Re: [obm-l] avalição de resolução Análise
Ola Murilo, Por que a sequencia g:N-N nao pertence a lista (enumeracao) desequencias ? Acho que faltou tornar isto MAIS CLARO. Alem disso,faltou enunciar claramente que suponhamos que as sequencias denumeros naturais seja enumeravel. Eis aqui uma demonstracao : Seja S o conjunto das sequencias de numeros naturais. SUPONHAMOS queeste conjunto seja enumeravel. Seja entao (s1, s2, ..., sn,...) umaenumeracao qualquer dos elementos deste conjunto. Vamos mostrar queexiste uma sequencia T de numeros naturais que nao esta na enumeracaoanterior : Facamos : T(1)=n1, tal que n1 # s1(1)T(2)=n2, tal que n2 # s2(2)...T(i)=ni, tal que n1 # si(i) Assim definida, T e uma sequencia de numeros naturais e, portanto,necessita estar na enumeracao que fizemos, mas esta sequencia T naoesta na enumeracao pois ela e diferente de qualquer sequencia sn,n=1,2,... precisamente no ponto n. o que e um absurdo, poisestavamos supondo que o conjunto S e enumeravel e que (s1, s2, ... )seria uma enumeracao dos seus elementos, abrigando portando TODAS assequencias de numeros naturais. Assim, a nossa tese e insustentavel e somos obrigados a admitir que oconjunto das sequencias de numeros naturais nao e enumeravel. EXERCICIO DE ANALISE : Mostre que QUALQUER CONJUNTO INFINITO pode serexpresso como uma uniao enumeravel de conjunto infinitos, dois a doisdisjuntos. Um AbracoPSR, 31301090847 2009/1/12 Murilo Krell murilo.kr...@gmail.com: Pessoal, continuando na labuta com a análise, fiz um exercício e queria colocar minha resolução para um julgamento, acho que é a melhor forma de aprender. (estou tentando deixar a construção de soluções e o formalismo apurado, por favor, sugestões são muito bem vindas) Enunciado: Prove que o conjunto das sequências de números natureais (n1n2...) é não-enumerável. resolução: Sendo X(N,N) o conjunto de todas as sequências crescentes de números naturais. vamos mostrar que nenhuma função F; N- X (N,N) pode ser sobrejetiva. Indicando por fm o valor de f no ponto m pertencente a N Isto significa que fm pertence a X(N,N), ou seja, é uma sequência crescente de naturais. Assim, para cada n pertencente a N, fm(n) é um número natural. Temos: f1:= ( f1(1) f1(2 ) f1(3) f1(n) ... ) = F1(N) f2:= ( f2(1) f2(2 ) f2(3) f2(n) ... ) = F2(N) . . fm:= ( fm(1) fm(2 ) f! m(3) fm(n) ... ) = Fm(N) . . Agora, vamos construiruma sequência crescente g: N - N que não esteja na imagem de f. Como N é infinito e ordenado, para n=1, coloque g(1) = f1(2) f1(1) No conjunto f2(N) coloque g(2) como sendo f2(1), ou seja, para g(n) vamos tomar g(n) = fn(n-1) assim formamos uma nova sequência g que não pertence a lista de sequências fn. Assim nenhuma lista enumerável pode esgotar todas as funções em X (N,N) abraços e muito obrigado, Murilo = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] avalição de resolução Análise
Oi Paulo, muito obrigado pela solução, porém uma dúvida que eu fiquei é, não é preciso construir explicitamente a a sequência que não vai constar na lista?, grande abraço e obrigado novamente, Murilo 2009/1/13 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com Ola Murilo, Por que a sequencia g:N-N nao pertence a lista (enumeracao) desequencias ? Acho que faltou tornar isto MAIS CLARO. Alem disso,faltou enunciar claramente que suponhamos que as sequencias denumeros naturais seja enumeravel. Eis aqui uma demonstracao : Seja S o conjunto das sequencias de numeros naturais. SUPONHAMOS queeste conjunto seja enumeravel. Seja entao (s1, s2, ..., sn,...) umaenumeracao qualquer dos elementos deste conjunto. Vamos mostrar queexiste uma sequencia T de numeros naturais que nao esta na enumeracaoanterior : Facamos : T(1)=n1, tal que n1 # s1(1)T(2)=n2, tal que n2 # s2(2)...T(i)=ni, tal que n1 # si(i) Assim definida, T e uma sequencia de numeros naturais e, portanto,necessita estar na enumeracao que fizemos, mas esta sequencia T naoesta na enumeracao pois ela e diferente de qualquer sequencia sn,n=1,2,... precisamente no ponto n. o que e um absurdo, poisestavamos supondo que o conjunto S e enumeravel e que (s1, s2, ... )seria uma enumeracao dos seus elementos, abrigando portando TODAS assequencias de numeros naturais. Assim, a nossa tese e insustentavel e somos obrigados a admitir que oconjunto das sequencias de numeros naturais nao e enumeravel. EXERCICIO DE ANALISE : Mostre que QUALQUER CONJUNTO INFINITO pode serexpresso como uma uniao enumeravel de conjunto infinitos, dois a doisdisjuntos. Um AbracoPSR, 31301090847 2009/1/12 Murilo Krell murilo.kr...@gmail.com: Pessoal, continuando na labuta com a análise, fiz um exercício e queria colocar minha resolução para um julgamento, acho que é a melhor forma de aprender. (estou tentando deixar a construção de soluções e o formalismo apurado, por favor, sugestões são muito bem vindas) Enunciado: Prove que o conjunto das sequências de números natureais (n1n2...) é não-enumerável. resolução: Sendo X(N,N) o conjunto de todas as sequências crescentes de números naturais. vamos mostrar que nenhuma função F; N- X (N,N) pode ser sobrejetiva. Indicando por fm o valor de f no ponto m pertencente a N Isto significa que fm pertence a X(N,N), ou seja, é uma sequência crescente de naturais. Assim, para cada n pertencente a N, fm(n) é um número natural. Temos: f1:= ( f1(1) f1(2 ) f1(3) f1(n) ... ) = F1(N) f2:= ( f2(1) f2(2 ) f2(3) f2(n) ... ) = F2(N) . . fm:= ( fm(1) fm(2 ) f! m(3) fm(n) ... ) = Fm(N) . . Agora, vamos construiruma sequência crescente g: N - N que não esteja na imagem de f. Como N é infinito e ordenado, para n=1, coloque g(1) = f1(2) f1(1) No conjunto f2(N) coloque g(2) como sendo f2(1), ou seja, para g(n) vamos tomar g(n) = fn(n-1) assim formamos uma nova sequência g que não pertence a lista de sequências fn. Assim nenhuma lista enumerável pode esgotar todas as funções em X (N,N) abraços e muito obrigado, Murilo = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] avalição de resolução Análise
Oi Murilo e Paulo. Eu acho que a maior dificuldade da questão é mostrar que a seqüênciaassim construída é de fato crescente... eu tentaria mostrar que esteconjunto de seqüências crescentes contém um outro que eu possa provarmais facilmente que é não-enumerável. Além disso, eu acho que você deveria ter posto g(n)=fn(n+1) (só paraseguir o caso da primeira, mas isso não é tão importante assim :qualquer uma das duas me parece difícil de mostrar que é crescente !) Abraços,-- Bernardo On 1/13/09, Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com wrote: Ola Murilo, Por que a sequencia g:N-N nao pertence a lista (enumeracao) desequencias ? Acho que faltou tornar isto MAIS CLARO. Alem disso,faltou enunciar claramente que suponhamos que as sequencias denumeros naturais seja enumeravel. Eis aqui uma demonstracao : Seja S o conjunto das sequencias de numeros naturais. SUPONHAMOS queeste conjunto seja enumeravel. Seja entao (s1, s2, ..., sn,...) umaenumeracao qualquer dos elementos deste conjunto. Vamos mostrar queexiste uma sequencia T de numeros naturais que nao esta na enumeracaoanterior : Facamos : T(1)=n1, tal que n1 # s1(1)T(2)=n2, tal que n2 # s2(2)...T(i)=ni, tal que n1 # si(i) Assim definida, T e uma sequencia de numeros naturais e, portanto,necessita estar na enumeracao que fizemos, mas esta sequencia T naoesta na enumeracao pois ela e diferente de