Re: [obm-l] serie para ln(2)
Ola Luis e demais colegas desta lista ... OBM-L, 1) O valor de uma serie ( sua soma ) e formalmente definido como em qualquer serie, vale dizer, como limite das suas reduzidas. Assim, se : S = a1 + a2 + a3 + ... = L Entao a sequencia Rn = a1 + ... + an e tal que Lim Rn = L. Neste particular caso que voce cita o agrupamento nao vai causar problemas , conforme pode-se ver considerando as suas reduzidas. No caso geral, PRESERVANDO-SE O SINAL DOS TERMOS, nao pode. Basta , mais uma vez, considerar as reduzidas. A resposta mais geral seria, entao, assim: Se e possivel provar que a sequencia das reduzidas original converge para o mesmo valor que a nova sequencia das reduzidas ( aquelas derivadas do agrupamento ) entao o agrupamento e valido 2) Estas series sao melhor tratadas em espacos de sobolev 3) No fim da minha mensagem eu citei uma solucao diferente da que apresentei, usando polinomios ( que, inclusive, gneraliza a questao ). Agora, repensando, surgem muitas outras maneiras de tratar o problema ... 4) Agora, Luis, tive uma ideia que talvez signifique uma humilde contribuicao ao seu monumental trabalho sobre triangulos. Veja se voce ja fez ou se e uma nova questao : PROBLEMA : Dado 2P. Construa o triangulo tal que a soma das suas medianas e o seu perimetro sejam 2P. OBS : Para aqueles que estao acompanhando esta mensagem, saibam que Luis Lopes e autor do maior e mais completo livro DO MUNDO sobre construcao geometrica de triangulos. Pena que ( pelo que sei ) ainda nao ha uma versao em portugues Um Abracao PSR, 40605090832 2009/5/5 Luís Lopes qedte...@escolademestres.com: Sauda,c~oes, Oi Paulo e para os outros três que responderam, Então de 1 - (1/2) + 1/3 - (1/4) + 1/5 - (1/6) + ... = Ln(2) posso fazer [1 - (1/2)] + [1/3 - (1/4)] + [1/5 - (1/6)] + ... e obter o mesmo resultado?? Sempre, ou seja, posso botar [ ] à vontade em séries cond. convergentes? Ando sempre em águas turvas com estas manipulações de séries cond. conv. P.S.: Paulo, o Rousseau acabou de me dizer que encontrou uma solução para aquela conjectura. Mas não a tenho. Obrigado pelo seu email a respeito. Muito trabalho nele. []'s Luís From: paulo.santar...@gmail.com Date: Mon, 4 May 2009 18:22:28 -0300 Subject: Re: [obm-l] serie para ln(2) To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola Luis e demais colegas desta lista ... OBM-L, A expressao 1(2n(2n-1)) pode ser olhada assim :: 1/(2n(2n-1)) = ( 1/(2n-1) ) - ( 1/2n ) Assim, para n=1, 2, 3, ... 1 - (1/2) + 1/3 - (1/4) + 1/5 - (1/6) + ... = Ln(2) De maneira geral, se A1, A2, A3, ... e uma PA, a expressao soma de 1/(Ai+1*Ai+2*Ai+3*...*Ai+k) onde i = 1, 2, 3, ... e k=2 Tambem permite uma olhada especial de onde deriva sua soma. Como fazer isso ? Exemplo : 1/(Ai*Ai+1*Ai+2) = (1/(2(r^2)))*((1/Ai) - (2/(Ai+1)) + (1/Ai+2)) Use o fato de que Ai= (Ai+1) - r e Ai+2 = (Ai+2) + r, onde r e a razao da PA Agora, considere o seguinte : Seja S = 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + ... = Ln(2) Nos olhar esta serie assim : +-+-+-+- ... onde, sem tirar os termos de lugar, notamos que em cada posicao par ha um sinal - e em cada posicao impar ha um sinal +. Representarei este fato com a notacao S (1,1), significando que apos 1 sinal par segue um impar. O simbolo S(2,3) significa que apos 2 sinais + sempre seguem 3 sinais -, assim : S(2,3) = 1 + (1/2)-(1/3)-(1/4)-(1/5)+(1/6)+(1/7) - (1/8)-(1/9)-(1/10)+... Eu afirmo que S(N,P) converge se N e P sao inteiros positivos. Como provar isso ? Um Abraco a Todos PSR, 20405091800 2009/5/4 