Re: [obm-l] DG: [Era: serie para ln(2)]
Tem razao, Ponce. Voce disse quando UM dos lados vai para zero, eu tinha lido OS LADOS. Li errado. Abraco, Ralph 2009/5/9 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com Oi Ralph, o triangulo degenerado que eu dei tinha apenas um lado nulo, para forcar que os angulos fossem zero ou que um dos vetores fosse zero (e nesse ultimo caso, a resultante continuaria a ter seu modulo igual 'a soma dos modulos dos vetores). Portanto, se aumentarmos apenas um pouquinho o lado nulo, a igualdade se desfaz, e teremos simplesmente: ma+mb+mc a+b+c Como esse pouquinho pode ser tao pequeno quanto o siqueira, o valor para K e' mesmo 1. Abracao, Rogerio Ponce 2009/5/9 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com: Poxa, o Ponce, com sua vasta esperiencia de decadas e decadas matematicas, ressuscitou a questao de qual eh a melhor desigualdade do tipo ma+mb+mc=k(a+b+c) que a gente consegue escrever?, que estava em http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg43875.html e mostrou que aqueles 3/2 que a gente achou ha decadas NAO era a melhor cota. (A gente tambem achou que 3/4.(a+b+c)=ma+mb+mc, e tem um argumento lah que diz que esses 3/4 eh a melhor desigualdade) Agora fiquei curioso -- qual eh o menor valor possivel de k para garantir que a desigualdade acima vale? E antes que alguem diga, o argumento de que num triangulo degenerado vale a igualdade porque dah 0=0 nao me convence -- afinal, o que eu quero eh o menor valor de k, e esse 0=0 vale para qualquer k. Abraco, Ralph 2009/5/9 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com Ola' Nehab, Santa Rita, Luis Lopes e pessoal da lista, estou gostando dessas histórias ! ...menos, é claro, da intenção do Nehab em me incluir na lista dos quase coroas, visto que ele já conhecia o Bourbaki de trás pra frente, há mais de 10 anos, quando o único conjunto que eu conhecia era o dos Beatles... Xiii me entreguei Mas voltando 'a vaca fria, vamos resolver o problema do Santa Rita, ou seja, vamos tentar encontrar algum triangulo tal que o seu perimetro seja igual a soma das suas medianas. Entao, considere um triangulo ABC, e seja D o ponto medio do lado BC. Pois agora imagine os vetores AB e AC, com origem em A. Repare que a soma desses 2 vetores vale exatamente o dobro da mediana AD. Por outro lado, a gente sabe que a soma de dois vetores quaisquer vale, no maximo, a soma dos dois modulos. Portanto, a mediana AD vale no maximo a metade da soma dos comprimentos AB e AC, ou seja, 2*AD = AB + AC Repita essa desigualdade para as outras medianas, e some tudo. Fica facil concluir que: A SOMA DAS MEDIANAS E' SEMPRE MENOR OU IGUAL AO PERIMETRO DO TRIANGULO. Alias, essa igualdade so' acontece se os angulos entre os vetores forem zero, o que significa que o triangulo tem que ser degenerado. E, de fato, isso acontece quando um dos lados do triangulo tem comprimento zero. []'s Rogerio Ponce 2009/5/6 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br: Caramba, Falam em antiguidades e mencionam logo meu nome. Não sei porque... :-) . Você já mencionaram dois maiores monstros do passado em Geometrias (imaginem... o quanto passado...o meu passado! hahaha). O Virgilio de Athayde Pinheiro e o Célio Pinto de Almeida (que depois foi dono da construtora que levava seu nome). O primeiro, um sábio, um verdadeiro mestre, de corpo e alma (falava grego fluentemente, era um poço infinito de conhecimento, inclusive sobre história da Matemática, aspecto tão negligenciado hoje em dia (para os alunos fica a horrível sensação que tudo em matemática sempre foi do mesmo jeito semprecomo se matemática fose uma descoberta dos deuses e não dso homens...). Tive o privilégio de ter sido aluno do Virgílio em Geometria Descritiva e Perspectiva(s). Do segundo élio) fui aluno de Desenho Geométrico (ai incluidas as Cônicas): um monstro e um extraordinário professor. Mas havia um outro monstro sagrado, tímido e introspectivo, que foi professor do IME e da UFF (Dep de Matemática) - Luiz Oswaldo - e tive oportunidade de ser aluno dele em ambas as escolas. No IME, de Geometria, e na UFF de Teoria dos Números e de Geometria (foi através dele que conheci e me extasiei com o livro do Niven - Irrational Numbers, já mencionado algumas vezes por aqui). Eram do Luiz Oswaldo a grande maioria das questões de Geometria dos concursos de admissão ao IME na década de 65 a75, inclusive as questões de Geometria da prova de 72/73 onde tive o prazer de trabalhar com ele (eu já dava aula lá) e participar de forma intensa no massacre da prova de Álgebra daquele ano. ;-) Para quem não se lembra eu e o Ponce (um quase coroa da lista) já escrevemos por aqui causos engraçados sobre o Luiz Oswaldo, inclusive sua ridícula e única gravata de seu sovina vestuário. Mas eu
Re: [obm-l] DG: [Era: serie para ln(2)]
Eh, isso ai. Eh que, na outra discussao, a gente deixou escapar este limite superior, deixando-o em 3/2. Abraco, Ralph 2009/5/9 Carlos Yuzo Shine cysh...@yahoo.com Oi Ralph, Eu só comecei a acompanhar a discussão agora, mas o que acontece quando fazemos um lado TENDER a zero? Não tender a dar 1? Aí eu acho que o argumento do Ponce mostra que o menor k é 1, não? Enfim, eu pensei muito rápido e posso estar enganado (agora mesmo estou meio apressado...). []'s Shine --- On Sat, 5/9/09, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com wrote: From: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Subject: Re: [obm-l] DG: [Era: serie para ln(2)] To: obm-l@mat.puc-rio.br Date: Saturday, May 9, 2009, 11:49 AM Poxa, o Ponce, com sua vasta esperiencia de decadas e decadas matematicas, ressuscitou a questao de qual eh a melhor desigualdade do tipo ma+mb+mc=k(a+b+c) que a gente consegue escrever?, que estava em http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg43875.html e mostrou que aqueles 3/2 que a gente achou ha decadas NAO era a melhor cota. (A gente tambem achou que 3/4.