[obm-l] Re: [obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] provas de convergência: sequê ncia de fibonacci e análogas(x)
Oi, Ponce (saudades) e eventuais adoradores de Fibonacci (me incluo)... To meio fora do ar por absoluta falta de tempo, mas Fibonacci... demais... Para quem gosta, ai vai a abordagem desta sequencia atravs da funo geradora (srie)... D vrios "sambas". Dentre eles "o termo geral" para f(k) ... Seja F(x) = f(1) + f(2)x + f(3).x^2 + ...+ f(n+1).x^n + , (1) ou seja, uma srie onde os coeficientes so f(k), ou seja, os "fibonacci". De (1) xF(x) = f(1).x + f(2)x^2 + f(3).x^3 + ...+ f(n+1).x^(n+1) + , (2) x^2.F(x) = f(1).x^2 + f(2)x^3 + f(3).x^4 + ...+ f(n+1).x^(n+2) + , (3) De (1), (2) e (3), obtemos, usando f(k+1) = f(k) + f(k-1), a relao: F(x) - xF(x) - x^2.F(x) = x Logo F(x) = - x/( x^2 - x - 1 ) Como x^2 - x - 1 possui raizes a = (1 + raiz(5))/2 e b = (1 - raiz(5))/2 podemos escrever F(x) como (aps algumas continhas, para quem lembra como "decompor" fraes racionais) F(x) = 1/raiz(5). soma [ (a^k-b^k). x^k ] ou seja, f(k) = 1/raiz(5) . (a^k-b^k) E claro, ento, uma boa aproximao para f(k) naturalmente 1/raiz(5). [ (1+ raiz(5))/2 ] ^k Abraos, Nehab Rogerio Ponce escreveu: Ola' Rodrigo, nao e' variacao da mesma suposicao. O que o Renji fez foi supor que o termo geral da Fibo pudesse ter a forma de uma combinacao linear de "b^n" . Baseado nesse "pseudo chute" (nao e' chute: mais adiante o Renji deduziu isso, usando uma tecnica de equacoes de diferencas), ele chegou aos valores necessarios para que o termo geral fosse verdadeiro. Ja' com o termo geral na mao, fica facil calcular a relacao entre 2 termos consecutivos, e ver que ela converge para o tal limite. O assunto a ser dominado e' Equacoes de Diferencas Finitas. []'s Rogerio Ponce Em 28/11/07, Rodrigo Cientista[EMAIL PROTECTED] escreveu: Entendi, uma variao da mesma suposio: suponha que para n suficientemente grande, as razes a_n/a_(n-1), a_(n+1)/a_n, a_(n+2)/a_(n+1)... guardem uma mesma proporo, chamada phi, o que significa que para achar o termo seguinte multiplicamos o antecedente por phi, j que a_n/a_(n-1)=phi == a_n=phi*a_(n-1), isto implica uma sequncia phi, phi^2, phi^3,...,phi^n, da sua formulao, eu a entendi ! Minha dvida, acho que mais uma questo de lgica, : voc chegou ao valor do limite SUPONDO q ele exista, quando voc no sabe a priori se ele existe ou no. em outras palavras: supor que ele exista, e em decorrncia disso achar um valor definido para ele, faz PROVA de sua existncia? ou ainda de outra forma: supor a existncia de algo em matemtica, a partir dessa suposio chegar a uma certa concluso (algo=x) sem contradies, faz prova da veracidade? se a suposio fosse falsa necessariamente eu acharia uma contradio? que eu constru uma prova sem usar nenhuma suposio de existncia, apenas a partir da definio f(n+2)=f(n+1)+f(n), o que "dado"... mas acho q foi um furo de lgica da minha parte no ter seguido o caminho menos braal (inexperincia com provas lgicas) abraos - Mensagem original De: Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 28 de Novembro de 2007 21:15:57 Assunto: Re: [obm-l] Res: [obm-l] provas de convergncia: sequncia de fibonacci e anlogas Rodrigo, voc esta falando da forma geral dos termos da sequncia de fibonacci? se for ela pode ser deduzida assim a sequencia de fibonacci satizfas a recorrencia f(n+2)=f(n+1)+f(n) com condies iniciais f(0)=1=f(1) (ou f(1)=f(2)=1) um meio chutar uma soluo do tipo f(n)=b^n ficando com b^(n+2)=b^(n+1)+b^(n) b^n .b =b^n. b + b^n, queremos b^n diferente de zero dai temos b=b+1 b-b-1=0 ento b=[1+ou -raiz(5)]/2 logo as solues ficam f(n)=c1.b1^n +c2.b2^n, onde b1 e b2 so as solues da equao do segundo grau acima c1 e c2 so constantes que devem ser determinadas pelas condies iniciais da recorrencia, que no caso seriam f(0)=1=f(1), tendo essas informaes se chega na formula geral da sequencia de fibonacci tenho outro meio de chegar na mesma resposta usando operadores Delta vou definir assim Df(n)=f(n+1)-f(n) e o operador expanso Ef(n)=f(n+1) Ef(n)=f(n+2) possivel fazer o seguinte f(n+2)=f(n+1)+f(n) Ef(n)=Ef(n)+f(n) (E-E-1)f(n)=0 que pode ser fatorado (E-b1)(E-b2)f(n)=0 as solues so f(n)=c1.b1^n+c2.b2^n pois os operadores (E-b1)(E-b2), ZERAM esse tipo de funo abraos Em 28/11/07, Rodrigo Cientista[EMAIL PROTECTED] escreveu: Nicolau, realmente eu estava me referindo sequncia das razes a_n/a_(n-1) Algo que eu no consegui entender : vc se baseia na suposio de que o limite existe, e caso ele exista phi, isso que no entra na minha cabea! Supondo que o limite existe, ele igual a phi, mas eu no sei se ele existe, ento no entendi como usar a suposio da sua existncia na prova de sua prpria existncia. Eu no deveria, por exemplo, supor que ele no existe e identificar a contradio decorrente dessa suposio (uma forma de prova)? Eu nunca tinha visto a frmula que voc apresentou... chegou-se a essa frmula sem supor a existncia do limite? Me perde se a pergunta tla, sou apenas um amador... Aguardo
Re: [obm-l] trigonometria
Chame um dos ângulos não fornecidos do quadrilátero PABC de x o outro de 360-(x+20+26+60) e aplique a lei dos senos para achar PB usando esses ângulos acima citados, os outros segmentos é o mesmo esquema. Graciliano Antonio Damazo [EMAIL PROTECTED] escreveu:galera, estou com dificuldades nesse exercicio. 1) um quadrilatero PABC onde temos AB=4, BC=5, angulo(ABC)=60º( angulo do vertice B), angulo(APB)=20º e angulo(BPC)=26º. Calcular PA, PB e PC. esse exercicio é do livro da coleção do professor de matematica da SBM. Desde de já agradeço. Graciliano - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] Res: [obm-l] provas de convergência: sequência de fibonacci e análogas
On Nov 28, 2007 9:15 PM, Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] wrote: Nicolau, realmente eu estava me referindo à sequência das razões a_n/a_(n-1) Algo que eu não consegui entender é: vc se baseia na suposição de que o limite existe, e caso ele exista é phi, isso que não entra na minha cabeça! Não entendo pq ou onde você acha que eu supus que o limite exista. Recapitulando a demonstração: Provamos que a_n = A phi^n + B phib^n, A diferente de 0 (acho que isto está claro, não?). Provamos que lim a_n/phi^n = A (ou mais precisamente, que o limite existe e é igual a A). Calculamos o limite assim: lim a_(n+1)/a_n = phi * (lim a_(n+1)/phi^(n+1))/(lim a_n/phi^n) (isto é, se os limites do lado direito existirem e o denominador for não nulo então o limite do lado esquerdo tb existe e tem o valor indicado) lim a_(n+1)/a_n = phi*A/A = phi (pois já provamos que os limites da eq anterior existem e são ambos iguais a phi). Assim provamos que o limite existe ao mesmo tempo que calculamos o limite. Esta é a forma mais simples e usual de calcular um limite. N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] provas de convergê ncia: sequência de fibonacci e análogas
Vou colocar oq considero a minha prova para a convergência:
Inicialmente fiz algumas observações (usando a sequência de Lucas, mas pode ser
generalizado):
a)(an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5 (é +5 se n é par, e -5 se n é ímpar) obs: com
+- quero dizer + ou -
Note que eu não sei se isto é verdade para toda a sequência, já que uma
observação não é prova. Entretanto, se eu conseguisse provar que este fato é
verdade, eu poderia dividir todos os termos da equação por (an)*(an-1),
chegando à seguinte expressão:
(an)/(an-1) = (an+1)/(an) +-5/[(an)*(an-1)]
Usando-se limites, vemos que quando n-- infinito, +-5/[(an)*(an-1)]-- 0, e
(an)/(an-1)-- (an+1)/(an), e por indução vemos que (an)/(an-1)-- razão áurea.
