[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_O_Erro_Comum_da_Generalização_(_Ou_induções_equivocadas_)_

[J.Paulo roxer ´til the end]

Vc não se considera prepotente quando escreve coisas como "não admito que 
NINGUÉM, especialmente um ignorante em Matemática " e "exijo que o sr 
paulo recolha-se a sua insignificância "???
Sou um inútil completo,não sei de nada,nunca 
estudei,não estudo nem sirvo pra nada,correto?
Certo,vc sabe de tudo,entende tudo que diz respeito à matemática,é o ser 
supremo que merece a atenção de todos e merece ser muito respeitado.
 
João Paulo

  - Original Message - 
  From: 
  Frederico 
  Reis Marques de Brito 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Tuesday, July 15, 2003 12:01 
  AM
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] 
  Re:_[obm-l]_O_Erro_Comum_da_Generalização_(_Ou_induções_equivocadas_)_
  Para bom entender pingo é i e não há dúvida de que os 
  matemáticos estão nesta classe. Posto isto, quero dizer que não admito que 
  NINGUÉM, especialmente um ignorante em Matemática e em outros assuntos tb, 
  venha até uma lista de discussão sobre Matemática , como alguém  bem 
  disse , nossa casa, e nos desrespeite a todos. Por isso, sem palavras 
  sábias, exijo que o sr paulo recolha-se a sua insignificância e retire-se 
  dessa lista, deixe-nos em nosso mundo "bitolado" em sua opinião, mas 
  harmônico, produtivo e belo para nós."PARA O QUE NÃO TEM MAIS 
  RAZÃO , A CALMA DO LOUCO ENSINOU A DIZER NADA,PARA O QUE NÃO TEM MAIS 
  NADA, A CALMA DO LOUCO ENSINOU A DIZER RAZÃO."(A Sede do Peixe - Milton 
  Nasc./Fernando Brant. )><[EMAIL PROTECTED]> escreveu: 
  > Não é>questão de sofisma nem são casos> > 
  isolados.> > Se reclamo,é com sustentação> > 
  argumentativa.Basta verificar a qualidade do> > ensino matemático e 
  a aprendizagem dos alunos.> >> > Vc fica na defensiva e 
  acredita que por meio de> > palavras "sábias" consegue esconder a 
  verdade.É> > muito simples,os médicos hipócritas defendem os> 
  > médicos hipócritas,os dentistas hipócritas> > defendem os 
  dentistas hipócritas,e por aí vai.> >> > João 
  Paulo> >> >> > - Original Message 
  -> >   From: Frederico Reis Marques de Brito> 
  >   To: [EMAIL PROTECTED]> 
  >   Sent: Sunday, July 13, 2003 1:16 AM> >   
  Subject: [obm-l] O Erro Comum da> > Generalização ( Ou induções 
  equivocadas )> >> >> >> >> 
  >> >   Há muito tenho me impressionado com a> 
  > capacidade, creio exacerbada sobretudo> >   nos 
  brasileiros, de falarem com certeza sobre> > temas que 
  absolutamente> >   desconhecem. É bastante comum um aluno 
  do> > ciclo básico de qq curso de> >   
  engenharia afirmar que os cursos de cálculo> > diferencial e 
  integral são> >   desnecessários, posto que 
  existem> > calculadoras científicas altamente> 
  >   avançadas.  Ainda pior,  muitos alunos dos> 
  > ensinos fundamental e médio , e> >   tb 
  "pré-vestibulandos"  que , ainda que com> > enorme 
  desconhecimento de> >   mérito, apostam que a Matemática é 
  algo> > abominável e absolutamente> >   
  desnecessário a um cidadão "comum", mesmo sem> > saber exatamente o 
  que vem a> >   ser Matemática. Afirmações do tipo: "todos 
  os> > professores (... )"  são, à> >   luz 
  da lógica matemática, absolutamente> > levianas, pois se tratam 
  da> >   mal-fadada indução e´pírica, isto é, a> 
  > generalização de um fato à partir de> >   uma certa 
  quantidade de casos particulares.> > Causa-me certa estranheza 
  o> >   comportamento desrespeitoso com que uma> 
  > ciência, e evidentemente> >   encontram-se aí 
  desrespeitados seus> > pesquisadores, é tratada por aqueles> 
  >   que, por qq motivo, não a conhecem. è mais ou> > 
  menos como a atitude da> >   criança que nunca comeu uma 
  certa verdura,> > mas não gosta da mesma. Seria> 
  >   sadio que nós professores de Matemática,> > 
  principalmente, especialmente> >   aqueles que formam os 
  futuros professores ,> > como meu caso, tentássemos cada> 
  >   dia mais , reduzir o distanciamento entre o> > mito 
  matemático e a realidade> >   matemática. Só assim 
  deixaríamos de ser> > vítimas( ou algozes... ) do sistema> 
  >   educacional vigente.> >> >   
  Saudações,> >   Frederico.> >> 
  >> 
  >>_> 
  >   MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil.> > http://www.hotmail.com> >> 
  >> 
  >>=> 
  >   Instruções para entrar na lista, sair da> > lista e 
  usar a lista em> >> 
  >>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> 
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Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Progressões: EXTREMAMENTE.......

[A. C. Morgado]

Eh claro que S(12 000) nao eh igual a 10 exatamente, Alexandre. Conforme 
o esboço de prova abaixo, S(n) nao pode ser inteiro para n>1.
Alem disso, me inclua fora do voces. Quando voce nao gostar de um 
problema, por favor, replique a mensagem original. O problema que 
introduzi na discussao eh muito interessante e foi de uma das primeiras 
OBM. Foi introduzido na discussao porque o Artur nao conhecia o 
resultado. Voce esta reclamando de um problema que uma leitura 
superficial do enunciado revelava conter hipoteses falsas. Meus 
comentarios a respeito do problema estao explicitos nas duas mensagens 
que enviei.
Repetindo, eh impossivel, para n>1, que S(n) seja inteiro.

Alexandre Daibert wrote:

Espera aí, vcs estão dizendo q a resposta do problema é q simplesmente 
não há reposta??? Não é por nada não, disseram q o problema é 
interessante, mas se eu entendi direito o problema é uma porcaria, 
está na cara q não existe S(k)=100 , mas ele dá a entender que quer um 
número q seja, digamos, muito próximo a 100. Gostaria de lançar outro 
problema então. O mesmo problema, mas agora utilizando ao invés de 
S(k)=100, S(k)"o mais próximo de"100. Alguém teria alguma solução?? 
Outra dúvida, S(12000) é realmente igual a 10 exatamente
Espero alguma resposta dos colegas
:)

Alexandre Daibert

A. C. Morgado escreveu:

Tome a fração cujo denominador fatorado contem a maior potencia de 2, 
2^p. Essa fraçao eh unica (prove por absurdo!). Some as fraçoes, 
reduzindo-as ao denominador que seja o MMC dos denominadores. Tal MMC 
serah (2^p)*impar . Constate, com imensa alegria, que o numerador da 
soma eh impar. Conclua.

Artur Costa Steiner wrote:

(nao sei se existe algum inteiro k que leve a S(k) = 100)

Eu sei. Isso foi um problema de uma das primeiras OBM.
Prove que nao existe n>1 tal que soma de 1/k com k variando de 1 a n 
seja inteiro.
O problema eh interessante, inclusive pporque parece ser mais 
dificil do que verdadeiramente eh.

 

Oi Morgado! Poderia dar uma deixa de como provar isso?

Abracos

Artur

 



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Extensão...OBM 2002

[MuriloRFL]

Questão legal:
Agora resolva:
 
x=sqrt(3-sqrt(3+sqrt(3+x)))
 
Pensamento do dia
 
"Quem conhece o outro é 
inteligente,
 Quem conhece a si mesmo é 
iluminado!
 Quem vence o outro é forte,
 Quem vence a si mesmo é 
invencível"
 
Mao-tse-tung
 
 

Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Progressões: EXTREMAMENTE.......

[Alexandre Daibert]

Espera aí, vcs estão dizendo q a resposta do problema é q simplesmente 
não há reposta??? Não é por nada não, disseram q o problema é 
interessante, mas se eu entendi direito o problema é uma porcaria, está 
na cara q não existe S(k)=100 , mas ele dá a entender que quer um número 
q seja, digamos, muito próximo a 100. Gostaria de lançar outro problema 
então. O mesmo problema, mas agora utilizando ao invés de S(k)=100, 
S(k)"o mais próximo de"100. Alguém teria alguma solução?? Outra dúvida, 
S(12000) é realmente igual a 10 exatamente
Espero alguma resposta dos colegas
:)

Alexandre Daibert

A. C. Morgado escreveu:

Tome a fração cujo denominador fatorado contem a maior potencia de 2, 
2^p. Essa fraçao eh unica (prove por absurdo!). Some as fraçoes, 
reduzindo-as ao denominador que seja o MMC dos denominadores. Tal MMC 
serah (2^p)*impar . Constate, com imensa alegria, que o numerador da 
soma eh impar. Conclua.

Artur Costa Steiner wrote:

(nao sei se existe algum inteiro k que leve a S(k) = 100)

Eu sei. Isso foi um problema de uma das primeiras OBM.
Prove que nao existe n>1 tal que soma de 1/k com k variando de 1 a n 
seja inteiro.
O problema eh interessante, inclusive pporque parece ser mais dificil 
do que verdadeiramente eh.

 

Oi Morgado! Poderia dar uma deixa de como provar isso?

Abracos

Artur

 



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[obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_O_Erro_Comum_da_Generalização_(_Ou_induções_equivocadas_)_

[Frederico Reis Marques de Brito]

Para bom entender pingo é i e não há dúvida de que os matemáticos estão 
nesta classe. Posto isto, quero dizer que não admito que NINGUÉM, 
especialmente um ignorante em Matemática e em outros assuntos tb, venha até 
uma lista de discussão sobre Matemática , como alguém  bem disse , nossa 
casa, e nos desrespeite a todos. Por isso, sem palavras sábias, exijo que o 
sr paulo recolha-se a sua insignificância e retire-se dessa lista, deixe-nos 
em nosso mundo "bitolado" em sua opinião, mas harmônico, produtivo e belo 
para nós.

"PARA O QUE NÃO TEM MAIS RAZÃO , A CALMA DO LOUCO ENSINOU A DIZER NADA,
PARA O QUE NÃO TEM MAIS NADA, A CALMA DO LOUCO ENSINOU A DIZER RAZÃO."
(A Sede do Peixe - Milton Nasc./Fernando Brant. )

<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Não é
questão de sofisma nem são casos
> isolados.
> Se reclamo,é com sustentação
> argumentativa.Basta verificar a qualidade do
> ensino matemático e a aprendizagem dos alunos.
>
> Vc fica na defensiva e acredita que por meio de
> palavras "sábias" consegue esconder a verdade.É
> muito simples,os médicos hipócritas defendem os
> médicos hipócritas,os dentistas hipócritas
> defendem os dentistas hipócritas,e por aí vai.
>
> João Paulo
>
>
> - Original Message -
>   From: Frederico Reis Marques de Brito
>   To: [EMAIL PROTECTED]
>   Sent: Sunday, July 13, 2003 1:16 AM
>   Subject: [obm-l] O Erro Comum da
> Generalização ( Ou induções equivocadas )
>
>
>
>
>
>   Há muito tenho me impressionado com a
> capacidade, creio exacerbada sobretudo
>   nos brasileiros, de falarem com certeza sobre
> temas que absolutamente
>   desconhecem. É bastante comum um aluno do
> ciclo básico de qq curso de
>   engenharia afirmar que os cursos de cálculo
> diferencial e integral são
>   desnecessários, posto que existem
> calculadoras científicas altamente
>   avançadas.  Ainda pior,  muitos alunos dos
> ensinos fundamental e médio , e
>   tb "pré-vestibulandos"  que , ainda que com
> enorme desconhecimento de
>   mérito, apostam que a Matemática é algo
> abominável e absolutamente
>   desnecessário a um cidadão "comum", mesmo sem
> saber exatamente o que vem a
>   ser Matemática. Afirmações do tipo: "todos os
> professores (... )"  são, à
>   luz da lógica matemática, absolutamente
> levianas, pois se tratam da
>   mal-fadada indução e´pírica, isto é, a
> generalização de um fato à partir de
>   uma certa quantidade de casos particulares.
> Causa-me certa estranheza o
>   comportamento desrespeitoso com que uma
> ciência, e evidentemente
>   encontram-se aí desrespeitados seus
> pesquisadores, é tratada por aqueles
>   que, por qq motivo, não a conhecem. è mais ou
> menos como a atitude da
>   criança que nunca comeu uma certa verdura,
> mas não gosta da mesma. Seria
>   sadio que nós professores de Matemática,
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>   aqueles que formam os futuros professores ,
> como meu caso, tentássemos cada
>   dia mais , reduzir o distanciamento entre o
> mito matemático e a realidade
>   matemática. Só assim deixaríamos de ser
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Paulo e suas ...

