[obm-l] RE: [obm-l] Probabilidade da união
= Teorema 2: Se A, B e C são três eventos quaisquer, então P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A inter B) P(A inter C) P(B inter C) + P(A inter B inter C). = Podemos partir utilizando o Princípio da Inclusão-Exclusão (P.I.E.) para 3 conjuntos. #(A U B U C) = + #A + #B + #C - #(A U B) - #(A U C) - #(B U C) + #(A inter B inter C) Obs1: Notação: #X significa nº de elementos do conjunto X. Obs2: Pesquise a generalização do P.I.E. em algum site ou livro. Voltando... agora basta pegar aquela equação e dividi-la pela cardinalidade do espaço amostral. Assim, teremos: P(A U B U C) = + P(A) + P(B) + P(C) - P(A U B) - P(A U C) - P(B U C) + P(A inter B inter C) Abraços, FC. == _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Duvidas
Prezados , boa noite. Peço ajuda para os seguintes problemas de análise combinatória. (...) 3)Calcular a expressão que define o número de permutações de n letras nas quais uma, pelo menos,ocupa sua posição inicial. (...) Desde já agradeço a ajuda de vocês. Um abraço. Bruno No problema 3 podemos usar a PERMUTAÇÃO DESORDENADA (ou Caótica). Permutação Desordenada é aquela em que nenhum de seus elementos está em seu lugar primitivo. Por exemplo: -- 3142 é uma P.D. de 1234 -- 3241 não é uma P.D. de 1234 (o 2 está em seu lugar primitivo) O n° de PD's de uma sequencia de n elementos é dada por: Dn = n! . [ 1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + [(-1)^n]/n! ] De posse disso, podemos resolver o problema 3 da seguinte forma: N° de permutações em q pelo menos 1 el. está em sua posição primitiva = Pn - Dn Onde, claro, Pn é o n° total de permutações da sequencia. Abs, FC. == _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] DÚVIDAS INGÊNUAS!
Como posso achar o produto de 7583*999 sem fazer a multiplicação === --- eu pensei em fazer 7583*(1000-1) e aplicar a distributiva. mas não pode fazer multiplicação... 1ª dúvida: vale colocar 3 zerinhos à direita em vez de multiplicar por mil? 2ª dúvida: posso multiplicar 7583 por 1? ou isso tb é considerado uma multiplicação? Por que chamamos eixo dos x ao eixo horizontal e dos y ao eixo vertical? Engraçado... hj mesmo estava dando aula pro 1° ano do E.M. e propus o seguinte exercício: Nas sentença: - x + 2.y - 3 = 0 , identifique: --- a variável independente; --- a variável dependente; --- o coeficiente angular; --- o coeficiente linear. Obviamente, todos os alunos colocaram q a variável independente era x. Taí uma boa hora pra querbrar esse tipo de paradigma tendencioso. E se a sentença fosse: - z + 2.w - 3 = 0 ?? Então é bom deixar claro para o nosso aluno q há paradigmas a serem quebrados. A variável y também poderia ser adotada como a variável independente. E isso enceja no caso em q o eixo horizontal seria a reta dos valores de y. Além do mais (já fora desse exemplo), podemos ter um sistema NÃO-ORTOGONAL de coordenadas cartesianas. E aí, se tiver eixo deitado, não haveria eixo em pé. Bem... isso tudo deve ser considerado dependendo do estáigo de aprendizado do nosso aluno. Aprendizado não é uma seqüência linear de conhecimentos adquiridos. Muitas vezes precisamos passar por cima de conceitos formais afim de desenvolver uma melhor compreensão de certos asuntos. Tão logo possível, podemos retomar esse conceito formal para reaprender corretamente aquele assunto. Esse assunto dá muito pano pra manga. O importante é que devemos ser vigilantes em nossas práticas de ensino. Abraços, FC. _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Teorema do confronto
Gostaria de saber se alguém conhece um site ou pode me demonstrar o teorema do confronto de uma maneira detalhada. Bom, primeiramente, vamos enunciá-lo: -- Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche): Uma função comprimida entre duas funções que tendem ao mesmo limite L, deve tb tender a L. Ou seja: Se existir um n° positivo p com a propriedade de que: g(x) = f(x) = h(x) para todo x que satisfaça as desigualdades: 0 |x-a| p e se lim[x--a] g(x) = L e lim[x--a] h(x) = L então: lim[x--a] f(x) = L = Prova: Seja dado E0 (epslon0), escolha números positivos d1 e d2 (delta1 e delta 2) de modo que: 0|x-a|d1 implica em L - E g(x) L + E e 0|x-a|d2 implica em L - E h(x) L + E Defina d (delta) como o menor dos números p, d1 e d2. Então: 0|x-a|d implica em L - E g(x) = f(x) = h(x) L + E Logo |f(x) - L| E.C.Q.D. e c'est fini. Abs, FC. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Limite de F e elipse
1)Determine K0 para que exita o limite de f(x), quando x tende a zero, sendo f(x)= [(x+1)^1/4 - 1]/x, x=0 2x + k^2, x0 (f(x) é definida pelas duas sentenças acima) Para que haja limite da função em um ponto, devemos ter: lim[x--0-] f(x) = lim[x--0+] f(x) Ou seja, o limite à esquerda tem q ser igual ao limite à direita do tal ponto lim[x--0-] f(x) = 0 / 0 (indeterminado) Aplicando L'Hospital, temos: lim[x--0-] f(x) = 1/4 (Faça as contas. A notação aqui fica muito ruim) lim[x--0+] f(x) = 2.0 + k² = k² Logo: k² = 1/4 k = -1/2 ou k = 1/2 Como queremos k0, k = 1/2. Abs, FC. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Calculo
