Re: [obm-l] Teoria dos numeros
Em ter., 19 de mai. de 2020 às 15:52, Israel Meireles Chrisostomo escreveu: > > Olá pessoal.Ultimamente tenho pensado em como provar que a tangente de um > arco racional diferente de zero é sempre irracional. Cê diz que se r é racional então tan(r) é irracional (exceto se r=0)? Acho que dá para ser mais arrojado e provar logo a transcendência. Afinal, qualquer racional pode ser multiplicado e dividido até dar 1, e as funções tangente de múltiplo arco são racionais no arco primeiro, e se tan 1 é transcedente, acabou. Eu consegui chegar no seguinte: Se r é real diferente de zero e s é inteiro diferente de zero, então ou tan(r-1/2s) ou tan(r) é irracional. > Daí então eu tomo um r racional, então ou tan(r-1/2s) ou tan(r) é > irracional, se tan(r) é irracional então está provado, se por um outro lado > tan(r-1/2s) é irracional então faça r= r'+1/2s e daí tem-se tan(r') é > irracional.O que mostra que a tangente de todo arco racional diferente de > zero é irracional. > Está correto esse meu raciocínio? > Partindo de que "se r é real diferente de zero e s é inteiro diferente de > zero, então ou tan(r-1/2s) ou tan(r) é irracional " como posso provar isso ? > -- > Israel Meireles Chrisostomo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Teoria dos numeros
Olá pessoal.Ultimamente tenho pensado em como provar que a tangente de um arco racional diferente de zero é sempre irracional.Eu consegui chegar no seguinte: Se r é real diferente de zero e s é inteiro diferente de zero, então ou tan(r-1/2s) ou tan(r) é irracional. Daí então eu tomo um r racional, então ou tan(r-1/2s) ou tan(r) é irracional, se tan(r) é irracional então está provado, se por um outro lado tan(r-1/2s) é irracional então faça r= r'+1/2s e daí tem-se tan(r') é irracional.O que mostra que a tangente de todo arco racional diferente de zero é irracional. Está correto esse meu raciocínio? Partindo de que "se r é real diferente de zero e s é inteiro diferente de zero, então ou tan(r-1/2s) ou tan(r) é irracional " como posso provar isso ? -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] teoria dos numeros
Basta fazer (2^3-1)^2n+(2^3+1)^2n -2 e usar binômio de Newton. Em 28/03/2020 13:55, Israel Meireles Chrisostomo escreveu: > Eu sei resolver o problema abaixo,porém não sei se é a forma mais simples de > se fazer.Vcs poderiam por favor colocar suas soluções nos comentários dessa > publicação? O problema é o seguinte: > Prove que 128 divide 49^{n} + 81^{n} -2, para todo n ≥ 1.Se possível não use > indução, pois eu já estou usando indução. > > -- > > Israel Meireles Chrisostomo > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] teoria dos numeros
Boa noite! errata: Ao invés de: 128=2^7 então 2^7| 49^{n} + 81^{n} −2<==> x= 2^7| 49^{n} + 81^{n}=2 mod2^7 128=2^7 então 2^7| 49^{n} + 81^{n} −2<==> x= 49^{n} + 81^{n}=2 mod2^7 Saudações, PJMS Em dom., 29 de mar. de 2020 às 14:04, Pedro José escreveu: > Bom dia! > Prove que 128 divide 49^{n} + 81^{n} −2, para todo n ≥ 1. > 128=2^7 então 2^7| 49^{n} + 81^{n} −2<==> x= 2^7| 49^{n} + 81^{n}=2 mod2^7 > x= a + b , a= 49^n e b=81^n > a= (64-15)^n = n(-1)^n*n*64*(15)^(n-1) + (-1)^n*15^n mod2^7; pois, os > demais termos do binômio de Newton terão o fator (2^6)^m com m>1 que é > côngruo 0 mod2^7. > b= (64+17)^n = n*64*17^(n-1) + 17^n mod2^7 pelo mesmo motivo anterior. > a+b = n*64(17^n-1 +(-1)^(n-1)*15^(n-1)) + 17^n + (-1)^n*15^n = > (-1)^(n-1)*15^(n-1)) + 17^n + (-1)^n*15^n mod2^; pois a primeira parcela é > côngrua a 0 mod2^7; já que o termo entre parêntesis é par. > (16+1)^n= n*16+1 mod2^7 ,pois, (2^4)^m =0 mod2^7 para m>1 > (-1)^n*(16-1)= (-1)^n*[(-1)^(n-1)*n*16+(-1)^n]=-16n +1 > então x = a+b= 2 mod2^7 ==> 2^7 | a+b-2 > > Saudações, > PJMS > > > > > Em sáb., 28 de mar. de 2020 às 14:05, Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > >> Eu sei resolver o problema abaixo,porém não sei se é a forma mais simples >> de se fazer.Vcs poderiam por favor colocar suas soluções nos comentários >> dessa publicação? O problema é o seguinte: >> Prove que 128 divide 49^{n} + 81^{n} −2, para todo n ≥ 1.Se possível não >> use indução, pois eu já estou usando indução. >> >> -- >> Israel Meireles Chrisostomo >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] teoria dos numeros
Bom dia! Prove que 128 divide 49^{n} + 81^{n} −2, para todo n ≥ 1. 128=2^7 então 2^7| 49^{n} + 81^{n} −2<==> x= 2^7| 49^{n} + 81^{n}=2 mod2^7 x= a + b , a= 49^n e b=81^n a= (64-15)^n = n(-1)^n*n*64*(15)^(n-1) + (-1)^n*15^n mod2^7; pois, os demais termos do binômio de Newton terão o fator (2^6)^m com m>1 que é côngruo 0 mod2^7. b= (64+17)^n = n*64*17^(n-1) + 17^n mod2^7 pelo mesmo motivo anterior. a+b = n*64(17^n-1 +(-1)^(n-1)*15^(n-1)) + 17^n + (-1)^n*15^n = (-1)^(n-1)*15^(n-1)) + 17^n + (-1)^n*15^n mod2^; pois a primeira parcela é côngrua a 0 mod2^7; já que o termo entre parêntesis é par. (16+1)^n= n*16+1 mod2^7 ,pois, (2^4)^m =0 mod2^7 para m>1 (-1)^n*(16-1)= (-1)^n*[(-1)^(n-1)*n*16+(-1)^n]=-16n +1 então x = a+b= 2 mod2^7 ==> 2^7 | a+b-2 Saudações, PJMS Em sáb., 28 de mar. de 2020 às 14:05, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > Eu sei resolver o problema abaixo,porém não sei se é a forma mais simples > de se fazer.Vcs poderiam por favor colocar suas soluções nos comentários > dessa publicação? O problema é o seguinte: > Prove que 128 divide 49^{n} + 81^{n} −2, para todo n ≥ 1.Se possível não > use indução, pois eu já estou usando indução. > > -- > Israel Meireles Chrisostomo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] teoria dos numeros
Eu sei resolver o problema abaixo,porém não sei se é a forma mais simples de se fazer.Vcs poderiam por favor colocar suas soluções nos comentários dessa publicação? O problema é o seguinte: Prove que 128 divide 49^{n} + 81^{n} −2, para todo n ≥ 1.Se possível não use indução, pois eu já estou usando indução. -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Teoria dos numeros
Bom dia! Não deu para compreender. Para cada terno (k,j,w) terá apenas uma raiz em x ou nenhuma. Mas para todo natural existe pelo menos um terno que atenda a sua proposição. w=x ; k=1 e j=2. Saudações, PJMS Em 27 de março de 2018 22:28, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > O máximo que eu consigo é considerar uma solução que seja um número primo > > Em 27 de março de 2018 22:27, Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > >> Está muito geral essas condições, achei que pudesse conseguir alguma >> restrição a fim de resolver um outro problema, mas talvez esse caminho não >> é muito apropriado >> >> Em 27 de março de 2018 22:10, Claudio Buffara >> escreveu: >> >>> O problema é só esse mesmo? >>> Não tem nenhum contexto? Não é dada nenhuma relação entre k, j e w? >>> >>> >>> 2018-03-27 21:27 GMT-03:00 Anderson Torres >> >: >>> Em 27 de março de 2018 21:06, Israel Meireles Chrisostomo escreveu: > Ola pessoal eu gostaria de saber quantas são e quais são as soluções > naturais de (x+w)k=xj na variável x, onde k e j e w são naturais dados > (x+w)k=xj xk+wk=xj wk=xj-xk wk=x(j-k) x=wk/(j-k) > -- > Israel Meireles Chrisostomo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> >> >> -- >> Israel Meireles Chrisostomo >> > > > > -- > Israel Meireles Chrisostomo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Teoria dos numeros
Está muito geral essas condições, achei que pudesse conseguir alguma restrição a fim de resolver um outro problema, mas talvez esse caminho não é muito apropriado Em 27 de março de 2018 22:10, Claudio Buffara escreveu: > O problema é só esse mesmo? > Não tem nenhum contexto? Não é dada nenhuma relação entre k, j e w? > > > 2018-03-27 21:27 GMT-03:00 Anderson Torres : > >> Em 27 de março de 2018 21:06, Israel Meireles Chrisostomo >> escreveu: >> > Ola pessoal eu gostaria de saber quantas são e quais são as soluções >> > naturais de (x+w)k=xj na variável x, onde k e j e w são naturais dados >> > >> >> (x+w)k=xj >> xk+wk=xj >> >> wk=xj-xk >> wk=x(j-k) >> >> x=wk/(j-k) >> >> >> > -- >> > Israel Meireles Chrisostomo >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Teoria dos numeros
O máximo que eu consigo é considerar uma solução que seja um número primo Em 27 de março de 2018 22:27, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > Está muito geral essas condições, achei que pudesse conseguir alguma > restrição a fim de resolver um outro problema, mas talvez esse caminho não > é muito apropriado > > Em 27 de março de 2018 22:10, Claudio Buffara > escreveu: > >> O problema é só esse mesmo? >> Não tem nenhum contexto? Não é dada nenhuma relação entre k, j e w? >> >> >> 2018-03-27 21:27 GMT-03:00 Anderson Torres >> : >> >>> Em 27 de março de 2018 21:06, Israel Meireles Chrisostomo >>> escreveu: >>> > Ola pessoal eu gostaria de saber quantas são e quais são as soluções >>> > naturais de (x+w)k=xj na variável x, onde k e j e w são naturais >>> dados >>> > >>> >>> (x+w)k=xj >>> xk+wk=xj >>> >>> wk=xj-xk >>> wk=x(j-k) >>> >>> x=wk/(j-k) >>> >>> >>> > -- >>> > Israel Meireles Chrisostomo >>> > >>> > -- >>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> > acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> = >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> >>> = >>> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > > -- > Israel Meireles Chrisostomo > -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Teoria dos numeros
