[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução

[Anderson Torres]

Disfarce o Lema da Boa Ordenacao, dado que e equivalente ao principio da
inducao.

Em sex., 5 de fev. de 2021 às 07:31, joao pedro b menezes <
joaopedrobmene...@gmail.com> escreveu:

> obs: só agora fui ver o título :) , se era necessário fazer especialmente
> por indução, por favor desconsidere a minha resposta.
>
> On Fri, Feb 5, 2021 at 7:14 AM joao pedro b menezes <
> joaopedrobmene...@gmail.com> wrote:
>
>> Suponha que d | (a^(2)^n ) + 1. Então a^2^n = -1 (mod d). Pegue um primo
>> tal que p| d, então a^2^n = -1 (mod p). Mas temos: a^2^(n+1) = 1 (mod p).
>> Logo
>>  ord(p)a | 2^(n+1), mas ord(p)a não divide 2^n, logo ord(p)a = 2^(n + 1).
>> Isso é um absurdo, pois ord(p)a < p <= d <= 2^(n + 1).
>> obs: tenho quase certeza que já perguntaram a mesma coisa nessa lista.
>> Portanto acho que vale a pena ir procurar a resposta anterior também :)
>>
>> On Thu, Feb 4, 2021 at 11:20 PM Heitor Gama Ribeiro <
>> heitor...@hotmail.com> wrote:
>>
>>> Prove por indução que se 3<= d <= 2^(n+1), então d não divide
>>> [a^(2)^(n) + 1] para todo inteiro positivo a.
>>>
>>>
>>> Sent from my iPhone
>>>
>>> =
>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> =
>>>
>>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Indução

[joao pedro b menezes]

obs: só agora fui ver o título :) , se era necessário fazer especialmente
por indução, por favor desconsidere a minha resposta.

On Fri, Feb 5, 2021 at 7:14 AM joao pedro b menezes <
joaopedrobmene...@gmail.com> wrote:

> Suponha que d | (a^(2)^n ) + 1. Então a^2^n = -1 (mod d). Pegue um primo
> tal que p| d, então a^2^n = -1 (mod p). Mas temos: a^2^(n+1) = 1 (mod p).
> Logo
>  ord(p)a | 2^(n+1), mas ord(p)a não divide 2^n, logo ord(p)a = 2^(n + 1).
> Isso é um absurdo, pois ord(p)a < p <= d <= 2^(n + 1).
> obs: tenho quase certeza que já perguntaram a mesma coisa nessa lista.
> Portanto acho que vale a pena ir procurar a resposta anterior também :)
>
> On Thu, Feb 4, 2021 at 11:20 PM Heitor Gama Ribeiro 
> wrote:
>
>> Prove por indução que se 3<= d <= 2^(n+1), então d não divide
>> [a^(2)^(n) + 1] para todo inteiro positivo a.
>>
>>
>> Sent from my iPhone
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>

[obm-l] Re: [obm-l] Indução

[joao pedro b menezes]

Suponha que d | (a^(2)^n ) + 1. Então a^2^n = -1 (mod d). Pegue um primo
tal que p| d, então a^2^n = -1 (mod p). Mas temos: a^2^(n+1) = 1 (mod p).
Logo
 ord(p)a | 2^(n+1), mas ord(p)a não divide 2^n, logo ord(p)a = 2^(n + 1).
Isso é um absurdo, pois ord(p)a < p <= d <= 2^(n + 1).
obs: tenho quase certeza que já perguntaram a mesma coisa nessa lista.
Portanto acho que vale a pena ir procurar a resposta anterior também :)

On Thu, Feb 4, 2021 at 11:20 PM Heitor Gama Ribeiro 
wrote:

> Prove por indução que se 3<= d <= 2^(n+1), então d não divide
> [a^(2)^(n) + 1] para todo inteiro positivo a.
>
>
> Sent from my iPhone
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução forte vs fraca

[Israel Meireles Chrisostomo]

Entendi Ralph, sua explicação respondeu minhas dúvidas!
Abraço.

Em 17 de junho de 2017 11:34, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Muito obrigado gente!Vcs me ajudaram muito!
> Abraços
>
> Em 17 de junho de 2017 11:07, Ralph Teixeira  escreveu:
>
>> Sim, isso eh uma demonstracao valida por inducao finita! Na minha
>> opiniao, nem precisa formalizar muito mais -- a IDEIA da inducao como voce
>> propos eh bastante comum, entao dah para escrever direto algo como voce
>> disse, assim:
>>
>> a) Provo P(1) e P(2);
>> b) Provo que P(k-1) e P(k) implicam P(k+1) para k=2,3,4,...
>> c) Por inducao, P(n) estah demonstrado para n=1,2,3,...
>>
>> Agora, se voce realmente quiser encaixar num dos moldes formais (repito,
>> acho que nao precisa, eu nao escreveria como abaixo), voce pode pensar de
>> dois jeitos:
>>
>> i) Eh uma inducao fraca, cuja proposicao eh Q(n) = "P(n) e P(n+1)".
>>
>> De fato, para provar que vale Q(n) para todo n natural positivo, voce tem
>> que:
>> -- Mostrar Q(1) -- isto eh, mostrar P(1) e P(2);
>> -- Mostrar que, para todo k>=2, Q(k-1) implica Q(k) -- isto eh, mostrar
>> que (P(k-1) e P(k)) implica (P(k) e P(k+1))... Mas eh obvio que P(k)
>> implica P(k), entao fica faltando apenas mostrar P(k+1), que eh o que voce
>> fez.
>>
>> ii) Eh uma inducao forte, cuja proposicao eh P(n) mesmo.
>>
>> -- Mostre P(1);
>> -- No passo de inducao, voce quer mostrar que "P(1) e P(2) e ... e P(k)"
>> implica P(k+1) onde k=1,2,3, Vamos dividir em dois casos:
>>  k=1: para mostrar que P(1) implica P(2), podemos mostrar direto que
>> P(2) vale. Ok, isso mostra a implicacao!
>>  k>=2: Claramente, "P(1) e P(2) e... e P(k)" implica "P(k-1) e
>> P(k)"... Como voce mostrou que "P(k-1) e P(k)" implica P(k+1), voce
>> completou o passo de inducao! Em suma, o fato de terem "sobrado hipoteses"
>> no passo de inducao nao eh obstaculo!
>>
>> Abraco, Ralph.
>>
>> 2017-06-16 20:49 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com>:
>>
>>> Eu estava tentando provar uma coisa aqui por indução.E gostaria de saber
>>> uma coisa, fazendo o caso base de indução para k=1 e k=2, e, se como
>>> hipótese de indução eu admitir que P(k) e P(k-1) é verdadeiro e conseguir,
>>> a partir dessas duas hipóteses,  provar que P(k+1) é verdadeiro, então isso
>>> é uma prova válida?Se sim, esse seria um caso de indução forte?Ou indução
>>> forte tem que ser necessariamente  P(k) , P(k-1),...,P(1)?
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução forte vs fraca

[Israel Meireles Chrisostomo]

Muito obrigado gente!Vcs me ajudaram muito!
Abraços

Em 17 de junho de 2017 11:07, Ralph Teixeira  escreveu:

> Sim, isso eh uma demonstracao valida por inducao finita! Na minha opiniao,
> nem precisa formalizar muito mais -- a IDEIA da inducao como voce propos eh
> bastante comum, entao dah para escrever direto algo como voce disse, assim:
>
> a) Provo P(1) e P(2);
> b) Provo que P(k-1) e P(k) implicam P(k+1) para k=2,3,4,...
> c) Por inducao, P(n) estah demonstrado para n=1,2,3,...
>
> Agora, se voce realmente quiser encaixar num dos moldes formais (repito,
> acho que nao precisa, eu nao escreveria como abaixo), voce pode pensar de
> dois jeitos:
>
> i) Eh uma inducao fraca, cuja proposicao eh Q(n) = "P(n) e P(n+1)".
>
> De fato, para provar que vale Q(n) para todo n natural positivo, voce tem
> que:
> -- Mostrar Q(1) -- isto eh, mostrar P(1) e P(2);
> -- Mostrar que, para todo k>=2, Q(k-1) implica Q(k) -- isto eh, mostrar
> que (P(k-1) e P(k)) implica (P(k) e P(k+1))... Mas eh obvio que P(k)
> implica P(k), entao fica faltando apenas mostrar P(k+1), que eh o que voce
> fez.
>
> ii) Eh uma inducao forte, cuja proposicao eh P(n) mesmo.
>
> -- Mostre P(1);
> -- No passo de inducao, voce quer mostrar que "P(1) e P(2) e ... e P(k)"
> implica P(k+1) onde k=1,2,3, Vamos dividir em dois casos:
>  k=1: para mostrar que P(1) implica P(2), podemos mostrar direto que
> P(2) vale. Ok, isso mostra a implicacao!
>  k>=2: Claramente, "P(1) e P(2) e... e P(k)" implica "P(k-1) e
> P(k)"... Como voce mostrou que "P(k-1) e P(k)" implica P(k+1), voce
> completou o passo de inducao! Em suma, o fato de terem "sobrado hipoteses"
> no passo de inducao nao eh obstaculo!
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2017-06-16 20:49 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com>:
>
>> Eu estava tentando provar uma coisa aqui por indução.E gostaria de saber
>> uma coisa, fazendo o caso base de indução para k=1 e k=2, e, se como
>> hipótese de indução eu admitir que P(k) e P(k-1) é verdadeiro e conseguir,
>> a partir dessas duas hipóteses,  provar que P(k+1) é verdadeiro, então isso
>> é uma prova válida?Se sim, esse seria um caso de indução forte?Ou indução
>> forte tem que ser necessariamente  P(k) , P(k-1),...,P(1)?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Indução forte vs fraca

[Ralph Teixeira]

Sim, isso eh uma demonstracao valida por inducao finita! Na minha opiniao,
nem precisa formalizar muito mais -- a IDEIA da inducao como voce propos eh
bastante comum, entao dah para escrever direto algo como voce disse, assim:

a) Provo P(1) e P(2);
b) Provo que P(k-1) e P(k) implicam P(k+1) para k=2,3,4,...
c) Por inducao, P(n) estah demonstrado para n=1,2,3,...

Agora, se voce realmente quiser encaixar num dos moldes formais (repito,
acho que nao precisa, eu nao escreveria como abaixo), voce pode pensar de
dois jeitos:

i) Eh uma inducao fraca, cuja proposicao eh Q(n) = "P(n) e P(n+1)".

De fato, para provar que vale Q(n) para todo n natural positivo, voce tem
que:
-- Mostrar Q(1) -- isto eh, mostrar P(1) e P(2);
-- Mostrar que, para todo k>=2, Q(k-1) implica Q(k) -- isto eh, mostrar que
(P(k-1) e P(k)) implica (P(k) e P(k+1))... Mas eh obvio que P(k) implica
P(k), entao fica faltando apenas mostrar P(k+1), que eh o que voce fez.

ii) Eh uma inducao forte, cuja proposicao eh P(n) mesmo.

-- Mostre P(1);
-- No passo de inducao, voce quer mostrar que "P(1) e P(2) e ... e P(k)"
implica P(k+1) onde k=1,2,3, Vamos dividir em dois casos:
 k=1: para mostrar que P(1) implica P(2), podemos mostrar direto que
P(2) vale. Ok, isso mostra a implicacao!
 k>=2: Claramente, "P(1) e P(2) e... e P(k)" implica "P(k-1) e P(k)"...
Como voce mostrou que "P(k-1) e P(k)" implica P(k+1), voce completou o
passo de inducao! Em suma, o fato de terem "sobrado hipoteses" no passo de
inducao nao eh obstaculo!

Abraco, Ralph.

