RE: [obm-l] Fun��o sobrejetiva...
Ruy ,
A solucao esta correta. Eles usaram a definicao de funcao sobrejetiva e
provaram que a cada y da imagem da funcao existe um x no dominio de f. Voce
afirmou a bijetividade, mas e algo que pode ser facilmente provado tambem.
Leandro.
From: ruy de oliveira souza [EMAIL PROTECTED]
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Subject: [obm-l] Função sobrejetiva...
Date: Sat, 16 Aug 2008 14:48:07 -0300
Uma questão do Ita de 2005 tem o seguinte enunciado...Seja
f:lR-{1}lR-{1}, definida por f(x)=(x+1)/(x-1). Um dos itens questiona
se ela é sobrejetiva ou não. Dá pra se provar facilmente fazendo o gráfico
que ela é. Pode-se também calcular os limites da função fazendo x tender
a mais e menos infinito, além dos limites laterais quando x tende a 1. O
que
me chama a atenção nessa questão foi a resolução feita por um cursinho
famoso de SP. Gostaria de saber se vocês concordam com essa resolução que
está na internet. Eles resolvem da seguinte maneira: fazem f(x)=y. Dai tem
a
equação y=(x+1)/(x-1). Isolam x e obtem x=(y+1)/(y-1). Argumentam que para
todo y pertencente a lR-{1} existe x pertencente a lR-{1} tal que y=f(x).
Mas isso é a função inversa, obtida a partir do fato de se saber que a
função é bijetora. Ou seja, posso fazer dessa maneira se souber de antemão
se ela é bijetora. Então , na verdade não estou provando sobrejetividade
alguma. O que vocês acham? Corrijam-me se eu estiver enganado.
Abraços
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RE: [obm-l] Fun��es - ITA 1978
Igor,
O enunciado esta correto? Parece que a frase
Se B
está contido em R e o conjunto f^-1(B) = { x pertence a R ; f(x)
pertence a B },
esta incompleta. Voce esta dizendo que f-1(B) tambem esta em R?
From: Igor Battazza [EMAIL PROTECTED]
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Subject: [obm-l] Funções - ITA 1978
Date: Fri, 2 May 2008 12:14:48 -0300
Olá, alguem poderia me dar uma ajuda na explicação dessa questão, pois
eu cheguei em um resultado proximo, mas de uma maneira meio mistica,
chutando (ou seja, de uma forma incorreta). Lá vai:
Sejam R o conjunto dos números reais e f uma função de R em R. Se B
está contido em R e o conjunto f^-1(B) = { x pertence a R ; f(x)
pertence a B }, então:
a) f[ f^-1(B) ] está contido em B; (Alternativa correta, mas pouco me
importa :P )
b) f[ f^-1(B) ] = B se f é injetora;
c) f[ f^-1(B) ] = B
d) f^-1[ f(B) ] = B se f é sobrejetora;
e) n.d.a.
OBS: f^-1 é a inversa de f.
Obrigado desde já!
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Re: [obm-l] fun��o cont�nua
Como f é continua, existe c em (a , b) tal que f(c) = (a+b)/2. Aplicando o TVM a [a , c], obtemos x1 em (a , c) tal que f'(x1) = (f(c) -f(a))/(c -a) =(b - a)/(2(c - a). Aplicando o TVM agora a [c , b], obtemos x2 em (c , b) tal que f'(x2) = (f(b) -f(c))/(b - c) =(b - a)/(2(b - c). Temos, entao, que a x1 x2 b e que 1/f'(x1) + 1/f'(x2) = (2(c - a))/(b - a) + (2(b - c))/(b - a = (2(b - a))/(b - a) = 2 , provando a afirmacao. Artur Ps. O merito desta prova nao e meu, um amigo sugeriu o ponto chave c e eu so dei os arremates finais com o TVM. From: Carlos Gomes To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, February 09, 2008 7:45 AM Subject: função contínua Olá amigos...será que alguém pode me ajudar com essa? Seja f uma função contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b) tal que f(a)=a e f(b)=b. Mostre que existem x_1 e x_2 tais que a x_1 x_2 b tais que 1/f ' (x_1) + 1/f ' (x_2) = 2. Valew, Cgomes Never miss a thing. Make Yahoo your home page. http://www.yahoo.com/r/hs = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] fun��o cont�nua
