[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em geometria e álgebra.
Seja P o ponto de DC tal que AP=AC (portanto igual ao BD). Calculando alguns ângulos: APc=48 e PAD=18. Seja O o circuncentro do triângulo APD, então OD=OP=OA, e como ADB=30 então POA=2x30=60. Concluimos que o triângulo POA é equilátero. Calculando alguns ângulos: ODA=42 Notando que OD=OB podemos concluir que OBD=DBO=36. Estique BO e desenh o segmento AT perpendicular a BO (T está na prolongação de BO). Observe que os triângulos ATO e APM (onde M é o meio de PC) são iguais e portanto AM=AT. Finalmente os triângulo BAT e BAM são iguais e daí ABT=ABD=36/2=18 2018-03-13 20:14 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com>: > Olá amigos, não consigo fazer esse problema por construção, já fiz por lei > dos senos e > pelo geogebra e deu 18 graus. > > Eis o problema: > > 6 Seja D um ponto sobre o lado BC de um triângulo ABC. Supondo que, AC=BD > e o ângulo ADC=30 graus e ACB= 48 graus , determine a medida do ângulo > ABC. > > > > Qualquer ajuda será bem vinda. > > Abraço do > > Douglas Oliveira. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Ajuda em geometria e álgebra.
Olá amigos, não consigo fazer esse problema por construção, já fiz por lei dos senos e pelo geogebra e deu 18 graus. Eis o problema: 6 Seja D um ponto sobre o lado BC de um triângulo ABC. Supondo que, AC=BD e o ângulo ADC=30 graus e ACB= 48 graus , determine a medida do ângulo ABC. Qualquer ajuda será bem vinda. Abraço do Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em geometria(Ja foram resolvidas por inspeção usando trigonometria)
Apenas para esclarecer: uma solução usando trigonometria não é uma 'solução por inspeção' (o que é isto, afinal?) nem é uma solução 'além da geometria euclidiana' (ainda se está usando ferramentas geométricas, afinal!). O termo seria 'uma solução sintética', em contraste com uma solução analítica. Eu nem sempre gosto delas, pois não aparecem tão naturalmente quando são apontadas para um novato. Uma pessoa vê a solução e diz sorte que esses doidos não as colocam nos vestibulares!, haha! Porém, uma solução com contas às vezes é mais técnica - ficar olhando quais ângulos têm uma média legal é complicadinho, e nem sempre abrir tudo dá certo. Qualquer forma, um dos métodos que eu mais procuro usar é traçar a circunferência passando por A,B,C e fatiar ela em setores de 10 graus, e ir encaixando os elementos do problema ali. Logo eu vou tentar responder. Em 15 de maio de 2014 16:58, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Ola meus caros amigos, desenhando aqui pelo geogebra acabei criando uma bela questão de geometria, do qual consegui por inspecao resolve-la através de trigonometria pela lei dos senos, porem fiquei muito curioso para saber se existe alguma solução por geometria euclidiana plana, estarei tentando, mas vim aqui compartilhar com voces, se puderem agradeço desde ja.Um abraço do Douglas Oliveira. Problema: Seja um triângulo ABC com ângulos BAC=70 graus, ACB=30; dado um ponto interno P such that BAP=30 e BCP=10, encontrar o angulo ABP. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em geometria(Ja foram resolvidas por inspeção usando trigonometria)
E verdade!! Em 19 de maio de 2014 14:17, terence thirteen peterdirich...@gmail.comescreveu: Apenas para esclarecer: uma solução usando trigonometria não é uma 'solução por inspeção' (o que é isto, afinal?) nem é uma solução 'além da geometria euclidiana' (ainda se está usando ferramentas geométricas, afinal!). O termo seria 'uma solução sintética', em contraste com uma solução analítica. Eu nem sempre gosto delas, pois não aparecem tão naturalmente quando são apontadas para um novato. Uma pessoa vê a solução e diz sorte que esses doidos não as colocam nos vestibulares!, haha! Porém, uma solução com contas às vezes é mais técnica - ficar olhando quais ângulos têm uma média legal é complicadinho, e nem sempre abrir tudo dá certo. Qualquer forma, um dos métodos que eu mais procuro usar é traçar a circunferência passando por A,B,C e fatiar ela em setores de 10 graus, e ir encaixando os elementos do problema ali. Logo eu vou tentar responder. Em 15 de maio de 2014 16:58, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Ola meus caros amigos, desenhando aqui pelo geogebra acabei criando uma bela questão de geometria, do qual consegui por inspecao resolve-la através de trigonometria pela lei dos senos, porem fiquei muito curioso para saber se existe alguma solução por geometria euclidiana plana, estarei tentando, mas vim aqui compartilhar com voces, se puderem agradeço desde ja.Um abraço do Douglas Oliveira. Problema: Seja um triângulo ABC com ângulos BAC=70 graus, ACB=30; dado um ponto interno P such that BAP=30 e BCP=10, encontrar o angulo ABP. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em geometria(Ja foram resolvidas por inspeção usando trigonometria)
Seja Q o ponto de AC tal que PQ=QA. Seja T o ponto de AB tal que APT=20. Analizando o triângulo ATP e o ponto Q: ângulo externo em T = 50, angulo AQP = 100 (= 2 x 50), e QA=QP, conclusão Q é circuncentro de ATP. Então QT=QA=QP (circunradio). Então Triângulo TQP é equilátero, então TP=TQ. COm isso tudo, Os triângulos TPC e TQC são idênticos, portanto PCT=10. E como o ângulo PCT tambem é 10 e además TC=BC (pois BTC=80, esquecia isso). Ouseja os triângulos BCP e TCP são idênticos, por tanto PB=PT e então x=50 Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Thu, 15 May 2014 16:58:44 -0300 Asunto : [obm-l] Ajuda em geometria(Ja foram resolvidas por inspeção usando trigonometria) Ola meus caros amigos, desenhando aqui pelo geogebra acabei criando uma bela questão de geometria, do qual consegui por inspecao resolve-la através de trigonometria pela lei dos senos, porem fiquei muito curioso para saber se existe alguma solução por geometria euclidiana plana, estarei tentando, mas vim aqui compartilhar com voces, se puderem agradeço desde ja.Um abraço do Douglas Oliveira. Problema: Seja um triângulo ABC com ângulos BAC=70 graus, ACB=30; dado um ponto interno P such that BAP=30 e BCP=10, encontrar o angulo ABP. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Desculpe,mas por que x/y é constante? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:22:32 -0300 Seja a elipse centrada na origem x²/a² + y²/b² = 1 Derivando temos 2xdx/a² + 2ydy/b² = 0, dy/dx = (-x/y) (b²/a²) Como a reta diametral é da forma y = mx, x/y é constante - dy/dx = constante - retas paralelas []s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Ajudou bastante. From: profmar...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 03:04:48 + Se não houver imperiosidade de usar Geometria Analítica, pode-se empregar, tão somente, a propriedade reflexiva da elipse, segundo a qual: uma reta tangente a uma elipse por um de seus pontos forma ângulos congruentes com os raios vetores referentes a tal ponto.Desse modo, sejam F e F' os focos da elipse, O seu centro e AB um diâmetro qualquer (A e B pertencentes à cônica). Como O é um centro de simetria, AF = BF' e AF' = BF. Portanto, AFBF' é um paralelogramo, com diagonais encontrando-se em O. Das congruências entre os triângulos AFO e BF'O, bem como entre AF'O e BOF, fica fácil ver, usando a propriedade reflexiva, que as retas tangentes formam, por exemplo, alternos internos de mesma medida, relativamente à reta transversal AOB. Logo, devem ser paralelas.Obviamente, convém acompanhar a resolução usando uma figura.Espero ter ajudado. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
O y/x é constante para os dois pontos de intersecção. Repare que temos infinitos m que satisfazem y=mx, mas cada diametro da elipse é formado por uma unica reta (um unico m) que gera dois pontos de intereeccao distintos, porem nesses dois pontos o y/x é o mesmo From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 12:07:03 + Desculpe,mas por que x/y é constante? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:22:32 -0300 Seja a elipse centrada na origem x²/a² + y²/b² = 1 Derivando temos 2xdx/a² + 2ydy/b² = 0, dy/dx = (-x/y) (b²/a²) Como a reta diametral é da forma y = mx, x/y é constante - dy/dx = constante - retas paralelas []s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Levando em conta que os pontos de intersecção são da forma (x,y) e (-x,-y),poderíamosmostrar,usando a fórmula de distância de um ponto a uma reta,que as distâncias de cada um deles às retas tangentes(opostas)são iguais e dai concluir que essas retas tangentes são paralelas? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 13:18:17 -0300 O y/x é constante para os dois pontos de intersecção. Repare que temos infinitos m que satisfazem y=mx, mas cada diametro da elipse é formado por uma unica reta (um unico m) que gera dois pontos de intereeccao distintos, porem nesses dois pontos o y/x é o mesmo From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 12:07:03 + Desculpe,mas por que x/y é constante? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:22:32 -0300 Seja a elipse centrada na origem x²/a² + y²/b² = 1 Derivando temos 2xdx/a² + 2ydy/b² = 0, dy/dx = (-x/y) (b²/a²) Como a reta diametral é da forma y = mx, x/y é constante - dy/dx = constante - retas paralelas []s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Pode mas não é necessário, Como Maldonado mostrou, ao longo do diâmetro ( de equação y/x=m) y/x é constante, portanto este quociente é o mesmonas extremidades do diâmetro. De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 12 de Setembro de 2013 15:07 Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Levando em conta que os pontos de intersecção são da forma (x,y) e (-x,-y),poderíamos mostrar,usando a fórmula de distância de um ponto a uma reta,que as distâncias de cada um deles às retas tangentes(opostas)são iguais e dai concluir que essas retas tangentes são paralelas? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 13:18:17 -0300 O y/x é constante para os dois pontos de intersecção. Repare que temos infinitos m que satisfazem y=mx, mas cada diametro da elipse é formado por uma unica reta (um unico m) que gera dois pontos de intereeccao distintos, porem nesses dois pontos o y/x é o mesmo From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 12:07:03 + Desculpe,mas por que x/y é constante? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:22:32 -0300 Seja a elipse centrada na origem x²/a² + y²/b² = 1 Derivando temos 2xdx/a² + 2ydy/b² = 0, dy/dx = (-x/y) (b²/a²) Como a reta diametral é da forma y = mx, x/y é constante - dy/dx = constante - retas paralelas []s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Eu nao vejo porque isso estaria certo, se tivermos duas retas, com um ponto em cada uma, tal que a distancia de cada um deles à reta oposta é a mesma, não quer dizer que as retas sejam paralelas From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 18:07:49 + Levando em conta que os pontos de intersecção são da forma (x,y) e (-x,-y),poderíamosmostrar,usando a fórmula de distância de um ponto a uma reta,que as distâncias de cada um deles às retas tangentes(opostas)são iguais e dai concluir que essas retas tangentes são paralelas? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 13:18:17 -0300 O y/x é constante para os dois pontos de intersecção. Repare que temos infinitos m que satisfazem y=mx, mas cada diametro da elipse é formado por uma unica reta (um unico m) que gera dois pontos de intereeccao distintos, porem nesses dois pontos o y/x é o mesmo From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 12:07:03 + Desculpe,mas por que x/y é constante? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:22:32 -0300 Seja a elipse centrada na origem x²/a² + y²/b² = 1 Derivando temos 2xdx/a² + 2ydy/b² = 0, dy/dx = (-x/y) (b²/a²) Como a reta diametral é da forma y = mx, x/y é constante - dy/dx = constante - retas paralelas []s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Claro que está correto; Seja P1 em uma reta e o pé da perpenciular à outra N1, P2 na outra reta com N2 pé da perpencidular à ptimeira reta. P1 N1 P2 N2 representa um retângulo! []'s De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 12 de Setembro de 2013 19:33 Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Eu nao vejo porque isso estaria certo, se tivermos duas retas, com um ponto em cada uma, tal que a distancia de cada um deles à reta oposta é a mesma, não quer dizer que as retas sejam paralelas From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 18:07:49 + Levando em conta que os pontos de intersecção são da forma (x,y) e (-x,-y),poderíamos mostrar,usando a fórmula de distância de um ponto a uma reta,que as distâncias de cada um deles às retas tangentes(opostas)são iguais e dai concluir que essas retas tangentes são paralelas? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 13:18:17 -0300 O y/x é constante para os dois pontos de intersecção. Repare que temos infinitos m que satisfazem y=mx, mas cada diametro da elipse é formado por uma unica reta (um unico m) que gera dois pontos de intereeccao distintos, porem nesses dois pontos o y/x é o mesmo From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 12:07:03 + Desculpe,mas por que x/y é constante? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:22:32 -0300 Seja a elipse centrada na origem x²/a² + y²/b² = 1 Derivando temos 2xdx/a² + 2ydy/b² = 0, dy/dx = (-x/y) (b²/a²) Como a reta diametral é da forma y = mx, x/y é constante - dy/dx = constante - retas paralelas []s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Sem dúvida uma solução extremamente elegante. Parabéns! De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 12 de Setembro de 2013 11:58 Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Ajudou bastante. From: profmar...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 03:04:48 + Se não houver imperiosidade de usar Geometria Analítica, pode-se empregar, tão somente, a propriedade reflexiva da elipse, segundo a qual: uma reta tangente a uma elipse por um de seus pontos forma ângulos congruentes com os raios vetores referentes a tal ponto. Desse modo, sejam F e F' os focos da elipse, O seu centro e AB um diâmetro qualquer (A e B pertencentes à cônica). Como O é um centro de simetria, AF = BF' e AF' = BF. Portanto, AFBF' é um paralelogramo, com diagonais encontrando-se em O. Das congruências entre os triângulos AFO e BF'O, bem como entre AF'O e BOF, fica fácil ver, usando a propriedade reflexiva, que as retas tangentes formam, por exemplo, alternos internos de mesma medida, relativamente à reta transversal AOB. Logo, devem ser paralelas. Obviamente, convém acompanhar a resolução usando uma figura. Espero ter ajudado. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Se não houver imperiosidade de usar Geometria Analítica, pode-se empregar, tão somente, a propriedade reflexiva da elipse, segundo a qual: uma reta tangente a uma elipse por um de seus pontos forma ângulos congruentes com os raios vetores referentes a tal ponto.Desse modo, sejam F e F' os focos da elipse, O seu centro e AB um diâmetro qualquer (A e B pertencentes à cônica). Como O é um centro de simetria, AF = BF' e AF' = BF. Portanto, AFBF' é um paralelogramo, com diagonais encontrando-se em O. Das congruências entre os triângulos AFO e BF'O, bem como entre AF'O e BOF, fica fácil ver, usando a propriedade reflexiva, que as retas tangentes formam, por exemplo, alternos internos de mesma medida, relativamente à reta transversal AOB. Logo, devem ser paralelas.Obviamente, convém acompanhar a resolução usando uma figura.Espero ter ajudado. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Seja a elipse centrada na origem x²/a² + y²/b² = 1 Derivando temos 2xdx/a² + 2ydy/b² = 0, dy/dx = (-x/y) (b²/a²) Como a reta diametral é da forma y = mx, x/y é constante - dy/dx = constante - retas paralelas []s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em geometria
Mas afinal vc resolveu ou não!? - Original Message - From: marcone augusto araújo borges To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, September 08, 2013 11:12 PM Subject: RE: [obm-l] Ajuda em geometria Eu vi essas coisas mas tentei novamente e não consegui.Obrigado. -- From: ilhadepaqu...@bol.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Ajuda em geometria Date: Sun, 8 Sep 2013 12:39:21 -0300 Marcone, se mostrarmos que os triângulos EDF e BEF são isósceles teremos que EF=FD e EF=BF, certo? Observe que são semelhantes os seguintes triângulos: ACE ~BCE e principalmente semelhantes ao triângulo EC(ponto de interseção reta perpendicular com AC chamarei de G), com isto vc prova que aqueles triangulos são isósceles e BF=DF, abraços Hermann - Original Message - From: marcone augusto araújo borges To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, September 08, 2013 11:28 AM Subject: [obm-l] Ajuda em geometria Os arcos AB e CD de um circulo são perpendiculares em E,ponto situado no interior do circulo. A reta perpendicular a AC por E intersecta BD em F.Mostre que F é ponto médio de BD. Agradeço por ajuda. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Ajuda em geometria
Não. From: ilhadepaqu...@bol.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Ajuda em geometria Date: Mon, 9 Sep 2013 09:05:03 -0300 Mas afinal vc resolveu ou não!? - Original Message - From: marcone augusto araújo borges To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, September 08, 2013 11:12 PM Subject: RE: [obm-l] Ajuda em geometria Eu vi essas coisas mas tentei novamente e não consegui.Obrigado. From: ilhadepaqu...@bol.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Ajuda em geometria Date: Sun, 8 Sep 2013 12:39:21 -0300 Marcone, se mostrarmos que os triângulos EDF e BEF são isósceles teremos que EF=FD e EF=BF, certo? Observe que são semelhantes os seguintes triângulos: ACE ~BCE e principalmente semelhantes ao triângulo EC(ponto de interseção reta perpendicular com AC chamarei de G), com isto vc prova que aqueles triangulos são isósceles e BF=DF, abraços Hermann - Original Message - From: marcone augusto araújo borges To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, September 08, 2013 11:28 AM Subject: [obm-l] Ajuda em geometria Os arcos AB e CD de um circulo são perpendiculares em E,ponto situado no interior do circulo. A reta perpendicular a AC por E intersecta BD em F.Mostre que F é ponto médio de BD. Agradeço por ajuda. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em geometria
