Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Pois é me falta uma aulinha de fundamentos tambem vou ter ki ser aluno especial... > on 01.06.04 19:17, niski at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > Acho que me expressei mal. > > Quis dizer se o numero de coeficientes deve ser finito. > > > Sim, caso contrario nao teriamos um polinomio. > > > Se é necessariamente finito, basta mostrar que a expansao da funcao > > trigonometrica em questao é uma serie com numero de coeficiente > > infinitos. Não? > > > Existem demonstracoes mais simples. No fim das contas, a que eu gosto mais > eh a do Artur, que eh totalmente elementar. > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Okay!, valeu, entendi. > Oi, Osvaldo: > > A solucao que eu tinha em mente usa o fato de que a derivada (n+1)-esima de > uma funcao polinomial de grau n eh a funcao identicamente nula e obtem uma > contradicao a partir disso, pois as derivadas de ordem superior da funcao > cosseno nunca sao identicamente nulas. > > De uma olhada na solucao do Fabio. > > Por outro lado, acho que o caminho que voce tomou eventualmente chega lah, > mas a algebra pode ficar meio enrolada, com voce deve ter percebido. Alem > disso, ha um erro no coeficiente de x^1 do lado esquerdo, o qual deveria ser > 4*a_1*a_2 + 2*a_1*a_0 = 2*a_1*(2*a_2 + a_0). > > Uma forma melhor eh comecar supondo que cos(x) seja um polinomio de grau n. > Claramente, n >= 1, pois cos(x) nao eh constante. > Nesse caso, expandindo cos^2(x) + sen^2(x), obtemos que o coeficiente de > x^(2n) serah igual a a_n^2. > Mas cos^2(x) + sen^2(x) = 1. Logo, a_n^2 = 0 ==> > a_n = 0 ==> > cos(x) tem grau no maximo (n-1) ==> > contradicao ==> > cos(x) nao pode ser um polinomio. > > []s, > Claudio. > > on 01.06.04 01:35, Osvaldo at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > Eu tentei, mas acho que errei em algum lugar. Por favor > > encontrem meu erro! > > > > Vou supor que cos possa ser escrito como um polinomio. > > cos x = a_0+a_1.x+a_2.x^2+...+a_n.x^n; a_i reais nao > > simultaneamente nulos. > > > > Derivando vem que cos'x = sen x = > > a_1+2.a_2.x+...+n.a_n.x^(n-1) > > > > Da identidade cos^2(x)+sen^2(x)=1 vem: > > > > [a_1+2.a_2.x+...+n.a_n.x^(n-1)]^2+ > > [a_0+a_1.x+a_2.x^2+...+a_n.x^n]^2 = 1 > > > > Logo, temos que > > a_1^2+a_0^2=1 (*) > > 4.a_2^2+a_1^2=0 > > . > > . > > . > > > > n^2.a_(n-1)^2+a_n^2=0 > > > > Mais 4.a_2^2+a_1^2=0 em R somente se a_2 e a_1 são > > ambos nulos. logo a_1=0 (**) > > > > Substituindo ** em * eu vejo que a_0^2 deve ser 1 e > > logo que a_0 é 1. > > > > Acho que isso é uma contradiçao, pois x varre o > > intervalo [a,b] e a!=b. Se assim o for está provado, > > mais acho que devo ter errado em algum lugar, se > > puderem me enviem o erro. Até > > > >> Uma versao um pouco mais dificil: > >> > >> Sejam a e b numeros reais com a < b. > >> Prove que F:[a,b] -> R dada por F(x) = cos(x) > >> nao eh uma funcao polinomial. > >> > >> Dessa vez o argumento de infinitas raizes nao se > > aplica... > >> > >> []s, > >> Claudio. > >> > >> > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
on 01.06.04 19:17, niski at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Acho que me expressei mal. > Quis dizer se o numero de coeficientes deve ser finito. > Sim, caso contrario nao teriamos um polinomio. > Se é necessariamente finito, basta mostrar que a expansao da funcao > trigonometrica em questao é uma serie com numero de coeficiente > infinitos. Não? > Existem demonstracoes mais simples. No fim das contas, a que eu gosto mais eh a do Artur, que eh totalmente elementar. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Acho que me expressei mal. Quis dizer se o numero de coeficientes deve ser finito. Se é necessariamente finito, basta mostrar que a expansao da funcao trigonometrica em questao é uma serie com numero de coeficiente infinitos. Não? E os a_i's devem ser finitos? Como seria um a_i infinito? Claudio Buffara wrote: on 01.06.04 00:40, niski at [EMAIL PROTECTED] wrote: Afinal de contas, qual é a definição de função polinomial? Eh uma funcao que leva um numero real x no numero: F(x) = a_0 + a_1*x + ... + a_n*x^n, com n inteiro nao-negativo e os a_i reais (todos fixos de antemao). = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] "Now I will have less distraction" Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
on 01.06.04 17:32, niski at [EMAIL PROTECTED] wrote: > E os a_i's devem ser finitos? > Como seria um a_i infinito? > Claudio Buffara wrote: > >> on 01.06.04 00:40, niski at [EMAIL PROTECTED] wrote: >> >> >>> Afinal de contas, qual é a definição de função polinomial? >>> >> >> Eh uma funcao que leva um numero real x no numero: >> F(x) = a_0 + a_1*x + ... + a_n*x^n, >> com n inteiro nao-negativo e os a_i reais (todos fixos de antemao). > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Ah, no exemplo que eu dei eu quis dizer cota em decimetros, naum em centimetros! Artur __ Do you Yahoo!? Friends. Fun. Try the all-new Yahoo! Messenger. http://messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
E os a_i's devem ser finitos? Claudio Buffara wrote: on 01.06.04 00:40, niski at [EMAIL PROTECTED] wrote: Afinal de contas, qual é a definição de função polinomial? Eh uma funcao que leva um numero real x no numero: F(x) = a_0 + a_1*x + ... + a_n*x^n, com n inteiro nao-negativo e os a_i reais (todos fixos de antemao). -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] "Now I will have less distraction" Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Se P eh um polinomio de grau n>=0, entao P(x) = Soma (i =0,n) c_i*x^i. Se k eh um real, entao P(k*x) = Soma (i =0,n) c_i*(k*x)^i = Soma (i =0,n) (c_i*k^i)*x^i S. Assim, P(k*x) eh um polinomio de grau n cujos coeficientes sao c_i*k^i, i=0,1n. Se k=0, entao P(k*x) = p(0) = a_0 para todo x, que pode ser visto como um polinomio de grau zero. Um exemplo pratico: Em muitos modelos computacionais, a curva que representa a variacao da area do reservatorio de uma usina hidreletrica em funcao da cota do espelho dagua eh estimada por um polinomio do quarto grau. Geralmente os coeficientes sao calculados para a cota em metros e a area em km2. Mas se vc quiser usar um modelo em que a cota seja dada em centimetros, com saida ainda em km2, a funcao continua sendo um polinomio. O termo independente naum sera alterado, o do primeiro grau serah divido por 10.., e o do quarto grau por 1. Artur Somaa_0 + a_n*x^no --- João_Gilberto_Ponciano_Pereira <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Só não entendi uma coisa Pq se cos(x) é Não é um > polinômio, cos(k*x) > também não o será? Tá, intuitivamente isto é óbvio, > mas e para provar isso? > E se k=0??? Daí cos(k*x) seria um polinômio! > > -Original Message- > From: Claudio Buffara > [mailto:[EMAIL PROTECTED] > Sent: Tuesday, June 01, 2004 3:28 PM > To: [EMAIL PROTECTED] > Subject: Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2) > > > Que tal isso aqui? > > Se cos:[a,b] -> R eh uma funcao polinomial de grau > n, entao a funcao: > F: [a,b] -> R dada por F(x) = cos(mx) (m inteiro e > fixo) > tambem serah uma funcao polinomial de grau n em x. > Mas se n for grande o suficiente, F terah mais do > que n raizes em [a,b] ==> > contradicao. > > []s, > Claudio. > > on 01.06.04 13:57, Johann Peter Gustav Lejeune > Dirichlet at > [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > > Simples: as derivadas de cos nunca sao identicamente > nulas num intrvalo > aberto de IR, ao contrario das derivadas de ordem > grande o bastante