Assunto: [obm-l] Calculo Olá para todos. O que se estuda depois de calculo diferencial e integral?Bem eu ja estudei os dois livros do leithold e agora eu quero continuar os estudos nessa area, mas eu tava dando uma olhada em algunss livros de calculo avançado, e a ementa parece ser a mesma. Alguem poderia me dar uma luz e sugerir umas bibliografias. Desde ja agradeço From: claudio\.buffara [EMAIL PROTECTED] Subject: Re:[obm-l] Calculo Analise Matematica, que eh o embasamento teorico do calculo, ou seja, com demonstracoes rigorosas de todos os teoremas. Eu sugiro comecar com os livros do Elon Lages Lima, que sao otimos e baratos. Analise Real, vols. 1 e 2 e Curso da Analise - vols. 1 e 2. Todos publicados pelo Impa. []s, Claudio. === Eu sugeriria o livro de Análise Real, do Prof. Cassio Neri, da UFRJ. Tem quem o considere bobo. Acho isso uma tremenda injustiça. Mas é o preço q se paga pela clareza com q o assunto é apresentado. O do Elon eu acho q é para pessoas com mais experiência no assunto. Para quem cursa uma Pós, talvez. Eu posso mandar o livro do Cassio em *.pdf para quem quiser. Abs, FC. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Exemplo de Funções Inversas
Caros amigos da lista, f e g são inversas se as duas condições são satisfeitas : 1) fog(x)=x 2) gof(x)=x Mas elas não são redundantes não ? Se fog(x)=x obrigatóriamente gof(x)=x ? Por favor, mandem um contra-exemplo de f e g tais que fog(x)=x mas gof(x)x obrigado Dênis Considere as funções: f: R --- R+ x --- x² e g: R+ --- R x --- rq(x) Analise: a) A função f é bijetiva? b) fog(x) é a função identidade do conjunto R+ ? c) gof(x) é a função identidade do conjunto R ? d) Podemos afirmar que f é inversa de q ? e) A função f é inversível? Legenda: R+ = [0 , +oo[erq(x) = raiz quadrada de x Divirta-se. FC. _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Fração
olá, feras da matemática ajude-me nesta questão: Seja x = 1/1998 + 1/19998 + 1/18 + 1/198 + ... Se 2x é escrito como um número decimal, o 59° algarismo após a vírgula é: a) 1 b)2 c)3 d)4 e)5 == x = 1/(2000-2) + 1/(2-2) + 1/(20-2) + 1/(200-2) + ... 2.x = 1/(1000-1) + 1/(1-1) + 1/(10-1) + 1/(100-1) + ... 2.x = 1/999 + 1/ + 1/9 + 1/99 + ... 2.x = 0,001 barra + 0,0001 barra + 0,1 barra + 0,01 barra + ... - Filipe, q q é isso??? Calma, eu explico: 0,001 barra = 0, 001 001 001 001 001... Esse barra sempre se referirá à toda a parte decimal, ok? Espero q tenham entendido. Continuando... 0,001 barra -- os um somente aparecerão nas casas decimais de ordem múltiplos de 3 (3ª casa, 6ª casa, 9ª casa etc.) 0,0001 barra --- os um somente aparecerão nas casas decimais de ordem múltiplos de 4 E por aí vai... O resto eu não sei fazer.. mas seria esse um bom caminho? Abraços, FC. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Linha curva
Alguém sabe como faço para calcular o comprimento de uma linha curva?
Vlw.
Há uma fórmula para comprimento de arcos utilizando integral.
--Seja a tal curva definida por uma função f(x) e com seu início no ponto
de abcissa a e seu fim no ponto de abcissa b.
Seu comprimento é dado por:
int(a -- b) { rq[1 + (f'(x))²] } dx
Onde: int(a -- b) é a integral definida de a até b
Deu pra entender a notação?
Abraços,
FC.
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RE: [obm-l] ESAF-01
(ESAF) Um processo de escolha entre os n alunos de uma escola (n 1) consiste no seguinte procedimento: os alunos são colocados em um círculo e inicia-se uma contagem da forma zero, Um, zero, Um, zero, Um, .... Cada vez que se diz Um o aluno correspondente é eliminado e sai do grupo. A contagem prossegue até que sobre um único aluno, que é o escolhido (por esse procedimento, portanto, sempre que o número de alunos no círculo inicial for igual a uma potência inteira de dois, o escolhido será o aluno que ocupava originalmente a primeira posição). Se há 192 alunos no círculo inicial, a posição neste círculo que é ocupada pelo aluno escolhido é a de número: a) 1. b) 65. c) 97. d) 129. e) 189. Resposta: letra d === Caro Arkon, Quando vc não vislumbrar um modelo matemático padrão para resolver alguma questão, não hesite em utilizar o Método Lusitano; ou seja, fazer a questão toscamente. Foi como eu fiz essa. Ao passo em que você vai mexendo com a questão, fica mais fácil de enxergar esse tal modelo (quando há) e aí, sim, catalisar o processo de resolução. Vamos lá.. == Disposição inicial: --- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... , 189, 190, 191, 192 Sairão os alunos nas posições pares (n = 2.k) k inteiro, claro... == Sobraram: --- 1, 3, 5, 7, ... , 187, 189, 191 Como o aluno 192 saiu anteriormente, o aluno 1 fica. Sairão os alunos nas posições 3, 7, 11... Repare q essas posições formam uma PA de [razão 4] e [1° termo=3] Logo, sairão os alunos nas posições [ n = 4.k - 1 ] --- 3, 7, 11, ... , 187, 191 == Sobraram: --- 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... , 181, 185, 189 Repetindo o mesmo raciocínio usado anteriormente, sairão os alunos nas posições [ n = 8.k - 3 ] == Sobraram: --- 1, 9, 17, 25, 33, ... , 169, 177, 185 Sairão os alunos nas posições [ n = 16.k - 7 ] === E por aí vai... repita esse procedimento mais umas 4 vezes até chegar ao final. A resposta é 129, mesmo. Abraços, FC. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] fatorial negativo
Gostaria de saber qual o motivo da não existencia do fatorial para números menores do que zero?? (-5)! não existe por que? Atenciosamente Geraldo Francisco Por que nao há necessidade. O fatorial só foi convencionado para enxugar aqueles produtórios decrescentes que aparecem nas configurações mais manjadas da Análise Combinatória. Como nunca teremos n° negativo de opções para uma certa decisão, qual seria a utilidade dessa convenção? Abraços! (isso não não significa abraços fatorial, hein...) FC. _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Equação Modular
*Resolver em R |3x-2|=3x-2*
eu não entendi pq o conjunto solução é x= 2/3
eu estou tentando resolver essa equação da mesma maneira que essa aqui:
|2x-1| = 5
que temos 2 possibidade
2x-1 = 5 ou 2x-1 = -5
assim
x = 3 ou x = -2
S={ -2, 3 }
pensando assim voltado na equação *|3x-2|=3x-2* pra mim a solução seria
x= 2/3 e não x= 2/3.