qualquer sequencia sn,n=1,2,... precisamente no ponto n. o que e um absurdo, poisestav! amos supondo que o conjunto S e enumeravel e que (s1, s2, ... )seria uma enumeracao dos seus elementos, abrigando portando TODAS assequencias de numeros naturais. Assim, a nossa tese e insustentavel e somos obrigados a admitir que oconjunto das sequencias de numeros naturais nao e enumeravel. EXERCICIO DE ANALISE : Mostre que QUALQUER CONJUNTO INFINITO pode serexpresso como uma uniao enumeravel de conjunto infinitos, dois a doisdisjuntos. Um AbracoPSR, 31301090847 2009/1/12 Murilo Krell murilo.kr...@gmail.com: Pessoal, continuando na labuta com a análise, fiz um exercício e queria colocar minha resolução para um julgamento, acho que é a melhor forma de aprender. (estou tentando deixar a construção de soluções e o formalismo apurado, por favor, sugestões são muito bem vindas) Enunciado: Prove que o conjunto das sequências de números natureais (n1n2...) é não-enumerável. resolução: Sendo X(N,N) o conjunto de todas as sequênci! as crescentes de números naturais. vamos mostrar que nenhu! ma função F; N- X (N,N) pode ser sobrejetiva. Indicando por fm o valor de f no ponto m pertencente a N Isto significa que fm pertence a X(N,N), ou seja, é uma sequência crescente de naturais. Assim, para cada n pertencente a N, fm(n) é um número natural. Temos: f1:= ( f1(1) f1(2 ) f1(3) f1(n) ... ) = F1(N) f2:= ( f2(1) f2(2 ) f2(3) f2(n) ... ) = F2(N) . . fm:= ( fm(1) fm(2 ) f! m(3) fm(n) ... ) = Fm(N) . . Agora, vamos construiruma sequência crescente g: N - N que não esteja na imagem de f. Como N é infinito e ordenado, para n=1, coloque g(1) = f1(2) f1(1) No conjunto f2(N) coloque g(2) como sendo f2(1), ou seja, para g(n) vamos tomar g(n) = fn(n-1) assim formamos uma nova sequência g que não pertence a lista de sequências fn. Assim nenhuma lista enumerável pode esgotar todas as funções em X (N,N) abraços e muito obrigado, Murilo =! Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] avalição de resolução Análise
Ola Murilo, No seu enunciado esta SEQUENCIAS DE NUMEROS NATURAIS e nao SEQUENCIASCRESCENTES DE NUMEROS NATURAIS. Mas se voce que que a sequenciaconstruida seja crescente e facil : Faca t(1) # s1(1)para i natural tal que i 1, faca t(i) = K, onde K e um natural talque K { t(i-1), si(i) }. Isto garante que a sequencia T e crescentee que e diferente da sequencia Si precisamente no ponto i [pois t(i) si(i) ], vale dizer, a sequencia T nao consta da enumeracao onde,erradamente, estamos supondo que estao TODAS as sequencias. Nistoconsiste o absurdo. Este raciocinio e conhecidissimo e foi elaborado pela primeira vezpelo Cantor. E o raciocinio diagonal que o Cantor usou para provarque o conjunto dos numeros reais e nao-enumeravel. Quanto a construir explicitamente nao e possivel, pois as enumracoessao arbitrarias e temos que raciocinar em cima DE QUALQUER ENUMERACAOQUE SEJA FEITA. Alem disso, aqui penetramos em uma discussao secular,vale dizer, se podemos ou nao podemos admitir em matematica objetoscuja construcao exige um numero de passos infinitos. Neste particulareu penso como o Hilbert : ninguem nos tirara do paraiso que Cantorcriou para nos ! Um AbracoPSR, 31301091116 2009/1/13 Murilo Krell murilo.kr...@gmail.com: Oi Paulo, muito obrigado pela solução, porém uma dúvida que eu fiquei é, não é preciso construir explicitamente a a sequência que não vai constar na lista?, grande abraço e obrigado novamente, Murilo 2009/1/13 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com Ola Murilo, Por que a sequencia g:N-N nao pertence a lista (enumeracao) desequencias ? Acho que faltou tornar isto MAIS CLARO. Alem disso,faltou enunciar claramente que suponhamos que as sequencias denumeros naturais seja enumeravel. Eis aqui uma demonstracao : Seja S o conjunto das sequencias de numeros naturais. SUPONHAMOS queeste conjunto seja enumeravel. Seja entao (s1, s2, ..., sn,...) umaenumeracao qualquer dos elementos deste conjunto. Vamos mostrar queexiste uma sequencia T de numeros naturais que nao esta na enumeracaoanterior : Facamos : T(1)=n1, tal que n1 # s1(1)T(2)=n2, tal que n2 # s2(2)...T(i)=ni, tal que n1 ! # si(i) Assim definida, T e uma sequencia de numeros naturais e, portanto,necessita estar na enumeracao que fizemos, mas esta sequencia T naoesta na enumeracao pois ela e diferente de qualquer sequencia sn,n=1,2,... precisamente no ponto n. o que e um absurdo, poisestavamos supondo que o conjunto S e enumeravel e que (s1, s2, ... )seria uma enumeracao dos seus elementos, abrigando portando TODAS assequencias de numeros naturais. Assim, a nossa tese e insustentavel e somos obrigados a admitir que oconjunto das sequencias de numeros naturais nao e enumeravel. EXERCICIO DE ANALISE : Mostre que QUALQUER CONJUNTO INFINITO pode serexpresso como uma uniao enumeravel de conjunto infinitos, dois a doisdisjuntos. Um AbracoPSR, 31301090847 2009/1/12 Murilo Krell murilo.kr...@gmail.com: Pessoal, continuando na labuta com a análise, fiz um exercício e queria colocar minha resolução para um julgamento, acho que é a melhor forma de aprender.! (estou tentando deixar a construção de soluções e o fo! rmalismo apurado, por favor, sugestões são muito bem vindas) Enunciado: Prove que o conjunto das sequências de números natureais (n1n2...) é não-enumerável. resolução: Sendo X(N,N) o conjunto de todas as sequências crescentes de números naturais. vamos mostrar que nenhuma função F; N- X (N,N) pode ser sobrejetiva. Indicando por fm o valor de f no ponto m pertencente a N Isto significa que fm pertence a X(N,N), ou seja, é uma sequência crescente de naturais. Assim, para cada n pertencente a N, fm(n) é um número natural. Temos: f1:= ( f1(1) f1(2 ) f1(3) f1(n) ... ) = F1(N) f2:= ( f2(1) f2(2 ) f2(3) f2(n) ... ) = F2(N) . . fm:= ( fm(1) fm(2 ) f! m(3) fm(n) ... ) = Fm(N) . . Agora, vamos construiruma sequência crescente g: N - N que não esteja na imagem de f. Como N é infinito e ordenado, para n=1, coloque g(1) = f1(2) f1(1) No conjunto f2(N) coloque g(2) como! sendo f2(1), ou seja, para g(n) vamos tomar g(n) = fn(n-1) assim formamos uma nova sequência g que não pertence a lista de sequências fn. Assim nenhuma lista enumerável pode esgotar todas as funções em X (N,N) abraços e muito obrigado, Murilo = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] avalição de resolução Análise
Olá Paulo, por acaso esta técnica para montar a seqüência T é chamada de Diagonalização, ou algo parecido? abraços, Salhab 2009/1/13 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com Ola Murilo, Por que a sequencia g:N-N nao pertence a lista (enumeracao) desequencias ? Acho que faltou tornar isto MAIS CLARO. Alem disso,faltou enunciar claramente que suponhamos que as sequencias denumeros naturais seja enumeravel. Eis aqui uma demonstracao : Seja S o conjunto das sequencias de numeros naturais. SUPONHAMOS queeste conjunto seja enumeravel. Seja entao (s1, s2, ..., sn,...) umaenumeracao qualquer dos elementos deste conjunto. Vamos mostrar queexiste uma sequencia T de numeros naturais que nao esta na enumeracaoanterior : Facamos : T(1)=n1, tal que n1 # s1(1)T(2)=n2, tal que n2 # s2(2)...T(i)=ni, tal que n1 # si(i) Assim definida, T e uma sequencia de numeros naturais e, portanto,necessita estar na enumeracao que fizemos, mas esta sequencia T naoesta na enumeracao pois ela e