[obm-l] Polinomio
Olá pessoal.Eu gostaria de saber se um polinomio é limitado, isto é, dado P(x) existe um k positivo tal que P(x)
[obm-l] polinomio de chebichev
Como eu posso provar de maneira fácil que a sequencia de baixo obedece a mesma relação de recorrencia que a que está descrita logo acima [image: image.png] -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinomio.(Ajuda algum método nao muito braçal?)
Thanks Buffara. GREAT. Em qui, 30 de ago de 2018 20:51, Claudio Buffara escreveu: > f(x) + 1 é divisível por (x - 1)^4 ==> > f(x) = a(x)(x - 1)^4 - 1, para algum polinômio a(x) ==> > f'(x) = a'(x)(x - 1)^4 + 4a(x)(x - 1)^3 ==> > f'(x) é divisível por (x - 1)^3 > > Analogamente, podemos escrever f(x) = b(x)(x + 1)^4 + 1 ==> f'(x) é > divisível por (x + 1)^3. > > Com f tem grau 7, f' tem grau 6 e, portanto, f'(x) = A(x - 1)^3*(x + 1)^3 > = A(x^2 - 1)^3, para alguma constante A. > > f'(x) = A(x^6 - 3x^4 + 3x^2 -1) ==> f(x) = A(x^7/7 - 3x^5/5 + x^3 - x) + > k, para algum k. > > Mas também é fato que f(1) = -1 e f(-1) = 1. > > f(1) = A(1/7 - 3/5 + 1 - 1) + k = -16A/35 + k = -1 > f(-1) = A(-1/7 + 3/5 -1 + 1) + k = 16A/35 + k = 1 > > Resolvendo este sistema, achamos A = 35/16 e k = 0 ==> > f(x) = 35/16*(x^7/7 - 3x^5/5 + x^3 - x) ==> > f(x) = (5/16)*x^7 - (21/16)*x^5 + (35/16)*x^3 - (35/16)*x (salvo algum > erro de conta...) > > Não é uma solução super-simples mas também não dá pra dizer que foi braçal. > > []s, > Claudio. > > > > > On Thu, Aug 30, 2018 at 4:07 PM matematica10complicada < > profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: > >> Determine o polinomio f(x) de coeficientes racionais e >> de grau 7, sabendo-se que: f(x) + 1 é divisivel por >> (x − 1)^4 >> e que f(x) − 1 é divisivel por (x + 1)^4. >> >> Douglas Oliveira. >> >> >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Polinomio.(Ajuda algum método nao muito braçal?)
f(x) + 1 é divisível por (x - 1)^4 ==> f(x) = a(x)(x - 1)^4 - 1, para algum polinômio a(x) ==> f'(x) = a'(x)(x - 1)^4 + 4a(x)(x - 1)^3 ==> f'(x) é divisível por (x - 1)^3 Analogamente, podemos escrever f(x) = b(x)(x + 1)^4 + 1 ==> f'(x) é divisível por (x + 1)^3. Com f tem grau 7, f' tem grau 6 e, portanto, f'(x) = A(x - 1)^3*(x + 1)^3 = A(x^2 - 1)^3, para alguma constante A. f'(x) = A(x^6 - 3x^4 + 3x^2 -1) ==> f(x) = A(x^7/7 - 3x^5/5 + x^3 - x) + k, para algum k. Mas também é fato que f(1) = -1 e f(-1) = 1. f(1) = A(1/7 - 3/5 + 1 - 1) + k = -16A/35 + k = -1 f(-1) = A(-1/7 + 3/5 -1 + 1) + k = 16A/35 + k = 1 Resolvendo este sistema, achamos A = 35/16 e k = 0 ==> f(x) = 35/16*(x^7/7 - 3x^5/5 + x^3 - x) ==> f(x) = (5/16)*x^7 - (21/16)*x^5 + (35/16)*x^3 - (35/16)*x (salvo algum erro de conta...) Não é uma solução super-simples mas também não dá pra dizer que foi braçal. []s, Claudio. On Thu, Aug 30, 2018 at 4:07 PM matematica10complicada < profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: > Determine o polinomio f(x) de coeficientes racionais e > de grau 7, sabendo-se que: f(x) + 1 é divisivel por > (x − 1)^4 > e que f(x) − 1 é divisivel por (x + 1)^4. > > Douglas Oliveira. > > > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Polinomio.(Ajuda algum método nao muito braçal?)
Determine o polinomio f(x) de coeficientes racionais e de grau 7, sabendo-se que: f(x) + 1 é divisivel por (x − 1)^4 e que f(x) − 1 é divisivel por (x + 1)^4. Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] polinomio minimal
se eu sei que o polinomio minimal de um operador linear T:R^3 - R^3 sobre o corpo dos reais é:p(x) = x-1 posso ter o polinomio caracteristico:(x-1)(x^2+x+1)? sobre o corpo dos complexos isso muda? no primeiro caso acho que sim pois x^2+x+1 não tem raizes reais. Posso no segundo caso que o polinômio caracteristco no segundo caso é (x-1)^3?
[obm-l] polinomio minimal
achar uma matriz em C3X3 com polinomio minimal igual a x^2. Existe uma maneira fácil de se fazer este? ou é por tentativa e erro?
Re: [obm-l] polinomio minimal
Eu sugeriria assumir um característico igual a -x^3 e montar uma matriz com dois blocos de Jordan: um de autovalor 0 e tamanho 2x2, e um de autovalor 0 e tamanho 1x1, o que nos daria a seguinte matriz, se não me engano: A = [ [0 1 0] [0 0 0] [0 0 0] ] É simples checar que o x^2 anula A, porém x não, logo por Cayley-Hamilton, x^2 deve ser o minimal. 2011/4/16 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com: achar uma matriz em C3X3 com polinomio minimal igual a x^2. Existe uma maneira fácil de se fazer este? ou é por tentativa e erro? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] polinomio de taylor
Boa noite, outro dia vi um recurso que faz analogia entre o binomio (a+b)^2 com o polinomio de taylor de segunda ordem com duas variáveis. Pergunto: para três variáveis também de segunda ordem faço a analogia com (a+b+c)^2 ? Alguém sabe um texto ou livro que ensine Polinomio de Taylor assim? Obrigado Herman Cabri
RE: [obm-l] Polinomio 4º grau
talvez ajude escrevger assim: (x^2-18)^2=x abraços Date: Sat, 17 May 2008 22:54:05 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Re: [obm-l] Polinomio 4º grauChute =p4 eh raiz =pdividindo(x-4)(x^3 +4 x^2 -20x -61) 2008/5/17 douglas paula [EMAIL PROTECTED]: Thelio Gama [EMAIL PROTECTED] escreveu: Bom dia , senhores, gostaria de saber se é póssível encontrar as raízes da equação abaixo, sem conhecer nenhuma delas: x^4-36x²-x+324=0 Obrigado, Thelio Thelio, acho que é de seu interesse http://w3.impa.br/~gugu/equacoes.pdf é um método de resolver equções do 3° e 4° grau desenvolvido pelo próprio gugu quando ele tinha 14 anos abraços Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
Re: [obm-l] Polinomio 4º grau
Thelio Gama [EMAIL PROTECTED] escreveu:Bom dia , senhores, gostaria de saber se é póssível encontrar as raízes da equação abaixo, sem conhecer nenhuma delas: x^4-36x²-x+324=0 Obrigado, Thelio Thelio, acho que é de seu interesse http://w3.impa.br/~gugu/equacoes.pdf é um método de resolver equções do 3° e 4° grau desenvolvido pelo próprio gugu quando ele tinha 14 anos abraços - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] Polinomio 4º grau
Chute =p 4 eh raiz =p dividindo (x-4)(x^3 +4 x^2 -20x -61) 2008/5/17 douglas paula [EMAIL PROTECTED]: *Thelio Gama [EMAIL PROTECTED]* escreveu: Bom dia , senhores, gostaria de saber se é póssível encontrar as raízes da equação abaixo, sem conhecer nenhuma delas: x^4-36x²-x+324=0 Obrigado, Thelio Thelio, acho que é de seu interesse http://w3.impa.br/~gugu/equacoes.pdfhttp://w3.impa.br/%7Egugu/equacoes.pdf é um método de resolver equções do 3° e 4° grau desenvolvido pelo próprio gugu quando ele tinha 14 anos abraços -- Abra sua conta no Yahoo! Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o único sem limite de espaço para armazenamento!
