RE: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
De acordo com tudo que os colegas colocaram, segue as soluções que elaborei.
Agradeço a preciosa ajuda de todos.
Muito obrigado a todos.
(^_^)
1) Vou mostrar que é divisível por 3 e 5
3n^5 = 0 (mod 3)
Então precisamos mostrar que 5n^3 + 7n (mod 3)
= (6-1)n^3 + (6+1)n
= -n^3 + n
= -n(n^2 - 1)
= -(n-1)n(n+1) = 0 (mod 3) produto de 3 números
consecutivos.
Agora falta provar que 3n^5 + 5n^3 + 7n (mod 5)
=3n^5 + 7n = (5-2)n^5 + (5+2)n = -2n^5 + 2n =
-2n(n^4 - 1)
Se n é primo com 5 temos n^4 = 1 (mod 5) (pequeno teorema de Fermat)
n^4 - 1 = 0 (mod 5)
Se n não é primo com 5 , então n = 0 (mod 5), logo de qualquer maneira
-2n(n^4 - 1) = 0 (mod 5). Divisível por 5.
Conclusão 3n^5 + 5n^3 + 7n = 0 (mod 15)
2) Sabendo que 91 = 7 x 13 vamos provar que a expressão é divisível pó r 7
e 13
a^12 - b^12 (mod 7)
a^6 = 1 (mod 7) então a^12 = 1 (mod 7)
b^6 = 1 (mod 7) so b^12 = 1 (mod 7)
Assim, a^12 - b^12 = 1 - 1 (mod 7) = 0 (mod 7)
a^12 = 1 (mod 13) e b^12 = 1 (mod 13)
a^12 - b^12 = 1 - 1 = 0 (mod 13)
Então, a^12 - b^12 = 0 (mod 91)
Date: Sat, 6 Sep 2008 19:12:06 -0300From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]:
Re: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
Oi, RhilbertRealmente este tipo de problema admite um monte de soluções, mas já
que você pediu o Fermat (na verdade o pequeno Fermat, lá vai):3n^5 + 5n^3 + 7n
= 3(n^5 - n) + 5 (n^3 - n) + 15 (n - 1) = 3A + 5B + 15, onde A é multiplo de
5, B é multiplo de 3 e então sua expressão é multipla de 15.Seu segundo
exercício:Como 91 = 7 x 13, vamos tentar fazer acontecer o pequeno Fermat,
mais uma vez. Como a e b são primos com 91, nenhum dos dois é divisível por
13. Logo, (a^12 - 1) e (b^12 -1) são divisíveis por 13; logo, sua diferença
também é...Agora vejamos porque a tal diferença também é divisível por 7...Onde
estará o 7 (do Fermat) em a^12 - b^12? Certamente em a^6 - b^6 que é um de
seus fatores, concorda? Logo, o mesmíssimo raciocício que para o 13 (pois
nem a nem b são divisíveis por 7) completa a solução. Nehab Rhilbert Rivera
escreveu:
Obrigado por esta solução usando Teorema de Taylor, mas eu gostaria de uma
solução que usasse a teoria de divisibilidade ou o pequeno teorema de Fermat,
se possível.Mesmo assim, agradeço.(^_^)
From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Thu, 4 Sep 2008 10:55:04
-0300Subject: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
1) Seja
P(x) = 3x^5 + 5x^3 + 7x = P(1) = 15
P'(x) = 15x^4 + 15 x^2 + 7 = P'(1) = 37
P''(x) = = 60x^3 + 30x = P''('1) = 210
P'''(x) = 180x^2 + 30 = p'''(1) = 210
P(x) = 360x = p(1) = 360
P'(x) = 360 = P(1) = 360
Pelo Teoerema de Taylor,
P(x) = P(1) + x P'(1) + x^2/2! P''(2).+ x^5/5! P'(5)
Logo, P(x +1) = 15 + 37x + 45x^2 + 35x^3 + 15x^4 + 3x^5 = 37x + 35x^3 + 3x^5
+ 15(1 + 3x^2 + x^4) = 7x + 5x^3 + 3x^5 + 30x + 30x^3 + 15(1 + 3x^2 + x^4) =
P(x) + 30(x + x^3) + 15(1 + 3x^2 + x^4) (1), para todo x
Para n =1, temos que P(1) = 15, de modo que 15|P(1)
Se, para algum inteiro positivo n, 15 dividir P(n), então (1) nos mostra que
P(n+1) é dado pela soma de 3 multiplos de 15, de modo que 15|P(n +1). Por
inducao, concluimos que, para todo inteiro positivo n, 15 divide P(n) = 3n^5 +
5n^3 + 7n.
