[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE – NÍVEL 3 -- 2ª questão
Douglas, desculpe-me, li mal o problema, a minha solução segue abaixo: como c + x^2 é múltiplo de 2^2007, então c + x^2 = w2^2007 partimos de duas constatações: a) um quadrado perfeito par é divisível por 4 **prova: tome x^2 par == x é par == x = 2k ==: x^2 = 4k^2 b) um quadrado perfeito ímpar é da forma 8a + 1 **prova: tome x^2 ímpar == x é ímpar == x é da forma 2n+1 == x^2 = (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4n(n+1) + 1, como n e n+1 são consecutivos, um deles é par, logo n(n+1) por ser escrito como 2a == 4n(n+1) + 1 = 8a + 1 = x^2 1 ) no caso em que x^2 é par, temos que x^2 = 4k^2 == c = w2^2007 - 4k^2, como 4 divide 2^2007 == 4 divide w2^2007 - 4k^2 == 4 divide c, logo c assume os valores múltiplos de 4 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 suficientemente grande seja divisível por 2^2007), incluindo o zero, que são no total de 501 + 501 + 1 = 1003 (4 divide 2007 - 3 em 501 partes, mesmo raciocínio para 3 - 2007) 2 ) no caso em que x^2 é ímpar, temos que x^2 = 8a + 1 == c + 8a + 1 = w2^2007 == c + 1 = w2^2007 - 8a, como 8 divide w2^2007 - 8a == 8 divide c + 1, logo c assume os valores que somados a 1 são múltiplos de 8 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 suficientemente grande seja divisível por 2^2007, mesmo raciocínio), excluindo o zero pois já foi contado, que são no total de 250 + 250 = 500 (8 divide 2007 - 7 em 250 partes, mesmo raciocínio para 7 - 2007) RESP: para 1503 inteiros c - Original Message - From: douglas paula To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, May 27, 2008 9:44 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE – NÃVEL 3 -- 2ª questão rodrigo, ao meu ver, c + x^2 = k 2^2007 , onde k é qq natural e k 2^2007 não é necessariamente igual à 2^n venho a um bom tempo quebrando a cabeça nessa questão mas sem conseguir muito resultado ... [EMAIL PROTECTED] escreveu:  vou tentar, 2^n - x^2 = c tal qque 1 n 2007, como todo número pode ser expresso como diferença de dois quadrados, só existem c tal que n possa ser um quadrado, de sorte que c seja expresso como diferença de dois quadrados - Original Message - From: douglas paula To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, May 17, 2008 11:02 PM Subject: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE – NÃVEL 3 -- 2ª questão XXIX OLIMPÃADA BRASILEIRA DE MATEMÃTICA TERCEIRA FASE – NÃVEL 3 (Ensino Médio) PRIMEIRO DIA PROBLEMA 2 Para quantos números inteiros c, - 2007 = c = 2007 , existe um inteiro x tal que x^2 + c é múltiplo de 2^2007? alguém se habilita? grato, Douglas Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Res: Res: [obm-l] Produto finito
Albert e demais que trabalharam neste problema: achei um link de pesquisas da ATT Integer sequences research (pesquisa em sequência de inteiros), e me parece que pelo menos até o momento ninguém conhece uma fórmula fechada para este produto, pois acredito (achismo) que geralmente eles colocam a fórmula fechada, ou recursiva como queira, caso existente nas páginas de sequência de inteiros. Em outras palavras: é muito improvável que exista uma fórmula fechada para o produto P=(1+1^2)*(1+2^2)*(1+3^2)*...*(1+n^2), cuja única fórmula recursiva com alguma simetria que encontrei foi para o caso n=4, a saber: P=2+ [1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2]^2 + 2(4!)^2 -( 1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4) Pra quem gosta de teoria dos números é uma ótima fonte de pesquisa sobre o assunto, pois a ATT possui CPUs dentre as com maior capacidade de processamento do mundo e financiam pesquisas de matemática pura (isso mesmo!!!), no caso teoria dos números, para testar por exemplo milhares de conjecturas sobre números primos e similares. link: http://www.research.att.com/~njas/sequences/A101686 Um exemplo é esta busca por sequências correlatas a primos gêmeos: http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=twin+primeslanguage=englishgo=Search Divirtam-se, Rodrigo - Mensagem original De: albert richerd carnier guedes [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 29 de Novembro de 2007 11:51:59 Assunto: Re: Res: [obm-l] Produto finito Rodrigo Renji escreveu: Cheguei em outro resultado doido pra esse produto, mas nem sei se esta certo produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) = ( somatorio[k=0 até n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) ) onde s(n,k) são numeros de stirling do primeiro tipo com sinal |s(n,k)| sendo o módulo desses números, i o número complexo. A conclusão partiu de (1+k²)=(k+i)(k-i) depois separar o produtorio em dois, depois usar a propriedade do produtorio que resultou poder ser escrito como somas de potencias com coeficientes em números de stirling, nada simples eu acho abraços Em 28/11/07, albert richerd carnier guedes[EMAIL PROTECTED] escreveu: Rodrigo Cientista escreveu: Caro Nehab, uma dúvida: os termos, individualmente, me parecem ser negativos, certo? (à exceção do primeoro que é=0), sendo assim, calcularíamos o fatorial de números negativos? exite isso? se sim, fatorial de número par seria positivo, e de número ímpar seria negativo, os mais geralmente, -N! = (-1)^N * N! *** Carlos Nehab Tue, 27 Nov 2007 01:45:00 -0800 Oi, Albert (e Ponce) Faltou aplicar o fatorial em cada parcela do produtório... Nehab - Mensagem original De: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 27 de Novembro de 2007 3:36:56 Assunto: Re: [obm-l] Produto finito Ola' Albert, voce deve ter se enganado com alguma coisa no texto. Do jeito que esta' , o produto e' sempre zero. []'s Rogerio Ponce Em 27/11/07, albert richerd carnier guedes[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá. É a primeira vez que estou escrevendo para esta lista. Alguém sabe qual é o valor do produto finito P = ( 1 - 1^2 )( 1 - 2^2 )( 1 -3^2 )... ( 1 - N^2 )em função de N. Eu sei que ele possue o valor entre (N+1)! e (N+1)!N!. Agradeço qualquer sugestão. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Só para não criar um buraco no assunto, a solução do produto P = ( 1 - 2^2 ).( 1 - 4^2 ).( 1 - 5^2 ) ... ( 1 - N^2 ) sempre começa em 2, pois se começar em 1 fica tudo 0. Ele é bem mais fácil de achar. Se tivermos a_n = ( 1 - n^2 ), podemos colocar na forma a_n = ( 1 - n )( 1 + n ) e teremos o produto P = ... [( 1 - n ).( 1 + n )] ...[( 1 - N ).( 1 + N )] e isso dá para separar em dois produtos mais fáceis P_1 = ( 1 - 2 ) ... ( 1 - n ) ... ( 1
