Re: [obm-l] Roleta
Guilherme said:
Olá, pessoal!
Recebi um pedido, há alguns dias, de um amigo que mora na Bélgica. Ele
pediu que eu calculasse para ele, em N rodadas de uma roleta (37
números, de 0 a 36), qual a probabilidade de pelo menos um número dos 37
não aparecer.
Eu vou resolver não o seu problema, mas o seguinte problema: em quantas
sequências do conjunto {0, 1, ..., 36}^N algum dos números de 0 a 36 não
figura? Supondo que todos os números da roleta são equiprováveis, e se R é
a resposta desse problema, basta achar R/37^N.
Quantas seqüencias existem tais que nenhum dos números k_1, k_2, ..., k_p
figura na seqüencia? Claramente, a resposta é (37-p)^N.
Se S_k é o conjunto das seqüências que não contém k, temos que
#(S_0 união S_1 união ... união S_36) =
= soma(p = 1..37) soma(0 = k_1 k_2 ... k_p = 36) (-1)^(p+1)
#(S_k_1 inter S_k_2 inter ... inter S_k_p) =
= soma(p = 1..37) soma(0 = k_1 k_2 ... k_p = 36) (-1)^(p+1) (37-p)^N
pelo Princípio da Inclusão-Exclusão. Como o somatório interno não depende
dos k_p, a soma acima é claramente igual a
soma(p = 1..37) (-1)^(p+1) C(37;p) (37-p)^N.
Como o somatório externo tem limites superior e inferior fixos, a fórmula
encontrada é fechada.
(Eu fiz um programa em Python para testar a fórmula, e ele concorda com
todos os casos iniciais que você colocou no seu email.)
[]s,
--
Fábio Dias Moreira
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Cônicas
Bruno Bruno said: Alguém sabe como determinar, dado 5 pontos no plano, a equação da conica que passa por ele? eu sou novo na lista, e nao sei se isso já foi discutido, mas os livros que eu tenho apenas dizem que 5 pontos definem uma conica... =/ [...] Chame os pontos de P_i = (a_i, b_i), e defina T: R^2 - R^6 definida por T(x, y) = (x^2, y^2, x*y, x, y, 1). Então Q = (u, v) pertence à cônica definida pelos P_i se e somente se det(TP_1, TP_2, TP_3, TP_4, TP_5, TQ) = 0 (A demonstração é deixada como exercício para o leitor.) []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] probleminha..
Vinícius Meireles Aleixo said: 1)Em uma ilha plana existem 11 cidades numeradas de 1 a 11. Estradas retas ligam 1 a 2, 2 a 3, 3 a 4, ..., 10 a 11 e 11 a 1. É possível que uma reta corte todas as estradas? [...] Suponha que sim. Escolha um dos semi-planos determinados pela reta e chame-o de esquerdo (o outro semi-plano será chamado de direito). Suponha ainda, s.p.d.g., que a cidade 1 está do lado esquerdo. Como a reta corta 1-2, 2 está do lado direito. Como a reta 2-3, 3 está do lado esquerdo. E assim sucessivamente, prova-se que 11 está do lado esquerdo. Mas então a estrada 1-11 está toda do lado esquerdo, absurdo! Logo não existe nenhuma reta que satisfaça as condições do enunciado. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Construcao Geometrica
claudio.buffara said: Estou empacado neste aqui: Dadas as semi-retas PA, PB e PC num mesmo plano, de forma que PB esteja no interior do angulo APC 180 graus, construir os pontos M e N, sobre PA e PB, respectivamente, de forma que M, B e N sejam colineares e |MB| = |BN|. [...] Eu acho que você quer M e N sobre PA e ***PC***, não? Se sim, basta achar a reflexão de PA com relação a PC e tomar a interseção dessas duas semiretas como um dos pontos pedidos (ainda falta provar que isso sempre existe, mas isso é fácil de se fazer). []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Construcao Geometrica
claudio.buffara said: De:[EMAIL PROTECTED] claudio.buffara said: Estou empacado neste aqui: Dadas as semi-retas PA, PB e PC num mesmo plano, de forma que PB esteja no interior do angulo APC 180 graus, construir os pontos M e N, sobre PA e PB, respectivamente, de forma que M, B e N sejam colineares e |MB| = |BN|. [...] [...] Se sim, basta achar a reflexão de PA com relação a PC e tomar a interseção dessas duas semiretas como um dos pontos pedidos (ainda falta provar que isso sempre existe, mas isso é fácil de se fazer). Nao entendi. Refletindo PA em torno de PC, obtemos uma semi-reta PA' tal que os angulos APC e CPA' sao iguais, certo? Nesse caso, o ponto de interseccao eh o proprio P. [...] Desculpe, eu quis dizer a reflexão de PA em torno de ***B***, o que é essencialmente equivalente à solução do Edson Ricardo. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
=?iso-8859-1?Q?Re:_[obm-l]_Quest=E3o_Simples?=
IgOr C. O. said: Olá, Essa questão é muito simples mas eu não encontro uma resposta não gráfica ou não óbvia dela, e também deve ser bem conhecida. Resolva a equação 3^x + 4^x = 5^x. [...] Observe inicialmente que x = 2 é uma solução. Se x = 2 + h, h 0, temos que 5^x = 25*5^h = 16*5^h + 9*5^h 16*4^h + 9*3^h = 4^x + 3^x. Uma desigualdade análoga, porém no sentido contrário, pode ser obtida se h 0. Logo a igualdade só vale para x = 2. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questoes de Geomeria
Claudio Buffara said: on 15.12.04 22:35, benedito at [EMAIL PROTECTED] wrote: [...] Problema 3 Um polígono convexo inscritível num círculo possui 2n vértices, numerados sucessivamente de 1 a 2n. Mostre que a soma das medidas dos ângulos internos cujos vértices receberam números ímpares é igual à soma das medidas dos ângulos internos cujos vértices receberam números pares. Chame os vertices de A(1), A(2), ..., A(2n). [...] Somando separadamente as igualdades (%) e (%%), e usando (***) nos lados direitos, obtemos a igualdade desejada. Um problema parecido, que não sei se é equivalente, é um teorema sobre origamis: pegue um origami pronto e desmonte-o. Considere o diagrama de dobras do origami, i.e. desenhe um segmento em cima de cada dobra, independente da dobra ser para dentro ou para fora. Considere um ponto P no interior da folha de papel, extremo de pelo menos um segmento do diagrama. Prove: (a) que o grau de P (i.e. o número de segmentos que lhe incidem) é par (b) que se numerarmos os ângulos em torno de P sequencialmente, então a soma dos ângulos pares é igual à soma dos ângulos ímpares. Naturalmente, o origami do enunciado é ideal -- creio que supor que o papel tem espessura zero, as dobras são todas perfeitas e que o origami está contido na união de um número finito de planos deve ser suficiente para garantir o resultado. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Autovalores
Claudio Buffara said:
Este nao eh exatamente um problema olimpico (ultimamente poucos
problemas que aparecem nesta lista sao...) mas, de qualquer forma, achei
um bom exercicio de algebra linear.
Determine, de forma pouco bracal, os autovalores da matriz abaixo (uma
forma muito bracal seria calcular det(xI - A) e achar as raizes desse
polinomio - podem acreditar: dah pra fazer de um jeito mais facil!):
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1
2 0 3 0 2 0 3 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1
2 0 3 0 2 0 3 0
0 1 0 0 0 1 0 0
Chame essa matriz de A e considere a matriz M formada pelo sub-bloco 4x4
no canto superior esquerdo. Se u = (v, w) é um vetor de R^8, autovetor de
A, com v e w em R^4, temos Au = (M(v+w), M(v+w)). Segue imediatamente que
v = w, e, portanto, Au = 2(Mv, Mv). Então se k é o autovalor associado de
A, temos (kv, kv) = (2Mv, 2Mv), logo k/2 é autovalor de M. Mas M tem três
autovalores 1, e como det M = 2, 2 também é autovalor de M.
Logo os autovalores de A, contando multiplicidade, são 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4
e 4.
Para mandar alguma coisa mais olimpíca para a lista, seguem alguns
problemas em que eu estive pensando (só sei resolver o 1):
1. Considere P, o conjunto das permutações de n elementos. Se escolhermos
ao acaso uma permutação p de P, qual o número esperado de inversões em p?
Suponha equiprobabilidade na escolha de p.
2. E se P for o conjunto das permutações *caóticas* de n elementos?
Pode-se afirmar pelo menos alguma coisa sobre o comportamento assintótico
dessa média?
3. Seja f: S = {2, 3, 4, 5, 6, ...} - S a função que leva um número n no
seu número de fatores primos. Por exemplo, f(6) = 2 e f(12) = f(8) = 3.
Quanto vale lim[n-inf] (f(2) + f(3) + ... + f(n))/(n-1)?
4. E se f associar n ao seu número de fatores primos *distintos*? Por
exemplo, f(6) = 2 mas f(12) = 2 e f(8) = 1?
[]s,
--
Fábio ctg \pi Dias Moreira
=
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Re: [obm-l] Autovalores
Claudio Buffara said: on 15.12.04 18:37, Fabio Dias Moreira at [EMAIL PROTECTED] wrote: 1. Considere P, o conjunto das permutações de n elementos. Se escolhermos ao acaso uma permutação p de P, qual o número esperado de inversões em p? Suponha equiprobabilidade na escolha de p. Voce calculou o numero de permutacoes com exatamente k inversoes ou fez algo mais inusitado? [...] Um pouquinho de cada coisa; eu achei, para cada n, a soma S_n da quantidade de inversões nas n! permutações em função de S_(n-1). []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] questao do ITA furada
Eduardo Henrique Leitner said: aa, entao deve ser por isso que o anglo ainda nao divulgou a resolucão da questao 30... eles devem estar tentando considerar que x pode ser complexo... Questão 30. Determine todos os valores reais de a para os quais a equação (x-1)^2 = |x - a| admita exatamente três soluções distintas. [...] Mas o lado direito é um real não-negativo, logo o lado esquerdo também tem que ser um real não-negativo, logo x-1 é real == x é real. (Eu ainda estou chateado comigo mesmo por ter feito só 17 objetivas por causa de besteira... Eu sou o único que acha que a prova deste ano veio mais fácil, mas com mais pegadinhas, do que a do ano passado?) []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] circunferencia
Artur Costa Steiner said: De fato, 3 pontos nao colineares definem uma e apenas uma circunferencia. Se estes pontos sao p1, p2 e p3, entao o centro da circunferencia eh a interseccao das mediatrizes dos segmentos p1p2 e p2p3. Nao me lembro da formula que dah a equacao desta circunferencia em funcao das coordenadas de p1, p2 e p3, mas provavelmente nao eh mesmo uma expressao muito bonita. [...] A condição para que quatro pontos p1 = (x1, y1), p2 = (x2, y2), p3 = (x3, y3) e p4 = (x4, y4) sejam concíclicos ou colineares é que | x1^2+y1^2 x1 y1 1 | | | | x2^2+y2^2 x2 y2 1 | det | | = 0. | x3^2+y3^2 x3 y3 1 | | | | x4^2+y4^2 x4 y4 1 | (Demonstrar este fato, ou generalizar essa idéia para cônicas em geral, é deixado como exercício para o leitor.) []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] En: Trigo...