Onde eu estou errando no meu raciocinio.
===
Olá, Bruna.
A diferença entre a equação: |3x-2|=3x-2
para a equação: |2x-1| = 5
é que a 1ª depende de uma condição de existência (enquanto a 2ª a dispensa).
Analisemos:
Na 2ª equação ambos o membros são =0.
Tanto o |2x-1| quanto o 5.
Tudo ok. É só resolver daquele seu jeito.
Na 2ª equação precisamos de uma condição:
Perceba que apenas o membro da esquerda ( |3x-2| ) é =0.
Portanto precisamos que o membro da direita (3x-2) também seja =0.
Resolvendo essa condição, temos: x=2/3.
Ou seja, nossos candidatos a solução precisam satisfazer à condição acima
(ser = 2/3).
Agora, façamos a equação em si:
1°) 3x - 2 = - (3x - 2)
= Solução: x=2/3
Satisfaz à nossa condição de existência?
Sim, pois 2/3 = 2/3
2°) 3x - 2 = 3x - 2
= Solução: x pertence ao intervalo -oo , +oo
Percebeu?
Nessa equação, x pode assumir qualquer valor real.
Satisfaz à nossa condição de existência?
Não. De todos os reais, só podemos assumir como solução apenas os valores de
x = 2/3
Logo, a solução da eq. modular será a união das soluções encontradas em cada
item.
Sol.: x= 2/3
===
Você poderia enxergar o comportamento dessa equação traçando os gráficos de
cada membro.
É um bom exercício.
===
Para ganhar mais intimidade com esse papo de condição de existência, tente
resolver a equação:
| 2x + 5 | = x - 2
Ao final, substitua as soluções encontradas de volta na equação e detecte
algum possível erro.
Abraços,
FC.
_
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RE: [obm-l] aritmetica 2
Quantos números entre 10 e 13000, quando lidos da esquerda para a direita, são formados por dígitos consecutivos e em ordem crescente? Exemplificando, 456 é um desses números, mas 7890 não é? a) 75 b) 25 c) 27 d) 28 e) 30 Engraçado.. eu fiz utilizando o Método Lusitano e só encontrei 22. Ei-los: Começando com 1 12 123 1234 12345 Começando com 2 23 234 2345 Começando com 3 34 345 3456 Começando com 4 45 456 4567 Começando com 5 56 567 5678 Começando com 6 67 678 6789 Começando com 7 78 789 Começando com 8 89 Esqueci de alguém? Abraços, FC. _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] TRIANGULO-UFPB
(UFPB-78) A base de um triângulo T tem 10 m e sua altura 12 m. A que distância do vértice devemos cortar este triângulo por uma paralela à sua base, de modo que a área do trapézio obtido seja média proporcional entre a área de T e a do triângulo resultante do corte? A distância será, em metros: a) 6(rq5 + 1). b) 6(rq5 - 1). c) 7(rq5 - 1). d) 7(rq5 + 1). e) diferente dos anteriores. == Média proporcional... maneiro.. fazia um tempinho q eu nao via uma questão com isso. Área do trapézio: A_tp Área do triângulo maior: A_T Área do triângulo menor: A_t A_T = 10.12 / 2 = 60 m² Queremos que: A_T / A_tp = A_tp / A_t (média proporcional) ou (A_tp)² = 60 . A_t (1) == Como T e t são semelhantes, temos que: Base do corte: b Distância do corte ao vértice: h b/h = 10/12 --- b = 5.h/6(2) == De (1): [ (10 + b).(12 - h) / 2 ]² = 60 . ( b.h/2 ) Substitua b pela relação obtida em (2) Aí é só contarada. Boa sorte. Abraços, FC. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos em Geometria e Napoleao
Hoje eu percebo nos alunos uma imensa dificuldade em enxergar geometria (uma quantidade enorme de alunos tem uma dificuldade inacreditável até para desenhar um cubo em perspectiva).Talvez a razão se origine lá atrás, quando disciplinas como Desenho Geométrico, Geometria Descritiva e Perspectiva faziam parte do currículo normal e deixaram de sê-lo. A cegueira geométrica aumentou consideravelmente de lá para cá. ( ... ) Hoje, não há cursos de construções geométricas na escola formal. Depois neguinho estranha a atrofia reinante no lado direito do cérebro da galera - o que não se usa atrofia, né - e os neurônios não usados vão pro beleléu :-). Há algumas décadas, o Licenciado em Matemática estava habilitado a dar aulas de Matemática (dã), Física, Química, Desenho Geométrico e seus derivados. O tempo foi passando e o Licenciado em Matemática passou a estar habilitado apenas a Matemática e Desenho Geométrico. O tempo foi passando e o Desenho Geométrico saiu das mãos do matemático e foi parar nas mãos do professor formado em Belas Artes. Poético, não? Porém insensato. Hoje, o Professor de Belas Artes (q nunca teve a mesma intimidade com esse assunto tal qual um matemático) não pode mais dar aulas de Desenho Geométrico. Por ter pouquíssima intimidade com essa matéria, ele acabava contribuindo para aumentar o temor q muitos alunos tinham pela matemática. Uma sábia decisão, enfim. Mas... quem está HOJE legalmente habilitado a ensinar Desenho Geométrico (assunto pelo qual sou deveras tarado) ? Não tenho muita certeza sobre essa linha do tempo que descrevi. Sou muito novo e não vivi essas épocas passadas. Isso foi uma compilação de informações que resgatei ainda soltas na minha cabeça. Espero q nenhum Professor de Belas Artes mal-intencionado leia esse tópico. Abraços, FC. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Periodicidade de funções trigo nométricas
Olá pessoal, me chamo Júlio, e estou estudando pro vestibular do ITA. Gostaria que alguém me explicasse, por favor, sobre periodicidade de funções trigonométricas, eu não encontro isso em livro nenhum. 1) Período de funções do tipo: f(x) = a + b.sen(m.x + n) ou f(x) = a + b.cos(m.x + n) é dado por: P = 2.pi / abs(m)radianos == 2) Período de função do tipo: f(x) = a + b.tg(m.x + n) é dado por: P = pi / abs(m)radianos == b e m devem ser diferentes de zero abs(m) é o valor absoluto (módulo) de m Espero q seja isso mesmo q vc queira. Continue em contato. Abs, FC. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] MACK-SP