(a+b+c)=ma+mb+mc, e tem um argumento lah que diz que esses 3/4 eh a melhor desigualdade) Agora fiquei curioso -- qual eh o menor valor possivel de k para garantir que a desigualdade acima vale? E antes que alguem diga, o argumento de que num triangulo degenerado vale a igualdade porque dah 0=0 nao me convence -- afinal, o que eu quero eh o menor valor de k, e esse 0=0 vale para qualquer k. Abraco, Ralph 2009/5/9 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com Ola' Nehab, Santa Rita, Luis Lopes e pessoal da lista, estou gostando dessas histórias ! ...menos, é claro, da intenção do Nehab em me incluir na lista dos quase coroas, visto que ele já conhecia o Bourbaki de trás pra frente, há mais de 10 anos, quando o único conjunto que eu conhecia era o dos Beatles... Xiii me entreguei Mas voltando 'a vaca fria, vamos resolver o problema do Santa Rita, ou seja, vamos tentar encontrar algum triangulo tal que o seu perimetro seja igual a soma das suas medianas. Entao, considere um triangulo ABC, e seja D o ponto medio do lado BC. Pois agora imagine os vetores AB e AC, com origem em A. Repare que a soma desses 2 vetores vale exatamente o dobro da mediana AD. Por outro lado, a gente sabe que a soma de dois vetores quaisquer vale, no maximo, a soma dos dois modulos. Portanto, a mediana AD vale no maximo a metade da soma dos comprimentos AB e AC, ou seja, 2*AD = AB + AC Repita essa desigualdade para as outras medianas, e some tudo. Fica facil concluir que: A SOMA DAS MEDIANAS E' SEMPRE MENOR OU IGUAL AO PERIMETRO DO TRIANGULO. Alias, essa igualdade so' acontece se os angulos entre os vetores forem zero, o que significa que o triangulo tem que ser degenerado. E, de fato, isso acontece quando um dos lados do triangulo tem comprimento zero. []'s Rogerio Ponce 2009/5/6 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br: Caramba, Falam em antiguidades e mencionam logo meu nome. Não sei porque... :-) . Você já mencionaram dois maiores monstros do passado em Geometrias (imaginem... o quanto passado...o meu passado! hahaha). O Virgilio de Athayde Pinheiro e o Célio Pinto de Almeida (que depois foi dono da construtora que levava seu nome). O primeiro, um sábio, um verdadeiro mestre, de corpo e alma (falava grego fluentemente, era um poço infinito de conhecimento, inclusive sobre história da Matemática, aspecto tão negligenciado hoje em dia (para os alunos fica a horrível sensação que tudo em matemática sempre foi do mesmo jeito semprecomo se matemática fose uma descoberta dos deuses e não dso homens...). Tive o privilégio de ter sido aluno do Virgílio em Geometria Descritiva e Perspectiva(s). Do segundo élio) fui aluno de Desenho Geométrico (ai incluidas as Cônicas): um monstro e um extraordinário professor. Mas havia um outro monstro sagrado, tímido e introspectivo, que foi professor do IME e da UFF (Dep de Matemática) - Luiz Oswaldo - e tive oportunidade de ser aluno dele em ambas as escolas. No IME, de Geometria, e na UFF de Teoria dos Números e de Geometria (foi através dele que conheci e me extasiei com o livro do Niven - Irrational Numbers, já mencionado algumas vezes por aqui). Eram do Luiz Oswaldo a grande maioria das questões de Geometria dos concursos de admissão ao IME na década de 65 a75, inclusive as questões de Geometria da prova de 72/73 onde tive o prazer de trabalhar com ele (eu já dava aula lá) e participar de forma intensa no massacre da prova de Álgebra daquele ano. ;-) Para quem não se lembra eu e o Ponce (um quase coroa da lista) já
Re: [obm-l] DG: [Era: serie para ln(2)]
Poxa, o Ponce, com sua vasta esperiencia de decadas e decadas matematicas, ressuscitou a questao de qual eh a melhor desigualdade do tipo ma+mb+mc=k(a+b+c) que a gente consegue escrever?, que estava em http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg43875.html e mostrou que aqueles 3/2 que a gente achou ha decadas NAO era a melhor cota. (A gente tambem achou que 3/4.(a+b+c)=ma+mb+mc, e tem um argumento lah que diz que esses 3/4 eh a melhor desigualdade) Agora fiquei curioso -- qual eh o menor valor possivel de k para garantir que a desigualdade acima vale? E antes que alguem diga, o argumento de que num triangulo degenerado vale a igualdade porque dah 0=0 nao me convence -- afinal, o que eu quero eh o menor valor de k, e esse 0=0 vale para qualquer k. Abraco, Ralph 2009/5/9 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com Ola' Nehab, Santa Rita, Luis Lopes e pessoal da lista, estou gostando dessas histórias ! ...menos, é claro, da intenção do Nehab em me incluir na lista dos quase coroas, visto que ele já conhecia o Bourbaki de trás pra frente, há mais de 10 anos, quando o único conjunto que eu conhecia era o dos Beatles... Xiii me entreguei Mas voltando 'a vaca fria, vamos resolver o problema do Santa Rita, ou seja, vamos tentar encontrar algum triangulo tal que o seu perimetro seja igual a soma das suas medianas. Entao, considere um triangulo ABC, e seja D o ponto medio do lado BC. Pois agora imagine os vetores AB e AC, com origem em A. Repare que a soma desses 2 vetores vale exatamente o dobro da mediana AD. Por outro lado, a gente sabe que a soma de dois vetores quaisquer vale, no maximo, a soma dos dois modulos. Portanto, a mediana AD vale no maximo a metade da soma dos comprimentos AB e AC, ou seja, 2*AD = AB + AC Repita essa desigualdade para as outras medianas, e some tudo. Fica facil concluir que: A SOMA DAS MEDIANAS E' SEMPRE MENOR OU IGUAL AO PERIMETRO DO TRIANGULO. Alias, essa igualdade so' acontece se os angulos entre os vetores forem zero, o que significa que o triangulo tem que ser degenerado. E, de fato, isso acontece