[obm-l] Re: [obm-l] Divisão prolongada e série

2017-08-24 Por tôpico Pedro José 
Boa tarde! a1, a2, a3 pertencente a {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Se não houver um padrão de repetição o número é irracional e portanto, não
poderá ser escrito a/b.

Caso o número tenha uma parte não periódica com x dígitos e uma periódica
com y dígitos.


 eseja w =  (a_1)/10 + (a_2)/100 + (a_3)/1000 + ...

w= (a_1)/10 + (a_2)/100 + (a_3)/1000 + ...+ (a_x)*10^(-x) +
(a_x+1)*10^(-x-1)+ (a_x+2) *10^(-x-2) + ... (a_x+y)*10^(-x-y)+
(a_x+1)*10^(-x-y-1)+ (a_x+2) *10^(-x-y-2) + ... (a_x+y)*10^(-x-2y)+

10^(x+y)*w = (a_1)*10(x+y-1) + (a_2)/10(x+y-2) + (a_3)/10(x+y-3) + ...+
(a_x)*10^(y) + (a_x+1)*10^(y-1)+ (a_x+2) *10^(y-2) + ... (a_x+y) +
(a_x+1)*10^(-1)+ (a_x+2) *10^(-2) + ... (a_x+y)*10^(-y)+...
10^x*w = (a_1)*10(x-1) + (a_2)*10^(x-2) + (a_3)*10(x-3) + ...+ (a_x)+
(a_x+1)*10^(-1)+ (a_x+2) *10^(-2) + ... (a_x+y)*10^(-y)+...

[10^(x+y)-10^x]w =  (a_1)*10(x+y-1) + (a_2)/10(x+y-2) + (a_3)/10(x+y-3) +
...+ (a_x)*10^(y) + (a_x+1)*10^(y-1)+ (a_x+2) *10^(y-2) + ... (a_x+y)
- ((a_1)*10(x-1)
+ (a_2)*10^(x-2) + (a_3)*10(x-3) + ...+ (a_x) )
Pelo fechamento da multiplicação e adição em Z. Pode-se dizer que existem p
e q inteiros, tal que: qw= p
e portanto w = p/q. logo k+w pode ser escrito da forma a/b com a e b
inteiros.
Ficaria melhor com somatório, mas não sei como fazê-lo no computador.

Saudações,
PJMS





Em 7 de agosto de 2017 21:23, Pedro Chaves  escreveu:

> Caros Colegas,
> Sejam a e b números inteiros positivos , com a > b e seja
> k, a_1 a_2 a_3 ... a_n ...
> o resultado da divisão euclidiana prolongada de a por b.
> (Por exemplo, a divisão euclidiana prolongada de 8 por 3 resulta em
> 2,666...)
> Como provar que a série
> k + (a_1)/10 + (a_2)/100 + (a_3)/1000 + ...
> converge para a/b ?
> Um abraço do Pedro Chaves.
> 
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Divisão prolongada e série

2017-08-23 Por tôpico Anderson Torres 
Em 7 de agosto de 2017 21:23, Pedro Chaves  escreveu:
> Caros Colegas,
> Sejam a e b números inteiros positivos , com a > b e seja
> k, a_1 a_2 a_3 ... a_n ...
> o resultado da divisão euclidiana prolongada de a por b.
> (Por exemplo, a divisão euclidiana prolongada de 8 por 3 resulta em
> 2,666...)
> Como provar que a série
> k + (a_1)/10 + (a_2)/100 + (a_3)/1000 + ...
> converge para a/b ?

Cara, isso depende de muitas suposições. Esta divisão prolongada
simplesmente precisa supor que estamos trabalhando numa base numérica
predeterminada, tipo a base 10.

De qualquer forma, a ideia é demonstrar que a diferença tende a zero.
Ou, de outra forma, dado qualquer número muito pequeno e, a diferença
sempre pode ser feita menor que esse e.

> Um abraço do Pedro Chaves.
> 
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisão euclidiana de n por Dd (ainda não consegui)

2012-10-03 Por tôpico Lucas Prado Melo 
2012/10/3 terence thirteen peterdirich...@gmail.com

 Em 3 de outubro de 2012 06:12, ennius enn...@bol.com.br escreveu:
 Caros Colegas, Gostaria de obter, se possível for, demonstração do
 teorema abaixo, em que divisão quer dizer divisão euclidiana, n é inteiro,
 D e d são inteiros positivos. Teorema:  O quociente da divisão de n por
 Dd é igual ao quociente da divisão de q por d, sendo q o quociente da
 divisão de n por D.
 O quociente de x por y é [x/y], parte inteira da divisão.
 Você quer que [n/Dd] = [[n/D]/d]
 Eu tenho boas razões para pensar que isso não é verdadeiro, pelo menosnão
 sem impor alguma restrição a D e d.