O problema é só esse mesmo? Não tem nenhum contexto? Não é dada nenhuma relação entre k, j e w? 2018-03-27 21:27 GMT-03:00 Anderson Torres : > Em 27 de março de 2018 21:06, Israel Meireles Chrisostomo > escreveu: > > Ola pessoal eu gostaria de saber quantas são e quais são as soluções > > naturais de (x+w)k=xj na variável x, onde k e j e w são naturais dados > > > > (x+w)k=xj > xk+wk=xj > > wk=xj-xk > wk=x(j-k) > > x=wk/(j-k) > > > > -- > > Israel Meireles Chrisostomo > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Teoria dos numeros
Em 27 de março de 2018 21:06, Israel Meireles Chrisostomo escreveu: > Ola pessoal eu gostaria de saber quantas são e quais são as soluções > naturais de (x+w)k=xj na variável x, onde k e j e w são naturais dados > (x+w)k=xj xk+wk=xj wk=xj-xk wk=x(j-k) x=wk/(j-k) > -- > Israel Meireles Chrisostomo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Teoria dos numeros
Ola pessoal eu gostaria de saber quantas são e quais são as soluções naturais de (x+w)k=xj na variável x, onde k e j e w são naturais dados -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Teoria dos numeros
Bom dia! x= 0 y= 1 e z= 1 ; a = -1, b=-1 e c=-1 -1.0 + -1.1 + -1.1 = -1 + 0 -1 (V) atende a 1 + 1 =1 > = 0 +1 +1 (V) atende b. -1 não é soma de três quadrados de inteiros. Tem que ter mais restrições. Saudações, PJMS Em 20 de dezembro de 2016 19:08, Gabriel Tostes escreveu: > A,b,c,X,y,z inteiros tais que > a) ax^2+by^2+cz^2=abc +2xyz - 1 > B) ab+bc+ca>=x^2+y^2+z^2 > > Provar que a,b,c são somas de 3 quadrados de inteiros > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Teoria dos numeros
A,b,c,X,y,z inteiros tais que a) ax^2+by^2+cz^2=abc +2xyz - 1 B) ab+bc+ca>=x^2+y^2+z^2 Provar que a,b,c são somas de 3 quadrados de inteiros -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teoria dos numeros
Ivan Niven and Herbert Zuckermann. Fala de tudo que é possível ser dito de forma elementar, e é uma leitura divertida por si mesma. Em 28 de outubro de 2013 20:08, Hermann escreveu: > Veja na livraria da SBM tem uns muito bons > > - Original Message - > *From:* sergio marinho > *To:* obm-l@mat.puc-rio.br > *Sent:* Monday, October 28, 2013 4:54 PM > *Subject:* Re: [obm-l] Teoria dos numeros > > > Vc poderia me indicar excelentes livros de Teoria dos números e Análise > combinatória? > > Grato. Sérgio Soares. > > > Em Sábado, 3 de Agosto de 2013 16:47, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Seja n uma soma de dois numeros triangulares (a^2 + a)/2 e (b^2 + b)/2. > Mostre que 4n + 1 é uma soma de dois quadrados em termos de a e > b. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Teoria dos numeros
Veja na livraria da SBM tem uns muito bons - Original Message - From: sergio marinho To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, October 28, 2013 4:54 PM Subject: Re: [obm-l] Teoria dos numeros Vc poderia me indicar excelentes livros de Teoria dos números e Análise combinatória? Grato. Sérgio Soares. Em Sábado, 3 de Agosto de 2013 16:47, marcone augusto araújo borges escreveu: Seja n uma soma de dois numeros triangulares (a^2 + a)/2 e (b^2 + b)/2. Mostre que 4n + 1 é uma soma de dois quadrados em termos de a e b. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Teoria dos numeros
Vc poderia me indicar excelentes livros de Teoria dos números e Análise combinatória? Grato. Sérgio Soares. Em Sábado, 3 de Agosto de 2013 16:47, marcone augusto araújo borges escreveu: Seja n uma soma de dois numeros triangulares (a^2 + a)/2 e (b^2 + b)/2. Mostre que 4n + 1 é uma soma de dois quadrados em termos de a e b. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Teoria dos numeros
Oi, Marcone. Ora, você quer que a soma de dois quadrados dê 2a^2 + 2b^2 + 2a + 2b + 1. O a^2 e o b^2 saem de coisas do tipo (a + b +...)^2 e (a - b +...)^2. Para se livrar do 2ab que aparece nessa coisas, você precisa de um +2ab e de um -2ab... Dai, botando os neurônios para esquentar um pouquinho, fica fácil: (a - b)^2 + (a + b + 1)^2. Abraços, Nehab On 03/08/2013 16:32, marcone augusto araújo borges wrote: Seja n uma soma de dois numeros triangulares (a^2 + a)/2 e (b^2 + b)/2. [Upload Photo to Facebook] [Google+] [Twitt] [Send by Gmail] [Upload Video to Facebook] [Google+] [Twitt] [Send by Gmail] Mostre que 4n + 1 é uma soma de dois quadrados em termos de a e b. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Teoria dos numeros
Seja n uma soma de dois numeros triangulares (a^2 + a)/2 e (b^2 + b)/2. Mostre que 4n + 1 é uma soma de dois quadrados em termos de a e b. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] teoria dos numeros
2013/5/10 terence thirteen : > Aprenda um pouco de inglês: > > http://ohkawa.cc.it-hiroshima.ac.jp/www.kalva.demon.co.uk/apmo/asoln/asol972.html > > > Em 10 de maio de 2013 06:48, valdir soares > escreveu: > >> Ola pessoal, >> >> Gostaria de saber, como fazer o problema abaixo : >> >> Determine n entre 100 e 1000 , tal que ( 2+ 2^n)/n eh tambem inteiro . Braço por braço (a solução contando os primos e verificando que 2 é primitiva módulo p, e depois mais braço para p, 2p, pq, 2pq), dá pra rodar todos esses números. E (ao contrário do kalva) eu usei a calculadora do linux em linha de comando: $ bc define r(n) { n ; return (2 + 2^n) % n } for (i = 100; i <= 1000; i++) r(i) Depois, com a resposta na mão, você apenas verifica que dá certo ;-) -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] teoria dos numeros
Aprenda um pouco de inglês: http://ohkawa.cc.it-hiroshima.ac.jp/www.kalva.demon.co.uk/apmo/asoln/asol972.html Em 10 de maio de 2013 06:48, valdir soares escreveu: > Ola pessoal, > > Gostaria de saber, como fazer o problema abaixo : > > Determine n entre 100 e 1000 , tal que ( 2+ 2^n)/n eh tambem inteiro . > > Obrigado > -- /**/ 神が祝福 Torres
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Ola pessoal, Gostaria de saber, como fazer o problema abaixo : Determine n entre 100 e 1000 , tal que ( 2+ 2^n)/n eh tambem inteiro . Obrigado
[obm-l] Teoria dos numeros!
Se possivel, gostaria de contar com a ajuda de voces, para resolver este problema. Mostre que se g e uma raiz impar primitiva de p^m (pelevado a m) com p maior que 2, entao g e uma raiz primitiva de 2p^m (2p elevado a m). Desde ja, muito obrigado! jccardosos. _ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos conectada ao Messenger! http://spaces.live.com/signup.aspx
[obm-l] Teoria dos Numeros
Olá a todos, estou meio sumido, mas acho q ainda sim posso mandar uma questaozinha q nao consegui resolver.. alias, nem sei c tem solucao... Determine Sum{i=1 ... n} ( k mod i ) apenas para relatar a origem.. eh um problema de programacao, onde 1 <= k, n <= 10^9... como nao encontrei uma solucao fechada, procurei algumas alternativas, e acabei encontrando algumas propriedades... por exemplo: Seja f(n) = Sum{i=1...n} {k mod i}. Entao, se n > k, temos que: f(n) = f(k) + k*(n-k) é possível mostrar que f(k) = f([k/2]) + g(k), onde [k/2] é o piso de k/2, e g(k) é conhecido e possui uma forma fechada.. minha duvida é: existe uma forma fechada para este somatorio?? obrigado, Salhab
RE: RES: [obm-l] Teoria dos numeros
Prezados Paulo e Artur. Paulo acredito que você não cometeu nenhum erro de cálculo. Analise o que fiz.Primeiro, pensando na decomposição de um fatorial em fatores primos, escrevi 10200 nas bases 2, 3 e 7 respectivamente: 10200 = (1001011)2 10200 = (1111)3 10200 = (41511)7 Determinano as potências de 2, 3 e 7 na decomposição de 10200! em fatores primos: 10200-(1+1+1+1+1+1+1+1)/(2-1) = 10192 (potência do 2);10200-(1+1+1+2+2+2+2+1)/(3-1) = 5094 ( potência do 3);10200-(4+1+5+1+1)/(7-1) = 1698 ( potência do 7) Fazendo a decomposição dessas potências em fatores primos: 10192 = 24 . 72 . 13 5094 = 2 . 32. 283 1698 = 2. 3. 283 Podemos ainda escrever os valores dessas potências como: 10192 = 6. 6. 283 + 4 =1698 . 6 + 4 5094 = 3. 6. 283 = 1698 . 3 1698 = 6 . 283 = 1698 . 1 Logo, o valor de é n = 1698 [[ ]]'s > Subject: RES: [obm-l] Teoria dos numeros> Date: Tue, 12 Jun 2007 13:20:44 > -0300> From: [EMAIL PROTECTED]> To: obm-l@mat.puc-rio.br> > Obrigado Paulo> > Abraços> Artur> > -Mensagem original-> De: [EMAIL PROTECTED] > [mailto:[EMAIL PROTECTED]> nome de Paulo Santa Rita> Enviada em: terça-feira, > 12 de junho de 2007 11:24> Para: obm-l@mat.puc-rio.br> Assunto: Re: [obm-l] > Teoria dos numeros> > > Ola Carissimo Artur e demais> colegas desta lista ... > OBM-L,> > E facil ver que 7^4 < 10200 < 7^5. Assim, basta considerar ate 7^4. > De> 7 ate 10199 temos 10199 = 7 + (A-1)*7 => A = 1457 multiplos de 7.> > Considerando os multiplos de 49 teriamos 10.192 = 49 + (B-1)*49 =>> B=208 > multiplos de 49 e com o mesmo raciocinio achamos 29 multiplos de> 343(=7^3) e > 4 multiplos de 2401 (= 7^4). Logo, o total de fatores 7 em> 10200 ! e A + B + > C + D = 1698.> > Como de 1 ate 10200 existem 1 numero par ( divisivel por 2 ) > a cada> dois numeros segue que ha mais que 10200 / 2 = 5100 fatores 2 e, > alem> disso, 5100 > 3*1698 = 5094. Igualmente, como de 1 ate 10200 existem 1> > numero divisivel por 3 a cada tres numeros segue que ha mais que 10200> / 3 = > 3400 fatores 3 e, alem disso, 3400 > 2*1698 = 3396> > Segue que N = 1698 e o > numero procurado.> > Esta e uma solucao PARA ATROPELAR A QUESTAO, isto e, > resolucao> truculenta tipo forca bruta. Nao ha inteligencia aqui. Eu > precisaria> ficar receptivo para receber ideias bonitas mas estou sem tempo.> > > Um Abracao> Paulo Santa Rita> 3,0A20,120607> > Em tempo : por favor, > verifique se nao cometi algum erro de calculo. O> raciocinio e correto, eu > garanto> > Em 11/06/07, Artur Costa Steiner<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:> >> > >> > Estou tentando achar uma solucoa para o seguinte, mas ainda nao > consegui:> >> > Encontrar o mair valor do ineiro n>=0 tal que > (10200!)/(504^n) seja inteiro.> > Nos temos que 504 = 2^3 * 3^2 * 7, assim, o > quociente sera inteiro> > enquanto 10200! contiver os primos 2, 3 e 7 com > expoentes no maximo de 3n ,> > 2n e n, respectivamente. Mas nao sei se hah > uma forma facil de fazer isso.> >> > Obrigado> > Artur> > => > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> > => > > => > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> > = _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