2017-06-16 20:49 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com>:

> Eu estava tentando provar uma coisa aqui por indução.E gostaria de saber
> uma coisa, fazendo o caso base de indução para k=1 e k=2, e, se como
> hipótese de indução eu admitir que P(k) e P(k-1) é verdadeiro e conseguir,
> a partir dessas duas hipóteses,  provar que P(k+1) é verdadeiro, então isso
> é uma prova válida?Se sim, esse seria um caso de indução forte?Ou indução
> forte tem que ser necessariamente  P(k) , P(k-1),...,P(1)?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Indução forte vs fraca

[Guilherme Bernardo]

Cara, é que ficou meio estranho pelo o que eu entendi. Se você prova de
P(k+1) em diante, tendo como hipótese P(k-1) e P(k), ok, você fez uma
indução forte e provou que vale de P(k-1) em diante, só que P(k-2), P(k-3),
etc, não está provado. É como se você tivesse começado pelo meio e não pelo
começo. Mas respondendo sua pergunta, sim, seria indução forte porque sua
hipótese foi que vários P's são verdadeiros, e não apenas 1.

Em 16 de junho de 2017 20:49, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Eu estava tentando provar uma coisa aqui por indução.E gostaria de saber
> uma coisa, fazendo o caso base de indução para k=1 e k=2, e, se como
> hipótese de indução eu admitir que P(k) e P(k-1) é verdadeiro e conseguir,
> a partir dessas duas hipóteses,  provar que P(k+1) é verdadeiro, então isso
> é uma prova válida?Se sim, esse seria um caso de indução forte?Ou indução
> forte tem que ser necessariamente  P(k) , P(k-1),...,P(1)?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução dúvida

[Israel Meireles Chrisostomo]

Eu estava pesquisando e encontrei algo sobre o condicional, o que eu estou
tentando provar é o condicional P(n)->P(n+1) mas a negação do condicional
P->Q é P^~Q, em outras palavras ~(P->Q)= P^~Q,  no nosso caso teríamos
~(P(n)->P(n+1))=P(n)^~P(n+1), o que eu provei é que P(n) e ~P(n+1) implicam
que P(n+1), ou seja P(n)^~P(n+1)->P(n+1) , uma contradição, logo a negação
do condicional é falsa, pois não pode ocorrer P(n+1) e ~P(n+1) ao mesmo
tempo, sendo assim, se a negação de uma sentença é falsa, então essa
sentença é verdadeira.

Em 19 de janeiro de 2016 17:08, Rogerio Ponce  escreveu:

> Ola' pessoal,
> me parece que a forma de pensar do Israel esta' perfeita.
>
> A duvida dele se refere ao salto "se P(n) e' verdadeira" entao "P(n+1) e'
> verdadeira".
> Pois ele supos que se P(n) vale, entao, se P(n+1) fosse falsa, e ele
> obtivesse a contradicao de que P(n+1) e' verdadeira, entao o salto estaria
> provado.
> E isto esta' correto.
>
> []'s
> Rogerio Ponce
>
>
> 2016-01-18 23:30 GMT-02:00 Ralph Teixeira :
>
>> Oi, Israel.
>>
>> Realmente muita gente faz essa confusao. Voce quer provar que
>>
>> "Para todo n natural, P(n) eh VERDADEIRA."
>>
>> O metodo de inducao, em sua versao mais simples, diz que basta mostrar
>> duas coisas:
>>
>> i) P(1) eh VERDADEIRA
>> ii) Para todo k natural,  (P(k)->P(k+1)).
>>
>> Note com cuidado onde estao os parenteses no item (ii): ele nao pede para
>> provar que "[Para todo n natural, P(n) eh VERDADEIRA] -> [Para todo n
>> natural, P(n+1) eh VERDADEIRA]", o que realmente seria obvio! Voce supoe
>> que P(k) eh verdadeira para um k ESPECIFICO (mas arbitrario, deixe faca o
>> raciocinio usando a variavel "k", nao troque por um numero) e quer mostrar
>> que, se P(k) for verdadeira para ESTE k especifico, entao ela eh verdadeira
>> para o proximo numero especifico, que seria k+1.
>>
>> Eh ateh por isto que eu prefiro escrever o (ii) com uma letra k ao inves
>> de n, para nao dar confusao.
>>
>> Abraco, Ralph.
>>
>> P.S.: Se voce preferir, pode pensar assim: voce tem que provar que
>> i) P(1) vale
>> ii) P(1) -> P(2)
>> iii) P(2) -> P(3)
>> iv) P(3) -> P(4)
>> e "assim por diante". Agora, gracas ao poder das variaveis, voce pode
>> provar todas as linhas a partir de (ii) numa tacada soh, provando que
>> ii,iii,iv,...) P(k) -> P(k+1)
>> onde k eh um numero arbitrario (bom, do conjunto {1,2,3,4,...}).
>>
>> 2016-01-18 15:30 GMT-02:00 Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com>:
>>
>>> Em uma prova por indução, eu devo provar que P(n) implica P(n+1).Eu
>>> posso fazer isso da seguinte forma: suponha que P(n) é verdadeira, e
>>> suponha que P(n+1) é falsa, mas ao supor que P(n) é verdadeira e P(n+1) é
>>> falsa isto implica que P(n+1) é verdadeira(contradição, pois supomos que
>>> P(n+1) é falsa e no entanto é verdadeira, uma proposição não pode ser falsa
>>> e verdadeira ao mesmo tempo)-tendo em vista que já provei o caso base, isto
>>> pode ser considerado uma prova?Isto me pareceu correto, mas não sei se está
>>> correto.Eu bem sei que posso provar a contra positiva, que é o caso
>>> "inverso" ao que eu estou falando.Mas esse caso também é uma prova?
>>>
>>
>>
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução dúvida

[Rogerio Ponce]

Ola' pessoal,
me parece que a forma de pensar do Israel esta' perfeita.

A duvida dele se refere ao salto "se P(n) e' verdadeira" entao "P(n+1) e'
verdadeira".
Pois ele supos que se P(n) vale, entao, se P(n+1) fosse falsa, e ele
obtivesse a contradicao de que P(n+1) e' verdadeira, entao o salto estaria
provado.
E isto esta' correto.

[]'s
Rogerio Ponce


2016-01-18 23:30 GMT-02:00 Ralph Teixeira :

> Oi, Israel.
>
> Realmente muita gente faz essa confusao. Voce quer provar que
>
> "Para todo n natural, P(n) eh VERDADEIRA."
>
> O metodo de inducao, em sua versao mais simples, diz que basta mostrar
> duas coisas:
>
> i) P(1) eh VERDADEIRA
> ii) Para todo k natural,  (P(k)->P(k+1)).
>
> Note com cuidado onde estao os parenteses no item (ii): ele nao pede para
> provar que "[Para todo n natural, P(n) eh VERDADEIRA] -> [Para todo n
> natural, P(n+1) eh VERDADEIRA]", o que realmente seria obvio! Voce supoe
> que P(k) eh verdadeira para um k ESPECIFICO (mas arbitrario, deixe faca o
> raciocinio usando a variavel "k", nao troque por um numero) e quer mostrar
> que, se P(k) for verdadeira para ESTE k especifico, entao ela eh verdadeira
> para o proximo numero especifico, que seria k+1.
>
> Eh ateh por isto que eu prefiro escrever o (ii) com uma letra k ao inves
> de n, para nao dar confusao.
>
> Abraco, Ralph.
>
> P.S.: Se voce preferir, pode pensar assim: voce tem que provar que
> i) P(1) vale
> ii) P(1) -> P(2)
> iii) P(2) -> P(3)
> iv) P(3) -> P(4)
> e "assim por diante". Agora, gracas ao poder das variaveis, voce pode
> provar todas as linhas a partir de (ii) numa tacada soh, provando que
> ii,iii,iv,...) P(k) -> P(k+1)
> onde k eh um numero arbitrario (bom, do conjunto {1,2,3,4,...}).
>
> 2016-01-18 15:30 GMT-02:00 Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com>:
>
>> Em uma prova por indução, eu devo provar que P(n) implica P(n+1).Eu posso
>> fazer isso da seguinte forma: suponha que P(n) é verdadeira, e suponha que
>> P(n+1) é falsa, mas ao supor que P(n) é verdadeira e P(n+1) é falsa isto
>> implica que P(n+1) é verdadeira(contradição, pois supomos que P(n+1) é
>> falsa e no entanto é verdadeira, uma proposição não pode ser falsa e
>> verdadeira ao mesmo tempo)-tendo em vista que já provei o caso base, isto
>> pode ser considerado uma prova?Isto me pareceu correto, mas não sei se está
>> correto.Eu bem sei que posso provar a contra positiva, que é o caso
>> "inverso" ao que eu estou falando.Mas esse caso também é uma prova?
>>
>
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução dúvida

[Israel Meireles Chrisostomo]

Eu estava pesquisando e encontrei algo sobre o condicional, o que eu estou
tentando provar é o condicional P(n)->P(n+1) mas a negação do condicional
P->Q é P^~Q, em outras palavras ~(P->Q)= P^~Q,  no nosso caso teríamos
~(P(n)->P(n+1))=P(n)^~P(n+1), o que eu provei é que P(n) e ~P(n+1) implicam
que P(n+1), ou seja P(n)^~P(n+1)->P(n+1) , uma contradição, pois não pode
ocorrer P(n+1) e ~P(n+1) ao mesmo tempo, logo a negação do condicional é
falsa, sendo assim, se a negação de uma sentença é falsa, então essa
sentença é verdadeira.

Em 19 de janeiro de 2016 17:44, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Eu estava pesquisando e encontrei algo sobre o condicional, o que eu estou
> tentando provar é o condicional P(n)->P(n+1) mas a negação do condicional
> P->Q é P^~Q, em outras palavras ~(P->Q)= P^~Q,  no nosso caso teríamos
> ~(P(n)->P(n+1))=P(n)^~P(n+1), o que eu provei é que P(n) e ~P(n+1)
> implicam que P(n+1), ou seja P(n)^~P(n+1)->P(n+1) , uma contradição, logo a
> negação do condicional é falsa, pois não pode ocorrer P(n+1) e ~P(n+1) ao
> mesmo tempo, sendo assim, se a negação de uma sentença é falsa, então essa
> sentença é verdadeira.
>
> Em 19 de janeiro de 2016 17:08, Rogerio Ponce 
> escreveu:
>
>> Ola' pessoal,
>> me parece que a forma de pensar do Israel esta' perfeita.
>>
>> A duvida dele se refere ao salto "se P(n) e' verdadeira" entao "P(n+1) e'
>> verdadeira".
>> Pois ele supos que se P(n) vale, entao, se P(n+1) fosse falsa, e ele
>> obtivesse a contradicao de que P(n+1) e' verdadeira, entao o salto estaria
>> provado.
>> E isto esta' correto.
>>
>> []'s
>> Rogerio Ponce
>>
>>
>> 2016-01-18 23:30 GMT-02:00 Ralph Teixeira :
>>
>>> Oi, Israel.
>>>
>>> Realmente muita gente faz essa confusao. Voce quer provar que
>>>
>>> "Para todo n natural, P(n) eh VERDADEIRA."
>>>
>>> O metodo de inducao, em sua versao mais simples, diz que basta mostrar
>>> duas coisas:
>>>
>>> i) P(1) eh VERDADEIRA
>>> ii) Para todo k natural,  (P(k)->P(k+1)).
>>>
>>> Note com cuidado onde estao os parenteses no item (ii): ele nao pede
>>> para provar que "[Para todo n natural, P(n) eh VERDADEIRA] -> [Para todo n
>>> natural, P(n+1) eh VERDADEIRA]", o que realmente seria obvio! Voce supoe
>>> que P(k) eh verdadeira para um k ESPECIFICO (mas arbitrario, deixe faca o
>>> raciocinio usando a variavel "k", nao troque por um numero) e quer mostrar
>>> que, se P(k) for verdadeira para ESTE k especifico, entao ela eh verdadeira
>>> para o proximo numero especifico, que seria k+1.
>>>
>>> Eh ateh por isto que eu prefiro escrever o (ii) com uma letra k ao inves
>>> de n, para nao dar confusao.
>>>
>>> Abraco, Ralph.
>>>
>>> P.S.: Se voce preferir, pode pensar assim: voce tem que provar que
>>> i) P(1) vale
>>> ii) P(1) -> P(2)
>>> iii) P(2) -> P(3)
>>> iv) P(3) -> P(4)
>>> e "assim por diante". Agora, gracas ao poder das variaveis, voce pode
>>> provar todas as linhas a partir de (ii) numa tacada soh, provando que
>>> ii,iii,iv,...) P(k) -> P(k+1)
>>> onde k eh um numero arbitrario (bom, do conjunto {1,2,3,4,...}).
>>>
>>> 2016-01-18 15:30 GMT-02:00 Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com>:
>>>
 Em uma prova por indução, eu devo provar que P(n) implica P(n+1).Eu
 posso fazer isso da seguinte forma: suponha que P(n) é verdadeira, e
 suponha que P(n+1) é falsa, mas ao supor que P(n) é verdadeira e P(n+1) é
 falsa isto implica que P(n+1) é verdadeira(contradição, pois supomos que
 P(n+1) é falsa e no entanto é verdadeira, uma proposição não pode ser falsa
 e verdadeira ao mesmo tempo)-tendo em vista que já provei o caso base, isto
 pode ser considerado uma prova?Isto me pareceu correto, mas não sei se está
 correto.Eu bem sei que posso provar a contra positiva, que é o caso
 "inverso" ao que eu estou falando.Mas esse caso também é uma prova?

