[obm-l] Funcao Logistica

[Tiago Machado]

Mostre que a função logistica (sigmóide) S(a) = 1 /1 + e^(-a) satisfaz a
propriedade S(a) = 1 - S(a) e que sua inversa é dada por S^(-1) (y) = ln (y
/ 1 - y)

alguém tem dica de como posso resolver essa?

Obrigado!

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Funcao Injetora

[Gabriel Tostes]

f(x) + f(f(x)) = 2x implica que f(x) é injetora? Porque? 
Domínio e contra dominio são os reais não negativos sem o zero.
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Funcao Injetora

[Ralph Teixeira]

Para provar que f eh injetora, basta mostrar que f(x)=f(y) implica x=y.

Neste caso, se voce tivesse f(x)=f(y), teria f(f(x))=f(f(y))
(eu posso aplicar f de novo pois o contradominio estah contido no dominio).
Mas entao 2x=f(x)+f(f(x))=f(y)+f(f(y))=2y, isto eh, x=y.

Abraco, Ralph.

2015-09-03 20:58 GMT-03:00 Gabriel Tostes :

> f(x) + f(f(x)) = 2x implica que f(x) é injetora? Porque?
> Domínio e contra dominio são os reais não negativos sem o zero.
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

RE: [obm-l] funcao implicita e geogebra

[Luís Lopes]

Sauda,c~oes, oi Bernardo, 

Bom, o que dizer? Muito obrigado, Bernardo!! 

  Continuo sem saber como calcular a equação que fornece
  os pontos extremos (max e min) da curva 
Agora sei. :) Pelo menos usando o WAlpha. 

 Se eu entendi o problema, você quer achar 
o(s) ponto(s) desta curva com a maior ordenada possível.
Exato. No intervalo 0 x10. 

 Agora, note que P(x(t),y(t)) = 0 em todos os pontos da curva, logo
 para todos os t da sua parametrização. Daí:
 dP/dx(x(t), y(t))*dx/dt + dP/dy(x(t), y(t))*dy/dt = 0. 
Comentário fundamental para a continuação. 

 Agora, você tem que achar as soluções do sistema {P(x,y) = 0,
 dP/dx(x,y) = 0}. No seu caso particular, dP/dx é de grau 2, logo você
 pode escrever y em função de x, e substituir na equação de grau 3...
No decorrer do pensamento vi que era por aí. Mas as contas 
se anunciavam pesadas. 

Os tais discriminantes são o caso particular do resolvente 
de um polinômio e de sua derivada. 
Bom, pode estar resumido mas estou satisfeito. 
Já sei o que são discriminantes neste contexto. 
E o melhor, o WA me dá eles. Coloquei o polinômio 
que dá a curva CC e ele me retornou a equação 
que já me haviam enviado. Daí calculei os pontos 
extremos da curva. Problema resolvido. 

O fator que sobra deve ser o polinômio de grau 4 que
passaram pra você.
Exato. 

Com isso o problema de construir o triângulo ABC dados 
A,a+b,h_a está resolvido e discutido.  O caso numérico 
estudado é cos A=11/14 e a+b=10. 

Se h_a  y_max  o problema não tem solução; 
se h_a=y_max um só triângulo satisfaz; 
se 0  h_a  y_max dois triângulos satisfazem. 

Deixo um problema com vocês: achar o lugar geométrico 
do vértice A dados o ângulo do vértice A e a diferença 
a-b. Seria a (nova) curva CC. 

Abs, 
Luís 






 Date: Sat, 5 Oct 2013 01:25:40 -0300
 Subject: Re: [obm-l] funcao implicita e geogebra
 From: bernardo...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 2013/10/4 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com:
  Sauda,c~oes,
 Oi Luís,
 
  Continuo sem saber como calcular a equação que fornece
  os pontos extremos (max e min) da curva mas talvez a
  teoria se encontre nos livros que tratam das Curvas Algébricas Planas.
 Exato, mas não necessariamente desta forma.
 
 Você tem uma equação implícita P(x,y) = 0, onde P é um polinômio (de
 grau 3) nas duas variáveis. Se eu entendi o problema, você quer achar
 o(s) ponto(s) desta curva com a maior ordenada possível.
 
 Para começar, pense que a curva definida pela equação P(x,y) = 0 é
 bonitinha (sem pontos duplos, sem singularidades, etc). Assim, imagine
 uma parametrização local da curva: (x(t), y(t)). Assim, pontos de
 máximo (e mínimo, ou de inflexão) são dados por dy/dt = 0.
 
 Agora, note que P(x(t),y(t)) = 0 em todos os pontos da curva, logo
 para todos os t da sua parametrização. Daí:
 dP/dx(x(t), y(t))*dx/dt + dP/dy(x(t), y(t))*dy/dt = 0.
 
 Se dy/dt = 0, temos então que dP/dx(x(t), y(t)) * dx/dt = 0. Como a
 curva é lisa (e sem singularidades, pontos duplos, etc, etc), dx/dt
 não pode ser = 0. Daí, os pontos de máximo também satisfazem uma
 equação suplementar, dP/dx(x,y) = 0.
 
 Agora, você tem que achar as soluções do sistema {P(x,y) = 0,
 dP/dx(x,y) = 0}. No seu caso particular, dP/dx é de grau 2, logo você
 pode escrever y em função de x, e substituir na equação de grau 3...
 
 Mas, em geral, existe uma teoria para achar as soluções de sistemas de
 equações simultâneas, que são os resolventes, cf
 http://en.wikipedia.org/wiki/Resultant e
 http://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester_matrix, em particular a parte
 de aplicações a interseções do resultante. Essencialmente, eles
 substituem uma equação na outra, de forma algorítmica, e dão
 diretamente a equação que todas (e não metade, como seria o caso se
 você pegasse cada uma das soluções da eq do segundo grau) as abscissas
 possíveis y satisfazem. Os tais discriminantes são o caso particular
 do resolvente de um polinômio e de sua derivada. Note que isso envolve
 considerar P(x,y) como um polinômio em x cujos coeficientes são
 polinômios em y. Os livros de Curvas Algébricas em geral, vão falar
 deste parágrafo apenas (provar que a Resultante realmente faz a
 eliminação das variáveis, como calcular, como que os discriminantes
 têm a ver com resultantes).
 
 Exemplinho: Seja P(x,y) = (x^2 + x y^2 + x y + 2y + 2) = x^2 + (y^2 +
 y)*x + (2y + 1). Chame a = 1, b = (y^2 + y), c = (2y + 1). Nesse caso,
 o discriminante é o usual, ou seja, b^2 - 4*a*c = (y^4 + 2y^3 + y^2)
 - 8y - 4. As raízes disso dão os y máximos e mínimos locais.
 Dá pra ver tudo isso com o WolframAlpha
 
 http://www.wolframalpha.com/input/?i=+x^2+%2B+%28y^2+%2B+y%29*x+%2B+%282y+%2B+1%29+%3D+0
 http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28y^4+%2B+2y^3+%2B+y^2%29+-+8y+-+4+%3D+0
 http://www.wolframalpha.com/input/?i=discriminant%28+x^2+%2B+%28y^2+%2B+y%29*x+%2B+%282y+%2B+1%29%2C+x%29
 
 
 Voltando ao seu problema, o WA dá o discriminante:
 http://www.wolframalpha.com/input/?i=discriminant%28%28-s^2y%2Bx^2y%2By^3%29Cos[A]%2B%28-s^2x%2B2sx^2-x^3

RE: [obm-l] funcao implicita e geogebra

[Luís Lopes]

Sauda,c~oes, 

Problema resolvido mas desconheço a teoria que 
fornece a equação para calcular o máximo e mínimo 
da curva. 
 
Máximo e mínimo valor de y de la curva: Hay que resolver en y la ecuación: 



-s^4 + 10 s^2 y^2 + 2 y^4 + s^2 (s^2 - 12 y^2)Cos[2A] + (-6 s^3 y + 8 s 
y^3)Sin[2A] = 0

Foi falado num determinante,  sem maiores detalhes. 

E numa mensagem recente daqui (problema de tangência 

numa elipse) falou-se de um determinante também. 
Deve-se tratar da mesma coisa. 



Sds, 
Luís 


From: qed_te...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] funcao implicita e geogebra
Date: Thu, 3 Oct 2013 21:30:41 +







Sauda,c~oes, 

Não conheço muito do Geogebra e talvez alguém aqui 
possa me ajudar. 

O que segue é uma investigação sobre o problema de 
construir o triângulo ABC dados A,a+b,h_a. Algebricamente 
somente pois temos uma cúbica nos cálculos. 

Consegui descobrir que um lugar geométrico para o vértice A 
é dado pela cúbica 

===
La ecuación del lugar geométrico es:

(-s^2y+x^2y+y^3)Cos[A]+(-s^2x+2sx^2-x^3+2sy^2-xy^2)Sin[A]=0 
===
com s=a+b. 

Gostaria de calcular o valor máximo de y (que aqui representa a 
altura do triângulo) e assim ter somente uma solução.

No que segue s=10, Cos[A]=11/14 e Sin[A]=5sqrt(3)/14. 

Fui pro Geogebra e entrei os pontos B=(0,0) e A'=(10,0), bem como 
a função implícita do locus. 

(-10² y + x² y + y³) 11 / 14 + (-10² x + 2 (10) x² - x³ + 2 (10) y² - x y²) 5 
sqrt(3) / 14 = 0




Em seguida tracei a reta h_a=y=4.5 e obtive as duas interseções 
(vértices A) que interessam: A1 = (-0.38975, 4.5)


e A2 = (6.73216, 4.5)




. 
Daí C1 = (3.83061, 0)


e C2 = (5.26770, 0). Ou seja, obtive dois triângulos 
satisfazendo as condições. 

Até aqui tudo bem. Agora quero saber o valor máximo de y ou o ponto 
onde a derivada de 





(-10² y + x² y + y³) 11 / 14 + (-10² x + 2 (10) x² - x³ + 2 (10) y² - x y²) 5 
sqrt(3) / 14 = 0




se anula. Chamei esta equação de CC (para closed curve).

Voltei pro Geogebra e tentei usar o comando implicitderivative e ele me 
retornou 



CC'(x, y) = (15sqrt(3) x² - 200sqrt(3) x + 5sqrt(3) y² + 500sqrt(3) - 22x y) / 
(-10 sqrt(3) x y + 200sqrt(3) y + 11x² + 33y² - 1100)



Não sei bem o que estou fazendo agora. Ou mesmo como continuar sem o 
Geogebra. Alguém pode me explicar, continuar a investigação 
ou me dar o ponto de máximo? 

Obrigado. 

Sds, 
Luís 


  
--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

RE: [obm-l] funcao implicita e geogebra

[Luís Lopes]

Sauda,c~oes, 

Li errado. Não é determinante e sim discriminante. 

Continuo sem saber como calcular a equação que fornece 
os pontos extremos (max e min) da curva mas talvez a 
teoria se encontre nos livros que tratam das Curvas Algébricas Planas. 

Sds, 
Luís 


From: qed_te...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] funcao implicita e geogebra
Date: Fri, 4 Oct 2013 20:02:40 +




Sauda,c~oes, 

Problema resolvido mas desconheço a teoria que 
fornece a equação para calcular o máximo e mínimo 
da curva. 
 
Máximo e mínimo valor de y de la curva: Hay que resolver en y la ecuación: 



-s^4 + 10 s^2 y^2 + 2 y^4 + s^2 (s^2 - 12 y^2)Cos[2A] + (-6 s^3 y + 8 s 
y^3)Sin[2A] = 0

Foi falado num determinante,  sem maiores detalhes. 

E numa mensagem recente daqui (problema de tangência 
numa elipse) falou-se de um determinante também. 
Deve-se tratar da mesma coisa. 

Sds, 
Luís 


From: qed_te...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] funcao implicita e geogebra
Date: Thu, 3 Oct 2013 21:30:41 +







Sauda,c~oes, 

Não conheço muito do Geogebra e talvez alguém aqui 
possa me ajudar. 

O que segue é uma investigação sobre o problema de 
construir o triângulo ABC dados A,a+b,h_a. Algebricamente 
somente pois temos uma cúbica nos cálculos. 

Consegui descobrir que um lugar geométrico para o vértice A 
é dado pela cúbica 

===
La ecuación del lugar geométrico es:

(-s^2y+x^2y+y^3)Cos[A]+(-s^2x+2sx^2-x^3+2sy^2-xy^2)Sin[A]=0 
===
com s=a+b. 

Gostaria de calcular o valor máximo de y (que aqui representa a 
altura do triângulo) e assim ter somente uma solução.

No que segue s=10, Cos[A]=11/14 e Sin[A]=5sqrt(3)/14. 

Fui pro Geogebra e entrei os pontos B=(0,0) e A'=(10,0), bem como 
a função implícita do locus. 

(-10² y + x² y + y³) 11 / 14 + (-10² x + 2 (10) x² - x³ + 2 (10) y² - x y²) 5 
sqrt(3) / 14 = 0




Em seguida tracei a reta h_a=y=4.5 e obtive as duas interseções 
(vértices A) que interessam: A1 = (-0.38975, 4.5)


e A2 = (6.73216, 4.5)




. 
Daí C1 = (3.83061, 0)


e C2 = (5.26770, 0). Ou seja, obtive dois triângulos 
satisfazendo as condições. 

Até aqui tudo bem. Agora quero saber o valor máximo de y ou o ponto 
onde a derivada de 





(-10² y + x² y + y³) 11 / 14 + (-10² x + 2 (10) x² - x³ + 2 (10) y² - x y²) 5 
sqrt(3) / 14 = 0




se anula. Chamei esta equação de CC (para closed curve).

Voltei pro Geogebra e tentei usar o comando implicitderivative e ele me 
retornou 



CC'(x, y) = (15sqrt(3) x² - 200sqrt(3) x + 5sqrt(3) y² + 500sqrt(3) - 22x y) / 
(-10 sqrt(3) x y + 200sqrt(3) y + 11x² + 33y² - 1100)



Não sei bem o que estou fazendo agora. Ou mesmo como continuar sem o 
Geogebra. Alguém pode me explicar, continuar a investigação 
ou me dar o ponto de máximo? 

Obrigado. 

Sds, 
Luís 


  
--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] funcao implicita e geogebra

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/10/4 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com:
 Sauda,c~oes,
Oi Luís,

 Continuo sem saber como calcular a equação que fornece
 os pontos extremos (max e min) da curva mas talvez a
 teoria se encontre nos livros que tratam das Curvas Algébricas Planas.
Exato, mas não necessariamente desta forma.

Você tem uma equação implícita P(x,y) = 0, onde P é um polinômio (de
grau 3) nas duas variáveis. Se eu entendi o problema, você quer achar
o(s) ponto(s) desta curva com a maior ordenada possível.

Para começar, pense que a curva definida pela equação P(x,y) = 0 é
bonitinha (sem pontos duplos, sem singularidades, etc). Assim, imagine
uma parametrização local da curva: (x(t), y(t)). Assim, pontos de
máximo (e mínimo, ou de inflexão) são dados por dy/dt = 0.

Agora, note que P(x(t),y(t)) = 0 em todos os pontos da curva, logo
para todos os t da sua parametrização. Daí:
dP/dx(x(t), y(t))*dx/dt + dP/dy(x(t), y(t))*dy/dt = 0.

Se dy/dt = 0, temos então que dP/dx(x(t), y(t)) * dx/dt = 0. Como a
curva é lisa (e sem singularidades, pontos duplos, etc, etc), dx/dt
não pode ser = 0. Daí, os pontos de máximo também satisfazem uma
equação suplementar, dP/dx(x,y) = 0.

Agora, você tem que achar as soluções do sistema {P(x,y) = 0,
dP/dx(x,y) = 0}. No seu caso particular, dP/dx é de grau 2, logo você
pode escrever y em função de x, e substituir na equação de grau 3...

Mas, em geral, existe uma teoria para achar as soluções de sistemas de
equações simultâneas, que são os resolventes, cf
http://en.wikipedia.org/wiki/Resultant e
http://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester_matrix, em particular a parte
de aplicações a interseções do resultante. Essencialmente, eles
substituem uma equação na outra, de forma algorítmica, e dão
diretamente a equação que todas (e não metade, como seria o caso se
você pegasse cada uma das soluções da eq do segundo grau) as abscissas
possíveis y satisfazem. Os tais discriminantes são o caso particular
do resolvente de um polinômio e de sua derivada. Note que isso envolve
considerar P(x,y) como um polinômio em x cujos coeficientes são
polinômios em y. Os livros de Curvas Algébricas em geral, vão falar
deste parágrafo apenas (provar que a Resultante realmente faz a
eliminação das variáveis, como calcular, como que os discriminantes
têm a ver com resultantes).

