[obm-l] Pontos de condensação

[Artur Steiner]

Em um espaço topológico qualquer, dizemos que x é ponto de condensação de
um conjunto A se, para toda vizinhança V de x, V inter A não for
enumerável. No caso de espaços métricos, podemos mostrar que, sendo C o
conjunto dos pontos de condensação do não enumerável A e  C' o complementar
de C, então A inter C não é enumerável e C' inter A é enumerável.

No caso de R com a métrica Euclidiana, temos dois outros conceitos
correlatos:

Dizemos que x é ponto de condensação bilateral de A se, para todo eps > 0,
(x - eps, x) inter A e (x, x + eps) inter A não forem enumeráveis. Isto é,
os pontos de A condensam-se em ambos lados de x. E dizemos que x é ponto de
condensação unilateral de A se os pontos de A se condensarem em apenas um
dos lados de x: para todo eps > 0, apenas uma das interseções acima não é
enumerável. Exemplificando: Todo elemento de (0, 1) é ponto de condensação
bilateral do mesmo; 0 e 1 são seus únicos pontos de condensação
uniilaterais.

Sendo A não enumerável, B o conjunto de seus pontos de condensação
bilaterais e U o conjunto de seus pontos de condensação unilaterais, mostre
que

A inter B não é enumerável

U é enumerável.

Artur Costa Steiner

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: Probleminha um tanto estranho

[Artur Costa Steiner]

Esse fato é consequência do seguinte teorema:Seja P um polinômio de coeficientes inteiros tal que:- o coeficiente do termo líder e o termo independente são ímpares- o número total de coeficientes ímpares é ímparEntão, P não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais.Artur Costa Steiner Em 10 de abr de 2018 18:40, g...@impa.br escreveu:    Oi Claudio,

    Mais ou menos: se a=3, b=4 e c=5, sua afirmação diz que um  

polinômio em Z[x] que tenha (3+4i)/5 como raiz deve ser divisível em  

Z[x] por 25z^2-30z+25, mas poderia ser 5z^2-6z+5. Mas se mdc(a,b,c)=1  

e 2|c^2*z^2 - 2ac*z + (a^2+b^2), devemos ter c par e a e b ímpares,  

donde a^2+b^2=2 (mod 4), e só podemos tirar um fator 2, ficando o  

coeficiente ac de z ainda par - assim, a afirmação do Artur para  

polinômios quadráticos continua provada.

    Abraços,

  Gugu



Quoting Claudio Buffara :



> Se um polinômio com coeficientes inteiros tiver (a+bi)/c como raiz (a,b,c

> inteiros), então também terá (a-bi)/c.

> Assim, será divisível por f(z) = c^2*z^2 - 2ac*z + (a^2+b^2)

> (incidentalmente, isso prova a sua afirmação para polinômios quadráticos:

> 2ac é necessariamente par).

>

> f(z) | 37971 z^998  + ... + 67917  ==> a^2+b^2 divide 67917 = 3*22639. Mas

> 3 e 22639 são primos da forma 4k+3. Logo, 67917 não é divisível pela soma

> de dois quadrados.

>

> []s,

> Claudio.

>

>

>

> 2018-04-09 10:54 GMT-03:00 Artur Steiner :

>

>> Isto é uma generalização do seguinte fato: Se todos os coeficientes de  um

>> pol. do 2o grau forem ímpares, então o pol. não apresenta nenhuma raiz com

>> ambas as partes racionais.

>>

>> Artur Costa Steiner

>>

>> Em Dom, 8 de abr de 2018 19:56, Artur Steiner <

>> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:

>>

>>> Mostre que o polinômio

>>>

>>> P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438

>>> x^129 + 67917

>>>

>>> não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais

>>>

>>> Abraços.

>>>

>>> Artur Costa Steiner

>>>

>>

>> --

>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e

>> acredita-se estar livre de perigo.

>>

>

> --

> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e

>  acredita-se estar livre de perigo.









-- 

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e

 acredita-se estar livre de perigo.