>>>
>>>
>>
>

[obm-l] Re: [obm-l] Indução dúvida

[Ralph Teixeira]

Oi, Israel.

Realmente muita gente faz essa confusao. Voce quer provar que

"Para todo n natural, P(n) eh VERDADEIRA."

O metodo de inducao, em sua versao mais simples, diz que basta mostrar duas
coisas:

i) P(1) eh VERDADEIRA
ii) Para todo k natural,  (P(k)->P(k+1)).

Note com cuidado onde estao os parenteses no item (ii): ele nao pede para
provar que "[Para todo n natural, P(n) eh VERDADEIRA] -> [Para todo n
natural, P(n+1) eh VERDADEIRA]", o que realmente seria obvio! Voce supoe
que P(k) eh verdadeira para um k ESPECIFICO (mas arbitrario, deixe faca o
raciocinio usando a variavel "k", nao troque por um numero) e quer mostrar
que, se P(k) for verdadeira para ESTE k especifico, entao ela eh verdadeira
para o proximo numero especifico, que seria k+1.

Eh ateh por isto que eu prefiro escrever o (ii) com uma letra k ao inves de
n, para nao dar confusao.

Abraco, Ralph.

P.S.: Se voce preferir, pode pensar assim: voce tem que provar que
i) P(1) vale
ii) P(1) -> P(2)
iii) P(2) -> P(3)
iv) P(3) -> P(4)
e "assim por diante". Agora, gracas ao poder das variaveis, voce pode
provar todas as linhas a partir de (ii) numa tacada soh, provando que
ii,iii,iv,...) P(k) -> P(k+1)
onde k eh um numero arbitrario (bom, do conjunto {1,2,3,4,...}).

2016-01-18 15:30 GMT-02:00 Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com>:

> Em uma prova por indução, eu devo provar que P(n) implica P(n+1).Eu posso
> fazer isso da seguinte forma: suponha que P(n) é verdadeira, e suponha que
> P(n+1) é falsa, mas ao supor que P(n) é verdadeira e P(n+1) é falsa isto
> implica que P(n+1) é verdadeira(contradição, pois supomos que P(n+1) é
> falsa e no entanto é verdadeira, uma proposição não pode ser falsa e
> verdadeira ao mesmo tempo)-tendo em vista que já provei o caso base, isto
> pode ser considerado uma prova?Isto me pareceu correto, mas não sei se está
> correto.Eu bem sei que posso provar a contra positiva, que é o caso
> "inverso" ao que eu estou falando.Mas esse caso também é uma prova?
>

[obm-l] Re: [obm-l] indução

[Carlos Victor]

Oi Marcone, irei resumir .

Inicialmente a prova de que  n^33^n ou igual. Por indução:

3^(n+1) = 3.3^n  ou igual  que 3.n^3 = n^3+3n^2+3n + (n-3).n^2 + (n^2-3).n
 n^3+3n^2+3n+1 = (n+1)^3.

Suponha agora  que mn , então  m^(1/n) n^(1/n)  ou igual a 3^(1/3), ok ?

PS:
Esta questão foi da AMM, 1970,p 768, problem E2190, proposed by Harry
Pollard, Purdue University , solved by Charles Wexler, Arizona State
University, and 118 others.

Abraços

Carlos  Victor

Em 28 de junho de 2015 11:31, rigillesbmene...@gmail.com escreveu:

 Qual a necessidade de escrever n^1 ao invés de n? É algo da questão
 mesmo?

 Enviado do meu iPhone

 Em 28/06/2015, às 11:17, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Prove por indução que n^1/n  = 3^1/3, para n  = 2. Mostre que um dos
 números
 n^1/m ou m^1/n é maior que ou igual a 3, m e  naturais

 --
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[obm-l] Re: [obm-l] indução

[Carlos Victor]

Observar que o enunciado é 3^(1/3), ok ?

Em 28 de junho de 2015 12:03, Carlos Victor victorcar...@globo.com
escreveu:

 Oi Marcone, irei resumir .

 Inicialmente a prova de que  n^33^n ou igual. Por indução:

 3^(n+1) = 3.3^n  ou igual  que 3.n^3 = n^3+3n^2+3n + (n-3).n^2 +
 (n^2-3).n  n^3+3n^2+3n+1 = (n+1)^3.

 Suponha agora  que mn , então  m^(1/n) n^(1/n)  ou igual a 3^(1/3), ok ?

 PS:
 Esta questão foi da AMM, 1970,p 768, problem E2190, proposed by Harry
 Pollard, Purdue University , solved by Charles Wexler, Arizona State
 University, and 118 others.

 Abraços

 Carlos  Victor

 Em 28 de junho de 2015 11:31, rigillesbmene...@gmail.com escreveu:

 Qual a necessidade de escrever n^1 ao invés de n? É algo da questão
 mesmo?

 Enviado do meu iPhone

 Em 28/06/2015, às 11:17, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Prove por indução que n^1/n  = 3^1/3, para n  = 2. Mostre que um dos
 números
 n^1/m ou m^1/n é maior que ou igual a 3, m e  naturais

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[obm-l] Re: [obm-l] Indução

[Ralph Teixeira]

Seja P(n): o banco pode pagar a quantia de n reais.

Então:
P(8) é verdadeira: 8=3+5
P(9) é verdadeira: 9=3+3+3
P(10) é verdadeira: 10=5+5

Agora, se P(k) é verdadeira, então P(k+3) também é.
De fato, basta pagar k reais da maneira que é possível, e adicionar uma
nota de $3.

Por indução, P(n) vale para todo n=8.

---///---

Essa foi uma indução de passo 3. Se você quiser converter isso numa
indução de passo 1, use:
Q(n): o banco pode pagar n, n+1 e n+2 reais.

Então:
i) Q(8) é verdadeira (vide P(8), P(9) e P(10) acima).
ii) Se Q(k) é verdadeira, Q(k+1) também é.
(Pois se pode pagar k, k+1 e k+2, então obviamente pode pagar k+1 e k+2.
Para pagar k+3, pague k e ponha uma nota de 3.)

Por indução, Q(n) é verdadeira para todo n=8.

Abraço,
Ralph

2014-11-15 9:19 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com:

 Em um país longinquo, a moeda local é o cruzeiro.Neste país um banco tem
 uma quantidade ilimitada
 de cédulas de 3 e 5 crzeiros.Prove, por indução, que o banco pode pagar
 uma quantidade qualquer(inteira)
 de cruzeiros, maior que 7


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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução

[Esdras Muniz]

Um problema legal relacionado com este é o seguinte:
Calcule a cardinalidade do conjunto C={ax-by | x,y ∈N}∩N onde N={1, 2, 3,
...} Onde a e b são naturais dados.

Resposta: (a-1)(b-1)/2.

Em 17 de novembro de 2014 08:35, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
escreveu:

 Seja P(n): o banco pode pagar a quantia de n reais.

 Então:
 P(8) é verdadeira: 8=3+5
 P(9) é verdadeira: 9=3+3+3
 P(10) é verdadeira: 10=5+5

 Agora, se P(k) é verdadeira, então P(k+3) também é.
 De fato, basta pagar k reais da maneira que é possível, e adicionar uma
 nota de $3.

 Por indução, P(n) vale para todo n=8.

 ---///---

 Essa foi uma indução de passo 3. Se você quiser converter isso numa
 indução de passo 1, use:
 Q(n): o banco pode pagar n, n+1 e n+2 reais.

 Então:
 i) Q(8) é verdadeira (vide P(8), P(9) e P(10) acima).
 ii) Se Q(k) é verdadeira, Q(k+1) também é.
 (Pois se pode pagar k, k+1 e k+2, então obviamente pode pagar k+1 e k+2.
 Para pagar k+3, pague k e ponha uma nota de 3.)

 Por indução, Q(n) é verdadeira para todo n=8.

 Abraço,
 Ralph

 2014-11-15 9:19 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com:

 Em um país longinquo, a moeda local é o cruzeiro.Neste país um banco tem
 uma quantidade ilimitada
 de cédulas de 3 e 5 crzeiros.Prove, por indução, que o banco pode pagar
 uma quantidade qualquer(inteira)
 de cruzeiros, maior que 7


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Esdras Muniz Mota
Graduando em Matemática Bacharelado
Universidade Federal do Ceará

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[obm-l] Re: [obm-l] Indução logarítmica

[Douglas Oliveira de Lima]

Entao Joao, fiz f(x)=x^(1/2)-ln(x), e mostrei por calculo que ela e sempre
positiva para todo x0.
Agora nao sei se voce quer fazer por calculo, não pensei em outro modo
ainda.
Abracos.


Em 16 de maio de 2014 01:05, João Maldonado
joao_maldona...@hotmail.comescreveu:

 Fala galera, tudo bom?

 Tava precisando provar que x^(1/2)  ln(x) para qualquer real = 1
 Tem algum jeito fácil de fazer isso? Tava tentando fazer por indução mas
 não saiu.

 []'s
 João
  https://snt145.mail.live.com/ol/#

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução logarítmica

[Pedro José]

Boa tarde.

y(x) = x^(1/2) - ln(x)
y ' (x) = 1/2 * x^-1/2 - 1/x
y ' (x)  0 , x Ɛ [1,4)
y' (x) = 0, x=4
y' (x)  0 , x 4

Entâo temos um mínimo absoluto em x = 4 no intervalo [1, *∞) *Como y(4)  0
(2  ln(4)) == y(x)  0 Para todo x  Ɛ [1,*∞)* == x^(1/2)  ln(x) Para
todo x  Ɛ [1,

*∞).*
Saudações
PJMS



Em 16 de maio de 2014 09:23, Douglas Oliveira de Lima 
profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Entao Joao, fiz f(x)=x^(1/2)-ln(x), e mostrei por calculo que ela e sempre
 positiva para todo x0.
 Agora nao sei se voce quer fazer por calculo, não pensei em outro modo
 ainda.
 Abracos.