Exemplinho: Seja P(x,y) = (x^2 + x y^2 + x y + 2y + 2) = x^2 + (y^2 +
y)*x + (2y + 1). Chame a = 1, b = (y^2 + y), c = (2y + 1). Nesse caso,
o discriminante é o usual, ou seja, b^2 - 4*a*c = (y^4 + 2y^3 + y^2)
- 8y - 4. As raízes disso dão os y máximos e mínimos locais.
Dá pra ver tudo isso com o WolframAlpha

http://www.wolframalpha.com/input/?i=+x^2+%2B+%28y^2+%2B+y%29*x+%2B+%282y+%2B+1%29+%3D+0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28y^4+%2B+2y^3+%2B+y^2%29+-+8y+-+4+%3D+0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=discriminant%28+x^2+%2B+%28y^2+%2B+y%29*x+%2B+%282y+%2B+1%29%2C+x%29


Voltando ao seu problema, o WA dá o discriminante:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=discriminant%28%28-s^2y%2Bx^2y%2By^3%29Cos[A]%2B%28-s^2x%2B2sx^2-x^3%2B2sy^2-xy^2%29Sin[A]%2C+x%29

que é de grau 6 (como esperado de uma interseção de uma curva de grau
3 com uma curva de grau 2), mas que tem um fator y^2, que deve
provavelmente ser excluído do problema (certamente, não é o ponto de
máximo!). O fator que sobra deve ser o polinômio de grau 4 que
passaram pra você.

O mais chato é que o desenho da curva CC é meio feio
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-10%C2%B2+y+%2B+x%C2%B2+y+%2B+y%C2%B3%29+11+%2F+14+%2B+%28-10%C2%B2+x+%2B+2+%2810%29+x%C2%B2+-+x%C2%B3+%2B+2+%2810%29+y%C2%B2+-+x+y%C2%B2%29+5+sqrt%283%29+%2F+14+%3D+0+
porque ela tem uma componente que vai pro infinito... Mas talvez seja
ela que você quer ? Para ter uma única solução real?

Além disso, o caso numérico, mais uma vez, dá
http://www.wolframalpha.com/input/?i=discriminant+%28+%28-10%C2%B2+y+%2B+x%C2%B2+y+%2B+y%C2%B3%29+11+%2F+14+%2B+%28-10%C2%B2+x+%2B+2+%2810%29+x%C2%B2+-+x%C2%B3+%2B+2+%2810%29+y%C2%B2+-+x+y%C2%B2%29+5+sqrt%283%29+%2F+14%2C+x%29
para o discriminante. Como a gente já sabe que tem um fator y^2, tem
no mínimo 4 soluções. De novo, o WA confirma a resposta:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=-%284+%2849+sqrt%283%29+y^6%2B3300+y^5%2B17600+sqrt%283%29+y^4-247500+y^3-187500+sqrt%283%29+y^2%29%29%2F%2849+sqrt%283%29%29+%3D+0dataset=

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

(tenho que aprender a botar contas do WA sem que ele faça as contas a
cada vez, mas o problema é que o Clip fica apenas o resultado...)

-- 
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] funcao implicita e geogebra

[Luís Lopes]

Sauda,c~oes, 

Não conheço muito do Geogebra e talvez alguém aqui 
possa me ajudar. 

O que segue é uma investigação sobre o problema de 
construir o triângulo ABC dados A,a+b,h_a. Algebricamente 
somente pois temos uma cúbica nos cálculos. 

Consegui descobrir que um lugar geométrico para o vértice A 
é dado pela cúbica 

===
La ecuación del lugar geométrico es:

(-s^2y+x^2y+y^3)Cos[A]+(-s^2x+2sx^2-x^3+2sy^2-xy^2)Sin[A]=0 
===
com s=a+b. 

Gostaria de calcular o valor máximo de y (que aqui representa a 
altura do triângulo) e assim ter somente uma solução.

No que segue s=10, Cos[A]=11/14 e Sin[A]=5sqrt(3)/14. 

Fui pro Geogebra e entrei os pontos B=(0,0) e A'=(10,0), bem como 
a função implícita do locus. 

(-10² y + x² y + y³) 11 / 14 + (-10² x + 2 (10) x² - x³ + 2 (10) y² - x y²) 5 
sqrt(3) / 14 = 0




Em seguida tracei a reta h_a=y=4.5 e obtive as duas interseções 
(vértices A) que interessam: A1 = (-0.38975, 4.5)


e A2 = (6.73216, 4.5)




. 
Daí C1 = (3.83061, 0)


e C2 = (5.26770, 0). Ou seja, obtive dois triângulos 
satisfazendo as condições. 

Até aqui tudo bem. Agora quero saber o valor máximo de y ou o ponto 
onde a derivada de 





(-10² y + x² y + y³) 11 / 14 + (-10² x + 2 (10) x² - x³ + 2 (10) y² - x y²) 5 
sqrt(3) / 14 = 0




se anula. Chamei esta equação de CC (para closed curve).

Voltei pro Geogebra e tentei usar o comando implicitderivative e ele me 
retornou 



CC'(x, y) = (15sqrt(3) x² - 200sqrt(3) x + 5sqrt(3) y² + 500sqrt(3) - 22x y) / 
(-10 sqrt(3) x y + 200sqrt(3) y + 11x² + 33y² - 1100)



Não sei bem o que estou fazendo agora. Ou mesmo como continuar sem o 
Geogebra. Alguém pode me explicar, continuar a investigação 
ou me dar o ponto de máximo? 

Obrigado. 

Sds, 
Luís 


  
-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] funcao uniformemente distribuida

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

li a resposta do Nicolau e outros, a respeito da pergunta do Artur.
O que exatamente é uma função uniformemente distribuida?
Dei uma procurada na internet, mas não achei quase nada a respeito
(entenda-se por: quase nada que eu consiga entender! hehe)

Estou com a seguinte idéia: se f(x) é uniformemente distribuída em (0, 1),
entao Im[f(x)] = (0, 1), e a probabilidade de ocorrência de qualquer
intervalo I C (0,1) é |I| ... esta certo isso?
Vi nos históricos que f(x) = x mod 2*pi é uniformemente distribuida em [0,
2pi)...
e fiquei pensando em como provar isso..

pensei em: f(x+2pi) = f(x) ... isto é..  quando x percorrer toda a reta, a
probabilidade de ocorrência de qquer intervalo I C [0, 2pi) é igual a
|I|/2pi.. devido a sua periodicidade...
mas como formalizar isso?

alias, eu chuto que toda função periódica crescente ou decrescente é
uniformemente distribuida...
hmm novamente chutando, generalizaria a ideia acima, dizendo que toda funcao
periódica e injetiva dentro do periodo é uniformemente distribuida..
infelizmente ainda nao consegui colocar sen e cos nos meus chutes acima...
mas chuto que eles sao uniformemente distribuidos pois, apesar deles nao
sejem injetivos, para cada y E Im[sen(x)], temos exatamente dois x E [0,
2pi), tal que sen(x) = y ...

existe uma ideia é: gaussianamente continua? hehe ou alguma coisa do tipo?
deve ser realmente dificil trabalhar com essas ideias..

agradeço qualquer ajuda,
abraços,
Salhab

Re: [obm-l] Funcao composta

[ralonso]

Baseados na proca que o Bruno deu para aquela problema, temos uma
conclusao geral:Teorema de França: (Bruno Franca):Se, para uma funcao
g:R--R, houver apenas 1 único par (a, b) (ou(b,a), dah na mesma), com a
e b distintos, tais que f(a) = b e f(b) = a, entao nao existe nenhuma
funcao f:R-- R tal que g = f o f. E isso ai nao , eh?
 É sim. Acho que dá para estender essa conclusão.
Se para g:R -- R houver p-tuplas (a_1,...,a_p)  tais que f (a_1) =
a_2,
..., f(a_(n-1)) = a_n  então  não existe nenhuma função f:R -- R tal
que
g = f o f ...o f  ,  (p conposições de f).

Ronaldo.

[obm-l] Funcao composta

[Artur Costa Steiner]

Baseados na proca que o Bruno deu para aquela problema, temos uma conclusao 
geral:
 
Teorema de França: (Bruno Franca):
 
Se, para uma funcao g:R--R, houver apenas 1 único par (a, b) (ou(b,a), dah na 
mesma), com a e b distintos, tais que f(a) = b e f(b) = a, entao nao existe 
nenhuma funcao f:R-- R tal que g = f o f.  
 
E isso ai nao , eh?
 
Outra conclusao
 
Se g:R--R apresentar um unico ponto fixo a, for derivavel em a e g'(a)  0, 
entao nao existe nenhuma funcao f:R-- R, derivavel em R, tal que g = f o f.
Na realidade, nao existe nenhuma funcao f, derivavel em a, tal que g = f o f.  

Re:[obm-l] funcao continua

[claudio\.buffara]

De:[EMAIL PROTECTED]

Para:obm-l@mat.puc-rio.br

Cópia:

Data:Tue, 8 May 2007 12:54:29 -0700 (PDT)

Assunto:[obm-l] funcao continua

 Seja f:[0,1] - [0,1] uma função contínua. Provar que existe c E [0,1] tal 
 que f(c)=c.
vlw.

Basta usar o TVI com a função g(x) = f(x) - x.

Mais interessante é provar que se f:[0,1]^2 - [0,1]^2 é contínua, então existe 
(a,b) em [0,1]^2 tal que f(a,b) = (a,b).  (no caso, [0,1]^2 é o produto 
cartesiano [0,1]x[0,1], ou seja, o quadrado unitário).

Isso pode ser generalizado pra f:B - B, onde B é qualquer conjunto homeomorfo 
à bola unitária do R^n. Esse é o teorema do ponto fixo de Brouwer.

Tem também um outro teorema de ponto fixo não muito difícil de provar, que é o 
seguinte: Se E é um subconjunto de R, k um número no intervalo (0,1) e f:E - E 
tal que |f(x) - f(y)| = k*|x - y| para quaisquer x e y em E, então existe um 
único c em E tal que f(c) = c. Além disso, dado qualquer x_0 em E, se formarmos 
a sequência x_1 = f(x_0), x_2 = f(x_1), ..., então x_n - c.

Esse também tem generalização: ao invés de um subconjunto de R, E pode ser 
qualquer espaço métrico completo. A demonstração é essencialmente a mesma (via 
sequências da Cauchy), mas as consequências são impressionantes (por exemplo, o 
teorema da aplicação inversa e a existência e unicidade da solução de uma EDO).

[]s,
Claudio.

[obm-l] funcao continua

[Klaus Ferraz]

Seja f:[0,1] - [0,1] uma função contínua. Provar que existe c E [0,1] tal que 
f(c)=c.
vlw.

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Re: [obm-l] funcao continua

[Igor Castro]

Seja g(x) = f(x) - x
Logo, g é contínua. Mas:
g(1) = f(1) -1 = 0 e g(0) = f(0) - 0 = 0.
***Repare que só ocorre igualdade se f(1)=1 ou f(0)=0.
Descartando a igualdade temos que g(1)*g(0)  0. Logo existe uma raiz de g
entre 0 e 1(o nome do teorema eh bozano se nao me engano).
Se existe uma raiz a de g então g(a)=f(a)-a=0 - f(a)=a
[]'s

On 5/8/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote:


Seja f:[0,1] - [0,1] uma função contínua. Provar que existe c E [0,1] tal
que f(c)=c.
vlw.

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Res: [obm-l] Funcao Zeta como produto infinito sobre os primos

[Demetrio Freitas]

Olá Sandra,

Dê uma olhada em:

http://mathworld.wolfram.com/EulerProduct.html

[]´s Demetrio

- Mensagem original 
De: Sandra [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 14 de Dezembro de 2006 17:11:47
Assunto: [obm-l] Funcao Zeta como produto infinito sobre os primos


Oi a todos!

Gostaria de uma dica para completar a demonstração do se seguinte:

Seja Z a função zeta de Riemann. Entao, para todo real s1, Z(s) pode ser 
expresso como um produto infinito sobre os primos (positivos), tendo-se que 
Z(s) = Soma(k =1) 1/(k^s) = Produto (k =1) (1 - 1/(p_k^s)), sendo p_k o 
k-gésimo primo.
Da demosntracao feita, conclua que a serie Soma(k =1) (1/p_k) diverge.
Na demonstracao, podemos considerar conhecido que o produto infinito Prod(k=1) 
(1 - a_k), com a_k  -1 para todo k, converge se e somente se Soma (k =1) 
(a_k) converge.

Eu comecei observando que 1 - 1/(p_k)^s = 1 + 1/p_k^s + 1/(p_k^(2s)..., o 
limite de uma serie serie geometrica absolutamente convergente. Depois, tentei 
transformar os produtos paciais em somatorios pelo produto de Stevin. Pelo T. 
fundamental da aritmetica, o inverso de cada natural, elevado a s, vai aparecer 
uma e somente uma vez. Mas me enrolei no fechamento da demonstracao. Tentei 
representar os produtos parciais como soma de de inversos de potencias s de 
naturais em cuja fatoracao so entram primos = n, n =1,2...so que na hora do 
fecho me enrolei.

Obrigada
Sandra 

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Re: [obm-l] Funcao definida recursivamente

[claudio\.buffara]

Nossa! Ainda bem que eu não perdi muito tempo com este problema...

De qualquer forma, acho interessante pensar num problema correlato.
SejaA um subconjunto de N (naturais = inteiros positivos) tal que:
(i) se n pertence a M e n é par, então n/2 pertence a A
e
(ii) se n pertence a M e n é ímpar, então 3n+1 pertence a A.
Determinar se existe um subconjunto finito X de N tal que, se além das condições (i) e (ii) acima, tivermos também "X está contido em A", então poderemos garantir que A = N.

Por exemplo,se X for igual ao conjunto dos naturais pares, então isso será verdade. Só que neste caso X não é finito (obviamente).
Mesmo deixando X ser infinito, o problema não é trivial. Por exemplo, se X = conjunto dos naturais ímpares ou então X = conjunto dos primos.

[]s,
Claudio.





De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Thu, 24 Aug 2006 21:46:09 -0300




Assunto:
Re: [obm-l] Funcao definida recursivamenteClaudioIsso aí se assemelha ao "Problema de Collatz". Veja no Mathworld: http://mathworld.wolfram.com/CollatzProblem.html(provar que f é função é equivalente a demonstrar a conjectura de collatz, isto é, que a partir de qualquer semente inicial natural a seqüência de collatz devolve o valor 1.) Acredito que no caso da conjectura de Collatz ser verdadeira e portanto sua f estar definida, ela seja a função constante igual a 1, já que nunca poderá chegar a outro valor.Se a conjectura de Collatz for falsa, então f não é função, pois existirá algum k natural para o qual a seqüência de Collatz não passa por NENHUM dos naturais que já se verificou que vão para 1 (os quais tem imagem 1), e então vc não permite calcular o valor de f(k) com essa definição de f. AbraçoBruno
 On 8/24/06, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: 
Segue abaixo a tentativa de se definir uma funcao f: N - N(N = conjunto dos inteiros positivos) f (1) = 1;Se n eh par, entao f (n) = f (n/2);Se n eh impar, entao f (n) = f (3n + 1).Perguntas:1) As condicoes acima realmente definem uma tal f (ou seja, permitem que, A CADA elemento de N seja associado EXATAMENTE UM elemento de N)?2) Em caso afirmativo, a funcao assim definida eh unica?O problema parece ser que o valor de f(n) para n impar eh definido em termos do valor de f num argumento maior do que n (3n+1, paraser exato), de modo que nao se pode aplicar o principio da inducao (pelo menos nao diretamente).[]s,Claudio.

[obm-l] Funcao definida recursivamente

[claudio\.buffara]

Segue abaixo a tentativa de se definir uma funcao f: N - N
(N = conjunto dos inteiros positivos)

f (1) = 1;
Se n eh par, entao f (n) = f (n/2); 
Se n eh impar, entao f (n) = f (3n + 1).

