-----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE----- Hash: SHA1 Em Sex 27 Jun 2003 01:32, Denisson escreveu: > Algu�m poderia demonstrar como se chegou aos crit�rios de divisibilidade? > Em especial aos mais dificeis como o crit�rio do 17. N�o pe�o uma > demonstra��o matem�tica formal, pe�o algum argumento l�gico. > [...]
Suponha que voc� quer o crit�rio de divisibilidade por um primo m, inspirado na id�ia de arrancar o �mtimo d�gito do n�mero. Suponha que n = 10a + b. Suponha que ap�s arrancarmos o �ltimo d�gito, ele seja multiplicado por c. Ent�o o novo n, n', � a - bc. Se descobrirmos constantes x, y e z tais que xn + yn' = mp (*) onde p � uma fun��o de a, b e c, e nem x nem y s�o m�ltiplos de m, ent�o temos um crit�rio de divisibilidade para m (se um dos termos do lado esquerdo for m�ltiplo de m, o outro tamb�m deve ser). Exemplo: Seja m = 7. Ent�o a equa��o (*) se escreve como x(10a + b) + y(a - bc) = 7p a(10x + y) + b(x - yc) = 7p Basta encontar x, y e c tais que tanto 10x + y quanto x - yc sejam m�ltiplos de 7. Mas ent�o 10x + y - 10*(x - yc) = y(1 + 10c) � m�ltiplo de 7. Mas y n�o � m�ltiplo de 7, logo 1 + 10c � m�ltiplo de 7. Um c pequeno que satisfaz isso � c = 2. Logo 10x + y e x - 2y s�o m�ltiplos de 7. N�o � muito dif�cil achar um par que satisafa�a isso (x=1 e y=4, por exemplo). Logo o crit�rio de divisibilidade por 7 � arrancar o �ltimo d�gito e subtrair o seu dobro do n�mero restante. Note que a escolha de x e y n�o importa. De fato, 10x + y = 0 e x - 2y = 0 s�o express�es equivalentes m�dulo 7, logo tomar y = 1 e x qualquer funciona. Mas agora olhe para o problema no caso geral novamente. A equa��o (*) significa a(10x + y) + b(x - yc) = mp logo basta encontrar x, y, c tais que (10x + y) e (x - yc) sejam m�ltiplos de m, o que implica que 10x + y - 10*(x - yc) = y(1 + 10c) � m�ltiplo de m, o que implica que 1 + 10c � m�ltiplo de m. Armado de tal c, basta achar x e y tais que 10x + y e x - yc seja m�ltiplos de m. Mas x = c, y = 1 � uma solu��o autom�tica. Logo todo o problema se resume a achar tal c. Mas os m�ltiplos de m da forma 10c + 1: i) ou s�o positivos e terminam em 1 ii) ou s�o negativos e terminam em 9. Logo, para descobrir um valor de c, basta listar os m�ltiplos de m at� encontar o primeiro m�ltiplo que termine em 1 ou 9. Se ele for da forma xyz1, c = xyz. Se for da forma xyz9, c = -xyz - 1 (muito cuidado: um c negativo significa subtrair um m�ltiplo negativo do �ltimo d�gito, i.e. voc� est� *somando* um m�ltiplo do �ltimo d�gito). Exemplo: m = 13. Quais s�o os m�ltiplos de 13? 13, 26, *39*, 52, ... Logo c = -3-1 = -4. Logo a regra de divisibilidade � arrancar o �ltimo d�gito e som�-lo, multiplicado por 4, ao n�mero restante. (Tente isso com 13*246346356 = 3202502628) Exemplo: m = 17. Quais s�o os m�ltiplos de 17? 17, 34, *51*, ... Logo c = 5. Logo a regra de divisibilidade � arrancar o �ltimo d�gito e subtra�-lo, multiplicado por 5, do n�mero restante. (Tente isso com 17*7612058 = 129404986) Isso tem uma conseq��ncia legal: Achar a regra de divisibilidade por um primo m qualquer terminado em 1 ou 9 (i.e. 11, 31, 41, ..., 19, 29, 59, ...) � trivial. []s, - -- F�bio "ctg \pi" Dias Moreira -----BEGIN PGP SIGNATURE----- Version: GnuPG v1.0.6 (GNU/Linux) Comment: For info see http://www.gnupg.org iD8DBQE+/HknalOQFrvzGQoRArKdAJ92brzRRBv1H6GBEQcmrttmOTKp+ACgoyh2 OXzZ5WKFDns2rqQWRpB9ugM= =n1iC -----END PGP SIGNATURE----- ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