Depois penso no 2
Artur
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome
de Rhilbert RiveraEnviada em: terça-feira, 2 de setembro de 2008 15:22Para:
[EMAIL PROTECTED]: [obm-l] 2 de Teoria dos NúmerosAmigos, obrigado por qualquer
ajuda ñas questões abaixo: 1) Mostre que, para todo n natural, 15 divide 3n^5
+5n^3 +7n. 2) Mostrwe que a^12 - b^12 é divisível por 91, se a b são primos com
91. Obrigado (^_ ^)
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Re: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
O teorema de taylor não PRECISA ser usado... ele usou simplesmente pra
calcular P(x+1), mas vc pode muito bem calcula-lo algebricamente. A idéia
principal da solução é que foi feita por indução finita.
2008/9/6 Rhilbert Rivera [EMAIL PROTECTED]
Obrigado por esta solução usando Teorema de Taylor, mas eu gostaria de uma
solução que usasse a teoria de divisibilidade ou o pequeno teorema de
Fermat, se possível.
Mesmo assim, agradeço.
(^_^)
--
From: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Date: Thu, 4 Sep 2008 10:55:04 -0300
Subject: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
1) Seja
P(x) = 3x^5 + 5x^3 + 7x = P(1) = 15
P'(x) = 15x^4 + 15 x^2 + 7 = P'(1) = 37
P''(x) = = 60x^3 + 30x = P''('1) = 210
P'''(x) = 180x^2 + 30 = p'''(1) = 210
P(x) = 360x = p(1) = 360
P'(x) = 360 = P(1) = 360
Pelo Teoerema de Taylor,
P(x) = P(1) + x P'(1) + x^2/2! P''(2).+ x^5/5! P'(5)
Logo, P(x +1) = 15 + 37x + 45x^2 + 35x^3 + 15x^4 + 3x^5 = 37x + 35x^3
+ 3x^5 + 15(1 + 3x^2 + x^4) = 7x + 5x^3 + 3x^5 + 30x + 30x^3 + 15(1 + 3x^2
+ x^4) = P(x) + 30(x + x^3) + 15(1 + 3x^2 + x^4) (1), para todo x
Para n =1, temos que P(1) = 15, de modo que 15|P(1)
Se, para algum inteiro positivo n, 15 dividir P(n), então (1) nos mostra
que P(n+1) é dado pela soma de 3 multiplos de 15, de modo que 15|P(n +1).
Por inducao, concluimos que, para todo inteiro positivo n, 15 divide P(n) =
3n^5 + 5n^3 + 7n.
Depois penso no 2
Artur
-Mensagem original-
*De:* [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de *Rhilbert Rivera
*Enviada em:* terça-feira, 2 de setembro de 2008 15:22
*Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
*Assunto:* [obm-l] 2 de Teoria dos Números
Amigos, obrigado por qualquer ajuda ñas questões abaixo:
1) Mostre que, para todo n natural, 15 divide 3n^5 +5n^3 +7n.
2) Mostrwe que a^12 - b^12 é divisível por 91, se a b são primos com 91.
Obrigado (^_ ^)
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Rafael
Re: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
Apenas uma pequena correo... 3A + 5B + 15(n
-1)... (engoli o n - 1)...
Nehab
Carlos Nehab escreveu:
Oi, Rhilbert
Realmente este tipo de problema admite um monte de solues, mas j que
voc pediu o Fermat (na verdade o pequeno Fermat, l vai):
3n^5 + 5n^3 + 7n = 3(n^5 - n) + 5 (n^3 - n) + 15 (n - 1) = 3A + 5B +
15, onde A multiplo de 5, B multiplo de 3 e ento sua expresso
multipla de 15.
Seu segundo exerccio:
Como 91 = 7 x 13, vamos tentar "fazer acontecer" o pequeno Fermat, mais
uma vez. Como a e b so primos com 91, nenhum dos dois divisvel
por 13.
Logo, (a^12 - 1) e (b^12
-1) so divisveis por 13; logo, sua diferena tambm ...
Agora vejamos porque a tal diferena tambm divisvel por 7...
Onde estar o 7 (do Fermat) em a^12 -
b^12?
Certamente em a^6 - b^6 que um de seus fatores, concorda?