diferente de qualquer sequencia sn,n=1,2,... precisamente no ponto n. o que e um absurdo, poisestavamos supondo que o conjunto S e enumeravel e que (s1, s2, ... )seria uma enumeracao dos seus elementos, abrigando portando TODAS assequencias de numeros naturais. Assim, a nossa tese e insustentavel e somos obrigados a admitir que oconjunto das sequencias de numeros naturais nao e enumeravel. EXERCICIO DE ANALISE : Mostre que QUALQUER CONJUNTO INFINITO pode serexpresso como uma uniao enumeravel de conjunto infinitos, dois a doisdisjuntos. Um AbracoPSR, 31301090847 2009/1/12 Murilo Krell murilo.kr...@gmail.com: Pessoal, continuando na labuta com a análise, fiz um exercício e queria colocar minha resolução para um julgamento, acho que é a melhor forma de aprender. (estou tentando deixar a construção de soluções e o formalismo apurado, por favor, sugestões são muito bem vindas) Enunciado: Prove que o conjunto das sequências de números natureais (n1n2...) é não-enumerável. resolução: Sendo X(N,N) o conjunto de todas as sequências crescentes de números naturais. vamos mostrar que nenhuma função F; N- X (N,N) pode ser sobrejetiva. Indicando por fm o valor de f no ponto m pertencente a N Isto significa que fm pertence a X(N,N), ou seja, é uma sequência crescente de naturais. Assim, para cada n pertencente a N, fm(n) é um número natural. Temos: f1:= ( f1(1) f1(2 ) f1(3) f1(n) ... ) = F1(N) f2:= ( f2(1) f2(2 ) f2(3) f2(n) ... ) = F2(N) . . fm:= ( fm(1) fm(2 ) f! m(3) fm(n) ... ) = Fm(N) . . Agora, vamos construiruma sequência crescente g: N - N que não esteja na imagem de f. Como N é infinito e ordenado, para n=1, coloque g(1) = f1(2) f1(1) No conjunto f2(N) coloque g(2) como sendo f2(1), ou seja, para g(n) vamos tomar g(n) = fn(n-1) assim formamos uma nova sequência g que não pertence a lista de sequências fn. Assim nenhuma lista enumerável pode esgotar todas as funções em X (N,N) abraços e muito obrigado, Murilo = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] avalição de resolução Análise
2009/1/13 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com: Olá Paulo, por acaso esta técnica para montar a seqüência T é chamada de Diagonalização, ou algo parecido? Ele se chama (módulo pequenas variações) Método da Diagonal de Cantor, em homenagem a Cantor que (além de estabelecer vários axiomas sobre conjuntos) utilizou uma técnica parecida para provar que {0,1}^N (as seqüências infinitas de zeros e uns) é um conjunto não enumerável (e portanto os reais também, via representação binária !) abraços, Salhab Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Indução
Como sempre a explicação do Prof. Rauph são excelentes e esclarecedoras. Examinando-a ocorreu-me uma dúvida. Na demonstração por indução devemos estabelecer a veracidade de dois enunciados; (1) s(1) é verdadeira ( ou s(2), etc. e (2) s(k) acarreta em s(k+1). No exemplo analisado a implicação s(1) não implica em s(2)[mais; mas o argumento não funciona para mostrar que s(1) implica s(2).] ( copiado do e-mail resposta do Rauph ). Aqui é que a porca torce o rabo Pergunto, não poderia existir uma situação na qual o problema estaria em, digamos, s(432) acarreta s(433) ? Em todas as falácias de indução que já vi o problema é sempre esse: s(1) não acarreta s(2), aí acaba-se descobrindo o que está errado na seguinte prova por indução . Quando vou explicar esse tipo de situação acabo ficando com uma sensação de que, afinal, a indução não se faz em dois passos. Caro Prof. Rauph, se puder comentar antecipadamente nós ( e muitos alunos afinal ) agradecemos. Um abraço Tarso de Moura Leitão
Re: [obm-l] Re: [obm-l] avalição de resolução Análise
