Re: [obm-l] Axioma da Escolha
Uma outra coisa que achei interessante sobre o Axioma da Escolha é um artigo filosófico que diz que a matemática é "Ontologicamente Neutra". Em outras palavras: não têm nenhum compromisso ontológico, não assumem a existência de qualquer entidade concreta. Esse artigo (citado abaixo) faz algumas observações sobre a teoria ZFC que supõe que todos os conceitos em matemática e/ou a lógica clássicas estão em algum momento comprometidas com o conceito de indivíduo. Em outras palavras, elas podem ser inadequadas para descrever objetos ou comportamento quânticos se levarmos em conta a possível consideração das entidades quânticas como não-indivíduos (aos quais o conceito usual de identidade da matemática tradicional não se aplica): http://www.cfh.ufsc.br/~dkrause/pg/papers/Ontologia.pdf Será que é devido ao conceito de identidade ou indivíduo em matemática que o Paulo Santa Rita concluiu que não é possível unificar a relatividade e a mecânica quântica? Aparentemente há muita coisa em filosofia que ajuda a entender as formulações feitas em matemática. Ronaldo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Axioma da Escolha
Uma outra coisa que achei interessante sobre o Axioma da Escolha é um artigo filosófico que diz que a matemática é "Ontologicamente Neutra". Em outras palavras: não têm nenhum compromisso ontológico, não assumem a existência de qualquer entidade concreta. Esse artigo (citado abaixo) faz algumas observações sobre a teoria ZFC que supõe que todos os conceitos em matemática e/ou a lógica clássicas estão em algum momento comprometidas com o conceito de indivíduo. Em outras palavras, elas podem ser inadequadas para descrever objetos ou comportamento quânticos se levarmos em conta a possível consideração das entidades quânticas como não-indivíduos (aos quais o conceito usual de identidade da matemática tradicional não se aplica): http://www.cfh.ufsc.br/~dkrause/pg/papers/Ontologia.pdf Será que é devido ao conceito de identidade ou indivíduo em matemática que o Paulo Santa Rita concluiu que não é possível unificar a relatividade e a mecânica quântica? Aparentemente há muita coisa em filosofia que ajuda a entender as formulações feitas em matemática. Ronaldo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Axioma da Escolha
Arthur escreveu: >Quanto aa >pergunta da Sandra, acho que a questão é mais geral, ou seja: Demonstracoes >baseadas no axioma da escolha sao validas ou sao questionaveis? Parece que >hoje, seculo XXI, quase todos os matematicos aceitam o axioma da escolha sem >reservas. E, de fato, quem nao aceita este axioma nao pode aceitar grande >parte dos teoremas que dizem respeito a espacos metricos e topologicos >gerais, que nao sejam os euclidianos. Por exemplo, em espacos metricos >gerais, as demonstracoes sobe compacticidade sao feitas realizando-se uma >infinidade de escolhas arbitrarias. Eu achei essa página com uma leitura bastante lúdica e interessante que pode ser lida pelo pessoal todo da lista (inclusive estudantes de ensino médio): http://www.ceticismoaberto.com/ciencia/banachtarski.htm Esse link já foi postado aqui na lista a tempos atrás. O papel que o axioma da escolha desempenha na matemática é deveras interessante mas aparentemente é preciso muito insight e profundidade para poder entender esse papel com clareza. Ronaldo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Axioma da Escolha
Na verdade, realizar uma escolha arbitrária em um conjunto não requer o
axioma da escolha. Se voce sabe que um conjunto é não-vazio, voce sabe que
existe um elemento x nele. Pelo axioma do par, existe o conjunto {x,x}={x}.
Agora, se voce tem um conjunto infinito, para provar que existe um
subconjunto enumerável, voce precisa do axioma da escolha. Em geral, sempre
que se faz infinitas escolhas arbitrárias usa-se o axioma da escolha. Mas
para entender bem quando se usa o axioma da escolha, acho que é inevitável
discutir os outros axiomas de Teoria dos Conjuntos. Mas a idéia é que
escolhas finitas voce pode fazer "na mão" (o conjunto é não vazio, logo tem
um elemento, logo eu posso "pegar" esse elemento e fazer o que quiser com
ele). Para infinitas escolhas, eu preciso de uma ferramenta maior para
agrupar esses infinitos elementos tirados de infinitos conjuntos não-vazios.
Acredito que todas essas polêmicas causadas aqui na lista sobre o uso do
axioma da escolha não é muito diferente do que aconteceu entre os grandes
matemáticos quando Zermelo criou a axiomática da Teoria dos Conjuntos.