Rafael said: - Original Message - From: vinicius [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, December 05, 2004 12:51 PM Subject: [obm-l] En: Trigo... Foi mal, a função é: 2sen2x-cos2x, e não vale essa prop. q vc disse... O período dessa função é simplesmente pi, visto que este é o período de sen(2x) e cos(2x). Agora, pergunto eu: -- Por que não valeria o que lhe escrevi? Parece claro que mmc(pi, pi) = pi, ou não? [...] Sim, mas é necessário ter cuidado: sen(x) e -sen(x) são ambas funções de período 2*pi, mas a soma delas não possui um período fundamental. Se você quiser um exemplo menos patológico, sen(x) - sen(2x) e sen(x) + sen(2x) são funções de período 2*pi. Apesar da soma admitir período 2*pi, este não é o seu período fundamental. A afirmação que é verdadeira é que se p é *um* período de f e q é *um* período de g então mmc(p, q) é *um* período de f+g (ou, de forma mais geral, de qualquer coisa do tipo h(f(x), g(x))). []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Cálculo I / Geometria
Artur Costa Steiner said: Se eu entendi certo, a resposta eh imediata, nao eh? Se o lago for suficientemente raso para que a mulher possa atravessa-lo andando e a velocidade de 4mi/h se referir a este caso, entao ela deve ir andando em linha reta de A para C. [...] Certo. [...] Mas se o lago for de tal forma profundo que ela nao possa atravessa-lo andando, entao ela rema em linha reta de A a C. [...] Errado. Se ela fizer isso, ela gasta tempo 2*R/2 = R; se ela simplesmente for contornando pela praia, ela gasta tempo pi*R/4 = pi/4 * R R, logo a sua solução não é ótima. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Funções p
Akira Kaneda said: Seja f[x]=x+1/x-1 uma função real de var. real.Se x^2 # 1 .: f[x] é = a a] 1/fx b]-f[x] c]1/f[-x] d]f[x] Olá alguém pode ajudar? [...] As alternativas c e d são ambas corretas. A questão está errada. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] provar que nao é primo...
Fabio Niski said: pessoal,dado um numero x natural, terminado em 5, como eu provo que 4^x + x^4 é um numero composto? [...] Primeiro escreva a^4 + 4b^4 como produto de dois polinômios do segundo grau. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Poliedro
Bruno Lima said: dado um poliedro regular, ele pode ser um dado? I.e. , sempre posso definir a face que esta pra cima? [...] Sim, exceto para tetraedros (neste caso, os números devem ser associados aos *vértices* do dado). []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de Teo. dos números
Edward Elric said: Acho que ele quer que ache todos os numeros que sejam quadrados perfeitos em qualquer base. Tipo, 49 eh quadrado perfeito, mas passando 49 para a base 6 ele eh 121 que tb eh quadrado perfeito, mas passando para a base 3, ele eh 1211, que não eh quadrado perfeito, logo 49 nao tem essa propiedade... [...] Então o 1 é o único número com esas propriedade, já que n+1, n 2, se escreve em base n como 11 (e 2 não é q.p.). []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Listagem de premiados da OMERJ
Oi pessoal, A lista dos premiados da OMERJ, em ordem alfabética, já foi divulgada no site da olimpíada (http://www.omerj.com.br/) e é reproduzida abaixo. Note que esta é apenas uma listagem dos *premiados*; os prêmios obtidos por cada participante só serão divulgados na cerimônia de premiação e, posteriormente, no site da OMERJ. A solenidade para a entrega dos prêmios será realizada no Teatro do Colégio Militar do Rio de Janeiro, na Rua São Francisco Xavier, este sábado (20/11), às 16h. Convidamos também os representantes das seguintes escolas a comparecerem à premiação para a competição por colégios (listagem em ordem alfabética): Colégio São Bento Colégio Israelita A. Liessin (Botafogo) Colégio Naval Colégio Pentágono Colégio Ponto de Ensino (Tijuca) E.M. Dr. Delcy Noronha E.M. Engenheiro João Thomé E.M. Francis Hime E.M. Franscisco Caldeira de Alvarenga E.M. João Saldanha E.M. Minas Gerais E.M. Pio X E.M. Silveira Sampaio Sistema ELITE de Ensino (Madureira e Tijuca) Segue a listagem dos premiados: * NÍVEL 1 (5a. e 6a. séries do Ensino Fundamental) == Adonis Batista da Silva Alexandre Mustafá da S. Assis Aloizio Tadeu Sampaio A. Macedo Anacleto Amâncio Benevides Neto André Luiz de Souza Nogueira Junior Anna Paula Ferraz Pires Anne de Souza Zamarreno Hernandez Antônio Augusto I. de Faria Bastos Aquiles Oliveira Mendes da Silva Arthur Lerer Arthur Z. Machado Augusto Rizzotto Vidal Pessoa Beatriz Nogueira Margulies Bruna de Melo Souza Camilla Cavalcante da Silva Christiana Couto Clarissa Gleucy Gabriel da Silva Dan Zylberglejd Diana Vaisman Diego de Souza Aires Eduardo Pikelhaizen Eduardo Silva Russel Fabricio Gouveia da Silva Felipe Rembold Petraglia Felipe Saraiva Peleteiro Fernanda Silva Camargo Gabriel Moura Barros Gabriela Oliveira Teixeira Gleiciane de Andrade Cardoso Glenio Carneiro Maciel Junior Guilherme M. R. Souza Ian Fernandez da Paz Isadora Bayma Jefferson de Oliveira Izamara Alves de Oliveira João Paulo Domingos Nonato João Zanine Barroso Juliana Carvalho Pinto Kerolyn Cristiny Rodrigues Leite Lara Guimarães Fernandes Peres Leonardo Bohac Leonardo Henrique Caldeiras Pires Ferrari Lereno Soares Netto Letícia Lutke Riski Ligia Chaves Lima de Freitas Lucas Brasil Ramos Luis Felipe A. M. Ramos Luisa Caroline Lima da Silva Luiz Felipe B. Portela Silva Luma Monteiro Forno Marcelo Paixão dos Santos Marcely dos Santos Felinto Mirella Carine Silva de Sousa Natale Bellomo Natasha dos S. Barbosa Neiruza Conceicao Klem da Silva Patrícia Soledade dos Santos Paulo Ricardo de Souza Costa Paulo Sérgio Santana de Barros Pedro Henrique Selles Raguenet Pedro Pacheco Louzada Pedro Paulo da S. Ferreira Rafael Fernandes Paixão Raphael Luiz Avellar Silva Raphael Augusto de O. Silva Renan Kogut Renata Delloco Villa Coutinho Rhayza de Souza Magalhães Roberto Lopes Valle Rodrigo Canto Corbelli Samina Kellen Viana Thais de Souza Jorge Thayane Cristhine Bilhão do Nascimento Thayane Victoria de L. Alves Thiago Augusto da Silva Baleixo Thiago Oliveira Dias Thiago Severgnini W. Teixeira Thiago Soares Krause de Araujo Vanessa D. Soares William Peersen Rossetto Portela Ygor Xavier Carvalho Rios Yuri Kaz Kestenberg * NÍVEL 2 (7a. e 8a. séries do Ensino Fundamental) == Ada Regina Cardoso Uliana Adriano Ibiapino Bezerra Alex Sandro dos Santos Aline Dantas de L. Souza Aline Silva Ribeiro Allan Moreira Silva Ambrosio Martins da C. Amy Savana Dias de Lima da Silva Ana Luiza Perdigão Valadares Dutra Anderson dos Santos Anderson Matos da Silva Anderson Penido de Freitas Andrea Pech Bezerra Andreza Cristia Duarte da Conceição Aniele Cunha Pereira Antônio Gilcler Ferreira Lima Augustus Gouveia dos Santos Bárbara Priscila Teixeira Corrêa Beatriz Fittipaldi Bernardo Veiga Bianca de Oliveira Jurema Bianca Pereira da Mota Bruna da Silva Carvalho Bruno Alves Guimaraes Caio José Fonseca Santos Camila de Souza Pinto Carina Galvão Pereira Caroline M. de C. Silva Christiane Rosa Siciliano Daniel Eduardo Hollos Fiorêncio Daniel Silveira Baumann Danielle Lourenço Valverde Danilo Costa Gomes Darlen Soares dos Santos Dayna Coelho do Nascimento Débora Leite de Almeida Diego Cardoso de Andrade Diego de Souza Monteiro Diego Marcondes Castro Diego Pereira de Sejus Diego Rodrgues dos Santos Diego Viana Santos Vallecilo Diogo Bonfim Moraes Morant de Holanda Douglas Anderson Barros Douglas Tirre Carnevale Oliveira Edson Henrique Braganca Eduardo de Almeida Lima Eduardo José da Silva Junior Eduardo Lira Nobrega Edward Cespedes Carageorge Ellen Trindade dos S. Fabio Henrique Bezerra Fabíola Monteiro Vazes Fatima Rejany da Silva Felipe Lobianco Felipe Muniz Sodre François Mesquita de Oliveira Gabriel da Silva Vaz Pereira Genivaldo Jose Pereira Filho Geraldo Medeiros Beserra Gisele dos S. Silva Firmino Gleyce Nunes da Silva Guilherme Augusto Silva de Medeiros Guilherme Rodrigues Carvalho de Souza Hayla Leandro da Costa Silva Hayllane Silva de Souza
Re: [obm-l] Olimpíadas Brasileiras de Matemática, 1ª a 8ª
machado said: Olá pessoal, alguém tem esse livro ? Olimpíadas Brasileiras de Matemática, 1ª a 8ª - Élio Mega e Renate Watanabe ? Preciso muito. Serve xerox ou original. [...] Veja o site da SBM: http://www.sbm.org.br/ []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] IME
Ariel de Silvio said: É, foi uma prova longe de boa Questões muito simples, ou questões impossíveis, até mesmo por erro... Outra questão, a 10. Não consegui fazer, simplesmente por que não concordava com a afirmação que ele pedia para demonstrar. O GPI corrigiu como se o teorema não fosse válido realmente. Mas e aí, isso seleciona alguém? Eu quero mesmo fazer ITA, mas fazer uma prova assim não anima ninguém, e muito menos seleciona alguém pra uma faculdade tão conceituada assim né. Muita gente estuda 1 ano ou mais pra encontrar uma prova com erro de digitação!! Fala sério Se alguém quiser opinar sobre a 10, agradeço também. [...] A minha interpretação da questão 10 é que o caminho da formiga é mínimo. *Adicionalmente*, sabemos que M, N, P, Q são coplanares. A idéia do problema é que você prove que se o caminho mínimo percorrido pela formiga é coplanar, então a MN tem que ser ortogonal a AC. O problema não quer que você prove que todo caminho mínimo tem M, N, P, Q coplanares ou que o caminho mínimo restrito à condição de coplanaridade implica o que ele pede no enunciado. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] IME
Bernardo said: Essa questão está errada. Só pode estar. Uma coisa muito estranha nela é que o que ela pede pra vc provar nem tem o b. Eu provei na prova que estava errado. E isso é fogo pq eu perdi muito tempo tentando chegar no que o enunciado pedia. Como se fazer a 4ª questão?? Enunciado: Determine o valor das raízes comuns das equações x^4 - 2x^3 - 11x^2 + 18x + 18 = 0, e x^4 -12x^3 -44x^2 -32x -52 = 0 [...] Basta calcular o mdc dos dois polinômios, e constatar que eles são primos entre si. O que me falaram depois da prova (e que eu já estava desconfiando) é que parece que o IME errou na digitação: se você trocar o termo -44x^2 para +44x^2, então os dois polinômios possuem o fator x^2-2x-2. Mesmo assim, a questão *está* certa, e, por isso, não creio que deveria ser anulada. (Falando nisso, eu ouvi falar que a IMO está contratando digitadores(as). Eles estão procurando pessoas que já tenham trabalhado na digitação de listas e provas de seleção para olimpíadas internacionais e vestibulares; já ter participado de olimpíadas nacionais de matemática é uma vantagem. Alguém tem uma sugestão?) []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Como Resolver?