Isso é verdadeiro.
[n/Dd] = [[n/D]/d] sse d[n/Dd] = d[[n/D]/d]
(para d != 0)

d[[n/D]/d] = [n/D] - [n/D]%d, onde a%b é o resto de a na divisão por b.

De modo similar
d[n/Dd] = d[(n/D)/d] = (n/D) - (n/D)%d

Note que o resto aqui é especial aqui, pq carrega também a mantissa do
número. (n/D)%d = ([n/D] + m)%d = [n/D]%d + m, onde m é a mantissa, ou seja
a parte fracionária do número.

Assim fica claro que (n/D) - (n/D)%d = [n/D] - [n/D]%d

Isso é um exercício do Art of Computer Programming do Knuth.

-- 
[]'s
Lucas

[obm-l] RE: [obm-l] Divisão de polinômios

2011-08-26 Por tôpico João Maldonado 

Olá Lucas

Tenho 2 formas simples de demonstrar:1) Multiplicando TUDO(a+1).(a^x - a^ (x-1) 
+ ... + 1) = a^ (x+1) - a^x + a^(x-1) - ... + a - Multiplicação por a  
   + a^x - a^(x-1) + ... - a + 1 - Multiplicacão por 1a^(x+1) + 1
Que vale para x par (por termina em +1)



2) Por PG
Você já aprendeu progressão aritmétic ou geométrica?Progressão geométrica é uma 
sequência de termos em que um termo é o anterior multiplicado por uma constan 
te k.Ex: 1, 2, 4, 8, 16... é uma PG cujo primeiro termo vale 1  e a razão é 
2Como a^ (x+1) - 1 =  (a-1)(a^x + a^(x-1) +...+1), pelo mesmo método de cima  , 
mas válido tanto para x par como x ímparVemos que a PG (a^x + a^(x-1) +...+1) = 
(a^(x+1)-1)/(a-1),  logo a soma de uma PG qualquer de primeiro termo b e razão 
r vale b.(r^(n+1)-1)/(r-1)No nosso caso a razão é -a, o primeiro termo é 1 logo
(a^2m - a^ (2m-1) + ... + 1) =  ((-a)^(2m+1) - 1)/(-a-1) = 
(a^(2m+1)+1)/(a+1)
[]'sJoão
From: lucashagemais...@msn.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Divisão de polinômios
Date: Fri, 26 Aug 2011 15:46:22 -0300








É correto afirmar que a^(2m+1)+1= 
{[a^(2m)]-[a^(2m-1)]+[a^(2m-2)]-[a^(2m-3)]+.-a+1}(a+1)?
Em caso positivo, o que prova que isso seja verdadeiro?
Em caso negativo, qual seria a forma correta e como seria provada esta forma 
correta?
OBS: estou no 9º ano do ensino fundamental, não tenho tanto conhecimento de 
álgebra como alunos de ensino médio.

[obm-l] Re: [obm-l] Divisão na base 5

2010-10-28 Por tôpico Bernardo Freitas Paulo da Costa 
413 = 420 - 2, logo 413 / 21 = (20 - 1) = 14 e resto 5 - 2 = 3
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa


2010/10/28 Paulo  Argolo pauloarg...@bol.com.br:
 Caros Colegas,

 Peço-lhes que resolvam, se possível for, a questão abaixo.

 QUESTÃO:
  Efetuar a divisão de 413(5) por 21(5), sem converter o dividendo ao sistema
 decimal, fornecendo o quociente e o resto também na base 5.

 Grato,
 Paulo

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Divisão na base 5

2010-10-28 Por tôpico Ralph Teixeira 
Poxa, mas ai eu tenho que lembrar como eh a tabuada base 5... Em glorioso
ASCII:

 413 |___ 21
-21 14

 203
-134

   14

Em suma, 413=21.14+14 (em base 5)
(Em base 10, isto seria 108=11.9+9)

Explicando (tudo estah em base 5, exceto o que estah entre aspas, que eh
base 10):
-- 41 dividido por 21 nao chega a 2, entao deve dar 1.
-- 1 vezes 21, 21, que subtraindo de 41 dah 20.
-- Agora, 203 eh quase 10 vezes 21, entao a divisao deve dar 4 (=10-1).
-- 4 vezes 21 dah 134 (na tabuada base 5, tem 4.2=13, porque 4.2=8)
-- Subtraindo: 3-4 nao vai, empresta 10 (5), 13-4 (8-4) =4. Como
emprestou 1 do 20, ficou 20-1=14. Enfim, 14-13=1. Acabou.