 Em 16 de maio de 2014 01:05, João Maldonado 
 joao_maldona...@hotmail.comescreveu:

  Fala galera, tudo bom?

 Tava precisando provar que x^(1/2)  ln(x) para qualquer real = 1
 Tem algum jeito fácil de fazer isso? Tava tentando fazer por indução mas
 não saiu.

 []'s
 João
  https://snt145.mail.live.com/ol/#

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 acredita-se estar livre de perigo.



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 acredita-se estar livre de perigo.


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[obm-l] Re: [obm-l] indução

[Alex pereira Bezerra]

[image:
\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{2n-1}{2n}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+1}}.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Ccdots%5Cfrac%7B2n-1%7D%7B2n%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B1%7D%7D.

Prova-se usando indução. É claro que a desigualdade é válida para n=1.
Supondo válida para n maior ou igual a 1, devemos mostrar que também vale
para (n+1), ou seja, mostrar que:

[image:
\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{2n-1}{2n}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+4}}.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Ccdots%5Cfrac%7B2n-1%7D%7B2n%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B2n%2B1%7D%7B2n%2B2%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B4%7D%7D.

Mas, por hipótese

[image:
\displaystyle\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{2n-1}{2n}\right)
\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Ccdots%5Cfrac%7B2n-1%7D%7B2n%7D%5Cright%29%20%5Ccdot%5Cfrac%7B2n%2B1%7D%7B2n%2B2%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B1%7D%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B2n%2B1%7D%7B2n%2B2%7D.

Mostremos então que

[image:
\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+4}}.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B1%7D%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B2n%2B1%7D%7B2n%2B2%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B4%7D%7D.

Como se tratam de números positivos, provar esta desigualdade é equivalente
a provar a desigualdade para seus quadrados pois

[image: 0 x,\,y\,\,\, ent\~ao\,\,\, x\leq y \,\,\Leftrightarrow\,\,
x^2\leq 
y^2.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=0%3C%20x%2C%5C%2Cy%5C%2C%5C%2C%5C%2C%20ent%5C%7Eao%5C%2C%5C%2C%5C%2C%20x%5Cleq%20y%20%5C%2C%5C%2C%5CLeftrightarrow%5C%2C%5C%2C%20x%5E2%5Cleq%20y%5E2.

Temos

[image: 
(3n+1)(2n+2)^2=12n^3+28n^2+20n+4=(3n+4)(2n+1)^2+n]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%283n%2B1%29%282n%2B2%29%5E2%3D12n%5E3%2B28n%5E2%2B20n%2B4%3D%283n%2B4%29%282n%2B1%29%5E2%2Bn

[image: 
\geq(3n+4)(2n+1)^2.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cgeq%283n%2B4%29%282n%2B1%29%5E2.

Logo,

[image:
\displaystyle\frac{1}{(3n+1)}\cdot\frac{(2n+1)^2}{(2n+2)^2}\leq\frac{1}{(3n+4)}]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B%283n%2B1%29%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B%282n%2B1%29%5E2%7D%7B%282n%2B2%29%5E2%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%283n%2B4%29%7D

o que mostra que a desigualdade também vale para (n+1). Pelo Princípio de
Indução segue que vale para todo número natural.


Em 6 de abril de 2012 09:33, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

  Alguem poderia me ajudar nessa questão?

 Provar por indução que 1/2*3/4*5/6...*(2n-1)/2n  = 1/raiz(3n+1),para todo
 n natural.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] indução

[Pedro Júnior]

Isso mostra a questão colocada pelo Maldonado...

Em 7 de abril de 2012 11:32, Alex pereira Bezerra 
alexmatematica1...@gmail.com escreveu:

 [image:
 \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{2n-1}{2n}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+1}}.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Ccdots%5Cfrac%7B2n-1%7D%7B2n%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B1%7D%7D.

 Prova-se usando indução. É claro que a desigualdade é válida para n=1.
 Supondo válida para n maior ou igual a 1, devemos mostrar que também vale
 para (n+1), ou seja, mostrar que:

 [image:
 \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{2n-1}{2n}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+4}}.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Ccdots%5Cfrac%7B2n-1%7D%7B2n%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B2n%2B1%7D%7B2n%2B2%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B4%7D%7D.

 Mas, por hipótese

 [image:
 \displaystyle\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{2n-1}{2n}\right)
 \cdot\frac{2n+1}{2n+2}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Ccdots%5Cfrac%7B2n-1%7D%7B2n%7D%5Cright%29%20%5Ccdot%5Cfrac%7B2n%2B1%7D%7B2n%2B2%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B1%7D%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B2n%2B1%7D%7B2n%2B2%7D.

 Mostremos então que

 [image:
 \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+4}}.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B1%7D%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B2n%2B1%7D%7B2n%2B2%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B4%7D%7D.

 Como se tratam de números positivos, provar esta desigualdade é
 equivalente a provar a desigualdade para seus quadrados pois

 [image: 0 x,\,y\,\,\, ent\~ao\,\,\, x\leq y \,\,\Leftrightarrow\,\,
 x^2\leq 
 y^2.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=0%3C%20x%2C%5C%2Cy%5C%2C%5C%2C%5C%2C%20ent%5C%7Eao%5C%2C%5C%2C%5C%2C%20x%5Cleq%20y%20%5C%2C%5C%2C%5CLeftrightarrow%5C%2C%5C%2C%20x%5E2%5Cleq%20y%5E2.

 Temos

 [image: 
 (3n+1)(2n+2)^2=12n^3+28n^2+20n+4=(3n+4)(2n+1)^2+n]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%283n%2B1%29%282n%2B2%29%5E2%3D12n%5E3%2B28n%5E2%2B20n%2B4%3D%283n%2B4%29%282n%2B1%29%5E2%2Bn

 [image: 
 \geq(3n+4)(2n+1)^2.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cgeq%283n%2B4%29%282n%2B1%29%5E2.

 Logo,

 [image:
 \displaystyle\frac{1}{(3n+1)}\cdot\frac{(2n+1)^2}{(2n+2)^2}\leq\frac{1}{(3n+4)}]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B%283n%2B1%29%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B%282n%2B1%29%5E2%7D%7B%282n%2B2%29%5E2%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%283n%2B4%29%7D

 o que mostra que a desigualdade também vale para (n+1). Pelo Princípio de
 Indução segue que vale para todo número natural.


 Em 6 de abril de 2012 09:33, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:

  Alguem poderia me ajudar nessa questão?

 Provar por indução que 1/2*3/4*5/6...*(2n-1)/2n  = 1/raiz(3n+1),para
 todo n natural.





-- 

Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

Professor de Matemática

Geo João Pessoa – PB

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] indução

[marcone augusto araújo borges]

Muito obrigado,Alex.
 



Date: Sat, 7 Apr 2012 11:32:45 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] indução
From: alexmatematica1...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br



Prova-se usando indução. É claro que a desigualdade é válida para n=1. Supondo 
válida para n maior ou igual a 1, devemos mostrar que também vale para (n+1), 
ou seja, mostrar que:

Mas, por hipótese

Mostremos então que

Como se tratam de números positivos, provar esta desigualdade é equivalente a 
provar a desigualdade para seus quadrados pois

Temos


Logo,

o que mostra que a desigualdade também vale para (n+1). Pelo Princípio de 
Indução segue que vale para todo número natural.


Em 6 de abril de 2012 09:33, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:



Alguem poderia me ajudar nessa questão?
 
Provar por indução que 1/2*3/4*5/6...*(2n-1)/2n  = 1/raiz(3n+1),para todo n 
natural.

  

[obm-l] RE: [obm-l] indução finita

[Luís Lopes]

Sauda¸c~oes, oi Eder, 

Embora não usando a sugestão do Elon, nos  exercícios 11 e 56 do 
Manual de Indução (ver www.escolademestres.com) demonstro 
tal resultado. 

E acredito que no  exercício 12 você encontre elementos para fazer a 
demonstração como sugerido. 

Abraços, 
Luis 



Date: Sun, 9 Jan 2011 05:56:07 -0800
From: eder_it...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] indução finita
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Pessoal,
Depois de passar muito tempo meditando sobre o exercício abaixo (consta num 
artigo do Elon Lages Lima publicado na Eureka), resolvi enviar para a lista. Se 
alguém puder resolver, fico muito agradecido... Eis a questão:
Para todo n em N, ponha x_n = { (n+1)^2 / [n(n+2)] }^n e prove por indução que 
se tem x_n  (n+2)/(n+1). Conclua que a seqüência de termo geral x_n 
=[(n+1)/n]^n é crescente.
Sugestão: x_(n+1)=[(n+2)/(n+1)]^3.[n/(n+3)].x_n.   (será que está certo 
isso???).
Obrigado,
Eder
  

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Indução?

[charles]

Quem falou que o x é real?

Em 15 de dezembro de 2010 15:32, Vitor Alves vitor__r...@hotmail.comescreveu:

  Obviamente x não é zero,logo x^2 - 2xcos(a)+1=0,temos então uma equação do
 segundo grau,vamos estudar os valores de cos(a) para que a equação tenha
 solução real,temos que d(discriminante)=4(cosa)^2-4=4(cosa()^2-1),por outro
 lado cosa^2-=-sen(a)^2,logo d =-4sen(a)^2,logo para termos d  0(para termos
 soluções real ) sen(a)=0,o que implica cos (a)= -/+ ,para cos (a)=1 vamos
  ter x=1 paracos(a)=-1 vamos ter x=-1.Para cos(a)=1,a=2k(pi),k
 inteiro,an=2kn(pi),logo cos(na)=1, o que implica 2cos(na)=2,com nesse caso
 x=1 x^n=1 e (1/x)^n=1,o que implica x^n+1(1/x)^n=2,logo provamos o primeiro
 caso.Para cos(a)=-1,se n for par,cos(na)=1 que implica2cos(na)=2,logo neste
 caso (-1)^n+-(1)^n=2,para n ímpar cos(an)=-1,logo 2cos(an)=-2,neste caso
 (-1)^n+(-1)^n=-2.Assim termina a demonstração.

 --
 From: marconeborge...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Indução?
 Date: Wed, 15 Dec 2010 01:26:24 +

  Prove que,se x + 1/x = 2cosa,então x^n +( 1/x^n) =2cos(na).

 Dá para provar mostrando que o segundo membro vale para x = 2 e (já que
 vale para n = 1),se vale para um certo k = 2 e para k - 1,então vale para k
 + 1 ?.E,no caso,usando:cos((n+1)x) = 2cos(x)cos(nx) - cos((n-1)x)?

 Desde já,agradeço.

[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm -l] Indução?

[Thiago Tarraf Varella]

Quanto a sua primeira pergunta, pelo que eu entendi, a resposta é não. Por 
exemplo: x² + 3x + 3 é sempre primo? Pra x = 1, 1 + 3 + 3 = 7 Certo.Pra x = 2, 
4 + 6 + 3 = 13 Certo.Caso sua pergunta fosse verdadeira, pra x = 3 também daria 
um número primo. Mas observe:x = 3, 3.3 + 3.3 + 3 = 3(3+3+1) = 3.7 = 21 que não 
é primo.Agora se voce deixar na forma de k (e não substituir, por exemplo, por 
1) e provar pra k-1 (e não substituir por um número qualquer), aí não há 
problema.Vou mostrar a minha tentativa resolução do problema (eu uso LaTeX, é 
de graça e facilita mto pra estudar mat no computador).Se [;x + \frac{1}{x} = 
2cos(a) = \frac{x^2+1}{x};] então.Aí podemos substituir ali 2cos(a) por 
(x²+1)/x , mas eu fiz isso e de nada adiantou... O jeito vai ser por indução 
mesmo.AbsThiago

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Indução? 
Date: Wed, 15 Dec 2010 02:14:29 +








Corrigindo: a igualdade vale para n = 2,e não x = 2.
 