ZopTiger said: Por favor, me ajude a resolver a seguinte questão: Como resolver x^x=10 (10 é um exemplo, pode ser qualquer inteiro ou racional) Qual é a função inversa? Qual é a operação inversa da potenciação para este caso? [...] É a função F(x) = ln x / W(ln x), onde W é a função de Lambert: http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html (E não, não é possível escrever W com composição de outras operações mais simples, como log, exponencial, raízes n-ésimas, as operações elementares, etc.) []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] OMERJ-2004
Igor Castro said: alguém pode postar a prova da olimpiada de matemática do estado do RJ(foi hj)??? último nível - 3 ano +++ []´s Igor [...] As provas da OMERJ, níveis 3 e 4 já estão no ar com as suas respectivas soluções da banca, na seção de provas do site da OMERJ (http://www.omerj.com.br/). (A solução da questão do polinômio, infelizmente, foi digitada incorretamente; as únicas soluções são (x+1)(x-4) e o seu simétrico. Uma versão [EMAIL PROTECTED] do gabarito deve ir ao ar dentro de algumas horas.) []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira Membro da Comissão de Olimpíadas de Matemática do Estado do Rio de Janeiro = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 1 + N + ... + N^(p-3/2 - 2) + N^(p-3/2 - 1) + N^(p-3/2)
Demetrio Freitas said: Olá, Seja p um número primo maior do que 3 e N um inteiro. Defina-se então S(N,p) como a soma da seguinte sequência: 1 + N + ... + N^(p-3/2 - 2) + N^(p-3/2 - 1) + N^(p-3/2)= S(N,p) Em muitos casos S(N,p) será divisível por p, ou seja, S(N,p) = 0(mod p) [...] Porém isso não é verdadeiro em qualquer caso. Claramente, caso N|p (N divisível por p) a congruência não se verifica. Mas existem também outros casos. Pergunta-se então: quais as condições devem ser impostas a N e p para garantir que S(N,p) seja divisível por p? [...] Se N for 1 módulo p, a afirmação é obviamente falsa; suponha que N não é 1 módulo p. Então S(N, p) = (N^[(p-1)/2]-1)/(N-1). Olhando módulo p, é necessário e suficiente para que p divida S(N, p) que N^[(p-1)/2] seja 1 módulo p. Isso é equivalente a afirmar que N não é raiz primitiva módulo p, mas essa resposta não ajuda mais do que a afirmação anterior. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] OBM 2004 - NIVEL 3
Igor Castro said: É! me confundi... contei 5 alg diferentes umas 10 vezes na sétima linha :P mas enfim.. ok.. 4 alg diferentes sempre... essa era a resposta então? como provar que não tem um quadrado com 3? 2? [...] Para simplificar o argumento, eu vou dizer que uma _fila_ é uma linha ou coluna qualquer do tabuleiro. Lema: Se C é um conjunto de filas que contêm todas as ocorrências de um dado algarismo, então C tem pelo menos sete filas. Prova: Suponha que |C| = k. Suponha ainda que h dessas k filas são horizontais. Então as dez ocorrências do algarismo em questão devem estar contidas na interseções das h filas horizontais com as k-h filas verticais, donde h(k-h) = 10. Mas por MA-MG, h(k-h) = [(h+k-h)/2]^2 = k^2/4, logo k = sqrt(40) == k = 7. Marque todas as filas que contém algum algarismo zero, todas as que contém algum algarismo um, ... até o nove. Pelo Lema, pelo menos 70 filas foram marcadas; como o tabuleiro possui apenas 20 filas, o PCP implica que alguma fila foi marcada pelo menos quatro vezes, logo esta fila possui quatro algarismos distintos. Unindo esta demonstração ao tabuleiro que o Paulo José enviou para a lista, está demonstrado que o maior valor de n que satisfaz ao enunciado é n=4. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] AB vs BA e Formula para Nos. Compostos
Claudio Buffara said: Aqui vao dois problemas que estao me dando uma canseira: 1) Sejam A (mxn) e B (nxm) duas matrizes, com m = n. Sejam Pab(x) e Pba(x) os polinomios caracteristicos de AB e BA, respectivamente. Prove, sem usar determinantes, que: Pab(x) = x^(m-n)*Pba(x). 2) Prove que existe um inteiro positivo k tal que, para todo n = 1, o numero k*2^n + 1 eh composto. No primeiro eu consegui provar que k eh autovalor de A == k eh autovalor de B e que deve realmente existir o termo x^(m-n), mas nao consegui mostrar que as multiplicidades dos autovalores sao iguais. No segundo, eu acho que eh preciso encontrar primos p1, p2, ..., pr tais que pelo menos um deles divide k*2^n + 1, para cada n. Estou convencido de que o teorema chines dos restos deve ser usado em algum lugar, mas nao consegui nada de muito substancial. [...] Ajuda se você considerar individualmente cada uma das classes de congruência módulo um certo M. Se você não se importar em descobrir -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] AB vs BA e Formula para Nos. Compostos
Claudio Buffara said: Aqui vao dois problemas que estao me dando uma canseira: 1) Sejam A (mxn) e B (nxm) duas matrizes, com m = n. Sejam Pab(x) e Pba(x) os polinomios caracteristicos de AB e BA, respectivamente. Prove, sem usar determinantes, que: Pab(x) = x^(m-n)*Pba(x). 2) Prove que existe um inteiro positivo k tal que, para todo n = 1, o numero k*2^n + 1 eh composto. No primeiro eu consegui provar que k eh autovalor de A == k eh autovalor de B e que deve realmente existir o termo x^(m-n), mas nao consegui mostrar que as multiplicidades dos autovalores sao iguais. No segundo, eu acho que eh preciso encontrar primos p1, p2, ..., pr tais que pelo menos um deles divide k*2^n + 1, para cada n. Estou convencido de que o teorema chines dos restos deve ser usado em algum lugar, mas nao consegui nada de muito substancial. [...] Ajuda se você considerar individualmente cada uma das classes de congruência módulo um certo M. Se você não se importar em descobrir qual é o k, está página tem mais informação: http://mathworld.wolfram.com/SierpinskiNumberoftheSecondKind.html []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão
Fábio Bernardo said: Amigos, tô enrolado nesses: 1) Sabe-se que: a+b+c+d+e = 8 e a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 = 16 Qual é o maior valor de e? a) 2,5 b) 2,8 c) 3 d) 3,1 e) 3,2 [...] Pela desigualdade MA-MQ, Cauchy, Médias Potenciais, Chebyshev, etc. você chega a (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)/4 = [(a+b+c+d)/4]^2. Logo (16-e^2)/4 = [(8-e)/4]^2. Simplificando e resolvendo a inequação, 0 = e = 3.2, que de fato é um possível valor de e (a=b=c=d=1.2, e=3.2). []s, -- Fábio Dias Moreira Professor -- Sistema ELITE de Ensino = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Demonstração Teorema Laplace...
Alan Pellejero said: Olá Leandro, refiro-me àquele usado no ensino médio (abaixamento de ordem). Procurei no google, mas não achei nada sobre. Agradeço desde já!!! ALAN [...] Eu mandei um email enorme para a lista sobre determinantes (em particular, eu demonstro o Teorema de Laplace) há um tempo atrás -- você pode dar uma vasculhada nos arquivos da lista. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Comparacao de Infinitos
Claudio Buffara said:
Caros colegas:
Qual a relacao entre as cardinalidades dos seguintes conjuntos?
A = P(N) = conjunto das partes de N (N = conjunto dos numeros naturais);
B = conjunto das bijecoes de N em N;
C = conjunto das funcoes de N em N.
Naturalmente, B estah contido em C e, alem disso, dado um elemento
qualquer de A (ou seja, um subconjunto {x1, x2, ...} de N) eh possivel
encontrar um elemento de B (ou seja, uma bijecao f: N - N ) tal que
f(1) = x1, f(2) = x2, ... Isso implica que card(A) = card(B) =
card(C).
Se ao inves de N tivessemos um conjunto finito com k elementos, as
cardinalidades de A, B e C seriam, respectivamente, 2^k, k! e k^k. Como
2^k/k! - 0 e k!/k^k - 0, quando k - infinito, eh de se esperar que
card(A) card(B) card(C) (desigualdades estritas), mas com conjuntos
infinitos nunca se sabe...
[...]
Como você já demonstrou, |A| = |B| = |C|.
Dada f em C, considere a aplicação g:N - N definida por g(n) = f(1) +
f(2) + ... + f(n) (para simplificar as coisas, estou considerando N como o
conjunto {1, 2, ...}). Evidentemente, g é injetiva.
Defina agora, indutivamente, h(1) = g(1) e, para todo n, h(n+1) vale:
* min({n+1, n+2, ...} inter Im(g)) se h(n) - 1 pertence à h({1, 2, ..., n})
* h(n) - 1 caso contrário.
Não é muito difícil ver que h é uma bijeção, e que para toda função f
existe uma e só uma função h associada a ela. Logo |C| = |B| == |B| =
|C|.
Finalmente, dada uma função f em C, considere a função g associada a ela
criada acima e tome o conjunto g(N). Novamente, isto é uma injeção de C em
A, logo |C| = |A| == |C| = |A|. Logo |A| = |B| = |C|.
[]s,
--
Fábio Dias Moreira
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Re: [obm-l] ALERGIA PELO NÚMERO SETE!
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet said: Agora veja essa: prove que pelo menos um dos dois PI+e, Pi*e e irracional [...] Se ambos fossem racionais, então as raízes de x^2 - (pi+e)*x + pi*e seriam algébricas, o que é absurdo. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] combinatória
nilton rr said: Agradeço pela ajuda Obtenha, de forma simplificada, o valor da soma C(n,1) + 2C(n,2) + 3C(n,3) +...+nC(n,n) [...] Use absorção: C(n;k) = n/k * C(n-1;k-1). []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l]
Thiago said: Estou com dificuldade em resolver a seguinte questão: a + b + c = 5 e ab + ac + bc = 3 (a, b e c são números reais) qual é o máximo valor para c? [...] Considere o polinômio P(t) = t^3 - 5t^2 + 3t - k, onde k = abc. As suas raízes são a, b e c. Supondo s.p.d.g. a = b = c, se queremos maximizar c, devemos tomar k o menor possível; como o coeficiente líder de P é positivo, a terceira interseção do gráfico de P com o eixo x está no ramo ascendente do gráfico. Movendo essa curva para baixo, deslocamos o ponto de interseção para a direita. No entanto, as três raízes precisam ser reais. Isso quer dizer que, quando c for máximo, o máximo local da cúbica acima tangencia o eixo x. Mas P'(t) = 3t^2 - 10t + 3, que tem raízes 3 e 1/3. Como, novamente, o coeficiente líder de P é positivo, o máximo local é a menor raiz da derivada. Logo queremos que P(1/3) = 0, donde k = 13/27, e daí segue que P(x) = (x - 1/3)^2 * (x - 13/3) Logo a maior raiz de P é 13/3 e o maior valor de c é 13/3. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] conjuntos conexos
Lista OBM said:
Gostaria de uma ajuda nos dois problemas abaixo:
1) Prove que para toda função contínua f:S^1 -- R existe um ponto x em
S^1 = {v em R^2 ; |v| = 1} tal que f(x) = f(-x).
[...]
Considere g(x) = f(x) - f(-x). Note que g(-x) = -g(x); se g for
identicamente nula, acabou; senão, existe y tal que g(y) != 0, e aí é só
usar o TVI em uma parametrização conveniente de S^1.
