Re: [obm-l] Problema de geometria plana
[EMAIL PROTECTED] escreveu: Srs, O problema abaixo é o de número 55 do livro matematica para o vestibular da UFMG (geometria plana) do Prof Christiano Sena. (sem acentos) Num triangulo ABC, AB =8 cm e AC = 10cm. Pelo incentro do triangulo, traca-se uma reta paralela a BC, que intercepta AB em M e AC em N. O perimetro do triangulo AMN eh: a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20. alguem sabe sua solução? o gabarito diz que é 20. at sarmento Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha 60 mega para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga por apenas R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa bocada! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Boa noite, Sarmento. Seja I o incentro do triângulo. Sabe-se que med(MBI)=med(IBC) e que med(NCI)=med(ICB). Por outro lado, sendo MN paralelo a BC, tem-se que med(MIB)=med(IBC)=med(MBI) e med(NIC)=med(ICB)=med(NCI). Daí: MB = MI e NC = NI. O perímetro de AMN é: AM + MN + NA = AM + MI + IN + NA = AM + MB + NC + NA = AB + AC = 18. Se algo estiver errado, leve em conta o horário. Abraços, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Polinomio
Klaus Ferraz escreveu: Mostre que se a,b,c sao inteiros impares, a equacao ax^2+bx+c nao tem raiz racional. Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! http://us.rd.yahoo.com/mail/br/tagline/mobile_alerts/*http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/ No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.385 / Virus Database: 268.3.5/301 - Release Date: 4/4/2006 Leia o artigo de Eduardo Wagner, Paridade, que pode ser encontrado em http://www.obm.org.br/frameset-eureka.htm. Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Fatoração
Salhab [ k4ss ] escreveu: (a+b+c)^4 = 1 *fatorando*.. temos: a^4 + b^4 + c^4 + 4 [(ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 + 2abc] = 1 a^4 + b^4 + c^4 + 4 * 1/4 = 1 a^4 + b^4 + c^4 = 0 Sem querer ser chato, gostaria de fazer uma pequeníssima correção nas palavras: no caso, o correto é *expandindo*, e não fatorando. Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] altura_triangulo
elton francisco ferreira escreveu: ola pessoal da lista! como resolver a questao que se segue? Determine a altura nao relativa a base de um triangulo isosceles de lados 10m, 10m e 12 m. ___ Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. http://br.yahoo.com/homepageset.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = 1) Encontre a altura relativa à base; 2) Calcule a área do triângulo; 3) Sendo *h* a altura procurada e sendo a base (agora) igual a 10m, use a informação de 2) para calcular *h*. Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Ensino de matematica
Gostaria de fazer uma pergunta ao pessoal da lista que lida com ensino, principalmente (mas não exclusivamente) a nivel fundamental e médio: por que o Brasil tem um desempenho tão bom nas competições internacionais de matemática mas, ao mesmo tempo, é tão mal avaliado no, vamos dizer, ensino normal? Pergunto isso porque há países que têm qualidade tanto na matemática olímpica quanto na matemática escolar. Qual a sua opinião, professor Nicolau? Desculpem se o assunto foge ao tema principal. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Aritmética Progressiva
Ilídio Leite escreveu: olá... alguém conhece o livro Aritmética Progressiva, de Antônio Trajano? achei um exemplar num sebo mas estava encapado, não pude folheá-lo. abraços a todos, Ilídio Leite Caro Ilídio, Eu tinha um exemplar deste livro. Fiquei muito empolgado quando comprei porque o Elon (que ele me desculpe a intimidade) fala sempre muito bem deste livro. Bem, entrei em contato com o próprio Elon falando sobre o livro e coisa e tal e aí veio o balde de água fria: minha edição não era a que ele usara, ou seja, o exemplar que estava comigo já havia sofrido alterações e reduções. Havia comprado gato por lebre. Se você conseguir uma permissão para dar uma olhada no interior do livro, procure se consta a definição de proporcionalidade. Se constar, compre o livro (e depois vou tentar uma cópia contigo!), caso contrário, não creio que o investimento valha a pena, mas aí é contigo. Abraços, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda - Proporção
admath escreveu: Olá Já li diversas teorias sobre proporcionalidade só que não consigo entender estes dois problemas de maneira alguma. Alguém pode me explicar de uma maneira bem didática? 1) Dividindo 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5, a soma entre a menor e a maior parte é quanto? 2) A proporção entre as medalhas de ouro, prata e bronze de um atleta é 3 : 4 : 7, respectivamente. Quantas medalhas de ouro, prata e bronze espera-se que esse atleta obtenha em 70 jogos, se essa proporção se mantiver e ele conquistar medalhas em todos os jogos? -Posso falar que o método da regra de 3 é o mesmo processo quando lidamos com grandezas proporcionais? obrigado. 1) Complementando a solução do Jefferson: Quando o problema menciona partes proporcionais', está implícito que são partes DIRETAMENTE proporcionais. Quando ele diz que vai dividir 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5, isso significa que há um valor constante (chamado constante de proporcionalidade) e que a primeira parte vale o dobro, a segunda o triplo e a terceira o quíntuplo dessa constante. Esse problema também pode ser resolvido usando um método conhecido como falsa posição. A idéia é a seguinte: Se as partes valessem 2, 3 e 5, a soma valeria 10. Como a soma das partes é 70, que é 7 vezes 10, cada parte deve ser, também, multiplicada por 7. Logo, cada parte vale 14, 21 e 35. 2) Usando a idéia da falsa posição: Para ganhar 3 medalhas de ouro, 4 de prata e 7 de bronze ele deve disputar 3 + 4 + 7 = 14 jogos. Se ele disputar 70 jogos (= 5 x 14) ele ganhará: 5 x 3 = 15 medalhas de ouro. 5 x 4 = 20 medalhas de prata. 5 x 7 = 35 medalhas de bronze. No primeiro problema a constante de proporcionalidade é 10, e no segundo, 5. Espero que, com a solução do Jefferson e esses breves comentários, tudo tenha ficado mais claro para você. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Mais uma questão da prova.