Logo, o mesmssimo racioccio que para o 13 (pois nem a nem b so
divisveis por 7) completa a soluo.
Nehab
Rhilbert Rivera escreveu:
Obrigado por esta soluo usando Teorema de Taylor, mas eu gostaria de
uma soluo que usasse a teoria de divisibilidade ou o pequeno teorema
de Fermat, se possvel.
Mesmo assim, agradeo.
(^_^)
From: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Date: Thu, 4 Sep 2008 10:55:04 -0300
Subject: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Nmeros
1) Seja
P(x) = 3x^5 + 5x^3 + 7x = P(1) = 15
P'(x) = 15x^4 + 15 x^2 + 7 = P'(1) = 37
P''(x) = = 60x^3 + 30x = P''('1) = 210
P'''(x) = 180x^2 + 30 = p'''(1) = 210
P(x) = 360x = p(1) = 360
P'(x) = 360 = P(1) = 360
Pelo Teoerema de Taylor,
P(x) = P(1) + x P'(1) + x^2/2! P''(2).+ x^5/5!
P'(5)
Logo, P(x +1) = 15 + 37x + 45x^2 + 35x^3 + 15x^4 + 3x^5 =37x +35x^3 +3x^5 + 15(1 + 3x^2 + x^4) = 7x +
5x^3 + 3x^5 + 30x + 30x^3 +15(1 + 3x^2 + x^4)= P(x) + 30(x + x^3)
+ 15(1 + 3x^2 + x^4) (1), para todo x
Para n =1, temos que P(1) = 15, de modo que 15|P(1)
Se, para algum inteiro positivo n, 15 dividir P(n), ento
(1) nos mostra que P(n+1) dado pela soma de 3 multiplos de 15, de
modo que 15|P(n +1). Por inducao, concluimos que, para todo inteiro
positivo n, 15 divide P(n) = 3n^5 + 5n^3 + 7n.
Depois penso no 2
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em
nome de Rhilbert Rivera
Enviada em: tera-feira, 2 de setembro de 2008 15:22
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] 2 de Teoria dos Nmeros
Amigos, obrigado por qualquer ajuda as questes abaixo:
1) Mostre que, para todo n natural, 15 divide 3n^5 +5n^3 +7n.
2) Mostrwe que a^12 - b^12 divisvel por 91, se a b so primos com 91.
Obrigado (^_ ^)
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Re: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
Oi, Rhilbert
Realmente este tipo de problema admite um monte de solues, mas j que
voc pediu o Fermat (na verdade o pequeno Fermat, l vai):
3n^5 + 5n^3 + 7n = 3(n^5 - n) + 5 (n^3 - n) + 15 (n - 1) = 3A + 5B +
15, onde A multiplo de 5, B multiplo de 3 e ento sua expresso
multipla de 15.
Seu segundo exerccio:
Como 91 = 7 x 13, vamos tentar "fazer acontecer" o pequeno Fermat, mais
uma vez. Como a e b so primos com 91, nenhum dos dois divisvel
por 13.
Logo, (a^12 - 1) e (b^12
-1) so divisveis por 13; logo, sua diferena tambm ...
Agora vejamos porque a tal diferena tambm divisvel por 7...
Onde estar o 7 (do Fermat) em a^12 - b^12?
Certamente em a^6 - b^6 que um de seus fatores, concorda?
Logo, o mesmssimo racioccio que para o 13 (pois nem a nem b so
divisveis por 7) completa a soluo.
Nehab
Rhilbert Rivera escreveu:
Obrigado por esta soluo usando Teorema de Taylor, mas eu gostaria de
uma soluo que usasse a teoria de divisibilidade ou o pequeno teorema
de Fermat, se possvel.
Mesmo assim, agradeo.
(^_^)
From: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Date: Thu, 4 Sep 2008 10:55:04 -0300
Subject: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Nmeros
1) Seja
P(x) = 3x^5 + 5x^3 + 7x = P(1) = 15
P'(x) = 15x^4 + 15 x^2 + 7 = P'(1) = 37
P''(x) = = 60x^3 + 30x = P''('1) = 210
P'''(x) = 180x^2 + 30 = p'''(1) = 210
P(x) = 360x = p(1) = 360
P'(x) = 360 = P(1) = 360
Pelo Teoerema de Taylor,
P(x) = P(1) + x P'(1) + x^2/2! P''(2).+ x^5/5!