[]s,
--
Fábio Dias Moreira
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Re: [obm-l] III-olimpiada de maio
[EMAIL PROTECTED] Ola pessoal, Abaixo esta exposto um problema, a solucao dele e minha duvida entre parenteses no corpo da solucao. Nao precisem explicar o problema inteiro, a unica coisa que eu nao entendi foi o que se pensou para criar a equacao 8 x 8 + 2 x 7 = 78. No mais, esta completamente entendido. [...] A soma total eh: 8 x 8 + 2 x 7 = 78. (Como foi montada esta equacao ?) [...] A solução inverte a maneira de contar o total dos números escritos -- ao invés de somar os números em cada casa, olhe para cada uma das fichas: elas somam um a todas as casas vizinhas que estejam vazias. Como, pelo raciocínio exposto no problema, podemos ter oito fichas isoladas das outras e duas se tocando, as oito fichas somam um a cada uma das suas oito casas vizinhas. Por isso, a contribuição total delas é 8x8. As outras duas fichas contribuem cada uma com 7, pois uma das vizinhas de cada ficha está ocupada pela outra. Logo a contribuição destas 7 fichas é 7x2. Logo a soma total das casas do tabuleiro é 8x8+7x2. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Polinomio 2
[EMAIL PROTECTED] said: Para o Fabio ou qualquer um que puder me explicar: Duvida 1- De onde veio a equacao abaixo ? Q(x) = P(x) - (x+1)^2 [...] Eu apenas reparei que P(-1), P(1) e P(2) determinam um polinômio que eu já conheço, que é (x+1)^2. Se não fosse pelo P(-2), eu já teria resolvido o problema. Mas é *muito* mais conveniente trabalhar com polinômios cheios de raízes, e por isso eu escolhi esse Q(x) -- para criar raízes no meu polinômio. Duvida 2- Nao entendi o final: ( ... Note que P(x) não é nem constante e nem linear, nem pode ser do segundo grau, pois então Q(x) também o seria, e como tem três raízes, teria que ser identicamente nulo, o que contradiz Q(-2) = -12 ...) [...] Eu achei um polinômio do terceiro grau que passa pelos pontos dados, mas até antes desse parágrafo, ainda não demonstrei que é o polinômio de grau minimo que passa pelos quatro pontos. (E se você citou os trechos relevantes, não precisava deixar a minha mensagem *inteira* na resposta) []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Polinomio 2
Daniel Regufe said: Eu gostaria de lembrar a resolução dessa questão por determinante ... Alguem pode me ajudar? Considere o polinomio de grau minimo, cuja representação grafica passa pelos pontos: P1(-2,-11), P2(-1,0), P3(1,4), P4(2,9) Determine os coeficientes do polinomio. [...] Note que se o gráfico do polinômio P(x) passa pelos quatro pontos acima, então P(-2) = -11 P(-1) = 0 P(1) = 4 P(2) = 9 Mas então Q(x) = P(x) - (x+1)^2 é tal que Q(-2) = -12 Q(-1) = 0 Q(1) = 0 Q(2) = 0 Logo Q(x) = k(x+1)(x-1)(x-2). Substituindo x=-2, -12 = k*(-1)*(-3)*(-4) == k = 1. Logo P(x) = (x+1)(x-1)(x-2) + (x+1)^2. Note que P(x) não é nem constante e nem linear, nem pode ser do segundo grau, pois então Q(x) também o seria, e como tem três raízes, teria que ser identicamente nulo, o que contradiz Q(-2) = -12. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Gabarito OBM
Carlos Yuzo Shine said: Colocamos os arquivos com o gabarito também na OPM: http://www.opm.mat.br/provas/gabarito_N1.doc http://www.opm.mat.br/provas/gabarito_N2.doc http://www.opm.mat.br/provas/gabarito_N3.doc Infelizmente não tivemos tempo de fazer um link amigável na própria página da OPM... []'s Shine [...] Eu montei um outro espelho: http://dias.moreira.nom.br/obm/ []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] o valor de x
biper said: Hoje recebi esta questão do meu colega, no iício pensei que fosse fácil, mas acabei me complicando, aí vai: Calcule o valor de x para: [5 - (5 - x)1/2]1/2 = x Eu desnenvolvendo caiu num sistema, será que é por aí mesmo? [...] Bom, eu não sei de qual sistema você está falando, mas existem várias soluções para este problema (eu suponho que você quis diser sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x). Primeira solução: Eu considero essa solução, enviada aqui para a lista pelo nosso colega Ralph, a mais bonita e natural de todas. Abra tudo: sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x = 5 - sqrt(5 - x) = x^2 = sqrt(5 - x) = 5 - x^2 = 5 - x = 25 - 10x^2 + x^4 = x^4 - 10x^2 + x + 20 = 0. Se essa equação puder ser resolvida sem apelar para a fórmula da equação do quarto grau, ela *tem* que poder ser fatorada. Se a gente soubesse algumas raízes, a gente até poderia fatorar o polinômio... Mas a gente sabe algumas dessas raízes! Não é difícil ver que sqrt(5 - x) = x = x = sqrt(5 - sqrt(5 - x)). Logo é razoável esperar que x^2 + x - 5 divida o polinômio em que chegamos. E, de fato, x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + x - 5)(x^2 - x - 4). Continuar daqui é trivial. Segunda solução: Se você não vir esse fator, também é possível resolver o problema. É fácil ver que o polinômio não tem raízes raacionais. Se ele puder ser fatorado, ele *tem* que poder ser escrito como produto de dois polinômios de segundo grau, i.e. x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d). Abrindo o lado direito, x^4 - 10x^2 + x + 20 = x^4 + (a+c)x^3 + (b+d+ac)x^2 + (ad+bc)x + bd Logo temos que achar a, b, c, d inteiros tais que (1) a + c = 0 (2) b + d + ac = -10 (3) ad + bc = 1 (4) bd = 20 De (1), segue que c = -a, logo, substituindo em (3), a(d - b) = 1, logo a = d - b = -1 ou a = d - b = 1. Aqui, poderíamos quebrar em casos, mas note que os dois casos são extamente os mesmos -- se trocarmos os dois fatores do polinômio acima, passaremos de um caso para o outro. Logo, sem perda de generalidade, a = d - b = 1. Como b + d - a^2 = -10, b + d = -9. Junto com d - b = 1, isso implica que d = -4 e b = -5, o que é consistente com (4). Logo x^4 - 10x^2 + x + 20 = (x^2 + x - 5)(x^2 - x - 4). Terceira solução: Novamente, abra tudo, mas faça, inicialmente, a substituição 5 = a. Nossa equação torna-se x = sqrt(a - sqrt(a - x)) (o porquê dessa substituição ficará claro daqui a pouco). Abra tudo: x^2 = a - sqrt(a - x) = a - x = a^2 - 2*a*x^2 + x^4 = x^4 - 2*a*x^2 + x + a^2 - a = 0 = (rearrumando os termos) a^2 - (1 + 2x^2)*a + (x^4 + x) = 0. Isso é uma equação de segundo grau em a. Seu discriminante é 1 + 4x^2 + 4x^4 - 4x^4 - 4x = 1 - 4x + 4x^2 = (1 - 2x)^2, logo a = [1 + 2x^2 + 1 - 2x]/2 = x^2 - x + 1 ou a = [1 + 2x^2 - 1 + 2x]/2 = x^2 + x. Substituindo de volta a = 5, x^2 - x - 4 = 0 ou x^2 + x - 5 = 0. Quarta solução: Seja y = sqrt(5 - x). Então sqrt(5 - y) = x, logo x^2 = 5 - y e y^2 = 5 - x. Subtraindo as duas equações, x^2 - y^2 = x - y = (x - y)(x + y - 1) = 0. Logo y = x ou y = 1 - x, o que implica sqrt(5 - x) = x = x^2 + x - 5 = 0 ou sqrt(5 - x) = 1 - x = x^2 - x - 4 = 0. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] MAIS DIVERSÃO!
Oi, Pessoal! [...] Vários rapazes e moças estão participando de uma festa. É possível que cada moça possa sempre dançar a próxima dança com um rapaz ou mais bonito ou mais inteligente que o da dança anterior, e que a cada dança uma das moças esteja dançando com um rapaz mais bonito e mais inteligente que o da dança anterior? (O número de rapazes e de moças é o mesmo e todos estão dançando). [...] Sim, desde que haja pelo menos três rapazes: se as respectivas inteligências e belezas são (1, 2), (2, 3), ..., (n-1, n), (n, 1), e as moças que acabaram de dançar com o i-ésimo rapaz dançam com o [(i+1) mod n]-ésimo rapaz, todas as restrições são satisfeitas. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cramer vs Eliminacao
Osvaldo said: Olá Cláudio. desejo apelar um problema à vc. Eu e um camarada meu desenvolvemos um met. interativo para resoluçao da eq. f(x)=0. O met. Labaki-Mello; cuja eq. geral dos x_(k+1) é dada por: x_(k+1)=x_(k) - sqrt[f(x_k)^2/(1+f'(x_k)^2)] Este mét. proposto nunca encontrará a raiz e é facil de se observar. Provei que N. Raphson converge um pouco mais rapidamente atraves de desigualdades. Mais afinal o que preciso??? Gostaria que encontrasse (se existir) a ordem de convergência do método, ou seja, encontrar o número p tal que lim [x_(k+1)/(x_k)^p)]=L, L uma cte. real [...] Eu acho que se f(x) = x^2, x_0 0, o seu método não converge... De qualquer forma, eu suponho que você queria, na realidade, lim [f(x_(k+1)/x_k^p]? []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] determinantes
Eduardo Henrique Leitner said: olá, gostaria de saber se existe uma definição exata de determinante de uma matriz... é que eu já vi 3 definições distintas e gostaria de saber se todas sao aceitas como definições mesmo, ou apenas uma delas é a certa e as outras sao teoremas a partir dessa, ou é ainda uma outra além dessa 3... [...] As três estão certas. Eu vou confundir as coisas mais um pouco e introduzir um quarta (!) definição de determinante na história: Def.: O determinante de uma matriz é a única transformação multilinear alternada das colunas dessa matriz tal que det(I) = 1. Eu vou agora explicar o que significa essa definição. O determinante é multilinear Isso quer dizer que se uma matriz A possui colunas [a_1+b_1, a_2, ..., a_n], então det[a_1+b_1, a_2, ..., a_n] = det[a_1, a_2, ..., a_n] + det[b_1, a_2, ..., a_n]. e analogamente para as outras colunas. Além disso, det[c*a_1, a_2, ..., a_n] = c*det[a_1, a_2, ..., a_n] e analogamente para as outras colunas. O determinante é alternado -- Isso quer dizer que, ao trocar duas colunas quaisquer da matriz, o seu determinante muda de sinal. Em outras palavras, det[a_1, ..., a_i, ..., a_j, ..., a_n] = -det[a_1, ..., a_j, ..., a_i, ..., a_n] para todos os i e j, 1 = i j = n. det(I) = 1 -- Seja I a matriz identidade, i.e. I = [e_1 e_2 ... e_n], onde e_i é o vetor que tem zeros em todas as posições, exceto a i-ésima posição, onde ele tem um 1. Então det(I) = 1, por definição. Isso é muito legal, mas como eu faço para, realmente, calcular um determinante? Considere a matriz A = [a b; c d] (isto é, a matriz 2x2 que tem os elementos a e b na primeira linha e c e d na segunda linha). Quanto vale det(A)? D = det[a b; c d] = det[a b; 0 d] + det[0 b; c d] pela multinearidade na primeira coluna. Aplicando a