Como eu não sei postar figura nesse fórum vou te enviar por email, ok!? abraços Hermann - Original Message - From: marcone augusto araújo borges To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, September 09, 2013 10:30 AM Subject: RE: [obm-l] Ajuda em geometria Não. -- From: ilhadepaqu...@bol.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Ajuda em geometria Date: Mon, 9 Sep 2013 09:05:03 -0300 Mas afinal vc resolveu ou não!? - Original Message - From: marcone augusto araújo borges To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, September 08, 2013 11:12 PM Subject: RE: [obm-l] Ajuda em geometria Eu vi essas coisas mas tentei novamente e não consegui.Obrigado. From: ilhadepaqu...@bol.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Ajuda em geometria Date: Sun, 8 Sep 2013 12:39:21 -0300 Marcone, se mostrarmos que os triângulos EDF e BEF são isósceles teremos que EF=FD e EF=BF, certo? Observe que são semelhantes os seguintes triângulos: ACE ~BCE e principalmente semelhantes ao triângulo EC(ponto de interseção reta perpendicular com AC chamarei de G), com isto vc prova que aqueles triangulos são isósceles e BF=DF, abraços Hermann - Original Message - From: marcone augusto araújo borges To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, September 08, 2013 11:28 AM Subject: [obm-l] Ajuda em geometria Os arcos AB e CD de um circulo são perpendiculares em E,ponto situado no interior do circulo. A reta perpendicular a AC por E intersecta BD em F.Mostre que F é ponto médio de BD. Agradeço por ajuda. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em geometria
Se puder enviar para o meu e-mail também, agradeço muito! Em 9 de setembro de 2013 11:00, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu: ** Como eu não sei postar figura nesse fórum vou te enviar por email, ok!? abraços Hermann - Original Message - *From:* marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Monday, September 09, 2013 10:30 AM *Subject:* RE: [obm-l] Ajuda em geometria Não. -- From: ilhadepaqu...@bol.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Ajuda em geometria Date: Mon, 9 Sep 2013 09:05:03 -0300 Mas afinal vc resolveu ou não!? - Original Message - *From:* marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Sunday, September 08, 2013 11:12 PM *Subject:* RE: [obm-l] Ajuda em geometria Eu vi essas coisas mas tentei novamente e não consegui.Obrigado. -- From: ilhadepaqu...@bol.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Ajuda em geometria Date: Sun, 8 Sep 2013 12:39:21 -0300 Marcone, se mostrarmos que os triângulos EDF e BEF são isósceles teremos que EF=FD e EF=BF, certo? Observe que são semelhantes os seguintes triângulos: ACE ~BCE e principalmente semelhantes ao triângulo EC(ponto de interseção reta perpendicular com AC chamarei de G), com isto vc prova que aqueles triangulos são isósceles e BF=DF, abraços Hermann - Original Message - *From:* marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Sunday, September 08, 2013 11:28 AM *Subject:* [obm-l] Ajuda em geometria Os arcos AB e CD de um circulo são perpendiculares em E,ponto situado no interior do circulo. A reta perpendicular a AC por E intersecta BD em F.Mostre que F é ponto médio de BD. Agradeço por ajuda. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em Geometria
Muito obrigado, domingos! Bela solução! O teorema da bissetriz interna garante o resultado, como você mostrou. Abraço, Vanderlei Em 7 de setembro de 2013 05:42, domingosromua...@gmail.com escreveu: Vanderlei, suponha que a retas BE e CD se encontrem em H. Os triangulos BGF e DGH são semelhantes, assim como HDE e HCB. Assim, GH/GB=HD/BF e HD/DE=HC/CB. Como DE=BF, pode-se concluir que GH/GB = CH/CB. O que isto implica para a bissetriz do angulo C no triangulo HCB? Abraço, Domingos Sent from Windows Mail *From:* Vanderlei Nemitz *Sent:* Saturday, September 7, 2013 8:31 AM *To:* obm-l@mat.puc-rio.br Pessoal, estou precisando em uma ajuda no seguinte problema: *Em um paralelogramo ABCD, os pontos E e F, pertencentes respectivamente aos lados AD e AB, são tais que DE = BF. Se BE e DF se intersectam no ponto G, mostre que CG é bissetriz do ângulo BCD.* Obrigado, Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Ajuda em geometria
Os arcos AB e CD de um circulo são perpendiculares em E,ponto situado no interior do circulo. A reta perpendicular a AC por E intersecta BD em F.Mostre que F é ponto médio de BD.Agradeço por ajuda. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em geometria
Marcone, se mostrarmos que os triângulos EDF e BEF são isósceles teremos que EF=FD e EF=BF, certo? Observe que são semelhantes os seguintes triângulos: ACE ~BCE e principalmente semelhantes ao triângulo EC(ponto de interseção reta perpendicular com AC chamarei de G), com isto vc prova que aqueles triangulos são isósceles e BF=DF, abraços Hermann - Original Message - From: marcone augusto araújo borges To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, September 08, 2013 11:28 AM Subject: [obm-l] Ajuda em geometria Os arcos AB e CD de um circulo são perpendiculares em E,ponto situado no interior do circulo. A reta perpendicular a AC por E intersecta BD em F.Mostre que F é ponto médio de BD. Agradeço por ajuda. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Ajuda em geometria
Eu vi essas coisas mas tentei novamente e não consegui.Obrigado. From: ilhadepaqu...@bol.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Ajuda em geometria Date: Sun, 8 Sep 2013 12:39:21 -0300 Marcone, se mostrarmos que os triângulos EDF e BEF são isósceles teremos que EF=FD e EF=BF, certo? Observe que são semelhantes os seguintes triângulos: ACE ~BCE e principalmente semelhantes ao triângulo EC(ponto de interseção reta perpendicular com AC chamarei de G), com isto vc prova que aqueles triangulos são isósceles e BF=DF, abraços Hermann - Original Message - From: marcone augusto araújo borges To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, September 08, 2013 11:28 AM Subject: [obm-l] Ajuda em geometria Os arcos AB e CD de um circulo são perpendiculares em E,ponto situado no interior do circulo. A reta perpendicular a AC por E intersecta BD em F.Mostre que F é ponto médio de BD. Agradeço por ajuda. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Ajuda em Geometria
Pessoal, estou precisando em uma ajuda no seguinte problema: *Em um paralelogramo ABCD, os pontos E e F, pertencentes respectivamente aos lados AD e AB, são tais que DE = BF. Se BE e DF se intersectam no ponto G, mostre que CG é bissetriz do ângulo BCD.* Obrigado, Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em Geometria
Vanderlei, suponha que a retas BE e CD se encontrem em H. Os triangulos BGF e DGH são semelhantes, assim como HDE e HCB. Assim, GH/GB=HD/BF e HD/DE=HC/CB. Como DE=BF, pode-se concluir que GH/GB = CH/CB. O que isto implica para a bissetriz do angulo C no triangulo HCB? Abraço, Domingos Sent from Windows Mail From: Vanderlei Nemitz Sent: Saturday, September 7, 2013 8:31 AM To: obm-l@mat.puc-rio.br Pessoal, estou precisando em uma ajuda no seguinte problema: Em um paralelogramo ABCD, os pontos E e F, pertencentes respectivamente aos lados AD e AB, são tais que DE = BF. Se BE e DF se intersectam no ponto G, mostre que CG é bissetriz do ângulo BCD. Obrigado, Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Ajuda em geometria analítica
Faça uma rotação conveniente para eliminar o termo em xy na equação 4x^2 + y^2 + 4xy + x - 2y = 0 e determine o foco,o vértice e a equação da reta diretriz em relação ao sistema xoyEu agradeço muito. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em geometria analítica
É bem fácil fazer uma rotação usando auto valor e auto vetor, mas pode também fazer o seguinte: Considere a equação geral Axˆ2+Bxy+Cyˆ2+Dx+Ey+f=0 fazendo uma rotação de z graus a tg(2z)=B/(A-C), assim na sua equação ficaria x=x´cos(z)-y´sen(z) , e y=x´sen(z)+y´cos(z) , fazendo essa substituição o termo xy sumiria. tg(2z)=4/3 ai sim. OBS: Mesmo assim ainda prefiro usar auto valor e auto vetor ai vai um link pra vc ler que pode muito te ajudar https://www.dropbox.com/s/jj3xq0hjv2z39zp/gaalt0.pdf?m , ai vc le a parte de diagonalização é bem legal , e aliás muito didático. Valeu um abraço do Douglas Oliveira Em 27.08.2013 09:21, marcone augusto araújo borges escreveu: Faça uma rotação conveniente para eliminar o termo em xy na equação 4x^2 + y^2 + 4xy + x - 2y = 0 e determine o foco,o vértice e a equação da reta diretriz em relação ao sistema xoy Eu agradeço muito. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Ajuda em geometria
Mostre que a distância entre dois pontos do interior de um triângulo não é maior que a metade do perímetro do triângulo.
