Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz
Caro Raul, Nao entendi sua objecao quanto a solucao que esta' em http://www.obm.org.br/provas/obm2002/obm20021fase.htm Nessa solucao, comecamos a elevar de cima para baixo (em particular 7^7^7 e' 7^823543, e nao 7^49). Qual e' a solucao que voce tem em maos ? Abracos, Gugu Obrigado Carlos pela resposta bem elaborada. Mas agora então me parece errada a resolução da questão do cartaz que pergunta o último dígito de 7^7^7^7...(onde aparecem 2002 setes). Na resolução que acompanha o gabarito é feita a análise que 7^7 termina em 3, ao elevar a 7 novamente termina em 7. Assim é feita a conclusão que ficará alternando 3 e7 ao continuar elevando. Como tem 2002 números 7, conclui-se que terminará em 3. Não está indo contra a convenção mais aceita é que ^ é associativa à direita? Agradeço aos que quiserem realmente ajudar. Raul - Original Message - From: Carlos César de Araújo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 29, 2003 2:05 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz Raul, Você pergunta: Uma dúvida então: está errado ensinar que 2^3^2=2^9 por não haver parêntesis? Repetindo o que eu disse, a convenção mais aceita é que ^ é associativa à direita, de modo que 2^3^2=2^(3^2)=2^9=512. Portanto, ensinar que 2^3^2=2^9 é simplesmente uma forma de aderir a essa convenção. A maioria dos softwares com os quais trabalho no meu site seguem essa regra. Uma exceção é o Excel: se você digitar =2^3^2 numa célula e pressionar Enter, verá 64 como resultado. Isto mostra que o Excel decodifica a expressão associando pela ESQUERDA. Algumas apostilas de cursinho e alguns livros que consultei trazem exercícios que diferenciam (2^3)^2=2^6 do exemplo anterior. Sim, a expressão (2^3)^2 tem que ser diferenciada de 2^3^2=2^(3^2) porque, como eu ressaltei, a operação ^ não é associativa. Onde está a dúvida? Era isso mesmo que você queria dizer? Infelizmente, questões SINTÁTICAS e METODOLÓGICAS como essas não são discutidas SISTEMATICAMENTE nos cursos tradicionais de matemática. (Isto não acontece em cursos de Lógica Matemática ou de Programação de Computadores.) Conseqüentemente, os alunos aprendem a fazer cálculos e resolver problemas padronizados, mas não aprendem a pensar e CRITICAR fatos estabelecidos. Tão importante quanto a arte de resolver problemas é a capacidade de organizar o conhecimento em um corpo coeso de fatos e CONVENÇÕES baseadas em julgamentos inteligentes. Matemáticos não são apenas resolvedores de problemas; são, também, construtores de teorias. Aqui vai um exercício para você treinar a sua observação e senso crítico: por que se convenciona que a multiplicação tem precedência sobre a adição? Isto é, por que se convenciona que a + b*c = a+(b*c) e não que a + b*c = (a+b)*c? PENSE sobre isto e poderá chegar à resposta por si mesmo (como eu próprio cheguei). Carlos César de Araújo Matemática para Gregos Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG - Original Message - Raul, A operação binária (a,b)-- a^b não é associativa, de modo que, em princípio, a expressão a^b^c é ambígua: significaria (a^b)^c OU a^(b^c)? Contudo, repare que uma dessas alternativas leva a um resultado bem definido: (a^b)^c=a^(bc). Como conseqüência (e abreviando um pouco o que poderia ser uma longa discussão metodológica), convencionou-se que a operação (a,b)-- a^b é ASSOCIATIVA À DIREITA. Ou seja, por definição, a^b^c = a^(b^c). Em particular, 7^7^7 = 7^(7^7) = 7^49. PS: Questões como essas são discutidas detalhadamente num dos capítulos do meu CD-ROM Números (cujas vendas, no momento, estão paralisadas à espera de acordos viáveis com distribuidoras em território nacional.) Carlos César de Araújo Matemática para Gregos Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG - Original Message - Olá a todos. No cartaz da OBM 2003 há uma questão para ensino médio que pergunta qual o último algarismo de sete elevado a sete elevado a sete...(com 2002 setes). Acontece que não há parêntesis entre os expoentes. Na resolução da questão eu achei que tudo foi feito como se houvesse parêntesis. Em resumo sete elevado a sete elevado a sete foi tratado como sete elevado a 49 e não como sete elevado a 823543. Quero saber onde eu estou errado. Agradeço desde já. Raul = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: VirusScan / Atualizado em 28/05/2003 / Versão: 1.3.13 Proteja o seu e-mail Terra: http
[obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz
Caro Gugu, Foi uma confusão minha que o Carlos César Araújo já me explicou detalhadamente em mensagens muito atenciosas por fora da lista. Muito obrigado pela sua atenção também, mas agora já entendi a solução elegante que está lá (deve ter sido feita por você, né?). Abraços, Raul - Original Message - From: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, June 03, 2003 1:54 AM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz Caro Raul, Nao entendi sua objecao quanto a solucao que esta' em http://www.obm.org.br/provas/obm2002/obm20021fase.htm Nessa solucao, comecamos a elevar de cima para baixo (em particular 7^7^7 e' 7^823543, e nao 7^49). Qual e' a solucao que voce tem em maos ? Abracos, Gugu Obrigado Carlos pela resposta bem elaborada. Mas agora então me parece errada a resolução da questão do cartaz que pergunta o último dígito de 7^7^7^7...(onde aparecem 2002 setes). Na resolução que acompanha o gabarito é feita a análise que 7^7 termina em 3, ao elevar a 7 novamente termina em 7. Assim é feita a conclusão que ficará alternando 3 e7 ao continuar elevando. Como tem 2002 números 7, conclui-se que terminará em 3. Não está indo contra a convenção mais aceita é que ^ é associativa à direita? Agradeço aos que quiserem realmente ajudar. Raul - Original Message - From: Carlos César de Araújo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 29, 2003 2:05 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz Raul, Você pergunta: Uma dúvida então: está errado ensinar que 2^3^2=2^9 por não haver parêntesis? Repetindo o que eu disse, a convenção mais aceita é que ^ é associativa à direita, de modo que 2^3^2=2^(3^2)=2^9=512. Portanto, ensinar que 2^3^2=2^9 é simplesmente uma forma de aderir a essa convenção. A maioria dos softwares com os quais trabalho no meu site seguem essa regra. Uma exceção é o Excel: se você digitar =2^3^2 numa célula e pressionar Enter, verá 64 como resultado. Isto mostra que o Excel decodifica a expressão associando pela ESQUERDA. Algumas apostilas de cursinho e alguns livros que consultei trazem exercícios que diferenciam (2^3)^2=2^6 do exemplo anterior. Sim, a expressão (2^3)^2 tem que ser diferenciada de 2^3^2=2^(3^2) porque, como eu ressaltei, a operação ^ não é associativa. Onde está a dúvida? Era isso mesmo que você queria dizer? Infelizmente, questões SINTÁTICAS e METODOLÓGICAS como essas não são discutidas SISTEMATICAMENTE nos cursos tradicionais de matemática. (Isto não acontece em cursos de Lógica Matemática ou de Programação de Computadores.) Conseqüentemente, os alunos aprendem a fazer cálculos e resolver problemas padronizados, mas não aprendem a pensar e CRITICAR fatos estabelecidos. Tão importante quanto a arte de resolver problemas é a capacidade de organizar o conhecimento em um corpo coeso de fatos e CONVENÇÕES baseadas em julgamentos inteligentes. Matemáticos não são apenas resolvedores de problemas; são, também, construtores de teorias. Aqui vai um exercício para você treinar a sua observação e senso crítico: por que se convenciona que a multiplicação tem precedência sobre a adição? Isto é, por que se convenciona que a + b*c = a+(b*c) e não que a + b*c = (a+b)*c? PENSE sobre isto e poderá chegar à resposta por si mesmo (como eu próprio cheguei). Carlos César de Araújo Matemática para Gregos Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG - Original Message - Raul, A operação binária (a,b)-- a^b não é associativa, de modo que, em princípio, a expressão a^b^c é ambígua: significaria (a^b)^c OU a^(b^c)? Contudo, repare que uma dessas alternativas leva a um resultado bem definido: (a^b)^c=a^(bc). Como conseqüência (e abreviando um pouco o que poderia ser uma longa discussão metodológica), convencionou-se que a operação (a,b)-- a^b é ASSOCIATIVA À DIREITA. Ou seja, por definição, a^b^c = a^(b^c). Em particular, 7^7^7 = 7^(7^7) = 7^49. PS: Questões como essas são discutidas detalhadamente num dos capítulos do meu CD-ROM Números (cujas vendas, no momento, estão paralisadas à espera de acordos viáveis com distribuidoras em território nacional.) Carlos César de Araújo Matemática para Gregos Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG - Original Message - Olá a todos. No cartaz da OBM 2003 há uma questão para ensino médio que pergunta qual o último algarismo de sete elevado a sete elevado a sete...(com 2002 setes). Acontece que não há parêntesis entre os expoentes. Na resolução da questão eu achei que tudo foi feito como se houvesse parêntesis. Em resumo sete elevado a sete elevado a sete foi
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz
Olá, Raul. Hoje à tarde, após assistir ao Matrix Reloaded, li com atenção a solução do problema que lhe causou dúvidas, e cujo enunciado é: Qual é o dígito das unidades de 7^7^7^7^...^7, onde aparecem 2002 setes? Seguem-se os meus esclarecimentos. (Espero que realmente esclareçam!) Sua dúvida inicial foi: como interpretar uma tal torre de potências? Em minha resposta nesta lista, eu disse que, pela convenção mais aceita, a associação se faz pela DIREITA (ou, em termos da notação tradicional, de cima para baixo). Na mensagem seguinte, surgiu uma nova dúvida: você afirmou que essa interpretação não lhe parecia compatível com a resolução apresentada. Após examinar, hoje, a solução, verifiquei que foi utilizada a convenção mais aceita. Eles realmente trataram a operação ^ como associativa à DIREITA. Creio ser interessante lhe mostrar onde ocorreu o seu engano ao ler a solução, e para este fim farei uma descrição do raciocínio ali apresentado numa linguagem diferente (e com uma pequena modificação). observação 1 Torres de potências levam a números ENORMES, para os quais Donald Knuth imaginou algumas notações convenientes. Assim, a torre de potências m^m^...