Abraco,
   Ralph
2010/10/28 Paulo Argolo pauloarg...@bol.com.br

 Caros Colegas,

 Peço-lhes que resolvam, se possível for, a questão abaixo.

 QUESTÃO:
  Efetuar a divisão de 413(5) por 21(5), sem converter o dividendo ao
 sistema decimal, fornecendo o quociente e o resto também na base 5.

 Grato,
 Paulo
 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=

[obm-l] [obm-l] Re: [obm-l] Divisão na base 5

2010-10-28 Por tôpico Paulo Argolo 
Obrigado, Ralph, pela detalhda resolução.

Bem... para evitar multiplicações na base 5, prefiro converter o divisor 21(5) 
em 11(10). 

Nesse procedimento, toma-se, no dividendo, um algarismo de cada vez, 
partindo-se da esquerda para a direita. 
As operações são feitas normalmente (base 10), embora o fator 5 (base em que 
está o dividendo) seja usado repetidamente.

Veja:

4'13(5) | 11   
x5   __
__  14  (5)
20
+1  (abaixei o 1)
__
 21
-11
___
 10
 x5
 __
 50
 +3  (abaixei o 3) 
___
 53 
-44
___
  9(10)   =   14(5)
Um abraço do Paulo!

[obm-l] Re: [obm-l]Divisão de Binários - esta é do baú !

2009-03-27 Por tôpico smolka 
 

Marcelo, 

Para não se enrolar nesta questão vc precisa prestar atenção ao
básico sobre sistemas de numeração posicionais (SNPs). O que
chamamos de números (em qualquer SNP) são, na verdade,
representações abreviadas de polinômios de potências da base do
SNP. 

Todos os SNPs são equivalentes, e os algoritmos da aritmética são
equivalentes para todos (é um exercício interessante tentar escrever
os algoritmos generalizados da soma, subtração, multiplicação e
divisão de números inteiros para qualquer SNP). Então tanto faz
realizar sua operação em hexadecimal, decimal ou binário, porque
todos os resultados que vc vai encontrar são diferentes
representações para o mesmo valor. 

No caso particular que vc levantou, a representação do resultado
da divisão é -3 (hexadecimal e decimal) ou -11 (binário). 

Agora, uma coisa completamente diferente é vc se preocupar com a
forma de representação física de números binários em algum
sistema de computação (como, por exemplo, um computador eletrônico
digital). Aí vc começa a se preocupar com coisas como: qual o SNP
usado na representação interna (geralmente binário)? Quantos
dígitos (bits) eu disponho para representar meus números? Qual a
convenção de representação de números positivos e negativos? 

Repare que tipicamente os números inteiros formam o que chamamos um
tipo de dado primitivo (representável e operável diretamente pelas
instruções de máquina do processador), enquanto que os números
reais, por exemplo, só podem ser representados como estruturas de
dados primitivos (ver, por exemplo, o padrão de representação IEEE
754). 

Vc fez uma mistura com dois tipos diferentes de representações
binárias de números naturais: 
*representação em módulo-sinal: bit mais significativo usado
para representar o sinal (geralmente a convenção é 0 = sinal
positivo, 1 = sinal negativo) e os n - 1 bits restantes são usados
para representar o módulo (valor absoluto) do número. Neste caso,
se temos N bits disponíveis para representar números, a faixa de
valores representável é -2^n  x  2^n (simétrica).
*representação em complemento de 2: todos os bits são usados
na representação, sendo que os valores negativos são representados
pelo complemento de 2 (expresso com N bits) do valor absoluto do
número. Adota-se a convenção que, caso o bit mais significativo
seja 1, então o número representado é negativo, caso contrário
ele é positivo. Esta convenção torna a faixa de valores
representável, com os N bits disponíveis, igual a -1-2^n  x  2^n
(assimétrica).
Vale a pena uma olhada nos artigos da wikipedia sobre formatos de
representação de números com sinal [1] e representação no
formato complemento de dois [2]. 