=

Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em

http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html

=


--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Perguntas pro Claudio Buffara

[Claudio Buffara]

Prezada Marcela:

Fiquei surpreso com sua reação aos meus comentários, que me pareceram
bastante inócuos.
Certamente não tive e nem tenho a intenção de ser ou parecer arrogante e
nem de me exibir com "problemas dificílimos".
De resto, se você acompanha a lista, certamente deve ter se deparado com
várias besteiras que escrevi, o que depõe contra meu "talento claramente
acima da média".

Dito isso, admito que tenho extremo interesse no ensino da matemática e
estou sempre buscando formas de aplicar técnicas "olímpicas" a conteúdos
"normais" de matemática.

Não tenho tempo agora, mas certamente irei responder com cuidado suas
quatro perguntas.

Uma dúvida: você é professora de matemática?

[]s,
Claudio.

2018-04-10 13:09 GMT-03:00 Marcela Costa :

> Caros participantes da lista obm-l.
>
> Tenho seguido esta lista lendo as mensagens de fora há algum tempo e
> fiquei cismada com duas mensagens que o participante Claudio Buffara enviou
> em 23 de março ( https://www.mail-archive.com/
> obm-l@mat.puc-rio.br/msg55232.html ) e 25 de março (
> https://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg55196.html), a
> respeito do ensino de matemática e decidi participar.
>
> Dessa forma, tenho as seguintes perguntas pra ele:
>
> 1) O Sr. diz que produtos notáveis e fatorações são "notoriamente mal
> ensinados". O Sr. tem alguma sugestão de como ensinar melhor estes tópicos?
>
> 2) O Sr. não acha um pouco arrogante fazer uma afirmação como esta, já que
> o Sr. tem um talento claramente acima da média em matemática e pertence à
> elite dos "olímpicos"?
>
> 3) O Sr. não acha que o exibicionismo com estes problemas dificílimos
> acaba por alienar os alunos normais?
>
> 4) Qual a aplicabilidade na vida real de problemas de olimpíadas de
> matemática?
>
> Sds
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: Probleminha um tanto estranho

[Claudio Buffara]

Entendido! Obrigado pelo "presta atenção".

[]s,
Claudio.

2018-04-10 18:40 GMT-03:00 :

>Oi Claudio,
>Mais ou menos: se a=3, b=4 e c=5, sua afirmação diz que um polinômio em
> Z[x] que tenha (3+4i)/5 como raiz deve ser divisível em Z[x] por
> 25z^2-30z+25, mas poderia ser 5z^2-6z+5. Mas se mdc(a,b,c)=1 e 2|c^2*z^2 -
> 2ac*z + (a^2+b^2), devemos ter c par e a e b ímpares, donde a^2+b^2=2 (mod
> 4), e só podemos tirar um fator 2, ficando o coeficiente ac de z ainda par
> - assim, a afirmação do Artur para polinômios quadráticos continua provada.
>Abraços,
>  Gugu
>
> Quoting Claudio Buffara :
>
> Se um polinômio com coeficientes inteiros tiver (a+bi)/c como raiz (a,b,c
>> inteiros), então também terá (a-bi)/c.
>> Assim, será divisível por f(z) = c^2*z^2 - 2ac*z + (a^2+b^2)
>> (incidentalmente, isso prova a sua afirmação para polinômios quadráticos:
>> 2ac é necessariamente par).
>>
>> f(z) | 37971 z^998  + ... + 67917  ==> a^2+b^2 divide 67917 = 3*22639. Mas
>> 3 e 22639 são primos da forma 4k+3. Logo, 67917 não é divisível pela soma
>> de dois quadrados.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>>
>> 2018-04-09 10:54 GMT-03:00 Artur Steiner :
>>
>> Isto é uma generalização do seguinte fato: Se todos os coeficientes de  um
>>> pol. do 2o grau forem ímpares, então o pol. não apresenta nenhuma raiz
>>> com
>>> ambas as partes racionais.
>>>
>>> Artur Costa Steiner
>>>
>>> Em Dom, 8 de abr de 2018 19:56, Artur Steiner <
>>> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>> Mostre que o polinômio

 P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438
 x^129 + 67917

 não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais

 Abraços.