Como f é continua, existe c em (a , b) tal que f(c) = (a+b)/2. Aplicando o TVM a [a , c], obtemos x1 em (a , c) tal que f'(x1) = (f(c) -f(a))/(c -a) =(b - a)/(2(c - a). Aplicando o TVM agora a [c , b], obtemos x2 em (c , b) tal que f'(x2) = (f(b) -f(c))/(b - c) =(b - a)/(2(b - c). Temos, entao, que a x1 x2 b e que 1/f'(x1) + 1/f'(x2) = (2(c - a))/(b - a) + (2(b - c))/(b - a = (2(b - a))/(b - a) = 2 , provando a afirmacao. Artur Ps. O merito desta prova nao e meu, um amigo sugeriu o ponto chave c e eu so dei os arremates finais com o TVM. From: Carlos Gomes To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, February 09, 2008 7:45 AM Subject: função contínua Olá amigos...será que alguém pode me ajudar com essa? Seja f uma função contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b) tal que f(a)=a e f(b)=b. Mostre que existem x_1 e x_2 tais que a x_1 x_2 b tais que 1/f ' (x_1) + 1/f ' (x_2) = 2. Valew, Cgomes Be a better friend, newshound, and know-it-all with Yahoo! Mobile. Try it now. http://mobile.yahoo.com/;_ylt=Ahu06i62sR8HDtDypao8Wcj9tAcJ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Fun��o
Acredito que 6, afinal as funções são CRESCENTES, e não NÃO DECRESCENTES. Abraços, olavo. Antonio Olavo da Silva Neto From: "Bruna Carvalho" [EMAIL PROTECTED]Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: Re: [obm-l] FunçãoDate: Mon, 24 Sep 2007 17:30:17 -0300olá meninos.agora tenho uma dúvida, são 10 ou 6 possibilidades de funcoes crescentes ?eu não tenho gabarito.bjos meninos. MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] fun��o lipschitz
= f e funcao de Lipchitz, entao, existe C 0 tal que , para x,y em I temos |f(x)-f(y)| = c . |x-y| Portanto, |(f(x)-f(y))/(x-y)| = c, o que prova que f' e limitada. = A volta e imediata. Supondo f' limitada, entao, existe c 0 tal que |(f(x)-f(y))/(x-y)| = c , entao, |f(x)-f(y)| = c . |x-y|. f e Lipchitz. Alem disso, f e uniformemente continua tambem! Regards, Leandro Recova Los Angeles, CA. From: Kleber Bastos [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] função lipschitz Date: Fri, 27 Jul 2007 21:30:54 -0300 Poderiam me ajudar ? Mostre que f :I--R, onde I C R é um intervalo é uma função Lipschitz se , e smomente se f ´ ( f linha ) é uma função limitada em I . -- Kleber B. Bastos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] fun�
Caros colegas da lista, gostaria que alguém desse uma luz na seguinte questão: Quais são as funções tais que f(f(x)) = f(x) + x para todo x real? Eu consegui encontrar duas funções lineares que satisfazem a condição acima que são f(x) = [(1+sqrt5)/2].x e f(x) = [(1 - sqrt5)/2].x. Mas não consigo mostrar se existem outras não polinomiais e se no caso afirmativo quais são! Obrigado, Vanderlei
[obm-l] fun�
Caros colegas da lista, gostaria que alguém desse uma luz na seguinte questão: Quais são as funções tais que f(f(x)) = f(x) + x para todo x real? Eu consegui encontrar duas funções lineares que satisfazem a condição acima que são f(x) = [(1+sqrt5)/2].x e f(x) = [(1 - sqrt5)/2].x. Mas não consigo mostrar se existem outras não polinomiais e se no caso afirmativo quais são! Obrigado, Vanderlei PS: Prezado Cláudio, obrigado pelos esclarecimentos na questão do tabuleiro, foram muito claras!
[obm-l] Fun�
Calcule f(n) sabendo-se que: i) f(0)=0 ii) f(n+1)=2f(n)+3 _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fun��o Logar�tmica?
