1) Seja
P(x) = 3x^5 + 5x^3 + 7x => P(1) = 15
P'(x) = 15x^4 + 15 x^2 + 7 => P'(1) = 37
P''(x) = = 60x^3 + 30x => P''('1) = 210
P'''(x) = 180x^2 + 30 => p'''(1) = 210
P''''(x) = 360x => p''''(1) = 360
P'''''(x) = 360 => P''''(1) = 360
Pelo Teoerema de Taylor,
P(x) = P(1) + x P'(1) + x^2/2! P''(2).....+ x^5/5! P'''''(5)
Logo, P(x +1) = 15 + 37x + 45x^2 + 35x^3 + 15x^4 + 3x^5 = 37x + 35x^3 + 3x^5
+ 15(1 + 3x^2 + x^4) = 7x + 5x^3 + 3x^5 + 30x + 30x^3 + 15(1 + 3x^2 + x^4) =
P(x) + 30(x + x^3) + 15(1 + 3x^2 + x^4) (1), para todo x
Para n =1, temos que P(1) = 15, de modo que 15|P(1)
Se, para algum inteiro positivo n, 15 dividir P(n), então (1) nos mostra que
P(n+1) é dado pela soma de 3 multiplos de 15, de modo que 15|P(n +1). Por
inducao, concluimos que, para todo inteiro positivo n, 15 divide P(n) = 3n^5 +
5n^3 + 7n.
Depois penso no 2
Artur
-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rhilbert Rivera
Enviada em: terça-feira, 2 de setembro de 2008 15:22
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
Amigos, obrigado por qualquer ajuda ñas questões abaixo:
1) Mostre que, para todo n natural, 15 divide 3n^5 +5n^3 +7n.
2) Mostrwe que a^12 - b^12 é divisível por 91, se a b são primos com 91.
Obrigado (^_ ^)
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