Perguntas:
1) As condicoes acima realmente definem uma tal f (ou seja, permitem que, A 
CADA elemento de N seja associado EXATAMENTE UM 
elemento de N)?
2) Em caso afirmativo, a funcao assim definida eh unica?

O problema parece ser que o valor de f(n) para n impar eh definido em termos do 
valor de f num argumento maior do que n (3n+1, para 
ser exato), de modo que nao se pode aplicar o principio da inducao (pelo menos 
nao diretamente).

[]s,
Claudio.


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Re: [obm-l] Funcao definida recursivamente

[Bruno França dos Reis]

ClaudioIsso aí se assemelha ao Problema de Collatz. Veja no Mathworld: http://mathworld.wolfram.com/CollatzProblem.html(provar que f é função é equivalente a demonstrar a conjectura de collatz, isto é, que a partir de qualquer semente inicial natural a seqüência de collatz devolve o valor 1.)
Acredito que no caso da conjectura de Collatz ser verdadeira e portanto sua f estar definida, ela seja a função constante igual a 1, já que nunca poderá chegar a outro valor.Se a conjectura de Collatz for falsa, então f não é função, pois existirá algum k natural para o qual a seqüência de Collatz não passa por NENHUM dos naturais que já se verificou que vão para 1 (os quais tem imagem 1), e então vc não permite calcular o valor de f(k) com essa definição de f.
AbraçoBrunoOn 8/24/06, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
Segue abaixo a tentativa de se definir uma funcao f: N - N(N = conjunto dos inteiros positivos)
f (1) = 1;Se n eh par, entao f (n) = f (n/2);Se n eh impar, entao f (n) = f (3n + 1).Perguntas:1) As condicoes acima realmente definem uma tal f (ou seja, permitem que, A CADA elemento de N seja associado EXATAMENTE UM
elemento de N)?2) Em caso afirmativo, a funcao assim definida eh unica?O problema parece ser que o valor de f(n) para n impar eh definido em termos do valor de f num argumento maior do que n (3n+1, para
ser exato), de modo que nao se pode aplicar o principio da inducao (pelo menos nao diretamente).[]s,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
-- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000e^(pi*i)+1=0

[obm-l] funcao

[Klaus Ferraz]

1)Sejam A e B conjuntos quaisquer, f: A--B uma função, g: A--B uma função bijetiva e a função h=gofog^(-1). Mostre que :   a) f é injetiva == h é injetivab) f é sobrejetiva == h é sobrejetiva  Obs: g^(-1)= função inversa de g
		 
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Re: [obm-l] funcao gama

[Dmitri Antunes]

A função Gama T(p) é definida para qualquer real positivo p , como já foi dito: Integral[0 , infinito] x^(p-1) e^(-x) dx. Para p=n,inteiro positivo, então:
T(p+1) = n!
Assim a função gama (definida para todo real positivo) pode ser encarada como umageneralização da funçãofatorial (que é definida apenas para inteiros não-negativos).
Generalizamos a definição de T(p) aos valores não-inteiros negativos de p por meio da expressão T(p+ 1) = pT(p), então T(p) = 1/p*T(p + 1) (p0 e não inteiro). Como T(1) = 1, temos
lim T(p) {quando p tende a zero pela direita} = lim T(p + 1)/p{quando p tende a zero pela direita} =+ infinito e 
lim T(p + 1)/p{quando p tende a zero pela esquerda} =- infinito
Portanto T(0) não é definida e de T(p) = 1/p*T(p + 1) (p0 e não inteiro)decorre imediatamente que T(p) não é definida para osvalores inteiros negativos de p.

É fácil provar por indução que T(n+1) = n! :
n=1: T(1+1) = 1T(1) =1 =1!
Em seguida, supomos T(n+1) = n! válida para n=k e procuramos provar sua validade para n = k + 1
T[(K+ 1)+ 1] = (k+ 1)T(K+ 1) = (k+ 1)k! (por hipótese) = (K + 1)!
Assim, T(n+ 1) = n! é verdadeira, por indução e ainda podemos utilizar esta relação para definir0! :0! = T(0 + 1) = T(1) = 1.

Um outrobom problema relacionadoé provar que
T(p+k+ 1) = (p + k)(p +k -1)...(p+ 2)(p + 1)T(p + 1).

Se eu cometi alguma falha, desdeagora eu jáme desculpo
atenciosamente,

DmitriAntunesAdroaldo Munhoz [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Tudo bem, mas será que eu posso afimar que Gama(x+1) = x!, ou a função fatorial só está definida para os naturais?Edward Elric wrote: 
Sim, para calcular gamma de x basta resolver essa integral: Integral[0 , infinito] t^(x-1) e^(-t) dt 
From: Adroaldo Munhoz [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] funcao gama Date: Sat, 15 Oct 2005 21:46:52 -0300 Já que a função gama para n pertencente aos naturais (n=1), calcula o valor do fatorial de n-1. Gama(n)=(n-1)! Será que posso estender este conceito para qualquer número e dizer que, por exemplo, Gama(pi)=(pi - 1)!, onde pi=3.14159  Abracos Aldo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da list!
a e usar
 a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = 
		 
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RE: [obm-l] funcao gama

[Edward Elric]

Sim, para calcular gamma de x basta resolver essa integral:
Integral[0 , infinito] t^(x-1) e^(-t) dt



From: Adroaldo Munhoz [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] funcao gama
Date: Sat, 15 Oct 2005 21:46:52 -0300








Já que a função gama para n pertencente aos naturais
(n=1), calcula o valor do fatorial de n-1.



Gama(n)=(n-1)!



Será que posso estender este conceito para qualquer número e dizer que,
por exemplo,



Gama(pi)=(pi - 1)!, onde pi=3.14159







Abracos



Aldo




=
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Re: [obm-l] funcao gama

[Artur Costa Steiner]

O fatorial de um numero eh definido para inteiros nao
negativos. Pela defiicao usual, nao se aplica a outros
numeros. Assim, nao eh correto dizer que Gama(pi)=(pi
- 1)!, pois (pi -1)! nao eh definida. A menos que se
mude a definicao de fatorial.

Artur 

--- Adroaldo Munhoz [EMAIL PROTECTED] wrote:


-
Jaacute; que a funccedil;atilde;o gama para n
pertencente aos naturais(n=1), calcula o valor do
fatorial de n-1.

Gama(n)=(n-1)!

Seraacute; que posso estender este conceito para
qualquer nuacute;mero e dizer que,por exemplo, 

Gama(pi)=(pi - 1)!, onde pi=3.14159



Abracos

Aldo
=Instruções
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=





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Re: [obm-l] funcao gama

[Adroaldo Munhoz]

Tudo bem, mas ser que eu posso afimar que Gama(x+1)
= x!, ou a funo fatorial s est definida para os naturais?

Edward Elric wrote:
Sim, para calcular gamma de x basta resolver essa
integral:
  
Integral[0 , infinito] t^(x-1) e^(-t) dt
  
  
  
  From: Adroaldo Munhoz
[EMAIL PROTECTED]

Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Subject: [obm-l] funcao gama

Date: Sat, 15 Oct 2005 21:46:52 -0300









J que a funo gama para n pertencente aos naturais

(n=1), calcula o valor do fatorial de n-1.




Gama(n)=(n-1)!




Ser que posso estender este conceito para qualquer nmero e dizer que,

por exemplo,




Gama(pi)=(pi - 1)!, onde pi=3.14159









Abracos




Aldo





=

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=
  
  



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=

[obm-l] funcao gama

[Adroaldo Munhoz]

J que a funo gama para n pertencente aos naturais
(n=1), calcula o valor do fatorial de n-1.

Gama(n)=(n-1)!

Ser que posso estender este conceito para qualquer nmero e dizer que,
por exemplo, 

Gama(pi)=(pi - 1)!, onde pi=3.14159



Abracos

Aldo



=
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[obm-l] FUNCAO

[Danilo Nascimento]

Seja f: R--R uma funcao tal que f(x+y)=f(x).f(y) para todos x, y pertencente a R e f nao é identicamente nula. Considere g(x) = (f(3x)-f(2x)) / (1+f(2x)f(3x)). Mostre que g é impar.
		 
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Re: [obm-l] FUNCAO

[Claudio Buffara]

Title: Re: [obm-l] FUNCAO



on 08.10.05 21:10, Danilo Nascimento at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Seja f: R--R uma funcao tal que f(x+y)=f(x).f(y) para todos x, y pertencente a R e f nao é identicamente nula. Considere g(x) = (f(3x)-f(2x)) / (1+f(2x)f(3x)). Mostre que g é impar.

f(x) = f(x+0) = f(x)f(0) ==
f(x)(1 - f(0)) = 0, para todo x real ==
f(0) = 1, pois x pode ser escolhido tal que f(x)  0.

1 = f(0) = f(x + (-x)) = f(x)f(-x) ==
f(x)  0 para todo x real e f(-x) = 1/f(x)

f(2x) = f(x)^2 e f(3x) = f(x)^3 ==

g(x) = 
(f(x)^3 - f(x)^2)/(1 + f(x)^5) = 
f(x)^2*(f(x) - 1)/(1 + f(x)^5)

g(-x) = 
f(-x)^2*(f(-x) - 1)/(1 + f(-x)^5) = 
(1/f(x)^2)*(1/f(x) - 1)/(1 + 1/f(x)^5) =
(1/f(x)^3 - 1/f(x)^2)/(1 + 1/f(x)^5) =
(f(x)^2 - f(x)^3)/(f(x)^5 + 1) =
-g(x) ==

g eh impar.


[]s,
Claudio.

RES: [obm-l] Funcao de Lipschitz

[Artur Costa Steiner]

Eh 
issioaih. Interessante que, no (1) -c, a reciproca nao eh verdadeira nem 
mesmo se D for compacto, conforme mostra f(x) = sen(x) em 
[0,1]

Artur. 


  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de 
  claudio.buffaraEnviada em: terça-feira, 4 de outubro de 2005 
  18:07Para: obm-lAssunto: Re:[obm-l] Funcao de 
  Lipschitz
  
  
  


  De:
  [EMAIL PROTECTED]
  
  


  Para:
  "OBM-l (E-mail)" 
obm-l@mat.puc-rio.br
  
  


  Cópia:
  
  
  


  Data:
  Tue, 4 Oct 2005 
12:16:28 -0300
  
  


  Assunto:
      [obm-l] Funcao de 
Lipschitz
   Eu acho esses problemas sobre funcoes de Lipschitz bonitinhos:
   
   (1) - seja D um subconjunto de R^n e f:D = R^m Lipschitz em D. 
  Mostre que
   (a) Existe uma menor constante de Lipschitz associada a f em D. 
  
  
  Seja A = {K em R | |f(x) - f(y)| = K*|x - y| para todos x e y em 
  D}.
  É claro que A é limitado inferiormente (por 0, por exemplo) de modo que 
  existe L = inf(A).
  
  Se f for constante, então L = 0. Assim, suponhamos que f não é constante 
  e, em particular, que D tem mais do que um elemento. Isso quer dizer que L 
   0.
  
  Suponhamos que L não pertence a A, ou seja, que A = (L,+infinito).
  Então existema eb em D tais que, para todo eps  0:
  0  L*|b - a|  |f(b) - f(a)|= (L + eps)*|b - a|
  
  Como eps é arbitrário, isso quer dizer que:
  0  L*|b - a|  |f(b) - f(a)| = L*|b - a| == 
  contradição ==
  L pertence a A.
  
  
   (b) Se K eh esta menor constante, entao, para todo eps 0, 
  existem x1 e  x2x1 em D tais
   que ||f(x2) - f(x1)|/|x2 - x1| - K|  eps 
  
  Dado eps  0, existem x e y em D tais que x  y e:
  (K - eps)*|x - y|  |f(x) - f(y)|  (K + eps)*|x - y| ==
  K - eps  |f(x) - f(y)|/|x - y|  K + eps ==
  ||f(x) - f(y)|/|x - y| - K|  eps 
  
  
  (c) Se K eh constante de Lipschitz
   de f em D e existirem x1x2 em D tais que:
  |f(x2) - f(x1)| = K*|x2 - x1| ,
   entao K eh a menor constante de Lipschitz de f em D. A reciproca 
  eh
   verdadeira?
   
  K é constante de Lipschitz mas, para todo eps  0, teremos:
  |f(x2) - f(x1)| = K*|x2 - x1|  (K - eps)*|x2 - x1| ==
  K - eps não é constante de Lipschitz ==
  K é a menor constante de Lipschitz de f em D.
  
  A recíproca não vale.
  Seja f:(1,+infinito) - R dada por f(x) = raiz(x).
  Então, dados x y em (1,+infinito), teremos:
  raiz(y) - raiz(x) = (y - x)/(raiz(y) + raiz(x))  (y - x)/2, 
  de modo que f é Lipschitz com constante 1/2.
  No entanto, não existem x e y distintos em (1,+infinito) tais que:
  |raiz(y) - raiz(x)| = (1/2)*|y - x|, 
  pois dividindo ambos os membros por |raiz(y) - raiz(x)|, obteremos:
  raiz(y) + raiz(x) = 2, o que é impossível com x e y em 
  (1,+infinito).
  
  
  
   (2) Sejam I um intervalo de R e f:I = R derivavel em I. Entao, f 
  eh
   Lipschitz em I se, e somente se, f' for limitada em I, caso em que 
  K
   =supremo {|f'(x)| | x estah em I} eh a menor constante de Lipschitz 
  de f em
   I.
   
  Se |f'(x)| = M para todo x em I, então, dados x  y em I, pelo TVM 
  existirá z tal que x  z  y e |f(y) - f(x)| = |f'(z)|*|y - x| = 
  M*|y - x| == f é Lipschitz em I com constante M
  
  Reciprocamente, se f é Lipschitz em I com constante K, então, dado a em 
  I, para todo x em I - {a} teremos- K = (f(x) - f(a))/(x - a) = K 
  ==
  -K = lim(x - a) (f(x) - f(a))/(x - a) = K (limites laterais 
  se a for um dos extremos de I) == -K = f'(a) = K == |f'(a)| 
  = K. Como a é qualquer, o resultado segue.
  
  Seja K = supremo {|f'(x)| | x estah em I}.
  Então, pelo TVM,é claro que f é Lipschitz com constante K.
  Dado L com 0  L  K, existea em I tal que |f'(a)|  
  L.
  Isso quer dizer que existe delta  0 tal que:
  x pertence a I e 0  |x - a|  delta == |(f(x) - 
  f(a))/(x - a)|  L
  Ou seja, |f(x) - f(a)|  L*|x - a| == L não é constante de 
  Lipschitz para f.
  
  Acho que o mais interessante desse problema éque ele 
  ilustrauma das propriedades mais importantes e úteis dos limites: a 
  permanência das desigualdades.
  
  []s,
  Claudio.
  
   
   Lembrando, f eh Lipschitz em D se existir uma constante K0 tal 
  que |f(x2)
   - f(x1)| = K*|x2 - x1| para todos x1 e x2 de D. Eh imediatpo que 
  se K for
   constante de Lipschitz, entao todo K'  K tambem eh.
   
   Artur 
   

[obm-l] Funcao de Lipschitz

[Artur Costa Steiner]

Eu acho esses problemas sobre funcoes de Lipschitz bonitinhos:

(1) - seja D um subconjunto de R^n e f:D = R^m Lipschitz em D. Mostre que
(a) Existe uma menor constante de Lipschitz associada  a f em D. (b) Se K eh
esta menor constante, entao, para todo eps 0, existem x1 e x2x1 em D tais
que ||f(x2) - f(x1|/|x2 - x1| - K|  eps (c) Se K eh constante de Lipschitz
de f em D  e existirem x1x2 em D tais que |f(x2) - f(x1)| = K*|x2 - x1| ,
entao K eh a menor constante de Lipschitz de f em D. A reciproca eh
verdadeira?

(2) Sejam I um intervalo de R e f:I = R derivavel em I. Entao, f eh
Lipschitz em I se, e somente se, f' for limitada em I, caso em que  K
=supremo {|f'(x)|  | x estah em I} eh a menor constante de Lipschitz de f em
I.