>From: "498 - Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]>
>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>To: [EMAIL PROTECTED]
>Subject: Re: [obm-l] Axioma da Escolha
>Date: Wed, 18 Sep 2002 15:32:31 -0300 (BRT)
>
>
>
> > Realmente, parece que eu gerei mais polêmica do que esperava. Vou
>indicar um
> > site que explica muito bem o Axioma da Escolha - seu enuniado,
>aplicações e
> > discussões filosóficas a respeito de seu uso. O site é:
> > http://math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/choice.html
>
>Não tem problema, esta discussão toda foi excelente. Antes dela eu não
>havia prestado muito atenção no axioma, parecia estar na "massa do meu
>sangue". O artigo do site é excelente.
>
>Há um ponto a respeito do qual estou ainda um tanto intrigado: realizar
>infinitas escolhas arbitrárias em infinitos conjuntos requer o axioma.
>Mas, realizar infinitas escolhas arbitrárias em UM ÚNICO conjunto não
>requer o axioma. Quando se trata de um único conjunto, é sempre
>possível encontrar um afunção de escolha bem definida?
>
>Obrigado
>Artur
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Axioma da Escolha
> Realmente, parece que eu gerei mais polêmica do que esperava. Vou indicar um > site que explica muito bem o Axioma da Escolha - seu enuniado, aplicações e > discussões filosóficas a respeito de seu uso. O site é: > http://math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/choice.html Não tem problema, esta discussão toda foi excelente. Antes dela eu não havia prestado muito atenção no axioma, parecia estar na "massa do meu sangue". O artigo do site é excelente. Há um ponto a respeito do qual estou ainda um tanto intrigado: realizar infinitas escolhas arbitrárias em infinitos conjuntos requer o axioma. Mas, realizar infinitas escolhas arbitrárias em UM ÚNICO conjunto não requer o axioma. Quando se trata de um único conjunto, é sempre possível encontrar um afunção de escolha bem definida? Obrigado Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Axioma da Escolha
Tem um teorema que e equivalente ao Axioma da Escolha,o
Lema de Zorn:Se X e um conjunto nao vazio parcialmente ordenado(ordenado de qualquer jeito,sem a ideia de que um cara seja maior,menor ou igual a outro)tal que toda cadeia(conjunto totalmente ordenado)em X tenha um limite superior,entao X contem um elemento maximal.
498 - Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>wrote:
> Nos últimos dias o assunto mais tratado aqui neste forum vem sendo o Axioma> da> Escolha.> > Alguém poderia fornecer o enunciado e um pequeno histórico dele?> > JFO enunciado mais usual é o seguinte:Dada uma coleção qualquer de conjuntos disjuntos {A_a} (finita ou infinita, numerável ou não), é possível formar um conjunto S tal que cada elemento de S pertença a um dos conjuntos A_a. Isto é, é possível formar S escolhendo-se um elemento de cada um dos conjuntos A_a, daí o nome Axioma da Escolha.Alguns autores definem o axioma sem requerer que a coleção {A_a} seja disjunta.Artur=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Yahoo! GeoCities
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Re: [obm-l] Axioma da Escolha
Realmente, parece que eu gerei mais polêmica do que esperava. Vou indicar um site que explica muito bem o Axioma da Escolha - seu enuniado, aplicações e discussões filosóficas a respeito de seu uso. O site é: http://math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/choice.html >From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: "obm-l" <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: [obm-l] Axioma da Escolha >Date: Tue, 17 Sep 2002 15:18:29 -0300 > >Nos últimos dias o assunto mais tratado aqui neste forum vem sendo o Axioma >da >Escolha. > >Alguém poderia fornecer o enunciado e um pequeno histórico dele? > >JF > >-Mensagem Original- >De: Rogerio Fajardo <[EMAIL PROTECTED]> >Para: <[EMAIL PROTECTED]> >Enviada em: Terça-feira, 17 de Setembro de 2002 13:30 >Assunto: RE: [obm-l] Axioma da Escolha > > > > A maneira usual de fazer infinitas escolhas sem usar o axioma da escolha >é >(...) > > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Axioma da Escolha
> Nos últimos dias o assunto mais tratado aqui neste forum vem sendo o
Axioma
> da
> Escolha.
>
> Alguém poderia fornecer o enunciado e um pequeno histórico dele?
>
> JF
O enunciado mais usual é o seguinte:
Dada uma coleção qualquer de conjuntos disjuntos {A_a} (finita ou
infinita, numerável ou não), é possível formar um conjunto S tal que
cada elemento de S pertença a um dos conjuntos A_a. Isto é, é possível
formar S escolhendo-se um elemento de cada um dos conjuntos A_a, daí o
nome Axioma da Escolha.