Usando a própria definição da sequência:
(an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5, sabe-se que an+1=an + an-1
(an)^2= (an-1)*(an + an-1) +- 5 == (an)^2 - (an-1)^2= (an-1)*(an) +- 5 ==
== (an + an-1)(an - an-1) = (an-1)*(an) +- 5, sabe-se que (an - an-1) = an-2
==
== (an + an-1)(an-2) = (an-1)*(an) +- 5, sabe-se que an = an-1 + an-2 ==
== (an + an-1)(an-2) = (an-1)*(an-1 + an-2 ) +- 5 ==
== (an-2)*(an) + (an-1)*(an-2) = (an-1)^2 + (an-1)*(an-2) +- 5 == (an-1)^2 =
(an-2)*(an) +- 5
comparando-se a expressão original com esta,
(an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5
(an-1)^2 = (an-2)*(an) +- 5
ou mais geralmente:
(ai)^2 = (ai-1)*(ai+1) +- 5, com i=2,3,4,5,6...,n
provando por indução sobre n
Como já foi previamente dito, agora podemos resolver o limite, a saber:
LIM (an)/(an-1) =LIM{ (an+1)/(an) +-5/[(an)*(an-1)] } n-- infinito
LIM (an)/(an-1) =LIM(an+1)/(an) + LIM{ +-5/[(an)*(an-1)] } n-- infinito
LIM{ +-5/[(an)*(an-1)] } n-- infinito é ZERO
NO LIMITE, (an)/(an-1) = (an+1)/(an) + 0
Assim a prova está completa!
OBS: note que qualquer sequência coma regra de formação da sequência de
fibonacci forma um padrão de repetição dos últimos dígitos, mas se
substituirmos +-5 por +-x o resultado final não muda, o que generaliza a prova
para qualquer sequência do tipo de fibonacci
- Mensagem original
De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 29 de Novembro de 2007 10:19:05
Assunto: Re: [obm-l] Res: [obm-l] provas de convergência: sequência de
fibonacci e análogas
On Nov 28, 2007 9:15 PM, Rodrigo Cientista
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Nicolau, realmente eu estava me referindo à sequência das razões a_n/a_(n-1)
Algo que eu não consegui entender é: vc se baseia na suposição de que o
limite existe, e caso ele exista é phi, isso que não entra na minha cabeça!
Não entendo pq ou onde você acha que eu supus que o limite exista.
Recapitulando a demonstração:
Provamos que a_n = A phi^n + B phib^n, A diferente de 0 (acho que isto
está claro, não?).
Provamos que lim a_n/phi^n = A (ou mais precisamente, que o limite
existe e é igual a A).
Calculamos o limite assim:
lim a_(n+1)/a_n = phi * (lim a_(n+1)/phi^(n+1))/(lim a_n/phi^n) (isto
é, se os limites do lado direito existirem e o denominador for não
nulo então o
limite do lado esquerdo tb existe e tem o valor indicado)
lim a_(n+1)/a_n = phi*A/A = phi (pois já provamos que os limites da eq
anterior existem e são ambos iguais a phi).
Assim provamos que o limite existe ao mesmo tempo que calculamos o
limite. Esta é a forma mais simples e usual de calcular um limite.
N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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armazenamento!
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: Res: [obm-l] Produto finito
Rodrigo Renji escreveu:
Cheguei em outro resultado doido pra esse produto, mas nem sei se esta certo
produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) = ( somatorio[k=0 até
n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) )
onde s(n,k) são numeros de stirling do primeiro tipo com sinal |s(n,k)| sendo o
módulo desses números, i o número complexo.
A conclusão partiu de (1+k²)=(k+i)(k-i) depois separar o produtorio em dois,
depois usar a propriedade do produtorio que resultou poder ser escrito
como somas de potencias com coeficientes em números de stirling, nada
simples eu acho
abraços
Em 28/11/07, albert richerd carnier guedes[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Rodrigo Cientista escreveu:
Caro Nehab,
uma dúvida: os termos, individualmente, me parecem ser
negativos, certo? (à exceção do primeoro que é=0), sendo assim,
calcularíamos o fatorial de números negativos? exite isso? se sim, fatorial
de número par seria positivo, e de número ímpar seria negativo, os mais
geralmente, -N! = (-1)^N *
N!
***
Carlos
Nehab
Tue, 27 Nov 2007 01:45:00 -0800
Oi, Albert (e Ponce)
Faltou aplicar o
fatorial em cada parcela do produtório...
Nehab
- Mensagem original
De: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Terça-feira, 27 de Novembro de 2007
3:36:56
Assunto: Re: [obm-l] Produto finito
Ola' Albert,
voce deve ter se
enganado com alguma coisa no texto.
Do jeito que esta' , o produto e' sempre
zero.
[]'s
Rogerio Ponce
Em 27/11/07, albert richerd carnier
guedes[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá. É a primeira vez que estou escrevendo para esta lista.
Alguém sabe qual
é o valor do produto finito
P = ( 1 - 1^2 )( 1 - 2^2 )( 1 -3^2 )... ( 1 -
N^2 )em função de N.
Eu sei que ele possue o valor entre (N+1)! e
(N+1)!N!.
Agradeço qualquer
sugestão.
=
Instruções
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Só para não criar um buraco no assunto, a solução do produto
P = ( 1 - 2^2 ).( 1 - 4^2 ).( 1 - 5^2 ) ... ( 1 - N^2 )
sempre começa em
2, pois se começar em 1 fica tudo 0.
Ele é bem mais fácil de achar.
Se
tivermos a_n = ( 1 - n^2 ), podemos colocar na forma
a_n = ( 1 - n )( 1 + n
)
e teremos o produto
P = ... [( 1 - n ).( 1 + n )] ...[( 1 - N ).( 1 + N
)]
e isso dá para separar em dois produtos mais fáceis
P_1 = ( 1 - 2 ) ...
( 1 - n ) ... ( 1 - N ) = (-1)^{N-1}.(N-1)!
P_2 = ( 1 + 2 ) ... ( 1 + n )
... ( 1 + N ) = ( N + 1 )!/2
E teremos
P = P_1 . P_2 = (-1)^{N-1}.(N-1)!(
N +1 )!/2
Pouca gente fala sobre produtos finitos, mas eu gosto muito
deles.
Não sei pra que servem, mas acho muito legais.
=
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Então sem querer eu ressucitei os números de Stirling. :)
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Re: [obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] provas de convergência: sequência de fibonacci e análogas
On Nov 29, 2007 11:37 AM, Rodrigo Cientista
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Vou colocar oq considero a minha prova para a convergência:
Inicialmente fiz algumas observações (usando a sequência de Lucas, mas pode
ser generalizado):
a)(an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5 (é +5 se n é par, e -5 se n é ímpar) obs:
com +- quero dizer + ou -
Note que eu não sei se isto é verdade para toda a sequência, já que uma
observação não é prova. Entretanto, se eu conseguisse provar que este fato é
verdade, eu poderia dividir todos os termos da equação por (an)*(an-1),
chegando à seguinte expressão:
Isto é verdade trocando 5 por outra constante para qq solução de
a_(n+1) = a_n + a_(n-1).
Há várias maneiras de ver isso. A mais óbvia é usar a fórmula a_n = A
phi^n + B phib^n.
Outra é ver que
[[a_(n+2),a_(n+1)],[a_(n+1),a_n]] = [[1,1],[1,0]] *
[[a_(n+1),a_n],[a_n,a_(n-1)]]
donde, tirando determinantes,
a_(n+2)*a_n - (a_(n+1))^2 = - (a_(n+1)*a_(n-1) - (a_n)^2)
(an)/(an-1) = (an+1)/(an) +-5/[(an)*(an-1)]
Usando-se limites, vemos que quando n-- infinito, +-5/[(an)*(an-1)]-- 0, e
(an)/(an-1)-- (an+1)/(an), e por indução vemos que (an)/(an-1)-- razão
áurea.
