Oi Rafael, Obrigado pelo elogio aos dois problemas, os quais, alias, devem ser encaminhados a quem os bolou. As figuras que vc fez ficaram excelentes.
Com relacao ao primeiro problema, acho que houve uma interpretacao equivocada de sua parte. Na realidade, o perimetro de ARS independe da posicao de P sobre o arco MN, nao eh preciso que RS seja paralelo a BC. Aproveitando sua figura e lembrando as propriedades dos triangulos, vejamos: Com relacao ao triangulo ARS, C eh o circulo exinscrito relativo aos lados AR e AS. Pelas propriedades dos triangulos, o semiperimetro p de ARS iguala-se ao segmento AM. Assim, p = AM. E AM independe completamente do ponto P! Mas, indo um pouco mais longe, temos, tambem pelas propriedades dos triangulos, que AM = p' - BC, sendo p' o semiperimetro de ABC. Logo, o perimetro de ARS eh 2p = 2p' - 2BC = AB + AC - BC, qualquer que seja o ponto P. Com relacao ao segundo problema, a sua solucao estah perfeita. Mas no dia 12/01/1970 (agora todo muito jah percebeu que naum sou extamente um garoto...), no Maracanan, no Rio, sob um tremendo calor, eu utilizei o conceito de potencia de um ponto com relacao a um circulo. Conforme vc fez, 2R1 = 2R2 + 2R3 <==> R1 = R2 + R3. Sendo M o ponto em que C2 e C3 se tangenciam, a potencia de M com relacao a C nos conduz a que (t/2) * (t/2) = 2R1 * 2R2. E prosseguindo como vc fez, chegamos de fato a S = pi* t^2/8. Um abraco! Artur
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