Caro Daniel:
Suponhamos que N = A0 + A1*10 + A2*10^2 + A3*10^3 +
...
Usando congruência mod 11 teremos:
N = A0 - A1 + A2 - A3 + ... = (A0 + A2 + ..)
- (A1 + A3 + .. ) = 11 - 7 = 4 (mod
11)
Agora, o expoente:
(10x+1)^18 = (10x)^18 + 18*(10x)^17
+ ...18*(10x) + 1 = 10y + 1, para um certo natural y.
Pelo Pequeno Teorema de Fermat, se mdc(N,11) = 1,
N^10 = 1 (mod 11)
Como N = 4 (mod 11), temos que mdc(N,10) = 1 ==>
N^10 = 1 (mod 11) ==> N^(10y) = (N^10)^y = 1^y = 1 (mod 11)
==>
N^(10y+1) = N^(10y) * N = 1 * N = N = 4 (mod
11).
Assim, o resto da divisão é igual a 4.
Em geral, quando se quer calcular o resto da
divisão de A^B (ou mesmo, A^(B^C)) por algum número, é quase sempre necessário
usar o Pequeno Teorema de Fermat (se o número é primo), ou sua generalização, o
Teorema de Euler, que diz:
Se A e N são inteiros com N é positivo e mdc(A,N) =
1 então A^Phi(N) = 1 (mod N), onde Phi(N) é o número de inteiros positivos
menores do que N e primos com N.
Um abraço,
Claudio.
|
- [obm-l] Divisibilidade Euraul
- Re: [obm-l] Divisibilidade Alexandre F. Terezan
- Re: [obm-l] Divisibilid... Angelo Barone Netto
- Re: [obm-l] Divisib... Alexandre F. Terezan
- Re: [obm-l] Divisibilidade Eduardo Wagner
- [obm-l] ln(2) Daniel Lavouras
- Re: [obm-l] ln(2) Augusto César Morgado
- Re: [obm-l] ln(2) Nicolau C. Saldanha
- [obm-l] divisibilidade Daniel Pini
- [obm-l] Divisibilidade Cláudio \(Prática\)
- [obm-l] Divisibilidade Denisson
- Re: [obm-l] Divisibilid... Fábio \"ctg \\pi\" Dias Moreira
- [obm-l] Fwd: Divisi... Alexandre Augusto da Rocha
- Re: [obm-l] Divisibilid... Marcio
- Re: [obm-l] Divisibilidade Frederico Reis Marques de Brito
- Re: [obm-l] Divisibilid... Orestes
- Re: [obm-l] Divisib... Ariel de Silvio
- [obm-l] Divisibilidade amurpe
- Re: [obm-l] Divisibilid... Nicolau C. Saldanha
- Re: [obm-l] Divisibilid... Aleandre Augusto da Rocha