RE: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
De acordo com tudo que os colegas colocaram, segue as soluções que elaborei. Agradeço a preciosa ajuda de todos. Muito obrigado a todos. (^_^) 1) Vou mostrar que é divisível por 3 e 5 3n^5 = 0 (mod 3) Então precisamos mostrar que 5n^3 + 7n (mod 3) = (6-1)n^3 + (6+1)n = -n^3 + n = -n(n^2 - 1) = -(n-1)n(n+1) = 0 (mod 3) produto de 3 números consecutivos. Agora falta provar que 3n^5 + 5n^3 + 7n (mod 5) =3n^5 + 7n = (5-2)n^5 + (5+2)n = -2n^5 + 2n = -2n(n^4 - 1) Se n é primo com 5 temos n^4 = 1 (mod 5) (pequeno teorema de Fermat) n^4 - 1 = 0 (mod 5) Se n não é primo com 5 , então n = 0 (mod 5), logo de qualquer maneira -2n(n^4 - 1) = 0 (mod 5). Divisível por 5. Conclusão 3n^5 + 5n^3 + 7n = 0 (mod 15) 2) Sabendo que 91 = 7 x 13 vamos provar que a expressão é divisível pó r 7 e 13 a^12 - b^12 (mod 7) a^6 = 1 (mod 7) então a^12 = 1 (mod 7) b^6 = 1 (mod 7) so b^12 = 1 (mod 7) Assim, a^12 - b^12 = 1 - 1 (mod 7) = 0 (mod 7) a^12 = 1 (mod 13) e b^12 = 1 (mod 13) a^12 - b^12 = 1 - 1 = 0 (mod 13) Então, a^12 - b^12 = 0 (mod 91) Date: Sat, 6 Sep 2008 19:12:06 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Re: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números Oi, RhilbertRealmente este tipo de problema admite um monte de soluções, mas já que você pediu o Fermat (na verdade o pequeno Fermat, lá vai):3n^5 + 5n^3 + 7n = 3(n^5 - n) + 5 (n^3 - n) + 15 (n - 1) = 3A + 5B + 15, onde A é multiplo de 5, B é multiplo de 3 e então sua expressão é multipla de 15.Seu segundo exercício:Como 91 = 7 x 13, vamos tentar fazer acontecer o pequeno Fermat, mais uma vez. Como a e b são primos com 91, nenhum dos dois é divisível por 13. Logo, (a^12 - 1) e (b^12 -1) são divisíveis por 13; logo, sua diferença também é...Agora vejamos porque a tal diferença também é divisível por 7...Onde estará o 7 (do Fermat) em a^12 - b^12? Certamente em a^6 - b^6 que é um de seus fatores, concorda? Logo, o mesmíssimo raciocício que para o 13 (pois nem a nem b são divisíveis por 7) completa a solução. Nehab Rhilbert Rivera escreveu: Obrigado por esta solução usando Teorema de Taylor, mas eu gostaria de uma solução que usasse a teoria de divisibilidade ou o pequeno teorema de Fermat, se possível.Mesmo assim, agradeço.(^_^) From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Thu, 4 Sep 2008 10:55:04 -0300Subject: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números 1) Seja P(x) = 3x^5 + 5x^3 + 7x = P(1) = 15 P'(x) = 15x^4 + 15 x^2 + 7 = P'(1) = 37 P''(x) = = 60x^3 + 30x = P''('1) = 210 P'''(x) = 180x^2 + 30 = p'''(1) = 210 P(x) = 360x = p(1) = 360 P'(x) = 360 = P(1) = 360 Pelo Teoerema de Taylor, P(x) = P(1) + x P'(1) + x^2/2! P''(2).+ x^5/5! P'(5) Logo, P(x +1) = 15 + 37x + 45x^2 + 35x^3 + 15x^4 + 3x^5 = 37x + 35x^3 + 3x^5 + 15(1 + 3x^2 + x^4) = 7x + 5x^3 + 3x^5 + 30x + 30x^3 + 15(1 + 3x^2 + x^4) = P(x) + 30(x + x^3) + 15(1 + 3x^2 + x^4) (1), para todo x Para n =1, temos que P(1) = 15, de modo que 15|P(1) Se, para algum inteiro positivo n, 15 dividir P(n), então (1) nos mostra que P(n+1) é dado pela soma de 3 multiplos de 15, de modo que 15|P(n +1). Por inducao, concluimos que, para todo inteiro positivo n, 15 divide P(n) = 3n^5 + 