RE: RES: [obm-l] Teoria dos numeros
Estranho...meu email resposta com outra conta nao apareceu na lista. A resposta e a mesma, e eu usei o metodo de somar a parte inteira de [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + ... A parte interessante e mostrar que o expoente de 7 e mesmo a resposta ja que se o expoente de 7 em N! for n entao o expoente de 2 vai ser sempre PELO MENOS 3n e o expoente de 3 vai ser sempre PELO MENOS 2n. Eu nao sei mostrar isso com muita formalidade nao. O raciocinio que eu usei foi assim: O expoente de 7 aumenta em 1 cada vez que N aumenta em 7, logo N aumentou em mais que 6 e portanto o expoente de 2 aumentou pelo menos de 3 e o expoente de 3 aumentou de pelo menos 2. From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: Subject: RES: [obm-l] Teoria dos numeros Date: Tue, 12 Jun 2007 13:20:44 -0300 Obrigado Paulo Abraços Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Paulo Santa Rita Enviada em: terça-feira, 12 de junho de 2007 11:24 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Teoria dos numeros Ola Carissimo Artur e demais colegas desta lista ... OBM-L, E facil ver que 7^4 < 10200 < 7^5. Assim, basta considerar ate 7^4. De 7 ate 10199 temos 10199 = 7 + (A-1)*7 => A = 1457 multiplos de 7. Considerando os multiplos de 49 teriamos 10.192 = 49 + (B-1)*49 => B=208 multiplos de 49 e com o mesmo raciocinio achamos 29 multiplos de 343(=7^3) e 4 multiplos de 2401 (= 7^4). Logo, o total de fatores 7 em 10200 ! e A + B + C + D = 1698. Como de 1 ate 10200 existem 1 numero par ( divisivel por 2 ) a cada dois numeros segue que ha mais que 10200 / 2 = 5100 fatores 2 e, alem disso, 5100 > 3*1698 = 5094. Igualmente, como de 1 ate 10200 existem 1 numero divisivel por 3 a cada tres numeros segue que ha mais que 10200 / 3 = 3400 fatores 3 e, alem disso, 3400 > 2*1698 = 3396 Segue que N = 1698 e o numero procurado. Esta e uma solucao PARA ATROPELAR A QUESTAO, isto e, resolucao truculenta tipo forca bruta. Nao ha inteligencia aqui. Eu precisaria ficar receptivo para receber ideias bonitas mas estou sem tempo. Um Abracao Paulo Santa Rita 3,0A20,120607 Em tempo : por favor, verifique se nao cometi algum erro de calculo. O raciocinio e correto, eu garanto Em 11/06/07, Artur Costa Steiner<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > Estou tentando achar uma solucoa para o seguinte, mas ainda nao consegui: > > Encontrar o mair valor do ineiro n>=0 tal que (10200!)/(504^n) seja inteiro. > Nos temos que 504 = 2^3 * 3^2 * 7, assim, o quociente sera inteiro > enquanto 10200! contiver os primos 2, 3 e 7 com expoentes no maximo de 3n , > 2n e n, respectivamente. Mas nao sei se hah uma forma facil de fazer isso. > > Obrigado > Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Need a break? Find your escape route with Live Search Maps. http://maps.live.com/default.aspx?ss=Restaurants~Hotels~Amusement%20Park&cp=33.832922~-117.915659&style=r&lvl=13&tilt=-90&dir=0&alt=-1000&scene=1118863&encType=1&FORM=MGAC01 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Teoria dos numeros
Obrigado Paulo Abraços Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Paulo Santa Rita Enviada em: terça-feira, 12 de junho de 2007 11:24 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Teoria dos numeros Ola Carissimo Artur e demais colegas desta lista ... OBM-L, E facil ver que 7^4 < 10200 < 7^5. Assim, basta considerar ate 7^4. De 7 ate 10199 temos 10199 = 7 + (A-1)*7 => A = 1457 multiplos de 7. Considerando os multiplos de 49 teriamos 10.192 = 49 + (B-1)*49 => B=208 multiplos de 49 e com o mesmo raciocinio achamos 29 multiplos de 343(=7^3) e 4 multiplos de 2401 (= 7^4). Logo, o total de fatores 7 em 10200 ! e A + B + C + D = 1698. Como de 1 ate 10200 existem 1 numero par ( divisivel por 2 ) a cada dois numeros segue que ha mais que 10200 / 2 = 5100 fatores 2 e, alem disso, 5100 > 3*1698 = 5094. Igualmente, como de 1 ate 10200 existem 1 numero divisivel por 3 a cada tres numeros segue que ha mais que 10200 / 3 = 3400 fatores 3 e, alem disso, 3400 > 2*1698 = 3396 Segue que N = 1698 e o numero procurado. Esta e uma solucao PARA ATROPELAR A QUESTAO, isto e, resolucao truculenta tipo forca bruta. Nao ha inteligencia aqui. Eu precisaria ficar receptivo para receber ideias bonitas mas estou sem tempo. Um Abracao Paulo Santa Rita 3,0A20,120607 Em tempo : por favor, verifique se nao cometi algum erro de calculo. O raciocinio e correto, eu garanto Em 11/06/07, Artur Costa Steiner<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > Estou tentando achar uma solucoa para o seguinte, mas ainda nao consegui: > > Encontrar o mair valor do ineiro n>=0 tal que (10200!)/(504^n) seja inteiro. > Nos temos que 504 = 2^3 * 3^2 * 7, assim, o quociente sera inteiro > enquanto 10200! contiver os primos 2, 3 e 7 com expoentes no maximo de 3n , > 2n e n, respectivamente. Mas nao sei se hah uma forma facil de fazer isso. > > Obrigado > Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teoria dos numeros
Ola Carissimo Artur e demais colegas desta lista ... OBM-L, E facil ver que 7^4 < 10200 < 7^5. Assim, basta considerar ate 7^4. De 7 ate 10199 temos 10199 = 7 + (A-1)*7 => A = 1457 multiplos de 7. Considerando os multiplos de 49 teriamos 10.192 = 49 + (B-1)*49 => B=208 multiplos de 49 e com o mesmo raciocinio achamos 29 multiplos de 343(=7^3) e 4 multiplos de 2401 (= 7^4). Logo, o total de fatores 7 em 10200 ! e A + B + C + D = 1698. Como de 1 ate 10200 existem 1 numero par ( divisivel por 2 ) a cada dois numeros segue que ha mais que 10200 / 2 = 5100 fatores 2 e, alem disso, 5100 > 3*1698 = 5094. Igualmente, como de 1 ate 10200 existem 1 numero divisivel por 3 a cada tres numeros segue que ha mais que 10200 / 3 = 3400 fatores 3 e, alem disso, 3400 > 2*1698 = 3396 Segue que N = 1698 e o numero procurado. Esta e uma solucao PARA ATROPELAR A QUESTAO, isto e, resolucao truculenta tipo forca bruta. Nao ha inteligencia aqui. Eu precisaria ficar receptivo para receber ideias bonitas mas estou sem tempo. Um Abracao Paulo Santa Rita 3,0A20,120607 Em tempo : por favor, verifique se nao cometi algum erro de calculo. O raciocinio e correto, eu garanto Em 11/06/07, Artur Costa Steiner<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Estou tentando achar uma solucoa para o seguinte, mas ainda nao consegui: Encontrar o mair valor do ineiro n>=0 tal que (10200!)/(504^n) seja inteiro. Nos temos que 504 = 2^3 * 3^2 * 7, assim, o quociente sera inteiro enquanto 10200! contiver os primos 2, 3 e 7 com expoentes no maximo de 3n , 2n e n, respectivamente. Mas nao sei se hah uma forma facil de fazer isso. Obrigado Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Teoria dos numeros
Olá Artur Analise o que fiz. Primeiro, pensando na decomposição de um fatorial em fatores primos, escrevi 10200 nas bases 2, 3 e 7 respectivamente: 10200 = (1001011)2 10200 = (1111)3 10200 = (41511)7 Determinano as potências de 2, 3 e 7 na decomposição de 10200! em fatores primos: 10200-(1+1+1+1+1+1+1+1)/(2-1) = 10192 (potência do 2); 10200-(1+1+1+2+2+2+2+1)/(3-1) = 5094 ( potência do 3); 10200-(4+1+5+1+1)/(7-1) = 1698 ( potência do 7) Fazendo a decomposição dessas potências em fatores primos: 10192 = 24 . 72 . 13 ( 10192 = 36 . 283 + 4) 5094 = 2 . 32. 283 1698 = 2. 3. 283 Acredito que a melhor escolha pra n seja 283, salvo algum engano ou algo melhor do que eu fiz. [[ ]]'s Subject: [obm-l] Teoria dos numerosDate: Mon, 11 Jun 2007 10:27:55 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: obm-l@mat.puc-rio.br Estou tentando achar uma solucoa para o seguinte, mas ainda nao consegui: Encontrar o mair valor do ineiro n>=0 tal que (10200!)/(504^n) seja inteiro. Nos temos que 504 = 2^3 * 3^2 * 7, assim, o quociente sera inteiro enquanto 10200! contiver os primos 2, 3 e 7 com expoentes no maximo de 3n , 2n e n, respectivamente. Mas nao sei se hah uma forma facil de fazer isso. Obrigado Artur _ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos conectada ao Messenger! http://spaces.live.com/signup.aspx
[obm-l] Teoria dos numeros
Estou tentando achar uma solucoa para o seguinte, mas ainda nao consegui: Encontrar o mair valor do ineiro n>=0 tal que (10200!)/(504^n) seja inteiro. Nos temos que 504 = 2^3 * 3^2 * 7, assim, o quociente sera inteiro enquanto 10200! contiver os primos 2, 3 e 7 com expoentes no maximo de 3n , 2n e n, respectivamente. Mas nao sei se hah uma forma facil de fazer isso. Obrigado Artur
Re:[obm-l] Teoria dos numeros?