Oi, Salhab, Acho que você ainda não tinha lido as dicas do Nicolau ao Renan sobre o tema quando me respondeu... De qualquer forma, apenas arrumando um pouco a discussão e explicitando o que você já fez: 1) Provou que f(1) = 0 e que f(1/x) = -f(x), x real; 2) Provou que f(x^n) = n.f(x), n inteiro ; 3) Pede dica de como provar que f(x^r) = r.f(x), para x racional Aí vai: se r = p/q, faça z = [x^(p/q)]^q ; dai, (1) f(z) = q.f(x^(p/q)) q, inteiro (2) f(z) = f (x^p) = p.f(x); p inteiro Logo, f(x^r) = p/q .f(x) Agora transcrevo uma parte do email do Nicolau: ---Nicolau Seja f: (0,+infinito) - R. Seja g: R - R, g(x) = f(exp(x)). Claramente as seguintes condições são equivalentes: (a) f(xy) = f(x) + f(y) para quaisquer x, y positivos; (b) g(x+y) = g(x) + g(y) para quaisquer reais x, y. Note que (a) implica em f(1) = 0, f(1/x) = -f(x) assim como (b) implica em g(0) = 0, g(-x) = -g(x). Também é verdade que (a) implica f(x^r) = r f(x) e (b) implica g(rx) = r g(x) para r racional. As funções g(x) = cx obviamente satisfazem a condição (b). Elas são as únicas funções contínuas ou até as únicas funções mensuráveis que satisfazem a condição mas existem outras funções g que satisfazem (b) e que são descontínuas em todo ponto. Inclusive funções g assim que são bijetoras, existem outras que são injetoras mas não sobrejetoras e ainda outras que são sobrejetoras mas não injetoras. ---Nicolau 4) Agora, sua pergunta sobre irracionais: ou seja, será que f(x^y) = yf(x), caso y seja irracional? Bem, se você admitir que f é contínua, sim, pois basta escolher uma sequencia r_n de racionais que converge para y e usar o fato de f ser contínua e: se f(x^r_n) = r_n.f(x), temos: lim f(x^r_n) = f(lim x^r_n) = f(lim x^r_n) = f(x^y) e que lim r_n.f(x) = yf(x). 5) Agora só faltaria provar a dica do Nicolau que as funções da forma g(x) = cx são as únicas contínuas que satisfazem a g(x+y) = g(x) + g(y) para todo x real. Na verdade há vários resultados equivalentes para a função g (que ficam apenas enunciados para sua eventual diversão - mas lembre-se, não se esqueça do cinema...): Se g é aditiva nos reais, as seguintes proposições são equivalentes: a. g é contínua em algum ponto; b. g é contínua em todo o real; c. g é monótona em R; d. g é da forma cx para algum c real. Como conseqüência, se alguma função aditiva nos reais NÃO é da forma g(x) = cx, ela necessariamente é descontínua em TODOS os pontos, ou seja é uma das aberrações que o Nicolau mencionou... Aliás existem funções malucas interessantes. Por exemplo, você já foi apresentado a alguma funcão contínua nos reais mas não derivável em nenhum ponto? Pois é, existem e são divertidas. Têm quinas em todos os pontos (ou seja, são angulosas em todos os pontos) e esta informação já é uma dica de como poderíamos construí-las ... somando quinas... Concluo mencionando que se alguém deseja mostrar que uma determinada funcão é a função logaritmo, precisa da definição da função logaritmo, certo. E qual a SUA definição de função logaritmica. Não ficou claro nas discussões. Alguns livros de análise tem o péssimo hábito de definir primeiro a função logaritmo (como integral de 1 a x de f(t) = 1/t) e depois chegam na exponencial como inversa. Pefiro justamente o contrário, pois acho mais natural, definindo a exponencial em primeiro lugar... Ufa, acho que falei demais... Abraços, Nehab At 04:39 4/11/2006, you wrote: Olá Nehab, bom.. eu faria alguma coisa do tipo: f(xy) = f(x) + f(y) tomando y=1, temos: f(x) = f(x) + f(1) f(1) = 0 tomando y=1/x, temos: f(x/x) = f(x) + f(1/x) = f(1) = 0 f(1/x) = -f(x) por inducao, mostramos que f(a1 * a2 * ... * an) = f(a1) + f(a2) + f(a3) + ... + f(an) por inducao, mostramos que: f(x^n) = nf(x), para n natural... mas, f(x^(-n)) = f(1/x^n) = -f(x^n) = -nf(x) ... logo, extendemos para os inteiros.. seja a = p/q, p, q inteiros, q != 0, entao: f(x^a) = f(x^(p/q)) = p f(x^(1/q))...bom, um dia eu ja consegui fazer essa prova pra racionais, mas nao estou conseguindo agora! se alguem puder mandar ai... :) ou, se eu conseguir, mando em outra mensagem... entao, apenas voltando: provei algumas propriedades da funcao... mas acredito que nao tenha como provar que é a funcao logaritmo... pq acho q a funcao nao é unica... aqui, coloco uma outra duvida: apos mostrar para os racionais, faltaria mostrar para os irracionais para valer para os reais... como mostrar para os irracionais? alguem tem alguma ideia? abraços, Salhab - Original Message - From: Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, November 03, 2006 2:37 AM Subject: Re: [obm-l] Função Logarítmica? Renan e Salhab Ok, a solução é interessante e clássica, se o enunciado informasse que a função f é derivável... Se não o for, o que vocês fariam? Abração, Nehab At 22:40 2/11/2006, you wrote: Por favor,