[obm-l] Polinomio 4º grau
Bom dia , senhores, gostaria de saber se é póssível encontrar as raízes da equação abaixo, sem conhecer nenhuma delas: x^4-36x²-x+324=0 Obrigado, Thelio
Re: [obm-l] polinomio de grau 7
Muito obrigado colega Olá, a1 + a2 + ... + a7 = -m/3 1+i + 1-i + 1-sqrt(2) + 1 + sqrt(2) + a5 + a6 + a7 = -m/3 4 + a5 + a6 + a7 = -m/3 agora, temos uma raiz de multiplicidade 3, entao: a5 = a6 = a7 = k (vamos chamar de k) logo: 4 + 3k = -m/3 agora, vamos ver o produto delas: a1*a2*..*a7 = -48/3 = -16 (1+i)(1-i)(1-sqrt(2))(1+sqrt(2))k^3 = -16 2*(-1)*k^3 = -16 k^3 = 8 k = 2 logo: -m/3 = 4+6 = 10 ... m = -30 abracos, Salhab On 3/25/07, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: P(x)= 3x^7 + mx^6 + nx^5 + qx^4 + sx^3 + tx^2 + ux + 48 tem rods as coeficientes m,n,q,s,t,u racionais; uma de suas raizes é 1+i, outra 1-sqrt(2)e uma delas é racional de multiplicidade 3. O valor de m é? se 1+i é raiz, então 1-i tb é; se 1-sqrt(2) é raiz, então 1+sqrt(2) existe a/b, com b dif de 0 que tem multiplicidade 3... depois só usar GIRARD é só isso = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] polinomio de grau 7
P(x)= 3x^7 + mx^6 + nx^5 + qx^4 + sx^3 + tx^2 + ux + 48 tem rods as coeficientes m,n,q,s,t,u racionais; uma de suas raizes é 1+i, outra 1-sqrt(2)e uma delas é racional de multiplicidade 3. O valor de m é? se 1+i é raiz, então 1-i tb é; se 1-sqrt(2) é raiz, então 1+sqrt(2) existe a/b, com b dif de 0 que tem multiplicidade 3... depois só usar GIRARD é só isso = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] polinomio de grau 7
P(x)= 3x^7 + mx^6 + nx^5 + qx^4 + sx^3 + tx^2 + ux + 48 P(x)=3*[x-(1+i)]*[x-(1-i)]*[x-(1+sqrt(2))]*[x-(1-sqrt(2))]*(x-p)^3=(x²-2x+2)(x²-2x-1)(x³-3px²+3p²x-p³) O termo independente eh 2*(-1)*(-p³)=2p³=48/3=16 - p³=8 - p=2. Tendo todas as raizes, é só fazer girard. Vai dar uma conta um pouco grande, mas é isso. Iuri On 3/25/07, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: P(x)= 3x^7 + mx^6 + nx^5 + qx^4 + sx^3 + tx^2 + ux + 48 tem rods as coeficientes m,n,q,s,t,u racionais; uma de suas raizes é 1+i, outra 1-sqrt(2)e uma delas é racional de multiplicidade 3. O valor de m é? se 1+i é raiz, então 1-i tb é; se 1-sqrt(2) é raiz, então 1+sqrt(2) existe a/b, com b dif de 0 que tem multiplicidade 3... depois só usar GIRARD é só isso = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] polinomio de grau 7
Olá, a1 + a2 + ... + a7 = -m/3 1+i + 1-i + 1-sqrt(2) + 1 + sqrt(2) + a5 + a6 + a7 = -m/3 4 + a5 + a6 + a7 = -m/3 agora, temos uma raiz de multiplicidade 3, entao: a5 = a6 = a7 = k (vamos chamar de k) logo: 4 + 3k = -m/3 agora, vamos ver o produto delas: a1*a2*..*a7 = -48/3 = -16 (1+i)(1-i)(1-sqrt(2))(1+sqrt(2))k^3 = -16 2*(-1)*k^3 = -16 k^3 = 8 k = 2 logo: -m/3 = 4+6 = 10 ... m = -30 abracos, Salhab On 3/25/07, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: P(x)= 3x^7 + mx^6 + nx^5 + qx^4 + sx^3 + tx^2 + ux + 48 tem rods as coeficientes m,n,q,s,t,u racionais; uma de suas raizes é 1+i, outra 1-sqrt(2)e uma delas é racional de multiplicidade 3. O valor de m é? se 1+i é raiz, então 1-i tb é; se 1-sqrt(2) é raiz, então 1+sqrt(2) existe a/b, com b dif de 0 que tem multiplicidade 3... depois só usar GIRARD é só isso = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] polinomio redutivel
Como mostro que o polinômio x^3+x+2 é redutível em Z3? Como torno mônico o polinômio X^4+X^3+X+1 em Z2? - Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
Re: [obm-l] polinomio redutivel
Na primeira pergunta: basta ver que x^3 + x + 2 tem raiz em Z/3Z, por exemplo, x = -1. Aliás, x^3 + x + 2 é redutível em Z mesmo: x^3 + x + 2 = x^3 + 1 + x + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1) + (x+1) = (x+1)(x^2 - x + 2). O interessante é que x^2 - x + 2 é irredutível tanto em Z como em Z/3Z. Se ele fosse redutível em Z/3Z, teria raiz. Mas é só substituir x = 0, 1, -1 para ver que nenhum deles é raiz. Eu não entendi bem a segunda pergunta: afinal, polinômio mônico é aquele que tem coeficiente dominante (o coeficiente do termo de maior grau) 1. Mas o coeficiente do termo de grau maior de x^4 + x^3 + x + 1, x^4, já é 1. Aliás, em Z/2Z o coeficientes só podem ser 0 e 1, de modo que *qualquer* polinômio em Z/2Z é mônico. []'s Shine - Original Message From: Douglas Alexandre [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, January 13, 2007 11:31:39 PM Subject: [obm-l] polinomio redutivel Como mostro que o polinômio x^3+x+2 é redutível em Z3? Como torno mônico o polinômio X^4+X^3+X+1 em Z2? Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! Need Mail bonding? Go to the Yahoo! Mail QA for great tips from Yahoo! Answers users. http://answers.yahoo.com/dir/?link=listsid=396546091 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] polinomio irredutivel
Oi, Luis:
Eu fiz o seguinte:
Sejaf(x) = x^(p-1) + 2x^(p-2) + 3x^(p-3) + ... + (p-1)x +p,
onde p é um primo ímpar.
Então: f(x+1) = x^(p-1) + (p+1)x^(p-2) + p*g(x), com g(x) em Z[x].
Os coeficientes de x^(p-1) e x^(p-2) em f(x+1) são facilmente calculáveis.
O coeficiente de x^(p-k) para3 = k = p é igual a:
SOMA(j=1...k) j*Binom(p-j,k-j) =
k*SOMA(j=1...k) Binom(p-j,k-j) - SOMA(j=1...k) (k-j)*Binom(p-j,k-j) =
k*Binom(p,k-1) - (p-k+1)*SOMA(j=1...k-1) Binom(p-j,k-j-1) =
k*Binom(p,k-1) - (p-k+1)*Binom(p,k-2) =
Binom(p+1,k-1) =
múltiplo de p, pois p divide (p+1)! mas não divide (k-1)!*(p-k+2)! se3 = k = p, o que bate com o artigo (ainda bem!)
***
Critério de Eisenstein generalizado:
Seja f(x) = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n um polinômio de Z[x].
Suponha que exista um primo p tal que:
1) p divide a_0, a_1, ..., a_(k-1) mas não divide a_k (1 = k = n)
e
2) p^2 não divide a_0
Então f(x) tem um fator irredutível de grau = k.
Suponhamos que f(x) = g(x)*h(x), com:
g(x) = b_0 + b_1x + ... + b_rx^r
e
h(x) = c_0 + c_1x + ... + c_sx^s
onde r = 0, s =0 e r + s = n.
a_0 = b_0*c_0.
Como p divide a_0 mas p^2 não divide, podemos supor spdg que p divide b_0 mas não divide c_0.
Como p não divide a_k, p não pode dividir todos os coeficientes de g(x).
Seja j o menor inteiro positivo tal que p não divide b_j.
Repare que, nesse caso, grau(g(x)) = j.
Se i j, então:
a_i = b_0*c_i + b_1*c_(i-1) + ... + b_(i-1)*c_1 + b_i*c_0
(se i r, então b_i = 0. Idem para os c_i)
Como p divide b_0, ..., b_i, concluímos que p divide a_i.
Logo, i k.
Por outro lado,
a_j = b_0*c_j + b_1*c_(j-1) + ... + b_(j-1)*c_1 + b_j*c_0.
Como p divide b_0, , b_(j-1) mas não divide b_j*c_0, concluímos que p não divide a_j.
Assim, j = k e, portanto, grau(g(x)) = k.
Ou seja, f(x) tem um fator irredutível de grau = k.
O critério de Eisenstein tradicional é obtido quando k = n.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Fri, 01 Sep 2006 20:45:51 +
Assunto:
[obm-l] polinomio irredutivel
Sauda,c~oes,
Oi Claudio,
===
(Claudio): Luís: você planeja lançar um manual de construções
geométricas?
===
N~ao só um como pelo menos 2. Foi bom vc tocar nesse assunto pois
mais cedo ou mais tarde iria escrever pra vc pra pedir uma coisa.
Estou escrevendo o Manual de CG 1 e no apêndice sobre números
construtíveis quero mostrar que um polinômio é irredutível em Q.
Na verdade é um problema de um periódico tipo CRUX. Falta completar
uma passagem. Depois coloco aqui.
%%
Retomando o email. O problema (*)
Seja p=3 um primo. Ent~ao o polinômio f(x) = x^{p-1} +
+ x^{p-2} + ... + x + 1 é irredutível em Q
é conhecido. Ver por exemplo os livros de Álgebra do Fraleigh
e Lang.
A idéia é escrever \Phi_p (x) = \frac{x^p-1}{x-1} =
= x^{p-1} + x^{p-2} + ... + x + 1
e mostrar que g(x) = \Phi_p (x+1) = \frac{(x+1)^p-1}{(x+1)-1} =
=[ x^p + \binom{p}{1} x^{p-1} + ... + px ] / x
é irredutível por satisfazer o critério de Eisenstein para o primo p.
Com as idéias da soluç~ao para este problema, no periódico
Mathematics Magazine Vol 77 (2004) pp. 397--398 vemos o
problema 1681, An Irreducible Polynomial.
Seja p=3 um primo. Prove que o polinômio
x^{p-1} + 2x^{p-2} + 3x^{p-3} + ... + (p-1)x + p
é irredutível em Z[x].
Soluç~ao do periódico: Let f denote the polynomial. Because
f(+-1) 0 and f(+-p) 0, it follows from the rational root theorem
that f(x) has no linear factor in Z[x]. (até aqui tudo bem).
Since (usando a mesma idéia do problema (*))
f(x) = \sum_{k=1}^p \frac{x^k-1}{x-1} =
\frac{x(x^p-1) - p(x-1)}{(x-1)^2} ,
we have
f(x+1) = \frac{(x+1)[(x+1)^p-1] - px}{x^2} =
x^{p-1} + (p+1)x^{p-2} + \sum_{k=0}^{p-3} a_k x^k ,
where a_k = \binom{p+1}{k+2}, 0=k=p-3.
Pausa. Até aqui tudo bem, parece mais complicado do que é.
Bota no papel este pseudo LaTeX e se verá que é uma álgebra
simples do binômio de Newton. Depois da parada e do café,
continua. Hum
Notaç~ao: a | X significa a divide X e a \not| X significa
a n~ao divide X
Because p \not| (p+1) , p | a_k , 0=k=p-3 , and p^2 \not| a_0 , (OK)
it follows from a modification of Eisenstein's criterion that f(x+1)
has an irreducible factor of degree at least p-2 over Z[x].
N~ao entendi nada destas duas linhas. Qual modificaç~ao? E como
chegar na conclus~ao do at least?
However, f(x+1) has no factor of degree p-2 because if it did,
the other factor would be linear. It follows that f(x) is ireducible
in Z[x]. (OK, em Q[x] também).
===
Falta completar uma passagem. Depois coloco aqui.
===
Colocado. Será que dá pra completar numa mensagem mais
curta do que esta?
[]'s
Luis
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re:[obm-l] polinomio irredutivel
Sauda,c~oes, Oi Claudio, Muito bom. Vou imprimir e olhar com calma sua explicaç~ao. Vou colocá-la no apêndice que ficará mais completo com ela. Acho que a soluç~ao do artigo poderia dar alguma dica de como chegar (ou onde encontrar) a tal generalizaç~ao. Obrigado. []'s Luís From: claudio\.buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re:[obm-l] polinomio irredutivel Date: Tue, 5 Sep 2006 14:53:06 -0300 Oi, Luis: Eu fiz o seguinte: Seja f(x) = x^(p-1) + 2x^(p-2) + 3x^(p-3) + ... + (p-1)x + p, onde p é um primo ímpar. Então: f(x+1) = x^(p-1) + (p+1)x^(p-2) + p*g(x), com g(x) em Z[x]. [.] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] polinomio irredutivel
Sauda,c~oes,
Oi Claudio,
===
(Claudio): Luís: você planeja lançar um manual de construções
geométricas?
===
N~ao só um como pelo menos 2. Foi bom vc tocar nesse assunto pois
mais cedo ou mais tarde iria escrever pra vc pra pedir uma coisa.