De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 01 Aug 2006 14:37:56 -0400 Assunto: [obm-l] Teoria dos numeros? > Liste todos os pares (m,n) para os quais 2^m + 3^n e um quadrado perfeito. > Estou supondo que m e n são inteiros não-negativos. Por inspeção obtemos as soluções: m = 0, n = 1 ==> 2^0 + 3^1 = 4 m = 3, n = 0 ==> 2^3 + 3^0 = 9 Aliás, estas são as únicas soluções com m = 0 ou n = 0. Quem conhece o triângulo pitagórico (3,4,5) também acha rápido: m = 4, n = 2 ==> 2^4 + 3^2 = 25 Alguns casos podem ser eliminados via congruências. Por exemplo, se m >= 1 e n é ímpar, então 2^m + 3^n é ímpar. Além disso, n ímpar ==> 3^n == 3 (mod 8). Logo: m = 1 ==> 2^m + 3^n == 2 + 3 == 5 (mod 8). m = 2 ==> 2^m + 3^n == 4 + 3 == 7 (mod 8) m >= 3 ==> 2^m + 3^n == 0 + 3 == 3 (mod 8) No entanto, o quadrado de um ímpar é sempre == 1 (mod 8). Conclusão: a única solução com n ímpar é m = 0, n = 1. *** n é par (n = 2p, p >= 0) ==> 2^m + 3^(2p) = a^2 ==> 2^m = (a - 3^p)(a + 3^p) ==> a - 3^p = 2^k e a + 3^p = 2^(m-k), com m > 2k ==> 2*3^p = 2^(m-k) - 2^k = 2^k*(2^(m-2k) - 1) ==> 3^p = 2^(k-1)*(2^(m-2k) - 1) ==> k = 1 (fatoração única em Z) ==> 3^p = 2^(m-2) - 1 ==> m >= 3 m = 3 ==> 3^p = 1 ==> p = 0 ==> n = 0 ==> (m,n) = (3,0) m = 4 ==> 3^p = 3 ==> p = 1 ==> n = 2 ==> (m,n) = (4,2) m >= 5 ==> (fazendo q = m-2, de modo que q >= 3) 2^q = 3^p + 1 ==> 3^p == -1 == 7 (mod 8) ==> não há soluções neste caso, pois 3^p == 1 ou 3 (mod 8), conforme p seja par ou ímpar Logo, as únicas soluções são (0,1), (3,0) e (4,2). []s, Claudio.
Re: [obm-l] Teoria dos numeros?
Boa noite,Acho que há alguns problemas com a resposta parcial abaixoOn 8/1/06, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED] > wrote:Olá,uma parte da resposta seria:(2a, 0)(0, 2a)onde "a" pertence aos inteiros positivos Nenhum desses pares é solução, repare que 2^0=3^0=1.O problema proposto pode ser resolvido com uma tediosa análise de congruências nada emocionante, salvo algum engano as únicas soluções são m=3, n=0 (nesse caso q=3)m=4, n=2 (q=5)m=0, n=1 (q=2)Manuel Garcia (4, 2) tb é...to tentando achar algum padrao pra isso... pq algebricamente eu nao conseguiresolver...espero ter ajudado em algoabraços,Salhab- Original Message -From: "Qwert Smith" < [EMAIL PROTECTED]>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>Sent: Tuesday, August 01, 2006 3:37 PMSubject: [obm-l] Teoria dos numeros? > Liste todos os pares (m,n) para os quais 2^m + 3^n e um quadrado perfeito.>>> => Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> =>> > --> No virus found in this incoming message.> Checked by AVG Free Edition.> Version: 7.1.394 / Virus Database: 268.10.5/405 - Release Date: 1/8/2006>>= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] Teoria dos numeros?
Olá, uma parte da resposta seria: (2a, 0) (0, 2a) onde "a" pertence aos inteiros positivos (4, 2) tb é... to tentando achar algum padrao pra isso... pq algebricamente eu nao consegui resolver... espero ter ajudado em algo abraços, Salhab - Original Message - From: "Qwert Smith" <[EMAIL PROTECTED]> To: Sent: Tuesday, August 01, 2006 3:37 PM Subject: [obm-l] Teoria dos numeros? Liste todos os pares (m,n) para os quais 2^m + 3^n e um quadrado perfeito. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.394 / Virus Database: 268.10.5/405 - Release Date: 1/8/2006 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Teoria dos numeros?
Liste todos os pares (m,n) para os quais 2^m + 3^n e um quadrado perfeito. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teoria dos Numeros II
Pense assim. Se n+3 e n^2+3 sao cubos perfeitos, entao o seu produto tb eh. seja m inteiro tal que m^3=(n+3)(n^2+3) desenvolvendo m^3=(n+1)^3+8 dessa forma os pares de cubos que diferem de 8 sao (-8,0) e (0,8) entao (n+1)^3= - 8 ► n = - 3 e (n+1)^3=0 ► n= -1 para ambos n^2+3 e n+3 nao sao cubos perfeitos ◙ Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:1) Seja n um inteiro qualquer. Pode n+3 e n^2+3 serem cubos perfeitos? 2) Para quais inteiros n, 18(n^2+3) é cubo perfeito? Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
Re:[obm-l] Teoria dos Numeros II
ou veja que 18(n^2+3)=(n+3)^3-(n-3)^3 logo pelo ultimo teorema de fermat, x^n=y^n+z^n, em particular para n=3 a equacao nao possui solucao. dessa forma n+3=0 ou n-3=0 logo n= -+3."Luiz H. Barbosa" <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: 2) Para quais inteiros n, 18(n^2+3) é cubo perfeito? = Vou resolver esse sem nenhuma ideia esperta: Se 18(n^2+3) é cubo perfeito , então: 18(n^2+3) = x^3 e x>0 3.3.2(n^2+3) = x.x^2 Como x é inteiro , temos varios casos: x=2,x=3,x=6, x=9 e x=18 e depois x=(n^2+3),x=2(n^2+3),x=3(n^2+3),x=6(n^2+3) ,x=9(n^2+3) e x=18(n^2+3) . Se analizar ai , vai ver que o unico x possivel é x=6 , assim! : 3(n^2+3) = 36 --> n = +/-3. []'s Luiz H. Barbosa Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
Re:[obm-l] Teoria dos Numeros II
2) Para quais inteiros n, 18(n^2+3) é cubo perfeito? = Vou resolver esse sem nenhuma ideia esperta: Se 18(n^2+3) é cubo perfeito , então: 18(n^2+3) = x^3 e x>0 3.3.2(n^2+3) = x.x^2 Como x é inteiro , temos varios casos: x=2,x=3,x=6, x=9 e x=18 e depois x=(n^2+3),x=2(n^2+3),x=3(n^2+3),x=6(n^2+3) ,x=9(n^2+3) e x=18(n^2+3) . Se analizar ai , vai ver que o unico x possivel é x=6 , assim: 3(n^2+3) = 36 --> n = +/-3. []'s Luiz H. Barbosa
[obm-l] Teoria dos Numeros II
1) Seja n um inteiro qualquer. Pode n+3 e n^2+3 serem cubos perfeitos? 2) Para quais inteiros n, 18(n^2+3) é cubo perfeito? Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
Re: [obm-l] Teoria dos Numeros[off - topic]
Olá Danilo!!! Agradeço a resposta. Acho que tem umas correções no desenvolvimento da expressão a serem feitas. Klaus, Os polígonos são de 4, 6 e 10 lados e não 3, 4 e 6. > (x+1)^3-x^3=y^2 --> desenvolva o cubo perfeito. > 3x^2+6x+1=y^2 ---> multiplique tudo por 4 3x^2 + 3x + 1 = y^2 --> não 6x > 12x^2+24x+4 = 4y^2---> faça o 4=3+1 12x^2 + 12x + 4 = 4y^2 --> não 24x > 12x^2+24x+3=4y^2-1 mesmo do anterior > 3(4x^2+8x+1)=(2y-1)(2y+1) 3(4x^2 + 4x + 1) = (2y-1)(2y+1) --> não 8x > 2(2x+1)^2=(2y-1)(2y+1) 3(2x+1)^2 = (2y-1)(2y+1) --> não 2(2x+1)^2 Mas não entendi a seguinte parte: > > O interessante é que para 3x^2+3x +1 =y^2 tem para solução > > geral : > > > > x1! = 4y+7x+3 e y1 = 7y+12x+6 com x e y conhecidos . Exemplo : > > x1 = 104 e y1 =181 Abraços, -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teoria dos Numeros[off - topic]
