To forwarding pq nao achei link nos arquivos. Enquanto procurava achei essa aki que tb trata do assunto http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200103/msg00101.html
----- Original Message ----- From: "F�bio "ctg \pi" Dias Moreira" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, June 27, 2003 12:04 PM Subject: Re: [obm-l] Divisibilidade > -----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE----- > Hash: SHA1 > > Em Sex 27 Jun 2003 01:32, Denisson escreveu: > > Algu�m poderia demonstrar como se chegou aos crit�rios de divisibilidade? > > Em especial aos mais dificeis como o crit�rio do 17. N�o pe�o uma > > demonstra��o matem�tica formal, pe�o algum argumento l�gico. > > [...] > > Suponha que voc� quer o crit�rio de divisibilidade por um primo m, inspirado > na id�ia de arrancar o �mtimo d�gito do n�mero. Suponha que n = 10a + b. > Suponha que ap�s arrancarmos o �ltimo d�gito, ele seja multiplicado por c. > Ent�o o novo n, n', � a - bc. Se descobrirmos constantes x, y e z tais que > > xn + yn' = mp (*) > > onde p � uma fun��o de a, b e c, e nem x nem y s�o m�ltiplos de m, ent�o temos > um crit�rio de divisibilidade para m (se um dos termos do lado esquerdo for > m�ltiplo de m, o outro tamb�m deve ser). > > Exemplo: Seja m = 7. Ent�o a equa��o (*) se escreve como > > x(10a + b) + y(a - bc) = 7p > > a(10x + y) + b(x - yc) = 7p > > Basta encontar x, y e c tais que tanto 10x + y quanto x - yc sejam m�ltiplos > de 7. Mas ent�o 10x + y - 10*(x - yc) = y(1 + 10c) � m�ltiplo de 7. Mas y n�o > � m�ltiplo de 7, logo 1 + 10c � m�ltiplo de 7. Um c pequeno que satisfaz isso > � c = 2. Logo 10x + y e x - 2y s�o m�ltiplos de 7. N�o � muito dif�cil achar > um par que satisafa�a isso (x=1 e y=4, por exemplo). Logo o crit�rio de > divisibilidade por 7 � arrancar o �ltimo d�gito e subtrair o seu dobro do > n�mero restante. > > Note que a escolha de x e y n�o importa. De fato, 10x + y = 0 e x - 2y = 0 s�o > express�es equivalentes m�dulo 7, logo tomar y = 1 e x qualquer funciona. > > Mas agora olhe para o problema no caso geral novamente. A equa��o (*) > significa > > a(10x + y) + b(x - yc) = mp > > logo basta encontrar x, y, c tais que (10x + y) e (x - yc) sejam m�ltiplos de > m, o que implica que 10x + y - 10*(x - yc) = y(1 + 10c) � m�ltiplo de m, o > que implica que 1 + 10c � m�ltiplo de m. Armado de tal c, basta achar x e y > tais que 10x + y e x - yc seja m�ltiplos de m. Mas x = c, y = 1 � uma solu��o > autom�tica. > > Logo todo o problema se resume a achar tal c. Mas os m�ltiplos de m da forma > 10c + 1: > > i) ou s�o positivos e terminam em 1 > ii) ou s�o negativos e terminam em 9. > > Logo, para descobrir um valor de c, basta listar os m�ltiplos de m at� > encontar o primeiro m�ltiplo que termine em 1 ou 9. Se ele for da forma xyz1, > c = xyz. Se for da forma xyz9, c = -xyz - 1 (muito cuidado: um c negativo > significa subtrair um m�ltiplo negativo do �ltimo d�gito, i.e. voc� est� > *somando* um m�ltiplo do �ltimo d�gito). > > Exemplo: m = 13. Quais s�o os m�ltiplos de 13? > > 13, 26, *39*, 52, ... > > Logo c = -3-1 = -4. Logo a regra de divisibilidade � arrancar o �ltimo d�gito > e som�-lo, multiplicado por 4, ao n�mero restante. > > (Tente isso com 13*246346356 = 3202502628) > > Exemplo: m = 17. Quais s�o os m�ltiplos de 17? > > 17, 34, *51*, ... > > Logo c = 5. Logo a regra de divisibilidade � arrancar o �ltimo d�gito e > subtra�-lo, multiplicado por 5, do n�mero restante. > > (Tente isso com 17*7612058 = 129404986) > > Isso tem uma conseq��ncia legal: Achar a regra de divisibilidade por um primo > m qualquer terminado em 1 ou 9 (i.e. 11, 31, 41, ..., 19, 29, 59, ...) � > trivial. > > []s, > > - -- > F�bio "ctg \pi" Dias Moreira > -----BEGIN PGP SIGNATURE----- > Version: GnuPG v1.0.6 (GNU/Linux) > Comment: For info see http://www.gnupg.org > > iD8DBQE+/HknalOQFrvzGQoRArKdAJ92brzRRBv1H6GBEQcmrttmOTKp+ACgoyh2 > OXzZ5WKFDns2rqQWRpB9ugM= > =n1iC > -----END PGP SIGNATURE----- > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