5n^3 + 7n. Depois penso no 2 Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rhilbert RiveraEnviada em: terça-feira, 2 de setembro de 2008 15:22Para: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] 2 de Teoria dos NúmerosAmigos, obrigado por qualquer ajuda ñas questões abaixo: 1) Mostre que, para todo n natural, 15 divide 3n^5 +5n^3 +7n. 2) Mostrwe que a^12 - b^12 é divisível por 91, se a b são primos com 91. Obrigado (^_ ^) Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie já o seu! Notícias direto do New York Times, gols do Lance, videocassetadas e muitos outros vídeos no MSN Videos! Confira já!= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = _ Cansado de espaço para só 50 fotos? Conheça o Spaces, o site de relacionamentos com até 6,000 fotos! http://www.amigosdomessenger.com.br
Re: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
O teorema de taylor não PRECISA ser usado... ele usou simplesmente pra calcular P(x+1), mas vc pode muito bem calcula-lo algebricamente. A idéia principal da solução é que foi feita por indução finita. 2008/9/6 Rhilbert Rivera [EMAIL PROTECTED] Obrigado por esta solução usando Teorema de Taylor, mas eu gostaria de uma solução que usasse a teoria de divisibilidade ou o pequeno teorema de Fermat, se possível. Mesmo assim, agradeço. (^_^) -- From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Date: Thu, 4 Sep 2008 10:55:04 -0300 Subject: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números 1) Seja P(x) = 3x^5 + 5x^3 + 7x = P(1) = 15 P'(x) = 15x^4 + 15 x^2 + 7 = P'(1) = 37 P''(x) = = 60x^3 + 30x = P''('1) = 210 P'''(x) = 180x^2 + 30 = p'''(1) = 210 P(x) = 360x = p(1) = 360 P'(x) = 360 = P(1) = 360 Pelo Teoerema de Taylor, P(x) = P(1) + x P'(1) + x^2/2! P''(2).+ x^5/5! P'(5) Logo, P(x +1) = 15 + 37x + 45x^2 + 35x^3 + 15x^4 + 3x^5 = 37x + 35x^3 + 3x^5 + 15(1 + 3x^2 + x^4) = 7x + 5x^3 + 3x^5 + 30x + 30x^3 + 15(1 + 3x^2 + x^4) = P(x) + 30(x + x^3) + 15(1 + 3x^2 + x^4) (1), para todo x Para n =1, temos que P(1) = 15, de modo que 15|P(1) Se, para algum inteiro positivo n, 15 dividir P(n), então (1) nos mostra que P(n+1) é dado pela soma de 3 multiplos de 15, de modo que 15|P(n +1). Por inducao, concluimos que, para todo inteiro positivo n, 15 divide P(n) = 3n^5 + 5n^3 + 7n. Depois penso no 2 Artur -Mensagem original- *De:* [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de *Rhilbert Rivera *Enviada em:* terça-feira, 2 de setembro de 2008 15:22 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Assunto:* [obm-l] 2 de Teoria dos Números Amigos, obrigado por qualquer ajuda ñas questões abaixo: 1) Mostre que, para todo n natural, 15 divide 3n^5 +5n^3 +7n. 2) Mostrwe que a^12 - b^12 é divisível por 91, se a b são primos com 91. Obrigado (^_ ^) -- Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie já o seu! http://www.amigosdomessenger.com.br/ -- Notícias direto do New York Times, gols do Lance, videocassetadas e muitos outros vídeos no MSN Videos! Confira já! http://video.msn.com/?mkt=pt-br -- Rafael
Re: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
