Re: [obm-l] Exercicio olimpico
O problema formulado corretamente é: Mostre que existe um inteiro positivo a tal que (a^29-1)/(a-1) tem pelo menos 2007 fatores primos distintos. (aliás, não se pode afirmar que a^29 == a mod 29, desconsidere meu email anterior) escreva-se (a^29-1)/(a-1) = p_1^a_1*p_2^a_2*...*p_n^a_r, com p_1, p_2,..., p_n totalizando 2007 fatores primos distintos ( particularmente, n = 2007) chamaremos N = p_1^a_1*p_2^a_2*...*p_n^a_n == == phi(N) = 2^2007*I*p_1^(a_1 - 1)*p_2(^a_2 - 1)*...*p_n^(a_n - 1), sendo I um ímpar qualquer (a^29-1)/(a-1) == 0 mod N == (a^29-1)/(a-1) + 1 == 1 mod N == a^29 - 1+ a - 1 == a - 1 mod N == a^29 == 1 mod N a^29 == 1 mod N como (a^29-1)/(a-1) = 1 + a + a^2 + a^3 + ... + a^28 == N == 1 mod a == N^phi(a) == 1^phi(a) mod a == N^phi(a) == 1 mod a assim a^29 == 1 mod N, e N^phi(a) == 1 mod a daqui eu não consegui sair - Original Message - From: Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, December 03, 2007 5:09 PM Subject: Res: [obm-l] Exercicio olimpico fala só em 2007 fatores primos? sem especificar se são distintos ou não, então? pode ser p^2007 se não houver essa restrição, digamos (a^29-1)/(a-1) = p^2007 == == a^29 - a*p^2007 + (p^2007 - 1) = 0 por fermat a^29 == a mod 29 a divide (p^2007 - 1) == p^2007 == 1 mod a continua com fi de a, acho q sai alguma coisa... - Mensagem original De: Ruy Oliveira [EMAIL PROTECTED] Para: Lista discussão obm obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Segunda-feira, 3 de Dezembro de 2007 16:39:16 Assunto: [obm-l] Exercicio olimpico Caiu na terceira fase...Qual o valor de a para que(a^29-1)/(a-1)tenha pelo menos 2007 fatores primos? Não sei se o enunciado perguntava qual o menor valor de a Se alguém puder me mandar a resolução agradeço antecipadamente. Ruy Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercicio olimpico
rust escreveu: se p divide (a^29 - 1)/(a - 1), com p29, então p == 1 mod 29 e para todo primo p == 1 mod 29 existe pelo menos um a_p incongruente a 1 mod p tal que p divide [(a + lp)^29 - 1]/(a + lp - 1). Assim, pelo teorema do resto chinês, podemos escolher um a tal que a == a_p mod p_i, i = 1,2,3,...,n = 2007 - Original Message - From: Fernando Oliveira To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, December 05, 2007 10:03 AM Subject: Re: [obm-l] Exercicio olimpico Se alguém souber inglês, pode tentar decifrar o que escreveram aqui: http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=173020 -- Fernando Oliveira
[obm-l] Re: [obm-l] segunda fase - nível universitário 2007
Olá Marcelo,
você leu a demonstração abaixo?gostaria de saber se ela contém algum erro
abraços
- Original Message -
From: Marcelo Salhab Brogliato
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Sunday, December 09, 2007 1:50 AM
Subject: Re: [obm-l] segunda fase - nível universitário 2007
eita... desculpe! tava pensando e sem querer apertei um atalho e enviou...
hehe ;)
abraços,
Salhab
On Dec 9, 2007 2:50 AM, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá Rodrigo,
Dado um inteiro positivo n, mostre que existe um inteiro positivo N com a
seguinte propriedade: se A é um subconjunto de {1,2,...,N} com pelo menos N/2
elementos, então existe um inteiro positivo m= N - n tal que |A interseção
com {m+1, m+2,..., m+k}|=k/2 para todo k = 1, 2, …, n.
|AUB| = |A| + |B| - |AinterB|
|A inter {m+1, m+2, ..., m+k}| = |A| + |{m+1, m+2, ..., m+k}| - |A uniao
{m+1, m+2, ..., m+k}|
|A inter {m+1, m+2, ..., m+k}| = |A| + k - |A uniao {m+1, m+2, ..., m+k}|
On Dec 6, 2007 6:19 PM, Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] wrote:
PROBLEMA 2:
Dado um inteiro positivo n, mostre que existe um inteiro positivo N com a
seguinte propriedade: se A é um subconjunto de {1,2,...,N} com pelo menos N/2
elementos, então existe um inteiro positivo m= N - n tal que |A interseção
com {m+1, m+2,..., m+k}|=k/2
para todo k = 1, 2, …, n.