[obm-l] Res: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re : [obm-l] Demonstrações
Acredito que o que o albert quer dizer é o seguinte: o problema do milênio relacionado aos problemas NP é demonstrar que um problema NP pode ser expresso em termos de um problema P (mas não necessariamente dar um exemplo disso). Imagine uma empresa de entregas que deseja minimizar seus custos de frete, devendo-se para tal determinar qual a menor rota entre um município brasileiro e outro, passando por todos, nos seguinte termos: Tempo para ir do município A ao B: x horas Tempo para ir do município A ao C: y horas Tempo para ir do município A ao D: z horas . . . Tempo para ir do município Y ao Z: n horas supondo 27 municípios que permitam um caminho entre cada um deles, isto é, cada um se combina com todos os demais, todos formam duplas com todos, pra efeitos de simplificação. neste sentido, todas rotas possíveis são em número = 27! claramente a cada incremento de um município teremos um incremento muito maior de rotas a serem examinadas por um programa computacional qualquer, sendo este um problema com tempo de processamento não polinomial (NP) agora imagine um problema em que pede-se pra calcular o tempo médio de cada rota que parte de A e termina em A, tal que cada rota seguinte seja escolhida dentre as com menor tempo, passando por todos os municípios pelo menos uma vez. Se formos aumentando o número de municípios o tempo de processamento crescrerá aritmeticamente. Este é um problema com tempo de processamento polinomial (P). existe alguma forma de contruir-se uma máquina capaz de resolver problemas não-polinomiais como esses em tempos polinomiais? o problema do milênio pede que se demonstre apenas a possibilidade, não que se dê um exemplo concreto, acho q era isso que o albert estava querendo dizer com demonstração de demonstração, o que em última análise poderia ser melhor expresso como demonstração de possibilidade - Mensagem original De: Sérgio Martins da Silva [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 23 de Dezembro de 2007 18:21:50 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações Caros Rodrigo e arcguede, Poderiam me esclarecer o que demonstração de uma demonstração tem a ver com problemas NP? Qual bibliografia recomendam sobre isso? Abraços, Sérgio - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, December 18, 2007 12:46 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações Acredito que o problema NP seja provar que existe ou não uma forma matemática, objetiva, de transformar problemas NP (com tempo de processamento não polinomial) em problemas P (tempo de processamento polinomial). Correto? qual seria a remissão a que você se referiu? - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, December 17, 2007 2:16 AM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações Acho que isso nos remete ao terceiro problema do milênio - o problema NP. [EMAIL PROTECTED] escreveu: Acredito que uma demonstração de demonstração seria algo como chover no molhado. Uma demonstração está correta se, em última instância, está de acordo com os axiomas mais básicos da matéria. Então, uma demonstração de demontração recorreria, também em última análise, exatamente aos mesmos axiomas, sendo assim redundante. Se você fala inglês, aqui está um fórum onde há diversos debates interessantes sobre esses assuntos, além de resolução técnica de questões de matemática, física química, engenharia em geral, etc... http://www.physicsforums.com/ abraços - Original Message - From: Sérgio Martins da Silva [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, December 16, 2007 10:56 PM Subject: [obm-l] Demonstrações Doutores, Penso que a palavra mais comum nesta lista e, quiçá, da matemática é demonstração. Por isto, gostaria de saber como se demonstra que uma demonstração está correta. E mais, que é completa. Quais são os requisitos, condições, etc ? Abraços, Sérgio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na
[obm-l] Res: [obm-l] DOMÍNIO DA FUNÇÃO
a função y=log(x) só está definida para valores de x 0 como log 1 = 0 == log(log1) = não definido, assim letra D - Mensagem original De: arkon [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 12 de Dezembro de 2007 13:36:31 Assunto: [obm-l] DOMÍNIO DA FUNÇÃO ALGUÉM PODE, POR FAVOR, RESOLVER ESTA: (UFPB-71) O domínio da função definida por f(x) = log (log x) é: a) O conjunto dos números reais maiores que zero e menores que um. b) O conjunto dos números reais menores que um. c) O conjunto dos números inteiros positivos. d) O conjunto dos números reais maiores que um. e) O conjunto dos números irracionais. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] segunda fase - nível universitário 2007
PROBLEMA 2:
Dado um inteiro positivo n, mostre que existe um inteiro positivo N com a
seguinte propriedade: se A é um subconjunto de {1,2,...,N} com pelo menos N/2
elementos, então existe um inteiro positivo m= N - n tal que |A interseção
com {m+1, m+2,..., m+k}|=k/2
para todo k = 1, 2, …, n.