Apenas uma pequena correo... 3A + 5B + 15(n -1)... (engoli o n - 1)... Nehab Carlos Nehab escreveu: Oi, Rhilbert Realmente este tipo de problema admite um monte de solues, mas j que voc pediu o Fermat (na verdade o pequeno Fermat, l vai): 3n^5 + 5n^3 + 7n = 3(n^5 - n) + 5 (n^3 - n) + 15 (n - 1) = 3A + 5B + 15, onde A multiplo de 5, B multiplo de 3 e ento sua expresso multipla de 15. Seu segundo exerccio: Como 91 = 7 x 13, vamos tentar "fazer acontecer" o pequeno Fermat, mais uma vez. Como a e b so primos com 91, nenhum dos dois divisvel por 13. Logo, (a^12 - 1) e (b^12 -1) so divisveis por 13; logo, sua diferena tambm ... Agora vejamos porque a tal diferena tambm divisvel por 7... Onde estar o 7 (do Fermat) em a^12 - b^12? Certamente em a^6 - b^6 que um de seus fatores, concorda? Logo, o mesmssimo racioccio que para o 13 (pois nem a nem b so divisveis por 7) completa a soluo. Nehab Rhilbert Rivera escreveu: Obrigado por esta soluo usando Teorema de Taylor, mas eu gostaria de uma soluo que usasse a teoria de divisibilidade ou o pequeno teorema de Fermat, se possvel. Mesmo assim, agradeo. (^_^) From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Date: Thu, 4 Sep 2008 10:55:04 -0300 Subject: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Nmeros 1) Seja P(x) = 3x^5 + 5x^3 + 7x = P(1) = 15 P'(x) = 15x^4 + 15 x^2 + 7 = P'(1) = 37 P''(x) = = 60x^3 + 30x = P''('1) = 210 P'''(x) = 180x^2 + 30 = p'''(1) = 210 P(x) = 360x = p(1) = 360 P'(x) = 360 = P(1) = 360 Pelo Teoerema de Taylor, P(x) = P(1) + x P'(1) + x^2/2! P''(2).+ x^5/5! P'(5) Logo, P(x +1) = 15 + 37x + 45x^2 + 35x^3 + 15x^4 + 3x^5 =37x +35x^3 +3x^5 + 15(1 + 3x^2 + x^4) = 7x + 5x^3 + 3x^5 + 30x + 30x^3 +15(1 + 3x^2 + x^4)= P(x) + 30(x + x^3) + 15(1 + 3x^2 + x^4) (1), para todo x Para n =1, temos que P(1) = 15, de modo que 15|P(1) Se, para algum inteiro positivo n, 15 dividir P(n), ento (1) nos mostra que P(n+1) dado pela soma de 3 multiplos de 15, de modo que 15|P(n +1). Por inducao, concluimos que, para todo inteiro positivo n, 15 divide P(n) = 3n^5 + 5n^3 + 7n. Depois penso no 2 Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Rhilbert Rivera Enviada em: tera-feira, 2 de setembro de 2008 15:22 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] 2 de Teoria dos Nmeros Amigos, obrigado por qualquer ajuda as questes abaixo: 1) Mostre que, para todo n natural, 15 divide 3n^5 +5n^3 +7n. 2) Mostrwe que a^12 - b^12 divisvel por 91, se a b so primos com 91. Obrigado (^_ ^) Conhea j o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie j o seu! Notcias direto do New York Times, gols do Lance, videocassetadas e muitos outros vdeos no MSN Videos! Confira j! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
Oi, Rhilbert Realmente este tipo de problema admite um monte de solues, mas j que voc pediu o Fermat (na verdade o pequeno Fermat, l vai): 3n^5 + 5n^3 + 7n = 3(n^5 - n) + 5 (n^3 - n) + 15 (n - 1) = 3A + 5B + 15, onde A multiplo de 5, B multiplo de 3 e ento sua expresso multipla de 15. Seu segundo exerccio: Como 91 = 7 x 13, vamos tentar "fazer acontecer" o pequeno Fermat, mais uma vez. Como a e b so primos com 91, nenhum dos dois divisvel por 13. Logo, (a^12 - 1) e (b^12 -1) so divisveis por 13; logo, sua diferena tambm ... Agora vejamos porque a tal diferena tambm divisvel por 7... Onde estar o 7 (do Fermat) em a^12 - b^12? Certamente em