[Eduardo Wagner]

Title: Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Paulo e suas ... 



Atencao usuarios:

A lista absolutamente nao pode receber mensagens
deste tipo.
Diferencas pessoais devem ser resolvidas pessoalmente.
Por favor, nao enviem mais mensagens deste teor.



--
From: "J.Paulo roxer ´til the end" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Paulo e suas ... 
Date: Sun, Jul 13, 2003, 5:37 PM


Se reclamar e questionar fosse chatice,os filósofos seriam assassinados.
 
Em vez de me chamar de chato,por q não sugere algum lugar pra colocar minhas dúvidas?Vc contribuiria mais.
 
João Paulo
- Original Message - 
From: [EMAIL PROTECTED]   
To: [EMAIL PROTECTED]   
Sent: Sunday, July 13, 2003 4:12 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Paulo e suas ... 

>Vc só consegue me chamar de idiota,porq sou o único leigo.Se a maioria
aqui
>não fosse campeão de olimpíadas,teriam a minha reação,pediriam mais explicação
>para tantas questões entediantes,que a maioria não entende(Os normais).

.. vc não está vendo que está reclamando no lugar errado ?
deixa de ser chato !!


"Mathematicus nascitur, non fit"
Matemáticos não são feitos, eles nascem
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Gabriel Haeser
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Re: [obm-l] Enc: problema

[Fabio Henrique]

Em 14 Jul 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 

>- Mensagem encaminhada de WALTER DE FRANCISCO - 
> Data: Fri, 4 Jul 2003 16:27:47 -0300 
> De: WALTER DE FRANCISCO 
>Reponder para: WALTER DE FRANCISCO 
> Assunto: problema 
> Para: [EMAIL PROTECTED] 
> 
> Caro Jorge, 
> 
> Minha interpretação do problema é a seguinte: 
> 1. Parto da hipótese que só tinha 20 
> 2. Após a primeira venda fiquei com 30 
> 3. Para recomprar por 50, tomo 20 emprestado 
> 4. Revendo por 60, pago os 20 e fico com 40 
 DONDE 30 SÃO PARA REPOR OS MESMOS TRINTA QUE INVESTI. 
> 5. Se só tinha 20 e agora tenho 40, o lucro foi de 100% 
> 
> Obviamente, pode haver outras interpretações, mas esta me parece a mais 
>coerente. 
> Agora, quero saber o porquê da despedida. Continue comunicando porque eu 
>gosto dessas 
> curiosidades. Tenho também algumas e em breve lhe passarei. 
> Um abraço. 
> 
>- Finalizar mensagem encaminhada - 
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>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
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Re: [obm-l] Fw: Lista OBM

[Eduardo Wagner]

Title: Re: [obm-l] Fw: Lista OBM



O que eh isso minha gente?
A lista nao pode conter mensagens deste tipo!

--
From: "J.Paulo roxer ´til the end" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: [obm-l] Fw: Lista OBM
Date: Sun, Jul 13, 2003, 10:04 PM


Por q vc não sai da teoria,constrói alguma coisa útil com matemática e explica o q vc sabe em vez de enviar besteiras pra mim?
 
- Original Message - 
From: Sérgio Martins   
To: [EMAIL PROTECTED]   
Sent: Sunday, July 13, 2003 9:17 PM
Subject: Lista OBM

Cara, você é chato. E bobo. Feio. Cara de mamão.

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Re: [obm-l] Conjuntos - Justificativa

[Eduardo Casagrande Stabel]

Oi Leandro.
 
O Paulo Santa Rita deu uma resposta excelente sobre 
essa questão, como ele sempre dá. O que acontece é que a afirmativa do José 
Franscisco Guimarães Costa é falsa pois o sentido 
da palavra máximo do conjunto é um elemento DO CONJUNTO que é maior ou igual a 
todos os outros.
 
É fácil de ver que o conjunto, por exemplo, N = {x 
real : x < 0} possui uma cota superior: pode ser o zero. Segue do axioma do 
sup, que este conjunto possui um supremo, isto é, existe um número real R tal 
que todo elemento de N é menor ou igual a R e R é menor ou igual a todo 
real R' com esta propriedade. Só que este supremo não precisa pertencer ao 
conjunto N, e neste caso, de fato, não pertence. Portanto o conjunto N não tem 
um máximo, isto é, seu limite superior não está no conjunto.
 
Agora falei mais explicitamente o que eu queria ter 
dito.
 
Abração!
Duda.

  - Original Message - 
  From: 
  Leandro 
  Fernandes 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Monday, July 14, 2003 3:23 AM
  Subject: Re: [obm-l] Conjuntos - 
  Justificativa
  
  Então você está dizendo que essa afirmativa é 
  falsa?
   
  Se um conjunto X possuir ao menos dois elementos 
  máximos e iguais, este conjunto não tem máximo. É isso? Como poderia 
  justificar isso?
   
  
- Original Message - 
From: 
Eduardo 
Casagrande Stabel 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Sunday, July 13, 2003 10:12 
PM
Subject: Re: [obm-l] Conjuntos - 
Justificativa

José.
 
Um conjunto X tem um máximo se ele possui um 
elemento x que é maior ou igual a todos os outros elementos de X. 

 
Duda.

  - Original Message - 
  From: 
  Jose 
  Francisco Guimaraes Costa 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Sunday, July 13, 2003 10:03 
  PM
  Subject: [obm-l] Conjuntos - 
  Justificativa
  
  Comentário de um não-matemático que às vezes 
  confunde definições com postulados com teoremas, sobre a pergunta original 
  do Leandro.
   
  Ora, se o conjunto é "limitado 
  superiormente",  nenhum de seus elementos pode ser maior que o 
  limite superior. Logo, ele certamente tem um máximo (que é menor ou 
  igual ao limite), e isto seria um corolário.
   
  Falei bobagem?
   
  JF 
  - Original Message - 
  From: "Eduardo Casagrande Stabel" 
  <[EMAIL PROTECTED]>
  To: <[EMAIL PROTECTED]>
  Sent: Sunday, July 13, 2003 9:20 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] Conjuntos - 
  Justificativa
  > Caro Leandro.> > Este é o chamado 
  axioma do sup. É equivalente a muitos outros, e não> costuma-se 
  demonstrá-lo e sim usá-lo como axioma. Se você ainda quiser> 
  demonstrá-lo, terá de estabalecer todos os axiomas dos reais, isto é, os 
  que> você está usando (ou o livro). Do contrário, fica impossível 
  ajudá-lo.> > Abração!> Duda.> > From: 
  "Leandro Fernandes" <[EMAIL PROTECTED]>> > Pessoal, não consigo dar uma justificativa 
  plausível para esta afirmação:> >> > "Todo conjunto 
  não vazio de números racionais limitado superiormente tem> > 
  máximo"> >> > Alguém tem alguma sugestão?> 
  >> > 
Leandro

Re: [obm-l] questoes envolvendo idades

[David Ricardo]

1) Julio falou: Se eu tivesse 5/6 da idade que tenho e se Antonio, meu
irmao, tivesse 1/4 da que tem, juntos teriamos 3 anos mais do que eu tenho.
Mas se eu tivesse 4/9 da idade que tenho e Antonio tivesse 7/12 da idade que
tem, juntos teriamos 2 anos menos do que eu tenho. Que idade tem Julio? Qual
a idade de Antonio?

Resposta:
Faça as seguintes considerações:
Idade de Júlio = x
Idade de Antônio = y

"Se eu tivesse 5/6 da idade que tenho e se Antonio, meu irmao, tivesse 1/4
da que tem, juntos teriamos 3 anos mais do que eu tenho."
5/6 x + 1/4 y = x + 3
"Mas se eu tivesse 4/9 da idade que tenho e Antonio tivesse 7/12 da idade
que tem, juntos teriamos 2 anos menos do que eu tenho."
4/9 x + 7/12 y = x - 2

Reescrevendo as equações:
5/6 x + 1/4 y = x + 3
-1/6 x + 1/4 y = 3

4/9 x + 7/12 y = x - 2
- 5/9 x + 7/12 y = -2

Resolvendo o sistema, teremos x = 54, y = 48.

[]s
David

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Problemas da IMO

[Domingos Jr.]

Só umas retificações...

> tome t1 = 0.

esqueça isso! 0 não pertence a S...

t1 não pode ser nenhuma das diferenças acima, a idéia que tive é que parece
plausível acreditar que existe um valor m, com 1 <= m < 100.000 de tal forma
que m, 2m, ... 100m não são iguais a nenhuma dessas 50*99 diferenças.

definimos A{j} = {u[i] + j*m / i = 1...100}.

onde t[j] = j*m pertence a S.

Acho que era só isso...

Alguém consegue provar ou dar um contra-exemplo para a minha conjectura?

[ ]'s

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Problemas da IMO

[Eduardo Wagner]

Parabens Gugu!

Voce eh realmente f (no bom sentido).
Eu ja carimbei alguns na OIM, mas na IMO,
sequer tentei.

Um grande abraco,

E. Wagner.

--
>From: [EMAIL PROTECTED]
>To: [EMAIL PROTECTED]
>Subject: [obm-l] Problemas da IMO
>Date: Mon, Jul 14, 2003, 3:38 PM
>

>
>
> Prova da IMO retirada do Site http://www.mathlinks.go.ro/
>
> O Problema 1 é nois que mandou...
>
>
> First Day - 44th IMO 2003 Japan
>
> 1. Let A be a 101-element subset of the set S={1,2,3,...,100}. Prove that
> there exist numbers t_1, t_2, ..., t_{100} in S such that the sets
>
> Aj = { x + tj | x is in A } for each j = 1, 2, ..., 100
>
> are pairwise disjoint.
>
>
> 2. Find all pairs of positive integers (a,b) such that the number
>
> a^2 / ( 2ab^2-b^3+1) is also a positive integer.
>
> 3. Given is a convex hexagon with the property that the segment connecting the
> middle points of each pair of opposite sides in the hexagon is  sqrt(3) / 2
> times the sum of those sides' sum.
>
> Prove that the hexagon has all its angles equal to 120.
>
>
> Second Day - 44th IMO 2003 Japan
>
> 4. Given is a cyclic quadrilateral ABCD and let P, Q, R be feet of the
> altitudes from D to AB, BC and CA respectively. Prove that if PR = RQ then the
> interior angle bisectors of the angles < ABC and < ADC are concurrent on AC.
>
> 5. Let x1 <= x2 <= ... <= xn be real numbers, n>2.
>
> a) Prove the following inequality:
>
> (sum  ni,j=1 | xi - xj | ) 2 <= 2/3 ( n^2 - 1 )sum ni,j=1 ( xi - xj)^2
>
> b) Prove that the equality in the inequality above is obtained if and only if
> the sequence (xk) is an arithemetical progression.
>
> 6. Prove that for each given prime p there exists a prime q such that n^p - p
> is not divisible by q for each positive integer n.
>
>
>
> -
> This mail sent through IMP: http://horde.org/imp/
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] questoes envolvendo idades

[Faelccmm]

Ola pessoal,

Como resolver estes:


1) Julio falou: Se eu tivesse 5/6 da idade que tenho e se Antonio, meu irmao, tivesse 1/4 da que tem, juntos teriamos 3 anos mais do que eu tenho. Mas se eu tivesse 4/9 da idade que tenho e Antonio tivesse 7/12 da idade que tem, juntos teriamos 2 anos menos do que eu tenho. Que idade tem Julio? Qual a idade de Antonio?
r: Juliano tem 54 anos, e Antonio, 48


2) A soma das idades de Julio e Roberto eh igual a 64 anos. Julio tem o dobro da idade que Roberto tinha quando Julio tinha a metade da idade que Roberto tera quando seus anos forem o triplo dos de Julio quando este tinha tres vezes a idade de Roberto.
Do exposto, pergunta-se: 
a) Qual a idade de Julio?
b) Qual a idade de Roberto?
c) Que idade tinha Julio quando Roberto nasceu?
d) Que idade terá Roberto quando Julio tiver 50 anos?
r: 
a) 40 anos 
b) 24 anos
c) 16 anos
d) 34 anos


3) Quando Wilson tiver a idade que o pai tem hoje, sua irma sera duas vezes mais velha do que eh atualmente e a idade do pai sera o dobro da que tera Wilson quando a irma tiver a idade atual do pai. A soma das idades dos tres da exatamente um seculo. Qual a idade de cada um?

r: Wilson tem 20 anos; a irma, 30 e o pai, 50

Re: [obm-l] Enc: problema

[A. C. Morgado]

A hipotese so tinha 20 e depois peguei dinheiro emprestado eh algo 
completamente alheio ao enunciado. Se eh assim, por que nao pensar que 
nao tinha nada inicialmente, fiz todas as compras com dinheiro 
emprestado e terminei com 20? O meu lucro porcentual foi infinito.
Ou então, tinha apenas 10; tudo mais que precisei tomei emprestado. 
Termino com 30. A resposta virou 200%.
Ou então, tinha 5, termino com 25. A resposta agora é 400%.
Convenhamos...