Lembrando, f eh Lipschitz em D se existir uma constante K0  tal que |f(x2)
- f(x1)| = K*|x2 - x1| para todos x1 e x2 de D. Eh imediatpo que se K for
constante de Lipschitz, entao todo K'  K tambem eh.

Artur 
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re:[obm-l] Funcao de Lipschitz

[claudio\.buffara]

De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
"OBM-l (E-mail)" obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Tue, 4 Oct 2005 12:16:28 -0300




Assunto:
[obm-l] Funcao de Lipschitz
 Eu acho esses problemas sobre funcoes de Lipschitz bonitinhos:
 
 (1) - seja D um subconjunto de R^n e f:D = R^m Lipschitz em D. Mostre que
 (a) Existe uma menor constante de Lipschitz associada a f em D. 

Seja A = {K em R | |f(x) - f(y)| = K*|x - y| para todos x e y em D}.
É claro que A é limitado inferiormente (por 0, por exemplo) de modo que existe L = inf(A).

Se f for constante, então L = 0. Assim, suponhamos que f não é constante e, em particular, que D tem mais do que um elemento. Isso quer dizer que L  0.

Suponhamos que L não pertence a A, ou seja, que A = (L,+infinito).
Então existema eb em D tais que, para todo eps  0:
0  L*|b - a|  |f(b) - f(a)|= (L + eps)*|b - a|

Como eps é arbitrário, isso quer dizer que:
0  L*|b - a|  |f(b) - f(a)| = L*|b - a| == 
contradição ==
L pertence a A.


 (b) Se K eh esta menor constante, entao, para todo eps 0, existem x1 e  x2x1 em D tais
 que ||f(x2) - f(x1)|/|x2 - x1| - K|  eps 

Dado eps  0, existem x e y em D tais que x  y e:
(K - eps)*|x - y|  |f(x) - f(y)|  (K + eps)*|x - y| ==
K - eps  |f(x) - f(y)|/|x - y|  K + eps ==
||f(x) - f(y)|/|x - y| - K|  eps 


(c) Se K eh constante de Lipschitz
 de f em D e existirem x1x2 em D tais que:
|f(x2) - f(x1)| = K*|x2 - x1| ,
 entao K eh a menor constante de Lipschitz de f em D. A reciproca eh
 verdadeira?
 
K é constante de Lipschitz mas, para todo eps  0, teremos:
|f(x2) - f(x1)| = K*|x2 - x1|  (K - eps)*|x2 - x1| ==
K - eps não é constante de Lipschitz ==
K é a menor constante de Lipschitz de f em D.

A recíproca não vale.
Seja f:(1,+infinito) - R dada por f(x) = raiz(x).
Então, dados x y em (1,+infinito), teremos:
raiz(y) - raiz(x) = (y - x)/(raiz(y) + raiz(x))  (y - x)/2, 
de modo que f é Lipschitz com constante 1/2.
No entanto, não existem x e y distintos em (1,+infinito) tais que:
|raiz(y) - raiz(x)| = (1/2)*|y - x|, 
pois dividindo ambos os membros por |raiz(y) - raiz(x)|, obteremos:
raiz(y) + raiz(x) = 2, o que é impossível com x e y em (1,+infinito).



 (2) Sejam I um intervalo de R e f:I = R derivavel em I. Entao, f eh
 Lipschitz em I se, e somente se, f' for limitada em I, caso em que K
 =supremo {|f'(x)| | x estah em I} eh a menor constante de Lipschitz de f em
 I.
 
Se |f'(x)| = M para todo x em I, então, dados x  y em I, pelo TVM existirá z tal que x  z  y e |f(y) - f(x)| = |f'(z)|*|y - x| = M*|y - x| == f é Lipschitz em I com constante M

Reciprocamente, se f é Lipschitz em I com constante K, então, dado a em I, para todo x em I - {a} teremos- K = (f(x) - f(a))/(x - a) = K ==
-K = lim(x - a) (f(x) - f(a))/(x - a) = K (limites laterais se a for um dos extremos de I) == -K = f'(a) = K == |f'(a)| = K. Como a é qualquer, o resultado segue.

Seja K = supremo {|f'(x)| | x estah em I}.
Então, pelo TVM,é claro que f é Lipschitz com constante K.
Dado L com 0  L  K, existea em I tal que |f'(a)|  L.
Isso quer dizer que existe delta  0 tal que:
x pertence a I e 0  |x - a|  delta == |(f(x) - f(a))/(x - a)|  L
Ou seja, |f(x) - f(a)|  L*|x - a| == L não é constante de Lipschitz para f.

Acho que o mais interessante desse problema éque ele ilustrauma das propriedades mais importantes e úteis dos limites: a permanência das desigualdades.

[]s,
Claudio.

 
 Lembrando, f eh Lipschitz em D se existir uma constante K0 tal que |f(x2)
 - f(x1)| = K*|x2 - x1| para todos x1 e x2 de D. Eh imediatpo que se K for
 constante de Lipschitz, entao todo K'  K tambem eh.
 
 Artur 
 

[obm-l] FUNCAO

[Danilo Nascimento]

Seja f uma funcao bijetora de uma variavel real e a relacao h, definida por h: R² --- R² 
(x,y)--- (x^3,x-f(y))
Verifique se h é bijetora e calcule uma relacao g, tal que g(h(x)) = (x,y) e 
h(g(x,y)) = (x,y), para todo x, y pertencente aos reais.

Resp: g(x,y) = (x^1/3, f^-1(x^(1/3) - y))

[]'s
 Danilo
		 
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Re: [obm-l] funcao

[Ricardo Bittencourt]

Fabio Niski wrote:

Em um curso que estou fazendo é recorrente o seguinte tipo de raciocinio:
Descobre-se que uma certa funcao desconhecida u(x,y) - R é constante em 
cada circunferencia centrada na origem. Deduz-se dai que

u(x,y) = f(x^2 + y^2) , onde f é uma funcao generica.
Bom, pra mim é bem aceitavel esse fato, afinal se é constante em cada 
circunferencia o valor de u só varia quando passamos para outra 
circunferencia assim u é funcao de x^2 + y^2. O problema é que eu acho 
esse meu argumento pouco preciso matematicamente. Alguem sabe como eu 
demonstro (se precisar) tal fato?


Mude suas variáveis pra coordenadas polares que fica imediato.
Se a função, ao invés de u(x,y) for u(r,theta), o enunciado diz
que u(r,theta)=f(r). Mas r=x^2+y^2, o que comprova sua constatação.


Ricardo Bittencourt   http://www.mundobizarro.tk
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Re: [obm-l] funcao

[Artur Costa Steiner]

Definamos g:R^2 -- R por g(x,y)= x^2 + y^2. Das
condicoes dadas segue-se que existe uma funcao h:[0,
oo) -- R que, a cada r=0, associa o valor de u
quando (x,y) pertence aa circunferencia de raio r. 
Para cada par (x,y) temos que (x,y) pertence aa
circunferencia de raio raiz(g(x,y)). Como u eh
constante nesta circunferencia, u(x,y) =
h(raiz(g(x,y)). Se agora definirmos f:[0, oo)-- R por
f(r) = h(raiz(r)), temos que u(x,y) = f(x^2 + y^2).
Artur

--- Fabio Niski [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Em um curso que estou fazendo é recorrente o
 seguinte tipo de raciocinio:
 Descobre-se que uma certa funcao desconhecida u(x,y)
 - R é constante em 
 cada circunferencia centrada na origem. Deduz-se dai
 que
 u(x,y) = f(x^2 + y^2) , onde f é uma funcao
 generica.
 Bom, pra mim é bem aceitavel esse fato, afinal se é
 constante em cada 
 circunferencia o valor de u só varia quando passamos
 para outra 
 circunferencia assim u é funcao de x^2 + y^2. O
 problema é que eu acho 
 esse meu argumento pouco preciso matematicamente.
 Alguem sabe como eu 
 demonstro (se precisar) tal fato?
 
 Obrigado
 -- 
 Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
 
 sin^2(X) is odious to me, even thoug Laplace made
 use of it; shoud it
 be feared that sin^2(x) might become ambiguous,
 which would perhaps
 never occur ... well then, let us write (sin(x))^2,
 but not sin^2(X), which
 by analogy should signify sin(sin(x))
 
 Carl Friedrich Gauss

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Re: [obm-l] funcao + geometria plana

[Eduardo Wilner]

   Emanuel

   Parece que vc. quer saber como chega na resposta,
pois vc. já a tem...
   O retângulo terá como lados aa próprias coordenadas
do ponto na reta dada (x,y) logo a área é dada por xy.
   Se vc. substituir y em função de x nesta última
expressão, terá a àrea em função de x, num binômio de
segundo gráu cujo máximo fornece a resposta.

Wilner
 
--- Emanuel Carlos de A. Valente
[EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Determine o retângulo de área máxima localizado no
 primeiro quadrante, com
 dois lados nos eixos cartesianos e um vértice na
 reta y=-4x+5.
 
 resp: retângulo de lados 5/8 e 5/2.
 
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[obm-l] funcao + geometria plana

[Emanuel Carlos de A. Valente]

Determine o retângulo de área máxima localizado no primeiro quadrante, com
dois lados nos eixos cartesianos e um vértice na reta y=-4x+5.

resp: retângulo de lados 5/8 e 5/2.

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Re: [obm-l] funcao continua

[Artur Costa Steiner]

Sejam x1 e x2 elementos de R^p. Para todo y de A, temos que d(x1,A) = ||x1
- y|| = ||x1 - x2|| + ||x2 - y||. Logo, d(x1,A) = inf{||x1 - x2|| + ||x2 -
y|| : y pertence a A} = ||x1 - x2|| + inf{||x2 - y|| : y pertence a A} =
||x1 - x2|| + d(x2,A), de modo que d(x1,A) - d(x2,A) = ||x1 - x2||. Como
desigualdade similar vale se permutarmos x1 e x2, temos que |d(x1,A) -
d(x2,A)| = ||x1 - x2||, o que mostra que a funcao d nao apenas eh continua,
mas, ateh mesmo, Lipschitz (logo, uniformrmente continua).
Esta conclusao independe de A ser aberto, fechado, ou o que quer que seja
(supondo-se A nao vazio).  

Como 0 2/3 1, 2/3)^n}M - 0 quando n - oo (Estou assumindo que M eh um
numero positivo fixo). A  condicao ||(gm) - (gn)||= {(2/3)^n}M para mn
implica entao, que se n for suficientemente grande e mn, o primeiro membro
da desigualdade torna-se tao proximo de 0 quanto se queira - justamente o
criterio de Cauchy para convergencia uniforme.
Artur

 


- Mensagem Original 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] funcao continua
Data: 29/11/04 16:04

Seja d{x,A}, definida em R^p e tomando valores em R , 
onde d{x,A} = inf{ ||x-y|| : y pert. a A} e A eh um subconj. fechado de R^p.
Prove que essa fç eh continua. 

Se (gk) eh uma seq. de funcoes tal que 
se m=n temos ||(gm) - (gn)||= {(2/3)^n}M explique pq o criterio de Cauchy
eh satisfeito e portanto a convergencia eh uniforme.

Desde jah agradeco

[]s


OPEN Internet e Informática
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Re: [obm-l] funcao periodica

[Claudio Buffara]

Uma curiosidade:

Desenhe o grafico das seguintes funcoes:

1) F: R - R dada por F(x) = arcsen(sen(x)).

2) G: R - R dada por G(x) = arcsen(sen(a*x)), onde a eh um numero real
arbitrario mas fixo.

3) H: R - R dada por H(x) = sen(b*arcsen(sen(x))), onde b eh um numero real
arbitrario mas fixo.

[]s,
Claudio.


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Re: [obm-l] funcao periodica

[Claudio Buffara]

Nao jogue o problema fora!

A unica parte esquisita eh quando voce fala do mmc de p e p1, jah que p e p1
podem ser irracionais, mas isso tem conserto.

Talvez a conclusao deva ser:
Se g(x) eh periodica, entao, de duas uma:
1) u(x) = k*x, com k um real fixo
ou
2) u(x) eh periodica de periodo p1 tal que p/p1 eh racional. Nesse caso,
qual a relacao entre o periodo de g, p e p1?

Uma ideia eh mudar o enunciado para Prove ou de um contra-exemplo.
Ou entao, deixar o problema mais interessante ainda:
Determine as condicoes necessarias e suficientes sobre u para que g seja
periodica.

[]s,
Claudio.

on 04.11.04 21:57, Demetrio Freitas at [EMAIL PROTECTED]
wrote:

 Pra falar a verdade, creio que esta tudo errado...
 
 --- Demetrio Freitas
 [EMAIL PROTECTED] escreveu:
 Sugiro uma variação do mesmo problema.
 
 Seja f(x) uma função contínua R-R, períodica de
 período p. 
 Seja g(x) = f(u(x))
 
 Mostre que g(x) só será periódica se u(x) = k*x ou
 se 
 u(x) for também periódica. E neste caso g(x) terá um
 período igual ao mmc entre p e p1,  onde p1 é o
 período de u(x).
 
 Considere que p/p1 é racional.
 


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=

Re: [obm-l] funcao periodica

[Claudio Buffara]

Acho que, infelizmente, o problema eh complicado mesmo.

Tome f(x) = cos(x) e u(x) = Pi*piso(x).

f eh continua e periodica, u nao eh linear nem periodica, mas g = fou eh
periodica de periodo 2.
g(x) = 1 para x com parte inteira par
g(x) = -1 para x com parte inteira impar.

[]s,
Claudio.

on 01.01.04 07:01, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Nao jogue o problema fora!
 
 A unica parte esquisita eh quando voce fala do mmc de p e p1, jah que p e p1
 podem ser irracionais, mas isso tem conserto.
 
 Talvez a conclusao deva ser:
 Se g(x) eh periodica, entao, de duas uma:
 1) u(x) = k*x, com k um real fixo
 ou
 2) u(x) eh periodica de periodo p1 tal que p/p1 eh racional. Nesse caso,
 qual a relacao entre o periodo de g, p e p1?
 
 Uma ideia eh mudar o enunciado para Prove ou de um contra-exemplo.
 Ou entao, deixar o problema mais interessante ainda:
 Determine as condicoes necessarias e suficientes sobre u para que g seja
 periodica.
 
 []s,
 Claudio.
 
 on 04.11.04 21:57, Demetrio Freitas at [EMAIL PROTECTED]
 wrote:
 
 Pra falar a verdade, creio que esta tudo errado...
 
 --- Demetrio Freitas
 [EMAIL PROTECTED] escreveu:
 Sugiro uma variação do mesmo problema.
 
 Seja f(x) uma função contínua R-R, períodica de
 período p. 
 Seja g(x) = f(u(x))
 
 Mostre que g(x) só será periódica se u(x) = k*x ou
 se 
 u(x) for também periódica. E neste caso g(x) terá um
 período igual ao mmc entre p e p1,  onde p1 é o
 período de u(x).
 
 Considere que p/p1 é racional.
 
 
 
 =
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 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] funcao periodica

[Artur Costa Steiner]

Eh complicado sim! Confesso-me enroladao! Eu nao estou certo se aquela
funcao do problema original nao pode mesmo existir.
Artur


 Mensagem Original 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] funcao periodica
Data: 05/11/04 14:50

Acho que, infelizmente, o problema eh complicado mesmo.

Tome f(x) = cos(x) e u(x) = Pi*piso(x).

f eh continua e periodica, u nao eh linear nem periodica, mas g = fou eh
periodica de periodo 2.
g(x) = 1 para x com parte inteira par
g(x) = -1 para x com parte inteira impar.

[]s,
Claudio.

on 01.01.04 07:01, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Nao jogue o problema fora!
 
 A unica parte esquisita eh quando voce fala do mmc de p e p1, jah que p e
p1
 podem ser irracionais, mas isso tem conserto.
 
 Talvez a conclusao deva ser:
 Se g(x) eh periodica, entao, de duas uma:
 1) u(x) = k*x, com k um real fixo
 ou
 2) u(x) eh periodica de periodo p1 tal que p/p1 eh racional. Nesse caso,
 qual a relacao entre o periodo de g, p e p1?
 
 Uma ideia eh mudar o enunciado para Prove ou de um contra-exemplo.
 Ou entao, deixar o problema mais interessante ainda:
 Determine as condicoes necessarias e suficientes sobre u para que g seja
 periodica.
 