 Artur Costa Steiner


>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: Probleminha um tanto estranho

[gugu]

   Oi Claudio,
   Mais ou menos: se a=3, b=4 e c=5, sua afirmação diz que um  
polinômio em Z[x] que tenha (3+4i)/5 como raiz deve ser divisível em  
Z[x] por 25z^2-30z+25, mas poderia ser 5z^2-6z+5. Mas se mdc(a,b,c)=1  
e 2|c^2*z^2 - 2ac*z + (a^2+b^2), devemos ter c par e a e b ímpares,  
donde a^2+b^2=2 (mod 4), e só podemos tirar um fator 2, ficando o  
coeficiente ac de z ainda par - assim, a afirmação do Artur para  
polinômios quadráticos continua provada.

   Abraços,
 Gugu

Quoting Claudio Buffara :


Se um polinômio com coeficientes inteiros tiver (a+bi)/c como raiz (a,b,c
inteiros), então também terá (a-bi)/c.
Assim, será divisível por f(z) = c^2*z^2 - 2ac*z + (a^2+b^2)
(incidentalmente, isso prova a sua afirmação para polinômios quadráticos:
2ac é necessariamente par).

f(z) | 37971 z^998  + ... + 67917  ==> a^2+b^2 divide 67917 = 3*22639. Mas
3 e 22639 são primos da forma 4k+3. Logo, 67917 não é divisível pela soma
de dois quadrados.

[]s,
Claudio.



2018-04-09 10:54 GMT-03:00 Artur Steiner :


Isto é uma generalização do seguinte fato: Se todos os coeficientes de  um
pol. do 2o grau forem ímpares, então o pol. não apresenta nenhuma raiz com
ambas as partes racionais.

Artur Costa Steiner

Em Dom, 8 de abr de 2018 19:56, Artur Steiner <
artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:


Mostre que o polinômio

P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438
x^129 + 67917

não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais

Abraços.

Artur Costa Steiner



--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.



--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
 acredita-se estar livre de perigo.





--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Combinatória

[Douglas Oliveira de Lima]

Caros amigos , retomando o raciocinio, rs, estou com um problema um tanto
interessante que nao sei como fazer:

Existe algum jeito de calcular o valor do somatório dos produtos
n(k).(101-k) onde k varia de 1 a 98 e n(k) é o número de divisores de k.


Qualquer ajuda será bem vinda.


Abraco do
Douglas Oliveira.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Perguntas pro Claudio Buffara

[Pedro José]

Boa tarde, Marcela e aos demais!

Senti-me inclinado em responder, mas como você direcionara as perguntas ao
Cláudio, decidi que não.
Mas uma vez que o Artur teceu seus comentários, me animei a falar um pouco
também.
Particularmente, não tenho formação matemática, sou pitaqueiro e aprendo
(um pouquinho, as vezes nada) lendo artigos, despertado por interesse que
surge em diversos problemas, e tentando resolver os exercícios propostos.
O que me inclinou a participar dessa lista, foi ver uma resolução, me
apresentada por um amigo, de um jovem de 14 anos, usando desigualdade de
Cauchy-Shwarz, que só me fora apresentada com mais de 20 anos.

Quanto ao primeiro questionamento, o colega criticou a forma de ensino e
propôs dois livros e ainda apontou um modo de obtê-los.
Já em relação ao segundo, ele também não demonstra arrogância, mas sim a
preocupação em que o direcionamento dado a forma de explicar afaste os
alunos normais, para mim claro, quando ele cita:"...*me ocorreu que elas
talvez tivessem um efeito perverso na motivação dos estudantes de
matemática, pois passavam a impressão de que é preciso ser um gênio para
dominar a matéria.*"