Estou escrevendo o Manual de CG 1 e no apêndice sobre números
construtíveis quero mostrar que um polinômio é irredutível em Q.
Na verdade é um problema de um periódico tipo CRUX. Falta completar
uma passagem. Depois coloco aqui.
%%
Retomando o email. O problema (*)
Seja p=3 um primo. Ent~ao o polinômio f(x) = x^{p-1} +
+ x^{p-2} + ... + x + 1 é irredutível em Q
é conhecido. Ver por exemplo os livros de Álgebra do Fraleigh
e Lang.
A idéia é escrever \Phi_p (x) = \frac{x^p-1}{x-1} =
= x^{p-1} + x^{p-2} + ... + x + 1
e mostrar que g(x) = \Phi_p (x+1) = \frac{(x+1)^p-1}{(x+1)-1} =
=[ x^p + \binom{p}{1} x^{p-1} + ... + px ] / x
é irredutível por satisfazer o critério de Eisenstein para o primo p.
Com as idéias da soluç~ao para este problema, no periódico
Mathematics Magazine Vol 77 (2004) pp. 397--398 vemos o
problema 1681, An Irreducible Polynomial.
Seja p=3 um primo. Prove que o polinômio
x^{p-1} + 2x^{p-2} + 3x^{p-3} + ... + (p-1)x + p
é irredutível em Z[x].
Soluç~ao do periódico: Let f denote the polynomial. Because
f(+-1) 0 and f(+-p) 0, it follows from the rational root theorem
that f(x) has no linear factor in Z[x]. (até aqui tudo bem).
Since (usando a mesma idéia do problema (*))
f(x) = \sum_{k=1}^p \frac{x^k-1}{x-1} =
\frac{x(x^p-1) - p(x-1)}{(x-1)^2} ,
we have
f(x+1) = \frac{(x+1)[(x+1)^p-1] - px}{x^2} =
x^{p-1} + (p+1)x^{p-2} + \sum_{k=0}^{p-3} a_k x^k ,
where a_k = \binom{p+1}{k+2}, 0=k=p-3.
Pausa. Até aqui tudo bem, parece mais complicado do que é.
Bota no papel este pseudo LaTeX e se verá que é uma álgebra
simples do binômio de Newton. Depois da parada e do café,
continua. Hum
Notaç~ao: a | X significa a divide X e a \not| X significa
a n~ao divide X
Because p \not| (p+1) , p | a_k , 0=k=p-3 , and p^2 \not| a_0 , (OK)
it follows from a modification of Eisenstein's criterion that f(x+1)
has an irreducible factor of degree at least p-2 over Z[x].
N~ao entendi nada destas duas linhas. Qual modificaç~ao? E como
chegar na conclus~ao do at least?
However, f(x+1) has no factor of degree p-2 because if it did,
the other factor would be linear. It follows that f(x) is ireducible
in Z[x]. (OK, em Q[x] também).
===
Falta completar uma passagem. Depois coloco aqui.
===
Colocado. Será que dá pra completar numa mensagem mais
curta do que esta?
[]'s
Luis
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Polinomio + Combinatoria
De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. --Não entendi muito bem essa justificativa, quais são as condições para uma equação possuir apenas raízes reais? O último termo dividido pelo primeiro não fornece o produto das raízes ? Por que esse não poderia ser 1? Desculpem a intromissão e a pergunta fora do assunto.2006/8/23, leonardo maia [EMAIL PROTECTED]: Faltou algo: z = r.e^(i.teta) = [(1+x)/(1-x)]LeoOn 8/23/06, leonardo maia [EMAIL PROTECTED] wrote: De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. Pra achar as 2n raízes complexas: soma(i de 0 a 2n) C(2n,i)x^i = (1+x)^2nsoma(i de 0 a 2n) C(2n,i)(-x)^i = (1-x)^2n 2 p(x) = (1+x)^2n + (1-x)^2nse p(x)=0,[(1+x)/(1-x)]^2n = -1se z = r.e^(i.teta),teta = [(2k+1)/2].(pi/n), com k variando de 0 a 2n-1(confira!)pra voltar pro x vai alguma álgebra, que não fiz, mas acho que está encaminhado. []'s, Leo.On 8/23/06, Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED] wrote: galera, um colega meu postou essa desafio no orkut eeu nao consegui resolver: Encontre TODAS as raízes (reais ou complexas) dopolinômiop(x)=C(2n,2n)x^2n+C(2n,2n-2)x^(2n-2)+C(2n,2n-4)x^(2n-4)+...+C(2n,0)=0Obs. C(n,p)=número de combinações de n elementostomados p a p. O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos_As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) sãopara uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não sejadestinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas.Favorapagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratadoconforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos suacolaboração.The information mentioned in this message and in the archives attachedareof restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not theaddressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden.Pleasedelete this information and notify the sender. Inappropriate use willbetracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation.___Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instaleo discador agora! http://br.acesso.yahoo.com =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] Polinomio + Combinatoria
Observe o seguinte:1) Naquele polinômio só aparecem potências pares de x e o 1.2) Todos os coeficientes são positivos.Assim, cada um dos termos C(2n,i) * x^2i é positivo (ou nulo), então a soma de todos eles é também positiva (ou nula). Uma soma positiva ou nula, acrescida em 1 unidade é sempre maior do que ou igual a 1. Logo, p(x) = 1, para todo x real, e portanto não possui raízes reais. BrunoOn 8/24/06, J. Renan [EMAIL PROTECTED] wrote: De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. --Não entendi muito bem essa justificativa, quais são as condições para uma equação possuir apenas raízes reais? O último termo dividido pelo primeiro não fornece o produto das raízes ? Por que esse não poderia ser 1? Desculpem a intromissão e a pergunta fora do assunto.2006/8/23, leonardo maia [EMAIL PROTECTED]: Faltou algo: z = r.e^(i.teta) = [(1+x)/(1-x)]LeoOn 8/23/06, leonardo maia [EMAIL PROTECTED] wrote: De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. Pra achar as 2n raízes complexas: soma(i de 0 a 2n) C(2n,i)x^i = (1+x)^2nsoma(i de 0 a 2n) C(2n,i)(-x)^i = (1-x)^2n 2 p(x) = (1+x)^2n + (1-x)^2nse p(x)=0,[(1+x)/(1-x)]^2n = -1se z = r.e^(i.teta),teta = [(2k+1)/2].(pi/n), com k variando de 0 a 2n-1(confira!)pra voltar pro x vai alguma álgebra, que não fiz, mas acho que está encaminhado. []'s, Leo.On 8/23/06, Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED] wrote: galera, um colega meu postou essa desafio no orkut eeu nao consegui resolver: Encontre TODAS as raízes (reais ou complexas) dopolinômiop(x)=C(2n,2n)x^2n+C(2n,2n-2)x^(2n-2)+C(2n,2n-4)x^(2n-4)+...+C(2n,0)=0Obs. C(n,p)=número de combinações de n elementostomados p a p. O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos_As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) sãopara uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não sejadestinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas.Favorapagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratadoconforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos suacolaboração.The information mentioned in this message and in the archives attachedareof restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not theaddressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden.Pleasedelete this information and notify the sender. Inappropriate use willbetracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation.___Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instaleo discador agora! http://br.acesso.yahoo.com =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Um Grande Abraço,Jonas Renan -- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyicq: 12626000e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Polinomio + Combinatoria
Agora ficou mais claro o argumento utilizado pelo Leonardo Maia, muito obrigado pelo Bruno2006/8/24, Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]: Observe o seguinte:1) Naquele polinômio só aparecem potências pares de x e o 1. 2) Todos os coeficientes são positivos.Assim, cada um dos termos C(2n,i) * x^2i é positivo (ou nulo), então a soma de todos eles é também positiva (ou nula). Uma soma positiva ou nula, acrescida em 1 unidade é sempre maior do que ou igual a 1. Logo, p(x) = 1, para todo x real, e portanto não possui raízes reais. BrunoOn 8/24/06, J. Renan [EMAIL PROTECTED] wrote: De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. --Não entendi muito bem essa justificativa, quais são as condições para uma equação possuir apenas raízes reais? O último termo dividido pelo primeiro não fornece o produto das raízes ? Por que esse não poderia ser 1? Desculpem a intromissão e a pergunta fora do assunto.2006/8/23, leonardo maia [EMAIL PROTECTED]: Faltou algo: z = r.e^(i.teta) = [(1+x)/(1-x)]LeoOn 8/23/06, leonardo maia [EMAIL PROTECTED] wrote: De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. Pra achar as 2n raízes complexas: soma(i de 0 a 2n) C(2n,i)x^i = (1+x)^2nsoma(i de 0 a 2n) C(2n,i)(-x)^i = (1-x)^2n 2 p(x) = (1+x)^2n + (1-x)^2nse p(x)=0,[(1+x)/(1-x)]^2n = -1se z = r.e^(i.teta),teta = [(2k+1)/2].(pi/n), com k variando de 0 a 2n-1(confira!)pra voltar pro x vai alguma álgebra, que não fiz, mas acho que está encaminhado. []'s, Leo.On 8/23/06, Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED] wrote: galera, um colega meu postou essa desafio no orkut eeu nao consegui resolver: Encontre TODAS as raízes (reais ou complexas) dopolinômiop(x)=C(2n,2n)x^2n+C(2n,2n-2)x^(2n-2)+C(2n,2n-4)x^(2n-4)+...+C(2n,0)=0Obs. C(n,p)=número de combinações de n elementostomados p a p. O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos_As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) sãopara uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não sejadestinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas.Favorapagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratadoconforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos suacolaboração.The information mentioned in this message and in the archives attachedareof restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not theaddressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden.Pleasedelete this information and notify the sender. Inappropriate use willbetracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation.___Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instaleo discador agora! http://br.acesso.yahoo.com =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Um Grande Abraço,Jonas Renan -- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyicq: 12626000e^(pi*i)+1=0 -- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] Polinomio + Combinatoria