quando um dos lados do triangulo tem comprimento zero. []'s Rogerio Ponce 2009/5/6 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br: Caramba, Falam em antiguidades e mencionam logo meu nome. Não sei porque... :-) . Você já mencionaram dois maiores monstros do passado em Geometrias (imaginem... o quanto passado...o meu passado! hahaha). O Virgilio de Athayde Pinheiro e o Célio Pinto de Almeida (que depois foi dono da construtora que levava seu nome). O primeiro, um sábio, um verdadeiro mestre, de corpo e alma (falava grego fluentemente, era um poço infinito de conhecimento, inclusive sobre história da Matemática, aspecto tão negligenciado hoje em dia (para os alunos fica a horrível sensação que tudo em matemática sempre foi do mesmo jeito semprecomo se matemática fose uma descoberta dos deuses e não dso homens...). Tive o privilégio de ter sido aluno do Virgílio em Geometria Descritiva e Perspectiva(s). Do segundo élio) fui aluno de Desenho Geométrico (ai incluidas as Cônicas): um monstro e um extraordinário professor. Mas havia um outro monstro sagrado, tímido e introspectivo, que foi professor do IME e da UFF (Dep de Matemática) - Luiz Oswaldo - e tive oportunidade de ser aluno dele em ambas as escolas. No IME, de Geometria, e na UFF de Teoria dos Números e de Geometria (foi através dele que conheci e me extasiei com o livro do Niven - Irrational Numbers, já mencionado algumas vezes por aqui). Eram do Luiz Oswaldo a grande maioria das questões de Geometria dos concursos de admissão ao IME na década de 65 a75, inclusive as questões de Geometria da prova de 72/73 onde tive o prazer de trabalhar com ele (eu já dava aula lá) e participar de forma intensa no massacre da prova de Álgebra daquele ano. ;-) Para quem não se lembra eu e o Ponce (um quase coroa da lista) já escrevemos por aqui causos engraçados sobre o Luiz Oswaldo, inclusive sua ridícula e única gravata de seu sovina vestuário. Mas eu tenho os livros do Virgílio de Descritiva, os do Célio, de Cônicas e de outras cositas deles. Quanto ao problema proposto pelo Santa Rita (perímetro e medianas) eu tb não o havia visto ainda e de fato, como o Luis mencionou, não seria um problema digamos clássico, pois não é muito comum, na bibliografia, a sistematização de problemas contendo somas, diferenças etc. (vide uma das bíblias em Wernick, W. Triangle Constructions with Three Located Points. Math. Mag. 55, 227-230, 1982.) e diversos outros papers que vão completando a lista do Wernick. Eu tenho estes textos que me foram enviados por meu filho. Vou tentar resolver o citado problema, mas não juro que seja indeterminado, pois a soma das medianas varia entre 3/4 e 3/2 do perímetro de um triângulo... Bolas dirão, e daí? Bem nada como sexto sentido de matemágico
Re: [obm-l] DG: [Era: serie para ln(2)]
Oi Ralph, Eu só comecei a acompanhar a discussão agora, mas o que acontece quando fazemos um lado TENDER a zero? Não tender a dar 1? Aí eu acho que o argumento do Ponce mostra que o menor k é 1, não? Enfim, eu pensei muito rápido e posso estar enganado (agora mesmo estou meio apressado...). []'s Shine --- On Sat, 5/9/09, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com wrote: From: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Subject: Re: [obm-l] DG: [Era: serie para ln(2)] To: obm-l@mat.puc-rio.br Date: Saturday, May 9, 2009, 11:49 AM Poxa, o Ponce, com sua vasta esperiencia de decadas e decadas matematicas, ressuscitou a questao de qual eh a melhor desigualdade do tipo ma+mb+mc=k(a+b+c) que a gente consegue escrever?, que estava em http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg43875.html e mostrou que aqueles 3/2 que a gente achou ha decadas NAO era a melhor cota. (A gente tambem achou que 3/4.(a+b+c)=ma+mb+mc, e tem um argumento lah que diz que esses 3/4 eh a melhor desigualdade) Agora fiquei curioso -- qual eh o menor valor possivel de k para garantir que a desigualdade acima vale? E antes que alguem diga, o argumento de que num triangulo degenerado vale a igualdade porque dah 0=0 nao me convence -- afinal, o que eu quero eh o menor valor de k, e esse 0=0 vale para qualquer k. Abraco, Ralph 2009/5/9 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com Ola' Nehab, Santa Rita, Luis Lopes e pessoal da lista, estou gostando dessas histórias ! ...menos, é claro, da intenção do Nehab em me incluir na lista dos quase coroas, visto que ele já conhecia o Bourbaki de trás pra frente, há mais de 10 anos, quando o único conjunto que eu conhecia era o dos Beatles... Xiii me entreguei Mas voltando 'a vaca fria, vamos resolver o problema do Santa Rita, ou seja, vamos tentar encontrar algum triangulo tal que o seu perimetro seja igual a soma das suas medianas. Entao, considere um triangulo ABC, e seja D o ponto medio do lado BC. Pois agora imagine os vetores AB e AC, com origem em A. Repare que a soma desses 2 vetores vale exatamente o dobro da mediana AD. Por outro lado, a gente sabe que a soma de dois vetores quaisquer vale, no maximo, a soma dos dois modulos. Portanto, a mediana AD vale no maximo a metade da soma dos comprimentos AB e AC, ou seja, 2*AD = AB + AC Repita essa desigualdade para as outras medianas, e some tudo. Fica facil concluir que: A SOMA DAS MEDIANAS E' SEMPRE MENOR OU IGUAL AO PERIMETRO DO TRIANGULO. Alias, essa igualdade so' acontece se os angulos entre os vetores forem zero, o que significa que o triangulo tem que ser degenerado. E, de fato, isso acontece quando um dos lados do triangulo tem comprimento zero. []'s Rogerio Ponce 2009/5/6 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br: Caramba, Falam em antiguidades e mencionam logo meu nome. Não sei porque... :-) . Você já mencionaram dois maiores monstros do passado em Geometrias (imaginem... o quanto passado...o meu passado! hahaha). O