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com: Sauda,c~oes, No meio de vários reply ao thread CEGUEIRA FRACIONÁRIA! encontrei a seguinte mensagem: [obm-l] Mais um divertimento: 0 1/2 (???) Albert Bouskela Thu, 18 Dec 2008 10:15:24 -0800 Amigos: Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai o segundo: [...] E, assim, demonstra-se que 0 1/2 (???) Onde está o erro? Uma curiosidade: soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) = 0,69 1/2 [...] Como demonstrar a curiosidade acima? []'s Luís Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Descubra uma nova internet. Internet Explorer 8. Mergulhe. _ Deixe suas conversas mais divertidas. Baixe agora mesmo novos emoticons. É grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e
Re: [obm-l] serie para ln(2)
Grande Paulo ! Mas eu gostaria de tentar dar um palpitezinho... e
vou acabar dando dois :
2009/5/6 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com:
Ola Luis e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
1) O valor de uma serie ( sua soma ) e formalmente definido como em
qualquer serie, vale dizer, como limite das suas reduzidas. Assim, se
:
S = a1 + a2 + a3 + ... = L
Entao a sequencia Rn = a1 + ... + an e tal que Lim Rn = L. Neste
particular caso que voce cita o agrupamento nao vai causar problemas ,
conforme pode-se ver considerando as suas reduzidas. No caso geral,
PRESERVANDO-SE O SINAL DOS TERMOS, nao pode. Basta , mais uma vez,
considerar as reduzidas.
A resposta mais geral seria, entao, assim:
Se e possivel provar que a sequencia das reduzidas original converge
para o mesmo valor que a nova sequencia das reduzidas ( aquelas
derivadas do agrupamento ) entao o agrupamento e valido
2) Estas series sao melhor tratadas em espacos de sobolev
Eu tenho muito pouca prática com Sobolev, mas se você pudesse
detalhar... Eu vou detalhar o que eu pensei quando escrevi :
Temos uma soma S, com termos a1, a2, a3, ... Faça a seguinte hipótese
: a_n tende a zero. Então, agrupando os termos SEMPRE EM MESMO NUMERO,
se a primeira soma existir, a agrupada também, e vale o mesmo valor. A
idéia, é exatamente voltar à definição que o Paulo deu mais acima, e
notar que um grupo equivale a somar N termos sucessivos. Logo, somar n
grupos, equivale a tomar a nN-ésima parcial. Sabemos que a seqüência
das parciais converge, logo a das N-parciais também, e para o mesmo
valor, pois é uma subseqüência. Muito mais interessante é tentar a
recíproca : se a soma dos agrupamentos converge, o que acontece com a
soma original ? E é aí que a hipótese inicial tem todo o seu sentido:
sabemos que a subseqüência S_{Nk} converge para S, e queremos estudar
a seqüência completa S_n. Ora, como os termos tendem a zero, de S_{Nk
+ 1} = S_{Nk} + a_{Nk + 1}, tomando o limite no termo da direita (que
existe !), vemos que lim S_{Nk + 1} existe também, e vale S + lim
a_{Nk + 1} = S. Como, além disso, temos um número finito de restos
modulo N, e todas as subseqüências S_n{Nk + a} convergem para S (faça
uma depois da outra !!), a seqüência original também converge para S,
pois a partir de um certo N_0, todos os S_{Nk} estão a epsilon de S,
para um N_1, os S_{Nk + 1}, etc e tal, logo para o máximo dos N_a,
todo mundo está a epsilon de S. Note que a finitude (que vem da
regularidade dos parênteses) é crucial, bem como a hipótese que os
termos tendem a zero !!
3) No fim da minha mensagem eu citei uma solucao diferente da que
apresentei, usando polinomios ( que, inclusive, gneraliza a questao ).
Agora, repensando, surgem muitas outras maneiras de tratar o problema
...