Rejane escreveu: Quem puder me ajudar, eu agradeço. Abraços. Rejane Questão 08) No triângulo *ABC* ao lado, se *M* e *N* são pontos médios e a área do triangulo *DMC* é 1 dm², então a área, em dm², no triangulo *ABD* é: A) 3 B) 2 C) 2,5 D) 1,5 E) 1,9 *M* *D* *N* *B* *C* *A* Rejane, por falta de tempo devo ter escrito excessivamente, mas aí vai. Se a área de *DMC* é igual a 1, a área de DMB também é, pois os dois triângulos considerados têm mesma base e mesma altura. Daí, *Área *de *BDC* = 2. Como D é o baricentro de *ABC*, *BD*/*DN* = 2, e, por conseqüência, *Área* de *BDC* / *Área* de *DCN* = 2, ou seja, *Área* de *DCN* = 1. Isso significa que *Área* de *BCN* = 2 + 1 = 3. A Área de *ABN* = 3, pois N é médio de *AC*. A área de *ABD* = 2/3 da área de *ABN*, ou seja: *Área* de *ABD* = 2. Dê uma conferida, por favor. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Economia Matemática
Maurício escreveu: Oi, sou eu de novo. Estou interessado em fazer uma pós na área de Economia Matemática. Vocês sabem onde se faz pesquisa de qualidade nessa área aqui no Brasil ou no Exterior? Abraços e obrigado, Maurício __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Se você procura qualidade, penso que não se pode deixar de mencionar o IMPA, que tem cursos de mestrado e doutorado em Economia Matemática. Veja em www.impa.br. Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] geometria
Desculpe-me, Saulo, mas os ângulos são congruentes sim. Veja: QBP é um ângulo formado pela corda BP e pelo lado AB, que é tangente à circunferência. Logo, mede metade do arco menor BP. O ângulo PCB é um ângulo inscrito e também mede metade do arco menor BP. Uma argumentação parecida vale para os ângulos PCR e PBD. Outra coisa: quem disse que BC é um diâmetro? Dê uma conferida com cuidado, por favor. []s, Márcio. saulo nilson escreveu: os angulos nao sao congruentes BC nao passa pelo centro da circunferencia, BC e uma corda e nao um diametro. Eu fiz achando o raio da circunferencia que e 13, dai vc acha os lados e pela area do triangulo isosceles vc acha acha o valor da altura pedida, mas na da uma resposta simples. Eu projetei PQ e PR sobre os raios que unem o centro aos pontos de tangencia da circunferencia ai obtive um quadrilatero que tem lados r-9 e r-4 que e semelhante a AQPR, dai vc acha o raio que da 13, isso esta certo ou errado? On 7/20/05, Marcio M Rocha [EMAIL PROTECTED] wrote: Eder Albuquerque escreveu: Olá, Gostaria de ajuda no seguinte problema: seja ABC um triângulo isósceles, onde AB=AC são tangentes a uma circunferência e BC é uma corda. Seja P um ponto sobre a circunferência anterior, interno ao triângulo ABC, tal que a distância de P a AB é 9 e a distância de P a AC é 4. Encontre a distância de P a BC. Não tô conseguindo resolver... Grato, Eder __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ A resposta é 6. Sejam Q, R e D os pés das perpendiculares, respectivamente a AB, AC e BC por P. Construa o triângulo BPC. Veja que os ângulos QBP e PCB são conguentes. Daí, os triângulos retângulos QPB e PDC são semelhantes, e podemos escrever que (PQ / PD) = (PB / PC). Analogamente, os ângulos PCR e PBC são congruentes, donde vem a semelhança dos triângulos retângulos PCR e PBD, e podemos escrever que (PR / PD) = (PC / PB). Logo, (PQ / PD) = (PD / PR), ou seja, (PD)^2 = (PQ).(PR). Pelo problema, PQ = 9 e PR = 4. Assim, PD = 6. Este problema consta do livro Challenging Problems in Geometry. Um abraço, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] geometria
Eder Albuquerque escreveu: Olá, Gostaria de ajuda no seguinte problema: seja ABC um triângulo isósceles, onde AB=AC são tangentes a uma circunferência e BC é uma corda. Seja P um ponto sobre a circunferência anterior, interno ao triângulo ABC, tal que a distância de P a AB é 9 e a distância de P a AC é 4. Encontre a distância de P a BC. Não tô conseguindo resolver... Grato, Eder __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ A resposta é 6. Sejam Q, R e D os pés das perpendiculares, respectivamente a AB, AC e BC por P. Construa o triângulo BPC. Veja que os ângulos QBP e PCB são conguentes. Daí, os triângulos retângulos QPB e PDC são semelhantes, e podemos escrever que (PQ / PD) = (PB / PC). Analogamente, os ângulos PCR e PBC são congruentes, donde vem a semelhança dos triângulos retângulos PCR e PBD, e podemos escrever que (PR / PD) = (PC / PB). Logo, (PQ / PD) = (PD / PR), ou seja, (PD)^2 = (PQ).(PR). Pelo problema, PQ = 9 e PR = 4. Assim, PD = 6. Este problema consta do livro Challenging Problems in Geometry. Um abraço, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] geometria plana
elton francisco ferreira escreveu: Olá pessoal, ai vai algumas questoes que começei a a resoluçao mas nao consigo terminar. Se vcs puderem me ajudarem. 1 - Num triangulo retangulo ABC, sabe-se que a área vale 2s e que a razão entre os catetos é b/c=k. Calcule seus lados. 2 – A diferença entre os catetos de um triangulo retângulo é d e a área é s. Determine os catetos para: d = 17 e s = 84 3 – Num triangulo retângulo, a hipotenusa é a e a altura relativa a ela é h. Calcule os catetos para : a = 25 e h = 12 ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = 1- A área é a metade de bc, ou seja, bc = 4s. Multiplicando ambos os membros de b/c = k por bc, vem b^2 = bck, ou seja, b = sqrt(4ks), ou b = 2.sqrt(ks). Daí, c = 2.sqrt(ks) / k 2- b = 24 e c = 7. Como o produto dos catetos é o dobro da área, temos que bc = 168. Como b - c = 17, você cai numa eq do 2o grau. 3- b = 20 e c = 15. Veja que b^2 + c^2 = 625 e bc = 300. Daí, b + c = 35, e você monta uma equação do 2o grau. Abraços, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema
Lincoln escreveu: Alguém pode me dar uma ajuda neste problema? Seja /ABCD/ um retângulo de lados /AB/ = 4 e /BC/ =3. A perpendicular à diagonal /BD/ traçada por /A/ corta /BD/ no ponto /H/. Chamamos de /M/ o ponto médio de /BH/ e de /N/ o ponto médio de /CD/. Calcule a medida do segmento /MN/. Lincoln, Escrevi rápido e sem muita organização. Veja se você entende e se está tudo OK. BD = 5 e AH = 2,4. A perpendicular ao segmento AH, passando por M, intersecta AB no ponto P. Desse modo, MP = 1,2 e P é o médio de AB. Os segmentos PN e BD cortam-se ao meio, num ponto Q. Seja R um ponto de BD, simétrico de M em relação a Q. Os triângulos PMQ e NRQ são congruentes. Desse modo, MN^2 = RN^2 + RM^2, ou seja, MN^2 = (1,2)^2 + (1,8)^2. Daí, MN = 3*sqrt(13)/5. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida elementar
Luiz Ernesto Leitao escreveu: Lendo o livro de Análise do Djairo Guedes ele pediu que se provasse a seguinte afirmativa elementar: Prove que p ( p natural) é par, se e somente se, p^2 for par. __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ 1a parte: p é par = p^2 é par p é par = p = 2n Donde se conclui que p^2 = 4(n^2) = 2(2n^2) que é par 2a parte: p^2 é par = p é par Prove a contrapositiva: p é ímpar = p^2 é ímpar p é ímpar = p = 2n +1 Daí, p^2 = (2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 2(2n^2 + 2n) + 1 que é ímpar. Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas russos
fabiodjalma escreveu: Onde você os encontrou? Em (09:21:52), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: Bom dia a todos! Encontrei 100 problemas russos traduzidos pelo Paulo Santa Rita e estou tentando resolvê-los. Gostaria de uma idéia para o seguinte: É dado um retangulo ABCD com o comprimento da diagonal AC valendo L. Quatro círculos com centros em A, B, C e D e raios respectivamente iguais a a, b, c e d, sao tais que : L a + c , a + c = b + d. Prove que se pode inscrever um circulo no quadrilatero formado pelas interseccões entre duas tangentes comuns externas ao circulos A e C e duas tangentes comuns externas aos circulos B e D. Um grande abraço. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Oi, Fábio, Os problemas estão em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr/ http://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/psr/ Um abraço. Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função
Viviane Silva escreveu: Como se resolve uma função do tipo. Este não é o exercício mas é parecido com este 1) f(3x+1)=x^2+3x+25 g(x+1)=2x+1 Encontre f(g(-1)) Grata MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. Encontre o que você quiser. Clique aqui. http://g.msn.com/8HMABR/2740??PS=47575 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = g(-1) = g(-2 + 1) = 2*(-2) + 1 = -4 + 1 = -3 f(-3) = f(3*(-4/3) + 1) = (-4/3)^2 + 3*(-4/3) + 25 = 16/9 - 4 + 25 = (16 + 189)/9 = 205/9 Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Princípio das gavetas
Olá, pessoal! Antes de mais nada, obrigado ao Cláudio e ao Qwert pela solução do problema. Como estou com um tempinho livre, vou escrever uns pensamentos muito rápido. Vejam se tem algum fundamento. Em 39 números consecutivos, formo 13 conjuntos disjuntos, cada qual com 3 números consecutivos. Obviamente, um deles é múltiplo de 3, o que implica que a soma dos algarismos de um elemento de cada um dos 13 conjuntos é igual a 3k. Tomando esse elemento de cada um dos 13 conjuntos, tenho 13 múltiplos consecutivos de 3, ou seja, 13 números cuja soma dos algarismos é um múltiplo de 3. Como são 13 números e todos são consecutivos, tô pensando se existe um meio de garantir que uma dessas somas também é múltiplo de 11. O que vocês acham? []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Princípio das gavetas
Marcio M Rocha escreveu: Em 39 números consecutivos, formo 13 conjuntos disjuntos, cada qual com 3 números consecutivos. Obviamente, um deles é múltiplo de 3, o que implica que a soma dos algarismos de um elemento de cada um dos 13 conjuntos é igual a 3k. Tomando esse elemento de cada um dos 13 conjuntos, tenho 13 múltiplos consecutivos de 3, ou seja, 13 números cuja soma dos algarismos é um múltiplo de 3. Como são 13 números e todos são consecutivos, tô pensando se existe um meio de garantir que uma dessas somas também é múltiplo de 11. O que vocês acham? []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Eu respondo a mim mesmo: o fato dos números serem múltiplos consecutivos de 3 não significa que as somas dos algarismos sejam números consecutivos. Desculpem-me. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema 1 do primeiro nível da X Olimpíada de Maio
Daniel S. Braz escreveu: Pessoal, Uma dúvida no problema 1 do primeiro nível da X Olimpíada de Maio (Eureka! número 20) Xavier multiplica quatro dígitos, não necessariamente distintos, e obtém um número terminado em 7. Determine quanto pode valer a soma dos quatros dígitos multiplicados por Xavier. Dê todas as possibilidades. então devemos ter algo do tipo: a.b.c.d = xxx7 A dúvida é: Qualquer número terminado em 9 multiplicado por 3 dará um número terminado em 7 1.1.1.7 = 7 - 10 1.1.3.9 = 27 - 14 1.1.3.19 = 57 - 24 1.1.3.29 = 87 - 34 1.1.3.39 = 117 - 44 Então...como calcular todas as possibilidades...não entendi... Oi, Daniel Veja que o enunciado diz que ele multiplica quatro dígitos, ou seja, algarismos. Assim, as 3 últimas possibilidades que você mostrou estão descartadas. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Principio das Gavetas
Bom dia, pessoal! Gostaria de conferir uma solução do seguinte problema: Mostre que existe um múltiplo de 1997 que possui todos os dígitos iguais a 1 Usando o princípio das gavetas é possível mostrar que todo número natural possui um múltiplo que se escreve usando apenas os dígitos 0 e 1, de modo que haja uma seqüência de /p/ 1's seguida de /q/ 0's. Seja N = 111...1000...0 um múltiplo de 1997. Como N = (111...1) * (10^/q/) e 1997 não divide 10^/q, /conclui-se que 1997 divide 111...1. Tá tudo Ok? Aproveitando a oportunidade, gostaria de uma sugestão no problema seguinte: Prove que em qualquer seqüência de 39 números naturais consecutivos existe ao menos um número cuja soma dos algarismos é divisível por 11. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Principio das Gavetas