Virgilio de Athayde Pinheiro e o Célio Pinto de Almeida (que depois foi dono da construtora que levava seu nome). O primeiro, um sábio, um verdadeiro mestre, de corpo e alma (falava grego fluentemente, era um poço infinito de conhecimento, inclusive sobre história da Matemática, aspecto tão negligenciado hoje em dia (para os alunos fica a horrível sensação que tudo em matemática sempre foi do mesmo jeito semprecomo se matemática fose uma descoberta dos deuses e não dso homens...). Tive o privilégio de ter sido aluno do Virgílio em Geometria Descritiva e Perspectiva(s). Do segundo élio) fui aluno de Desenho Geométrico (ai incluidas as Cônicas): um monstro e um extraordinário professor. Mas havia um outro monstro sagrado, tímido e introspectivo, que foi professor do IME e da UFF (Dep de Matemática) - Luiz Oswaldo - e tive oportunidade de ser aluno dele em ambas as escolas. No IME, de Geometria, e na UFF de Teoria dos Números e de Geometria (foi através dele que conheci e me extasiei com o livro do Niven - Irrational Numbers, já mencionado algumas vezes por aqui). Eram do Luiz Oswaldo a grande maioria das questões de Geometria dos concursos de admissão ao IME na década de 65 a75, inclusive as questões de Geometria da prova de 72/73 onde tive o prazer de trabalhar com ele (eu já dava aula lá) e participar de forma intensa no massacre da prova de Álgebra daquele ano. ;-) Para quem não se lembra eu e o Ponce (um quase coroa da lista) já escrevemos por aqui causos engraçados sobre o Luiz Oswaldo, inclusive sua ridícula e única gravata de seu sovina vestuário. Mas eu tenho os livros do Virgílio de Descritiva, os do Célio, de Cônicas e de outras cositas deles. Quanto ao problema proposto pelo Santa Rita (perímetro e medianas) eu tb
Re: [obm-l] DG: [Era: serie para ln(2)]
Oi Ralph, o triangulo degenerado que eu dei tinha apenas um lado nulo, para forcar que os angulos fossem zero ou que um dos vetores fosse zero (e nesse ultimo caso, a resultante continuaria a ter seu modulo igual 'a soma dos modulos dos vetores). Portanto, se aumentarmos apenas um pouquinho o lado nulo, a igualdade se desfaz, e teremos simplesmente: ma+mb+mc a+b+c Como esse pouquinho pode ser tao pequeno quanto o siqueira, o valor para K e' mesmo 1. Abracao, Rogerio Ponce 2009/5/9 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com: Poxa, o Ponce, com sua vasta esperiencia de decadas e decadas matematicas, ressuscitou a questao de qual eh a melhor desigualdade do tipo ma+mb+mc=k(a+b+c) que a gente consegue escrever?, que estava em http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg43875.html e mostrou que aqueles 3/2 que a gente achou ha decadas NAO era a melhor cota. (A gente tambem achou que 3/4.(a+b+c)=ma+mb+mc, e tem um argumento lah que diz que esses 3/4 eh a melhor desigualdade) Agora fiquei curioso -- qual eh o menor valor possivel de k para garantir que a desigualdade acima vale? E antes que alguem diga, o argumento de que num triangulo degenerado vale a igualdade porque dah 0=0 nao me convence -- afinal, o que eu quero eh o menor valor de k, e esse 0=0 vale para qualquer k. Abraco, Ralph 2009/5/9 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com Ola' Nehab, Santa Rita, Luis Lopes e pessoal da lista, estou gostando dessas histórias ! ...menos, é claro, da intenção do Nehab em me incluir na lista dos quase coroas, visto que ele já conhecia o Bourbaki de trás pra frente, há mais de 10 anos, quando o único conjunto que eu conhecia era o dos Beatles... Xiii me entreguei Mas voltando 'a vaca fria, vamos resolver o problema do Santa Rita, ou seja, vamos tentar encontrar algum triangulo tal que o seu perimetro seja igual a soma das suas medianas. Entao, considere um triangulo ABC, e seja D o ponto medio do lado BC. Pois agora imagine os vetores AB e AC, com origem em A. Repare que a soma desses 2 vetores vale exatamente o dobro da mediana AD. Por outro lado, a gente sabe que a soma de dois vetores quaisquer vale, no maximo, a soma dos dois modulos. Portanto, a mediana AD vale no maximo a metade da soma dos comprimentos AB e AC, ou seja, 2*AD = AB + AC Repita essa desigualdade para as outras medianas, e some tudo. Fica facil concluir que: A SOMA DAS MEDIANAS E' SEMPRE MENOR OU IGUAL AO PERIMETRO DO TRIANGULO. Alias, essa igualdade so' acontece se os angulos entre os vetores forem zero, o que significa que o triangulo tem que ser degenerado. E, de fato, isso acontece quando um dos lados do triangulo tem comprimento zero. []'s Rogerio Ponce 2009/5/6 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br: Caramba, Falam em antiguidades e mencionam logo meu nome. Não sei porque... :-) . Você já mencionaram dois maiores monstros do passado em Geometrias (imaginem... o quanto passado...o meu passado! hahaha). O Virgilio de Athayde Pinheiro e o Célio Pinto de Almeida (que depois foi dono da construtora que levava seu nome). O primeiro, um sábio, um verdadeiro mestre, de corpo e alma (falava grego fluentemente, era um poço infinito de conhecimento, inclusive sobre história da Matemática, aspecto tão negligenciado hoje em dia (para os alunos fica a horrível sensação que tudo em matemática sempre foi do mesmo jeito semprecomo se matemática fose uma descoberta dos deuses e não dso homens...). Tive o privilégio de ter sido aluno do Virgílio em Geometria Descritiva e Perspectiva(s). Do segundo élio) fui aluno de Desenho Geométrico (ai incluidas as Cônicas): um monstro e um extraordinário professor. Mas havia um outro monstro sagrado, tímido e introspectivo, que foi professor do IME e da UFF (Dep de Matemática) - Luiz Oswaldo - e tive oportunidade de ser aluno dele em ambas as escolas. No IME, de Geometria, e na UFF de Teoria dos Números e de Geometria (foi através dele que conheci e me extasiei com o