**
(gostaria de comentários sobre esta demonstração, falhas, se conhecem
alguma demonstração pra esse problema, pois ainda não tem o gabarito)
suponha existir x N - n tal que |A interseção com {x+1, x+2,...,
x+k}|=k/2
como x + n N, pelo menos um elemento de {x+1, x+2,..., x+k} será maior
que qualquer elemento de A; escolhendo-se um n = 1, a afirmação acima é falsa
assim, se |A interseção com {m+1, m+2,..., m+k}|=k/2 == existe m = N
- n
chamemos S = {m+1, m+2,..., m+k}
m + n = N == m + k = N para todo k = 1, 2, …, n ==
== S é subconjunto de {1,2,...,N}, ou é o próprio conjunto {1,2,...,N}
na hipótese em que N = n
quando N = n é trivial que |A interseção com {m+1, m+2,..., m+k}|=k/2 (=
k/2 na verdade)
suponha N n == N/2 n/2 == |{1,2,...,N}| |S| == |A| |S|/2 = n/2
como S está contido em {1,2,...,N} == é sempre possível tomar-se um
subconjunto A de {1,2,...,N} tal que S/2 esteja contido em A
Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para
armazenamento!
http://br.mail.yahoo.com/
=
Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] prova de impossibilidade
Olá, Gostaria de saber se alguém conhece algum problema como exemplo em que se prova ser impossível a uma certa série possuir uma fórmula fechada, ou de recorrência. Exemplo: eu estava tentando achar uma fórmula de recorrência para um produto que o colega Albert colocou aqui na lista: P = (1 + 1^2)(1 + 2^2)(1 + 3^2)...(1 + n^2) E imaginei que se caso este produto não possua uma fórmula fechada eu poderia prová-lo, ao invés de continuar com as tentativas de achar a fórmula.
Re: [obm-l] prova de impossibilidade
è verdade Albert,
Somatórias são mais tratáveis, na verdade eu posso realizar a multiplicação
e notar que os diversos fatores formam certos padrões de soma, mas sem
sucesso em expor que padrões são esses numa fórmula fechada.
Para n = 4, por exemplo, notei que P = 2 + (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2)^2 +
2*(4!)^2 - (1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4), o que falha para n 4... por ter
encontrado tal fórmula, talvez tenha me passado algum detalhe despercebido
que alguém da lista possa completar.
quanto aos logaritmos, log (ab) = log a + log b, mas log (abc) = log a + log
b + log c? ou mais geralmente, log (abc...n) = log a + log b + log c +...+
log n?
- Original Message -
From: albert richerd carnier guedes [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Tuesday, December 11, 2007 11:17 PM
Subject: Re: [obm-l] prova de impossibilidade
[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá,
Gostaria de saber se alguém conhece algum problema como exemplo em que
se prova ser impossível a uma certa série possuir uma fórmula fechada, ou
de recorrência.
Exemplo: eu estava tentando achar uma fórmula de recorrência para um
produto que o colega Albert colocou aqui na lista:
P = (1 + 1^2)(1 + 2^2)(1 + 3^2)...(1 + n^2)
E imaginei que se caso este produto não possua uma fórmula fechada eu
poderia prová-lo, ao invés de continuar com as tentativas de achar a
fórmula.
Belo ponto de vista Rodrigo.
E se formos verificar, todo produto finito se reduz a uma somatória de
logaritmos
ln( Prod^N_{n=0} a_n ) = Sum^N_{n=0} ln(a_n)
Se der pra provar que esta soma tem fórmula fechada, então dá pra provar
que o produto tambêm têm.
