Stanislav Maslovski -> [email protected] @ Sun, 15 Nov 2009 01:03:48 +0300:
>> > А кстати, теорему Пифагора в локально-неевклидовом мире >> > сформулировать вообще удастся? Нет, не какую-нибудь формулировку >> > с метрическим тензором, эквивалентную ей в евклидовом мире, а >> > именно теорему Пифагора? >> >> Для сферы, кажется, сos c = cos a cos b SM> Поверхность сферы локально евклидова. Артему же хочется теорему SM> Пифагора в локально-неевлидовом пространстве. Но так как он не SM> уточняет, что он вкладывает в это понятие... Хороший вопрос... Смысл моего вопроса был вот в чем. Если теорема Пифагора означает евклидовость пространства, то для того, чтобы пространство было евклидовым, теорема Пифагора должна быть _верна_. Если она неверна, то пространство не евклидово. Внимание, вопрос. Существует ли (метрическое, вероятно) пространство, в котором теорема Пифагора уже неверна, но еще может быть сформулирована? Под теоремой Пифагора понимается либо то, что было таковым в "Началах", либо то, что под этим названием проходят в школе (прямоугольный треугольник и квадраты длин его сторон). Другие формулировки, эквивалентные ей в евклидовом пространстве, не принимаются - потому что в неевклидовом они не будут эквивалентны. Вероятно, пространство моего вопроса таки да, должно быть неевклидовым даже локально, т.е. в первом приближении. Скажем, пространство с дискретной метрикой (0, если точки совпадают, и 1, если нет) неевклидово даже локально - но в нем понятие угла, гм, очень вряд ли удастся сформулировать. На сфере понятие угла (вообще угла) формулируется как раз через ее локальную евклидовость... -- If a `religion' is defined to be a system of ideas that contains unprovable statements, then Godel taught us that mathematics is not only a religion, it is the only religion that can prove itself to be one. -- John Barrow -- To UNSUBSCRIBE, email to [email protected] with a subject of "unsubscribe". Trouble? Contact [email protected]