Usando a própria definição da sequência:
(an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5, sabe-se que an+1=an + an-1
(an)^2= (an-1)*(an + an-1) +- 5 == (an)^2 - (an-1)^2= (an-1)*(an) +- 5 ==
== (an + an-1)(an - an-1) = (an-1)*(an) +- 5, sabe-se que (an - an-1) = an-2
==
== (an + an-1)(an-2) = (an-1)*(an) +- 5, sabe-se que an = an-1 + an-2 ==
== (an + an-1)(an-2) = (an-1)*(an-1 + an-2 ) +- 5 ==
== (an-2)*(an) + (an-1)*(an-2) = (an-1)^2 + (an-1)*(an-2) +- 5 == (an-1)^2
= (an-2)*(an) +- 5
comparando-se a expressão original com esta,
(an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5
(an-1)^2 = (an-2)*(an) +- 5
ou mais geralmente:
(ai)^2 = (ai-1)*(ai+1) +- 5, com i=2,3,4,5,6...,n
provando por indução sobre n
Como já foi previamente dito, agora podemos resolver o limite, a saber:
LIM (an)/(an-1) =LIM{ (an+1)/(an) +-5/[(an)*(an-1)] } n-- infinito
LIM (an)/(an-1) =LIM(an+1)/(an) + LIM{ +-5/[(an)*(an-1)] } n-- infinito
LIM{ +-5/[(an)*(an-1)] } n-- infinito é ZERO
NO LIMITE, (an)/(an-1) = (an+1)/(an) + 0
Assim a prova está completa!
Infelizmente considero a sua demonstração incompleta (além de ser
desnecessariamente complicada).
Você demonstrou que
lim ( (a_(n+1)/a_n) - (a_n/a_(n-1)) ) = 0
Isto NÃO implica na existência de
lim a_(n+1)/a_n
Para ver isso, considere c_n = log(n).
Temos
lim c_(n+1) - c_n = 0
mas
lim c_n = +infinito.
Em outras palavras, se o termo geral de uma série tende a zero isto
não garante a convergência da série.
N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] COMPRA A PRAZO
ALGUÉM PODE RESOLVER ESTA, POR FAVOR (UNB/MPU-99) Uma pessoa faz uma compra a prazo, com prestações mensais e iguais, postecipadas, de x reais, pagando uma taxa mensal de juros i (na forma unitária). Se D é o preço à vista, em reais, da compra, então essa pessoa poderá calcular o tempo, em meses, que levará para quitar sua dívida por meio da fórmula: a) log (D/x)/log (1 + i). b) log (D/x)/log (1 + i/12). c) log x(x + iD)/log (1 + i). d) log (x/(x iD/12))/log (1 + i/12). e) log (x/(x iD)/log (1 + i). DESDE JÁ AGRADEÇO
[obm-l] Números complexos (FEIUC-67)
Olá pessoal, estou enrroscado no seguinte exercício do livro antigo do Iezzi. Pra ser mais preciso: Vol. 6 pág 25f, exer 35. Escrever o número complexo 1/(1-i) -1/i na forma a+bi e na trigonométrica. A forma a+bi é fácil, mas a trigonométrica não está batendo com o gabarito. Obrigado a todos desde já! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Notação matemática em ASCII
A lista não têm uma tabela de notação padrão para matemática via email ? É que eu sinto falta de uma padronização por que cada email que recebo é uma notação diferente e as vezes levo uma hora só para entender o que está escrito. Uma tabela que eu conheço e gosto muito é esta aqui http://www.karlscalculus.org/email.html o que vocês acham ? Alguém têm uma outra ? http://www.karlscalculus.org/email.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Números complexos (FEIUC-67)
Emanuel Valente escreveu: Olá pessoal, estou enrroscado no seguinte exercício do livro antigo do Iezzi. Pra ser mais preciso: Vol. 6 pág 25f, exer 35. Escrever o número complexo 1/(1-i) -1/i na forma a+bi e na trigonométrica. A forma a+bi é fácil, mas a trigonométrica não está batendo com o gabarito. Obrigado a todos desde já! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Ficaria mais fácil se você colocasse a resposta do gabarito para comparar, mas vou mandar a resposta e você confirma. Comecemos com a forma a+ib de 1/(1-i) 1/( 1 - i ) = [1/( 1 - i )][( 1 + i )/( 1 + i )] = ( 1 + i )/2 = 1/2 + i/2 = a=1/2 e b=1/2 Para fazer em forma trigonométrica faça sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/sqrt(2) cos(x) = [ a/sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/2 ][ 1/sqrt( 1/2 ) ] = sqrt(2)/2 = 1/sqrt(2) sen(x) = b/sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/sqrt(2) onde denoto sqrt(x) como a raiz quadrada de x. Assim, temos que como cos(x) = 1/sqrt(2) então x=pi/4 portanto dá para fazer 1/( 1 - i ) = [ 1/sqrt(2) ][ cos(pi/4)+ i sen(pi/4) ] Claro que a resposta serve para todos os x na forma x= 2n pi + pi/4 = [ 8n + 1 ][ pi/4 ] onde n é um inteiro qualquer. Com -1/i fazemos -1/i = [-1/i][ i/i ] = i= a=0 e b=1 Na forma trigonométrica sqrt( a^2 + b^2 ) = 1 cos(x) = 0 sen(x) = 1 logo , x= pi/2, o que fica -1/i = i*sen(pi/2) que também serve para x na forma x= 2n pi + pi/2 = [ 4n + 1 ][ pi/2 ] Confirma se corresponde ao gabarito e qualquer dúvida mande mais emails, falou ? Até mais. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: Res: [obm-l] Produto finito
corrigindo produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) = ( somatorio[k=0 até n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) ) escrevi uma coisa errada era * em vez de =, assim produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) * ( somatorio[k=0 até n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) ) vou postar então o que já pensei sobre esse produtorio notações prod[a,b] f(k)= produtório de f(k) com k variando de a até b no caso o produtório pedido foi prod[1,n] (1+k²) , se colocarmos k=0, temos 1+0², que não altera nada no produtorio por 1 ser elemento neutro, podemos então escrever prod[0,n] (1+k²) , vou chamar esse produtorio de f(n) vimos a recorrencia que ele gera prod[0,n] (1+k²) =prod[0,n-1] (1+k²) * (1+n²), implicando f(n)=f(n-1)*(1+n²), fazendo n+1 em vez de n temos f(n+1)=f(n)*(1+(n+1)²), todos termos são diferentes de zero , então podemos tomar f(n+1)/f(n)=(1+(n+1)³), chamarei f(n+1)/f(n) de Qf(n) procuramos então uma função que aplicada o operador Q de (1+(n+1)³) , que eu não conheço a priori (=P), se conhecer o problema morre mas chegamos em=Qf(n)= f(n+1)/f(n)=(1+(n+1)²) porém podemos fazer o seguinte seja Df(n)=f(n+1)-f(n), então f(n+1)/f(n)=a^ D log f(n)_(a), pois (seja sempre o log na base a) f(n+1)/f(n)=a^log f(n+1) - log f(n)=a ^log f(n+1) . a^-log f(n)==f(n+1)*f(n)^(-1)=f(n+1)/f(n) logo Qf(n)=a^D log f(n) com isso temos a^D log f(n)=(1+(n+1)³), implicando D log f(n)= log (1+ (n+1)²) seja somatorio de k=0 até n-1 escrito como soma [0, n-1], pode se mostrar que soma [0,n-1] Df(k)= f(n)-f(0), usando isso na igualdade de logaritmo acima temos soma[0, n-1]D log f(k)= log f(n)-log f(0 ), porém como f(n) é o produtorio e como vimos que ele aplicado em zero, dá 1, temos f(0)=1 e log 1=0, então a expressão fica como log f(n)=soma[0, n-1]log (1+ (k+1)²) tirando o log do primeiro membro, ficamos com f(n)=a^soma[0, n-1]log (1+ (k+1)²) continua Em 29/11/07, albert richerd carnier guedes[EMAIL PROTECTED] escreveu: Rodrigo Renji escreveu: Cheguei em outro resultado doido pra esse produto, mas nem sei se esta certo produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) = ( somatorio[k=0 até n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) ) onde s(n,k) são numeros de stirling do primeiro tipo com sinal |s(n,k)| sendo o módulo desses números, i o número complexo. A conclusão partiu de (1+k²)=(k+i)(k-i) depois separar o produtorio em dois, depois usar a propriedade do produtorio que resultou poder ser escrito