claudio.buffara escreveu: *De:* [EMAIL PROTECTED] *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Cópia:* *Data:* Tue, 29 Mar 2005 08:44:28 -0300 *Assunto:* [obm-l] Principio das Gavetas Bom dia, pessoal! Gostaria de conferir uma solução do seguinte problema: Mostre que existe um múltiplo de 1997 que possui todos os dígitos iguais a 1 Usando o princípio das gavetas é possível mostrar que todo número natural possui um múltiplo que se escreve usando apenas os dígitos 0 e 1, de modo que haja uma seqüência de /p/ 1's seguida de /q/ 0's. Seja N = 111...1000...0 um múltiplo de 1997. Como N = (111...1) * (10^/q/) e 1997 não divide 10^/q, /conclui-se que 1997 divide 111...1. Tá tudo Ok? Pra mim, está. Uma demonstração alternativa usa o teorema de Euler e leva em conta que mdc(1997,10) = mdc(1997,9) = 1. Nesse caso, pondo k = Phi(1997), teremos 10^k == 1 (mod 1997) == 1997 | 10^k - 1 = 999999 (k algarismos 9) = 9*111...111. Como 1997 é primo com 9, concluímos que 1997 | 111...111. Aproveitando a oportunidade, gostaria de uma sugestão no problema seguinte: Prove que em qualquer seqüência de 39 números naturais consecutivos existe ao menos um número cuja soma dos algarismos é divisível por 11. Esse parece interessante. Acho que vale a pena fazer umas simulações no Excel pra ver se você acha alguma periodicidade ou lei de formação. Se eu achar alguma coisa te falo. []s, Claudio. Cláudio, Obrigado pela solução alternativa e pela dica. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problemas russos
Bom dia a todos! Encontrei 100 problemas russos traduzidos pelo Paulo Santa Rita e estou tentando resolvê-los. Gostaria de uma idéia para o seguinte: É dado um retangulo ABCD com o comprimento da diagonal AC valendo L. Quatro círculos com centros em A, B, C e D e raios respectivamente iguais a a, b, c e d, sao tais que : L a + c , a + c = b + d. Prove que se pode inscrever um circulo no quadrilatero formado pelas interseccões entre duas tangentes comuns externas ao circulos A e C e duas tangentes comuns externas aos circulos B e D. Um grande abraço. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ITA
fgb1 escreveu: Um aluno me pediu p/ fazer essa questão e disse que era do ITA. Não encntrei solução. Queria saber se alguem conhece e pode confirmar se o enunciado está correto. 3^2x + 5^2x - 15^x = 0 A idéia é dividir tudo por 15^x e, por meio de artifício, cair numa eq do 2o grau. Só que, fazendo tudo isso, você vai cair numa eq sem solução real. Deve haver algo de errado no enunciado. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[Fwd: Re: En:[obm-l] Fatorial]
Desculpem a todos, mais uma vez, as duas besteiras que escrevi: a desigualdade absurda e minimilidade. No afã de resolver o problema, fiquei cego a algo tão claro. Bem, então não dá para escrever uma seqüência de desigualdades partindo de b elevado a (b - 2) e chegando a (b - 1) elevado a (b - 1)? []s, Márcio. ---BeginMessage--- claudio.buffara escreveu: Além disso, Cláudio, também posso fazer: b elevado a (b - 2) = (b - 1) elevado a (b - 2) Epa! Tem certeza? CARAMBA! QUE BESTEIRA! Deleta esse negócio daí! ---End Message---
Re: [obm-l] Questõ de raiz quadrada
Robÿe9rio Alves escreveu: Escreva as implicações lógicas que correspondem à resolução da equação rsqt x + 6 = x, veja quais são reversíveis e explique o aparecimento de raízes estranhas. Faça o mesmo com a equação rsqt x + 7 = x. __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ Vamos lá, sqrt(x) + 6 = x = (1) = sqrt(x) = x - 6 = (2) = (sqrt(x))² = (x - 6)² = (3) = x = x² - 12x + 36 = (4) = x² - 13x + 36 = 0 = (5) = x = 9 ou x = 4= (6) Observe que x = 4 não é raiz da equação original. Veja que de (2) para (3) não há uma equivalência, mas apenas uma implicação, ou seja, de (2) concluo (3) mas de (3) concluo (2) ou concluo sqrt(x) = 6 - x. Daí vem o aparecimento da raiz estranha igual a 4. Agora, você faz com a outra. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Lugar Geométrico
Boa noite, gente. Estava observando uma figura que me sugeriu uma parábola e pensei na seguinte questão: Dada uma parábola e sua diretriz, determine o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos perpendiculares à diretriz e que têm, como extremidades, a diretriz e a parábola. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Lugar Geométrico
claudio.buffara escreveu: Seja a parabola y = 2ax^2 e a reta y = 2bx + 2c. O ponto medio de um segmento vertical ligando os pontos (x,2bx+2c) da reta e (x,2ax^2) da parabola eh (x,ax^2+bx+c). Logo, o LG desses pontos medios eh uma parabola. Repare que a reta nao precisa ser a diretriz e, de fato, nao precisa nem ser paralela a diretriz. Soh nao pode ser perpendicular a esta. []s, Claudio. *De:* [EMAIL PROTECTED] *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Cópia:* *Data:* Wed, 23 Mar 2005 20:47:35 -0300 *Assunto:* [obm-l] Lugar Geométrico Boa noite, gente. Estava observando uma figura que me sugeriu uma parábola e pensei na seguinte questão: Dada uma parábola e sua diretriz, determine o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos perpendiculares à diretriz e que têm, como extremidades, a diretriz e a parábola. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Jóia, tá claro. É um probleminha muito sem graça... []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Círculo e elipse
