[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras
Thank you 😊 Em sex, 17 de mai de 2019 19:47, Pedro José escreveu: > Boa noite! > Corrigi de orelhada, devido a paridade e a solução (21,23), aue > encontrara. Quando dispor de um tempo, tentarei compreender. Mas pelo visto > é mais fácil apontar que existe uma infinidade de soluções, do que achá-las > propriamente. Não se gera uma fórmula para as soluções. Se compreendi, pelo > menos, um pouco da explicação. > > Grato, > PJMS > > Em sex, 17 de mai de 2019 19:01, Ralph Teixeira escreveu: > >> Oops, sim, eu errei, voce consertou, era y=6a+p e x=5a+p. Tambem poderia >> ser y=6a-p e x=5a-p, mas entao x vai ser negativo, o que pode ser obtido >> diretamente das solucoes positivas trocando sinais. >> >> Na pratica, a ideia eh a seguinte: tome (11+2raiz(30))^n para varios >> valores de n. >> >> Por exemplo, para n=2, temos: >> (11+2raiz(30))^2=241+44raiz(30) >> Eu afirmo que p=241 e a=44 tambem servem -- confira que p^2-30a^2=1 de >> novo! >> Colocando isto na quadratica do y, voce acha y, e depois acha x: >> y=6a+p=505 e x=y-a=461 >> (Confira que este cara serve! Tambem tem as solucoes trocando os sinais >> de x e y, mas nao vou falar muito delas, vou me concentrar nas positivas, >> as outras vem por tais trocas de sinal.) >> >> Para n=3: >> (11+2raiz(30))^3=5291+966raiz(30). Entao p=5291, a=966 servem, levando a >> y=6a+p=11087 e x=y-a=10121 >> >> Para cada n, voce terah uma escolha de p e a, e portanto uma escolha de x >> e y... Ou seja, o problema tem infinitas solucoes! >> >> (Sim, o metodo vao sempre gerar p=impar e a=par, entao todas as solucoes >> serao x=5a+p=impar e y=6a+p=impar) >> >> As respostas que faltam -- (A) POR QUE isso gera solucoes? (B) Esta ideia >> ACHA TODAS as solucoes (bom, com as devidas trocas de sinal que sempre >> existem)? >> >> ---///--- >> (A) POR QUE gera solucoes? >> >> Lema: Seja m um numero natural positivo que NAO EH quadrado perfeito. >> Considere a Equacao de Pell p^2-m.a^2=1 (normalmente o pessoal usa x e y, >> mas vou usar p e a para ficar parecido com minha notacao ali em cima). Se >> p=p0 e a=a0 eh uma solucao, entao p=pn e a=an tambem eh, onde pn e an sao >> inteiros determinados pela formula >> (p0+a0.raiz(m))^n=pn+an.raiz(m). >> >> Demonstracao: Fatorando, vem que (p0+a0.raiz(m)).(p0-a0.raiz(m))=1. >> >> Elevando os dois lados a potencia n, vem (p0+a0.raiz(m))^n . >> (p0-a0.raiz(m))^n =1. >> >> Mas o primeiro fator do produto eh exatamente pn+raiz(m).an (pela nossa >> definicao de an e pn), e nao eh dificil ver que, se m nao eh quadrado >> perfeito, o segundo fator tem de ser exatamente o "conjugado" pn-raiz(m).an >> (abra o binomio de Newton se necessario para enxergar isso). >> >> Portanto, temos (pn+an.raiz(m)).(pn-an.raiz(m))=1, ou seja pn^2-m.an^2=1 >> tambem! >> >> ---///--- >> >> Repito, esse lema mostra que o processo GERA solucoes, mas falta mostrar >> (B): que existe alguma especie de "solucao fundamental" que gera TODAS as >> outras por este processo... Bom, a resposta eh SIM, esta solucao >> "fundamental" existe, e eu **acho** que neste caso eh (11,2)... mas para >> mostrar isso, veja o artigo da Eureka, acho que este E-mail ficou muito >> comprdo... :D >> >> Abraco, Ralph. >> >> On Fri, May 17, 2019 at 6:05 PM Pedro José wrote: >> >>> Boa tarde! >>> Se fizer s=x^2 e t=y^2 temos 6s-5t=1; cuja solução é s=5a+1 e t=6a+1, >>> com a >=0. Então, x e y não deveriam ser ímpares? >>> As soluções que achei: >>> (-1,-1);(-1,1);(1,-1) e (1,1) essa no lápis. para a=0 >>> (-21,-23);(-21,23);(21,-23) e (21,23) com auxílio do Excel para a=88. >>> >>> Não sei se há mais soluções. Porém creio que as soluções são em 2Z+1. >>> >>> Se fosse: >>> y=6a+p >>> x=5a+p >>> (p,a)=(11,2) daria a solução (x,y) = (21,23) >>> >>> Não consegui alcançar seu pensamento. Mas creio que pela solução da >>> equação diofantina, tanto x como y deveriam ser ímpares. >>> >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> >>> >>> Em sex, 17 de mai de 2019 às 14:02, Ralph Teixeira >>> escreveu: >>> Escreva x=y-a com a inteiro. Ficamos com y^2-12ay+6a^2-1=0. Pense nisso como uma quadrática em y. Para haver soluções inteiras, o discriminante tem que ser quadrado perfeito: D = 144a^2 -4 (6a^2-1) = 120a^2+4 = 4p^2 (tem que ser par, por isso já coloquei o 4) 30a^2+1=p^2 p^2-30a^2=1 Isso é uma Equação de Pell, cuja teoria não é difícil, mas está bem além das congruências... Veja o artigo do Caminha na Eureka 7, por exemplo: https://www.obm.org.br/content/uploads/2017/01/eureka7.pdf Em suma, você acha uma solução fundamental (acho que é (p,a)=(11,2) neste caso) e gerar as outras olhando para (11+2raiz(30))^n (para cada n=0,1,2,..., a parte inteira disso dá um possível p, o coeficiente de raiz(30) dá um possível a). Enfim, encontrados p e a, teremos: y=6a+-2p x=5a+-2p Ou seja, creio haver infinitas soluções! Abraço, Ralph. On Fri, May 17, 2019 at 7:25 AM matematica10complicada
