta conclusão...Um abraçãoAlan PellejeroOi, Alan:Repare que 2a^2/(a^2 + 1) = 2 - 2/(a^2 + 1) e isso soh eh inteiro quando a^2 +1 divide 2, ou seja, quando a^2 + 1 = 1 ou 2 == a = 0 ou 1.Se excluirmos o caso a = 0, entao soh sobra a = 1 ==2a^2/(a^2 + 1) = 1 = 1^2.Assim, o que podemos afirmar eh que se a = b 0, entao:(a^2 + b^2)/(1 + ab) eh inteiro == (a^2 + b^2)/(1 + ab) = 1 == (a^2 + b^2)/(1 + ab) eh quadrado perfeito.No entanto, existem outros casos onde (a^2 + b^2)/(1 + ab) eh inteiro (e quadrado perfeito) com a b. Por exemplo, tome a = n^3 e b = n, com n um natural qualquer.[]s,Claudio. Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
[obm-l] PROBLEMA DOS QUADRADOS PERFEITOS
DIVOlá companheiros da lista,/DIV DIVpessoal, eu achei esse problema num site ai que estavam divulgando aqui na lista:/DIV DIVnbsp;/DIV DIVProve que se a e b pertencem aos naturais, e se/DIV DIVnbsp;/DIV DIV(a^2 + b^2) / (ab+1) for inteiro, então será um quadrado perfeito./DIV DIVnbsp;/DIV DIVPessoal, eu não consegui resolver inteirofiz algumas coisas e travei./DIV DIVVou tentar terminá-lo, mas enquanto isso, fico aguardando a resolução ou a sugestão de vocês./DIV DIVCaso eu consiga - ou não, estarei disponibilizando a minha idéia para críticas e/ou sugestões e até mesmo para verificar se ela é válida./DIV DIVEspero a colaboração de vocês, /DIV DIVum abração/DIV DIVAlan Pellejero/DIV __ Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PROBLEMA DOS QUADRADOS PERFEITOS
Olah Allan, A solução para esse problema vc pode encontrar nesse link: www.linux.ime.usp.br/~adriano []'s Cesar Citando Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED]: Olá companheiros da lista,/DIV pessoal, eu achei esse problema num site ai que estavam divulgando aqui na lista:/DIV Prove que se a e b pertencem aos naturais, e se (a^2 + b^2) / (ab+1) for inteiro, então será um quadrado perfeito. Pessoal, eu não consegui resolver inteirofiz algumas coisas e travei. Vou tentar terminá-lo, mas enquanto isso, fico aguardando a resolução ou a sugestão de vocês. Caso eu consiga - ou não, estarei disponibilizando a minha idéia para críticas e/ou sugestões e até mesmo para verificar se ela é válida. Espero a colaboração de vocês, um abração Alan Pellejero = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PROBLEMA DOS QUADRADOS PERFEITOS
Eu estou senil ou esse problema passou pela lista na semana passada e teve uma linda solução apresentada por alguem (Claudio? Dirichlet?)? Morgado == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Cesar Gomes Miguel [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Mon, 19 Apr 2004 17:56:57 -0300 Subject: Re: [obm-l] PROBLEMA DOS QUADRADOS PERFEITOS Olah Allan, A solução para esse problema vc pode encontrar nesse link: www.linux.ime.usp.br/~adriano []'s Cesar Citando Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED]: Olá companheiros da lista,/DIV pessoal, eu achei esse problema num site ai que estavam divulgando aqui na lista:/DIV Prove que se a e b pertencem aos naturais, e se (a^2 + b^2) / (ab+1) for inteiro, então será um quadrado perfeito. Pessoal, eu não consegui resolver inteirofiz algumas coisas e travei. Vou tentar terminá-lo, mas enquanto isso, fico aguardando a resolução ou a sugestão de vocês. Caso eu consiga - ou não, estarei disponibilizando a minha idéia para críticas e/ou sugestões e até mesmo para verificar se ela é válida. Espero a colaboração de vocês, um abração Alan Pellejero = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] inteiros e quadrados perfeitos...