Oi, pessoal. Vamos ver se esse é um pouco melhor... Estou segurando um CD diante dos meus olhos, de modo que, ao olhá-lo, vejo um círculo. Agora passo a rotacioná-lo em torno de seu diâmetro. É possível provar que a figura que passo a ver é uma elipse? []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questão de peso ( Não entendi )
Robÿe9rio Alves escreveu: DAdos n ( n maior ou igual do que 2 ) objetos de pesos distintos, prove que é possivel determinar qual o mais pesado fazendo 2n - 3 pesagens em uma balança de pratos. É esse número mínimo de pesagens que permitem determinar o mais leve e o mais pesado ? __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ O Cláudio já resolveu essa questão. Dá uma olhada no arquivo da lista. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Poderiam resolver essa de números naturais =3F?=
Robÿe9rio Alves escreveu: Seja P(n) uma propriedade relativa ao número natural n. Suponha que P( 1 ) , P ( 2 ) são verdadeiras e que, para qualquer n pertencente a IN, a verdade de P n ) e P ( n + 1 ).Prove que P ( n ) é verdadeira para todo n pertencente a IN Yahoo! Mail %20http://us.rd.yahoo.com/mail/br/taglines/*http://mail.yahoo.com.br/ - Com *250MB* de espaço. Abra sua conta! Essa questão também já foi resolvida. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Fatorial
Pessoal, boa noite! Aqui vai um probleminha: Prove que (n²)! (n!)² para todo n 1. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Inducao(Parte 2)
Penso que resolvi a segunda parte da questão: Sabe-se que ((n + 1)/n) = n, logo: a) Se n = 3 (4/3)³ 3 (a igualdade obviamente não vale) 4³ 3 elevado a 4 Elevando a 1/12 ... 4¹/4 3¹/3 b) Se n = 4 (5/4) elevado a 4 4 5 elevado a 4 4 elevado a 5 Elevando a 1/20 ... 5 elevado a 1/5 4 elevado a 1/4 Procedendo de modo análogo para n=5,6,..., constrói-se a cadeia abaixo: 3¹/3 4¹/4 5¹/5 6¹/6 ... Tudo confere? Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Jogos e matematica
Alguém sabe onde posso encontrar material sobre a matemática do Resta um e do Cubo Mágico? Se for material na internet, melhor ainda. Obrigado a todos. Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Indução
Boa noite, pessoal. A questão abaixo também consta do Vol. 1 de A Matemática do Ensino Médio. Ela tem duas partes, das quais fiz a primeira. Gostaria de pedir que alguém verificasse se está tudo OK. Parte 1) Prove que ((n + 1)/n) elevado a n =n para todo n=3. Para n = 3 temos (4/3)³ =3 Solução Supondo verdadeira para algum k3: ((k + 1)/k) elevado a k =k Multiplico a desigualdade acima por ((k + 1)/k) e obtenho ((k + 1)/k)elevado a (k + 1) = k + 1 Só que quando k 3, (k + 2)/(k + 1) = (k + 1)/k, e daí: ((k + 2)/(k + 1)) elevado a (k + 1) = ((k + 1)/k) elevado a (k + 1) Logo (((k + 1) + 1)/(k + 1)) elevado a (k + 1) = k + 1 Parte 2) Use esse fato para mostrar que a seqüência 1, 2¹/2, 3¹/3, 4¹/4, ... é decrescente a partir do 3o termo. Esta parte ainda está saindo. Desculpem se são questões triviais para vocês. Abraços. Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Teorema de Cantor
Pra ver se finalmente eu aprendo alguma coisa, estou resolvendo os problemas do volume 1 do livro A Matemática do Ensino Médio, do Elon/PC/Wagner/Morgado. Ainda não consegui o seguinte (para quem tem o livro, é o exercício 20 do capítulo 1): Prove o Teorema de Cantor: se A é um conjunto e P(A) é o conjunto das partes de A, não existe uma função f : A--P(A) que seja sobrejetiva. Muito obrigado. Márcio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: (x+1)^p - x^p - 1 Era:[obm-l] Problemas diversos
Dirichlet, você há de reconhecer, também, que calcular isso no braço em casa, com tempo livre, é uma coisa, mas numa prova de 20 questões, com tempo limitado, e tendo outras quetões de nível parecido, já é algo um pouco fora da realidade. Sendo assim, uma questão desse tipo constar numa prova de 8a série, sem as ferramentas adequadas para a sua solução, é meio despropositado. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: Detalhes apenas... 1- Se alguem ai nao sabe binomio de Newton (algo perdoavel para uma oitava serie, e preciso reconhecer), basta calcular no braco! 2- Algo assim ja esteve na IMO... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: (x+1)^p - x^p - 1 Era:[obm-l] Problemas diversos
Johann, Acho que não faz sentido prolongar mais essa discussão. Infelizmente, coisas desse tipo acontecem... Márcio. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: Ahn?? Como isso foi parar numa prova de 20 questoes? E com tempo?? Eu devo concordar contigo, nesse (des)proposito. Alias, quais sao as fontes deste troço? --- Marcio M Rocha [EMAIL PROTECTED] wrote: Dirichlet, você há de reconhecer, também, que calcular isso no braço em casa, com tempo livre, é uma coisa, mas numa prova de 20 questões, com tempo limitado, e tendo outras quetões de nível parecido, já é algo um pouco fora da realidade. Sendo assim, uma questão desse tipo constar numa prova de 8a série, sem as ferramentas adequadas para a sua solução, é meio despropositado. Yahoo! Mail - Com 250MB de espaço. Abra sua conta! http://mail.yahoo.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Determine o algarismo
O Nicolau já matou a questão, mas só como observação para os mais novos, isso era ensinado no primário, há alguns anos, com o nome de noves fora. Era uma das maneiras de se tirar a prova real de uma conta. Nicolau C. Saldanha wrote: On Mon, Mar 14, 2005 at 11:59:24AM -0800, Davidson Lima wrote: Determine o algarismo A no produto (9966334)*(9966332)=99327A93466888. Seja a = 9966334, b = 9966332. Temos a = 4 (mod 9), b = 2 (mod 9) donde ab = 8 (mod 9) Assim 9+9+3+2+7+A+9+3+4+6+6+8+8+8 = 1+A = 8 (mod 9) donde A = 7. O maple confere: ab = 99327793466888. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] raciocinio logico