RE: [obm-l] Ajuda em geometria
Seja x o segmento cujo o comprimento é máximo e interno a triângulo 1) As extremidades de x estão nos lados do triângulo Caso não estivesses poderíamos aumentar x até que essas chegassem nos lados 2) Uma das extremidades de x é um vértice Considere por simplicidade x como sendo o segmento MN, sendo que M está no lado a. Podemos deslizar o segmento por a para a direita e para a esquerda, como não existem lados paralelos em um triângulo, em uma das direções o segmento N ficará interno ao triângulo e na outra externo. É um absurdo que N seja interno pois N deve estar em um lado. Logo N é um dos vértices 3) M é um outro vértice Se N está em um vértice isso é meio óbvio né? Logo x é o maior lado do triângulo, que vamos chamar de a Sabemos que ab+c 2aa+b+c x=a(a+b+c)/2 CQD From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em geometria Date: Wed, 13 Feb 2013 23:56:52 + Mostre que a distância entre dois pontos do interior de um triângulo não é maior que a metade do perímetro do triângulo.
Re: [obm-l] Ajuda em geometria
Podemos considerar um dos quadriláteros como um quadrado de vértices Qi e pontos médios Mi i(1 2 3 4) e o outro convexo qualquer de vértices Gi, que a transitividade garante a generalidade. Devido a convexidade teremos vértices opostos, sejam os de i impar, do quadrado no interior ao genérico, seja i=1, e o de i=3, ao contrário: o vértice do genérico no interior do quadrado. Os outros vértices, de i par são, de cada quadirlátero externo ao outro. Cada triãngulo QiMiGi é congruente ao Q(i+1)MiG(i+1), até i igual a3 (lógico) e completa com Q4M4G4 congruente a Q1M4G1. Assim, a área do triângulo de i=1, excesso do genérico em relação ao quadrado é compensado pelo seu congruente, excesso do quadrado em relação ao gnérico , com exceção de um triângulo (seja Q2G2E2) externo à ambos, mas que compensa na comparação do par seguinte , i.e., de i=2 com seu congruente. E assim repete-se num ciclo, completando as áreas. [ ]'s
Re: [obm-l] Ajuda em geometria
Em 1 de novembro de 2012 09:54, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Prove que,se dois quadrilateros convexos tiverem os mesmos pontos medios em todos os seus lados,entao suas areas sao iguais. O que é ter os mesmos pontos médios? -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Ajuda em geometria
Prove que,se dois quadrilateros convexos tiverem os mesmos pontos medios em todos os seus lados,entao suas areas sao iguais.
Re: [obm-l] Ajuda em geometria
Em 18 de outubro de 2012 10:07, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Muito legal a solução,como também uma enviada por terence(para mim, foram como um gol antológico feito por Neymar,ontem). Para terence,mandei algumas mensagens que não apareceram,agradecendo inclusive por dus soluções bem interessantes em questões de geometria. Meus agradecimentos. É, ei acho que não recebi. Mas essa do Ralph foi matadora! Eu pensei em usar uma Desigualdade das Médias de início, por pensar em somas e produtos iguais. Mas, como não tinha muito futuro, resolvi usar aquela substituição. Bem, minha ideia original era calcular as alturas na raça - mas desisti por pouco :) Date: Wed, 17 Oct 2012 14:55:37 -0300 Subject: Re: [obm-l] Ajuda em geometria From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Note que, dadas a soma A e o produto B de dois números, eles ficam determinados a menos de ordem -- afinal, eles são as raízes da quadrática x^2-Ax+B=0. Então, neste caso, seja A=a+ha=b+hb=c+hc e B=aha=bhb=chc=2S. Então a e ha são as raízes de x^2-Ax+B=0, assim como b e hb, e c e hc. Em suma, a, b, c, assumem apenas (no máximo) dois valores (repetidos 3 vezes cada) -- o triângulo já tem que ser isósceles! Usemos, sem perder generalidade, que a=b. Agora, suponha por contradição que o triângulo não é equilátero. Então a=b=hc. Mas isto é absurdo -- a e b são lados saindo de C, ao menos um deles tem que ser estritamente maior que hc, que é a MENOR distância de C até AB. Abraço, Ralph On Wed, Oct 17, 2012 at 8:52 AM, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com wrote: Seja um triangulo ABC, a,b,c as medidas do lados BC,AC e AB,respectivamente e ha, hb e hc as alturas do triangulo. Se a + ha = b + hb = c + hc,prove que ABC é equilatero. -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Ajuda em geometria
Muito legal a solução,como também uma enviada por terence(para mim, foram como um gol antológico feito por Neymar,ontem).Para terence,mandei algumas mensagens que não apareceram,agradecendo inclusive por dus soluções bem interessantesem questões de geometria.Meus agradecimentos. Date: Wed, 17 Oct 2012 14:55:37 -0300 Subject: Re: [obm-l] Ajuda em geometria From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Note que, dadas a soma A e o produto B de dois números, eles ficam determinados a menos de ordem -- afinal, eles são as raízes da quadrática x^2-Ax+B=0. Então, neste caso, seja A=a+ha=b+hb=c+hc e B=aha=bhb=chc=2S. Então a e ha são as raízes de x^2-Ax+B=0, assim como b e hb, e c e hc. Em suma, a, b, c, assumem apenas (no máximo) dois valores (repetidos 3 vezes cada) -- o triângulo já tem que ser isósceles! Usemos, sem perder generalidade, que a=b. Agora, suponha por contradição que o triângulo não é equilátero. Então a=b=hc. Mas isto é absurdo -- a e b são lados saindo de C, ao menos um deles tem que ser estritamente maior que hc, que é a MENOR distância de C até AB. Abraço, Ralph On Wed, Oct 17, 2012 at 8:52 AM, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com wrote: Seja um triangulo ABC, a,b,c as medidas do lados BC,AC e AB,respectivamente e ha, hb e hc as alturas do triangulo. Se a + ha = b + hb = c + hc,prove que ABC é equilatero.
[obm-l] Ajuda em geometria
Seja um triangulo ABC, a,b,c as medidas do lados BC,AC e AB,respectivamente e ha, hb e hc as alturas do triangulo.Se a + ha = b + hb = c + hc,prove que ABC é equilatero.