Já em relação ao terceiro e quarto, creio que façam os jovens a se
acostumarem a pensar de modo diferente. Aí compreendo que seja valorizado o
privilégio da aptidão. O que deveria ser uma ponte para desenvolvimento de
pesquisas, tão vilipendiadas no nosso país.
Tem um anúncio de um carro que todos estão em um trilho simbolizando a
rotina, até o pombo que come o milho e vem o carro e Traz a liberdade e é
quebrada a rotina. Para mim, ilusão vendida pelo comercial. Mas pensar de
maneira diferente, de procurar novas formas, tem o poder de fazer isso, não
só na matemática, mas principalmente nas humanas, na forma que vemos as
outras pessoas. Creio que a solução, de forma elegante, de problemas de
nível cause um prazer nesses jovens e seletos estudantes, assim como uma
enterrada voadora do Lebron, um gol de bicicleta do R-7, um aéreo do
Medina, uma ultrapassagem do Hamilton. Cada qual com suas aptidões. Somos
diferentemente iguais.

Saudações,
PJMS

Em 10 de abril de 2018 15:41, Artur Steiner 
escreveu:

> Eu gostaria dr citar alguns pontos de caráter geral sobre sua perguntas
>
> Julgo conveniente lembrar que esta é uma lista para amantes da matemática,
> assim como há para amantes de música, jardinagem, literatura, etc.
> Participa que quiser. Ninguém é obrigado a resolver os problemas aqui
> disticutidos. Isto não aliena ninguém. Para os que têm interesse em algum
> ramo do conhecimento, é sempre bom interagir com quem tem talento no
> assunto. Não se trata de exibicionismo.  Muitos adeptos da Física gostariam
> de ter interagido com Stephen Hawking.
>
> Problemas olímpicos, assim como tópicos avançados na matemática, são
> estudados por quem nisso tem interesse. Concordo que nem sempre apresentam
> uma aplicação prática, pelo menos uma claramente identificável. Seria algo
> como perguntar " qual a utilidade da música clássica? Qual a de se aprender
> latim?" Mas para os aficcionados, há uma utilidade real e palpável:
> torna-os mais felizes, causa-lhes satisfação.
>
> No caso da matemática, muito do que temos hoje só existe porque um dia,
> por exemplo, alguém resolveu a "inutilidade" de uma equação diferencial.
>
> Dois exemplos: estes complicados problemas sobre números primos aplicam-se
> em criptografia, para que transações bancárias possam ser feitas com uma
> boa dose de segurança. E há algum tempo vim a saber que, na elaboração das
> fontes de computador , cujos tamanhos variam conforme desejamos, sempre
> mantendo intacta a proporção, utiliza-se teoria dos fractais, algo ligado a
> análise complexa avançada, algo que, para muitos, é uma total perda de
> tempo.
>
> Apenas algumas reflexões.
>
> Abraços
>
> Artur Costa Steiner
>
>
> Em Ter, 10 de abr de 2018 13:17, Marcela Costa <
> marcelinhacost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Caros participantes da lista obm-l.
>>
>> Tenho seguido esta lista lendo as mensagens de fora há algum tempo e
>> fiquei cismada com duas mensagens que o participante Claudio Buffara enviou
>> em 23 de março ( https://www.mail-archive.com/
>> obm-l@mat.puc-rio.br/msg55232.html ) e 25 de março (
>> https://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg55196.html), a
>> respeito do ensino de matemática e decidi participar.
>>
>> Dessa forma, tenho as seguintes perguntas pra ele:
>>
>> 1) O Sr. diz que produtos notáveis e fatorações são "notoriamente mal
>> ensinados". O Sr. tem alguma sugestão de como ensinar melhor estes tópicos?
>>
>> 2) O Sr. não acha um pouco arrogante fazer uma afirmação como esta, já
>> que o Sr. tem um talento claramente acima da média em matemática e pertence
>> à elite dos "olímpicos"?
>>
>> 3) O Sr. não acha que o exibicionismo com estes problemas dificílimos
>> acaba por alienar os alunos normais?
>>
>> 4) Qual a aplicabilidade na vida real de problemas de olimpíadas de
>> matemática?
>>
>> Sds

RES: [obm-l] Perguntas pro Claudio Buffara

[bouskela]

Olá a todos!