Anna, Essa questão consta do volume 1 do livro Fundamentos da Matemática Elementar, do Iezzi e outros. Na edição que usei na escola (na década de 80) ele constava dos testes no final do livro. E, se a memória não me falha, a resposta lá é 9. Ou seja, mesmo que você quisesse desconsiderar todas as soluções que foram apresentadas inequivocamente, há discrepância entre o gabarito do professor e o do livro. Faça o que o Guilherme falou. Peça que o professor te convença que a resposta é 11 (o que ele não vai conseguir, segundo tudo que foi mostrado aqui), mas não se deixe levar por um decreto. Abraços. Márcio. Anna Luisa wrote: Oi gente! Obrigadão pelo interesse, mas olha só o gabarito dá a resposta como 11 dias ! Eu num acho de jeito nenhum e o prof diz que o gabarito tá certo! rsrsrsrs []s Anninha. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] QuestÃo de potencia
Se você quer o resultado, usei o Maple e achei o pequeno número abaixo: 1577721810843758121888376491957973652876016166525299413111238457596825 Agora, para provar que termina com um número divisível por 5, é só fazer o seguinte: * 1^99 termina em 1. * 2^99 termina em 8, porque o último algarismo das potências de 2, a partir do expoente 1, repete-se de 4 em 4. Como 99 = 4 x 24 + 3, o último algarismo de 2^99 é o mesmo de 2^3. * 3^99 termina em 7. O último algarismo das potências de 3, a partir do expoente 1, repete-se de 3 em 3. Então o último algarismo de 3^99 é o mesmo de 3^3. * 4^99 = 2^198, que termina em 4. * 5^99 termina em 5. Logo, a expressão termina em 5. []s, Márcio. Robÿe9rio Alves wrote: Qual o resultado da expressão 1^99 + 2^99 + 3^99 + 4^99 + 5^99 e prove que o resultado termina com um número divisível por 5. Yahoo! Mail %20http://us.rd.yahoo.com/mail/br/taglines/*http://mail.yahoo.com.br/ - Com *250MB* de espaço. Abra sua conta! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: (x+1)^p - x^p - 1 Era:[obm-l] Problemas diversos
Valeu pela ajuda nas duas questões, Cláudio. Nessa questão específica eu não queria usar o binômio porque ela consta de uma prova de 8a série. Mas, pelo visto, não tem jeito... Obrigado também pela dica do programa. Márcio. claudio.buffara wrote: *De:* [EMAIL PROTECTED] *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br *Cópia:* *Data:* Sat, 12 Mar 2005 12:16:17 -0300 *Assunto:* [obm-l] Problemas diversos Boa tarde a todos! Gostaria de uma ajuda com os seguintes problemas (não é necessário resolver, só uma idéia já é o bastante) 1) Se é que é possível, como fatorar (x + y)^7 - x^7 - y^7 sem usar expansão binomial? Eu diria que eh possivel, mas usando o binomio e um pouquinho de braco, chega-se a fatoracao 7xy(x+y)(x^2+xy+y^2)^2. Alias, isso me fez pensar nos polinomios F_p(x) = (x+1)^p - x^p - 1, com p primo. Para p = 2, 3 e 5, as fatoracoes sao faceis. Respectivamente: 2x, 3x(x+1) e 5x(x+1)(x^2+x+1). Para p = 7 eh soh usar o resultado acima: 7x(x+1)(x^2+x+1)^2. Usando o Pari-GP - que alias estah com um upgrade facilimo de se intalar (veja o site: http://pari.math.u-bordeaux.fr/download.html e instale isso aqui: Binary distributions (development) * Self-installing *Windows* binary: |Pari-2-2-9.exe| http://pari.math.u-bordeaux.fr/pub/pari/windows/Pari-2-2-9.exe, |5431 KBy, Dec 22 19:09:49 2004| |md5sum: 91c43064500b0d3f9e462dcef70dc6fe Pari-2-2-9.exe | eu cheguei ao seguinte resultado empirico: F_p(x) = p*x*(x+1)*(x^2+x+1)^n*G(x), onde G(x) eh um polinomio irredutivel sobre Q e n = 1 ou 2, dependendo de p. Mais precisamente: n = 1 se p = 5, 11, 17, 23, 29 e 41 n = 2 se p = 7, 13, 19, 31, 37 e 43 Perguntas: 1) A fatoracao acima ocorre para cada primo p ou serah que G(x) eh redutivel para algum p? 2) Os primos para os quais n = 1 sao justamente os primos da forma 6k-1? []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problemas diversos
Boa tarde a todos! Gostaria de uma ajuda com os seguintes problemas (não é necessário resolver, só uma idéia já é o bastante) 1) Se é que é possível, como fatorar (x + y)^7 - x^7 - y^7 sem usar expansão binomial? 2) Uma peça retangular é formada por quadrados, todos do mesmo tamanho. Existem 1274 quadrados numa direção e 990 na outra (suponho que esteja se referindo à horizontal e vertical). Traçando-se a diagonal desse retângulo, em quantas peças quadradas ela toca? Muito obrigado desde já. Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Raciocinio logico
Oi, Ana. Aqui está a sistematização do raciocínio do Bruno: Seja x o número de manhãs com chuva, y o número de tardes com chuva e z o número de dias em que não choveu nem de manhã e nem à tarde. Sabemos que nunca houve um dia inteiro chuvoso (observação 2). Sendo assim: x + y + z = n x + y = 7 (observação 1) x + z = 5 (observação 3) z + y = 6 (observação 4) Somando as três últimas equações você tem: 2(x + y + z) = 18, e daí, x + y + z = 9. Logo, são 9 dias. Abraços. Márcio. Anna Luisa wrote: Oie! Quem sabe raciocínio lógica pra dar uma maozinha aki? Depois de n dias de férias, um estudante observa que: (1) Choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde (2) Quando chove de manhã não chove atarde (3) Houve 5 tardes sem chuva (4) Houve 6 manhãs sem chuva Então n é igual a? Quem souber ajuda por favor! obrigada Anninha. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema sobre valor minimo
Valeu, Claudio. Em primeiro lugar, eu esqueci de colocar que x, y e z são reais positivos por hipótese. Eu havia feito o seguinte: xyz(x+ y + z) = 1 == xz(xy + y^2 + yz) = 1 (I) (x + y)(y + z) = xz + xy + y^2 + yz De (I) vem que xy + y^2 + yz = 1/xz. Sendo assim, o segundo membro de (II) pode ser escrito como xz + 1/xz, que, pela desigualdade das médias, é = 2. O que me deu dor de cabeça foi o fato dessa questão ter caído numa prova respeitável e o gabarito indicar 2/3 como resposta. Como você chegou ao mesmo que eu por outro caminho, penso que o gabarito está furado. Obrigado de novo. Márcio. Claudio Buffara wrote: Supondo que x, y e z sao reais positivos, teremos: xyz(x + y + z) = 1 == y^2 + (x+z)y - 1/(xz) = 0 == y^2 + (x+z)y + xz - (1/(xz) + xz) = 0 == y^2 + (x+z)y + xz = 1/(xz) + xz == (x + y)(y + z) = 1/(xz) + xz = 2 quaisquer que sejam x e z positivos, com igualdade sss xz = 1 == (x + y)(y + z) = 2. O minimo de 2 eh atingido, por exemplo, com x = z = 1 e y = raiz(2) - 1. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema simples (trigonometria)