4) Agora, Luis, tive uma ideia que talvez signifique uma humilde
contribuicao ao seu monumental trabalho sobre triangulos. Veja se voce
ja fez ou se e uma nova questao :
PROBLEMA : Dado 2P. Construa o triangulo tal que a soma das suas
medianas e o seu perimetro sejam 2P.
Não entendi, você quer que a soma das medianas seja 2P, e o perímetro
também seja 2P ? Ou a soma a+b+c + m_a+m_b+m_c = 2P ? Porque, se for
esse último (que foi como eu interpretei de chofre) parece que tem
uma solução para 3a + 3a\sqrt{3}/2 = 2P ...
OBS : Para aqueles que estao acompanhando esta mensagem, saibam que
Luis Lopes e autor do maior e mais completo livro DO MUNDO sobre
construcao geometrica de triangulos. Pena que ( pelo que sei ) ainda
nao ha uma versao em portugues
Um Abracao
PSR, 40605090832
Um grande abraço,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] serie para ln(2)
Ola Bernardo e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
1 ) Muito boa a sua mensagem, mas note que nao foi isso que o Luis
Lopes perguntou e, portanto, nao foi sobre o que eu respondi. Pelo que
eu entendi, o Luis quer saber se a colocao arbitraria de colchetes vai
afetar o valor original da serie ( sua soma), vale dizer, NAO HA A
HIPOTESE DE MESMO NUMERO DE TERMOS e, pior ainda, OS SINAIS DOS TERMOS
SAO PRESERVADOS, ou seja, ele simplesmente introduz colchetes e outros
delimitadores, SEM ALTERAR OS SINAIS ORIGINAIS, o que afeta o
resultado ainda mais.
2 ) Nao, amigo, descupe. Devo ter me expressado mal. Quero dizer :
Dado 2P, construa o triangulo tal que :
Soma das medianas = 2P
perimetro = 2P
Eu nao pensei sobre a questao. Nem sei se e trivial ou trabalhosa. Ela
veio a minha cabeca quando respondia o Luis Lopes. Como o Luis e um
Mestre consumado no assunto, queria saber se tal questao ja constava
no livro dele ou se ele dispunha de tempo pra apresentar uma solucao,
caso exista.
Um Abracao
PSR, 40605091048
2009/5/6 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com:
Grande Paulo ! Mas eu gostaria de tentar dar um palpitezinho... e
vou acabar dando dois :
2009/5/6 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com:
Ola Luis e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
1) O valor de uma serie ( sua soma ) e formalmente definido como em
qualquer serie, vale dizer, como limite das suas reduzidas. Assim, se
:
S = a1 + a2 + a3 + ... = L
Entao a sequencia Rn = a1 + ... + an e tal que Lim Rn = L. Neste
particular caso que voce cita o agrupamento nao vai causar problemas ,
conforme pode-se ver considerando as suas reduzidas. No caso geral,
PRESERVANDO-SE O SINAL DOS TERMOS, nao pode. Basta , mais uma vez,
considerar as reduzidas.
A resposta mais geral seria, entao, assim:
Se e possivel provar que a sequencia das reduzidas original converge
para o mesmo valor que a nova sequencia das reduzidas ( aquelas
derivadas do agrupamento ) entao o agrupamento e valido
2) Estas series sao melhor tratadas em espacos de sobolev
Eu tenho muito pouca prática com Sobolev, mas se você pudesse
detalhar... Eu vou detalhar o que eu pensei quando escrevi :
Temos uma soma S, com termos a1, a2, a3, ... Faça a seguinte hipótese
: a_n tende a zero. Então, agrupando os termos SEMPRE EM MESMO NUMERO,
se a primeira soma existir, a agrupada também, e vale o mesmo valor. A
idéia, é exatamente voltar à definição que o Paulo deu mais acima, e
notar que um grupo equivale a somar N termos sucessivos. Logo, somar n
grupos, equivale a tomar a nN-ésima parcial. Sabemos que a seqüência
das parciais converge, logo a das N-parciais também, e para o mesmo
valor, pois é uma subseqüência. Muito mais interessante é tentar a
recíproca : se a soma dos agrupamentos converge, o que acontece com a
soma original ? E é aí que a hipótese inicial tem todo o seu sentido:
sabemos que a subseqüência S_{Nk} converge para S, e queremos estudar
a seqüência completa S_n. Ora, como os termos tendem a zero, de S_{Nk
+ 1} = S_{Nk} + a_{Nk + 1}, tomando o limite no termo da direita (que
existe !), vemos que lim S_{Nk + 1} existe também, e vale S + lim
a_{Nk + 1} = S. Como, além disso, temos um número finito de restos
modulo N, e todas as subseqüências S_n{Nk + a} convergem para S (faça
uma depois da outra !!), a seqüência original também converge para S,
pois a partir de um certo N_0, todos os S_{Nk} estão a epsilon de S,
para um N_1, os S_{Nk + 1}, etc e tal, logo para o máximo dos N_a,
todo mundo está a epsilon de S. Note que a finitude (que vem da
regularidade dos parênteses) é crucial, bem como a hipótese que os
termos tendem a zero !!