Ola Salhab, Penso que a melhor resposta e dizer que a designacao desta tecnica ealgo parecido com diagonalizacao. Explico. Em primeiro lugar,porque nao ha um nome padrao universalmente adotado; em segundo lugar,porque diagonalizacao e um termo familiar, por exemplo, para quemtrabalha com transformacoes lineares ( matrizes ). Assim, entre afalta de unanimidade do primeiro caso e a ambiguidade do segundo, ficocom algo parecido ou algo em torno de diagonalizacao, metodo dadiagonal etc. Mas o que e importante nao e nome, mas a essencia da tecnica ou dometodo, pois este procedimento de alguma forma inaugurou osprocedimentos que hoje dispomos para lidar com os objetos atualmenteinfinitos ( como diria um filosofo ! ), algo absolutamente impensavelpara os matematicos em um passado nao tao distante ... lidar comobjetos cuja construcao exige uma quantidade infinita de passos, talcomo a sequencia T ja referida, era algo absolutamente inadmissivel,por exemplo, para Gauss : Eu contesto o uso de um objeto infinitoo como um todo completo; emMatematica, essa operacao e proibida; o infinito e so um modo dedizer (Gauss) Mas o desenvolvimento ulterior a Gauss veio apoiar - talvez exigirseja a palavra mais adeguada - a adocao desta tecnica de abordagem,ou seja, ligar com objetos tais como se eles fossem completos eacabados mesmo que em suas descricoes/construcoes estejam envolvidosum numero infinito de passos. Seria aqui interessante perguntar se umatal atitude e necessaria ... Na Matematica, em muitos momentos, somos guiados pela beleza oucoerencia intrinseca das relacoes entre objetos... Tal como uma musainspira um poeta, a beleza e coerencia interna guiam os matematicoscriativos - exemplo atual : a teoria M -. Mas aquilo que percebemostao somente inspirados na beleza parece vir a se impor,posteriormente, como uma necessidade inexoravel que a todos se impoe... um exemplo obvio sao os numeros complexos. Surgidos sobretudo deconjecturas eminentemente puras, nao só nos revelaram posteriormenterelacoes numericas insuspeitadas entre as grandezas reais como setornaram uma ferramente imprescindivel a praxis e a tecnologia. Assimparece estar ocorrendo com os numeros transfinitos, talvez osprimeiros exemplos daqueles objetos aos quais Gauss se referia e quenao aceitava. Hoje, existem propriedades numericas, portanto reais e palpaveis,cuja veracidade so sabemos demonstrar lancando mao destes mesmosnumeros transfinitos, outrora pensados como inuteis e distanciados dapratica. Querem um exemplo ? Seja N um natural. Sabemos representar N numa base B qualquer.Digamos, N=9 e B= 2. Entao :N= 2^3 + 1. Ou seja, 9 na base 2 e 2^3+1. Agora, nos diremos que umnumero esta representado na base B iterada se TODOS os numeros quesurgem em sua representacao de base B tambem estiverem expressos nabase B. 9 na base 2 e 2^3 + 1 ;9 na base 2 iterada e 2^(2+1) + 125 na base 2 e 2^4 + 2^3 + 1 ; na base 2 iterada e (2^(2^2)) + (2^(2+1)) + 1 Vamos agora definir uma operacao, DIL ( de DILatacao) da seguinte maneira :DIL(p,N) = substitua todos os algarismos p da representacao de N nabase iterada p por p+1 Exemplo 1 :DIL(2,9)=3^(3+1) + 1Exemplo 2 :DIL(2,25)=(3^(3^3)) + (3^(3+1)) + 1 Vamos agora definir uma sequencia. Assim : Partindo de um natural N 2, seja G(1,N) = N.Para todo i1, seja G(i,N) =DIL(i,G(i-1,N)) - 1 E facil ver que partindo de um natural N qualquer ( chamado SEMENTE ),o crescimento da sequencia G e muito rapido. Exemplo : N=9. Entao G(1,9)=9G(2,9)=DIL(2,G(1,9)) - 1 = (3^(3^3)) + (3^(3+1)) + 1 - 1 = (3^(3^3)) + (3^(3+1))... Existe um Teorema, chamado TEOREMA DE GOODSTEIN, que incrivelmenteafirma que partindo de uma semente N qualquer, existira um natural Ktal