multilinearidade nas segundas colunas das duas matrizes, temos que det[a b; 0 d] = det[a 0; 0 d] + det[a b; 0 0] det[0 b; c d] = det[0 0; c d] + det[0 b; c 0]. Logo D = det[a 0; 0 d] + det[a b; 0 0] + det[0 0; c d] + det[0 b; c 0]. Usando novamente a multinearidade em cada uma das colunas, removemos as variáveis de dentro da matriz. O que resta é D = ad*det[1 0; 0 1] + ab*det[1 1; 0 0] + cd*det[0 0; 1 1] + bc*det[0 1; 1 0]. A primeira matriz é a identidade, logo seu determinante é um. A última matriz, ao trocarmos a primeira e a segunda colunas, torna-se a identidade, logo ela tem determinante -1 (pois invertemos o sinal do determinante ao trocar as duas colunas). Logo D = ad - bc + ab*det[1 1; 0 0] + cd*det[0 0; 1 1]. Mas quanto vale det[1 1; 0 0]? Ora, se trocarmos as duas colunas deste determinante, ele deve mudar de sinal. Mas, com essa operação, a matriz sobre a qual operamos não muda, logo det[1 1; 0 0] = -det[1 1; 0 0] = det[1 1; 0 0] = 0. Analogamente, det[0 0; 1 1] = 0. Finalmente, det[a b; c d] = ad - bc. Note que podemos generalizar o que acabamos que fazer: se uma matriz tem duas colunas iguais então seu determinante é zero, pois permutá-las muda o sinal deste mas, ao mesmo tempo, não o altera. E se quisermos um determinante 3x3? Mesma coisa, exceto que agora teremos 9 matrizes só de zeros e uns. Três delas terão determinante zero; todas as outras terão determinante +-1. Eu não farei essa conta, mas vale a pena conferir que essa conta dá o mesmo que a regra de Sarrus. Agora eu vou começar a responder a sua pergunta: provarei que a definição do Iezzi equivale à minha. Considere a matriz A = [a_1 a_2 ... a_n], onde a_i é o i-ésimo vetor coluna de A e seja ainda a_1 = (x_1, x_2, ..., x_n). Pela multilinearidade do determinante, det A = x_1*det[e_1 a_2 ... a_n] + x_2*det[e_2 a_2 ... a_n] + ... + x_n*det[e_n a_2 ... a_n]. Agora eu precisarei dos dois seguintes lemas: Lema 1: Se a matriz A tem duas colunas, uma múltipla da outra, então det A = 0. Prova: Se A = [a_1 ... a_i ... c*a_i ... a_n], então det A = c * det[a_1 ... a_i ... a_i ... a_n] = c * 0 = 0. Lema 2: det[a_1 ... a_i ... (a_j - k*a_i) ... a_n] = det[a_1 ... a_i ... a_j ... a_n]. Prova: Pela multinearidade na j-ésima coluna, det[a_1 ... a_i ... (a_j - k*a_i) ... a_n] = det[a_1 ... a_i ... a_j ... a_n] + det[a_1 ... a_i ... -k*a_i ... a_n] = det[a_1 ... a_i ... a_j ... a_n]. Em particular estes dois lemas implicam que podemos zerar a i-ésima coordenada de todas as colunas exceto a primeira de [e_i a_2 ... a_n] sem alterar o determinante -- basta tomar a matriz B_i = [e_i a_2-a_i2*e_i ... a_n-a_in*e_i]. Seja então B_i = [e_i b_1 ... b_(n-1)]. Troque agora a primeira coluna com a segunda, a segunda com a terceira e assim sucessivamente, até trocar a (i-1)-ésima coluna com a i-ésima coluna. Nessa história, a coluna e_i andou até a i-ésima posição, preservando a ordem relativa das outras colunas. Seja C_i essa nova matriz. Como efetuamos i-1 trocas de colunas, det C_i =
Re: [obm-l] Olimpiadas Russas
Paulo Santa Rita said: [...] 103 Seja dado um triangulo ABC com um ponto D em AB e um ponto E em AC. Sabe-se que AD = DE = AC , BD = AE e que DE e paralelo a BC. Prove que o comprimento de BD e igual ao lado de um decagono inscrito em um circulo com raio R = AC. [...] S.p.d.g., AD = DE = AC = 1 e BD = AE = x. Então EC = 1-x. Pelo Teorema de Tales, AE/EC = AD/DB, pois DE//BC. Logo x/(1-x) = 1/x. Considere agora o triângulo XYZ, com XYZ = XZY = 2*pi/5, YZ = y e XY = XZ = 1. Esse triângulo é um dos gomos do decágono regular inscrito na circunferência de raio 1 = AC. Escolha agora W sobre XZ tal que YW bissecta XYZ. Então os triângulos YZW e XYZ são semelhantes = y/(1-y) = 1/y, pois YZ = YW = XW. Como a equação z/(1-z) = 1/z tem duas raízes, uma positiva e outra negativa, mas x e y são positivos e são raízes dessa equação == x = y. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Olimpiadas Russas ( 104 a 107 )
Paulo Santa Rita said: [...] 105 - Os elementos de uma matriz 4x4 sao os sinais + e -. ( veja abaixo ). E permitido modificar simultaneamente todos os sinais de uma linha, coluna ou diagonal pelos seus opostos, tantas vezes quanto desejarmos. A) Prove que com as operacoes acima definidas, nunca conseguiremos uma matriz formada apenas com sinais positivos. B) Prove que se a matriz for 8x8 ( com as mesmas operacoes definidas ) , qualquer que seja o preenchimento, se nenhum canto ( A11, A18, A81 e A88 ) tiver um sinal negativo,-, sera impossivel obtermos uma matriz formada apenas com sinais positivos. Matirz 4x4 : A12 = - Aij = + se (i,j) # (1,2) OBS : # significa e diferente de IMPORTANTE : Neste problema, um canto e considerado uma diagonal formada por um unico elemento. Logo, e permitido modificar apenas um canto. [...] a) Considere as oito casas destacadas no diagrama (se possível, use uma fonte de largura fixa): .**. *..* *..* .**. Não é muito difícil ver que qualquer uma das operações afeta um número par de casas destacadas. Portanto é impossível que todas as casas terminem com um sinal de +, pois sempre haverá um número ímpar de sinais -, logo este não pode ser zero. b) Eu acho que a matriz é um contra-exemplo. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] exercícios
Claudio Buffara said: on 14.05.04 11:53, biper at [EMAIL PROTECTED] wrote: alguém pode me ajudar nessas duas: 1)Achar todos pares ordenados (x,y), que satisfaçam a relação abaixo x^2 + x = y^4 + y^3 + y^2 + y. Supondo que estamos interessados apenas nas solucoes inteiras, eu faco a seguinte conjectura: As unicas solucoes sao (0,0), (-1,0), (0,-1), (-1,-1) e (5,2). No entanto, nao consegui provar isso. Imagino que envolva alguma fatoracao macetosa. Alguem tem alguma ideia? [...] Note que a equação equivale a x^2 + x - (y^4 + y^3 + y^2 + y) = 0. Para que x seja inteiro, é necessário e suficiente que o discriminante da equação seja um quadrado perfeito (é necessário pois x é racional, é suficiente pois x é inteiro algébrico, e todo inteiro algébrico é inteiro). Logo 4y^4 + 4y^3 + 4y^2 + 4^y + 1 = z^2 = (2y^2 + y + 1)^2 - y^2 + 2y = z^2 = (2y^2 + y + 1)^2 - z^2 = y^2 - 2y = (2y^2 + y + 1 + z)(2y^2 + y + 1 - z) = y^2 - 2y. Se y = 0, 1, 2, então a equação original equivale a x(x+1) = 0, x(x+1) = 4, x(x+1) = 30, respectivamente. A segunda equação não tem solução, a primeira dá duas soluções (0, 0) e (-1, 0); a terceira dá outras duas, (5, 2) e (-6, 2). Caso y 0 ou y 2, y está fora do intervalo das raízes de y^2 - 2y, logo y^2 - 2y 0. Como z é não-negativo sem perda de generalidade, 2y^2 + y + 1 + z = (7/4)*y^2 + (y/2 + 1)^2 + z 0, pois é soma de termos positivos (y/2 + 1 e y não podem ser ambos zero). Logo 2y^2 + y + 1 - z 0, pois quando multiplicado por um número positivo (2y^2 + y + 1 + z) dá como resultado um número positivo (y^2 - 2y). Logo 2y^2 + y + 1 - z = 1, pois é inteiro. Mas então 2y^2 + y + 1 = 2y^2 + y + 1 + z = (2y^2 + y + 1 + z)(2y^2 + y + 1 - z) = y^2 - 2y = y^2 + 3y + 1 = 0 = (-3-sqrt(5))/2 = y = (-3+sqrt(5))/2 = -2 = y = -1. Logo y = -1 ou y = -2. Substituindo na equação original, x(x+1) = 0 ou x(x+1) = 10, respectivamente. O primeiro caso dá duas soluções, (0, -1) e (-1, -1). A segunda não tem soluções. Logo a equação tem exatamente seis soluções inteiras: (-1, -1), (-1, 0), (0, -1), (0, 0), (-6, 2) e (5, 2). []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] exercícios
Fabio Dias Moreira said: Claudio Buffara said: on 14.05.04 11:53, biper at [EMAIL PROTECTED] wrote: alguém pode me ajudar nessas duas: 1)Achar todos pares ordenados (x,y), que satisfaçam a relação abaixo x^2 + x = y^4 + y^3 + y^2 + y. Supondo que estamos interessados apenas nas solucoes inteiras, eu faco a seguinte conjectura: As unicas solucoes sao (0,0), (-1,0), (0,-1), (-1,-1) e (5,2). No entanto, nao consegui provar isso. Imagino que envolva alguma fatoracao macetosa. Alguem tem alguma ideia? [...] Note que a equação equivale a x^2 + x - (y^4 + y^3 + y^2 + y) = 0. Para que x seja inteiro, é necessário e suficiente que o discriminante da equação seja um quadrado perfeito (é necessário pois x é racional, é suficiente pois x é inteiro algébrico, e todo inteiro algébrico é inteiro). [...] Desculpem, eu quis dizer todo inteiro algébrico *racional* é inteiro. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] somatório
Eduardo Henrique Leitner said:
On Sun, May 16, 2004 at 08:32:39PM -0300, Gustavo Baggio wrote:
Alguém manja de alguma fórmula pra calcular direto o somatório de n *
2^0 + (n - 1) * 2^1 + (n - 2)*2^2 + ... + 1*2^(n-1) ?
Isso nada mais é do que somatório de i variando de 0 até (n-1) de (n
- i)*(2^i).
Por exemplo para n = 4 temos 4*1 + 3*2 + 2*4 + 1*8.
Qualquer dica, enfim, tá valendo...
[...]
eis uma maneira:
n * 2^0 + (n - 1) * 2^1 + (n - 2)*2^2 + ... + 1*2^(n-1) =
= n[ 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^(n-1) ] - { 1*2^1 + 2*2^2 + 3*2^3 + ... +
(n-1)*2^(n-1) } =
partindo do suposto que vc conhece a fórmula da soma dos n primeiros
termos de uma PG:
[...]
resposta: 2^(n+1) - (n+2)
[...]
Se pudermos usar cálculo tem uma maneira mais direta:
x^0 + x^1 + x^2 + ... + x^n = [x^(n+1) - 1]/(x-1)
Derive os dois lados em relação a x:
1*x^0 + 2*x^1 + ... + n*x^(n-1) = d([x^(n+1) - 1]/[x-1])/dx
Finalmente, multiplique por x:
1*x^1 + 2*x^2 + ... + n*x^n = x * d([x^(n+1) - 1]/[x-1])/dx
O lado direito é facilmente derivado, pois é a derivada de um quociente.
De fato, não é muito difícil ver que ela vale
[n*x^(n+1)-(n+1)*x^n+1]/[x-1]^2. Substituindo x = 2,
1*2^1 + 2*2^2 + ... + n*2^n = 2 * [n*2^(n+1)-(n+1)*2^n+1]/[2-1]^2
1*2^1 + 2*2^2 + ... + n*2^n = n*2^(n+2) - (n+1)*2^(n+1) + 2.
Finalmente, voltando ao problema original,
n*2^0 + (n-1)*2^1 + ... + 1*2^(n-1) =
= n*[2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)] - (1*2^1 + 2*2^2 + ... +
(n-1)*2^(n-1)) =
= n*(2^n-1) - (n-1)*2^(n+1) + n*2^n - 2 =
= n*2^n - n - 2*n*2^n + 2^(n+1) + n*2^n - 2 =
= 2^(n+1) - (n+2).
Note que nós calculamos 1*2^1 + ... + n*2^n, mas queremos 1*2^1 + 2*2^2 +
... + (n-1)*2^(n-1), logo temos que trocar o n por n-1.
Outro problema legal nessa mesma linha é o problema 4 da OBM 2002.