a^6 - b^6 que um de seus fatores, concorda? Logo, o mesmssimo racioccio que para o 13 (pois nem a nem b so divisveis por 7) completa a soluo. Nehab Rhilbert Rivera escreveu: Obrigado por esta soluo usando Teorema de Taylor, mas eu gostaria de uma soluo que usasse a teoria de divisibilidade ou o pequeno teorema de Fermat, se possvel. Mesmo assim, agradeo. (^_^) From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Date: Thu, 4 Sep 2008 10:55:04 -0300 Subject: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Nmeros 1) Seja P(x) = 3x^5 + 5x^3 + 7x = P(1) = 15 P'(x) = 15x^4 + 15 x^2 + 7 = P'(1) = 37 P''(x) = = 60x^3 + 30x = P''('1) = 210 P'''(x) = 180x^2 + 30 = p'''(1) = 210 P(x) = 360x = p(1) = 360 P'(x) = 360 = P(1) = 360 Pelo Teoerema de Taylor, P(x) = P(1) + x P'(1) + x^2/2! P''(2).+ x^5/5! P'(5) Logo, P(x +1) = 15 + 37x + 45x^2 + 35x^3 + 15x^4 + 3x^5 =37x +35x^3 +3x^5 + 15(1 + 3x^2 + x^4) = 7x + 5x^3 + 3x^5 + 30x + 30x^3 +15(1 + 3x^2 + x^4)= P(x) + 30(x + x^3) + 15(1 + 3x^2 + x^4) (1), para todo x Para n =1, temos que P(1) = 15, de modo que 15|P(1) Se, para algum inteiro positivo n, 15 dividir P(n), ento (1) nos mostra que P(n+1) dado pela soma de 3 multiplos de 15, de modo que 15|P(n +1). Por inducao, concluimos que, para todo inteiro positivo n, 15 divide P(n) = 3n^5 + 5n^3 + 7n. Depois penso no 2 Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Rhilbert Rivera Enviada em: tera-feira, 2 de setembro de 2008 15:22 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] 2 de Teoria dos Nmeros Amigos, obrigado por qualquer ajuda as questes abaixo: 1) Mostre que, para todo n natural, 15 divide 3n^5 +5n^3 +7n. 2) Mostrwe que a^12 - b^12 divisvel por 91, se a b so primos com 91. Obrigado (^_ ^) Conhea j o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie j o seu! Notcias direto do New York Times, gols do Lance, videocassetadas e muitos outros vdeos no MSN Videos! Confira j! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
Ah eh verdade, me confundi Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rafael Ando Enviada em: quinta-feira, 4 de setembro de 2008 20:39 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] 2 de Teoria dos Números a não pode ser multiplo de 7, pois nesse caso não seria primo com 91... On Fri, Sep 5, 2008 at 1:18 AM, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]mailto:[EMAIL PROTECTED] wrote: S b = 1, isto não é verdade. Se a for multiplo de 7, entao a^12 é multiplo de 7 e a^12 - 1 nao eh, o que implica que nao seja multiplo de 91 = 7 x 13. A afirmacao talvez seja valida para a,b1. Artur 2) Mostrwe que a^12 - b^12 é divisível por 91, se a b são primos com 91. Obrigado (^_ ^) _ Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie já o seu!http://www.amigosdomessenger.com.br -- Rafael
RE: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