Como
ln(a_n) = 2. Sum^Infty_{k=0} [ 1/( 2k+1 ) ][ ( a_n - 1 )/( a_n +
) ]^{2k+1}
Assim fica o problema de resolver a soma
b_k = Sum^N_{n=0} [ 1/( 2k+1 ) ][ ( a_n - 1 )/( a_n + 1 ) ]^{2k+1}
e depois a soma
S = 2. Sum^Infty_{k=0} b_k
Não sei se trocar um problema por dois resolve, mas acho que somatóriass
são mais tratáveis do que produtos.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] soma de quadrados - trigonometria
Eu não sei se a sua soma requer alguma propriedade trigonométrica diferente das usuais encontradas em qualquer livro... se não requer, realmente, não consegui avançar muito nela até agora... - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, December 13, 2007 1:45 PM Subject: [obm-l] soma de quadrados - trigonometria Encontre o valor da soma S=(tg1º)^2+(tg3°)^2+(tg5°)^2+...+(tg89°)^2. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Combinatória
Não sei bem se é isso, mas olhando superficialmente pode ter a ver com o problema de partições de ramanujan, a fórmula é bem complexa... Se você levar em consideração o número de partições de um conjunto de pedras, por exemplo, e colocar ainda como forma de arranjar as partições dessas pedras uma partição com todas as pedras (em outras palavras, se você considerar que no caso de 4 uns, 4 + 0 seja mais uma das maneiras; com 5 uns, 5 + 0 seja mais uma das maneiras) este será exatamente o problema de ramanujan. Por exmeplo, num conjunto de 5 pedras, temos as seguintes partições distintas: 5 pedras separadas uma dupla mais 3 pedras separadas duas duplas mais uma pedra separada um trio mais duas pedras separadas um trio mais uma dupla um quarteto mais uma pedra separada 5 pedras juntas Número:1 2 3 4 5 6 78 ... Partições 1 2 3 5 7 11 15 22 ... Como o seu problema não conta N + 0 como uma maneira de somar as parcelas, é só ( este é um só bem pretencioso!) calcular o número de partições e subtrair 1 do resultado. Felizmente há a fórmula de ramanujan-hardy para ajudar, mas a fórmula é tão grande e complexa que não tem como colocar em texto aqui, ficaria quase incompreensível (procure na internet). Saudações - Original Message - From: Pedro Cardoso To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, December 16, 2007 9:01 PM Subject: [obm-l] Combinatória Bom, como minha questão não foi respondida, seguindo uma recomendação de decoro que alguém da lista indicou, vou tentar de novo, e pela última vez, expor minha dúvida. Se alguém puder me indicar ao menos um livro ou tópico que seja útil à questão, eu já estaria agradecido. Questão: De quantas maneiras eu posso escrever um número N como a soma de parcelas, não importando a ordem delas? Como a pergunta pode ter sido pouco clara, eu dou exemplos: [2] = 1+1 1 maneira [3] = 1+1+1 = 1+2 2 maneiras [4] = 1+1+1+1 = 2+1+1 = 3+1 = 2+2 4 maneiras [5] = 1+1+1+1+1 = 2+1+1+1 = 3+1+1 = 4+1 = 2+2+1 = 3+2 6 maneiras ... [N] = ??? Obrigado, Pedro Lazéra Cardoso -- Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu!
[obm-l] Re: [obm-l] questão da OBM 7ª - Terceira Fase
A pergunta é: de fato, algum(a) garoto(a) de 13 ou 14 anos resolveu este problema durante a olimpíada? - Original Message - From: vitoriogauss To: obm-l Sent: Thursday, December 13, 2007 11:06 AM Subject: [obm-l] questão da OBM 7ª - Terceira Fase Colegas A respeito da questão (a^29 - 1)/a-1... tudo bem que é OBM, mas para um aluno de 7ª e 8ª parece-me complicada... Não consigo ver outra solução, senão por congruência, que infelizmente não ensinei profundamente aos meus alunos. Vou ter que ensinar melhor em 2008, creio que até invariância. Grato
[obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações
Acredito que uma demonstração de demonstração seria algo como chover no molhado. Uma demonstração está correta se, em última instância, está de acordo com os axiomas mais básicos da matéria. Então, uma demonstração de demontração recorreria, também em última análise, exatamente aos mesmos axiomas, sendo assim redundante. Se você fala inglês, aqui está um fórum onde há diversos debates interessantes sobre esses assuntos, além de resolução técnica de questões de matemática, física química, engenharia em geral, etc... http://www.physicsforums.com/ abraços - Original Message - From: Sérgio Martins da Silva [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, December 16, 2007 10:56 PM Subject: [obm-l] Demonstrações Doutores, Penso que a palavra mais comum nesta lista e, quiçá, da matemática é demonstração. Por isto, gostaria de saber como se demonstra que uma demonstração está correta. E mais, que é completa. Quais são os requisitos, condições, etc ? Abraços, Sérgio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações
Acredito que o problema NP seja provar que existe ou não uma forma matemática, objetiva, de transformar problemas NP (com tempo de processamento não polinomial) em problemas P (tempo de processamento polinomial). Correto? qual seria a remissão a que você se referiu? - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, December 17, 2007 2:16 AM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações Acho que isso nos remete ao terceiro problema do milênio - o problema NP. [EMAIL PROTECTED] escreveu: Acredito que uma demonstração de demonstração seria algo como chover no molhado. Uma demonstração está correta se, em última instância, está de acordo com os axiomas mais básicos da matéria. Então, uma demonstração de demontração recorreria, também em última análise, exatamente aos mesmos axiomas, sendo assim redundante. Se você fala inglês, aqui está um fórum onde há diversos debates interessantes sobre esses assuntos, além de resolução técnica de questões de matemática, física química, engenharia em geral, etc... http://www.physicsforums.com/ abraços - Original Message - From: Sérgio Martins da Silva [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, December 16, 2007 10:56 PM Subject: [obm-l] Demonstrações Doutores, Penso que a palavra mais comum nesta lista e, quiçá, da matemática é demonstração. Por isto, gostaria de saber como se demonstra que uma demonstração está correta. E mais, que é completa. Quais são os requisitos, condições, etc ? Abraços, Sérgio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERC EIRA FASE – NÃVEL 3 -- 2 ª questão
Douglas, desculpe-me, li mal o problema, a minha solução segue abaixo: como c + x^2 é múltiplo de 2^2007, então c + x^2 = w2^2007 partimos de duas constatações: a) um quadrado perfeito par é divisível por 4 **prova: tome x^2 par == x é par == x = 2k ==: x^2 = 4k^2 b) um quadrado perfeito ímpar é da forma 8a + 1 **prova: tome x^2 ímpar == x é ímpar == x é da forma 2n+1 == x^2 = (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4n(n+1) + 1, como n e n+1 são consecutivos, um deles é par, logo n(n+1) por ser escrito como 2a == 4n(n+1) + 1 = 8a + 1 = x^2 1 ) no caso em que x^2 é par, temos que x^2 = 4k^2 == c = w2^2007 - 4k^2, como 4 divide 2^2007 == 4 divide w2^2007 - 4k^2 == 4 divide c, logo c assume os valores múltiplos de 4 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 suficientemente grande seja divisível por 2^2007), incluindo o zero, que são no total de 501 + 501 + 1 = 1003 (4 divide 2007 - 3 em 501 partes, mesmo raciocínio para 3 - 2007) 2 ) no caso em que x^2 é ímpar, temos que x^2 = 8a + 1 == c + 8a + 1 = w2^2007 == c + 1 = w2^2007 - 8a, como 8 divide w2^2007 - 8a == 8 divide c + 1, logo c assume os valores que somados a 1 são múltiplos de 8 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 suficientemente grande seja divisível por 2^2007, mesmo raciocínio), excluindo o zero pois já foi contado, que são no total de 250 + 250 = 500 (8 divide 2007 - 7 em 250 partes, mesmo raciocínio para 7 - 2007) RESP: para 1503 inteiros c - Original Message - From: douglas paula To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, May 27, 2008 9:44 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE – NÃVEL 3 -- 2ª questão rodrigo, ao meu ver, c + x^2 = k 2^2007 , onde k é qq natural e k 2^2007 não é necessariamente igual à 2^n venho a um bom tempo quebrando a cabeça nessa questão mas sem conseguir muito resultado ... [EMAIL PROTECTED] escreveu:  vou tentar, 2^n - x^2 = c tal qque 1 n 2007, como todo número pode ser expresso como diferença de dois quadrados, só existem c tal que n possa ser um quadrado, de sorte que c seja expresso como diferença de dois quadrados - Original Message - From: douglas paula To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, May 17, 2008 11:02 PM Subject: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE – NÃVEL 3 -- 2ª questão XXIX OLIMPÃADA BRASILEIRA DE MATEMÃTICA TERCEIRA FASE – NÃVEL 3 (Ensino Médio) PRIMEIRO DIA PROBLEMA 2 Para quantos números inteiros c, - 2007 = c = 2007 , existe um inteiro x tal que x^2 + c é múltiplo de 2^2007? alguém se habilita? grato, Douglas -- Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! -- Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERC EIRA FASE â? NÃVEL 3 -- 2ª questão