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fun ção phi(n)
On Sat, Oct 14, 2006 at 01:46:00PM -0200, Ricardo Khawge wrote: Prof. Nicolau, tentei, tentei mais não entendi a parte em que você diz: Se 11 entrar então phi(n/11) deve ser 2... Poderia, por favor me explicar, o que isso significa? Se phi(n) = 20 e n é múltiplo de 11 então (como n não pode ser múltiplo de 121) devemos ter n = 11*m, mdc(11,m) = 1. Assim phi(n) = phi(11)*phi(m). Como phi(11) = 10 temos phi(m) = 2. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Fun��o Gamma.
Olá Ojesed: Pelo Matlab a resposta seria: x*(pi*2^(1/2)-gamma(1/4,-x^4)*gamma(3/4)) - 4*gamma(3/4)*(-x^4)^(1/4) Deve ter algum problema com: gamma(1/4,-x^4) pois que eu me lembre a função gamma é uma função de 1 variável apenas... P.S.I, 200.153.238.168, sent you this email using www.Fake-Mailer.com This email is fake. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Fun��es complexas
Se f for identicamente nula, entao a conclusao eh trivialmente verificada. Se f nao for identicamente nula, entao, se f se anular em algum complexo w, teremos, para todo z de C, que f(z) = f(z-w).f(w) = f(z-w).0 = 0, contrariamente aa hipotese de que f nao eh identicamente nula. Logo, f jamais se anula em C. Neste caso, temos para todo complexo z que f(z+0) = f(z) = f(z) . f(0). Como f(z)0, segue-se que f(0 =1. Se f for continua em z=0, entao lim (h - 0) f(h) = f(0) = 1. Para todos z e h em C, temos tambem que f(z+h) = f(z) f(h). Logo, fixando-se z e fazendo-se h - 0, temos que lim (h -0) f(z) f(h) = f(z) lim(h -0) f(h) = f(z) . 1 = f(z). Assim, lim (h - 0) f(z + h) = f(z), o que significa continuidade em z. Na realidade, por um raciocinio similar, podemos mostra que, se f for continua em algum z0 de C, entao f eh continua em todo o C. Artur --- [EMAIL PROTECTED] wrote: Favor quem puder me responder agradeço 1º) Seja f: C--C uma função tal que: para todo z,w pertencente a C, f(z+w) = f(z).f(w). Prove que, se f é contínua em z=0, então f é contínua. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fun��es complexas
Eu tenho uma duvida: Da equacao funcional f(z+w) = f(z).f(w), sem nenhuma hipotese adicional, dah para deduzir que f eh diferenciavel em z=0 ou em qualquer outro complexo? Mesmo assumindo-se continuidae em z =0, dah pra deduzir, sem nenhuma hipotese adicional, a diferenciabilidade em z=0? Artur Artur --- Ronaldo Luiz Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote: Favor quem puder me responder agradeço 1º) Seja f: C--C uma função tal que: para todo z,w pertencente a C, f(z+w) = f(z).f(w). Prove que, se f é contínua em z=0, então f é contínua. É só provar que ela é diferenciável em z =0. Se ela for diferenciável (holomorfa) em z =0 então ela é contínua. certo? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fun��es complexas
Eu tenho uma duvida: Da equacao funcional f(z+w) = f(z).f(w), sem nenhuma hipotese adicional, dah para deduzir que f eh diferenciavel em z=0 ou em qualquer outro complexo? Artur --- Ronaldo Luiz Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote: Favor quem puder me responder agradeço 1º) Seja f: C--C uma função tal que: para todo z,w pertencente a C, f(z+w) = f(z).f(w). Prove que, se f é contínua em z=0, então f é contínua. É só provar que ela é diferenciável em z =0. Se ela for diferenciável (holomorfa) em z =0 então ela é contínua. certo? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] fun�
a)Considere a fun»c~ao f(x) = + raiz (x)/(x-1). Determine o Domkinio e a Imagem desta funcao, justificando sua resposta. b) Seja a funcao I : IR - IR , tal que I(x) corresponde ao maior inteiro menor ou igual a x. Deina g(x) = I(/x - 2/) . i) Calcule : g(0) ; g (- 3/5); g(¶) Obrigada pela ajuda amigos.