(MACK-SP) Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Sorteia-se, ao acaso, uma bola de número x e considera-se o produto senx.cosx. A probabilidade de esse produto ser positivo é de: a) 3/5. b) 4/5. c) 3/10. d) 7/10. e) 2/5. GABARITO DO LIVRO LETRA C. = Eu e minhas discórdias... Encontrei a alternativa E. Vamo q vamo.. O produto senx.cosx será positivo quando: 1) ambos os fatores forem positivos ou 2) ambos os fatores forem negativos E isso acontece apenas nos 1° e 3° quadrantes do Círculo Trigonométrico. No 1° quadrante, ambos positivos No 3° quadrante, ambos negativos Falta situar esses n°s de 1 a 10 (em radianos, presumo) nos quadrantes do Círculo Trigonométrico. 1 rad -- 1° Q 2 rad -- 2° Q 3 rad -- 2° Q 4 rad -- 3° Q 5 rad -- 4° Q 6 rad -- 4° Q 7 rad -- 1° Q 8 rad -- 2° Q 9 rad -- 2° Q 10 rad -- 3° Q Portanto, temos 4 casos favoráveis (a saber: 1, 4, 7 e 10) dentre os 10 possíveis. R.: 4 /10 = 2 / 5 Letra E Abraços, FC. _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] AFA-02
(AFA-02) Uma esquadrilha é formada por R caças e tem a missão de atacar uma base inimiga. Ao se aproximar do alvo, a esquadrilha se divide em duas; uma com S e outra com T caças (S + T = R e R 2 ). De quantas maneiras distintas tal divisão poderá ocorrer? a) R!/(S + T)!. b) R!/S!T!. c) R!/(ST)!. d) 2 (R!)/S!T!. === Tem alguma coisa errada nessa questão... R é fixo. Ok. Mas S e T são variáveis.. a resposta só pode depender de R!! A resolução q eu fiz foi: Imagine uma fila de R caças (representados pela letra c): ccccc ... c Para dividir essa esquadrilha em duas, basta colocar um pauzinho em algum lugar entre as letras. Por exemplo: ccc | cc ... c Nesse caso: [ S = 3 ] e [ T = R-3 ] Logo, o total de lugares onde podemos colocar o pauzinho é: R-1 Nenhuma dessas alternativas resulta em R-1. Aguardando discussões, FC. _ Inscreva-se no novo Windows Live Mail beta e seja um dos primeiros a testar as novidades-grátis. Saiba mais: http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] ITA-71
(ITA-71) Qual é o maior número de partes em que um plano pode ser dividido por n linhas retas? a) n² b) n(n + 1).c) n(n + 1)/2. d) (n² + n + 2)/2.e) n.d.r.a. == A resposta é letra D. Vejam as 2 resoluções: == 1ª resolução: Para entender como funciona isso, aconselho q façamos alguns desenhos para n = 1, n = 2, n = 3, n = 4 e daí verificar alguma regularidade. Chamemos de Rn o n° de regiões geradas pelo corte de n retas. Para n = 1: O plano cortado por 1 reta fica dividido em 2 regiões. R1 = 2 Para n = 2: O plano cortado por 2 retas fica dividido em 4 regiões. R2 = 4 Para n = 3: O plano cortado por 3 retas fica dividido em 7 regiões. R3 = 7 Para n = 4: O plano cortado por 4 retas fica dividido em 11 regiões. R4 = 11 ... Para provar isso devemos usar um recurso chamado Relações de Recorrência. É um assunto que não é mais visto nos cursos escolares de An. Combinatória. Mas como essa prova é da década de 70, vamos tentar entender... Para os valores de n que construímos no começo, podemos ver que: A n-ésima reta deverá cortar todas as (n-1) retas já desenhadas. Como cada reta corta um plano em 2 regioes, teremos (n-1)+1 regiões a serem cortadas por essa n-ésima reta. Assim, são formadas (n-1)+1 = n novas regiões. A relação de recorrência obtida é: Rn = R(n-1) + n Agora é demonstrar por indução. === 2ª resolução: Como é uma prova de múltipla escolha, poderíamos fazer sem demonstrações. Pra um olho clínico, vemos que 2, 4, 7, 11, são os sucessores dos n°s triangulares. Pra quem não lembra, os n°s triangulares são: 1, 3, 6, 10, Ei-los geometricamente (espero q consigam visualizar): * * * * * * ** * * * * * * * * * * * * ... 1 3 610 Então: Rn = (1 + 2 + 3 + 4 + ... + n) + 1 Rn = (Soma da PA manjada) + 1 Rn = (1 + n).n/2 + 1 Rn = (n² + n + 2)/2 Abraços, FC. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Paradoxo do teste surpresa
Temos q levar em consideração a não-realização do teste. Ou seja: se ele NÃO aplicar o teste 2ªf. já é uma surpresa. O ideal seria q o professor não falasse q haveria teste. Aí sim seria surpresa! Hehehe Abraços, FC. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Aritmetica
Tres estudantes conbinaram em fazer uma excurssão. 0 1º concorreu com uma quantia de 2450, o 2º como 1895 e o 3º com 6000. Na volta contaram a sobra e viram que sobrou 1038. Quanto cada um deverá receber desse resto para que a despesa fique dividida em partes iguais? == Despesa inicial total: 2450 + 1895 + 6000 = 10.345 Sobrou 1.038. Logo, a despesa real foi de: 10.345 - 1.038 = 9.307 Assim, bastaria que cada um tivesse desembolsado: 9.307 / 3 = 3.102,33 Como o 3° estudante gastou 6.000, vamos devolver tudo o que sobrou a ele. Assim, cada um gastou: 1°) 2.450 2°) 1.895 3°) 6.000 - 1.038 = 4.962 Para que a despesa fique dividida em partes iguais (em 3.102,33), o 1° e o 2° estudantes terão q desembolsar mais uma grana para o 3°. O 1° ainda falta completar: 3.102,33 - 2.450 = 652,33 O 2° ainda falta completar: 3.102,33 - 1.895 = 1.207,33 O 3° terá que receber o que gastou a mais: 4.962 - 3.102,33 = 1859,67 (quantia essa q é a soma das dívidas dos outros 2) == Resumindo: Devolvemos tudo q sobrou pro 3° estudante. O 1° ainda tem q pagar 652,33 ao 3° O 2° ainda tem q pagar 1.207,33 ao 3° Assim todos gastam a mesma quantia (de 3.102,33) E o 3° ainda sai no prejú de 1 centavo! Abraços, FC. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] BUG MENTAL!