[EMAIL PROTECTED] wrote:

- Mensagem encaminhada de WALTER DE FRANCISCO <[EMAIL PROTECTED]> -
   Data: Fri, 4 Jul 2003 16:27:47 -0300
 De: WALTER DE FRANCISCO <[EMAIL PROTECTED]>
Reponder para: WALTER DE FRANCISCO <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: problema
   Para: [EMAIL PROTECTED]
Caro Jorge,

Minha interpretação do problema é a seguinte:
   1.  Parto da hipótese que só tinha 20
   2.  Após a primeira venda fiquei com 30
   3.  Para recomprar por 50, tomo 20 emprestado
   4.  Revendo por 60, pago os 20 e fico com 40
   5.  Se só tinha 20 e agora tenho 40, o lucro foi de 100%
   Obviamente, pode haver outras interpretações, mas esta me parece a mais 
coerente.
   Agora, quero saber o porquê da despedida. Continue comunicando porque eu 
gosto dessas
   curiosidades. Tenho também algumas e em breve lhe passarei.
  Um abraço.

- Finalizar mensagem encaminhada -




WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] Problemas da IMO

[edmilson motta]

Parabéns, Gugu.

Isso só confirma que você é um dos melhores criadores
de problemas (no bom sentido) do mundo. 
Os últimos bancos já indicavam que era só uma questão
de tempo (para quem não sabe, o Gugu já colocou vários
problemas nas short lists).

O Brasil confirma que está evoluindo em todos os
sentidos!!

Abraços, Ed.




--- [EMAIL PROTECTED] wrote:
> 
> 
> Prova da IMO retirada do Site
> http://www.mathlinks.go.ro/
> 
> O Problema 1 é nois que mandou...
> 
> 
> First Day - 44th IMO 2003 Japan 
> 
> 1. Let A be a 101-element subset of the set
> S={1,2,3,...,100}. Prove that 
> there exist numbers t_1, t_2, ..., t_{100} in S such
> that the sets 
> 
> Aj = { x + tj | x is in A } for each j = 1, 2, ...,
> 100 
> 
> are pairwise disjoint. 
> 
> 
> 2. Find all pairs of positive integers (a,b) such
> that the number 
> 
> a^2 / ( 2ab^2-b^3+1) is also a positive integer. 
> 
> 3. Given is a convex hexagon with the property that
> the segment connecting the 
> middle points of each pair of opposite sides in the
> hexagon is  sqrt(3) / 2 
> times the sum of those sides' sum. 
> 
> Prove that the hexagon has all its angles equal to
> 120. 
> 
> 
> Second Day - 44th IMO 2003 Japan 
> 
> 4. Given is a cyclic quadrilateral ABCD and let P,
> Q, R be feet of the 
> altitudes from D to AB, BC and CA respectively.
> Prove that if PR = RQ then the 
> interior angle bisectors of the angles < ABC and <
> ADC are concurrent on AC. 
> 
> 5. Let x1 <= x2 <= ... <= xn be real numbers, n>2. 
> 
> a) Prove the following inequality: 
> 
> (sum  ni,j=1 | xi - xj | ) 2 <= 2/3 ( n^2 - 1 )sum
> ni,j=1 ( xi - xj)^2 
> 
> b) Prove that the equality in the inequality above
> is obtained if and only if 
> the sequence (xk) is an arithemetical progression. 
> 
> 6. Prove that for each given prime p there exists a
> prime q such that n^p - p 
> is not divisible by q for each positive integer n. 
> 
> 
> 
> -
> This mail sent through IMP: http://horde.org/imp/
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Re: [obm-l] Re: DESPEDIDA

[jorgeluis]

Valeu! Morgado e todos os colegas que participaram com suas valiosas opiniões, 
pois juro que eu iria chegar ao dia de "São Nunca" sem saber que a palavra 
ótica está relacionada com audição. Tudo bem! concordo com a resposta de 50% 
mas eu gostaria de saber onde está o erro no raciocínio do Prof. Walter De 
Francisco, que por sinal é semelhante ao meu. (EM ANEXO)






Citando "A. C. Morgado" <[EMAIL PROTECTED]>:

> 
> 
> A. C. Morgado wrote:
> 
> >Em alguma data prpuseram o seguinte problema: 
> >
> >Comprei por $20 e vendi por $30. Recomprei por $50 e revendi por $60. Qual
> o
> > percentual do meu lucro final? 
> >
> >Depois de ter lido alguns absurdos a respeito e de estar convencido, pelo
> teor
> >das ultimas mensagens que tenho lido, de que se a Carla Perez entrasse para
> a
> >lista isso aumentaria o QI medio da lista, decidi mandar esta mensagem. 
> >A principio isso me parecia desnecessario pois dois companheiros, Marcos e 
> >outro de cujo nome nao lembro agora, ja haviam resolvido o problema pronta
> >e corretamente.
> > 
> >Aqui vao meus comentarios a respeito do problema e dos absurdos.
> >1) Recompra nao pode ser simultanea a compra.
> >2) Otica elaciona-se a audiçao; optica, a visao.
> >3) Lucro eh sempre medido (porcentualmente) em relaçao ao custo ou ao
> capital investido. 
> >Margem de lucro eh que eh medida em relaçao a preço de venda. Houve, ha
> alguns anos, uma 
> >questao no vestibular da UFRJ em que o gabarito confundiu essas coisas. O
> gabarito nao 
> >foi corrigido e, num gesto de enorme boa vontade e magnanima tolerancia, a
> banca resolveu
> >tambem dar pontos aos que achassem a resposta correta, diferente da do
> gabarito errado. 
> >4) Vamos a soluçao, lembrando que lucro se mede em relaçao a capital
> investido.
> >Tentarei ser bastante explicadinho. 
> >Suponhamos que o personagem guarde seu capital C no bolso direito. Compra
> por 20 (seu bolso 
> >direito fica com C-20), recebe 30, usa esses trinta e mais 20 retirados do
> bolso direito 
> >(que fica agora com C-40) para recomprar. Pronto. A compra foi finalizada! O
> personagem agora
> > tem o objeto desejado e menos 40 unidades monetarias. O capital investido
> na compra foi 40.
> >Pausa para pensar que talvez Shakespeare talvez estivesse errado em
> >What a piece of work is a man! how noble in reason!
> >how infinite in faculty! in form and moving how
> >express and admirable! in action how like an angel!
> >in apprehension how like a god! the beauty of the
> >world! the paragon of animals! 
> >(Hamlet; cena de boas vindas a Guldenstern e Rosencrantz antes da chegada
> dos saltimbancos)
> >
> >Nao me parecia crivel que alguem pudesse duvidar de que o capital investido
> fosse 40.
> >Para ressaltar o absurdo dessa duvida a respeito de qual foi o capital
> investido, hoje
> >de manha fui comprar pao (3 reais) e dei uma nota de 50 para pagar. A caixa
> nao tinha troco
> >e perguntou-me se eu "nao tinha menor". Catei umas moedas e dei-lhe 3 reais
> em moedas e ela
> >devolveu-me a nota de 50. Qual foi o capital investido na compra do pao? Nao
> acreditaria se
> >me contassem, mas há pessoas achando que investi 53 reais na compra do pao.
> As mesmas que
> >acham que, no nosso problema, o capital investido foi 70.
> >Agora faz-se a venda e recebem-se 60 reais.
> >Investi 40 na compra e vendi por 60. O lucro foi de 50%.
> >
> >Morgado
> >(Professor de Matematica Financeira; FGV-RJ)
> >
> >Se com aprofundamento a resposta vira 20 e nao sei quanto por cento, viva a
> superficialidade!
> > 
> >
> >
> >
> >  
> >  
> >
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[obm-l] Enc: problema

[jorgeluis]

- Mensagem encaminhada de WALTER DE FRANCISCO <[EMAIL PROTECTED]> -
Data: Fri, 4 Jul 2003 16:27:47 -0300
  De: WALTER DE FRANCISCO <[EMAIL PROTECTED]>
Reponder para: WALTER DE FRANCISCO <[EMAIL PROTECTED]>
 Assunto: problema
Para: [EMAIL PROTECTED]

 Caro Jorge,

 Minha interpretação do problema é a seguinte:
1.  Parto da hipótese que só tinha 20
2.  Após a primeira venda fiquei com 30
3.  Para recomprar por 50, tomo 20 emprestado
4.  Revendo por 60, pago os 20 e fico com 40
5.  Se só tinha 20 e agora tenho 40, o lucro foi de 100%

Obviamente, pode haver outras interpretações, mas esta me parece a mais 
coerente.
Agora, quero saber o porquê da despedida. Continue comunicando porque eu 
gosto dessas
curiosidades. Tenho também algumas e em breve lhe passarei.
   Um abraço.

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Re: [obm-l] Combinatoria (In off)

[Manuel Valentim Pera]

Boa noite,

  Sobre o trecho:

>
> O segundo caso (mais geral) que você colocou, realmente merece uma
> demonstração, eu acho.
> Mas na minha cabeça, esse Princípio de Dirichlet seria uma coisa tão
> intuitiva que não precisaria de provas.
> Aí eu me embolo... Quando uma proposição precisa ser provada e quando se
> admite que ela é intuitiva o suficiente para ser aceita sem
demonstração?
>

  No sentido que as palavras tem em matematica (e matematica era, ate'
algum tempo atras, o assunto desta lista) sua duvida nao tem uma resposta
"absoluta", exceto a trivial, DEPENDE do que foi admitido como axioma no
contexto de seu estudo, isto inclui, entre outras coisas mais mundanas,
quais os axiomas de teoria dos conjuntos que voce esta' admitindo. Tudo o
que nao for axioma precisa ser demonstrado.

  Eu nunca vi o principio de Dirichlet (ou pigeonhole) ser colocado como
axioma, entao precisa de uma demonstracao (se voce estiver admitindo os
postulados de Peanno para o conjunto dos naturais e ZF, isso sai
trivialmente, mas e' a demonstracao que e' trivial, nao a afirmacao. Alias
essa afirmacao tao "trivial" caracteriza, em muitos contextos, conjuntos
finitos), mas esta frase diz apenas isso: "eu", na minha limitadissima
experiencia, nunca vi...

  Poucas afirmacoes sao tao "evidentes" (maldita palavra) como a do
"Teorema da Curva de Jordan", se alguem conhecer alguma demonstracao
"trivial" dela, por favor, mostre-ma!

  Apenas um adendo, COM O AVISO DE IN-OFF EM MAIUSCULAS.

  Axioma, em matematica, nada tem a ver com "intuitivo", ou "evidente". os
axiomas das geometrias nao-euclideanas sao, do ponto de vista matematico
(outros pontos de vista deveriam ser assunto de bate papo em mesa de
botequim, coisas muito interessantes alias essas conversas, mas nao desta
lista), tao "intuitivas" quanto as euclideanas.