De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. Pra achar as 2n raízes complexas:soma(i de 0 a 2n) C(2n,i)x^i = (1+x)^2nsoma(i de 0 a 2n) C(2n,i)(-x)^i = (1-x)^2n 2 p(x) = (1+x)^2n + (1-x)^2nse p(x)=0,[(1+x)/(1-x)]^2n = -1se z = r.e^(i.teta),teta = [(2k+1)/2].(pi/n), com k variando de 0 a 2n-1(confira!)pra voltar pro x vai alguma álgebra, que não fiz, mas acho que está encaminhado. []'s, Leo.On 8/23/06, Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED] wrote: galera, um colega meu postou essa desafio no orkut eeu nao consegui resolver: Encontre TODAS as raízes (reais ou complexas) dopolinômiop(x)=C(2n,2n)x^2n+C(2n,2n-2)x^(2n-2)+C(2n,2n-4)x^(2n-4)+...+C(2n,0)=0Obs. C(n,p)=número de combinações de n elementostomados p a p.O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos_As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) sãopara uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não sejadestinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas.Favorapagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratadoconforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos suacolaboração.The information mentioned in this message and in the archives attachedareof restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not theaddressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden.Pleasedelete this information and notify the sender. Inappropriate use willbetracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation.___Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instaleo discador agora!http://br.acesso.yahoo.com =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Polinomio + Combinatoria
Faltou algo: z = r.e^(i.teta) = [(1+x)/(1-x)]LeoOn 8/23/06, leonardo maia [EMAIL PROTECTED] wrote: De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. Pra achar as 2n raízes complexas: soma(i de 0 a 2n) C(2n,i)x^i = (1+x)^2nsoma(i de 0 a 2n) C(2n,i)(-x)^i = (1-x)^2n 2 p(x) = (1+x)^2n + (1-x)^2nse p(x)=0,[(1+x)/(1-x)]^2n = -1se z = r.e^(i.teta),teta = [(2k+1)/2].(pi/n), com k variando de 0 a 2n-1(confira!)pra voltar pro x vai alguma álgebra, que não fiz, mas acho que está encaminhado. []'s, Leo.On 8/23/06, Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED] wrote: galera, um colega meu postou essa desafio no orkut eeu nao consegui resolver: Encontre TODAS as raízes (reais ou complexas) dopolinômiop(x)=C(2n,2n)x^2n+C(2n,2n-2)x^(2n-2)+C(2n,2n-4)x^(2n-4)+...+C(2n,0)=0Obs. C(n,p)=número de combinações de n elementostomados p a p. O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos_As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) sãopara uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não sejadestinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas.Favorapagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratadoconforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos suacolaboração.The information mentioned in this message and in the archives attachedareof restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not theaddressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden.Pleasedelete this information and notify the sender. Inappropriate use willbetracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation.___Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instaleo discador agora! http://br.acesso.yahoo.com =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Polinomio
Esta argumentacao permite tambem concluir que, se o complexo p + q*i, com q 0, for raiz da equacao dada, entao p eh racional e q eh irracional. Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de samuel barbosaEnviada em: terça-feira, 4 de abril de 2006 21:41Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Re: [obm-l] PolinomioCaso tenha raiz racional, devemos terb^2-4ac = n^2 ( n inteiro) como 4ac é par então b^2 e n^2 tem mesma paridade, logo n é ímparComo b^2 == 1 (mod 8) e n^2 == 1 ( mod 8)então 4ac == 0 (mod 8) Absurdo! Em 04/04/06, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] escreveu: Mostre que se a,b,c sao inteiros impares, a equacao ax^2+bx+c nao tem raiz racional. Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
Re: [obm-l] Polinomio
Caso tenha raiz racional, devemos terb^2-4ac = n^2 ( n inteiro) como 4ac é par então b^2 e n^2 tem mesma paridade, logo n é ímparComo b^2 == 1 (mod 8) e n^2 == 1 ( mod 8)então 4ac == 0 (mod 8) Absurdo! Em 04/04/06, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] escreveu: Mostre que se a,b,c sao inteiros impares, a equacao ax^2+bx+c nao tem raiz racional. Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
Re: [obm-l] Polinomio
Klaus Ferraz escreveu: Mostre que se a,b,c sao inteiros impares, a equacao ax^2+bx+c nao tem raiz racional. Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! http://us.rd.yahoo.com/mail/br/tagline/mobile_alerts/*http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/ No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.385 / Virus Database: 268.3.5/301 - Release Date: 4/4/2006 Leia o artigo de Eduardo Wagner, Paridade, que pode ser encontrado em http://www.obm.org.br/frameset-eureka.htm. Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] polinomio
Determine todos os polinomios P(x) tais que P(x^2+1) = (P(x))^2+1 para todo x real. alguem se habilita? Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis.Instale o discador agora!
Re: [obm-l] polinomio
P(x) = x eh a unica solução (demo: P(x)-x se anula em todos os pontos da seq. crescente definida por a1=1, a(n+1)=a(n)^2+1, n =1 e portanto é identicamente nulo) - Original Message - From: Danilo Nascimento To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, November 14, 2005 8:29 PM Subject: [obm-l] polinomio Determine todos os polinomios P(x) tais que P(x^2+1) = (P(x))^2+1 para todo x real. alguem se habilita? Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis.Instale o discador agora!
[obm-l] polinomio
Prove que o polinomio P(x) = x^999+x^888+...+x^111+1 é divisível por f(x)=x^9+x^8+...+1 PS: pensei no seguinte... P(x)= (x^1110-1)/(x^111-1) f(x)= (x^10-1)/(x-1) P(x)/f(x)= ((x^1110-1)/(x^111-1)) * ((x-1)/(x^10-1))= A*B Bem..é verdade que:x^1110-1 é div. por x^111-1 e por x^10-1 resta-nos provar que é pelo produto deles... vejamos:podemos cortar o x-1 em B logo, falta-nos provar que x^9+x^8+...+1(decomp. dex^10-1 cortandocom x-1)não tem fator comum com x^111-1=(x-1)(x^110+...+1)...COMO DEMONSTRO??? Caso tenho solução mais interessante favorenviar... Abraços Vinícius Meireles Aleixo
Re: [obm-l] polinomio
Title: Re: [obm-l] polinomio Seja w uma raiz de f(x). Repare que: 1 = 1; w^111 = (w^10)^11*w = w; w^222 = (w^10)^22*w^2 = w^2; ... w^999 = (w^10)^99*w^9 = w^9. Somando estas 10 igualdades, obtemos P(w) = f(w) = 0. Em outras palavras, toda raiz de f(x) eh raiz de P(x), o que significa que f(x) | P(x). []s, Claudio. on 29.01.05 22:28, Vinícius Meireles Aleixo at [EMAIL PROTECTED] wrote: Prove que o polinomio P(x) = x^999+x^888+...+x^111+1 é divisível por f(x)=x^9+x^8+...+1 PS: pensei no seguinte... P(x)= (x^1110-1)/(x^111-1) f(x)= (x^10-1)/(x-1) P(x)/f(x)= ((x^1110-1)/(x^111-1)) * ((x-1)/(x^10-1))= A*B Bem..é verdade que:x^1110-1 é div. por x^111-1 e por x^10-1 resta-nos provar que é pelo produto deles... vejamos:podemos cortar o x-1 em B logo, falta-nos provar que x^9+x^8+...+1(decomp. de x^10-1 cortando com x-1) não tem fator comum com x^111-1=(x-1)(x^110+...+1)...COMO DEMONSTRO??? Caso tenho solução mais interessante favor enviar... Abraços Vinícius Meireles Aleixo
Re: En: [obm-l] polinomio...completa!!!
vinicius wrote: - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] polinomio... Data: 09/12/04 02:24 Alguem, pode por favor, me ajudar a resolver: Para quais valores de a de n o polinomio: x^n - ax^(n-1) + ax - 1 é divisivel por (x-1)^2 ok, seu polinômio tem que ter 1 como raiz dupla, mas isso significa que o polinômio e a sua derivada tem 1 como raiz. a prova disso é bem simples g(x) = (x - r)^2 h(x) = g'(x) = 2(x- r) h(x) + (x - r)^2 h'(x) = g(r) = g'(r) = 0. [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: En: [obm-l] polinomio...completa!!!
A condicao desejada se verifica se, e somente se, o seu polinomio P admitir 1 como raiz com multiplicidade de, pelo menos, 2. Implica assim que n=2. Verificamos que P(1) = 0 para qualquer valor de a. A maneira mais facil de resolver o problema parece ser determinar a de modo que P'(1) = 0, pois se um polinomio admite uma raiz com multiplicidade p=1, entao sua derivada admite esta mesma raiz com multiplicidade p-1. Sem usar derivadas, vemos que, para n=3, P(x) = x^n -1 - a*x*(x^(n-2) -1) = (x-1)*[1 +x...+x^n-1] -a*x*(x-1)[1+x...+ x^(n-3)] . Logo, P(x) = (x-1)*Q(x), para Q(x) = [1 +x...+x^n-1] -a*x*[1+x...+ x^(n-3)]. Devemos ter Q(1) =0, de modo que n - a*(n-2) =0 = a = n/(n-2), n=3. Se n=2, entao P(x) = x^2 -1 eh sempre divisivel por x-1, independentemente de a. Artur Alguem, pode por favor, me ajudar a resolver: Para quais valores de a de n o polinomio: x^n - ax^(n-1) + ax - 1 é divisivel por (x-1)^2 OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: En: [obm-l] polinomio...completa!!!
on 10.12.04 00:12, vinicius at [EMAIL PROTECTED] wrote: - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] polinomio... Data: 09/12/04 02:24 Alguem, pode por favor, me ajudar a resolver: Para quais valores de a de n o polinomio: x^n - ax^(n-1) + ax - 1 é divisivel por (x-1)^2 tem jeito de explicar como faz usando, e sem usar derivada..? Infelizmente (ou felizmente) o uso de derivadas e, em geral, de matematica universitaria, simplifica muito a solucao de varios problemas de nivel medio. Se voce nao quiser usar estes recursos, normalmente vai ter que recorrer a alguma solucao macetosa, envolvendo alguma fatoracao menos obvia. Por exemplo, no caso acima deve ser, obviamente, n = 2. Se n = 2, entao p(x) = x^2 - 1, o qual nao eh divisivel por (x-1)^2. Logo, podemos supor n = 3. Vamos re-escrever o polinomio como: (x^n - 1) - a(x^(n-1) - x) = (x - 1)(x^(n-1) + ... + x + 1) - a(x - 1)(x^(n-2) + ... + x^2 + x) = (x - 1)(x^(n-1) + 1 + (1 - a)(x^(n-2) + ... + x)) Nesse caso, x - 1 deve dividir x^(n-1) + 1 + (1 - a)(x^(n-2) + ... + x) == 1 eh raiz de x^(n-1) + 1 + (1 - a)(x^(n-2) + ... + x) == 2 + (1 - a)(n - 2) = 0 == a = n/(n-2) Logo, os valores de a e n sao dados pelos pares: (n,a) com a = n/(n-2) e n = 3. *** Em suma, acho melhor voce aprender o que eh derivada de um polinomio (conceito que, alias, pode ser totalmente desenvolvido sem que se use a palavra limite, a qual parece ser a maior fonte de dificuldade pra maioria das pessoas) e a relacao entre raizes multiplas e derivadas. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: En: [obm-l] polinomio...retificando!!
Retificando a besteira: se n=2, entao P(x) = x^2 -1 = (x-1)(x+1) e P NUNCA eh divisivel por (x-1)^2 Artur x^n - ax^(n-1) + ax - 1 é divisivel por (x-1)^2 OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] polinomio...
Para quais valores de a e de n acontece o que? Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] polinomio... Data: 09/12/04 02:24 Alguem, pode por favor, me ajudar a resolver: Para quais valores de a de n o polinomio: x^n - ax^(n-1) + ax - 1 tem jeito de explicar como faz usando, e sem usar derivada..? OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] polinomio...