From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Indução?
Date: Wed, 15 Dec 2010 01:26:24 +




Prove que,se x + 1/x = 2cosa,então x^n +( 1/x^n) =2cos(na).
 
Dá para provar mostrando que o segundo membro vale para n = 2 e (já que vale 
para n = 1),se vale para um certo k = 2 e para k - 1,então vale para k + 1 
?.E,no caso,usando:cos((n+1)x) = 2cos(x)cos(nx) - cos((n-1)x)?
 
Desde já,agradeço.
  

[obm-l] RE: [obm-l] Indução?

[Vitor Alves]

Obviamente x não é zero,logo x^2 - 2xcos(a)+1=0,temos então uma equação do 
segundo grau,vamos estudar os valores de cos(a) para que a equação tenha 
solução real,temos que d(discriminante)=4(cosa)^2-4=4(cosa()^2-1),por outro 
lado cosa^2-=-sen(a)^2,logo d =-4sen(a)^2,logo para termos d  0(para termos 
soluções real ) sen(a)=0,o que implica cos (a)= -/+ ,para cos (a)=1 vamos  ter 
x=1 paracos(a)=-1 vamos ter x=-1.Para cos(a)=1,a=2k(pi),k 
inteiro,an=2kn(pi),logo cos(na)=1, o que implica 2cos(na)=2,com nesse caso x=1 
x^n=1 e (1/x)^n=1,o que implica x^n+1(1/x)^n=2,logo provamos o primeiro 
caso.Para cos(a)=-1,se n for par,cos(na)=1 que implica2cos(na)=2,logo neste 
caso (-1)^n+-(1)^n=2,para n ímpar cos(an)=-1,logo 2cos(an)=-2,neste caso 
(-1)^n+(-1)^n=-2.Assim termina a demonstração.   
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Indução?
Date: Wed, 15 Dec 2010 01:26:24 +








Prove que,se x + 1/x = 2cosa,então x^n +( 1/x^n) =2cos(na).

 

Dá para provar mostrando que o segundo membro vale para x = 2 e (já que vale 
para n = 1),se vale para um certo k = 2 e para k - 1,então vale para k + 1 
?.E,no caso,usando:cos((n+1)x) = 2cos(x)cos(nx) - cos((n-1)x)?

 

Desde já,agradeço.
  

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Indução?

[Rodrigo Renji]

Olá,  outra maneira

Primeiro demonstre a recorrência que cosseno satisfaz

cos [(n+1)a] =2cos (n a) .cos (a) -cos [(n-1)a]


usando indução de segunda forma . Para n=1 ok a propriedade vale,
supondo que vale para todo 0k n+1 vamos mostrar que vale para n+1

por hipótese de indução
2 cos [(n)a ] 2 cos(a) =  (x^n+1/x^n) (x+1/x)
que multiplicando dá
x^(n+1) +1/ x^(n+1) + x^(n-1)+ 1/x^(n-1)  onde por hipótese de indução
esse último termo é
2cos ((n-1)a)

disso segue que x^(n+1) +1/ x^(n+1)  =2 ( cos [(n)a ] 2 cos(a) -cos ((n-1)a))

logo pela primeira recorrência segue que
x^(n+1) +1/ x^(n+1)  =cos [(n+1)a] .

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Indução?

[Ralph Teixeira]

Oi, Marcone.

Se o seu um certo k for **generico**, sim, esta eh uma maneira valida de
provar isto.

Em outras palavras, seja P(n) uma propriedade qualquer, que pode ser
verdadeira ou falsa para cada n natural. Se soubermos que:
i) P(1) e P(2) sao verdadeiras;
ii) (P(k-1) e P(k)) implica P(k+1) (esta implicacao tem que ser provada para
**todo** k natural =2)
entao SIM, podemos concluir que P(n) vale para n=1,2,3,... Eh uma inducao
finita ligeiramente modificada, mas perfeita.

Ou seja, sua ideia eh valida.

Abraco, Ralph.

2010/12/15 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

 Corrigindo: a igualdade vale para n = 2,e não x = 2.

 --
 From: marconeborge...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Indução?
 Date: Wed, 15 Dec 2010 01:26:24 +

 Prove que,se x + 1/x = 2cosa,então x^n +( 1/x^n) =2cos(na).

 Dá para provar mostrando que o segundo membro vale para x = 2 e (já que
 vale para n = 1),se vale para um certo k = 2 e para k - 1,então vale para k
 + 1 ?.E,no caso,usando:cos((n+1)x) = 2cos(x)cos(nx) - cos((n-1)x)?

 Desde já,agradeço.

[obm-l] RE: [obm-l] Indução?

[marcone augusto araújo borges]

Corrigindo: a igualdade vale para n = 2,e não x = 2.
 


From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Indução?
Date: Wed, 15 Dec 2010 01:26:24 +




Prove que,se x + 1/x = 2cosa,então x^n +( 1/x^n) =2cos(na).
 
Dá para provar mostrando que o segundo membro vale para x = 2 e (já que vale 
para n = 1),se vale para um certo k = 2 e para k - 1,então vale para k + 1 
?.E,no caso,usando:cos((n+1)x) = 2cos(x)cos(nx) - cos((n-1)x)?
 
Desde já,agradeço.
  

[obm-l] Re: [obm-l] Indução para n+1 e (n-1, n)

[Rafael Ando]

As duas alternativas são iguais, não tem uma melhor que a outra.

Para entender porque funciona, vc entende pq a indução funciona? Se uma
afirmação vale para o valor inicial, e vc consegue provar que, quando ela
vale para um certo valor, também vale para o próximo, então a afirmação vale
para todos os valores. Dá pra ver que tanto mostrando que f(n) - f(n+1), ou
que f(n-1) - f(n), conseguimos mostrar que quando ela vale para um certo
valor, também vale para o próximo.

O seu exemplo é meio estranho! n = 2^n -1 não é uma equação verdadeira, pra
começar... Acho que vc quis dizer:

Seja T(n) = 2^n - 1. Prove que T(n) = 2T(n-1) + 1. Não é necessário
indução para provar essa. O que vc fez está correto, mas não é indução...
vc só substituiu a equação de T(n) e mostrou que vale.

Por outro lado, se tivéssemos:

Seja T(0) = 0 e T(n) = 2T(n-1) + 1, n0. Prove T(n) = 2^n -1 (n≥0). (note
que os dois problemas são diferentes).

Nesse caso poderíamos usar indução para demostrar... Verificamos que o caso
inicial vale substituindo n=0. Em seguida, demostra-se (como acima) que se
hipótese vale para n-1, então vale para n. Poderíamos, é claro, também ter
provado a hipótese para n+1 a partir de n, também daria certo.

2009/5/30 HugLeo hugocana...@gmail.com

 Eu posso substituir n na minha fórmula de reccorrência para provar para
 n+1, mas se eu substituir para n-1 para provar n também funciona.
 Alguém saberia explicar?

 O exemplo está abaixo:

 n = 2^n -1

 T(n) = 2T(n) + 1

 Para n
 T(n) = 2T(n-1) + 1 = 2(2^[n-1] - 1) + 1 = 2^n -1


 Para n+1

 T(n+1) = 2T(n) + 1 = 2(2^n -1) + 1 = 2^[n+1] + 1

 Qual das duas alternativas é certa ou melhor e por que funciona?



 --
 -hUgLeO-♑




-- 
Rafael

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução para n+1 e (n-1, n )

[HugLeo]

Sim, eu escrevi errado, o certo é como você disse: T(n) = 2^n - 1

Muito obrigado pela explicação, agora deu para entender ;-)

Só mais um detalhe:
Você disse ..Em seguida, demostra-se (como acima) que se hipótese vale para
n-1, então vale para n...
Seria assim né?:
T(n)=2(2^[n-1] - 1) + 1
T(n)=2^n -1


2009/5/30 Rafael Ando rafael.a...@gmail.com

 As duas alternativas são iguais, não tem uma melhor que a outra.

 Para entender porque funciona, vc entende pq a indução funciona? Se uma
 afirmação vale para o valor inicial, e vc consegue provar que, quando ela
 vale para um certo valor, também vale para o próximo, então a afirmação vale
 para todos os valores. Dá pra ver que tanto mostrando que f(n) - f(n+1), ou
 que f(n-1) - f(n), conseguimos mostrar que quando ela vale para um certo
 valor, também vale para o próximo.

 O seu exemplo é meio estranho! n = 2^n -1 não é uma equação verdadeira, pra
 começar... Acho que vc quis dizer:

 Seja T(n) = 2^n - 1. Prove que T(n) = 2T(n-1) + 1. Não é necessário
 indução para provar essa. O que vc fez está correto, mas não é indução...
 vc só substituiu a equação de T(n) e mostrou que vale.

 Por outro lado, se tivéssemos:

 Seja T(0) = 0 e T(n) = 2T(n-1) + 1, n0. Prove T(n) = 2^n -1 (n≥0). (note
 que os dois problemas são diferentes).

 Nesse caso poderíamos usar indução para demostrar... Verificamos que o caso
 inicial vale substituindo n=0. Em seguida, demostra-se (como acima) que se
 hipótese vale para n-1, então vale para n. Poderíamos, é claro, também ter
 provado a hipótese para n+1 a partir de n, também daria certo.

 2009/5/30 HugLeo hugocana...@gmail.com

 Eu posso substituir n na minha fórmula de reccorrência para provar para
 n+1, mas se eu substituir para n-1 para provar n também funciona.
 Alguém saberia explicar?

 O exemplo está abaixo:

 n = 2^n -1

 T(n) = 2T(n) + 1

 Para n
 T(n) = 2T(n-1) + 1 = 2(2^[n-1] - 1) + 1 = 2^n -1


 Para n+1

 T(n+1) = 2T(n) + 1 = 2(2^n -1) + 1 = 2^[n+1] + 1

 Qual das duas alternativas é certa ou melhor e por que funciona?



 --
 -hUgLeO-♑




 --
 Rafael




-- 
-hUgLeO-♑

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução para n +1 e (n-1, n)

[Rafael Ando]

Isso, seria assim mesmo :)

2009/5/30 HugLeo hugocana...@gmail.com

 Sim, eu escrevi errado, o certo é como você disse: T(n) = 2^n - 1

 Muito obrigado pela explicação, agora deu para entender ;-)

 Só mais um detalhe:
 Você disse ..Em seguida, demostra-se (como acima) que se hipótese vale
 para n-1, então vale para n...
 Seria assim né?:
 T(n)=2(2^[n-1] - 1) + 1
 T(n)=2^n -1


 2009/5/30 Rafael Ando rafael.a...@gmail.com

 As duas alternativas são iguais, não tem uma melhor que a outra.

 Para entender porque funciona, vc entende pq a indução funciona? Se uma
 afirmação vale para o valor inicial, e vc consegue provar que, quando ela
 vale para um certo valor, também vale para o próximo, então a afirmação vale
 para todos os valores. Dá pra ver que tanto mostrando que f(n) - f(n+1), ou
 que f(n-1) - f(n), conseguimos mostrar que quando ela vale para um certo
 valor, também vale para o próximo.

 O seu exemplo é meio estranho! n = 2^n -1 não é uma equação verdadeira,
 pra começar... Acho que vc quis dizer:

 Seja T(n) = 2^n - 1. Prove que T(n) = 2T(n-1) + 1. Não é necessário
 indução para provar essa. O que vc fez está correto, mas não é indução...
 vc só substituiu a equação de T(n) e mostrou que vale.

 Por outro lado, se tivéssemos:

 Seja T(0) = 0 e T(n) = 2T(n-1) + 1, n0. Prove T(n) = 2^n -1 (n≥0). (note
 que os dois problemas são diferentes).