**
(gostaria de comentários sobre esta demonstração, falhas, se conhecem alguma
demonstração pra esse problema, pois ainda não tem o gabarito)
suponha existir x N - n tal que |A interseção com {x+1, x+2,..., x+k}|=k/2
como x + n N, pelo menos um elemento de {x+1, x+2,..., x+k} será maior que
qualquer elemento de A; escolhendo-se um n = 1, a afirmação acima é falsa
assim, se |A interseção com {m+1, m+2,..., m+k}|=k/2 == existe m = N - n
chamemos S = {m+1, m+2,..., m+k}
m + n = N == m + k = N para todo k = 1, 2, …, n ==
== S é subconjunto de {1,2,...,N}, ou é o próprio conjunto {1,2,...,N} na
hipótese em que N = n
quando N = n é trivial que |A interseção com {m+1, m+2,..., m+k}|=k/2 (= k/2
na verdade)
suponha N n == N/2 n/2 == |{1,2,...,N}| |S| == |A| |S|/2 = n/2
como S está contido em {1,2,...,N} == é sempre possível tomar-se um
subconjunto A de {1,2,...,N} tal que S/2 esteja contido em A
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Res: [obm-l] Exercicio olimpico
fala só em 2007 fatores primos? sem especificar se são distintos ou não, então? pode ser p^2007 se não houver essa restrição, digamos (a^29-1)/(a-1) = p^2007 == == a^29 - a*p^2007 + (p^2007 - 1) = 0 por fermat a^29 == a mod 29 a divide (p^2007 - 1) == p^2007 == 1 mod a continua com fi de a, acho q sai alguma coisa... - Mensagem original De: Ruy Oliveira [EMAIL PROTECTED] Para: Lista discussão obm obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Segunda-feira, 3 de Dezembro de 2007 16:39:16 Assunto: [obm-l] Exercicio olimpico Caiu na terceira fase...Qual o valor de a para que(a^29-1)/(a-1)tenha pelo menos 2007 fatores primos? Não sei se o enunciado perguntava qual o menor valor de a Se alguém puder me mandar a resolução agradeço antecipadamente. Ruy Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Exercícios Resolvidos - Teoria dos Números
Olá pessoal, Vocês sabem me dizer se existe algum material (livro, apostila, etc), em português, espanhol ou inglês, com exercícios de teoria dos números resolvidos? Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] provas de convergê ncia: sequência de fibonacci e análogas
Vou colocar oq considero a minha prova para a convergência:
Inicialmente fiz algumas observações (usando a sequência de Lucas, mas pode ser
generalizado):
a)(an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5 (é +5 se n é par, e -5 se n é ímpar) obs: com
+- quero dizer + ou -
Note que eu não sei se isto é verdade para toda a sequência, já que uma
observação não é prova. Entretanto, se eu conseguisse provar que este fato é
verdade, eu poderia dividir todos os termos da equação por (an)*(an-1),
chegando à seguinte expressão:
(an)/(an-1) = (an+1)/(an) +-5/[(an)*(an-1)]
Usando-se limites, vemos que quando n-- infinito, +-5/[(an)*(an-1)]-- 0, e
(an)/(an-1)-- (an+1)/(an), e por indução vemos que (an)/(an-1)-- razão áurea.
Usando a própria definição da sequência:
(an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5, sabe-se que an+1=an + an-1
(an)^2= (an-1)*(an + an-1) +- 5 == (an)^2 - (an-1)^2= (an-1)*(an) +- 5 ==
== (an + an-1)(an - an-1) = (an-1)*(an) +- 5, sabe-se que (an - an-1) = an-2
==
== (an + an-1)(an-2) = (an-1)*(an) +- 5, sabe-se que an = an-1 + an-2 ==
== (an + an-1)(an-2) = (an-1)*(an-1 + an-2 ) +- 5 ==
== (an-2)*(an) + (an-1)*(an-2) = (an-1)^2 + (an-1)*(an-2) +- 5 == (an-1)^2 =
(an-2)*(an) +- 5
comparando-se a expressão original com esta,
(an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5
(an-1)^2 = (an-2)*(an) +- 5
ou mais geralmente:
(ai)^2 = (ai-1)*(ai+1) +- 5, com i=2,3,4,5,6...,n
provando por indução sobre n
Como já foi previamente dito, agora podemos resolver o limite, a saber:
LIM (an)/(an-1) =LIM{ (an+1)/(an) +-5/[(an)*(an-1)] } n-- infinito
LIM (an)/(an-1) =LIM(an+1)/(an) + LIM{ +-5/[(an)*(an-1)] } n-- infinito
LIM{ +-5/[(an)*(an-1)] } n-- infinito é ZERO
NO LIMITE, (an)/(an-1) = (an+1)/(an) + 0
Assim a prova está completa!
OBS: note que qualquer sequência coma regra de formação da sequência de
fibonacci forma um padrão de repetição dos últimos dígitos, mas se
substituirmos +-5 por +-x o resultado final não muda, o que generaliza a prova
para qualquer sequência do tipo de fibonacci
- Mensagem original
De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 29 de Novembro de 2007 10:19:05
Assunto: Re: [obm-l] Res: [obm-l] provas de convergência: sequência de
fibonacci e análogas
On Nov 28, 2007 9:15 PM, Rodrigo Cientista
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Nicolau, realmente eu estava me referindo à sequência das razões a_n/a_(n-1)
Algo que eu não consegui entender é: vc se baseia na suposição de que o
limite existe, e caso ele exista é phi, isso que não entra na minha cabeça!
Não entendo pq ou onde você acha que eu supus que o limite exista.
Recapitulando a demonstração:
Provamos que a_n = A phi^n + B phib^n, A diferente de 0 (acho que isto
está claro, não?).
Provamos que lim a_n/phi^n = A (ou mais precisamente, que o limite
existe e é igual a A).
Calculamos o limite assim:
lim a_(n+1)/a_n = phi * (lim a_(n+1)/phi^(n+1))/(lim a_n/phi^n) (isto
é, se os limites do lado direito existirem e o denominador for não
nulo então o
limite do lado esquerdo tb existe e tem o valor indicado)
lim a_(n+1)/a_n = phi*A/A = phi (pois já provamos que os limites da eq
anterior existem e são ambos iguais a phi).
Assim provamos que o limite existe ao mesmo tempo que calculamos o
limite. Esta é a forma mais simples e usual de calcular um limite.
N.
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[obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] p rovas de convergência: sequência de fibonacci e an álogas
Prezado Nicolau,
Em primeiro lugar obrigado pela sua colaboração em esclarecer minhas dúvidas!
Em segundo, realmente não entendi seu argumento final... meu raciocínio foi de
que como no limite os termos da sequência se igualam a série seja convergente.
Outra forma de provar a convergência: se uma sequência tem a característica de
que a1=a2=a3=...=an, e a_n - a_(n-1) --0 quando n-- infinito, posso
afirmar q ela converge? Acho q vi isso num livro de cálculo (George Simmons) e
era um método (teste de convergência) de Leibiniz. Vou olhar hoje a noite
melhor, mas se for isso acredito que se encaixa na sequência estudada.
abração!
- Mensagem original
De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 29 de Novembro de 2007 12:40:35
Assunto: Re: [obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] provas de convergência:
sequência de fibonacci e análogas
On Nov 29, 2007 11:37 AM, Rodrigo Cientista
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Vou colocar oq considero a minha prova para a convergência:
Inicialmente fiz algumas observações (usando a sequência de Lucas, mas pode
ser generalizado):
a)(an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5 (é +5 se n é par, e -5 se n é ímpar) obs:
com +- quero dizer + ou -
Note que eu não sei se isto é verdade para toda a sequência, já que uma
observação não é prova. Entretanto, se eu conseguisse provar que este fato é
verdade, eu poderia dividir todos os termos da equação por (an)*(an-1),
chegando à seguinte expressão:
Isto é verdade trocando 5 por outra constante para qq solução de
a_(n+1) = a_n + a_(n-1).
Há várias maneiras de ver isso. A mais óbvia é usar a fórmula a_n = A
phi^n + B phib^n.