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Boa noite! Corrigi de orelhada, devido a paridade e a solução (21,23), aue encontrara. Quando dispor de um tempo, tentarei compreender. Mas pelo visto é mais fácil apontar que existe uma infinidade de soluções, do que achá-las propriamente. Não se gera uma fórmula para as soluções. Se compreendi, pelo menos, um pouco da explicação. Grato, PJMS Em sex, 17 de mai de 2019 19:01, Ralph Teixeira Oops, sim, eu errei, voce consertou, era y=6a+p e x=5a+p. Tambem poderia > ser y=6a-p e x=5a-p, mas entao x vai ser negativo, o que pode ser obtido > diretamente das solucoes positivas trocando sinais. > > Na pratica, a ideia eh a seguinte: tome (11+2raiz(30))^n para varios > valores de n. > > Por exemplo, para n=2, temos: > (11+2raiz(30))^2=241+44raiz(30) > Eu afirmo que p=241 e a=44 tambem servem -- confira que p^2-30a^2=1 de > novo! > Colocando isto na quadratica do y, voce acha y, e depois acha x: > y=6a+p=505 e x=y-a=461 > (Confira que este cara serve! Tambem tem as solucoes trocando os sinais de > x e y, mas nao vou falar muito delas, vou me concentrar nas positivas, as > outras vem por tais trocas de sinal.) > > Para n=3: > (11+2raiz(30))^3=5291+966raiz(30). Entao p=5291, a=966 servem, levando a > y=6a+p=11087 e x=y-a=10121 > > Para cada n, voce terah uma escolha de p e a, e portanto uma escolha de x > e y... Ou seja, o problema tem infinitas solucoes! > > (Sim, o metodo vao sempre gerar p=impar e a=par, entao todas as solucoes > serao x=5a+p=impar e y=6a+p=impar) > > As respostas que faltam -- (A) POR QUE isso gera solucoes? (B) Esta ideia > ACHA TODAS as solucoes (bom, com as devidas trocas de sinal que sempre > existem)? > > ---///--- > (A) POR QUE gera solucoes? > > Lema: Seja m um numero natural positivo que NAO EH quadrado perfeito. > Considere a Equacao de Pell p^2-m.a^2=1 (normalmente o pessoal usa x e y, > mas vou usar p e a para ficar parecido com minha notacao ali em cima). Se > p=p0 e a=a0 eh uma solucao, entao p=pn e a=an tambem eh, onde pn e an sao > inteiros determinados pela formula > (p0+a0.raiz(m))^n=pn+an.raiz(m). > > Demonstracao: Fatorando, vem que (p0+a0.raiz(m)).(p0-a0.raiz(m))=1. > > Elevando os dois lados a potencia n, vem (p0+a0.raiz(m))^n . > (p0-a0.raiz(m))^n =1. > > Mas o primeiro fator do produto eh exatamente pn+raiz(m).an (pela nossa > definicao de an e pn), e nao eh dificil ver que, se m nao eh quadrado > perfeito, o segundo fator tem de ser exatamente o "conjugado" pn-raiz(m).an > (abra o binomio de Newton se necessario para enxergar isso). > > Portanto, temos (pn+an.raiz(m)).(pn-an.raiz(m))=1, ou seja pn^2-m.an^2=1 > tambem! > > ---///--- > > Repito, esse lema mostra que o processo GERA solucoes, mas falta mostrar > (B): que existe alguma especie de "solucao fundamental" que gera TODAS as > outras por este processo... Bom, a resposta eh SIM, esta solucao > "fundamental" existe, e eu **acho** que neste caso eh (11,2)... mas para > mostrar isso, veja o artigo da Eureka, acho que este E-mail ficou muito > comprdo... :D > > Abraco, Ralph. > > On Fri, May 17, 2019 at 6:05 PM Pedro José wrote: > >> Boa tarde! >> Se fizer s=x^2 e t=y^2 temos 6s-5t=1; cuja solução é s=5a+1 e t=6a+1, com >> a >=0. Então, x e y não deveriam ser ímpares? >> As soluções que achei: >> (-1,-1);(-1,1);(1,-1) e (1,1) essa no lápis. para a=0 >> (-21,-23);(-21,23);(21,-23) e (21,23) com auxílio do Excel para a=88. >> >> Não sei se há mais soluções. Porém creio que as soluções são em 2Z+1. >> >> Se fosse: >> y=6a+p >> x=5a+p >> (p,a)=(11,2) daria a solução (x,y) = (21,23) >> >> Não consegui alcançar seu pensamento. Mas creio que pela solução da >> equação diofantina, tanto x como y deveriam ser ímpares. >> >> Saudações, >> PJMS >> >> >> >> Em sex, 17 de mai de 2019 às 14:02, Ralph Teixeira >> escreveu: >> >>> Escreva x=y-a com a inteiro. Ficamos com y^2-12ay+6a^2-1=0. >>> >>> Pense nisso como uma quadrática em y. Para haver soluções inteiras, o >>> discriminante tem que ser quadrado perfeito: >>> >>> D = 144a^2 -4 (6a^2-1) = 120a^2+4 = 4p^2 (tem que ser par, por isso já >>> coloquei o 4) >>> 30a^2+1=p^2 >>> p^2-30a^2=1 >>> >>> Isso é uma Equação de Pell, cuja teoria não é difícil, mas está bem além >>> das congruências... Veja o artigo do Caminha na Eureka 7, por exemplo: >>> https://www.obm.org.br/content/uploads/2017/01/eureka7.pdf >>> >>> Em suma, você acha uma solução fundamental (acho que é (p,a)=(11,2) >>> neste caso) e gerar as outras olhando para >>> (11+2raiz(30))^n (para cada n=0,1,2,..., a parte inteira disso dá um >>> possível p, o coeficiente de raiz(30) dá um possível a). >>> >>> Enfim, encontrados p e a, teremos: >>> y=6a+-2p >>> x=5a+-2p >>> >>> Ou seja, creio haver infinitas soluções! >>> >>> Abraço, Ralph. >>> >>> On Fri, May 17, 2019 at 7:25 AM matematica10complicada < >>> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: >>> Olá meus caros, gostaria de uma ajuda sem usar congruência para resolver e achar todos os inteiros da equação 6x^2-5y^2=1. Obrigado e grande ab
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras
Oops, sim, eu errei, voce consertou, era y=6a+p e x=5a+p. Tambem poderia ser y=6a-p e x=5a-p, mas entao x vai ser negativo, o que pode ser obtido diretamente das solucoes positivas trocando sinais. Na pratica, a ideia eh a seguinte: tome (11+2raiz(30))^n para varios valores de n. Por exemplo, para n=2, temos: (11+2raiz(30))^2=241+44raiz(30) Eu afirmo que p=241 e a=44 tambem servem -- confira que p^2-30a^2=1 de novo! Colocando isto na quadratica do y, voce acha y, e depois acha x: y=6a+p=505 e x=y-a=461 (Confira que este cara serve! Tambem tem as solucoes trocando os sinais de x e y, mas nao vou falar muito delas, vou me concentrar nas positivas, as outras vem por tais trocas de sinal.) Para n=3: (11+2raiz(30))^3=5291+966raiz(30). Entao p=5291, a=966 servem, levando a y=6a+p=11087 e x=y-a=10121 Para cada n, voce terah uma escolha de p e a, e portanto uma escolha de x e y... Ou seja, o problema tem infinitas solucoes! (Sim, o metodo vao sempre gerar p=impar e a=par, entao todas as solucoes serao x=5a+p=impar e y=6a+p=impar) As respostas que faltam -- (A) POR QUE isso gera solucoes? (B) Esta ideia ACHA TODAS as solucoes (bom, com as devidas trocas de sinal que sempre existem)? ---///--- (A) POR QUE gera solucoes? Lema: Seja m um numero natural positivo que NAO EH quadrado perfeito. Considere a Equacao de Pell p^2-m.a^2=1 (normalmente o pessoal usa x e y, mas vou usar p e a para ficar parecido com minha notacao ali em cima). Se p=p0 e a=a0 eh uma solucao, entao p=pn e a=an tambem eh, onde pn e an sao inteiros determinados pela formula (p0+a0.raiz(m))^n=pn+an.raiz(m). Demonstracao: Fatorando, vem que (p0+a0.raiz(m)).