 []s,
 Claudio.
 
 on 04.11.04 21:57, Demetrio Freitas at
[EMAIL PROTECTED]
 wrote:
 
 Pra falar a verdade, creio que esta tudo errado...
 
 --- Demetrio Freitas
 [EMAIL PROTECTED] escreveu:
 Sugiro uma variação do mesmo problema.
 
 Seja f(x) uma função contínua R-R, períodica de
 período p. 
 Seja g(x) = f(u(x))
 
 Mostre que g(x) só será periódica se u(x) = k*x ou
 se 
 u(x) for também periódica. E neste caso g(x) terá um
 período igual ao mmc entre p e p1, onde p1 é o
 período de u(x).
 
 Considere que p/p1 é racional.
 
 
 
 =
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 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] funcao periodica

[Demetrio Freitas]

Pois é... não sei se dá pra tirar alguma informação
útil disso tudo. Por enquanto eu conclui que basta
u(x) ser periódica para que g(x) também o seja:

g(x + n*p1) = f(u(x + n*p1)) = f(u(x)) = g(x)

Isso diz que g é períodica com período igual ou menor
do que p1. 

Porém não se pode afirmar muita coisa sobre o
(menor)período de g. No caso bonitinho, p de g é
igual a p1. Por exemplo, f(x) = x^3 e u(x) = sen(x).  
(sen(x))^3 tem o mesmo período de sen(x).

Porém isso não é verdade em vários casos, onde o
período de g é menor do que p1. Por exemplo:
(sen(x))^2 tem período igual a metade de sen(x).

E é claro que a coisa complica bem mais se f(x) for
também periódica com período pp1 


 --- Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
escreveu: 
 Eh complicado sim! Confesso-me enroladao! Eu nao
 estou certo se aquela
 funcao do problema original nao pode mesmo existir.
 Artur
 
 
  Mensagem Original 
 De: [EMAIL PROTECTED]
 Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
 Assunto: Re: [obm-l] funcao periodica
 Data: 05/11/04 14:50
 
 Acho que, infelizmente, o problema eh complicado
 mesmo.
 
 Tome f(x) = cos(x) e u(x) = Pi*piso(x).
 
 f eh continua e periodica, u nao eh linear nem
 periodica, mas g = fou eh
 periodica de periodo 2.
 g(x) = 1 para x com parte inteira par
 g(x) = -1 para x com parte inteira impar.
 
 []s,
 Claudio.
 
 on 01.01.04 07:01, Claudio Buffara at
 [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
  Nao jogue o problema fora!
  
  A unica parte esquisita eh quando voce fala do mmc
 de p e p1, jah que p e
 p1
  podem ser irracionais, mas isso tem conserto.
  
  Talvez a conclusao deva ser:
  Se g(x) eh periodica, entao, de duas uma:
  1) u(x) = k*x, com k um real fixo
  ou
  2) u(x) eh periodica de periodo p1 tal que p/p1 eh
 racional. Nesse caso,
  qual a relacao entre o periodo de g, p e p1?
  
  Uma ideia eh mudar o enunciado para Prove ou de
 um contra-exemplo.
  Ou entao, deixar o problema mais interessante
 ainda:
  Determine as condicoes necessarias e suficientes
 sobre u para que g seja
  periodica.
  
  []s,
  Claudio.
  
  on 04.11.04 21:57, Demetrio Freitas at
 [EMAIL PROTECTED]
  wrote:
  
  Pra falar a verdade, creio que esta tudo
 errado...
  
  --- Demetrio Freitas
  [EMAIL PROTECTED] escreveu:
  Sugiro uma variação do mesmo problema.
  
  Seja f(x) uma função contínua R-R, períodica de
  período p. 
  Seja g(x) = f(u(x))
  
  Mostre que g(x) só será periódica se u(x) = k*x
 ou
  se 
  u(x) for também periódica. E neste caso g(x)
 terá um
  período igual ao mmc entre p e p1, onde p1 é o
  período de u(x).
  
  Considere que p/p1 é racional.
  
  
  
 

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Re: [obm-l] funcao periodica

[Claudio Buffara]

Soh pra complicar mais ainda, tambem tem o caso onde nem f nem u sao
periodicas, mas g = fou eh periodica.
Por exemplo, u(x) = x^(1/3)  e  f(x) = cos(x^3).

on 05.11.04 18:42, Demetrio Freitas at [EMAIL PROTECTED]
wrote:

 Pois é... não sei se dá pra tirar alguma informação
 útil disso tudo. Por enquanto eu conclui que basta
 u(x) ser periódica para que g(x) também o seja:
 
 g(x + n*p1) = f(u(x + n*p1)) = f(u(x)) = g(x)
 
 Isso diz que g é períodica com período igual ou menor
 do que p1. 

u periodica eh uma condicao suficiente, mas nao necessaria, para que g = fou
seja periodica. Voce mesmo deu um exemplo da nao-necessidade: u(x) = kx.

O interessante eh achar alguma condicao necessaria.

 Porém não se pode afirmar muita coisa sobre o
 (menor)período de g. No caso bonitinho, p de g é
 igual a p1. Por exemplo, f(x) = x^3 e u(x) = sen(x).
 (sen(x))^3 tem o mesmo período de sen(x).
 
 Porém isso não é verdade em vários casos, onde o
 período de g é menor do que p1. Por exemplo:
 (sen(x))^2 tem período igual a metade de sen(x).

Esse eh outro problema: dada u periodica de periodo p1, o que podemos dizer
sobre o periodo de fou?
 
Seja m o periodo fundamental de g
g(x + p1) = f(u(x + p1)) = f(u(x)) = g(x) == p1/m eh inteiro

Quais as condicoes sobre f para termos p1/m = 1 ou 2 ou 3 ou ... ?

 E é claro que a coisa complica bem mais se f(x) for
 também periódica com período pp1 

Nao tenho certeza. Acho que se resolvermos o problema acima, esse tambem
fica resolvido.

 
 --- Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
 escreveu: 
 Eh complicado sim! Confesso-me enroladao! Eu nao
 estou certo se aquela
 funcao do problema original nao pode mesmo existir.
 Artur
 
 
  Mensagem Original 
 De: [EMAIL PROTECTED]
 Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
 Assunto: Re: [obm-l] funcao periodica
 Data: 05/11/04 14:50
 
 Acho que, infelizmente, o problema eh complicado
 mesmo.
 
 Tome f(x) = cos(x) e u(x) = Pi*piso(x).
 
 f eh continua e periodica, u nao eh linear nem
 periodica, mas g = fou eh
 periodica de periodo 2.
 g(x) = 1 para x com parte inteira par
 g(x) = -1 para x com parte inteira impar.
 
 []s,
 Claudio.
 
 on 01.01.04 07:01, Claudio Buffara at
 [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
 Nao jogue o problema fora!
 
 A unica parte esquisita eh quando voce fala do mmc
 de p e p1, jah que p e
 p1
 podem ser irracionais, mas isso tem conserto.
 
 Talvez a conclusao deva ser:
 Se g(x) eh periodica, entao, de duas uma:
 1) u(x) = k*x, com k um real fixo
 ou
 2) u(x) eh periodica de periodo p1 tal que p/p1 eh
 racional. Nesse caso,
 qual a relacao entre o periodo de g, p e p1?
 
 Uma ideia eh mudar o enunciado para Prove ou de
 um contra-exemplo.
 Ou entao, deixar o problema mais interessante
 ainda:
 Determine as condicoes necessarias e suficientes
 sobre u para que g seja
 periodica.
 
 []s,
 Claudio.
 
 on 04.11.04 21:57, Demetrio Freitas at
 [EMAIL PROTECTED]
 wrote:
 
 Pra falar a verdade, creio que esta tudo
 errado...
 
 --- Demetrio Freitas
 [EMAIL PROTECTED] escreveu:
 Sugiro uma variação do mesmo problema.
 
 Seja f(x) uma função contínua R-R, períodica de
 período p. 
 Seja g(x) = f(u(x))
 
 Mostre que g(x) só será periódica se u(x) = k*x
 ou
 se 
 u(x) for também periódica. E neste caso g(x)
 terá um
 período igual ao mmc entre p e p1, onde p1 é o
 período de u(x).
 
 Considere que p/p1 é racional.
 
 


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Re: [obm-l] funcao periodica

[Artur Costa Steiner]

Voltando um pouco ao problema original. Tinhamos que f era continua e
periodica em R com periodo fundamental p0, o que implica automaticamente
que f nao seja constante. A afirmacao era que, se g(x) = f(x^2) for
periodica (assumindo que esta g exista, o que eu decididamente nao sei),
entao f(2raiz(p)) = f(0). Eu cheguei a um resultado mais geral, embora
atraves de um processo um tanto estranho.
Sabemos que se uma funcao for continua e periodica em R, entao esta funcao
eh uniformemente continua; sabemos tambem que composicoes de funcoes
continuas sao continuas. Logo, g eh continua em R, o que implica, pelo fato
de ser periodica, que eh uniform. continua. Isto acarreta que, se u_n e v_n
sao sequencias em R tais que (u_n - v_n) -0, entao (g(u_n) - g(v_n)) - 0. 
Para k inteiro positivo, definamos u_n = raiz(k*n*p) + 1/raiz(n) e v_n =
raiz(k*n*p). Entao, u_n - v_n = 1/raiz(n) - 0. Para todo n, g(u_n) =
f(u_n^2) = f(k*n*p + 2raiz(k*p) + 1/n) = f(2raiz(k*p) + 1/n), pois k*n*p eh
sempre multiplo inteiro de p. Temos que (2raiz(k*p) + 1/n) - 2raiz(k*p), e
como f eh continua, segue-se que g(u_n) = f(2raiz(k*p) + 1/n) -
f(2raiz(k*p).
Por outro lado, temos que g(v_n) = f(v_n^2) = f(k*n*p) = = f(p) = f(0). Mas
como g eh continua eh periodica, logo uniform. continua, temos
necessariamente que g(u_n) - g(v(n)) - 0, o que implica, dado que estas
duas seqs. convergem, que 
f(2raiz(k*p)) = f(0), igualdade valida para todo inteiro positivo k. Isto
representa alguma contradicao?
Artur


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Re: [obm-l] funcao periodica

[Claudio Buffara]

on 05.11.04 20:09, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Voltando um pouco ao problema original. Tinhamos que f era continua e
 periodica em R com periodo fundamental p0, o que implica automaticamente
 que f nao seja constante. A afirmacao era que, se g(x) = f(x^2) for
 periodica (assumindo que esta g exista, o que eu decididamente nao sei),
 entao f(2raiz(p)) = f(0). Eu cheguei a um resultado mais geral, embora
 atraves de um processo um tanto estranho.
 Sabemos que se uma funcao for continua e periodica em R, entao esta funcao
 eh uniformemente continua; sabemos tambem que composicoes de funcoes
 continuas sao continuas. Logo, g eh continua em R, o que implica, pelo fato
 de ser periodica, que eh uniform. continua. Isto acarreta que, se u_n e v_n
 sao sequencias em R tais que (u_n - v_n) -0, entao (g(u_n) - g(v_n)) - 0.
 Para k inteiro positivo, definamos u_n = raiz(k*n*p) + 1/raiz(n) e v_n =
 raiz(k*n*p). Entao, u_n - v_n = 1/raiz(n) - 0. Para todo n, g(u_n) =
 f(u_n^2) = f(k*n*p + 2raiz(k*p) + 1/n) = f(2raiz(k*p) + 1/n), pois k*n*p eh
 sempre multiplo inteiro de p. Temos que (2raiz(k*p) + 1/n) - 2raiz(k*p), e
 como f eh continua, segue-se que g(u_n) = f(2raiz(k*p) + 1/n) -
 f(2raiz(k*p).
 Por outro lado, temos que g(v_n) = f(v_n^2) = f(k*n*p) = = f(p) = f(0). Mas
 como g eh continua eh periodica, logo uniform. continua, temos
 necessariamente que g(u_n) - g(v(n)) - 0, o que implica, dado que estas
 duas seqs. convergem, que
 g(2raiz(k*p)) = g(0), igualdade valida para todo inteiro positivo k. Isto
 representa alguma contradicao?
 Artur
 
Nao ha contradicao. Voce provou que se g existe entao g(2*raiz(k*p)) = g(0).
O fato de g nao existir nao invalida o seu argumento, pois cada passo
decorre logicamente do anterior (pelo menos eu nao vi nenhum erro).
Alem disso, se g nao existir (o que eu acredito ter provado), o resultado
serah automaticamente verdadeiro, pois qualquer sentenca condicional (ou
seja, do tipo p == q) com antecedente falso eh verdadeira.

Por exemplo, os matematicos conhecem varios teoremas do tipo:
se a hipotese de Riemann eh verdadeira, entao ...
ou
se existe algum numero perfeito impar, entao ...
os quais sao perfeitamente validos, apesar de nao se saber se a hipotese de
Riemann eh verdadeira ou se realmente existe algum numero perfeito impar.

[]s,
Claudio.

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Re: [obm-l] funcao periodica

[Artur Costa Steiner]

Eu estou um tanto enrolado. O fato de que f(x^2 + m*(2x+m)) = f(x^2) para
todo real x tem que implicar que m*(2x+m) seja um multiplo inteiro de p? Se
h(x + u(x)) = h(x) para todo real x, sendo h e u funcoes de x, implica que u
tenha que ser constante e igual a algum periodo de h?
Artur 

- Mensagem Original 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] funcao periodica
Data: 03/11/04 17:04

Eu acho que g nao pode ser periodica.

Suponha que g seja periodica com periodo fundamental m  0.
Entao, para todo x real, g(x+m) = g(x) ==
f((x+m)^2) = f(x^2) ==
f(x^2 + m*(2x+m)) = f(x^2) ==
m*(2x+m)/p eh inteiro para todo x real ==
contradicao.

[]s,
Claudio.


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Re: [obm-l] funcao periodica

[Demetrio Freitas]

Sugiro uma variação do mesmo problema.

Seja f(x) uma função contínua R-R, períodica de
período p. 
Seja g(x) = f(u(x)) 

Mostre que g(x) só será periódica se u(x) = k*x ou se 
u(x) for também periódica. E neste caso g(x) terá um
período igual ao mmc entre p e p1,  onde p1 é o
período de u(x). 

Considere que p/p1 é racional.

 
  Eu estou um tanto enrolado. O fato de que f(x^2 +
 m*(2x+m)) = f(x^2) para
  todo real x tem que implicar que m*(2x+m) seja um
 multiplo inteiro de p?
 
 Eu diria que sim, já que f é periódica com período
 fundamental p e x é arbitrário.
 Repare que m*(2x + m) não precisa ser um múltiplo
 constante de p mas, para todo x, m*(2x + m) precisa
 ser igual a algum múltiplo inteiro de p e isso é
 impossível, pois a função u:R - R dada por u(x) =
 m*(2x + m)/p é uma bijeção. Logo, não pode assumir
 apenas valores inteiros.
 
  h(x + u(x)) = h(x) para todo real x, sendo h e u
 funcoes de x, implica que u
  tenha que ser constante e igual a algum periodo de
 h?
 
 Não. Por exemplo, tome h(x) = sen(x) e u(x) =
 2*Pi*piso(x).
 
  Artur
 
  - Mensagem Original 
  De: [EMAIL PROTECTED]
  Para: [EMAIL PROTECTED]
  Assunto: Re: [obm-l] funcao periodica
  Data: 03/11/04 17:04
 
  Eu acho que g nao pode ser periodica.
 
  Suponha que g seja periodica com periodo
 fundamental m  0.
  Entao, para todo x real, g(x+m) = g(x) ==
  f((x+m)^2) = f(x^2) ==
  f(x^2 + m*(2x+m)) = f(x^2) ==
  m*(2x+m)/p eh inteiro para todo x real ==
  contradicao.
 
  []s,
  Claudio.
 
   





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Re: [obm-l] funcao periodica

[Demetrio Freitas]

Desculpem, acho que o enunciado anterior tem erro:
Se p1  p o período final é igual a p1.  

 --- Demetrio Freitas
[EMAIL PROTECTED] escreveu: 
 Sugiro uma variação do mesmo problema.
 
 Seja f(x) uma função contínua R-R, períodica de
 período p. 
 Seja g(x) = f(u(x)) 
 
 Mostre que g(x) só será periódica se u(x) = k*x ou
 se 
 u(x) for também periódica. E neste caso g(x) terá um
 período igual ao mmc entre p e p1,  onde p1 é o
 período de u(x). 
 