Outra é ver que
[[a_(n+2),a_(n+1)],[a_(n+1),a_n]] = [[1,1],[1,0]] *
[[a_(n+1),a_n],[a_n,a_(n-1)]]
donde, tirando determinantes,
a_(n+2)*a_n - (a_(n+1))^2 = - (a_(n+1)*a_(n-1) - (a_n)^2)
(an)/(an-1) = (an+1)/(an) +-5/[(an)*(an-1)]
Usando-se limites, vemos que quando n-- infinito, +-5/[(an)*(an-1)]-- 0, e
(an)/(an-1)-- (an+1)/(an), e por indução vemos que (an)/(an-1)-- razão
áurea.
Usando a própria definição da sequência:
(an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5, sabe-se que an+1=an + an-1
(an)^2= (an-1)*(an + an-1) +- 5 == (an)^2 - (an-1)^2= (an-1)*(an) +- 5 ==
== (an + an-1)(an - an-1) = (an-1)*(an) +- 5, sabe-se que (an - an-1) = an-2
==
== (an + an-1)(an-2) = (an-1)*(an) +- 5, sabe-se que an = an-1 + an-2 ==
== (an + an-1)(an-2) = (an-1)*(an-1 + an-2 ) +- 5 ==
== (an-2)*(an) + (an-1)*(an-2) = (an-1)^2 + (an-1)*(an-2) +- 5 == (an-1)^2
= (an-2)*(an) +- 5
comparando-se a expressão original com esta,
(an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5
(an-1)^2 = (an-2)*(an) +- 5
ou mais geralmente:
(ai)^2 = (ai-1)*(ai+1) +- 5, com i=2,3,4,5,6...,n
provando por indução sobre n
Como já foi previamente dito, agora podemos resolver o limite, a saber:
LIM (an)/(an-1) =LIM{ (an+1)/(an) +-5/[(an)*(an-1)] } n-- infinito
LIM (an)/(an-1) =LIM(an+1)/(an) + LIM{ +-5/[(an)*(an-1)] } n-- infinito
LIM{ +-5/[(an)*(an-1)] } n-- infinito é ZERO
NO LIMITE, (an)/(an-1) = (an+1)/(an) + 0
Assim a prova está completa!
Infelizmente considero a sua demonstração incompleta (além de ser
desnecessariamente complicada).
Você demonstrou que
lim ( (a_(n+1)/a_n) - (a_n/a_(n-1)) ) = 0
Isto NÃO implica na existência de
lim a_(n+1)/a_n
Para ver isso, considere c_n = log(n).
Temos
lim c_(n+1) - c_n = 0
mas
lim c_n = +infinito.
Em outras palavras, se o termo geral de uma série tende a zero isto
não garante a convergência da série.
N.
=
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=
Res: Res: [obm-l] Produto finito
produtorio que resultou poder ser escrito
como somas de potencias com coeficientes em números de stirling, nada
simples eu acho
abraços
Em 28/11/07, albert richerd carnier guedes[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Rodrigo Cientista escreveu:
Caro Nehab,
uma dúvida: os termos, individualmente, me parecem ser
negativos, certo? (à exceção do primeoro que é=0), sendo assim,
calcularíamos o fatorial de números negativos? exite isso? se sim,
fatorial
de número par seria positivo, e de número ímpar seria negativo, os mais
geralmente, -N! = (-1)^N *
N!
***
Carlos
Nehab
Tue, 27 Nov 2007 01:45:00 -0800
Oi, Albert (e Ponce)
Faltou aplicar o
fatorial em cada parcela do produtório...
Nehab
- Mensagem original
De: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Terça-feira, 27 de Novembro de 2007
3:36:56
Assunto: Re: [obm-l] Produto finito
Ola' Albert,
voce deve ter se
enganado com alguma coisa no texto.
Do jeito que esta' , o produto e' sempre
zero.
[]'s
Rogerio Ponce
Em 27/11/07, albert richerd carnier
guedes[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá. É a primeira vez que estou escrevendo para esta lista.
Alguém sabe qual
é o valor do produto finito
P = ( 1 - 1^2 )( 1 - 2^2 )( 1 -3^2 )... ( 1 -
N^2 )em função de N.
Eu sei que ele possue o valor entre (N+1)! e
(N+1)!N!.
Agradeço qualquer
sugestão.
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para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para
armazenamento!
http://br.mail.yahoo.com/
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Só para não criar um buraco no assunto, a solução do produto
P = ( 1 - 2^2 ).( 1 - 4^2 ).( 1 - 5^2 ) ... ( 1 - N^2 )
sempre começa em
2, pois se começar em 1 fica tudo 0.
Ele é bem mais fácil de achar.
Se
tivermos a_n = ( 1 - n^2 ), podemos colocar na forma
a_n = ( 1 - n )( 1 + n
)
e teremos o produto
P = ... [( 1 - n ).( 1 + n )] ...[( 1 - N ).( 1 + N
)]
e isso dá para separar em dois produtos mais fáceis
P_1 = ( 1 - 2 ) ...
( 1 - n ) ... ( 1 - N ) = (-1)^{N-1}.(N-1)!
P_2 = ( 1 + 2 ) ... ( 1 + n )
... ( 1 + N ) = ( N + 1 )!/2
E teremos
P = P_1 . P_2 = (-1)^{N-1}.(N-1)!(
N +1 )!/2
Pouca gente fala sobre produtos finitos, mas eu gosto muito
deles.
Não sei pra que servem, mas acho muito legais.