^m, com m repetido n vezes é denota por m||n, onde aqui escrevo | em vez da seta para cima (tal como proposto por Knuth). Como eu disse, a potenciação é associativa à direita, e com essa convenção é fácil ver que n=2 == m||n = m^(m||(n-1)). Com essa notação, o nosso problema fica: Qual é o dígito das unidades de 7||2002? Alternativamente: Qual é o resto de 7||2002 por 10? Observe como esse número é grande: 7||2=7^7^7, por exemplo, possui 1+floor(7^7log_10(7))=695.975 algarismos decimais! fim da observação 1 A solução que você leu começa mostrando, a partir de casos particulares, como a seqüência dos restos das potências de 7 por 100 é periódica, com período 1,7,43,49 observação 2 Esse fenômeno é bem estudado nos textos clássicos sobre congruências, nos quais se mostra que, mais geralmente, se a é primo com m, então a seqüência das potências a^k (k0) é periódica módulo m. O comprimento do período é uma função aritmética bem conhecida. No software Mathematica, por exemplo, essa função é indicada por MultiplicativeOrder[a,m] ou, em notação tradicional, por ord_m(a). Essa função comparece, por exemplo, no cálculo do período de dízimas. fim da observação 2 Indubitavelmente, foi nesse começo que você se enganou e se concentrou na seqüência 7^7, (7^7)^7, ..., cujos restos TAMBÉM são periódicos! Mas deixemos este caminho de lado. O passo seguinte (da solução) se apóia em dois fatos que PODERIAM ter sido destacados assim: (1) 7^7 = 43 mod 100 (2) x=43 mod 100 =7^x=43 mod 100 Fica então fácil provar, por indução a partir de 7||n = 7^(7||(n-1)) (veja observação 1) que n=2 == 7||n = 43 mod 100 == 7||n = 3 mod 10 That's all! Considerações Finais (reflexões pedagógicas) Bem, Raul, talvez você ache que esta apresentação seja elaborada demais. Que chances teria um estudante de matemática, ainda que talentoso, de ATINAR com certas idéias e caminhos, os quais se apresentam com mais naturalidade somente para aqueles que possuem alguma sofisticação matemática? No caso acima, por exemplo, o que dizer de um estudante que nada sabe sobre congruências? Meu ponto de vista é que muitos desses problemas só deveriam ser realmente atacados com as ferramentas que foram JUSTAMENTE CRIADAS para tornar suas soluções mais mecânicas, formalizáveis e compreensíveis. Claro, você não precisa dominar congruências para resolver certos problemas de Teoria dos Números, da mesma forma que não precisa estudar Lógica Matemática para entender demonstrações. Mas considero algo trapaceiro utilizar uma teoria avançada T para descobrir um problema P e depois reenunciar P numa linguagem inferior e apresentá-lo como desafio para alguém que desconhece T, com o suposto objetivo de atestar o talento matemático. Lembre-se: a matemática é volumosa demais para a curta vida de um ser humano. Portanto, estudemos e não percamos tempo reinventando a roda. Carlos César de Araújo Matemática para Gregos Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG - Original Message - From: Raul [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, May 31, 2003 12:57 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz Olá Carlos, na questão original não tem parêteses e nem pede para adotar outra convenção. É a questão 20 da prova OBM 2002 do nível 3. Pode-se verificar o enunciado e a resolução no site www.obm.org.br, no link provas. Queria saber se na resolução devemos adotar outra convenção ou eu não entendi direito. Obrigado pela atenção, Raul - Original Message - From: Carlos César de Araújo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, May 30, 2003 1:21 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz Olá, Raul. Infelizmente, com o enorme volume de trabalho por aqui, ainda não pude examinar o enunciado original do seu
[obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz
Olá Carlos, na questão original não tem parêteses e nem pede para adotar outra convenção. É a questão 20 da prova OBM 2002 do nível 3. Pode-se verificar o enunciado e a resolução no site www.obm.org.br, no link provas. Queria saber se na resolução devemos adotar outra convenção ou eu não entendi direito. Obrigado pela atenção, Raul - Original Message - From: Carlos César de Araújo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, May 30, 2003 1:21 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz Olá, Raul. Infelizmente, com o enorme volume de trabalho por aqui, ainda não pude examinar o enunciado original do seu problema. Poderia me fornecer algum link? No enunciado original, a torre de potências é escrita sem parênteses? O texto menciona alguma convenção a ser usada? Até que eu saiba mais, prefiro me omitir. Entretanto, a julgar pela sua descrição da resolução, foi mesmo utilizada a associação pela esquerda (com base num fato simples sobre congruências). Eu gostaria de sugerir alguns artigos para consulta (enquanto vasculho parte da minha biblioteca antes de sair). Torres de potências aparecem em discussões matemática e lógicas (teoria da recursão, função de Ackermann, funcionais de Hilbert, etc.) Há alguns anos, coletei vários artigos interessantes no American Mathematical Monthly. Eis alguns: [1] J. Riordan - A note on Catalan numbers, AMM, 1973, pp. 904-906; [2] R.K.Guy and J. L. Selfridge - The nesting and roosting habits of the laddred parenthesis, AMM, 1973, pp.868-876. [3] J. Spencer - Large numbers and unprovable theorems, AMM, 1983, pp. 669-675. Veja também sobre a notação de setas de Knuth em http://mathworld.wolfram.com/ArrowNotation.html e siga as referências ali mostradas. Quando tiver tempo, e se houver interesse, enviarei mais referências bibliográficas que já estudei. Carlos César de Araújo Matemática para Gregos Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG - Original Message - From: Raul [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 29, 2003 7:29 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz Obrigado Carlos pela resposta bem elaborada. Mas agora então me parece errada a resolução da questão do cartaz que pergunta o último dígito de 7^7^7^7...