livro do Niven - Irrational Numbers, já mencionado algumas vezes por aqui). Eram do Luiz Oswaldo a grande maioria das questões de Geometria dos concursos de admissão ao IME na década de 65 a75, inclusive as questões de Geometria da prova de 72/73 onde tive o prazer de trabalhar com ele (eu já dava aula lá) e participar de forma intensa no massacre da prova de Álgebra daquele ano. ;-) Para quem não se lembra eu e o Ponce (um quase coroa da lista) já escrevemos por aqui causos engraçados sobre o Luiz Oswaldo, inclusive sua ridícula e única gravata de seu sovina vestuário. Mas eu tenho os livros do Virgílio de Descritiva, os do Célio, de Cônicas e de outras cositas deles. Quanto ao problema proposto pelo Santa Rita (perímetro e medianas) eu tb não o havia visto ainda e de fato, como o Luis mencionou, não seria um problema digamos clássico, pois não é muito comum, na
Re: [obm-l] DG: [Era: serie para ln(2)]
Ola Ponce, Nehab, Luis Lopes e demais colegas desta lista ... OBM-L, Ponce, a sua solucao, simples e bela, e tipica de uma Matematica de qualidade. Parabens por ela ! Fico feliz por ter iniciado uma discussao que lhe interessou, trouxe o Ralph, o Shine e levou outros Matematicos de qualidade a se manifestarem. ENTRE MUITO OUTROS Matematicos de qualidade que outrora apareciam por aqui e que ja ha algum tempo nao escrevem, sem duvida se incluem o Nicolau e o Gugu. Oxala eles voltem a escrever brevemente ! Uma questao que sempre me interessou, subsidiariamente, e a seguinte : Sabemos que o INCENTRO ( Centro do Circulo inscrito a um triangulo ) nao faz parte da reta de Euler, isto e, ele nao esta NECESSARIAMENTE alinhado com os pontos notaveis que pertencem a esta reta. Assim em geral, o incentro, o circuncentro e o ortocentro formam um pequeno triangulo no interior de um triangulo dado. O que se pode falar sobre esse pequeno triangulo ? Que relacao ele mantem com o triangulo original ? Um abraco a Todos ! PSR,7090509132D Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com: Ola' Nehab, Santa Rita, Luis Lopes e pessoal da lista, estou gostando dessas histórias ! ...menos, é claro, da intenção do Nehab em me incluir na lista dos quase coroas, visto que ele já conhecia o Bourbaki de trás pra frente, há mais de 10 anos, quando o único conjunto que eu conhecia era o dos Beatles... Xiii me entreguei Mas voltando 'a vaca fria, vamos resolver o problema do Santa Rita, ou seja, vamos tentar encontrar algum triangulo tal que o seu perimetro seja igual a soma das suas medianas. Entao, considere um triangulo ABC, e seja D o ponto medio do lado BC. Pois agora imagine os vetores AB e AC, com origem em A. Repare que a soma desses 2 vetores vale exatamente o dobro da mediana AD. Por outro lado, a gente sabe que a soma de dois vetores quaisquer vale, no maximo, a soma dos dois modulos. Portanto, a mediana AD vale no maximo a metade da soma dos comprimentos AB e AC, ou seja, 2*AD = AB + AC Repita essa desigualdade para as outras medianas, e some tudo. Fica facil concluir que: A SOMA DAS MEDIANAS E' SEMPRE MENOR OU IGUAL AO PERIMETRO DO TRIANGULO. Alias, essa igualdade so' acontece se os angulos entre os vetores forem zero, o que significa que o triangulo tem que ser degenerado. E, de fato, isso acontece quando um dos lados do triangulo tem comprimento zero. []'s Rogerio Ponce 2009/5/6 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br: Caramba, Falam em antiguidades e mencionam logo meu nome. Não sei porque... :-) . Você já mencionaram dois maiores monstros do passado em Geometrias (imaginem... o quanto passado...o meu passado! hahaha). O Virgilio de Athayde Pinheiro e o Célio Pinto de Almeida (que depois foi dono da construtora que levava seu nome). O primeiro, um sábio, um verdadeiro mestre, de corpo e alma (falava grego fluentemente, era um poço infinito de conhecimento, inclusive sobre história da Matemática, aspecto tão negligenciado hoje em dia (para os alunos fica a horrível sensação que tudo em matemática sempre foi do mesmo jeito semprecomo se matemática fose uma descoberta dos deuses e não dso homens...). Tive o privilégio de ter sido aluno do Virgílio em Geometria Descritiva e Perspectiva(s). Do segundo élio) fui aluno de Desenho Geométrico (ai incluidas as Cônicas): um monstro e um extraordinário professor. Mas havia um outro monstro sagrado, tímido e introspectivo, que foi professor do IME e da UFF (Dep de Matemática) - Luiz Oswaldo - e tive oportunidade de ser aluno dele em ambas as escolas. No IME, de Geometria, e na UFF de Teoria dos Números e de Geometria (foi através dele que conheci e me extasiei com o livro do Niven - Irrational Numbers, já mencionado algumas vezes por aqui). Eram do Luiz Oswaldo a grande maioria das questões de Geometria dos concursos de admissão ao IME na década de 65 a75, inclusive as questões de Geometria da prova de 72/73 onde tive o prazer de trabalhar com ele (eu já dava aula lá) e participar de forma intensa no massacre da prova de Álgebra daquele ano. ;-) Para quem não se lembra eu e o Ponce (um quase coroa da lista) já escrevemos por aqui causos engraçados sobre o Luiz Oswaldo, inclusive sua ridícula e única gravata de seu sovina vestuário. Mas eu tenho os livros do Virgílio de Descritiva, os do Célio, de Cônicas e de outras cositas deles. Quanto ao problema proposto pelo Santa Rita (perímetro e medianas) eu tb não o havia visto ainda e de fato, como o Luis mencionou, não seria um problema digamos clássico, pois não é muito comum, na bibliografia, a sistematização de problemas contendo somas, diferenças etc. (vide uma das bíblias em Wernick, W. Triangle Constructions with Three Located Points. Math. Mag. 55, 227-230, 1982.) e diversos outros papers que vão completando a lista do Wernick. Eu tenho estes textos que me foram enviados por meu filho. Vou tentar resolver o citado problema, mas não