Envio esta mensagem para a Lista da OBM a fim de manifestar minha concordância 
com a mensagem postada pelo ARTUR STEINER e acrescentar (ratificar) dois pontos:

Primeiro ponto: — A utilidade das descobertas esdrúxulas e a sua aplicabilidade 
prática:

i=sqrt(-1)
Por volta de 1777, Euler resolveu criar uma raiz quadrada para -1 (uma tremenda 
maluquice!). Bem, esta “maluquice” — a criação dos Números Complexos — 
mostrou-se, posteriormente, como a base para o projeto de circuitos 
eletroeletrônicos e, sem ela, eu não poderia estar na frente desse computador 
(que não existiria). É fundamental, também, para o dimensionamento de 
estruturas (prédios, pontes etc.) submetidas a eventos dinâmicos (furacões, 
terremotos etc.).

Geometrias não-euclidianas
Em meados do século IXX, Riemann resolveu criar geometrias não-euclidianas 
(e.g., as geometrias elíptica e hiperbólica) — uma verdadeira blasfêmia, porque 
se contrapôs ao 5º Postulado (o das Paralelas) de Euclides. Mais tarde, no 
início do século XX, essas geometrias serviram para a formulação matemática da 
Teoria da Relatividade de Einstein.

Dito isto, fica o teorema (a ser ainda provado): — Toda descoberta matemática 
tem (ou terá) alguma aplicabilidade prática!

Segundo ponto: — O objetivo desta Lista:

O objetivo desta Lista é discutir a solução dos chamados problemas “olímpicos” 
(que, naturalmente, são difíceis) e, por conseguinte, servir de apoio para os 
estudantes que participam de olimpíadas matemáticas. Tenho a certeza de que é 
um objetivo plenamente válido.

Não obstante, esta Lista serve, também, para o deleite de todos (eu e tantos 
outros), que sejam amantes (no sentido metafórico) da Matemática.

Saudações!
Albert Bouskelá
mailto:bousk...@gmail.com

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br  Em nome de Artur 
Steiner
Enviada em: terça-feira, 10 de abril de 2018 15:42
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Perguntas pro Claudio Buffara

Eu gostaria dr citar alguns pontos de caráter geral sobre sua perguntas 

Julgo conveniente lembrar que esta é uma lista para amantes da matemática, 
assim como há para amantes de música, jardinagem, literatura, etc. Participa 
que quiser. Ninguém é obrigado a resolver os problemas aqui disticutidos. Isto 
não aliena ninguém. Para os que têm interesse em algum ramo do conhecimento, é 
sempre bom interagir com quem tem talento no assunto. Não se trata de 
exibicionismo.  Muitos adeptos da Física gostariam de ter interagido com 
Stephen Hawking. 

Problemas olímpicos, assim como tópicos avançados na matemática, são estudados 
por quem nisso tem interesse. Concordo que nem sempre apresentam uma aplicação 
prática, pelo menos uma claramente identificável. Seria algo como perguntar " 
qual a utilidade da música clássica? Qual a de se aprender latim?" Mas para os 
aficcionados, há uma utilidade real e palpável: torna-os mais felizes, 
causa-lhes satisfação.

No caso da matemática, muito do que temos hoje só existe porque um dia, por 
exemplo, alguém resolveu a "inutilidade" de uma equação diferencial. 

Dois exemplos: estes complicados problemas sobre números primos aplicam-se em 
criptografia, para que transações bancárias possam ser feitas com uma boa dose 
de segurança. E há algum tempo vim a saber que, na elaboração das fontes de 
computador , cujos tamanhos variam conforme desejamos, sempre mantendo intacta 
a proporção, utiliza-se teoria dos fractais, algo ligado a análise complexa 
avançada, algo que, para muitos, é uma total perda de tempo.

Apenas algumas reflexões. 