Re: [obm-l] Ajuda em geometria
2012/10/17 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Seja um triangulo ABC, a,b,c as medidas do lados BC,AC e AB,respectivamente e ha, hb e hc as alturas do triangulo. Se a + ha = b + hb = c + hc,prove que ABC é equilatero. Temos S=aha/2, logo podemos escrever a+2S/a=b+2S/b=c+2S/c Usando abc=4SR: a+bc/2R=b+ac/2R=c+ab/2R. Para facilitar, coloque 2R=1 como diâmetro do círculo. Teremos então a+bc=b+ac=c+ab a-ac=b-bc a(1-c)=b(1-c) (a-b)(1-c)=0 Analogamente, (a-c)(1-b)=0 (c-b)(1-a)=0 Suponha a!=b. Teremos c=1. Assim (a-1)(1-b)=0. Suponha b=1. Mas o diâmetro do círculo é 1, e é impossível que dois dos lados do triângulo meçam mais que a maior distância entre dois pontos do círculo. Assim, a suposição a!=b está errada. Logo a=b. Analogamente b=c e fim! -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda em geometria
Oi, Ralph, Sem tempo para escrever mas com tempo para ler. Embora você não precise de elogio, bela solução! Abraços Nehab Em 17/10/2012 14:55, Ralph Teixeira escreveu: Note que, dadas a soma A e o produto B de dois números, eles ficam determinados a menos de ordem -- afinal, eles são as raízes da quadrática x^2-Ax+B=0. Então, neste caso, seja A=a+ha=b+hb=c+hc e B=aha=bhb=chc=2S. Então a e ha são as raízes de x^2-Ax+B=0, assim como b e hb, e c e hc. Em suma, a, b, c, assumem apenas (no máximo) dois valores (repetidos 3 vezes cada) -- o triângulo já tem que ser isósceles! Usemos, sem perder generalidade, que a=b. Agora, suponha por contradição que o triângulo não é equilátero. Então a=b=hc. Mas isto é absurdo -- a e b são lados saindo de C, ao menos um deles tem que ser estritamente maior que hc, que é a MENOR distância de C até AB. Abraço, Ralph On Wed, Oct 17, 2012 at 8:52 AM, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com mailto:marconeborge...@hotmail.com wrote: Seja um triangulo ABC, a,b,c as medidas do lados BC,AC e AB,respectivamente e ha, hb e hc as alturas do triangulo. Se a + ha = b + hb = c + hc,prove que ABC é equilatero.
[obm-l] ajuda em geometria
Sobre os lados AB e AC de um triangulo escaleno ABC são construidos dois triangulos equilateros exteriores com vertices em D e E,respectivamente.Mostre q o comprimento de DC é igual ao comprimento de BE.
RE: [obm-l] ajuda em geometria
Veja que os ângulos DAC e BAE são iguais (60 + A) AD = BA e AE = CA, logo por LAL os triângulos CAD e BAE são semelhantes, daonde vem DC = B E []'sJoão From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] ajuda em geometria Date: Mon, 12 Dec 2011 21:11:20 + Sobre os lados AB e AC de um triangulo escaleno ABC são construidos dois triangulos equilateros exteriores com vertices em D e E,respectivamente.Mostre q o comprimento de DC é igual ao comprimento de BE.
Re: [obm-l] ajuda em geometria
Oi, Marcone, Os triângulos ABE e ADC são iguais [dois lados iguais (aos lados b=AC e c=AB), e ângulo entre tais lados também iguais ... (a A + 60)]. Logo os terceiros lados, BE e DC são também iguais. Abraços, Nehab (saudoso da lista e infelizmente sem muito tempo... mas agora vai mudar, espero!) On 12/12/2011 19:11, marcone augusto araújo borges wrote: Sobre os lados AB e AC de um triangulo escaleno ABC são construidos dois triangulos equilateros exteriores com vertices em D e E,respectivamente.Mostre q o comprimento de DC é igual ao comprimento de BE.
Re: [obm-l] Ajuda em geometria espacial
Ola Joao Carlos e demais colegas desta lista ... OBM-L, Tudo tranquilo ! Considere o seguinte : ( PROBLEMA) Dividimos cada um dos tres lados de um besouro ABC em N partes iguais. Ligamos o vertice A do Besouro ao ponto de divisao do Lado BC que esteja mais broximo do vertice B. Ligamos o vertice B do Besouro ao ponto de divisao do Lado AC que esteja mais proximo do vertice C e, finalmente, ligamos o vertice C do besouro ao ponto de divisao do lado AB que esteja mais proximo do vertice A. Surgira um besourinho no interior do besouro ABC, Determine o maior valor de N tal que a razao entre as areas do besourinho e do besouro seja inferior a 1/7. Sem duvida que voce entende a questao. Voce tem entao, em verdade, dois problemas , a saber : Corrigir uma palavra e resolver o problema. Voce pode fazer uma dentre quatro possibilidade : 1) Nao corrigir a palavra e nao resolver o problema 2) Nao corrigir a palavra e resolver o problema 3) Corrigir a palavra e nao resolver o problema 4) Corrigir a palavra e resolver o problema Qual a alternativa mais gentil comigo ? ... Foi o que eu fiz com voce ! Considere agora que voce esta assistindo a um concurso de Miss. Suponha que as concorrentes passaram por provas rigorosas e que a vencedora e uma mulher escultural, realmente um a beldade digna dos mais sinceros elogios. Suponha finalmente que uma pessoa sentada ao seu lado faca a seguinte observacao : -- O dedinho do pe esquerdo da miss universo e muito feio. O que voce acha dessa observacao ? ... SUGESTAO : Use o teorema de Menelau para resolver o problema do TRIANGULO ABC. Um Abraco Paulo Santa Rita 6,0B0E,090B07 Em 08/11/07, João Pedro de Gusmão Silva[EMAIL PROTECTED] escreveu: Senhor Paulo Santa Rita, tudo depende da definição! O que é um tetraedro? Tetraedro é o poliedro formado por 4 faces triângulares. Então é claro que pode um tetraedro ser do tipo do enunciado. Você deve está confundindo com poliedro regular! No caso de poliedro regular, aí sim o tetraedro só tem ângulos de 60° nas suas faces. Seja a definição de poliedros em um bom livro de Matemática! Como por exemplo: A Matemática do Ensino Médio, volume 2. Dos autores: Elon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto César Morgado* (inesquecível). Espero ter ajudado. Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Joao Carlos e demais colegas desta lista ... OBM-L, A palavra TETRAEDRO tem um significado preciso na Geometria euclidiana, referindo-se a piramide triangular formada por 4 triangulos equilateros. E o mais simples dos poliedros regulares. Logo, nao ha angulo reto entre quaisquer duas arestas contiguas Eu diria que foi apenas um uso inadeguado de linguagem. A sua exposição posterior deixa claro que voce estava se referindo a uma piramide triangular que nao e um tetraedro. Toda tentativa e valida e esclarece um pouco a questao. Um Abracao Paulo Santa Rita 3,1204,060A07 Em 06/11/07, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Prezado e nobre Paulo Santa Rita: Então, por minha falta de base, pelo que entendi, atirei num gato e atingi o rato. E ainda, é capaz do rato não ter morrido. (sorriso) É isso?! (sorriso mais largo, sorriso maior... sons de riso). Bem, o que posso dizer?... O tetraedro possui como faces 4 triângulos equiláteros é isso? Mas, (já com ar de interrogação) , a inquirição não fala em ângulos retos? A tentativa que fiz é subconjunto ou está contida na que resolve o problema efetivamente apresentado? Qual o grau de validade de que escrevi? Fraternalmente, João. [EMAIL PROTECTED] escreveu: - Para: obm-l@mat.puc-rio.br De: Paulo Santa Rita Enviado por: [EMAIL PROTECTED] Data: 03/11/2007 8:30 Assunto: Re: [obm-l] Ajuda em geometria espacial Ola Joao Carlos e demais colegas desta lista ... OBM-L, Eu vou apresentar apenas um esboco de solucao para 2). Voce completa os detalhes. Antes acho valido registrar que TETRAEDRO e o nome do poliedro regular, vale dizer, aquele solido com todos os lados e faces iguais. Acredito que voce esta se referindo a uma piramide triangular cujo vertice e S e cuja base e o triangulo ABC. IMAGINE o vertice S na origem de um sistema de coordenadas cartesianas XYZ. IMAGINE um plano alfa que corta os eixos coordenados nos pontos (p,0,0), (0,q,0) e (0,0,r) onde p, q e r sao reais positivos. E obvio que variando inteligentemente p, q e r teremos todas as piramides possiveis. Sabemos que a equacao deste plano e : (X/p) + (Y/q) + (Z/r) = 1. Tambem sabemos que o vetor V=(1/p,1/q,1/r) e perpendicular ao plano. Pronto. Ta tudo ai para provar ou refutar a conjectura. A) ENCONTRAR O ORTOCENTRO E facil ... sabemos que as coordenadas do BARICENTRO sao dadas pela media aritmetica das coordenadas dos vertices. Assim, o baricentro e D=(p/3,q/3,r/3). Encontramos agora o CIRCUNCENTRO. E o ponto de encontro das mediacrizes. Seja A=(p,0,0) , B=(0,q,0) e C=(0,0,r). O ponto