Re: [obm-l] Fun��o Complexa
Estas demonstracoes, inclusive que vc citou, valem em qualquer espaco metrico. Com base na definicao de limite, podemos raciocinar da seguinte forma: Suponhamos que L e L' sejam limites distintos de f em z0. Existem entao vizinhancas disjuntas V e V' de L e de L', respectivamente. Pela definicao de limite, existem vizinhancas U e U' de z0 tais que, sendo D o dominio de f, f(z) esta em V para todo zz0 em U inter D e f(z) esta em V' para todo zz0 em U' inter D. Temos que U inter U' eh tambem uma vizinhanca de z0 que, pelo conceito de limite, eh ponto de acumulacao de D. Existem, assim, uma infinidade de elementos zz0 em U inter U' inter D. Para cada um destes elementos, temos que f(z) pertence a V e a V', contrariamente aa hipotese de que V e V' sao disjuntas. Logo, o limite de f em z0, caso exista, eh unico. Isto, na realidade, vale em qualquer espaco de Hausdorff. Artur --- Paulo Cesar [EMAIL PROTECTED] wrote: Saudações à turma da lista Sendo f(z) uma função de váriavel complexa, como garantir a unicidade de lim f(z) quando z tende a z0, supondo existente esse limite? Recorri primeiramente à análise real, mas a demostração da unicidade de limite de funções usa sequências como ferramenta. Tentei então a definição de limite, que é a mesma para funções complexas, mas acho que não ficou bom. Se alguém puder ajudar... Abraços Paulo Cesar __ Yahoo! for Good Donate to the Hurricane Katrina relief effort. http://store.yahoo.com/redcross-donate3/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] fun
[EMAIL PROTECTED]
[obm-l] fun
n
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fun ção inversa
para determina-la alnaliticamente, teriamos que explicitar x em funcao de y, mas isto naum eh muito facil. Naum sei como fazer. Se você está procurando uma fórmula fechada para a inversa usando as funções elementares (algébricas, exp, log, trigonométricas e trigonométricas inversas) então eu apostaria que é impossível. Por outro lado, eu não estou afirmando que saiba provar que é impossível. Está aí um assunto para tese de doutorado! Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] fun ção contínua em espaços métricos
Eh o Claudio ainda diz que naum conhece Toplogia Artur --- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 01.04.04 20:24, bruno souza at [EMAIL PROTECTED] wrote: Demonstrar Sejam M,N espaços métricos, f,g:M--N contínuas no ponto a pertecente a M. Se f(a) diferente de g(a), então existe uma bola aberta B, de centro a, tal que f(B) e g(B) sejam disjuntos. Abraços Bruno Como f eh continua, a imagem inversa de um conjunto aberto de N por f eh um conjunto aberto de M. Idem para g. Seja d a distancia entre f(a) e g(a). Tome as bolas abertas A1 e A2 de centro em f(a) e g(a), respectivamente, ambas com raio d/2. Isso quer dizer que A1 e A2 sao conjuntos abertos e disjuntos. Sejam B1 e B2 as imagens inversas de A1 e A2 por f e g, respectivamente. Como a pertence a B1 e tambem a B2, a pertence a B1 inter B2. Pela continuidade de f e g, B1 e B2 serao conjuntos abertos. Logo, B1 inter B2 tambem serah aberto. Agora eh soh tomar uma bola aberta B de centro em a e contida em B1 inter B2, que existe porque B1 inter B2 eh aberto. f(B) estah contido em A1 e g(B) estah contido em A2. Como A1 e A2 sao disjuntos, f(B) e g(B) tambem serao. []s, Claudio. __ Do you Yahoo!? Yahoo! Small Business $15K Web Design Giveaway http://promotions.yahoo.com/design_giveaway/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] fun ção contínua em espaços métricos