Re: [obm-l] DG: [Era: serie para ln(2)]
Ola' Nehab, Santa Rita, Luis Lopes e pessoal da lista, estou gostando dessas histórias ! ...menos, é claro, da intenção do Nehab em me incluir na lista dos quase coroas, visto que ele já conhecia o Bourbaki de trás pra frente, há mais de 10 anos, quando o único conjunto que eu conhecia era o dos Beatles... Xiii me entreguei Mas voltando 'a vaca fria, vamos resolver o problema do Santa Rita, ou seja, vamos tentar encontrar algum triangulo tal que o seu perimetro seja igual a soma das suas medianas. Entao, considere um triangulo ABC, e seja D o ponto medio do lado BC. Pois agora imagine os vetores AB e AC, com origem em A. Repare que a soma desses 2 vetores vale exatamente o dobro da mediana AD. Por outro lado, a gente sabe que a soma de dois vetores quaisquer vale, no maximo, a soma dos dois modulos. Portanto, a mediana AD vale no maximo a metade da soma dos comprimentos AB e AC, ou seja, 2*AD = AB + AC Repita essa desigualdade para as outras medianas, e some tudo. Fica facil concluir que: A SOMA DAS MEDIANAS E' SEMPRE MENOR OU IGUAL AO PERIMETRO DO TRIANGULO. Alias, essa igualdade so' acontece se os angulos entre os vetores forem zero, o que significa que o triangulo tem que ser degenerado. E, de fato, isso acontece quando um dos lados do triangulo tem comprimento zero. []'s Rogerio Ponce 2009/5/6 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br: Caramba, Falam em antiguidades e mencionam logo meu nome. Não sei porque... :-) . Você já mencionaram dois maiores monstros do passado em Geometrias (imaginem... o quanto passado...o meu passado! hahaha). O Virgilio de Athayde Pinheiro e o Célio Pinto de Almeida (que depois foi dono da construtora que levava seu nome). O primeiro, um sábio, um verdadeiro mestre, de corpo e alma (falava grego fluentemente, era um poço infinito de conhecimento, inclusive sobre história da Matemática, aspecto tão negligenciado hoje em dia (para os alunos fica a horrível sensação que tudo em matemática sempre foi do mesmo jeito semprecomo se matemática fose uma descoberta dos deuses e não dso homens...). Tive o privilégio de ter sido aluno do Virgílio em Geometria Descritiva e Perspectiva(s). Do segundo élio) fui aluno de Desenho Geométrico (ai incluidas as Cônicas): um monstro e um extraordinário professor. Mas havia um outro monstro sagrado, tímido e introspectivo, que foi professor do IME e da UFF (Dep de Matemática) - Luiz Oswaldo - e tive oportunidade de ser aluno dele em ambas as escolas. No IME, de Geometria, e na UFF de Teoria dos Números e de Geometria (foi através dele que conheci e me extasiei com o livro do Niven - Irrational Numbers, já mencionado algumas vezes por aqui). Eram do Luiz Oswaldo a grande maioria das questões de Geometria dos concursos de admissão ao IME na década de 65 a75, inclusive as questões de Geometria da prova de 72/73 onde tive o prazer de trabalhar com ele (eu já dava aula lá) e participar de forma intensa no massacre da prova de Álgebra daquele ano. ;-) Para quem não se lembra eu e o Ponce (um quase coroa da lista) já escrevemos por aqui causos engraçados sobre o Luiz Oswaldo, inclusive sua ridícula e única gravata de seu sovina vestuário. Mas eu tenho os livros do Virgílio de Descritiva, os do Célio, de Cônicas e de outras cositas deles. Quanto ao problema proposto pelo Santa Rita (perímetro e medianas) eu tb não o havia visto ainda e de fato, como o Luis mencionou, não seria um problema digamos clássico, pois não é muito comum, na bibliografia, a sistematização de problemas contendo somas, diferenças etc. (vide uma das bíblias em Wernick, W. Triangle Constructions with Three Located Points. Math. Mag. 55, 227-230, 1982.) e diversos outros papers que vão completando a lista do Wernick. Eu tenho estes textos que me foram enviados por meu filho. Vou tentar resolver o citado problema, mas não juro que seja indeterminado, pois a soma das medianas varia entre 3/4 e 3/2 do perímetro de um triângulo... Bolas dirão, e daí? Bem nada como sexto sentido de matemágico antigo, né... Abraços, Nehab = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] DG: [Era: serie para ln(2)]
Sauda,c~oes, Oi PSR e Bernardo, Valeu, gostei das respostas. Gostaria de ver textos com tais discussões/explicações; nunca vi. É a mesmice de sempre nas fontes a que tenho acesso. Bom, pode ser também que não tenha sabido procurar. === OBS : Para aqueles que estao acompanhando esta mensagem, saibam que Luis Lopes e autor do maior e mais completo livro DO MUNDO sobre construcao geometrica de triangulos. === Menos, Paulo, menos. Conheço e tenho (oferecido por um alemão que fazia(faz?) parte de uma lista de geometria) um em alemão muito bom. E pela velhice do assunto deve haver muitos outros. O que faço é expor o assunto à minha maneira. === Pena que ( pelo que sei ) ainda nao ha uma versao em portugues. === É verdade. Só existe a edição em francês, já esgotada. Mas estou trabalhando na muito melhor versão em português. Ainda sem prazo de lançamento. === Dado 2P, construa o triangulo tal que : Soma das medianas = 2P perimetro = 2P === Foi assim que interpretei os dados. === Eu nao pensei sobre a questao. Nem sei se e trivial ou trabalhosa. Ela veio a minha cabeca quando respondia o Luis Lopes. Como o Luis e um Mestre consumado no assunto, === Novamente, menos, Paulo, menos. Talvez o Nehab possa mencionar alguns verdadeiros mestres do assunto. Poderia prestar uma homenagem tardia ao Prof. Virgilio A. Pinheiro. Ele foi meu professor de DG em 1968, quando estava no 4o. ginásio. Infelizmente não sabia que estava tendo aulas com tal Prof! Atualmente temos o Wagner e tenho uma apostila do Célio Pinto de Almeida sobre Cônicas. Não fui aluno dele mas deve ter sido um verdadeiro mestre também. === queria saber se tal questao ja constava no livro dele === Não. O volume no qual trabalho só envolve construções com dados simples, sem somas, diferenças etc dos elementos do triângulo. Como o seguinte, que fica como sugestão: (h_a,h_b,d_c). d_c é a bissetriz interna. Pode-se pensar também em e_c, bissetriz externa. === ou se ele dispunha de tempo pra apresentar uma solucao, caso exista. === Hum conheço construções do tipo (A,a+b,a+c) e muitas outras envolvendo operações com os elementos do triângulo. Este seu problema eu nunca tinha visto e ele me parece indeterminado. Falta um dado, não? Não sei se (A,m_a+m_b+m_c,p) é possível. Se for, poderá fazer parte de um trabalho futuro, já iniciado. []'s Luís _ Descubra todas as novidades do novo Internet Explorer 8 http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