Ola Henrique, (x+1)^3-x^3=y^2 --> desenvolva o cubo perfeito. 3x^2+6x+1=y^2 ---> multiplique tudo por 4 12x^2+24x+4 = 4y^2---> faça o 4=3+1 12x^2+24x+3=4y^2-1 3(4x^2+8x+1)=(2y-1)(2y+1) 2(2x+1)^2=(2y-1)(2y+1) Dai use que (2y-1)(2y+1) sao primos entre si. Veja q letra b) nao pode ocorrer porque ficaria 3c^2+2=d^2 dai eh so vc olhar a expressao no mod 3. como todo quadrado eh congruente a 0 ou 1 mod 3. logo nao pode ser. Henrique Rennó <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Olá Klaus e Carlos VictorFiz duas observações nesta questão e gostaria que vocês me ajudassem.Klaus, eu tinha lhe enviado por e-mail um arquivo .doc do word com umapossível solução para um exercíci! o que fosse havia postado sobre acharum ângulo de um triângulo formado pelos lados dos polígonos regularesde 3,4 e 6 lados inscritos num círculo. Você recebeu??? Se não, meavise que te envio novamente.Abraços!!!> (x+1)^3 - x^3 = y^2 , onde 3(2x+1)^2 = (2y-1)(2y+1) . Observe queNão entendi essa expressão: 3(2x+1)^2 = (2y-1)(2y+1). O que foipensado para formar ela???> podemos concluir que :>> a) Ou 2y-1 = a^2 e 2y+1 = 3b^2>> b) Ou 2y-1 = 3c^2 e 2y+1 = d^2 .>>> Observe que 3b^2 = a^2 +2 é a única que pode ocorrer e, como> a é ímpar , podemos escrever>> a = 2t +1 e 4y = 2(a^2+1) implicando y = t^2 + (t+1)^2 , ok ?>> OBS : (1) Esta questão se encontra no Livro POWER PLAY de> EDWARD J. BARBEAU da MAA ; inclusive com a solução acima>> (2) O interessante é que para 3x^2+3x +1 =y^2 tem para solução> geral :>> x1! = 4y+7x+3 e y1 = 7y+12x+6 com x e y conhecidos . Exemplo :> x1 = 104 e y1 =181 ; Lindo não é ?>>> []´s Carlos Victor>> At 20:23 24/1/2006, Klaus Ferraz wrote:>Esse enunciado não deveria ser: Mostre que "se" a diferençaPorque, por exemplo, 5^3 - 4^3 = 125 - 64 = 61. Não existe raizquadrada inteira de 61.> Mostre que a diferença entre os cubos de dois numeros inteiros consecutivos> é igual ao quadrado de um inteiro, entao esse inteiro é igual a soma dos> quadrados ! de dois inteiros consecutivos.> Ex: 8^3-7^3=169. 2^2+3^2=13.>> Grato.>>> Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.>>> > Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.>> >>> No virus found in this incoming message.> C! hecked by AVG Free Edition.> Version: 7.1.375 / Virus Database: 267.14.22/238 - Release Date: 23/1/2006>--Henrique=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= __Faça ligações para outros computadores com o novo Yahoo! Messenger http://br.beta.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] Teoria dos Numeros[off - topic]
Olá Klaus e Carlos Victor Fiz duas observações nesta questão e gostaria que vocês me ajudassem. Klaus, eu tinha lhe enviado por e-mail um arquivo .doc do word com uma possível solução para um exercício que fosse havia postado sobre achar um ângulo de um triângulo formado pelos lados dos polígonos regulares de 3,4 e 6 lados inscritos num círculo. Você recebeu??? Se não, me avise que te envio novamente. Abraços!!! > (x+1)^3 - x^3 = y^2 , onde 3(2x+1)^2 = (2y-1)(2y+1) . Observe que Não entendi essa expressão: 3(2x+1)^2 = (2y-1)(2y+1). O que foi pensado para formar ela??? > podemos concluir que : > > a) Ou 2y-1 = a^2e 2y+1 = 3b^2 > > b) Ou 2y-1 = 3c^2e 2y+1 = d^2. > > > Observe que 3b^2 = a^2 +2 é a única que pode ocorrer e, como > a é ímpar , podemos escrever > > a = 2t +1 e 4y = 2(a^2+1) implicandoy = t^2 + (t+1)^2 , ok ? > > OBS : (1) Esta questão se encontra no Livro POWER PLAYde > EDWARD J. BARBEAU da MAA ; inclusive com a solução acima > > (2) O interessante é que para 3x^2+3x +1 =y^2 tem para solução > geral : > > x1 = 4y+7x+3 e y1 = 7y+12x+6 com x e y conhecidos . Exemplo : > x1 = 104 e y1 =181 ; Lindo não é ? > > > []´s Carlos Victor > > > > > > At 20:23 24/1/2006, Klaus Ferraz wrote: > Esse enunciado não deveria ser: Mostre que "se" a diferença Porque, por exemplo, 5^3 - 4^3 = 125 - 64 = 61. Não existe raiz quadrada inteira de 61. > Mostre que a diferença entre os cubos de dois numeros inteiros consecutivos > é igual ao quadrado de um inteiro, entao esse inteiro é igual a soma dos > quadrados ! de dois inteiros consecutivos. > Ex: 8^3-7^3=169. 2^2+3^2=13. > > Grato. > > > Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. > > > > Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. > > > > > No virus found in this incoming message. > Checked by AVG Free Edition. > Version: 7.1.375 / Virus Database: 267.14.22/238 - Release Date: 23/1/2006 > > > > > -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teoria dos Numeros[off - topic]
na www.amazon.com - Original Message - From: Klaus Ferraz To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 26, 2006 7:00 PM Subject: Re: [obm-l] Teoria dos Numeros[off - topic] Vlw. Onde consigo esse livro, POWER PLAY de EDWARD J. BARBEAU da MAA Carlos Victor <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Olá Klauss ,(x+1)^3 - x^3 = y^2 , onde 3(2x+1)^2 = (2y-1)(2y+1) . Observe que podemos concluir que :a) Ou 2y-1 = a^2 e 2y+1 = 3b^2 b) Ou 2y-1 = 3c^2 e 2y+1 = d^2 .Observe que 3b^2 = a^2 +2 é a única que pode ocorrer e, como a é ímpar , podemos escrever a = 2t +1 e 4y = 2(a^2+1) implicando y = t^2 + (t+1)^2 , ok ? OBS : (1) Esta questão se encontra no Livro POWER PLAY de EDWARD J. BARBEAU da MAA ; inclusive com a solução acima (2) O interessante é que para 3x^2+3x +1 =y^2 tem para solução geral :x1 = 4y+7x+3 e y1 = 7y+12x+6 com x e y conhecidos . Exemplo : x1 = 104 e y1 =181 ; Lindo não é ?[]´s Carlos VictorAt 20:23 24/1/2006, Klaus Ferraz wrote: Mostre que a diferença entre os cubos de dois numeros inteiros consecutivos é igual ao quadrado de um inteiro, entao esse inteiro é igual a soma dos quadrados ! de dois inteiros consecutivos.Ex: 8^3-7^3=169. 2^2+3^2=13. Grato.Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.375 / Virus Database: 267.14.22/238 - Release Date: 23/1/2006
Re: [obm-l] Teoria dos Numeros[off - topic]
Vlw. Onde consigo esse livro, POWER PLAY de EDWARD J. BARBEAU da MAA Carlos Victor <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Olá Klauss ,(x+1)^3 - x^3 = y^2 , onde 3(2x+1)^2 = (2y-1)(2y+1) . Observe que podemos concluir que :a) Ou 2y-1 = a^2 e 2y+1 = 3b^2 b) Ou 2y-1 = 3c^2 e 2y+1 = d^2 .Observe que 3b^2 = a^2 +2 é a única que pode ocorrer e, como a é ímpar , podemos escrever a = 2t +1 e 4y = 2(a^2+1) implicando y = t^2 + (t+1)^2 , ok ? OBS : (1) Esta questão se encontra no Livro POWER PLAY de EDWARD J. BARBEAU da MAA ; inclusive com a solução acima (2) O interessante é que para 3x^2+3x +1 =y^2 tem para solução geral :x1 = 4y+7x+3 e y1 = 7y+12x+6 com x e y conhecidos . Exemplo : x1 = 104 e y1 =181 ; Lindo não é ?[]´s Carlos VictorAt 20:23 24/1/2006, Klaus Ferraz wrote: Mostre que a diferença entre os cubos de dois numeros inteiros consecutivos é igual ao quadrado de um inteiro, entao esse inteiro é igual a soma dos quadrados ! de dois inteiros consecutivos.Ex: 8^3-7^3=169. 2^2+3^2=13. Grato.Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
Re: [obm-l] Teoria dos Numeros
Olá Klauss , (x+1)^3 - x^3 = y^2 , onde 3(2x+1)^2 = (2y-1)(2y+1) . Observe que podemos concluir que : a) Ou 2y-1 = a^2 e 2y+1 = 3b^2 b) Ou 2y-1 = 3c^2 e 2y+1 = d^2 . Observe que 3b^2 = a^2 +2 é a única que pode ocorrer e, como a é ímpar , podemos escrever a = 2t +1 e 4y = 2(a^2+1) implicando y = t^2 + (t+1)^2 , ok ? OBS : (1) Esta questão se encontra no Livro POWER PLAY de EDWARD J. BARBEAU da MAA ; inclusive com a solução acima (2) O interessante é que para 3x^2+3x +1 =y^2 tem para solução geral : x1 = 4y+7x+3 e y1 = 7y+12x+6 com x e y conhecidos . Exemplo : x1 = 104 e y1 =181 ; Lindo não é ? []´s Carlos Victor At 20:23 24/1/2006, Klaus Ferraz wrote: Mostre que a diferença entre os cubos de dois numeros inteiros consecutivos é igual ao quadrado de um inteiro, entao esse inteiro é igual a soma dos quadrados de dois inteiros consecutivos. Ex: 8^3-7^3=169. 2^2+3^2=13. Grato. Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
[obm-l] Teoria dos Numeros
Mostre que a diferença entre os cubos de dois numeros inteiros consecutivos é igual ao quadrado de um inteiro, entao esse inteiro é igual a soma dos quadrados de dois inteiros consecutivos. Ex: 8^3-7^3=169. 2^2+3^2=13. Grato. Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
[obm-l] teoria dos numeros!!!