de um > polinomio. > > Mas essa e uma soluçao que se usa de derivadas. Sera > que nao tem algo menos > apelador? > > Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> > wrote: > > > Uma versao um pouco mais dificil: > > Sejam a e b numeros reais com a < b. > Prove que F:[a,b] -> R dada por F(x) = cos(x) > nao eh uma funcao polinomial. > > Dessa vez o argumento de infinitas raizes nao se > aplica... > > []s, > Claudio. > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = __ Do you Yahoo!? Friends. Fun. Try the all-new Yahoo! Messenger. http://messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
on 01.06.04 16:02, João Gilberto Ponciano Pereira at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Só não entendi uma coisa Pq se cos(x) é Não é um polinômio, cos(k*x) > também não o será? Tá, intuitivamente isto é óbvio, mas e para provar isso? > E se k=0??? Daí cos(k*x) seria um polinômio! > Tah legal! Temos que excluir k = 0, mas tudo bem porque queremos k grande. F(x) eh um polinomio em x, digamos de grau n ==> F(x) = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n ==> F(kx) = a_0 + a_1kx + a_2k^2x^2 + ... + a_nk^nx^n ==> F(kx) = b_0 + b_1x + ... + b_nx^n, onde b_i = k^i*a_i, para 0 <= i <= n ==> F(kx) = polinomio em x de grau n (se k <> 0). Satisfeito agora? []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Só não entendi uma coisa Pq se cos(x) é Não é um polinômio, cos(k*x) também não o será? Tá, intuitivamente isto é óbvio, mas e para provar isso? E se k=0??? Daí cos(k*x) seria um polinômio! -Original Message- From: Claudio Buffara [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, June 01, 2004 3:28 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2) Que tal isso aqui? Se cos:[a,b] -> R eh uma funcao polinomial de grau n, entao a funcao: F: [a,b] -> R dada por F(x) = cos(mx) (m inteiro e fixo) tambem serah uma funcao polinomial de grau n em x. Mas se n for grande o suficiente, F terah mais do que n raizes em [a,b] ==> contradicao. []s, Claudio. on 01.06.04 13:57, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote: Simples: as derivadas de cos nunca sao identicamente nulas num intrvalo aberto de IR, ao contrario das derivadas de ordem grande o bastante de um polinomio. Mas essa e uma soluçao que se usa de derivadas. Sera que nao tem algo menos apelador? Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Uma versao um pouco mais dificil: Sejam a e b numeros reais com a < b. Prove que F:[a,b] -> R dada por F(x) = cos(x) nao eh uma funcao polinomial. Dessa vez o argumento de infinitas raizes nao se aplica... []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Title: Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2) Eu quis dizer: se "m" for grande o suficiente. Enfim, o Artur jah havia dado a mesma solucao. on 01.06.04 15:27, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote: Que tal isso aqui? Se cos:[a,b] -> R eh uma funcao polinomial de grau n, entao a funcao: F: [a,b] -> R dada por F(x) = cos(mx) (m inteiro e fixo) tambem serah uma funcao polinomial de grau n em x. Mas se n for grande o suficiente, F terah mais do que n raizes em [a,b] ==> contradicao. []s, Claudio. on 01.06.04 13:57, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote: Simples: as derivadas de cos nunca sao identicamente nulas num intrvalo aberto de IR, ao contrario das derivadas de ordem grande o bastante de um polinomio. Mas essa e uma soluçao que se usa de derivadas. Sera que nao tem algo menos apelador? Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Uma versao um pouco mais dificil: Sejam a e b numeros reais com a < b. Prove que F:[a,b] -> R dada por F(x) = cos(x) nao eh uma funcao polinomial. Dessa vez o argumento de infinitas raizes nao se aplica... []s, Claudio.