[ ]'s 

J. R. Smolka
 ON SEX 27/03/09 14:45 , MARCELO RODRIGUES ge...@ibest.com.br SENT: 
Olá pessoal...estou me vendo em papos de aranha tentando resolver
uma questão que envolve a divisão de binários. Se alguém tiver
aquele tempinho, por favor me dê uma mãozinha, ok ?   Aí vai : X =
-(75)16 (menos 75 na base 16 que é hexadecimal)  e  Y= (27)16 (27 na
base 16 - hexadecimal)   Fiz o seguinte:   1-Converti para base 10 os
dois valores e resultaram em:  X= -117  e Y= 392-Passei ambos para
binários (base 2) de 8 bits onde o primeiro número representa o
sinal ou seja se for 0 é positivo ou se for 1 é negativo: ficaram
assim: Y=(00100111) na base 2 e achei o equivalente a 117 (positivo)
na base 2 que dá: (01110101) na base 2.3-Então o -117 será o
complemento a 2 deste positivo. Para encontrá-lo, uma maneira bem
prática é caminhar no número da direita para esquerda mantendo os
zeros até encontrar o primeiro 1. Então mantemos este 1 e a partir
do próximo dígito trocamos: quando for ZERO escrevemos 1 e quando
for 1 escrevemos ZERO. Então o complemento a 2 do 117 na base será
o -117 que em base 2 escrevemos: (10001011) na base 2.   4-Agora vem
a dúvida a questão pede: X / Y (divisão inteira) - Já tentei
fazer por subtrações sucessivas e não consegui...alguém poderia
dar uma sugestão ?

[obm-l] Re: [obm-l] Divisão

2007-04-01 Por tôpico claudio\.buffara 
  
1)  Que número divide 1108 , 1453 , 1844 e 2281, deixando, exatamente,
  o mesmo resto? 

Seja N o numero procurado.
Entao, 
N divide 1453-1108 = 345; 
N divide 1844-1453 = 391; 
N divide 2281-1844 = 437.
Ou seja, N divide mdc(345,391,437) = mdc(345,46,92) = mdc(345,46) = mdc(46,23) 
= 23.
Como 23 eh primo, N soh pode ser 1 ou 23.

[]s,
Claudio.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Divisão

2007-04-01 Por tôpico claudio\.buffara 
-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Sat, 31 Mar 2007 11:24:17 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Divisão

 Citando Pedro Costa [EMAIL PROTECTED]:
 
  Será que tem uma maneira mais simples de fazer a 1° questão?
  
  
  
  
  
1)  Que número divide 1108 , 1453 , 1844 e 2281, deixando, exatamente,
  o mesmo resto? 
  
  Seja x o número que se procura e r o resto (que é sempre o mesmo).
 Então,
   1108 congr r mod(x),   (i)
   1453 congr r mod(x),   (ii)
   2281 congr r mod(x).   (iii) 
Fazendo (ii) - (i):  345 congr 0 mod(x), ou seja, x divide 345, ou melhor, 
   x.q1=345, para algum q1 inteiro, e fazendo (iii)-(ii):
   828 congr 0 mod(x), ou seja, x divide 828. Mas
   828=2^2 . 3^2 . 23  e
   345=3 . 5 . 23 
   Além disso, fazendo (iii)-(i), temos 1173 congr 0 mod(x), e 
   1173=3 . 17 . 23
   Como x divide 828, 345 e 1173 simultaneamente, só podemos ter x=3.23=69,
   logo x=69 é o cara.
 

1844 = 69*26+50 == resto = 50.



=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisão

2007-04-01 Por tôpico Arlane Manoel S Silva 
   Obrigado Cláudio pela sugestão. Corrigindo meu erro: x=23.

  []'s

Citando claudio\\.buffara [EMAIL PROTECTED]:

 -- Cabeçalho original ---
 
 De: [EMAIL PROTECTED]
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Cópia: 
 Data: Sat, 31 Mar 2007 11:24:17 -0300
 Assunto: Re: [obm-l] Divisão
 
  Citando Pedro Costa [EMAIL PROTECTED]:
  
   Será que tem uma maneira mais simples de fazer a 1° questão?
   
   
   
   
   
 1)  Que número divide 1108 , 1453 , 1844 e 2281, deixando,
 exatamente,
   o mesmo resto? 
   