[]s,
--
Fábio ctg \pi Dias Moreira
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Re: [obm-l] Geometria Analítica
Leonardo Cardoso said: [...] 2) Mostre analiticamente que o lugar geometrico cuja soma do quadrado das distâncias a dois pontos fixos é constante, é uma circunferência. [...] Se A = (1, 0) e B = (-1, 0) são os tais pontos, então um ponto pertence a este L.G. se e somente se (x-1)^2 + y^2 + (x+1)^2 + y^2 = 2a^2, onde 2a^2 é a constante. 2x^2 + 2y^2 + 2 = 2a^2 x^2 + y^2 = a^2 - 1. Logo, desde que a^2 1, este lugar geométrico é, realmente, uma circunferência (se a^2 = 1, ele é um ponto. Se a^2 1, não existem pontos que satisfaçam ao enunciado). []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercícios sobre máximos e mínimos
Marcelo Augusto Pereira said: [...] 43) Um corredor de largura a forma um ângulo reto com um segundo corredor de largura b. Uma barra longa, fina e pesada deve ser empurrada do piso do primeiro corredor para o segundo. Qual o comprimento da maior barra que pode passar a esquina? [...] Pense no corredor como se suas paredes fossem as retas (x=0,y0), (x0,y=0), (x=a,yb) e (xa,y=b). Suponha que a barra tem inclinação t 0. Ela conseguirá passar pelo corredor se, e somente se, a interseção da reta de inclinação t que passa por (a, b) com o primeiro quadrante for grande o suficiente para conter a barra (porquê?). Basta achar o menor dos comprimentos à medida que t varia entre -infinito e 0. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questao da Eureka
Ola pessoal, Para quantos valores reais de p a equação x^3 - px^2 + px - 1 = 0 tem todas as raizes reais e inteiras ? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 ou mais O produto das raízes é -1. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questao da Eureka
Esqueci de aplicar Girard. Entao as raizes serao: [...] Desculpe, eu falei besteira -- o produto das raízes é 1. O seu caso 01 não é realmente um dos casos pelo comentário acima, mas o 02 continua sendo. [...] Caso 02: x_1 = 1 x_2 = 1 x_3 = 1 [...] Atraves do caso 02 temos: x^3 - px^2 + px - 1 = 0 (1)^3 - p(1)^2 + p(1) - 1 = 0 1 - p + p - 1 = 0 (Esta equacao eh verdadeira para infinitos valores de p [inclusive complexos], mas isso eh impossivel, pois a resposta eh a alt.b) Onde estou errando ? [...] O polinômio *sempre* tem uma raiz 1. Só que o problema quer que *todas* as raízes sejam inteiras. Para que isso seja verdade, só é possível que p = 3 (pois a soma das raízes é 3). Você está verificando que P(1) = 0, mas, no caso 02, é necessário algo mais forte -- que 1 é uma raiz tripla de P. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questao da Eureka
Will said: p tem que ser a soma das raízes :-) ah, e creio eu que o produto das raízes tem que ser 1, não -1. (x-a)(x-b)(x-c) = x^3 - (a + b + c)x^2 + (ab + ac + bc)x - (abc) abc = 1 a+b+c=p [...] Na realidade, tem mais uma equação nessa história, ab+bc+ca = p, mas ela é redundante: como abc = 1, ab=1/c, logo 1/c + 1/a + 1/b = p. Mas 1 e -1 são os próprios inversos, logo ab + bc + ca = p = a + b + c = p. Mas como este é um problema de primeira fase, eu acho mais fácil substituir o p no polinômio original e fatorar para ter certeza de que as raízes são mesmo as que você espera que sejam. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Números triangulares
Alan Pellejero said: Olá amigos, tenho um sobre números triangulares: Prove que o quadrado de qualquer número ímpar múltiplo de três é a diferença entre dois números triangulares. Minha idéia foi usar indução, mas parecia redundante...aliás, no caso da indução, como se deve proceder para não cair em redundância? Muito [...] T_(n+1) - T(n) = n. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] potencias
Fabiano Cardoso said: --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ah ta, agora peguei a ideia...O que ce quer e que, em iteraçoes sucessivas de subtrair, apareça algum fatorial no final.Mas 4! nao e 60... [...] me desculpe se tenho dificuldades para formular o problema mas e que eu estou conjecturando, o seguinte: para potencia de 4, voce deveria iterar 4 vezes. Isso nao e por acaso se voce listar mais que 6 potencias de 4 vera que o 24 vai repetir na 4 iteracao para 4 primeiras 0 1 1 16 1514 81 655036 256175 110 60 24 625369 194 84 24 [...] Vou provar esse resultado por indução. Obviamente, isso é verdade para 0-ésimas e 1-ésimas potências. Suponha que o resultado vale para k-ésimas potências, k = 0, 1, ..., p. Note que se a_n é uma sequência de inteiros e D(a_n) = a_(n+1) - a_n, então D(a_n + b_n) = D(a_n) + D(b_n) e D(C*a_n) = C*D(a_n). Eu vou representar D(D(D(...(D(a_n))...))), onde há p D's como D^p(a_n). Queremos provar que D^(p+1)(n^(p+1)) = p!. Mas D^(p+1)(n^(p+1)) = D^p((n+1)^(p+1)-n^(p+1)) = D^p(C(p+1;1)*n^p + C(p+1;2)*n^(p-1) + ... + C(p+1;p+1)*n^0) = C(p+1;1)*D^p(n^p) + C(p+1;2)*D^p(n^(p-1)) + ... + C(p+1;p+1)*D^p(n^0). Mas se a b, D^a(n^b) = 0: pela hipótese de indução, D^b(n^b) = b!, logo D^(b+1)(n^b) = D(D^b(n^b)) = D(b!). Mas b! é uma seqüencia constante, logo D(b!) = b! - b! = 0. Como, obviamente, D^k(0) = 0, segue que D^a(n^b) = 0. Portanto, só o primeiro termo da série é não-nulo, logo D^(p+1)(n^(p+1)) = C(p+1;1)*D^p(n^p) = (por hipótese de indução) (p+1)*p! = (p+1)!. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema da raiz
Junior said: Problema: Minha idade é a raiz quadrada da raíz quadrada de 14 mais minha idade. desenvolvendo achei: x^4 - x - 14 = 0 encontrando as raízes por briot-rufini, achei 2. Será que minha equaçao esta certa? [...] Sim, mas o x não é o que você espera que ele seja -- o x é a raiz quarta da idade do indivíduo. Logo a idade é, na realidade, x^4 = 16. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema da raiz
Fabio Henrique said: Como assim, 16? Não concordo. Desta forma, a minha idade fica raiz quarta de 30. [...] Desculpe, você está certo -- eu li o enunciado como x = sqrt(sqrt(x)) + 14. A idade é mesmo igual a dois (outras interpretações levam a respostas irracionais, o que me leva a crer que seja improvável que a intenção do autor seja x = sqrt(sqrt(14)+x)). []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l]
biper said: Será que alguém poderia me ajudar nesse problema das olimpíadas Canadenses: Determine todas as soluções reais e positivas(se é que há alguma) do sistema: x^3 + y^3 + z^3 = x + y + z x^2 + y^2 + z^2 = xyz [...] Reescreva o sistema em função das variáveis u, v e w, onde u = x + y + z v = xy + yz + zx w = xyz Se você não souber escrever x^3 + y^3 + z^3 em função de u, v e w, procure os emails do Cláudio e do Nicolau onde eles fatoram x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração ( IMO )
Fabio Contreiras said: Valeu rafael, po então foi lorota do cara que me passou isso :) abraços! [...] Eu acho que você quer o seguinte problema: (IMO-84) Encontre todos os inteiros a, b tais que ab(a+b) não é múltiplo de 7 mas (a+b)^7 - (a^7 + b^7) é divisível por 7^7. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Xadrez
Welma Pereira said: Ok muito legal sua idéia Fábio, mas onde vao estar localizadas as probabilidades dos 4 cantos e das casas centrais nesta matriz 10X10 que vc sugeriu? [...] Você vai definir uma matriz P, 10x10, de tal forma que P_ij seja a probabilidade de ir de uma casa com o número j escrito para uma casa onde o número i esteja escrito. Encontre os autovetores dessa matriz -- só um deles terá autovalor associado um, e é essa a sua solução. A probabilidade do rei estar em uma casa com o número i é a i-ésima coordenada desse autovetor. Pelas minhas contas, se A = 3/420, B = 5/420, C = 8/420, então a distribuição de probabilidades no tabuleiro é a seguinte: ABBA BCCB BCCB BCCB BCCB BCCB BCCB ABBA Lembre-se que a i-ésima coordenada diz a probabilidade do rei estar em uma casa com o número i, logo ela tem que ser dividida pelo número de casas identificadas com o número i se você quer saber a probabilidade de cada casa individual. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Xadrez
Claudio Buffara said: on 07.05.04 19:16, Welma Pereira at [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém poderia me ajudar com um problema sobre xadrez envolvendo cadeia de Markov? O problema é o seguinte Um rei se mexe em um tabuleiro de xadrez escolhendo com a mesma probabilidade um dos lances possiveis.Qual a probabilidade que após um número grande de lances o rei se encontre em uma das 4 casas centrais(d4,e4,d5,e5)? e Qual a probabilidade que se encontre em um dos 4 cantos(a1,h1,a8,h8)? Forme a matriz de transicao P desse sistema (uma matriz 64x64), calcule P^n e veja o que acontece quando n - infinito. Por exemplo, numere os quadrados do tabuleiro da seguinte forma: 01 02 03 ... 07 08 09 10 11 ... 15 16 .. .. .. ... .. .. 57 58 59 ... 63 64 Em seguida, calcule p(i,j) = probabilidade do rei ir do quadrado i ao quadrado j. Por exemplo: p(k,k) = 0, para todo k; p(1,2) = 1/3; p(3,10) = 1/5; p(10,11) = 1/8; p(10,12) = 0. Eh meio sacal de fazer no braco, mas com um computador eh bem facil preencher a matriz P e calcular P^n para n grande. [...] Na realidade, dá para fazer algo mais esperto: o tabuleiro de xadrez possui dois eixos de simetria e um centro de simetria, logo conjuntos de 4 (ou até de 8) casas têm associações naturais, logo só é necessária uma matriz 10x10: 01233210 14566541 25788752 36899863 36899863 25788752 14566541 01233210 Além disso, se lim A^n quando n-inf vale B, então AB = B, logo B é uma matriz cujas colunas são todas autovetores de A, logo é possível obter uma resposta exata para o valor dessas probabilidades. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] COLEGIO NAVAL
leandro-epcar said: COLÉGIO NAVAL (1987) A equação do segundo grau X^2-2X+M=0,m0,tem raízes X' e X ,se X'^(N-2)+X^(N-2)=A e X'^(N-1)+X^(N-1) =B,então X'+X é: (A) 2A+MB (B) 2B-MA (C) MA+2B (D) MA-2B (E) M(A-2B) [...] Eu suponho que você quer X'^N + X^N? Caso contrário, é fácil ver que não há solução. Neste caso, se X e Y são as raízes (para simplificar a notação), temos que (x+y)(x^(n-1)+y^(n-1)) = x^n + y^n + xy(x^(n-2)+y^(n-2)), mas a gente sabe quanto valem x+y e xy. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] OUTRA DVIDA
On 12/13/03 17:31:20, Ariel de Silvio wrote: da formula tgx=|(mr-ms)/(1+mr*ms)| sendo mr = coeficiente angular de r ms = coeficiente angular de s tgx = angulo formado entre as duas retas tgx=|5/-5| tgx=1 [...] O coeficiente angular das duas retas é -2 e 3, não? O coeficiente angular é igual a -a quando a reta está sobre a forma ax + y + b = 0. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira GPG key ID: 6A539016BBF3190A (available at wwwkeys.pgp.net) pgp0.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] Permutaçoes com pilhas.