Este problema e muito legal!!! Este foi o problema 6 da IMO de Canberra, Australia.Me contaram uma historia que era mais ou menos assim... Estavam para escolher esse problema para ser o 6.So que ninguem tinha uma soluçao decente.Foram chamados os melhores especialistas em teoria dos numeros para fazer esse.Eles demoraram um tempo consideravel (bem mais que o medio de uma questao da IMO).Foi votada a entrada do problema na prova.Onze alunos fecharam esse.Vamos a uma soluçao! Escreva a^2+b^2=k*ab+k, com k fixo. Temos a^2+(-k*b)*a+(b^2-k)=0 Entao se (a;b) e uma resposta ao nosso problema entao (kb-a;b) tambem e.Por simetria considere A=B0 a soluçao(A;B)com A+B minimo.Entao (kB-A;B)seria soluçao se A+B=kB-A+B sse 2A=kB, e escrevendo o k como a divisao, apos umas contas voce chega em BA^2+2A=B^3 .Mas isto e falso porque A^2*B+2A=B^2B+2BB^3.Logo (kB-A;B) nao e soluçao, e assim kB-A0 sse kB=A-1 sse A=B^3+AB+1.Veja que essa desigualdade nao vale se B=1.Logo B=0.Portanto e imediato que k e quadrado perfeito (de raiz quadrada A, alias!). E fim!! Ass.Johann niski [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu não sei fazer. Alguem sabe? Como?Mostre que dados a,b números naturais então se (a^2 + b^2)/(ab+1) é um numero inteiro, então tambem é um quadrado perfeitoobrigado-- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski[upon losing the use of his right eye]"Now I will have less distrraction"Leonhard Euler=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
[obm-l] inteiros e quadrados perfeitos...
Eu não sei fazer. Alguem sabe? Como? Mostre que dados a,b números naturais então se (a2 + b2)/(ab+1) é um numero inteiro, então tambem é um quadrado perfeito obrigado -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] inteiros e quadrados perfeitos...
Dê uma olhada em: http://www.kalva.demon.co.uk/imo/imo88.html É o problema B3. []s, Claudio. - Original Message - From: niski [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, April 12, 2004 1:54 PM Subject: [obm-l] inteiros e quadrados perfeitos... Eu não sei fazer. Alguem sabe? Como? Mostre que dados a,b números naturais então se (a2 + b2)/(ab+1) é um numero inteiro, então tambem é um quadrado perfeito obrigado -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] [niv-3] Quadrados perfeitos
Olá colegas da lista obm-l! Determinar o conjunto de números inteiros positivos que satisfazem à duas condições: (i) todo número possui exatamente dois algarismos não-nulos, sendo um deles o três(3), (ii) todo número é quadrado perfeito. Boa sorte! Duda.
Re: [obm-l] quadrados perfeitos(o que e Ferrari?)
Mas que e Ferrari alem de um carro de luxo?Se for aquele de quarto grau acho que nao da pois nem sempre e garantia de soluçoes bonitinhas. Wagner [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola para todos! Seja a^2+4b = (a+c)^2 = a^2+2ac+c^2 = b = (c^2+2ac)/4 = b^2+4a = (c^4 + 4a(c^3) + 4(a^2)(c^2) + 64a)/16 ( I). Logo os valores de (a,b) válidos são os que satisfazem (a+c) inteiro e (c^4 + 4a(c^3) + 4(a^2)(c^2) + 64a) quadrado perfeito. É necessário decompor ( I ) em fatores de 1º grau, o que pode ser feito pelo método de Ferrari e a partir desses fatores, fazer novas deduções. André T. - Original Message - From: Marcelo Souza To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, November 29, 2002 2:26 PM Subject: [obm-l] quadrados perfeitos 1. Para quais valores de (a,b), temos que (a^2+4b) e (b^2+4a) são ao mesmo tempo quadrados perfeitos? valeu []'s, Marcelo MSN 8 helps ELIMINATE E-MAIL VIRUSES. Get 2 months FREE*. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida, grátis e fácil. Faça o download do discador agora mesmo.