 Nesse caso poderíamos usar indução para demostrar... Verificamos que o
 caso inicial vale substituindo n=0. Em seguida, demostra-se (como acima) que
 se hipótese vale para n-1, então vale para n. Poderíamos, é claro, também
 ter provado a hipótese para n+1 a partir de n, também daria certo.

 2009/5/30 HugLeo hugocana...@gmail.com

 Eu posso substituir n na minha fórmula de reccorrência para provar para
 n+1, mas se eu substituir para n-1 para provar n também funciona.
 Alguém saberia explicar?

 O exemplo está abaixo:

 n = 2^n -1

 T(n) = 2T(n) + 1

 Para n
 T(n) = 2T(n-1) + 1 = 2(2^[n-1] - 1) + 1 = 2^n -1


 Para n+1

 T(n+1) = 2T(n) + 1 = 2(2^n -1) + 1 = 2^[n+1] + 1

 Qual das duas alternativas é certa ou melhor e por que funciona?



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 -hUgLeO-♑




 --
 Rafael




 --
 -hUgLeO-♑




-- 
Rafael

[obm-l] Re: [obm-l] Indução para n+1 e (n-1, n)

[lucianarodriggues]

Em 30/05/2009 11:09, Rafael Ando  rafael.a...@gmail.com  escreveu:
As duas alternativas são iguais, não tem uma "melhor" que a outra.Para entender porque funciona, vc entende pq a indução funciona? Se uma afirmação vale para o valor inicial, e vc consegue provar que, quando ela vale para um certo valor, também vale para o próximo, então a afirmação vale para todos os valores. Dá pra ver que tanto mostrando que f(n) - f(n+1), ou que f(n-1) - f(n), conseguimos mostrar que "quando ela vale para um certo valor, também vale para o próximo".O seu exemplo é meio estranho! n = 2^n -1 não é uma equação verdadeira, pra começar... Acho que vc quis dizer:Seja T(n) = 2^n - 1. Prove que T(n) = 2T(n-1) + 1. Não é necessário "indução" para provar essa. O que vc fez está correto, mas não é indução... vc só substituiu a equação de T(n) e mostrou que vale.Por outro lado,
  se tivéssemos:Seja T(0) = 0 e T(n) = 2T(n-1) + 1, n0. Prove T(n) = 2^n -1 (n≥0). (note que os dois problemas são diferentes).Nesse caso poderíamos usar indução para demostrar... Verificamos que o caso inicial vale substituindo n=0. Em seguida, demostra-se (como acima) que se hipótese vale para n-1, então vale para n. Poderíamos, é claro, também ter provado a hipótese para n+1 a partir de n, também daria certo.
2009/5/30 HugLeo hugocana...@gmail.com
Eu posso substituir n na minha fórmula de reccorrência para provar para n+1, mas se eu substituir para n-1 para provar n também funciona.Alguém saberia explicar?O exemplo está abaixo:n = 2^n -1T(n) = 2T(n) + 1Para nT(n) = 2T(n-1) + 1 = 2(2^[n-1] - 1) + 1 = 2^n -1Para n+1T(n+1) = 2T(n) + 1 = 2(2^n -1) + 1 = 2^[n+1] + 1Qual das duas alternativas é certa ou melhor e por que funciona?-- -hUgLeO-♑

-- Rafael
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução para n+1 e (n-1, n)

[lucianarodriggues]

Em 30/05/2009 11:58, Rafael Ando  rafael.a...@gmail.com  escreveu:
Isso, seria assim mesmo :)
2009/5/30 HugLeo hugocana...@gmail.com
Sim, eu escrevi errado, o certo é como você disse: T(n) = 2^n - 1Muito obrigado pela explicação, agora deu para entender ;-)Só mais um detalhe:Você disse "..Em seguida, demostra-se (como acima) que se hipótese vale para n-1, então vale para n..."Seria assim né?: T(n)=2(2^[n-1] - 1) + 1 
T(n)=2^n -1
2009/5/30 Rafael Ando rafael.a...@gmail.com


As duas alternativas são iguais, não tem uma "melhor" que a outra.Para entender porque funciona, vc entende pq a indução funciona? Se uma afirmação vale para o valor inicial, e vc consegue provar que, quando ela vale para um certo valor, também vale para o próximo, então a afirmação vale para todos os valores. Dá pra ver que tanto mostrando que f(n) - f(n+1), ou que f(n-1) - f(n), conseguimos mostrar que "quando ela vale para um certo valor, também vale para o próximo".O seu exemplo é meio estranho! n = 2^n -1 não é uma equação verdadeira, pra começar... Acho que vc quis dizer:Seja T(n) = 2^n - 1. Prove que T(n) = 2T(n-1) + 1. Não é necessário "indução" para provar essa. O que vc fez está correto, mas não é indução... vc só substituiu a equação de T(n) e mostrou que vale.P
 or outro lado, se tivéssemos:Seja T(0) = 0 e T(n) = 2T(n-1) + 1, n0. Prove T(n) = 2^n -1 (n≥0). (note que os dois problemas são diferentes).Nesse caso poderíamos usar indução para demostrar... Verificamos que o caso inicial vale substituindo n=0. Em seguida, demostra-se (como acima) que se hipótese vale para n-1, então vale para n. Poderíamos, é claro, também ter provado a hipótese para n+1 a partir de n, também daria certo.
2009/5/30 HugLeo hugocana...@gmail.com


Eu posso substituir n na minha fórmula de reccorrência para provar para n+1, mas se eu substituir para n-1 para provar n também funciona.Alguém saberia explicar?O exemplo está abaixo:n = 2^n -1T(n) = 2T(n) + 1Para nT(n) = 2T(n-1) + 1 = 2(2^[n-1] - 1) + 1 = 2^n -1Para n+1T(n+1) = 2T(n) + 1 = 2(2^n -1) + 1 = 2^[n+1] + 1Qual das duas alternativas é certa ou melhor e por que funciona?-- -hUgLeO-♑



-- Rafael



-- -hUgLeO-♑

-- Rafael
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática - (2^2 n) - 1

[Marcelo Gomes]

Valeu Denisson...muito obrigado pela ajuda

Caiu na prova um pareceido e acertei.

Abração, Marcelo.

2009/4/4 Denisson denisso...@gmail.com

 Uma forma da indução é a seguinte:

 Suponha que uma afirmação sobre os números naturais é verdadeira para n = 1
 Além disso se a afirmação for verdadeira para n = k implicar que ela é
 verdadeira para n = k +1 então vc pode ter certeza que a afirmação vale para
 todo m = 1.

 Por exemplo.

 2^(2n) - 1 assume o valor 3 quando n = 1. Logo 3 divide este número (ok).

 Suponha que a afirmação seja válida para um certo número k. Isto é 2^(2k) -
 1 é divisível por 3.

 Provemos que é verdadeira para k + 1 também.

 2^[2(k+1)] - 1 = 2^(2k + 2) - 1 = 2^(2k)*(2^2) - 1 = 4*2^(2k) - 1 =
 {3*2^(2k)} + [2^(2k) - 1]

 note que o termo em chaves é divisivel por 3 e o termo em colchetes também
 (por hipótese de indução), logo a afirmação está provada.

 O importante em perceber:

 Verificamos que a afirmação é válida pra n = 1.

 Daí como provamos que a validade pra n implica a validade de n+1 então se n
 = 1 é verdade logo n = 2 será verdade. E por isso n = 3 será verdade, e uma
 espécie de efeito dominó te garante que todos os naturais satisfazem essa
 propriedade (4,5,6,7...).

 Espero que tenha entendido:

 Uma explicação bem mais profissional (mas clara) vocÊ encontra em

 http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/artigos/inducao.pdf



 2009/3/12 Marcelo Rodrigues ge...@ibest.com.br

 Olá pessoal

 Estou estudando indução matemática já provei algumas que eram questões que
 envolviam somas de números naturais. Estou tendo algumas dúvidas, quando não
 há somatório.

 Estou tentando provar que : (2^2n) -1 é múltiplo de 3 para qualquer n,
 natural.

 Fiz o seguinte:

 P(1) =  3n = (2^2n) - 1 (Dúvida 1 - tenho que colocar 3n do lado esquerdo
 da igualdade, como fazia com os somatórios ?, ou basta trabalhar o lado
 direito dela ?)

 P(1) =  3(1) = (2^2) -1 =  3 = 3 (3 é múltiplo de 3, verdade para P(1))

 P(k) =  3k = (2^2k) - 1

 Provando por Indução:

 P(k+1) = 3k + k + 1 (Dúvida 2 - tenho que fazer deste lado também ? pois
 para K=3 dá 13...onde estou errando ?) = (2^2k) - 1 + k + 1 (este lado já
 funciona)= (2^2k) + k

 Somei k + 1 de ambos os lados mas errei algo.

 Se alguém tiver um tempinho, dê uma mãozinha, ok ?

 Abraços, Marcelo.




 --
 Denisson

[obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática - (2^2n) - 1

[Denisson]

Uma forma da indução é a seguinte:

Suponha que uma afirmação sobre os números naturais é verdadeira para n = 1
Além disso se a afirmação for verdadeira para n = k implicar que ela é
verdadeira para n = k +1 então vc pode ter certeza que a afirmação vale para
todo m = 1.

Por exemplo.

2^(2n) - 1 assume o valor 3 quando n = 1. Logo 3 divide este número (ok).

Suponha que a afirmação seja válida para um certo número k. Isto é 2^(2k) -
1 é divisível por 3.

Provemos que é verdadeira para k + 1 também.

2^[2(k+1)] - 1 = 2^(2k + 2) - 1 = 2^(2k)*(2^2) - 1 = 4*2^(2k) - 1 =
{3*2^(2k)} + [2^(2k) - 1]

note que o termo em chaves é divisivel por 3 e o termo em colchetes também
(por hipótese de indução), logo a afirmação está provada.

O importante em perceber:

Verificamos que a afirmação é válida pra n = 1.

Daí como provamos que a validade pra n implica a validade de n+1 então se n
= 1 é verdade logo n = 2 será verdade. E por isso n = 3 será verdade, e uma
espécie de efeito dominó te garante que todos os naturais satisfazem essa
propriedade (4,5,6,7...).

Espero que tenha entendido:

Uma explicação bem mais profissional (mas clara) vocÊ encontra em
http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/artigos/inducao.pdf



2009/3/12 Marcelo Rodrigues ge...@ibest.com.br

 Olá pessoal

 Estou estudando indução matemática já provei algumas que eram questões que
 envolviam somas de números naturais. Estou tendo algumas dúvidas, quando não
 há somatório.

 Estou tentando provar que : (2^2n) -1 é múltiplo de 3 para qualquer n,
 natural.

 Fiz o seguinte:

 P(1) =  3n = (2^2n) - 1 (Dúvida 1 - tenho que colocar 3n do lado esquerdo
 da igualdade, como fazia com os somatórios ?, ou basta trabalhar o lado
 direito dela ?)

 P(1) =  3(1) = (2^2) -1 =  3 = 3 (3 é múltiplo de 3, verdade para P(1))

 P(k) =  3k = (2^2k) - 1

 Provando por Indução:

 P(k+1) = 3k + k + 1 (Dúvida 2 - tenho que fazer deste lado também ? pois
 para K=3 dá 13...onde estou errando ?) = (2^2k) - 1 + k + 1 (este lado já
 funciona)= (2^2k) + k

 Somei k + 1 de ambos os lados mas errei algo.

 Se alguém tiver um tempinho, dê uma mãozinha, ok ?

 Abraços, Marcelo.




-- 
Denisson

[obm-l] RE: [obm-l] Indução Matemática

[Albert Bouskela]

Olá!