Vlw douglas! Cara, não mandei pra lugar algum, acho q eles devem ter uma solução melhor que a minha, com certeza Se invertermos o problema, dizendo que 2^2007 é múltiplo de c + x^2, e quisermos somente os valores de c no intervalo [0,2007], como seria? - Original Message - From: douglas paula To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, May 29, 2008 9:14 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE â? NÃVEL 3 -- 2ª questão Vlw rodrigo muito maneira a sua solução. Já mandou ela pra eureka ? abraços Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] escreveu: Douglas, desculpe-me, li mal o problema, a minha solução segue abaixo: como c + x^2 é múltiplo de 2^2007, então c + x^2 = w2^2007 partimos de duas constatações: a) um quadrado perfeito par é divisÃvel por 4 **prova: tome x^2 par == x é par == x = 2k ==: x^2 = 4k^2 b) um quadrado perfeito Ãmpar é da forma 8a + 1 **prova: tome x^2 Ãmpar == x é Ãmpar == x é da forma 2n+1 == x^2 = (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4n(n+1) + 1, como n e n+1 são consecutivos, um deles é par, logo n(n+1) por ser escrito como 2a == 4n(n+1) + 1 = 8a + 1 = x^2 1 ) no caso em que x^2 é par, temos que x^2 = 4k^2 == c = w2^2007 - 4k^2, como 4 divide 2^2007 == 4 divide w2^2007 - 4k^2 == 4 divide c, logo c assume os valores múltiplos de 4 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 suficientemente grande seja divisÃvel por 2^2007), incluindo o zero, que são no total de 501 + 501 + 1 = 1003 (4 divide 2007 - 3 em 501 partes, mesmo raciocÃnio para 3 - 2007) 2 ) no caso em que x^2 é Ãmpar, temos que x^2 = 8a + 1 == c + 8a + 1 = w2^2007 == c + 1 = w2^2007 - 8a, como 8 divide w2^2007 - 8a == 8 divide c + 1, logo c assume os valores que somados a 1 são múltiplos de 8 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 suficientemente grande seja divisÃvel por 2^2007, mesmo raciocÃnio), excluindo o zero pois já foi contado, que são no total de 250 + 250 = 500 (8 divide 2007 - 7 em 250 partes, mesmo raciocÃnio para 7 - 2007) RESP: para 1503 inteiros c - Original Message - From: douglas paula To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, May 27, 2008 9:44 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE ââ,¬â?o NÃfVEL 3 -- 2Ã,ª questÃf£o rodrigo,  ao meu ver, c + x^2 = k 2^2007 , onde k é qq natural e k 2^2007 não é necessariamente igual à 2^n venho a um bom tempo quebrando a cabeça nessa questão mas sem conseguir muito resultado ... [EMAIL PROTECTED] escreveu:  vou tentar, 2^n - x^2 = c tal qque 1 n 2007, como todo nÃfºmero pode ser expresso como diferenÃf§a de dois quadrados, sÃf³ existem c tal que n possa ser um quadrado, de sorte que c seja expresso como diferenÃf§a de dois quadrados - Original Message - From: douglas paula To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, May 17, 2008 11:02 PM Subject: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE ââ,¬â?o NÃfVEL 3 -- 2Ã,ª questÃf£o XXIX OLIMPÃfADA BRASILEIRA DE MATEMÃfTICA TERCEIRA FASE ââ,¬â?o NÃfVEL 3 (Ensino MÃf©dio) PRIMEIRO DIA PROBLEMA 2 Para quantos números inteiros c, - 2007 = c = 2007 , existe um inteiro x tal que x^2 + c é múltiplo de 2^2007? alguém se habilita? grato,                 Douglas Abra sua conta no Yahoo! Mail, o Ãfºnico sem limite de espaÃf§o para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
[obm-l] Re: [obm-l] Potência de um ponto
oq seria uma potência de um ponto? - Original Message - From: Clayton Silva [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, June 04, 2008 7:51 PM Subject: [obm-l] Potência de um ponto Amigos, alguém pode indicar um bom livro que fale da parte histórica da potência de um ponto? grato desde já. = -- Powered By Outblaze = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Congruência!!!
qualquer número que tenha como fator 2 e 5, tem como fator 10 e termina em 0,
se o problema se refere a pelo menos um dos fatores, aí a coisa muda de figura,
pois podemos usar uma combinação de 7 e 3, tal que N = 3^a*7^b, então o
problema seria: existe solução para a equação 3^a*7^b == 11 mod 100?