Re: [obm-l] quadrados perfeitos
Olá , Esta questão é de uma Olimpíada Asiática de 99 e cuja solução se encontra em http://www.kalva.demon.co.uk/apmo/asoln/asol994.html []´s Carlos Victor At 15:00 1/12/2002 -0200, Wagner wrote: Oi pessoal ! Não consegui chegar a uma resposta, mas consegui perceber alguns detalhes que ajudam a reduzir as possibilidades de valores para (a,b). Primeiro temos que (a,b) devem ser inteiros e que se um nº for impar, o outro será par não divisível por 4, logo se |a|,|b| 2 implica que a e b não podem ser simultaneamente primos. Também percebi que se para (a,b) temos (a^2+4b) e (b^2+4a) quadrados perfeitos, não temos isso para (ax,bx), x inteiro diferente de 1,0 ou -1. André T. - Original Message - From: Marcelo Souza To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, November 29, 2002 2:26 PM Subject: [obm-l] quadrados perfeitos 1. Para quais valores de (a,b), temos que (a^2+4b) e (b^2+4a) são ao mesmo tempo quadrados perfeitos? valeu []'s, Marcelo MSN 8 helps ELIMINATE E-MAIL VIRUSES. Get 2 months FREE*. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é =
Re: [obm-l] quadrados perfeitos
Ola para todos! Seja a^2+4b = (a+c)^2 = a^2+2ac+c^2 = b = (c^2+2ac)/4 = b^2+4a = (c^4 + 4a(c^3) + 4(a^2)(c^2) + 64a)/16 ( I). Logo os valores de (a,b) válidos são os que satisfazem (a+c) inteiro e (c^4 + 4a(c^3) + 4(a^2)(c^2) + 64a) quadrado perfeito. É necessário decompor ( I ) em fatores de 1º grau, o que pode ser feito pelo método de Ferrari e a partir desses fatores, fazer novas deduções. André T. - Original Message - From: Marcelo Souza To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, November 29, 2002 2:26 PM Subject: [obm-l] quadrados perfeitos 1. Para quais valores de (a,b), temos que (a^2+4b) e (b^2+4a) são ao mesmo tempo quadrados perfeitos? valeu []'s, Marcelo MSN 8 helps ELIMINATE E-MAIL VIRUSES. Get 2 months FREE*. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=
[obm-l] quadrados perfeitos
1. Para quais valores de (a,b), temos que (a^2+4b) e (b^2+4a) são ao mesmo tempo quadrados perfeitos? valeu []'s, MarceloMSN 8 helps ELIMINATE E-MAIL VIRUSES. Get 2 months FREE*. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] quadrados perfeitos
Sauda,c~oes,
Tive problemas para enviar esta mensagem.
Mando-a em separado e junto com a outra
do assunto original em reply.
Este problema caiu no 61o Concurso Putnam.Acho que
corresponde ao ano 2000.
Não me lembrava mais que o prof. Rousseau havia memandado
a solução deste problema.
Aí vai ela:
SIXTY-FIRST ANNUALWILLIAM LOWELL PUTNAM
COMPETITION
{\bf Probem A2.} Prove that there exist infinitely many
integers
$n$ such that $n, n+1$, and $n+2$ are each the sum of two
squares.
Example: $0 = 0^2 + 0^2; 1 = 0^2 + 1^2; 2 = 1^2 +
1^2.
{\bf Solution.} For completeness, we first prove the
following
well-known fact.
{\sc Lemma.} If $m$ and $n$ are each the sum of two squares,
then
so is $mn$. More generally, if $m_1, m_2, \ldots, m_k$ are
each
the sum of two squares, then so is $m_1m_2\cdots
m_k$.
\begin{proof} Suppose $m = a^2 + b^2$ and $n = c^2 +
d^2$.
Then
\[
mn =(ac - bd)^2 + (ad + bc)^2.
\]
Having proved the result for $k = 2$, the general result
follows
by an obvious use of mathematical induction.
\end{proof}
Suppose $k$ and $k+1$ are each the sum of two squares, and
set
$n = (2k+1)^2 - 1 = 4k(k+1)$.
Since $4 = 2^2 + 0^2$, $k$, and $k+1$ are
each the sum of two squares, the lemma shows
that $n$ is the sum of two squares. Also
$n+1 = (2k+1)^2 + 0^2$ and
$n+2 =(2k+1)^2 + 1^2$ are each the
sum of two squares. Clearly $n k$.
The fact that there are infinitely many triples $(n,n+1,n+2)$ where each member is
the sum of two squares follows inductively.
[]'s
Luís
Re: [obm-l] quadrados perfeitos
Alguém poderia me ajudar nessa kestão: Prove q existem infinitos numeros naturais x,x+1,x+2 (3 numeros consecutivos) tais q cada um é a soma de dois quadrados perfeitos. ex: 0²+0²=0 0²+1²=1 1²+1²=2. até agora eu só consegui provar q x é multiplo de 4... alguém pode pode ajudar? Umasolução para essa questão foi publicada em Fortaleza na Coluna Olimpíada de Matemática do Jornal O Povo:
Re: [obm-l] quadrados perfeitos
a figura nao chegou aki... - Original Message - From: Paulo Jose B. G. Rodrigues To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, March 13, 2002 8:57 AM Subject: Re: [obm-l] quadrados perfeitos Alguém poderia me ajudar nessa kestão: Prove q existem infinitos numeros naturais x,x+1,x+2 (3 numeros consecutivos) tais q cada um é a soma de dois quadrados perfeitos. ex: 0²+0²=0 0²+1²=1 1²+1²=2. até agora eu só consegui provar q x é multiplo de 4... alguém pode pode ajudar? Umasolução para essa questão foi publicada em Fortaleza na Coluna Olimpíada de Matemática do Jornal O Povo:
[obm-l] quadrados perfeitos
Alguém poderia me ajudar nessa kestão: Prove q existem infinitos numeros naturais x,x+1,x+2 (3 numeros consecutivos) tais q cada um é a soma de dois quadrados perfeitos. ex: 0²+0²=0 0²+1²=1 1²+1²=2. até agora eu só consegui provar q x é multiplo de 4... alguém pode pode ajudar? []´s hugo
Re: Quadrados perfeitos...
Se nenhuma das maneiras já citadas pelos colegas da lista funcionar, tente
esta(não tenho certeza se está certa, corrijam-me se estiver errada):
Vejamos se 119484 tem raiz(quadrada) exata:
1)dividimos o numero da direita para a esquerda em grupos de 2:
11 94 84 (espaço destinado a raiz)
2)calculamos a raiz inteira da primeira dupla de numeros, a escrevemos no
espaço e subtraimos dessa dupla a raiz:
11 94 84 (3 )
- 9
= 2
3)baixamos a segunda dupla
11 94 84
- 9
= 294
4)multiplicamos o numero que está no espaço, no caso 3, por 2 e achamos o
maior natural x10 tal que 6x.x=(10.2.3+x)x que possa ser subtraido de 294.
Colocamos esse x na raiz
11 94 84(34 )
-9
=294
-256 256=64.4
=28
5)continuamos esse processo até acabarem-se as duplas de numeros.Se na
ultima subtração não houver resto, o numero é quadrado perfeito.Se tiver
resto, não é.
ps:vemos que 119484 não tem raiz, e a raiz de 14641 é 121
_
From: Fernando Henrique Ferraz [EMAIL PROTECTED]
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To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Quadrados perfeitos...
Date: Sat, 27 Oct 2001 15:26:35 -0200
Vi esse exercício numa prova de vestibular desse ano,
28. Qual dos números seguintes é quadrado perfeito?
a) 745328
b) 9015743
c) 6259832
d) 9761387
e) 14641
O jeito mais óbvio parece fatorar um a um.. mas é muito braçal e leva muito
tempo. Existe alguma regra que indique se o número é quadrado perfeito ou
não?
Um amigo sugeriu que a soma dos algarismos que compõe um quadrado perfeito
dá outro quadrado perfeito... mas nem sempre é válida...
funciona para 121 ... 1 + 1 + 2 = 4
Mas não para 256.. = 13
(curiosamente dá certo no 14641)
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RE: Quadrados perfeitos...
ajuda saber que quadrados perfeitos terminam em 0, 1, 4, 5, 6, 9? Fatore só os que
terminarem nestes números...
Eduardo Grasser
--
De: Fernando Henrique Ferraz[SMTP:[EMAIL PROTECTED]]
Enviada em: Sábado, 27 de Outubro de 2001 15:26
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto:Quadrados perfeitos...