3) No fim da minha mensagem eu citei uma solucao diferente da que
apresentei, usando polinomios ( que, inclusive, gneraliza a questao ).
Agora, repensando, surgem muitas outras maneiras de tratar o problema
...
4) Agora, Luis, tive uma ideia que talvez signifique uma humilde
contribuicao ao seu monumental trabalho sobre triangulos. Veja se voce
ja fez ou se e uma nova questao :
PROBLEMA : Dado 2P. Construa o triangulo tal que a soma das suas
medianas e o seu perimetro sejam 2P.
Não entendi, você quer que a soma das medianas seja 2P, e o perímetro
também seja 2P ? Ou a soma a+b+c + m_a+m_b+m_c = 2P ? Porque, se for
esse último (que foi como eu interpretei de chofre) parece que tem
uma solução para 3a + 3a\sqrt{3}/2 = 2P ...
OBS : Para aqueles que estao acompanhando esta mensagem, saibam que
Luis Lopes e autor do maior e mais completo livro DO MUNDO sobre
construcao geometrica de triangulos. Pena que ( pelo que sei ) ainda
nao ha uma versao em portugues
Um Abracao
PSR, 40605090832
Um grande abraço,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
=
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Re: [obm-l] serie para ln(2)
2009/5/5 fabrici...@usp.br fabrici...@usp.br: Seja S = 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + ... = Ln(2) Interessante observar que: 1 = integral(0;1) 1 dx 1/2 = integral(0;1) x dx 1/3 = integral(0;1) x^2 dx 1/4 = integral(0;1) x^3 dx e, de forma geral 1/n = integral(0;1) x^(n-1) dx Assumindo que a soma de infinitas integrais pode ser escrita como a integral da soma dos infinitos integrandos, podemos escrever: S = integral(0;1) [1 - x + x^2 - ... ] Opa! Isso é uma coisa beeem delicada. Aliás, foi exatamente esse tipo de problema que nos trouxe as integrais de Lebesgue, porque a de Riemann falha estrepitosamente... e inclusive nesse exemplo, de certa forma. Repare que, em x = 1 a série 1 - x + x^2 - x^3 é na verdade 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... que não converge nem diverge. Por outro lado, em todos os outros pontos, a série converge para 1/(1+x) e portanto gostaríamos de dizer que não só a série converge (em algum sentido) para 1/2 (dê uma olhada em somas de Cèsaro), mas que, independentemente disso (lembra que a integral não depende do valor na extremidade ?) deveria dar certo. E, ainda mais, você gostaria de poder generalizar este exemplo em situações mais gerais, para evitar que esse problema tivesse que ser tratado cada vez em particular. Matemáticos como Euler, principalmente, mas certamente Newton, Fourier, ... usaram e abusaram de processos falsos de troca de limites (ou seja, somas infinitas, integrais, limites clássicos, ...) para atingir resultados válidos por meios intuitivos, e legaram aos seus sucessores o pepino de mostrar que o que eles fizeram era correto, desde que visto da maneira certa, e, parafraseando o Elon, mais de cima. E essa transformação da intuição num teorema é o que faz avançar a matemática ! Em tempo : note que a observação do Bouskela é a chave para a solução do problema do Paulo, se vista da forma correta (lembra do critério de Cauchy para convergência ? note que ele é muito mais útil quando se trata de séries alternadas !!!) : a série acumulada 1/2n - 1/(2n+1) converge muito mais rápido do que a série (-1)^n/n ! Um grande abraço, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] serie para ln(2)