Aí é que está a ´pegadinha´do problema- eu ´de pronto´ também achei que dava uma volta, mas, por mais estranho que pareça ( e, realmente me pareceu muito estranho...), dá duas voltas- isso porque o tanto que o círculo móvel terá que ´se desenrolar´ será igual ao espaço que o seu centro terá que andar- no caso duas vezes o perímetro do círculo fíxo. Eu tive que fazer o teste com dois pratos para me convecer melhor do fato, mas o prato móvel realmente deu 2 voltas. Po... isso q é bug mental, mesmo... olha q eu havia feito o teste com duas tampas de Nescau :) Eu vi o negócio dando 2 voltas e não me toquei. Nessas horas vale a máxima: Nós só vemos aquilo que queremos ver (ou algo assim..) Abraços, FC. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Funções II
Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x+1)=f(x)+f(1), qualquer que seja o valor da variável x. Sabendo que f(2)=1, podemo concluir que f(5) é igual a: a)0 b)1 c)5/2 d)5 e)10 == Querida Bruna, A resposta é a letra C. De posse do gabarito, tente quebrar um pouco a cabeça e fazer sozinha. Divirta-se! Abraços, FC. _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] HISTÓRIA DE PESCADOR!
Olá, Pessoal! O ser humano é realmente algo muito singular e inexplicável no Universo. (...) Nunca vi ninguém acertar de primeira e na mosca a Pegadinha do Pereira e muito menos o valor da tampa cuja garrafa é cem reais mais cara que a tampa. Experimentem numa roda de amigos phd's ou algum familiar peso-pesado, daqueles que têm opinião formada sobre tudo, a pueril situação abaixo...garanto que vocês ficarão perplexos! === Alguém poderia postar alguns desses problemas malucos ? Todos falam mas eu nao os conheço. Beleza de texto, hein Jorje Luis!! Abraços, FC. _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] BUG MENTAL!
Esses problemas são todos muito legais. Até hoje ainda não sei a resposta do paradoxo da prova surpresa- por favor, me ajudem. Também quero propor um probleminha aparentemente simples mas bem legal- Imagine que temos dois discos, ambos de 10 cm de diâmetro. Se mantivermos um desses discos fixos e ´dermos a volta´ com o outro disco, sem que haja escorregamento, quantas voltas ao redor do próprio eixo terá que dar o disco móvel até percorrer todo o disco fixo ? ( Nossa, acho que eu compus esse enunciado de forma um tanto quanto confusa...- espero que vocês consigam entender e, por favor, me perdoem...). Fernando == Bem... se eu entendi bem o enunciado (e acho q sim), dá 1 volta só. Sendo os dois discos de mesmo tamanho, o percurso (perímetro do disco fixo) é igual ao rolamento (perímetro do disco móvel) A graça deve ser pegar um disco com a metade do raio do outro ou algo similar.. Eu conheço outro parecido. Seja um círculo fixo qualquer. Quantos círculos iguais a esse precisamos para circunscrever o primeiro? Hehehehe, qq criança consegue descobrir a resposta (q é 6) pegando algumas moedinhas de mesmo tamanho.. o legal é deixar os nossos aluninhos de E. Fund. e Médio quebrarem suas cabecinhas para justificar a resposta. Ah.. ainda aguardamos os enunciados desses probleminhas loucos de Bug Mental. Abraços, FC. _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Cálculo de distâncias
Uma pista (retilínea) de provas de alta velocidade tem a largada num ponto L e o trecho de aferição da velocidade entre os pontos A e B tais que: LA = 3 km e AB = 1 km (A entre L e B). Um helicóptero sobrevôa a pista e tira duas fotografias do carro-protótipo em movimento. Na primeira, o carro está num ponto P1 entre A e L e na segunda num ponto P2 além do ponto B (mas pertencente à reta LAB). Na primeira fotografia, as distâncias medidas são: LP1 = 3cm; P1A = 2cm e AB = 5cm. Na segunda fotografia, as distâncias medidas são: LA = 4cm; AB = 4cm e BP2 = 2cm. Qual a distância real percorrida pelo carro entre os instantes das duas fotografias (ou seja, qual o comprimento de P1P2?) []s, Claudio. === *L*P1-*A---*B*P2--- Distâncias reais: LA = 3 km AB = 1 km !ª foto: LP1 = 3cm P1A = 2cm AB = 5cm 2ª foto: LA = 4cm AB = 4cm BP2 = 2cm Muito bem.. podemos tirar a escala de cada foto comparando as medias do segmento AB. Ah, lembremos que: 1 km = 100.000 cm Escala da 1ª foto: 5 cm / 100.000 cm = 1 / 20.000 Então, distância real de P1A = 2 . 20.000 cm = 400m Escala da 2ª foto: 4 / 100.000 = 1 / 25.000 Então, distância real de BP2 = 2 . 25.000 cm = 500m Logo: P1P2 = P1A + AB + BP2 = 400m + 1000m + 500m = 1900m Acho q é wilson... Abraços, FC. _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] BUG MENTAL!