Re: [obm-l] Ajuda em geometria espacial
Senhor Paulo Santa Rita, tudo depende da definição! O que é um tetraedro? Tetraedro é o poliedro formado por 4 faces triângulares. Então é claro que pode um tetraedro ser do tipo do enunciado. Você deve está confundindo com poliedro regular! No caso de poliedro regular, aí sim o tetraedro só tem ângulos de 60° nas suas faces. Seja a definição de poliedros em um bom livro de Matemática! Como por exemplo: A Matemática do Ensino Médio, volume 2. Dos autores: Elon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto César Morgado* (inesquecível). Espero ter ajudado. Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Joao Carlos e demais colegas desta lista ... OBM-L, A palavra TETRAEDRO tem um significado preciso na Geometria euclidiana, referindo-se a piramide triangular formada por 4 triangulos equilateros. E o mais simples dos poliedros regulares. Logo, nao ha angulo reto entre quaisquer duas arestas contiguas Eu diria que foi apenas um uso inadeguado de linguagem. A sua exposição posterior deixa claro que voce estava se referindo a uma piramide triangular que nao e um tetraedro. Toda tentativa e valida e esclarece um pouco a questao. Um Abracao Paulo Santa Rita 3,1204,060A07 Em 06/11/07, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Prezado e nobre Paulo Santa Rita: Então, por minha falta de base, pelo que entendi, atirei num gato e atingi o rato. E ainda, é capaz do rato não ter morrido. (sorriso) É isso?! (sorriso mais largo, sorriso maior... sons de riso). Bem, o que posso dizer?... O tetraedro possui como faces 4 triângulos equiláteros é isso? Mas, (já com ar de interrogação) , a inquirição não fala em ângulos retos? A tentativa que fiz é subconjunto ou está contida na que resolve o problema efetivamente apresentado? Qual o grau de validade de que escrevi? Fraternalmente, João. [EMAIL PROTECTED] escreveu: - Para: obm-l@mat.puc-rio.br De: Paulo Santa Rita Enviado por: [EMAIL PROTECTED] Data: 03/11/2007 8:30 Assunto: Re: [obm-l] Ajuda em geometria espacial Ola Joao Carlos e demais colegas desta lista ... OBM-L, Eu vou apresentar apenas um esboco de solucao para 2). Voce completa os detalhes. Antes acho valido registrar que TETRAEDRO e o nome do poliedro regular, vale dizer, aquele solido com todos os lados e faces iguais. Acredito que voce esta se referindo a uma piramide triangular cujo vertice e S e cuja base e o triangulo ABC. IMAGINE o vertice S na origem de um sistema de coordenadas cartesianas XYZ. IMAGINE um plano alfa que corta os eixos coordenados nos pontos (p,0,0), (0,q,0) e (0,0,r) onde p, q e r sao reais positivos. E obvio que variando inteligentemente p, q e r teremos todas as piramides possiveis. Sabemos que a equacao deste plano e : (X/p) + (Y/q) + (Z/r) = 1. Tambem sabemos que o vetor V=(1/p,1/q,1/r) e perpendicular ao plano. Pronto. Ta tudo ai para provar ou refutar a conjectura. A) ENCONTRAR O ORTOCENTRO E facil ... sabemos que as coordenadas do BARICENTRO sao dadas pela media aritmetica das coordenadas dos vertices. Assim, o baricentro e D=(p/3,q/3,r/3). Encontramos agora o CIRCUNCENTRO. E o ponto de encontro das mediacrizes. Seja A=(p,0,0) , B=(0,q,0) e C=(0,0,r). O ponto medio de AB e (p/2,q/2,0), o ponto medio de BC e (0,p/2,r/2) e o ponto medio de AC e (p/2,0,r/2). Tracamos pelo ponto medio de AB uma reta perpendicular ao vetor V. Ela estara inteiramente contida no plano alfa. Sua equacao sera : (X - p/2, Y - q/2, Z)*(1/p,1/q,1/r) = 0 EQUACAO (1) Repetindo o mesmo raciocinio para os outros dois pontos medio ( de BC e de AC ) teremos duas outra equacoes, nomeadamente EQUACAO (2) E EQUACAO (3). A solucao do sistema formado por estas tres equacoes e o circuncentro. Seja E este circuncentro. Sabemos que que o CIRCUNCENTRO, o BARICENTRO e o ORTOCENTRO estao alinhados ( e a reta de Euler ) e que o baricentro divide internamente o segmento formado pelo circuncentro e o ortocentro na razao 1/2. Assim, se F e o ortocentro, teremos : F - D = -2*(F - E) B) VERIFICANDO A CONJECTURA Com a equacao acima o ortocentro fica determinado. Agora, trace por este ponto ( o ortocentro que acabamos de calcular ) uma reta perpendicular ao plano alfa. Se a sua conjectura estiver correta esta reta deve conter a origem, isto e, o ponto (0,0,0). E acabou. Como falei, fiz apenas um esboco. Uma solucao detalhada vai ficar grandona e eu nao tenho tanto tempo assim. O item b) e trivial. Tambem vou apenas esbocar uma solucao. Para ver como e possivelisso, basta ver que SAB, SBC e SAC sao traingulos retangulos,. Logo, podemos aplicar o teorema de pitagoras. Suponha, por exemplo, que AB^2 = BC^2 + AC^2. Usando os REAIS POSITIVOS p, q e r ja defionidos, teriamos : p^2 + q^2 = q^2 + r^2 + p^2 + r^2 = 2*(r^2) = 0 ... absurdo ! Assim, o quadrado de nenhum lado pode ser maior ou igual a soma dos quadrados dos outros dois, ou seja, o triangulo e acutangulo. Um Abraco a todos Paulo Santa Rita
Re: [obm-l] Ajuda em geometria espacial
Prezado e nobre Paulo Santa Rita:Então, por minha falta de base, pelo que entendi, atirei num gato e atingi o rato. E ainda, é capaz do rato não ter morrido. (sorriso) É isso?! (sorriso mais largo, sorriso maior... sons de riso). Bem, o que posso dizer?...O tetraedro possui como faces 4 triângulos equiláteros é isso? Mas, (já com ar de interrogação) , a inquirição não fala em ângulos retos? A tentativa que fiz é subconjunto ou está contida na que resolve oproblema efetivamente apresentado?Qual o grau de validade de que escrevi?Fraternalmente, João.[EMAIL PROTECTED] escreveu: -Para: obm-l@mat.puc-rio.brDe: "Paulo Santa Rita" [EMAIL PROTECTED]Enviado por: [EMAIL PROTECTED]Data: 03/11/2007 8:30Assunto: Re: [obm-l] Ajuda em geometria espacialOla Joao Carlos e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,Eu vou apresentar apenas um esboco de solucao para 2). Voce completaos detalhes. Antes acho valido registrar que TETRAEDRO e o nome dopoliedro regular, vale dizer, aquele solido com todos os lados e facesiguais. Acredito que voce esta se referindo a uma piramide triangularcujo vertice e S e cuja base e o triangulo ABC.IMAGINE o vertice S na origem de um sistema de coordenadas cartesianasXYZ. IMAGINE um plano alfa que corta os eixos coordenados nos pontos(p,0,0), (0,q,0) e (0,0,r) onde "p", "q" e "r" sao reais positivos. Eobvio que variando inteligentemente "p", "q" e "r" teremos todas aspiramides possiveis.Sabemos que a equacao deste plano e : (X/p) + (Y/q) + (Z/r) = 1.Tambem sabemos que o vetor V=(1/p,1/q,1/r) e perpendicular ao plano.Pronto. Ta tudo ai para provar ou refutar a conjectura.A) ENCONTRAR O ORTOCENTROE facil ... sabemos que as coordenadas do BARICENTRO sao dadas pelamedia aritmetica das coordenadas dos vertices. Assim, o baricentro eD=(p/3,q/3,r/3). Encontramos agora o CIRCUNCENTRO. E o ponto deencontro das mediacrizes. Seja A=(p,0,0) , B=(0,q,0) e C=(0,0,r). Oponto medio de AB e (p/2,q/2,0), o ponto medio de BC e (0,p/2,r/2) e oponto medio de AC e (p/2,0,r/2). Tracamos pelo ponto medio de AB umareta perpendicular ao vetor V. Ela estara inteiramente contida noplano alfa. Sua equacao sera :(X - p/2, Y - q/2, Z)*(1/p,1/q,1/r) = 0 EQUACAO (1)Repetindo o mesmo raciocinio para os outros dois