como somas de potencias com coeficientes em números de stirling, nada simples eu acho abraços Em 28/11/07, albert richerd carnier guedes[EMAIL PROTECTED] escreveu: Rodrigo Cientista escreveu: Caro Nehab, uma dúvida: os termos, individualmente, me parecem ser negativos, certo? (à exceção do primeoro que é=0), sendo assim, calcularíamos o fatorial de números negativos? exite isso? se sim, fatorial de número par seria positivo, e de número ímpar seria negativo, os mais geralmente, -N! = (-1)^N * N! *** Carlos Nehab Tue, 27 Nov 2007 01:45:00 -0800 Oi, Albert (e Ponce) Faltou aplicar o fatorial em cada parcela do produtório... Nehab - Mensagem original De: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 27 de Novembro de 2007 3:36:56 Assunto: Re: [obm-l] Produto finito Ola' Albert, voce deve ter se enganado com alguma coisa no texto. Do jeito que esta' , o produto e' sempre zero. []'s Rogerio Ponce Em 27/11/07, albert richerd carnier guedes[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá. É a primeira vez que estou escrevendo para esta lista. Alguém sabe qual é o valor do produto finito P = ( 1 - 1^2 )( 1 - 2^2 )( 1 -3^2 )... ( 1 - N^2 )em função de N. Eu sei que ele possue o valor entre (N+1)! e (N+1)!N!. Agradeço qualquer sugestão. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
Re: [obm-l] Notação matemática em ASCII
A regra geral é usar notação autoevidente, evitando símbolos especiais e notações que nem todo mundo conhece (como TeX). A página que você indicou tem uma filosofia bem parecida. Aliás, ttachments são permitidos apenas para figuras simples. N. On Nov 29, 2007 1:28 PM, albert richerd carnier guedes [EMAIL PROTECTED] wrote: A lista não têm uma tabela de notação padrão para matemática via email ? É que eu sinto falta de uma padronização por que cada email que recebo é uma notação diferente e as vezes levo uma hora só para entender o que está escrito. Uma tabela que eu conheço e gosto muito é esta aqui http://www.karlscalculus.org/email.html o que vocês acham ? Alguém têm uma outra ? http://www.karlscalculus.org/email.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: Res: [obm-l] Produto finito
fica então dessa forma a responsabilidade, par o calculo da soma de um logaritmo vendo que essa função satisfaz a recorrencia encontrada acima f(n+1)=a^soma[0, n]log (1+ (k+1)²)=a^soma[0, n-1]log (1+ (k+1)²). a^log (1+(n+1)²)= f(n)*(1+(n+1)²) então f(n+1)/f(n)=(1+(n+1)²), satisfaz a recorrência agora sobre como aparece os números de stirling nesse problema analisando sua solução do outro produtorio albert, tentei fazer esse de forma analoga prod[0,n](1+k²) fatorando 1+k², com ajuda dos complexos (k+i)(k-i) prod[0,n](k+i)(k-i)=prod[0,n](k+i) *prod[0,n](k-i)= prod[0,n](i+k) *prod[0,n](-1)(i-k)= colocando o (-1) pra fora do produtorio (-1)^(n+1).prod[0,n](i+k) *prod[0,n](i-k) nos dois produtorio termo (abrindo de maneira informal) (i)(i+1)(i+2) (i+n) * (i)(i-1)(i-2)... (i-n) (-1)^(n+1) temos duas potencias fatoriais multiplicadas, potencias fatoriais de base complexa a da esquerda vou escrever (i)^(n+1,-1) e da direita (i)^(n+1,1) para potencias fatoriais de passo -1 e 1 (respectivamente representando os produtorios a partir da esquerda) dai temos isso então (i)^(n+1,-1)* (i)^(n+1,1) * (-1)^(n+1) porém é possivel escrever potências fatorias como soma de potencias normais, atraves dos numeros de stirling, temos então (i)^(n+1,-1)=soma[0,n+1] |s(n+1,k)| i^k e (i)^(n+1,1)=soma[0,n+1] s(n+1,k) i^k logo o produtorio toma forma de soma[0,n+1] |s(n+1,k)| i^k * soma[0,n+1] s(n+1,k) i^k. (-1)^(n+1) onde s(n,k) são números de stirling do primeiro tipo (com sinal alternado, se quiserem posso postar a demonstração e definição depois) e |s(n,k) | o modulo deles, é isso (que não ajudou em nada =P) abraços Em 29/11/07, Rodrigo Renji[EMAIL PROTECTED] escreveu: corrigindo produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) = ( somatorio[k=0 até n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) ) escrevi uma coisa errada era * em vez de =, assim produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) * ( somatorio[k=0 até n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) ) vou postar então o que já pensei sobre esse produtorio notações prod[a,b] f(k)= produtório de f(k) com k variando de a até b no caso o produtório pedido foi prod[1,n] (1+k²) , se colocarmos k=0, temos 1+0², que não altera nada no produtorio por 1 ser elemento neutro, podemos então escrever prod[0,n] (1+k²) , vou chamar esse produtorio de f(n) vimos a recorrencia que ele gera prod[0,n] (1+k²) =prod[0,n-1] (1+k²) * (1+n²), implicando f(n)=f(n-1)*(1+n²), fazendo n+1 em vez de n temos f(n+1)=f(n)*(1+(n+1)²), todos termos são diferentes de zero , então podemos tomar f(n+1)/f(n)=(1+(n+1)³), chamarei f(n+1)/f(n) de Qf(n) procuramos então uma função que aplicada o operador Q de (1+(n+1)³) , que eu não conheço a priori (=P), se conhecer o problema morre mas chegamos em=Qf(n)= f(n+1)/f(n)=(1+(n+1)²) porém podemos fazer o seguinte seja Df(n)=f(n+1)-f(n), então f(n+1)/f(n)=a^ D log f(n)_(a), pois (seja sempre o log na base a) f(n+1)/f(n)=a^log f(n+1) - log f(n)=a ^log f(n+1) . a^-log f(n)==f(n+1)*f(n)^(-1)=f(n+1)/f(n) logo Qf(n)=a^D log f(n) com isso temos a^D log f(n)=(1+(n+1)³), implicando D log f(n)= log (1+ (n+1)²) seja somatorio de k=0 até n-1 escrito como soma [0, n-1], pode se mostrar que soma [0,n-1] Df(k)= f(n)-f(0), usando isso na igualdade de logaritmo acima temos soma[0, n-1]D log f(k)= log f(n)-log f(0 ), porém como f(n) é o produtorio e como vimos que ele aplicado em zero, dá 1, temos f(0)=1 e log 1=0, então a expressão fica como log f(n)=soma[0, n-1]log (1+ (k+1)²) tirando o log do primeiro membro, ficamos com f(n)=a^soma[0, n-1]log (1+ (k+1)²) continua Em 29/11/07, albert richerd carnier guedes[EMAIL PROTECTED] escreveu: Rodrigo Renji escreveu: Cheguei em outro resultado doido pra esse produto, mas nem sei se esta certo produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) = ( somatorio[k=0 até n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) ) onde s(n,k) são numeros de stirling do primeiro tipo com sinal |s(n,k)| sendo o módulo desses números, i o número complexo. A conclusão partiu de (1+k²)=(k+i)(k-i) depois separar o produtorio em dois, depois usar a propriedade do produtorio que resultou poder ser escrito como somas de potencias com coeficientes em números de stirling, nada simples eu acho abraços Em 28/11/07, albert richerd carnier guedes[EMAIL PROTECTED] escreveu: Rodrigo Cientista escreveu: Caro Nehab, uma dúvida: os termos, individualmente, me parecem ser negativos, certo? (à exceção do primeoro que é=0), sendo assim, calcularíamos o fatorial de números negativos? exite isso? se sim, fatorial de número par seria positivo, e de número ímpar seria negativo, os mais geralmente, -N! = (-1)^N * N! *** Carlos Nehab Tue, 27 Nov 2007 01:45:00 -0800
Re: [obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] provas de convergência: sequência de fibonacci e análogas
Alguém pode enviar algo sobre a série dos reciprocos da sequencia de fibonacci?