Abraços

Artur Costa Steiner

Em Ter, 10 de abr de 2018 13:17, Marcela Costa 
 escreveu:
Caros participantes da lista obm-l.

Tenho seguido esta lista lendo as mensagens de fora há algum tempo e fiquei 
cismada com duas mensagens que o participante Claudio Buffara enviou em 23 de 
março ( https://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg55232.html ) e 25 
de março ( https://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg55196.html), a 
respeito do ensino de matemática e decidi participar.

Dessa forma, tenho as seguintes perguntas pra ele:

1) O Sr. diz que produtos notáveis e fatorações são "notoriamente mal 
ensinados". O Sr. tem alguma sugestão de como ensinar melhor estes tópicos?

2) O Sr. não acha um pouco arrogante fazer uma afirmação como esta, já que o 
Sr. tem um talento claramente acima da média em matemática e pertence à elite 
dos "olímpicos"?

3) O Sr. não acha que o exibicionismo com estes problemas dificílimos acaba por 
alienar os alunos normais?

4) Qual a aplicabilidade na vida real de problemas de olimpíadas de matemática?

Sds

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�s e 
acredita-se estar livre de perigo. 


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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Perguntas pro Claudio Buffara

[Artur Steiner]

Eu gostaria dr citar alguns pontos de caráter geral sobre sua perguntas

Julgo conveniente lembrar que esta é uma lista para amantes da matemática,
assim como há para amantes de música, jardinagem, literatura, etc.
Participa que quiser. Ninguém é obrigado a resolver os problemas aqui
disticutidos. Isto não aliena ninguém. Para os que têm interesse em algum
ramo do conhecimento, é sempre bom interagir com quem tem talento no
assunto. Não se trata de exibicionismo.  Muitos adeptos da Física gostariam
de ter interagido com Stephen Hawking.

Problemas olímpicos, assim como tópicos avançados na matemática, são
estudados por quem nisso tem interesse. Concordo que nem sempre apresentam
uma aplicação prática, pelo menos uma claramente identificável. Seria algo
como perguntar " qual a utilidade da música clássica? Qual a de se aprender
latim?" Mas para os aficcionados, há uma utilidade real e palpável:
torna-os mais felizes, causa-lhes satisfação.

No caso da matemática, muito do que temos hoje só existe porque um dia, por
exemplo, alguém resolveu a "inutilidade" de uma equação diferencial.

Dois exemplos: estes complicados problemas sobre números primos aplicam-se
em criptografia, para que transações bancárias possam ser feitas com uma
boa dose de segurança. E há algum tempo vim a saber que, na elaboração das
fontes de computador , cujos tamanhos variam conforme desejamos, sempre
mantendo intacta a proporção, utiliza-se teoria dos fractais, algo ligado a
análise complexa avançada, algo que, para muitos, é uma total perda de
tempo.

Apenas algumas reflexões.

Abraços

Artur Costa Steiner


Em Ter, 10 de abr de 2018 13:17, Marcela Costa 
escreveu:

> Caros participantes da lista obm-l.
>
> Tenho seguido esta lista lendo as mensagens de fora há algum tempo e
> fiquei cismada com duas mensagens que o participante Claudio Buffara enviou
> em 23 de março (
> https://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg55232.html ) e 25 de
> março ( https://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg55196.html),
> a respeito do ensino de matemática e decidi participar.
>
> Dessa forma, tenho as seguintes perguntas pra ele:
>
> 1) O Sr. diz que produtos notáveis e fatorações são "notoriamente mal
> ensinados". O Sr. tem alguma sugestão de como ensinar melhor estes tópicos?
>
> 2) O Sr. não acha um pouco arrogante fazer uma afirmação como esta, já que
> o Sr. tem um talento claramente acima da média em matemática e pertence à
> elite dos "olímpicos"?
>
> 3) O Sr. não acha que o exibicionismo com estes problemas dificílimos
> acaba por alienar os alunos normais?
>
> 4) Qual a aplicabilidade na vida real de problemas de olimpíadas de
> matemática?
>
> Sds
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Perguntas pro Claudio Buffara

[Marcela Costa]

 Caros participantes da lista obm-l.