pontos medio ( de BCe de AC ) teremos duas outra equacoes, nomeadamente EQUACAO (2) EEQUACAO (3). A solucao do sistema formado por estas tres equacoes e ocircuncentro. Seja E este circuncentro.Sabemos que que o CIRCUNCENTRO, o BARICENTRO e o ORTOCENTRO estaoalinhados ( e a reta de Euler ) e que o baricentro divide internamenteo segmento formado pelo circuncentro e o ortocentro na razao 1/2.Assim, se F e o ortocentro, teremos :F - D = -2*(F - E)B) VERIFICANDO A CONJECTURACom a equacao acima o ortocentro fica determinado. Agora, trace poreste ponto ( o ortocentro que acabamos de calcular ) uma retaperpendicular ao plano alfa. Se a sua conjectura estiver correta estareta deve conter a origem, isto e, o ponto (0,0,0). E acabou.Como falei, fiz apenas um esboco. Uma solucao detalhada vai ficargrandona e eu nao tenho tanto tempo assim.O item b) e trivial. Tambem vou apenas esbocar uma solucao. Para vercomo e possivelisso, basta ver que SAB, SBC e SAC sao traingulosretangulos,. Logo, podemos aplicar o teorema de pitagoras. Suponha,por exemplo, que AB^2 = BC^2 + AC^2. Usando os REAIS POSITIVOS "p","q" e "r" ja defionidos, teriamos : p^2 + q^2 = q^2 + r^2 + p^2 +r^2 =2*(r^2) = 0 ... absurdo ! Assim, o quadrado de nenhum lado pode sermaior ou igual a soma dos quadrados dos outros dois, ou seja, otriangulo e acutangulo.Um Abraco a todosPaulo Santa Rita7,0A19,030B07 Amigos estou precisando resolver os seguintes problemas: 1) Enunciar os casos de congruência de tetraedros, fazendo uma correspondência com os casos análogos de congruência de triângulos, mas ressaltando as diferenças nos dois casos. 2) Mostrar que se o tetraedro SABC tem faces formando ângulos retos no vértice S, isto é, os ângulos ASB, BSC e CSA são retos, então: a) A reta SO, ligando o vértice S ao ortocentro do triângulo ABC, é perpendicular ao plano ABC. b) O triângulo ABC é acutângulo. Grato desde já.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ===
Re: [obm-l] Ajuda em geometria espacial
Ola Joao Carlos e demais colegas desta lista ... OBM-L, A palavra TETRAEDRO tem um significado preciso na Geometria euclidiana, referindo-se a piramide triangular formada por 4 triangulos equilateros. E o mais simples dos poliedros regulares. Logo, nao ha angulo reto entre quaisquer duas arestas contiguas Eu diria que foi apenas um uso inadeguado de linguagem. A sua exposição posterior deixa claro que voce estava se referindo a uma piramide triangular que nao e um tetraedro. Toda tentativa e valida e esclarece um pouco a questao. Um Abracao Paulo Santa Rita 3,1204,060A07 Em 06/11/07, [EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] escreveu: Prezado e nobre Paulo Santa Rita: Então, por minha falta de base, pelo que entendi, atirei num gato e atingi o rato. E ainda, é capaz do rato não ter morrido. (sorriso) É isso?! (sorriso mais largo, sorriso maior... sons de riso). Bem, o que posso dizer?... O tetraedro possui como faces 4 triângulos equiláteros é isso? Mas, (já com ar de interrogação) , a inquirição não fala em ângulos retos? A tentativa que fiz é subconjunto ou está contida na que resolve o problema efetivamente apresentado? Qual o grau de validade de que escrevi? Fraternalmente, João. [EMAIL PROTECTED] escreveu: - Para: obm-l@mat.puc-rio.br De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Enviado por: [EMAIL PROTECTED] Data: 03/11/2007 8:30 Assunto: Re: [obm-l] Ajuda em geometria espacial Ola Joao Carlos e demais colegas desta lista ... OBM-L, Eu vou apresentar apenas um esboco de solucao para 2). Voce completa os detalhes. Antes acho valido registrar que TETRAEDRO e o nome do poliedro regular, vale dizer, aquele solido com todos os lados e faces iguais. Acredito que voce esta se referindo a uma piramide triangular cujo vertice e S e cuja base e o triangulo ABC. IMAGINE o vertice S na origem de um sistema de coordenadas cartesianas XYZ. IMAGINE um plano alfa que corta os eixos coordenados nos pontos (p,0,0), (0,q,0) e (0,0,r) onde p, q e r sao reais positivos. E obvio que variando inteligentemente p, q e r teremos todas as piramides possiveis. Sabemos que a equacao deste plano e : (X/p) + (Y/q) + (Z/r) = 1. Tambem sabemos que o vetor V=(1/p,1/q,1/r) e perpendicular ao plano. Pronto. Ta tudo ai para provar ou refutar a conjectura. A) ENCONTRAR O ORTOCENTRO E facil ... sabemos que as coordenadas do BARICENTRO sao dadas pela media aritmetica das coordenadas dos vertices. Assim, o baricentro e D=(p/3,q/3,r/3). Encontramos agora o CIRCUNCENTRO. E o ponto de encontro das mediacrizes. Seja A=(p,0,0) , B=(0,q,0) e C=(0,0,r). O ponto medio de AB e (p/2,q/2,0), o ponto medio de BC e (0,p/2,r/2) e o ponto medio de AC e (p/2,0,r/2). Tracamos pelo ponto medio de AB uma reta perpendicular ao vetor V. Ela estara inteiramente contida no plano alfa. Sua equacao sera : (X - p/2, Y - q/2, Z)*(1/p,1/q,1/r) = 0 EQUACAO (1) Repetindo o mesmo raciocinio para os outros dois pontos medio ( de BC e de AC ) teremos duas outra equacoes, nomeadamente EQUACAO (2) E EQUACAO (3). A solucao do sistema formado por estas tres equacoes e o circuncentro. Seja E este circuncentro. Sabemos que que o CIRCUNCENTRO, o BARICENTRO e o ORTOCENTRO estao alinhados ( e a reta de Euler ) e que o baricentro divide internamente o segmento formado pelo circuncentro e o ortocentro na razao 1/2. Assim, se F e o ortocentro, teremos : F - D = -2*(F - E) B) VERIFICANDO A CONJECTURA Com a equacao acima o ortocentro fica determinado. Agora, trace por este ponto ( o ortocentro que acabamos de calcular ) uma reta perpendicular ao plano alfa. Se a sua conjectura estiver correta esta reta deve conter a origem, isto e, o ponto (0,0,0). E acabou. Como falei, fiz apenas um esboco. Uma solucao detalhada vai ficar grandona e eu nao tenho tanto tempo assim. O item b) e trivial. Tambem vou apenas esbocar uma solucao. Para ver como e possivelisso, basta ver que SAB, SBC e SAC sao traingulos retangulos,. Logo, podemos aplicar o teorema de pitagoras. Suponha, por exemplo, que AB^2 = BC^2 + AC^2. Usando os REAIS POSITIVOS p, q e r ja defionidos, teriamos : p^2 + q^2 = q^2 + r^2 + p^2 + r^2 = 2*(r^2) = 0 ... absurdo ! Assim, o quadrado de nenhum lado pode ser maior ou igual a soma dos quadrados dos outros dois, ou seja, o triangulo e acutangulo. Um Abraco a todos Paulo Santa Rita 7,0A19,030B07 Amigos estou precisando resolver os seguintes problemas: 1) Enunciar os casos de congruência de tetraedros, fazendo uma correspondência com os casos análogos de congruência de triângulos, mas ressaltando as diferenças nos dois casos. 2) Mostrar que se o tetraedro SABC tem faces formando ângulos retos no vértice S, isto é, os ângulos ASB, BSC e CSA são retos, então: a) A reta SO, ligando o vértice S ao ortocentro do triângulo ABC, é perpendicular ao plano ABC. b) O triângulo ABC é acutângulo. Grato desde já
Re: [obm-l] Ajuda em geometria espacial