Oi, Daniel, Vamos dar um passo atrás a partir do ponto onde você parou. y = (cosx + senx)(cos^2x + sen^2x - cosxsenx) y = (cosx + senx)(1 - cosxsenx) y = (cosx + senx)(2 - 2cosxsenx)/2 y = (cosx + senx)(3 - 1 - 2cosxsenx)/2 y = (cosx + senx)[3 - (1 + 2cosxsenx)]/2 y = (cosx + senx)[3 - (cos^2x + sen^2x + 2cosxsenx)]/2 y = (cosx + senx)[3 - (cosx + senx)^2]/2 y = a(3-a^2)/2 Daniel S. Braz wrote: Problema 110 do livro do Iezzi (Fund. de Matematica Elementar. O volume que trata sobre trigonometria..3 ou 4..não me lembro). se cos x + sen x = a ; y = cos^3 x + sen^3 x. Quanto vale y ? Eu já tentei de várias formas..mas na maioria cheguei a alguma coisa do tipo: y = (cosx + senx)(cos^2x - cosxsenx + sen^2x) = a(a^2 - 3cosxsenx) = ?? Ai não tive mais idéias (falta de criatividade, talvez)..Mas, como achar cosxsenx ? A resposta dada no livro é y = a(3 - a^2)/2 []s daniel. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Interpolação Bilinear
Bom dia a todos! Estou procurando material sobre interpolação bilinear. Onde posso encontrar? Muito obrigado. Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Pesquisas acadêmicas no Google
Olá, pessoa! Repasso a vocês uma mensagem que me chegou sobre o Google. Creio que será útil a todos. Abraços. O site de busca Google lançou nesta quinta-feira o Google Scholar (http://scholar.google.com/ ), produto especializado em buscas acadêmicas, como teses de doutorado e informes técnicos. Google Scholar abrange um ampla gama de material, da informática a físicam em pregando algoritmos especialmente desenhados para o mundo acadêmico. Segundo o engenheiro responsável pelo projeto, Anurag Acharya, o serviço, que é gratuito, a princípio não contará com publicidade, acrescentando que o objetivo do Google é ajudar a comunidade acadêmica. O produto é fruto da colaboração da companhia com várias publicações acadêmicas e científicas, como a revista Nature, e se aproveita do fato de a maioria dessas publicações terem uma edição online. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] algebra linear
a) F(x,y) = (x+y,x) e F(a,b) = (a+b, a) Assim, *F[(x,y)+(a,b)]* = F(x+a,y+b) = (x+a+y+b, x+a) = *F(x,y) + F(a,b)* *F[k.(x,y)]* = F(kx,ky) = (kx+ky,kx) = k.(x+y,x) = *k.F(x)* b) F(x,y,z) = (2x-3y+4z) e F(a,b,c) = (2a-3b+4z) Assim, *F[(x,y,z)+(a,b,c)]* = F(x+a, y+b, z+c) = (2x+2a-3y-3b+4z+4c) = (2x-3y+4z)+(2a-3b+4c) = *F(x,y,z) + F(a,b,c) F[k.(x,y,z)]* = F(kx, ky, kz) = 2kx-3ky+4kz = k.(2x-3y+4z) = *k.F(x,y,z)* andrey.bg wrote: Mostre que as seguintes Tranformações F são Lineares: a)- F: R^2^R^2, definidas como F(x,y)=(x+y,x) b)-F: R^3---R, definidas como F(x,y,z)=(2x-3y+4z) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Álgebra linear aplicada
Olá pessoal, Alguém poderia me indicar uma boa referência em álgebra linear com ênfase em aplicações? Dou preferência a livros em português, mas pode ser em inglês também. Obrigado. Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Álgebra linear aplicada
Fábio, Obrigado pela indicação. Vou comprar o do Anton. Eu vi o do Strang na Amazon por 106 dólares, mas aí fica meio complicado! Fabio Niski wrote: O livro do Anton e do Strang. O do Anton foi traduzido para o portugues. Marcio M Rocha wrote: Olá pessoal, Alguém poderia me indicar uma boa referência em álgebra linear com ênfase em aplicações? Dou preferência a livros em português, mas pode ser em inglês também. Obrigado. Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] +++duvidas
Além do expoente igual a zero, basta a base ser igual a 1, ou seja, x^2 - 5x + 7 = 1 x^2 - 5x + 6 = 0 E aí estão os outros dois valores. (x = 2 e x = 3) aryqueirozq wrote: Quantos números reais satisfazem a equação (x^2 -5x+7)^x+1 =1 ? a) 0b) 1c) 2d) 3 e) 4 só achei -1 como resposta, eo gabarito está dizendo que eh a letra D como resposta.Quais as outras solucoes? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Construção de um Quadrilátero Inscritível
Pessoal, Depois de hesitar muito, tentei resolver o problema proposto pelo prof. Wagner e que foi ressuscitado pelo Cláudio.Gostaria que vocês comentassem essa"tentativa" de solução. Mesmo que esteja tudo OK eu achei muito trabalhosa, mas não consegui ver outra coisa. Aqui vai: Supondo o quadrilatero construído, a respeito da diagonal AC podemos escrever: (AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2 - 2.AB.BC.cosB, e (AC)^2 = (AD)^2 + (DC)^2 - 2.AD.DC.cosD Como B e D são suplementares temos que cosB = -cosD = k. Comparando as duas expressões e isolando k, temos: k = [(AB)^2 + (BC)^2 - (AD)^2- (DC)^2] / [2.(AB.BC + AD.DC)] Suponhamos que B seja um ângulo agudo (para que k seja positivo) Adotando como unidade o raio de uma circunferência qualquer, o numerador da expressão acima e construtível, o mesmo acontecendo com o denominador. Assim sendo, podemos construir k. Após construído, transferimos o segmento kpara acircunferência cujo raio adotamos como unidade, e encontramos o valor do ângulo B. Agora o problema se resume a construir um triângulo ABC conhecendo seus lados AB e BC e o ângulo B, o que pode ser feito sem dificuldade. Como as mediatrizes dos lados AB e BC intersectam-se no centro da circunferência circuscrita ao quadrilátero, ela pode ser construída e, a partir daí, é só marcar os segmentos CD e DA. Saudações. Márcio.