Alguem, pode por favor, me ajudar a resolver: Para quais valores de "a" de "n" o polinomio: ... ? Complete a frase x^n - ax^(n-1) + ax - 1 tem jeito de explicar como faz usando, e sem usar derivada..? Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia Elétrica, 2ºano UNESP - Ilha Solteira
[obm-l] polinomio...
Alguem, pode por favor, me ajudar a resolver: Para quais valores de "a" de"n"o polinomio: x^n - ax^(n-1) + ax - 1 tem jeito de explicar como faz usando, e sem usar derivada..?
[obm-l] [obm-l] Polinomio - retificação
To achando algo de errado nessa questão ... mas tentem fazer pra mim ... Seja p(x) = 16x^5 - 78x^4 + ... + mx - 5 um polinomio de coeficientes reais tal que a equação p(x) = 0 admite mais do que uma raiz real e ainda, a + bi é uma raiz complexa desta equação com a e b diferentes de zero. Sabendo-se que 1/a é a razão da progressão geométrica formada pelas raízes reais de p(x) = 0 e que a soma destas raízes vale 7/8 enquanto que o produto é 1/6, o valor de m é : ... Desculpe ... nao tinha colocado q a progressão era soh das raizes reais .. []´s Regufe _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Polinomio - retificação
E a soma, é só das reais tbm? e o produto? - Original Message - From: Daniel Regufe [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, July 18, 2004 12:03 PM Subject: [obm-l] [obm-l] Polinomio - retificação To achando algo de errado nessa questão ... mas tentem fazer pra mim ... Seja p(x) = 16x^5 - 78x^4 + ... + mx - 5 um polinomio de coeficientes reais tal que a equação p(x) = 0 admite mais do que uma raiz real e ainda, a + bi é uma raiz complexa desta equação com a e b diferentes de zero. Sabendo-se que 1/a é a razão da progressão geométrica formada pelas raízes reais de p(x) = 0 e que a soma destas raízes vale 7/8 enquanto que o produto é 1/6, o valor de m é : ... Desculpe ... nao tinha colocado q a progressão era soh das raizes reais .. []´s Regufe _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Polinomio - retificação
sim ...a soma e o produto se refere as raizes reais ... tenta ae pra mim []`s Regufe From: Igor Castro [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Polinomio - retificação Date: Sun, 18 Jul 2004 14:35:02 -0300 E a soma, é só das reais tbm? e o produto? - Original Message - From: Daniel Regufe [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, July 18, 2004 12:03 PM Subject: [obm-l] [obm-l] Polinomio - retificação To achando algo de errado nessa questão ... mas tentem fazer pra mim ... Seja p(x) = 16x^5 - 78x^4 + ... + mx - 5 um polinomio de coeficientes reais tal que a equação p(x) = 0 admite mais do que uma raiz real e ainda, a + bi é uma raiz complexa desta equação com a e b diferentes de zero. Sabendo-se que 1/a é a razão da progressão geométrica formada pelas raízes reais de p(x) = 0 e que a soma destas raízes vale 7/8 enquanto que o produto é 1/6, o valor de m é : ... Desculpe ... nao tinha colocado q a progressão era soh das raizes reais .. []´s Regufe _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Polinomio - retificação
Se tem mais de uma real, então tem 3(pois as complexas aparecem aos pares, nesse caso a+bi e a-bi). sendo r1 uma raiz real, podemos ter as outras reais com r1/a e r1/(a^2). As 3 reais: r1, r1/a e r1/a^2 soma: r1(1 + 1/a + 1/a^2) = 7/8 produto: r1^3/a^3 = 1/6 soma das 5 raizes: 7/8 + a+bi + a-bi = 78/16 - a = 2 logo, pelo produto das 3 reais r1^3 = 4/3 - r^1 = sqrt3(4/3) Confirando na soma das 3 reais - sqrt3(4/3)(1 + 1/2 + 1/4) = 7/8 (absurdo) Se não me confundi, tem algo estranho mesmo... Talvez o a da raiz complexa não seja o mesmo a da razão da pg.. []´s Igor - Original Message - From: Daniel Regufe [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, July 18, 2004 2:48 PM Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Polinomio - retificação sim ...a soma e o produto se refere as raizes reais ... tenta ae pra mim []`s Regufe From: Igor Castro [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Polinomio - retificação Date: Sun, 18 Jul 2004 14:35:02 -0300 E a soma, é só das reais tbm? e o produto? - Original Message - From: Daniel Regufe [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, July 18, 2004 12:03 PM Subject: [obm-l] [obm-l] Polinomio - retificação To achando algo de errado nessa questão ... mas tentem fazer pra mim ... Seja p(x) = 16x^5 - 78x^4 + ... + mx - 5 um polinomio de coeficientes reais tal que a equação p(x) = 0 admite mais do que uma raiz real e ainda, a + bi é uma raiz complexa desta equação com a e b diferentes de zero. Sabendo-se que 1/a é a razão da progressão geométrica formada pelas raízes reais de p(x) = 0 e que a soma destas raízes vale 7/8 enquanto que o produto é 1/6, o valor de m é : ... Desculpe ... nao tinha colocado q a progressão era soh das raizes reais .. []´s Regufe _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Polinomio - retificação
x1 + x2 + x3 + (a + bi) + (a - bi) = 39/8 2a = 39/8 - 7/8 = 32/8 = 4 a = 2 x1 . x1/2 . x1/4 = 1/6 x1 = cbrt(4/3), x2 = 1/cbrt(6), x3 = 1/[2cbrt(6)] x1 . x2 . x3 . x4 . x5 = 5/16 (1/6).(a^2 + b^2) = 5/16 b^2 = 15/8 - 32/8 = -17/8 b = +- i * sqrt(17/8) x4 = 2 + sqrt(17/8), x5 = 2 - sqrt(17/8) x2 x3 x4 x5 + x1 x3 x4 x5 + x1 x2 x4 x5 + x1 x2 x3 x5 + x1 x2 x3 x4 = m/16 Com coragem, você encontrará: m = 35cbrt(6)/2 + 32/3. Obs. 1: sqrt(x) = raiz quadrada de x, cbrt(x) = raiz cúbica de x Obs. 2: o enunciado diz que (a + bi) é raiz complexa da equação, o que garante que (a - bi) também o será, visto que os coeficientes da equação são reais. Entretanto, o enunciado não diz que a raiz (a + bi) é complexa e não real, assim como também não diz que a e b devem ser reais. []s, Sampaio - Original Message - From: Daniel Regufe [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, July 18, 2004 12:03 PM Subject: [obm-l] [obm-l] Polinomio - retificação To achando algo de errado nessa questão ... mas tentem fazer pra mim ... Seja p(x) = 16x^5 - 78x^4 + ... + mx - 5 um polinomio de coeficientes reais tal que a equação p(x) = 0 admite mais do que uma raiz real e ainda, a + bi é uma raiz complexa desta equação com a e b diferentes de zero. Sabendo-se que 1/a é a razão da progressão geométrica formada pelas raízes reais de p(x) = 0 e que a soma destas raízes vale 7/8 enquanto que o produto é 1/6, o valor de m é : ... []´s Regufe = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Polinomio
To achando algo de errado nessa questão ... mas tentem fazer pra mim ... Seja p(x) = 16x^5 - 78x^4 + ... + mx - 5 um polinomio de coeficientes reais tal que a equação p(x) = 0 admite mais do que uma raiz real e ainda, a + bi é uma raiz complexa desta equação com a e b diferentes de zero. Sabendo-se que 1/a é a razão da progressão geométrica formada pelas raízes de p(x) = 0 e que a soma destas raízes vale 7/8 enquanto que o produto é 1/6, o valor de m é : ... []´s Regufe _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] polinomio homogeneo
Ola, Seja f(x,y,z) tal que f(tx,ty,tz)=t²*f(x,y,z), ou seja f eh homogenea de grau 2. Isso implica em f(x,y,z)=0 para t0? Um abraço, Leonardo _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] polinomio homogeneo
Claro que não. Pegue um exemplo qualquer tipo f(x,y,z) = -x^2 e provavelmente voce já vai se dar conta de que nao tem relacao nenhuma. - Original Message - From: leonardo mattos [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, July 02, 2004 11:01 PM Subject: [obm-l] polinomio homogeneo Ola, Seja f(x,y,z) tal que f(tx,ty,tz)=t²*f(x,y,z), ou seja f eh homogenea de grau 2. Isso implica em f(x,y,z)=0 para t0? Um abraço, Leonardo _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Polinomio 2
Para o Fabio ou qualquer um que puder me explicar: Duvida 1- De onde veio a equacao abaixo ? Q(x) = P(x) - (x+1)^2 Duvida 2- Nao entendi o final: ( ... Note que P(x) não é nem constante e nem linear, nem pode ser do segundo grau, pois então Q(x) também o seria, e como tem três raízes, teria que ser identicamente nulo, o que contradiz Q(-2) = -12 ...) Em uma mensagem de 24/6/2004 11:12:47 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Daniel Regufe said: Eu gostaria de lembrar a resolução dessa questão por determinante ... Alguem pode me ajudar? Considere o polinomio de grau minimo, cuja representação grafica passa pelos pontos: P1(-2,-11), P2(-1,0), P3(1,4), P4(2,9) Determine os coeficientes do polinomio. [...] Note que se o gráfico do polinômio P(x) passa pelos quatro pontos acima, então P(-2) = -11 P(-1) = 0 P(1) = 4 P(2) = 9 Mas então Q(x) = P(x) - (x+1)^2 é tal que Q(-2) = -12 Q(-1) = 0 Q(1) = 0 Q(2) = 0 Logo Q(x) = k(x+1)(x-1)(x-2). Substituindo x=-2, -12 = k*(-1)*(-3)*(-4) == k = 1. Logo P(x) = (x+1)(x-1)(x-2) + (x+1)^2. Note que P(x) não é nem constante e nem linear, nem pode ser do segundo grau, pois então Q(x) também o seria, e como tem três raízes, teria que ser identicamente nulo, o que contradiz Q(-2) = -12. []s, -- Fábio Dias Moreira
Re: [obm-l] Polinomio 2
[EMAIL PROTECTED] said: Para o Fabio ou qualquer um que puder me explicar: Duvida 1- De onde veio a equacao abaixo ? Q(x) = P(x) - (x+1)^2 [...] Eu apenas reparei que P(-1), P(1) e P(2) determinam um polinômio que eu já conheço, que é (x+1)^2. Se não fosse pelo P(-2), eu já teria resolvido o problema. Mas é *muito* mais conveniente trabalhar com polinômios cheios de raízes, e por isso eu escolhi esse Q(x) -- para criar raízes no meu polinômio. Duvida 2- Nao entendi o final: ( ... Note que P(x) não é nem constante e nem linear, nem pode ser do segundo grau, pois então Q(x) também o seria, e como tem três raízes, teria que ser identicamente nulo, o que contradiz Q(-2) = -12 ...) [...] Eu achei um polinômio do terceiro grau que passa pelos pontos dados, mas até antes desse parágrafo, ainda não demonstrei que é o polinômio de grau minimo que passa pelos quatro pontos. (E se você citou os trechos relevantes, não precisava deixar a minha mensagem *inteira* na resposta) []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Polinomio 2