(convergencia e irracionalidade )
abraços
Em 29/11/07, Nicolau C. Saldanha[EMAIL PROTECTED] escreveu:
On Nov 29, 2007 11:37 AM, Rodrigo Cientista
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Vou colocar oq considero a minha prova para a convergência:
Inicialmente fiz algumas observações (usando a sequência de Lucas, mas pode
ser generalizado):
a)(an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5 (é +5 se n é par, e -5 se n é ímpar) obs:
com +- quero dizer + ou -
Note que eu não sei se isto é verdade para toda a sequência, já que uma
observação não é prova. Entretanto, se eu conseguisse provar que este fato
é verdade, eu poderia dividir todos os termos da equação por (an)*(an-1),
chegando à seguinte expressão:
Isto é verdade trocando 5 por outra constante para qq solução de
a_(n+1) = a_n + a_(n-1).
Há várias maneiras de ver isso. A mais óbvia é usar a fórmula a_n = A
phi^n + B phib^n.
Outra é ver que
[[a_(n+2),a_(n+1)],[a_(n+1),a_n]] = [[1,1],[1,0]] *
[[a_(n+1),a_n],[a_n,a_(n-1)]]
donde, tirando determinantes,
a_(n+2)*a_n - (a_(n+1))^2 = - (a_(n+1)*a_(n-1) - (a_n)^2)
(an)/(an-1) = (an+1)/(an) +-5/[(an)*(an-1)]
Usando-se limites, vemos que quando n-- infinito, +-5/[(an)*(an-1)]-- 0,
e (an)/(an-1)-- (an+1)/(an), e por indução vemos que (an)/(an-1)-- razão
áurea.
Usando a própria definição da sequência:
(an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5, sabe-se que an+1=an + an-1
(an)^2= (an-1)*(an + an-1) +- 5 == (an)^2 - (an-1)^2= (an-1)*(an) +- 5 ==
== (an + an-1)(an - an-1) = (an-1)*(an) +- 5, sabe-se que (an - an-1) =
an-2 ==
== (an + an-1)(an-2) = (an-1)*(an) +- 5, sabe-se que an = an-1 + an-2 ==
== (an + an-1)(an-2) = (an-1)*(an-1 + an-2 ) +- 5 ==
== (an-2)*(an) + (an-1)*(an-2) = (an-1)^2 + (an-1)*(an-2) +- 5 ==
(an-1)^2 = (an-2)*(an) +- 5
comparando-se a expressão original com esta,
(an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5
(an-1)^2 = (an-2)*(an) +- 5
ou mais geralmente:
(ai)^2 = (ai-1)*(ai+1) +- 5, com i=2,3,4,5,6...,n
provando por indução sobre n
Como já foi previamente dito, agora podemos resolver o limite, a saber:
LIM (an)/(an-1) =LIM{ (an+1)/(an) +-5/[(an)*(an-1)] } n-- infinito
LIM (an)/(an-1) =LIM(an+1)/(an) + LIM{ +-5/[(an)*(an-1)] } n-- infinito
LIM{ +-5/[(an)*(an-1)] } n-- infinito é ZERO
NO LIMITE, (an)/(an-1) = (an+1)/(an) + 0
Assim a prova está completa!
Infelizmente considero a sua demonstração incompleta (além de ser
desnecessariamente complicada).
Você demonstrou que
lim ( (a_(n+1)/a_n) - (a_n/a_(n-1)) ) = 0
Isto NÃO implica na existência de
lim a_(n+1)/a_n
Para ver isso, considere c_n = log(n).
Temos
lim c_(n+1) - c_n = 0
mas
lim c_n = +infinito.
Em outras palavras, se o termo geral de uma série tende a zero isto
não garante a convergência da série.
N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Notação matemática em ASC II
Nicolau C. Saldanha escreveu: A regra geral é usar notação autoevidente, evitando símbolos especiais e notações que nem todo mundo conhece (como TeX). A página que você indicou tem uma filosofia bem parecida. Aliás, ttachments são permitidos apenas para figuras simples. N. On Nov 29, 2007 1:28 PM, albert richerd carnier guedes [EMAIL PROTECTED] wrote: A lista não têm uma tabela de notação padrão para matemática via email ? É que eu sinto falta de uma padronização por que cada email que recebo é uma notação diferente e as vezes levo uma hora só para entender o que está escrito. Uma tabela que eu conheço e gosto muito é esta aqui http://www.karlscalculus.org/email.html o que vocês acham ? Alguém têm uma outra ? http://www.karlscalculus.org/email.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Bom, eu não estava pensando em figuras, apenas em ascii mesmo. E minha idéia é distribuir uma tabela de ascii-equivalentes para ingressantes na lista para eles terem uma base de notação, porque como você mesmo escreveu, nem todo mundo sabe latex. Obrigado pela opinião. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] p rovas de convergência: sequência de fibonacci e an álogas
Prezado Nicolau,
Em primeiro lugar obrigado pela sua colaboração em esclarecer minhas dúvidas!
Em segundo, realmente não entendi seu argumento final... meu raciocínio foi de
que como no limite os termos da sequência se igualam a série seja convergente.
Outra forma de provar a convergência: se uma sequência tem a característica de
que a1=a2=a3=...=an, e a_n - a_(n-1) --0 quando n-- infinito, posso
afirmar q ela converge? Acho q vi isso num livro de cálculo (George Simmons) e
era um método (teste de convergência) de Leibiniz. Vou olhar hoje a noite
melhor, mas se for isso acredito que se encaixa na sequência estudada.
abração!
- Mensagem original
De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 29 de Novembro de 2007 12:40:35
Assunto: Re: [obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] provas de convergência:
sequência de fibonacci e análogas
On Nov 29, 2007 11:37 AM, Rodrigo Cientista
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Vou colocar oq considero a minha prova para a convergência:
Inicialmente fiz algumas observações (usando a sequência de Lucas, mas pode
ser generalizado):
a)(an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5 (é +5 se n é par, e -5 se n é ímpar) obs:
com +- quero dizer + ou -
Note que eu não sei se isto é verdade para toda a sequência, já que uma
observação não é prova. Entretanto, se eu conseguisse provar que este fato é
verdade, eu poderia dividir todos os termos da equação por (an)*(an-1),
chegando à seguinte expressão:
Isto é verdade trocando 5 por outra constante para qq solução de
a_(n+1) = a_n + a_(n-1).
Há várias maneiras de ver isso. A mais óbvia é usar a fórmula a_n = A
phi^n + B phib^n.
Outra é ver que
[[a_(n+2),a_(n+1)],[a_(n+1),a_n]] = [[1,1],[1,0]] *
[[a_(n+1),a_n],[a_n,a_(n-1)]]
donde, tirando determinantes,
a_(n+2)*a_n - (a_(n+1))^2 = - (a_(n+1)*a_(n-1) - (a_n)^2)
(an)/(an-1) = (an+1)/(an) +-5/[(an)*(an-1)]
Usando-se limites, vemos que quando n-- infinito, +-5/[(an)*(an-1)]-- 0, e
(an)/(an-1)-- (an+1)/(an), e por indução vemos que (an)/(an-1)-- razão
áurea.
Usando a própria definição da sequência:
(an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5, sabe-se que an+1=an + an-1
(an)^2= (an-1)*(an + an-1) +- 5 == (an)^2 - (an-1)^2= (an-1)*(an) +- 5 ==
== (an + an-1)(an - an-1) = (an-1)*(an) +- 5, sabe-se que (an - an-1) = an-2
==
== (an + an-1)(an-2) = (an-1)*(an) +- 5, sabe-se que an = an-1 + an-2 ==
== (an + an-1)(an-2) = (an-1)*(an-1 + an-2 ) +- 5 ==
== (an-2)*(an) + (an-1)*(an-2) = (an-1)^2 + (an-1)*(an-2) +- 5 == (an-1)^2
= (an-2)*(an) +- 5
comparando-se a expressão original com esta,
(an)^2= (an-1)*(an+1) +- 5
(an-1)^2 = (an-2)*(an) +- 5
ou mais geralmente:
(ai)^2 = (ai-1)*(ai+1) +- 5, com i=2,3,4,5,6...,n
provando por indução sobre n
Como já foi previamente dito, agora podemos resolver o limite, a saber:
LIM (an)/(an-1) =LIM{ (an+1)/(an) +-5/[(an)*(an-1)] } n-- infinito
LIM (an)/(an-1) =LIM(an+1)/(an) + LIM{ +-5/[(an)*(an-1)] } n-- infinito
LIM{ +-5/[(an)*(an-1)] } n-- infinito é ZERO
NO LIMITE, (an)/(an-1) = (an+1)/(an) + 0
Assim a prova está completa!
Infelizmente considero a sua demonstração incompleta (além de ser
desnecessariamente complicada).