(onde aparecem 2002 setes). Na resolução que acompanha o gabarito é feita a análise que 7^7 termina em 3, ao elevar a 7 novamente termina em 7. Assim é feita a conclusão que ficará alternando 3 e7 ao continuar elevando. Como tem 2002 números 7, conclui-se que terminará em 3. Não está indo contra a convenção mais aceita é que ^ é associativa à direita? Agradeço aos que quiserem realmente ajudar. Raul - Original Message - From: Carlos César de Araújo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 29, 2003 2:05 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz Raul, Você pergunta: Uma dúvida então: está errado ensinar que 2^3^2=2^9 por não haver parêntesis? Repetindo o que eu disse, a convenção mais aceita é que ^ é associativa à direita, de modo que 2^3^2=2^(3^2)=2^9=512. Portanto, ensinar que 2^3^2=2^9 é simplesmente uma forma de aderir a essa convenção. A maioria dos softwares com os quais trabalho no meu site seguem essa regra. Uma exceção é o Excel: se você digitar =2^3^2 numa célula e pressionar Enter, verá 64 como resultado. Isto mostra que o Excel decodifica a expressão associando pela ESQUERDA. Algumas apostilas de cursinho e alguns livros que consultei trazem exercícios que diferenciam (2^3)^2=2^6 do exemplo anterior. Sim, a expressão (2^3)^2 tem que ser diferenciada de 2^3^2=2^(3^2) porque, como eu ressaltei, a operação ^ não é associativa. Onde está a dúvida? Era isso mesmo que você queria dizer? Infelizmente, questões SINTÁTICAS e METODOLÓGICAS como essas não são discutidas SISTEMATICAMENTE nos cursos tradicionais de matemática. (Isto não acontece em cursos de Lógica Matemática ou de Programação de Computadores.) Conseqüentemente, os alunos aprendem a fazer cálculos e resolver problemas padronizados, mas não aprendem a pensar e CRITICAR fatos estabelecidos. Tão importante quanto a arte de resolver problemas é a capacidade de organizar o conhecimento em um corpo coeso de fatos e CONVENÇÕES baseadas em julgamentos inteligentes. Matemáticos não são apenas resolvedores de problemas; são, também, construtores de teorias. Aqui vai um exercício para você treinar a sua observação e senso crítico: por que se convenciona que a multiplicação tem precedência sobre a adição? Isto é, por que se convenciona que a + b*c = a+(b*c) e não que a + b*c = (a+b)*c? PENSE sobre isto e poderá chegar à resposta por si mesmo (como eu próprio cheguei). Carlos César de Araújo Matemática para Gregos
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz
CONFIRMA A gente tem mania de só elevar ao quadrado... [ ]'s + BRiSSiU + On Thu, 29 May 2003 07:30:32 -0300, Wendel Scardua wrote: (...) Ou seja, por definição, a^b^c = a^(b^c). Em particular, 7^7^7 = 7^(7^7) = 7^49. Er... mas 7^7 não é 49 ... 7^7 = 823543 []'s Wendel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz
Raul, Você pergunta: Uma dúvida então: está errado ensinar que 2^3^2=2^9 por não haver parêntesis? Repetindo o que eu disse, a convenção mais aceita é que ^ é associativa à direita, de modo que 2^3^2=2^(3^2)=2^9=512. Portanto, ensinar que 2^3^2=2^9 é simplesmente uma forma de aderir a essa convenção. A maioria dos softwares com os quais trabalho no meu site seguem essa regra. Uma exceção é o Excel: se você digitar =2^3^2 numa célula e pressionar Enter, verá 64 como resultado. Isto mostra que o Excel decodifica a expressão associando pela ESQUERDA. Algumas apostilas de cursinho e alguns livros que consultei trazem exercícios que diferenciam (2^3)^2=2^6 do exemplo anterior. Sim, a expressão (2^3)^2 tem que ser diferenciada de 2^3^2=2^(3^2) porque, como eu ressaltei, a operação ^ não é associativa. Onde está a dúvida? Era isso mesmo que você queria dizer? Infelizmente, questões SINTÁTICAS e METODOLÓGICAS como essas não são discutidas SISTEMATICAMENTE nos cursos tradicionais de matemática. (Isto não acontece em cursos de Lógica Matemática ou de Programação de Computadores.) Conseqüentemente, os alunos aprendem a fazer cálculos e resolver problemas padronizados, mas não aprendem a pensar e CRITICAR fatos estabelecidos. Tão importante quanto a arte de resolver problemas é a capacidade de organizar o conhecimento em um corpo coeso de fatos e CONVENÇÕES baseadas em julgamentos inteligentes. Matemáticos não são apenas resolvedores de problemas; são, também, construtores de teorias. Aqui vai um exercício para você treinar a sua observação e senso crítico: por que se convenciona que a multiplicação tem precedência sobre a adição? Isto é, por que se convenciona que a + b*c = a+(b*c) e não que a + b*c = (a+b)*c? PENSE sobre isto e poderá chegar à resposta por si mesmo (como eu próprio cheguei). Carlos