Pensei em um novo desfecho. Sem gráficos. Molinho!! Um atleta após ganhar uma prova com 4 metros de vantagem, se propôs começar 4 metros antes da linha de partida. Quem ganhará o novo páreo? === Seja d o comprimento em metros da pista de corrida. Supondo velocidade constante de ambos, lembremos da famosa formulinha: v = s / t ou t = s / v 1°) Em um intervalo de tempo t1: -- O atleta A completa os d metros imprimindo uma velocidade vA:vA = d/t1 -- O atleta B completa apenas (d-4) metros imprimindo sua velocidade vB: vB =(d-4)/t1 2°) Na revanche, supondo que cada um imprimirá a mesma velocidade da corrida anterior, temos: -- O atleta A precisa percorrer (d+4) metros: tA = (d+4) / vA == tA = (d+4) / (d/t1) -- O atleta B precisa percorrer d metros: tB = d / vB == tB = d / [(d-4)/t1] 3°) Agora falta descobrir qual tempo foi menor: tA ou tB ? Vamos supor que: tA = tB Façam as contas... vcs verão q dará algo do tipo: -16 = 0 Abusdo! Logo: tA tB== O Atleta A faz o seu percurso em menos tempo. Ganhou novamente. Então o corredor B é um prego, mesmo!! Nem com 4m de lambuja consegue ganhar. Quanto maior for a pista (d -- +inf.), o 2° páreo tende ao empate. O corredor B nunca vencerá. E segue a indagação: E se em vez de 4 metros, o enunciado generalizasse para x metros? ( x d, dã.. ) Ou seja: se um cara ganhar com x metros de vantagem, começaria o 2° páreo com os mesmos x metros antes da linha de partida. Divirtam-se! Abraços, FC. _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] BUG MENTAL!
Um atleta após ganhar uma prova com 4 metros de vantagem, se propôs começar 4 metros antes da linha de partida. Quem ganhará o novo páreo? === Seja d o comprimento em metros da pista de corrida. Supondo velocidade constante de ambos, lembremos da famosa formulinha: v = s / t ou t = s / v 1°) Em um intervalo de tempo t1: -- O atleta A completa os d metros imprimindo uma velocidade vA:vA = d/t1 -- O atleta B completa apenas (d-4) metros imprimindo sua velocidade vB: vB =(d-4)/t1 2°) Na revanche, supondo que cada um imprimirá a mesma velocidade da corrida anterior, temos: -- O atleta A precisa percorrer (d+4) metros: tA = (d+4) / vA ou tA = (d+4) / (d/t1) -- O atleta B precisa percorrer d metros: tB = d / vB ou tB = d / [(d-4)/t1] 3°) Agora falta descobrir qual tempo foi menor: tA ou tB ? Basta estudarmos o comportamento das funções: tA = (d+4)/d e tB = d/(d-4) ** ** Já que a intenção é apenas comparar, podemos suprimir o t1 de ambas as sentenças. O gráfico de ambas é uma hipérbole. Analisando o comportamento desses gráficos e levando em conta de que d4, concluímos (Eu e o Cabri, hehehe) que a função tA é menor. Logo, o corredor B é um prego, mesmo!! Nem com 4m de lambuja consegue ganhar. Quanto maior for a pista (d -- +inf.), o 2° páreo tende ao empate. O corredor B nunca vencerá. Agora vem a indagação: E se em vez de 4 metros, o enunciado generalizasse para x metros? Ou seja: se um cara ganhar com x metros de vantagem, começaria o 2° páreo com os mesmos x metros antes da partida. Divirtam-se! Abraços, FC. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Ajuda URGENTE
Em um triângulo ABC, tem-se que os ângulos ABC = ACB = 80º. Se P é um ponto sobre o lado AB tal que AP = BC, a medida do ângulo BPC é igual a: = Eu emperrei tb, heheheh Mas fiz no Cabri e deu 30°. E nem assim consegui desvendar.. Abraços, FC. _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] UFPB
(UFPB-89) O valor da expressão tg 41º.tg 42º..tg 49 é: a) -1.b) 1. c) 0.d) rq3. e) rq2/2. É só lembrar que: tg(x) = 1 / tg(90°-x) Então a expressão fica: E = (tg 41°).(tg 42°).(tg 43°).(tg 44°).(tg 45°).(tg 46°).(tg 47°).(tg 48°).(tg 49°) E = (tg 41°).(tg 42°).(tg 43°).(tg 44°).(rq2/2).(tg 90-44).(tg 90-43).(tg 90-42).(tg 90-41) Aí é só cancelar geral. Só vai sobrar o (rq2/2). Letra E. Essa q havia dito q era letra B? Abraços, FC. _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Função
Calcule f(n) sabendo-se que: i) f(0)=0 ii) f(n+1)=2f(n)+3 == Caro, Rogério. Assumamos essa 2ª propriedade assim: f(alguém) = 2 . f(antecessor de alguém) + 3 Aí teremos: f(n) = 2 . f(n-1) + 3 --- Mexendo no f(n-1), temos: f(n) = 2 . [ 2.f(n-2) + 3 ] + 3 --- Arrumando a casa, temos: f(n) = 2².f(n-2) + 2.3 + 3 --- Mexendo no f(n-2), temos: f(n) = 2². [ 2.f(n-3) + 3 ] + 2.3 + 3 f(n) = 2³.f(n-3) + 3.(2² + 2 + 1) -- Já deu pra sacar o comportamento se continuarmos? f(n) = (2^4).f(n-4) + 3.(2³ + 2² + 2 + 1) . f(n) = (2^n). f(n-n) + 3.(2^n-1 + 2^n-2 + ... + 2 + 1) Como f(0) = 0, fica: f(n) = 3.(soma dessa PG manjada aí de cima) f(n) = 3.(2^n - 1) Abraços, FC. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] EN-90/91
1) Os triângulos ABC e ABD são equiláteros e estão situados em planos perpendiculares. O cos CÂD é igual a? a) 1/2. b) 1/4.c) 1/6. d) 1/8. = Solução: 1°) Traçar as alturas relativas à base AB de ambos os triângulos (CH e DH). 2°) Construir o triângulo CHD. Sabendo q CHD é retângulo em H e que CH = HD = (lado).(rq3) / 2, descobrimos o valor do lado CD. 3°) Tome o triângulo CAD. De posse dos valores dos seus lados, podemos (por lei dos cossenos) descobrir o valor do cos(CÂD) 4°) A resposta é a letra B. Confira! Abraços, FC. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] REVEILLON GEOMÉTRICO!