Eu gostaria de lembrar a resolução dessa questão por determinante ... Alguem pode me ajudar? Considere o polinomio de grau minimo, cuja representação grafica passa pelos pontos: P1(-2,-11), P2(-1,0), P3(1,4), P4(2,9) Determine os coeficientes do polinomio. Abraços Daniel Regufe _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Polinomio 2
Daniel Regufe said: Eu gostaria de lembrar a resolução dessa questão por determinante ... Alguem pode me ajudar? Considere o polinomio de grau minimo, cuja representação grafica passa pelos pontos: P1(-2,-11), P2(-1,0), P3(1,4), P4(2,9) Determine os coeficientes do polinomio. [...] Note que se o gráfico do polinômio P(x) passa pelos quatro pontos acima, então P(-2) = -11 P(-1) = 0 P(1) = 4 P(2) = 9 Mas então Q(x) = P(x) - (x+1)^2 é tal que Q(-2) = -12 Q(-1) = 0 Q(1) = 0 Q(2) = 0 Logo Q(x) = k(x+1)(x-1)(x-2). Substituindo x=-2, -12 = k*(-1)*(-3)*(-4) == k = 1. Logo P(x) = (x+1)(x-1)(x-2) + (x+1)^2. Note que P(x) não é nem constante e nem linear, nem pode ser do segundo grau, pois então Q(x) também o seria, e como tem três raízes, teria que ser identicamente nulo, o que contradiz Q(-2) = -12. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] polinomio interpolador na forma de newton
Estou estudando interpolacao polinomial pelo livro da Ana Flora Humes, Ines Homem de Melo, Luzia Yoshida e Wagner Tunis Martins. O livro é muito bom, mas particularmente nessa parte do polinomio interpolador na forma de newton as provas sao na maior parte feitas por indução sonolentas e gigantes. Lamentavel o livro nao traga referencias historicas, mas acredito que o metodo foi criado por Newton e certamente ele nao usou inducao para chegar aos mesmos resultados. Assim eu pergunto: Alguem conhece algum lugar (site, livro) onde eu possa ver as ideias originais do Newton? Obrigado. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] polinomio interpolador na forma de newton
An introduction to the calculus of finite differences Richardson == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: niski [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wed, 16 Jun 2004 15:55:30 -0300 Subject: [obm-l] polinomio interpolador na forma de newton Estou estudando interpolacao polinomial pelo livro da Ana Flora Humes, Ines Homem de Melo, Luzia Yoshida e Wagner Tunis Martins. O livro é muito bom, mas particularmente nessa parte do polinomio interpolador na forma de newton as provas sao na maior parte feitas por indução sonolentas e gigantes. Lamentavel o livro nao traga referencias historicas, mas acredito que o metodo foi criado por Newton e certamente ele nao usou inducao para chegar aos mesmos resultados. Assim eu pergunto: Alguem conhece algum lugar (site, livro) onde eu possa ver as ideias originais do Newton? Obrigado. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] polinomio interpolador na forma de newton
Tente o PRINCIPIA (Isaac Newton). Regards Leandro Los Angeles, CA -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of niski Sent: Wednesday, June 16, 2004 11:56 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] polinomio interpolador na forma de newton Estou estudando interpolacao polinomial pelo livro da Ana Flora Humes, Ines Homem de Melo, Luzia Yoshida e Wagner Tunis Martins. O livro é muito bom, mas particularmente nessa parte do polinomio interpolador na forma de newton as provas sao na maior parte feitas por indução sonolentas e gigantes. Lamentavel o livro nao traga referencias historicas, mas acredito que o metodo foi criado por Newton e certamente ele nao usou inducao para chegar aos mesmos resultados. Assim eu pergunto: Alguem conhece algum lugar (site, livro) onde eu possa ver as ideias originais do Newton? Obrigado. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] polinomio interpolador na forma de newton
Poxa ai voce exagerou. Quero as ideias dele mas nas notacoes e vocabulario atual. Fora que eu nem sei se ele trata disso no Principia. Vou seguir a ideia do Morgado. Leandro Lacorte Recova wrote: Tente o PRINCIPIA (Isaac Newton). Regards Leandro Los Angeles, CA -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of niski Sent: Wednesday, June 16, 2004 11:56 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] polinomio interpolador na forma de newton Estou estudando interpolacao polinomial pelo livro da Ana Flora Humes, Ines Homem de Melo, Luzia Yoshida e Wagner Tunis Martins. O livro é muito bom, mas particularmente nessa parte do polinomio interpolador na forma de newton as provas sao na maior parte feitas por indução sonolentas e gigantes. Lamentavel o livro nao traga referencias historicas, mas acredito que o metodo foi criado por Newton e certamente ele nao usou inducao para chegar aos mesmos resultados. Assim eu pergunto: Alguem conhece algum lugar (site, livro) onde eu possa ver as ideias originais do Newton? Obrigado. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] polinomio interpolador na forma de newton
Eu estava brincando. A ideia do Morgado e excelente. Leandro. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of niski Sent: Wednesday, June 16, 2004 1:14 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] polinomio interpolador na forma de newton Poxa ai voce exagerou. Quero as ideias dele mas nas notacoes e vocabulario atual. Fora que eu nem sei se ele trata disso no Principia. Vou seguir a ideia do Morgado. Leandro Lacorte Recova wrote: Tente o PRINCIPIA (Isaac Newton). Regards Leandro Los Angeles, CA -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of niski Sent: Wednesday, June 16, 2004 11:56 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] polinomio interpolador na forma de newton Estou estudando interpolacao polinomial pelo livro da Ana Flora Humes, Ines Homem de Melo, Luzia Yoshida e Wagner Tunis Martins. O livro é muito bom, mas particularmente nessa parte do polinomio interpolador na forma de newton as provas sao na maior parte feitas por indução sonolentas e gigantes. Lamentavel o livro nao traga referencias historicas, mas acredito que o metodo foi criado por Newton e certamente ele nao usou inducao para chegar aos mesmos resultados. Assim eu pergunto: Alguem conhece algum lugar (site, livro) onde eu possa ver as ideias originais do Newton? Obrigado. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] polinomio x comprimento arco x existencia.
Suponha que a funcao polinomial f:[a,b] - R tenha um comprimento de arco c. Toda funcao polinomial g:[a,b] - R dada por g(x) = f(x) + d (d = constante real) tambem vai ter o mesmo grau que f e o mesmo comprimento de arco. Ou seja, existe uma infinidade nao enumeravel de funcoes polinomiais nas condicoes do enunciado. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Sat, 29 May 2004 16:14:49 -0300 Assunto: [obm-l] polinomio x comprimento arco x existencia. Dado um polinomio de grau n em R.Se considerarmos um intervalo [a,b] quantos polinomios de mesmo grau existem cujo comprimento do arco no intervalo eh igual ao do polinimio dado? Ou nao existe nenhum outro alem do inicial ? Seexistir algum teorema relacionando isso ou alguma dicaUTIL (nao ta em caixa alta a toa)ta valendo. Obrigado, J ATt.
Re: [obm-l] polinomio x comprimento arco x existencia.
Title: Re: [obm-l] polinomio x comprimento arco x existencia. Supondo que, por comprimento de arco do polinomio f(x) entre x_1 e x_2 (x_1 x_2), entende-se o valor de Integral(x_1...x_2) raiz(1 + f'(x)^2)dx, a minha resposta eh a mesma. on 30.05.04 17:14, J. A Tavares. at [EMAIL PROTECTED] wrote: Desculpe, acho q nao me expressei bem. Vamos la. Tenhamos x_1 e x_2 dentro desse intervalo [a,b], com x_1 x_2. Na regiao delimitada por esses dois pontos vai existir outro polinomio de mesmo grau e com o mesmo comprimento do polinomio dado?Se existir, qtos ? Obrigado, J. ATt - Original Message - From: claudio.buffara mailto:[EMAIL PROTECTED] To: obm-l mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, May 30, 2004 3:21 AM Subject: Re:[obm-l] polinomio x comprimento arco x existencia. Suponha que a funcao polinomial f:[a,b] - R tenha um comprimento de arco c. Toda funcao polinomial g:[a,b] - R dada por g(x) = f(x) + d (d = constante real) tambem vai ter o mesmo grau que f e o mesmo comprimento de arco. Ou seja, existe uma infinidade nao enumeravel de funcoes polinomiais nas condicoes do enunciado. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Sat, 29 May 2004 16:14:49 -0300 Assunto: [obm-l] polinomio x comprimento arco x existencia. Dado um polinomio de grau n em R.Se considerarmos um intervalo [a,b] quantos polinomios de mesmo grau existem cujo comprimento do arco no intervalo eh igual ao do polinimio dado? Ou nao existe nenhum outro alem do inicial ? Se existir algum teorema relacionando isso ou alguma dica UTIL (nao ta em caixa alta a toa) ta valendo. Obrigado, J ATt.
[obm-l] polinomio x comprimento arco x existencia.
Dado um polinomio de grau n em R.Se considerarmos um intervalo [a,b] quantos polinomios de mesmo grau existem cujo comprimento do arco no intervalo eh igual ao do polinimio dado? Ou nao existe nenhum outro alem do inicial ? Seexistir algum teorema relacionando isso ou alguma dicaUTIL (nao ta em caixa alta a toa)ta valendo. Obrigado, J ATt.