 

a) 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n = 2^(n+1) - 1, para n = 0

 

Verifique a validade para   n = {0, 1}

 

Hipótese de indução:

2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n = 2^(n+1) – 1   ...   validade para “n”

Verificação para “n+1”:

2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n + 2^(n+1) = 2^(n+1) - 1 + 2^(n+1)   ...   só
usei a hipótese de indução!

= 2^(n+2) - 1   ...   CQD!

 

b) 2^(-1) + 2^(-2) + 2^(-3) + ... + 2^(-n)  1

 

Verifique a validade para   n = 1

 

Trata-se de uma PG com   a[1] = r = 1/2 , obviamente,   1/2  1

 

Para   n - +infinito , a soma dos termos desta PG converge para
a[1]/(1-r) = 1

 

Logo, para um “n” finito, a soma é menor do que 1 . CQD!

 
Sds.,
AB
 


  _  

From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Venildo Amaral
Sent: Thursday, November 13, 2008 3:31 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Indução Matemática


Boa tarde
 
Alguém poderia ajudar a resolver essa indução matemática, mas
detalhadamente, estou um pouco perdido.
 
a) 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n = 2^(n+1) -  1, para n = 0;
 
b) 2^(-1) + 2^(-2) + 2^(-3) + ... + 2^(-n)  1,
 
Atenciosamente, 
Venildo Junio do Amaral
[EMAIL PROTECTED]
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática

[Rafael Ando]

bom, imagino que vc tenha calculado x^(n+1)-x (e não n^(...)), e dai ta
certo sim!
Então a gente tem x^(n+1) - x, mas o resultado desejado é x^(n+1) -1, certo?
pra isso falta somar esse (x-1)

x(x^n - 1) + (x-1)  =  x^(n+1) - x + x -1 = x^(n+1) - 1

2008/9/12 Venildo Amaral [EMAIL PROTECTED]

  Rafael, desculpa a minha falta de conhecimento, poderia me explicar mais
 detalhadamente esse passo.

 *x(x^n -1)*

 Pelo que entendi isso vai dar n^(n+1) - x, correto???

 De onde apareceu o (x-1).

 Realmente estou perdido



 Atenciosamente,
 Venildo Junio do Amaral
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 - Original Message -
 *From:* Rafael Ando [EMAIL PROTECTED]
 *To:* obm-l@mat.puc-rio.br
 *Sent:* Friday, September 12, 2008 8:50 AM
 *Subject:* Re: [obm-l] Indução Matemática

 Pra n=1 é obvio que vale.
 Suponha x^n - 1 divisivel por x-1. Seja (x^n -1) = p(x) (x-1), com p(x) um
 polinomio.

 x^(n+1) -1 = x(x^n -1) +(x-1) = (x-1). (xp(x) - 1) = (x-1) q(x), com q(x)
 um polinomio.

 Logo, por indução, x^(n+1) - 1 é divisivel por x-1

 On Fri, Sep 12, 2008 at 12:59 PM, Venildo Amaral [EMAIL PROTECTED]wrote:

  Como provar que X^n-1 é divisivel por x-1, através da indução
 matemática.

 Obrigado


 Atenciosamente,
 Venildo Junio do Amaral
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 Rafael




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Rafael

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática

[Venildo Amaral]

Ok Rafael,

Tinha deduzido isso, mas fiquei na dúvida.

OBrigado

ps: Qual é a ocasião que utilizo esse truque??



Atenciosamente, 
Venildo Junio do Amaral
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  From: Rafael Ando 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, September 12, 2008 9:34 AM
  Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática


  bom, imagino que vc tenha calculado x^(n+1)-x (e não n^(...)), e dai ta certo 
sim!


  Então a gente tem x^(n+1) - x, mas o resultado desejado é x^(n+1) -1, certo? 
pra isso falta somar esse (x-1)


  x(x^n - 1) + (x-1)  =  x^(n+1) - x + x -1 = x^(n+1) - 1


  2008/9/12 Venildo Amaral [EMAIL PROTECTED]

Rafael, desculpa a minha falta de conhecimento, poderia me explicar mais 
detalhadamente esse passo.

x(x^n -1)

Pelo que entendi isso vai dar n^(n+1) - x, correto???

De onde apareceu o (x-1).

Realmente estou perdido



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  - Original Message - 
  From: Rafael Ando 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, September 12, 2008 8:50 AM
  Subject: Re: [obm-l] Indução Matemática


  Pra n=1 é obvio que vale. 


  Suponha x^n - 1 divisivel por x-1. Seja (x^n -1) = p(x) (x-1), com p(x) 
um polinomio.


  x^(n+1) -1 = x(x^n -1) +(x-1) = (x-1). (xp(x) - 1) = (x-1) q(x), com q(x) 
um polinomio. 


  Logo, por indução, x^(n+1) - 1 é divisivel por x-1


  On Fri, Sep 12, 2008 at 12:59 PM, Venildo Amaral [EMAIL PROTECTED] 
wrote:

Como provar que X^n-1 é divisivel por x-1, através da indução 
matemática.

Obrigado


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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática

[Rafael Ando]

De nada alias, que truque? o princípio da indução?
bom, vc pode usar indução pra demonstrar várias coisas normalmente
quando é uma afirmação do tipo: prove que todo n inteiro maior que x possui
uma certa propiedade P. O problema que vc propos, por exemplo, é desse
tipo: a propriedade P seria que x^n-1 seja divisível por x-1.

2008/9/12 Venildo Amaral [EMAIL PROTECTED]

  Ok Rafael,

 Tinha deduzido isso, mas fiquei na dúvida.

 OBrigado

 ps: Qual é a ocasião que utilizo esse truque??



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 Venildo Junio do Amaral
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 - Original Message -
 *From:* Rafael Ando [EMAIL PROTECTED]
 *To:* obm-l@mat.puc-rio.br
 *Sent:* Friday, September 12, 2008 9:34 AM
 *Subject:* Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática

 bom, imagino que vc tenha calculado x^(n+1)-x (e não n^(...)), e dai ta
 certo sim!
 Então a gente tem x^(n+1) - x, mas o resultado desejado é x^(n+1) -1,
 certo? pra isso falta somar esse (x-1)

 x(x^n - 1) + (x-1)  =  x^(n+1) - x + x -1 = x^(n+1) - 1

 2008/9/12 Venildo Amaral [EMAIL PROTECTED]

  Rafael, desculpa a minha falta de conhecimento, poderia me explicar mais
 detalhadamente esse passo.

 *x(x^n -1)*

 Pelo que entendi isso vai dar n^(n+1) - x, correto???

 De onde apareceu o (x-1).

 Realmente estou perdido



 Atenciosamente,
 Venildo Junio do Amaral
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 - Original Message -
 *From:* Rafael Ando [EMAIL PROTECTED]
 *To:* obm-l@mat.puc-rio.br
 *Sent:* Friday, September 12, 2008 8:50 AM
 *Subject:* Re: [obm-l] Indução Matemática

 Pra n=1 é obvio que vale.
 Suponha x^n - 1 divisivel por x-1. Seja (x^n -1) = p(x) (x-1), com p(x) um
 polinomio.

 x^(n+1) -1 = x(x^n -1) +(x-1) = (x-1). (xp(x) - 1) = (x-1) q(x), com q(x)
 um polinomio.

 Logo, por indução, x^(n+1) - 1 é divisivel por x-1

 On Fri, Sep 12, 2008 at 12:59 PM, Venildo Amaral [EMAIL PROTECTED]wrote:

  Como provar que X^n-1 é divisivel por x-1, através da indução
 matemática.

 Obrigado


 Atenciosamente,
 Venildo Junio do Amaral
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[obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática

[Venildo Amaral]

Marcelo 

Tinha provado de uma forma bem mais simples e fiquei na dúvida, fiz assim:

base: n=0 = 5¹ + 2.3^0  + 1 = 8 , logo é divisivel por 8

H.I .

P.I = n+1
5^(n+2) + 2.3^(n+1) + 1 
= 5.5^(n+1) + 2.3.3^n + 1
= 5 . 5^(n+1) + 1 + 3^n .2.3
Por hipotese a parte grifada é divisivel por oito, logo as restante é 
divisivel por 8.

DESSE JEITO SERÁ QUE ESTA ERRADO?


Atenciosamente, 
Venildo Junio do Amaral
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  - Original Message - 
  From: Marcelo Salhab Brogliato 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, September 09, 2008 5:32 PM
  Subject: Re: [obm-l] Indução Matemática


  Olá Venildo,

  para n=0, temos: 5 + 2 + 1 = 8 que é divisivel por 8.
  suponha que seja verdadeiro para k, vamos mostrar que vale para k+1.. assim:
  5^(k+2) + 2.3^(k+1) + 1 = 5.5^(k+1) + 6.3^k + 1 = 4.5^(k+1) + 4.3^k + 5^(k+1) 
+ 2.3^k + 1 = 4.[5^(k+1) + 3^k] + 5^(k+1) + 2.3^k + 1...

  veja que basta provarmos que 5^(k+1) + 3^k é multiplo de 2... de fato: para 
k=0, temos: 5+1 = 6
  vamos supor que vale para u, e vamos mostrar que vale para u+1... assim:
  5^(u+2) + 3^(u+1) = 5.5^(u+1) + 3.3^u = 4.5^(u+1) + 2.3^u + 5^(u+1) + 
3^u. como, por hipotese, 5^(u+1) + 3^u é divisível por 2, então 5^(u+2) + 
3^(u+1) também é.

  voltando, como 5^(k+1) + 2.3^k + 1, por hipótese, é divisível por 8, e temos 
que 5^(k+1) + 3^k é múltiplo de 2, então está provado para k+1.

  desculpa a confusão, fiz correndo aqui..
  qquer dúvida é só dizer..

  abraços,
  Salhab



  On Tue, Sep 9, 2008 at 4:15 PM, Venildo Amaral [EMAIL PROTECTED] wrote:

Poderia me ajudar nessa indução, provar que 

5^(n+1) + 2.3^n + 1 é divisivel por 8


Atenciosamente, 
Venildo Junio do Amaral
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RES: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática

[Artur Costa Steiner]

Não entendi não, não estou vendo como vc chegou aa conclusao desejada. A 
expressao nao eh 5 vezes um multiplo de 8

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Venildo Amaral
Enviada em: terça-feira, 9 de setembro de 2008 18:15
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática


Marcelo

Tinha provado de uma forma bem mais simples e fiquei na dúvida, fiz assim:

base: n=0 = 5¹ + 2.3^0  + 1 = 8 , logo é divisivel por 8

H.I .

P.I = n+1
5^(n+2) + 2.3^(n+1) + 1
= 5.5^(n+1) + 2.3.3^n + 1
= 5 . 5^(n+1) + 1 + 3^n .2.3
Por hipotese a parte grifada é divisivel por oito, logo as restante é 
divisivel por 8.

DESSE JEITO SERÁ QUE ESTA ERRADO?