A solução para o problema: Benjamin e o Sr. Madeira sairam para fazer um reconhecimento do terreno onde deveriam trabalhar. Logo viram que precisavam construir uma ponte sobre o rio. Eles não podiam se molhar nem tinham levado nenhum instrumento de medição. Então vão ter que pensar um pouco, caminhar e contar passos. Como farão para medir a largura do rio? precisa de imagens para auxiliar a explicação (sai por semelhança de triângulos). Quem a quiser, me mande um e-mail para eu enviar o arquivo .doc. Abraços, FC. _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] REVEILLON GEOMÉTRI CO!
paralaxe ?? não sei o q é isso... FC. == From: Araray Velho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] REVEILLON GEOMÉTRICO! Date: Mon, 1 Jan 2007 12:14:48 -0200 por paralaxe On 1/1/07, Filipe de Carvalho Hasché [EMAIL PROTECTED] wrote: A solução para o problema: Benjamin e o Sr. Madeira sairam para fazer um reconhecimento do terreno onde deveriam trabalhar. Logo viram que precisavam construir uma ponte sobre o rio. Eles não podiam se molhar nem tinham levado nenhum instrumento de medição. Então vão ter que pensar um pouco, caminhar e contar passos. Como farão para medir a largura do rio? precisa de imagens para auxiliar a explicação (sai por semelhança de triângulos). Quem a quiser, me mande um e-mail para eu enviar o arquivo .doc. Abraços, FC. _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Araray Velho [EMAIL PROTECTED] ICQ 20464041 MSN [EMAIL PROTECTED] _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] REVEIL LON GEOMÉTRICO!
queridos Chicão e Araray, eu entendo esse Estilo Jaiminho de evitar a fadiga, haheaheh agora vi do q se trata o paralaxe. obrigado pelos links. na verdade, a estratégia da minha resolução foi apenas por semelhança de triângulos, mesmo! só aquela proporcionalidadezinha ginasiana. sem usar nenhuma relação trigonométrica. até pq nossos intrépidos planejadores da ponte do exercício não dispunham de instrumento de medição de ângulos. estou mandando para vcs o arquivo da minha resolução em uma mensagem avulsa. Abraços, FC. From: Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] REVEILLON GEOMÉTRICO! Date: Mon, 1 Jan 2007 13:13:32 -0300 (ART) Filipe nao vou explicar para evitar a fadiga de um 1 janeiro mas se voce entender como ele é usado para medir as distancias das estrelas em relação a terra voce entenderá como ele poderá ser usado para medir a largura do rio: http://pt.wikipedia.org/wiki/Paralaxe Aproveitando o ensejo, já que o amigo Jorge gosta tanto destas coisas, algo extremamente interessante é como os antigos na área da astronomia faziam pra calcular as distancias, raios,etc... com geometria plana e trigonometria. Aí vai uma amostra incompleta de algumas ideias interessantissímas: http://www.zenite.nu/tema/ --- Filipe de Carvalho Hasché [EMAIL PROTECTED] escreveu: paralaxe ?? não sei o q é isso... FC. == From: Araray Velho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] REVEILLON GEOMÉTRICO! Date: Mon, 1 Jan 2007 12:14:48 -0200 por paralaxe On 1/1/07, Filipe de Carvalho Hasché [EMAIL PROTECTED] wrote: A solução para o problema: Benjamin e o Sr. Madeira sairam para fazer um reconhecimento do terreno onde deveriam trabalhar. Logo viram que precisavam construir uma ponte sobre o rio. Eles não podiam se molhar nem tinham levado nenhum instrumento de medição. Então vão ter que pensar um pouco, caminhar e contar passos. Como farão para medir a largura do rio? precisa de imagens para auxiliar a explicação (sai por semelhança de triângulos). Quem a quiser, me mande um e-mail para eu enviar o arquivo .doc. Abraços, FC. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] questoes duvidosas
Amigo Geraldo, 1ª questão. Seja o polinômio: p(x) = (x - 1)*(x - 2)*(...)*(x - 9) obviamente: p(1) = 0 = p(2) = p(3) = ... = p(9) como p(x) está completamente fatorado em binômios de grau 1, pelo Teo. de D'Alembert: 1, 2, 3, ... e 9 são AS ÚNICAS raízes de p(x). Assim, analisemos as sentenças: 1. p(x) tem 10 divisores de grau 1 Falso. São nove. A saber: (x - 1) , (x - 2) , (...) e (x - 9) 2. p(x) tem 45 divisores de grau 2 Falso. São 36. A saber: (x - 1)*(x - 2), (x - 1)*(x - 3), (x - 1)*(x - 4), ... e (x - 8)*(x - 9) Total de divisores: Combinação de 9, 2 a 2. C(9,2) = 36 4. o produto das raizes de p(x) é igual a (2^7)*(3^4)*5*7 Verdadeiro. O produto das raízes será: 1*2*3*4*5*6*7*8*9. Separando os fatores primos: (2^7)*(3^4)*5*7 8. a soma das raizes de p(x) é igual a 45 Verdadeiro. A soma das raízes será: 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 :) 16. todas as raizes de p(x) tem multiplicidade 2 Falso. Nenhuma das raízes aparece duas vezes. Na verdade, todas são de multiplicidade 1. - A 2ª questão (do plano complexo) precisa de uma imagem em anexo. Portanto, não pode ser publicada nessa lista. Me mande um e-mail para eu enviar a solução. [EMAIL PROTECTED] - 3ª