Alguns autores definem o axioma sem requerer que a coleção {A_a} seja
disjunta.
Artur
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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RE: [obm-l] Axioma da Escolha
> A maneira usual de fazer infinitas escolhas sem usar o axioma da escolha é > conseguir uma propriedade que escolhe um elemento de cada conjunto. A escolha com base nesta propriedade corresponde àquilo que se denomina de "função canônica de ecolha" ? (vi este termo no newsgroup americano sci.math, "canonical choice function", não sei se traduzi da forma usual em nossa língua). Se não for, vc saberia dizer o que significa "função canônica de escolha"? ´ Consideremos, por exemplo, o teorema que diz que, sendo E um espaço métrico geral, então E totalmente limitado <===> toda sequencia de E contem uma subsequencia de Cauchy. Para provarmos a parte ===>, geralmente cobrimos E sequencialmente por coleções finitas de bolas abertas de raios 1, 1/2..1/ne escolhemos bolas B1, B2...Bn.. de modo que B1/\B2 .../\Bncontenha termos da seq. (x_n) para infinitos índices n. Nas intersecões de tais bolas escolhemos termos x_k1, x_k2...x_kn tais que k_1http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Axioma da Escolha
Nos últimos dias o assunto mais tratado aqui neste forum vem sendo o Axioma da Escolha. Alguém poderia fornecer o enunciado e um pequeno histórico dele? JF -Mensagem Original- De: Rogerio Fajardo <[EMAIL PROTECTED]> Para: <[EMAIL PROTECTED]> Enviada em: Terça-feira, 17 de Setembro de 2002 13:30 Assunto: RE: [obm-l] Axioma da Escolha > A maneira usual de fazer infinitas escolhas sem usar o axioma da escolha é (...) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
RE: [obm-l] Axioma da Escolha
A maneira usual de fazer infinitas escolhas sem usar o axioma da escolha é conseguir uma propriedade que escolhe um elemento de cada conjunto. Por exemplo, os racionais são enumeráveis. Em particular, podem ser bem ordenados. De fato, podemos "escrever" essa boa ordem (a lexicográfica, por exemplo). Para escolhermos elementos de infinitos conjuntos de racionais, basta pegarmos o menor elemento de cada conjunto. Esse tipo de demonstração é construtiva, no sentido de que essa escolha não foi feita ao acaso, mas obedecendo uma regra explícita. É claro, como voce ressaltou, o construtivismo não aceita princípios e teoremas tidos como fundamentais na matemática. A fim de eliminar algumas coisas estranhas da matemática, criou outras mais estranhas ainda. Trata-se apenas de uma forma de matemática que não é a mais usual, mas em algum momento pode até ser útil. Hoje há quase um consenso em aceitar o axioma da escolha. Mas, para alguns, um teorema que não depende do axioma da escolha pode ter um "status" maior do que os outros. Existem muitos trabalhos relacionados a independência em Teoria dos Conjuntos que mostram o que seria possível sem o axioma da escolha. >From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: RE: [obm-l] Axioma da Escolha >Date: Fri, 13 Sep 2002 23:45:41 -0700 > > > Apenas lembrando, porque costuma-se realçar quando se usa o axioma da > > escolha, há uma corrente filosófica de matemáticos que não aceitam o > > axioma > > da escolha: os construtivistas (ou, mais geralmente, os >intuicionistas). O > > axioma da escolha nos garante a existência de objetos que não podemos > > determinar quem, exatamente, ele é. Esse tipo de coisa os >construtivistas > > não aceitam, pois de que serve saber que existe alguma coisa que nunca > > saberemos quem é, ou onde está? O teorema de Weierstrass, que diz que >toda > > função real contínua sobre um intervalo fechado assume máximo, não é > > aceita > > pelos construtivistas, pois não podemos exibir esse ponto de máximo. >[Artur Costa Steiner] > >Ms este teorema é um dos mais importantes da matemática > Por > > outro lado não podemos dizer que não existe ponto de máximo, pois isso > > seria > > garantir que todos os pontos não são de máximo, o que não devemos > > assegurar. > > Por isso na lógica intuicionista "A ou não A" pode ser falso, e A não >é > > equivalente a "não não A". >[Artur Costa Steiner] > >Acho que é também importante lembrar que muitas provas na matemática >basiam-se em infinitas escolhas. Por exemplo, várias das provas dos >teoremas ligados à compaticidade de espaços métricos enquadram-se nesta >categoria, como o que afirma que S é compacto <===> S é sequencialmente >compacto. Parece-me que estas provam usam o axioma da escolha. E ninguém >as questiona. > > , > >Todas essas complicações geradas pelo construtivismo fizeram que >esse > > caísse um pouco no esquecimento. Hoje parece que há poucos matemáticos > > construtivistas. Mas devemos nos lembrar que o argumento central que >gerou > > o > > construtivismo faz sentido. Realmente, podemos pensar o que fazemos >com > > coisas obtidas não construtivamente. Enfim, há sempre uma fagulha de > > construtivista em nós. É certo que os mais radicais não admitem nem >prova > > por absurdo, mas o axioma da escolha já seria o maior crime que se >poderia > > cometer contra o construtivismo. Por isso, nas demonstrações, é sempre >bom > > ressaltar o que é construtivo e o que não é. Por exemplo, o Paradoxo >de > > Banach-Tarski, sobre a duplicação da esfera, citada pelo Paulo, é > > não-construtiva. > > Sobre o problema da violência, resta um consolo: se o conjunto dos > > bandidos, dado pelo problema, já estiver bem ordenado (por exemplo, se >é > > enumerável), não precisamos do axioma da escolha, e não cometeremos >uma > > "violência" contra os intuicionistas. O difícil vai ser achar bandidos >bem > > ordenados... > > >[Artur Costa Steiner] >Quando podemos fazer infinitas escolhas sem usar o axioma da escolha? >Sempre que tivermos conjuntos bem ordenados? Por exemplo, se fizermos >infinitas escolhas em infinitos subconjuntos dos racionais, então não >precisamos do axioma? > >Artur > > > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Axioma da Escolha
Ola PROF NICOLAU e demais colegas desta lista ... OBM-L, Vou fazer um comentario a mensagem abaixo que talvez ajude alguns membros desta lista entenderem porque muitos Matematicos - em especial aqueles que conhecem logica e teoria dos conjuntos - acham relevante destacar que esta ou aquela prova ou argumentacao matematica usa o AXIOMA DA ESCOLHA. Tarski, entre outros, mostrou que o uso do AXIOMA DA ESCOLHA com os demais axiomas da teoria dos conjuntos levam-nos inevitavelmente a conclusoes pouco verossimeis. Em particular ele mostrou que poderiamos dividir uma esfera dada em ao menos cinco partes e, unindo novamente as partes de outra forma, derivar nao uma, mas duas esferas identicas a primitiva. O fato acima, por paradoxal que parece, e logicamente inatacavel e uma das consequencias bizarras que este axioma implica. Muitos Matematicos supunham que tais resultados eram derivados da liberalidade dado a FUNCAO DE ESCOLHA, pois pode-se usar a que quisermos conquanto respeitemos o aspecto formal do axioma. A partir deste resultado do Tarski ( e de outros tambem ) os Matematicos comecaram a suspeitar que o AXIOMA DA ESCOLHA era um principio nefasto, sendo provavelmente o responsavel por possiveis e potenciais inconsistencias que a teoria do conjuntos tivesse ou viesse a ter. Dai surgiu a desconfianca com as demonstracoes com este axioma. Por prudencia, toda prova que usava este teorema era rotulada "USA O AXIOMA DA ESCOLHA", como que insinuando : "PROCURE UMA OUTRA MANEIRA DE PROVAR ISSO ... " Aqui entra o Magistral GODEL ... Godel classificou as teorias dos conjuntos em : 1) Teoria Cantoriana A e aquela que usa o AXIOMA DA ESCOLHA. 2) Teoria Cantoriana B e aquela em que nao usa o AXIOMA DA ESCOLHA. E provou o seguinte : SE A TEORIA CANTORIANA "A" CONTIVER OU GERAR INCONSISTENCIAS, A TEORIA CANTORIA "B" TAMBEM CONTERA E GERARA INCONSISTENCIAS. Isto e, o AXIOMA DA ESCOLHA nao e o responsavel por possiveis inconsistencias ou paradoxas que porventura derivem da teoria dos conjuntos. Ele pode ser um CATALISADOR destas inconsistencias, evidenciando de forma mais direta e clara possiveis absurdos ... Agora, uma observacao sobre o Paradoxo de Tarski. O que ha de absurdo nele ? A criacao de Massa ( duplicacao de uma esfera ) sem a necessaria absorcao de uma fabulosa quantidade de Energia ? Mas ... Nao e isso que rotineiramente ocorre no mundo das particulas elementares, quando, do nada, surge uma massa que posteriormente desapare num par de particulas antipodas ? E mais provavel que este fato ou operacao seja paradoxal para o nosso cotidiano, nao para o Autor da Natureza que, hoje sabemos, continuamente faz isso ... Um abraco Paulo Santa Rita 5,1854,120902 >From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: Re: [obm-l] Axioma da Escolha >Date: Thu, 12 Sep 2002 17:32:17 -0300 > >On Wed, Sep 11, 2002 at 04:01:42PM -0300, 498 - Artur Costa Steiner wrote: > > Nos últimos dias o Axioma da Escolha foi bastante mencionado nesta > > lista, motivado por um interessante problema (violência), sugerido por > > uma das participantes, e que involve este axioma. > > > > Eu não estou certo, mas, no meio matemático, ainda existem hoje > > restrições a este axioma, no sentido de que alguma prova nele baseada > > possa ser considerada questionável ou mesmo inválida? > >Este assunto mereceria uma resposta mais longa, mas o axioma da escolha >é 'aceito' no sentido seguinte: a maioria dos matemáticos usa este >axioma sem parar para pensar no assunto. Aliás sem nem saber direito >quando está realmente usando o axioma. Alguns matemáticos, entretanto, >especialmente especialistas em lógica ou teoria dos conjuntos, acham >interessante notar exatamente quando o tal axioma é utilizado. > >[]s, N. >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= _ Tenha você também um MSN Hotmail, o maior webmail do mundo: http://www.hotmail.com/br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Axioma da Escolha
On Wed, Sep 11, 2002 at 04:01:42PM -0300, 498 - Artur Costa Steiner wrote: > Nos últimos dias o Axioma da Escolha foi bastante mencionado nesta > lista, motivado por um interessante problema (violência), sugerido por > uma das participantes, e que involve este axioma. > > Eu não estou certo, mas, no meio matemático, ainda existem hoje > restrições a este axioma, no sentido de que alguma prova nele baseada > possa ser considerada questionável ou mesmo inválida? Este assunto mereceria uma resposta mais longa, mas o axioma da escolha é 'aceito' no sentido seguinte: a maioria dos matemáticos usa este axioma sem parar para pensar no assunto. Aliás sem nem saber direito quando está realmente usando o axioma. Alguns matemáticos, entretanto, especialmente especialistas em lógica ou teoria dos conjuntos, acham interessante notar exatamente quando o tal axioma é utilizado. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Axioma da Escolha
Nos últimos dias o Axioma da Escolha foi bastante mencionado nesta lista, motivado por um interessante problema (violência), sugerido por uma das participantes, e que involve este axioma. Eu não estou certo, mas, no meio matemático, ainda existem hoje restrições a este axioma, no sentido de que alguma prova nele baseada possa ser considerada questionável ou mesmo inválida? Parece-me que a grande maioria dos matemáticos o usam sem qualquer problema. Em livros de autores consagrados, como Rudin, Folland e Munkres, há provas de teoremas que, ao que me parece, involvem implicitamente este axioma. Por exemplo, o conhecido teorema de que um espaço métrico é totalmente limitado se, e somente se, qualquer sequencia do mesmo contiver uma subsequencia de Cauchy, envolve, ao que me parece, o Axioma da Escolha. Na parte "se", geralmente se usa um argumento contrapositivo e mostra- se que, se o espaço não for totalmente limitado, então há nele uma sequencia que não pode ser de Cauchy; com este objetivo gera-se uma sequencia escolhendo-se elementos de subconjuntos do espaço que distem dos anteriores um valor maior ou igual que um dado r>0. Na parte "somente", geralmente cobre-se sequencialmente o espaço por coleções finitas de bolas aberta de raio 1/n e escolhem-se termos da sequencia contidos nas intersecções das bolas selecionada em cada passo. Isto não é o axioma da escolha? Vários teoremas sobre conjuntos compactos também envolvem escolha. Por exemplo, o que prova que se S (espaço métrico) é compacto se, e somente se, for sequencialmente compacto. Não estou certo se isto é exatamente o axioma da escolha, mas a prova que conheço do teorema que diz que todo conjunto aberto de R é dado por uma união numerável e disjunta de intervalos abertos também envolve escolha de números racionais na coleção de intervalos para mostra que a mesma é numerável. Não sei exatamente porque, mas como há uma prova de que o conjunto dos racionais é numerável, parece que um processo de escolha de racionais não envolve o axioma da escolha. Estou um tanto confuso a respeito deste axioma e qualquer contribuição é bem vinda. Um abraço Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