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Então sem querer eu ressucitei os números de Stirling. :)
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[obm-l] Res: [obm-l] provas de convergência: sequência de fibonacci e análogas
Nicolau, realmente eu estava me referindo à sequência das razões a_n/a_(n-1) Algo que eu não consegui entender é: vc se baseia na suposição de que o limite existe, e caso ele exista é phi, isso que não entra na minha cabeça! Supondo que o limite existe, ele é igual a phi, mas eu não sei se ele existe, então não entendi como usar a suposição da sua existência na prova de sua própria existência. Eu não deveria, por exemplo, supor que ele não existe e identificar a contradição decorrente dessa suposição (uma forma de prova)? Eu nunca tinha visto a fórmula que você apresentou... chegou-se a essa fórmula sem supor a existência do limite? Me perdôe se a pergunta é tôla, sou apenas um amador... Aguardo comentários Não entendi. A seq de Fibo tende para +infinito então ela diverge (trivialmente). Pela sua mensagem suspeito que você esteja querendo provar que existe o limite lim a_(n+1)/a_n. Se for isso, segue facilmente da fórmula a_n = A phi^n + B phib^n onde phi = (1+sqrt(5))/2, phib = (1-sqrt(5))/2. Como phi 1 e -1 phib 0 temos lim a_n/(A phi^n) = lim ( 1 + (B/A)*(phib/phi)^n ) = 1 desde que A seja diferente de 0. Assim lim a_(n+1)/a_n = lim (A phi^(n+1))/(A phi^n) = phi. On Nov 27, 2007 9:58 PM, Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém conheceria uma prova de convergência da sequência de fibonacci? ou sequências com a mesma regra de formação (a de lucas, por exemplo: 1,3,4,7,11,18...) Dei uma prova de convergência feia a partir da sequência de lucas (mas o mesmo argumento vale para a sequência de fibonacci e qualquer outra) Repare que achar a razão áurea (pelo menos pelo método tradicional***) não prova a convergência da sequência ***seja an = an-1 + an-2 a regra de formação; SE a sequência das razões an/an-1converge para um limite L, então quando n-- infinito, an/an-1 -- L na verdade, no limite an/an-1 = L, como an+1 = an + an-1, an/an-1 = (an + an-1)/an = 1+an-1/an == L = 1 + 1/L == L^2 - L - 1 = 0 == L = (1 +ou- 5^1/2)/2, desprezando-se o caso do sinal negativo (pois an é sempre maior que an-1 e no caso negativo L seria 1) Mas tudo isso baseado na suposição, gostaria de ver uma prova da convergência mais bonita... (a minha é muito grande pra esse espaço) Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Res: [obm-l] Teoria dos Números: outro problema de Fermat
Saulo, 1. não se sabe se o quadrado é maior ou menor que o cubo (o problema dá um caso, mas fala em número entre um quadrado e um cubo, pode ser que haja um cubo que somado a 2 seja um quadrado) 2. as funçoes x^3 e x^2 tem taxas de crescimento diferentes de modo que a diferença entre elas so passe por 2 apenas uma vez. isso não é necessariamente verdade, se traçarmos no mesmo gráfico uma função quadrática e uma cúbica e traçarmos diversas retas horizontais paralelas ao eixodos x de forma que a diferença entre elas (no eixo dos y) seja igual a 2, teremos vários pares de pontos de interceptação com as curvas em que suas diferenças são iguais a 2 (ex: a diferença entre o ponto de interceptação da cúbica com a reta c e o ponto de interceptação da quadrática com a reta b (ou d) é 2, e assim sucessivamente) O que poderia ser usado como prova é mostrar que somente um par desses pontos ( 25,27) é de inteiros positivos, os outros não podem ser inteiros positivos obs: repare que a diferença é representada no eixo dos y, no eixo dos x entram os valores (no caso do 26 os valores são 5^2 e 3^3) y ^ | | |- a |* o }2 |- b | * o }2 |- c | * o }2 |- d | * o }2 |- e | * o }2 |- f |*o_}2 __ x concorda? um tempêro adicional: esse problema foi um daqueles que Fermat gostava de usar pra desafiar outros matemáticos, ele demorou dias pra construir a demonstração na época e o matemático Wallis desistiu da solução. - Mensagem original De: saulo nilson [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 28 de Novembro de 2007 19:46:09 Assunto: Re: [obm-l] Teoria dos Números: outro problema de Fermat n-1,n,n+1 n-1=x^2 n=x^2+1 x^2+2=y^3 y^3-x^2=2 as funçoes x^3 e x^2 tem taxas de crescimento diferentes de modo que a diferença entre elas so passe por 2 apenas uma vez. On 11/26/07, Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém teria a demonstração para o seguinte problema: prove que 26 é o único natural entre um quadrado e um cubo (5^2=25 e 3^3=27) cheguei muito perto mas falta alguma coisa... Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] provas de convergê ncia: sequência de fibonacci e análogas
Entendi, é uma variação da mesma suposição: suponha que para n suficientemente grande, as razões a_n/a_(n-1), a_(n+1)/a_n, a_(n+2)/a_(n+1)... guardem uma mesma proporção, chamada phi, o que significa que para achar o termo seguinte multiplicamos o antecedente por phi, já que a_n/a_(n-1)=phi == a_n=phi*a_(n-1), isto implica uma sequência phi, phi^2, phi^3,...,phi^n, daí sua formulação, eu a entendi ! Minha dúvida, acho que é mais uma questão de lógica, é: você chegou ao valor do limite SUPONDO q ele exista, quando você não sabe a priori se ele existe ou não. em outras palavras: supor que ele exista, e em decorrência disso achar um valor definido para ele, faz PROVA de sua existência? ou ainda de outra forma: supor a existência de algo em matemática, a partir dessa suposição chegar a uma certa conclusão (algo=x) sem contradições, faz prova da veracidade? se a suposição fosse falsa necessariamente eu acharia uma contradição? é que eu construí uma prova sem usar nenhuma suposição de existência, apenas a partir da definição f(n+2)=f(n+1)+f(n), o que é dado... mas acho q foi um furo de lógica da minha parte não ter seguido o caminho menos braçal (inexperiência com provas lógicas) abraços - Mensagem original De: Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 28 de Novembro de 2007 21:15:57 Assunto: Re: [obm-l] Res: [obm-l] provas de convergência: sequência de fibonacci e análogas Rodrigo, você esta falando da forma geral dos termos da sequência de fibonacci? se for ela pode ser deduzida assim a sequencia de fibonacci satizfas a recorrencia f(n+2)=f(n+1)+f(n) com condições iniciais f(0)=1=f(1) (ou f(1)=f(2)=1) um meio é chutar uma solução do tipo f(n)=b^n ficando com b^(n+2)=b^(n+1)+b^(n) b^n .b² =b^n. b + b^n, queremos b^n diferente de zero dai temos b²=b+1 b²-b-1=0 então b=[1+ou -raiz(5)]/2 logo as soluções ficam f(n)=c1.b1^n +c2.b2^n, onde b1 e b2 são as soluções da equação do segundo grau acima c1 e c2 são constantes que devem