[obm-l] Polinomio Quadrado Perfeito
Oi, pessoal: O problema do Maurizio me fez pensar nesse aqui: f(x) eh um polinomio de grau 4 e coeficientes inteiros. f(n) eh quadrado perfeito para 5 valores inteiros distintos de n. Prove ou disprove: existe um polinomio g(x) com coeficientes inteiros e tal que f(x) = (g(x))^2. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Polinomio Quadrado Perfeito
Tome f(x) = x(x-2)(x+2)(x+4) f(0) = f(2) = f(-2) = f(-4) = 0 que é quadrado perfeito f(-1) = (-1)(-3)(1)(3) = 9 que é quadrado perfeito. f não é quadrado de nenhum polinômio. Como eu achei o polinômio? Eu queria 4 raízes inteiras e 1 ponto que fosse quadrado perfeito, utilizei o mathematica para obter o polinômio usando interpolação. [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Polinomio Quadrado Perfeito
on 28.04.04 19:58, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote: Tome f(x) = x(x-2)(x+2)(x+4) f(0) = f(2) = f(-2) = f(-4) = 0 que é quadrado perfeito f(-1) = (-1)(-3)(1)(3) = 9 que é quadrado perfeito. f não é quadrado de nenhum polinômio. Como eu achei o polinômio? Eu queria 4 raízes inteiras e 1 ponto que fosse quadrado perfeito, utilizei o mathematica para obter o polinômio usando interpolação. [ ]'s Legal! Proxima pergunta: existe algum inteiro positivo m tal que se f(n) eh quadrado perfeito para m valores inteiros distintos de n, entao f(x) eh quadrado de algum polinomio? []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Polinomio Quadrado Perfeito
on 28.04.04 20:24, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote: on 28.04.04 19:58, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote: Tome f(x) = x(x-2)(x+2)(x+4) f(0) = f(2) = f(-2) = f(-4) = 0 que é quadrado perfeito f(-1) = (-1)(-3)(1)(3) = 9 que é quadrado perfeito. f não é quadrado de nenhum polinômio. Como eu achei o polinômio? Eu queria 4 raízes inteiras e 1 ponto que fosse quadrado perfeito, utilizei o mathematica para obter o polinômio usando interpolação. [ ]'s Legal! Proxima pergunta: existe algum inteiro positivo m tal que se f(n) eh quadrado perfeito para m valores inteiros distintos de n, entao f(x) eh quadrado de algum polinomio? Pelo menos em grau 2, a resposta eh nao. Exemplo: f(x) = 2x^2 + 1 nao eh quadrado de nenhum polinomio. No entanto, existe uma infinidade de inteiros n tais que 2n^2 + 1 = m^2, pois a equacao de Pell 2x^2 - y^2 = 1 tem infinitas solucoes. Nao faco ideia do que acontece em grau 4. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] POLINOMIO
p(x)-1=((x-x_1)(x-x_2))^2 so por enquanto.t_i sao complexos. k*(x-t_1)(x-t_2)(x-t_3)(x-t_4)=1+((x-x_1)(x-x_2))^2 Bem, ai e so usar um pouco de Teoria dos Numeros.Talvez eu feche em casa... -- Mensagem original -- Oi, pessoal: A solução que o Ricardo deu pra esse problema do polinômio me fez lembrar de um outro, talvez um pouco mais difícil, mas cuja solução usa a mesma idéia (que aliás, ele não explicitou em sua solução - 5 pontos determinam um polinômio de 5o. grau a menos de uma constante multiplicativa. Foi isso que ele usou quando escreveu: P(x)-1=k.(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5). Obviamente, isso vale pra polinômios de qualquer grau). O problema é o seguinte: Sejam a_1, a_2, ..., a_n inteiros distintos dois a dois. Prove que o polinômio: p(x) = (x - a_1)^2*(x - a_2)^2*...*(x - a_n)^2 + 1 é irredutível sobre os inteiros (e, portanto, sobre os racionais). Se ninguém conseguir, daqui a alguns dias eu dou uma dica. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Cópia: Data:Thu, 25 Mar 2004 20:28:06 -0300 Assunto:Re: [obm-l] POLINOMIO Warley wrote: Se P(x) eh um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições 1=P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5) e P(6)=0, então temos: a)P(0)=4 b)P(0)=3 c)P(0)=9 d)P(0)=2 e)nra Se P(a)=1, então P(a)-1=0, ou seja (x-a) é fator de P(x)-1. Logo, P(x)-1=k.(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) Onde k é uma constante real. Se P(6)=0, então P(6)-1=k.(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5) -1=k.5! k=-1/120 Logo, P(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)/120 e portanto P(0)=1-(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)/120=1+120/120=2 P(0)=2 e resposta é (d) Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -O QUE FAREMOS AMANBHA A NOITE CEREBRO? -AQUILO QUE FAZEMOS TODAS AS NOITES, PINKY: TENTAR CONQUISTAR O MUNDO!! -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] POLINOMIO
Aqui vai a dica: Se p(x) eh redutivel sobre Q, entao, pelo lema de Gauss, existem f(x) e g(x), ambos nao constantes, de coeficientes inteiros, e tais que p(x) = f(x)*g(x). Eh claro que grau(p) = grau(f) + grau(g) = 2n. Como p(x) eh sempre positivo, f e g devem ter o mesmo sinal, que podemos supor s.p.d.g. que eh positivo. Como p(a_1) = p(a_2) = ... = p(a_n) = 1, temos que: f(a_1)*g(a_1) = ... = f(a_n)*g(a_n) = 1 Pergunta: O que podemos dizer sobre os graus de f(x) e g(x)? []s, Claudio. on 02.04.04 10:41, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: p(x)-1=((x-x_1)(x-x_2))^2 so por enquanto.t_i sao complexos. k*(x-t_1)(x-t_2)(x-t_3)(x-t_4)=1+((x-x_1)(x-x_2))^2 Bem, ai e so usar um pouco de Teoria dos Numeros.Talvez eu feche em casa... -- Mensagem original -- Oi, pessoal: A solução que o Ricardo deu pra esse problema do polinômio me fez lembrar de um outro, talvez um pouco mais difícil, mas cuja solução usa a mesma idéia (que aliás, ele não explicitou em sua solução - 5 pontos determinam um polinômio de 5o. grau a menos de uma constante multiplicativa. Foi isso que ele usou quando escreveu: P(x)-1=k.(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5). Obviamente, isso vale pra polinômios de qualquer grau). O problema é o seguinte: Sejam a_1, a_2, ..., a_n inteiros distintos dois a dois. Prove que o polinômio: p(x) = (x - a_1)^2*(x - a_2)^2*...*(x - a_n)^2 + 1 é irredutível sobre os inteiros (e, portanto, sobre os racionais). Se ninguém conseguir, daqui a alguns dias eu dou uma dica. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Cópia: Data:Thu, 25 Mar 2004 20:28:06 -0300 Assunto:Re: [obm-l] POLINOMIO Warley wrote: Se P(x) eh um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições 1=P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5) e P(6)=0, então temos: a)P(0)=4 b)P(0)=3 c)P(0)=9 d)P(0)=2 e)nra Se P(a)=1, então P(a)-1=0, ou seja (x-a) é fator de P(x)-1. Logo, P(x)-1=k.(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) Onde k é uma constante real. Se P(6)=0, então P(6)-1=k.(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5) -1=k.5! k=-1/120 Logo, P(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)/120 e portanto P(0)=1-(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)/120=1+120/120=2 P(0)=2 e resposta é (d) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Polinomio caracteristico de uma matriz
Eu sei que a demonstracao do que vou dizer tem em qualquer livro de Algebra Linear. Mas, se alguem se lembrar e nao for muito complicado (no momento naum estou lembrado dos detalhes, mas acho que naum eh muito trivial), seria possivel alinhavar a demonstracao de que, se A eh uma matriz quadrada e P eh seu polinomio caracteristico, entao P(A) = 0? Se A for diagonalizavel hah uma prova bem simples, mas no caso geral eh mais complicado. Artur __ Do you Yahoo!? Yahoo! Finance Tax Center - File online. File on time. http://taxes.yahoo.com/filing.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Polinomio caracteristico de uma matriz
Oi, Artur: A demonstração-padrão usa a matriz adjunta clássica (transposta da matriz dos cofatores) e está aqui: http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/99/ham_cayley ou aqui: http://mathforum.org/library/drmath/view/51991.html Mas você vai gostar mesmo é dessa aqui: www.math-cs.cmsu.edu/~mjms/1995.2/rosoff.ps []s, Claudio. - Original Message - From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] To: OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, March 31, 2004 10:55 AM Subject: [obm-l] Polinomio caracteristico de uma matriz Eu sei que a demonstracao do que vou dizer tem em qualquer livro de Algebra Linear. Mas, se alguem se lembrar e nao for muito complicado (no momento naum estou lembrado dos detalhes, mas acho que naum eh muito trivial), seria possivel alinhavar a demonstracao de que, se A eh uma matriz quadrada e P eh seu polinomio caracteristico, entao P(A) = 0? Se A for diagonalizavel hah uma prova bem simples, mas no caso geral eh mais complicado. Artur __ Do you Yahoo!? Yahoo! Finance Tax Center - File online. File on time. http://taxes.yahoo.com/filing.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Polinomio caracteristico de uma matriz
On Wed, Mar 31, 2004 at 05:55:48AM -0800, Artur Costa Steiner wrote: Eu sei que a demonstracao do que vou dizer tem em qualquer livro de Algebra Linear. Mas, se alguem se lembrar e nao for muito complicado (no momento naum estou lembrado dos detalhes, mas acho que naum eh muito trivial), seria possivel alinhavar a demonstracao de que, se A eh uma matriz quadrada e P eh seu polinomio caracteristico, entao P(A) = 0? Se A for diagonalizavel hah uma prova bem simples, mas no caso geral eh mais complicado. Se o corpo for o dos reais ou complexos, o conjunto das matrizes com espectro simples (nenhum autovalor repetido) forma um aberto denso e todas estas são diagonalizáveis. Ora, a identidade p_A(A) = 0, devidamente expandida, vira q(a11, a12, ..., ann) = 0 onde q é um certo polinômio de coeficientes inteiros. Se este polinômio se anula num aberto denso é pq ele é identicamente 0. Isto prova que p_A(A) = 0 para qualquer matriz e qualquer corpo de coeficientes. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] POLINOMIO
Oi, pessoal: A solução que o Ricardo deu pra esse problema do polinômio me fez lembrar de um outro, talvez um pouco mais difícil, mas cuja solução usa a mesma idéia (que aliás, ele não explicitou em sua solução - 5 pontos determinam um polinômio de 5o. grau a menos de uma constante multiplicativa. Foi isso que ele usou quando escreveu: P(x)-1=k.(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5). Obviamente, isso vale pra polinômios de qualquer grau). O problema é o seguinte: Sejam a_1, a_2, ..., a_n inteiros distintos dois a dois. Prove que o polinômio: p(x) = (x - a_1)^2*(x - a_2)^2*...*(x - a_n)^2 + 1 é irredutível sobre os inteiros (e, portanto, sobre os racionais). Se ninguém conseguir, daqui a alguns dias eu dou uma dica. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Thu, 25 Mar 2004 20:28:06 -0300 Assunto: Re: [obm-l] POLINOMIO Warley wrote: Se P(x) eh um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições 1=P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5) e P(6)=0, então temos: a)P(0)=4 b)P(0)=3 c)P(0)=9 d)P(0)=2 e)nra Se P(a)=1, então P(a)-1=0, ou seja (x-a) é fator de P(x)-1. Logo, P(x)-1=k.(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) Onde k é uma constante real. Se P(6)=0, então P(6)-1=k.(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5) -1=k.5! k=-1/120 Logo, P(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)/120 e portanto P(0)=1-(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)/120=1+120/120=2 P(0)=2 e resposta é (d) Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara sanpo shimashou" -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] POLINOMIO
