Re: Res: [obm-l] Juros compostos
Nehab e Ralph, Faz isso não ... Vocês vão acabar com o emprego de muitos professores de Matemática Financeira (inclusive o nosso) ... Certa vez, ainda na flor da minha inocência capitalista, perguntei ao Alcyone, em uma de suas aulas no IME, o porquê de tantos sistemas diferentes de televisão a cores. Ele, genial como sempre, me respondeu com um provérbio chinês, que nunca me esqueci: Onde há confusão, há lucro. :) Abraços, Vidal. :: vi...@mail.com
[obm-l] Wolfram Alpha
Caros Colegas, A página entrou no ar na sexta à noite e ainda está um pouco lenta. Mas, para quem não dispõe de um programa de cálculos matemáticos instalado, é uma mão na roda. Permite ainda gerar um arquivo no formato PDF com os resultados. Foi disponibilizada pelo Wolfram Institute, o fabricante do Mathematica, e tem objetivos grandiosos. www.wolframalpha.com Digite x^2-5*x+6=0 (para começar...). Abraços, Vidal. :: vi...@mail.com
[obm-l] Re: [obm-l] Fatoração de 5^1985 - 1.
Caros Fabrício e Nehab, Achar um fator foi fácil, o problema foi quebrar o quociente nos outros dois. Fiz assim: 5^1985 - 1 = (5^397)^5 - 1 Seja x = 5^397. Então queremos fatorar x^5 - 1 que, de imediato, resulta em (x - 1) (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1), ou seja, um dos fatores é 5^397 - 1. Falta fatorar x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 de uma forma conveniente. Após um tempinho (pouca coisa, até no Fla x Flu no Maracanã estava rabiscando...), tive a idéia de tentar escrever a expressão como uma adequada diferença de dois quadrados. Caso conseguisse, o problema estaria resolvido, pois um fator seria a soma e outro, a diferença. Arbitrei o primeiro quadrado como (x^2 + ax + 1)^2, que já geraria o termo de quarto grau e o termo independente corretos. E coloquei o segundo quadrado como 5x(x+b)^2, pois como x = 5^397, 5x = 5^398 seria um quadrado perfeito. Igualando as expressões (e rezando para encontrar valores de a e b compatíveis), veio: (x^2 + ax + 1)^2 - 5x(x+b)^2 = x^4 + (2a -5)x^3 + (a^2 - 10b + 2)x^2 + (2a - 5b^2)x + 1 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Assim: 2a -5 = 1 = a = 3 a^2 - 10b + 2 = 1 = b = 1 Agora era hora da onça beber água: 2a - 5b^2 = 1 Mas a = 3 e b = 1 satisfazem ! Eureka ! x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + 3x + 1)^2 - 5x(x+1)^2 Substituindo x por 5^397: ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5*5^397*(5^397 + 1)^2 = = ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5^398*(5^397 + 1)^2 (diferença de quadrados) = = (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) - 5^199*(5^397 + 1)) * (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) + 5^199*(5^397 + 1)) (produto da diferença pela soma) = = (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Os três fatores são claramente maiores que 5^100, conforme solicitado. Então: 5^1985 -1 = (5^397 - 1) * (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Como já são três da manhã e já perdi o sono mesmo, resolvi fazer umas continhas de cabeça, tal como o Ralph fez outro dia desses... 5^397-1 = 2 x 2 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x C258 5^794 -5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1 = 71 x 399.091.951.801 x C542 5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1 = 11 x 146.891 x C549 Logo: 5^1985 -1 = 2 x 2 x 11 x 71 x 146.891 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x 399.091.951.801 x C258 x C542 x C549 (onde Cn são números compostos de n algarismos). A fatoração de C258, C542 e C549 fica como exercício ... :) Abraços, Vidal. P.S. Nehab: Apesar de não nos conhecermos pessoalmente, temos um grande amigo em comum: o Manuel Martins Filho, professor de Informática da Carioca ! Abraços ! :: vi...@mail.com *** 2009/4/5 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Oi, gente, Fabricio postou este interessante problema e aparentemente ninguém deu muita bola, talvez achando que é óbvio. Não achei óbvio não. Quem resolveu? Abraços, Nehab fabrici...@usp.br escreveu: Caros colegas, mexendo em algumas listas antigas de exercícios, um me chamou muito a atenção. Pede pra fatorar 5^1985 - 1 num produto de três inteiros maiores que 5^100. Pra facilitar um possível avanço, 1985 pode ser escrito como 5 x 397 (ambos primos). . = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html=
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração de 5^1985 - 1.