   Seja x o número que se procura e r o resto (que é sempre o
 mesmo).
  Então,
1108 congr r mod(x),   (i)
1453 congr r mod(x),   (ii)
2281 congr r mod(x).   (iii) 
 Fazendo (ii) - (i):  345 congr 0 mod(x), ou seja, x divide 345, ou
 melhor, 
x.q1=345, para algum q1 inteiro, e fazendo (iii)-(ii):
828 congr 0 mod(x), ou seja, x divide 828. Mas
828=2^2 . 3^2 . 23  e
345=3 . 5 . 23 
Além disso, fazendo (iii)-(i), temos 1173 congr 0 mod(x), e 
1173=3 . 17 . 23
Como x divide 828, 345 e 1173 simultaneamente, só podemos ter x=3.23=69,
logo x=69 é o cara.
  
 
 1844 = 69*26+50 == resto = 50.
 
 
 
 =
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 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =
 


-- 
Arlan Silva
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re:[obm-l] Divisão de polinôm ios

2006-05-05 Por tôpico claudio\.buffara 
-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Thu, 4 May 2006 18:52:52 -0300
Assunto: [obm-l] Divisão de polinômios

 Olá à todos da lista, esse é o primeiro tópico que inicio aqui.  Estudando
 divisibilidade de polinômios me deparei com o seguinte exercício (a fonte
 diz que é IME, mas não encontrei esse exercício entre os exercícios do IME):
 
 Prove que o polinômio p(x) = x^ + x^ + x^ + ... + x^ + 1 é
 divisível por g(x)= x^9 + x^8 + x^7 +  + x^1 + 1
 
 Creio eu que tenha que utilizar a teoria das congruências (mod). agradeço
 desde já pela ajuda.
 

Basta observar que as raizes de g(x) sao justamente as raizes decimas da 
unidade distintas de 1 e que, se w eh uma tal raiz, entao 
w = w^, pois w^1110 = (w^10)^111 = 1^111 = 1.
Assim, para toda raiz decima da unidade distinta de 1, p(w) = g(w), ou seja, 
g(x) divide p(x).

[]s,
Claudio.




=
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[obm-l] Re: [obm-l] Divisão de polinômios

2002-07-14 Por tôpico Eric Campos Bastos Guedes 

 Ae pessoal, to precisando de uma ajudinha nessa questão:

 Provar que o polinômio P(x) = x^999 + x^888 + x^777  x^111 + 1 é
 divisível por x^9 + x^8 + x^7 ... x + 1

Basta provar que todas as (distintas) raizes de

Q(x) = x^9 + x^8 + ... + x + 1

sao tambem raizes de P(x).

Veja que Q(x)(x-1) = x^10 - 1;
logo as raizes de Q(x) sao as raizes decimas da unidade, com excessao da
propria unidade.
Seja x uma raiz de Q(x); mostrarei que ela eh tambem raiz de P(x);
note que x^999 = ((x^10)^99)*x^9 = (1^99)*x^9 = x^9, etc.
entao 0=Q(x)=P(x)

e toda raiz de Q(x) eh raiz de P(x)

Abrac,os,

Eric.

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[obm-l] Re:[obm-l] Divisão de polinômios

2002-07-13 Por tôpico diegoalonsoteixeira 

talvez multiplicar a primeira expressão por x^111-1, e a
segunda por x-1 simplifique as expressões


__
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Ae pessoal, to precisando de uma ajudinha nessa questão:

Provar que o polinômio P(x) = x^999 + x^888 + x^777  x^111 + 1 é 
divisível por x^9 + x^8 + x^7 ... x + 1




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[obm-l] Re: [obm-l] Divisão de polinômios

2002-07-13 Por tôpico Nicolau C. Saldanha 

On Sat, Jul 13, 2002 at 06:52:39PM +, [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Ae pessoal, to precisando de uma ajudinha nessa questão:
 
 Provar que o polinômio P(x) = x^999 + x^888 + x^777  x^111 + 1 é 
 divisível por x^9 + x^8 + x^7 ... x + 1

Para provar que um polin^omio P 'e divis'ivel por um polin^omio Q
basta mostrar que toda raiz de Q 'e raiz de P. No seu exemplo,
Q = (x^10 - 1)/(x - 1), ou seja, as raizes de Q s~ao as ra'izes
10as de 1, exceto 1. Assim se z 'e uma raiz de Q temos z^111 = z,
z^222 = z^2, ..., z^999 = z^9 e portanto P(z) = Q(z) = 0. []s, N.
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