César de Araújo Matemática para Gregos Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG - Original Message - Raul, A operação binária (a,b)-- a^b não é associativa, de modo que, em princípio, a expressão a^b^c é ambígua: significaria (a^b)^c OU a^(b^c)? Contudo, repare que uma dessas alternativas leva a um resultado bem definido: (a^b)^c=a^(bc). Como conseqüência (e abreviando um pouco o que poderia ser uma longa discussão metodológica), convencionou-se que a operação (a,b)-- a^b é ASSOCIATIVA À DIREITA. Ou seja, por definição, a^b^c = a^(b^c). Em particular, 7^7^7 = 7^(7^7) = 7^49. PS: Questões como essas são discutidas detalhadamente num dos capítulos do meu CD-ROM Números (cujas vendas, no momento, estão paralisadas à espera de acordos viáveis com distribuidoras em território nacional.) Carlos César de Araújo Matemática para Gregos Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG - Original Message - Olá a todos. No cartaz da OBM 2003 há uma questão para ensino médio que pergunta qual o último algarismo de sete elevado a sete elevado a sete...(com 2002 setes). Acontece que não há parêntesis entre os expoentes. Na resolução da questão eu achei que tudo foi feito como se houvesse parêntesis. Em resumo sete elevado a sete elevado a sete foi tratado como sete elevado a 49 e não como sete elevado a 823543. Quero saber onde eu estou errado. Agradeço desde já. Raul = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: VirusScan / Atualizado em 28/05/2003 / Versão: 1.3.13 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz
Infelizmente, questões SINTÁTICAS e METODOLÓGICAS como essas não são discutidas SISTEMATICAMENTE nos cursos tradicionais de matemática. (Isto não acontece em cursos de Lógica Matemática ou de Programação de Computadores.) Conseqüentemente, os alunos aprendem a fazer cálculos e resolver problemas padronizados, mas não aprendem a pensar e CRITICAR fatos estabelecidos. Tão importante quanto a arte de resolver problemas é a capacidade de organizar o conhecimento em um corpo coeso de fatos e CONVENÇÕES baseadas em julgamentos inteligentes. Matemáticos não são apenas resolvedores de problemas; são, também, construtores de teorias. Aqui vai um exercício para você treinar a sua observação e senso crítico: por que se convenciona que a multiplicação tem precedência sobre a adição? Isto é, por que se convenciona que a + b*c = a+(b*c) e não que a + b*c = (a+b)*c? PENSE sobre isto e poderá chegar à resposta por si mesmo (como eu próprio cheguei). Tb eh interessante pensar na procedencia de potencias dentro de raizes quadradas. Veja : sqrt((-3)^2) = ? Certamente pela definicao de modulo voce sabe que isso eh |-3| = 3 Portanto, devemos primeiro aplicar a potencia no -3 e depois multiplicar as potencias 2 por 1/2. Caso contrario obteriamos ((-3)^2)^(0.5) = (-3)^(2*0.5) = (-3)^1 = -3 niski -- [about him:] It is rare to find learned men who are clean, do not stink and have a sense of humour. Gottfried Whilhem Leibniz = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz
Obrigado Carlos pela resposta bem elaborada. Mas agora então me parece errada a resolução da questão do cartaz que pergunta o último dígito de 7^7^7^7...(onde aparecem 2002 setes). Na resolução que acompanha o gabarito é feita a análise que 7^7 termina em 3, ao elevar a 7 novamente termina em 7. Assim é feita a conclusão que ficará alternando 3 e7 ao continuar elevando. Como tem 2002 números 7, conclui-se que terminará em 3. Não está indo contra a convenção mais aceita é que ^ é associativa à direita? Agradeço aos que quiserem realmente ajudar. Raul - Original Message - From: Carlos César de Araújo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 29, 2003 2:05 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz Raul, Você pergunta: Uma dúvida então: está errado ensinar que 2^3^2=2^9 por não haver parêntesis? Repetindo o que eu disse, a convenção mais aceita é que ^ é associativa à direita, de modo que 2^3^2=2^(3^2)=2^9=512. Portanto, ensinar que 2^3^2=2^9 é simplesmente uma forma de aderir a essa convenção. A maioria dos softwares com os quais trabalho no meu site seguem essa regra. Uma exceção é o Excel: se você digitar =2^3^2 numa célula e pressionar Enter, verá 64 como resultado. Isto mostra que o Excel decodifica a expressão associando pela ESQUERDA. Algumas apostilas de cursinho e alguns livros que consultei trazem exercícios que diferenciam (2^3)^2=2^6 do exemplo anterior. Sim, a expressão (2^3)^2 tem que ser diferenciada de 2^3^2=2^(3^2) porque, como eu ressaltei, a operação ^ não é associativa. Onde está a dúvida? Era isso mesmo que você queria dizer? Infelizmente, questões SINTÁTICAS e METODOLÓGICAS como essas não são discutidas SISTEMATICAMENTE nos cursos tradicionais de matemática. (Isto não acontece em cursos de Lógica Matemática ou de Programação de Computadores.) Conseqüentemente, os alunos aprendem a fazer cálculos e resolver problemas padronizados, mas não aprendem a pensar e CRITICAR fatos estabelecidos. Tão importante quanto a arte de resolver problemas é a capacidade de organizar o conhecimento em um corpo coeso de fatos e CONVENÇÕES baseadas em julgamentos inteligentes. Matemáticos não são apenas resolvedores de