Você demonstrou que
lim ( (a_(n+1)/a_n) - (a_n/a_(n-1)) ) = 0
Isto NÃO implica na existência de
lim a_(n+1)/a_n
Para ver isso, considere c_n = log(n).
Temos
lim c_(n+1) - c_n = 0
mas
lim c_n = +infinito.
Em outras palavras, se o termo geral de uma série tende a zero isto
não garante a convergência da série.
N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para
armazenamento!
http://br.mail.yahoo.com/
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Res: Res: [obm-l] Produto finito
Eu analisei esse produto do Albert ontem sem sucesso, mas notei que na produtória aparecem os termos n!^2 e a soma dos quadrados 1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2 = n(n+1)(2n-1)/6 e também outros termos que formam sequências do tipo (n!/2)^2 + (n!/3)^2+ (n!/4)^2 + (n!/n)^2 esta última poderia ser escrita como n!^2(1 + 1/2^2 + 1/3^2 + + 1/n^2) quando n-- infinito, a expressão entre parênteses -- (pi^2)/6 é uma observação intrigante, mas obviamente não resolve o problema ´já que quando n-- infinito obviamente o produto tb tende Mais alguém achou essa formulação? - Mensagem original De: Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 29 de Novembro de 2007 14:52:21 Assunto: Re: Res: [obm-l] Produto finito fica então dessa forma a responsabilidade, par o calculo da soma de um logaritmo vendo que essa função satisfaz a recorrencia encontrada acima f(n+1)=a^soma[0, n]log (1+ (k+1)²)=a^soma[0, n-1]log (1+ (k+1)²). a^log (1+(n+1)²)= f(n)*(1+(n+1)²) então f(n+1)/f(n)=(1+(n+1)²), satisfaz a recorrência agora sobre como aparece os números de stirling nesse problema analisando sua solução do outro produtorio albert, tentei fazer esse de forma analoga prod[0,n](1+k²) fatorando 1+k², com ajuda dos complexos (k+i)(k-i) prod[0,n](k+i)(k-i)=prod[0,n](k+i) *prod[0,n](k-i)= prod[0,n](i+k) *prod[0,n](-1)(i-k)= colocando o (-1) pra fora do produtorio (-1)^(n+1).prod[0,n](i+k) *prod[0,n](i-k) nos dois produtorio termo (abrindo de maneira informal) (i)(i+1)(i+2) (i+n) * (i)(i-1)(i-2)... (i-n) (-1)^(n+1) temos duas potencias fatoriais multiplicadas, potencias fatoriais de base complexa a da esquerda vou escrever (i)^(n+1,-1) e da direita (i)^(n+1,1) para potencias fatoriais de passo -1 e 1 (respectivamente representando os produtorios a partir da esquerda) dai temos isso então (i)^(n+1,-1)* (i)^(n+1,1) * (-1)^(n+1) porém é possivel escrever potências fatorias como soma de potencias normais, atraves dos numeros de stirling, temos então (i)^(n+1,-1)=soma[0,n+1] |s(n+1,k)| i^k e (i)^(n+1,1)=soma[0,n+1] s(n+1,k) i^k logo o produtorio toma forma de soma[0,n+1] |s(n+1,k)| i^k * soma[0,n+1] s(n+1,k) i^k. (-1)^(n+1) onde s(n,k) são números de stirling do primeiro tipo (com sinal alternado, se quiserem posso postar a demonstração e definição depois) e |s(n,k) | o modulo deles, é isso (que não ajudou em nada =P) abraços Em 29/11/07, Rodrigo Renji[EMAIL PROTECTED] escreveu: corrigindo produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) = ( somatorio[k=0 até n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) ) escrevi uma coisa errada era * em vez de =, assim produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) * ( somatorio[k=0 até n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) ) vou postar então o que já pensei sobre esse produtorio notações prod[a,b] f(k)= produtório de f(k) com k variando de a até b no caso o produtório pedido foi prod[1,n] (1+k²) , se colocarmos k=0, temos 1+0², que não altera nada no produtorio por 1 ser elemento neutro, podemos então escrever prod[0,n] (1+k²) , vou chamar esse produtorio de f(n) vimos a recorrencia que ele gera prod[0,n] (1+k²) =prod[0,n-1] (1+k²) * (1+n²), implicando f(n)=f(n-1)*(1+n²), fazendo n+1 em vez de n temos f(n+1)=f(n)*(1+(n+1)²), todos termos são diferentes de zero , então podemos tomar f(n+1)/f(n)=(1+(n+1)³), chamarei f(n+1)/f(n) de Qf(n) procuramos então uma função que aplicada o operador Q de (1+(n+1)³) , que eu não conheço a priori (=P), se conhecer o problema morre mas chegamos em=Qf(n)= f(n+1)/f(n)=(1+(n+1)²) porém podemos fazer o seguinte seja Df(n)=f(n+1)-f(n), então f(n+1)/f(n)=a^ D log f(n)_(a), pois (seja sempre o log na base a) f(n+1)/f(n)=a^log f(n+1) - log f(n)=a ^log f(n+1) . a^-log f(n)==f(n+1)*f(n)^(-1)=f(n+1)/f(n) logo Qf(n)=a^D log f(n) com isso temos a^D log f(n)=(1+(n+1)³), implicando D log f(n)= log (1+ (n+1)²) seja somatorio de k=0 até n-1 escrito como soma [0, n-1], pode se mostrar que soma [0,n-1] Df(k)= f(n)-f(0), usando isso na igualdade de logaritmo acima temos soma[0, n-1]D log f(k)= log f(n)-log f(0 ), porém como f(n) é o produtorio e como vimos que ele aplicado em zero, dá 1, temos f(0)=1 e log 1=0, então a expressão fica como log f(n)=soma[0, n-1]log (1+ (k+1)²) tirando o log do primeiro membro, ficamos com f(n)=a^soma[0, n-1]log (1+ (k+1)²) continua Em 29/11/07, albert richerd carnier guedes[EMAIL PROTECTED] escreveu: Rodrigo Renji escreveu: Cheguei em outro resultado doido pra esse produto, mas nem sei se esta certo produtorio[k=0 até n] (1+k²)=(-1)^(n+1) = ( somatorio[k=0 até n+1]s(n+1,k).i^(k) )( somatorio[k=0 até n+1] |s(n+1,k)|.i^(k) ) onde s(n,k) são numeros de stirling do primeiro tipo com sinal |s(n,k)| sendo o módulo desses números, i o número complexo. A conclusão partiu de (1+k²)=(k+i)(k-i) depois separar o produtorio em dois, depois usar a propriedade do
Re: [obm-l] Res: [obm-l] Teoria dos Números: outro problema de Fermat
entre 5^2 e 4^3 por exemplo, 25,26,27, 64 On 11/29/07, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote: mas 3 numeros consecutivos, o grafico mostra que não. On 11/28/07, Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] wrote: Saulo, 1. não se sabe se o quadrado é maior ou menor que o cubo (o problema dá um caso, mas fala em número entre um quadrado e um cubo, pode ser que haja um cubo que somado a 2 seja um quadrado) 2. as funçoes x^3 e x^2 tem taxas de crescimento diferentes de modo que a diferença entre elas so passe por 2 apenas uma vez. isso não é necessariamente verdade, se traçarmos no mesmo gráfico uma função quadrática e uma cúbica e traçarmos diversas retas horizontais paralelas ao eixodos x de forma que a diferença entre elas (no eixo dos y) seja igual a 2, teremos vários pares de pontos de interceptação com as curvas em que suas diferenças são iguais a 2 (ex: a diferença entre o ponto de interceptação da cúbica com a reta c e o ponto de interceptação da quadrática com a reta b (ou d) é 2, e assim sucessivamente) O que poderia ser usado como prova é mostrar que somente um par desses pontos ( 25,27) é de inteiros positivos, os outros não podem ser inteiros positivos obs: repare que a diferença é representada no eixo dos y, no eixo dos x entram os valores (no caso do 26 os valores são 5^2 e 3^3) y ^ | | |- a |* o }2 |- b | * o }2 |- c | * o }2 |- d | * o }2 |- e | * o }2 |- f |*o_}2 __ x concorda? um tempêro adicional: esse problema foi um daqueles que Fermat gostava de usar pra desafiar outros matemáticos, ele demorou dias pra construir a demonstração na época e o matemático Wallis desistiu da solução. - Mensagem original De: saulo nilson [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 28 de Novembro de 2007 19:46:09 Assunto: Re: [obm-l] Teoria dos Números: outro problema de Fermat n-1,n,n+1 n-1=x^2 n=x^2+1 x^2+2=y^3 y^3-x^2=2 as funçoes x^3 e x^2 tem taxas de crescimento diferentes de modo que a diferença entre elas so passe por 2 apenas uma vez. On 11/26/07, Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém teria a demonstração para o seguinte problema: prove que 26 é o único natural entre um quadrado e um cubo (5^2=25 e 3^3=27) cheguei muito perto mas falta alguma coisa... Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Abra sua conta no Yahoo! Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] Equacao parametrica