Tenho seguido esta lista lendo as mensagens de fora há algum tempo e fiquei
cismada com duas mensagens que o participante Claudio Buffara enviou em 23
de março ( https://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg55232.html
) e 25 de março (
https://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg55196.html), a
respeito do ensino de matemática e decidi participar.

Dessa forma, tenho as seguintes perguntas pra ele:

1) O Sr. diz que produtos notáveis e fatorações são "notoriamente mal
ensinados". O Sr. tem alguma sugestão de como ensinar melhor estes tópicos?

2) O Sr. não acha um pouco arrogante fazer uma afirmação como esta, já que
o Sr. tem um talento claramente acima da média em matemática e pertence à
elite dos "olímpicos"?

3) O Sr. não acha que o exibicionismo com estes problemas dificílimos acaba
por alienar os alunos normais?

4) Qual a aplicabilidade na vida real de problemas de olimpíadas de
matemática?

Sds

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

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[Pedro José]

Bom dia!

Dei uma "roubadinha" e achei outra solução, pois veio de trás para a
frente. Veio da observação que nas respostas u=st.

(s-1)(t-1)(u-1) | ust-1 1=2 e só atende quando k(s,t,u) é
inteiro.
Fixando-se duas váriaveis  k é monótona decrescente para a outra; assim
kmax(s) = k(s,s+1,s+2)= (s(s+1)(s+2)-1)/(s-1)s(s+1)>=2, então
s(s+1)(s+2)/s(s-1)(s+1)>2; s < 4.

(s-1)(t-1)(u-1) | ust-1 então: (u-1) | ust-1, então: (u-1) | ust -st; então
(u-1) | st-1

temos que m (u-1) = st -1, (u-1) = (st-1)/m, com m inteiro. Então m < s,
para que u > t.

s=2, só serve m =1==> u=st. donde: (s-1)(t-1)(u-1) | (st)^2-1 ;
(s-1)(t-1)(u-1) | (u-1)(st+1); (s-1)(t-1) | (st+1)

(t-1)| | 2t+1; (t-1) | 3. t-1 <= 3 ==> t=4 (paridade -se uma das incógnitas
for par todas serão e se uma for ímpar todas serão - e t>s)  e u =st=8, que
verificando atende a proposição. (2,4,8)

s=3 há duas opções m=1 ou m=2

com m=1. (s-1)(t-1) | (st+1);  2(t-1) | 3t+1 ; 2(t-1) | t-1 <=4 ==> t=5
(paridade e t>s) c= st = 15 e atende a proposição (3,5,15)

com m=2 u= (st-1)/2 +1 ==> (s-1)(t-1) | ((st-1)/2 +1)st -1; 2(t-1) <=
(9t^2+3t)/2 -1; impossível.

Logo só há as soluções anteriores (2,4,8) e (3,5,15).

Saudações,
PJMS.