Sauda,c~oes, Oi Paulo e para os outros três que responderam, Então de 1 - (1/2) + 1/3 - (1/4) + 1/5 - (1/6) + ... = Ln(2) posso fazer [1 - (1/2)] + [1/3 - (1/4)] + [1/5 - (1/6)] + ... e obter o mesmo resultado?? Sempre, ou seja, posso botar [ ] à vontade em séries cond. convergentes? Ando sempre em águas turvas com estas manipulações de séries cond. conv. P.S.: Paulo, o Rousseau acabou de me dizer que encontrou uma solução para aquela conjectura. Mas não a tenho. Obrigado pelo seu email a respeito. Muito trabalho nele. []'s Luís From: paulo.santar...@gmail.com Date: Mon, 4 May 2009 18:22:28 -0300 Subject: Re: [obm-l] serie para ln(2) To: obm-l@mat.puc-rio.br Ola Luis e demais colegas desta lista ... OBM-L, A expressao 1(2n(2n-1)) pode ser olhada assim :: 1/(2n(2n-1)) = ( 1/(2n-1) ) - ( 1/2n ) Assim, para n=1, 2, 3, ... 1 - (1/2) + 1/3 - (1/4) + 1/5 - (1/6) + ... = Ln(2) De maneira geral, se A1, A2, A3, ... e uma PA, a expressao soma de 1/(Ai+1*Ai+2*Ai+3*...*Ai+k) onde i = 1, 2, 3, ... e k=2 Tambem permite uma olhada especial de onde deriva sua soma. Como fazer isso ? Exemplo : 1/(Ai*Ai+1*Ai+2) = (1/(2(r^2)))*((1/Ai) - (2/(Ai+1)) + (1/Ai+2)) Use o fato de que Ai= (Ai+1) - r e Ai+2 = (Ai+2) + r, onde r e a razao da PA Agora, considere o seguinte : Seja S = 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + ... = Ln(2) Nos olhar esta serie assim : +-+-+-+- ... onde, sem tirar os termos de lugar, notamos que em cada posicao par ha um sinal - e em cada posicao impar ha um sinal +. Representarei este fato com a notacao S (1,1), significando que apos 1 sinal par segue um impar. O simbolo S(2,3) significa que apos 2 sinais + sempre seguem 3 sinais -, assim : S(2,3) = 1 + (1/2)-(1/3)-(1/4)-(1/5)+(1/6)+(1/7) - (1/8)-(1/9)-(1/10)+... Eu afirmo que S(N,P) converge se N e P sao inteiros positivos. Como provar isso ? Um Abraco a Todos PSR, 20405091800 2009/5/4 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com: Sauda,c~oes, No meio de vários reply ao thread CEGUEIRA FRACIONÁRIA! encontrei a seguinte mensagem: [obm-l] Mais um divertimento: 0 1/2 (???) Albert Bouskela Thu, 18 Dec 2008 10:15:24 -0800 Amigos: Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai o segundo: [...] E, assim, demonstra-se que 0 1/2 (???) Onde está o erro? Uma curiosidade: soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) = 0,69 1/2 [...] Como demonstrar a curiosidade acima? []'s Luís Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Descubra uma nova internet. Internet Explorer 8. Mergulhe. _ Deixe suas conversas mais divertidas. Baixe agora mesmo novos emoticons. É grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] serie para ln(2) - CORREÇÃO!