Nesse problema hah um detalhe que me passou despercebido na primeira leitura. Num eh afirmado que f eh continua em todo o espaco M, mas apenas no ponto a. Mas a conclusao, ainda assim, permanece valida. Consideremos as bolas A1 e A2, jah citadas. Como a unica hipotese eh a continuidade de f apenas em a, naum podemos afirmar que suas imagens inversas sob f sejam abertas. Mas podemos afirmar que existem bolas abertas B1 e B2, centradas em a, tais que f(x) pertence a A1, para x em B1, e f(x) pertence a A2, para x em B2. Tomando-se a bola aberta de centro em a B = B1 inter B2 e prosseguindo-se conforme abaixo, chegamos aa conclusao desejada. Isto eh consequencia de uma conclusao interessante: f eh continua em um ponto a de M se, e somente se, para toda vizinhanca V de f(a), a for ponto interior de f^(-1)(V). Esta conclusao, assim como a do problema, permanecem validas se M for um espaco topologico qualquer e N for um espaco de Hausdorff. Basta substituir o termo bola aberta por vizinhanca. Artur --- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 01.04.04 20:24, bruno souza at [EMAIL PROTECTED] wrote: Demonstrar Sejam M,N espaços métricos, f,g:M--N contínuas no ponto a pertecente a M. Se f(a) diferente de g(a), então existe uma bola aberta B, de centro a, tal que f(B) e g(B) sejam disjuntos. Abraços Bruno Como f eh continua, a imagem inversa de um conjunto aberto de N por f eh um conjunto aberto de M. Idem para g. Seja d a distancia entre f(a) e g(a). Tome as bolas abertas A1 e A2 de centro em f(a) e g(a), respectivamente, ambas com raio d/2. Isso quer dizer que A1 e A2 sao conjuntos abertos e disjuntos. Sejam B1 e B2 as imagens inversas de A1 e A2 por f e g, respectivamente. Como a pertence a B1 e tambem a B2, a pertence a B1 inter B2. Pela continuidade de f e g, B1 e B2 serao conjuntos abertos. Logo, B1 inter B2 tambem serah aberto. Agora eh soh tomar uma bola aberta B de centro em a e contida em B1 inter B2, que existe porque B1 inter B2 eh aberto. f(B) estah contido em A1 e g(B) estah contido em A2. Como A1 e A2 sao disjuntos, f(B) e g(B) tambem serao. []s, Claudio. __ Do you Yahoo!? Yahoo! Small Business $15K Web Design Giveaway http://promotions.yahoo.com/design_giveaway/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] fun ção contínua em espaços métricos
Title: Re: [obm-l] função contínua em espaços métricos on 01.04.04 20:24, bruno souza at [EMAIL PROTECTED] wrote: Demonstrar Sejam M,N espaços métricos, f,g:M--N contínuas no ponto a pertecente a M. Se f(a) diferente de g(a), então existe uma bola aberta B, de centro a, tal que f(B) e g(B) sejam disjuntos. Abraços Bruno Como f eh continua, a imagem inversa de um conjunto aberto de N por f eh um conjunto aberto de M. Idem para g. Seja d a distancia entre f(a) e g(a). Tome as bolas abertas A1 e A2 de centro em f(a) e g(a), respectivamente, ambas com raio d/2. Isso quer dizer que A1 e A2 sao conjuntos abertos e disjuntos. Sejam B1 e B2 as imagens inversas de A1 e A2 por f e g, respectivamente. Como a pertence a B1 e tambem a B2, a pertence a B1 inter B2. Pela continuidade de f e g, B1 e B2 serao conjuntos abertos. Logo, B1 inter B2 tambem serah aberto. Agora eh soh tomar uma bola aberta B de centro em a e contida em B1 inter B2, que existe porque B1 inter B2 eh aberto. f(B) estah contido em A1 e g(B) estah contido em A2. Como A1 e A2 sao disjuntos, f(B) e g(B) tambem serao. []s, Claudio.