x^2+y^2=e^2t 2t=ln(x^2+y^2) t=arctgy/x y/x=tgln(x^2+y^2)^1/2 On 11/28/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá será que alguém poderia me dizer que curva no R^2 tem equações paramétricas assim: x(t) = e^t*cos t e y(t) = e^t*sin t. E tb como que eu deduzo a equação paramétrica de uma espiral? Grato. -- Abra sua conta no Yahoo! Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] Res: [obm-l] Teoria dos Números: outro problema de Fermat
mas 3 numeros consecutivos, o grafico mostra que não. On 11/28/07, Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] wrote: Saulo, 1. não se sabe se o quadrado é maior ou menor que o cubo (o problema dá um caso, mas fala em número entre um quadrado e um cubo, pode ser que haja um cubo que somado a 2 seja um quadrado) 2. as funçoes x^3 e x^2 tem taxas de crescimento diferentes de modo que a diferença entre elas so passe por 2 apenas uma vez. isso não é necessariamente verdade, se traçarmos no mesmo gráfico uma função quadrática e uma cúbica e traçarmos diversas retas horizontais paralelas ao eixodos x de forma que a diferença entre elas (no eixo dos y) seja igual a 2, teremos vários pares de pontos de interceptação com as curvas em que suas diferenças são iguais a 2 (ex: a diferença entre o ponto de interceptação da cúbica com a reta c e o ponto de interceptação da quadrática com a reta b (ou d) é 2, e assim sucessivamente) O que poderia ser usado como prova é mostrar que somente um par desses pontos ( 25,27) é de inteiros positivos, os outros não podem ser inteiros positivos obs: repare que a diferença é representada no eixo dos y, no eixo dos x entram os valores (no caso do 26 os valores são 5^2 e 3^3) y ^ | | |- a |* o }2 |- b | * o }2 |- c | * o }2 |- d | * o }2 |- e | * o }2 |- f |*o_}2 __ x concorda? um tempêro adicional: esse problema foi um daqueles que Fermat gostava de usar pra desafiar outros matemáticos, ele demorou dias pra construir a demonstração na época e o matemático Wallis desistiu da solução. - Mensagem original De: saulo nilson [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 28 de Novembro de 2007 19:46:09 Assunto: Re: [obm-l] Teoria dos Números: outro problema de Fermat n-1,n,n+1 n-1=x^2 n=x^2+1 x^2+2=y^3 y^3-x^2=2 as funçoes x^3 e x^2 tem taxas de crescimento diferentes de modo que a diferença entre elas so passe por 2 apenas uma vez. On 11/26/07, Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém teria a demonstração para o seguinte problema: prove que 26 é o único natural entre um quadrado e um cubo (5^2=25 e 3^3=27) cheguei muito perto mas falta alguma coisa... Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Abra sua conta no Yahoo! Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] Números complexos (FEIUC-67)
albert richerd carnier guedes wrote: Ficaria mais fácil se você colocasse a resposta do gabarito para comparar, mas vou mandar a resposta e você confirma. Comecemos com a forma a+ib de 1/(1-i) 1/( 1 - i ) = [1/( 1 - i )][( 1 + i )/( 1 + i )] = ( 1 + i )/2 = 1/2 + i/2 = a=1/2 e b=1/2 Para fazer em forma trigonométrica faça sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/sqrt(2) cos(x) = [ a/sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/2 ][ 1/sqrt( 1/2 ) ] = sqrt(2)/2 = 1/sqrt(2) sen(x) = b/sqrt( a^2 + b^2 ) = 1/sqrt(2) onde denoto sqrt(x) como a raiz quadrada de x. Assim, temos que como cos(x) = 1/sqrt(2) então x=pi/4 portanto dá para fazer 1/( 1 - i ) = [ 1/sqrt(2) ][ cos(pi/4)+ i sen(pi/4) ] Claro que a resposta serve para todos os x na forma x= 2n pi + pi/4 = [ 8n + 1 ][ pi/4 ] onde n é um inteiro qualquer. Com -1/i fazemos -1/i = [-1/i][ i/i ] = i= a=0 e b=1 Na forma trigonométrica sqrt( a^2 + b^2 ) = 1 cos(x) = 0 sen(x) = 1 logo , x= pi/2, o que fica -1/i = i*sen(pi/2) que também serve para x na forma x= 2n pi + pi/2 = [ 4n + 1 ][ pi/2 ] Confirma se corresponde ao gabarito e qualquer dúvida mande mais emails, falou ? Até mais. Olá, Albert, você repartiu o 1/(1-i) -1/i em dois números. No exercício tem somente um número complexo, que é o 1/(1-i) -1/i. Aproveitando o post, irei mostrar meus cálculos comparando com o gabarito. Calculando na forma a + bi: 1/(1-i) -1/i = [i -(1-i)]/i(1-i) = [(-1 + 2i)/(i+1)]*(i-1)/(i-1) = (-1 -3i)/-2 = 1/2 + 3i/2 Forma Trigonométrica de z = 1/2 + 3i/2 módulo = p p = sqrt(1/4 + 9/4) = sqrt(10)/2 cos(a) = (1/2)/sqrt(10)/2 = sqrt(10)/10 sen(b) = (3/2)/sqrt(10)/2 =3*sqrt(10)/10 logo: z = [sqrt(10)/2] * [cos(arc sen[3*sqrt(10)/10] + i*sen(arc cos[sqrt(10)/10]] Gabarito: forma a + bi: 1/2 + 3i/2 forma trigonometrica: z = [sqrt(10)/2] * [cos(arc tg[3]) + i*sen(arc tg[3])] Abraço a todos! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] polinomios
Poderiam me ajudar com esta: *Considere a equação x³-3x²-kx+12=0* *a) Determine k de modo que haja duas raízes simétricas* *b)Se 1 for raiz dessa equação, quais são as outras raízes?* Ney
[obm-l] esfera no cone
Como seria possivel calcular a área pedida no problema abaixo sem conhecer o raio da esfera? *Calcule o volume exterior a uma esfera e interior a um cone de raio da base igual a 6 e altura 8, sendo a esfera inscrita no cone*. Obrigado Ney
[obm-l] complexos_demonstração
Olá pessoal, Poderiam me ajudar com mais esta? *Sendo |z|1/2 e fazendo uso da desigualdade triangular, |z1 + z2| |z1| + |z2|, mostre que:* *|(1 + i)z³ + iz| 3/4* Agradeço antecipadamente. Ney
RE: [obm-l] esfera no cone
Liga do centro da esfera ao lado do cone, até o ponto de tangência,formando assim dois triangulos retângulos semelhantes. R/6 =8-R/10 , daí teremos que R=3. Espero ter ajudado. Cláudio Thor Date: Thu, 29 Nov 2007 22:39:01 -0300 From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] esfera no cone Ney Falcao wrote: Como seria possivel calcular a área pedida no problema abaixo sem conhecer o raio da esfera?/Calcule o volume exterior a uma esfera e interior a um cone de raio da base igual a 6 e altura 8, sendo a esfera inscrita no cone/.Obrigado Ney Olá Senhores, como vão? Seguinte, fiz um esboço do problema no paint. Também embuti a relação da semelhança de triângulos: http://epaduel.org/tmp/obm-29112007.jpg Dados do problema: H = x + r = x = 8 -r (I) Da semelhança de triângulos: x/r = a/R (II) De I em II: (8-r)/r = a/6 = a = 6(8-r)/r (III) Aplicando pitágoras no triângulo retângulo maior: a^2 = h^2 + R^2 = a^2 = 64 + 36 (IV) De (III) em (IV) [6(8-r)]^2 = 100r^2 r^2 +9r -36 = 0 x´ = 12 nao convém (rR) x´´ = -3, logo r = 3 Calculando os volumes: Vesf = (4/3)pi*r^3 = (4/3)*pi*3^3 = 36pi Vcone = (1/3)*pi*(R^2)*H = (1/3)*pi*(6^2)*8 = 96 Respostas: Vesfera = 36pi Vext = 96pi -16pi = 60pi Se estiver errado, por favor,me corrijam! Abraços a todos, Emanuel Valente = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = _ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos conectada ao Messenger! http://spaces.live.com/signup.aspx