On 12/02/03 19:17:46, niski wrote: Em uma aula de computação me deparei com o seguinte problema : Suponha que os inteiros 1, 2, 3 e 4 são lidos nesta ordem. Considerando todas as possíveis seqüências de operações de empilhar e desempilhar, decida quais da 4! (=24) permutações de 1,2,3,4 podem ser obtidas na saída de uma pilha. Por exemplo, a permutação 2,3,1,4 pode ser obtida da seguinte forma: empilha 1, empilha 2, desempilha 2, empilha 3, desempilha 3, desempilha 1, empilha 4, desempilha 4. Fiz na força bruta. Me parece que são 10 permutacoes possiveis. Pergunto mais genericamente agora...se eu tivesse os inteiros 1,2...n lidos nesta ordem, QUANTAS das n! permutacoes de 1,2,3...n podem ser obtidas na saida de uma pilha ? [...] Uma resposta final está definida unicamente por uma seqüência de 2n caracteres, n E e n D, que equivalem às operações Empilhar e Desempilhar. É obvio, a pilha secundária nunca pode ser desempilhada quando está vazia, logo temos que remover estas possibilidades. Represente graficamente o processo -- em um instante qualquer, após i operações, plote o ponto (i, e-d), onde e é o número de Es que já foram executados e d o número de Ds. Termine conectando pontos adjacentes. Queremos saber o número de gráficos que tem todas as coordenadas y positivas, i.e. que não tocam a reta (x, -1). Este problema é um problema clássico de combinatória, e sua resposta vale 1/n C(2n;n-1). Vale a pena tentar demosntrar isso sozinho. Você tem certeza de que são só 10? 1. EDEDEDED 2. EDEDEEDD 3. EDEEDEDD 4. EDEEDDED 5. EDEEEDDD 6. EEDEDEDD 7. EEDEDDED 8. EEDEEDDD 9. EEDDEDED 10. EEDDEEDD 11. EEEDEDDD 12. EEEDDEDD 13. EEEDDDED 14. Eu conto 14, que é justamente o que a resposta prevê. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira GPG key ID: 6A539016BBF3190A (available at wwwkeys.pgp.net) pgp0.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] alg-lin
On 12/01/03 13:12:42, Guilherme Carlos Moreira e Silva wrote: Obrigado pela resposta. Foi muito esclarecedora. Eu perguntei isto porque, numa prova que fiz, havia a seguinte questão: Sejam T e S duas transformações lineares tais que TS = ST. Prove que T e S tem pelo menos um autovalor em comum. Na verdade haviam dois itens, mas o primeiro não influencia o segundo. Veja se estou certo ou errado. Se não posso garantir que T ou S tem autovalor, como vou tentar provar que, além disto, elas têm autovalor em comum? [...] Toda transformação linear tem autovalores -- eles são as raízes de det(A - xI) = 0; só que eles não são necessariamente reais. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira GPG key ID: 6A539016BBF3190A (available at wwwkeys.pgp.net) pgp0.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] alg-lin
On 12/01/03 21:42:42, Henrique Patrício Sant'Anna Branco wrote:
Toda transformação linear do espaço em si mesmo L:E--E tem sempre
dois
subespaços invariantes: o espaço trivial só com o vetor zero e o
espaço
todo. É verdade, também, que toda transformação deste tipo possui
um
supespeço invariante de dimensão 1 ou 2, se o corpo em questão é os
reais;
e
1 se o corpo são os complexos.
Não seriam também Ker(L) e Im(L) dois exemplos de subespaços
invariantes?
[...]
L(Ker(L)) = {0}, por definição de Ker(L).
Tome L: R^2 - R^2; (x, y) |- (y, 0). Então Im(L) = {(a, 0), a real},
mas L(Im(L)) = {(0, 0)}, já que Im(L) == Ker(L).
[]s,
--
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Re: [obm-l] RE:Re: [obm-l] Radiciação em Complexos
On 11/30/03 12:33:57, Raniere Luna Silva wrote:
Caro Fábio, obrigado por sua atenção em responder a minha dúvida. O
item b, tudo bem, este eu entendi direitinho, mas no item a,
desculpe-me se eu estiver errado, vc considerou a, b E Z(a e b
pertencentes aos inteiros), o que foi bastante útil, pois resolveu a
questão. O caso é: vc fez isso tipo considerando uma hipótese?
Poderei fazer o mesmo em questões semelhantes? Há uma outra saída
para esta questão?
[...]
Sim, eu supus que a e b eram inteiros -- em quase todas as questões
deste tipo que você encontra por aí, as raízes pedidas pertencem a Z[i]
= {a + bi | a, b inteiros}, logo este método deve funcionar na maioria
dos casos.
Você poderia, alternativamente, isolar b na primeira equação (existem
dois possíveis valores, já que em b a equação é de segundo grau),
substituir na segunda equação e cair em uma equação polinomial em a.
Ache todas as raízes, encontre os b's coresondentes (note que a e b são
sempre reais) e o problema estará resolvido.
Na vida real, se for necessário extrair a raiz de um complexo, é mais
fácil usar uma calculadora.
[]s,
--
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Re: [obm-l] Radiciação em Complexos
On 11/29/03 12:24:34, Raniere Luna Silva wrote: Por gentileza, se alguem puder me ajudar ficarei grato. Tenho o seguinte problema: ... Calcule: a) raiz_cúbica( -11 - 2i) [...] (a + bi)^2 = -11-2i (a^3 - 3ab^2) + i(3a^2b - b^3) = -11-2i Logo a(a^2 - 3b^2) = -11 b(3a^2 - b^2) = -2 Note que inverter o sinal de a ou de b só afeta o sinal de uma equação; logo basta resolver o sistema em módulo. Olhando para a primeira equação, e usando o fato de que 11 é primo, |a| só pode valer 1 ou 11. Se |a| = 11, |a^2 - 3b^2| = 1, que é impossível. Logo |a| = 1 e |3b^2 - 1| = 11 = |b| = 2. Não é muito difícil concluir que a = 1, b = 2. Logo (1+2i)^3 = -11-2i; as outras raízes cúbicas podem ser encontradas muliplicando por cis 120. [...] b) raiz_quarta(28 - 96i) [...] Tire duas raízes quadradas em sucessão. sqrt(28 - 96i) = 2*sqrt(7 - 24i). (a+bi)^2 = 7 - 24i (a^2 - b^2) + 2abi = 7 - 24i a^2 - b^2 = 7 ab = -12 Existem duas soluções (a, b) = (-4, 3) ou (a, b) = (4, -3). Podemos tomar qualquer uma delas (por exemplo, 4 - 3i). sqrt(2 * (4 - 3i)) = sqrt(8 - 6i) a^2 - b^2 = 8 ab = -3 Tome uma solução qualquer (por exemplo, (a, b) = (3, -1)). Então (3-i)^4 = 28 - 96i. Gere as outras raízes quadradas multiplicando por cis 90 = i. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira GPG key ID: 6A539016BBF3190A (available at wwwkeys.pgp.net) pgp0.pgp Description: PGP signature
[obm-l] Curso de Geometria Projetiva no IMPA
Oi pessoal, O professor Luciano Castro pediu que eu avisasse que ele iniciará um curso de Geometria Projetiva nas suas aulas de treinamento para olimpíadas, e convida todos os cariocas interessados a comparecerem. A primeira aula ocorrerá na próxima segunda-feira, primeiro de dezembro, às duas horas da tarde, no Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA). As outras aulas ocorrerão em segundas-feiras alternadas, no mesmo horário e local. Para aqueles que não sabem como chegar ao IMPA, visitem http://www.impa.br/AboutImpa/localizacao.html . []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira GPG key ID: 6A539016BBF3190A (available at wwwkeys.pgp.net) pgp0.pgp Description: PGP signature
[obm-l] Curso de Geometria Projetiva no IMPA
Oi pessoal, O professor Luciano Castro pediu que eu avisasse que ele iniciará um curso de Geometria Projetiva nas suas aulas de treinamento para olimpíadas, e convida todos os cariocas interessados a comparecerem. A primeira aula ocorrerá na próxima segunda-feira, primeiro de dezembro, às duas horas da tarde, no Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA). As outras aulas ocorrerão em segundas-feiras alternadas, no mesmo horário e local. Para aqueles que não sabem como chegar ao IMPA, visitem http://www.impa.br/AboutImpa/localizacao.html . []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira GPG key ID: 6A539016BBF3190A (available at wwwkeys.pgp.net) pgp0.pgp Description: PGP signature
[obm-l] Curso de Geometria Projetiva no IMPA
Oi pessoal, O professor Luciano Castro pediu que eu avisasse que ele iniciará um curso de Geometria Projetiva nas suas aulas de treinamento para olimpíadas, e convida todos os cariocas interessados a comparecerem. A primeira aula ocorrerá na próxima segunda-feira, primeiro de dezembro, às duas horas da tarde, no Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA). As outras aulas ocorrerão em segundas-feiras alternadas, no mesmo horário e local. Para aqueles que não sabem como chegar ao IMPA, visitem http://www.impa.br/AboutImpa/localizacao.html . []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira GPG key ID: 6A539016BBF3190A (available at wwwkeys.pgp.net) pgp0.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] Sistema Linear
On 11/19/03 09:28:53, Anderson Sales Pereira wrote: [...] Resolvendo o item b: Xm.Ym.Zm=32 (-m-1)(m+3)(-2m-2)=32 (-m^2-3m-m-3)(-2m-2)=32 (-m^2-4m-3)(-2m-2)=32 2m^3+10m^2+14m-26=0 Travei aqui.A apostila nao traz a solucao. Acho que teria que atribuir alguma outra variavel a m^3 mas nao consegui. Agradeco qualquer ajuda. [...] 1 é raiz. Divida por 2 e faça Briot-Ruffini. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira GPG key ID: 6A539016BBF3190A (available at wwwkeys.pgp.net) pgp0.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] O problema do camelo
On 11/17/03 12:00:58, Nicolau C. Saldanha wrote: [...] Fiz as contas e não resisto. Se eu não errei nada, o camelo precisa de aproximadamente 4.854 * 10^11 litros. Mais exatamente, 485367037627.9977897968 litros. Isto é um pouco menos do que os 592731741234 encontrados na mensagem anterior (mas a ordem de grandeza estava certa). É completamente irreal imaginar que o camelo ainda vai estar vivo no final, claro. Aliás, que quantidade de água é esta (comparando com o volume de algum rio, por exemplo)? [...] Não é muita coisa. O reservatório de Itaipu tem 27 * 10^9 m^3 = 27 * 10^12 L. http://www.pbs.org/wgbh/buildingbig/wonder/structure/itaipu.html []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira GPG key ID: 6A539016BBF3190A (available at wwwkeys.pgp.net) pgp0.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] EM - mais uma equacao irracional
On 11/16/03 15:48:55, Ariel de Silvio wrote: 1 tb eh raiz isso eh possivel ver, so observando... mas ate ai... como provo isso matematicamente?? [...] Você não caiu num polinômio do terceiro grau (mais precisamente, x^3 - 13x^2 + 32x - 20 = 0)? Faça Briot-Ruffini com x-2, x-1 e ache a última raiz (que é 10). Depois, basta conferir (todas são raízes). []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira GPG key ID: 6A539016BBF3190A (available at wwwkeys.pgp.net) pgp0.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] O problema do camelo
On 11/16/03 22:13:16, Eduardo Casagrande Stabel wrote: Oi Fábio! Sim, a idéia é espalhar reservatórios, não há nenhuma restrição quanto a colocar mais reservatórios. Vou ser mais preciso quanto aos detalhes. Seja n um número natural qualquer, n 1000. Vamos dividir o caminho em exatamente n pedaços de comprimento 1000 / n = eps cada um. Note que eps 1. Suponha que ele parte da posição x = zero e quer chegar em x = 1000. Ele começa com eps de água. No reservatório em x = eps, há eps de água. No reservatório em x = 2eps, há eps de água. ... No reservatório em x = (n-2)eps = 1000 - 2eps, há eps de água. Dessa forma ele se desloca até o ponto x = 1000 - eps tendo consumido exatamente 1000 - eps de água. Colocamos, então, muitos litros (já calcularei quantos) de água no reservatório em x = (n-1)eps. O camelo vai até o final, em x = 1000, e lá chega com 100 - eps, de água. Ele despeja, 100 - 2eps de água e permanece com eps. Então ele volta até a posição x = 1000 - eps e se reabastece de 100 litros, indo até o final, e voltando a este ponto e assim sucessivamente. Depois de dez indas e vindas, ele está na posição x = 1000 - eps, tendo levado exatamente 1000 - 20eps para o final. Ele se abastece então de mais 21eps 21 , e chega ao final, completando sua tarefa. Nos postos x = 0 , eps, 2pes, ..., (n-2)eps tínhamos eps de água em cada. No posto x = (n-1)eps tínhamos 100 * 10 + 21.eps de água. O total é (n-1)*eps + 1000 + 21*eps = 2000 + 20*eps = 2000 + 2/n. [...] Tá, eu entendo o seu raciocínio, mas eu interpretei o enunciado de maneira diferente da sua: estes reservatórios não vêm de graça e você não pode posicioná-los arbitrariamente ao início do processo; o deserto está inicialmente vazio e o camelo deve fazer excursões a partir de seu oásis-base para montar estes reservatórios no meio do deserto. Estabelecer reservatórios custa água. Óbvio, posso ter entendido o enunciado errado. Caso o tenha feito, a sua solução está perfeita. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira GPG key ID: 6A539016BBF3190A (available at wwwkeys.pgp.net) pgp0.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] Divisores de n
On 11/14/03 19:54:44, luiz frança wrote: eu provei q n?o existe nenhum n q satisfaz estas condi??es, mas ficou extremamente trabalhoso e por isso n?o vou colocar aqui. ? possivel q exista algum erro na minha demostra??o, at? pq eu n?o me dei ao trabalho de conferir todas as passagens, mas a ideia foi a seguinte: [...] Os divisores de 60 são 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... Por isso, 60 + 1 = 5*5 + 6*6. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira GPG key ID: 6A539016BBF3190A (available at wwwkeys.pgp.net) pgp0.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] PG
On 10/20/03 20:49:19, David Ricardo wrote: A seqüência de números reais positivos dada por (x-2, sqrt(x^2 + 11), 2x, 2, ... ) é uma progressão geométrica. Qual é o sétimo termo dessa progressão? Seja x-2 = a, sqrt(x^2 + 11) = aq. Então 2x = aq^2. Logo 2x(x-2) = a^2q^2 = (aq)^2 = x^2 + 11 = 2x^2 - 4x = x^2 + 11 = x^2 - 4x - 11 = 0, cujas raízes são 2 + sqrt(15) e 2 - sqrt(15) (não serve, pois x-2 deve ser positivo). Mas x também não pode ser 2 + sqrt(15), porque (3.87, 6.74, 11.75, 2) obviamente não é uma PG. Logo não há resposta. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira GPG key ID: 6A539016BBF3190A (available at wwwkeys.pgp.net) pgp0.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] Sistema (IME)
On 10/21/03 18:37:37, leonardo mattos wrote: x+y+z=a+b+1 xy+(x+y)z=a+b+ab xy=ab Determine os valores de a e b para q o sistema admita apenas solucoes reais e positivas para x e y. [...] Substituindo xy = ab em xy + (x+y)z = a+b+ab, z = a+b = z = (a+b)/(x +y). Seja c = a+b, w = x+y. Então z = c/w, x+y+z = a+b+1 w + c/w = c+1 w^2 - (c+1)w + c = 0 w = c+1 +- sqrt(c^2 + 2c + 1 - 4c) w = c+1 +- |c-1|. Agora, é necessário que u^2 - wu + ab = 0 (os dois possíveis valores de u são os valores de x e y) só admita soluções reais e positivas, independente do valor de w. É necessário, portanto, que w^2 - 4ab = 0. c^2 + 2c + 1 +- 2|c^2 - 1| + c^2 - 2c + 1 - 4ab = 0 c^2 + 1 +- |c^2 - 1| - 2ab = 0 a^2 + 2ab + b^2 +- |c^2 - 1| - 2ab = 0 a^2 + b^2 +- |c^2 - 1| = 0 Além disso, u = (w +- sqrt(a^2 + b^2 +- |c^2 - 1|))/2 deve ser maior que zero. Logo w - sqrt(a^2 + b^2 +- |c^2 - 1|) 0 = 0 = a^2 + b^2 +- |c^2 - 1| w^2. Como o que está dentro da desigualdade é w^2 - 4ab, basta resolver o sistema 0 = a^2 + b^2 +- |c^2 - 1| -4ab 0 = ab 0, logo a e b têm mesmo sinal. A primeira desigualdade equivale às duas desigualdades a^2 + b^2 + |c^2 - 1| = 0 a^2 + b^2 - |c^2 - 1| = 0 mas independente do sinal de |c^2 - 1|, as duas desigualdades equivalem a a^2 + b^2 + c^2 = 1 (i) a^2 + b^2 + 1 = c^2 (ii) (i) 2a^2 + 2ab + 2b^2 = 1. Se a = b = 0, a desigualdade é obviamente falsa. Seja q = a/b ou b/a, o que for apropriado para que não haja divisão por zero. A equação se torna 2q^2 + 2q + 1 = 0, sempre verdadeira. (ii) 1 = 2ab = ab = 1/2. Combinando tudo, é necessário e suficiente que 0 ab = 1/2. Alguém tem uma idéia para uma solução menos trabalhosa? []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira GPG key ID: 6A539016BBF3190A (available at wwwkeys.pgp.net) pgp0.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] prova de uma afirmação
On Mon, Feb 03, 2003 at 12:07:49AM -0200, Jose Francisco Guimaraes Costa wrote: VV hão de concordar comigo que isto é um contra-senso total. Em outras palavras, está sendo dito que o valor de uma função contínua vai de - digamos - 1 para 2 sem passar por 1,5. Bota patológica nisso! [...] Não é isso que está sendo discutido -- o que você diz é verdadeiro pelo Teorema do Valor Intermediário -- mas, isso sim, que entre 1 e 2 a função pode seguir um caminho arbitrariamente maluco. O problema é achar uma função mal comportada o suficiente tal que não haja intervalos dentro de seu domínio onde a função é estritamente crescente ou provar que não existe tal função. (En passant: A função de Cantor não seria um contra-exemplo bem simples? A união dos intervalos removidos do conjunto de Cantor é densa em [0, 1], logo a restrição da função a um intervalo sempre tem um subintervalo constante.) []s, -- Fábio Dias Moreira ([EMAIL PROTECTED]) GPG fingerprint: 72F8 289F 1118 D225 700E 28D9 6A53 9016 BBF3 190A msg10419/pgp0.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] Variaveis aleatorias
On Mon, Jan 13, 2003 at 11:38:29PM -0200, [EMAIL PROTECTED] wrote: [...] (porque do jeito que estou fazendo está errado pois a funcao de distribuicao pode dar maior do que 1, o que está não está certo). [...] Está certo sim. O que não pode acontecer é que a INTEGRAL de -infinito a +infinito dê diferente de um. Pense numa distribuição uniforme entre 0 e 1/2 -- qual a função de distribuição dela? []s, -- Fábio Dias Moreira ([EMAIL PROTECTED]) GPG fingerprint: 72F8 289F 1118 D225 700E 28D9 6A53 9016 BBF3 190A msg09970/pgp0.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] SENOIDAL
On Fri, Dec 13, 2002 at 12:42:08AM -0300, pichurin wrote: resolva a equação 3sen^2(x) -2sqrt(3)sen(x)cos(x) -3cos^2(x)=0 [...] Pense nas expansões de sen(2x) e cos(2x) pelas fórmulas de adição. []s, -- Fábio Dias Moreira ([EMAIL PROTECTED]) GPG fingerprint: 72F8 289F 1118 D225 700E 28D9 6A53 9016 BBF3 190A msg09443/pgp0.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] ajuda
On Wed, Nov 27, 2002 at 09:27:23AM -0200, Augusto César Morgado wrote: [...] Uma soluçao sem derivada seria: Achando a interseçao da reta com a curva,obtemos a equaçao x^3 - x = 2x + n x^3 -3x - n = 0 Esta equaçao deve ter raiz dupla. [...] Não é necessário, antes, garantir que qualquer tangente à curva (y = x^3 - x) a intersecta em no máximo um ponto (ou algum resultado do gênero)? Estamos descartando as tangentes que cortam a curva em dois ou mais pontos. []s, -- Fábio Dias Moreira ([EMAIL PROTECTED]) GPG fingerprint: 72F8 289F 1118 D225 700E 28D9 6A53 9016 BBF3 190A msg09292/pgp0.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] IME 2003
On Sun, Nov 10, 2002 at 09:47:13AM -0300, Wander Junior wrote: Esta quest?o ? da prova do IME que foi realizada nesta semana que passou. Algu?m poderia me dar uma ajuda. [...] (p+q)^3 = p^3 + q^3 + 3pq(p+q) Chame (p+q) de x e resolva. [...] Qual a melhor forma de resolver exerc?cios em que se tem que demonstrar ou provar as coisas, tipo essas quest?es do IME ? [...] Não existe. Se existisse, as olimpíadas de matemática seriam triviais =) []s, -- Fábio Dias Moreira ([EMAIL PROTECTED]) GPG fingerprint: 72F8 289F 1118 D225 700E 28D9 6A53 9016 BBF3 190A msg08933/pgp0.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] IMO
On Wed, Aug 07, 2002 at 03:44:34AM +, Fernanda Medeiros wrote: Ol? pessoal, ser? q algu?m pode me dar uma ajuda nessa quest?o?! Valeu! F? (IMO) Considere um inteiro positivo r e um retangulo de dimens?es |AB|=20 , |BC|=12.O retangulo ? dividido em uma grade de 20x12 quadrados unit?rios.Uma moeda pode ser movida de um quadrado a outro = a distancia entre os centros dos uqadrados ? sqrt(r). A tarefa ? encontrar uma sequencia de movimentos q levem uma moeda do quadrado q tem A com v?rtice ao quadrado q tem B como v?rtice. a)Mostre q a tarefa n?o pode ser feita se r ? divisivel por 3 ou por 2. b)Prove q a tarefa pode ser feitase r=73 c)Pode a tarefa ser feita qnd r=97? (Esse problema caiu numa IMO? Quem já jogou variantes mais exóticas de xadrez[1] teve uma boa ajuda nesse problema.) a) Note que r deve ser da forma a*a+b*b para a e b inteiros. Se r é divisível por 3, como devem ser a e b? Para o caso de 2|r, pense da mesma forma e olhe para o retângulo como um tabuleiro de xadrez. b) Resolva a equação a*a+b*b=73 para achar os possíveis movimentos da moeda. c) Idem. Referências: [1] http://www.chessvariants.com/ []s, -- Fábio Dias Moreira ([EMAIL PROTECTED]) GPG fingerprint: 72F8 289F 1118 D225 700E 28D9 6A53 9016 BBF3 190A msg07727/pgp0.pgp Description: PGP signature
Re: [obm-l] Maple, grupo de noticias e geometria espacial
On Mon, Jul 22, 2002 at 01:58:21PM -0300, Eric Campos Bastos Guedes wrote: [...] Tambem gostaria de ter acesso aos Newsgroups de Matematica (grupos de noticias), mas nao sei onde encontra-los. Ate' achei um tal de sci.math, mas nao consegui ter acesso as mensagens. [...] Você pode acessar um *monte* de newsgroups pelos Grupos Google: http://groups.google.com(.br). []s, -- Fábio Dias Moreira ([EMAIL PROTECTED]) GPG fingerprint: 72F8 289F 1118 D225 700E 28D9 6A53 9016 BBF3 190A msg07596/pgp0.pgp Description: PGP signature