Re: [obm-l] 0,9999...=1?
Olá, Gabriel. Gostaria de dar uma outra explicação, além da que foi dada pelo Bernardo. Ela foi dada pelo Prof. Paulo Cezar Carvalho no Curso de Aperfeiçoamento de Professores, realizado este ano no IMPA. Primeiro, temos que 0,999... = 1 ( =: "menor do que ou igual a") Suponha que 0,999... 1 Observe que: 1 - 0,9 = 0,1 1 - 0,99 = 0,01 1 - 0,999 = 0,001 . Isso significa quea distância entre 0,999... e 1 pode tornar-se tão pequena quanto você queira, bastando, para isso, tomar uma quantidade de casas decimais conveniente. Essa distância, então, é sempre menor que qualquer número real. Sendo assim, 0,999... não pode ser estritamente menor que 1. Logo, 0,999... = 1. Qualquer dúvida, é sóescrever. Márcio. - Original Message - From: gabriel To: obm-l Sent: Tuesday, October 19, 2004 7:19 PM Subject: [obm-l] 0,...=1? Olá há algum tempo eu li alguns e-mails aki na lista q tratavam do seguinte tema: 0,99...=1? Será q alguem poderia me explicar mais detalhadamente o assunto? Gabriel.
[obm-l] Soma de números primos
Boatarde a todos. Gostaria da ajuda de vocês com o seguinte problema: Demonstre que a soma de todos os números primos entre 1 e 2004 é menor que 667222. Tentei um caminho destrutivo, eliminado alguns números que não são primos: a) Da seqüência 1, 2, 3, ..., 2004, retirei o 1 e os números pares maiores que 2. b) Calculei a soma S dos termos da seqüência restante S = 2 + 3 + 5 + 7 + 9 +...+ 2003 obtendo S = 1 004 005. c) Da seqüência anterior, eliminei os múltiplos de 3 maiores que 3. Como a soma desses múltiplos é 334 665, a soma S1 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + ... + 2003 vale S1 = S 334 665 = 669 340. Como a seqüência 2, 3, 5, 7, 11, ..., 2003 é formada ainda por números compostos, basta que eu retire alguns deles, lembrando apenas de não retirar nenhum múltiplo de 3. Retiro, então, 1963 = 13 x 151 e 155 =5 x 31, e a soma dos números restantes fica igual a 667 222. Como ainda há números compostos, está claro que a soma dos primos entre 1 e 2004 deve ser menor que 667 222. Está tudo OK? Alguémpoderiadarum caminho melhor? Abraços, Márcio Rocha. P.S. Embora reconheça que muitos participantes da lista não necessitem, gostaria de pedir em meu nome ( e talvez no de outros), que as soluções, sempre que possível, viessem acompanhadas das "motivações", para que aqueles que lêem não fiquem com a sensação de "coelho tirado da cartola". Peço isso porque li um artigo de Miguel de Guzmán onde ele diz queEuler, em sua obra,"colocava-se inicialmente na ignorância do temae dos métodos queiriaempregar, para começar en condicões de igualdade con aquele a quem trata de conduzir pelo caminho,ajudando-o a ver as dificuldades que elemesmo encontrou, levando-o,às vezes, porcaminhos equivocados queele mesmo havia percorrido antes, a fim de que aprenda também dos equívocos". (O artigo completo em espanhol está em www.campus-oei.org/oim/saladelectura.htm, sob o título "O papel do matemático en la educación matemática" Se não estiver fora do tema, poder-se-ia discutir também estratégias de solução, como as apresentadas no Problem Solving Strategies. Desculpem se escrevi demais.
[obm-l] SEQÜÊNCIA DOS DIVISORES POSITIVOS
Olá, pessoal. Já que estão falando sobre divisores, vejamos o seguinte: Seja N um número natural com uma quantidade ímpar de divisores positivos. Então N é quadrado perfeito, OK? Agora duas perguntas: 1) Ordenando crescentemente esses divisores de N, o termo que ocupa o lugar central é sempre igual a raiz quadrada de N? 2) Quando N possui apenas um fator primo, seus divisores formam uma PG cuja razão é o próprio fator primo. Pórém, quando isso não acontece,a razão entre um termo e seu antecessor não é contante. Apesar disso, há uma repetição dessas razões. Observem os exemplos abaixo: a) Div(36) = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 36/18 = 2 18/12 = 1.5 12/9 = 1.333... 9/6 = 1.5 6/4 = 1.5 4/3 = 1.333... 3/2 = 1.5 2/1 = 2 b) Div(100) = 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 100/50 = 2 50/25 = 2 25/20 = 1.25 20/10 = 2 10/5 = 2 5/4 = 1.25 4/2 = 2 2/1 = 2 c) Div(225) = 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225 225/75 = 3 75/45 = 1.666... 45/25 = 1.8 25/15 = 1.666... 15/9 = 1.666... 9/5 = 1.8 5/3 = 1.666... 3/1 = 3 Não quero encher a lista com cultura inútil, por isso, se for RELEVANTE,é possível generalizar algo sobre isso? Abraços. Márcio.
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida
Douglas, a sua pergunta foi ótima, porque dizer simplesmente que 0! =1 por definição pode dar a idéia de que é algo imposto, e que poderiam ter definido 0! como sendo igual a qualquer coisa, quando não é esse o caso. Penso que a idéia básica é a mesma de quando se define que qualquer número não nulo elevado a zero é 1. Ou seja, não cair em certas dificuldades. Por exemplo, o binomial (n, n) é, sem dúvida, igual a 1, já que exprime o número de combinações de n objetos tomados n a n. Calculando-o via fatorial, obtemos 0! no denominador. O único valor plausível para 0! é 1. Creio que repostas melhores aparecerão, mas, no pouco tempo que tive para escrever, foi o melhor que pude conseguir. Abraços. Márcio. - Original Message - From: Douglas Drumond [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, October 03, 2004 7:09 PM Subject: Re: [obm-l] Dúvida Gostaria de saber por que 0! = 1. Por definicao. Mas qual foi a motivação para definir 0! = 1 ? []'s Douglas = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