alguem me mostra um jeito fácil de descobrir um sistema completo de residuos modulo 7onde todos os elementos sao primos... valeu ai pessoal,Diego Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
Re:[obm-l] teoria dos numeros
Que tal 7 e 19? 7 = 4*1 + 3 e 19 = 4*4 + 3 mdc(1+1,4+1) = 1. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 19 Oct 2005 16:01:03 -0200 Assunto: [obm-l] teoria dos numeros > boa tarde a todos, quem me ajuda com esse? > > sabemos que existem infinitos numeros primos da forma 4k + 3. dado um > inteiro b e sendo S o conjunto de todos os primos da forma p = 4k + 3 , onde > p não divide b. a questão é: existem dois primos (4k + 3) e (4q + 3) em S de > tal forma que (k + 1) e (q + 1) são primos entre si? > > abraços > > _ > Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! > http://www.msn.com.br/discador > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = >
[obm-l] teoria dos numeros
boa tarde a todos, quem me ajuda com esse? sabemos que existem infinitos numeros primos da forma 4k + 3. dado um inteiro b e sendo S o conjunto de todos os primos da forma p = 4k + 3 , onde p não divide b. a questão é: existem dois primos (4k + 3) e (4q + 3) em S de tal forma que (k + 1) e (q + 1) são primos entre si? abraços _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Teoria dos numeros
Aqui vai um probleminha (que eu achei!) legal: Seja p um número primo. Seja A_d = { a em (Z/pZ)* tal que ord(a) = d } para cada d divisor de fi(p), onde (Z/pZ)* = (Z/pZ) - { 0 } e fi é a função de Euler. Definimos f(d) = soma de todos os elementos de A_d. Prove que f(d) == mi(d) (mod p) para todo d divisor de fi(p), onde mi é a função de Möbius. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos Numeros-Soluçao de um Hojoo Lee
> Considere alguns primos da forma 2pk+1, no conjunto { p_1 ,..., p_n } . vc deve mostrar que existe um conjunto inicial não vazio para poder construir um conjunto infinito a partir dele. [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos Numeros-Soluçao de um Hojoo Lee
"Seja p um primo impar. Prove que existem infinitos primos x tais que 2p divide x-1". considere a PA {(2p)n + 1 : n pertence a Z} como mdc(2p, 1) = 1 temos, pelo seu teorema (Dirichlet) que tal PA possui infinitos primos. ou seja, este problema é um caso particular do super-canhão-teorema de PAs. [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Teoria dos Numeros-Soluçao de um Hojoo Lee
Ola turma!!! Como disse o Claudio, vamos nos esbaldar em problemas.TN nao e meu preferido mas... Acabei de dar uma passada pelo site do Hojoo Lee e fiz esse problema da apostila de TN.Vejam so que legal... "Seja p um primo impar. Prove que existem infinitos primos x tais que 2p divide x-1". SOLUÇAO: Considere alguns primos da forma 2pk+1, no conjunto { p_1 ,..., p_n } . Seja a o produto desses caras, N=a^p-1, e m um cara tal que (a-1)m=N. Nao deve ser difícil ver que a=1 (mod p), logo p|m e p|N. Seja q um fator primo de m com q<>p. Veja que q nao divide a-1, senao a^L=1 (mod q) para todo L, e ai 0=m=1+1+1+...+1=p (mod q), impossivel. Apesar disso, q divide a^p-1 e q divide a^(q-1)-1. Um teorema famoso garante que q divide a^(MDC(p;q-1))-1. Mas q nao divide a-1, e assim MDC(p;q-1)<>1 e ainda por cima MDC(p;q-1) divide p. Logo esse MDC tem que ser p. E assim q=1 (mod p). Veja que a nao e par e m tambem nao (um numero impar de parcelas impares). E como q divide m, q e impar.Logo q=1 (mod 2p). E e claro que q nao divide p_i , 1<=i<=n, pois senao q|N acarreta q|(-1), absurdo! Assim, dado um conjunto finito de primos da forma 1+2kp, sempre e possivel arranjar mais um que nao esta no conjunto. Essa e uma boa definiçao de infinito, ces nao acham? E por hoje e so! Ass.:Johann TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] Teoria dos Numeros
Qualquer coincidencia e mera semelhança...Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Analise os 7 casos possiveis, a == 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 (mod 7). Alias, nemprecisa analisar todos, jah que k^2 == (7-k)^2 (mod 7). A solucao saifacilmente.Sobre a generalizacao, suponhamos que a condicao seja:a, b pertencem a X ==> ab + k pertence a X, com k = inteiro fixo.Entao: a pertence a X ==>a^(n+2) + k*(a^n + a^(n-1)+...+ a + 1) =a^(n+2) + k*(a^(n+1) - 1)/(a - 1) pertence a X para todo n.Definimos a sequencia (b(n)) da seguinte forma:b(0) = ab(n) = a*b(n-1) + k, para n >= 1.Eh claro que b(1) = a^2 + k = p > a e tambem que mdc(a,p) = 1 (jah que a e psao primos distintos).Tambem eh claro que b(n) = a^(n+1) + k*(a^n - 1)/(a - 1) pertence a X.Em particular, b(p-1) = a^p + k*(a^(p-1) - 1)/(a - 1).Mas, pelo pequeno teorema de Fermat, a^p == a e a^(p-1) == 1 (mod p).Logo, b(p-1) == a = b(0) (mod p) ==>b(p) = a*b(p-1) + k == a*b(0) + k = b(1) = p (mod p) ==>p = b(1) divide b(p) ==>b(p) eh composto ==>contradicao ==>X eh vazio.Qualquer semelhanca coma demonstracao do Gugu NAO eh mera coincidencia.[]s,Claudio.on 20.04.04 13:46, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at[EMAIL PROTECTED] wrote:> Onde esta ela?> Alias sera que da para generalizar esse quatro?> > --- Claudio Buffara> <[EMAIL PROTECTED]>escreveu: > on> 17.04.04 10:56, Johann Peter Gustav Lejeunne>> Dirichlet at>> [EMAIL PROTECTED] wrote:>> >> Seja X o conjunto dos primos tais que se a e b>> sao dois elementos dele entao>> ab+4 e a^2+4 tambem estao.Prove ou disprove: X>> e vazio>> >> Alem da solucao do Gugu, existe uma outra,>> encontrada pelo Carlos Yuzo Shine>> usando congruencia mod 7.>> >> >> []s,>> Claudio.>> >> =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] Teoria dos Numeros
Analise os 7 casos possiveis, a == 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 (mod 7). Alias, nem precisa analisar todos, jah que k^2 == (7-k)^2 (mod 7). A solucao sai facilmente. Sobre a generalizacao, suponhamos que a condicao seja: a, b pertencem a X ==> ab + k pertence a X, com k = inteiro fixo. Entao: a pertence a X ==> a^(n+2) + k*(a^n + a^(n-1)+...+ a + 1) = a^(n+2) + k*(a^(n+1) - 1)/(a - 1) pertence a X para todo n. Definimos a sequencia (b(n)) da seguinte forma: b(0) = a b(n) = a*b(n-1) + k, para n >= 1. Eh claro que b(1) = a^2 + k = p > a e tambem que mdc(a,p) = 1 (jah que a e p sao primos distintos). Tambem eh claro que b(n) = a^(n+1) + k*(a^n - 1)/(a - 1) pertence a X. Em particular, b(p-1) = a^p + k*(a^(p-1) - 1)/(a - 1). Mas, pelo pequeno teorema de Fermat, a^p == a e a^(p-1) == 1 (mod p). Logo, b(p-1) == a = b(0) (mod p) ==> b(p) = a*b(p-1) + k == a*b(0) + k = b(1) = p (mod p) ==> p = b(1) divide b(p) ==> b(p) eh composto ==> contradicao ==> X eh vazio. Qualquer semelhanca coma demonstracao do Gugu NAO eh mera coincidencia. []s, Claudio. on 20.04.04 13:46, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Onde esta ela? > Alias sera que da para generalizar esse quatro? > > --- Claudio Buffara > <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > on > 17.04.04 10:56, Johann Peter Gustav Lejeune >> Dirichlet at >> [EMAIL PROTECTED] wrote: >> >> Seja X o conjunto dos primos tais que se a e b >> sao dois elementos dele entao >> ab+4 e a^2+4 tambem estao.Prove ou disprove: X >> e vazio >> >> Alem da solucao do Gugu, existe uma outra, >> encontrada pelo Carlos Yuzo Shine >> usando congruencia mod 7. >> >> >> []s, >> Claudio. >> >> = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teoria dos Numeros
A soluçao do Gugu, como ja era de se esperar, foi demais!! --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Uma resposta para o Claudio: > > Este problema eu propus logo quando eu entrei > na > lista.Ninguem tinha mandado nada sobre > isso.resolvi mandar de novo agora que vi em uns > papeis de matematica olimpica que eu guardava. > Eu ate um tempinho atras so tinha limitado os > caras em algumas congruencias,mas nada > conclusivo. > > > --- Claudio Buffara > <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > on > 19.04.04 12:54, Ricardo Bittencourt at > > [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > > > Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet > wrote: > > > > > > (a,b => ab+4 e a^2+4) > > >> Mas espere, 6m-1=m-1 mod 5.Logo > > (6m-1)(6n-1)+4=mn-m-n mod 5.Sera que da > > >> para arrancar alguem mod 5? > > >> Se mn=m+n mod 5 entao nao da primo > > > > > > Eu já consegui mostrar que todos os > elementos > > do > > > conjunto são da forma 30k+23, mas ainda não > > cheguei em > > > nenhuma contradição. > > > > > Mais ainda: eles tem que ser da forma 60k + > 53. > > Infelizmente, eu acho que > > esse caminho nao vai levar aa solucao, mas > pelo > > menos aumenta a minha > > conviccao de que X eh vazio. > > > > Alias, uma pergunta pro Dirichlet: de onde > voce > > tirou esse problema? > > > > []s, > > Claudio. > > > > > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da > lista > > e usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > =r/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > = > > > = > > TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI > > CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA > INSIGNIA TRIBVERE > > Fields Medal(John Charles Fields) > > > > > __ > > Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. > Instale agora! > http://br.download.yahoo.com/messenger/ > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista > e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) __ Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teoria dos Numeros
Onde esta ela? Alias sera que da para generalizar esse quatro? --- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > on 17.04.04 10:56, Johann Peter Gustav Lejeune > Dirichlet at > [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Seja X o conjunto dos primos tais que se a e b > sao dois elementos dele entao > ab+4 e a^2+4 tambem estao.Prove ou disprove: X > e vazio > > Alem da solucao do Gugu, existe uma outra, > encontrada pelo Carlos Yuzo Shine > usando congruencia mod 7. > > > []s, > Claudio. > > = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) __ Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teoria dos Numeros
Uma resposta para o Claudio: Este problema eu propus logo quando eu entrei na lista.Ninguem tinha mandado nada sobre isso.resolvi mandar de novo agora que vi em uns papeis de matematica olimpica que eu guardava. Eu ate um tempinho atras so tinha limitado os caras em algumas congruencias,mas nada conclusivo. --- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > on 19.04.04 12:54, Ricardo Bittencourt at > [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: > > > > (a,b => ab+4 e a^2+4) > >> Mas espere, 6m-1=m-1 mod 5.Logo > (6m-1)(6n-1)+4=mn-m-n mod 5.Sera que da > >> para arrancar alguem mod 5? > >> Se mn=m+n mod 5 entao nao da primo > > > > Eu já consegui mostrar que todos os elementos > do > > conjunto são da forma 30k+23, mas ainda não > cheguei em > > nenhuma contradição. > > > Mais ainda: eles tem que ser da forma 60k + 53. > Infelizmente, eu acho que > esse caminho nao vai levar aa solucao, mas pelo > menos aumenta a minha > conviccao de que X eh vazio. > > Alias, uma pergunta pro Dirichlet: de onde voce > tirou esse problema? > > []s, > Claudio. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista > e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > =r/~nicolau/olimp/obm-l.html > = = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) __ Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teoria dos Numeros
Pode-se dizer que sim.Eu preferi escrever desse jeito para nao dar margem a duvidas --- Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: >Caros Claudio e Dirichlet, >Bacana esse problema. >Vamos la': Dadas essas condicoes, se a > pertence a X entao > b(n)=a^(n+2)+4.(a^n+a^(n-1)+...+a+1)=a^(n+2)+4.(a^(n+1)-1)/(a-1) > pertence a > X para todo n, mas para todo primo q (digamos > q=b(0)=a^2+4), b(n) (mod q) e' > periodica com periodo divisor de q-1, pelo > pequeno teorema de Fermat, donde, > em particular, b(a^2+3) e' multiplo de > b(0)=a^2+4, e como claramente > b(a^2+3) > a^2+4, b(a^2+3) nao e' primo, > absurdo. Assim, X tem que ser vazio. >Abracos, > Gugu > > Obs.: A primeira condicao e' um caso particular > da segunda, nao ? > > > > >on 19.04.04 12:54, Ricardo Bittencourt at > [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > >> Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: > >> > >> (a,b => ab+4 e a^2+4) > >>> Mas espere, 6m-1=m-1 mod 5.Logo > (6m-1)(6n-1)+4=mn-m-n mod 5.Sera que da > >>> para arrancar alguem mod 5? > >>> Se mn=m+n mod 5 entao nao da primo > >> > >> Eu já consegui mostrar que todos os > elementos do > >> conjunto são da forma 30k+23, mas ainda não > cheguei em > >> nenhuma contradição. > >> > >Mais ainda: eles tem que ser da forma 60k + > 53. Infelizmente, eu acho que > >esse caminho nao vai levar aa solucao, mas > pelo menos aumenta a minha > >conviccao de que X eh vazio. > > > >Alias, uma pergunta pro Dirichlet: de onde > voce tirou esse problema? > > > >[]s, > >Claudio. > > > > > >= > >Instruções para entrar na lista, sair da lista > e usar a lista em > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >= > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista > e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) __ Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teoria dos Numeros
Title: Re: [obm-l] Teoria dos Numeros on 17.04.04 10:56, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote: Seja X o conjunto dos primos tais que se a e b sao dois elementos dele entao ab+4 e a^2+4 tambem estao.Prove ou disprove: X e vazio Alem da solucao do Gugu, existe uma outra, encontrada pelo Carlos Yuzo Shine usando congruencia mod 7. []s, Claudio.
Re: [obm-l] Teoria dos Numeros
Caros Claudio e Dirichlet, Bacana esse problema. Vamos la': Dadas essas condicoes, se a pertence a X entao b(n)=a^(n+2)+4.(a^n+a^(n-1)+...+a+1)=a^(n+2)+4.(a^(n+1)-1)/(a-1) pertence a X para todo n, mas para todo primo q (digamos q=b(0)=a^2+4), b(n) (mod q) e' periodica com periodo divisor de q-1, pelo pequeno teorema de Fermat, donde, em particular, b(a^2+3) e' multiplo de b(0)=a^2+4, e como claramente b(a^2+3) > a^2+4, b(a^2+3) nao e' primo, absurdo. Assim, X tem que ser vazio. Abracos, Gugu Obs.: A primeira condicao e' um caso particular da segunda, nao ? > >on 19.04.04 12:54, Ricardo Bittencourt at [EMAIL PROTECTED] wrote: > >> Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: >> >> (a,b => ab+4 e a^2+4) >>> Mas espere, 6m-1=m-1 mod 5.Logo (6m-1)(6n-1)+4=mn-m-n mod 5.Sera que da >>> para arrancar alguem mod 5? >>> Se mn=m+n mod 5 entao nao da primo >> >> Eu já consegui mostrar que todos os elementos do >> conjunto são da forma 30k+23, mas ainda não cheguei em >> nenhuma contradição. >> >Mais ainda: eles tem que ser da forma 60k + 53. Infelizmente, eu acho que >esse caminho nao vai levar aa solucao, mas pelo menos aumenta a minha >conviccao de que X eh vazio. > >Alias, uma pergunta pro Dirichlet: de onde voce tirou esse problema? > >[]s, >Claudio. > > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teoria dos Numeros
on 19.04.04 12:54, Ricardo Bittencourt at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: > > (a,b => ab+4 e a^2+4) >> Mas espere, 6m-1=m-1 mod 5.Logo (6m-1)(6n-1)+4=mn-m-n mod 5.Sera que da >> para arrancar alguem mod 5? >> Se mn=m+n mod 5 entao nao da primo > > Eu já consegui mostrar que todos os elementos do > conjunto são da forma 30k+23, mas ainda não cheguei em > nenhuma contradição. > Mais ainda: eles tem que ser da forma 60k + 53. Infelizmente, eu acho que esse caminho nao vai levar aa solucao, mas pelo menos aumenta a minha conviccao de que X eh vazio. Alias, uma pergunta pro Dirichlet: de onde voce tirou esse problema? []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teoria dos Numeros
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: (a,b => ab+4 e a^2+4) Mas espere, 6m-1=m-1 mod 5.Logo (6m-1)(6n-1)+4=mn-m-n mod 5.Sera que da para arrancar alguem mod 5? Se mn=m+n mod 5 entao nao da primo Eu já consegui mostrar que todos os elementos do conjunto são da forma 30k+23, mas ainda não cheguei em nenhuma contradição. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara sanpo shimashou" -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teoria dos Numeros
Mas espere, 6m-1=m-1 mod 5.Logo (6m-1)(6n-1)+4=mn-m-n mod 5.Sera que da para arrancar alguem mod 5? Se mn=m+n mod 5 entao nao da primo Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote: on 17.04.04 10:56, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote: Seja X o conjunto dos primos tais que se a e b sao dois elementos dele entao ab+4 e a^2+4 tambem estao.Prove ou disprove: X e vazioInicio de solucao: Suponhamos que X <> vazio e seja n um elemento de X.Eh facil ver que n > 2.Alem disso, n > 3, pois se 3 pertencesse a X, teriamos:3^2 + 4 = 13 em X ==>3*13 + 4 = 43 em X ==>13^2 + 4 = 173 em X ==>43*173 + 4 = 7443 em X ==>contradicao, pois 7443 = 3*2481 eh composto.Agora, um primo p > 3 eh da forma 3k + 1 ou 3k + 2.Se p = 3k + 1 pertence a X, entao:p^2 + 4 e p*(p^2 + 4) + 4 = p^3 + 4p + 4 pertencem a X.Mas p^3 + 4p + 4 = (p^3 - p) + 3*(p + 1) + (2p + 1). Alem disso:p^3 - p eh multiplo de 3, pelo pequeno teorema de Fermat;3*(p + 1) eh multiplo de 3 (obviamente);2p + 1 = 2*(3k + 1) + 1 = 3*(2k + 1) eh multiplo de 3.Ou seja, p*(p^2 + 4) + 4 eh multiplo de 3 e, portanto, c! omposto ==>contradicao ==>nenhum primo da forma 3k + 1 pertence a X.Em suma, se algum primo pertence a X, ele serah da forma 3k + 2.Mais ainda: se k for par (por exemplo, k = 2m, com m > 0), teremos que:3k + 2 = 3*(2m) + 2 = 2*(3m + 1) eh par e, portanto, nao pode pertencer a X.Logo, se algum primo pertence a X, ele serah da forma 3*(2m-1) + 2 = 6m - 1, com m > 0. De fato, podemos dizer que m > 1, pois se 5 pertencesse a X, entao:5^2 + 4 = 29 pertence a X ==>29^2 + 4 = 845 pertence a X ==>contradicao, pois 845 eh multiplo de 5.Por enquanto isso foi tudo que eu consegui e suspeito que tenha sido a parte mais facil. Enfim, jah eh um comeco![]s,Claudio. TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] Teoria dos Numeros
Title: Re: [obm-l] Teoria dos Numeros on 17.04.04 10:56, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote: Seja X o conjunto dos primos tais que se a e b sao dois elementos dele entao ab+4 e a^2+4 tambem estao.Prove ou disprove: X e vazio Inicio de solucao: Suponhamos que X <> vazio e seja n um elemento de X. Eh facil ver que n > 2. Alem disso, n > 3, pois se 3 pertencesse a X, teriamos: 3^2 + 4 = 13 em X ==> 3*13 + 4 = 43 em X ==> 13^2 + 4 = 173 em X ==> 43*173 + 4 = 7443 em X ==> contradicao, pois 7443 = 3*2481 eh composto. Agora, um primo p > 3 eh da forma 3k + 1 ou 3k + 2. Se p = 3k + 1 pertence a X, entao: p^2 + 4 e p*(p^2 + 4) + 4 = p^3 + 4p + 4 pertencem a X. Mas p^3 + 4p + 4 = (p^3 - p) + 3*(p + 1) + (2p + 1). Alem disso: p^3 - p eh multiplo de 3, pelo pequeno teorema de Fermat; 3*(p + 1) eh multiplo de 3 (obviamente); 2p + 1 = 2*(3k + 1) + 1 = 3*(2k + 1) eh multiplo de 3. Ou seja, p*(p^2 + 4) + 4 eh multiplo de 3 e, portanto, composto ==> contradicao ==> nenhum primo da forma 3k + 1 pertence a X. Em suma, se algum primo pertence a X, ele serah da forma 3k + 2. Mais ainda: se k for par (por exemplo, k = 2m, com m > 0), teremos que: 3k + 2 = 3*(2m) + 2 = 2*(3m + 1) eh par e, portanto, nao pode pertencer a X. Logo, se algum primo pertence a X, ele serah da forma 3*(2m-1) + 2 = 6m - 1, com m > 0. De fato, podemos dizer que m > 1, pois se 5 pertencesse a X, entao: 5^2 + 4 = 29 pertence a X ==> 29^2 + 4 = 845 pertence a X ==> contradicao, pois 845 eh multiplo de 5. Por enquanto isso foi tudo que eu consegui e suspeito que tenha sido a parte mais facil. Enfim, jah eh um comeco! []s, Claudio.
[obm-l] Teoria dos Numeros
Seja X o conjunto dos primos tais que se a e b sao dois elementos dele entao ab+4 e a^2+4 tambem estao.Prove ou disprove: X e vazio TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
[obm-l] teoria dos numeros - parte II
Obrigado Professor Nicolau Saldanha! Eu queria saber se os resultados eram conhecidos. Eu cheguei a estes resultados sem saber que eles já eram de domínio público. De qualquer maneira para mim foi um grande prazer ter encontrado estes resultados. Foi procurar nas fontes indicadas pelo senhor para ver as provas apresentadas para as proposições que eu mandei para lista.Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis!