CORREÇÃO! Esse negócio de copy/paste dá cada craca... Muito bem observado, Luís! Quando eu coloquei este resultado, minha intenção era só dar um colorido no pseudo-paradoxo que inventei e, assim, mostrar que a série obtida era, de fato, convergente para um número maior do que 1/2, o ln(2). Agora, vou deixar como desafio: Pede-se mostrar que: Soma [ 1/(2n(2n-1)) , n = 1 ... +oo ] = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) ... Série [1] Dica (já que estamos falando na Série Harmônica, ela quase que aparece...): É sabido que: Soma [ ((-1)^(n+1))/n , n = 1 ... +oo ] = ln(2)... Série [2] Ou, se preferir: ln(1+x) = x (x^2)/2 + (x^3)/3 (x^4)/4 + ... , para -1 x = 1 Repare que a convergência da Série [1] é mais rápida do que a da Série [2] bonito, não? AB mailto:bousk...@msn.com bousk...@msn.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Luís Lopes Sent: Monday, May 04, 2009 4:15 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] serie para ln(2) Sauda,c~oes, No meio de vários reply ao thread CEGUEIRA FRACIONÁRIA! encontrei a seguinte mensagem: [obm-l] Mais um divertimento: 0 1/2 (???) Albert Bouskela Thu, 18 Dec 2008 10:15:24 -0800 Amigos: Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai o segundo: [...] E, assim, demonstra-se que 0 1/2 (???) Onde está o erro? Uma curiosidade: soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) = 0,69 1/2 [...] Como demonstrar a curiosidade acima? []'s Luís _ Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! http://www.windowslive.com.br
RE: [obm-l] serie para ln(2)
Muito bem observado Luís! Quando eu coloquei este resultado, minha intenção era só dar um colorido no pseudo-paradoxo que inventei e, assim, mostrar que a série obtida era, de fato, convergente para um número maior do que 1/2, o ln(2). Agora, vou deixar como desafio: Pede-se mostrar que: Soma [ 1/(2n(2n-1)) , n = 1 ... +oo ] = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) ... Série [1] Dica (já que estamos falando da Série Harmônica, ela quase que aparece...): É sabido que: Soma [ ((-1)^(n-1))/n , n = 1 ... +oo ] = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) ... Série [2] Repare que a convergência da Série [1] é mais rápida do que a da Série [2] bonito, não? AB mailto:bousk...@msn.com bousk...@msn.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Luís Lopes Sent: Monday, May 04, 2009 4:15 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] serie para ln(2) Sauda,c~oes, No meio de vários reply ao thread CEGUEIRA FRACIONÁRIA! encontrei a seguinte mensagem: [obm-l] Mais um divertimento: 0 1/2 (???) Albert Bouskela Thu, 18 Dec 2008 10:15:24 -0800 Amigos: Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai o segundo: [...] E, assim, demonstra-se que 0 1/2 (???) Onde está o erro? Uma curiosidade: soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) = 0,69 1/2 [...] Como demonstrar a curiosidade acima? []'s Luís _ Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! http://www.windowslive.com.br
Re: [obm-l] serie para ln(2)
Ola Luis e demais colegas desta lista ... OBM-L, A expressao 1(2n(2n-1)) pode ser olhada assim :: 1/(2n(2n-1)) = ( 1/(2n-1) ) - ( 1/2n ) Assim, para n=1, 2, 3, ... 1 - (1/2) + 1/3 - (1/4) + 1/5 - (1/6) + ... = Ln(2) De maneira geral, se A1, A2, A3, ... e uma PA, a expressao soma de 1/(Ai+1*Ai+2*Ai+3*...