 Considere que p/p1 é racional.
 
  
   Eu estou um tanto enrolado. O fato de que f(x^2
 +
  m*(2x+m)) = f(x^2) para
   todo real x tem que implicar que m*(2x+m) seja
 um
  multiplo inteiro de p?
  
  Eu diria que sim, já que f é periódica com período
  fundamental p e x é arbitrário.
  Repare que m*(2x + m) não precisa ser um múltiplo
  constante de p mas, para todo x, m*(2x + m)
 precisa
  ser igual a algum múltiplo inteiro de p e isso é
  impossível, pois a função u:R - R dada por u(x) =
  m*(2x + m)/p é uma bijeção. Logo, não pode assumir
  apenas valores inteiros.
  
   h(x + u(x)) = h(x) para todo real x, sendo h e u
  funcoes de x, implica que u
   tenha que ser constante e igual a algum periodo
 de
  h?
  
  Não. Por exemplo, tome h(x) = sen(x) e u(x) =
  2*Pi*piso(x).
  
   Artur
  
   - Mensagem Original 
   De: [EMAIL PROTECTED]
   Para: [EMAIL PROTECTED]
   Assunto: Re: [obm-l] funcao periodica
   Data: 03/11/04 17:04
  
   Eu acho que g nao pode ser periodica.
  
   Suponha que g seja periodica com periodo
  fundamental m  0.
   Entao, para todo x real, g(x+m) = g(x) ==
   f((x+m)^2) = f(x^2) ==
   f(x^2 + m*(2x+m)) = f(x^2) ==
   m*(2x+m)/p eh inteiro para todo x real ==
   contradicao.
  
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   Claudio.
  

 
 
   
   
   

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Re: [obm-l] funcao periodica

[Demetrio Freitas]

Pra falar a verdade, creio que esta tudo errado...

 --- Demetrio Freitas
[EMAIL PROTECTED] escreveu: 
 Sugiro uma variação do mesmo problema.
 
 Seja f(x) uma função contínua R-R, períodica de
 período p. 
 Seja g(x) = f(u(x)) 
 
 Mostre que g(x) só será periódica se u(x) = k*x ou
 se 
 u(x) for também periódica. E neste caso g(x) terá um
 período igual ao mmc entre p e p1,  onde p1 é o
 período de u(x). 
 
 Considere que p/p1 é racional.
 
  
   Eu estou um tanto enrolado. O fato de que f(x^2
 +
  m*(2x+m)) = f(x^2) para
   todo real x tem que implicar que m*(2x+m) seja
 um
  multiplo inteiro de p?
  
  Eu diria que sim, já que f é periódica com período
  fundamental p e x é arbitrário.
  Repare que m*(2x + m) não precisa ser um múltiplo
  constante de p mas, para todo x, m*(2x + m)
 precisa
  ser igual a algum múltiplo inteiro de p e isso é
  impossível, pois a função u:R - R dada por u(x) =
  m*(2x + m)/p é uma bijeção. Logo, não pode assumir
  apenas valores inteiros.
  
   h(x + u(x)) = h(x) para todo real x, sendo h e u
  funcoes de x, implica que u
   tenha que ser constante e igual a algum periodo
 de
  h?
  
  Não. Por exemplo, tome h(x) = sen(x) e u(x) =
  2*Pi*piso(x).
  
   Artur
  
   - Mensagem Original 
   De: [EMAIL PROTECTED]
   Para: [EMAIL PROTECTED]
   Assunto: Re: [obm-l] funcao periodica
   Data: 03/11/04 17:04
  
   Eu acho que g nao pode ser periodica.
  
   Suponha que g seja periodica com periodo
  fundamental m  0.
   Entao, para todo x real, g(x+m) = g(x) ==
   f((x+m)^2) = f(x^2) ==
   f(x^2 + m*(2x+m)) = f(x^2) ==
   m*(2x+m)/p eh inteiro para todo x real ==
   contradicao.
  
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[obm-l] funcao periodica

[Artur Costa Steiner]

Eu encontrei o seguinte problema: seja f continua e
periodica em R, com periodo fundamental p0. Mostre
que, se g(x) = f(x^2) tambem for periodica em R, entao
f(2*raiz(p)) = f(0). Eu consegui dar uma demonstracao
um tanto estranha, mas partindo do principio de que
existe esta funcao g. Estou na duvida. Nas condicoes
dadas, eh possivel que f(x^2) seja periodica?
Artur



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Re: [obm-l] funcao periodica

[Claudio Buffara]

on 03.11.04 14:16, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Eu encontrei o seguinte problema: seja f continua e
 periodica em R, com periodo fundamental p0. Mostre
 que, se g(x) = f(x^2) tambem for periodica em R, entao
 f(2*raiz(p)) = f(0). Eu consegui dar uma demonstracao
 um tanto estranha, mas partindo do principio de que
 existe esta funcao g. Estou na duvida. Nas condicoes
 dadas, eh possivel que f(x^2) seja periodica?
 Artur
 
Eu acho que g nao pode ser periodica.

Suponha que g seja periodica com periodo fundamental m  0.
Entao, para todo x real, g(x+m) = g(x) ==
f((x+m)^2) = f(x^2) ==
f(x^2 + m*(2x+m)) = f(x^2) ==
m*(2x+m)/p eh inteiro para todo x real ==
contradicao.

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Claudio.


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Re: [obm-l] funcao periodica

[Demetrio Freitas]

 --- Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
escreveu: 
 Eu encontrei o seguinte problema: seja f continua e
 periodica em R, com periodo fundamental p0. Mostre
 que, se g(x) = f(x^2) tambem for periodica em R,
 entao
 f(2*raiz(p)) = f(0). Eu consegui dar uma
 demonstracao
 um tanto estranha, mas partindo do principio de que
 existe esta funcao g. Estou na duvida. Nas condicoes
 dadas, eh possivel que f(x^2) seja periodica?
 Artur
 

Não sei se entendi bem, e  estou achando o meu
raciocinio meio simplório, mas creio que g(x) não é
periódica.
Digamos que g(x) seja periódica de período A. 
Então g(x+A) = g(x), para todo x 

g(x) pode ser expressa em termos de f(x), que é
periódica de período p, então:
f((x+A)^2) = f(x^2) = f(x^2 + p). Mas, se f(x) 
constante, isto só  valerá para todo x 
se (x+A)^2 = x^2 + p

x^2 +2xA +A^2 = x^2 + p
2xA +A^2 = p
A(2x + A) = p

A expressão acima mostra que A depende de x, isto é, o
período que nós encontramos é varíável, portanto, g(x)
não é periódica.

sds,





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[obm-l] Funcao descontinua em um intervalo

[Artur Costa Steiner]

Hah alguns dias eu mandei uma mensagem para a lista, perguntando se poderia
existir uma funcao f, definida em um intervalo aberto de R, que apresentasse
limite em todos os pontos de I mas fosse decontinua em todo o I. 
Eu acabei achando algum material sobre isso. A resposta eh nao. Se esta
condicao ocorrer para algum intervalo I, qualquer intervalo, entao o
conjunto das descontinuidades de f em I eh enumeravel e nao pode, portanto,
se igualar a I. 
Artur



OPEN Internet e Informática
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Funcao descontinua em todo um conjunto

[Artur Costa Steiner]

Serah que eh possivel existir uma funcao definida em um intervalo aberto
I de R, com valores em R, que apresente limite em todos os elementos de I
mas seja descontinua em todo o I?Eu acho que nao mas ainda nao achei uma
prova incontestavel.Artur


OPEN Internet e Informática
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Funcao exponencial - logaritmos

[Daniel S. Braz]

Pessoal,

Alguem saberia resolver esta questão SEM o uso de Logaritmos??

ITA 93
Um acidente foi presenciado por 1/65 da população de Votuporanga (SP).
O número de pessoas que soube do acontecimento t horas após, é dado
por: f(t) = B/[1+C.e^(-kt)]
onde B é a população da cidade. Sabendo que 1/9 da população soube do
acidente 3 horas após, então calcule o tempo que passou até que 1/5 da
população soubesse da notícia

f(t) = B/[1+C.e^(-kt)]

f(0) = B/[1+C.e^(-0k)] = B/65

   65 = 1+C
   C = 64

f(3) = B/[1+64.e^(-3k)] = B/9

   9 = 1+64.e^(-3k)
   8 = 64.e^(-3k)
   1/8 = e^(-3k)
   2^(-3) = e^k(-3)
   e^k = 2 -- Só consigo sair com usando log :(

[]s
daniel

-- 
Uma das coisas notáveis acerca do comportamento do Universo é que ele
parece fundamentar-se na Matemática num grau totalmente
extraordinário. Quanto mais profundamente entramos nas leis da
Natureza, mais parece que o mundo físico quase se evapora e ficamos
com a Matemática. Quanto mais profundamente entendemos a Natureza,
mais somos conduzidos para dentro desse mundo da Matemática e de
conceitos matemáticos. (Roger Penrose)

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Funcao exponencial - logaritmos

[Leandro Lacorte Recova]

Acho que o objetivo da questao era esse mesmo !! Usar logaritmo. 

-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Daniel S. Braz
Sent: Friday, September 17, 2004 9:39 AM
To: OBM-L
Subject: [obm-l] Funcao exponencial - logaritmos

Pessoal,

Alguem saberia resolver esta questão SEM o uso de Logaritmos??

ITA 93
Um acidente foi presenciado por 1/65 da população de Votuporanga (SP).
O número de pessoas que soube do acontecimento t horas após, é dado
por: f(t) = B/[1+C.e^(-kt)]
onde B é a população da cidade. Sabendo que 1/9 da população soube do
acidente 3 horas após, então calcule o tempo que passou até que 1/5 da
população soubesse da notícia

f(t) = B/[1+C.e^(-kt)]

f(0) = B/[1+C.e^(-0k)] = B/65

   65 = 1+C
   C = 64

f(3) = B/[1+64.e^(-3k)] = B/9

   9 = 1+64.e^(-3k)
   8 = 64.e^(-3k)
   1/8 = e^(-3k)
   2^(-3) = e^k(-3)
   e^k = 2 -- Só consigo sair com usando log :(

[]s
daniel

-- 
Uma das coisas notáveis acerca do comportamento do Universo é que ele
parece fundamentar-se na Matemática num grau totalmente
extraordinário. Quanto mais profundamente entramos nas leis da
Natureza, mais parece que o mundo físico quase se evapora e ficamos
com a Matemática. Quanto mais profundamente entendemos a Natureza,
mais somos conduzidos para dentro desse mundo da Matemática e de
conceitos matemáticos. (Roger Penrose)

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] funcao e trigonometria

[Henrique Patrício Sant'Anna Branco]

Como ninguém respondeu...

A soma da raízes da equação sen^2(x) - sen(x) = 0, para  0 =  x = Pi , é
igual a:

Faça sen^2(x) - sen(x) = sen(x)*(sen(x) - 1) = 0
Agora temos que sen(x) = 0 ou sen(x) - 1 = 0 = sen(x) = 1
Pra x em [0,Pi], temos x = 0, x = Pi e x = Pi/2.

A outra é mais chatinha... Tem que usar a fórmula do vértice da parábola.
a tem que ser positivo e o vértice, maior ou igual a zero nas duas
coordenadas. Tente.

Henrique.


- Original Message - 
From: Guilherme Teles [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, April 18, 2004 11:10 PM
Subject: [obm-l] funcao e trigonometria


Que valores deve apresentar o coeficiente a da função f(x) = ax2 - 2x + 1,
para que ela tenha concavidade voltada para cima e vértice no 1º quadrante?

A soma da raízes da equação sen2 x - sen x = 0, para  0  x , é igual a

alguem sabe essas

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] funcao e trigonometria

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

Eh uma conspiraçao de todos contra mim, para que eu me sinta senil? Eu vi na 
lista, na semana passada as soluçoes dos dois problemas!
Morgado

==
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-- Original Message ---
From: Henrique Patrício Sant'Anna Branco [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Mon, 19 Apr 2004 17:44:05 -0300
Subject: Re: [obm-l] funcao e trigonometria

 Como ninguém respondeu...
 
 A soma da raízes da equação sen^2(x) - sen(x) = 0, para  0 =  x = 
 Pi , é igual a:
 
 Faça sen^2(x) - sen(x) = sen(x)*(sen(x) - 1) = 0
 Agora temos que sen(x) = 0 ou sen(x) - 1 = 0 = sen(x) = 1
 Pra x em [0,Pi], temos x = 0, x = Pi e x = Pi/2.
 
 A outra é mais chatinha... Tem que usar a fórmula do vértice da parábola.
 a tem que ser positivo e o vértice, maior ou igual a zero nas duas
 coordenadas. Tente.
 
 Henrique.
 
 - Original Message - 
 From: Guilherme Teles [EMAIL PROTECTED]
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Sent: Sunday, April 18, 2004 11:10 PM
 Subject: [obm-l] funcao e trigonometria
 
 Que valores deve apresentar o coeficiente a da função f(x) = ax2 - 
 2x + 1, para que ela tenha concavidade voltada para cima e vértice 
 no 1º quadrante?
 
 A soma da raízes da equação sen2 x - sen x = 0, para  0  x , é igual a
 
 alguem sabe essas
 
 =
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 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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--- End of Original Message ---

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=

Re: [obm-l] funcao e trigonometria

[Henrique Patrício Sant'Anna Branco]

Desculpe, Morgado, não tenho acompanhado fielmente a lista por pura falta de
tempo.
Passo o olho por cima de umas coisas e só...

Henrique.

- Original Message - 
From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, April 19, 2004 9:12 PM
Subject: Re: [obm-l] funcao e trigonometria


 Eh uma conspiraçao de todos contra mim, para que eu me sinta senil? Eu vi
na
 lista, na semana passada as soluçoes dos dois problemas!
 Morgado

 ==
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 -- Original Message ---
 From: Henrique Patrício Sant'Anna Branco [EMAIL PROTECTED]
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Sent: Mon, 19 Apr 2004 17:44:05 -0300
 Subject: Re: [obm-l] funcao e trigonometria

  Como ninguém respondeu...
 
  A soma da raízes da equação sen^2(x) - sen(x) = 0, para  0 =  x =
  Pi , é igual a:
 
  Faça sen^2(x) - sen(x) = sen(x)*(sen(x) - 1) = 0
  Agora temos que sen(x) = 0 ou sen(x) - 1 = 0 = sen(x) = 1
  Pra x em [0,Pi], temos x = 0, x = Pi e x = Pi/2.
 
  A outra é mais chatinha... Tem que usar a fórmula do vértice da
parábola.
  a tem que ser positivo e o vértice, maior ou igual a zero nas duas
  coordenadas. Tente.
 
  Henrique.
 
  - Original Message - 
  From: Guilherme Teles [EMAIL PROTECTED]
  To: [EMAIL PROTECTED]
  Sent: Sunday, April 18, 2004 11:10 PM
  Subject: [obm-l] funcao e trigonometria
 
  Que valores deve apresentar o coeficiente a da função f(x) = ax2 -
  2x + 1, para que ela tenha concavidade voltada para cima e vértice
  no 1º quadrante?
 
  A soma da raízes da equação sen2 x - sen x = 0, para  0  x , é igual a
 
  alguem sabe essas
 
 
=
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 
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 --- End of Original Message ---

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=

[obm-l] funcao e trigonometria

[Guilherme Teles]

Que 
valores deve apresentar o coeficiente a da função f(x) = ax2  2x + 1, para 
que ela tenha concavidade voltada para cima e vértice no 1º 
quadrante?

A 
soma da raízes da equação sen2 x  sen x = 0, 
para 0 x 
, é igual a

alguem 
sabe essas
clip_image002.gifclip_image004.gif

RES: [obm-l] funcao e trigonometria

[Virgílio Castelo Branco]

1) Para que a parábola tenha concavidade para cima, a  0

Para que
o vértice pertença ao 1º quadrante, o X(vértice)  0 e o Y(vértice)  0

Xv =
-b/2a = 1/a 0, portanto a tem que ser 0

Yv = -(b^2
- 4ac)/4a = -(4 - 4a/4a) = a - 1/a 0

Como a 
0

a - 1
0

a  1



2)sen^2x
 senx = 0

senx (senx
 1) =0

senx = 0
ou (senx - 1)=0

senx = 0
ou senx =1

No
intervalo fechado [0 , pi], as raízes são x=0 , x=pi/2 e x =pi.

Portanto
a soma das raízes é 3pi/2













De:
[EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Guilherme Teles
Enviada em: domingo, 18 de abril
de 2004 23:11
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] funcao e
trigonometria







Que valores deve apresentar o coeficiente a da função f(x) = ax2  2x + 1, para
que ela tenha concavidade voltada para cima e vértice no 1º quadrante?











A soma da raízes da equação sen2
x  sen x = 0, para  0  x , é igual a











alguem sabe essas








image002.gifimage001.gif

[obm-l] Funcao composta!

[Fabio Contreiras]

ola pessoal...
nao to conseguindo chegar em f(x), so consigo 
quando rola que tenho que igualar f(x) = ax + b

esse aki tem funcao do 2o grau...
como chego nela?
abracos!


2 ) Se f ( g ( x ) ) = 4 x2 - 8x + 
6 e g ( x ) = 2x - 1, então f ( 2 ) é igual a:

Re: [obm-l] Funcao composta!

[Ricardo Bittencourt]

Fabio Contreiras wrote:
2 )  Se f ( g ( x ) ) = 4 x^2 - 8x + 6 e g ( x ) = 2x - 1, então f ( 2 ) 
é igual a:
Ué, se você quer calcular f(2) tendo f(g(x)), então
você tira o x fazendo g(x)=2 = 2x-1=2 = 2x=3 = x=3/2
	Daí f(g(x))=4x^2-8x+6 calculada em x=3/2 dá

f(2)=4*(3/2)^2-8*(3/2)+6=9-12+6=3
f(2)=3

Ricardo Bittencourt   http://www.mundobizarro.tk
[EMAIL PROTECTED]   tenki ga ii kara sanpo shimashou
-- União contra o forward - crie suas proprias piadas --
=
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=

Re: [obm-l] Funcao composta!

[Rafael]

Fábio,

Para a questão, a sua dificuldade não tem importância, mas, para você, creio
que sim. Assim, vou mostrar duas formas:

Você pode encontrar f(x), o que é mais trabalhoso:

f(g(x)) = 4x^2 - 8x + 6
g(x) = 2x - 1

f(2x-1) = 4x^2 - 8x + 6

t = 2x - 1 == x = (t+1)/2

f(2*(t+1)/2 - 1) = 4((t+1)/2)^2 - 8(t+1)/2 + 6
f(t) = (t+1)^2 - 4(t+1) + 6
f(x) = x^2 + 2x + 1 - 4x - 4 + 6 = x^2 - 2x + 3

f(2) = 2^2 - 2*2 + 3 = 4 - 4 + 3 = 3


Ou ainda, mais rapidamente,

f(g(x)) = 4x^2 - 8x + 6
g(x) = 2x - 1

g(x) = 2x - 1 = 2 == x = 3/2

f(g(3/2)) = f(2) = 4(3/2)^2 - 8(3/2) + 6 = 9 - 12 + 6 = 3


Abraços,

Rafael de A. Sampaio



- Original Message -
From: Fabio Contreiras
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, April 03, 2004 7:12 PM
Subject: [obm-l] Funcao composta!


ola pessoal...
nao to conseguindo chegar em f(x), so consigo quando rola que tenho que
igualar f(x) = ax + b

esse aki tem funcao do 2o grau...
como chego nela?

abracos!


2 )  Se f ( g ( x ) ) = 4 x2 - 8x + 6 e g ( x ) = 2x - 1, então f ( 2 ) é
igual a:

=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] funcao geradora de momentos

[Henrique Patrício Sant'Anna Branco]

Morgado,

Realmente. Respondi correndo e acabei falando besteira.
Peço desculpas.

Henrique.

- Original Message - 
From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, March 27, 2004 9:38 PM
Subject: Re: [obm-l] funcao geradora de momentos


 Henrique,
 não é isso não.
 Dê uma olhada na resposta do Claudio.
 []s
 Morgado

=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] funcao geradora de momentos

[Henrique Patrício Sant'Anna Branco]

 É faz sentido mas eu não estou conseguindo entender completamente isto.
 A funcao de distruição de probabilidade que voce diz é a density
 function que escrevem os livros ingles?

A função densidade de probabilidade é pra variáveis contínuas. A função
distribuição de probabilidade é sua análoga para variáveis aleatórias
discretas

=
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=

Re: [obm-l] funcao geradora de momentos

[Claudio Buffara]

 É faz sentido mas eu não estou conseguindo entender completamente isto.
 A funcao de distruição de probabilidade que voce diz é a density
 function que escrevem os livros ingles?

Oi, Niski:
 
Sem sofisticar muito, acho que pra maioria dos problemas (de um livro como o
Ross, por exemplo) dah pra usar as seguintes definicoes:

Funcao Distribuicao de Probabilidade de uma Variavel Aleatoria X:
F: R - [0,1] dada por F(x) = Prob(X = x)

Para Variaveis Aleatorias Continuas (dominio = R):
Funcao Densidade de Probabilidade de X:
f(x) = F'(x) = dF(x)/dx,
de modo que F(x) = Integral(-infinito...x) f(t)*dt

Para Variaveis Aleatorias Discretas (dominio = Z):
Funcao Densidade de Probabilidade de X:
f(n) = Prob(X = n), de modo que:
F(n) = Soma(-infinito = k = n) f(k)

Os casos mais patologicos (onde f nao eh Riemann-integravel ou F nao eh
derivavel) voce trata a medida em que eles forem surgindo...

[]s,
Claudio.


=
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=

Re: [obm-l] funcao geradora de momentos

[niski]

Obrigado Claudio. Espero agora nao precisar mais perguntar essas 
definicoes já que nesse exato momento estou segurando um exemplar do 
livro do Ross que tive que comprar. Ai ai minhas economias :(

Claudio Buffara wrote:

É faz sentido mas eu não estou conseguindo entender completamente isto.
A funcao de distruição de probabilidade que voce diz é a density
function que escrevem os livros ingles?
Oi, Niski:
 
Sem sofisticar muito, acho que pra maioria dos problemas (de um livro como o
Ross, por exemplo) dah pra usar as seguintes definicoes:

Funcao Distribuicao de Probabilidade de uma Variavel Aleatoria X:
F: R - [0,1] dada por F(x) = Prob(X = x)
Para Variaveis Aleatorias Continuas (dominio = R):
Funcao Densidade de Probabilidade de X:
f(x) = F'(x) = dF(x)/dx,
de modo que F(x) = Integral(-infinito...x) f(t)*dt
Para Variaveis Aleatorias Discretas (dominio = Z):
Funcao Densidade de Probabilidade de X:
f(n) = Prob(X = n), de modo que:
F(n) = Soma(-infinito = k = n) f(k)
Os casos mais patologicos (onde f nao eh Riemann-integravel ou F nao eh
derivavel) voce trata a medida em que eles forem surgindo...
[]s,
Claudio.
=
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=

--
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
[upon losing the use of his right eye]
Now I will have less distraction
Leonhard Euler
=
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=

Re: [obm-l] funcao geradora de momentos

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

Henrique,
não é isso não.
Dê uma olhada na resposta do Claudio.
[]s
Morgado

==
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-- Original Message ---
From: Henrique Patrício Sant'Anna Branco [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sat, 27 Mar 2004 11:31:26 -0300
Subject: Re: [obm-l] funcao geradora de momentos

  É faz sentido mas eu não estou conseguindo entender completamente isto.
  A funcao de distruição de probabilidade que voce diz é a density
  function que escrevem os livros ingles?
 
 A função densidade de probabilidade é pra variáveis contínuas. A função
 distribuição de probabilidade é sua análoga para variáveis aleatórias
 discretas
 
 =
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--- End of Original Message ---

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=

Re: [obm-l] funcao geradora de momentos

[Domingos Jr.]

 Domingos voce estaria interessado em vender este livro? O Xerox eu já
 teria como conseguir com meus colegas de classe.

posso te emprestar por um tempo (curto), até você conseguir comprá-lo, mas
não penso em vendê-lo.

[ ]'s

=
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Re: [obm-l] funcao geradora de momentos

[niski]

É faz sentido mas eu não estou conseguindo entender completamente isto.
A funcao de distruição de probabilidade que voce diz é a density 
function que escrevem os livros ingles?
Qual é a definicao de funcao de distribuicao de probabilidade que voce 
usou pra chegar nos resultados? Me desculpe se a pergunta é boba, eu 
ando me confundido muito com isso por falta de uma boa referencia.

obrigado

A função de dstribuição de probabilidade de X_Y é (1-p)*f_0+p*f_1, onde f_0 e 
f_1 são as funções de distribuição de probabilidade de X_0 e X_1.


--
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
[upon losing the use of his right eye]
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Leonhard Euler
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=

[obm-l] funcao geradora de momentos

[niski]

Pessoal, infelizmente não consigo uma boa referencia de estatistica que 
aborde esse assunto(alguem conhece alguma que nao seja o livro do 
Ross?(este esta sempre alugado na minha biblioteca))

Vamos a minha pergunta
Eu sei que a definição (para o caso discreto) é
m(t) = E[exp(tX)] = Somatorio(x, ,) exp(tx)*f(x)
Ai me aparece essa pergunta
Sejam X_{0},X_{1} v.a. independentes, X_{0} ~ Poisson(1), X_{1} ~ 
Poisson(2),
e seja Y uma v.a. Bernoulli(p), independente de X_{0},X_{1}. Calcule a 
funcao
geradora de momentos de X_{Y}

E agora? Como eu aplico a definicao?
Pensei em um somatorio duplo
m(t) = Somatorio(y = 0, 1)Somatorio (n = 0, +inf) ((exp(t.n)* 
exp(-lambda)*y^n)/n!)*p^y

o p^y pra colocar na jogada a bernoulli tambem.

Alguem saberia me dizer se isso esta certo errado (e se estiver por 
gentileza corrigir.)

Muito obrigado

--
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
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=

Re: [obm-l] funcao geradora de momentos

[Domingos Jr.]

Você se refere ao Introduction to Probabilistic Models do Sheldon Ross?
Se for, eu tenho este livro... se quiser copiar o q te interessa eu levo lá
no IME...

[ ]'s

=
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=

Re: [obm-l] funcao geradora de momentos

[Fábio Dias Moreira]

-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1

niski [EMAIL PROTECTED] said:
 Pessoal, infelizmente não consigo uma boa referencia de estatistica que
 aborde esse assunto(alguem conhece alguma que nao seja o livro do
 Ross?(este esta sempre alugado na minha biblioteca))

 Vamos a minha pergunta
 Eu sei que a definição (para o caso discreto) é
 m(t) = E[exp(tX)] = Somatorio(x, ,) exp(tx)*f(x)


 Ai me aparece essa pergunta
 Sejam X_{0},X_{1} v.a. independentes, X_{0} ~ Poisson(1), X_{1} ~
 Poisson(2),
 e seja Y uma v.a. Bernoulli(p), independente de X_{0},X_{1}. Calcule a
 funcao
 geradora de momentos de X_{Y}

 E agora? Como eu aplico a definicao?
 [...]

A função de dstribuição de probabilidade de X_Y é (1-p)*f_0+p*f_1, onde f_0 e 
f_1 são as funções de distribuição de probabilidade de X_0 e X_1.

[]s,

- -- 
Fábio ctg \pi Dias Moreira
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Re: [obm-l] funcao geradora de momentos

[niski]

Domingos voce estaria interessado em vender este livro? O Xerox eu já 
teria como conseguir com meus colegas de classe.



Domingos Jr. wrote:
Você se refere ao Introduction to Probabilistic Models do Sheldon Ross?
Se for, eu tenho este livro... se quiser copiar o q te interessa eu levo lá
no IME...
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Leonhard Euler
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Re: [obm-l] funcao geradora de momentos

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

Epa, eu creio que o Niski deve estar (se não está, deveria estar) interessado
no outro livro do Ross, o A First Course in Probability Theory.
Morgado

==
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To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thu, 25 Mar 2004 21:05:18 -0300
Subject: Re: [obm-l] funcao geradora de momentos

 Domingos voce estaria interessado em vender este livro? O Xerox eu 
 já teria como conseguir com meus colegas de classe.
 
 Domingos Jr. wrote:
  Você se refere ao Introduction to Probabilistic Models do Sheldon Ross?
  Se for, eu tenho este livro... se quiser copiar o q te interessa eu levo lá
  no IME...
 
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Re: [obm-l] funcao geradora de momentos

[niski]

Pois é. Este livro esta a venda aqui em São Paulo. Mas o meu curso é de 
processos estocasticos (vou ter cadeias de markov etc) então eu acho que 
a longo prazo o Probabilistics Models vai render mais, não acha?

Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote:
Epa, eu creio que o Niski deve estar (se não está, deveria estar) interessado
no outro livro do Ross, o A First Course in Probability Theory.
Morgado
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Sent: Thu, 25 Mar 2004 21:05:18 -0300
Subject: Re: [obm-l] funcao geradora de momentos

Domingos voce estaria interessado em vender este livro? O Xerox eu 
já teria como conseguir com meus colegas de classe.

Domingos Jr. wrote:

Você se refere ao Introduction to Probabilistic Models do Sheldon Ross?
Se for, eu tenho este livro... se quiser copiar o q te interessa eu levo lá
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Re: [obm-l] funcao geradora de momentos

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

OK. Mas, cuidado: a edição preliminar do Probability Models é pesada.

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Sent: Thu, 25 Mar 2004 23:13:02 -0300
Subject: Re: [obm-l] funcao geradora de momentos

 Pois é. Este livro esta a venda aqui em São Paulo. Mas o meu curso é 
 de processos estocasticos (vou ter cadeias de markov etc) então eu 
 acho que a longo prazo o Probabilistics Models vai render mais, não acha?
 
 Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote:
  Epa, eu creio que o Niski deve estar (se não está, deveria estar) 
interessado
  no outro livro do Ross, o A First Course in Probability Theory.
  Morgado
  
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  Sent: Thu, 25 Mar 2004 21:05:18 -0300
  Subject: Re: [obm-l] funcao geradora de momentos
  
  
 Domingos voce estaria interessado em vender este livro? O Xerox eu 
 já teria como conseguir com meus colegas de classe.
 
 Domingos Jr. wrote:
 
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[obm-l] Funcao Holder

[Artur Costa Steiner]

Hah alguns dias o Tertuliano mandou para a lista um problema de Analise
envolvendo o que foi chamado de funcao Holder. Segundo o problema, se X e Y
sao espacos metricos, diz-se que f:X-Y eh Holder em X se existirem k0 e
a0 tais que, para todos x1 e x2 de X, tivermos Dy(f(x1), f(x2)) = k *
(Dx(x1,x2))^a, sendo Dx e Dy as metricas definidas em X e em Y,
respectivamente.
Eu conhecia esta condicao por outro nome, ou seja, condicao de Lipschitz de
ordem a (o que eh o mesmo que dizer que f eh uma funcao de Lipschitz de
ordem a). Se a= 1, diz-se simplesmente que f satisfaz aa condicao de
Lipschitz, ou que eh uma funcao de Lipschitz.
Eu nao sabia que tal condicao tambem era conhecida por Holder, o mesmo da
Desigualdade de Holder.
Nao que isto seja importante, desde, claro, que se especifique claramente o
que se quer dizer.  
Artur

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[obm-l] Funcao

[Gustavo]

Se f(x)+ 2f(2002/x) = 3x, com x0, entao f(2) 
=?? Desde ja agradeo !! Talvez tenha sido das olmpiadas 
?!?!

Re: [obm-l] Funcao

[Eduardo Henrique Leitner]

f(2) + 2f(1001) = 6 (I)
f(1001) + 2f(2) = 3003  (II)

(II): f(1001) = 3003 - 2f(2)
substituindo em  (I):

f(2) + 2[3003 - 2f(2)] = 6
f(2) - 4f(2) = 6 - 6006
3f(2) = 6000

f(2) = 2000

acho q estah certo...

On Mon, Feb 02, 2004 at 04:51:41PM -0200, Gustavo wrote:
 Se f(x)+ 2f(2002/x) = 3x, com x0, entao f(2) =?? Desde ja agradeço !! Talvez tenha 
 sido das olímpiadas ?!?!