Obrigado por esta solução usando Teorema de Taylor, mas eu gostaria de uma solução que usasse a teoria de divisibilidade ou o pequeno teorema de Fermat, se possível. Mesmo assim, agradeço. (^_^) From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Thu, 4 Sep 2008 10:55:04 -0300Subject: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números 1) Seja P(x) = 3x^5 + 5x^3 + 7x = P(1) = 15 P'(x) = 15x^4 + 15 x^2 + 7 = P'(1) = 37 P''(x) = = 60x^3 + 30x = P''('1) = 210 P'''(x) = 180x^2 + 30 = p'''(1) = 210 P(x) = 360x = p(1) = 360 P'(x) = 360 = P(1) = 360 Pelo Teoerema de Taylor, P(x) = P(1) + x P'(1) + x^2/2! P''(2).+ x^5/5! P'(5) Logo, P(x +1) = 15 + 37x + 45x^2 + 35x^3 + 15x^4 + 3x^5 = 37x + 35x^3 + 3x^5 + 15(1 + 3x^2 + x^4) = 7x + 5x^3 + 3x^5 + 30x + 30x^3 + 15(1 + 3x^2 + x^4) = P(x) + 30(x + x^3) + 15(1 + 3x^2 + x^4) (1), para todo x Para n =1, temos que P(1) = 15, de modo que 15|P(1) Se, para algum inteiro positivo n, 15 dividir P(n), então (1) nos mostra que P(n+1) é dado pela soma de 3 multiplos de 15, de modo que 15|P(n +1). Por inducao, concluimos que, para todo inteiro positivo n, 15 divide P(n) = 3n^5 + 5n^3 + 7n. Depois penso no 2 Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rhilbert RiveraEnviada em: terça-feira, 2 de setembro de 2008 15:22Para: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] 2 de Teoria dos NúmerosAmigos, obrigado por qualquer ajuda ñas questões abaixo: 1) Mostre que, para todo n natural, 15 divide 3n^5 +5n^3 +7n. 2) Mostrwe que a^12 - b^12 é divisível por 91, se a b são primos com 91. Obrigado (^_ ^) Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie já o seu! _ Confira vídeos com notícias do NY Times, gols direto do Lance, videocassetadas e muito mais no MSN Video! http://video.msn.com/?mkt=pt-br
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1) Seja P(x) = 3x^5 + 5x^3 + 7x = P(1) = 15 P'(x) = 15x^4 + 15 x^2 + 7 = P'(1) = 37 P''(x) = = 60x^3 + 30x = P''('1) = 210 P'''(x) = 180x^2 + 30 = p'''(1) = 210 P(x) = 360x = p(1) = 360 P'(x) = 360 = P(1) = 360 Pelo Teoerema de Taylor, P(x) = P(1) + x P'(1) + x^2/2! P''(2).+ x^5/5! P'(5) Logo, P(x +1) = 15 + 37x + 45x^2 + 35x^3 + 15x^4 + 3x^5 = 37x + 35x^3 + 3x^5 + 15(1 + 3x^2 + x^4) = 7x + 5x^3 + 3x^5 + 30x + 30x^3 + 15(1 + 3x^2 + x^4) = P(x) + 30(x + x^3) + 15(1 + 3x^2 + x^4) (1), para todo x Para n =1, temos que P(1) = 15, de modo que 15|P(1) Se, para algum inteiro positivo n, 15 dividir P(n), então (1) nos mostra que P(n+1) é dado pela soma de 3 multiplos de 15, de modo que 15|P(n +1). Por inducao, concluimos que, para todo inteiro positivo n, 15 divide P(n) = 3n^5 + 5n^3 + 7n. Depois penso no 2 Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rhilbert Rivera Enviada em: terça-feira, 2 de setembro de 2008 15:22 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] 2 de Teoria dos Números Amigos, obrigado por qualquer ajuda ñas questões abaixo: 1) Mostre que, para todo n natural, 15 divide 3n^5 +5n^3 +7n. 2) Mostrwe que a^12 - b^12 é divisível por 91, se a b são primos com 91. Obrigado (^_ ^) _ Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie já o seu!http://www.amigosdomessenger.com.br
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S b = 1, isto não é verdade. Se a for multiplo de 7, entao a^12 é multiplo de 7 e a^12 - 1 nao eh, o que implica que nao seja multiplo de 91 = 7 x 13. A afirmacao talvez seja valida para a,b1. Artur 2) Mostrwe que a^12 - b^12 é divisível por 91, se a b são primos com 91. Obrigado (^_ ^) _ Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie já o seu!http://www.amigosdomessenger.com.br