E aí pessoal? Já tentei de tudo e não consegui resolver o problema que segue. Alguem pode me ajudar? Se P(x) eh um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições 1=P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5) e P(6)=0, então temos: a)P(0)=4 b)P(0)=3 c)P(0)=9 d)P(0)=2 e)nra
Re: [obm-l] POLINOMIO
Warley wrote: Se P(x) eh um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições 1=P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5) e P(6)=0, então temos: a)P(0)=4 b)P(0)=3 c)P(0)=9 d)P(0)=2 e)nra Se P(a)=1, então P(a)-1=0, ou seja (x-a) é fator de P(x)-1. Logo, P(x)-1=k.(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) Onde k é uma constante real. Se P(6)=0, então P(6)-1=k.(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5) -1=k.5! k=-1/120 Logo, P(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)/120 e portanto P(0)=1-(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)/120=1+120/120=2 P(0)=2 e resposta é (d) Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] POLINOMIO
Note que se P(m) = m então P(x) = (x-m).Q(x) + m ou seja P(x) - m = (x-m).Q(x) Assim, do enunciado vem que P(x) - 1 = (x-1).Q1(x) P(x) - 1 = (x-2).Q2(x) P(x) - 1 = (x-3).Q3(x) P(x) - 1 = (x-4).Q4(x) P(x) - 1 = (x-5).Q5(x) Veja que o polinomio P(x) -1 é divisivel por (x-1), (x-2), ...,(x-5) ou seja é divisivel pelo produto deles. Temos entao P(x)-1 = k(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) (k real != 0) Use o fato que P(6) = 0 e -1 = k(5)(4)(3)(2)(1) temos que k = -1/120 Assim P(x) = (-1/120)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + 1 P(0) = 2 Warley wrote: E aí pessoal? Já tentei de tudo e não consegui resolver o problema que segue. Alguem pode me ajudar? Se P(x) eh um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições 1=P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5) e P(6)=0, então temos: a)P(0)=4 b)P(0)=3 c)P(0)=9 d)P(0)=2 e)nra -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Polinomio Irredutivel
Oi, Rafael: Obrigado pela referencia. E os outros problemas da lista do Zagier tambem sao bem legais (e nada triviais...). Um abraco, Claudio. on 04.03.04 02:11, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: Cláudio, Conheci esse problema não faz muito tempo. A demonstração dele está aqui: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~john/Zagier/Solution3.1.html. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, March 03, 2004 5:33 PM Subject: [obm-l] Polinomio Irredutivel Oi, pessoal: O problema abaixo deve ser manjado, mas como eh bonitinho, resolvi mandar pra lista: Seja (a_n a_(n-1) ... a_2 a_1 a_0) a representacao decimal de um numero primo. Prove que o polinomio p(x) = a_n*x^n + ... + a_2*x^2 + a_1*x + a_0 eh irredutivel sobre os racionais. Por exemplo, 123457 eh primo. Portanto, x^5 + 2*x^4 + 3*x^3 + 4*x^2 + 5*x + 7 eh irredutivel sobre Q. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Polinomio Irredutivel
hehehe... desculpe o meu abestalhamento, mas o que é um polinomio irredutivel sobre os racionais? Irredutivel = não-redutivel Vc poderia dar um exemplo, bem simples, de um polinomio redutivel sendo reduzido? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Polinomio Irredutivel
on 03.03.04 23:08, David at [EMAIL PROTECTED] wrote: hehehe... desculpe o meu abestalhamento, mas o que é um polinomio irredutivel sobre os racionais? Irredutivel = não-redutivel Vc poderia dar um exemplo, bem simples, de um polinomio redutivel sendo reduzido? Polinomio irredutivel sobre os racionais = polinomio que nao pode ser expresso como produto de polinomios nao constantes de menor grau com coeficientes racionais. p(x) = x^2 - 2 eh irredutivel sobre Q; p(x) = x^2 - 2 eh redutivel sobre R, pois p(x) = (x + sqrt(2))(x - sqrt(2)) q(x) = x^4 + 6x^3 + 16x^2 + 23x + 24 eh redutivel sobre Q, pois: q(x) = (x^2 + x + 3)(x^2 + 5x + 8) Note que este ultimo exemplo mostra que um polinomio pode ser redutivel sobre Q mesmo que suas raizes nao sejam racionais (no caso, nao sao nem reais). Espero que tenha ficado claro. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Polinomio Irredutivel
Este problema e superdivertido Vamos supor por absurdo que o Claudio esta errado. Veja que se q e esse primo entao q=p(10) Assim, ao fatorarmos o polinomio p em complexos ja da para tirar algumas conclusoes.Se eu nao me engano, ao tirar os modulos (em |C) ve-se que as raizes sao grandes: p(x)=A(x-z1)(x-z2)...(x-zn) onde as raizes podem ser multiplas. Ai voce fatora p=p´*p'',calcula p(10), ve os modulos e confere que as duas coisas sao maiores que 1, absurdo. Me desculpe o mau jeito, e que eu acabo de entrar na USP de Sao Carlos e to usando o Linux de ca, e daqui a pouco to tendo que ir que ja to e-n-l-o-u-q-u-e-c-i-d-o de sono.Depois eu volto para contribuir com a Lista. Te maisAss.:Johann --- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, pessoal: O problema abaixo deve ser manjado, mas como eh bonitinho, resolvi mandar pra lista: Seja (a_n a_(n-1) ... a_2 a_1 a_0) a representacao decimal de um numero primo. Prove que o polinomio p(x) = a_n*x^n + ... + a_2*x^2 + a_1*x + a_0 eh irredutivel sobre os racionais. Por exemplo, 123457 eh primo. Portanto, x^5 + 2*x^4 + 3*x^3 + 4*x^2 + 5*x + 7 eh irredutivel sobre Q. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: http://br.yahoo.com/info/mail.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Polinomio divisivel por m
Oi, pessoal: Aqui estah um problema levemente relacionado com o problema 1 da OBM nivel 3 desse ano (3a. fase): Prove que, para todo inteiro m (m 0), existe um inteiro x tal que: P(x) = (x^2 - 13)*(x^2 - 17)*(x^2 - 221) eh divisivel por m. (ou seja, pra quem conhece congruencias, P(x) == 0 (mod m) tem solucao para todo m 0) Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinomio divisivel por m
Pronto! Soh um detalhe. O argumento que fiz abaixo mostra que existe n
tal que f(n)=0 (mod p) qdo p é diferente de 13 e 17. Para completar essa
parte, basta observar que
(17/13) = (4/13) = (2/13)^2 = 1.
e que pela lei de reciprocidade quadrática:
(13/17)= (-1)^(6x8).(17/13) = 1.
Para o caso de achar n tal que f(n)= 0 ( mod p^k), vamos usar o seguinte
lema:
Seja f(x) in Z[x] e A um inteiro que não divide o coeficiente líder
de f. Se existe n tal que f(n)= 0 (mod A) e f´(n) != 0 (mod A), então para
todo k natural existe n_k tal que
f(n_k)= 0 (mod A^k).
Daí, basta ver que os m que encontramos no argumento inicial satisfazem
o lema, e o resultado segue.
Ateh mais,
Yuri
-- Mensagem original --
Oi Claudio,
Seja f o polinômio. Acho que uma ideia eh a seguinte: Se m= prod (i=1
até k) (p_i^(a_i)), basta verificarmos que existem n_1,..., n_k tais que
f(n_i) = 0 (mod p_i^a_i),
pois tendo isso o teorema chinês dos restos ganrante que existe m satisfazendo:
m = n_1 ( mod p_1^a_1)
.
.
.
m = n_k ( mod p_k^a_k)
e como a = b ( mod T ) = f(a) - f(b) ( mod T ), o resultado segue.
Basta então se preocupar com os primos. Isso eu acho que dah pra mostrar
por indução. Observe o seguinte:
p=2: basta tomar x ímpar.
p2: vamos usar residuos quadráticos. Seja (a/p) in {-1, 0, 1} o simbolo
de Legendre. Então:
(13/p).(17/p)(221/p)=(13^2/p).(17^2/p)= 1.
Logo, como temos três fatores, algum deles é igual a 1, pois caso contrario
(13/p).(17/p)(221/p) = (-1)(-1)(-1) = -1
Suponha que tal fator seja (13/p). Então existe n tal que n^2 - 13 =
0
( mod p ).
Para potências maiores de p, eu vou pensar um pouquinho!
Ateh mais,
Yuri
-- Mensagem original --
Oi, pessoal:
Aqui estah um problema levemente relacionado com o problema 1 da OBM nivel
3
desse ano (3a. fase):
Prove que, para todo inteiro m (m 0), existe um inteiro x tal que:
P(x) = (x^2 - 13)*(x^2 - 17)*(x^2 - 221)
eh divisivel por m.
(ou seja, pra quem conhece congruencias, P(x) == 0 (mod m) tem solucao
para
todo m 0)
Um abraco,
Claudio.
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[]'s, Yuri
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[obm-l] Polinomio(IME)
Ola pessoal, Prove que x^999+x^888+x^777+...+x^111+1 é divisivel por x^9+x^8+x^7+...+x+1. Um abraço,Leonardo _ Converse com seus amigos online, faça o download grátis do MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] polinomio
Eu nao sei direito mas acho que usa complexos "adr.scr.m" [EMAIL PROTECTED] escreveu: gostaria de uma ajuda nessa questao,P(x) eh um polinomio de grau 3n tal queP(0)=P(3)=...=P(3n)=2P(1)=P(4)=...=P(3n-2)=1P(2)=P(5)=...=P(3n-1)=0e P(3n+1)=730Determine n.[]'s.Obrigado.Adriano.__AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado!Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>= Yahoo! PageBuilder - O super editor para criação de sites: é grátis, fácil e rápido.
[obm-l] polinomio
gostaria de uma ajuda nessa questao, P(x) eh um polinomio de grau 3n tal que P(0)=P(3)=...=P(3n)=2 P(1)=P(4)=...=P(3n-2)=1 P(2)=P(5)=...=P(3n-1)=0 e P(3n+1)=730 Determine n. []'s. Obrigado. Adriano. __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Polinomio
Prove ou dê um contra-exemplo: Seja P um polinômio de grau n entao P pode ser escrito como: P(x)=sum((x,k)*sum((k,j)*(-1)^j*P(j))), onde a soma interna é de j=0,..,k e a externa de k=0,..,n. obrigado!! Gabriel Haeser www.gabas.cjb.net Mathematicus nascitur, non fit Matemáticos não são feitos, eles nascem --- Gabriel Haeser www.gabas.cjb.net -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Polinomio
Prove ou dê um contra-exemplo: Seja P um polinômio de grau n entao P pode ser escrito como: P(x)=sum((x,k)*sum((k,j)*(-1)^j*P(j))), onde a soma interna é de j=0,..,k e a externa de k=0,..,n. e (z,y) é o numero binomial z!/[y!*(z-y)!] obrigado!! Mathematicus nascitur, non fit Matemáticos não são feitos, eles nascem --- Gabriel Haeser www.gabas.cjb.net -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