Ola Joao Carlos e demais colegas desta lista ... OBM-L, Eu vou apresentar apenas um esboco de solucao para 2). Voce completa os detalhes. Antes acho valido registrar que TETRAEDRO e o nome do poliedro regular, vale dizer, aquele solido com todos os lados e faces iguais. Acredito que voce esta se referindo a uma piramide triangular cujo vertice e S e cuja base e o triangulo ABC. IMAGINE o vertice S na origem de um sistema de coordenadas cartesianas XYZ. IMAGINE um plano alfa que corta os eixos coordenados nos pontos (p,0,0), (0,q,0) e (0,0,r) onde p, q e r sao reais positivos. E obvio que variando inteligentemente p, q e r teremos todas as piramides possiveis. Sabemos que a equacao deste plano e : (X/p) + (Y/q) + (Z/r) = 1. Tambem sabemos que o vetor V=(1/p,1/q,1/r) e perpendicular ao plano. Pronto. Ta tudo ai para provar ou refutar a conjectura. A) ENCONTRAR O ORTOCENTRO E facil ... sabemos que as coordenadas do BARICENTRO sao dadas pela media aritmetica das coordenadas dos vertices. Assim, o baricentro e D=(p/3,q/3,r/3). Encontramos agora o CIRCUNCENTRO. E o ponto de encontro das mediacrizes. Seja A=(p,0,0) , B=(0,q,0) e C=(0,0,r). O ponto medio de AB e (p/2,q/2,0), o ponto medio de BC e (0,p/2,r/2) e o ponto medio de AC e (p/2,0,r/2). Tracamos pelo ponto medio de AB uma reta perpendicular ao vetor V. Ela estara inteiramente contida no plano alfa. Sua equacao sera : (X - p/2, Y - q/2, Z)*(1/p,1/q,1/r) = 0 EQUACAO (1) Repetindo o mesmo raciocinio para os outros dois pontos medio ( de BC e de AC ) teremos duas outra equacoes, nomeadamente EQUACAO (2) E EQUACAO (3). A solucao do sistema formado por estas tres equacoes e o circuncentro. Seja E este circuncentro. Sabemos que que o CIRCUNCENTRO, o BARICENTRO e o ORTOCENTRO estao alinhados ( e a reta de Euler ) e que o baricentro divide internamente o segmento formado pelo circuncentro e o ortocentro na razao 1/2. Assim, se F e o ortocentro, teremos : F - D = -2*(F - E) B) VERIFICANDO A CONJECTURA Com a equacao acima o ortocentro fica determinado. Agora, trace por este ponto ( o ortocentro que acabamos de calcular ) uma reta perpendicular ao plano alfa. Se a sua conjectura estiver correta esta reta deve conter a origem, isto e, o ponto (0,0,0). E acabou. Como falei, fiz apenas um esboco. Uma solucao detalhada vai ficar grandona e eu nao tenho tanto tempo assim. O item b) e trivial. Tambem vou apenas esbocar uma solucao. Para ver como e possivelisso, basta ver que SAB, SBC e SAC sao traingulos retangulos,. Logo, podemos aplicar o teorema de pitagoras. Suponha, por exemplo, que AB^2 = BC^2 + AC^2. Usando os REAIS POSITIVOS p, q e r ja defionidos, teriamos : p^2 + q^2 = q^2 + r^2 + p^2 + r^2 = 2*(r^2) = 0 ... absurdo ! Assim, o quadrado de nenhum lado pode ser maior ou igual a soma dos quadrados dos outros dois, ou seja, o triangulo e acutangulo. Um Abraco a todos Paulo Santa Rita 7,0A19,030B07 Amigos estou precisando resolver os seguintes problemas: 1) Enunciar os casos de congruência de tetraedros, fazendo uma correspondência com os casos análogos de congruência de triângulos, mas ressaltando as diferenças nos dois casos. 2) Mostrar que se o tetraedro SABC tem faces formando ângulos retos no vértice S, isto é, os ângulos ASB, BSC e CSA são retos, então: a) A reta SO, ligando o vértice S ao ortocentro do triângulo ABC, é perpendicular ao plano ABC. b) O triângulo ABC é acutângulo. Grato desde já. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda em geometria espacial
Apanhe três esquadros de 45º, em princípio de tamanhos diferentes. Junte-os todos de forma que o vértice S seja formado. O resultado é naturalmente o canto de um cubo. Bem, na realidade, não estou fazendo o que sugiro, apenas descrevo um método numa linguagem pouco precisa à matemática (estou ciente), mas é de qualquer forma uma realidade (ou tentando ser realista), portanto, somem comigo acrescentando correções. Bem, se seccionarmos esses planos dos esquadros por outro (formador da base ABC) de forma que os esquadros sejam iguais, então, acabou o problema, pois a base ABC será um triângulo eqüilátero, portanto, acutângulo, e, naturalmente, pela simetria, SO é perpendicular ao plano ABC, (mas esse é o caso mais simples). Agora, se a secção implica a desigualdade dos lados de ABC comparados dois a dois (o caso genérico)? Faça o desenho do canto de um cubo (agora fiz), imaginando intermináveis essas três arestas desenhadas. Marque três pontos quaisquer (um em cada uma delas), a distâncias distintas de S. ABC serão esses pontos marcados. Em cada face, os ângulos são agudos, não sei explicar bem por que, mas é por isso que os ângulos da base serão também agudos. Tentativa: marque o ponto A próximo de S. Imagine os pontos B e C o mais longe possível de S (pior caso). Os ângulos SAB e SAC crescem a medida em que B e C se distanciam de S. No entanto, esses ângulos serão sempre menores que 90º, pois, do contrárioAB ou AC serão paralelas às arestas do cubo. Desenhe duas linhas tracejadas que se interceptam em A, porém, uma em cada plano das faces do cubo (ou parte de cubo). Ora, essas linhas tracejadas são também perpendiculares entre si. Agora, começou a ficar difícil o que desejo dizer: o ponto S estará à esquerda (ou à direita, conforme o desenho) dessas retas tracejadas, e, portanto, os lados AB e AC sempre estarão também e ao mesmo tempo à esquerda (ou à direita) dessas retas, assim, o ângulo BAC será sempre menor que 90º, logo, o triângulo ABC será sempre acutângulo.[EMAIL PROTECTED] escreveu: -Para: obm-l@mat.puc-rio.brDe: Zoroastro Azambuja [EMAIL PROTECTED]Enviado por: [EMAIL PROTECTED]Data: 24/10/2007 12:11Assunto: Re: [obm-l] Ajuda em geometria espacialZoroastro Azambuja [EMAIL PROTECTED] escreveu: Amigos estou precisando resolver os seguintes problemas: 1) Enunciar os casos de congruência de tetraedros, fazendo uma correspondência com os casos análogos de congruência de triângulos, mas ressaltando as diferenças nos dois casos. 2) Mostrar que se o tetraedro SABC tem faces formando ângulos retos no vértice S, isto é, os ângulos ASB, BSC e CSA são retos, então: a) A reta SO, ligando o vértice S ao ortocentro do triângulo ABC, é perpendicular ao plano ABC. b) O triângulo ABC é acutângulo. Grato desde já. Abra sua conta no Yahoo! Mail , o único sem limite de espaço para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail , o único sem limite de espaço para armazenamento! Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ===
Re: [obm-l] Ajuda em geometria espacial
Zoroastro Azambuja [EMAIL PROTECTED] escreveu:Amigos estou precisando resolver os seguintes problemas: 1) Enunciar os casos de congruência de tetraedros, fazendo uma correspondência com os casos análogos de congruência de triângulos, mas ressaltando as diferenças nos dois casos. 2) Mostrar que se o tetraedro SABC tem faces formando ângulos retos no vértice S, isto é, os ângulos ASB, BSC e CSA são retos, então: a) A reta SO, ligando o vértice S ao ortocentro do triângulo ABC, é perpendicular ao plano ABC. b) O triângulo ABC é acutângulo. Grato desde já. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] Ajuda em geometria espacial
O problema aperece ser simples, mas quando tentei fazer vi que não era. Nunca ouvi falar em condição de congruência para tetraedros. Estou ansioso para ler as respostas dos amigos... Zoroastro Azambuja [EMAIL PROTECTED] escreveu: Zoroastro Azambuja [EMAIL PROTECTED] escreveu: Amigos estou precisando resolver os seguintes problemas: 1) Enunciar os casos de congruência de tetraedros, fazendo uma correspondência com os casos análogos de congruência de triângulos, mas ressaltando as diferenças nos dois casos. 2) Mostrar que se o tetraedro SABC tem faces formando ângulos retos no vértice S, isto é, os ângulos ASB, BSC e CSA são retos, então: a) A reta SO, ligando o vértice S ao ortocentro do triângulo ABC, é perpendicular ao plano ABC. b) O triângulo ABC é acutângulo. Grato desde já. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
[obm-l] Ajuda em geometria espacial
Amigos estou precisando resolver os seguintes problemas: 1) Enunciar os casos de congruência de tetraedros, fazendo uma correspondência com os casos análogos de congruência de triângulos, mas ressaltando as diferenças nos dois casos. 2) Mostrar que se o tetraedro SABC tem faces formando ângulos retos no vértice S, isto é, os ângulos ASB, BSC e CSA são retos, então: a) A reta SO, ligando o vértice S ao ortocentro do triângulo ABC, é perpendicular ao plano ABC. b) O triângulo ABC é acutângulo. Grato desde já. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