ser determinadas pelas condições iniciais da recorrencia, que no caso seriam f(0)=1=f(1), tendo essas informações se chega na formula geral da sequencia de fibonacci tenho outro meio de chegar na mesma resposta usando operadores Delta vou definir assim Df(n)=f(n+1)-f(n) e o operador expansão Ef(n)=f(n+1) E²f(n)=f(n+2) é possivel fazer o seguinte f(n+2)=f(n+1)+f(n) E²f(n)=Ef(n)+f(n) (E²-E-1)f(n)=0 que pode ser fatorado (E-b1)(E-b2)f(n)=0 as soluções são f(n)=c1.b1^n+c2.b2^n pois os operadores (E-b1)(E-b2), ZERAM esse tipo de função abraços Em 28/11/07, Rodrigo Cientista[EMAIL PROTECTED] escreveu: Nicolau, realmente eu estava me referindo à sequência das razões a_n/a_(n-1) Algo que eu não consegui entender é: vc se baseia na suposição de que o limite existe, e caso ele exista é phi, isso que não entra na minha cabeça! Supondo que o limite existe, ele é igual a phi, mas eu não sei se ele existe, então não entendi como usar a suposição da sua existência na prova de sua própria existência. Eu não deveria, por exemplo, supor que ele não existe e identificar a contradição decorrente dessa suposição (uma forma de prova)? Eu nunca tinha visto a fórmula que você apresentou... chegou-se a essa fórmula sem supor a existência do limite? Me perdôe se a pergunta é tôla, sou apenas um amador... Aguardo comentários Não entendi. A seq de Fibo tende para +infinito então ela diverge (trivialmente). Pela sua mensagem suspeito que você esteja querendo provar que existe o limite lim a_(n+1)/a_n. Se for isso, segue facilmente da fórmula a_n = A phi^n + B phib^n onde phi = (1+sqrt(5))/2, phib = (1-sqrt(5))/2. Como phi 1 e -1 phib 0 temos lim a_n/(A phi^n) = lim ( 1 + (B/A)*(phib/phi)^n ) = 1 desde que A seja diferente de 0. Assim lim a_(n+1)/a_n = lim (A phi^(n+1))/(A phi^n) = phi. On Nov 27, 2007 9:58 PM, Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém conheceria uma prova de convergência da sequência de fibonacci? ou sequências com a mesma regra de formação (a de lucas, por exemplo: 1,3,4,7,11,18...) Dei uma prova de convergência feia a partir da sequência de lucas (mas o mesmo argumento vale para a sequência de fibonacci e qualquer outra) Repare que achar a razão áurea (pelo menos pelo método tradicional***) não prova a convergência da sequência ***seja an = an-1 + an-2 a regra de formação; SE a sequência das razões an/an-1converge para um limite L, então quando n-- infinito, an/an-1 -- L na verdade, no limite an/an-1 = L, como an+1 = an + an-1, an/an-1 = (an + an-1)/an = 1+an-1/an == L = 1 + 1/L == L^2 - L - 1 = 0 == L = (1 +ou- 5^1/2)/2, desprezando-se o caso do sinal negativo (pois an é sempre maior que an-1 e no caso negativo L seria 1) Mas tudo isso baseado na suposição, gostaria de ver uma prova da convergência mais bonita... (a minha é muito grande pra esse espaço
Res: [obm-l] racionais
vc quis dizer alfa =(2n+1)/2, acredito... de qualquer forma, existem muitos outros racionais que podem estar entre n e n+1 (ex: 25/18. 26/18, 35/18, 457/256 todos estão entre 1 e 2; de fato, há infinitos) o problema é: dado um racional p/q, provar que existe apenas um inteiro n tal que n=p/qn+1 a = alfa suponha q existe um k tal que k=ak+1 e k =/= n seja n k se k=a e n=a == n-k=0 == n=k, o que é uma contradição (mesmo argumento para nk) logo n = k, o que prova a unicidade de n - Mensagem original De: Kleber Bastos [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Segunda-feira, 26 de Novembro de 2007 23:10:01 Assunto: [obm-l] racionais Seja alfa um número racional. Prove que existe um único número inteiro n tal que n=alfan+1. pensei em alfa sendo o ponto médio alfa= 2n+1/2 , ou seja racional , e dai vejo que n é mínimo , mas como provo que n é único ? -- Kleber B. Bastos Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] RES: [obm-l] R es: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de F ERMAT
Só uma pequena correção, na útima passagem eu coloquei (n+1)^p == n + 1 mod p mas foi por acidente que o 1 ficou ali, esqueci de apagá-lo (vejo que na lista não há muitos entusiastas por provas) abraços - Mensagem original De: Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Segunda-feira, 26 de Novembro de 2007 21:54:53 Assunto: [obm-l] Res: [obm-l] RES: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT Por indução, é simples!! Sabemos que n^p == n mop p para algum n(n=1, por exemplo), queremos saber se é válido para todo n. expandindo, (n+1)^p = n^p + C_p,1*a^p-1 + ... + C_p,k*a^p-k + ... + 1 obs*** C_x,y = combinação de x e y Como p divide C_p,k (pois o numerador é p! = p(p-1)(p-2)...), segue (n+1)^p == n^p + 1 mod p Mas por hipótese de indução, já estava provado que n^p == n mop p oq implica n^p +1 == n + 1 mop p Assim, (n+1)^p == n + 1 mod p, provando Fermat por indução sobre n Realmente, essa é a prova mais simples, mas não é minha -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rodrigo Cientista Enviada em: segunda-feira, 26 de novembro de 2007 13:41 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT Salhab, realmente houve uma falha o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos... seja x um resto qualquer da divisão de n por p, tal que n == x mod p seja um k qualquer tal que x-k = 1 (chamarei de r) e n-k = w, assim n == x mop p é equivalente a n - k == x - k mop p que pode ser reescrito como w == r mod p w == r mod p implica w^p == r^p mod p w^p -w == r^p - r == 0 mod p, assim w^p == w == 1 mod p (oq só demonstra o teorema quando w deixa resto 1 na divisão por p, tentei provar por indução para w+1, mas não saiu...) - Mensagem original De: Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 24 de Novembro de 2007 20:16:58 Assunto: Re: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT Olá Rodrigo, não entendi essa passagem: x^p - x == n^p - n == 0 mod p ... de onde veio o 0? abraços, Salhab On Nov 24, 2007 6:01 PM, Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] wrote: Em primeiro lugar olá a todos, sou novo na lista, e gostaria de saber se uma demonstração que dei para o pequeno teorema de fermat está equivocada ou não, conforme segue: o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos... escreverei n == x mod p, assim n == x mod p implica n^p == x^p mod p (das propriedades de congruência) n^p == x^p mod p equivale a x^p == n^p mod p (das propriedades de congruência) se n == x mod p e x^p == n^p mod p então n + x^p == x+ n^p mod p (das propriedades de congruência) assim x^p - x == n^p - n == 0 mod p implica n^p == n mod p como queríamos demonstrar Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT
pensei ter escrito n^p == n+ 1 mod p, desculpe. aproveitando, vc sabe de alguma prova de convergência da sequência de fibonacci? ou sequências com a mesma regra de formação (a de lucas, por exemplo: 1,3,4,7,11,18...) Dei uma prova de convergência feia a partir da sequência de lucas (mas o mesmo argumento vale para a sequência de fibonacci e qualquer outra) Repare que achar a razão áurea (pelo menos pelo método tradicional***) não prova a convergência da sequência seja an = an-1 + an-2 a regra de formação; SE a sequência das razões an/an-1converge para um limite L, então quando n-- infinito, an/an-1 -- L na verdade, no limite an/an-1 = L, como an+1 = an + an-1, an/an-1 = (an + an-1)/an = 1+an-1/an, oq implica L = 1 + 1/L == L^2 - L - 1 = 0 == L = (1 +ou- 5^1/2)/2, desprezando-se o caso do sinal negativo (pois an é sempre maior que an-1 e no caso negativo L seria 1) Mas tudo isso baseado na suposição, gostaria de ver uma prova da convergência - Mensagem original De: Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 27 de Novembro de 2007 19:10:51 Assunto: Re: [obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] RES: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT On Nov 27, 2007 12:11 PM, Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] wrote: Só uma pequena correção, na útima passagem eu coloquei (n+1)^p == n + 1 mod p mas foi por acidente que o 1 ficou ali, esqueci de apagá-lo. Não vejo nenhum 1 extra na prova... De qual 1 você está falando? -- Abraços, Maurício = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] provas de convergência: sequência de fibonacci e an álogas
Alguém conheceria uma prova de convergência da sequência de fibonacci? ou sequências com a mesma regra de formação (a de lucas, por exemplo: 1,3,4,7,11,18...) Dei uma prova de convergência feia a partir da sequência de lucas (mas o mesmo argumento vale para a sequência de fibonacci e qualquer outra) Repare que achar a razão áurea (pelo menos pelo método tradicional***) não prova a convergência da sequência ***seja an = an-1 + an-2 a regra de formação; SE a sequência das razões an/an-1converge para um limite L, então quando n-- infinito, an/an-1 -- L na verdade, no limite an/an-1 = L, como an+1 = an + an-1, an/an-1 = (an + an-1)/an = 1+an-1/an == L = 1 + 1/L == L^2 - L - 1 = 0 == L = (1 +ou- 5^1/2)/2, desprezando-se o caso do sinal negativo (pois an é sempre maior que an-1 e no caso negativo L seria 1) Mas tudo isso baseado na suposição, gostaria de ver uma prova da convergência mais bonita... (a minha é muito grande pra esse espaço) Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT
Fernando, tem razão, não quis dar um tom pejorativo, ok?! Aproveitando a oportunidade, certa vez um astrônomo, um físico e um matemático estavam andando de trem pela Escócia quando viram, de perfil, uma ovelha negra pastando num campo. O astrônomo diz: - na escócia todas as ovelhas são negras. O físico o corrige: - não, na verdade na escócia existe pelo menos uma ovelha negra! E o matemático, sem conseguir se conter, diz: - não, não!! em pelo menos um dos campos da escócia existe pelo menos uma ovelha que possui pelo menos um dos lados com pêlos negros forte abraço! *** fernandobarcel Tue, 27 Nov 2007 17:37:55 -0800 Rodrigo, matematicamente falando, acho que você só poderia, no máximo, concluir que Na lista não houve muito entusiasmo por ESTA prova, certo? Até porque, em mais de 1/3 de todas as mensagens da lista, a palavra prove está presente. Abraços -- Início da mensagem original --- De: Rodrigo Cientista Só uma pequena correção, na útima passagem eu coloquei (n+1)^p == n + 1 mod p mas foi por acidente que o 1 ficou ali, esqueci de apagá-lo (vejo que na lista não há muitos entusiastas por provas) Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Res: [obm-l] Produto finito
Caro Nehab, uma dúvida: os termos, individualmente, me parecem ser negativos, certo? (à exceção do primeoro que é=0), sendo assim, calcularíamos o fatorial de números negativos? exite isso? se sim, fatorial de número par seria positivo, e de número ímpar seria negativo, os mais geralmente, -N! = (-1)^N * N! *** Carlos Nehab Tue, 27 Nov 2007 01:45:00 -0800 Oi, Albert (e Ponce) Faltou aplicar o fatorial em cada parcela do produtório... Nehab - Mensagem original De: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 27 de Novembro de 2007 3:36:56 Assunto: Re: [obm-l] Produto finito Ola' Albert, voce deve ter se enganado com alguma coisa no texto. Do jeito que esta' , o produto e' sempre zero. []'s Rogerio Ponce Em 27/11/07, albert richerd carnier guedes[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá. É a primeira vez que estou escrevendo para esta lista. Alguém sabe qual é o valor do produto finito P = ( 1 - 1^2 )( 1 - 2^2 )( 1 -3^2 )... ( 1 - N^2 )em função de N. Eu sei que ele possue o valor entre (N+1)! e (N+1)!N!. Agradeço qualquer sugestão. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT
Salhab, realmente houve uma falha o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos... seja x um resto qualquer da divisão de n por p, tal que n == x mod p seja um k qualquer tal que x-k = 1 (chamarei de r) e n-k = w, assim n == x mop p é equivalente a n - k == x - k mop p que pode ser reescrito como w == r mod p w == r mod p implica w^p == r^p mod p w^p -w == r^p - r == 0 mod p, assim w^p == w == 1 mod p (oq só demonstra o teorema quando w deixa resto 1 na divisão por p, tentei provar por indução para w+1, mas não saiu...) - Mensagem original De: Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 24 de Novembro de 2007 20:16:58 Assunto: Re: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT Olá Rodrigo, não entendi essa passagem: x^p - x == n^p - n == 0 mod p ... de onde veio o 0? abraços, Salhab On Nov 24, 2007 6:01 PM, Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] wrote: Em primeiro lugar olá a todos, sou novo na lista, e gostaria de saber se uma demonstração que dei para o pequeno teorema de fermat está equivocada ou não, conforme segue: o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos... escreverei n == x mod p, assim n == x mod p implica n^p == x^p mod p (das propriedades de congruência) n^p == x^p mod p equivale a x^p == n^p mod p (das propriedades de congruência) se n == x mod p e x^p == n^p mod p então n + x^p == x+ n^p mod p (das propriedades de congruência) assim x^p - x == n^p - n == 0 mod p implica n^p == n mod p como queríamos demonstrar Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] Res: [obm-l] RES: [obm-l] Res: [obm-l] d emonstração: pequeno teorema de FERMAT