Vi esse exercício numa prova de vestibular desse ano,
28. Qual dos números seguintes é quadrado perfeito?
a) 745328
b) 9015743
c) 6259832
d) 9761387
e) 14641
O jeito mais óbvio parece fatorar um a um.. mas é muito braçal e leva muito
tempo. Existe alguma regra que indique se o número é quadrado perfeito ou não?
Um amigo sugeriu que a soma dos algarismos que compõe um quadrado perfeito
dá outro quadrado perfeito... mas nem sempre é válida...
funciona para 121 ... 1 + 1 + 2 = 4
Mas não para 256.. = 13
(curiosamente dá certo no 14641)
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RE: Quadrados perfeitos...
O fato de saber que um quadrado perfeito so pode ser da forma 4k ou 4k+1 tb
ajudaembora somente saber a observacao do eduardo conclua o problema.
[]'s M.
From: Eduardo Grasser [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: '[EMAIL PROTECTED]' [EMAIL PROTECTED]
Subject: RE: Quadrados perfeitos...
Date: Mon, 29 Oct 2001 10:26:54 -0200
ajuda saber que quadrados perfeitos terminam em 0, 1, 4, 5, 6, 9? Fatore só
os que terminarem nestes números...
Eduardo Grasser
--
De:Fernando Henrique Ferraz[SMTP:[EMAIL PROTECTED]]
Enviada em:Sábado, 27 de Outubro de 2001 15:26
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Quadrados perfeitos...
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28. Qual dos números seguintes é quadrado perfeito?
a) 745328
b) 9015743
c) 6259832
d) 9761387
e) 14641
O jeito mais óbvio parece fatorar um a um.. mas é muito braçal e leva muito
tempo. Existe alguma regra que indique se o número é quadrado perfeito ou
não?
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Mas não para 256.. = 13
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Re: Quadrados perfeitos...
On Sat, Oct 27, 2001 at 03:26:35PM -0200, Fernando Henrique Ferraz wrote: Vi esse exercício numa prova de vestibular desse ano, 28. Qual dos números seguintes é quadrado perfeito? a) 745328 b) 9015743 c) 6259832 d) 9761387 e) 14641 A opção (e) é a 4a linha do triângulo de Pascal e portanto 14641 = (11)^4. Por outro lado, quadrados perfeitos só podem terminar em 0, 1, 4, 9, 6, ou 5 o que elimina as opções a-d. []s, N.
Quadrados perfeitos...
Vi esse exercício numa prova de vestibular desse ano,
28. Qual dos números seguintes é quadrado perfeito?
a) 745328
b) 9015743
c) 6259832
d) 9761387
e) 14641
O jeito mais óbvio parece fatorar um a um.. mas é muito braçal e leva muito
tempo. Existe alguma regra que indique se o número é quadrado perfeito ou não?
Um amigo sugeriu que a soma dos algarismos que compõe um quadrado perfeito
dá outro quadrado perfeito... mas nem sempre é válida...
funciona para 121 ... 1 + 1 + 2 = 4
Mas não para 256.. = 13
(curiosamente dá certo no 14641)
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Re: Quadrados perfeitos...
O negócio é reparar que não existem quadrados perfeitos cujo algarismo das
unidades seja 8, 3, 2 ou 7. Assim sobraria somente o 14541 com chance de ser
quadrado perfeito.
Marcelo Rufino
- Original Message -
From: Fernando Henrique Ferraz [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, October 27, 2001 3:26 PM
Subject: Quadrados perfeitos...
Vi esse exercício numa prova de vestibular desse ano,
28. Qual dos números seguintes é quadrado perfeito?
a) 745328
b) 9015743
c) 6259832
d) 9761387
e) 14641
O jeito mais óbvio parece fatorar um a um.. mas é muito braçal e leva
muito
tempo. Existe alguma regra que indique se o número é quadrado perfeito ou
não?
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dá outro quadrado perfeito... mas nem sempre é válida...
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Re: Quadrados perfeitos...
Basta ver que os quadrados perfeitos só podem acabar em 1,4,5,6 ou 9. Daih, a resposta eh letra e). []'s, Yuri ICQ: 64992515 ___ http://www.zipmail.com.br O e-mail que vai aonde você está.