  Num exemplo concreto, falou-se nesta lista ha' nao muito tempo em
"axioma do supremo para o conjunto dos Reais", isso ser "um axioma" so'
faz sentido numa teoria em que o conjunto dos numeros Reais (R) e'
"apresentado" axiomaticamente. Se voce quiser <>, por exemplo a
partir dos numeros racionais, esse conjunto isso deixa de ser "axioma" e
passa a ser uma PROPRIEDADE e precisa ser demonstrada.

  Hoje em dia pode parecer estranho falar-se em "construcao" de R, pois
o "metodo axiomatico" e' a unica forma que i conjunto dos Reais e'
apresentado (como dizia N. Rodrigues, "toda unaminidade e' burra") e
construcoes de R sao temas desconhecidos dos dois primeiros anos de cursos
de graduacao em matematica, mas para pelo menos um grande Professor de
Matematica que eu conheco isso esta' longe de ser uma virtude do atual
"modelo de ensino"... 

Desculpem o carater in-off do adendo, ele foge completamente dos objetivos
desta lista, mas em virtude de certas "perolas" recentes, que nem ao menos
vem com o aviso de in-off no "subject" penso que o professor Nicolau
perdoara' este deslize.

Manuel Garcia


=
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Re: [obm-l] Problemas da IMO

[Domingos Jr.]

1. Let A be a 101-element subset of the set S={1,2,3,...,100}. Prove
that
there exist numbers t_1, t_2, ..., t_{100} in S such that the sets

Aj = { x + tj | x is in A } for each j = 1, 2, ..., 100

are pairwise disjoint.

 

Eu tive uma idéia pra esse aqui...
Seja A = {u1, ..., u100} onde u1 < u2 < ... < u100
as diferenças dois a dois (positivas) são:
u2 - u1, u3 - u2, ..., u100 - u99
u3 - u1, u4 - u2, ..., u100 - u98
...
u[k] - u1, ..., u100 - u[101 - k]

num total de 99 + 98 + ... + 1 = 50*99 diferenças

tome t1 = 0.
t2 não pode ser nenhuma das diferenças acima, a idéia que tive é que parece
plausível acreditar que existe um valor m de tal forma que m, 2m, ... 99m
não são nenhuma dessas diferenças.

Se isso for verdade, poderíamos definir A{j+1} = {u[i] + j*m / i = 1...100}.
de forma que, se k < i:
u[i] + j*m = u[k] + l*m <=> u[i] = u[k] + (l - j)*m <=> l - j > 0
mas se l - j > 0, l -j < 100 e, pela conjectura acima, (l-j)*m não pode ser
igual a nenhuma diferença entre os u'is!

A partir daí vemos que os conjuntos Aj são disjuntos.

Agora vou explicar porque eu acho plausível assumir que existe um m dessa
forma:
Fiz um programinha que conta o número de divisores de cada inteiro em S e
coloca num vetor, na i'ésima posição, o número de inteiros que possuem
exatamente i divisores.
Depois dessa conta meio pesada (mas que não chega a levar 15 minutos no meu
PIII 700) eu conto de forma gulosa* o número máximo de divisores distintos
que um subconjunto de S com 50*99 elementos pode ter, esse número foi
estritamente menor que 10^6.

*a conta gulosa é feita assim: pegamos os elementos com o maior número
possível de divisores e consideramos que eles são todos distintos, varremos
o vetor de trás pra frente somando o produto número de inteiros em S com N
divisores vezes N.

[ ]'s

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatoria

[Henrique Patrício Sant'Anna Branco]

> O principio da casa dos pombos (PCP), ou Principio de Dirichlet, na sua
> forma mais simples, diz que se vc tem n+1 bolas e quer distribuí-las em
> n gavetas, então algumas das gavetas deverá conter no minimo duas bolas.
>
>  Isso eh bem intuitivo. Para provar isso, suponha por absurdo que não.
Então
> cada gaveta terá no máximo 1 bola. Como temos n gavetas, isso nos dá um
> numero maximo de 1+1+...+1= n bolas. Mas nós temos n+1 !! Absurdo. E o
resultado
> segue.

O segundo caso (mais geral) que você colocou, realmente merece uma
demonstração, eu acho.
Mas na minha cabeça, esse Princípio de Dirichlet seria uma coisa tão
intuitiva que não precisaria de provas.
Aí eu me embolo... Quando uma proposição precisa ser provada e quando se
admite que ela é intuitiva o suficiente para ser aceita sem demonstração?

Grato,
Henrique.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] O Truque do Nicolau

[Paulo Santa Rita]

Ola Pessoal,

Estou reproduzindo abaixo um raciocinio do Nicolau Bernoulli / Euler no caso 
das permutacoes caoticas. O excelente livro de Combinatoria do Prof Morgado 
trata desse tema, com outra tecnica de abordagem. Em linhas gerais, o 
Nicolau supoe a existencia da funcao C(N) e, a seguir, deduz uma relacao de 
recorrencia. Voces perceberao que o raciocinio destes matematicos e muito 
bonito.

Logo depois proponho uma generalizacao. Para quem quiser refletir mais sobre 
estas coisas, sugiro que se analise com calma o seguinte triangulo 
aritmetico:

1/(2!) - 1/(3!) + 1/(4!)  - 1/(5!) + 1/(6!) -   1/(7!) + ...
  1/(3!)  - 2/(41) + 3/(5!) -  4/(6!) +  5/(7!) - ...
  1/(4!)  -  3/(5!) + 6/(6!)  - 10/(7!) +...
   1/(5!)  - 4/(6!)  + 10/(7!) - ...
   1/(6!)  -   5/(7!) + ...
  + 1/(7!) - ...
... ...   ...... ...
Considere N objetos, que aqui serao representados genericamente pelos 
numeros naturais 1, 2, 3, ..., N. Adotando a permutacao 123 ... N como 
padrao, diremos que uma PERMUTACAO e CAOTICA ( em relacao a padrao ) se 
nenhum de seus elementos ocupar a posicao que originalmente ocuopava.

Exemplo : Se adotarmos 12345 como padrao, 23451 e 34512 sao caoticas 
enquanto 21354 nao e.

Queremos saber quantas permutacoes caoticas existem em relacao a uma 
permutacao fixada, adotada como padrao. O total de permutacoes caoticas que 
construtiveis a aprtir de N elementos sera representada C(N). Assim, fixemos 
a permutacao :

12345...N

Dividimos as C(N) caoticas em relacao a ela e que teem o 1 no lugar do 2 em 
dois conjuntos,  a saber :

A) Aquelas nas quais o 1 esta no lugar do 2 e o 2 esta no lugar do 1
21XXX...X
B) Aquelas nas quais o 1 esta no lugar do 2 e o 2 NAO esta no lugar do 1
X1XXX...X
O conjunto A) tem quantos elementos ? Bom, como 1 e 2 estao fixos, basta 
permutarmos caoticamente os N - 2 elementos restantes, isto e, o conjunto A) 
tem exatamente C(N-2) elementos. Portanto :

Conjunto A tem : C(N-2) elementos

O conjunto B) tem quantos elementos ? Aqui esta o TRUQUE DO EULER : Vamos 
permutar caoticamente. O 1 esta fixo na posicao do 2, o 2 nao pode ocupar a 
posicao do 1 mas pode ocupar qualquer outra das N - 2 posicoes restantes, 
qualquer outro elementos (3,4,...,N) pode ocupar N - 2 posicoes possiveis. 
Portanto, isso e equivalente a permutarmos caoticamente N-1 elementos, isto 
e, o conjunto B) tem C(N-1) elementos ...

Conjunto B tem : C(N-1) elementos

Ora A) + B) e o conjunto de TODAS AS PERMUTACOES CAOTICAS nas quais o 
elemento 1 ocupa a posicao do 2, isto e , Total de permutacoes caoticas nas 
quais o elemento 1 ocupa a posicao do 2 e igual a :

C(N-1) + C(N-2)

Agora basta reiterarmos sucessivamente este raciocinio : colocamos o 1 no 
lugar do 3 e dividimos estas permutacoes em dois conjuntos :

C) Aquelas nas quais o 1 esta no lugar do 3 e o 3 esta no lugar do 1
3X1XX...X
D) Aquelas nas quais o 1 esta no lugar do 3 e o 3 NAO esta no lugar do 1
XX1XX...X
Aplicando um raciocinio identico ao que aplicamos antes, chegaremos a 
conclusao de que :

Conjunto C tem : C(N-2) elementos
Conjunto D tem : C(N-1) elementos
E portanto :

Ora C) + D) e o conjunto de TODAS AS PERMUTACOES CAOTICAS nas quais o 
elemento 1 ocupa a posicao do 3, isto e , Total de permutacoes caoticas nas 
quais o elemento 1 ocupa a posicao do 3 e igual a :

C(N-1) + C(N-2)

Fica claro que vamos repetir este raciocinio N-1 vezes, isto e, vamos 
repeti-lo para o 1 ocupando sucessivamente as posicoes do 2, 3, 4, ..., N. 
Ao final, teremos C(N), todas as permutacoes caoticas, isto e :

C(N) = (N-1) * [ C(N-1) + C(N-2) ]   RELACAO 1

A equacao de recorrencia acima foi obtida primeiramente por Nicolau 
Bernoulli, que propos o problema a Euler que,  usando o raciocinio que 
reproduzi acima, chegou ao mesmo resultado. Em geral, os raros livros que 
tratam de permutacoes caoticas nao apresentam as coisas assim. Eles provam a 
validade da formula :

C(N) = N! * [ 1/(2!)  -  1/(3!)  +  1/(4!)  -  1/(5!)  + ... +- 1/(N!) ]

E claro que esta expressao esta contida da relacao de recorrencia. Mas o 
fundamental e o raciocinio que o Euler e o Nicolau desenvolveram. Fica como 
exercicio deduzi-la ( a formula ) da  RELACAO 1.

Considere agora duas permutacoes, caoticas entre si, tais como :

1234
2341
Quantas permutacoes, caoticas em relacao as duas, existem ? Resposta : duas. 
A saber : 4123 e 3412

Considere agora as duas permutacoes, caoticas entre si :

1234
3412
Quantas permutacoes, caoticas em relacao as duas, existem ? Resposta : 
quatro. A saber : 4123,  2143, 4321, 2341.

Bom, os fenomenos acima mostram que o total de permutacoes caoticas em 
relacoes a duas outras permutacoes, caoticas entre si, depende de alguma 
relacao entre elas. Seria possivel generalizar o raciocinio do Euler, 
exposto acima, de forma a resolve

[obm-l] ALGEBRA VETORIAL (Questão)

[Felipe Gastaldo]

Caros amigos da lista tentem resolver essa para mim:
 
1)Uma cônica é descrita pela função vetorial:
 
X(t) = a cosh(t)E1 + b senh(t)E2 
 
Onde a e b são constantes positivas,  e 
 
senh(t) = e t – e –t  /2
 
cosh(t) = e t + e –t /2
 
a) Tomando X = (x,y) determine a equação cartesiana da cônica.
b)    Calcule a curvatura k = ||T´|| / ||X´|| no ponto X = (a,0).
     
 
 
Não foi dado na questão mas pressuponho que ||T´|| = X´(t) / ||X´(t)||muito obrigado
Felipe GastaldoYahoo! Mail 
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[obm-l] Problemas da IMO

[gugu]

Prova da IMO retirada do Site http://www.mathlinks.go.ro/

O Problema 1 é nois que mandou...


First Day - 44th IMO 2003 Japan 

1. Let A be a 101-element subset of the set S={1,2,3,...,100}. Prove that 
there exist numbers t_1, t_2, ..., t_{100} in S such that the sets 

Aj = { x + tj | x is in A } for each j = 1, 2, ..., 100 

are pairwise disjoint. 


2. Find all pairs of positive integers (a,b) such that the number 

a^2 / ( 2ab^2-b^3+1) is also a positive integer. 

3. Given is a convex hexagon with the property that the segment connecting the 
middle points of each pair of opposite sides in the hexagon is  sqrt(3) / 2 
times the sum of those sides' sum. 

Prove that the hexagon has all its angles equal to 120. 


Second Day - 44th IMO 2003 Japan 

4. Given is a cyclic quadrilateral ABCD and let P, Q, R be feet of the 
altitudes from D to AB, BC and CA respectively. Prove that if PR = RQ then the 
interior angle bisectors of the angles < ABC and < ADC are concurrent on AC. 