questão: Uma dúvida sobre o enunciado: há restrições para os coeficientes a e b da equação segmentaria? Se esses coeficientes puderem assumir quaisquer valores reais não-nulos, segue a resposta: Resposta: A condição é passar pela origem dos eixos coordenados. Toda reta r que passa pela origem dos eixos ordenados tem equação reduzida da forma r: y=A.x (onde A um real não-nulo) Ao transformarmos a equação de r da forma reduzida para a forma geral, obteremos a tal da equação segmentaria. --- Acho que isso é tudo. Espero estar isento de falhas. Abraços, FC. From: GERALDO FRANCISCO DE SOUZA REBOUÇAS [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: Lista _OBM obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] questoes duvidosas Date: Wed, 27 Dec 2006 10:59:29 + (GMT) 0la pssoal, Gostaria que vcs dessem uma olhada nessas questoes pra mim e me mostrassem como faze-las. 1.Sobre o polinomio p(x) = (x - 1)*(x - 2)*(...)*(x - 9), analise as proposiçoes abaixo identificando as verdadeiras. 1. p(x) tem 10 divisores de grau 1 2. p(x) tem 45 divisores de grau 2 4. o produto das raizes de p(x) é igual a (2^7)*(3^4)*5*7 8. a soma das raizes de p(x) é igual a 45 16. todas as raizes de p(x) tem multiplicidade 2 2. a representação de um numero complexo z = a + b*i, no plano cartesiano, é o ponto P(a,b). Suponha que os pontos A, B e C sejam as representações das raizes cubicas da unidade e que o percurso de uma marcha atletica, com 42 km de extensao, seja representado pelo triangulo ABC, cujos lados sao medidos em km. Nesse sentido, quantas vezes um atleta, partindo de A, passará pelo ponto B, para completar a prova? OBS: Use sqrt3 = 1,73. 3. Qual a condição para que uma reta possua equação segmentaria igual a zero. Ex: x/a + y/b = 0 ? Aguardo respostas. Obrigado __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] questoes duvidosas
Amigo Geraldo, 1ª questão. Seja o polinômio: p(x) = (x - 1)*(x - 2)*(...)*(x - 9) obviamente: p(1) = 0 = p(2) = p(3) = ... = p(9) como p(x) está completamente fatorado em binômios de grau 1, pelo Teo. de D'Alembert: 1, 2, 3, ... e 9 são AS ÚNICAS raízes de p(x). Assim, analisemos as sentenças: 1. p(x) tem 10 divisores de grau 1 Falso. São nove. A saber: (x - 1) , (x - 2) , (...) e (x - 9) 2. p(x) tem 45 divisores de grau 2 Falso. São 36. A saber: (x - 1)*(x - 2), (x - 1)*(x - 3), (x - 1)*(x - 4), ... e (x - 8)*(x - 9) Total de divisores: Combinação de 9, 2 a 2. C(9,2) = 36 4. o produto das raizes de p(x) é igual a (2^7)*(3^4)*5*7 Verdadeiro. O produto das raízes será: 1*2*3*4*5*6*7*8*9. Separando os fatores primos: (2^7)*(3^4)*5*7 8. a soma das raizes de p(x) é igual a 45 Verdadeiro. A soma das raízes será: 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 :) 16. todas as raizes de p(x) tem multiplicidade 2 Falso. Nenhuma das raízes aparece duas vezes. Na verdade, todas são de multiplicidade 1. - A 2ª questão (do plano complexo) precisa de uma imagem em anexo. Portanto, não pode ser publicada nessa lista. Me mande um e-mail para eu enviar a solução. [EMAIL PROTECTED] - 3ª questão: Uma dúvida sobre o enunciado: há restrições para os coeficientes a e b da equação segmentaria? Se esses coeficientes puderem assumir quaisquer valores reais não-nulos, segue a resposta: Resposta: A condição é passar pela origem dos eixos coordenados. Toda reta r que passa pela origem dos eixos ordenados tem equação reduzida da forma r: y=A.x (onde A um real não-nulo) Ao transformarmos a equação de r da forma reduzida para a forma geral, obteremos a tal da equação segmentaria. --- Acho que isso é tudo. Espero estar isento de falhas. Abraços, FC. From: GERALDO FRANCISCO DE SOUZA REBOUÇAS [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: Lista _OBM obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] questoes duvidosas Date: Wed, 27 Dec 2006 10:59:29 + (GMT) 0la pssoal, Gostaria que vcs dessem uma olhada nessas questoes pra mim e me mostrassem como faze-las. 1.Sobre o polinomio p(x) = (x - 1)*(x - 2)*(...)*(x - 9), analise as proposiçoes abaixo identificando as verdadeiras. 1. p(x) tem 10 divisores de grau 1 2. p(x) tem 45 divisores de grau 2 4. o produto das raizes de p(x) é igual a (2^7)*(3^4)*5*7 8. a soma das raizes de p(x) é igual a 45 16. todas as raizes de p(x) tem multiplicidade 2 2. a representação de um numero complexo z = a + b*i, no plano cartesiano, é o ponto P(a,b). Suponha que os pontos A, B e C sejam as representações das raizes cubicas da unidade e que o percurso de uma marcha atletica, com 42 km de extensao, seja representado pelo triangulo ABC, cujos lados sao medidos em km. Nesse sentido, quantas vezes um atleta, partindo de A, passará pelo ponto B, para completar a prova? OBS: Use sqrt3 = 1,73. 3. Qual a condição para que uma reta possua equação segmentaria igual a zero. Ex: x/a + y/b = 0 ? Aguardo respostas. Obrigado __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