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Fw: [obm-l] Funcao

[Gustavo]

Obrigado Eduardo,tb encontrei este resultado ,deve ser isto mesmo , OK!
- Original Message -
From: Eduardo Henrique Leitner [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, February 02, 2004 6:12 PM
Subject: Re: [obm-l] Funcao


 f(2) + 2f(1001) = 6 (I)
 f(1001) + 2f(2) = 3003  (II)

 (II): f(1001) = 3003 - 2f(2)
 substituindo em  (I):

 f(2) + 2[3003 - 2f(2)] = 6
 f(2) - 4f(2) = 6 - 6006
 3f(2) = 6000

 f(2) = 2000

 acho q estah certo...

 On Mon, Feb 02, 2004 at 04:51:41PM -0200, Gustavo wrote:
  Se f(x)+ 2f(2002/x) = 3x, com x0, entao f(2) =?? Desde ja agradeço !!
Talvez tenha sido das olímpiadas ?!?!

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[obm-l] Funcao distancia

[Eduardo Lourenco Apolinario]

Oi pra todos dessa honrosa lista,
   estava resolvendo um problema proposto por um amigo 
que dizia o seguinte: dada uma sequencia de n pontos 
nalgum plano, ache qual o ponto cuja soma das distancias 
para os pontos dados eh minima.

   Nao consegui chegar a algum resultado muito 
'matematico' (com esse sentido quero dizer q n cheguei a 
uma formula fechada). 
   E gostaria d pedir ajuda a vcs na mesma.

Antes, obrigado por tudo.

Eduardo

 
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Re: [obm-l] Funcao distancia

[Nicolau C. Saldanha]

On Wed, Jan 21, 2004 at 07:48:46PM -0200, Eduardo Lourenco Apolinario wrote:
 Oi pra todos dessa honrosa lista,
estava resolvendo um problema proposto por um amigo 
 que dizia o seguinte: dada uma sequencia de n pontos 
 nalgum plano, ache qual o ponto cuja soma das distancias 
 para os pontos dados eh minima.
 
Nao consegui chegar a algum resultado muito 
 'matematico' (com esse sentido quero dizer q n cheguei a 
 uma formula fechada). 
E gostaria d pedir ajuda a vcs na mesma.

Eu não vou dar uma fórmula para o seu problema, mas observe que
mesmo para n=3 há dois casos bem diferentes:

Se os três pontos p1, p2, p3 formam um triângulo com todos os
ângulos internos menores do que 120 graus, o ponto desejado q
é o único ponto no interior do triângulo para o qual os ângulos
p1-q-p2, p2-q-p3 e p3-q-p1 são todos iguais a +- 120 graus,
onde o sinal depende da orientação do triângulo.

Se os pontos p1, p2, p3 formam um um triângulo com o ângulo em p1
maior do que 120 graus, q será o próprio p1.

Uma maneira física de resolver o problema (e de verificar
o que eu falei acima) é a seguinte. Tome uma mesa e faça furos
nos pontos p1, p2, ..., pn. Passe por cada furo um barbante e
amarre na ponta do barbante que fica abaixo da mesa um peso
de 1 kg. Amarre todos os n barbantes que ficam acima da mesa
em um único ponto, o nó. Agora solte o nó: ele buscará a posição
em que a energia potencial dos pesos é mínima, logo aquela
em que a soma das distâncias é mínima. Ou seja, o nó acabará
parando no ponto que você procura.

Mas o ponto de vista matemático é antes de mais nada perguntar
se a solução existe e é única. Mais precisamente,
seja f: R^2 - R a função dada por f(q) = f1(q) + ... + fn(q)
onde fi(q) = d(q,pi). Eu afirmo que a função f tem um único
ponto de mínimo local (logo global) *exceto* se n for par e
todos os ponto pi estiverem sobre uma linha reta. Neste caso
muito especial, supondo os pontos indexados em ordem de p1 até pn
com n = 2m, qualquer ponto no segmento de pm até p(m+1) é um mínimo.

Para verificar isso, observe que cada função fi é convexa logo f também é.
Assim, f assume seu valor mínimo em um subconjunto convexo Q de R^2.
Por outro lado cada fi é estritamente convexa sobre qq segmento
que não estiver alinhado com pi. Assim, se o conjunto Q for mais do que
um ponto ele contem um segmento e este segmento deve estar alinhado
com todos os pontos pi, donde estamos no caso especial que descrevi acima.

[]s, N.
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[obm-l] Funcao F:P(A) - P(A)

[Claudio Buffara]

on 15.09.03 22:20, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Olá Pessoal!
 
 Estou resolvendo o livro do Elon de Análise e há um exercício que não estou
 conseguindo resolver.
 
 Seja A um conjunto e P(A) o conjunto das partes de A. Considere uma função
 f:P(A)-P(A) que satisfaz as propriedades: se X está contido em Y (ambos de
 P(A)) então F(Y) está contido em F(X); e F(F(X)) = X. Mostrar que F(União
 X_i) = Interseção F(X_i) e também F(Interseção X_i) = União F(X_i).
 
 Uma função que satisfaz essas condições é F(X) = Complementar X.
 
Oi, Duda:

Sabemos que, para todo i:
X_i estah contido em Uniao X_j
e   
Interseccao X_j estah contido em X_i.

Isso quer dizer que, para todo i:
F(Uniao X_j) estah contido em F(X_i)
e   
F(X_i) estah contido em F(Interseccao X_j).

E portanto:
F(Uniao X_j) estah contido em Interseccao F(X_j)(1)
e
Uniao F(X_j) estah contido em F(Interseccao X_j)(2)

*

Por outro lado, para todo i:
F(X_i) estah contido em Uniao F(X_j)
e
Interseccao F(X_j) estah contido em F(X_i)

Assim, para todo i:
F(Uniao F(X_j)) estah contido em F(F(X_i)) = X_i
e
F(F(X_i)) = X_i estah contido em F(Interseccao F(X_j))

Logo:
F(Uniao F(X_j)) estah contido em Interseccao X_j
e
Uniao X_j estah contido em F(Interseccao F(X_j))

E portanto:
F(Interseccao X_j) estah contido em F(F(Uniao F(X_j)))
e
F(F(Interseccao F(X_j))) estah contido em F(Uniao X_j)

E usando mais uma vez a propriedade F(F(X)) = X, teremos:
F(Interseccao X_j) estah contido em Uniao F(X_j)   (3)
e
Interseccao F(X_j) estah contido em F(Uniao X_j)   (4)

*

Finalmente:
(1) e (4) == F(Uniao X_j) = Interseccao F(X_j)
(2) e (3) == F(Interseccao X_j) = Uniao F(X_j)


Um abraco,
Claudio.


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Re: [obm-l] Funcao F:P(A) - P(A)

[Eduardo Casagrande Stabel]

From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
 on 15.09.03 22:20, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
wrote:

  Olá Pessoal!
 
  Estou resolvendo o livro do Elon de Análise e há um exercício que não
estou
  conseguindo resolver.
 
  Seja A um conjunto e P(A) o conjunto das partes de A. Considere uma
função
  f:P(A)-P(A) que satisfaz as propriedades: se X está contido em Y (ambos
de
  P(A)) então F(Y) está contido em F(X); e F(F(X)) = X. Mostrar que
F(União
  X_i) = Interseção F(X_i) e também F(Interseção X_i) = União F(X_i).
 
  Uma função que satisfaz essas condições é F(X) = Complementar X.
 
 Oi, Duda:

 Sabemos que, para todo i:
 X_i estah contido em Uniao X_j
 e
 Interseccao X_j estah contido em X_i.

 Isso quer dizer que, para todo i:
 F(Uniao X_j) estah contido em F(X_i)
 e
 F(X_i) estah contido em F(Interseccao X_j).

 E portanto:
 F(Uniao X_j) estah contido em Interseccao F(X_j)(1)
 e
 Uniao F(X_j) estah contido em F(Interseccao X_j)(2)

 *

 Por outro lado, para todo i:
 F(X_i) estah contido em Uniao F(X_j)
 e
 Interseccao F(X_j) estah contido em F(X_i)


Valeu Cláudio!

Não sei como não cheguei neste segundo argumento.

Duda.


 Assim, para todo i:
 F(Uniao F(X_j)) estah contido em F(F(X_i)) = X_i
 e
 F(F(X_i)) = X_i estah contido em F(Interseccao F(X_j))

 Logo:
 F(Uniao F(X_j)) estah contido em Interseccao X_j
 e
 Uniao X_j estah contido em F(Interseccao F(X_j))

 E portanto:
 F(Interseccao X_j) estah contido em F(F(Uniao F(X_j)))
 e
 F(F(Interseccao F(X_j))) estah contido em F(Uniao X_j)

 E usando mais uma vez a propriedade F(F(X)) = X, teremos:
 F(Interseccao X_j) estah contido em Uniao F(X_j)   (3)
 e
 Interseccao F(X_j) estah contido em F(Uniao X_j)   (4)

 *

 Finalmente:
 (1) e (4) == F(Uniao X_j) = Interseccao F(X_j)
 (2) e (3) == F(Interseccao X_j) = Uniao F(X_j)


 Um abraco,
 Claudio.


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Re: [obm-l] funcao

[Augusto César Morgado]

Uma funçao eh uma correspondencia. A funçao que associa a cada real o 
seu dobro pode ser descrita como associando a cada real x o valor de 2x 
(ou seja, f(x)=2x), mas pode ser descrita como associando a cada real y 
o valor de 2y (ou seja, f(y) = 2y), etc.
A funçao, ou seja a correspondencia, eh f.  
f(x) eh o valor que f associa a x.
Deu pra entender?
Se deu, otimo. Agora, ca entre nos e que os muito rigorosos nao nos 
leiam. Todo mundo fala

seja uma funcao f(x) querendo dizer
seja uma funçao f que a cada x associa f(x)

Portanto, nao se preocupe em demasia com esse erro, que eh na verdade apenas um abuso 
de linguagem.
Morgado



adr.scr.m wrote:

li num livro e gostaria de saber porque eh 
errado falar  seja uma funcao f(x),e o 
certo eh  seja uma funcao f  .
[]'s.
Adriano.

 
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Re: [obm-l] funcao

[adr.scr.m]

agora eu entendi muito bem.
muito obrigado Morgado.
[]'s.
Adriano.

 
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[obm-l] Funcao

[Arnaldo]

Seja f:[0,1]-[0,1] monotona crescente. Mostre que f possui um ponto fixo.

Abraços Arnaldo.




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Re: [obm-l] Funcao

[Nicolau C. Saldanha]

On Wed, Jul 03, 2002 at 05:17:31PM +, Arnaldo wrote:
 Seja f:[0,1]-[0,1] monotona crescente. Mostre que f possui um ponto fixo.
 
 Abraços Arnaldo.

O problema mais conhecido é com f contínua, mas vejamos este seu.

Se f(0) = 0 ou f(1) = 1 acabou, donde podemos supor
f(0)  0 e f(1)  1. Assim o conjunto X = {x em [0,1] | f(x)  x}
inclui 0 mas não inclui 1. Seja z o supremo de X.
Afirmamos que f(z) = z.

Suponha que f(z)  z. Neste caso, z  0.
Seja y um elemento de X com f(z)  y  z.
Como y pertence a X temos y  f(y) donde f(z)  f(y), contradizendo
a hipótese de f ser crescente.

Suponha que f(z)  z. Neste caso, z  1.
Para qualquer y, z  y  f(z), temos f(y) = f(z)
donde f(y)  y donde y pertence a X. Assim o sup de X é = f(z),
contradizendo a hipótese de ser z.
 
Assim, f(z) = z. 

[]s, N.
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Re: [obm-l] Funcao quadratica e uma tangente

[Felipe Pina]

desculpe, mas nao estou entendendo o seu raciocinio..
Um corpo caindo em queda livre num campo gravitacional de valor 10 
realmente percorre uma distancia d = (10t^2)/2 = 5t^2 num intervalo de tempo t.
A sua velocidade em funcao de t eh 10t. isto é uma reta com inclinacao 10, 
o que implica que sua derivada em relacao a t ( a aceleracao ) vale 10, ou 
seja, independe de t, exatamente o que foi imposto no campo.
A distancia percorrida em funcao de t é uma parábola ( d = 5t^2 ), cuja 
funcao derivada ( a velocidade ) é 10t, exatamente o que vc obteve atraves 
das 'equacoes horarias'.
Por favor esclareca melhor a sua duvida.

[]s
Felipe

At 09:15 AM 2/15/2002 -0300, you wrote:
Desculpe-me. E que antes eu tinha feito com numeros (2s), mas agora o certo
e 5t

Isso parece uma reta de tangente 10. So que sua tangente deveria ser 20! 
Troque a tangente 10 por 5t e a tangente 20 por 10t


- Original Message -
From: Felipe Pina [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, February 14, 2002 11:20 PM
Subject: Re: [obm-l] Funcao quadratica e uma tangente


 
  At 09:34 PM 2/14/2002 -0300, you wrote:
  Numa equacao do tipo y=ax^2, a tangente a parabola no ponto (x,ax^2) e
  2ax. Vejo isso quando penso na fisica imaginando um corpo, inicialmente
em
  repouso, que cai em queda livre. A distancia que ele percorre e dada por
  d=(10t^2)/2. Entao, 10t e sua velocidade (tangete) instantanea.
  
  Mas, antes de pensar na fisica, achava que, NA REGIAO de [t,(10t^2)/2], a
  equacao ficaria parecida com:
  d = (10t^2)/2 = 5tt = 10t.
 
  desculpe, mas por que 5tt = 10t ?
 
  Isso parece uma reta de tangente 10. So que sua tangente deveria ser 20!
  Sei que este modo de pensar esta errado, mas nao sei muito bem o motivo
de
  ele estar errado.
  
  Alguem poderia me ajudar?
  
  
  Com a ajuda disso (e outro atalho) da pra fazer a questao 29 de
  matematica do ITA deste ano sem usar a dita circunferencia e tao rapido
  quanto multiplicar 33x37.
  
  Obrigado,
  Gustavo
 
 
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[obm-l] Funcao quadratica e uma tangente

[Gustavo Martins]

Numa equacao do tipo y=ax^2, a tangente a parabola 
no ponto (x,ax^2) e 2ax. Vejo isso quando penso na fisica imaginando um corpo, 
inicialmente em repouso, que cai em queda livre. A distancia que ele percorre e 
dada por d=(10t^2)/2.Entao, 10t e sua velocidade (tangete) 
"instantanea".

Mas, antes de pensar na fisica, achava que, NA 
REGIAO de [t,(10t^2)/2], a equacao ficaria parecida com:
d = (10t^2)/2 = 5tt = 10t.
Isso parece uma reta de tangente 10. So que sua 
tangente deveria ser 20! Sei que este modo de pensar esta errado, mas nao sei 
muito bem o motivo de ele estar errado.

Alguem poderia me ajudar?


Com a ajuda disso (e outro "atalho") da pra fazer a 
questao 29 de matematica do ITA deste ano sem usar a dita circunferencia e tao 
rapido quanto multiplicar 33x37.

Obrigado,
Gustavo

Re: [obm-l] Funcao quadratica e uma tangente

[Felipe Pina]

At 09:34 PM 2/14/2002 -0300, you wrote:
Numa equacao do tipo y=ax^2, a tangente a parabola no ponto (x,ax^2) e 
2ax. Vejo isso quando penso na fisica imaginando um corpo, inicialmente em 
repouso, que cai em queda livre. A distancia que ele percorre e dada por 
d=(10t^2)/2. Entao, 10t e sua velocidade (tangete) instantanea.

Mas, antes de pensar na fisica, achava que, NA REGIAO de [t,(10t^2)/2], a 
equacao ficaria parecida com:
d = (10t^2)/2 = 5tt = 10t.

desculpe, mas por que 5tt = 10t ?

Isso parece uma reta de tangente 10. So que sua tangente deveria ser 20! 
Sei que este modo de pensar esta errado, mas nao sei muito bem o motivo de 
ele estar errado.

Alguem poderia me ajudar?


Com a ajuda disso (e outro atalho) da pra fazer a questao 29 de 
matematica do ITA deste ano sem usar a dita circunferencia e tao rapido 
quanto multiplicar 33x37.

Obrigado,
Gustavo


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