5. Let x1 <= x2 <= ... <= xn be real numbers, n>2. 

a) Prove the following inequality: 

(sum  ni,j=1 | xi - xj | ) 2 <= 2/3 ( n^2 - 1 )sum ni,j=1 ( xi - xj)^2 

b) Prove that the equality in the inequality above is obtained if and only if 
the sequence (xk) is an arithemetical progression. 

6. Prove that for each given prime p there exists a prime q such that n^p - p 
is not divisible by q for each positive integer n. 



-
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatoria

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Basica e intuoitivamente pode-se dizer que o PCP
e algo como "se voce tem muitos pombos pra
colocar rem poucas casas alguma casa tera muitos
pombos".
Tente ver as Eureka!s.

 --- Rafael Ando <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu: > 
> Alguem me explica como eh esse principio da
> casa dos pombos?
> 
> obrigado
> 
> >From: [EMAIL PROTECTED]
> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
> >To: [EMAIL PROTECTED]
> >Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatoria
> >Date: Sat, 12 Jul 2003 12:22:50 -0300
> >
> >
> >  Oi Marcio,
> >   Se eu não me engano, esse problema tem no
> Problem Solving:
> >  Seja x_i= número de partidas jogadas até o
> dia i, inclusive.
> >   Como o enxadrista joga no minimo 1 partida
> por dia e no máximo 11x12=
> >132 no total, temos
> >   1<= a_1< a_2<...< a_77<= 132. Some 20 na
> desigualdade:
> >  21<= a_1 + 20<...< a_77 + 20 <= 152.
> >  Então, os números a_1, a_2,..., a_77,  a_1 +
> 20,...,a_77 + 20 estão entre
> >1 e 152. Como temos 154 números, pelo
> princípio da casa dos pombos existem
> >dois deles iguais. Assim, existem dois indices
> i e j, i!=j, tais que
> >   a_i= a_j + 20.
> >   Ora, isso é equivalente ao enxadrista ter
> jogado exatamente vinte 
> >partidas
> >entre os dias i+1 e j.
> >
> >  Ateh mais,
> >  Yuri
> >
> >-- Mensagem original --
> >
> > >Nao estou conseguindo fazer a seguinte
> questao, do livro de 
> >combinatoria
> > >do Morgado:
> > >Um enxadrista joga partidas de xadrez
> durante onze semanas consecutivas.
> > >Sabe-se que ele sempre joga ao menos uma
> partida por dia, e jamais joga
> >mais
> > >de 12 partidas em uma semana. Mostre que
> existe um periodo de dias 
> >consecutivos
> > >no qual ele joga exatamente 20 partidas.
> > >Alguem tem alguma dica?
> > >
> > >Abracos,
> > >Marcio
> > >
> >
> >[]'s, Yuri
> >ICQ: 64992515
> >
> >
> >--
> >Use o melhor sistema de busca da Internet
> >Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
> >
> >
> >
>
>=
> >Instruções para entrar na lista, sair da lista
> e usar a lista em
>
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
>=
> 
>
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> MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. 
> http://www.hotmail.com
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> e usar a lista em
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatoria

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Basica e intuoitivamente pode-se dizer que o PCP
e algo como "se voce tem muitos pombos pra
colocar rem poucas casas alguma casa tera muitos
pombos".
Tente ver as Eureka!s.

 --- Rafael Ando <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu: > 
> Alguem me explica como eh esse principio da
> casa dos pombos?
> 
> obrigado
> 
> >From: [EMAIL PROTECTED]
> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
> >To: [EMAIL PROTECTED]
> >Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatoria
> >Date: Sat, 12 Jul 2003 12:22:50 -0300
> >
> >
> >  Oi Marcio,
> >   Se eu não me engano, esse problema tem no
> Problem Solving:
> >  Seja x_i= número de partidas jogadas até o
> dia i, inclusive.
> >   Como o enxadrista joga no minimo 1 partida
> por dia e no máximo 11x12=
> >132 no total, temos
> >   1<= a_1< a_2<...< a_77<= 132. Some 20 na
> desigualdade:
> >  21<= a_1 + 20<...< a_77 + 20 <= 152.
> >  Então, os números a_1, a_2,..., a_77,  a_1 +
> 20,...,a_77 + 20 estão entre
> >1 e 152. Como temos 154 números, pelo
> princípio da casa dos pombos existem
> >dois deles iguais. Assim, existem dois indices
> i e j, i!=j, tais que
> >   a_i= a_j + 20.
> >   Ora, isso é equivalente ao enxadrista ter
> jogado exatamente vinte 
> >partidas
> >entre os dias i+1 e j.
> >
> >  Ateh mais,
> >  Yuri
> >
> >-- Mensagem original --
> >
> > >Nao estou conseguindo fazer a seguinte
> questao, do livro de 
> >combinatoria
> > >do Morgado:
> > >Um enxadrista joga partidas de xadrez
> durante onze semanas consecutivas.
> > >Sabe-se que ele sempre joga ao menos uma
> partida por dia, e jamais joga
> >mais
> > >de 12 partidas em uma semana. Mostre que
> existe um periodo de dias 
> >consecutivos
> > >no qual ele joga exatamente 20 partidas.
> > >Alguem tem alguma dica?
> > >
> > >Abracos,
> > >Marcio
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Re: [obm-l] Conjuntos - Justificativa

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Esta questao e bem engraçadaHa um tempo atras
deixei uma demo do axioma do supremo.Tentem
garimpar na lista!!!

 --- Leandro Fernandes <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu: > Então você está dizendo que essa
afirmativa é
> falsa?
> 
> Se um conjunto X possuir ao menos dois
> elementos máximos e iguais, este conjunto não
> tem máximo. É isso? Como poderia justificar
> isso?
> 
>   - Original Message - 
>   From: Eduardo Casagrande Stabel 
>   To: [EMAIL PROTECTED] 
>   Sent: Sunday, July 13, 2003 10:12 PM
>   Subject: Re: [obm-l] Conjuntos -
> Justificativa
> 
> 
>   José.
> 
>   Um conjunto X tem um máximo se ele possui um
> elemento x que é maior ou igual a todos os
> outros elementos de X. 
> 
>   Duda.
> - Original Message - 
> From: Jose Francisco Guimaraes Costa 
> To: [EMAIL PROTECTED] 
> Sent: Sunday, July 13, 2003 10:03 PM
> Subject: [obm-l] Conjuntos - Justificativa
> 
> 
> Comentário de um não-matemático que às
> vezes confunde definições com postulados com
> teoremas, sobre a pergunta original do Leandro.
> 
> Ora, se o conjunto é "limitado
> superiormente",  nenhum de seus elementos pode
> ser maior que o limite superior. Logo, ele
> certamente tem um máximo (que é menor ou igual
> ao limite), e isto seria um corolário.
> 
> Falei bobagem?
> 
> JF 
> 
> - Original Message - 
> From: "Eduardo Casagrande Stabel"
> <[EMAIL PROTECTED]>
> To: <[EMAIL PROTECTED]>
> Sent: Sunday, July 13, 2003 9:20 PM
> Subject: Re: [obm-l] Conjuntos -
> Justificativa
> 
> 
> > Caro Leandro.
> > 
> > Este é o chamado axioma do sup. É
> equivalente a muitos outros, e não
> > costuma-se demonstrá-lo e sim usá-lo como
> axioma. Se você ainda quiser
> > demonstrá-lo, terá de estabalecer todos
> os axiomas dos reais, isto é, os que
> > você está usando (ou o livro). Do
> contrário, fica impossível ajudá-lo.
> > 
> > Abração!
> > Duda.
> > 
> > From: "Leandro Fernandes"
> <[EMAIL PROTECTED]>
> > > Pessoal, não consigo dar uma
> justificativa plausível para esta afirmação:
> > >
> > > "Todo conjunto não vazio de números
> racionais limitado superiormente tem
> > > máximo"
> > >
> > > Alguém tem alguma sugestão?
> > >
> > > Leandro
> 
>  

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Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_O_Erro_Comum_da_Generalização_(_Ou_induções_equivocadas_)_

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

"Voce nao precisa salvar o mundo.Mas nao acabe
com ele"
 --- "J.Paulo_roxer_´til_the_end"
<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Não é
questão de sofisma nem são casos
> isolados.
> Se reclamo,é com sustentação
> argumentativa.Basta verificar a qualidade do
> ensino matemático e a aprendizagem dos alunos.
> 
> Vc fica na defensiva e acredita que por meio de
> palavras "sábias" consegue esconder a verdade.É
> muito simples,os médicos hipócritas defendem os
> médicos hipócritas,os dentistas hipócritas
> defendem os dentistas hipócritas,e por aí vai.
> 
> João Paulo
> 
> 
> - Original Message - 
>   From: Frederico Reis Marques de Brito 
>   To: [EMAIL PROTECTED] 
>   Sent: Sunday, July 13, 2003 1:16 AM
>   Subject: [obm-l] O Erro Comum da
> Generalização ( Ou induções equivocadas ) 
> 
> 
> 
> 
> 
>   Há muito tenho me impressionado com a
> capacidade, creio exacerbada sobretudo 
>   nos brasileiros, de falarem com certeza sobre
> temas que absolutamente 
>   desconhecem. É bastante comum um aluno do
> ciclo básico de qq curso de 
>   engenharia afirmar que os cursos de cálculo
> diferencial e integral são 
>   desnecessários, posto que existem
> calculadoras científicas altamente 
>   avançadas.  Ainda pior,  muitos alunos dos
> ensinos fundamental e médio , e 
>   tb "pré-vestibulandos"  que , ainda que com
> enorme desconhecimento de 
>   mérito, apostam que a Matemática é algo
> abominável e absolutamente 
>   desnecessário a um cidadão "comum", mesmo sem
> saber exatamente o que vem a 
>   ser Matemática. Afirmações do tipo: "todos os
> professores (... )"  são, à 
>   luz da lógica matemática, absolutamente
> levianas, pois se tratam da 
>   mal-fadada indução e´pírica, isto é, a
> generalização de um fato à partir de 
>   uma certa quantidade de casos particulares.
> Causa-me certa estranheza o 
>   comportamento desrespeitoso com que uma
> ciência, e evidentemente 
>   encontram-se aí desrespeitados seus
> pesquisadores, é tratada por aqueles 
>   que, por qq motivo, não a conhecem. è mais ou
> menos como a atitude da 
>   criança que nunca comeu uma certa verdura,
> mas não gosta da mesma. Seria 
>   sadio que nós professores de Matemática,
> principalmente, especialmente 
>   aqueles que formam os futuros professores ,
> como meu caso, tentássemos cada 
>   dia mais , reduzir o distanciamento entre o
> mito matemático e a realidade 
>   matemática. Só assim deixaríamos de ser
> vítimas( ou algozes... ) do sistema 
>   educacional vigente.
> 
>   Saudações,
>   Frederico.
> 
>  
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Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Como_os_Matemáticos_Complicam_III

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Sem querer alongar o pensamento do Carlos Shine
mas ja alongando,vou dar apenas mais umas
contribuiçoes:
*Quanto ao fato de errar,Legendre tentou diversas
vezes demonstrar o Axioma das
Paralelas,percebendo varios erros e muitas
imprecisoes em seus raciocinios,corrigindo alguns
deles,e so hoje em dia se sabe que este axioma e
indecidivel.Como?Simples:geometrias
nao-euclidianas e geometria projetiva.E alias
usa-se geometria riemanniana para  modelos do
espaço-tempo.