(p0-a0.raiz(m))=1. Elevando os dois lados a potencia n, vem (p0+a0.raiz(m))^n . (p0-a0.raiz(m))^n =1. Mas o primeiro fator do produto eh exatamente pn+raiz(m).an (pela nossa definicao de an e pn), e nao eh dificil ver que, se m nao eh quadrado perfeito, o segundo fator tem de ser exatamente o "conjugado" pn-raiz(m).an (abra o binomio de Newton se necessario para enxergar isso). Portanto, temos (pn+an.raiz(m)).(pn-an.raiz(m))=1, ou seja pn^2-m.an^2=1 tambem! ---///--- Repito, esse lema mostra que o processo GERA solucoes, mas falta mostrar (B): que existe alguma especie de "solucao fundamental" que gera TODAS as outras por este processo... Bom, a resposta eh SIM, esta solucao "fundamental" existe, e eu **acho** que neste caso eh (11,2)... mas para mostrar isso, veja o artigo da Eureka, acho que este E-mail ficou muito comprdo... :D Abraco, Ralph. On Fri, May 17, 2019 at 6:05 PM Pedro José wrote: > Boa tarde! > Se fizer s=x^2 e t=y^2 temos 6s-5t=1; cuja solução é s=5a+1 e t=6a+1, com > a >=0. Então, x e y não deveriam ser ímpares? > As soluções que achei: > (-1,-1);(-1,1);(1,-1) e (1,1) essa no lápis. para a=0 > (-21,-23);(-21,23);(21,-23) e (21,23) com auxílio do Excel para a=88. > > Não sei se há mais soluções. Porém creio que as soluções são em 2Z+1. > > Se fosse: > y=6a+p > x=5a+p > (p,a)=(11,2) daria a solução (x,y) = (21,23) > > Não consegui alcançar seu pensamento. Mas creio que pela solução da > equação diofantina, tanto x como y deveriam ser ímpares. > > Saudações, > PJMS > > > > Em sex, 17 de mai de 2019 às 14:02, Ralph Teixeira > escreveu: > >> Escreva x=y-a com a inteiro. Ficamos com y^2-12ay+6a^2-1=0. >> >> Pense nisso como uma quadrática em y. Para haver soluções inteiras, o >> discriminante tem que ser quadrado perfeito: >> >> D = 144a^2 -4 (6a^2-1) = 120a^2+4 = 4p^2 (tem que ser par, por isso já >> coloquei o 4) >> 30a^2+1=p^2 >> p^2-30a^2=1 >> >> Isso é uma Equação de Pell, cuja teoria não é difícil, mas está bem além >> das congruências... Veja o artigo do Caminha na Eureka 7, por exemplo: >> https://www.obm.org.br/content/uploads/2017/01/eureka7.pdf >> >> Em suma, você acha uma solução fundamental (acho que é (p,a)=(11,2) neste >> caso) e gerar as outras olhando para >> (11+2raiz(30))^n (para cada n=0,1,2,..., a parte inteira disso dá um >> possível p, o coeficiente de raiz(30) dá um possível a). >> >> Enfim, encontrados p e a, teremos: >> y=6a+-2p >> x=5a+-2p >> >> Ou seja, creio haver infinitas soluções! >> >> Abraço, Ralph. >> >> On Fri, May 17, 2019 at 7:25 AM matematica10complicada < >> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: >> >>> Olá meus caros, gostaria de uma ajuda sem usar congruência para resolver >>> e achar todos os inteiros da equação >>> 6x^2-5y^2=1. >>> >>> >>> Obrigado e grande abraço. >>> Douglas oliveira >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras
Boa tarde! Se fizer s=x^2 e t=y^2 temos 6s-5t=1; cuja solução é s=5a+1 e t=6a+1, com a >=0. Então, x e y não deveriam ser ímpares? As soluções que achei: (-1,-1);(-1,1);(1,-1) e (1,1) essa no lápis. para a=0 (-21,-23);(-21,23);(21,-23) e (21,23) com auxílio do Excel para a=88. Não sei se há mais soluções. Porém creio que as soluções são em 2Z+1. Se fosse: y=6a+p x=5a+p (p,a)=(11,2) daria a solução (x,y) = (21,23) Não consegui alcançar seu pensamento. Mas creio que pela solução da equação diofantina, tanto x como y deveriam ser ímpares. Saudações, PJMS Em sex, 17 de mai de 2019 às 14:02, Ralph Teixeira escreveu: > Escreva x=y-a com a inteiro. Ficamos com y^2-12ay+6a^2-1=0. > > Pense nisso como uma quadrática em y. Para haver soluções inteiras, o > discriminante tem que ser quadrado perfeito: > > D = 144a^2 -4 (6a^2-1) = 120a^2+4 = 4p^2 (tem que ser par, por isso já > coloquei o 4) > 30a^2+1=p^2 > p^2-30a^2=1 > > Isso é uma Equação de Pell, cuja teoria não é difícil, mas está bem além > das congruências... Veja o artigo do Caminha na Eureka 7, por exemplo: > https://www.obm.org.br/content/uploads/2017/01/eureka7.pdf > > Em suma, você acha uma solução fundamental (acho que é (p,a)=(11,2) neste > caso) e gerar as outras olhando para > (11+2raiz(30))^n (para cada n=0,1,2,..., a parte inteira disso dá um > possível p, o coeficiente de raiz(30) dá um possível a). > > Enfim, encontrados p e a, teremos: > y=6a+-2p > x=5a+-2p > > Ou seja, creio haver infinitas soluções! > > Abraço, Ralph. > > On Fri, May 17, 2019 at 7:25 AM matematica10complicada < > profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: > >> Olá meus caros, gostaria de uma ajuda sem usar congruência para resolver >> e achar todos os inteiros da equação >> 6x^2-5y^2=1. >> >> >> Obrigado e grande abraço. >> Douglas oliveira >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras
Escreva x=y-a com a inteiro. Ficamos com y^2-12ay+6a^2-1=0. Pense nisso como uma quadrática em y. Para haver soluções inteiras, o discriminante tem que ser quadrado perfeito: D = 144a^2 -4 (6a^2-1) = 120a^2+4 = 4p^2 (tem que ser par, por isso já coloquei o 4) 30a^2+1=p^2 p^2-30a^2=1 Isso é uma Equação de Pell, cuja teoria não é difícil, mas está bem além das congruências... Veja o artigo do Caminha na Eureka 7, por exemplo: https://www.obm.org.br/content/uploads/2017/01/eureka7.pdf Em suma, você acha uma solução fundamental (acho que é (p,a)=(11,2) neste caso) e gerar as outras olhando para (11+2raiz(30))^n (para cada n=0,1,2,..., a parte inteira disso dá um possível p, o coeficiente de raiz(30) dá um possível a). Enfim, encontrados p e a, teremos: y=6a+-2p x=5a+-2p Ou seja, creio haver infinitas soluções! Abraço, Ralph. On Fri, May 17, 2019 at 7:25 AM matematica10complicada < profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: > Olá meus caros, gostaria de uma ajuda sem usar congruência para resolver e > achar todos os inteiros da equação > 6x^2-5y^2=1. > > > Obrigado e grande abraço. > Douglas oliveira > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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Caros, Suponhamos que b não é 0 (se for a também tem que ser). Dado p primo, se p^k é a maior potência de p que divide b, e p^j é a maior potência de p que divide a, como a^13=b^2001-b^90, p^(90k) é a maior potência de p que divide a^13, ou seja, p^(90k)=p^(13j), donde 90k=13j, e logo k=13r, j=90r para algum inteiro positivo r. Assim, se m é o produto dos primos que dividem a mas não dividem b (que em princípio poderiam existir) pelo sinal de a (que poderia ser negativo), devemos ter b^2001-b^90=a^13=b^90.m^13, donde b^1911-1=m^13, ou seja, (b^637)^3-m^3=1. Como os únicos jeitos de a diferença de dois cubos de inteiros ser igual a 1 são 1^3-0^3 e 0^3-(-1)^3, devemos ter b^637=1 e m=0 (donde b=1 e a=0) ou b^637=0 (donde b=0 e a=0). Abraços, Gugu Quoting Pacini Bores : Ok! Pedro, obrigado pela observação do expoente de p em |b| não ser necessariamente igual a 1. A sua conclusão foi estratégica. Abraços Pacini Em 20 de abril de 2015 10:23, Pedro José escreveu: Douglas, desculpe-me, só havia visto a nota do Pacini a equação original é a^13+b^90=b^2001 então (0,0) também é solução. Saudações, PJMS Em 20 de abril de 2015 10:12, Pedro José escreveu: Bom dia! Se há um fator p primo na fatoração de |b| então p é fator primo de |a|, está correto. Porém, o fator em b não é necessariamente 1, pode ser y e aí há solução 13 x - 90 y = 0. Só que |a|^13 = b^90 ==> |b^1911-1| = 1 o que é absurdo. então só há solução para a=0 ==> b=1. Douglas, (0,0) não é solução embora possa parecer contraditório 0 divide 0, porém não existe divisão por zero. a divide b se existe k Ɛ Z | b = ka. Porém, x/y ==> y ǂ 0 Saudações, PJMS Em 19 de abril de 2015 19:02, Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: Mas (a,b)=(0,0), ou (a,b)=(0,1) são soluções, então neste caso seriam somente essas. Em 18 de abril de 2015 20:28, Pacini Bores escreveu: Olá, por favor me corrijam se estou pensando errado. (a^13)/(b^90) = (b^1911 - 1). Seja p um fator primo de |b|, então p é um fator primo de |a|, ok ? Logo o fator primo p deve aparecer com expoente tal que o lado esquerdo da igualdade acima não tenha fator primo p, já que o lado direito não é divisível por p. Seja então " x" o expoente de p em |a|, donde teremos do lado esquerdo o valor "13x-90" como expoente de p, o que é estranho pois esse expoente é maior do que ou igual a 1. Daí não poderemos ter soluções, pois "p" não divide o lado direito da igualdade acima. Abraços Pacini Em 18 de abril de 2015 18:56, Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: Olá caros amigos gostaria de uma ajuda nesta questão, quais são as soluções inteiras da equação a^13+b^90=b^2001. Agradeço Desde já. Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
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Boa tarde faltou completar "se d divide a ==> m.d.c(d,a-1) = 1", a ǂ1." Saudações, PJMS Em 20 de abril de 2015 13:14, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > > Pacini, > foi apenas uma observação. A sacada da mudança da equação dividindo por > b^90 e a utilização do "se d divide a ==> m.d.c(d,a-1)", que foi o pulo do > gato. > Sem pegar carona na sua idéia não teria matado. > > Saudações, > PJMS > > > Em 20 de abril de 2015 11:09, Pacini Bores > escreveu: > >> Ok! Pedro, obrigado pela observação do expoente de p em |b| não ser >> necessariamente igual a 1. A sua conclusão foi estratégica. >> >> Abraços >> >> Pacini >> >> Em 20 de abril de 2015 10:23, Pedro José escreveu: >> >>> Douglas, >>> >>> desculpe-me, só havia visto a nota do Pacini a equação original é >>> a^13+b^90=b^2001 então (0,0) também é solução. >>> >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> Em 20 de abril de 2015 10:12, Pedro José escreveu: >>> Bom dia! Se há um fator p primo na fatoração de |b| então p é fator primo de |a|, está correto. Porém, o fator em b não é necessariamente 1, pode ser y e aí há solução 13 x - 90 y = 0. Só que |a|^13 = b^90 ==> |b^1911-1| = 1 o que é absurdo. então só há solução para a=0 ==> b=1. Douglas, (0,0) não é solução embora possa parecer contraditório 0 divide 0, porém não existe divisão por zero. a divide b se existe k Ɛ Z | b = ka. Porém, x/y ==> y ǂ 0 Saudações, PJMS Em 19 de abril de 2015 19:02, Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Mas (a,b)=(0,0), ou (a,b)=(0,1) são soluções, então neste caso seriam > somente essas. > > Em 18 de abril de 2015 20:28, Pacini Bores > escreveu: > >> Olá, por favor me corrijam se estou pensando errado. >> >> (a^13)/(b^90) = (b^1911 - 1). Seja p um fator primo de |b|, então p é >> um fator primo de |a|, ok ? >> Logo o fator primo p deve aparecer com expoente tal que o lado >> esquerdo da igualdade acima não tenha fator primo p, já que o lado >> direito >> não é divisível por p. >> >> Seja então " x" o expoente de p em |a|, donde teremos do lado >> esquerdo o valor "13x-90" como expoente de p, o que é estranho pois esse >> expoente é maior do que ou igual a 1. Daí não poderemos ter soluções, >> pois >> "p" não divide o lado direito da igualdade acima. >> >> Abraços >> >> Pacini >> >> >> >> >> Em 18 de abril de 2015 18:56, Douglas Oliveira de Lima < >> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: >> >>> Olá caros amigos gostaria de uma ajuda nesta questão, quais são as >>> soluções inteiras da equação a^13+b^90=b^2001. >>> >>> Agradeço Desde já. >>> Douglas Oliveira >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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Boa tarde! Pacini, foi apenas uma observação. A sacada da mudança da equação dividindo por b^90 e a utilização do "se d divide a ==> m.d.c(d,a-1)", que foi o pulo do gato. Sem pegar carona na sua idéia não teria matado. Saudações, PJMS Em 20 de abril de 2015 11:09, Pacini Bores escreveu: > Ok! Pedro, obrigado pela observação do expoente de p em |b| não ser > necessariamente igual a 1. A sua conclusão foi estratégica. > > Abraços > > Pacini > > Em 20 de abril de 2015 10:23, Pedro José escreveu: > >> Douglas, >> >> desculpe-me, só havia visto a nota do Pacini a equação original é >> a^13+b^90=b^2001 então (0,0) também é solução. >> >> Saudações, >> PJMS >> >> Em 20 de abril de 2015 10:12, Pedro José escreveu: >> >>> Bom dia! >>> >>> Se há um fator p primo na fatoração de |b| então p é fator primo de |a|, >>> está correto. >>> Porém, o fator em b não é necessariamente 1, pode ser y e aí há solução >>> 13 x - 90 y = 0. >>> Só que |a|^13 = b^90 ==> |b^1911-1| = 1 o que é absurdo. >>> então só há solução para a=0 ==> b=1. >>> >>> Douglas, >>> >>> (0,0) não é solução embora possa parecer contraditório 0 divide 0, porém >>> não existe divisão por zero. >>> >>> a divide b se existe k Ɛ Z | b = ka. >>> >>> Porém, x/y ==> y ǂ 0 >>> >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> >>> Em 19 de abril de 2015 19:02, Douglas Oliveira de Lima < >>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: >>> Mas (a,b)=(0,0), ou (a,b)=(0,1) são soluções, então neste caso seriam somente essas. Em 18 de abril de 2015 20:28, Pacini Bores escreveu: > Olá, por favor me corrijam se estou pensando errado. > > (a^13)/(b^90) = (b^1911 - 1). Seja p um fator primo de |b|, então p é > um fator primo de |a|, ok ? > Logo o fator primo p deve aparecer com expoente tal que o lado > esquerdo da igualdade acima não tenha fator primo p, já que o lado direito > não é divisível por p. > > Seja então " x" o expoente de p em |a|, donde teremos do lado > esquerdo o valor "13x-90" como expoente de p, o que é estranho pois esse > expoente é maior do que ou igual a 1. Daí não poderemos ter soluções, pois > "p" não divide o lado direito da igualdade acima. > > Abraços > > Pacini > > > > > Em 18 de abril de 2015 18:56, Douglas Oliveira de Lima < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > >> Olá caros amigos gostaria de uma ajuda nesta questão, quais são as >> soluções inteiras da equação a^13+b^90=b^2001. >> >> Agradeço Desde já. >> Douglas Oliveira >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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Ok! Pedro, obrigado pela observação do expoente de p em |b| não ser necessariamente igual a 1. A sua conclusão foi estratégica. Abraços Pacini Em 20 de abril de 2015 10:23, Pedro José escreveu: > Douglas, > > desculpe-me, só havia visto a nota do Pacini a equação original é > a^13+b^90=b^2001 então (0,0) também é solução. > > Saudações, > PJMS > > Em 20 de abril de 2015 10:12, Pedro José escreveu: > >> Bom dia! >> >> Se há um fator p primo na fatoração de |b| então p é fator primo de |a|, >> está correto. >> Porém, o fator em b não é necessariamente 1, pode ser y e aí há solução >> 13 x - 90 y = 0. >> Só que |a|^13 = b^90 ==> |b^1911-1| = 1 o que é absurdo. >> então só há solução para a=0 ==> b=1. >> >> Douglas, >> >> (0,0) não é solução embora possa parecer contraditório 0 divide 0, porém >> não existe divisão por zero. >> >> a divide b se existe k Ɛ Z | b = ka. >> >> Porém, x/y ==> y ǂ 0 >> >> Saudações, >> PJMS >> >> >> Em 19 de abril de 2015 19:02, Douglas Oliveira de Lima < >> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: >> >>> Mas (a,b)=(0,0), ou (a,b)=(0,1) são soluções, então neste caso seriam >>> somente essas. >>> >>> Em 18 de abril de 2015 20:28, Pacini Bores >>> escreveu: >>> Olá, por favor me corrijam se estou pensando errado. (a^13)/(b^90) = (b^1911 - 1). Seja p um fator primo de |b|, então p é um fator primo de |a|, ok ? Logo o fator primo p deve aparecer com expoente tal que o lado esquerdo da igualdade acima não tenha fator primo p, já que o lado direito não é divisível por p. Seja então " x" o expoente de p em |a|, donde teremos do lado esquerdo o valor "13x-90" como expoente de p, o que é estranho pois esse expoente é maior do que ou igual a 1. Daí não poderemos ter soluções, pois "p" não divide o lado direito da igualdade acima. Abraços Pacini Em 18 de abril de 2015 18:56, Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Olá caros amigos gostaria de uma ajuda nesta questão, quais são as > soluções inteiras da equação a^13+b^90=b^2001. > > Agradeço Desde já. > Douglas Oliveira > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras
Douglas, desculpe-me, só havia visto a nota do Pacini a equação original é a^13+b^90=b^2001 então (0,0) também é solução. Saudações, PJMS Em 20 de abril de 2015 10:12, Pedro José escreveu: > Bom dia! > > Se há um fator p primo na fatoração de |b| então p é fator primo de |a|, > está correto. > Porém, o fator em b não é necessariamente 1, pode ser y e aí há solução 13 > x - 90 y = 0. > Só que |a|^13 = b^90 ==> |b^1911-1| = 1 o que é absurdo. > então só há solução para a=0 ==> b=1. > > Douglas, > > (0,0) não é solução embora possa parecer contraditório 0 divide 0, porém > não existe divisão por zero. > > a divide b se existe k Ɛ Z | b = ka. > > Porém, x/y ==> y ǂ 0 > > Saudações, > PJMS > > > Em 19 de abril de 2015 19:02, Douglas Oliveira de Lima < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > >> Mas (a,b)=(0,0), ou (a,b)=(0,1) são soluções, então neste caso seriam >> somente essas. >> >> Em 18 de abril de 2015 20:28, Pacini Bores >> escreveu: >> >>> Olá, por favor me corrijam se estou pensando errado. >>> >>> (a^13)/(b^90) = (b^1911 - 1). Seja p um fator primo de |b|, então p é um >>> fator primo de |a|, ok ? >>> Logo o fator primo p deve aparecer com expoente tal que o lado >>> esquerdo da igualdade acima não tenha fator primo p, já que o lado direito >>> não é divisível por p. >>> >>> Seja então " x" o expoente de p em |a|, donde teremos do lado esquerdo >>> o valor "13x-90" como expoente de p, o que é estranho pois esse expoente é >>> maior do que ou igual a 1. Daí não poderemos ter soluções, pois "p" não >>> divide o lado direito da igualdade acima. >>> >>> Abraços >>> >>> Pacini >>> >>> >>> >>> >>> Em 18 de abril de 2015 18:56, Douglas Oliveira de Lima < >>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: >>> Olá caros amigos gostaria de uma ajuda nesta questão, quais são as soluções inteiras da equação a^13+b^90=b^2001. Agradeço Desde já. Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras
Bom dia! Se há um fator p primo na fatoração de |b| então p é fator primo de |a|, está correto. Porém, o fator em b não é necessariamente 1, pode ser y e aí há solução 13 x - 90 y = 0. Só que |a|^13 = b^90 ==> |b^1911-1| = 1 o que é absurdo. então só há solução para a=0 ==> b=1. Douglas, (0,0) não é solução embora possa parecer contraditório 0 divide 0, porém não existe divisão por zero. a divide b se existe k Ɛ Z | b = ka. Porém, x/y ==> y ǂ 0 Saudações, PJMS Em 19 de abril de 2015 19:02, Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Mas (a,b)=(0,0), ou (a,b)=(0,1) são soluções, então neste caso seriam > somente essas. > > Em 18 de abril de 2015 20:28, Pacini Bores > escreveu: > >> Olá, por favor me corrijam se estou pensando errado. >> >> (a^13)/(b^90) = (b^1911 - 1). Seja p um fator primo de |b|, então p é um >> fator primo de |a|, ok ? >> Logo o fator primo p deve aparecer com expoente tal que o lado esquerdo >> da igualdade acima não tenha fator primo p, já que o lado direito não é >> divisível por p. >> >> Seja então " x" o expoente de p em |a|, donde teremos do lado esquerdo >> o valor "13x-90" como expoente de p, o que é estranho pois esse expoente é >> maior do que ou igual a 1. Daí não poderemos ter soluções, pois "p" não >> divide o lado direito da igualdade acima. >> >> Abraços >> >> Pacini >> >> >> >> >> Em 18 de abril de 2015 18:56, Douglas Oliveira de Lima < >> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: >> >>> Olá caros amigos gostaria de uma ajuda nesta questão, quais são as >>> soluções inteiras da equação a^13+b^90=b^2001. >>> >>> Agradeço Desde já. >>> Douglas Oliveira >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras
Mas (a,b)=(0,0), ou (a,b)=(0,1) são soluções, então neste caso seriam somente essas. Em 18 de abril de 2015 20:28, Pacini Bores escreveu: > Olá, por favor me corrijam se estou pensando errado. > > (a^13)/(b^90) = (b^1911 - 1). Seja p um fator primo de |b|, então p é um > fator primo de |a|, ok ? > Logo o fator primo p deve aparecer com expoente tal que o lado esquerdo > da igualdade acima não tenha fator primo p, já que o lado direito não é > divisível por p. > > Seja então " x" o expoente de p em |a|, donde teremos do lado esquerdo o > valor "13x-90" como expoente de p, o que é estranho pois esse expoente é > maior do que ou igual a 1. Daí não poderemos ter soluções, pois "p" não > divide o lado direito da igualdade acima. > > Abraços > > Pacini > > > > > Em 18 de abril de 2015 18:56, Douglas Oliveira de Lima < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > >> Olá caros amigos gostaria de uma ajuda nesta questão, quais são as >> soluções inteiras da equação a^13+b^90=b^2001. >> >> Agradeço Desde já. >> Douglas Oliveira >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras
Olá, por favor me corrijam se estou pensando errado. (a^13)/(b^90) = (b^1911 - 1). Seja p um fator primo de |b|, então p é um fator primo de |a|, ok ? Logo o fator primo p deve aparecer com expoente tal que o lado esquerdo da igualdade acima não tenha fator primo p, já que o lado direito não é divisível por p. Seja então " x" o expoente de p em |a|, donde teremos do lado esquerdo o valor "13x-90" como expoente de p, o que é estranho pois esse expoente é maior do que ou igual a 1. Daí não poderemos ter soluções, pois "p" não divide o lado direito da igualdade acima. Abraços Pacini Em 18 de abril de 2015 18:56, Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Olá caros amigos gostaria de uma ajuda nesta questão, quais são as > soluções inteiras da equação a^13+b^90=b^2001. > > Agradeço Desde já. > Douglas Oliveira > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras
Bom dia! Faltou o resto 0, mas não influencia em nada a solução. Saudações, PJMS Em 17 de abril de 2015 10:35, Esdras Muniz escreveu: > É que os únicos restos possíveis de um quadrado por 11 são 1, 4, 9, 5 e 3. > Se houvesse solução inteira, o x² teria que ter resto 10 quando dividido > por 11. > > Em 17 de abril de 2015 06:39, Pedro Chaves > escreveu: > >> Caros Colegas, >> >> Como podemos provar que a equação x^2 + 1 = 11y não possui nenhuma >> solução inteira? >> >> Abraços! >> >> Pedro Chaves >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > > > -- > Esdras Muniz Mota > Mestrando em Matemática > Universidade Federal do Ceará > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras
É que os únicos restos possíveis de um quadrado por 11 são 1, 4, 9, 5 e 3. Se houvesse solução inteira, o x² teria que ter resto 10 quando dividido por 11. Em 17 de abril de 2015 06:39, Pedro Chaves escreveu: > Caros Colegas, > > Como podemos provar que a equação x^2 + 1 = 11y não possui nenhuma > solução inteira? > > Abraços! > > Pedro Chaves > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esdras Muniz Mota Mestrando em Matemática Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras não negativas
x = xo - 3t y = yo + 2t São as soluções gerais da equação. x = 250 e y=0 são soluções; x = 250 - 3t y = 0 + 2t Para t<0 y<0 então não temos soluções não negativas, com t sendo negativo. Para t>0, y será sempre maior que 0. 250 - 3t> 0 t<250/3 = 83,333 as soluções inteiras estão no intervalo 0<= t <=83 Abs Felipe Em Quarta-feira, 26 de Março de 2014 11:47, Ennius Lima escreveu: Caros Colegas, Seria possível calcular quantas soluções inteiras não negativas tem a equação 2x + 3y = 500, sem resolver a equação? Desde já, muito obrigado. Ennius Lima ___ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras da equação x/y = x - y
Olá , É interessante também observar que nesses tipos de problemas , já que y=0 e y =1 não são soluções, podemos escrever : x = y^2/(y-1) = y+1 +1/(y-1) ; ou seja (y-1) deve ser -1 ou +1 . Daí y = 2 e x = 4 . Abraços Carlos Victor Em 18 de junho de 2013 19:43, Marcelo Salhab Brogliato escreveu: > É verdade! Nesse caso, chega-se a mesma conclusão, mas em outros problemas > esse erro pode "esconder" alguma possível solução. > > Obrigado! :) > > Abraços, > Salhab > > > 2013/6/18 Paulo Argolo > >> Caro Salhab, >> >> Na verdade: k|y e y|k => |k| = |y| >> De qualquer forma, chega-se a mesma conclusão. >> >> Um abraço do Paulo Argolo! >> _______________________ >> >> >> >> Date: Tue, 18 Jun 2013 15:14:58 -0300 >> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras da equação x/y = x - y >> From: msbro...@gmail.com >> To: obm-l@mat.puc-rio.br >> >> Olá, Ennius, tudo bem? >> >> Se as soluções são inteiras, então temos que y|x, logo: x = ky. Assim: >> ky/y = ky - y >> >> k = ky - y >> k + y = ky >> >> Então: k|y e y|k => y = k. >> >> y + y = y*y => y(y-2) = 0 => y = 0 ou y = 2. Mas y não pode ser 0, pois a >> equação original é x/y = x - y. >> Assim: y = 2, k = 2 e x = ky = 4. >> >> Abraços, >> Salhab >> >> >> 2013/6/18 ennius >> Colegas da Lista, >> >> Como mostrar que a equação x/y = x - y não admite soluções inteiras, >> além de x = 4 e y = 2? >> -- >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras da equação x/y = x - y
É verdade! Nesse caso, chega-se a mesma conclusão, mas em outros problemas esse erro pode "esconder" alguma possível solução. Obrigado! :) Abraços, Salhab 2013/6/18 Paulo Argolo > Caro Salhab, > > Na verdade: k|y e y|k => |k| = |y| > De qualquer forma, chega-se a mesma conclusão. > > Um abraço do Paulo Argolo! > ___ > > > > Date: Tue, 18 Jun 2013 15:14:58 -0300 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras da equação x/y = x - y > From: msbro...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Olá, Ennius, tudo bem? > > Se as soluções são inteiras, então temos que y|x, logo: x = ky. Assim: > ky/y = ky - y > > k = ky - y > k + y = ky > > Então: k|y e y|k => y = k. > > y + y = y*y => y(y-2) = 0 => y = 0 ou y = 2. Mas y não pode ser 0, pois a > equação original é x/y = x - y. > Assim: y = 2, k = 2 e x = ky = 4. > > Abraços, > Salhab > > > 2013/6/18 ennius > Colegas da Lista, > > Como mostrar que a equação x/y = x - y não admite soluções inteiras, > além de x = 4 e y = 2? > -- > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras da equação x/y = x - y
Caro Salhab, Na verdade: k|y e y|k => |k| = |y| De qualquer forma, chega-se a mesma conclusão. Um abraço do Paulo Argolo! ___ Date: Tue, 18 Jun 2013 15:14:58 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras da equação x/y = x - y From: msbro...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá, Ennius, tudo bem? Se as soluções são inteiras, então temos que y|x, logo: x = ky. Assim: ky/y = ky - y k = ky - y k + y = ky Então: k|y e y|k => y = k. y + y = y*y => y(y-2) = 0 => y = 0 ou y = 2. Mas y não pode ser 0, pois a equação original é x/y = x - y. Assim: y = 2, k = 2 e x = ky = 4. Abraços, Salhab 2013/6/18 ennius Colegas da Lista, Como mostrar que a equação x/y = x - y não admite soluções inteiras, além de x = 4 e y = 2? -- -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras da equação x/y = x - y