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Title: Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2) Que tal isso aqui? Se cos:[a,b] -> R eh uma funcao polinomial de grau n, entao a funcao: F: [a,b] -> R dada por F(x) = cos(mx) (m inteiro e fixo) tambem serah uma funcao polinomial de grau n em x. Mas se n for grande o suficiente, F terah mais do que n raizes em [a,b] ==> contradicao. []s, Claudio. on 01.06.04 13:57, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote: Simples: as derivadas de cos nunca sao identicamente nulas num intrvalo aberto de IR, ao contrario das derivadas de ordem grande o bastante de um polinomio. Mas essa e uma soluçao que se usa de derivadas. Sera que nao tem algo menos apelador? Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Uma versao um pouco mais dificil: Sejam a e b numeros reais com a < b. Prove que F:[a,b] -> R dada por F(x) = cos(x) nao eh uma funcao polinomial. Dessa vez o argumento de infinitas raizes nao se aplica... []s, Claudio.
RE: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Mas series de Fourier e a mesma coisa que usar bazuca para matar mosquito. Digo, sem exagerar no calculo.João_Gilberto_Ponciano_Pereira <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Olha, sem derivadas, eu pensei em usar séries de Fourrier... e provar que ograu do poliômio seria infinito.-Original Message-From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet[mailto:[EMAIL PROTECTED]Sent:: Tuesday, June 01, 2004 1:57 PMTo: [EMAIL PROTECTED]Subject: Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)Simples: as derivadas de cos nunca sao identicamente nulas num intrvaloaberto de IR, ao contrario das derivadas de ordem grande o bastante de umpolinomio.Mas essa e uma soluçao que se usa de derivadas. Sera que nao tem algo menosapelador?Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]>wrote:Uma versao um pouco mais dificil:Sejam a e b numeros reais com a < b.Prove que F:[a,b] -> R dada por F(x) = cos(x)nao eh uma funcao polinomial.Dessa vez o argumento de infinitas raizes nao se aplica...[]s,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)N.F.C. (Ne Fronti Crede)_ Yahoo!Mail - Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique_mail_survey_br> aqui!=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) N.F.C. (Ne Fronti Crede)Yahoo! Mail - Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique aqui!
RE: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Sem derivadas, acho que podemos fazer o seguinte: se cos for uma funcao
polinomial P de grau n, entao P tem um numero finito <=n de raizes em [a,b].
Para todo real a, temos entao que cos(a*x) eh tambem um polinomio de grau n
e, desta forma, tem em [a,b] um numero finito, tambem <=n de raizes. Mas
fazendo-se a suficientemente grande podemos fazer com que cos(a*x) tenha em
{a,b] quantos raizes se desejem. Desta contradicao, vemos que cos nao pode
ser polinomial em nenhum intervalo [a,b], com a
Assunto: RE: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Data: 01/06/04 14:51
Olha, sem derivadas, eu pensei em usar séries de Fourrier... e provar que o
grau do poliômio seria infinito.
-Original Message-
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
[mailto:[EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, June 01, 2004 1:57 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Simples: as derivadas de cos nunca sao identicamente nulas num intrvalo
aberto de IR, ao contrario das derivadas de ordem grande o bastante de um
polinomio.
Mas essa e uma soluçao que se usa de derivadas. Sera que nao tem algo menos
apelador?
Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Uma versao um pouco mais dificil:
Sejam a e b numeros reais com a < b.
Prove que F:[a,b] -> R dada por F(x) = cos(x)
nao eh uma funcao polinomial.
Dessa vez o argumento de infinitas raizes nao se aplica...
[]s,
Claudio.