Sobre a Astronomia,o Shine deve ter se esquecido
de um detalhe:"voce sabia que" a produçao de
sapatos e algumas tecnologias de produçao deram
um verdadeiro salto cientifico desde que o homem
foi a lua?E ja imaginaste o que tiveram que
prever e deduzir atraves da fisica para fabricar
um foguete que chegasse a luaE as sondas
nao-tripuladas??"Um pequeno passo para o homem
mas um salto gigantesco para a humanidade".
Outra:voce sabia que o Newton enunciou as leis de
Newton sem usar vetores?Isto por que ele nao
ouviu falar de nada parecido...
Ah,o Atle Selberg e o Paul Erdös fizeram uma demo
elementar do teorema do numero primo(aquele que
diz que o enesimo primo se aproxima de n*ln n).E
esta demo rendeu a Selberg uma Fields Medal e
revolucionou a matematica e a teoria dos numeros.
Detalhe:o teorema ja estava demonstrado ha um bom
tempo,e eles ficaram gastando seus preciosos
neuronios para descobrir o que (quase) todos ja
sabiam!!
Mais:o algoritmo de Kayal-Saxena mostra que
podemos achar primos em tempo polinomial,e de uma
maneira um pouco simples para quem sabe o basico
de teoria dos numeros.E voce se pergunta qual a
utilidade disto?Nao sou eu nem voce mas as
geraçoes futuras,qure irao nos agradecer por ter
existido,apesar de tudo.
Alias eu,ha algum mtempo,comprei uma camiseta da
OPM,so "pra mostrar e exibir pros seus amigos o
quanto voce gosta de matematica",como diria o
Eddie.
Eu encerro por aqui,agradecendo ao Carlos Yuzo
Shine por esta mensagem.

Ate maisAss:eu e o Johann

 --- Carlos Yuzo Shine <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu: 
> Olá J. Paulo e demais membros da lista.
> 
> Um dos membros da lista enviou uma boa
> justificativa
> para o uso de raízes de índices maiores do que
> 2.
> 
> Eu gostaria de citar mais alguns exemplos. Na
> verdade,
> eu mesmo me questiono muito antes de achar se
> alguma
> coisa é inútil. Muitas vezes alguma coisa está
> sendo
> útil para a gente sem nós mesmo sabermos. Por
> exemplo:
> polinômios. Para que servem os polinômios?
> 
> Se não houvesse polinômios, muito provavelmente
> não
> poderíamos utilizar CDs, nem de música nem de
> computador. Os polinômios (e aritmética módulo
> n,
> corpos finitos, enfim, tópicos de álgebra
> abstrata)
> são a base do código que faz com que os dados
> sejam
> escritos em CDs, os chamados códigos corretores
> de
> erro. Todo meio de comunicação tem o que
> chamamos de
> ruído, que faz com que os dados não sejam
> transmitidos
> corretamente (não é incompetência do
> transcritor de
> dados, é a própria natureza - um bom exemplo é
> a
> recepção de celular com ruído atmosférico).
> Assim, são
> necessários códigos que eliminem ou corrijam
> esses
> erros, que são esse códigos corretores de
> erros. É
> claro que, para compreender isso, é necessário
> algum
> estudo de álgebra abstrata e, dependendo do
> código,
> até de geometria projetiva finita!
> 
> E trigonometria? Para que serve? A maioria das
> ondas
> de rádio é modelada com trigonometria. Sem
> trigonometria, muito provavelmente não
> poderíamos
> ouvir sequer rádio. Na verdade, nem poderíamos
> utilizar a tomada (que tem corrente alternada
> que é
> modelada com trigonometria). Junte a isso os
> complexos, que ajudam a fazer conta. Imagine os
> circuitos elétricos que caem no vestibular. Com
> corrente alternada, podemos modelar as
> resistências
> com números complexos!!
> 
> Teoria dos números (ela estuda, dizendo bem
> grosso
> modo, o conjunto dos números inteiros): sem
> ela, não
> seria possível comprar livros pela Internet ou
> fazer
> uma transferência de conta com segurança. Saber
> que
> existem primos grandes e utilizá-los é
> fundamental
> para a criptografia (que codifica mensagens
> sigilosas
> de modo que outras pessoas não possam entender
> os
> dados transmitidos).
> 
> Aí você poderia dizer: Matemática serve só para
> ciências exatas!! Na verdade, não. A teoria dos
> nós,
> uma das áreas da Matemática mais em moda
> ultimamente,
> tem sido utilizada para decifrar o DNA, além de
> outras
> aplicações em Bioquímica. Tanto é que uma
> ex-estudante
> de ciências moleculares brasileira, que hoje
> trabalha
> na área de Biológicas, fez uma descoberta
> matemática:
> achou um novo nó. Só que para entender bem a
> teoria
> dos nós e seus vários invariantes (um deles é o
> _polinômio_ de Jones) é preciso saber pelo
> menos
> álgebra abstrata.
> 
> Em Humanas, a Matemática colabora na tomada de
> decisões (programação linear, por exemplo, que
> mexe
> com matrizes e serve para otimizar coisas - o
> que é

[obm-l] Indução Finita

[Jose Francisco Guimaraes Costa]

O Luis Lopes, que participa deste forum, é autor de 
um livro sobre o Método da Indução Finita.
 
Estou mandando esta nota porque o Luis - que 
conheço pessoalmente - pode achar que, se responder "espontaneamente", estaria 
fazendo promoção comercial.
 
JF
 
- Original Message - 

  From: 
  BOL 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Thursday, January 01, 1998 5:10 
  AM
  Subject: [obm-l] Indução Finita
  
  Alguém poderia me sugerir livros, sites na net ou 
  similares sobre o princípio da indução finita? Pode ser referências em Inglês, 
  espanhol ou português. (Além daquele artigo da revista eureka nº 3) 
  
   
  Obrigado 
   
  Denisson
  
  
  

Re: [obm-l] Combinatoria

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Como sempre eu recomendo ce pegar a Eureka!Tem um
bem parecido la.Leia as respostas da Eureka! 5
--- Carlos Yuzo Shine <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu: > Oi Marcio, tudo bem?
> 
> Tente considerar a seqüência a(n) = total de
> partidas
> de xadrez jogadas após n dias e usar depois
> Casa dos
> Pombos.
> 
> []'s
> Shine
> 
> --- "Marcio Afonso A. Cohen"
> <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > Nao estou conseguindo fazer a seguinte
> questao,
> > do livro de combinatoria do Morgado:
> > Um enxadrista joga partidas de xadrez durante
> onze
> > semanas consecutivas. Sabe-se que ele sempre
> joga ao
> > menos uma partida por dia, e jamais joga mais
> de 12
> > partidas em uma semana. Mostre que existe um
> periodo
> > de dias consecutivos no qual ele joga
> exatamente 20
> > partidas.
> > Alguem tem alguma dica?
> > 
> > Abracos,
> > Marcio
> > 
> 
> 
> __
> Do you Yahoo!?
> SBC Yahoo! DSL - Now only $29.95 per month!
> http://sbc.yahoo.com
>
=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista
> e usar a lista em
>
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
= 

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=

[obm-l] pendulo simples.

[ghaeser]

A equação do movimento de um pêndulo simples é dada pela solução de valor
inicial
x''(t)+2sin(x(t))=0, x(0)=pi/2, x'(0)=0

onde x é o ângulo que o pêndulo faz com a verticual e t>=0 é a variável
temporal. Utilizando a aproximação de Taylor, mostre que para t suficientemente
pequeno,

x(t) ~= pi/2 - t^2 - t^5/15

alguém poderia me ajudar na resolução desse problema??
tentei expandir sen(x(t)) em torno de pi/2, ou x(t) em torno de 0, mas não
consegui sair do lugar ..

"Mathematicus nascitur, non fit"
Matemáticos não são feitos, eles nascem
---
Gabriel Haeser
www.gabas.cjb.net


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Use o melhor sistema de busca da Internet
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

[obm-l] Re: [obm-l] Indução Finita

[Fabio Bernardo]

Caro amigo,
Tem um livro do ilustre prof. Luis Lopes, que por acaso compartilha seu
conhecimento conosco na lista.
Chama-se: Manual de Indução Finita e pode ser comprado on line na Livraria
Cultura. A propósito, compre todos da coleção dele, são excelentes.
livrariacultura.com.br

Um abraço.




- Original Message -
From: BOL <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Thursday, January 01, 1998 5:10 AM
Subject: [obm-l] Indução Finita


Alguém poderia me sugerir livros, sites na net ou similares sobre o
princípio da indução finita? Pode ser referências em Inglês, espanhol ou
português. (Além daquele artigo da revista eureka nº 3)

Obrigado

Denisson


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Terra.
Para impedir a contaminação do seu computador o E-mail Protegido Terra
remove
qualquer arquivo anexado que possua vírus.
Por este motivo, a mensagem pode estar mencionando um arquivo anexado que
foi
removido por segurança.
Veja abaixo o relatório do E-mail Protegido Terra

Mensagem: [obm-l] Indução Finita
Remetente: "BOL" <[EMAIL PROTECTED]>
Data de envio: 01/01/1998 06:10'42
Arquivo contaminado: (t/02f9.js/02f9.js)
Nome do vírus: JS/[EMAIL PROTECTED]

(t/02f9.js/02f9.js) (JS/[EMAIL PROTECTED])
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Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_Re:Re:_Re:_RE:_Re:Re:_Como_os_Matemáticos_Complicam_II

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Voce ja ouviu falar no paradoxo das 20
palavras??Era algo assim:pegue o conjunto dos
naturais que podem ser descritos com menos de 21
palavras em portugues.Este conjunto e finito pois
o vocabulario portugues e finito.Seja m o minimo
deste conjunto.Podemos dizer que m-1 e o menor
natural que nao pode ser descrito com menos de
vinte e uma palavras da lingua portuguesa.



 --- "J.Paulo_roxer_´til_the_end"
<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Se revoltou
é porq abalei o sistema matemático
> dizendo a verdade.
> 
> Sua definição de utilidade não tem valor.Só
> mostra egocentrismo.Enquanto devemos
> compartilhar informações e ajudar ao
> próximo,ainda há pessoas como vc que colocam
> uma observação horrível dessa.
>   - Original Message - 
>   From: João 
>   To: [EMAIL PROTECTED] 
>   Sent: Friday, July 11, 2003 12:58 PM
>   Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l]
> Re:Re: Re: RE: Re:Re: Como os Matemáticos
> Complicam II
> 
> 
>   Resumo com um período que escutei uma vez na
> aula de Fundamentos de Análise na UFMG:
>   "...se isso NÃO SERVISSE PARA NADA, serviria
> pelo menos para mostrar o quanto eu me sinto
> melhor do que os derrotados quando consigo
> resolver... e ainda a diferença do homem que
> está SEMPRE PROCURANDO O SEU LIMITE para o
> animal que se contenta, NA MAIORIA DAS VEZES,
> com o que a natureza lhe dá..."
> 
>   Esta é uma de minhas poucas mensagens na
> lista, mas não me contive ... é de revoltar!!
> 
>   FORTE ABRAÇO
> 
> 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatoria

[yurigomes]

 O principio da casa dos pombos (PCP), ou Principio de Dirichlet, na sua
forma mais simples, diz que se vc tem n+1 bolas e quer distribuí-las em
n gavetas, então algumas das gavetas deverá conter no minimo duas bolas.

 Isso eh bem intuitivo. Para provar isso, suponha por absurdo que não. Então
cada gaveta terá no máximo 1 bola. Como temos n gavetas, isso nos dá um
numero maximo de 1+1+...+1= n bolas. Mas nós temos n+1 !! Absurdo. E o resultado
segue. 
  Outra forma do PCP é a seguinte: se agora vc tem nk+ 1 bolas e quer distribui-las
em n gavetas, alguma das gavetas terá no minimo k+ 1 bolas. 
 Veja que a versão anterior é um caso particular desta ultima, com k= 1.
Tente prová-la, é a mesma idéia ( absurdo! ). 
 Ateh mais, 
 Yuri

-- Mensagem original --

>
>Alguem me explica como eh esse principio da casa dos pombos?
>
>obrigado
>
>>From: [EMAIL PROTECTED]
>>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>>To: [EMAIL PROTECTED]
>>Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatoria
>>Date: Sat, 12 Jul 2003 12:22:50 -0300
>>
>>
>>  Oi Marcio,
>>   Se eu não me engano, esse problema tem no Problem Solving:
>>  Seja x_i= número de partidas jogadas até o dia i, inclusive.
>>   Como o enxadrista joga no minimo 1 partida por dia e no máximo 11x12=
>>132 no total, temos
>>   1<= a_1< a_2<...< a_77<= 132. Some 20 na desigualdade:
>>  21<= a_1 + 20<...< a_77 + 20 <= 152.
>>  Então, os números a_1, a_2,..., a_77,  a_1 + 20,...,a_77 + 20 estão
entre
>>1 e 152. Como temos 154 números, pelo princípio da casa dos pombos existem
>>dois deles iguais. Assim, existem dois indices i e j, i!=j, tais que
>>   a_i= a_j + 20.
>>   Ora, isso é equivalente ao enxadrista ter jogado exatamente vinte 
>>partidas
>>entre os dias i+1 e j.
>>
>>  Ateh mais,
>>  Yuri
>>
>>-- Mensagem original --
>>
>> >Nao estou conseguindo fazer a seguinte questao, do livro de 
>>combinatoria
>> >do Morgado:
>> >Um enxadrista joga partidas de xadrez durante onze semanas consecutivas.
>> >Sabe-se que ele sempre joga ao menos uma partida por dia, e jamais joga
>>mais
>> >de 12 partidas em uma semana. Mostre que existe um periodo de dias 
>>consecutivos
>> >no qual ele joga exatamente 20 partidas.
>> >Alguem tem alguma dica?
>> >
>> >Abracos,
>> >Marcio
>> >
>>
>>[]'s, Yuri
>>ICQ: 64992515
>>
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Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Como_os_Matemáticos_Complicam_II

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Em minha opiniao isto e um problema de ensino.E
alias um pouco de cultura inutil e legal...Ou ce
acha que quem inventou as geometrias
nao-euclidianas sabia de aplicaçoes praticas
imediatas?