Re: [obm-l] teoria dos numeros
On Wed, Jan 21, 2004 at 04:46:28PM -0300, levi queiroz wrote: > Pessoal da lista , eu estou enviando para de vocês quatro proposições minhas > que eu mesmo demonstrei e no entanto eu não sei se constam dentro da Teoria > dos Números. Gostaria da ajuda de vocês. > > Proposição 1: Se p >3 e p+2 são primos gêmeos então p +1 = 6k, para algum k > inteiro ... > Proposição 2: Se p>3 e p+2 são primos gêmeos então p= 6.k +5, para algum k > inteiro ... > Proposição 3: Se p>3 e 2.p +1 são primos então p+1=6.n , para algum n > inteiro. ... > Proposição 4 : Se p>3 e 2p +1 são primos então p= 6.k +5, para algum k > inteiro. Eu não entendi direito que tipo de ajuda você quer. As proposições estão corretas, as demonstrações tanto quanto eu verifiquei também estão. Este assunto é teoria dos números; é isso que você queria perguntar? Ou talvez você estivesse perguntando se os resultados são conhecidos? Sim, são bem conhecidos. Não se sabe por outro lado se existem infinitos pares de primos gêmeos. Se p é primo e 2p+1 também é primo, então p é chamado um primo de Sophie Germain. Também não se sabe se existem infinitos primos de Sophie Germain. Para saber mais sobre números primos eu recomendo que você dê uma olhada em http://www.utm.edu/research/primes ou http://primes.utm.edu Para primos gêmeos veja http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=1 Tem uma curiosidade lá sobre o infame bug do pentium. Para primos de Sophie Germain veja http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=2 []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] teoria dos numeros
Pessoal da lista , eu estou enviando para de vocês quatro proposições minhas que eu mesmo demonstrei e no entanto eu não sei se constam dentro da Teoria dos Números. Gostaria da ajuda de vocês. Proposição 1: Se p >3 e p+2 são primos gêmeos então p +1 = 6k, para algum k inteiro Como p é primo ímpar então p+1 é par, daí 2 divide p+1. Basta provar que 3 divide p+1. vamos supor que 3 não divide p+1, daí temos duas situações possíveis: p+1= 3.k +1 para algum k inteiro, daí p = 3.k absurdo pois p é primo ou, p+1 = 3.k +2, para algum k inteiro, então p + 1 + 1 = 3.k + 2 +1 , então p+2 = 3.k +3 = 3( k+1) = 3.m, absurdo pois p+2 é primo. logo por (a) e (b) temos que 3 divide p+1. Como 2 divide p+1 e 3 divide p+1, então 6 divide p+1, daí p+1= 6.k. Como queríamos demonstrar! Proposição 2: Se p>3 e p+2 são primos gêmeos então p= 6.k +5, para algum k inteiro De fato, pela proposição 1 temos que : p+1 = 6.m, para algum m inteiro p = 6.m - 1= 6.m + 5 - 6 = 6.( m-1) + 5 = 6.k +5 . Proposição 3: Se p>3 e 2.p +1 são primos então p+1=6.n , para algum n inteiro. Como p é primo ímpar então p+1 é par, daí 2 divide p+1. Basta provar que 3 divide p+1. vamos supor que 3 não divide p+1, daí temos duas situações possíveis: a) p+1= 3.k +1, para algum k inteiro , então p = 3.k absurdo pois p é primo, ou p+1 = 3.k +2, par algum k inteiro , então p = 3.k +1 , logo 2p = 6.k + 2 , daí2p +1 = 6.k + 3 = 3( 2.k + 1) = 3.m, absurdo pois 2.p +1 é primo por hipótese. então por (a) e (b) temos que 3 divide p+1. Como 2 divide p+1, então 6 divide p+1. Daí , p+1 = 6.n, para algum n inteiro. Proposição 4 : Se p>3 e 2p +1 são primos então p= 6.k +5, para algum k inteiro. Pela proposição 3 temos que : p+1 = 6.m, para algum m inteiro , então p = 6.m - 1= 6.m + 5 - 6 = 6.( m-1) + 5 = 6.k +5 , como queríamos demonstrar . Atenciosamente , Levi Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis!
Re: [obm-l] Teoria dos numeros
Voce perde a generalidade sim, pois por exemplo a=401 e b=5001 nao sao da forma descrita. --- Henrique_Patrício_Sant'Anna_Branco <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Prove as seguintes afirmações: > a) Se a é um inteiro ímpar, então 24 divide > a*(a^2 - 1) > b) Se a e b são inteiros impares, entao 8 > divide a^2 - b^2 > No caso do item b) pensei em considerar a = > 4k-1 e b = 4k+1. Eu perco a > generalidade se fizer algo assim? > > Grato, > Henrique. > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista > e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teoria dos numeros
a) a(a^2-1) Se a e impar entao a^2==1 mod 8 e como (a-1)a(a+1) são tres inteiros consecutivos, temos que 3 tb o divide, logo 24 divide o produto b) Mesmo esquema a^2==1 mod 8 b^2==1 mod 8 a^2-b^2==0 mod 8 obs.: Considere a=8k+r onde 0= e eleve ao quadrado para os casos impares (para nao fazer mta conta use ao inves de r=5, r=-3 (por ai), que fica bem resumido, dai vc observar que o quadrado de um numero inteiro impar e congruente a 1 mod 8). []'s, Marcelo. From: "Henrique Patrício Sant'Anna Branco" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "OBM" <[EMAIL PROTECTED]> Subject: [obm-l] Teoria dos numeros Date: Sun, 14 Sep 2003 20:37:26 -0300 Prove as seguintes afirmações: a) Se a é um inteiro ímpar, então 24 divide a*(a^2 - 1) b) Se a e b são inteiros impares, entao 8 divide a^2 - b^2 No caso do item b) pensei em considerar a = 4k-1 e b = 4k+1. Eu perco a generalidade se fizer algo assim? Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teoria dos numeros
on 14.09.03 20:37, Henrique Patrício Sant'Anna Branco at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Prove as seguintes afirmações: > a) Se a é um inteiro ímpar, então 24 divide a*(a^2 - 1) > b) Se a e b são inteiros impares, entao 8 divide a^2 - b^2 > No caso do item b) pensei em considerar a = 4k-1 e b = 4k+1. Eu perco a > generalidade se fizer algo assim? > Infelizmente voce perde, pois poderia ser a = 4k+1, por exemplo. a) a impar ==> a = 2k+1 para algum inteiro k ==> a(a^2-1) = (2k+1)(4k^2+4k) = 4k(k+1)(2k+1) Agora voce raciocina assim: k e k+1 sao inteiros consecutivos ==> um deles eh par ==> 2 divide k(k+1) ==> 8 divide 4k(k+1)(2k+1) (*) Se 3 divide k ou 3 divide k+1, entao 3 divide 4k(k+1)(2k+1) ==> juntamente com (*) isso implica que 24 (=8*3) divide 4k(k+1)(2k+1) Se 3 nao divide k nem k+1, entao k = 3m+1, para algum inteiro m ==> 2k+1 = 6m+3 ==> 3 divide 2k+1 ==> 3 divide 4k(k+1)(2k+1) ==> juntamente com (*) isso implica que 24 divide 4k(k+1)(2k+1) * b) Na verdade, isso eh decorrencia do fato de que se a eh impar entao 8 divide a^2 - 1, pois a = 2m + 1 ==> a^2 - 1 = 4m^2 + 4m + 1 - 1 = 4m(m+1) Mas, como visto acima, 2 divide m(m+1) ==> 8 divide 4m(m+1) = a^2 - 1. Um abraco, Claudio. a^2 - b^2 = 4m^2 + 4m - 4n^2 - 4n = 4[m(m+1) - n(n+1)] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teoria dos numeros
a) a*(a^2 - 1) = a*(a-1)*(a+1)=(a+1)*a*(a-1) Notamos que sao 3 numeros consecutivos, e seja a impar, a-1 e a+1 sao pares q contem um multiplo de 2 e outro de 4, claramente. E em 3 numeros consecutivos, a probabilidade de se encontrar um multiplo de 3 eh 100% logo eh multiplo de 4*3*2=24 b) a^2 - b^2=(a+b)*(a-b) Novamente, seja a e b dois numeros impares, (a+b) e (a-b) sao pares. a=2*p+1 b=2*q+1 (a+b)*(a-b) = (2*p + 2*q + 2)*(2*p + 2*q) = 2*(p+q+1)*2*(p+q) = 2*2*(p+q+1)*(p+q) como (p+q) e (p+q+1) sao consecutivos, um dos dois há de ser par logo possuem o fator dois. logo eh multiplo de 2*2*2 = 8 - Original Message - From: "Henrique Patrício Sant'Anna Branco" <[EMAIL PROTECTED]> To: "OBM" <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sunday, September 14, 2003 8:37 PM Subject: [obm-l] Teoria dos numeros > Prove as seguintes afirmações: > a) Se a é um inteiro ímpar, então 24 divide a*(a^2 - 1) > b) Se a e b são inteiros impares, entao 8 divide a^2 - b^2 > No caso do item b) pensei em considerar a = 4k-1 e b = 4k+1. Eu perco a > generalidade se fizer algo assim? > > Grato, > Henrique. > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Teoria dos numeros
Prove as seguintes afirmações: a) Se a é um inteiro ímpar, então 24 divide a*(a^2 - 1) b) Se a e b são inteiros impares, entao 8 divide a^2 - b^2 No caso do item b) pensei em considerar a = 4k-1 e b = 4k+1. Eu perco a generalidade se fizer algo assim? Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teoria dos Numeros
On Sun, Jul 14, 2002 at 04:45:19PM -0300, adr.scr.m wrote: > Determine todos inteiros positivos > x,y,z,tais que z divide xy-1,x divide zy-1 > e y divide zx-1. Este problema 'e bem legal. Vou pular umas linhas antes de dar a solu,c~ao para que os outros tentem fazer sozinhos, vale a pena. == == Uma solu,c~ao trivial 'e x=y=z=1. Qualquer outra solu,c~ao pode ser tomada da forma 1http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Teoria dos Numeros
On Sun, Jul 14, 2002 at 04:45:19PM -0300, adr.scr.m wrote: > Alguem poderia fazer essas questoes para > mim ? > > Determine todos os primos que sao a soma e > a diferenca de 2 primos. 5 = 3 + 2 = 7 - 2 'e o 'unico. Basta observar que 'e indispens'avel usar o primo 2 e que o 'unico caso em que p-2, p e p+2 s~ao todos primos 'e para p=5 pois um dos tr^es sempre ser'a m'ultiplo de 3. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Teoria dos Numeros
Alguem poderia fazer essas questoes para mim ? Determine todos os primos que sao a soma e a diferenca de 2 primos. Determine todos inteiros positivos x,y,z,tais que z divide xy-1,x divide zy-1 e y divide zx-1. Obrigado. Adriano. __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Teoria dos Numeros
Olá lista, Desculpe-me o assunto off-topic mas, alguem da lista teria o livro de Teoria Elementar dos Numeros de edgard de Alencar Filho. Valeu !!! Osvaldo Correa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =