[obm-l] Integral

[Israel Meireles Chrisostomo]

Olá pessoal.Eu estava resolvendo um problema e me deparei com uma dúvida.A
dúvida é a seguinte: a integral de uma função que tende a zero é igual a
zero?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral nula

[Artur Steiner]

Aliás, no momento eu não me lembro se os conjuntos magros são da 1a ou da
2a categoria. O G e o F de Gdelta e de Fsigma são iniciais de palavras
quilométricas em alemão. A letra grega sigma geralmente significa uma
característica relativa a enumerabilidade, como sigma-álgebra, sigma-finito.

Artur Costa Steiner

Em seg, 27 de ago de 2018 14:45, Artur Costa Steiner 
escreveu:

> Eu acho que a grande maioria dos alunos iria julgar que este tipo de
> discussão não serve para nada. Pouquíssimos iriam ficar motivados.Os
> participantes desta lista são exceção.
>
> Quanto ao problema que o Cláudio propôs, uma forma de provar é com base no
> fato de que o conjunto das continuidades de uma função de R em R é um
> Gdelta (isto é uma particularização para R de funções entre espaços
> topológicos). E os racionais não sâo um Gdelta.
>
> Se Q fosse Gdelta, o conjunto dos irracionais I seria Fsigma e,
> consequentemente, estaria contido numa união enumerável de fechados. Como I
> tem interior vazio, todos estes fechados teriam interior vazio e I seria
> "magro" na classificação dr Baire. Mas isto implicaria que R =  I união Q
> fosse magro, contrariamente ao fato de que R é um espaço de Baire.
>
> Uma possível prova de que o conjunto das continuidades é Gdelta baseia-se
> no conceito de oscilaçào de uma função em um ponto e em um conjunto.
>
> Artur
>
> Em 27 de ago de 2018 11:03, "Claudio Buffara" 
> escreveu:
>
> Acho que você foi uma exceção.
>
> Se foi uma aula de cálculo normal, pra alunos normais, o mais provável é
> que mais da metade da turma não tenha entendido os detalhes técnicos e
> muito menos a significância do exemplo, já que realmente é muito difícil
> (pelo menos pra mim) visualizar a situação "patológica" de uma função
> continua nos irracionais mas descontínua nos racionais. Até porque, a meu
> ver, a definição de continuidade é, dentre todas que aparecem num curso de
> cálculo, a que leva mais tempo pra ser digerida (muito mais do que derivada
> e integral, por exemplo, em que a situação pode ser visualizada com muito
> mais facilidade).
>
> Dito isso, não acho que este exemplo vá conseguir motivar quem quer que
> seja a estudar matemática. Acho que quem se empolga com ele já foi
> "fisgado" pela matemática muito antes, talvez no ensino fundamental, e
> muito provavelmente começou a estudar cálculo antes dele ser exigido
> oficialmente na escola ou faculdade.
>
> De qualquer forma, aqui vai um problema que complementa o da função de
> Thomae (e eu não sabia que ela tinha este nome!): prove que não existe uma
> função de R em R que seja contínua nos racionais e descontínua nos
> irracionais.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Sun, Aug 26, 2018 at 4:34 PM Thácio Hahn dos Santos 
> wrote:
>
>> Uma variação interessante da segunda parte do problema, pra quem não
>> conhece, é a Função de Thomae, onde c(x) passa a valer 1/q para todo x
>> racional diferente de zero expresso por p/q, com p e q primos entre si.
>> Tomando, sem perda de generalidade, um epsilon racional 1/r, tem-se c(x) <
>> epsilon para todo x racional p/q com q > r. c(x) só pode exceder epsilon,
>> portanto, quando q <= r, restando um número finito de possibilidades para
>> q, dado algum r. Toma-se delta como a menor distância entre x e um desses
>> (finitos) pontos em que c excede epsilon. Segue que c é contínua nos
>> irracionais, ao contrário da função do problema inicial.
>> E é também Riemann-integrável com integral zero, já que o conjunto de
>> pontos em que a  função é positiva (racionais) é enumerável e portanto tem
>> medida de Lebesgue nula, sendo desprezível na integração.
>>
>> Foi a menção a essa função, por parte de um professor de Cálculo no
>> primeiro semestre da faculdade, destacando suas propriedades estranhas por
>> ser integrável em qualquer intervalo sem ser diferenciável em ponto algum,
>> que eu despertei interesse pelo Cálculo e mais especificamente pelas
>> famigeradas funções patológicas, rs. Essas curiosidades e exemplos exóticos
>> são excelentes pra chamar atenção da garotada. Fica aí uma dica aos
>> professores e futuros professores da lista.
>>
>> Um abraço.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral nula

[Claudio Buffara]

Acho que poucas áreas da matemática têm uma nomenclatura pior (menos
intuitiva) do que a teoria de Baire. G-delta, F-sigma, conjuntos de
primeira e segunda categoria, etc. É de lascar...
"Conjunto Magro" já é um pouquinho melhor.


On Mon, Aug 27, 2018 at 2:45 PM Artur Costa Steiner 
wrote:

> Eu acho que a grande maioria dos alunos iria julgar que este tipo de
> discussão não serve para nada. Pouquíssimos iriam ficar motivados.Os
> participantes desta lista são exceção.
>
> Quanto ao problema que o Cláudio propôs, uma forma de provar é com base no
> fato de que o conjunto das continuidades de uma função de R em R é um
> Gdelta (isto é uma particularização para R de funções entre espaços
> topológicos). E os racionais não sâo um Gdelta.
>
> Se Q fosse Gdelta, o conjunto dos irracionais I seria Fsigma e,
> consequentemente, estaria contido numa união enumerável de fechados. Como I
> tem interior vazio, todos estes fechados teriam interior vazio e I seria
> "magro" na classificação dr Baire. Mas isto implicaria que R =  I união Q
> fosse magro, contrariamente ao fato de que R é um espaço de Baire.
>
> Uma possível prova de que o conjunto das continuidades é Gdelta baseia-se
> no conceito de oscilaçào de uma função em um ponto e em um conjunto.
>
> Artur
>
> Em 27 de ago de 2018 11:03, "Claudio Buffara" 
> escreveu:
>
> Acho que você foi uma exceção.
>
> Se foi uma aula de cálculo normal, pra alunos normais, o mais provável é
> que mais da metade da turma não tenha entendido os detalhes técnicos e
> muito menos a significância do exemplo, já que realmente é muito difícil
> (pelo menos pra mim) visualizar a situação "patológica" de uma função
> continua nos irracionais mas descontínua nos racionais. Até porque, a meu
> ver, a definição de continuidade é, dentre todas que aparecem num curso de
> cálculo, a que leva mais tempo pra ser digerida (muito mais do que derivada
> e integral, por exemplo, em que a situação pode ser visualizada com muito
> mais facilidade).
>
> Dito isso, não acho que este exemplo vá conseguir motivar quem quer que
> seja a estudar matemática. Acho que quem se empolga com ele já foi
> "fisgado" pela matemática muito antes, talvez no ensino fundamental, e
> muito provavelmente começou a estudar cálculo antes dele ser exigido
> oficialmente na escola ou faculdade.
>
> De qualquer forma, aqui vai um problema que complementa o da função de
> Thomae (e eu não sabia que ela tinha este nome!): prove que não existe uma
> função de R em R que seja contínua nos racionais e descontínua nos
> irracionais.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Sun, Aug 26, 2018 at 4:34 PM Thácio Hahn dos Santos 
> wrote:
>
>> Uma variação interessante da segunda parte do problema, pra quem não
>> conhece, é a Função de Thomae, onde c(x) passa a valer 1/q para todo x
>> racional diferente de zero expresso por p/q, com p e q primos entre si.
>> Tomando, sem perda de generalidade, um epsilon racional 1/r, tem-se c(x) <
>> epsilon para todo x racional p/q com q > r. c(x) só pode exceder epsilon,
>> portanto, quando q <= r, restando um número finito de possibilidades para
>> q, dado algum r. Toma-se delta como a menor distância entre x e um desses
>> (finitos) pontos em que c excede epsilon. Segue que c é contínua nos
>> irracionais, ao contrário da função do problema inicial.
>> E é também Riemann-integrável com integral zero, já que o conjunto de
>> pontos em que a  função é positiva (racionais) é enumerável e portanto tem
>> medida de Lebesgue nula, sendo desprezível na integração.
>>
>> Foi a menção a essa função, por parte de um professor de Cálculo no
>> primeiro semestre da faculdade, destacando suas propriedades estranhas por
>> ser integrável em qualquer intervalo sem ser diferenciável em ponto algum,
>> que eu despertei interesse pelo Cálculo e mais especificamente pelas
>> famigeradas funções patológicas, rs. Essas curiosidades e exemplos exóticos
>> são excelentes pra chamar atenção da garotada. Fica aí uma dica aos
>> professores e futuros professores da lista.
>>
>> Um abraço.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral nula

[Artur Costa Steiner]

Eu acho que a grande maioria dos alunos iria julgar que este tipo de
discussão não serve para nada. Pouquíssimos iriam ficar motivados.Os
participantes desta lista são exceção.

Quanto ao problema que o Cláudio propôs, uma forma de provar é com base no
fato de que o conjunto das continuidades de uma função de R em R é um
Gdelta (isto é uma particularização para R de funções entre espaços
topológicos). E os racionais não sâo um Gdelta.

Se Q fosse Gdelta, o conjunto dos irracionais I seria Fsigma e,
consequentemente, estaria contido numa união enumerável de fechados. Como I
tem interior vazio, todos estes fechados teriam interior vazio e I seria
"magro" na classificação dr Baire. Mas isto implicaria que R =  I união Q
fosse magro, contrariamente ao fato de que R é um espaço de Baire.

Uma possível prova de que o conjunto das continuidades é Gdelta baseia-se
no conceito de oscilaçào de uma função em um ponto e em um conjunto.

Artur

Em 27 de ago de 2018 11:03, "Claudio Buffara" 
escreveu:

Acho que você foi uma exceção.

Se foi uma aula de cálculo normal, pra alunos normais, o mais provável é
que mais da metade da turma não tenha entendido os detalhes técnicos e
muito menos a significância do exemplo, já que realmente é muito difícil
(pelo menos pra mim) visualizar a situação "patológica" de uma função
continua nos irracionais mas descontínua nos racionais. Até porque, a meu
ver, a definição de continuidade é, dentre todas que aparecem num curso de
cálculo, a que leva mais tempo pra ser digerida (muito mais do que derivada
e integral, por exemplo, em que a situação pode ser visualizada com muito
mais facilidade).

Dito isso, não acho que este exemplo vá conseguir motivar quem quer que
seja a estudar matemática. Acho que quem se empolga com ele já foi
"fisgado" pela matemática muito antes, talvez no ensino fundamental, e
muito provavelmente começou a estudar cálculo antes dele ser exigido
oficialmente na escola ou faculdade.

De qualquer forma, aqui vai um problema que complementa o da função de
Thomae (e eu não sabia que ela tinha este nome!): prove que não existe uma
função de R em R que seja contínua nos racionais e descontínua nos
irracionais.

[]s,
Claudio.


On Sun, Aug 26, 2018 at 4:34 PM Thácio Hahn dos Santos 
wrote:

> Uma variação interessante da segunda parte do problema, pra quem não
> conhece, é a Função de Thomae, onde c(x) passa a valer 1/q para todo x
> racional diferente de zero expresso por p/q, com p e q primos entre si.
> Tomando, sem perda de generalidade, um epsilon racional 1/r, tem-se c(x) <
> epsilon para todo x racional p/q com q > r. c(x) só pode exceder epsilon,
> portanto, quando q <= r, restando um número finito de possibilidades para
> q, dado algum r. Toma-se delta como a menor distância entre x e um desses
> (finitos) pontos em que c excede epsilon. Segue que c é contínua nos
> irracionais, ao contrário da função do problema inicial.
> E é também Riemann-integrável com integral zero, já que o conjunto de
> pontos em que a  função é positiva (racionais) é enumerável e portanto tem
> medida de Lebesgue nula, sendo desprezível na integração.
>
> Foi a menção a essa função, por parte de um professor de Cálculo no
> primeiro semestre da faculdade, destacando suas propriedades estranhas por
> ser integrável em qualquer intervalo sem ser diferenciável em ponto algum,
> que eu despertei interesse pelo Cálculo e mais especificamente pelas
> famigeradas funções patológicas, rs. Essas curiosidades e exemplos exóticos
> são excelentes pra chamar atenção da garotada. Fica aí uma dica aos
> professores e futuros professores da lista.
>
> Um abraço.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral nula

[Claudio Buffara]

Meu comentário foi puramente de ordem didática e motivacional.

Numa aula de cálculo 1, em que a grande maioria dos alunos está sendo
exposta a vários conceitos novos e, talvez pela primeira vez, a
demonstrações rigorosas de teoremas, existem muitas fichas que precisam
cair antes que um exemplo tal como a função de Thomae possa ser
adequadamente compreendido. Assim, a apresentação dela em tal curso pode
até ser contraproducente do ponto de vista didático, confundindo ainda mais
alunos que já estavam confusos.

Eu acho que as pessoas que gostam de matemática são atraídas pela matéria
antes mesmo do ensino médio. E a maior parte destas descobre a matemática
por conta própria, fora das aulas oficiais da escola, já que o currículo e
os livros didáticos atuais não ajudam (a meu ver!) a despertar o interesse.

Há quem diga que continuidade só deveria ser apresentada num segundo curso
de cálculo ou num curso de análise real, após o estudante ter se acostumado
com conceitos que, do ponto de vista didático, deveriam vir antes, tais
como limites, derivadas, integrais e séries. O falecido professor Geraldo
Ávila defendia esta posição. Vide o artigo dele no no. 33 (dez/2002) da
Revista Matemática Universitária. Para uma opinião divergente, veja o
artigo da profa. Alciléia de Mello no no. 4 (dez/1986) da mesma revista.
Ambos podem ser encontrados aqui: https://rmu.sbm.org.br/artigos/

Em particular, eu gosto muito da ideia da profa. Alciléia de interpretar
epsilons e deltas como margens de erro (um conceito razoavelmente
concreto), e acho até que é possível elaborar um primeiro curso de cálculo
com base nesta ideia.

Se você pensar bem, a maioria dos conceitos do cálculo diz respeito à
aproximação de funções por meio de funções mais simples - por exemplo, a
derivada, mesmo (e talvez especialmente) em várias variáveis, é a
aproximação de uma função arbitrária (que cumpre certas condições) por meio
de uma função afim; uma série de potências é a aproximação de uma função
por um polinômio; a integral de Riemann é a aproximação de uma função
arbitrária por funções degrau; etc. E, como em todo processo de
aproximação, é preciso falar em margem de erro.

De resto, eu gostaria de ver uma aplicação da função de Thomae que não
fosse como exemplo de função contínua nos irracionais e descontínua nos
racionais. E não vale falar em "fractal", pois um exemplo melhor disso é o
da função de Weierstrass, contínua em todo ponto mas sem derivada em ponto
algum.

[]s,
Claudio.



On Mon, Aug 27, 2018 at 12:18 PM Thácio Hahn dos Santos 
wrote:

> A função foi apenas mencionada, junto com a Função de Dirichlet, e suas
> propriedades foram descritas obviamente sem ser demonstradas. Foi só um
> exemplo curioso que contraria a noção intuitiva de continuidade e mesmo de
> integrabilidade das funções mais cotidianas. Foi apenas um parênteses de 5
> minutos numa aula normal para calouros que mal sabiam integrar, não uma
> aula de análise sobre demonstração por epsilons e deltas para prodígios
> apaixonados por Matemática. O nome da função sequer foi mencionado e eu só
> fui saciar a curiosidade de entender o porquê de suas propriedades anos
> mais tarde, folheando um livro do Elon. A demonstração (bem grosseira, por
> sinal) que fiz acima foi omitida na aula e só deixei aqui supondo que
> pudesse ser útil a alguém da lista.
> Acho essa "fuga" dos assuntos mais práticos (embora a Função de Thomae não
> seja em hipótese alguma inútil ou sem aplicação) bastante saudável e era
> consenso, pelo menos na minha turma, que era preferível saber que aquilo
> que aprendemos está lastreado em definições rigorosas (que conheceríamos e
> compreenderíamos só mais tarde) e que não se sai ensinando continuidade
> como "aquele gráfico em que não se tira o lápis do papel". Mas são apenas
> opiniões.
> Em todo o caso, é possível sim que eu seja mesmo só uma exceção.
>
> Um abraço.
>
> On Aug 27, 2018 11:03 AM, "Claudio Buffara" 
> wrote:
>
> Acho que você foi uma exceção.
>
> Se foi uma aula de cálculo normal, pra alunos normais, o mais provável é
> que mais da metade da turma não tenha entendido os detalhes técnicos e
> muito menos a significância do exemplo, já que realmente é muito difícil
> (pelo menos pra mim) visualizar a situação "patológica" de uma função
> continua nos irracionais mas descontínua nos racionais. Até porque, a meu
> ver, a definição de continuidade é, dentre todas que aparecem num curso de
> cálculo, a que leva mais tempo pra ser digerida (muito mais do que derivada
> e integral, por exemplo, em que a situação pode ser visualizada com muito
> mais facilidade).
>
> Dito isso, não acho que este exemplo vá conseguir motivar quem quer que
> seja a estudar matemática. Acho que quem se empolga com ele já foi
> "fisgado" pela matemática muito antes, talvez no ensino fundamental, e
> muito provavelmente começou a estudar cálculo antes dele ser exigido
> oficialmente na escola ou faculdade.
>
> De qualquer forma, aqui vai um problema que complementa o 

Re: [obm-l] Integral nula

[Thácio Hahn dos Santos]

A função foi apenas mencionada, junto com a Função de Dirichlet, e suas
propriedades foram descritas obviamente sem ser demonstradas. Foi só um
exemplo curioso que contraria a noção intuitiva de continuidade e mesmo de
integrabilidade das funções mais cotidianas. Foi apenas um parênteses de 5
minutos numa aula normal para calouros que mal sabiam integrar, não uma
aula de análise sobre demonstração por epsilons e deltas para prodígios
apaixonados por Matemática. O nome da função sequer foi mencionado e eu só
fui saciar a curiosidade de entender o porquê de suas propriedades anos
mais tarde, folheando um livro do Elon. A demonstração (bem grosseira, por
sinal) que fiz acima foi omitida na aula e só deixei aqui supondo que
pudesse ser útil a alguém da lista.
Acho essa "fuga" dos assuntos mais práticos (embora a Função de Thomae não
seja em hipótese alguma inútil ou sem aplicação) bastante saudável e era
consenso, pelo menos na minha turma, que era preferível saber que aquilo
que aprendemos está lastreado em definições rigorosas (que conheceríamos e
compreenderíamos só mais tarde) e que não se sai ensinando continuidade
como "aquele gráfico em que não se tira o lápis do papel". Mas são apenas
opiniões.
Em todo o caso, é possível sim que eu seja mesmo só uma exceção.

Um abraço.

On Aug 27, 2018 11:03 AM, "Claudio Buffara" 
wrote:

Acho que você foi uma exceção.

Se foi uma aula de cálculo normal, pra alunos normais, o mais provável é
que mais da metade da turma não tenha entendido os detalhes técnicos e
muito menos a significância do exemplo, já que realmente é muito difícil
(pelo menos pra mim) visualizar a situação "patológica" de uma função
continua nos irracionais mas descontínua nos racionais. Até porque, a meu
ver, a definição de continuidade é, dentre todas que aparecem num curso de
cálculo, a que leva mais tempo pra ser digerida (muito mais do que derivada
e integral, por exemplo, em que a situação pode ser visualizada com muito
mais facilidade).

Dito isso, não acho que este exemplo vá conseguir motivar quem quer que
seja a estudar matemática. Acho que quem se empolga com ele já foi
"fisgado" pela matemática muito antes, talvez no ensino fundamental, e
muito provavelmente começou a estudar cálculo antes dele ser exigido
oficialmente na escola ou faculdade.

De qualquer forma, aqui vai um problema que complementa o da função de
Thomae (e eu não sabia que ela tinha este nome!): prove que não existe uma
função de R em R que seja contínua nos racionais e descontínua nos
irracionais.

[]s,
Claudio.


On Sun, Aug 26, 2018 at 4:34 PM Thácio Hahn dos Santos 
wrote:

> Uma variação interessante da segunda parte do problema, pra quem não
> conhece, é a Função de Thomae, onde c(x) passa a valer 1/q para todo x
> racional diferente de zero expresso por p/q, com p e q primos entre si.
> Tomando, sem perda de generalidade, um epsilon racional 1/r, tem-se c(x) <
> epsilon para todo x racional p/q com q > r. c(x) só pode exceder epsilon,
> portanto, quando q <= r, restando um número finito de possibilidades para
> q, dado algum r. Toma-se delta como a menor distância entre x e um desses
> (finitos) pontos em que c excede epsilon. Segue que c é contínua nos
> irracionais, ao contrário da função do problema inicial.
> E é também Riemann-integrável com integral zero, já que o conjunto de
> pontos em que a  função é positiva (racionais) é enumerável e portanto tem
> medida de Lebesgue nula, sendo desprezível na integração.
>
> Foi a menção a essa função, por parte de um professor de Cálculo no
> primeiro semestre da faculdade, destacando suas propriedades estranhas por
> ser integrável em qualquer intervalo sem ser diferenciável em ponto algum,
> que eu despertei interesse pelo Cálculo e mais especificamente pelas
> famigeradas funções patológicas, rs. Essas curiosidades e exemplos exóticos
> são excelentes pra chamar atenção da garotada. Fica aí uma dica aos
> professores e futuros professores da lista.
>
> Um abraço.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral nula

[Claudio Buffara]

Acho que você foi uma exceção.

Se foi uma aula de cálculo normal, pra alunos normais, o mais provável é
que mais da metade da turma não tenha entendido os detalhes técnicos e
muito menos a significância do exemplo, já que realmente é muito difícil
(pelo menos pra mim) visualizar a situação "patológica" de uma função
continua nos irracionais mas descontínua nos racionais. Até porque, a meu
ver, a definição de continuidade é, dentre todas que aparecem num curso de
cálculo, a que leva mais tempo pra ser digerida (muito mais do que derivada
e integral, por exemplo, em que a situação pode ser visualizada com muito
mais facilidade).

Dito isso, não acho que este exemplo vá conseguir motivar quem quer que
seja a estudar matemática. Acho que quem se empolga com ele já foi
"fisgado" pela matemática muito antes, talvez no ensino fundamental, e
muito provavelmente começou a estudar cálculo antes dele ser exigido
oficialmente na escola ou faculdade.

De qualquer forma, aqui vai um problema que complementa o da função de
Thomae (e eu não sabia que ela tinha este nome!): prove que não existe uma
função de R em R que seja contínua nos racionais e descontínua nos
irracionais.

[]s,
Claudio.


On Sun, Aug 26, 2018 at 4:34 PM Thácio Hahn dos Santos 
wrote:

> Uma variação interessante da segunda parte do problema, pra quem não
> conhece, é a Função de Thomae, onde c(x) passa a valer 1/q para todo x
> racional diferente de zero expresso por p/q, com p e q primos entre si.
> Tomando, sem perda de generalidade, um epsilon racional 1/r, tem-se c(x) <
> epsilon para todo x racional p/q com q > r. c(x) só pode exceder epsilon,
> portanto, quando q <= r, restando um número finito de possibilidades para
> q, dado algum r. Toma-se delta como a menor distância entre x e um desses
> (finitos) pontos em que c excede epsilon. Segue que c é contínua nos
> irracionais, ao contrário da função do problema inicial.
> E é também Riemann-integrável com integral zero, já que o conjunto de
> pontos em que a  função é positiva (racionais) é enumerável e portanto tem
> medida de Lebesgue nula, sendo desprezível na integração.
>
> Foi a menção a essa função, por parte de um professor de Cálculo no
> primeiro semestre da faculdade, destacando suas propriedades estranhas por
> ser integrável em qualquer intervalo sem ser diferenciável em ponto algum,
> que eu despertei interesse pelo Cálculo e mais especificamente pelas
> famigeradas funções patológicas, rs. Essas curiosidades e exemplos exóticos
> são excelentes pra chamar atenção da garotada. Fica aí uma dica aos
> professores e futuros professores da lista.
>
> Um abraço.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral nula

[Thácio Hahn dos Santos]

Uma variação interessante da segunda parte do problema, pra quem não
conhece, é a Função de Thomae, onde c(x) passa a valer 1/q para todo x
racional diferente de zero expresso por p/q, com p e q primos entre si.
Tomando, sem perda de generalidade, um epsilon racional 1/r, tem-se c(x) <
epsilon para todo x racional p/q com q > r. c(x) só pode exceder epsilon,
portanto, quando q <= r, restando um número finito de possibilidades para
q, dado algum r. Toma-se delta como a menor distância entre x e um desses
(finitos) pontos em que c excede epsilon. Segue que c é contínua nos
irracionais, ao contrário da função do problema inicial.
E é também Riemann-integrável com integral zero, já que o conjunto de
pontos em que a  função é positiva (racionais) é enumerável e portanto tem
medida de Lebesgue nula, sendo desprezível na integração.

Foi a menção a essa função, por parte de um professor de Cálculo no
primeiro semestre da faculdade, destacando suas propriedades estranhas por
ser integrável em qualquer intervalo sem ser diferenciável em ponto algum,
que eu despertei interesse pelo Cálculo e mais especificamente pelas
famigeradas funções patológicas, rs. Essas curiosidades e exemplos exóticos
são excelentes pra chamar atenção da garotada. Fica aí uma dica aos
professores e futuros professores da lista.

Um abraço.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral nula

[Claudio Buffara]

Acho que não precisa entrar na integral de Lebesgue.
Como os pontos de descontinuidade formam um conjunto de medida nula, a
Riemann-integrabilidade está provada.
Como c(x) = 0 em [0,1], exceto por um conjunto de medida nula (justamente o
conjunto de Cantor), no qual c(x) = 1, a integral só pode ser igual a zero.
Basta cobrir o conjunto de Cantor com uma união enumerável de intervalos
fechados cuja soma dos comprimentos é <= epsilon = número positivo
arbitrariamente pequeno e definir f:[0,1] -> R por f(x) = 1 se x pertence a
algum destes intervalos e f(x) = 0, caso contrário.
Então c(x) <= f(x) em [0,1] ==> Integral(0...1) c(x)dx <= Integral(0...1)
f(x)dx <= epsilon ==> Integral = 0.



On Sat, Aug 25, 2018 at 8:41 PM Artur Steiner 
wrote:

> Os argumentos estão perfeitos, mas o critério de Lebesgue só garante a
> integrabilidade de Riemann, certo? Para concluir que a integral de Riemann
> é nula, precisamos antes verificar  que a integral de Lebesgue com a medida
> de Lebesgue é nula Isto é imediato, pois o conjunto de Cantor tem esta
> medida nula. E em virtude de outro teorema, se f é Riemann integrável em um
> intervalo compacto, então f é Lebesgue integrável e as duas integrsis
> coincidem.
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em sáb, 25 de ago de 2018 19:25, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> O conjunto de Cantor é o complementar em [0,1] de uma união disjunta de
>> intervalos abertos cuja soma dos comprimento tem limite 1.
>> Logo, tem medida nula.
>> A função característica deste conjunto é descontínua em todos os seus
>> pontos, mas contínua (e igual a 0) em todos os demais pontos de [0,1], já
>> que cada um destes últimos pertence a algum intervalo aberto.
>> Assim, a função característica do conjunto de Cantor é integrável (pelo
>> critério de Lebesgue) e igual a zero.
>>
>> Já a função característica de Q é descontínua em todo ponto (qualquer
>> número real é limite de uma sequência de racionais e de uma sequência de
>> irracionais).
>> Logo, não é Riemann-integrável.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>>
>> On Sat, Aug 25, 2018 at 7:09 PM Artur Steiner <
>> artur.costa.stei...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Sendo c a função característica do conjunto de Cantor, mostre que
>>>
>>> Integral [0, 1] c(x) dx =0
>>>
>>> Explique porque os seus argumentos não vigoram se c for a função
>>> característica dos racionais.
>>>
>>> Artur Costa Steiner
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral nula

[Artur Steiner]

Os argumentos estão perfeitos, mas o critério de Lebesgue só garante a
integrabilidade de Riemann, certo? Para concluir que a integral de Riemann
é nula, precisamos antes verificar  que a integral de Lebesgue com a medida
de Lebesgue é nula Isto é imediato, pois o conjunto de Cantor tem esta
medida nula. E em virtude de outro teorema, se f é Riemann integrável em um
intervalo compacto, então f é Lebesgue integrável e as duas integrsis
coincidem.

Artur Costa Steiner

Em sáb, 25 de ago de 2018 19:25, Claudio Buffara 
escreveu:

> O conjunto de Cantor é o complementar em [0,1] de uma união disjunta de
> intervalos abertos cuja soma dos comprimento tem limite 1.
> Logo, tem medida nula.
> A função característica deste conjunto é descontínua em todos os seus
> pontos, mas contínua (e igual a 0) em todos os demais pontos de [0,1], já
> que cada um destes últimos pertence a algum intervalo aberto.
> Assim, a função característica do conjunto de Cantor é integrável (pelo
> critério de Lebesgue) e igual a zero.
>
> Já a função característica de Q é descontínua em todo ponto (qualquer
> número real é limite de uma sequência de racionais e de uma sequência de
> irracionais).
> Logo, não é Riemann-integrável.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
> On Sat, Aug 25, 2018 at 7:09 PM Artur Steiner <
> artur.costa.stei...@gmail.com> wrote:
>
>> Sendo c a função característica do conjunto de Cantor, mostre que
>>
>> Integral [0, 1] c(x) dx =0
>>
>> Explique porque os seus argumentos não vigoram se c for a função
>> característica dos racionais.
>>
>> Artur Costa Steiner
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral nula

[Claudio Buffara]

O conjunto de Cantor é o complementar em [0,1] de uma união disjunta de
intervalos abertos cuja soma dos comprimento tem limite 1.
Logo, tem medida nula.
A função característica deste conjunto é descontínua em todos os seus
pontos, mas contínua (e igual a 0) em todos os demais pontos de [0,1], já
que cada um destes últimos pertence a algum intervalo aberto.
Assim, a função característica do conjunto de Cantor é integrável (pelo
critério de Lebesgue) e igual a zero.

Já a função característica de Q é descontínua em todo ponto (qualquer
número real é limite de uma sequência de racionais e de uma sequência de
irracionais).
Logo, não é Riemann-integrável.

[]s,
Claudio.



On Sat, Aug 25, 2018 at 7:09 PM Artur Steiner 
wrote:

> Sendo c a função característica do conjunto de Cantor, mostre que
>
> Integral [0, 1] c(x) dx =0
>
> Explique porque os seus argumentos não vigoram se c for a função
> característica dos racionais.
>
> Artur Costa Steiner
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Integral nula

[Artur Steiner]

Sendo c a função característica do conjunto de Cantor, mostre que

Integral [0, 1] c(x) dx =0

Explique porque os seus argumentos não vigoram se c for a função
característica dos racionais.

Artur Costa Steiner

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral interessante

[Artur Costa Steiner]

É isso mesmo. E os limites são 0 e 1, digitei errado.

Aquela outra integral também não é tão difícil quando se conhecem as
propriedades da funçào gama.

Artur

Em qui, 2 de ago de 2018 21:53, Claudio Buffara 
escreveu:

> Os limites de integração devem ser 0 e 1 e não 0 e +infinito.
>
> Esse é um resultado relativamente conhecido e o truque-padrão é usar a
> substituição x = e^(-t).
>
> Daí, Integral(0...1) x^(-x)*dx vira Integral(0...+infinito)
> e^(t*e^(-t))*e^(-t)*dt.
> Expressando e^((t*e^(-t)) em série e fazendo algumas manipulações
> algébricas, você cai numa série infinita de integrais que são, de fato,
> expressões pra função Gama.
> Mais alguma álgebra e o resultado sai.
>
> []s,
> Claudio.
>
> 2018-08-01 21:13 GMT-03:00 Artur Steiner :
>
>> Mostre que
>>
>> Int (0 a oo) dx/x^x = 1/1^1 + 1/2^2 ... + 1/n^n 
>>
>> Artur Costa Steiner
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral interessante

[Claudio Buffara]

Os limites de integração devem ser 0 e 1 e não 0 e +infinito.

Esse é um resultado relativamente conhecido e o truque-padrão é usar a
substituição x = e^(-t).

Daí, Integral(0...1) x^(-x)*dx vira Integral(0...+infinito)
e^(t*e^(-t))*e^(-t)*dt.
Expressando e^((t*e^(-t)) em série e fazendo algumas manipulações
algébricas, você cai numa série infinita de integrais que são, de fato,
expressões pra função Gama.
Mais alguma álgebra e o resultado sai.

[]s,
Claudio.

2018-08-01 21:13 GMT-03:00 Artur Steiner :

> Mostre que
>
> Int (0 a oo) dx/x^x = 1/1^1 + 1/2^2 ... + 1/n^n 
>
> Artur Costa Steiner
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral interessante

[luciano rodrigues]

De acordo com wolfram essa integral dá aproximadamente 1,995 e o somatório dá 
1,291.
http://m.wolframalpha.com/input/?i=integral+x%5E%28-x%29+from+0+to+infinity

http://m.wolframalpha.com/input/?i=sigma+n%5E%28-n%29

> Em 1 de ago de 2018, às 21:13, Artur Steiner  
> escreveu:
> 
> Mostre que
> 
> Int (0 a oo) dx/x^x = 1/1^1 + 1/2^2 ... + 1/n^n 
> 
> Artur Costa Steiner
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Integral trivial... para alguns

[Artur Steiner]

Mostre que, para a > 1/2 e b > 0,

Int [0, oo) dx/(x^a + b)^2 = Γ(2 - 1/a) Γ(1/a) / (a *b^{2-1/a})

sendo Γ a função gama.

Artur Costa Steiner

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Integral interessante

[Artur Steiner]

Mostre que

Int (0 a oo) dx/x^x = 1/1^1 + 1/2^2 ... + 1/n^n 

Artur Costa Steiner

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Integral complexa (no sentido de análise complexa)

[Artur Steiner]

Acho este aqui bem legal. Espero que alguém tente resolver.

Sejam P(z) = z^n (z - 2) - 1, n inteiro positivo, e C a periferia do disco
aberto D(0, 1). Mostre que:

1) I(n) = Integral (sobre C) dz/P(z) existe para todo n

2) Dentre as n + 1 raízes de P (contando suas ordens), existe uma real
(chamemos de r), tal que r > 1e tal que é possível expressar I(n) em função
de r e de n. Determine esta expressão em forma fechada.

Sugestão: Teoremas de Rouché e das raízes interiores exteriores.

Artur Costa Steiner

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral

[Anderson Torres]

Em 18 de agosto de 2017 22:19, Artur Costa Steiner
 escreveu:
> Nada do que tentei levou a uma solução fechada. Mas pode ser que alguém
> consiga.
>
> Artur
>
> Enviado do meu iPad
>
> Em 18 de ago de 2017, às 7:11 PM, Pacini Bores 
> escreveu:
>
> Olá , a integral de x^2.(secx)^2 tem solução fechada?

O Wolfram diz que não...

>
> Agradeço desde já
>
> Pacini
>
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] Integral

[Artur Costa Steiner]

Nada do que tentei levou a uma solução fechada. Mas pode ser que alguém consiga.

Artur

Enviado do meu iPad

> Em 18 de ago de 2017, às 7:11 PM, Pacini Bores  
> escreveu:
> 
> Olá , a integral de x^2.(secx)^2 tem solução fechada?
> 
> Agradeço desde já
> 
> Pacini
> 
>  
> 
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Integral

[Pacini Bores]

 

Olá , a integral de x^2.(secx)^2 tem solução fechada? 

Agradeço desde já 

Pacini 
 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Integral

[nepier]

 

Ajuda na solução dessa integral 
 
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0πsenθcosθdθa2.docx
Description: MS-Word 2007 document

Re: [obm-l] Integral complexa

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2017-06-26 3:06 GMT+02:00 Artur Costa Steiner :
> Esse me parece interessante

+1 ;-)

Dica: estude a função z^n(z - 2).

> Sejam P_n o polinômio definido nos complexos por P_n(z) = (z^n) (z - 2)  -  
> 1, n inteiro  positivo, e c a circunferência do disco aberto D(0, 1) . 
> Mostre que:
>
> 1) I_n = Integral_c dz/(P_n(z)) existe para todo n
>
> 2) Dentre os zeros de P_n, existe um, z_n, tal que I_n pode ser expresso em 
> forma fechada como função de n e de z_n.
>
> 3) lim n --> oo I_n = 0
>
> Abraços
>
> Artur
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =



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Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Integral complexa

[Artur Costa Steiner]

Esse me parece interessante

Sejam P_n o polinômio definido nos complexos por P_n(z) = (z^n) (z - 2)  -  1, 
n inteiro  positivo, e c a circunferência do disco aberto D(0, 1) . Mostre que:

1) I_n = Integral_c dz/(P_n(z)) existe para todo n

2) Dentre os zeros de P_n, existe um, z_n, tal que I_n pode ser expresso em 
forma fechada como função de n e de z_n.

3) lim n --> oo I_n = 0

Abraços

Artur



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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Integral e Derivada

[Anselmo Alves de Sousa]

Muito obrigado Carlos,

Ficou bem claro e didático. Estou enferrujado nas derivadas parciais!

Abs,
Sousa

Em 9 de fevereiro de 2017 13:18, Carlos Gomes 
escreveu:

> Ola Anselmo. Tenho sugestoes:
>
> 1) Na primeira, \sqrt(1-cosx) < ou = \sqrt(2) pois a expressao
> \sqrt(1-cosx) assume o seu maior valor quando cosx=-1. Assim,
>
> \int_1^{\infty} \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{x^3}} dx < ou =
>
> \int_1^{\infty} \sqrt{\frac{\sqrt(2)}{x^3}} dx =
>
> \sqrt(2)\int_1^{\infty} \sqrt{\frac{1}{x^3}} dx =
>
> \sqrt(2). lim_{a \to \infty} \int_1^a {\frac{1}{x^3}}^{1/2} dx =
>
> \sqrt(2). lim_{a \to \infty} \int_1^a x^{-3/2} dx =
>
> \sqrt(2). lim_{a \to \infty} [x^{-1/2}/(-1/2) ] =
>
> -2\sqrt(2). lim_{a \to \infty} [ 1/\sqrt{x}]_1^a =
>
> -2\sqrt(2). lim_{a \to \infty} [ /\sqrt{a} - /\sqrt{1} ] =
>
> -2\sqrt(2). [ 0-1 ] = 2\sqrt(2)  <  3.
>
>
> 2) Essa basta aplicar diretamente a formula:
>
> se F(x)=\int_a(x)^b(x) g(x,y)dy , entao
>
> F'(x) = g(x,b(x)).b'(x) - g(x,a(x)).a'(x)  +  \int_a(x)^b(x) d/dx
> g(x,y)dy
>
>  [essa ultima derivada que aparece nessa ultima integral e a derivada
> parcial em relacao a x]
>
> No caso da sua questao,  a(x)=x , b(x)=\sqrt{x} , g(x,y)= exp(xy^2)/y.
>
> Pronto...faz essas continhas que agora sai...se nao consegir me fala aue
> termino p vc, eh que estou num pc com um teclado sem conficuracao em
> portugues eh horrivel para digitar...por isso nao pus nenhum acento.
>
> Abraco, Cgomes.
>
>
>
>
>
>
>
>
> Em 9 de fevereiro de 2017 14:47, Anselmo Alves de Sousa <
> starterm...@gmail.com> escreveu:
>
>> Muito grato pela disca, mas ainda não consegui. A primeira, segundo a
>> resposta f(x) é integrável no intervalo e não supera 3. Na segunda cheguei
>> perto, mas ainda não entendi a parte 'derivando dentro da integral'. Se
>> puder resolver, agradeço!
>>
>> sds,
>> Sousa
>>
>> Em 8 de fevereiro de 2017 21:19, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
>> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> 2017-02-08 16:26 GMT-02:00 Anselmo Alves de Sousa >> >:
>>> > Solicito auxílio pra resolver:
>>> >
>>> > 1. \int_1^{\infty} \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{x^3}} dx
>>>
>>> Ela é claramente finita.
>>> O *quanto* ela vale, acho que só numericamente; acho que nem com
>>> resíduos sai.  E como o integrando nem é diferenciável, vai dar
>>> trabalho...
>>>
>>> > 2. obter a derivada de f(x) = \int_{x}^{\sqrt{x}}\frac{\exp(xy^2)}{y}
>>> dy
>>>
>>> Tem que ter cuidado com a derivada, mas não é difícil.  Você vai ficar
>>> com três termos: um derivando no limite inferior, outro no limite
>>> superior (! cuidado: regra da cadeia para a sqrt) e depois a derivada
>>> dentro da integral.  A "parte boa" é que a derivada dentro da integral
>>> fará aparecer um y^2 que permite efetuar analiticamente a integral
>>> depois da mudança t = y^2, dt = 2ydy. (antes não daria certo)
>>>
>>> Abraços,
>>> --
>>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> 
>>> =
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral e Derivada

[Carlos Gomes]

Ola Anselmo. Tenho sugestoes:

1) Na primeira, \sqrt(1-cosx) < ou = \sqrt(2) pois a expressao
\sqrt(1-cosx) assume o seu maior valor quando cosx=-1. Assim,

\int_1^{\infty} \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{x^3}} dx < ou =

\int_1^{\infty} \sqrt{\frac{\sqrt(2)}{x^3}} dx =

\sqrt(2)\int_1^{\infty} \sqrt{\frac{1}{x^3}} dx =

\sqrt(2). lim_{a \to \infty} \int_1^a {\frac{1}{x^3}}^{1/2} dx =

\sqrt(2). lim_{a \to \infty} \int_1^a x^{-3/2} dx =

\sqrt(2). lim_{a \to \infty} [x^{-1/2}/(-1/2) ] =

-2\sqrt(2). lim_{a \to \infty} [ 1/\sqrt{x}]_1^a =

-2\sqrt(2). lim_{a \to \infty} [ /\sqrt{a} - /\sqrt{1} ] =

-2\sqrt(2). [ 0-1 ] = 2\sqrt(2)  <  3.


2) Essa basta aplicar diretamente a formula:

se F(x)=\int_a(x)^b(x) g(x,y)dy , entao

F'(x) = g(x,b(x)).b'(x) - g(x,a(x)).a'(x)  +  \int_a(x)^b(x) d/dx
g(x,y)dy

 [essa ultima derivada que aparece nessa ultima integral e a derivada
parcial em relacao a x]

No caso da sua questao,  a(x)=x , b(x)=\sqrt{x} , g(x,y)= exp(xy^2)/y.

Pronto...faz essas continhas que agora sai...se nao consegir me fala aue
termino p vc, eh que estou num pc com um teclado sem conficuracao em
portugues eh horrivel para digitar...por isso nao pus nenhum acento.

Abraco, Cgomes.








Em 9 de fevereiro de 2017 14:47, Anselmo Alves de Sousa <
starterm...@gmail.com> escreveu:

> Muito grato pela disca, mas ainda não consegui. A primeira, segundo a
> resposta f(x) é integrável no intervalo e não supera 3. Na segunda cheguei
> perto, mas ainda não entendi a parte 'derivando dentro da integral'. Se
> puder resolver, agradeço!
>
> sds,
> Sousa
>
> Em 8 de fevereiro de 2017 21:19, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>
>> 2017-02-08 16:26 GMT-02:00 Anselmo Alves de Sousa > >:
>> > Solicito auxílio pra resolver:
>> >
>> > 1. \int_1^{\infty} \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{x^3}} dx
>>
>> Ela é claramente finita.
>> O *quanto* ela vale, acho que só numericamente; acho que nem com
>> resíduos sai.  E como o integrando nem é diferenciável, vai dar
>> trabalho...
>>
>> > 2. obter a derivada de f(x) = \int_{x}^{\sqrt{x}}\frac{\exp(xy^2)}{y}
>> dy
>>
>> Tem que ter cuidado com a derivada, mas não é difícil.  Você vai ficar
>> com três termos: um derivando no limite inferior, outro no limite
>> superior (! cuidado: regra da cadeia para a sqrt) e depois a derivada
>> dentro da integral.  A "parte boa" é que a derivada dentro da integral
>> fará aparecer um y^2 que permite efetuar analiticamente a integral
>> depois da mudança t = y^2, dt = 2ydy. (antes não daria certo)
>>
>> Abraços,
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
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>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral e Derivada

[Anselmo Alves de Sousa]

Muito grato pela disca, mas ainda não consegui. A primeira, segundo a
resposta f(x) é integrável no intervalo e não supera 3. Na segunda cheguei
perto, mas ainda não entendi a parte 'derivando dentro da integral'. Se
puder resolver, agradeço!

sds,
Sousa

Em 8 de fevereiro de 2017 21:19, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> 2017-02-08 16:26 GMT-02:00 Anselmo Alves de Sousa :
> > Solicito auxílio pra resolver:
> >
> > 1. \int_1^{\infty} \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{x^3}} dx
>
> Ela é claramente finita.
> O *quanto* ela vale, acho que só numericamente; acho que nem com
> resíduos sai.  E como o integrando nem é diferenciável, vai dar
> trabalho...
>
> > 2. obter a derivada de f(x) = \int_{x}^{\sqrt{x}}\frac{\exp(xy^2)}{y} dy
>
> Tem que ter cuidado com a derivada, mas não é difícil.  Você vai ficar
> com três termos: um derivando no limite inferior, outro no limite
> superior (! cuidado: regra da cadeia para a sqrt) e depois a derivada
> dentro da integral.  A "parte boa" é que a derivada dentro da integral
> fará aparecer um y^2 que permite efetuar analiticamente a integral
> depois da mudança t = y^2, dt = 2ydy. (antes não daria certo)
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Integral e Derivada

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2017-02-08 16:26 GMT-02:00 Anselmo Alves de Sousa :
> Solicito auxílio pra resolver:
>
> 1. \int_1^{\infty} \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{x^3}} dx

Ela é claramente finita.
O *quanto* ela vale, acho que só numericamente; acho que nem com
resíduos sai.  E como o integrando nem é diferenciável, vai dar
trabalho...

> 2. obter a derivada de f(x) = \int_{x}^{\sqrt{x}}\frac{\exp(xy^2)}{y} dy

Tem que ter cuidado com a derivada, mas não é difícil.  Você vai ficar
com três termos: um derivando no limite inferior, outro no limite
superior (! cuidado: regra da cadeia para a sqrt) e depois a derivada
dentro da integral.  A "parte boa" é que a derivada dentro da integral
fará aparecer um y^2 que permite efetuar analiticamente a integral
depois da mudança t = y^2, dt = 2ydy. (antes não daria certo)

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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[obm-l] Integral e Derivada

[Anselmo Alves de Sousa]

Solicito auxílio pra resolver:

1. \int_1^{\infty} \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{x^3}} dx

2. obter a derivada de f(x) = \int_{x}^{\sqrt{x}}\frac{\exp(xy^2)}{y} dy

[]'s
Sousa

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[obm-l] Re: [obm-l] Integral definida: dúvida básica

[Israel Meireles Chrisostomo]

Artur se vc tiver tempo, pode me dizer se esta demonstração que fiz está
correta?
https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxpc3JhZWxtY2hyaXNvc3RvbW98Z3g6YzY5ZTlkNTEyY2Y3ZWE1

Em 5 de outubro de 2015 20:00, Artur Costa Steiner 
escreveu:

> Isso é muito comum quando não se exige rigor matemático. Muito professores
> de Física costumam fazer isto. Mas na realidade está conceitualmente
> errado. Uma mesma variável não pode aparecer como argumento do integrando e
> como limite de integração.
>
> Por exemplo, Integral [1, x] 1/x dx é matematicamente sem sentido.
>
>
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em 5 de out de 2015, às 18:56, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
> se eu integrar com um dos intervalos de integração na mesma variável
> que a variável x do dx, tem problema?Tipo int 0 to x, f(x) dx, o x do dx e
> o x do intervalo, é errado?
>
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Re: [obm-l] Integral definida: dúvida básica

[Artur Costa Steiner]

Isso é muito comum quando não se exige rigor matemático. Muito professores de 
Física costumam fazer isto. Mas na realidade está conceitualmente errado. Uma 
mesma variável não pode aparecer como argumento do integrando e como limite de 
integração. 

Por exemplo, Integral [1, x] 1/x dx é matematicamente sem sentido.



Artur Costa Steiner

> Em 5 de out de 2015, às 18:56, Israel Meireles Chrisostomo 
>  escreveu:
> 
> se eu integrar com um dos  intervalos de integração na mesma variável que 
> a variável x do dx, tem problema?Tipo int 0 to x, f(x) dx, o x do dx e o x 
> do intervalo, é errado?
> 
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[obm-l] Integral definida: dúvida básica

[Israel Meireles Chrisostomo]

se eu integrar com um dos intervalos de integração na mesma variável que a
variável x do dx, tem problema?Tipo int 0 to x, f(x) dx, o x do dx e o x do
intervalo, é errado?

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Re: [obm-l] Integral interessante

[Artur Costa Steiner]

É isso aí. Parecia extremamente complicado, não é? Para mostrar a convergência, 
podemos também comparar com lnz/(z^2). Esta é fácil de integrar de 1 a oo e 
converge.

Artur Costa Steiner

> Em 07/01/2015, às 18:17, Ralph Teixeira  escreveu:
> 
> Gostei, bem bonitinho!
> 
> Primeiro faremos x=az onde 0 
> I(a)=1/a * Int (0,+Inf) (lna+lnz) / (z^2+1) dz
> 
> A parte do lna nao eh dificil, cai em arctan(z)... Esta parte deu pi.lna/(2a).
> 
> Agora para a outra parte do lnz/(z^2+1)... vamos dividir a integral em duas: 
> uma de 0 a 1, a outra de 1 a +Inf. Na primeira parte, tomemos w=1/z:
> 
> Int (0,1) lnz/(z^2+1) dz = Int (+Inf,1) -lnw / (1/w^2 + 1) . (-1/w^2) dw = 
> Int (1,+Inf) -lnw/(w^2+1) dw
> 
> Entao, supondo que tudo converge bonitinho, a integral de 0 a 1 CANCELA a 
> integral de 1 a +Inf! Portanto, a resposta eh mesmo apenas pi.lna/(2a).
> 
> (Fica faltando a parte de mostrar que essas integrais improprias convergem, 
> mas isto eh mais facil -- compare com 1/z^(1.5), por exemplo, perto de 
> z=+Inf.)
> 
> Abraco, Ralph.
> 
> 
> 2015-01-07 9:23 GMT-02:00 Artur Costa Steiner :
>> Para a > 0, determinar
>> 
>> I(a) = Int (0, oo) ln(x)/(x^2 + a^2)
>> 
>> Abraços.
>> 
>> Artur Costa Steiner
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> 
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
> 
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Re: [obm-l] Integral interessante

[Ralph Teixeira]

Gostei, bem bonitinho!

Primeiro faremos x=az onde 0:

> Para a > 0, determinar
>
> I(a) = Int (0, oo) ln(x)/(x^2 + a^2)
>
> Abraços.
>
> Artur Costa Steiner
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Integral interessante

[saulo nilson]

x=ae^y
dx=ae^ydy
I=Int (lna+y)e^ydy/a(e^2y+1)=(1/2a)(lnaInt dy/coshy+
+Int ydy/coshy)=
=(1/2a)(-1/2 i (Li_2(-i e^(-y))-Li_2(i e^(-y))-y(log(1-i e^(-y))-log(1+i
e^(-y
y=-oo e oo

ine
2015-01-07 9:23 GMT-02:00 Artur Costa Steiner :

> Para a > 0, determinar
>
> I(a) = Int (0, oo) ln(x)/(x^2 + a^2)
>
> Abraços.
>
> Artur Costa Steiner
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Integral interessante

[Artur Costa Steiner]

Para a > 0, determinar

I(a) = Int (0, oo) ln(x)/(x^2 + a^2)

Abraços.

Artur Costa Steiner
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Re: [obm-l] Integral

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2014-11-27 13:39 GMT-02:00 João Sousa :
> Pessoal, gostaria de uma solução para:
>
> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{\sqrt{2\pi \theta}}
> \exp{-\frac{x^2}{2\theta}} dx.

Faça por partes. Dica extra: calcule a derivada de exp(-x^2).
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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[obm-l] Integral

[João Sousa]

Pessoal, gostaria de uma solução para: 
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{\sqrt{2\pi \theta}} 
\exp{-\frac{x^2}{2\theta}} dx.
[]'s
João Sousa
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Re: [obm-l] Integral definida

[Artur Costa Steiner]

Vamos fazer algo geral, para facilitar. Seja f uma função
integrável, simétrica com relação ao eixo vertical x = a, tal que Int [0,
2a] f(x) dx = A. Caso de f(x) = exp((x - 2)^4), com a = 2

Temos que F'(x) = f(x) e que F(2a) = A

Seja I = Int[0, 2a] F(x) dx

Por partes, com u = F e dv = dx, obtemos,

I = [x F(x)] [0 a 2a] - Int [0, 2a] x F'(x) dx = 2a F(2a) - 0 F(0) - Int
[0, 2a] x f(x) dx

I = 2aA - Int [0, 2a] x f(x) dx (1)


Temos ainda que

Int [0, 2a] x f(x) dx = Int [-a, a] (x + a) f(x + a) dx = Int [-a, a] x f(x
+ a) dx + a Int [-a, a] f(x + a) dx

Como f é simétrica com relação ao eixo x = a, f(x + a) é simétrica com
relação ao eixo x = a - a = 0, ou seja, é uma função par. Logo x f(x + a) é
ímpar, de modo que sua integral sobre [-a, a] é 0. E Int [-a, a] f(x + a)
dx = Int [0, 2a] f(x) dx = A. Logo,

Int [[0, 2a] x f(x) dx = 0 + aA = aA

Finalmente, de (1) concluímos que

Int [0, 2a] F(x) dx = 2aA - aA = aA

No caso dado, a = 2 e a integral pedida é 2A.

Artur





Em segunda-feira, 3 de novembro de 2014, Amanda Merryl 
escreveu:

> Bom dia a todos. Gostaria de alguma ajuda aqui.
>
> É dado que Int [0, 4] exp((t - 2)^4) dt  = A. Seja F dada por F(x) = Int
> [0, x] exp((t - 2)^4) dt. Determine Int [0, 4] F(x) dx.
>
> Obrigada
>
> Amanda
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Integral definida

[Amanda Merryl]

Bom dia a todos. Gostaria de alguma ajuda aqui.

É dado que Int [0, 4] exp((t - 2)^4) dt  = A. Seja F dada por F(x) = Int [0, x] 
exp((t - 2)^4) dt. Determine Int [0, 4] F(x) dx.

Obrigada

Amanda
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[obm-l] Re: [obm-l] integral alguém se habilita?

[saulo nilson]

I=itntegral
I (10x^2+18)/3sqrt2sqrt(x^2+2)(5x^2+9)  dx
I 10x^2/3sqrt2sqrt(5x^4+19x^2+18)+6/sqrt(2)sqrt(5x^4+19x^2+18) dx
I 6/sqrt(2)sqrt(5x^4+19x^2+18) dx
= 6/sqrt2 I 1/sqrt((sqrt5*x^2+19/2sqrt5)^2+18-(19/2sqrt5)^2)
5x^2+19/2sqrt5=u
10xdx=du
dx=du/10x
=du/10sqrt(u-19/2sqrt5)/5
=6sqrt5/10*sqrt2 * I 1/sqrt(u-19/2sqrt5)sqrt (u^2+18-(19/2sqrt5))
e catalogada em livros
vc tem que fazer a substituiçao
1/(u-19/2sqrt5)=y
que cai em outra integral catalogada







2014-02-28 14:27 GMT-03:00 Hermann :

>  integrate (sqrt((10x^2+18)/(9x^2+18))) dx
>
> alguém saberia fazer?
>
> coloquei no Wolfram e me assustei, abraços Hermann
>
> --
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[obm-l] integral alguém se habilita?

[Hermann]

integrate (sqrt((10x^2+18)/(9x^2+18))) dx

alguém saberia fazer?

coloquei no Wolfram e me assustei, abraços Hermann
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RE: [obm-l] Integral

[João Maldonado]

Eu não entendi muito qual a integral (seria melhor delimitar as multiplicações 
com parênteses para fica mais claro)
Se o que você disse foi 
integral x^(-1/2) . (x+1) . dx = integral (x^(1/2) + x^(-1/2))dx
O resultado dá 2/3 x^(3/2) + 2 x^(1/2)

Se foi integral dx/( x^(1/2) (x+1))
Faça a substituição x = tg²y, se eu não me engano dá 2arctg(x^(1/2))

> Date: Thu, 24 Oct 2013 17:22:11 -0200
> From: wag...@impa.br
> To: obm-l@mat.puc-rio.br; saulo.nil...@gmail.com
> Subject: Re: [obm-l] Integral
> 
> 
> f(x)=ln(sqrt(x)-1)-ln(sqrt(x)+1)
> 
> 
> 
> Quoting saulo nilson :
> 
> > x=tany
> >
> > R=lnseny=lnx/(1+x^2)
> >
> >
> >
> > 2013/10/23 Prof Marcus 
> >
> >> Alguém pode dar uma ideia nessa integral?
> >>
> >> integral dx/x^1/2(x+1)
> >>
> >> obrigado
> >>
> >>
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >  acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
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> This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.
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Re: [obm-l] Integral

[wagner]

f(x)=ln(sqrt(x)-1)-ln(sqrt(x)+1)



Quoting saulo nilson :


x=tany

R=lnseny=lnx/(1+x^2)



2013/10/23 Prof Marcus 


Alguém pode dar uma ideia nessa integral?

integral dx/x^1/2(x+1)

obrigado



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Re: [obm-l] Integral

[Athos Cotta Couto]

Tomando x^(1/2) = u => du/dx = 1/(2*x^(1/2)) = > dx/x^(1/2) = 2*du
Substituindo na integral, obtemos:
integral de 2*du/(u^2+1) = 2*arctg(u) + K = 2*arctg(x^1/2) + K


Em 24 de outubro de 2013 06:05, saulo nilson escreveu:

> ln(x/sqrt(1+x^2))
>
>
> 2013/10/24 saulo nilson 
>
>> x=tany
>>
>> R=lnseny=lnx/(1+x^2)
>>
>>
>>
>> 2013/10/23 Prof Marcus 
>>
>>> Alguém pode dar uma ideia nessa integral?
>>>
>>> integral dx/x^1/2(x+1)
>>>
>>> obrigado
>>>
>>>
>>>
>>> --
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>>
>>
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Re: [obm-l] Integral

[saulo nilson]

ln(x/sqrt(1+x^2))


2013/10/24 saulo nilson 

> x=tany
>
> R=lnseny=lnx/(1+x^2)
>
>
>
> 2013/10/23 Prof Marcus 
>
>> Alguém pode dar uma ideia nessa integral?
>>
>> integral dx/x^1/2(x+1)
>>
>> obrigado
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>

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Re: [obm-l] Integral

[saulo nilson]

x=tany

R=lnseny=lnx/(1+x^2)



2013/10/23 Prof Marcus 

> Alguém pode dar uma ideia nessa integral?
>
> integral dx/x^1/2(x+1)
>
> obrigado
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Integral

[Prof Marcus]

Alguém pode dar uma ideia nessa integral?

integral dx/x^1/2(x+1)

obrigado

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Re: [obm-l] Integral

[Bob Roy]

Obrigado Bernardo pela linda solução.

Bob


Em 28 de julho de 2013 17:26, Artur Costa Steiner
escreveu:

> Numa primeira análise, podemos afirmar que esta integral existe. Para x >
> 1, |(e^(-x) - e^(-ex))/x| < 1. Como a integral de 1 a oo de e^(-x) -
> e^(-ex) claramente existe e é finita, a sua integral existe e é finita em
> [1, oo). Na realidade, é positiva, pois o integrando é positivo.
>
> Assim, se a integral imprópria sobre (0, 1] for finita, a integral sobre
> (0, oo) existirá. Temos que o integrando é uma função contínua em (0, 1] e
> que  lim x --> 0+ (e^(-x) - e^-ex)/x =  e - 1. Logo, a função é limitada em
> (0, 1]. Se vc extender o domínio para [0, oo) definindo g(0) = e - 1, vc
> obtém uma função contínua, logo integrável, em [0, 1]. E esta integral é
> igual à integral imprópria da função original sobre (0, 1].
>
> Assim, sua integral existe e é finita sobre (0, oo). Mas determiná-la,
>  não parece uma tarefa fácil. Achar a primitiva em forma fechada, acho que
> não dá.
>
>
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em 28/07/2013, às 16:43, Bob Roy  escreveu:
>
> > Olá pessoal,
> >
> > a integral acabou não sendo enviada.
> >
> > integral de zero a infinito de ( e^(-x) - e^(-ex))/x .
> >
> > Obrigado
> >
> > Bob
> >
> >
> >
> > --
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> > acredita-se estar livre de perigo.
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>
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Re: [obm-l] Integral

[Artur Costa Steiner]

Grande solução , Bernardo. Eu ia tentar por resíduos, mas esta foi melhor!

Artur

Em domingo, 28 de julho de 2013, Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu:

> 2013/7/28 Artur Costa Steiner >:
> > Numa primeira análise, podemos afirmar que esta integral existe. Para x
> > 1, |(e^(-x) - e^(-ex))/x| < 1. Como a integral de 1 a oo de e^(-x) -
> e^(-ex) claramente existe e é finita, a sua integral existe e é finita em
> [1, oo). Na realidade, é positiva, pois o integrando é positivo.
> >
> > Assim, se a integral imprópria sobre (0, 1] for finita, a integral sobre
> (0, oo) existirá. Temos que o integrando é uma função contínua em (0, 1] e
> que  lim x --> 0+ (e^(-x) - e^-ex)/x =  e - 1. Logo, a função é limitada em
> (0, 1]. Se vc extender o domínio para [0, oo) definindo g(0) = e - 1, vc
> obtém uma função contínua, logo integrável, em [0, 1]. E esta integral é
> igual à integral imprópria da função original sobre (0, 1].
> >
> > Assim, sua integral existe e é finita sobre (0, oo). Mas determiná-la,
>  não parece uma tarefa fácil. Achar a primitiva em forma fechada, acho que
> não dá.
>
> Queremos integrar [ exp(-x) - exp(-ex) ]/x de 0 a infinito, e o Artur
> já fez o favor de mostrar que a integral existe. Agora é só calcular.
> Vamos por integrais impróprias, mesmo que eu ache que deve ter uma
> solução usando resíduos:
>
> I = limite eps->0 int_eps^infinito  [ exp(-x) - exp(-ex) ]/x dx. Chame
> essa integral de I_eps.
>
> I_eps = int_eps^infinito exp(-x)/x dx - int_eps^infinito exp(-ex)/x dx
> = I_eps_1 - I_eps_2.
>
> Agora, faça uma mudança de variáveis y = ex na segunda integral, ela vira
>
> I_eps_2 = int_eps^infinito exp(-ex)/x dx = int_(e * eps)^infinito
> exp(-y)  dy (Note que dx/x = dy/y para y = k*x, qualquer que seja k).
>
> Assim, I_eps = integral de eps até (e * eps) exp(-x) dx/x = integral
> de 1 até e de exp(-u*eps) du/u (para x = u*eps, mesma observação
> anterior)
>
> Mas quando eps->0, o integrando tende (uniformemente ! em [1,e]) à
> função 1/u. E essa integral é o logaritmo de e, ou seja, 1.
>
> Abraços,
>
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

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Re: [obm-l] Integral

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/7/28 Artur Costa Steiner :
> Numa primeira análise, podemos afirmar que esta integral existe. Para x > 1, 
> |(e^(-x) - e^(-ex))/x| < 1. Como a integral de 1 a oo de e^(-x) - e^(-ex) 
> claramente existe e é finita, a sua integral existe e é finita em [1, oo). Na 
> realidade, é positiva, pois o integrando é positivo.
>
> Assim, se a integral imprópria sobre (0, 1] for finita, a integral sobre (0, 
> oo) existirá. Temos que o integrando é uma função contínua em (0, 1] e que  
> lim x --> 0+ (e^(-x) - e^-ex)/x =  e - 1. Logo, a função é limitada em (0, 
> 1]. Se vc extender o domínio para [0, oo) definindo g(0) = e - 1, vc obtém 
> uma função contínua, logo integrável, em [0, 1]. E esta integral é igual à 
> integral imprópria da função original sobre (0, 1].
>
> Assim, sua integral existe e é finita sobre (0, oo). Mas determiná-la,  não 
> parece uma tarefa fácil. Achar a primitiva em forma fechada, acho que não dá.

Queremos integrar [ exp(-x) - exp(-ex) ]/x de 0 a infinito, e o Artur
já fez o favor de mostrar que a integral existe. Agora é só calcular.
Vamos por integrais impróprias, mesmo que eu ache que deve ter uma
solução usando resíduos:

I = limite eps->0 int_eps^infinito  [ exp(-x) - exp(-ex) ]/x dx. Chame
essa integral de I_eps.

I_eps = int_eps^infinito exp(-x)/x dx - int_eps^infinito exp(-ex)/x dx
= I_eps_1 - I_eps_2.

Agora, faça uma mudança de variáveis y = ex na segunda integral, ela vira

I_eps_2 = int_eps^infinito exp(-ex)/x dx = int_(e * eps)^infinito
exp(-y)  dy (Note que dx/x = dy/y para y = k*x, qualquer que seja k).

Assim, I_eps = integral de eps até (e * eps) exp(-x) dx/x = integral
de 1 até e de exp(-u*eps) du/u (para x = u*eps, mesma observação
anterior)

Mas quando eps->0, o integrando tende (uniformemente ! em [1,e]) à
função 1/u. E essa integral é o logaritmo de e, ou seja, 1.

Abraços,

-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Integral

[Artur Costa Steiner]

Numa primeira análise, podemos afirmar que esta integral existe. Para x > 1, 
|(e^(-x) - e^(-ex))/x| < 1. Como a integral de 1 a oo de e^(-x) - e^(-ex) 
claramente existe e é finita, a sua integral existe e é finita em [1, oo). Na 
realidade, é positiva, pois o integrando é positivo.

Assim, se a integral imprópria sobre (0, 1] for finita, a integral sobre (0, 
oo) existirá. Temos que o integrando é uma função contínua em (0, 1] e que  lim 
x --> 0+ (e^(-x) - e^-ex)/x =  e - 1. Logo, a função é limitada em (0, 1]. Se 
vc extender o domínio para [0, oo) definindo g(0) = e - 1, vc obtém uma função 
contínua, logo integrável, em [0, 1]. E esta integral é igual à integral 
imprópria da função original sobre (0, 1]. 

Assim, sua integral existe e é finita sobre (0, oo). Mas determiná-la,  não 
parece uma tarefa fácil. Achar a primitiva em forma fechada, acho que não dá.



Artur Costa Steiner

Em 28/07/2013, às 16:43, Bob Roy  escreveu:

> Olá pessoal,
> 
> a integral acabou não sendo enviada.
> 
> integral de zero a infinito de ( e^(-x) - e^(-ex))/x .
> 
> Obrigado
> 
> Bob
> 
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Integral

[Bob Roy]

Olá pessoal,

a integral acabou não sendo enviada.

integral de zero a infinito de ( e^(-x) - e^(-ex))/x .

Obrigado

Bob

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[obm-l] Integral

[Bob Roy]

Desculpem. Estou enviando a integral anexada.

Obrigado
Bob

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[obm-l] integral

[Bob Roy]

Pessoal,
como resolver :


agradeço qualquer ajuda .

Bob

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Re: [obm-l] Integral interessante

[Artur Costa Steiner]

É I = a sim.

Abraços.

Artur Costa Steiner

Em 01/03/2013, às 12:20, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
 escreveu:

> 2013/2/24 Artur Costa Steiner :
>> Seja f uma função real ímpar, contínua em toda a reta real. Seja a > 0. 
>> Determine Int[-a, a] 1/(e^(f(x)) + 1) dx
> 
> Se eu não errei as contas, I = a. Para conferir, f(x) = 0, dá certo.
> 
> Abraços,
> -- 
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Integral interessante

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/2/24 Artur Costa Steiner :
> Seja f uma função real ímpar, contínua em toda a reta real. Seja a > 0. 
> Determine Int[-a, a] 1/(e^(f(x)) + 1) dx

Se eu não errei as contas, I = a. Para conferir, f(x) = 0, dá certo.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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[obm-l] Integral definida

[Artur Costa Steiner]

Eu mandei isso antes, mas acho que não chegou. Achei interessante.

Determine Int [-a, a] 1/(e^f(x) + 1) dx, sendo a > 0 e f uma função ímpar e 
contínua de R em R.

Abraços

Artur Costa Steiner
-- 
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[obm-l] Integral interessante

[Artur Costa Steiner]

Seja f uma função real ímpar, contínua em toda a reta real. Seja a > 0. 
Determine Int[-a, a] 1/(e^(f(x)) + 1) dx

Artur Costa Steiner
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Re: [obm-l] Integral

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/8/30 Samuel Wainer :
> Me pediram um exemplo de uma função que tem integral finita, mas que f^2 não
> tem integral finita.
>
> Fiquei quebrando a cabeça um tempão, mas não consegui.
>
> Alguém tem alguma ideia?

Tem vários exemplos "clássicos", mas o importante é *como* fazer.

Existem dois jeitos de uma integral ser infinita: porque o domínio é
grande, ou porque o valor é grande. Refrescando a memória, você deve
lembrar que 1/x tem *ambos* problemas. Quando você integra de 1 até
infinito, dá infinito (log(M) - log(1) com M -> infinito) e quando
você integra de 0 até 1 também (log(1) - log(eps) com eps -> 0). Bom,
temos um candidato (se der!) para f^2.

Agora, vejamos. Tirando a raiz quadrada de 1/x, quando x -> infinito,
isso quer dizer que a função fica MAIOR AINDA! Portanto, a integral
com certeza ainda é infinita. Aliás, qualquer função cuja integral dá
+infinito sem divergir em algum ponto (isso incluiu os +- infinito),
ou é maior do que 1 num intervalo de tamanho infinito (e isso explica
porque que dá +infinito a integral) e nesse caso não adianta tirar
raiz, vai continuar > 1 ; ou então é menor do que 1, e quando você
tira a raiz, fica maior ainda. Assim, nunca vai dar certo "no
infinito".

Sobrou o caso de ser na parte (0,1). Aqui, como  x < 1, temos que 1/x
> raiz(1/x) > 1, ou seja, a função DIMINUIU. Isso é muito bom, porque
(se você lembra) a 1/x é o "limite" de 1/x^alfa ter integral finita ou
não. Agora, basta verificar que realmente 1/raiz(x) é integrável em
(0,1). Isso eu deixo pra você conferir (mas a gente acabou de provar
que ela NÃO é integrável em (1, infinito), ou seja, ainda falta um
pouquinho).

A última parte é uma "roubadinha"  (ou roubadona, para o pessoal
analítico como Cauchy, Euler e amigos): pegue a função raiz(1/|x|)
para x entre -1 e 1, e depois "cole" uma função afim qualquer que
ligue até o zero, por exemplo subindo de -2 até -1 numa reta, depois
seguindo a 1/raiz(x), sobe, vai ao infinito no zero, volta até 1 em
x=1, e depois desce numa reta simétrica até o zero em x=2. Pronto,
essa função é com certeza integrável, porque é a soma de duas que são,
mas o quadrado dela tem uma parte que vai dar infinito.


-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Integral

[Samuel Wainer]

Me pediram um exemplo de uma função que tem integral finita, mas que f^2 não 
tem integral finita.
Fiquei quebrando a cabeça um tempão, mas não consegui.
Alguém tem alguma ideia?  

RE: [obm-l] INTEGRAL COMPLEXA

[Rogério Possi Júnior]

Pessoal,
 
Alguém tentou resolver?
 
Sds,
 
Rogério
 



From: roposs...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] INTEGRAL COMPLEXA
Date: Mon, 23 Apr 2012 13:38:03 -0300




Sim Bernardo ... podemos utilizar o Teorema dos Resíduos de Cauchy ... mas ... 
ainda não consegui resolver ...
 
Sds,
 
Rogério
 


> Date: Mon, 23 Apr 2012 17:53:44 +0200
> Subject: Re: [obm-l] INTEGRAL COMPLEXA
> From: bernardo...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> 2012/4/23 Rogério Possi Júnior :
> > Pessoal,
> >
> > Segue uma questão de integral complexa:
> >
> > INTEGRAL DE LINHA [(1 / ( (Z^100 + 1).(Z-4) )]dZ, onde a integral é
> > calculada "sobre" C: MÓD[Z]=3
> 
> Você já ouviu falar de resíduos? Daonde surgiu esse problema?
> 
> Abraços,
> -- 
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
  

RE: [obm-l] INTEGRAL COMPLEXA

[Rogério Possi Júnior]

Sim Bernardo ... podemos utilizar o Teorema dos Resíduos de Cauchy ... mas ... 
ainda não consegui resolver ...
 
Sds,
 
Rogério
 

> Date: Mon, 23 Apr 2012 17:53:44 +0200
> Subject: Re: [obm-l] INTEGRAL COMPLEXA
> From: bernardo...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> 2012/4/23 Rogério Possi Júnior :
> > Pessoal,
> >
> > Segue uma questão de integral complexa:
> >
> > INTEGRAL DE LINHA [(1 / ( (Z^100 + 1).(Z-4) )]dZ, onde a integral é
> > calculada "sobre" C: MÓD[Z]=3
> 
> Você já ouviu falar de resíduos? Daonde surgiu esse problema?
> 
> Abraços,
> -- 
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
  

Re: [obm-l] INTEGRAL COMPLEXA

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/4/23 Rogério Possi Júnior :
> Pessoal,
>
> Segue uma questão de integral complexa:
>
> INTEGRAL DE LINHA [(1 / ( (Z^100 + 1).(Z-4) )]dZ, onde a integral é
> calculada "sobre" C: MÓD[Z]=3

Você já ouviu falar de resíduos? Daonde surgiu esse problema?

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] INTEGRAL COMPLEXA

[Rogério Possi Júnior]

Pessoal,
 
Segue uma questão de integral complexa:
 
INTEGRAL DE LINHA [(1 / ( (Z^100 + 1).(Z-4) )]dZ, onde a integral é calculada 
"sobre" C: MÓD[Z]=3
 
Sds,
 
Rogério   

RE: [obm-l] integral

[João Maldonado]

Faça x = y²dx = 2ydyA integral fica  (y+1).2y. dy = 2y³/3 + y²
[]'sJoão

Date: Sun, 18 Sep 2011 21:54:24 -0300
Subject: [obm-l] integral
From: teliog...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Boa noite, mestres
poderiam explicar como resolver a integral em anexo? Tentei muito, mas não 
consegui pensar em nenhuma técnica ou artifício.
agradeço a ajuda

Thelio

Re: [obm-l] integral

[charles]

Acho que isso ajuda : x + 2*x^(1/2) + 1 = (x^(1/2) + 1)^2.

-- 
Charles B de M Brito
Engenharia de Computação - 3º ano
Instituto Militar de Engenharia

[obm-l] integral

[Thelio Gama]

Boa noite, mestres

poderiam explicar como resolver a integral em anexo? Tentei muito, mas não
consegui pensar em nenhuma técnica ou artifício.

agradeço a ajuda

Thelio
<>

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Integral difícil

[João Maldonado]

Valeu Bernardo  , assim ficou fácil enxergar

Vou lembrar do  "a ver" da próxima vez :)
[]'sJoão

> Date: Thu, 8 Sep 2011 22:27:42 +0200
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Integral difícil
> From: bernardo...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> 2011/9/8 João Maldonado :
> >  Deixa eu reformular a pergunta
> > Uma pergunta de  física no ITA consiste em  calcular  a energia dissipada
> > por um  resistor num  circuito RC série  (não se preocupe, vou fazer a parte
> > física)
> 
> [...Física...]
> 
> > Primeiramente  achei a expressão:
> > Integral[i.dt]  = (U0-i.R) A E0 /d
> 
> Uma coisa que ajudaria bastante a resolver esse tipo de questão é "se
> livrar das constantes". É claro que você não pode fazer isso "de
> qualquer forma", mas veja que U0, R, A, E0 e d são constantes (e é
> \epsilon_0 para a permissividade do vácuo, logo seria melhor chamar de
> e0 , eu fiquei um tempo achando que era energia armazenada inicial...)
> então o que você quer na verdade é resolver
> 
> Integral i(t) dt = a - b*i (com a = U0 A E0 /d e b = R A E0 / d)
> 
> O que *ainda* não é preciso o suficiente, e eu vou interpretar (dada a
> forma como você continuou) que é:
> 
> Integral, de t=0 até t=T de i(t) dt = a - b * i(T)
> 
> > Derivando  os 2 lados
> > i.dt =  (- RE0A/d)  di
> 
> e derivando dos dois lados a fórmula anterior (com relação a T, que é
> uma variável da minha fórmula, note que t é a variável de integração,
> ela não "existe" do lado de fora da integral para podermos derivar!!)
> temos realmente
> 
> i(T) = - b di/dT (T)
> 
> que é a fórmula que você obteve, com dependência explícita da variável
> (e menos explícita das constantes... cada chato com sua mania, eu faço
> questão de escrever todas as variáveis para não confundir as coisas)
> 
> > dt = (-RE0A/d)  di/i
> 
> Só para continuar o paralelo,
> 
> dT = -b di / i(T)
> 
> > Integrando
> > t = (-R.E0.A/d).ln|i|
> 
> é aqui que "faltou" a sua constante (como você mesmo adivinhou). Como
> eu estou com uma variável diferente, tenho que achar mais uma variável
> de tempo. Como acabaram os t, eu vou usar s (de "segundos" se você
> quiser)
> 
> Integral de T=0 até T=s dT = Integral de i=i(0) até i=i(s) -b di/i
> 
> Note que a segunda fórmula contém *também* uma mudança de variáveis,
> antes era uma integral de T=0 até T=s de uma função que só dependia de
> i, e assim a gente troca a integral em T por uma integral em i, e
> compõe os limites da integral. Continuando, temos
> 
> s - 0 = -b ( ln(i(s)) - ln(i(0)) )
> 
> Ou seja
> 
> ln(i(s)) = -s/b + ln(i(0))
> 
> Ora, i(0) é a corrente inicial, que é de qualquer forma
> Tensão/Resistência, mas acontece que nós *conhecemos* a Tensão inicial
> (e a resistência não muda), e portanto i(0) = U0 / R. Tomando
> exponenciais,
> 
> i(s) = U0/R * exp(-s/b)
> 
> > i = e^(-t.d/R.E0.A)
> > Substituindo  C = E0.A/d
> > i = e^(-t/RC)
> > Quando  t = 0,teríamos i = 1,  o que é um absurdo
> > pois quando  t = 0,  i = U0/R
> 
> O que confirma que eu e você temos a mesma idéia da corrente inicial :))
> 
> > Já  que  a integral sempre  despreza a constante  final, pensei que talvez
> >  houvesse   algo que ainda  não está na fórmulla, até porque  ao
> >  substituirmos  i na equação original,
> > Integral[i.dt]  = (U0-i.R) A E0 /d
> >
> > fica sobrando  U0.C
> > Talvez  algo do tipo  U0/R e^(-t/RC) resolvesse o  problema (t = 0,  i =
> > U0/R),  ou talvez não tem nada haver,  mas em qualquer  caso, como posso
> > resolver essa integral?
> 
> Nada *a* *ver*, no que toca o português. Em matemática, por outro
> lado, tem *tudo* a ver. Faz parte do conhecimento habitual
> (universitário...) que soluções de equações diferenciais lineares
> formam um espaço vetorial. Como a equação que você obtém é realmente
> linear, tudo ok. Assim, ao achar uma solução, você apenas tem que
> "acertar qual é o múltiplo correto" que dá a solução para a condição
> inicial que você tem. Repare que isso *só* vale para equações
> diferenciais lineares, que são bastante comuns, mas longe de serem
> todas que há!
> 
> Comentário final: tudo o que você fez tá bem certinho, mas faltou só
> prestar atenção em como "carregar a constante" ao longo das contas.
> Lembre que quando você integra, tem que "carregar uma constante" dos
> *dois* lados da equação. Muitas vezes (principalmente em exercícios)
> um dos lados será zero, mas na vida real, provavelmente os dois lados
> serão não nulos, e é sempre melhor você ter constantes "com sentido"
> do 

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Integral difícil

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2011/9/8 João Maldonado :
>  Deixa eu reformular a pergunta
> Uma pergunta de  física no ITA consiste em  calcular  a energia dissipada
> por um  resistor num  circuito RC série  (não se preocupe, vou fazer a parte
> física)

[...Física...]

> Primeiramente  achei a expressão:
> Integral[i.dt]  = (U0-i.R) A E0 /d

Uma coisa que ajudaria bastante a resolver esse tipo de questão é "se
livrar das constantes". É claro que você não pode fazer isso "de
qualquer forma", mas veja que U0, R, A, E0 e d são constantes (e é
\epsilon_0 para a permissividade do vácuo, logo seria melhor chamar de
e0 , eu fiquei um tempo achando que era energia armazenada inicial...)
então o que você quer na verdade é resolver

Integral i(t) dt = a - b*i (com a = U0 A E0 /d e b = R A E0 / d)

O que *ainda* não é preciso o suficiente, e eu vou interpretar (dada a
forma como você continuou) que é:

Integral, de t=0 até t=T de i(t) dt = a - b * i(T)

> Derivando  os 2 lados
> i.dt =  (- RE0A/d)  di

e derivando dos dois lados a fórmula anterior (com relação a T, que é
uma variável da minha fórmula, note que t é a variável de integração,
ela não "existe" do lado de fora da integral para podermos derivar!!)
temos realmente

i(T) = - b di/dT (T)

que é a fórmula que você obteve, com dependência explícita da variável
(e menos explícita das constantes... cada chato com sua mania, eu faço
questão de escrever todas as variáveis para não confundir as coisas)

> dt = (-RE0A/d)  di/i

Só para continuar o paralelo,

dT = -b di / i(T)

> Integrando
> t = (-R.E0.A/d).ln|i|

é aqui que "faltou" a sua constante (como você mesmo adivinhou). Como
eu estou com uma variável diferente, tenho que achar mais uma variável
de tempo. Como acabaram os t, eu vou usar s (de "segundos" se você
quiser)

Integral de T=0 até T=s dT = Integral de i=i(0) até i=i(s) -b di/i

Note que a segunda fórmula contém *também* uma mudança de variáveis,
antes era uma integral de T=0 até T=s de uma função que só dependia de
i, e assim a gente troca a integral em T por uma integral em i, e
compõe os limites da integral. Continuando, temos

s - 0 = -b ( ln(i(s)) - ln(i(0)) )

Ou seja

ln(i(s)) = -s/b + ln(i(0))

Ora, i(0) é a corrente inicial, que é de qualquer forma
Tensão/Resistência, mas acontece que nós *conhecemos* a Tensão inicial
(e a resistência não muda), e portanto i(0) = U0 / R. Tomando
exponenciais,

i(s) = U0/R * exp(-s/b)

> i = e^(-t.d/R.E0.A)
> Substituindo  C = E0.A/d
> i = e^(-t/RC)
> Quando  t = 0,teríamos i = 1,  o que é um absurdo
> pois quando  t = 0,  i = U0/R

O que confirma que eu e você temos a mesma idéia da corrente inicial :))

> Já  que  a integral sempre  despreza a constante  final, pensei que talvez
>  houvesse   algo que ainda  não está na fórmulla, até porque  ao
>  substituirmos  i na equação original,
> Integral[i.dt]  = (U0-i.R) A E0 /d
>
> fica sobrando  U0.C
> Talvez  algo do tipo  U0/R e^(-t/RC) resolvesse o  problema (t = 0,  i =
> U0/R),  ou talvez não tem nada haver,  mas em qualquer  caso, como posso
> resolver essa integral?

Nada *a* *ver*, no que toca o português. Em matemática, por outro
lado, tem *tudo* a ver. Faz parte do conhecimento habitual
(universitário...) que soluções de equações diferenciais lineares
formam um espaço vetorial. Como a equação que você obtém é realmente
linear, tudo ok. Assim, ao achar uma solução, você apenas tem que
"acertar qual é o múltiplo correto" que dá a solução para a condição
inicial que você tem. Repare que isso *só* vale para equações
diferenciais lineares, que são bastante comuns, mas longe de serem
todas que há!

Comentário final: tudo o que você fez tá bem certinho, mas faltou só
prestar atenção em como "carregar a constante" ao longo das contas.
Lembre que quando você integra, tem que "carregar uma constante" dos
*dois* lados da equação. Muitas vezes (principalmente em exercícios)
um dos lados será zero, mas na vida real, provavelmente os dois lados
serão não nulos, e é sempre melhor você ter constantes "com sentido"
do que ter apenas uma constante de um dos lados da equação. Ainda mais
que, se for o caso de uma equação diferencial não-linear, a
dependência com as constantes é bm mais complicada (mas também é
bem menos provável que você consiga integrar explicitamente como a
gente fez aqui, então)

> []'s
> João

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Integral difícil

[João Maldonado]

 Deixa eu reformular a pergunta 
Uma pergunta de  física no ITA consiste em  calcular  a energia dissipada por 
um  resistor num  circuito RC série  (não se preocupe, vou fazer a parte 
física) Sabe-se que:
U = U0 -o.d/E0o =  Q/AQ =Integral[ i.dt   ]i = U/RE = Integral[R.i²   dt] 
sendo:
U ->  tensão   resultante em função do tempoU0 -> tensão da bateria 
 o ->  densidade de carga no capacitord -> distância entre as armaduras do 
capacitorE0 -> permissividade no vácuo Q ->  carga acumulada no  capacitor em 
função do  tempoi -> corrente que flui sobre o  circuito  em função  do tempoR 
->  resistência do resistorE ->  energia dissipada pelo resistor em função do 
tempo

Primeiramente  achei a expressão:Integral[i.dt]  = (U0-i.R) A E0 /d
Derivando  os 2 ladosi.dt =  (- RE0A/d)  didt = (-RE0A/d)  di/iIntegrandot = 
(-R.E0.A/d).ln|i|i = e^(-t.d/R.E0.A)
Substituindo  C = E0.A/d
i = e^(-t/RC)
Quando  t = 0,teríamos i = 1,  o que é um absurdo
pois quando  t = 0,  i = U0/R 

Já  que  a integral sempre  despreza a constante  final, pensei que talvez  
houvesse   algo que ainda  não está na fórmulla, até porque  ao  substituirmos  
i na equação original,  
Integral[i.dt]  = (U0-i.R) A E0 /d

fica sobrando  U0.C
Talvez  algo do tipo  U0/R e^(-t/RC) resolvesse o  problema (t = 0,  i = U0/R), 
 ou talvez não tem nada haver,  mas em qualquer  caso, como posso resolver essa 
integral?
[]'sJoão
From: joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Integral difícil
Date: Thu, 8 Sep 2011 14:28:27 -0300








Como  resolvo a integral  :

Integral[i.dt]  = (U0-i.R) A E0 /d
Queria  i em função de t
[]'sJoão
  

[obm-l] Integral difícil

[João Maldonado]

Como  resolvo a integral  :

Integral[i.dt]  = (U0-i.R) A E0 /d
Queria  i em função de t
[]'sJoão  

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil

[Ralph Teixeira]

G foi cuidadosamente escolhida para que isto valha. Afinal, note que:

d(FG)/dw=F`G+FG`

e note que G=e^(Int b), entao pela Regra da Cadeia G`=e^(Int b)(d(Int
b)/dw)=b.e^(Int b)=bG

Para achar quaisquer constantes de integracao, substitua um valor conhecido
(t=0 e v(0)=v_0, como voce sugeriu) e calibre a constante.

(No exemplo em questao, K=F_0G_0=(v_0)^2, como voce disse, *desde que voce
tome G(0)=1*)

Abraco,
   Ralph
2011/7/11 João Maldonado 

>  Valeu Ralph, Mas ainda não entendi porque
>
> dF G(w) + b(w) F G(w) = d(FG)/dw
>
> Aliás, consegui resolver a integral desse modo :)
> Como acho o valor de K? seria o Vo ²?
>
> []'s
> João
>
> --
> Date: Sun, 10 Jul 2011 22:52:23 -0300
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil
> From: ralp...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Oi, Joao.
>
> Certamente, ha um monte de teoria sobre Equacoes Diferenciais Ordinarias,
> um monte mesmo; ha varios tipos de EDOs que se resolvem por varios metodos,
> e um monte de EDOs que nao tem solucao ou que nao se resolve por integrais
> simples.
>
> Essa ai bom, eu nao acompanhei a discussao, mas u, R e g sao
> constantes? Se forem, voce pode:
>
> i) Trocar de funcao; ao inves de v, trabalhe com F(w)=(v(w))^2; entao
> v.dv/dw eh (1/2)(dF/dw), e a EDO em F eh mais simples que a EDO em v.
> ii) De fato, voce fica com uma EDO linear de primeira ordem em F, que pode
> ser escrita na forma F`+b(w).F=c(w). Estas EDOs podem ser resolvidas por um
> metodo chamado FATOR INTEGRANTE, que eh:
> -- Multiplique os dois lados por G(w)=e^(Integral de b(w)).
> -- Agora o lado esquerdo eh d(F.G)/dw, isto eh, ficamos com
> d(FG)/dw=G(w)c(w).
> -- Integrando dw, fica FG=Int(Gc)+K, ou seja, F=(Int(Gc)+K)/G
>
> Abraco,
>   Ralph
> 2011/7/10 João Maldonado 
>
>  Valeu Eduardo.
>
> Há algum geito de resolvermos a equação diferencial de um modo geral?
> Como tinha dito sou aluno do terceiro colegial não tenho nenhuma idéia de
> como resolver .
>
> Aliás, teria se não existesse o uv²/R, daí passaria o dw para o outro lado
> e integraria  os 2 lados, o  primeiro em função de v e o segundo em função
> de w
> Mas com o uv²/R, ao integrar, ficaria v²/2R =  -g(-cosw  + usenw )-
>  (u/R)  I(v².dw)
> I(v².dw) =  g(cosw -usenw)R/u - v²
>
> Como resolvo isso?  Tentei chuta as funções v até que uma desse certo, mas
>  não consegui
>
> --
> Date: Sun, 10 Jul 2011 09:42:09 -0700
> From: eduardowil...@yahoo.com.br
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> O problema de sinal é delicado. Devemos tomar cuidado com a convenção do
> ângulo
>
> alpha, que agora tomo medido da base no sentido anti-horário:
>
> -  (1/R).v.(dv)/(dw) = g.sen w + u.g.cos w + u.v^2/R ,
>
> que se parece mais com a (sua?) versão do jaumzaum indicada no link
> doSammyS.
>
> Digo "parece" pois há a diferença, p.ex., do sinal negativo no primeiro
> membro.
>
> Curioso que para u = 0,5 pode-se resolver facilmente a eq. dif. mas dá um
> problemão para alfa = 0 ...
>
>
>
> --- Em *sex, 8/7/11, João Maldonado *escreveu:
>
>
> De: João Maldonado 
> Assunto: [obm-l] Integral difícil
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Data: Sexta-feira, 8 de Julho de 2011, 21:55
>
>  Boa Tarde a todos
>
> Recentemente postei uma integral que não consegui resolver no fórum
>  PHYSICSFORUMS mas não obtive nenhuma resposta satisfatória.
> O problema a seguir é uma preparação para a IPhO, embora só a parte
> matemática interesse
>
> http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=512186
>
> Reduzi o problema a equação encontrada no link acima, queria achar a função
> de velocidade em função da distância, S.
>
>
>

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil

[João Maldonado]

   

From: joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil
Date: Mon, 11 Jul 2011 00:05:22 -0300








Valeu Ralph, Mas ainda não entendi porque
dF G(w) + b(w) F G(w) = d(FG)/dw
Aliás, consegui resolver a integral desse modo :)Como acho o valor de K? seria 
o Vo ²?
[]'sJoão
Date: Sun, 10 Jul 2011 22:52:23 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil
From: ralp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Oi, Joao. Certamente, ha um monte de teoria sobre Equacoes Diferenciais 
Ordinarias, um monte mesmo; ha varios tipos de EDOs que se resolvem por varios 
metodos, e um monte de EDOs que nao tem solucao ou que nao se resolve por 
integrais simples.
 Essa ai bom, eu nao acompanhei a discussao, mas u, R e g sao constantes? 
Se forem, voce pode: i) Trocar de funcao; ao inves de v, trabalhe com 
F(w)=(v(w))^2; entao v.dv/dw eh (1/2)(dF/dw), e a EDO em F eh mais simples que 
a EDO em v.
ii) De fato, voce fica com uma EDO linear de primeira ordem em F, que pode ser 
escrita na forma F`+b(w).F=c(w). Estas EDOs podem ser resolvidas por um metodo 
chamado FATOR INTEGRANTE, que eh:-- Multiplique os dois lados por 
G(w)=e^(Integral de b(w)).
-- Agora o lado esquerdo eh d(F.G)/dw, isto eh, ficamos com d(FG)/dw=G(w)c(w). 
-- Integrando dw, fica FG=Int(Gc)+K, ou seja, F=(Int(Gc)+K)/G Abraco,  
Ralph

2011/7/10 João Maldonado 






Valeu Eduardo.
Há algum geito de resolvermos a equação diferencial de um modo geral?Como tinha 
dito sou aluno do terceiro colegial não tenho nenhuma idéia de como resolver .

Aliás, teria se não existesse o uv²/R, daí passaria o dw para o outro lado e 
integraria  os 2 lados, o  primeiro em função de v e o segundo em função de 
wMas com o uv²/R, ao integrar, ficaria v²/2R =  -g(-cosw  + usenw )-
(u/R)  I(v².dw)
I(v².dw) =  g(cosw -usenw)R/u - v²
Como resolvo isso?  Tentei chuta as funções v até que uma desse certo, mas  não 
consegui
Date: Sun, 10 Jul 2011 09:42:09 -0700
From: eduardowil...@yahoo.com.br

Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil
To: obm-l@mat.puc-rio.br


O problema de sinal é delicado. Devemos tomar cuidado com a convenção do ângulo 

alpha, que agora tomo medido da base no sentido anti-horário:

-  (1/R).v.(dv)/(dw) = g.sen w + u.g.cos w + u.v^2/R ,

que se parece mais com a (sua?) versão do jaumzaum indicada no link doSammyS.


Digo "parece" pois há a diferença, p.ex., do sinal negativo no primeiro membro.

Curioso que para u = 0,5 pode-se resolver facilmente a eq. dif. mas dá um 
problemão para alfa = 0 ...



--- Em sex, 8/7/11, João Maldonado  escreveu:


De: João Maldonado 
Assunto: [obm-l] Integral difícil

Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 8
 de Julho de 2011, 21:55






Boa Tarde a todos

Recentemente postei uma integral que não consegui resolver no fórum  
PHYSICSFORUMS mas não obtive nenhuma resposta satisfatória.O problema a seguir 
é uma preparação para a IPhO, embora só a parte matemática interesse

http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=512186

Reduzi o problema
 a equação encontrada no link acima, queria achar a função de velocidade em 
função da distância, S. 

  
 
  


  

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil

[João Maldonado]

Valeu Ralph, Mas ainda não entendi porque
dF G(w) + b(w) F G(w) = d(FG)/dw
Aliás, consegui resolver a integral desse modo :)Como acho o valor de K? seria 
o Vo ²?
[]'sJoão
Date: Sun, 10 Jul 2011 22:52:23 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil
From: ralp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Oi, Joao. Certamente, ha um monte de teoria sobre Equacoes Diferenciais 
Ordinarias, um monte mesmo; ha varios tipos de EDOs que se resolvem por varios 
metodos, e um monte de EDOs que nao tem solucao ou que nao se resolve por 
integrais simples.
 Essa ai bom, eu nao acompanhei a discussao, mas u, R e g sao constantes? 
Se forem, voce pode: i) Trocar de funcao; ao inves de v, trabalhe com 
F(w)=(v(w))^2; entao v.dv/dw eh (1/2)(dF/dw), e a EDO em F eh mais simples que 
a EDO em v.
ii) De fato, voce fica com uma EDO linear de primeira ordem em F, que pode ser 
escrita na forma F`+b(w).F=c(w). Estas EDOs podem ser resolvidas por um metodo 
chamado FATOR INTEGRANTE, que eh:-- Multiplique os dois lados por 
G(w)=e^(Integral de b(w)).
-- Agora o lado esquerdo eh d(F.G)/dw, isto eh, ficamos com d(FG)/dw=G(w)c(w). 
-- Integrando dw, fica FG=Int(Gc)+K, ou seja, F=(Int(Gc)+K)/G Abraco,  
Ralph

2011/7/10 João Maldonado 






Valeu Eduardo.
Há algum geito de resolvermos a equação diferencial de um modo geral?Como tinha 
dito sou aluno do terceiro colegial não tenho nenhuma idéia de como resolver .

Aliás, teria se não existesse o uv²/R, daí passaria o dw para o outro lado e 
integraria  os 2 lados, o  primeiro em função de v e o segundo em função de 
wMas com o uv²/R, ao integrar, ficaria v²/2R =  -g(-cosw  + usenw )-
(u/R)  I(v².dw)
I(v².dw) =  g(cosw -usenw)R/u - v²
Como resolvo isso?  Tentei chuta as funções v até que uma desse certo, mas  não 
consegui
Date: Sun, 10 Jul 2011 09:42:09 -0700
From: eduardowil...@yahoo.com.br

Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil
To: obm-l@mat.puc-rio.br


O problema de sinal é delicado. Devemos tomar cuidado com a convenção do ângulo 

alpha, que agora tomo medido da base no sentido anti-horário:

-  (1/R).v.(dv)/(dw) = g.sen w + u.g.cos w + u.v^2/R ,

que se parece mais com a (sua?) versão do jaumzaum indicada no link doSammyS.


Digo "parece" pois há a diferença, p.ex., do sinal negativo no primeiro membro.

Curioso que para u = 0,5 pode-se resolver facilmente a eq. dif. mas dá um 
problemão para alfa = 0 ...



--- Em sex, 8/7/11, João Maldonado  escreveu:


De: João Maldonado 
Assunto: [obm-l] Integral difícil

Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 8
 de Julho de 2011, 21:55






Boa Tarde a todos

Recentemente postei uma integral que não consegui resolver no fórum  
PHYSICSFORUMS mas não obtive nenhuma resposta satisfatória.O problema a seguir 
é uma preparação para a IPhO, embora só a parte matemática interesse

http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=512186

Reduzi o problema
 a equação encontrada no link acima, queria achar a função de velocidade em 
função da distância, S. 

  
 
  

  

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil

[Ralph Teixeira]

Oi, Joao.

Certamente, ha um monte de teoria sobre Equacoes Diferenciais Ordinarias, um
monte mesmo; ha varios tipos de EDOs que se resolvem por varios metodos, e
um monte de EDOs que nao tem solucao ou que nao se resolve por integrais
simples.

Essa ai bom, eu nao acompanhei a discussao, mas u, R e g sao constantes?
Se forem, voce pode:

i) Trocar de funcao; ao inves de v, trabalhe com F(w)=(v(w))^2; entao
v.dv/dw eh (1/2)(dF/dw), e a EDO em F eh mais simples que a EDO em v.
ii) De fato, voce fica com uma EDO linear de primeira ordem em F, que pode
ser escrita na forma F`+b(w).F=c(w). Estas EDOs podem ser resolvidas por um
metodo chamado FATOR INTEGRANTE, que eh:
-- Multiplique os dois lados por G(w)=e^(Integral de b(w)).
-- Agora o lado esquerdo eh d(F.G)/dw, isto eh, ficamos com
d(FG)/dw=G(w)c(w).
-- Integrando dw, fica FG=Int(Gc)+K, ou seja, F=(Int(Gc)+K)/G

Abraco,
  Ralph
2011/7/10 João Maldonado 

>  Valeu Eduardo.
>
> Há algum geito de resolvermos a equação diferencial de um modo geral?
> Como tinha dito sou aluno do terceiro colegial não tenho nenhuma idéia de
> como resolver .
>
> Aliás, teria se não existesse o uv²/R, daí passaria o dw para o outro lado
> e integraria  os 2 lados, o  primeiro em função de v e o segundo em função
> de w
> Mas com o uv²/R, ao integrar, ficaria v²/2R =  -g(-cosw  + usenw )-
>  (u/R)  I(v².dw)
> I(v².dw) =  g(cosw -usenw)R/u - v²
>
> Como resolvo isso?  Tentei chuta as funções v até que uma desse certo, mas
>  não consegui
>
> --
> Date: Sun, 10 Jul 2011 09:42:09 -0700
> From: eduardowil...@yahoo.com.br
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> O problema de sinal é delicado. Devemos tomar cuidado com a convenção do
> ângulo
>
> alpha, que agora tomo medido da base no sentido anti-horário:
>
> -  (1/R).v.(dv)/(dw) = g.sen w + u.g.cos w + u.v^2/R ,
>
> que se parece mais com a (sua?) versão do jaumzaum indicada no link
> doSammyS.
>
> Digo "parece" pois há a diferença, p.ex., do sinal negativo no primeiro
> membro.
>
> Curioso que para u = 0,5 pode-se resolver facilmente a eq. dif. mas dá um
> problemão para alfa = 0 ...
>
>
>
> --- Em *sex, 8/7/11, João Maldonado *escreveu:
>
>
> De: João Maldonado 
> Assunto: [obm-l] Integral difícil
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Data: Sexta-feira, 8 de Julho de 2011, 21:55
>
>  Boa Tarde a todos
>
> Recentemente postei uma integral que não consegui resolver no fórum
>  PHYSICSFORUMS mas não obtive nenhuma resposta satisfatória.
> O problema a seguir é uma preparação para a IPhO, embora só a parte
> matemática interesse
>
> http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=512186
>
> Reduzi o problema a equação encontrada no link acima, queria achar a função
> de velocidade em função da distância, S.
>
>

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil

[João Maldonado]

Valeu Eduardo.
Há algum geito de resolvermos a equação diferencial de um modo geral?Como tinha 
dito sou aluno do terceiro colegial não tenho nenhuma idéia de como resolver .
Aliás, teria se não existesse o uv²/R, daí passaria o dw para o outro lado e 
integraria  os 2 lados, o  primeiro em função de v e o segundo em função de 
wMas com o uv²/R, ao integrar, ficaria v²/2R =  -g(-cosw  + usenw )-
(u/R)  I(v².dw)I(v².dw) =  g(cosw -usenw)R/u - v²
Como resolvo isso?  Tentei chuta as funções v até que uma desse certo, mas  não 
consegui
Date: Sun, 10 Jul 2011 09:42:09 -0700
From: eduardowil...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil
To: obm-l@mat.puc-rio.br

O problema de sinal é delicado. Devemos tomar cuidado com a convenção do ângulo 

alpha, que agora tomo medido da base no sentido anti-horário:

-  (1/R).v.(dv)/(dw) = g.sen w + u.g.cos w + u.v^2/R ,

que se parece mais com a (sua?) versão do jaumzaum indicada no link doSammyS.

Digo "parece" pois há a diferença, p.ex., do sinal negativo no primeiro membro.

Curioso que para u = 0,5 pode-se resolver facilmente a eq. dif. mas dá um 
problemão para alfa = 0 ...



--- Em sex, 8/7/11, João Maldonado  escreveu:

De: João Maldonado 
Assunto: [obm-l] Integral difícil
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 8
 de Julho de 2011, 21:55






Boa Tarde a todos
Recentemente postei uma integral que não consegui resolver no fórum  
PHYSICSFORUMS mas não obtive nenhuma resposta satisfatória.O problema a seguir 
é uma preparação para a IPhO, embora só a parte matemática interesse
http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=512186
Reduzi o problema
 a equação encontrada no link acima, queria achar a função de velocidade em 
função da distância, S. 

   
  

[obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil

[Eduardo Wilner]

O problema de sinal é delicado. Devemos tomar cuidado com a convenção do ângulo 

alpha, que agora tomo medido da base no sentido anti-horário:

-  (1/R).v.(dv)/(dw) = g.sen w + u.g.cos w + u.v^2/R ,

que se parece mais com a (sua?) versão do jaumzaum indicada no link doSammyS.

Digo "parece" pois há a diferença, p.ex., do sinal negativo no primeiro membro.

Curioso que para u = 0,5 pode-se resolver facilmente a eq. dif. mas dá um 
problemão para alfa = 0 ...



--- Em sex, 8/7/11, João Maldonado  escreveu:

De: João Maldonado 
Assunto: [obm-l] Integral difícil
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 8 de Julho de 2011, 21:55






Boa Tarde a todos
Recentemente postei uma integral que não consegui resolver no fórum  
PHYSICSFORUMS mas não obtive nenhuma resposta satisfatória.O problema a seguir 
é uma preparação para a IPhO, embora só a parte matemática interesse
http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=512186
Reduzi o problema a equação encontrada no link acima, queria achar a função de 
velocidade em função da distância, S.   

[obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil

[Eduardo Wilner]

O problema de número de variáveis pode se resolvido se escrevermos.
(chamando alfa de w = s/R)
a = [(dv)/(R.dw)].v    ou (1/R).v.(dv)/(dw) = g.sen w - u.g.cos w - u.v^2/R ,

onde temos v como função de w=alfa (parece que vc, é o jaumzaun ? que 
enganou-se um pouco com os sinais).

Agora o problema é resolver a equação diferencial ...

[ ]s

--- Em sex, 8/7/11, João Maldonado  escreveu:

De: João Maldonado 
Assunto: [obm-l] Integral difícil
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 8 de Julho de 2011, 21:55






Boa Tarde a todos
Recentemente postei uma integral que não consegui resolver no fórum  
PHYSICSFORUMS mas não obtive nenhuma resposta satisfatória.O problema a seguir 
é uma preparação para a IPhO, embora só a parte matemática interesse
http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=512186
Reduzi o problema a equação encontrada no link acima, queria achar a função de 
velocidade em função da distância, S.   

[obm-l] Integral difícil

[João Maldonado]

Boa Tarde a todos
Recentemente postei uma integral que não consegui resolver no fórum  
PHYSICSFORUMS mas não obtive nenhuma resposta satisfatória.O problema a seguir 
é uma preparação para a IPhO, embora só a parte matemática interesse
http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=512186
Reduzi o problema a equação encontrada no link acima, queria achar a função de 
velocidade em função da distância, S.   

   

[obm-l] Integral de raiz

[João Maldonado]

Primeiramente boa noite a todo mundo. 
 
Estava tentando achar a fórmula de comprimento de um arco de uma parábola e 
chegei em
 
integrate( sqrt( (2ax + b)² + 1 ) ). dx from x1 to x2
 
Mas sou estudante de ensino médio e esse tipo de integral ainda não aprendi a 
resolver, haha :x
Será que alguém podia me dar uma  mã, sem dar direto uma resposta do wolfram  
:D?
 
[]'s
João
  

[obm-l] integral

[antonio ricardo]

De: antonio ricardo 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 5 de Julho de 2007 21:01:35
Assunto: [obm-l] integral

olá para todos

poderiam me ajudar a resolver a seguinte integral?

S ln(secx + tgx)dx
valeu



Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.


  

Re: [obm-l] Integral

[Bruno França dos Reis]

Seja f: R -> R definida por f(x) = x.

df/dx = 1.

Logo, uma integral indefinida da função g: R -> R definida por g(x) = 1 é f.

Serve?

--
Bruno FRANÇA DOS REIS

msn: brunoreis...@hotmail.com
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16

http://brunoreis.com
http://blog.brunoreis.com

GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key

e^(pi*i)+1=0


2009/10/7 Wagner 

>  Olá a todos da lista
> Tenho uma questão:
> Provar que a integral indefinida de 1 é X
> Grato
> Wagner
>
>
> __ Informação do ESET NOD32 Antivirus, versão da vacina 4487
> (20091007) __
>
> A mensagem foi verificada pelo ESET NOD32 Antivirus.
>
> http://www.eset.com
>

[obm-l] Integral

[Wagner]

Olá a todos da lista 
Tenho uma questão:
Provar que a integral indefinida de 1 é X
Grato
Wagner


__ Informação do ESET NOD32 Antivirus, versão da vacina 4487 (20091007) 
__

A mensagem foi verificada pelo  ESET NOD32 Antivirus.

http://www.eset.com

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral 'difíc il'

[Ralph Teixeira]

Tá... bom, então eu acho que ele errou na digitação, pois aquela integral,
pô, diverge Não consigo ver onde eu teria errado... :(

Quanto ao Mathematica, só consigo chegar ao "e-3/2" cometendo um erro
esquisito: supondo ln(0)=0. Afinal, a integral de dentro seria:

Int[0,e^x] x^2+1/y dy = x^2e^x+ln(e^x)-ln(0)

Se absurdamente fizermos ln(0)=0 (ou, sei lá, como ele não existe eu o
ignoro e continuo o resto, já que fui mal programado por alguém), a integral
original daria:

Int[0,x]x^2e^x+xdx=e-3/2...

(Será que não é e-3/2+Inf??)

Contra o livro e contra o software! Coragem!

Abraço,
  Ralph

2009/5/27 Angelo Schranko quintern...@yahoo.com.br

Ralph, obrigado pela análise.
Também tenho vários argumentos para a não existência de tal integral,
contudo, sua resposta pelo Mathematica dá -3/2 + e

De fato está escrito corretamente!

Está no exercício 55 do livro "Numerical Methods for Engineers and
Scientists", Joe D. Hoffman.

http://www.4shared.com/file/18204220/5da74c3c/Numerical_Methods_for_Engineers_and_Scientists_2nd_Edition.html?s=1

Obrigado

--- Em ter, 26/5/09, Ralph Teixeira  escreveu:

> De: Ralph Teixeira 
> Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Integral 'difícil'
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Data: Terça-feira, 26 de Maio de 2009, 22:20
> Oi, Angelo.
>
> Vi aqui por alto, talvez eu esteja falando bobagem...
> Eu acho que esta integral iterada nao existe. O problema eh
> que a integral de dentro, que eh impropria pois y^-1 eh
> descontinua em y=0, diverge! De fato:
> Int[0,e^x] (x^2+y^-1) dy = x^2.y+lny (y de 0 ateh e^x)
> = lim(b->0) (x^2.e^x+x)-(x^2.b+lnb) = -Inf ?!?
>
> Pensando de outro jeito: note que f(x,y)=x^2+y^(-1)
> eh positiva na regiao R que voce deu (0 0 S:0 eu soh preciso de a,b<1). Se a integral de f em R
> existisse, seria maior ou igual que a integral de f em S,
> certo (pois f eh positiva, e S estah contido em R)?
> Mas:
>
> Int(0,1)Int(a,b) x^2+y^(-1) dydx=Int(0,1)
> x^2(b-a)+ln(b/a) dx = (b-a)/3 + ln(b/a)
> Mantendo b fixo e tomando a->0, isto se aproxima
> de +Inf. Entao, a sua integral eh maior do que a integral em
> S, que por sua vez fica maior que qualquer numero
> positivo Ela nao pode existir! Confere a digitacao da
> questao para a gente?
>
>
> Abraco,
>   Ralph
>
> 2009/5/26 Angelo Schranko 
>
>
> Pessoal, alguém pode me ajudar por favor???
> Como resolver analiticamente a seguinte integral dupla?
>
>
> Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx
>
> Obrigado.
>
> R. -3/2 + e
>
>
>  Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo!
> +Buscados
> http://br.maisbuscados.yahoo.com
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
> lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>
> =
>
>
>


 Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Integral 'difícil'

[lucianarodriggues]

Em 26/05/2009 22:20, Ralph Teixeira < ralp...@gmail.com > escreveu:

Oi, Angelo.
 
Vi aqui por alto, talvez eu esteja falando bobagem... Eu acho que esta integral iterada nao existe. O problema eh que a integral de dentro, que eh impropria pois y^-1 eh descontinua em y=0, diverge! De fato:
Int[0,e^x] (x^2+y^-1) dy = x^2.y+lny (y de 0 ateh e^x) = lim(b->0) (x^2.e^x+x)-(x^2.b+lnb) = -Inf ?!?
 
Pensando de outro jeito: note que f(x,y)=x^2+y^(-1) eh positiva na regiao R que voce deu (0
Int(0,1)Int(a,b) x^2+y^(-1) dydx=Int(0,1) x^2(b-a)+ln(b/a) dx = (b-a)/3 + ln(b/a)
Mantendo b fixo e tomando a->0, isto se aproxima de +Inf. Entao, a sua integral eh maior do que a integral em S, que por sua vez fica maior que qualquer numero positivo Ela nao pode existir! Confere a digitacao da questao para a gente?
Abraco,
          Ralph
2009/5/26 Angelo Schranko 
Pessoal, alguém pode me ajudar por favor???Como resolver analiticamente a seguinte integral dupla?Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydxObrigado.R. -3/2 + e     Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscadoshttp://br.maisbuscados.yahoo.com=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral 'difícil '

[lucianarodriggues]

Em 27/05/2009 00:22, Angelo Schranko < quintern...@yahoo.com.br > escreveu:
Ralph, obrigado pela análise.Também tenho vários argumentos para a não existência de tal integral, contudo, sua resposta pelo Mathematica dá -3/2 + eDe fato está escrito corretamente!Está no exercício 55 do livro "Numerical Methods for Engineers and Scientists", Joe D. Hoffman.http://www.4shared.com/file/18204220/5da74c3c/Numerical_Methods_for_Engineers_and_Scientists_2nd_Edition.html?s=1Obrigado--- Em ter, 26/5/09, Ralph Teixeira escreveu:> De: Ralph Teixeira > Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Integral 'difícil'> Para: obm-l@mat.puc-rio.br> Data: Terça-feira, 26 de Maio de 2009, 22:20> Oi, Angelo.>  > Vi aqui por alto, talvez eu esteja falando bobagem...> Eu acho que esta integral iterada nao existe. O problema eh> que a integral de dentro, que eh impropria pois y^-1 eh> descontinua em y=0, diverge! De fato:> Int[0,e^x] (x^2+y^-1) dy = x^2.y+lny (y de 0 ateh e^x)> = lim(b->0) (x^2.e^x+x)-(x^2.b+lnb) = -Inf ?!?>  > Pensando de outro jeito: note que f(x,y)=x^2+y^(-1)> eh positiva na regiao R que voce deu (0> 0> S:0> eu soh preciso de a,b<1). Se a integral de f em R> existisse, seria maior ou igual que a integral de f em S,> certo (pois f eh positiva, e S estah contido em R)?> Mas:> > Int(0,1)Int(a,b) x^2+y^(-1) dydx=Int(0,1)> x^2(b-a)+ln(b/a) dx = (b-a)/3 + ln(b/a) > Mantendo b fixo e tomando a->0, isto se aproxima> de +Inf. Entao, a sua integral eh maior do que a integral em> S, que por sua vez fica maior que qualquer numero> positivo Ela nao pode existir! Confere a digitacao da> questao para a gente?> > > Abraco,>           Ralph> > 2009/5/26 Angelo Schranko > > > Pessoal, alguém pode me ajudar por favor???> Como resolver analiticamente a seguinte integral dupla?> > > Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx> > Obrigado.> > R. -3/2 + e> > >      Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo!> +Buscados> http://br.maisbuscados.yahoo.com> > > => Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a> lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html> > => > > Veja quais são os assuntos do momento no Yah
 oo! +Buscadoshttp://br.maisbuscados.yahoo.com=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral 'difícil '

[Angelo Schranko]

Ralph, obrigado pela análise.
Também tenho vários argumentos para a não existência de tal integral, contudo, 
sua resposta pelo Mathematica dá -3/2 + e

De fato está escrito corretamente!

Está no exercício 55 do livro "Numerical Methods for Engineers and Scientists", 
Joe D. Hoffman.

http://www.4shared.com/file/18204220/5da74c3c/Numerical_Methods_for_Engineers_and_Scientists_2nd_Edition.html?s=1

Obrigado

--- Em ter, 26/5/09, Ralph Teixeira  escreveu:

> De: Ralph Teixeira 
> Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Integral 'difícil'
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Data: Terça-feira, 26 de Maio de 2009, 22:20
> Oi, Angelo.
>  
> Vi aqui por alto, talvez eu esteja falando bobagem...
> Eu acho que esta integral iterada nao existe. O problema eh
> que a integral de dentro, que eh impropria pois y^-1 eh
> descontinua em y=0, diverge! De fato:
> Int[0,e^x] (x^2+y^-1) dy = x^2.y+lny (y de 0 ateh e^x)
> = lim(b->0) (x^2.e^x+x)-(x^2.b+lnb) = -Inf ?!?
>  
> Pensando de outro jeito: note que f(x,y)=x^2+y^(-1)
> eh positiva na regiao R que voce deu (0 0 S:0 eu soh preciso de a,b<1). Se a integral de f em R
> existisse, seria maior ou igual que a integral de f em S,
> certo (pois f eh positiva, e S estah contido em R)?
> Mas:
> 
> Int(0,1)Int(a,b) x^2+y^(-1) dydx=Int(0,1)
> x^2(b-a)+ln(b/a) dx = (b-a)/3 + ln(b/a) 
> Mantendo b fixo e tomando a->0, isto se aproxima
> de +Inf. Entao, a sua integral eh maior do que a integral em
> S, que por sua vez fica maior que qualquer numero
> positivo Ela nao pode existir! Confere a digitacao da
> questao para a gente?
> 
> 
> Abraco,
>   Ralph
> 
> 2009/5/26 Angelo Schranko 
> 
> 
> Pessoal, alguém pode me ajudar por favor???
> Como resolver analiticamente a seguinte integral dupla?
> 
> 
> Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx
> 
> Obrigado.
> 
> R. -3/2 + e
> 
> 
>      Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo!
> +Buscados
> http://br.maisbuscados.yahoo.com
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
> lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> 
> =
> 
> 
> 


  Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Integral 'difícil'

[Ralph Teixeira]

Oi, Angelo.

Vi aqui por alto, talvez eu esteja falando bobagem... Eu acho que esta
integral iterada nao existe. O problema eh que a integral de dentro, que eh
impropria pois y^-1 eh descontinua em y=0, diverge! De fato:
Int[0,e^x] (x^2+y^-1) dy = x^2.y+lny (y de 0 ateh e^x) = lim(b->0)
(x^2.e^x+x)-(x^2.b+lnb) = -Inf ?!?

Pensando de outro jeito: note que f(x,y)=x^2+y^(-1) eh positiva na regiao R
que voce deu (00, isto se aproxima de +Inf. Entao, a sua
integral eh maior do que a integral em S, que por sua vez fica maior que
qualquer numero positivo Ela nao pode existir! Confere a digitacao da
questao para a gente?

Abraco,
  Ralph
2009/5/26 Angelo Schranko 

>
> Pessoal, alguém pode me ajudar por favor???
> Como resolver analiticamente a seguinte integral dupla?
>
> Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx
>
> Obrigado.
>
> R. -3/2 + e
>
>
>  Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
> http://br.maisbuscados.yahoo.com
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

[obm-l] Re: [obm-l] Integral 'difícil'

[lucianarodriggues]

Em 26/05/2009 20:30, Angelo Schranko < quintern...@yahoo.com.br > escreveu:
Pessoal, alguém pode me ajudar por favor???Como resolver analiticamente a seguinte integral dupla?Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydxObrigado.R. -3/2 + eVeja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscadoshttp://br.maisbuscados.yahoo.com=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Integral 'difícil'

[Angelo Schranko]

Pessoal, alguém pode me ajudar por favor???
Como resolver analiticamente a seguinte integral dupla?

Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx

Obrigado.

R. -3/2 + e


  Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re : [obm-l] Integral dupla - Resolução analíti c a

[lucianarodriggues]

Em 25/05/2009 10:12, Angelo Schranko < quintern...@yahoo.com.br > escreveu:Sim, o enunciado está correto. Calculei no matlab também.[]´s--- Em dom, 24/5/09, Arlane Manoel S Silva  escreveu:> De: Arlane Manoel S Silva > Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral dupla - Resolução analíti ca> Para: obm-l@mat.puc-rio.br> Data: Domingo, 24 de Maio de 2009, 18:33>   Nas minhas contas deu> infinito. O enunciado é este mesmo?> > > Citando Angelo Schranko :> > > > > ???> > > > --- Em sáb, 23/5/09, lucianarodrigg...@uol.com.br > > escreveu:> > > >> De: lucianarodrigg...@uol.com.br> > >> Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral> dupla - Resolução  analíti ca> >> Para: obm-l@mat.puc-rio.br> >> Data: Sábado, 23 de Maio de 2009, 17:15> >> > >> > >> Em 23/05/2009 11:58, Angelo Schranko> >> < quintern...@yahoo.com.br> >> >> escreveu:Olá, obrigado, mas> >> creio que esteja incorreto, pois a resposta> é-3/2 +> >> e.A sua solução dá 5/2> >> -2e/3Obrigado.--- Em qua, 20/5/09,> >> Arlane Manoel S Silva  escreveu:> De:> Arlane> >> Manoel S Silva > Assunto: Re: [obm-l] Integral> dupla> >> - Resolução analítica> Para:> >> obm-l@mat.puc-rio.br>> Data: Quarta-feira, 20 de Maio> >> de 2009, 18:08>    Usando o Teorema> >> de> Fubini, basta mudar a ordem de> >> integração:> > Int[0,1]Int[0,> e^x](x^2> >> + y^-1)dydx=Int[1,e]Int[0,> ln(y)](x^2 +> >> y^-1)dxdy> dai segue faci
 lmente>> >> > > Citando Angelo Schranko :>> >> > > > Pessoal, como resolver> >> analiticamente a> >>   seguinte> integral dupla?>> >>> >> > Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx>> >> >> > Obrigado.> >>> >> >> >       Veja quais> são> >> os> assuntos do momento no Yahoo!> +Buscados>> >> > http://br.maisbuscados.yahoo.com>> >>> >> >>> >>> =>> >> > Instruções para entrar na lista, sair> da lista> >> e> usar a lista em> >> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html>> >> >>> >>> =>> >> >> > > > -- >> >>          Arlane Manoel S>> >> Silva>    Departamento de> Matemática> >> Aplicada> Instituto de Matemática e> >> Estatística
 -USP> > >> >>> =>> >> Instruções para entrar na lista, sair da> lista e usar> >> a> lista em>> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html>> >>> =>> >>       Veja quais são> os assuntos do> >> momento no Yahoo!> >> +Buscadoshttp://br.maisbuscados.yahoo.com=Instruções> >> para entrar na lista, sair da lista e usar a> lista> >> emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=> >>> => >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e> usar a> >> lista em> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obml
 istas/obm-l.html> >>> => >> > > > > > >       Veja quais são os> assuntos do momento no Yahoo! +Buscados> > http://br.maisbuscados.yahoo.com> > > >> => > Instruções para entrar na lista, sair da lista e> usar a lista em> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html> >> => > > > > > --        Arlane Manoel S Silva>   Departamento de Matemática Aplicada> Instituto de Matemática e Estatística-USP> > > => Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a> lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html> ===
 ==>   Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscadoshttp://br.maisbuscados.yahoo.com=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re : [obm-l] Integral dupla - Resolução analíti c a

[Angelo Schranko]

Sim, o enunciado está correto. Calculei no matlab também.

[]´s

--- Em dom, 24/5/09, Arlane Manoel S Silva  escreveu:

> De: Arlane Manoel S Silva 
> Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral dupla - 
> Resolução analíti ca
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Data: Domingo, 24 de Maio de 2009, 18:33
>   Nas minhas contas deu
> infinito. O enunciado é este mesmo?
> 
> 
> Citando Angelo Schranko :
> 
> > 
> > ???
> > 
> > --- Em sáb, 23/5/09, lucianarodrigg...@uol.com.br 
> 
> escreveu:
> > 
> >> De: lucianarodrigg...@uol.com.br
> 
> >> Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral
> dupla - Resolução  analíti ca
> >> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> >> Data: Sábado, 23 de Maio de 2009, 17:15
> >> 
> >> 
> >> Em 23/05/2009 11:58, Angelo Schranko
> >> < quintern...@yahoo.com.br
> >
> >> escreveu:Olá, obrigado, mas
> >> creio que esteja incorreto, pois a resposta
> é-3/2 +
> >> e.A sua solução dá 5/2
> >> -2e/3Obrigado.--- Em qua, 20/5/09,
> >> Arlane Manoel S Silva  escreveu:> De:
> Arlane
> >> Manoel S Silva > Assunto: Re: [obm-l] Integral
> dupla
> >> - Resolução analítica> Para:
> >> obm-l@mat.puc-rio.br>
> Data: Quarta-feira, 20 de Maio
> >> de 2009, 18:08>    Usando o Teorema
> >> de> Fubini, basta mudar a ordem de
> >> integração:> > Int[0,1]Int[0,
> e^x](x^2
> >> + y^-1)dydx=Int[1,e]Int[0,> ln(y)](x^2 +
> >> y^-1)dxdy> dai segue facilmente>
> >> > > Citando Angelo Schranko :>
> >> > > > Pessoal, como resolver
> >> analiticamente a
> >>   seguinte> integral dupla?>
> >>
> >> > Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx>
> >> >> > Obrigado.> >>
> >> >> >       Veja quais
> são
> >> os> assuntos do momento no Yahoo!
> +Buscados>
> >> > http://br.maisbuscados.yahoo.com>
> >>
> >> >>
> >>
> =>
> >> > Instruções para entrar na lista, sair
> da lista
> >> e> usar a lista em> >
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html>
> >> >>
> >>
> =>
> >> >> > > > -- >
> >>          Arlane Manoel S>
> >> Silva>    Departamento de
> Matemática
> >> Aplicada> Instituto de Matemática e
> >> Estatística-USP> > >
> >>
> =>
> >> Instruções para entrar na lista, sair da
> lista e usar
> >> a> lista em>
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html>
> >>
> =>
> >>       Veja quais são
> os assuntos do
> >> momento no Yahoo!
> >> +Buscadoshttp://br.maisbuscados.yahoo.com=Instruções
> >> para entrar na lista, sair da lista e usar a
> lista
> >> emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
> >>
> =
> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a
> >> lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >>
> =
> >> 
> > 
> > 
> >       Veja quais são os
> assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
> > http://br.maisbuscados.yahoo.com
> > 
> >
> =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >
> =
> > 
> 
> 
> 
> --        Arlane Manoel S Silva
>   Departamento de Matemática Aplicada
> Instituto de Matemática e Estatística-USP
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
> lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
> 


  Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral dupla - Resolução analíti ca

[Arlane Manoel S Silva]

  Nas minhas contas deu infinito. O enunciado é este mesmo?


Citando Angelo Schranko :



???

--- Em sáb, 23/5/09, lucianarodrigg...@uol.com.br   
 escreveu:



De: lucianarodrigg...@uol.com.br 
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral dupla - Resolução  
 analíti ca

Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sábado, 23 de Maio de 2009, 17:15


Em 23/05/2009 11:58, Angelo Schranko
< quintern...@yahoo.com.br >
escreveu:Olá, obrigado, mas
creio que esteja incorreto, pois a resposta é-3/2 +
e.A sua solução dá 5/2
-2e/3Obrigado.--- Em qua, 20/5/09,
Arlane Manoel S Silva  escreveu:> De: Arlane
Manoel S Silva > Assunto: Re: [obm-l] Integral dupla
- Resolução analítica> Para:
obm-l@mat.puc-rio.br> Data: Quarta-feira, 20 de Maio
de 2009, 18:08>    Usando o Teorema
de> Fubini, basta mudar a ordem de
integração:> > Int[0,1]Int[0, e^x](x^2
+ y^-1)dydx=Int[1,e]Int[0,> ln(y)](x^2 +
y^-1)dxdy> dai segue facilmente>
> > Citando Angelo Schranko :>
> > > Pessoal, como resolver
analiticamente a
  seguinte> integral dupla?> >>
> Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx>
>> > Obrigado.> >>
>> >       Veja quais são
os> assuntos do momento no Yahoo! +Buscados>
> http://br.maisbuscados.yahoo.com> >>
>>
=>
> Instruções para entrar na lista, sair da lista
e> usar a lista em> >
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html>
>>
=>
>> > > > -- >
         Arlane Manoel S>
Silva>    Departamento de Matemática
Aplicada> Instituto de Matemática e
Estatística-USP> > >
=>
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar
a> lista em>
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html>
=>
  Veja quais são os assuntos do
momento no Yahoo!
+Buscadoshttp://br.maisbuscados.yahoo.com=Instruções
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=




  Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=





--
Arlane Manoel S Silva
  Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática e Estatística-USP


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[obm-l] Integral dupla - Resolução analítica (de novo)

[Angelo Schranko]

Pessoal, como resolver analiticamente a seguinte integral dupla?

Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx

Obrigado.


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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Resp.: [obm-l] Integral dupla - Resolução analítica

[lucianarodriggues]

Em 23/05/2009 11:56, Angelo Schranko < quintern...@yahoo.com.br > escreveu:Rogerio, obrigado, mas o problema aparece justamente aqui:> Assim, sobra apenas a opcao de considerarmos "x" uma> constante durante> o calculo da integral interna, cuja solucao sera' algo do> tipo  F(e^x)> - F(0).Pois a primitiva de y^-1 em 0 é ln(0)Obrigado.--- Em qua, 20/5/09, Rogerio Ponce  escreveu:> De: Rogerio Ponce > Assunto: [obm-l] Resp.: [obm-l] Integral dupla - Resolução analítica> Para: obm-l@mat.puc-rio.br> Data: Quarta-feira, 20 de Maio de 2009, 18:21> Ola' Angelo,> repare que na integral mais interna (portanto, a que vai> ser calculada> primeiro) , e^x e' um dos limites de integracao, ao m
 esmo> tempo em que> "dx" vem apos "dy".> Assim, sobra apenas a opcao de considerarmos "x" uma> constante durante> o calculo da integral interna, cuja solucao sera' algo do> tipo  F(e^x)> - F(0).> Em seguida, voce tera' uma integral em x, de [ F(e^x) -> F(0) ] dx,> cuja solucao tambem sera' simples.> > Abracos,> Rogerio Ponce> > > Em 20/05/09, Angelo Schranko> escreveu:> >> > Pessoal, como resolver analiticamente a seguinte> integral dupla?> >> > Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx> >> > Obrigado.> >> >> >       Veja quais são os> assuntos do momento no Yahoo! +Buscados> > http://br.maisbuscados.yahoo.com> >> >> => > Instruções para entrar na lista, sair da lista e> usar a lista em> > http://www.mat
 .puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html> >> => >> > => Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a> lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html> =>   Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscadoshttp://br.maisbuscados.yahoo.com=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral dupla - Resolução analíti ca

[lucianarodriggues]

Em 23/05/2009 11:58, Angelo Schranko < quintern...@yahoo.com.br > escreveu:Olá, obrigado, mas creio que esteja incorreto, pois a resposta é-3/2 + e.A sua solução dá 5/2 -2e/3Obrigado.--- Em qua, 20/5/09, Arlane Manoel S Silva  escreveu:> De: Arlane Manoel S Silva > Assunto: Re: [obm-l] Integral dupla - Resolução analítica> Para: obm-l@mat.puc-rio.br> Data: Quarta-feira, 20 de Maio de 2009, 18:08>    Usando o Teorema de> Fubini, basta mudar a ordem de integração:> > Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx=Int[1,e]Int[0,> ln(y)](x^2 + y^-1)dxdy> dai segue facilmente> > > Citando Angelo Schranko :> > > > Pessoal, como resolver analiticamente a
  seguinte> integral dupla?> >> > Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx> >> > Obrigado.> >> >> >       Veja quais são os> assuntos do momento no Yahoo! +Buscados> > http://br.maisbuscados.yahoo.com> >> >> => > Instruções para entrar na lista, sair da lista e> usar a lista em> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html> >> => >> > > > -- >          Arlane Manoel S> Silva>    Departamento de Matemática Aplicada> Instituto de Matemática e Estatística-USP> > > => Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a> lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html> =>   Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscadoshttp://br.maisbuscados.yahoo.com=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
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[obm-l] Re: [obm-l] Integral dupla - Resolução analíti ca

[Angelo Schranko]

Olá, obrigado, mas creio que esteja incorreto, pois a resposta é
-3/2 + e.

A sua solução dá 5/2 -2e/3

Obrigado.

--- Em qua, 20/5/09, Arlane Manoel S Silva  escreveu:

> De: Arlane Manoel S Silva 
> Assunto: Re: [obm-l] Integral dupla - Resolução analítica
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Data: Quarta-feira, 20 de Maio de 2009, 18:08
>    Usando o Teorema de
> Fubini, basta mudar a ordem de integração:
> 
> Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx=Int[1,e]Int[0,
> ln(y)](x^2 + y^-1)dxdy
> dai segue facilmente
> 
> 
> Citando Angelo Schranko :
> 
> 
> > Pessoal, como resolver analiticamente a seguinte
> integral dupla?
> >
> > Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx
> >
> > Obrigado.
> >
> >
> >       Veja quais são os
> assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
> > http://br.maisbuscados.yahoo.com
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[obm-l] Re: [obm-l] Resp.: [obm-l] Integral dupla - Resolução analítica

[Angelo Schranko]

Rogerio, obrigado, mas o problema aparece justamente aqui:

> Assim, sobra apenas a opcao de considerarmos "x" uma
> constante durante
> o calculo da integral interna, cuja solucao sera' algo do
> tipo  F(e^x)
> - F(0).

Pois a primitiva de y^-1 em 0 é ln(0)

Obrigado.

--- Em qua, 20/5/09, Rogerio Ponce  escreveu:

> De: Rogerio Ponce 
> Assunto: [obm-l] Resp.: [obm-l] Integral dupla - Resolução analítica
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Data: Quarta-feira, 20 de Maio de 2009, 18:21
> Ola' Angelo,
> repare que na integral mais interna (portanto, a que vai
> ser calculada
> primeiro) , e^x e' um dos limites de integracao, ao mesmo
> tempo em que
> "dx" vem apos "dy".
> Assim, sobra apenas a opcao de considerarmos "x" uma
> constante durante
> o calculo da integral interna, cuja solucao sera' algo do
> tipo  F(e^x)
> - F(0).
> Em seguida, voce tera' uma integral em x, de [ F(e^x) -
> F(0) ] dx,
> cuja solucao tambem sera' simples.
> 
> Abracos,
> Rogerio Ponce
> 
> 
> Em 20/05/09, Angelo Schranko
> escreveu:
> >
> > Pessoal, como resolver analiticamente a seguinte
> integral dupla?
> >
> > Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx
> >
> > Obrigado.
> >
> >
> >       Veja quais são os
> assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
> > http://br.maisbuscados.yahoo.com
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> usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Resp.: [obm-l] Integral dupla - Resolução analíti ca

[Rogerio Ponce]

Ola' Angelo,
repare que na integral mais interna (portanto, a que vai ser calculada
primeiro) , e^x e' um dos limites de integracao, ao mesmo tempo em que
"dx" vem apos "dy".
Assim, sobra apenas a opcao de considerarmos "x" uma constante durante
o calculo da integral interna, cuja solucao sera' algo do tipo  F(e^x)
- F(0).
Em seguida, voce tera' uma integral em x, de [ F(e^x) - F(0) ] dx,
cuja solucao tambem sera' simples.

Abracos,
Rogerio Ponce


Em 20/05/09, Angelo Schranko escreveu:
>
> Pessoal, como resolver analiticamente a seguinte integral dupla?
>
> Int[0,1]Int[0, e^x](x^2 + y^-1)dydx
>
> Obrigado.
>
>
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