P'(5)
Logo, P(x +1) = 15 + 37x + 45x^2 + 35x^3 + 15x^4 + 3x^5 =37x +35x^3 +3x^5 + 15(1 + 3x^2 + x^4) = 7x +
5x^3 + 3x^5 + 30x + 30x^3 +15(1 + 3x^2 + x^4)= P(x) + 30(x + x^3)
+ 15(1 + 3x^2 + x^4) (1), para todo x
Para n =1, temos que P(1) = 15, de modo que 15|P(1)
Se, para algum inteiro positivo n, 15 dividir P(n), ento
(1) nos mostra que P(n+1) dado pela soma de 3 multiplos de 15, de
modo que 15|P(n +1). Por inducao, concluimos que, para todo inteiro
positivo n, 15 divide P(n) = 3n^5 + 5n^3 + 7n.
Depois penso no 2
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Rhilbert Rivera
Enviada em: tera-feira, 2 de setembro de 2008 15:22
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] 2 de Teoria dos Nmeros
Amigos, obrigado por qualquer ajuda as questes abaixo:
1) Mostre que, para todo n natural, 15 divide 3n^5 +5n^3 +7n.
2) Mostrwe que a^12 - b^12 divisvel por 91, se a b so primos com 91.
Obrigado (^_ ^)
Conhea j o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do
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RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
Ah eh verdade, me confundi Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rafael Ando Enviada em: quinta-feira, 4 de setembro de 2008 20:39 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] 2 de Teoria dos Números a não pode ser multiplo de 7, pois nesse caso não seria primo com 91... On Fri, Sep 5, 2008 at 1:18 AM, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]mailto:[EMAIL PROTECTED] wrote: S b = 1, isto não é verdade. Se a for multiplo de 7, entao a^12 é multiplo de 7 e a^12 - 1 nao eh, o que implica que nao seja multiplo de 91 = 7 x 13. A afirmacao talvez seja valida para a,b1. Artur 2) Mostrwe que a^12 - b^12 é divisível por 91, se a b são primos com 91. Obrigado (^_ ^) _ Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie já o seu!http://www.amigosdomessenger.com.br -- Rafael
RE: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
Obrigado por esta solução usando Teorema de Taylor, mas eu gostaria de uma
solução que usasse a teoria de divisibilidade ou o pequeno teorema de Fermat,
se possível.
Mesmo assim, agradeço.
(^_^)
From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: Thu, 4 Sep 2008 10:55:04
-0300Subject: RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
1) Seja
P(x) = 3x^5 + 5x^3 + 7x = P(1) = 15
P'(x) = 15x^4 + 15 x^2 + 7 = P'(1) = 37
P''(x) = = 60x^3 + 30x = P''('1) = 210
P'''(x) = 180x^2 + 30 = p'''(1) = 210
P(x) = 360x = p(1) = 360
P'(x) = 360 = P(1) = 360
Pelo Teoerema de Taylor,
P(x) = P(1) + x P'(1) + x^2/2! P''(2).+ x^5/5! P'(5)
Logo, P(x +1) = 15 + 37x + 45x^2 + 35x^3 + 15x^4 + 3x^5 = 37x + 35x^3 + 3x^5
+ 15(1 + 3x^2 + x^4) = 7x + 5x^3 + 3x^5 + 30x + 30x^3 + 15(1 + 3x^2 + x^4) =
P(x) + 30(x + x^3) + 15(1 + 3x^2 + x^4) (1), para todo x
Para n =1, temos que P(1) = 15, de modo que 15|P(1)
Se, para algum inteiro positivo n, 15 dividir P(n), então (1) nos mostra que
P(n+1) é dado pela soma de 3 multiplos de 15, de modo que 15|P(n +1). Por
inducao, concluimos que, para todo inteiro positivo n, 15 divide P(n) = 3n^5 +
5n^3 + 7n.
Depois penso no 2
Artur
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome
de Rhilbert RiveraEnviada em: terça-feira, 2 de setembro de 2008 15:22Para:
[EMAIL PROTECTED]: [obm-l] 2 de Teoria dos NúmerosAmigos, obrigado por qualquer
ajuda ñas questões abaixo: 1) Mostre que, para todo n natural, 15 divide 3n^5
+5n^3 +7n. 2) Mostrwe que a^12 - b^12 é divisível por 91, se a b são primos com
91. Obrigado (^_ ^)
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RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
1) Seja
P(x) = 3x^5 + 5x^3 + 7x = P(1) = 15
P'(x) = 15x^4 + 15 x^2 + 7 = P'(1) = 37
P''(x) = = 60x^3 + 30x = P''('1) = 210
P'''(x) = 180x^2 + 30 = p'''(1) = 210
P(x) = 360x = p(1) = 360
P'(x) = 360 = P(1) = 360
Pelo Teoerema de Taylor,
P(x) = P(1) + x P'(1) + x^2/2! P''(2).+ x^5/5! P'(5)
Logo, P(x +1) = 15 + 37x + 45x^2 + 35x^3 + 15x^4 + 3x^5 = 37x + 35x^3 + 3x^5
+ 15(1 + 3x^2 + x^4) = 7x + 5x^3 + 3x^5 + 30x + 30x^3 + 15(1 + 3x^2 + x^4) =
P(x) + 30(x + x^3) + 15(1 + 3x^2 + x^4) (1), para todo x
Para n =1, temos que P(1) = 15, de modo que 15|P(1)
Se, para algum inteiro positivo n, 15 dividir P(n), então (1) nos mostra que
P(n+1) é dado pela soma de 3 multiplos de 15, de modo que 15|P(n +1). Por
inducao, concluimos que, para todo inteiro positivo n, 15 divide P(n) = 3n^5 +
5n^3 + 7n.
Depois penso no 2
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rhilbert Rivera
Enviada em: terça-feira, 2 de setembro de 2008 15:22
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
Amigos, obrigado por qualquer ajuda ñas questões abaixo:
1) Mostre que, para todo n natural, 15 divide 3n^5 +5n^3 +7n.
2) Mostrwe que a^12 - b^12 é divisível por 91, se a b são primos com 91.
Obrigado (^_ ^)
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RES: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
S b = 1, isto não é verdade. Se a for multiplo de 7, entao a^12 é multiplo de 7 e a^12 - 1 nao eh, o que implica que nao seja multiplo de 91 = 7 x 13. A afirmacao talvez seja valida para a,b1. Artur 2) Mostrwe que a^12 - b^12 é divisível por 91, se a b são primos com 91. Obrigado (^_ ^) _ Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie já o seu!http://www.amigosdomessenger.com.br
Re: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
a não pode ser multiplo de 7, pois nesse caso não seria primo com 91... On Fri, Sep 5, 2008 at 1:18 AM, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: S b = 1, isto não é verdade. Se a for multiplo de 7, entao a^12 é multiplo de 7 e a^12 - 1 nao eh, o que implica que nao seja multiplo de 91 = 7 x 13. A afirmacao talvez seja valida para a,b1. Artur 2) Mostrwe que a^12 - b^12 é divisível por 91, se a b são primos com 91. Obrigado (^_ ^) -- Conheça já o Windows Live Spaces, o site de relacionamentos do Messenger! Crie já o seu! http://www.amigosdomessenger.com.br -- Rafael
[obm-l] 2 de Teoria dos Números
Amigos, obrigado por qualquer ajuda ñas questões abaixo: 1) Mostre que, para todo n natural, 15 divide 3n^5 +5n^3 +7n. 2) Mostrwe que a^12 - b^12 é divisível por 91, se a b são primos com 91. Obrigado (^_ ^) _ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos do Messenger! http://www.amigosdomessenger.com.br/
Re: [obm-l] 2 de Teoria dos Números
Você está estudando congruências e o pequeno teorema de Fermat ? Se for o caso, acho que vale a pena lembrar os dois enunciados que este teorema tem (que são equivalentes, claro, mas às vezes a gente esquece) : Versão vale para todos : Se p é primo, então n^p - n é múltiplo de p Versão grupo multiplicativo : Se p é primo, e se a é primo com p (ou seja, simplesmente, p não divide a), então a^(p-1) = 1 mod p. Veja que a primeira decorre da segunda (basta multiplicar por a dos dois lados, e se a já fosse múltiplo de p, então nem precisa fazer nada). A segunda também decorre da primeira porque justamente a sendo primo com p, ele possui um *inverso* módulo p, e portanto podemos cancelar dos dois lados (repare que você não pode fazer isso se n = kp). Basta agora você saber isso para concluir as duas questões ! 2008/9/2 Rhilbert Rivera [EMAIL PROTECTED]: Amigos, obrigado por qualquer ajuda ñas questões abaixo: 1) Mostre que, para todo n natural, 15 divide 3n^5 +5n^3 +7n. 2) Mostrwe que a^12 - b^12 é divisível por 91, se a b são primos com 91. Obrigado (^_ ^) -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