Olá, Ennius, tudo bem? Se as soluções são inteiras, então temos que y|x, logo: x = ky. Assim: ky/y = ky - y k = ky - y k + y = ky Então: k|y e y|k => y = k. y + y = y*y => y(y-2) = 0 => y = 0 ou y = 2. Mas y não pode ser 0, pois a equação original é x/y = x - y. Assim: y = 2, k = 2 e x = ky = 4. Abraços, Salhab 2013/6/18 ennius > Colegas da Lista, > > Como mostrar que a equação x/y = x - y não admite soluções inteiras, > além de x = 4 e y = 2? > -- > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Soluções inteiras
(x+y)((x+y)²-3xy) = (x+y)² 1) (x+y) = 0 2) (x+y)² - 3xy = (x+y) x²-xy+y² = x+y x²+x(-y-1) + y²-y = 0 Delta = (y+1)² -4y²+4y Delta = -3y²+6y+1 Devemos ter Delta>= zero Logo 1-2raiz(3)/3 <= y <= 1+2raiz(3)/3 y = 0, 1, 2 Substituindo os que dão x inteiro são y=0, -> x= 1, 0 y=1 -> x= 2, 0 y=2> x= 2, 1 Logo Solução = (0, 1), (1, 0), (1, 2), (2, 1), (2, 1), (k, -k), com k inteiro From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Soluções inteiras Date: Mon, 11 Feb 2013 23:07:08 + Encontre todas as soluções inteiras de x^3 + y^3 = (x+y)^2
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras não negativas
Sei que pode ser tarde, mas Vamos lá: Imagine que vc tem 100 balas que devem ser distribuídas para 10 crianças. De quantas formas isso pode ser feito? Ora, uma maneira clássica é pensarmos como 100 bolas e 9 barras que devem ser intercaladas entre as bolas. Cada maneira de colocarmos as barras entre as bolas corresponde a uma maneira de distribuição, e sendo assim podemos considerar que todas as maneiras de distribuição são todas as permutações das barras e das bolas, isto é, permutações de 109 objetos dos quais 100 são iguais às bolas e 9 são iguais às barras: 109!/100!9! = (109x108x107x106x105x014x103x102x101)/(9x8x7x6x5x4x3x2x1) que não tenho a menor idéia de qto dá isso. De: Marcelo de Moura Costa Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 18 de Setembro de 2012 8:41 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras não negativas Podemos resolver usando a fórmual Cn+p-1,p-1 logo, C100+10-1,10-1 Em 18 de setembro de 2012 07:01, ennius escreveu: Caros Colegas, > > >Quantas soluções inteiras não negativas tem a equação x1 + x2 + ... + x10 = >100? > >Abraços! > >Ennius Lima >= >Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >= >
[obm-l] Re: [obm-l] Soluções inteiras não negativas
Podemos resolver usando a fórmual Cn+p-1,p-1 logo, C100+10-1,10-1 Em 18 de setembro de 2012 07:01, ennius escreveu: > Caros Colegas, > > > Quantas soluções inteiras não negativas tem a equação x1 + x2 + ... + x10 > = 100? > > Abraços! > > Ennius Lima > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = >
[obm-l] Re: [obm-l] soluções inteiras não negativas
2011/11/23 Fabio Silva > > Meu aluno me pegou... > > "Quantas são as soluções inteiras não negativas para: 25x + 10y + 5z + w = 37" > > Saí no braço contando cada quadra de resultados e achei 24. > > Mas, como pensar sem ter que contar as soluções uma uma? Bom, a primeira coisa a fazer é olhar as divisibilidades. Daí, w = 2 mod 5 (porque o resto é divisível por 5) e daí você tem que resolver 5x + 2y + z = (37 - w)/5. Para cada valor de w, isso dá uma equação com 3 variáveis. Bom, daí você vai "no braço", mas dá pra montar um esqueminha recursivo (que evita "contar tudo", mesmo se no fim das contas é o que você vai acabar fazendo) onde as variáveis "vão entrando" conforme o lado direito aumenta. (37 - w)/5 pode ser 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0. Se for 0, tem uma solução apenas(z = 0). Se for 1, idem (z = 1). Se for 2, tem duas soluções (2y + z = 2, tem y=1, z=0 ou z=2) Se for 3, idem (aumente z de um em cada uma). Se for 4, tem 3 soluções. Se for 5, "idem" + 1 solução x = 1 => 4 soluções Se for 6, tem 4 soluções com x=0, mais uma solução com x=1. Se for 7, "idem" para x=0, e dessa vez tem duas soluções com x=1 (repare que isso é igual à 2y + z = 2, e é assim que funciona a recorrência). 1+1+2+2+3+(3+1)+(4+1)+(4+2)=24 Uma outra idéia (que eu acho que dá mais trabalho, para números pequenos como o seu, mas que é mais geral) é montar uma recorrência polinomial dependendo da congruência do lado direito módulo o mmc dos fatores : http://math.stackexchange.com/questions/30638/count-the-number-of-positive-solutions-for-a-linear-diophantine-equation > Obrigado > > Fabio MS Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Soluções Inteiras
Olá.
Quantas soluções inteiras tem a equação: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 20 se
cada xi é tal que xi é maior igual que 3 qualquer que seja o i pertencente
a {1,2,3,4,5}?
Essa você resolve por combinatória, ivanzovski. Se x_i >= 3, nós podemos
reescrever o problema da seguinte forma:
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 20 - 5.3 = 5, e agora x_i tem como única condição
ser maior do que 0(depois você adiciona 3 a cada x_i).
Bem, o problema é explicar sem desenho. Fica (5+5-1)!!/[4!*(5-1)!] =
9!/(4!5!) = 126.
Genericamente, se x_0 + x_1 + ... + x_i = n, existem (n+i-1)!/[n!*(i-1)!]
soluções inteiras não negativas para a equação.
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