*Ai+k) onde i = 1, 2, 3, ... e k=2 Tambem permite uma olhada especial de onde deriva sua soma. Como fazer isso ? Exemplo : 1/(Ai*Ai+1*Ai+2) = (1/(2(r^2)))*((1/Ai) - (2/(Ai+1)) + (1/Ai+2)) Use o fato de que Ai= (Ai+1) - r e Ai+2 = (Ai+2) + r, onde r e a razao da PA Agora, considere o seguinte : Seja S = 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + ... = Ln(2) Nos olhar esta serie assim : +-+-+-+- ... onde, sem tirar os termos de lugar, notamos que em cada posicao par ha um sinal - e em cada posicao impar ha um sinal +. Representarei este fato com a notacao S (1,1), significando que apos 1 sinal par segue um impar. O simbolo S(2,3) significa que apos 2 sinais + sempre seguem 3 sinais -, assim : S(2,3) = 1 + (1/2)-(1/3)-(1/4)-(1/5)+(1/6)+(1/7) - (1/8)-(1/9)-(1/10)+... Eu afirmo que S(N,P) converge se N e P sao inteiros positivos. Como provar isso ? Um Abraco a Todos PSR, 20405091800 2009/5/4 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com: Sauda,c~oes, No meio de vários reply ao thread CEGUEIRA FRACIONÁRIA! encontrei a seguinte mensagem: [obm-l] Mais um divertimento: 0 1/2 (???) Albert Bouskela Thu, 18 Dec 2008 10:15:24 -0800 Amigos: Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai o segundo: [...] E, assim, demonstra-se que 0 1/2 (???) Onde está o erro? Uma curiosidade: soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) = 0,69 1/2 [...] Como demonstrar a curiosidade acima? []'s Luís Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] serie para ln(2)
Seja S = 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + ... = Ln(2) Interessante observar que: 1 = integral(0;1) 1 dx 1/2 = integral(0;1) x dx 1/3 = integral(0;1) x^2 dx 1/4 = integral(0;1) x^3 dx e, de forma geral 1/n = integral(0;1) x^(n-1) dx Assumindo que a soma de infinitas integrais pode ser escrita como a integral da soma dos infinitos integrandos, podemos escrever: S = integral(0;1) 1 dx - integral(0;1) x dx + integral(0;1) x^2 dx - ... S = integral(0;1) [1 - x + x^2 - ... ] S = integral(0;1) 1/(1+x) S = ln(1+x) |(0;1) S = ln(2) - ln(1) S = ln(2) - 0 S = ln(2) On May 4, 2009, at 18:22 , Paulo Santa Rita wrote: Ola Luis e demais colegas desta lista ... OBM-L, A expressao 1(2n(2n-1)) pode ser olhada assim :: 1/(2n(2n-1)) = ( 1/(2n-1) ) - ( 1/2n ) Assim, para n=1, 2, 3, ... 1 - (1/2) + 1/3 - (1/4) + 1/5 - (1/6) + ... = Ln(2) De maneira geral, se A1, A2, A3, ... e uma PA, a expressao soma de 1/(Ai+1*Ai+2*Ai+3*...*Ai+k) onde i = 1, 2, 3, ... e k=2 Tambem permite uma olhada especial de onde deriva sua soma. Como fazer isso ? Exemplo : 1/(Ai*Ai+1*Ai+2) = (1/(2(r^2)))*((1/Ai) - (2/(Ai+1)) + (1/Ai+2)) Use o fato de que Ai= (Ai+1) - r e Ai+2 = (Ai+2) + r, onde r e a razao da PA Agora, considere o seguinte : Seja S = 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + ... = Ln(2) Nos olhar esta serie assim : +-+-+-+- ... onde, sem tirar os termos de lugar, notamos que em cada posicao par ha um sinal - e em cada posicao impar ha um sinal +. Representarei este fato com a notacao S (1,1), significando que apos 1 sinal par segue um impar. O simbolo S(2,3) significa que apos 2 sinais + sempre seguem 3 sinais -, assim : S(2,3) = 1 + (1/2)-(1/3)-(1/4)-(1/5)+(1/6)+(1/7) - (1/8)-(1/9)- (1/10)+... Eu afirmo que S(N,P) converge se N e P sao inteiros positivos. Como provar isso ? Um Abraco a Todos PSR, 20405091800 2009/5/4 Luà s Lopes qed_te...@hotmail.com: Sauda,c~oes, No meio de vários reply ao thread CEGUEIRA FRACIONÃRIA! encontrei a seguinte mensagem: [obm-l] Mais um divertimento: 0 1/2 (???) Albert Bouskela Thu, 18 Dec 2008 10:15:24 -0800 Amigos: Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crà tica, aà vai o segundo: [...] E, assim, demonstra-se que 0 1/2 (???) Onde está o erro? Uma curiosidade: soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln (2) = 0,69 1/2 [...] Como demonstrar a curiosidade acima? []'s Luà s Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui! == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html == === = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