problemas; são, também, construtores de teorias. Aqui vai um exercício para você treinar a sua observação e senso crítico: por que se convenciona que a multiplicação tem precedência sobre a adição? Isto é, por que se convenciona que a + b*c = a+(b*c) e não que a + b*c = (a+b)*c? PENSE sobre isto e poderá chegar à resposta por si mesmo (como eu próprio cheguei). Carlos César de Araújo Matemática para Gregos Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG - Original Message - Raul, A operação binária (a,b)-- a^b não é associativa, de modo que, em princípio, a expressão a^b^c é ambígua: significaria (a^b)^c OU a^(b^c)? Contudo, repare que uma dessas alternativas leva a um resultado bem definido: (a^b)^c=a^(bc). Como conseqüência (e abreviando um pouco o que poderia ser uma longa discussão metodológica), convencionou-se que a operação (a,b)-- a^b é ASSOCIATIVA À DIREITA. Ou seja, por definição, a^b^c = a^(b^c). Em particular, 7^7^7 = 7^(7^7) = 7^49. PS: Questões como essas são discutidas detalhadamente num dos capítulos do meu CD-ROM Números (cujas vendas, no momento, estão paralisadas à espera de acordos viáveis com distribuidoras em território nacional.) Carlos César de Araújo Matemática para Gregos Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG - Original Message - Olá a todos. No cartaz da OBM 2003 há uma questão para ensino médio que pergunta qual o último algarismo de sete elevado a sete elevado a sete...(com 2002 setes). Acontece que não há parêntesis entre os expoentes. Na resolução da questão eu achei que tudo foi feito como se houvesse parêntesis. Em resumo sete elevado a sete elevado a sete foi tratado como sete elevado a 49 e não como sete elevado a 823543. Quero saber onde eu estou errado. Agradeço desde já. Raul = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: VirusScan / Atualizado em 28/05/2003 / Versão: 1.3.13 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz
Olá, niski. Você escreveu: Tb eh interessante pensar na procedencia de potencias dentro de raizes quadradas. Veja : sqrt((-3)^2) = ? Aqui, a presença de um sinal funcional infixo (sqrt) e dos parênteses no argumento são suficientes para tornar a expressão perfeitamente decodificável. Temos: sqrt((-3)^2) = sqrt(9) = 3. Certamente pela definicao de modulo voce sabe que isso eh |-3| = 3 Sim, isto seria OUTRA forma de REDUZIR a expressão (como se diz em Lógica), desta vez na presença de uma regra de transformação, qual seja, sqrt(x^2)--|x|. (Tente implementar isto numa linguagem de reescritura como o Mathematica, que opera essencialmente -- em quase todos os casos -- com concordância sintática.) Portanto, devemos primeiro aplicar a potencia no -3 e depois multiplicar as potencias 2 por 1/2. Caso contrario obteriamos ((-3)^2)^(0.5) = (-3)^(2*0.5) = (-3)^1 = -3 Não, o raciocínio aqui não se relaciona propriamente com o nosso tema, que é o papel da precedência de sinais na ambigüidade notacional. Você está simplesmente fornecendo um exemplo de que a propriedade multiplicativa dos expoentes (a^b)^c = a^(b*c) NÃO É VÁLIDA se b,c NÃO forem inteiros! Isto costuma causar surpresa aos estudantes inclinados ao puro formalismo, isto é, à manipulação cega de sinais sem o cuidado de observar as possíveis restrições a que estão sujeitos. Os matemáticos do século XVIII (como o grande Euler) eram exímios formalistas neste sentido, e os erros que cometeram são hoje célebres. Para ver um exemplo com potências e pertinente ao assunto, considere 27^1/3 = ? Colocada para ser reduzida num sistema formal, sem nenhum contexto, esta expressão emperraria a máquina: é ambígua. Seria (27^1)/3 = 9 OU 27^(1/3) = 3? Torna-se necessário estipular uma regra de precedência. Conforme nos ensinam na escola, a potenciação tem prioridade sobre a multiplicação e a divisão. (Por que será?) PORTANTO, 27^1/3 = (27^1)/3 = 9. Abraços, Carlos César de Araújo Matemática para Gregos Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz
Oi, Niski: Fiquei curioso. Por que voce acha que a interpretacao convencional de a+b*c eh a+(b*c) e nao (a+b)*c? Serah que eh porque (a+b)*c = (a*c)+(b*c) eh sempre verdade enquanto que a+(b*c) = (a+b)*(a+c) em geral eh falso? Nao tenho certeza se esse eh um bom motivo. Por exemplo, se a, b, c forem conjuntos, + for uniao e * for intersecao, entao ambas as propriedades distributivas serao sempre verdadeiras. Nesse caso, como voce interpretaria algo como: A uniao B intersecao C ? Um abraco, Claudio. - Cabeçalho inicial --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Thu, 29 May 2003 10:57:34 -0300 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz Infelizmente, questões SINTÁTICAS e METODOLÓGICAS como essas não são discutidas SISTEMATICAMENTE nos cursos tradicionais de matemática. (Isto não acontece em cursos de Lógica Matemática ou de Programação de Computadores.) Conseqüentemente, os alunos aprendem a fazer cálculos e resolver problemas padronizados, mas não aprendem a pensar e CRITICAR fatos estabelecidos. Tão importante quanto a arte de resolver problemas é a capacidade de organizar o conhecimento em um corpo coeso de fatos e CONVENÇÕES baseadas em julgamentos inteligentes. Matemáticos não são apenas resolvedores de problemas; são, também, construtores de teorias. Aqui vai um exercício para você treinar a sua observação e senso crítico: por que se convenciona que a multiplicação tem precedência sobre a adição? Isto é, por que se convenciona que a + b*c = a+(b*c) e não que a + b*c = (a+b)*c? PENSE sobre isto e poderá chegar à resposta por si mesmo (como eu próprio cheguei). Tb eh interessante pensar na procedencia de potencias dentro de raizes quadradas. Veja : sqrt((-3)^2) = ? Certamente pela definicao de modulo voce sabe que isso eh |-3| = 3 Portanto, deve potencia no -3 e depois multiplicar as potencias 2 por 1/2. Caso contrario obteriamos ((-3)^2)^(0.5) = (-3)^(2*0.5) = (-3)^1 = -3 niski -- [about him:] It is rare to find learned men who are clean, do not stink and have a sense of humour. Gottfried Whilhem Leibniz == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == === = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz
Olá, Raul. Infelizmente, com o enorme volume de trabalho por aqui, ainda não pude examinar o enunciado original do seu problema. Poderia me fornecer algum link? No enunciado original, a torre de potências é escrita sem parênteses? O texto menciona alguma convenção a ser usada? Até que eu saiba mais, prefiro me omitir. Entretanto, a julgar pela sua descrição da resolução, foi mesmo utilizada a associação pela esquerda (com base num fato simples sobre congruências). Eu gostaria de sugerir alguns artigos para consulta (enquanto vasculho parte da minha biblioteca antes de sair). Torres de potências aparecem em discussões matemática e lógicas (teoria da recursão, função de Ackermann, funcionais de Hilbert, etc.) Há alguns anos, coletei vários artigos interessantes no American Mathematical Monthly. Eis alguns: [1] J. Riordan - A note on Catalan numbers, AMM, 1973, pp. 904-906; [2] R.K.Guy and J. L. Selfridge - The nesting and roosting habits of the laddred parenthesis, AMM, 1973, pp.868-876. [3] J. Spencer - Large numbers and unprovable theorems, AMM, 1983, pp. 669-675. Veja também sobre a notação de setas de Knuth em http://mathworld.wolfram.com/ArrowNotation.html e siga as referências ali mostradas. Quando tiver tempo, e se houver interesse, enviarei mais referências bibliográficas que já estudei. Carlos César de Araújo Matemática para Gregos Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG - Original Message - From: Raul [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 29, 2003 7:29 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz Obrigado Carlos pela resposta bem elaborada. Mas agora então me parece errada a resolução da questão do cartaz que pergunta o último dígito de 7^7^7^7...(onde aparecem 2002 setes). Na resolução que acompanha o gabarito é feita a análise que 7^7 termina em 3, ao elevar a 7 novamente termina em 7. Assim é feita a conclusão que ficará alternando 3 e7 ao continuar elevando. Como tem 2002 números 7, conclui-se que terminará em 3. Não está indo contra a convenção mais aceita é que ^ é associativa à direita? Agradeço aos que quiserem realmente ajudar. Raul - Original Message - From: Carlos César de Araújo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 29, 2003 2:05 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz Raul, Você pergunta: Uma dúvida então: está errado ensinar que 2^3^2=2^9 por não haver parêntesis? Repetindo o que eu disse, a convenção mais aceita é que ^ é associativa à direita, de modo que 2^3^2=2^(3^2)=2^9=512. Portanto, ensinar que 2^3^2=2^9 é simplesmente uma forma de aderir a essa convenção. A maioria dos softwares com os quais trabalho no meu site seguem essa regra. Uma exceção é o Excel: se você digitar =2^3^2 numa célula e pressionar Enter, verá 64 como resultado. Isto mostra que o Excel decodifica a expressão associando pela ESQUERDA. Algumas apostilas de cursinho e alguns livros que consultei trazem exercícios que diferenciam (2^3)^2=2^6 do exemplo anterior. Sim, a expressão (2^3)^2 tem que ser diferenciada de 2^3^2=2^(3^2) porque, como eu ressaltei, a operação ^ não é associativa. Onde está a dúvida? Era isso mesmo que você queria dizer? Infelizmente, questões SINTÁTICAS e METODOLÓGICAS como essas não são discutidas SISTEMATICAMENTE nos cursos tradicionais de matemática. (Isto não acontece em cursos de Lógica Matemática ou de Programação de Computadores.) Conseqüentemente, os alunos aprendem a fazer cálculos e resolver problemas padronizados, mas não aprendem a pensar e CRITICAR fatos estabelecidos. Tão importante quanto a arte de resolver problemas é a capacidade de organizar o conhecimento em um corpo coeso de fatos e CONVENÇÕES baseadas em julgamentos inteligentes. Matemáticos não são apenas resolvedores de problemas; são, também, construtores de teorias. Aqui vai um exercício para você treinar a sua observação e senso crítico: por que se convenciona que a multiplicação tem precedência sobre a adição? Isto é, por que se convenciona que a + b*c = a+(b*c) e não que a + b*c = (a+b)*c? PENSE sobre isto e poderá chegar à resposta por si mesmo (como eu próprio cheguei). Carlos César de Araújo Matemática para Gregos Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG - Original Message - Raul, A operação binária (a,b)-- a^b não é associativa, de modo que, em princípio, a expressão a^b^c é ambígua: significaria (a^b)^c OU a^(b^c)? Contudo, repare que uma dessas alternativas leva a um resultado bem definido: (a^b)^c=a^(bc). Como conseqüência (e abreviando um pouco o que poderia ser uma longa discussão metodológica), convencionou-se que a operação (a,b)-- a^b é ASSOCIATIVA À DIREITA. Ou seja, por definição, a^b^c = a^(b^c). Em particular, 7^7^7 = 7^(7^7) = 7^49