Re: [obm-l] esfera no cone
Emanuel Valente wrote: Ney Falcao wrote: Como seria possivel calcular a área pedida no problema abaixo sem conhecer o raio da esfera? /Calcule o volume exterior a uma esfera e interior a um cone de raio da base igual a 6 e altura 8, sendo a esfera inscrita no cone/. Obrigado Ney Olá Senhores, como vão? Seguinte, fiz um esboço do problema no paint. Também embuti a relação da semelhança de triângulos: http://epaduel.org/tmp/obm-29112007.jpg Dados do problema: H = x + r = x = 8 -r (I) Da semelhança de triângulos: x/r = a/R (II) De I em II: (8-r)/r = a/6 = a = 6(8-r)/r (III) Aplicando pitágoras no triângulo retângulo maior: a^2 = h^2 + R^2 = a^2 = 64 + 36 (IV) De (III) em (IV) [6(8-r)]^2 = 100r^2 r^2 +9r -36 = 0 x´ = 12 nao convém (rR) x´´ = -3, logo r = 3 Calculando os volumes: Vesf = (4/3)pi*r^3 = (4/3)*pi*3^3 = 36pi Vcone = (1/3)*pi*(R^2)*H = (1/3)*pi*(6^2)*8 = 96 Respostas: Vesfera = 36pi Vext = 96pi -16pi = 60pi Se estiver errado, por favor,me corrijam! Abraços a todos, Emanuel Valente = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Emanuel, tu fizeste exatamente como fiz, através da semelhança de triângulos: o primeiro formado pelo ponto de tangência perpendicular do raio da esfera à geratriz do cone, o centro da esfera e o vértice do cone; e o outro formado pelo ponto relativo ao centro da base do cone, um dos vértices do triângulo isóceles (triângulo gerado pela secção plana do cone) e o vértice do cone. /A priori/, tentei enxergar uma relação de ponto notável (Coincidência dos quatro: baricentro, incentro, circunscentro e ortocentro) e do triângulo seccionado, mas o este, e consecutivamente o cone, não são equiláteros; logo não é possível aplicar qualquer proporcionalidade entre as medidas lineares (assim, o raio da esfera seria um terço da altura do cone, o que não é verdade) baseado nessa minha observação falha que tive inicialmente. Depois de remoer um pouco a figura, notei que poderia fazer assim: Eis o link da imagem que fiz no CorelDraw: http://i35.photobucket.com/albums/d198/Gustavo_HSAL/res02.jpg Espero ter acertado. Um grande abraço deste que vos escreve. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] polinomios
Ney Falcao wrote: Poderiam me ajudar com esta: /Considere a equação x³-3x²-kx+12=0/ /a) Determine k de modo que haja duas raízes simétricas/ /b)Se 1 for raiz dessa equação, quais são as outras raízes?/ Ney Eis a minha resolução: a) Aplico, inicialmente, a relação de Girard em que organizo a soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas: -k = x1*x2 + x1*x3 + x2*x3 Como duas das três raízes são simétricas, chamá-las-ei de r e -r. ( x1 = r e x2 = -r) A relação fica assim: - k = r*(-r) + r*x3 + (-r)*x3 - k = - r^2 k = r^2 Como r é raiz da equação, a seguinte igualdade é verdadeira: r^3 - 3*r^2 - k*r + 12 = 0 Como k = r^2 r^3 - 3*r^2 - r^3 + 12 = 0 3*r^2 = 12 r^2 = 4 Portanto, k = 4. b) 1 é raiz, então: 1^3 - 3*1^2 - k*1 + 12 = 0 k = 10 Eis a equação: p(x) = 0 = x^3 - 3*x^2 - 10*x + 12 Então, se 1 é raiz, isso implica que o polinômio p(x) é divisível por d(x) = (x - 1). Efetuando a divisão de p(x) por d(x) através do método prático de Briot-Ruffini, obtenho o polinômio quociente q(x) = x^2 - 2*x -12. As outras duas raízes de p(x) serão as raízes dessa função polinomial do segundo grau q(x), que podem ser facilmente obtidas através da fórmula de Bhaskara e são estas: x2 = 1 + (raiz de +23) e x3 = 1 - (raiz de +23). Espero não ter cometido algum erro. Um abraço deste que vos escreve, e agradeço bastante pela questão.
Re: [obm-l] esfera no cone
Emanuel Valente wrote: Ney Falcao wrote: Como seria possivel calcular a área pedida no problema abaixo sem conhecer o raio da esfera? /Calcule o volume exterior a uma esfera e interior a um cone de raio da base igual a 6 e altura 8, sendo a esfera inscrita no cone/. Obrigado Ney Olá Senhores, como vão? Seguinte, fiz um esboço do problema no paint. Também embuti a relação da semelhança de triângulos: http://epaduel.org/tmp/obm-29112007.jpg Dados do problema: H = x + r = x = 8 -r (I) Da semelhança de triângulos: x/r = a/R (II) De I em II: (8-r)/r = a/6 = a = 6(8-r)/r (III) Aplicando pitágoras no triângulo retângulo maior: a^2 = h^2 + R^2 = a^2 = 64 + 36 (IV) De (III) em (IV) [6(8-r)]^2 = 100r^2 r^2 +9r -36 = 0 x´ = 12 nao convém (rR) x´´ = -3, logo r = 3 Calculando os volumes: Vesf = (4/3)pi*r^3 = (4/3)*pi*3^3 = 36pi Vcone = (1/3)*pi*(R^2)*H = (1/3)*pi*(6^2)*8 = 96 Respostas: Vesfera = 36pi Vext = 96pi -16pi = 60pi Se estiver errado, por favor,me corrijam! Abraços a todos, Emanuel Valente = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Emanuel, tu fizeste exatamente como fiz, através da semelhança de triângulos: o primeiro formado pelo ponto de tangência perpendicular do raio da esfera à geratriz do cone, o centro da esfera e o vértice do cone; e o outro formado pelo ponto relativo ao centro da base do cone, um dos vértices do triângulo isóceles (triângulo gerado pela secção plana do cone) e o vértice do cone. /A priori/, tentei enxergar uma relação de ponto notável (Coincidência dos quatro: baricentro, incentro, circunscentro e ortocentro) e do triângulo seccionado, mas o este, e consecutivamente o cone, não são equiláteros; logo não é possível aplicar qualquer proporcionalidade entre as medidas lineares (assim, o raio da esfera seria um terço da altura do cone, o que não é verdade) baseado nessa minha observação falha que tive inicialmente. Depois de remoer um pouco a figura, notei que poderia fazer assim: Eis o link da imagem que fiz no CorelDraw: http://i35.photobucket.com/albums/d198/Gustavo_HSAL/res02.jpg Espero ter acertado. Um grande abraço deste que vos escreve. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] esfera no cone
Ney Falcao wrote: Como seria possivel calcular a área pedida no problema abaixo sem conhecer o raio da esfera? /Calcule o volume exterior a uma esfera e interior a um cone de raio da base igual a 6 e altura 8, sendo a esfera inscrita no cone/. Obrigado Ney Olá Senhores, como vão? Seguinte, fiz um esboço do problema no paint. Também embuti a relação da semelhança de triângulos: http://epaduel.org/tmp/obm-29112007.jpg Dados do problema: H = x + r = x = 8 -r (I) Da semelhança de triângulos: x/r = a/R (II) De I em II: (8-r)/r = a/6 = a = 6(8-r)/r (III) Aplicando pitágoras no triângulo retângulo maior: a^2 = h^2 + R^2 = a^2 = 64 + 36 (IV) De (III) em (IV) [6(8-r)]^2 = 100r^2 r^2 +9r -36 = 0 x´ = 12 nao convém (rR) x´´ = -3, logo r = 3 Calculando os volumes: Vesf = (4/3)pi*r^3 = (4/3)*pi*3^3 = 36pi Vcone = (1/3)*pi*(R^2)*H = (1/3)*pi*(6^2)*8 = 96 Respostas: Vesfera = 36pi Vext = 96pi -16pi = 60pi Se estiver errado, por favor,me corrijam! Abraços a todos, Emanuel Valente = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