 --- Victor Luiz <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu: > Pode ser bobagem da minha parte mas,
mais ou
> menos como o J. Paulo, eu não
> entendo o porquê é que as pessoas são
> "obrigadas" a aprender coisas para o
> caso delas não vai haver utilidade. Se a pessoa
> deseja, por exemplo, ser
> psicóloga não vejo o porquê de aprender além do
> básico de geometria pra
> passar no vestibular... Não estou dizendo que
> geometria é inútil, não me
> entendam mal...
> 
> 
> Victor Luiz Salgado de Lima.
> 
> 
> Spam sux. www.wecanstopspam.org
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[obm-l] Jornal Matematico

[Paulo Santa Rita]

Ola Pessoal !

Existe um jornal eletronico dedicado a Matematica que nao trata 
especificamente de problemas ou artigos tecnicos, mas de temas ( 
educacionais, filosoficos, etc ) relacionados a este ciencia. Existem 
artigos muito interessantes. O endereco e :

http://www.geocities.com/jcvmatem/

Vale a pena dar uma olhada !

Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
2,1153,140703
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http://messenger.msn.com.br

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Re: [obm-l] Conjuntos - Justificativa

[Paulo Santa Rita]

Ola Carissimo Jose Francisco
e demais colegas desta lista ... OBM-L,
Isso e realmente uma questao de definicao ... Intuitivamente sentimos que se 
um conjunto e limitado superiormente, entao, evidentemente, ele tem que ter 
um maximo. Isso e intuitivamente claro. Ocorre que na definicao de maximo, 
EXIGE-SE que este maximo PERTENCA ao conjunto. Assim, um conjunto pode ser 
limitado superiormente e nao ter maximo, EM VIRTUDE DA DEFINICAO QUE 
COMUMENTE SE ADOTA.

Exemplo :

Seja Xn =  2^(-1)  +  2^(-2)  +  ...  +  2^(-n) , n =1, 2, ... . Se 
definirmos A={Xn, n=1,2,...}  Esse conjunto A, infinito enumeravel, e 
limitado superiormente, mas, claramente, nao tem maximo, pois pode ser visto 
como o conjunto dos termos de uma sequencia monotona crescente.

Assim, fala-se em MAXIMO  como algo distinto de LIMITE SUPERIOR, ambos 
distinto de SUPREMO ( E INFIMO ). De posse destres tres conceitos ( e de 
outros tambem ) prova-se diversos fatos evidentes, tais como "Se um conjunto 
( de numeros reais ) e finito entao ele tem MAXIMO e MAX=SUP."

Um fato notavel e que a intuicao nos guia corretamente ate um certo ponto, 
alem do qual e necessario definir com rigor os conceitos, so pena de nos 
tornarmos demasiadamente vagos. Uma boa construcao conceitual ira confirmar 
e tornar prreciso muitos dos sentimentos que previamente temos diante dos 
fenomenos matematicos.

A percepcao do CONCEITO ADEGUADO, salvo melhor juizo, "parece ser" uma 
qualidade de todo Grande Matematico e Cientista... Se olharmos as grandes 
conquistas humanas no campo cientifico, em ultima analise o que e feito e 
uma modificacao nos conceitos vigentes, de forma que as conquistas ja feitas 
sao preservadas e novas possibilidades se tornam factiveis. Einstein se 
pronunciou muitas vezes sobre esse tema :

1) Nao existe nenhum caminho logico que leva a compreensao das leis 
elementares, o unico caminho e o da intuicao

2) Propor um problema e muito mais importante que resolve-lo. Resolver um 
problema e uma questao de tecnica e de habilidade, propor um problema e uma 
questao de intuicao.

As palavras talvez nao tenham sido estas, mas o sentido foi.

O Willes ( o nome e mesmo esse ?), aquele Matematico de Princeton que provou 
a conjectura do Shimura ( a toda equacao eliptica esta associada uma forma 
modular ) e, de tabela, provou o ultimo teorema de Fermat, fala sobre isso. 
Ele explicitamente diz que diante de um problema deste porte, as referencias 
a conhecimentos adquiridos ajudam muito pouco, tudo sucedendo como se voce 
estivesse num imenso quarto escuro e tivesse que encontrar a porta de saida. 
Voce nao sabe  : O que vai usar pra resolver, onde procurar o que usar e se 
pode ter esperanca de descobrir qualquer destas coisas !

Diante de um misterio assim, parece que so o sentimento vago, a intuicao, 
pode delinear alguma forma de tratar a questao.

Esse ato de estar DIANTE DO MISTERIO, que sabemos que realmente existe e que 
desafia a nossa percepcao, e emocionante e estimulante, e parece ser fonte 
nao so das mais belas aventuras cientificas como tambem da experiencia 
mistica em face de Deus e de sua presenca. O cara que realmente acredita na 
existencia de Deus deve sentir algo diferente em face da vida, pois nao pode 
se achar so e completo, em nenhum momento ...

Po, eu deixei a imaginacao me levar e terminei saindo do foco da questao. 
Mas acho que nao escrevi tantas besteiras.

Um Abracao pra voce
Paulo Santa Rita
2,1045,140703





From: "Jose Francisco Guimaraes Costa" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: [obm-l] Conjuntos - Justificativa
Date: Sun, 13 Jul 2003 22:03:37 -0300
Comentário de um não-matemático que às vezes confunde definições com 
postulados com teoremas, sobre a pergunta original do Leandro.

Ora, se o conjunto é "limitado superiormente",  nenhum de seus elementos 
pode ser maior que o limite superior. Logo, ele certamente tem um máximo 
(que é menor ou igual ao limite), e isto seria um corolário.

Falei bobagem?

JF

- Original Message -
From: "Eduardo Casagrande Stabel" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Sunday, July 13, 2003 9:20 PM
Subject: Re: [obm-l] Conjuntos - Justificativa
> Caro Leandro.
>
> Este é o chamado axioma do sup. É equivalente a muitos outros, e não
> costuma-se demonstrá-lo e sim usá-lo como axioma. Se você ainda quiser
> demonstrá-lo, terá de estabalecer todos os axiomas dos reais, isto é, os 
que
> você está usando (ou o livro). Do contrário, fica impossível ajudá-lo.
>
> Abração!
> Duda.
>
> From: "Leandro Fernandes" <[EMAIL PROTECTED]>
> > Pessoal, não consigo dar uma justificativa plausível para esta 
afirmação:
> >
> > "Todo conjunto não vazio de números racionais limitado superiormente 
tem
> > máximo"
> >
> > Alguém tem alguma sugestão?
> >
> > Leandro
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MSN Messenger: converse com os seus amigos online.  
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===

[obm-l] Fw: [imo-problems] IMO 2003 problems are ONLINE

[Marcio Afonso A. Cohen]

Que triste! Depois de passar boa parte da madrugada catando os problemas
da imo2003, acabo de receber uma msg de outra lista dizendo que eles  estao
online.. Justamente na hora que eu preciso sair.. bom, fica como diversao
para o pessoal da lista.. eu vou ter que, infelizmente, esperar um pouco..
Abracos,
Marcio


- Original Message -
From: "Andrei Ismail" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Monday, July 14, 2003 9:40 AM
Subject: [imo-problems] IMO 2003 problems are ONLINE


> You can find them at the website :
>
> http://www.mathlinks.go.ro , at the forum
> section!
>
> Lots of other good stuff on that website.
>
> Cheers and happy solving everyone!
>
> Andrei
>
> P.S. : as far as I know this is the only place
> where they were displayed so far
>
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> -~->
>
> imo-problems is part of the IMO network, http://imonet.online.fr/
> remember to go there and add your name !
> 
> To receive these messages in a daily digest, email
[EMAIL PROTECTED]
> To stop recieving these messages, email [EMAIL PROTECTED]
> You can always view and reply to messages on-line, at
http://www.egroups.com/group/imo-problems
> For more help, email [EMAIL PROTECTED]
>
>
> Your use of Yahoo! Groups is subject to http://docs.yahoo.com/info/terms/
>
>
>

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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatoria

[Eder]

Olá,
 
Já vi esse princípio também como "princípio das 
gavetas".A idéia é simples,porém pooderosa na resolução de alguns problemas.Se 
vc tem n+1 objetos para distribuir em n gavetas,então vc pode afirmar com 
certeza que pelo menos uma  gaveta possui  mais de 
um  objeto.É bem interesante...Quantas pessoas, no mínimo , vc 
tem de reunir para ter certeza de que pelo menos duas nasceram num mesmo 
dia da semana (dom,seg,...,sáb)?Ora,se vc juntar 7, pode acontecer,num caso 
extremo,de cada uma ter nascido num dia diferente.Juntando 8,com certeza,pelo 
menos duas terão nascido num mesmo dia.Vc mesmo pode pensar em mais situações 
para a aplicação desse princípio.Bom deixar claro que ele não serve apenas para 
responder a essas "perguntinhas".Vc pode usar em situações como a do problema 
abaixo e já vi outras aplicações interessantes no Problem Solving 
Strategies...
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  Rafael 
  Ando 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Monday, July 14, 2003 3:40 AM
  Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] 
  Combinatoria
  Alguem me explica como eh esse principio da casa dos 
  pombos?obrigado>From: [EMAIL PROTECTED]>Reply-To: 
  [EMAIL PROTECTED]>To: [EMAIL PROTECTED]>Subject: 
  [obm-l] Re: [obm-l] Combinatoria>Date: Sat, 12 Jul 2003 12:22:50 
  -0300>>>  Oi Marcio,>   Se eu não 
  me engano, esse problema tem no Problem Solving:>  Seja x_i= 
  número de partidas jogadas até o dia i, inclusive.>   Como o 
  enxadrista joga no minimo 1 partida por dia e no máximo 11x12=>132 no 
  total, temos>   1<= a_1< a_2<...< a_77<= 132. 
  Some 20 na desigualdade:>  21<= a_1 + 20<...< a_77 + 20 
  <= 152.>  Então, os números a_1, a_2,..., a_77,  a_1 + 
  20,...,a_77 + 20 estão entre>1 e 152. Como temos 154 números, pelo 
  princípio da casa dos pombos existem>dois deles iguais. Assim, existem 
  dois indices i e j, i!=j, tais 
  que>   
  a_i= a_j + 20.>   Ora, isso é equivalente ao enxadrista ter 
  jogado exatamente vinte >partidas>entre os dias i+1 e 
  j.>>  Ateh mais,>  Yuri>>-- 
  Mensagem original -->> >    Nao estou 
  conseguindo fazer a seguinte questao, do livro de >combinatoria> 
  >do Morgado:> >Um enxadrista joga partidas de xadrez durante onze 
  semanas consecutivas.> >Sabe-se que ele sempre joga ao menos uma 
  partida por dia, e jamais joga>mais> >de 12 partidas em uma 
  semana. Mostre que existe um periodo de dias >consecutivos> 
  >no qual ele joga exatamente 20 partidas.> >    
  Alguem tem alguma dica?> >> >    
  Abracos,> >    Marcio> 
  >>>[]'s, Yuri>ICQ: 
  64992515>>>-->Use 
  o melhor sistema de busca da Internet>Radar UOL - http://www.radaruol.com.br=>Instruções 
  para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
  em>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html>=_MSN 
  Hotmail, o maior webmail do Brasil.  http://www.hotmail.com=Instruções 
  para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

Re: [obm-l] duvida de gabarito

[Eder]

Tudo bom?
 