- Original Message -
From: Pedro Júnior
To: obm-l
Sent: Thursday, June 05, 2008 4:57 AM
Subject: [obm-l] Congruência!!!
01) Existe um inteiro positivo tal que seus fatores primos pertenem ao
conjunto {2, 3, 5, 7} e que terminam em 11? Se existir, ache o menor deles. Se
não existir, mostre porquê.
claramente percebe-se que tal problema poderá ser feito sem congruência, mas,
como esse problema faz parte de uma lista de exercícios de congruência então,
queria saber como faço...
Abraços a todos.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERC EIRA FASE – Nà VEL 3 -- 2ª questão
Rafael, você está correto, eu havia visto essa falha, na verdade existe uma restrição para que c seja resíduo quadrático módulo 2^m, se bem me lembro ele deve ser da forma 4^n(8m + 1)** quando você diz: digamos, apenas para ilustrar, que eu nao tenha percebido que quadrados impares sao da forma 8a+1, e que eu apenas utilizasse que sao da forma 4a+1. Nao deixa de estar correto, certo? essa conclusão está errada, os quadrados ímpares só podem ser da forma 8a + 1, logo os números no intervalo seriam necessariamente desta forma o que faltou na resolução foi considerar que realmente não são todos os números da forma 8a + 1, e sim os tais que a é um número triangular, pois 8a + 1 é quadrado se e somente se a é triangular, e devem ser resíduos quadráticos, assim tb os múltiplos de 4, isto é, os números da forma 4^n(8m + 1) tais que m seja triangular e os números sejam resíduo quadrático (então falta demonstrar os que são resíduo quadrático, senão, como você disse, será somente uma quota superior) estou certo? **link do wikipedia com esta afirmação http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_residue - Original Message - From: Rafael Ando To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, June 13, 2008 5:48 AM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE – Nà VEL 3 -- 2ª questão hm... Rodrigo, no item 2, acho que na verdade vc quis dizer: 8 divide c+1, entao c assume valores tais que c+1 seja multiplo de 8 e no intervalo [-2006, 2008] (pois eh c+1...). Conta-se o zero sim, pois ele nao foi contado anteriormente c+1=0 eh o caso c = -1, afinal... e como temos o 2008 (c = 2007) a mais tb, sua resposta seria 1505. Segundo, e mais importante desculpe mas nao estou convencido que sua resolucao funcione digamos, apenas para ilustrar, que eu nao tenha percebido que quadrados impares sao da forma 8a+1, e que eu apenas utilizasse que sao da forma 4a+1. Nao deixa de estar correto, certo? Eu chegaria a conclusao que na verdade temos umas 2000 solucoes se a sua resposta eh correta, entao essa tem que estar errada, mas onde estaria o erro? Na realidade acredito que vc encontrou apenas um limitante superior para a solucao usando que quadrados impares sao 4a+1 daria um limitante maior, o que eh natural adicionando informacao (passando de 4a pra 8a) teriamos um intervalo mais preciso, mas nao incompativel. Dizer que 4 (ou 8) divide c (ou c+1) eh correto, mas a partir disso nao podemos afirmar que c (ou c+1) pode valer TODOS os multiplos possiveis o que voces acham? On Fri, May 30, 2008 at 2:14 AM, douglas paula [EMAIL PROTECTED] wrote: Vlw rodrigo muito maneira a sua solução. Já mandou ela pra eureka ? abraços Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] escreveu: Douglas, desculpe-me, li mal o problema, a minha solução segue abaixo: como c + x^2 é múltiplo de 2^2007, então c + x^2 = w2^2007 partimos de duas constatações: a) um quadrado perfeito par é divisÃvel por 4 **prova: tome x^2 par == x é par == x = 2k ==: x^2 = 4k^2 b) um quadrado perfeito Ãmpar é da forma 8a + 1 **prova: tome x^2 Ãmpar == x é Ãmpar == x é da forma 2n+1 == x^2 = (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4n(n+1) + 1, como n e n+1 são consecutivos, um deles é par, logo n(n+1) por ser escrito como 2a == 4n(n+1) + 1 = 8a + 1 = x^2 1 ) no caso em que x^2 é par, temos que x^2 = 4k^2 == c = w2^2007 - 4k^2, como 4 divide 2^2007 == 4 divide w2^2007 - 4k^2 == 4 divide c, logo c assume os valores múltiplos de 4 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 suficientemente grande seja divisÃvel por 2^2007), incluindo o zero, que são no total de 501 + 501 + 1 = 1003 (4 divide 2007 - 3 em 501 partes, mesmo raciocÃnio para 3 - 2007) 2 ) no caso em que x^2 é Ãmpar, temos que x^2 = 8a + 1 == c + 8a + 1 = w2^2007 == c + 1 = w2^2007 - 8a, como 8 divide w2^2007 - 8a == 8 divide c + 1, logo c assume os valores que somados a 1 são múltiplos de 8 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 suficientemente grande seja divisÃvel por 2^2007, mesmo raciocÃnio), excluindo o zero pois já foi contado, que são no total de 250 + 250 = 500 (8 divide 2007 - 7 em 250 partes, mesmo raciocÃnio para 7 - 2007) RESP: para 1503 inteiros c - Original Message - From: douglas paula To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, May 27, 2008 9:44 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE – NÃVEL 3 -- 2ª questão rodrigo,  ao meu ver, c + x^2 = k 2^2007 , onde k é qq natural e k 2^2007 não é necessariamente igual à 2^n venho a um bom tempo quebrando a cabeça nessa questão mas sem conseguir muito resultado ... [EMAIL PROTECTED] escreveu:  vou tentar, 2^n - x^2 = c tal qque 1 n 2007, como todo número pode ser
Re: [obm-l] ESAF
acredito que a conveção linear seja maior que a exponecial iria de C de chute - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, July 06, 2008 4:31 PM Subject: [obm-l] ESAF ALGUÉM PODE RESOLVER, POR FAVOR(ESAF) Se, para um mesmo capital, aplicado durante qualquer período de tempo maior do que zero e a uma certa taxa, chamarmos:M1 - Montante calculado no regime de juros simples;M2 - Montante calculado no regime de juros compostos pela convenção exponencial;M3 - Montante calculado no regime de juros compostos pela convenção linear.Teremos: a) M3 M1 para qualquer t 0.b) M3 = M1 para qualquer 0 t 1.c) M3 M2 para qualquer t 0, desde que não seja inteiro.d) M3 M2 quando t é inteiro.e) M2 M1 para qualquer t 0.= Instru絥s para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] questao estranha
são aceitas geometrias não-euclidianas? From: sswai...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] questao estranha Date: Wed, 6 Apr 2011 22:42:14 + Considere as quatro sentencas a seguir: (I) Por um ponto do espaco, nao pertencente a uma reta, pode-se tracar uma só paralela a essa reta. (II) Dadas duas retas paralelas, todo plano que intercepta uma delas intercepta a outra. (III) Duas retas, paralelas a uma terceira, sao paralelas entre si. (IV) Toda reta paralela a dois planos que se cortam é paralela a interseçãoao deles. Assinale a alternativa correta. (a) Todas as senten¸cas s˜ao verdadeiras. (b) Todas as senten¸cas s˜ao falsas. (c) As senten¸cas (I) e (III) s˜ao falsas. (d) As senten¸cas (I) e (II) s˜ao verdadeiras. (e) As senten¸cas (I) e (II) s˜ao falsas. Estive tentando fazer esta questao e acho que as alternativas nao batem. o que vcs acham?
[obm-l] teoria dos números
seja U_p o grupo de unidades u em Z/pZ, onde p é um primo seja u uma unidade tal que 1up-1 para que elementos u de U_p a ordem do elemento é o próprio elemento? ou seja, para que primos p a equação u^u==1(mod p) sempre possui ao menos uma solução?