Re: [obm-l] DG: [Era: serie para ln(2)]
Caramba, Falam em antiguidades e mencionam logo meu nome. Não sei porque... :-) . Você já mencionaram dois maiores monstros do passado em Geometrias (imaginem... o quanto passado...o meu passado! hahaha). O Virgilio de Athayde Pinheiro e o Célio Pinto de Almeida (que depois foi dono da construtora que levava seu nome). O primeiro, um sábio, um verdadeiro mestre, de corpo e alma (falava grego fluentemente, era um poço infinito de conhecimento, inclusive sobre história da Matemática, aspecto tão negligenciado hoje em dia (para os alunos fica a horrível sensação que tudo em matemática sempre foi do mesmo jeito semprecomo se matemática fose uma descoberta dos deuses e não dso homens...). Tive o privilégio de ter sido aluno do Virgílio em Geometria Descritiva e Perspectiva(s). Do segundo élio) fui aluno de Desenho Geométrico (ai incluidas as Cônicas): um monstro e um extraordinário professor. Mas havia um outro monstro sagrado, tímido e introspectivo, que foi professor do IME e da UFF (Dep de Matemática) - Luiz Oswaldo - e tive oportunidade de ser aluno dele em ambas as escolas. No IME, de Geometria, e na UFF de Teoria dos Números e de Geometria (foi através dele que conheci e me extasiei com o livro do Niven - Irrational Numbers, já mencionado algumas vezes por aqui). Eram do Luiz Oswaldo a grande maioria das questões de Geometria dos concursos de admissão ao IME na década de 65 a75, inclusive as questões de Geometria da prova de 72/73 onde tive o prazer de trabalhar com ele (eu já dava aula lá) e participar de forma intensa no massacre da prova de Álgebra daquele ano. ;-) Para quem não se lembra eu e o Ponce (um quase coroa da lista) já escrevemos por aqui causos engraçados sobre o Luiz Oswaldo, inclusive sua ridícula e única gravata de seu sovina vestuário. Mas eu tenho os livros do Virgílio de Descritiva, os do Célio, de Cônicas e de outras cositas deles. Quanto ao problema proposto pelo Santa Rita (perímetro e medianas) eu tb não o havia visto ainda e de fato, como o Luis mencionou, não seria um problema digamos clássico, pois não é muito comum, na bibliografia, a sistematização de problemas contendo somas, diferenças etc. (vide uma das bíblias em Wernick, W. Triangle Constructions with Three Located Points. /Math. Mag./ *55*, 227-230, 1982.) e diversos outros papers que vão completando a lista do Wernick. Eu tenho estes textos que me foram enviados por meu filho. Vou tentar resolver o citado problema, mas não juro que seja indeterminado, pois a soma das medianas varia entre 3/4 e 3/2 do perímetro de um triângulo... Bolas dirão, e daí? Bem nada como sexto sentido de matemágico antigo, né... Abraços, Nehab Luís Lopes escreveu: Sauda,c~oes, Oi PSR e Bernardo, Valeu, gostei das respostas. Gostaria de ver textos com tais discussões/explicações; nunca vi. É a mesmice de sempre nas fontes a que tenho acesso. Bom, pode ser também que não tenha sabido procurar. === OBS : Para aqueles que estao acompanhando esta mensagem, saibam que Luis Lopes e autor do maior e mais completo livro DO MUNDO sobre construcao geometrica de triangulos. === Menos, Paulo, menos. Conheço e tenho (oferecido por um alemão que fazia(faz?) parte de uma lista de geometria) um em alemão muito bom. E pela velhice do assunto deve haver muitos outros. O que faço é expor o assunto à minha maneira. === Pena que ( pelo que sei ) ainda nao ha uma versao em portugues. === É verdade. Só existe a edição em francês, já esgotada. Mas estou trabalhando na muito melhor versão em português. Ainda sem prazo de lançamento. === Dado 2P, construa o triangulo tal que : Soma das medianas = 2P perimetro = 2P === Foi assim que interpretei os dados. === Eu nao pensei sobre a questao. Nem sei se e trivial ou trabalhosa. Ela veio a minha cabeca quando respondia o Luis Lopes. Como o Luis e um Mestre consumado no assunto, === Novamente, menos, Paulo, menos. Talvez o Nehab possa mencionar alguns verdadeiros mestres do assunto. Poderia prestar uma homenagem tardia ao Prof. Virgilio A. Pinheiro. Ele foi meu professor de DG em 1968, quando estava no 4o. ginásio. Infelizmente não sabia que estava tendo aulas com tal Prof! Atualmente temos o Wagner e tenho uma apostila do Célio Pinto de Almeida sobre Cônicas. Não fui aluno dele mas deve ter sido um verdadeiro mestre também. === queria saber se tal questao ja constava no livro dele === Não. O volume no qual trabalho só envolve construções com dados simples, sem somas, diferenças etc dos elementos do triângulo. Como o seguinte, que fica como sugestão: (h_a,h_b,d_c). d_c é a bissetriz interna. Pode-se pensar também em e_c, bissetriz externa. === ou se ele dispunha de tempo pra apresentar uma solucao, caso exista. === Hum conheço construções do tipo (A,a+b,a+c) e muitas outras envolvendo operações com os elementos do triângulo. Este seu problema eu nunca tinha visto e ele me parece indeterminado. Falta um dado, não?