Caro Fabrício, Eu também passei por esta etapa (produto de dois polinômios de grau 2) durante o pequeno tempo que pensei na solução, depois de provocado pelo Nehab. Mas infelizmente os fatores não eram inteiros. Abraços, Vidal. :: vi...@mail.com 2009/4/6 fabrici...@usp.br fabrici...@usp.br Vidal, muito boa a sacada. Eu tinha tentado escrever como o produto de dois polinômios de grau 2, sem sucesso. Parabéns pela solução. Um abraço. . On Apr 6, 2009, at 03:21 , *Vidal wrote: Caros Fabrício e Nehab, Achar um fator foi fácil, o problema foi quebrar o quociente nos outros dois. Fiz assim: 5^1985 - 1 = (5^397)^5 - 1 Seja x = 5^397. Então queremos fatorar x^5 - 1 que, de imediato, resulta em (x - 1) (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1), ou seja, um dos fatores é 5^397 - 1. Falta fatorar x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 de uma forma conveniente. Após um tempinho (pouca coisa, até no Fla x Flu no Maracanã estava rabiscando...), tive a idéia de tentar escrever a expressão como uma adequada diferença de dois quadrados. Caso conseguisse, o problema estaria resolvido, pois um fator seria a soma e outro, a diferença. Arbitrei o primeiro quadrado como (x^2 + ax + 1)^2, que já geraria o termo de quarto grau e o termo independente corretos. E coloquei o segundo quadrado como 5x(x+b)^2, pois como x = 5^397, 5x = 5^398 seria um quadrado perfeito. Igualando as expressões (e rezando para encontrar valores de a e b compatíveis), veio: (x^2 + ax + 1)^2 - 5x(x+b)^2 = x^4 + (2a -5)x^3 + (a^2 - 10b + 2)x^2 + (2a - 5b^2)x + 1 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Assim: 2a -5 = 1 = a = 3 a^2 - 10b + 2 = 1 = b = 1 Agora era hora da onça beber água: 2a - 5b^2 = 1 Mas a = 3 e b = 1 satisfazem ! Eureka ! x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + 3x + 1)^2 - 5x(x+1)^2 Substituindo x por 5^397: ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5*5^397*(5^397 + 1)^2 = = ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5^398*(5^397 + 1)^2 (diferença de quadrados) = = (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) - 5^199*(5^397 + 1)) * (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) + 5^199*(5^397 + 1)) (produto da diferença pela soma) = = (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Os três fatores são claramente maiores que 5^100, conforme solicitado. Então: 5^1985 -1 = (5^397 - 1) * (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Como já são três da manhã e já perdi o sono mesmo, resolvi fazer umas continhas de cabeça, tal como o Ralph fez outro dia desses... 5^397-1 = 2 x 2 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x C258 5^794 -5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1 = 71 x 399.091.951.801 x C542 5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1 = 11 x 146.891 x C549 Logo: 5^1985 -1 = 2 x 2 x 11 x 71 x 146.891 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x 399.091.951.801 x C258 x C542 x C549 (onde Cn são números compostos de n algarismos). A fatoração de C258, C542 e C549 fica como exercício ... :) Abraços, Vidal. P.S. Nehab: Apesar de não nos conhecermos pessoalmente, temos um grande amigo em comum: o Manuel Martins Filho, professor de Informática da Carioca ! Abraços ! :: vi...@mail.com *** 2009/4/5 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Oi, gente, Fabricio postou este interessante problema e aparentemente ninguém deu muita bola, talvez achando que é óbvio. Não achei óbvio não. Quem resolveu? Abraços, Nehab fabrici...@usp.br escreveu: Caros colegas, mexendo em algumas listas antigas de exercícios, um me chamou muito a atenção. Pede pra fatorar 5^1985 - 1 num produto de três inteiros maiores que 5^100. Pra facilitar um possível avanço, 1985 pode ser escrito como 5 x 397 (ambos primos). . = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números
Caro Bouskela, Não se martirize ! Somos todos ignorantes, não no sentido pejorativo da palavra, mas na acepção de ignorarmos, desconhecermos os milhares, talvez milhões, de teoremas, conjecturas, problemas abertos e resultados já existentes, afora os que estão sendo gerados neste exato momento em todo o mundo, e os que ainda estão por vir até o fim dos nossos dias. E se, nesta ocasião derradeira, os terroristas suicidas islâmicos são agraciados com setenta virgens cada, talvez para nós esteja reservada como prêmio a onisciência matemática, a fim de nos livrar de todo este martírio terreno. Em tempo, o Gelfond e o Schneider só fizeram a parte fácil do sétimo problema de Hilbert, o caso de b (expoente) irracional e algébrico. Ficou faltando a melhor parte, quando b é irracional, mas não algébrico. Quem sabe um dia a gente não marca um chope, num destes bares com toalha de papel na mesa, e termina o trabalho que eles deixaram inacabado? :) Abraços, Vidal. :: vi...