Em 26 de março de 2018 10:49, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
> Agora estou contente. Posso alardear que pelo menos matei um problema da
> IMO.
>
> (s-1)(t-1)(u-1) | ust-1 1 k(s,t,u) = (stu-1)/(s-1)(t-1)(u-1)
>
> Como k(s,t,u) > 1 temos que k(s,t,u) >=2 e só atende quando k(s,t,u) é
> inteiro.
> Fixando-se duas váriaveis  k é monótona decrescente para a outra; assim
> kmax(s) = k(s,s+1,s+2)= (s(s+1)(s+2)-1)/(s-1)s(s+1)>=2, então
> s(s+1)(s+2)/s(s-1)(s+1)>2; s < 4.
>
> fazendo um estudo de paridade: se uma das variáveis for par as outras duas
> também serão e k será ímpar. Se uma das variáveis for ímpar, todas serão
> ímpares e k poderá ser tanto ímpar quanto par.
>
> u   s   v  k
> P  P   P I
> III  -
>
> s=2. k>=3 Para kmax (2,t) = k(2,t,t+1) = (2t(t+1)-1)/t(t-1)>=3 então:
> 2t(t+1)/t(t-1) >3 : t < 5, pela paridade t=4 e kmax(2,4) = 47/15, só serve
> k = 3.
>
> s=2, t=4 e k=3 temos v=8. (2,4,8)
>
> s=3 k>=2 Para kmax (3,t) = k(3,t,t+1) = (3t(t+1)-1)/2t(t-1)>=2 então:
> 3t(t+1)/2t(t-1) >2 : t < 7, pela paridade t=5 e kmax(3,5) = 13/6, só serve
> k = 2.
>
> s=3, t= 5 e k=2 temos v= 15. (3,5,15)
>
> Só atendem: (2,4,8) e (3,5,15)
>
> Achei curioso que em ambas soluções, u=st.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
> Em 26 de março de 2018 09:44, Matheus Secco 
> escreveu:
>
>> De fato, trata-se do problema 1 da IMO 1992.
>>
>> Abs,
>>
>> Matheus Secco
>>
>> Em Seg, 26 de mar de 2018 09:24, Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Muito fácil pra ser de IMO...
>>>
>>> 2018-03-26 6:58 GMT-03:00 Anderson Torres 
>>> :
>>>
 Este não é o problema de alguma IMO não? Eu lembro de ter resolvido,
 quase igual à solução oficial: substituir s,t,u por a+1,b+1,c+1 e
 calcular os possiveis valores de
 1/a+1/b+1/c + 1/ab+1/ac+1/bc usando desigualdades - para daí limitar
 os valores de a,b,c.

 Em 23 de março de 2018 17:01, Claudio Buffara
  escreveu:
 > Enfim, nesse meio tempo acho que resolvi o problema...
 >
 > Devemos achar inteiros s, t, u, com 1 < s < t < u e tais que:
 > (stu -1)/((s-1)(t-1)(u-1)) = k  (k inteiro positivo)
 >
 > Após diversas aplicações do truque (método?) de somar e subtrair a
 mesma
 > coisa, chegamos a:
 > stu - 1 =  (s-1)(t-1)(u-1) + (s-1)(t-1) + (s-1)(u-1) + (t-1)(u-1) +
 (s-1) +
 > (t-1) + (u-1)
 >
 > Dividindo isso por (s-1)(t-1)(u-1), obtemos:
 > 1 + 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) +
 > 1/((s-1)(t-1)) = k ==>
 >
 > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) +
 > 1/((s-1)(t-1)) = k-1
 >
 > Agora a ideia é achar cotas para s e para k.
 >
 > 1 < s < t < u ==> s >= 2, t >= 3 e u >= 4 ==> o lado esquerdo é menor
 ou
 > igual que:
 > 1/3 + 1/2 + 1 + 1/6 + 1/3 + 1/2 = 2+5/6
 >
 > Ou seja, como o lado esquerdo é inteiro (e positivo), só poderá ser
 igual a
 > 1 ou a 2 ==> k = 2 ou k = 3.
 >
 > Se s >= 4, então t >= 5 e u >= 6, e o lado esquerdo será, no máximo,
 igual
 > a:
 > 1/5 + 1/4 + 1/3 + 1/20 + 1/15 + 1/12 < 1.
 >
 > Logo, devemos ter s = 2 ou s = 3.
 >
 > s = 2 ==>
 > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1 + 1/((t-1)(u-1)) + 1/(u-1) + 1/(t-1) = k-1 ==>
 > 2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = k-2 ==>
 > Como k-2 deve ser inteiro positivo, k só pode ser 3 e, portanto:
 > 2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = 1 ==>
 > (2 + 1/(t-1))/(u-1) = 1 - 2/(t-1) ==>
 > u = 1 + (2t - 1)/(t - 3) = 3 + 5/(t-3) ==>
 > t = 4 e u = 8   ou   t = 8 e u = 4 (não serve pois t deve ser menor
 do que
 > u)
 >
 > s = 3 ==>
 > 1/(u-1) +