Re: [obm-l] DG: [Era: serie para ln(2)]
Ola Luis e Nehab e demais colegas desta lista ... OBM-L, Bom, eu nao conheci qualquer dos grandes Mestres citados abaixo e, muito menos, tive o prazer de estudar por qualquer dos livros deles. Assim, se por omissao cometi alguma injustica, asseguro que foi involuntária. Eu so estudei em escolas publicas. Tive um pessimo 1 grau e o 2 grau foi pior ainda. Lembro que na antiga 7 serie eu estava totalmente decepcionado com a miseravel Matematica que ensinavam e estudava por conta propria sobretudo Filosofia e Filologia( Lia W Durant,, As obras completas do Freud, Os Pensadores, Goethe e Shakespeare etc ). Foi mais ou menos no fim desta serie que me deparei com um livro que veio modificar totalmente a minha vida ... Comprei no Sebo um livrinho sem capa, sobre Geometria, do Prof Eduardo Wagner ( e acho que falecido Prof Morgado tambem era autor ). A leitura deste livro me mostrou algo que, naquela epoca, eu nem suspeitava : que a Matematica podia ser bela, que poderiamos penetrar no desconhecido a partir de algumas nocoes basicas e que, enfim, a Matematica era uma ciencia digna da minha atencao. Eu me lembro que fiquei tao impressionado com aquelas coisas que, daquele momento em diante, eu nao conseguia pensar em mais nada. Perdi todos os amigos, pois nem todo mundo gosta destas coisas e passei sistematicamente a devorar tudo que eu podia estudar : Calculo, Algebra, Teoria de Galois etc. Li Hardy e Ramanujam e dai em diante. E por esta razao que o Prof Eduardo Wagner e uma pessoa que sem duvida tem um lugar muito especial na minha vida de Matematico. Inclusive a minha primeira descoberta de infancia em matematica, eu a batizei com o seu nome como uma forma de agradecer o que ele representava para mim naquele momento : ***INICIO*** ( DESIGUALDADE WAGNER ) EM QUALQUER TRIANGULO, O SEMI-PERIMETRO NUNCA E MENOR QUE A SOMA DOS PRODUTOS DE CADA LADO PELO COSSENO DO ANGULO OPOSTO. Para ver isso, seja ABC um triangulo qualquer, imaginado como se BC fosse a base ( B a esquerda, C a direita ) e A o vertice. 1) Prolongando CA a partir de A, no sentido de C para A, de um segmento AD igual AB. 2) Prolongando BA a partir de A, no sentido de B para A, de um segmento AE igual a AC 3) Ligando D com E Os triangulo ABC e ADE sao iguais (caso LAL), pois : 1) AD = AB (por construcao) 2) AE = AC (por construcao) 3) Angulo BAC = Angulo DAE (opostos pelo vertice) Segue que DE=BC. Trancando por A uma paralela a BC. Seja r esta paralela. Agora, seja F o pe da perpendicular a r tracado por D. Seja G o pe da perpendicular a r tracada por E. Entao, claramente : DE = AD*cos(DAF) + AE*cos(EAG) Mas : 1)DE = BC = a 2)AD = AB = c 3)AE = AC = b 4)Angulo DAF = Angulo ACB ( Angulos Correspondentes ) = Ang C 5)Angulo EAG = Angulo ABC ( Angulos Correspondentes ) = Ang B Portando : a = c*cos(C) + b*cos(B) Repetindo construcoes e raciocinios semelhantes para os demais vertices, chegaremos a : b = a*cos(A) + c*cos(C) c = b*cos(B) + a*cos(A) Somando estas tres desigualdades : a + b + c = 2*a*cos(A) + 2*b*cos(B) + 2*c*cos(C) 2p = 2*a*cos(A) + 2*b*cos(B) + 2*c*cos(C) Portanto : DESIGUALDADE WAGNER : p = a*cos(A) + b*cos(B) + c*cos(C) ***FIM*** Estou falando isso porque , dado que ninguem duvida do verdadeiro e belissimo talento do Prof Wagner e FOI ELE, POR E-MAIL, QUE ME FALOU DO LIVRO DO LUIS LOPES, classificando tal livro como o que havia de melhor em geometria do traingulo. Assim, caro Luis, quem me falou sobre a excelencia do seu trabalho foi o Wagner e, concorde comigo, O Prof Wagner sabe perfeitamente do que fala quando o tema e a Geometria Euclidiana... Assim, a minha referencia infantil mais forte foi este ilustre Prof Eduardo Wagner. Ele acendeu o estopim, disparou o Processo. Por que ? Porque o Prof Wagner e um artista, as solucoes que ele apresenta tem um que de beleza, tal como o Lagrange fazia. Assim, o trabalho dele encanta e com ele aprendi a nao so matematica, mas sobretudo a buscar a Matematica Bonita. Sobre o problema, como ocorre com frequencia, ele simplesmente surgiu na minha cabeca. Se ele for realmente inedito e dele pudermos extrair alguma coisa valiosa, eu me sentirei estimulado a pensar nele. Vou aguardar o carissimo Nehab se pronunciar. Note que eu gostaria de ver UMA CONSTRUCAO de um triangulo com tal propriedade, vale dizer, se o problema for indeterminado e houver muitos triangulos assim, gostaria de ver a construcao de um deles. Um Abracao a Todos ! PSR, 40605092050 Em Tempo : prometo que da proxima vez vou escrever sobre Matematica. Esta mensagem so tem texto porque estava parecendo que eu cometera uma imensa injustica esquecendo outros grandes mestres. Nao foi isso. Apenas realmente nunca ouvi falar ou li os livros destes grandes professores. 2009/5/6 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br: Caramba, Falam em antiguidades e mencionam logo meu nome. Não sei porque... :-) . Você já mencionaram dois maiores monstros do passado em Geometrias (imaginem... o quanto passado...o meu