@mail.com *** 2009/4/5 Albert Bouskela bousk...@ymail.com Olá Vidal, Pois é, vivendo e aprendendo. Fiquei meio envergonhado por não conhecer esse Teorema de Gelfond (aliás, bem famoso e recente!). E é mesmo pra sentir vergonha, já que ele resolve o 7º Problema de Hilbert. Bem, obrigado. Mas admito: fiquei meio chateado pela minha ignorância. *AB* bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com *From:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *On Behalf Of **Vidal *Sent:* Sunday, April 05, 2009 2:36 AM *To:* OBM *Subject:* [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números Caro Bouskela, Mas 2^sqrt(2) parece e é bem irracional ! Aleksander Gelfond provou em 1934 que se *a* é algébrico não nulo diferente de um e *b* é algébrico e irracional, então *a^b* é transcendente (e portanto, irracional). Apesar de Schneider também ter demonstrado a mesma proposição de forma independente no mesmo ano, o resultado ficou conhecido como Teorema de Gelfond (em mais uma destas injustiças históricas que grassam na Matemática). Assim, 2^sqrt(2) é irracional, assim como também o é e^pi, já que e^pi = (-1)^(-i). Desta forma, eles resolveram *parcialmente* o sétimo dos vinte e três famosos problemas de Hilbert, propostos em 1900. Mas ainda falta resolver o caso de *b* ser irracional, mas não algébrico. Não sabemos até hoje, por exemplo, se 2^e é irracional (apesar de parecer sê-lo). Abraços, Vidal. :: vi...@mail.com *** 2009/4/5 Albert Bouskela bousk...@ymail.com Olá! Hummm... acho que não... 2^sqrt(2) tem, de fato, toda a aparência de um irracional, bem irracional. Entretanto, é preciso demonstrá-lo. A solução deste problema (pelo menos, a solução que eu conheço) não passa pela determinação (identificação) de “x” e “y”, i.e., consegue-se apenas demonstrar que “x” e “y” existem, mas não identificá-los. Sds., *AB* bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com *From:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *On Behalf Of **Vidal *Sent:* Saturday, April 04, 2009 3:27 PM *To:* OBM *Subject:* [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números Caro Bouskela, x = 2^sqrt(2) y = sqrt(2) x^y = 4 Bom final de semana ! Abraços, Vidal. :: vi...@mail.com
[obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Núm eros
Caro Bouskela, x = 2^sqrt(2) y = sqrt(2) x^y = 4 Bom final de semana ! Abraços, Vidal. :: vi...@mail.com
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clá ssico da Teoria dos Números
Caro Bouskela, Mas 2^sqrt(2) parece e é bem irracional ! Aleksander Gelfond provou em 1934 que se *a* é algébrico não nulo diferente de um e *b* é algébrico e irracional, então *a^b* é transcendente (e portanto, irracional). Apesar de Schneider também ter demonstrado a mesma proposição de forma independente no mesmo ano, o resultado ficou conhecido como Teorema de Gelfond (em mais uma destas injustiças históricas que grassam na Matemática). Assim, 2^sqrt(2) é irracional, assim como também o é e^pi, já que e^pi = (-1)^(-i). Desta forma, eles resolveram *parcialmente* o sétimo dos vinte e três famosos problemas de Hilbert, propostos em 1900. Mas ainda falta resolver o caso de *b* ser irracional, mas não algébrico. Não sabemos até hoje, por exemplo, se 2^e é irracional (apesar de parecer sê-lo). Abraços, Vidal. :: vi...@mail.com *** 2009/4/5 Albert Bouskela bousk...@ymail.com Olá! Hummm... acho que não... 2^sqrt(2) tem, de fato, toda a aparência de um irracional, bem irracional. Entretanto, é preciso demonstrá-lo. A solução deste problema (pelo menos, a solução que eu conheço) não passa pela determinação (identificação) de “x” e “y”, i.e., consegue-se apenas demonstrar que “x” e “y” existem, mas não identificá-los. Sds., *AB* bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com *From:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *On Behalf Of **Vidal *Sent:* Saturday, April 04, 2009 3:27 PM *To:* OBM *Subject:* [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números Caro Bouskela, x = 2^sqrt(2) y = sqrt(2) x^y = 4 Bom final de semana ! Abraços, Vidal. :: vi...@mail.com
Re: [obm-l] limite
Caro Hermann, O enunciado correto deve ser lim x- 0+ (zero por valores superiores), já que a função real f(x) = ln(x) só é definida para valores positivos de x. Seu resultado (3) está correto. O limite é uma forma indeterminada do tipo (-infinito)/(-infinito). Você pode resolvê-lo de duas maneiras: Solução 1: Usando desprezo: O número 4 que aparece no denominador é desprezível em face do ln(x) que tende para (-infinito). Desprezando-o, você pode cancelar o ln(x) do numerador com o do denominador e encontrar o resultado (3). Solução 2: Usando a Regra de L'Hôpital: Basta derivar o numerador e o denominador. Seu limite ficará lim x- 0+ (3/x) / (1/x) = 3. Abraços, Vidal. :: vi...@mail.com
[obm-l] Re: [obm-l] Boa questão??
Caro Palmerim, A questão não é simplória. O enunciado está bem formulado. A resposta está correta. Primeira Solução: Primeira Etapa: Escolha dos rapazes C(7,3) = (7x6x5)/(3x2x1) = 35 Segunda Etapa: Escolha das mocas C (5,3) = C(5,2) = (5x4)/(2x1) = 10 Terceira Etapa: Fixar um sexo (os rapazes, por exemplo) e permutar as moças: P(3) = 3x2x1 = 6 Pelo Princípio Multiplicativo: 35 x 10 x 6 = 2.100 OU Segunda Solução: Primeira Etapa: Escolha dos rapazes C(7,3) = (7x6x5)/(3x2x1) = 35 Segunda Etapa: Escolha das moças, já levando em conta a ordem (na verdade, uma fusão da segunda e da terceira etapa da primeira solução) 5 x 4 x 3 = 60 (usando o Princípio Multiplicativo) ou A(5,3) = 5x4x3 = 60 (usando argh-ranjos) Pelo Princípio Multiplicativo: 35 x 60 = 2.100 É claro que, em ambas as soluções, poderíamos ter começado pelas moças, para sermos menos machistas e mais cavalheiros. Abraços, Vidal. :: vi...@mail.com
Re: [obm-l] duro de matar percentual
Caro Thelio, Se o comerciante comprou 350 litros de aguardente a $1,35 o litro, quanto ele gastou? R: 350 x $1,35 = $472,50 (preço de compra) Se ele quer ganhar 30% sobre o preço de compra, quanto ele deve ganhar? R: $472,50 x 30/100 = $141,75 Então por quanto ele deve vender o lote? R: $472,50 + $141,75 = $614,25 ( Você poderia ter multiplicado $472,50 por 1,3 e chegado ao mesmo resultado mais rapidamente. ) Como ele vai vender o litro por $1,75, quantos litros ele deverá vender? R: $614,25 / $1,75 = 351 litros Como ele só tem 350 litros de aguardente, quantos litros ele terá que acrescentar de água? R: 351 - 350 = 1 litro ( Acho que nenhum dos consumidores, ainda mais deste produto, perceberá a diferença ... ) Feliz Ano Novo ! Abraços, Vidal. :: vi...@mail.com 2008/12/29 Thelio Gama teliog...@gmail.com Prezados professores e mestres Agradeço se puderem *explicar* como se resolve esta questão, que achei muito confusa: *Um comerciante comprou 350 litros de aguardente à razão de R$ 1,35 o litro. Que quantidade de água ele deverá acrescentar ao volume total de aguardente adquirida para vendê-la a R$ 1,75 e ainda ganhar 30% sobre o preço de compra?* abraços Thelio
Re: [obm-l] Desigualdades
Prezado Felipe, Prove por absurdo, usando o argumento que você colocou, que é fácil multiplicar desigualdades. ab0 = a^(1/n) b^(1/n) , n natural, n = 1 ab0 Suponhamos, por absurdo, que a^(1/n) = b^(1/n). Multiplicando n desigualdades iguais a esta, teremos a= b (contradição). Logo, a^(1/n) b^(1/n). Abraços, Vidal. :: [EMAIL PROTECTED] On Sun, Nov 2, 2008 at 14:43, Felipe [EMAIL PROTECTED] wrote: alguem sabe daonde que prova que ab0 = a^(1/n) b^(1/n) pra todo n natural ( naturais começando de 1) multiplcar desigualdades eh facil provar considerando numeros positivos.. o problema eh que ta elevado a um numero racional Obrigado
Re: [obm-l]
Prezado Carlos, Como P(x) + P(-x) = 0, isto é, P(x) = -P(-x), o polinômio P é uma função ímpar, logo só pode ter monômios com expoente ímpar. Assim, a=c=0. Você pode ver isto facilmente substituindo P(x) e P(-x) na identidade (uma igualdade que vale para todo x) acima: x^3 + ax^2 + bx + c - x^3 + ax^2 - bx + c = 0 2ax^2 + 2c = 0 Como esta igualdade tem que valer para todo x, a=c=0. Então, P(x) = x^3 + bx . Como P(i) = 0 ; i^3 + bi = 0 ; -i + bi = 0 ; b =1 P(x) = x^3 + x P(2) = 10 (não há esta alternativa) Será que você não digitou errado? Se o enunciado fosse P(1) = 0, teríamos: b = -1 P(x) = x^3 - x P(2) = 6 (alternativa E). Abraços, Vidal. :: [EMAIL PROTECTED]
Re: [obm-l] Teoria dos Números: Como resolver ANALITICAMENTE - COMPLEMENTAÇÃO!!!
Caro Bouskela, Pare com isso ! Eu que agradeço o prazer que me proporcionou ! Abraços, Vidal. :: [EMAIL PROTECTED] 2008/10/28 Bouskela [EMAIL PROTECTED] Caro Vidal: Obrigado pela sua atenção. Fico lhe devendo o favor. Abraço, AB
Re: [obm-l] Teoria dos Números: Como resolver ANALITICAMENTE - COMPLEMENTAÇÃO!!!
Prezado Bouskela,
Sejam:
abcd = 1000a + 100b +10c + d = n
ad = 10a + d
Queremos:
sqrt(abcd) = ad
abcd = ad^2
1000a + 100b + 10c + d = (10a + d)^2
1000a + 100b + 10c + d = 100a^2 + 20ad + d^2
Vamos colocar as potências de 10 em evidência, para podermos tirar algumas
conclusões:
100*(10a - a^2 + b) = 10*(2ad - c) + d^2 - d (equação)
Logo d^2 - d é múltiplo de 10.
Portanto, d pertence a { 0, 1, 5, 6 }, como você já havia escrito.
Então, vamos abrir o problema em 4 casos:
d = 0
equação : 100*(10a - a^2 + b) = -10c
Logo c é múltiplo de 10 e, portanto, c = 0.
equação : 10a - a^2 + b = 0
b = a^2 - 10a = a*(a-10)
Como 1 = a = 9, b = a*(a-10) 0, o que não satisfaz.
d = 1
equação : 100*(10a - a^2 + b) = 10*(2a - c)
Logo 2a - c é múltiplo de 10.
Primeiro opção: 2a - c = 0
equação : 10a - a^2 + b = 0
E a conclusão é a mesma do caso d = 0.
Segunda opção: 2a - c = 10
equação : 10a - a^2 + b = 1
1 - b = a*(10-a)
Como 1 = a = 9, a*(10-a) 0.
Logo 1-b 0 e b = 0.
Então a*(10-a) = 1, o que é impossível, porque a e 10-a teriam que ser
iguais a 1.
d = 5
equação : 100*(10a - a^2 + b) = 10*(10a - c) + 20
100*(10a - a^2 + b) = 10*(10a - c + 2)
Logo 10a - c + 2 é múltiplo de 10.
Então -c + 2 é múltiplo de 10 e c = 2.
equação : 100*(10a - a^2 + b) = 100a
9a - a^2 + b = 0
b = a*(a-9)
Como b = 0 e a 0, então a-9 = 0 e a = 9.
Então b = 0.
Aqui encontramos uma solução, n = 9025.
d = 6
equação : 100*(10a - a^2 + b) = 10*(12a - c) + 30
100*(10a - a^2 + b) = 100a +10*(2a - c + 3)
100*(9a - a^2 + b) = 10*(2a -c + 3)
Logo, 2a - c + 3 é múltiplo de 10.
O menor valor que 2a - c + 3 pode assumir é 0 e o maior, é 20.
Assim temos três opções:
Primeira opção : 2a - c + 3 = 0
equação : a*(9-a) + b = 0
Como a*(9-a) =0, então b = 0.
Assim, a*(9-a) = 0 e a = 9.
Mas como 2a - c + 3 = 0, então c = 21, que não satisfaz.
Segunda opção : 2a - c + 3 = 10
equação : a*(9-a) + b - 1 = 0
Como a*(9-a) =0, então 1 - b = 0 e b = 1.
Então b = 0 ou b = 1.
Se b = 0, a*(9-a) = 1, o que é impossível.
Se b = 1, a*(9-a) = 0 e a = 9.
Mas como 2a - c + 3 = 0, então c = 11, que não satisfaz.
Terceira opção : 2a - c + 3 = 20
equação : a*(9-a) + b - 2 = 0
Como a*(9-a) =0, então 2 - b = 0 e b = 2.
Então b = 0 ou b = 1 ou b = 2.
Se b = 0, a*(9-a) = 2, o que é impossível.
Se b = 1, a*(9-a) = 1, o que é impossível.
Finalmente, se b = 2, a*(9-a) = 0
Logo a = 9.
Como 2a - c + 3 = 20, então c = 1.
E aqui encontramos outra solução, n = 9216.
Conclusão:
n = 9025 ( sqrt(9025) = 95 ) ou
n = 9216 ( sqrt(9216) = 96 )
Abraços,
Vidal.
:: [EMAIL PROTECTED]
2008/10/27 Bouskela [EMAIL PROTECTED]
Meus amigos:
Como se pode resolver ANALITICAMENTE o seguinte problema?
Considere um número natural n de 4 algarismos: a, b, c e d.
Sabe-se que sqrt(abcd) = ad .
Determine todos os valores possíveis de n.
Não considere a solução trivial: a=b=c=d=0 .
Sei que podemos escrever:
abcd = (ad)^2
Logo: 1000a + 100b + 10c + d = (10a + d)^2 = 100a^2 + 20ad + d^2
Podemos, também, inferir que: d = {0, 1, 5, 6} .
E daí???
Obs.: Verifica-se que sqrt(9025) = 95 e sqrt(9216) = 96 .
n = {9025, 9216}
É claro que se pode chutar que: d=5 e c=2 .
Daí: 1000a + 100b + 20 + 5 = 100a^2 + 100a + 25
Simplificando: b/a = a - 9
Sabe-se que b/a = 0 .
Logo: a = 9 e b = 0 .
Pode-se, também, chutar que: d=6 e c=1 .
Daí: 1000a + 100b + 10 + 6 = 100a^2 + 120a + 36
E, após algum trabalho algébrico, se conclui que: a=9 e b=2 .
Mas estas - é claro! - NÃO são soluções analíticas!
Sds.,
AB
[EMAIL PROTECTED]
[EMAIL PROTECTED]
Re: [obm-l] Teoria dos Números: Como resolver ANALITICAMENTE - COMPLEMENTAÇÃO!!!
Prezado Bouskela,
Sejam:
abcd = 1000a + 100b +10c + d = n
ad = 10a + d
Queremos:
sqrt(abcd) = ad
abcd = ad^2
1000a + 100b + 10c + d = (10a + d)^2
1000a + 100b + 10c + d = 100a^2 + 20ad + d^2
Vamos colocar as potências de 10 em evidência, para podermos tirar algumas
conclusões:
100*(10a - a^2 + b) = 10*(2ad - c) + d^2 - d (equação)
Logo d^2 - d é múltiplo de 10.
Portanto, d pertence a { 0, 1, 5, 6 }, como você já havia escrito.
Então, vamos abrir o problema em 4 casos:
d = 0
equação : 100*(10a - a^2 + b) = -10c
Logo c é múltiplo de 10 e, portanto, c = 0.
equação : 10a - a^2 + b = 0
b = a^2 - 10a = a*(a-10)
Como 1 = a = 9, b = a*(a-10) 0, o que não satisfaz.
d = 1
equação : 100*(10a - a^2 + b) = 10*(2a - c)
Logo 2a - c é múltiplo de 10.
Primeiro opção: 2a - c = 0
equação : 10a - a^2 + b = 0
E a conclusão é a mesma do caso d = 0.
Segunda opção: 2a - c = 10
equação : 10a - a^2 + b = 1
1 - b = a*(10-a)
Como 1 = a = 9, a*(10-a) 0.
Logo 1-b 0 e b = 0.
Então a*(10-a) = 1, o que é impossível, porque a e 10-a teriam que ser
iguais a 1.
d = 5
equação : 100*(10a - a^2 + b) = 10*(10a - c) + 20
100*(10a - a^2 + b) = 10*(10a - c + 2)
Logo 10a - c + 2 é múltiplo de 10.
Então -c + 2 é múltiplo de 10 e c = 2.
equação : 100*(10a - a^2 + b) = 100a
9a - a^2 + b = 0
b = a*(a-9)
Como b = 0 e a 0, então a-9 = 0 e a = 9.
Então b = 0.
Aqui encontramos uma solução, n = 9025.
d = 6
equação : 100*(10a - a^2 + b) = 10*(12a - c) + 30
100*(10a - a^2 + b) = 100a +10*(2a - c + 3)
100*(9a - a^2 + b) = 10*(2a -c + 3)
Logo, 2a - c + 3 é múltiplo de 10.
O menor valor que 2a - c + 3 pode assumir é 0 e o maior, é 20.
Assim temos três opções:
Primeira opção : 2a - c + 3 = 0
equação : a*(9-a) + b = 0
Como a*(9-a) =0, então b = 0.
Assim, a*(9-a) = 0 e a = 9.
Mas como 2a - c + 3 = 0, então c = 21, que não satisfaz.
Segunda opção : 2a - c + 3 = 10
equação : a*(9-a) + b - 1 = 0
Como a*(9-a) =0, então 1 - b = 0 e b = 1.
Então b = 0 ou b = 1.
Se b = 0, a*(9-a) = 1, o que é impossível.
Se b = 1, a*(9-a) = 0 e a = 9.
Mas como 2a - c + 3 = 0, então c = 11, que não satisfaz.
Terceira opção : 2a - c + 3 = 20
equação : a*(9-a) + b - 2 = 0
Como a*(9-a) =0, então 2 - b = 0 e b = 2.
Então b = 0 ou b = 1 ou b = 2.
Se b = 0, a*(9-a) = 2, o que é impossível.
Se b = 1, a*(9-a) = 1, o que é impossível.
Finalmente, se b = 2, a*(9-a) = 0
Logo a = 9.
Como 2a - c + 3 = 20, então c = 1.
E aqui encontramos outra solução, n = 9216.
Conclusão:
n = 9025 ( sqrt(9025) = 95 ) ou
n = 9216 ( sqrt(9216) = 96 )
Abraços,
Vidal.
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2008/10/27 Bouskela [EMAIL PROTECTED]
Meus amigos:
Como se pode resolver ANALITICAMENTE o seguinte problema?
Considere um número natural n de 4 algarismos: a, b, c e d.
Sabe-se que sqrt(abcd) = ad .
Determine todos os valores possíveis de n.
Não considere a solução trivial: a=b=c=d=0 .
Sei que podemos escrever:
abcd = (ad)^2
Logo: 1000a + 100b + 10c + d = (10a + d)^2 = 100a^2 + 20ad + d^2
Podemos, também, inferir que: d = {0, 1, 5, 6} .
E daí???
Obs.: Verifica-se que sqrt(9025) = 95 e sqrt(9216) = 96 .
n = {9025, 9216}
É claro que se pode chutar que: d=5 e c=2 .
Daí: 1000a + 100b + 20 + 5 = 100a^2 + 100a + 25
Simplificando: b/a = a - 9
Sabe-se que b/a = 0 .
Logo: a = 9 e b = 0 .
Pode-se, também, chutar que: d=6 e c=1 .
Daí: 1000a + 100b + 10 + 6 = 100a^2 + 120a + 36
E, após algum trabalho algébrico, se conclui que: a=9 e b=2 .
Mas estas - é claro! - NÃO são soluções analíticas!
Sds.,
AB
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Re: [obm-l] Teoria dos Números: Como resolver ANALITICAMENTE - COMPLEMENTAÇÃO!!!
Caro Bouskela,
No intuito de aproveitar a sua conclusão inicial (correta) de que d pertence
a { 0, 1, 5, 6 } para desenvolver uma solução, não comecei a mesma por um
fato ainda mais óbvio, que somente depois me ocorreu, o qual simplifica
sobremaneira a solução.
