De acordo com tudo que os colegas colocaram, segue as soluções que elaborei.
Agradeço a preciosa ajuda de todos.
Muito obrigado a todos.
(^_^)
1) Vou mostrar que é divisível por 3 e 5
3n^5 = 0 (mod 3)
Então precisamos mostrar que 5n^3 + 7n (mod 3)
= (6-1)n^3 + (6+1)n
= -n^3 + n
= -n(n^2 - 1)
= -(n-1)n(n+1) = 0 (mod 3) produto de 3 números
consecutivos.
Agora falta provar que 3n^5 + 5n^3 + 7n (mod 5)
= 3n^5 + 7n = (5-2)n^5 + (5+2)n = -2n^5 + 2n =
-2n(n^4 - 1)
Se n é primo com 5 temos n^4 = 1 (mod 5) (pequeno teorema de Fermat)
n^4 - 1 = 0 (mod 5)
Se n não é primo com 5 , então n = 0 (mod 5), logo de qualquer maneira
-2n(n^4 - 1) = 0 (mod 5). Divisível por 5.
Conclusão 3n^5 + 5n^3 + 7n = 0 (mod 15)
2) Sabendo que 91 = 7 x 13 vamos provar que a expressão é divisível pó r 7
e 13
a^12 - b^12 (mod 7)
a^6 = 1 (mod 7) então a^12 = 1 (mod 7)
b^6 = 1 (mod 7) so b^12 = 1 (mod 7)
Assim, a^12 - b^12 = 1 - 1 (mod 7) = 0 (mod 7)
a^12 = 1 (mod 13) e b^12 = 1 (mod 13)
a^12 - b^12 = 1 - 1 = 0 (mod 13)
Então, a^12 - b^12 = 0 (mod 91)
Date: Sat, 6 Sep 2008 19:12:06 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]:
Re: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
Oi, RhilbertRealmente este tipo de problema admite um monte de soluções, mas já
que você pediu o Fermat (na verdade o pequeno Fermat, lá vai):3n^5 + 5n^3 + 7n
= 3(n^5 - n) + 5 (n^3 - n) + 15 (n - 1) = 3A + 5B + 15, onde A é multiplo de
5, B é multiplo de 3 e então sua expressão é multipla de 15.Seu segundo
exercício:Como 91 = 7 x 13, vamos tentar "fazer acontecer" o pequeno Fermat,
mais uma vez. Como a e b são primos com 91, nenhum dos dois é divisível por
13. Logo, (a^12 - 1) e (b^12 -1) são divisíveis por 13; logo, sua diferença
também é...Agora vejamos porque a tal diferença também é divisível por 7...Onde
estará o 7 (do Fermat) em a^12 - b^12? Certamente em a^6 - b^6 que é um de
seus fatores, concorda? Logo, o mesmíssimo raciocício que para o 13.... (pois
nem a nem b são divisíveis por 7) completa a solução. Nehab Rhilbert Rivera
escreveu:
Obrigado por esta solução usando Teorema de Taylor, mas eu gostaria de uma
solução que usasse a teoria de divisibilidade ou o pequeno teorema de Fermat,
se possível.Mesmo assim, agradeço.(^_^)
From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Thu, 4 Sep 2008 10:55:04
-0300Subject: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
1) Seja
P(x) = 3x^5 + 5x^3 + 7x => P(1) = 15
P'(x) = 15x^4 + 15 x^2 + 7 => P'(1) = 37
P''(x) = = 60x^3 + 30x => P''('1) = 210
P'''(x) = 180x^2 + 30 => p'''(1) = 210
P''''(x) = 360x => p''''(1) = 360
P'''''(x) = 360 => P''''(1) = 360
Pelo Teoerema de Taylor,
P(x) = P(1) + x P'(1) + x^2/2! P''(2).....+ x^5/5! P'''''(5)
Logo, P(x +1) = 15 + 37x + 45x^2 + 35x^3 + 15x^4 + 3x^5 = 37x + 35x^3 + 3x^5
+ 15(1 + 3x^2 + x^4) = 7x + 5x^3 + 3x^5 + 30x + 30x^3 + 15(1 + 3x^2 + x^4) =
P(x) + 30(x + x^3) + 15(1 + 3x^2 + x^4) (1), para todo x
Para n =1, temos que P(1) = 15, de modo que 15|P(1)
Se, para algum inteiro positivo n, 15 dividir P(n), então (1) nos mostra que
P(n+1) é dado pela soma de 3 multiplos de 15, de modo que 15|P(n +1). Por
inducao, concluimos que, para todo inteiro positivo n, 15 divide P(n) = 3n^5 +
5n^3 + 7n.
Depois penso no 2
Artur
-----Mensagem original-----De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome
de Rhilbert RiveraEnviada em: terça-feira, 2 de setembro de 2008 15:22Para:
[EMAIL PROTECTED]: [obm-l] 2 de Teoria dos NúmerosAmigos, obrigado por qualquer
ajuda ñas questões abaixo: 1) Mostre que, para todo n natural, 15 divide 3n^5
+5n^3 +7n. 2) Mostrwe que a^12 - b^12 é divisível por 91, se a b são primos com
91. Obrigado (^_ ^)
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