Atenciosamente,
Venildo Junio do Amaral
[EMAIL PROTECTED]mailto:[EMAIL PROTECTED]
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- Original Message -
From: Marcelo Salhab Brogliatomailto:[EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Tuesday, September 09, 2008 5:32 PM
Subject: Re: [obm-l] Indução Matemática

Olá Venildo,

para n=0, temos: 5 + 2 + 1 = 8 que é divisivel por 8.
suponha que seja verdadeiro para k, vamos mostrar que vale para k+1.. assim:
5^(k+2) + 2.3^(k+1) + 1 = 5.5^(k+1) + 6.3^k + 1 = 4.5^(k+1) + 4.3^k + 5^(k+1) + 
2.3^k + 1 = 4.[5^(k+1) + 3^k] + 5^(k+1) + 2.3^k + 1...

veja que basta provarmos que 5^(k+1) + 3^k é multiplo de 2... de fato: para 
k=0, temos: 5+1 = 6
vamos supor que vale para u, e vamos mostrar que vale para u+1... assim:
5^(u+2) + 3^(u+1) = 5.5^(u+1) + 3.3^u = 4.5^(u+1) + 2.3^u + 5^(u+1) + 3^u. 
como, por hipotese, 5^(u+1) + 3^u é divisível por 2, então 5^(u+2) + 3^(u+1) 
também é.

voltando, como 5^(k+1) + 2.3^k + 1, por hipótese, é divisível por 8, e temos 
que 5^(k+1) + 3^k é múltiplo de 2, então está provado para k+1.

desculpa a confusão, fiz correndo aqui..
qquer dúvida é só dizer..

abraços,
Salhab



On Tue, Sep 9, 2008 at 4:15 PM, Venildo Amaral  [EMAIL 
PROTECTED]mailto:[EMAIL PROTECTED] wrote:


Poderia me ajudar nessa indução, provar que

5^(n+1) + 2.3^n + 1 é divisivel por 8


Atenciosamente,
Venildo Junio do Amaral
[EMAIL PROTECTED]mailto:[EMAIL PROTECTED]
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática

[Venildo Amaral]

Analisando bem, ficou meio estranho mesmo.

Vou tentar entender melhor.

Obrigado



Atenciosamente, 
Venildo Junio do Amaral
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  - Original Message - 
  From: Artur Costa Steiner 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, September 09, 2008 7:30 PM
  Subject: RES: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática


  Não entendi não, não estou vendo como vc chegou aa conclusao desejada. A 
expressao nao eh 5 vezes um multiplo de 8
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Venildo Amaral
Enviada em: terça-feira, 9 de setembro de 2008 18:15
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Indução Matemática


Marcelo 

Tinha provado de uma forma bem mais simples e fiquei na dúvida, fiz assim:

base: n=0 = 5¹ + 2.3^0  + 1 = 8 , logo é divisivel por 8

H.I .

P.I = n+1
5^(n+2) + 2.3^(n+1) + 1 
= 5.5^(n+1) + 2.3.3^n + 1
= 5 . 5^(n+1) + 1 + 3^n .2.3
Por hipotese a parte grifada é divisivel por oito, logo as restante 
é divisivel por 8.

DESSE JEITO SERÁ QUE ESTA ERRADO?


Atenciosamente, 
Venildo Junio do Amaral
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  - Original Message - 
  From: Marcelo Salhab Brogliato 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, September 09, 2008 5:32 PM
  Subject: Re: [obm-l] Indução Matemática


  Olá Venildo,

  para n=0, temos: 5 + 2 + 1 = 8 que é divisivel por 8.
  suponha que seja verdadeiro para k, vamos mostrar que vale para k+1.. 
assim:
  5^(k+2) + 2.3^(k+1) + 1 = 5.5^(k+1) + 6.3^k + 1 = 4.5^(k+1) + 4.3^k + 
5^(k+1) + 2.3^k + 1 = 4.[5^(k+1) + 3^k] + 5^(k+1) + 2.3^k + 1...

  veja que basta provarmos que 5^(k+1) + 3^k é multiplo de 2... de fato: 
para k=0, temos: 5+1 = 6
  vamos supor que vale para u, e vamos mostrar que vale para u+1... assim:
  5^(u+2) + 3^(u+1) = 5.5^(u+1) + 3.3^u = 4.5^(u+1) + 2.3^u + 5^(u+1) + 
3^u. como, por hipotese, 5^(u+1) + 3^u é divisível por 2, então 5^(u+2) + 
3^(u+1) também é.

  voltando, como 5^(k+1) + 2.3^k + 1, por hipótese, é divisível por 8, e 
temos que 5^(k+1) + 3^k é múltiplo de 2, então está provado para k+1.

  desculpa a confusão, fiz correndo aqui..
  qquer dúvida é só dizer..

  abraços,
  Salhab



  On Tue, Sep 9, 2008 at 4:15 PM, Venildo Amaral [EMAIL PROTECTED] wrote:

Poderia me ajudar nessa indução, provar que 

5^(n+1) + 2.3^n + 1 é divisivel por 8


Atenciosamente, 
Venildo Junio do Amaral
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[obm-l] Re:[obm-l] Indução finita

[Salhab \[ k4ss \]]

Olá,

para n=1, temos: 2 = 0
para n=2, temos: 4 = 3
para n=3, temos: 8 = 8
para n=4, temos: 16 = 15

ok.. vimos para alguns casos.. 
na verdade, para inducao, basta ser verdadeiro para 1 caso..

Suponha verdadeiro para k, vamos mostrar que vale para k+1.

2^k = k^2 - 1
multiplicamos por 2.. entao:
2^(k+1) = 2k^2 - 2

sabemos que (k+1)^2 - 1 = k^2 + 2k

(2k^2 - 2) - (k^2 + 2k) = k^2 - 2k - 2 = k^2 - 2k - 1 - 1 = (k-1)^2 - 1 = 0, para k0
assim: 2k^2 - 2 = k^2 + 2k = (k+1)^2 - 1

assim: 2^(k+1) = 2k^2 - 2 = (k+1)^2 - 1
logo: 2^(k+1) = (k+1)^2 - 1

cqd.


abraços,
Salhab


 
 Provar que 2^n =n^2 -1 
 
 == 
 === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
 == 
 === 
 

[obm-l] RE: [obm-l] Indução

[Artur Costa Steiner]

Oi Eduardo,

Observe a seguinte passagem da demonstracao:  
 Obtemos novamente um conjunto com i bolas e que, pelo que foi
discutido
 anteriormente, possui i-1 bolas amarelas. Pela hipótese indutiva,
possui
 todas as bolas da mesma cor.
Isso so eh valido se i-10, ou seja i=2. Assim, o fato de que a
hipotese seja valida para i=1 nao implica que seja valida para i=2.
Suponha i=1 e considere um conjunto com i+1=2 bolas. Tire uma, obtendo
um conjunto com uma bola - amarela, por hipotese. Retire esta bola
amarela, vc fica com um conjunto vazio. Retorne a bola inicialmente
retirada. Vc agora tem um conjunto com uma unica bola, mas nao eh
possivel afirmar que ela eh amarela, porque o conjunto com i-1=0 bolas
era vazio. Assim, o processo indutivo eh cortado na raiz e nao
deslancha. 
O processo daria ceto se partisse de i=2 com a hipotese inicial de que
em todo conjunto composto por 2 bolas, as bolas tem a mesma cor. Mas
isto eh claramente falso. Tambem daria certo se partisse de i=1 com a
hipotese dados 2 conjuntos quaisquer compostos por uma unica bola, as
bolas dos 2 conjuntos tem a mesma cor - outro absurdo.
Abracos
Artur

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[obm-l] Re: [obm-l] Indução finita (mais um...)

[Henrique Patrício Sant'Anna Branco]

 Como eu faço isso?
 Verifique que
 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n-1)^2 = n(4n^2 + 1)/3

Corrigindo... n(4n^2 - 1)/3 e não n(4n^2 + 1)/3.

Grato,
Henrique.

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[obm-l] RE: [obm-l] Indução finita (mais um...)

[Artur Costa Steiner]

Hah um engano, a expressao dada nao pode ser a soma dos quadrados dos n
primeiros numeros impares, pois, para n=1, ela teria que dar 1, e nao
5/3. 
Acho que o certo eh n(4n^2 - 1)/3.
Jah que temos uma sugestao para a formula, vamos verificar por inducao
finita. Para n=1, obtemos 1 - OK. Admitindo-se que a formula valha para
algum natural n e sendo S_n a soma dos quadrados dos n primeiros numeros
impares, temos que S_n+1 = S_n + (2n+1)^2 = n(4n^2 - 1)/3 + (2n+1)^2 =
n(2n-1)(2n+1)/3 + (2n+1)^2 = (2n+1) [n(2n-1)+3(2n+1)]/3 =
(2n+1)[2n^2+5n+3]/3= (2n+1)(n+1)(2n+3)/3 = (n+1)(2n+1)(2n+3)/3. Dado que
S_n = n(4n^2 - 1)/3 = n(2n-1)(2n+1)/3, vemos que a expressao de S_n+1 eh
obtida de S_n substituindo-se n por n+1. Isto completa a inducao e
mostra que a formula eh valida (a corrigida, nao a original).
O que temos aqui eh a soma dos quadrados dos n primeiros termos de uma
PA, no caso a PA dos numeros impares. Existe uma formula geral (dificil
de se guardar) para a soma dos n primeiros termos de uma PA elevados a
k, poderiamos simplesmente aplicar tal formula sem recorrer a inducao
finita. Sabemos que esta formula corresponde a um polinomio do grau k+1
em n no qual o termo independente eh nulo. Logo, no caso temos um pol.
Do grau 3 em n com termo independente nulo. Basedos nisto, uma forma
mais simples de checarmos se a expressao eh correta, e que evita o
algebrismo que realizamos, eh verificar se a mesma eh um pol. em n  (e
de fato eh), se o termo independente eh nulo (claramente eh) e se a
expressao bate para n=1 , 2 e 3 (existe um e apenas um pol. do terceiro
grau que atende a estas condicoes). Verificamos sem muito esforco que
este eh o caso, conclusao que valida a formula.
Provas por inducao finita sao interessantes, mas exigem que se conheca
previamente a conclusao que se deseja provar. Assim, para aplica-las, vc
tem,  seja porque analisou o problema, seja porque (como no caso) alguem
lhe disse ou seja porque vc teve uma especie de inspiracao divina, que
desconfiar previamente que sua formula ou conclusao eh valida
Finalizo sugerindo a vc um problema simples e interessante a ser
resolvido por inducao: baseado em que a soma dos n primeiros naturais eh
dada por n(n+1)/2, mostre que a soma dos cubos dos n primeiros naturais
eh o quadrado da soma dos mesmos,
Espero ter ajudado um pouco.
Artur

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[obm-l] Re: [obm-l] Indução finita

[RICARDO CHAVES]

From: Helder Suzuki<[EMAIL PROTECTED]> 
Reply-To: [EMAIL PROTECTED] 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Subject: [obm-l] Induo finita 
Date: Sat, 23 Mar 2002 19:15:33 -0300 (ART) 
 
Ol pessoal, 
como posso provar, usando induo finita, que (x-1)^x  x^(x-1) para todo 
x3 natural ? 
 
,Hlder 
 
_ANSWER 


Vamos provar que n((n+1)/n)^n((estrela)).Vamos de PIF.Prove que para n3 da certo.E com isso na mao,vamos provar.Como (n+1)/n(n+2)/(n+1),eleva tudo a n+1 e pronto!E so arranjar um jeito de usar((estrela)).Gostou? 




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[obm-l] Re: [obm-l] Indução finita

[Juliana Freire]

Caso base: mostrar que pra x=4 funciona (8164)


Indução:

(x-1)^x  x^(x-1)

Multiplicando os dois lados por [x^(x+1)]/[(x-1)^x] temos

x^(x+1)  x^(x-1) * x^(x+1) / (x-1)^x
x^(x+1)  x^(2x) / (x-1)^x
x^(x+1)  [ x^2 / (x-1) ]^x

Mas podemos ver que x^2 / (x-1)  x+1,
porque x^2  (x-1)*(x+1)
x^2  x^2 - 1.

Então
x^(x+1)  [ x^2 / (x-1) ]^x  (x+1)^x ,
x^(x+1)  (x+1)^x


- Juliana


- Original Message -
From: Helder Suzuki [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, March 23, 2002 7:15 PM
Subject: [obm-l] Indução finita


Olá pessoal,
como posso provar, usando indução finita, que (x-1)^x  x^(x-1) para todo
x3 natural ?

,Hélder

___
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