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
o somatorio em questão é S(n)= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1), agora veja que ele é equivalente a S(n)/2 = (1.2)/2 + (2.3)/2 + (3.4)/2 + ... + n(n+1)/2, a soma dos n primeiros números triangulares. Imagine então esses diversos triângulos feitos de bolinhas, teremos, dentre todos os triângulos contidos nessa soma, somente uma fileira com n bolinhas, 2 com n-1 bolinhas, 3 com n-2, etc, logo a soma pode ser reescrita como S(n)/2 = 1n + 2(n-1) + 3(n-2) + ... + n[n-(n-1)] = 1n + 2n - 2 + 3n - 6 +...+ n^2 - n(n-1) rearrumando os termos, teremos: S(n)/2 = n(1 + 2 + 3 + ... + n) - 2[ 1 + 3 + 6 + ... + n(n-1)] Repare que o termo em colchetes é = S(n)/2 - n(n+1)/2 == == S(n)/2 = n[n(n+1)/2] - 2[S(n)/2 - n(n+1)/2] == 3S(n)/2 = n^2(n+1)/2 + n(n+1) == S(n)/2= (n+1)(n^2+2n)/6=n(n+1)(n+2)/6 == S(n)=n(n+1)(n+2)/3, QED Em 9 de maio de 2011 14:17, Kleber Bastos klebe...@gmail.com escreveu: Olá Pessoal, Não esotu conseguindo fazer o seguinte exercício: Provar que somatório de i=1 a n de i(i+1) é igual a [n(n+1)(n+2)]/3 Alguém póderia ajudar? Abraços, -- Bastos
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema curioso e... insolúvel OFF TOPIC
acredito que a trajetória parabólica minimize o trajeto, pensando-se no problema análogo de gravitação Em 19 de maio de 2011 22:57, Carlos Nehab ne...@infolink.com.br escreveu: Hahaha, Adorei Bruno! Este negócio de andar (nadar) prá frente, para trás, girar, etc, etc, me fez fazer uma viagem no tempo, pois me lembrei do velho LOGO ainda em DOS! Como não sei sua idade, posso estar falando japonês, mas há 1 anos atrás (como diria o Raul Seixas), quando a IBM encampou um interessante projeto de Logo nas escolas, minha empresa (na época) era chancelada para apresentar treinamentos desta (boa) geringonça aos professores. O velho e eficaz construtivismo ainda pouco usado nas escolas, mesmo hoje (neguinho ainda anda muito conteudista pro meu gosto). Se não estou delirando, acho que na época ainda havia muito Windows 3.11... na praça (mas certamente eu já era viciado no malditoTetris usual e em uma versão tridimensional ótima). Caraca! Que viagem! Afetuoso abraço, Nehab Em 19/5/2011 17:23, Bruno França dos Reis escreveu: Em aberto? Se o nadador estivesse nadando paralelo ao rio, é só ele fazer uma curva mínima, e continuar até chegar às margens. Caso o nadador não saiba a direção em que estava nadando (suponhamos uma briga com os peixes, que o deixou desorientado, antes de ter seus olhos devorados), ele poderia nadar seguindo uma espiral, aí certamente encontrará a margem, não? O algoritmo seria: n- 1 Enquanto não achar a margem, repita: - dar n braçadas para frente - virar 90 graus para a esquerda - dar n braçacas para frente - virar 90 graus para a esquerda - n- n + 1 Como a largura é finita, e a espiral cresce de tamanho em todas as direções, esse algoritmo certamente termina em um tempo finito! Tem alguma falha que eu não vi nesse processo? Abraço! Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +55 11 9961-7732 http://brunoreis.com http://brunoreis.com/tech (en) http://brunoreis.com/blog (pt) GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2011/5/19 Albert Bouskelabousk...@msn.com Olá a todos, Uma curiosidade: – Parece-me que o problema abaixo (tão simples!) permanece em aberto. Um nadador está nadando (o que mais pode fazer um nadador?) em um ponto qualquer de um rio horizontal, retilíneo, com correnteza desprezível, comprimento infinito e largura finita. Subitamente, peixes extremamente vorazes devoram os olhos do malfadado nadador, ou, com menos drama, cai a noite absolutamente escura. Qual é a trajetória que o nadador deve trilhar, i.e., nadar, para atingir – seguramente – uma das margens, nadando a menor distância possível? Obs.: – O malfadado nadador tem, implantado em sua cabeça, um sistema de navegação que lhe informa, continuamente, a sua posição em relação ao ponto inicial (o ponto no qual os peixes devoraram os seus olhos). Saudações, Albert Bouskela bousk...@msn.com = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Fatorial
conta-se quantos pares 2x5 são compreendidos em 1500!, ou seja, pode-se contar apenas os 5 Em 23 de julho de 2011 19:35, Marcus Aurelio marcusaureli...@globo.comescreveu: Alguém pode me mostra uma maneira de descobrir com quantos zeros termina 1500!