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RE: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Olha, sem derivadas, eu pensei em usar séries de Fourrier... e provar que o grau do poliômio seria infinito. -Original Message- From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, June 01, 2004 1:57 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2) Simples: as derivadas de cos nunca sao identicamente nulas num intrvalo aberto de IR, ao contrario das derivadas de ordem grande o bastante de um polinomio. Mas essa e uma soluçao que se usa de derivadas. Sera que nao tem algo menos apelador? Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Uma versao um pouco mais dificil: Sejam a e b numeros reais com a < b. Prove que F:[a,b] -> R dada por F(x) = cos(x) nao eh uma funcao polinomial. Dessa vez o argumento de infinitas raizes nao se aplica... []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) N.F.C. (Ne Fronti Crede) _ <http://br.rd.yahoo.com//mail_br/tagline/?http://mail.yahoo.com.br/> Yahoo! Mail - Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique <http://br.rd.yahoo.com//mail_br/tagline/?http://br.surveys.yahoo.com/global _mail_survey_br> aqui! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Simples: as derivadas de cos nunca sao identicamente nulas num intrvalo aberto de IR, ao contrario das derivadas de ordem grande o bastante de um polinomio. Mas essa e uma soluçao que se usa de derivadas. Sera que nao tem algo menos apelador? Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Uma versao um pouco mais dificil:Sejam a e b numeros reais com a < b.Prove que F:[a,b] -> R dada por F(x) = cos(x)nao eh uma funcao polinomial.Dessa vez o argumento de infinitas raizes nao se aplica...[]s,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) N.F.C. (Ne Fronti Crede)Yahoo! Mail - Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique aqui!
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Eu sempre defini polinomial como uma combinaçao linear de potencias da variavel livre xniski <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Afinal de contas, qual é a definição de função polinomial?Claudio Buffara wrote:> Uma versao um pouco mais dificil:> > Sejam a e b numeros reais com a < b.> Prove que F:[a,b] -> R dada por F(x) = cos(x)> nao eh uma funcao polinomial.-- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski[upon losing the use of his right eye]"Now I will have less distrraction"Leonhard Euler=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) N.F.C. (Ne Fronti Crede)Yahoo! Mail - Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique aqui!
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Oi, Osvaldo: A solucao que eu tinha em mente usa o fato de que a derivada (n+1)-esima de uma funcao polinomial de grau n eh a funcao identicamente nula e obtem uma contradicao a partir disso, pois as derivadas de ordem superior da funcao cosseno nunca sao identicamente nulas. De uma olhada na solucao do Fabio. Por outro lado, acho que o caminho que voce tomou eventualmente chega lah, mas a algebra pode ficar meio enrolada, com voce deve ter percebido. Alem disso, ha um erro no coeficiente de x^1 do lado esquerdo, o qual deveria ser 4*a_1*a_2 + 2*a_1*a_0 = 2*a_1*(2*a_2 + a_0). Uma forma melhor eh comecar supondo que cos(x) seja um polinomio de grau n. Claramente, n >= 1, pois cos(x) nao eh constante. Nesse caso, expandindo cos^2(x) + sen^2(x), obtemos que o coeficiente de x^(2n) serah igual a a_n^2. Mas cos^2(x) + sen^2(x) = 1. Logo, a_n^2 = 0 ==> a_n = 0 ==> cos(x) tem grau no maximo (n-1) ==> contradicao ==> cos(x) nao pode ser um polinomio. []s, Claudio. on 01.06.04 01:35, Osvaldo at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Eu tentei, mas acho que errei em algum lugar. Por favor > encontrem meu erro! > > Vou supor que cos possa ser escrito como um polinomio. > cos x = a_0+a_1.x+a_2.x^2+...