Eu me distraí e acabei usando um "a" (que não era 
muito conveniente) para representar o número tal que 
sena=b/(a²+b²)^(1/2)  e cosa=a/(a²+b²)^(1/2)  .
Mandei outra mensagem trocando o "a" pelo "k",vc deve ter visto...Então 
vamos trabalhar com o "k":
 
senk=b/(a²+b²)^(1/2)  e cosk=a/(a²+b²)^(1/2)  .
 
"TENHO EM 
MENTE QUE AS DUAS PARCELAS ACIMA FORAM CONSTRUIDAS  PELA PRIMEIRA RELACAO 
FUNDAMENTAL SEN(A)^2 + COS(B)^2 = 1, "
 
Isso mesmo...
 
, MAS 
  PARA ISSO DEVEMOS TER s 

ena=b/(a²+b²)^(1/2)  e 
  cosa=a/(a²+b²)^(1/2), QUE EH  O QUE VC DEFINE ABAIXO. MINHA DUVIDA ESTA 
  AQUI. COMO ESTABELECEU    ESTAS DUAS EQUACOES 
  ?
Bom,primeiro notemos que a e b não podem ser 
simultaneamente nulos nas condições do problema,esqueci-me dessa observação nas 
outras mensagens...Veja também que  -1 < = a/(a²+b²)< = 1, bem como 
-1 < = b/(b²+a²) < = 1 e eles verificam a relação fundamental.Ainda,temos 
tgk=b/a (das definições que fiz),supondo "a" diferente de 0.Seja f: 
[-pi/2,pi/2] --> R, f(k)=tgk.É fácil ver que f é bijetora nesse 
domínio,logo,sendo b/a real,existe k em [-pi/2,pi/2] tal que 
f(k)=tgk=b/a.Portanto,existe tal k...
 
DE ONDE VEIO ESTE SEN(X+A) ? 
OBS: SEI QUE SEN(X+A) = SENX*COSA + SENA*COSX, MAS QUAL A RELACAO COM O 
PROBLEMA ? 
 
f(x)=(a²+b²)^(1/2) * [ a/(a²+b²)^(1/2) 
*senx + b/(a²+b²)^(1/2) cosx] <=>
<=> f(x)=(a²+b²)^(1/2) * [ 
cosk*senx + senk* cosx]
 
E  vc vê de onde aparece 
sen(x+k)...O interessante é que -1< = sen(x+k) < = 1.O problema não quer 
que f esteja em [-1,1]?Então,se (a²+b²)^(1/2)=1,conseguiremos isso.Os valores da 
alternativa "a" são satisfatórios.



  - Original Message - 
  From: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Sunday, July 13, 2003 9:11 PM
  Subject: Re: [obm-l] duvida de 
  gabarito
  Tive algumas duvidas, se o autor ou qualquer membro puder 
  me esclarecer agradeceria. Estao no corpo da mensagem. 
  Em uma mensagem de 13/7/2003 20:42:55 Hora padrão 
  leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 
  
  Faça o seguinte: f(x) = asen(x) + bcos(x) 
 <=> f(x)=(a²+b²)^(1/2) * [ a/(a²+b²)^(1/2) *senx + 
b/(a²+b²)^(1/2) cosx] (ATE AQUI TUDO BEM.) 
  N
  ote que [a/(a²+b²)^(1/2) ]²+[b/(a²+b²)^(1/2)]² = 1,então existe 
"a" tal que TENHO EM MENTE QUE AS DUAS 
  PARCELAS ACIMA FORAM CONSTRUIDAS  PELA PRIMEIRA RELACAO FUNDAMENTAL 
  SEN(A)^2 + COS(B)^2 = 1, MAS   PARA ISSO DEVEMOS TER s
  ena=b/(a²+b²)^(1/2)  e cosa=a/(a²+b²)^(1/2), QUE EH  O 
QUE VC DEFINE ABAIXO. MINHA DUVIDA ESTA AQUI. COMO ESTABELECEU 
   ESTAS DUAS EQUACOES ?s
  ena=b/(a²+b²)^(1/2)  e cosa=a/(a²+b²)^(1/2) 
E,portanto,f(x)=(a²+b²)^(1/2) * sen(x+a).Já temos 
que -1 < = sen(x+a) < =1,então DE ONDE VEIO ESTE SEN(X+A) ? OBS: 
  SEI QUE SEN(X+A) = SENX*COSA + SENA*COSX, MAS QUAL A RELACAO COM O PROBLEMA 
  ? se tivermos (a²+b²)^(1/2) = 1,we are 
  done. 
  A única alternativa satisfazendo isso é a alternativa 
"a". 
 MESMO COM DUVIDAS, GOSTEI 
  MUITO DA RESOLUCAO. 
  - Original Message - 
From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Sunday, July 13, 2003 7:30 PM Subject: [obm-l] 
  duvida de gabarito Ola pessoal, Vejam a questao 
  abaixo: Para que o conjunto imagem da funcao f(x) = asen(x) + 
  bcos(x) esteja contido no intervalo[-1; 1] eh suficiente que a e b sejam, 
  respectivamente, iguais a: a)(raiz)3/2 e 1/2 b)(raiz)3/3 
  e(raiz)3 c)(raiz)3 e(raiz)3/3 d)1 e 1 e)(raiz)2/2 e(raiz)2 
  gabarito: a Duvida: Nao entendi por que o gabarito diz que 
  a alternativa a eh acorreta. Fiz diferente: Considerei a 
  expressao: asen(x) +bcos(x) em dois casos asen(x) + bcos(x)= -1 e 
  asen(x) + bcos(x)= -1 Ateh agora naofiz nada de novo, apenas 
  equacionei o que o enunciado diz: ... -1 <=  f(x) 
  <= 1 (intervalos inclusos –oo e  +oo) Para que as 
  duasequacoes facam sentido devemos fazer x= pi/2, pi, 3pi/2  e/ou 
  2pi, pois estes arcos possuem senos ecossenos extremos. Inspecionando 
  verificamos que a= 1 ou -1 e b= -1 ou -1 tbem.Para satisfazer as 
  alternativas devemos considerar a=1, b=1. Alternativa d. O que fiz de 
  errado ? 

Re: [obm-l] Conjuntos - Justificativa

[Eder]

Olá,
 
Gostaria de me "intrometer" na discussão só para 
questionar uma coisa...Bom,a definição de conjunto não diz que,por 
exemplo,
{a,b,c}={a,a,b,c},sendo a repetição 
desnecessária?
 
Não lembro direito,mas acredito que sim.Nesse 
caso,só escreveríamos um dos máximos que vc citou  e pronto,o conjunto 
admitiria um máximo.Corrijam-me,caso tenha me enganado.

  - Original Message - 
  From: 
  Leandro 
  Fernandes 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Monday, July 14, 2003 3:23 AM
  Subject: Re: [obm-l] Conjuntos - 
  Justificativa
  
  Então você está dizendo que essa afirmativa é 
  falsa?
   
  Se um conjunto X possuir ao menos dois elementos 
  máximos e iguais, este conjunto não tem máximo. É isso? Como poderia 
  justificar isso?
   
  
- Original Message - 
From: 
Eduardo 
Casagrande Stabel 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Sunday, July 13, 2003 10:12 
PM
Subject: Re: [obm-l] Conjuntos - 
Justificativa

José.
 
Um conjunto X tem um máximo se ele possui um 
elemento x que é maior ou igual a todos os outros elementos de X. 

 
Duda.

  - Original Message - 
  From: 
  Jose 
  Francisco Guimaraes Costa 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Sunday, July 13, 2003 10:03 
  PM
  Subject: [obm-l] Conjuntos - 
  Justificativa
  
  Comentário de um não-matemático que às vezes 
  confunde definições com postulados com teoremas, sobre a pergunta original 
  do Leandro.
   
  Ora, se o conjunto é "limitado 
  superiormente",  nenhum de seus elementos pode ser maior que o 
  limite superior. Logo, ele certamente tem um máximo (que é menor ou 
  igual ao limite), e isto seria um corolário.
   
  Falei bobagem?
   
  JF 
  - Original Message - 
  From: "Eduardo Casagrande Stabel" 
  <[EMAIL PROTECTED]>
  To: <[EMAIL PROTECTED]>
  Sent: Sunday, July 13, 2003 9:20 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] Conjuntos - 
  Justificativa
  > Caro Leandro.> > Este é o chamado 
  axioma do sup. É equivalente a muitos outros, e não> costuma-se 
  demonstrá-lo e sim usá-lo como axioma. Se você ainda quiser> 
  demonstrá-lo, terá de estabalecer todos os axiomas dos reais, isto é, os 
  que> você está usando (ou o livro). Do contrário, fica impossível 
  ajudá-lo.> > Abração!> Duda.> > From: 
  "Leandro Fernandes" <[EMAIL PROTECTED]>> > Pessoal, não consigo dar uma justificativa 
  plausível para esta afirmação:> >> > "Todo conjunto 
  não vazio de números racionais limitado superiormente tem> > 
  máximo"> >> > Alguém tem alguma sugestão?> 
  >> > 
Leandro

Re: [obm-l] Notas de Corte.

[Antonio Neto]

  Sei que sou apressadinho, mas meus alunos estao perguntando pela data da 
prova. Algo a respeito? Abracos, olavo.


From: Olimpiada Brasileira de Matematica <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Notas de Corte.
Date: Sat, 12 Jul 2003 05:47:06 -0700
Caros(as) amigos(as) da lista:

Estao classificados para participar da segunda fase da OBM
todos os alunos que tiverem atingido numero de acertos IGUAL
ou SUPERIOR a nota minima de corte segundo a tabela abaixo:
Nivel 1 (5a. e 6a. Series): 10 acertos.
Nivel 2 (7a. e 8a. Series): 13 acertos.
Nivel 3 (Ensino Medio): 11 acertos.
Por favor ajude a divulgar.

Abracos, Nelly.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RE: [obm-l] AQUELE MESMO

[Antonio Neto]

Menos pretensao, amigo Artur :) Tenho quase 54, não sei a idade do Morgado, 
mas deve ter mais que voce, e o Barone tambem deve ter mais de 51. Sei que 
eh off, mas deixa de ser convencido...:). Abraco, olavo.


From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: RE: [obm-l] AQUELE MESMO
Date: Sun, 13 Jul 2003 16:41:28 -0300
Eh isso ai Denisson!.
Parabens pela maturidade em reconhecer que a sua primeira afirmacao foi
precipitada.!
Eu tambem me precipito as vezese sou um pouco mais velho que vc. Tenho
51 anos, provavelmente o cara mais velho desta lista.
Um abraco
Artur
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Re: [obm-l] Questão OBM-2002

[A. C. Morgado]

Pisei na bola!
Na linha 7 usei que x estava entre 0 e sqrt2, quando na verdade era o
lado direito de 1 que estava entre 0 e sqrt2. 
Peço desculpas a quem perdeu tempo lendo minha soluçao errada e
agradeço a quem me corrigiu.
Morgado

A. C. Morgado wrote:

  
  
Se tivesse soluçao,
x^2 - 2= sqrt (2-sqrt(2+x)  (igualdade 1)
Mas 2+x maiorigual 0  e  2 - sqrt(2+x) maiorigual 0, ou seja, x entre
-2 e 2 (inclusive as extremidades).
O lado direito da igualdade 1 eh decrescente com x e se situa entre 0 e
sqrt2 (inclusive as extremidades).
Logo, o lado esquerdo tambem deve se situar entre 0 e sqrt 2. Mas, para
isso, x teria que ser  maior igual que sqrt2 (ou menor que -  sqrt2. 
Logo, se houver soluçao, x = sqrt2. Mas esse valor nao eh soluçao, pois
faz o lado esquerdo de 1 valer 0 e o lado direito diferente de 0.
Nao ha soluçao.
MuriloRFL wrote:
  



Resolva:
 
x = sqrt(2+sqrt(2-sqrt(2+x)))