que G(K,N) = 0 !!! Ou seja, mesmo que o crescimento inicial sejaincrivelmente rapido, ao final teremos G(K,N)=0 num NUMERO FINITO DEPASSOS ! Se voces fizerem alguns poucos exemplos ( com um bom softwarematematico, digamos, com o maple ) verificarao que o teorema seconfirma. ENTRETANTO, como provar isso no caso geral ? A unica provaque conhecemos ( pelo que eu sei ) necessariamente precisa recorreraos numeros transfinitos ...ou seja, os numeros transfinitos, assimcomo os complexos outrora, estao se tornando essencias inclusive paraconhecermos e provarmos fatos bens chao chao e palpaveis tais comoa incrivel propriedade das sequencias de goldstein. A prova e simples e direta, mas nao vou apresentar aqui. Eu apresenteieste resultado apenas para sugerir que aquilo que em principio podeparecer estranho e pouco digerivel e, em geral, prenhe depossibilidades insuspeitadas : so as mediocridades sao aceitas semadversidades ... Bom, faz bastante tempo que eu nao falo com voces. Mas vou ficando poraqui. Havendo tempo eu participo mais A todos, com os melhoresvotos de paz profunda,souPSR, 31301091812 G1(N) = N 2009/1/13 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com: Olá Paulo, por acaso esta técnica para montar a seqüência T é
Re: [obm-l] Indução
Oi, Tarso. Para ser mais exato, o que tem que ser provado eh: i) s(1) eh V ii) Para todo k natural, s(k) implica s(k+1). (este eh o PASSO DE INDUCAO) Pois eh, como voce disse, este TODO k natural eh importante. Seja lah qual for o raciocinio que voce fizer para provar que s(k) implica s(k+1), ele tem que valer para TODO k natural (bom, aas vezes a partir de 1, aas vezes do ponto inicial que voce precisa, mas isso eh outro detalhe), inclusive 432. Entao, em principio, concordo contigo que este passo de inducao tem que dar um friozinho na barriga -- serah que o raciocinio que a gente fez estah suficientemente geral? Por outro lado, nao eh tao cabeludo fazer um raciocinio que vale para todos os naturais ao mesmo tempo -- toda vez que a gente usa uma variavel, a gente estah fazendo um raciocinio para varios numeros ao mesmo tempo, e a gente acaba, com experiencia, sabendo quais sao os casos problematicos para os quais tem que ficar de olho. Alias, como voce disse, a maioria das inducoes que furam dao problemas nos primeiros passos... bom, pelo menos na minha experiencia. Entao uma boa ideia eh sempre seguir o argumento do passo de inducao que voce fez com seu k generico e segui-lo tintim por tintim com os valores pequenos de k, para verificar se ele funciona mesmo... Abraco, Ralph 2009/1/13 Tarso de Moura Leitão barz...@dglnet.com.br: Como sempre a explicação do Prof. Rauph são excelentes e esclarecedoras. Examinando-a ocorreu-me uma dúvida. Na demonstração por indução devemos estabelecer a veracidade de dois enunciados; (1) s(1) é verdadeira ( ou s(2), etc. e (2) s(k) acarreta em s(k+1). No exemplo analisado a implicação s(1) não implica em s(2)[mais; mas o argumento não funciona para mostrar que s(1) implica s(2).] ( copiado do e-mail resposta do Rauph ). Aqui é que a porca torce o rabo Pergunto, não poderia existir uma situação na qual o problema estaria em, digamos, s(432) acarreta s(433) ? Em todas as falácias de indução que já vi o problema é sempre esse: s(1) não acarreta s(2), aí acaba-se descobrindo o que está errado na seguinte prova por indução . Quando vou explicar esse tipo de situação acabo ficando com uma sensação de que, afinal, a indução não se faz em dois passos. Caro Prof. Rauph, se puder comentar antecipadamente nós ( e muitos alunos afinal ) agradecemos. Um abraço Tarso de Moura Leitão = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =