[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] demonstrações
Valeu Pedro. muito agradecido. Um abraço Paulo --- Em dom, 9/5/10, pedro barboza pedrohgbarb...@hotmail.com escreveu: De: pedro barboza pedrohgbarb...@hotmail.com Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] demonstrações Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 9 de Maio de 2010, 21:17 Motivação: então temos que encontrar P e Q tais que , num intervalo limitado por A e B , onde AB , a desigualdade AP/QB seja satisfeita. A*Q P B*Q , ou seja dados dois números A e B, devemos garantir que ao multiplica-los por um inteiro Q exitirá um inteiro P entre eles. Prova: Assim se B-A é o ´´tamanho´´ do intervalo, ao multiplicá-lo por um inteiro suficientemente grande tal que Q*(B-A)10 (ou qualquer outro natural) teremos que Q*B 10 + Q*A , assim, teremos pelo menos 10 inteiros tais que Q*B P Q*A = BP/QA e no meio desses tem um irracional que, ao ser dividido por Q se manterá irracional e também irá satisfazer BIA acho q é isso pras duas primeiras POR ANO SÃO ENCONTRADOS 609.000 SITES QUE ROUBAM DADOS. VEJA COMO SE PROTEGER AQUI.
[obm-l] Re: [obm-l] demonstrações
Ola Johnson e demais colegas
desta lista ... )BM-L,
Em primeiro lugar, parabens pela sua escolha ! O livro ao qual voce se
refere, EM MINHA OPINIAO, e a melhor introducao a Analise produzida
por um brasileiro ... Prossiga nele. E no caso de alguma duvida,
publique-a aqui, pois nesta lista ha muitas pessoas que apreciam a
Analise Matematica.
Em segundo lugar, uma dificuldade inicial e absolutamente normal e um
caminho valido, mesmo louvavel, e justamente o pelo qual parece que
voce encetou, vale dizer, ler e reler tantas vezes quantas forem
necessarias ao um entendimento pleno. Tenha certeza que preguicoso nao
aprende matematica avancada ... e com o passar do tempo, voce
prosseguindo num estudo sistematico, tudo vai ficando mais familiar e
mais facil.
Mas e muito importante que apos uma leitura voce seja capaz de
responder a pergunta : exatamente e com precisao, o que eu nao estou
entendendo ? Nao adiantA ler, nao entender e nao ser capaz de
identificar QUE PARTE DA DEMONSTRACAO NAO ENTENDEU. Por exemplo, eu
quase apostaria que a dificuldade que voce sente na demonstracao
mencionada e que voce ainda nao percebeu que os conceitos de funcao
injetiva, bijetiva e inversa SAO ANTERIORES a definicao de numero
natural.
Rigorosamente falando, nao existe tecnicas de demonstracao. A
demonstracao e a maneira como nos provamos, de forma irrefutavel,
aquilo que vemos, independente dos meios pelos quais chegamos a ver
aquilo que desejamos demonstrar. O que existe e um tipico modo de
pensar relativo a uma area do conhecimento. Por exemplo : um Analista
costuma usar, muito, a ideia de LIMITE, pois a maioria dos conceitos
com que ele rotineiramente trabalha ( diferenciabilidade,
integrabilidade, etc ) foram, originalmente, definidas usando este
conceito; um algebrista, por outro lado, vai procurar caracterizar as
coisa pela ideia de GRUPO, um conceito que na Algebra desempenha papel
equivalente ao de LIMITE em Analise. E assim sucessivamente.
EU ACREDITO que e altamente saudavel a pessoa estudar ao menos dois
ramos relativamente distantes, pois a grandes ideias costumam
surgir, justamente, da convergencia de mais de um ramo. No seu caso,
por exemplo, tente se concentrar em Algebra e Analise.
Em sintese, o que voce deve fazer e justamente o que esta fazendo e
propor aqui as demonstracoes que nao entendeu MENCIONANDO
EXPLICITAMENTE o ponto onde esta a sua duvida.
Um abraco
PSR,53004091230
2009/4/30 johnson nascimento johnson_h...@yahoo.com.br:
Olá amigos!
Eu venho aqui na humildade pedir dicas de como melhorar minhas tecnicas em
demonstrações. Sendo sincero com voces, tenho muita mais muita dificuldade
em entender as demonstrações dos livros e se em cada demonstração eu parar
quase 5,6 ou ate 15 dias para entender eu não termino o livro.
Eu estou lendo o livro do Elon Lages um curso de analise. O fato é que eu ja
compreendo tudo de forma intuitiva e sei fazer todos os exercicios mais de
uns anos para ca eu estou interessado em adquirir tecnicas de demonstração
pois para mim é o que tem de mais lindo na matematica.
Ja conseguir entender como funciona o metodo axiomatico as custas de muito
esforço já li livros de logica e tenho um livro da teoria dos conjuntos que
ja li e é show mais, o fato é que não consigo entender as demonstrações de
forma imediata.
Eu agora estou tentando enteder a demonstração de um teorema no comecinho do
livro 1 que fala sobre uma bijeção b: A - I tal que I = {p pertence N : 1
p n} sendo A contido em I então A = I. E vou dizer as voces ta roça.
O que devo fazer para realmente ficar bom nisso e não perder tanto tempo
conseguindo vizualizar a demonstração quase que imediatamente?
Obrigado
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=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstrações
Bem, basicamente demonstrar resultados depende de:
1- Talento
2- Prática
3- Conhecimento de ferramentas diferentes.
O primeiro item não há nada o que você possa fazer. O talento vem do berço e
você estará limitado ao que foi designado pra vc.
Quanto ao segundo basta você estudar matemática (ou até física) sempre lendo
as demonstrações e tentando reproduzir/criar as demonstrações. Talvez se
está muito dificil entender análise vc pode tentar ler outros livros pra
começar a pegar a manha. Acredito que um livro de Teoria dos Números seria
interessante (procura o livro do Plínio de Oliveira, custa uns 30 reais).
O item 3 quer dizer que não adianta o quão inteligente vocÊ seja, se vc não
domina certas ferramentas vc nunca será capaz de provar determinados
resultados. É mais ou menos como estudar equações diferenciais parciais sem
saber nem derivar. É preciso primeiro ser introduzido a esse conceito e
outros, pra depois ser capaz de chegar aos resultados mais complexos.
Ajuda também você dar uma lida sobre principio da indução, contrapositiva,
prova direta, prova por absurdo... O método da indução por exemplo se você
dominar muito bem facilita muito.
2009/4/30 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com
Ola Johnson e demais colegas
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Em primeiro lugar, parabens pela sua escolha ! O livro ao qual voce se
refere, EM MINHA OPINIAO, e a melhor introducao a Analise produzida
por um brasileiro ... Prossiga nele. E no caso de alguma duvida,
publique-a aqui, pois nesta lista ha muitas pessoas que apreciam a
Analise Matematica.
Em segundo lugar, uma dificuldade inicial e absolutamente normal e um
caminho valido, mesmo louvavel, e justamente o pelo qual parece que
voce encetou, vale dizer, ler e reler tantas vezes quantas forem
necessarias ao um entendimento pleno. Tenha certeza que preguicoso nao
aprende matematica avancada ... e com o passar do tempo, voce
prosseguindo num estudo sistematico, tudo vai ficando mais familiar e
mais facil.
Mas e muito importante que apos uma leitura voce seja capaz de
responder a pergunta : exatamente e com precisao, o que eu nao estou
entendendo ? Nao adiantA ler, nao entender e nao ser capaz de
identificar QUE PARTE DA DEMONSTRACAO NAO ENTENDEU. Por exemplo, eu
quase apostaria que a dificuldade que voce sente na demonstracao
mencionada e que voce ainda nao percebeu que os conceitos de funcao
injetiva, bijetiva e inversa SAO ANTERIORES a definicao de numero
natural.
Rigorosamente falando, nao existe tecnicas de demonstracao. A
demonstracao e a maneira como nos provamos, de forma irrefutavel,
aquilo que vemos, independente dos meios pelos quais chegamos a ver
aquilo que desejamos demonstrar. O que existe e um tipico modo de
pensar relativo a uma area do conhecimento. Por exemplo : um Analista
costuma usar, muito, a ideia de LIMITE, pois a maioria dos conceitos
com que ele rotineiramente trabalha ( diferenciabilidade,
integrabilidade, etc ) foram, originalmente, definidas usando este
conceito; um algebrista, por outro lado, vai procurar caracterizar as
coisa pela ideia de GRUPO, um conceito que na Algebra desempenha papel
equivalente ao de LIMITE em Analise. E assim sucessivamente.
EU ACREDITO que e altamente saudavel a pessoa estudar ao menos dois
ramos relativamente distantes, pois a grandes ideias costumam
surgir, justamente, da convergencia de mais de um ramo. No seu caso,
por exemplo, tente se concentrar em Algebra e Analise.
Em sintese, o que voce deve fazer e justamente o que esta fazendo e
propor aqui as demonstracoes que nao entendeu MENCIONANDO
EXPLICITAMENTE o ponto onde esta a sua duvida.
Um abraco
PSR,53004091230
2009/4/30 johnson nascimento johnson_h...@yahoo.com.br:
Olá amigos!
Eu venho aqui na humildade pedir dicas de como melhorar minhas tecnicas
em
demonstrações. Sendo sincero com voces, tenho muita mais muita
dificuldade
em entender as demonstrações dos livros e se em cada demonstração eu
parar
quase 5,6 ou ate 15 dias para entender eu não termino o livro.
Eu estou lendo o livro do Elon Lages um curso de analise. O fato é que eu
ja
compreendo tudo de forma intuitiva e sei fazer todos os exercicios mais
de
uns anos para ca eu estou interessado em adquirir tecnicas de
demonstração
pois para mim é o que tem de mais lindo na matematica.
Ja conseguir entender como funciona o metodo axiomatico as custas de
muito
esforço já li livros de logica e tenho um livro da teoria dos conjuntos
que
ja li e é show mais, o fato é que não consigo entender as demonstrações
de
forma imediata.
Eu agora estou tentando enteder a demonstração de um teorema no comecinho
do
livro 1 que fala sobre uma bijeção b: A - I tal que I = {p pertence N :
1
p n} sendo A contido em I então A = I. E vou dizer as voces ta roça.
O que devo fazer para realmente ficar bom nisso e não perder tanto tempo
conseguindo vizualizar a demonstração quase que imediatamente?
Obrigado
[obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações
Lucas, Gostei do exemplo. Ele poderia ser generalizado e formalizado como um teorema? Pode me indicar links ou bibbliografia sobre o tema? Um abraço, Sérgio - Original Message - From: Lucas Prado Melo [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, December 23, 2007 1:39 PM Subject: Re: [obm-l] Demonstrações On Dec 16, 2007 11:56 PM, Sérgio Martins da Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Doutores, Penso que a palavra mais comum nesta lista e, quiçá, da matemática é demonstração. Por isto, gostaria de saber como se demonstra que uma demonstração está correta. E mais, que é completa. Quais são os requisitos, condições, etc ? Abraços, Sérgio Oi, Se eu estiver errado, por favor me corrijam, Demonstrar que uma demonstração é válida é provar que a conclusão deriva das premissas. (isso é lógica matemática) Se, ao analisarmos uma prova a partir de suas premissas, chegamos (por implicações sempre verdadeiras (também chamadas tautológicas)) à mesma conclusão que a prova chegou, então a prova é válida, caso contrário não. Uma prova é dita completa quando não existem axiomas não declarados (se eu não me engano). Ex: Se Alberto viajar e Bruno ir à praia Então Daniel vai ao mercado Prova: Sabemos isso também: - Se Alberto vai viajar e Bruno ir à praia, então Creuza vai limpar a casa de Alberto - Se Daniel não vai ao mercado, então Creuza não vai limpar a casa de Alberto ou Alberto não vai viajar Por lógica matemática: A := Alberto ir viajar B := Bruno ir à praia C := Creuza ir limpar a casa de Alberto D := Daniel ir ao mercado Temos: A e B e ( A e B - C ) e ( ¬D - ¬C ou ¬A ) Usando algumas regras de lógica: ( ¬D - ¬C ou ¬A ) = ( A e C - D ) A e B e ( A e B - C ) = C A e C e ( A e C - D ) = D Ou seja, D é verdade... Resumindo (para não-leigos): uma prova é válida sse a conjunção das premissas implica a conclusão da prova. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Res: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re : [obm-l] Demonstrações
Acredito que o que o albert quer dizer é o seguinte: o problema do milênio relacionado aos problemas NP é demonstrar que um problema NP pode ser expresso em termos de um problema P (mas não necessariamente dar um exemplo disso). Imagine uma empresa de entregas que deseja minimizar seus custos de frete, devendo-se para tal determinar qual a menor rota entre um município brasileiro e outro, passando por todos, nos seguinte termos: Tempo para ir do município A ao B: x horas Tempo para ir do município A ao C: y horas Tempo para ir do município A ao D: z horas . . . Tempo para ir do município Y ao Z: n horas supondo 27 municípios que permitam um caminho entre cada um deles, isto é, cada um se combina com todos os demais, todos formam duplas com todos, pra efeitos de simplificação. neste sentido, todas rotas possíveis são em número = 27! claramente a cada incremento de um município teremos um incremento muito maior de rotas a serem examinadas por um programa computacional qualquer, sendo este um problema com tempo de processamento não polinomial (NP) agora imagine um problema em que pede-se pra calcular o tempo médio de cada rota que parte de A e termina em A, tal que cada rota seguinte seja escolhida dentre as com menor tempo, passando por todos os municípios pelo menos uma vez. Se formos aumentando o número de municípios o tempo de processamento crescrerá aritmeticamente. Este é um problema com tempo de processamento polinomial (P). existe alguma forma de contruir-se uma máquina capaz de resolver problemas não-polinomiais como esses em tempos polinomiais? o problema do milênio pede que se demonstre apenas a possibilidade, não que se dê um exemplo concreto, acho q era isso que o albert estava querendo dizer com demonstração de demonstração, o que em última análise poderia ser melhor expresso como demonstração de possibilidade - Mensagem original De: Sérgio Martins da Silva [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 23 de Dezembro de 2007 18:21:50 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações Caros Rodrigo e arcguede, Poderiam me esclarecer o que demonstração de uma demonstração tem a ver com problemas NP? Qual bibliografia recomendam sobre isso? Abraços, Sérgio - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, December 18, 2007 12:46 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações Acredito que o problema NP seja provar que existe ou não uma forma matemática, objetiva, de transformar problemas NP (com tempo de processamento não polinomial) em problemas P (tempo de processamento polinomial). Correto? qual seria a remissão a que você se referiu? - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, December 17, 2007 2:16 AM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações Acho que isso nos remete ao terceiro problema do milênio - o problema NP. [EMAIL PROTECTED] escreveu: Acredito que uma demonstração de demonstração seria algo como chover no molhado. Uma demonstração está correta se, em última instância, está de acordo com os axiomas mais básicos da matéria. Então, uma demonstração de demontração recorreria, também em última análise, exatamente aos mesmos axiomas, sendo assim redundante. Se você fala inglês, aqui está um fórum onde há diversos debates interessantes sobre esses assuntos, além de resolução técnica de questões de matemática, física química, engenharia em geral, etc... http://www.physicsforums.com/ abraços - Original Message - From: Sérgio Martins da Silva [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, December 16, 2007 10:56 PM Subject: [obm-l] Demonstrações Doutores, Penso que a palavra mais comum nesta lista e, quiçá, da matemática é demonstração. Por isto, gostaria de saber como se demonstra que uma demonstração está correta. E mais, que é completa. Quais são os requisitos, condições, etc ? Abraços, Sérgio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na
Re: [obm-l] Res: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações
On Dec 23, 2007 11:04 PM, Rodrigo Cientista [EMAIL PROTECTED] wrote: claramente a cada incremento de um município teremos um incremento muito maior de rotas a serem examinadas por um programa computacional qualquer, sendo este um problema com tempo de processamento não polinomial (NP) Só uma observação pedante: NP não significa não-polinomial. NP é a classe de todos os problemas que podem ser resolvidos em tempo polinomial numa máquina de Turing não-determinística. Uma formulação alternativa é a seguinte: um problema está na classe de complexidade NP se, dada uma possível resposta, uma máquina de Turing determinística consegue *verificar* a veracidade da mesma em tempo polinomial. Em particular, a classe de complexidade NP contém a classe de complexidade P, que é a classe dos problemas que podem ser resolvidos em tempo polinomial por uma máquina de Turing determinística. Existe também a classe dos problemas NP-difíceis, que pode ser descrita assim: Se um computador pudesse resolver um problema NP-difícil (basta saber resolver um tipo de problema), ele poderia resolver qualquer problema da classe NP em tempo polinomial. Além disso, a classe NP-completo é a interseção da classe NP com a classe NP-difícil. Quanto a pergunta original, não consegui entender a relação da classe de complexidade NP com a dúvida do Sérgio (se alguém pudesse me mandar alguma referência sobre isso, ficaria agradecido), mas existem coisas interessantes quanto a verificação computadorizada de provas de teoremas; o programa mais famoso para fazer isso é o Coq. Além disso, existe um site bastante interessante chamado Metamath (http://us.metamath.org) com um monte de proposições matemáticas escritas de um modo bastante cru, propício para verificação automática. Dá pra perder horas clicando nas várias proposições até chegar aos axiomas ZFC. -- Abraços, Maurício = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações
Acredito que o problema NP seja provar que existe ou não uma forma matemática, objetiva, de transformar problemas NP (com tempo de processamento não polinomial) em problemas P (tempo de processamento polinomial). Correto? qual seria a remissão a que você se referiu? - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, December 17, 2007 2:16 AM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações Acho que isso nos remete ao terceiro problema do milênio - o problema NP. [EMAIL PROTECTED] escreveu: Acredito que uma demonstração de demonstração seria algo como chover no molhado. Uma demonstração está correta se, em última instância, está de acordo com os axiomas mais básicos da matéria. Então, uma demonstração de demontração recorreria, também em última análise, exatamente aos mesmos axiomas, sendo assim redundante. Se você fala inglês, aqui está um fórum onde há diversos debates interessantes sobre esses assuntos, além de resolução técnica de questões de matemática, física química, engenharia em geral, etc... http://www.physicsforums.com/ abraços - Original Message - From: Sérgio Martins da Silva [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, December 16, 2007 10:56 PM Subject: [obm-l] Demonstrações Doutores, Penso que a palavra mais comum nesta lista e, quiçá, da matemática é demonstração. Por isto, gostaria de saber como se demonstra que uma demonstração está correta. E mais, que é completa. Quais são os requisitos, condições, etc ? Abraços, Sérgio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações
Acredito que uma demonstração de demonstração seria algo como chover no molhado. Uma demonstração está correta se, em última instância, está de acordo com os axiomas mais básicos da matéria. Então, uma demonstração de demontração recorreria, também em última análise, exatamente aos mesmos axiomas, sendo assim redundante. Se você fala inglês, aqui está um fórum onde há diversos debates interessantes sobre esses assuntos, além de resolução técnica de questões de matemática, física química, engenharia em geral, etc... http://www.physicsforums.com/ abraços - Original Message - From: Sérgio Martins da Silva [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, December 16, 2007 10:56 PM Subject: [obm-l] Demonstrações Doutores, Penso que a palavra mais comum nesta lista e, quiçá, da matemática é demonstração. Por isto, gostaria de saber como se demonstra que uma demonstração está correta. E mais, que é completa. Quais são os requisitos, condições, etc ? Abraços, Sérgio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações
Acho que isso nos remete ao terceiro problema do milênio - o problema NP. [EMAIL PROTECTED] escreveu: Acredito que uma demonstração de demonstração seria algo como chover no molhado. Uma demonstração está correta se, em última instância, está de acordo com os axiomas mais básicos da matéria. Então, uma demonstração de demontração recorreria, também em última análise, exatamente aos mesmos axiomas, sendo assim redundante. Se você fala inglês, aqui está um fórum onde há diversos debates interessantes sobre esses assuntos, além de resolução técnica de questões de matemática, física química, engenharia em geral, etc... http://www.physicsforums.com/ abraços - Original Message - From: Sérgio Martins da Silva [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, December 16, 2007 10:56 PM Subject: [obm-l] Demonstrações Doutores, Penso que a palavra mais comum nesta lista e, quiçá, da matemática é demonstração. Por isto, gostaria de saber como se demonstra que uma demonstração está correta. E mais, que é completa. Quais são os requisitos, condições, etc ? Abraços, Sérgio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações
Title: Mensagem Oi para todos! TEOREMA: Se a é umnº naturalque não é um quadrado perfeito, sqrt(a) é irracional PROVA: Suponha por absurdo que sqrt(a) é racional. Logo sqrt(a) pode ser escrito na forma p/q , mdc(p,q)=1 Logo existe solução racionalpara p e q tais que mdc(p,q)=1para a=p^2/q^2 = a.q^2 = p^2 . a,p,q são inteiros. Logop é divisível por a. Logo p = a.r para algum valor inteiro de r . Logo a^2.r^2 = a.q^2 = q^2 = a.r^2 . a,q,r são inteiros .Segue que q é divisível por a. Como a não é quadrado perfeito, a1 . Logo mdc(p,q)1 . Absurdo ! PROPRIEDADE: Se a é irracional, sqrt(a) também é irracional Usandoesses teoremas acima fica fácil provar os 2 primeiros 1)Eleve ( sqrt(3) + sqrt(5)) ao quadrado, você terá 8 + 2sqrt(15) que é irracional pois sqrt(15) é irracional, uma vez que 15 não é quadrado perfeito, logo sqrt(8 + 2sqrt(15)) = sqrt(3) + sqrt(5) é irracional. 2)(sqrt(p) + sqrt(q))^2 = p+q + 2sqrt(p.q) . Como p e q são primos distintos p.q não é quadrado perfeito, logo sqrt(p) + sqrt(q)é irracional André T. - Original Message - From: Hely Jr. To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, April 03, 2003 10:58 PM Subject: [obm-l] Demonstrações Alguem poderia me ajudar nestas demonstrações 1) sabendo que sqrt(3) e sqrt(5) são irracionais, verifique que sqrt(3) + sqrt(5) é irracional. 2) sejam p 0 e q0 primos distintos. verifique que sqrt(p) + sqrt(q) é irracional 3) se p e q sào inteiros positivos distintos e pelo menos um dos numeros sqrt(p) ou sqrt(q) é irracional, então sqrt(p) + sqrt(q) é tb irracional. desde ja agradeço
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações
Subject: [obm-l] Demonstrações Alguem poderia me ajudar nestas demonstrações 1) sabendo que sqrt(3) e sqrt(5) são irracionais, verifique que sqrt(3) + sqrt(5) é irracional. 2) sejam p 0 e q0 primos distintos. verifique que sqrt(p) + sqrt(q) é irracional 3) se p e q sào inteiros positivos distintos e pelo menos um dos numeros sqrt(p) ou sqrt(q) é irracional, então sqrt(p) + sqrt(q) é tb irracional. desde ja agradeço Oi a todos! Os itens 1 e 2 já foram demonstrados por vários colegas. O 3 , na realidade, vale se p e q forem racionais, ainda que não necessariamente inteiros. E não é preciso que sejam distintos. Seja S = sqrt(p) + sqrt(q) e suponhamos, sem perda de generalidade, que sqrt(q) seja irracional. Segue-se que sqrt(p) = S - sqrt(q) = p = S^2 - 2S sqrt(q) + q. Por hipótese, q é racional. Se S for racional, então s^2 é racional e 2S sqrt(q) é irracional, pois, por hipótese, sqrt(q) é irracional. Logo, = S^2 - 2S sqrt(q) + q é irracional, o que contraria a hipótese de que p é racional. Disso concluimos que S tem necessariamente que ser irracional. Dito de outra forma: se p e q forem racionais, então sqrt(p) + sqrt(q) é racional se, e somente se, sqrt(p) e sqrt(q) também o forem. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações
Tomei a liberdade de inserir alguns comentarios em sua mensagem. Espero que voce nao se importe. Ei, é claro que eu não me incomodo. Eu estou tentando aprender alguma coisa. Eu achava mesmo que a minha narrativa tinha algum erro: surgiu um resultado geral demais rápido demais. Na verdade, fiquei com vontade de enviar para a lista justamente por desconfiar da minha solução. Em todo caso, a minha escorregada parece ser não ter reduzido os irracionais a alguns números especiais. E se os separássemos? Seja A o conjunto das raízes quadradas de números primos. Parece-me que podemos dizer que: 1) A é subconjunto de I. 2) para quaisquer x,y em A, x+y é irracional. 3) para quaisquer x,y em A, x/y é irracional. O problema é que não tenho tempo para tentar provar essas três proposiçõezinhas. Fazendo as pequenas alterações, parece que a prova da questão 1) vale. Ou não vale? - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, April 04, 2003 1:30 AM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações Caro Diego: on 03.04.03 23:53, Diego Navarro at [EMAIL PROTECTED] wrote: MensagemSuponha que não existem complexos. Na verdade, isso é mais por conveniência, já que não sei nada sobre complexos, mas parece razoável que a soma de dois números reais seja real. Um número racional é aquele que pode ser expresso pelo quociente de dois inteiros p e q. Suponha, por absurdo, que sqrt(3)+sqrt(5)=p/q q(sqrt(3)+sqrt(5))=p q*sqrt(3)+q*sqrt(5)=p Ora, para que a soma q*sqrt(3)+q*sqrt(5) seja inteira, é preciso que cada parcela seja racional (big dúvida: será mesmo? Dois números irracionais podem ter soma inteira? Sim. Por exemplo: 2 + raiz(2) e 2 - raiz(2) sao ambos irracionais mas tem soma = 4. O problema 1 estah mal formulado, pois da a impressao de que se a e b sao irracionais entao a+b eh irracional, o que, pelo exemplo acima, nao eh sempre verdade, apesar de ser verdade com a = raiz(3) e b = raiz(5). Alguém vai ter que conferir isto aqui). A única forma de que isso aconteça é (i) q=a/sqrt(3) e q=b/sqrt(5); a e b racionais a/sqrt(3) = b/sqrt(5) a*sqrt(5)=b*sqrt(3) a/b = sqrt(3)/sqrt(5) --- irracional. Contradizendo (i). Este argumento eh invalido. raiz(3)/raiz(5) eh de fato irracional mas nao decorre simplesmente do fato de raiz(3) e raiz(5) serem ambos irracionais. Por exemplo, raiz(18) e raiz(2) sao ambos irracionais, mas raiz(18)/raiz(2) = 3, que eh racional. É uma demonstração meio trapaceada. Se for válida, é fácil expandir para quaisquer primos, já que a sqrt() de um primo é sempre irracional. Verdade, mas isso nao foi demonstrado. Será que dá para demonstrar que a soma de dois irracionais não pode ser racional - excetuando o 0? Nao, pois isso nao eh verdade. Vide exemplo acima. Um, suponha, por absurdo, que dois números irracionais podem ter soma racional diferente de zero. (i) x + y = p/q y=(p-qx)/q x-y = x - (p-qx)/q = (qx-p-qx)/q=-p/q Mas por (i), x+y = p/q; logo, -x-y = -p/q x-y=-x-y == x = -x, o que só vale para 0. E nesse caso, y = p/q, ou seja, racional. Logo, dois números irracionais diferentes de zero não podem ter soma racional diferente de zero. Tá, esta segunda parte também parece um pouco trapaceada. Acho que preciso de ajuda. Mas se isto for verdade, a demonstração 3) é trivial, e as três estão respondidas. A melhor maneira de se resolver os tres problemas de uma vez so eh provando o seguinte resultado mais geral: Seja N um inteiro nao negativo. Entao: raiz(N) eh racional se e somente se N eh um quadrado perfeito. Dem: Se N = 0 ou N = 1, o resultado eh obvio. Assim, suponhamos que N = 2. Se N eh um q.p., entao existe um inteiro nao negativo M tal que N = M^2. Assim, raiz(N) = raiz(M^2) = M, que eh inteiro e, portanto, racional. Se raiz(N) eh racional, entao existem inteiros positivos P e Q, primos entre si, tais que raiz(N) = P/Q. Isso implica que N = P^2/Q^2, ou seja, P^2 = N * Q^2. Naturalmente temos que N divide P^2. Por outro lado, como mdc(P,Q) = 1, cada primo que divide P^2 terah necessariamente que dividir N. Isso implica que P^2 divide N. Assim, concluimos que P^2 e N sao dois inteiros positivos que se dividem mutuamente. Logo, sao iguais == N = P^2 eh um quadrado perfeito. -- Repare que provamos um pouco mais do que queriamos, a saber, que se N eh um inteiro nao negativo e raiz(N) eh racional, entao raiz(N) eh inteiro. ** Agora, fica mais facil resolver os problemas. Por exemplo, o segundo sai assim: p e q primos == p*q nao eh quadrado perfeito (por que?) == raiz(p*q) eh irracional (consequencia do resultado demonstrado acima) Suponha que a = raiz(p) + raiz(q) seja racional. Entao a^2 = p + q + 2*raiz(p*q) eh racional == (a^2 - p - q)/2 = raiz(p*q) eh racional == contradicao == a = raiz(p) + raiz(q) eh irracional. Um abraco, Claudio. - Original Message - From
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações
Caro Diego: Sobre a sua afirmativa: Seja A o conjunto das raízes quadradas de números primos. Parece-me que podemos dizer que: 1) A é subconjunto de I. 2) para quaisquer x,y em A, x+y é irracional. 3) para quaisquer x,y em A, x/y é irracional. (1) e (2) são verdadeiras. (3) será verdadeira == x y. Repare que este resultado é um corolário do resultado mais geral que eu provei no meu e-mail anterior: Seja N um inteiro nao negativo. Entao: raiz(N) eh racional se e somente se N eh um quadrado perfeito. uma vez que se p e q são primos distintos então nenhum dos números p, q, p*q será quadrado perfeito. Isso pode ser generalizado para raízes n-ésimas: Seja n um inteiro = 2 e M um inteiro não negativo. Então: M^(1/n) é racional se e somente se M é igual à n-ésima potência de algum inteiro. Tente provar isso quando tiver um tempo. É um bom exercício. Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações
MensagemSuponha que não existem complexos. Na verdade, isso é mais por conveniência, já que não sei nada sobre complexos, mas parece razoável que a soma de dois números reais seja real. Um número racional é aquele que pode ser expresso pelo quociente de dois inteiros p e q. Suponha, por absurdo, que sqrt(3)+sqrt(5)=p/q q(sqrt(3)+sqrt(5))=p q*sqrt(3)+q*sqrt(5)=p Ora, para que a soma q*sqrt(3)+q*sqrt(5) seja inteira, é preciso que cada parcela seja racional (big dúvida: será mesmo? Dois números irracionais podem ter soma inteira? Alguém vai ter que conferir isto aqui). A única forma de que isso aconteça é (i) q=a/sqrt(3) e q=b/sqrt(5); a e b racionais a/sqrt(3) = b/sqrt(5) a*sqrt(5)=b*sqrt(3) a/b = sqrt(3)/sqrt(5) --- irracional. Contradizendo (i). É uma demonstração meio trapaceada. Se for válida, é fácil expandir para quaisquer primos, já que a sqrt() de um primo é sempre irracional. Será que dá para demonstrar que a soma de dois irracionais não pode ser racional - excetuando o 0? Um, suponha, por absurdo, que dois números irracionais podem ter soma racional diferente de zero. (i) x + y = p/q y=(p-qx)/q x-y = x - (p-qx)/q = (qx-p-qx)/q=-p/q Mas por (i), x+y = p/q; logo, -x-y = -p/q x-y=-x-y == x = -x, o que só vale para 0. E nesse caso, y = p/q, ou seja, racional. Logo, dois números irracionais diferentes de zero não podem ter soma racional diferente de zero. Tá, esta segunda parte também parece um pouco trapaceada. Acho que preciso de ajuda. Mas se isto for verdade, a demonstração 3) é trivial, e as três estão respondidas. - Original Message - From: Hely Jr. To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, April 03, 2003 10:58 PM Subject: [obm-l] Demonstrações Alguem poderia me ajudar nestas demonstrações 1) sabendo que sqrt(3) e sqrt(5) são irracionais, verifique que sqrt(3) + sqrt(5) é irracional. 2) sejam p 0 e q0 primos distintos. verifique que sqrt(p) + sqrt(q) é irracional 3) se p e q sào inteiros positivos distintos e pelo menos um dos numeros sqrt(p) ou sqrt(q) é irracional, então sqrt(p) + sqrt(q) é tb irracional. desde ja agradeço = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstrações
Caro Diego: Tomei a liberdade de inserir alguns comentarios em sua mensagem. Espero que voce nao se importe. on 03.04.03 23:53, Diego Navarro at [EMAIL PROTECTED] wrote: MensagemSuponha que não existem complexos. Na verdade, isso é mais por conveniência, já que não sei nada sobre complexos, mas parece razoável que a soma de dois números reais seja real. Um número racional é aquele que pode ser expresso pelo quociente de dois inteiros p e q. Suponha, por absurdo, que sqrt(3)+sqrt(5)=p/q q(sqrt(3)+sqrt(5))=p q*sqrt(3)+q*sqrt(5)=p Ora, para que a soma q*sqrt(3)+q*sqrt(5) seja inteira, é preciso que cada parcela seja racional (big dúvida: será mesmo? Dois números irracionais podem ter soma inteira? Sim. Por exemplo: 2 + raiz(2) e 2 - raiz(2) sao ambos irracionais mas tem soma = 4. O problema 1 estah mal formulado, pois da a impressao de que se a e b sao irracionais entao a+b eh irracional, o que, pelo exemplo acima, nao eh sempre verdade, apesar de ser verdade com a = raiz(3) e b = raiz(5). Alguém vai ter que conferir isto aqui). A única forma de que isso aconteça é (i) q=a/sqrt(3) e q=b/sqrt(5); a e b racionais a/sqrt(3) = b/sqrt(5) a*sqrt(5)=b*sqrt(3) a/b = sqrt(3)/sqrt(5) --- irracional. Contradizendo (i). Este argumento eh invalido. raiz(3)/raiz(5) eh de fato irracional mas nao decorre simplesmente do fato de raiz(3) e raiz(5) serem ambos irracionais. Por exemplo, raiz(18) e raiz(2) sao ambos irracionais, mas raiz(18)/raiz(2) = 3, que eh racional. É uma demonstração meio trapaceada. Se for válida, é fácil expandir para quaisquer primos, já que a sqrt() de um primo é sempre irracional. Verdade, mas isso nao foi demonstrado. Será que dá para demonstrar que a soma de dois irracionais não pode ser racional - excetuando o 0? Nao, pois isso nao eh verdade. Vide exemplo acima. Um, suponha, por absurdo, que dois números irracionais podem ter soma racional diferente de zero. (i) x + y = p/q y=(p-qx)/q x-y = x - (p-qx)/q = (qx-p-qx)/q=-p/q Mas por (i), x+y = p/q; logo, -x-y = -p/q x-y=-x-y == x = -x, o que só vale para 0. E nesse caso, y = p/q, ou seja, racional. Logo, dois números irracionais diferentes de zero não podem ter soma racional diferente de zero. Tá, esta segunda parte também parece um pouco trapaceada. Acho que preciso de ajuda. Mas se isto for verdade, a demonstração 3) é trivial, e as três estão respondidas. A melhor maneira de se resolver os tres problemas de uma vez so eh provando o seguinte resultado mais geral: Seja N um inteiro nao negativo. Entao: raiz(N) eh racional se e somente se N eh um quadrado perfeito. Dem: Se N = 0 ou N = 1, o resultado eh obvio. Assim, suponhamos que N = 2. Se N eh um q.p., entao existe um inteiro nao negativo M tal que N = M^2. Assim, raiz(N) = raiz(M^2) = M, que eh inteiro e, portanto, racional. Se raiz(N) eh racional, entao existem inteiros positivos P e Q, primos entre si, tais que raiz(N) = P/Q. Isso implica que N = P^2/Q^2, ou seja, P^2 = N * Q^2. Naturalmente temos que N divide P^2. Por outro lado, como mdc(P,Q) = 1, cada primo que divide P^2 terah necessariamente que dividir N. Isso implica que P^2 divide N. Assim, concluimos que P^2 e N sao dois inteiros positivos que se dividem mutuamente. Logo, sao iguais == N = P^2 eh um quadrado perfeito. -- Repare que provamos um pouco mais do que queriamos, a saber, que se N eh um inteiro nao negativo e raiz(N) eh racional, entao raiz(N) eh inteiro. ** Agora, fica mais facil resolver os problemas. Por exemplo, o segundo sai assim: p e q primos == p*q nao eh quadrado perfeito (por que?) == raiz(p*q) eh irracional (consequencia do resultado demonstrado acima) Suponha que a = raiz(p) + raiz(q) seja racional. Entao a^2 = p + q + 2*raiz(p*q) eh racional == (a^2 - p - q)/2 = raiz(p*q) eh racional == contradicao == a = raiz(p) + raiz(q) eh irracional. Um abraco, Claudio. - Original Message - From: Hely Jr. To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, April 03, 2003 10:58 PM Subject: [obm-l] Demonstrações Alguem poderia me ajudar nestas demonstrações 1) sabendo que sqrt(3) e sqrt(5) são irracionais, verifique que sqrt(3) + sqrt(5) é irracional. 2) sejam p 0 e q0 primos distintos. verifique que sqrt(p) + sqrt(q) é irracional 3) se p e q sào inteiros positivos distintos e pelo menos um dos numeros sqrt(p) ou sqrt(q) é irracional, então sqrt(p) + sqrt(q) é tb irracional. desde ja agradeço = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador
[obm-l] Re: [obm-l] demonstrações no dia-a-dia
Tenho três dúvidas, vejam: 1ª) Um segmento de reta é um exemplo de um corpo UNI-dimensional. Um retângulo é um exemplo de um corpo BI- dimensional.tetraedro é um exemplo de um corpo TRI-dimensional. E corpos TETRA, PENTA Um , HEXA-dimensionais, ou generalizando N-dimensionais como podem ser vistos na natureza ou em termos abstratos se for o caso? Para 4 ou mais dimensões, o mais simples é usar n-uplas ordenadas de números reais para representar pontos no espaço n-dimensional. Assim, um hiper-cubo de 4 dimensões e aresta = 2 teria por vértices os 16 pontos da forma (+/-1,+/-1,+/-1,+/-1). Na natureza eu não conheço nenhum exemplo além do espaço-tempo de 4 dimensões (uma delas é o tempo) no qual nós vivemos - vide qualquer livro sobre teoria da relatividade. No entanto, existem teorias que dizem que o universo tem na verdade 10 ou 26 dimensões, mas as 6 ou 22 restantes estão tão "curled up" (enroladinhas) que nós não conseguimos percebê-las. 2ª) Eu tinha visto na net há algumas semanas atrás um site (em inglês, mas não me lembro o endereço) que dava uma demonstração geométrica (analítica) do número imaginário "i". A única coisa que me lembro, foi que a demonstração foi feita a partir dos eixos cartesianos e havia uma relação com o ponto P (-1,0). Há pouco tempo atrás aqui na lista houve algumas mensagens explicando muito bem a parte histórica do número "i" e dos números complexos, mas vocês não falaram nada de demonstrações. A única coisa mais próxima disso foi quando disseram que o número "i" surgiu quando os matemáticos procuraram resolver a equação raiz (-1) = ?. Mas ainda essa passagem eu classifico dentro do contexto histórico do nº imaginário e complexo e não uma explicação matemática e "real"(real no sentido não matemático). Tem um bom artigo sobre isso no livro Meu Professor de Matemática do Elon Lages Lima, publicado pela SBM, que fala da relação entre nos. complexos, logaritmos, exponenciais e funções trigonométricas. A meu ver, as propriedades mais importantes dos complexos são os seguintes: 1) Além de se somarem como vetores, os complexos têm uma multiplicação com uma interpretação geométrica muito clara, que envolve dilatação/contração e rotação. 2) Inicialmente introduziu-seos complexos a fim de que todo polinômio de 2o. grau com coeficientes reais tenha duas raízes. No entanto,descobriu-se que eles eram suficientes para que qualquer polinômio de grau n = 1 e com coeficientes complexos tivesse n raízes.Esse resultado é o Teorema Fundamental da Álgebra. 3) A extensão dos métodos do cálculopara o domínio dos complexos revelou propriedades surpreendentesque não existem no domínio real. Isso tem a ver com o fato de que a existência da derivada de uma função complexa é uma condição muito mais forte do que a existência da derivada de uma função real. 3ª) Uma outra dúvida sobre demosntrações: Se algum leigo em matemática pedisse a mim ou a qualquer um de vcs para provar a existência do número Pi eu e muitos de vcs diriamos a ele para medir o comprimento de qualquer circunferência com uma fita métrica e então dividir o valor por 2*raio. (obs: Se ele não soubesse o que era raio era só explicar). Agora pergunto: É possível fazer uma demonstração semelhante (em termos de relação com o cotidiano) com o logaritmo neperiano (natural) ? Medir uma circunferência com uma fita métrica não prova a existência de Pi. No máximo dá uma aproximação para o seu valor real. Pi pode ser definido como a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro. No entanto, primeiro temos que provar que, para toda e qualquer circunferência, a razão entre o comprimento e o diâmetro é constante. A existência de Pi, e, ou de qualquer número real é uma consequência do do fato de o conjunto dos reaisconstituir um (de fato, o único) corpo ordenado completo. Assim, por exemplo, "e" pode ser definido como o número real tal que: e INTEGRAL dx/x = 1. 1 Pode-se provar (com base no "completamento" dos reais) que essa integral converge para um número real, que se convencionou chamar de "e" (acho que foi Euler que deu este nome). Além disso, pode-se provar que "e" também é o limite das sequências: An = (1 + 1/n)^n ou Bn = 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n!. Um abraço, Claudio.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstrações no dia-a-dia
a explicacao dos fenomenos, isto e, avancamos ate as demonstracoes. Primeiro voce sente, depois voce pensa ... A emocao precede a razao e o raciocinio. Qualquer pessoa que for sincer consigo mesmo e com os outros vai admitir que nunca descobre as coisas tal como apresenta em sua demonstracoes. Existe algo que precede a demonstracao e que nao e o pensar e nao o raciocinar. E o sentir, a intuicao, a inspiracao, a a forma especial do intelecto ´perceber os fenomenos matematicos ! Um Abraco Paulo Santa Rita 3,1734,250203 From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] demonstrações no dia-a-dia Date: Tue, 25 Feb 2003 11:30:15 -0300 Tenho três dúvidas, vejam: 1ª) Um segmento de reta é um exemplo de um corpo UNI-dimensional. Um retângulo é um exemplo de um corpo BI- dimensional.tetraedro é um exemplo de um corpo TRI-dimensional. E corpos TETRA, PENTA Um , HEXA-dimensionais, ou generalizando N-dimensionais como podem ser vistos na natureza ou em termos abstratos se for o caso? Para 4 ou mais dimensões, o mais simples é usar n-uplas ordenadas de números reais para representar pontos no espaço n-dimensional. Assim, um hiper-cubo de 4 dimensões e aresta = 2 teria por vértices os 16 pontos da forma (+/-1,+/-1,+/-1,+/-1). Na natureza eu não conheço nenhum exemplo além do espaço-tempo de 4 dimensões (uma delas é o tempo) no qual nós vivemos - vide qualquer livro sobre teoria da relatividade. No entanto, existem teorias que dizem que o universo tem na verdade 10 ou 26 dimensões, mas as 6 ou 22 restantes estão tão curled up (enroladinhas) que nós não conseguimos percebê-las. 2ª) Eu tinha visto na net há algumas semanas atrás um site (em inglês, mas não me lembro o endereço) que dava uma demonstração geométrica (analítica) do número imaginário i. A única coisa que me lembro, foi que a demonstração foi feita a partir dos eixos cartesianos e havia uma relação com o ponto P (-1,0). Há pouco tempo atrás aqui na lista houve algumas mensagens explicando muito bem a parte histórica do número i e dos números complexos, mas vocês não falaram nada de demonstrações. A única coisa mais próxima disso foi quando disseram que o número i surgiu quando os matemáticos procuraram resolver a equação raiz (-1) = ?. Mas ainda essa passagem eu classifico dentro do contexto histórico do nº imaginário e complexo e não uma explicação matemática e real(real no sentido não matemático). Tem um bom artigo sobre isso no livro Meu Professor de Matemática do Elon Lages Lima, publicado pela SBM, que fala da relação entre nos. complexos, logaritmos, exponenciais e funções trigonométricas. A meu ver, as propriedades mais importantes dos complexos são os seguintes: 1) Além de se somarem como vetores, os complexos têm uma multiplicação com uma interpretação geométrica muito clara, que envolve dilatação/contração e rotação. 2) Inicialmente introduziu-se os complexos a fim de que todo polinômio de 2o. grau com coeficientes reais tenha duas raízes. No entanto, descobriu-se que eles eram suficientes para que qualquer polinômio de grau n = 1 e com coeficientes complexos tivesse n raízes. Esse resultado é o Teorema Fundamental da Álgebra. 3) A extensão dos métodos do cálculo para o domínio dos complexos revelou propriedades surpreendentes que não existem no domínio real. Isso tem a ver com o fato de que a existência da derivada de uma função complexa é uma condição muito mais forte do que a existência da derivada de uma função real. 3ª) Uma outra dúvida sobre demosntrações: Se algum leigo em matemática pedisse a mim ou a qualquer um de vcs para provar a existência do número Pi eu e muitos de vcs diriamos a ele para medir o comprimento de qualquer circunferência com uma fita métrica e então dividir o valor por 2*raio. (obs: Se ele não soubesse o que era raio era só explicar). Agora pergunto: É possível fazer uma demonstração semelhante (em termos de relação com o cotidiano) com o logaritmo neperiano (natural) ? Medir uma circunferência com uma fita métrica não prova a existência de Pi. No máximo dá uma aproximação para o seu valor real. Pi pode ser definido como a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro. No entanto, primeiro temos que provar que, para toda e qualquer circunferência, a razão entre o comprimento e o diâmetro é constante. A existência de Pi, e, ou de qualquer número real é uma consequência do do fato de o conjunto dos reais constituir um (de fato, o único) corpo ordenado completo. Assim, por exemplo, e pode ser definido como o número real tal que: e INTEGRAL dx/x = 1. 1 Pode-se provar (com base no completamento dos reais) que essa integral converge para um número real, que se convencionou chamar de e (acho que foi Euler que deu este nome). Além disso, pode-se provar que e também é o limite das sequências: An = (1 + 1/n)^n ou Bn = 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n!. Um abraço, Claudio