[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz
claudio.buffara wrote: Oi, Niski: Fiquei curioso. Por que voce acha que a interpretacao convencional de a+b*c eh a+(b*c) e nao (a+b)*c? Serah que eh porque (a+b)*c = (a*c)+(b*c) eh sempre verdade enquanto que a+(b*c) = (a+b)*(a+c) em geral eh falso? Nao tenho certeza se esse eh um bom motivo. Por exemplo, se a, b, c forem conjuntos, + for uniao e * for intersecao, entao ambas as propriedades distributivas serao sempre verdadeiras. Nesse caso, como voce interpretaria algo como: A uniao B intersecao C ? Um abraco, Claudio. Oi Claudio. Nao entendi o motivo desta pergunta... ja que na mensagem anterior eu comentei a respeito de potencias sobre a ordem de procedencia assumida para (((-3)^2)^0.5) Aguardo resposta para discutirmos melhor! Niski = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Questão do cartaz
Olá a todos. No cartaz da OBM 2003 há uma questão para ensino médio que pergunta qual o último algarismo de sete elevado a sete elevado a sete...(com 2002 setes). Acontece que não há parêntesis entre os expoentes. Na resolução da questão eu achei que tudo foi feito como se houvesse parêntesis. Em resumo sete elevado a sete elevado a sete foi tratado como sete elevado a 49 e não como sete elevado a 823543. Quero saber onde eu estou errado. Agradeço desde já. Raul
[obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz
Raul, A operação binária (a,b)-- a^b não é associativa, de modo que, em princípio, a expressão a^b^c é ambígua: significaria (a^b)^c OU a^(b^c)? Contudo, repare que uma dessas alternativas leva a um resultado bem definido: (a^b)^c=a^(bc). Como conseqüência (e abreviando um pouco o que poderia ser uma longa discussão metodológica), convencionou-se que a operação (a,b)-- a^b é ASSOCIATIVA À DIREITA. Ou seja, por definição, a^b^c = a^(b^c). Em particular, 7^7^7 = 7^(7^7) = 7^49. PS: Questões como essas são discutidas detalhadamente num dos capítulos do meu CD-ROM Números (cujas vendas, no momento, estão paralisadas à espera de acordos viáveis com distribuidoras em território nacional.) Carlos César de Araújo Matemática para Gregos Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG - Original Message - Olá a todos. No cartaz da OBM 2003 há uma questão para ensino médio que pergunta qual o último algarismo de sete elevado a sete elevado a sete...(com 2002 setes). Acontece que não há parêntesis entre os expoentes. Na resolução da questão eu achei que tudo foi feito como se houvesse parêntesis. Em resumo sete elevado a sete elevado a sete foi tratado como sete elevado a 49 e não como sete elevado a 823543. Quero saber onde eu estou errado. Agradeço desde já. Raul = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz
(...) Ou seja, por definição, a^b^c = a^(b^c). Em particular, 7^7^7 = 7^(7^7) = 7^49. Er... mas 7^7 não é 49 ... 7^7 = 823543 []'s Wendel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz
Uma dúvida então: está errado ensinar que 2^3^2=2^9 por não haver parêntesis? Algumas apostilas de cursinho e alguns livros que consultei trazem exercícios que diferenciam (2^3)^2=2^6 do exemplo anterior. Agradeço a todos que puderem dizer algo. Raul - Original Message - From: Carlos César de Araújo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, May 28, 2003 10:41 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão do cartaz Raul, A operação binária (a,b)-- a^b não é associativa, de modo que, em princípio, a expressão a^b^c é ambígua: significaria (a^b)^c OU a^(b^c)? Contudo, repare que uma dessas alternativas leva a um resultado bem definido: (a^b)^c=a^(bc). Como conseqüência (e abreviando um pouco o que poderia ser uma longa discussão metodológica), convencionou-se que a operação (a,b)-- a^b é ASSOCIATIVA À DIREITA. Ou seja, por definição, a^b^c = a^(b^c). Em particular, 7^7^7 = 7^(7^7) = 7^49. PS: Questões como essas são discutidas detalhadamente num dos capítulos do meu CD-ROM Números (cujas vendas, no momento, estão paralisadas à espera de acordos viáveis com distribuidoras em território nacional.) Carlos César de Araújo Matemática para Gregos Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG - Original Message - Olá a todos. No cartaz da OBM 2003 há uma questão para ensino médio que pergunta qual o último algarismo de sete elevado a sete elevado a sete...(com 2002 setes). Acontece que não há parêntesis entre os expoentes. Na resolução da questão eu achei que tudo foi feito como se houvesse parêntesis. Em resumo sete elevado a sete elevado a sete foi tratado como sete elevado a 49 e não como sete elevado a 823543. Quero saber onde eu estou errado. Agradeço desde já. Raul = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: VirusScan / Atualizado em 28/05/2003 / Versão: 1.3.13 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
