Artur, Antes de resolver os problemas que voc� prop�s, devo elogi�-lo pelo bom gosto, pois eles s�o realmente muito *bonitinhos*! ;-)
Pela figura 1, se o ponto P estiver mais pr�ximo de M ou N, ent�o RS n�o ser� mais tangente a C. Assim, P � �nico para as condi��es do problema, tal que o tri�ngulo ARS � semelhante ao ABC (AA~) e 2p/2P = k, sendo 2p o per�metro do tri�ngulo ARS, 2P o per�metro do tri�ngulo ABC e k a raz�o de semelhan�a. (Espero que isso seja suficiente para mostrar o que o problema pede.) Sobre o problema 2 e pela figura 2, sabemos que: 2R1 = 2R2 + 2R3 <==> R1 = R2 + R3 Assim, C1T = R2 - R3. Ligando C1 a uma das extremidades do segmento t, pelo Teorema de Pit�goras, teremos: (R2 - R3)^2 + (t/2)^2 = R1^2 = (R2 + R3)^2 -2 * R2 * R3 + t^2/4 = 2 * R2 * R3 2 * R2 * R3 = t^2/8 A �rea S ser� dada por: S = Pi * R1^2 - Pi * R2^2 - Pi * R3^2 S = Pi * (R1^2 - R2^2 - R3^2) S = Pi * ((R2 + R3)^2 - R2^2 - R3^2) S = Pi * 2 * R2 * R3 S = Pi * t^2 / 8 Um forte abra�o, Rafael de A. Sampaio ----- Original Message ----- From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]> To: "OBM" <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Tuesday, April 06, 2004 12:34 PM Subject: [obm-l] Geometria Muitos aqui gostam de Geometria. Eu, que nunca foi bom nela, acho estes problemad do vestibular de 1970, RJ, muito bonitinhos: 1)Considemos um triangulo ABC e o circulo C nele inscrito. Sejam M e N os pontos em que C tangencia os lados AB e AC, respectivamente. A partir de um ponto P, localizado sobre o arco MN e distinto de M e de N, tracemos a tangente a C, a qual intersecta os lados AB e AC nos pontos R e S. Mostre que o perimetro do triangulo ARS independe de P. 2) Considere os circulos C1, C2 e C3, tais que C2 e C3 sao interiores a C, tangentes entre si e tangentes a C. Seja t o segmento situado sobre a tangente comum a C2 e C3 e delimitado pelas interseccoes desta tangente com C. Seja S a area da regiao do plano de C interior a C e exterior a C2 e a C3. Determine S conhecendo t. Estes problemas sao faceis. Prova: Eu os resolvi no vestibular. Artur
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