Obrigado Artur, mas eu estava tentando mesmo era uma prova mais simples das que eu conheço, só por distração... conheço uma prova com fatoriais. Valeu - Mensagem original De: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Segunda-feira, 26 de Novembro de 2007 15:20:51 Assunto: [obm-l] RES: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT Neste limk há uma prova Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rodrigo Cientista Enviada em: segunda-feira, 26 de novembro de 2007 13:41 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT Salhab, realmente houve uma falha o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos... seja x um resto qualquer da divisão de n por p, tal que n == x mod p seja um k qualquer tal que x-k = 1 (chamarei de r) e n-k = w, assim n == x mop p é equivalente a n - k == x - k mop p que pode ser reescrito como w == r mod p w == r mod p implica w^p == r^p mod p w^p -w == r^p - r == 0 mod p, assim w^p == w == 1 mod p (oq só demonstra o teorema quando w deixa resto 1 na divisão por p, tentei provar por indução para w+1, mas não saiu...) - Mensagem original De: Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 24 de Novembro de 2007 20:16:58 Assunto: Re: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT Olá Rodrigo, não entendi essa passagem: x^p - x == n^p - n == 0 mod p ... de onde veio o 0? abraços, Salhab On Nov 24, 2007 6:01 PM, Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] wrote: Em primeiro lugar olá a todos, sou novo na lista, e gostaria de saber se uma demonstração que dei para o pequeno teorema de fermat está equivocada ou não, conforme segue: o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos... escreverei n == x mod p, assim n == x mod p implica n^p == x^p mod p (das propriedades de congruência) n^p == x^p mod p equivale a x^p == n^p mod p (das propriedades de congruência) se n == x mod p e x^p == n^p mod p então n + x^p == x+ n^p mod p (das propriedades de congruência) assim x^p - x == n^p - n == 0 mod p implica n^p == n mod p como queríamos demonstrar Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] Teoria dos Números: outro problema de Fermat
Alguém teria a demonstração para o seguinte problema: prove que 26 é o único natural entre um quadrado e um cubo (5^2=25 e 3^3=27) cheguei muito perto mas falta alguma coisa... Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Res: [obm-l] RES: [obm-l] Res: [obm-l] d emonstração: pequeno teorema de FERMAT
Por indução, é simples!! Sabemos que n^p == n mop p para algum n(n=1, por exemplo), queremos saber se é válido para todo n. expandindo, (n+1)^p = n^p + C_p,1*a^p-1 + ... + C_p,k*a^p-k + ... + 1 obs*** C_x,y = combinação de x e y Como p divide C_p,k (pois o numerador é p! = p(p-1)(p-2)...), segue (n+1)^p == n^p + 1 mod p Mas por hipótese de indução, já estava provado que n^p == n mop p oq implica n^p +1 == n + 1 mop p Assim, (n+1)^p == n + 1 mod p, provando Fermat por indução sobre n Realmente, essa é a prova mais simples, mas não é minha -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rodrigo Cientista Enviada em: segunda-feira, 26 de novembro de 2007 13:41 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT Salhab, realmente houve uma falha o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos... seja x um resto qualquer da divisão de n por p, tal que n == x mod p seja um k qualquer tal que x-k = 1 (chamarei de r) e n-k = w, assim n == x mop p é equivalente a n - k == x - k mop p que pode ser reescrito como w == r mod p w == r mod p implica w^p == r^p mod p w^p -w == r^p - r == 0 mod p, assim w^p == w == 1 mod p (oq só demonstra o teorema quando w deixa resto 1 na divisão por p, tentei provar por indução para w+1, mas não saiu...) - Mensagem original De: Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 24 de Novembro de 2007 20:16:58 Assunto: Re: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT Olá Rodrigo, não entendi essa passagem: x^p - x == n^p - n == 0 mod p ... de onde veio o 0? abraços, Salhab On Nov 24, 2007 6:01 PM, Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] wrote: Em primeiro lugar olá a todos, sou novo na lista, e gostaria de saber se uma demonstração que dei para o pequeno teorema de fermat está equivocada ou não, conforme segue: o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos... escreverei n == x mod p, assim n == x mod p implica n^p == x^p mod p (das propriedades de congruência) n^p == x^p mod p equivale a x^p == n^p mod p (das propriedades de congruência) se n == x mod p e x^p == n^p mod p então n + x^p == x+ n^p mod p (das propriedades de congruência) assim x^p - x == n^p - n == 0 mod p implica n^p == n mod p como queríamos demonstrar Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT
Em primeiro lugar olá a todos, sou novo na lista, e gostaria de saber se uma demonstração que dei para o pequeno teorema de fermat está equivocada ou não, conforme segue: o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos... escreverei n == x mod p, assim n == x mod p implica n^p == x^p mod p (das propriedades de congruência) n^p == x^p mod p equivale a x^p == n^p mod p (das propriedades de congruência) se n == x mod p e x^p == n^p mod p então n + x^p == x+ n^p mod p (das propriedades de congruência) assim x^p - x == n^p - n == 0 mod p implica n^p == n mod p como queríamos demonstrar Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT
você tem razão, eu teria que continuar checando congruências pelo mesmo processo até chegar a alguma que o resto fosse = 1, daí poderia concluir que x^p - x é côngruo a zero modulo p, mas a priori acho que não necessariamente essa congruência apareceria. assim, eu teria que a partir do mesmo ponto escolher x == y mop p e realizar todo o processo novamente, se concluísse que y = 1 o teorema estaria provado em virtude de y^p - y ser côngruo a zero modulo p, como se fosse uma descida até encontrar uma sentença verdadeira. pensei num atalho: o que poderia ser feito seria inserir forçosamente um número k qualquer tal que x-k = 1 (chamarei de r) e n-k = w, assim n == x mop p é equivalente a n - k == x - k mop p que pode ser reescrito como w == r mod p e o resto do argumento seria idêntico, com a diferença de que poderei concluir que r^p - r == 0 mod p e consequentemente w^p == w mop p - Mensagem original De: Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 24 de Novembro de 2007 17:19:54 Assunto: Re: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT On Nov 24, 2007 5:01 PM, Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] wrote: assim x^p - x == n^p - n == 0 mod p implica n^p == n mod p como queríamos demonstrar Qual a passagem que permite concluir que x^p - x é côngruo a zero modulo p? -- Abraços, Maurício = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