É evidente que a tem que ser igual a 9.
Basta imaginar um a menor que 9 para perceber que ad^2 jamais começará
por a.
Por exemplo, se a = 8, 8d^2 = 89^2 = 7921, que começa por 7.
Assim, queremos ter 9d^2 = 9bcd.
O único trabalho a fazer é testar os 4 valores possíveis para d:
d = 0 ; 90^2 = 8100 ; não satisfaz
d = 1 ; 91^2 = 8281 ; não satisfaz
d = 5 ; 95^2 = 9025 ; primeira solução
d = 6 ; 96^2 = 9216 ; segunda solução
Bem mais simples, não?
Abraços,
Vidal.
:: [EMAIL PROTECTED]
2008/10/27 Bouskela [EMAIL PROTECTED]
Meus amigos:
Como se pode resolver ANALITICAMENTE o seguinte problema?
Considere um número natural n de 4 algarismos: a, b, c e d.
Sabe-se que sqrt(abcd) = ad .
Determine todos os valores possíveis de n.
Não considere a solução trivial: a=b=c=d=0 .
Sei que podemos escrever:
abcd = (ad)^2
Logo: 1000a + 100b + 10c + d = (10a + d)^2 = 100a^2 + 20ad + d^2
Podemos, também, inferir que: d = {0, 1, 5, 6} .
E daí???
Obs.: Verifica-se que sqrt(9025) = 95 e sqrt(9216) = 96 .
n = {9025, 9216}
É claro que se pode chutar que: d=5 e c=2 .
Daí: 1000a + 100b + 20 + 5 = 100a^2 + 100a + 25
Simplificando: b/a = a - 9
Sabe-se que b/a = 0 .
Logo: a = 9 e b = 0 .
Pode-se, também, chutar que: d=6 e c=1 .
Daí: 1000a + 100b + 10 + 6 = 100a^2 + 120a + 36
E, após algum trabalho algébrico, se conclui que: a=9 e b=2 .
Mas estas - é claro! - NÃO são soluções analíticas!
Sds.,
AB
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Re: [obm-l] Concurso CMS-2008
Caro Ojesed ou Desejo, No afã de enviar, às três da manhã, alguma interpretação ou argumento que sustente a resposta oficial dada, conforme solicitado, para que você pudesse entrar com o recurso para seu filho a tempo, resolvi a questão como se o enunciado fosse: de modo que se tenha o *maior* número de grupos. Neste caso, a solução correta *seria*: *** Para que todos os grupos tenham o *mesmo* número de meninos e meninas, o número de grupos tem que ser um *divisor comum* de 264 e 168. E para que o número de grupos seja o *maior* possível, este *divisor comum* deve ser *máximo*. Daí o *máximo divisor comum*: m.d.c. (264,168) = 24 É pedido o número de alunos em cada grupo. Para obtê-lo, basta calcular quantos meninos e quantas meninas comporão cada grupo: meninos : 264 / 24 = 11 meninas : 168 / 24 = 7 Logo, haverá 11 meninos e 7 meninas, isto é, 18 alunos em cada um dos 24 grupos. *** E o gabarito correto *seria* letra D. A questão não faz muito sentido se o enunciado for: de modo que se tenha o *menor* número de grupos Neste caso, forçando uma barra, como o enunciado fala a palavra *mesma* (de maneira que todos eles fiquem com a *mesma* quantidade de meninos e a mesma quantidade de meninas), deveria haver *pelo menos 2* grupos. Teríamos: meninos : 264 / 2 = 132 meninas : 168 / 2 = 84 Isto é, 2 grupos, cada qual com 132 meninos e 84 meninas, de modo que pudéssemos compará-los e dizermos que a quantidade de meninos (e meninas) é a *mesma* em ambos. Mas ressalto que, com certeza, esta não foi a intenção do examinador, e, se eu fosse você, não usaria este argumento no recurso. Apenas pleitearia a anulação da questão com base no exposto inicialmente, isto é, que a banca resolveu a questão e indicou o gabarito como se o enunciado mencionasse a palavra maior, mas em seu lugar digitou a palavra menor. Não vejo como obter apenas a alteração do gabarito para a resposta do seu filho, alternativa D (24), a não ser que fosse pedido o número *máximo* de grupos, e não o número de alunos em cada grupo. Boa sorte ! Abraços, Vidal. :: [EMAIL PROTECTED]
Re: [obm-l] Concurso CMS-2008
Caro Ojesed ou Desejo, O gabarito está correto (letra B). Para que todos os grupos tenham o *mesmo* número de meninos e meninas, o número de grupos tem que ser um *divisor comum* de 264 e 168. E para que o número de grupos seja o *menor* possível, este *divisor comum* deve ser *máximo*. Daí o *máximo divisor comum*: m.d.c. (264,168) = 24 Entretanto, 24 é o número de grupos, e não o número de alunos em cada grupo, que é o pedido da questão. Para obtê-lo, basta calcular quantos meninos e quantas meninas comporão cada grupo: meninos : 264 / 24 = 11 meninas : 168 / 24 = 7 Logo, haverá 11 meninos e 7 meninas, isto é, 18 alunos em cada um dos 24 grupos. Abraços, Vidal. :: [EMAIL PROTECTED] 2008/10/20 dnasimento [EMAIL PROTECTED] Bem, esse é um problema clássico de mdc, fatorando o número 264, encontramos 2³.3.17 e fatorando o número 168, encontramos 2³.3.7, logo o mdc entre eles é 2³.3 = 24 letra D. *De:* [EMAIL PROTECTED] *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Cópia:* *Data:* Sun, 19 Oct 2008 20:21:58 -0300 *Assunto:* [obm-l] Concurso CMS-2008 Prova do Colégio Militar de Salvador para admissão ao 6o ano do ensino fundamental - 2008 Questão 06 No colégio MATEMÁGICO existem 264 meninos e 168 meninas. Se grupos forem formados de maneira que todos eles fiquem com a mesma quantidade de meninos e a mesma quantidade de meninas, a quantidade de alunos (meninos e meninas) por grupo, de modo que se tenha o menor número de grupos, é: A-17, B-18, C-21, D-24, E-36. A resposta do gabarito, publicado hoje é letra B, mas meu filho achou que o correto seria a letra D. Vou entrar com um recurso para correção do gabarito, mas gostaria de saber a opinião dos professores desta lista, se existe alguma interpretação ou argumento que sustente a resposta oficial dada. Ojesed. = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = Um abraço cordial, Danilo do Nascimento da Silva
Re: [obm-l] SENHOR FONDI
Caro Arkon e Lucas, Dá para diminuir um pouquinho: S = q1 + q2 + q3 + q4 + q5 4S = 322 + r Logo 322 + r é múltiplo de 4. A única possibilidade é r = 30. Abraços, Vidal. :: [EMAIL PROTECTED]
Re: [obm-l] SENHOR FONDI
Caro Denisson, Não está faltando uma medida. É justamente este fato que torna o problema mais interessante. *** Caro Lucas, Você não precisa supor, você pode provar que isto acontece. Primeiro perceba que todos os queijos têm pesos distintos: Basta assumir que 2 queijos têm pesos iguais, que você não conseguirá gerar 9 somas distintas, tomando-os dois a dois. Como C(5,2) = 10, e só temos 9 valores distintos para as somas dos pares, uma soma se repete. Abraços, Vidal. :: [EMAIL PROTECTED] On Tue, Oct 14, 2008 at 11:27, Lucas Prado Melo [EMAIL PROTECTED] wrote: 2008/10/14 Denisson [EMAIL PROTECTED]: Tá faltando uma medida. Eu supus que havia dois pares de números com a mesma soma...
Re: [obm-l] (UnB) TRIGONOMETRIA
Caro Arkon, (sec x)^2 = 1 + (tan x)^2 (sec x)^2 = 10 sec x = sqrt(10) ou sec x = -sqrt(10) Como 0 x pi/2, sec x = sqrt(10) cos x = 1 / sqrt(10) R : Certo Abraços, Vidal. :: [EMAIL PROTECTED] On Sun, Jun 29, 2008 at 17:13, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: ALGUÉM PODE RESOLVER, POR FAVOR Para 0x(pi/2), se tgx=3, então cosx=1/sqrt(10) ? = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html=
Re: [obm-l] PROGRESSÃO
Caro Arkon, A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360 graus. Sejam os ângulos uma PG de primeiro termo a e razão q: (a, aq, aq^2, aq^3) Do enunciado: aq^3 = 9aq. Como a e q têm que ser diferentes de zero, simplificando: q^2 = 9. Como q 0 (não podemos ter ângulos negativos), q = 3. PG : (a, 3a, 9a, 27a) a+3a+9a+27a = 360 graus 40a = 360 graus a = 9 graus R: Correto Espero ter ajudado. Abraços, Vidal. :: [EMAIL PROTECTED] On Fri, Jun 27, 2008 at 22:58, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: *ALGUÉM PODE RESOLVER, POR FAVOR (UnB) Os quatro ângulos de um quadrilátero estão em progressão geométrica e o último termo é 9 vezes o segundo. Então o menor dos ângulos mede 9º ? DESDE JÁ AGRADEÇO* = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html=
Re: [obm-l] PA
Caro Thelio, S54 = (a1+a54)*54/2 = 1107 Logo, a1+a54 = 41 Mas, numa PA: A soma de termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos. Assim, a1+a54 = a2 +a53 = a3+a52 = ... = a23+a32 = ... (observe que a soma dos índices é sempre n+1=55, onde n é o número de termos da PA) Logo, a23+a32 = 41 Como a23-a32 = 7 (do enunciado), a23 = 24 a32 = 17 Espero ter ajudado. Abraços, Vidal. :: [EMAIL PROTECTED] On Fri, May 23, 2008 at 4:37 PM, Thelio Gama [EMAIL PROTECTED] wrote: Boa tarde, professores, Não consegui resolver esta PA: *A soma dos 54 termos de uma PA é 1107. Determine o valor dos termos a23 e a32 sabendo que a diferença entre eles é igual a 7.* Agradeço a ajuda, Thelio