+a_n.x^n; a_i reais nao > simultaneamente nulos. > > Derivando vem que cos'x = sen x = > a_1+2.a_2.x+...+n.a_n.x^(n-1) > > Da identidade cos^2(x)+sen^2(x)=1 vem: > > [a_1+2.a_2.x+...+n.a_n.x^(n-1)]^2+ > [a_0+a_1.x+a_2.x^2+...+a_n.x^n]^2 = 1 > > Logo, temos que > a_1^2+a_0^2=1 (*) > 4.a_2^2+a_1^2=0 > . > . > . > > n^2.a_(n-1)^2+a_n^2=0 > > Mais 4.a_2^2+a_1^2=0 em R somente se a_2 e a_1 são > ambos nulos. logo a_1=0 (**) > > Substituindo ** em * eu vejo que a_0^2 deve ser 1 e > logo que a_0 é 1. > > Acho que isso é uma contradiçao, pois x varre o > intervalo [a,b] e a!=b. Se assim o for está provado, > mais acho que devo ter errado em algum lugar, se > puderem me enviem o erro. Até > >> Uma versao um pouco mais dificil: >> >> Sejam a e b numeros reais com a < b. >> Prove que F:[a,b] -> R dada por F(x) = cos(x) >> nao eh uma funcao polinomial. >> >> Dessa vez o argumento de infinitas raizes nao se > aplica... >> >> []s, >> Claudio. >> >> = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
on 01.06.04 00:40, niski at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Afinal de contas, qual é a definição de função polinomial? > Eh uma funcao que leva um numero real x no numero: F(x) = a_0 + a_1*x + ... + a_n*x^n, com n inteiro nao-negativo e os a_i reais (todos fixos de antemao). > Claudio Buffara wrote: >> Uma versao um pouco mais dificil: >> >> Sejam a e b numeros reais com a < b. >> Prove que F:[a,b] -> R dada por F(x) = cos(x) >> nao eh uma funcao polinomial. > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Eu tentei, mas acho que errei em algum lugar. Por favor encontrem meu erro! Vou supor que cos possa ser escrito como um polinomio. cos x = a_0+a_1.x+a_2.x^2+...+a_n.x^n; a_i reais nao simultaneamente nulos. Derivando vem que cos'x = sen x = a_1+2.a_2.x+...+n.a_n.x^(n-1) Da identidade cos^2(x)+sen^2(x)=1 vem: [a_1+2.a_2.x+...+n.a_n.x^(n-1)]^2+ [a_0+a_1.x+a_2.x^2+...+a_n.x^n]^2 = 1 Logo, temos que a_1^2+a_0^2=1 (*) 4.a_2^2+a_1^2=0 . . . n^2.a_(n-1)^2+a_n^2=0 Mais 4.a_2^2+a_1^2=0 em R somente se a_2 e a_1 são ambos nulos. logo a_1=0 (**) Substituindo ** em * eu vejo que a_0^2 deve ser 1 e logo que a_0 é 1. Acho que isso é uma contradiçao, pois x varre o intervalo [a,b] e a!=b. Se assim o for está provado, mais acho que devo ter errado em algum lugar, se puderem me enviem o erro. Até > Uma versao um pouco mais dificil: > > Sejam a e b numeros reais com a < b. > Prove que F:[a,b] -> R dada por F(x) = cos(x) > nao eh uma funcao polinomial. > > Dessa vez o argumento de infinitas raizes nao se aplica... > > []s, > Claudio. > > = > Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> said: > Uma versao um pouco mais dificil: > > Sejam a e b numeros reais com a < b. > Prove que F:[a,b] -> R dada por F(x) = cos(x) > nao eh uma funcao polinomial. > [...] F = F => F^(4k) = F, mas se F é uma função polinomial de grau n, então F^(n+1) = 0. Mas tomando 4k >= n+1, F^(4k) = F = 0, logo F é identicamente nula, absurdo. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAvAc9alOQFrvzGQoRAjm/AJ9Ah/0BIP04mSHIWCJocP6ZHMoFJACgqknp +iEe7Grgty5DwhXM78IbWlk= =Xuot -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Afinal de contas, qual é a definição de função polinomial? Claudio Buffara wrote: Uma versao um pouco mais dificil: Sejam a e b numeros reais com a < b. Prove que F:[a,b] -> R dada por F(x) = cos(x) nao eh uma funcao polinomial. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] "Now I will have less distraction" Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
