Ja to cheio de so escrever, e hora de eu mostrar alguma coisa!!!!Agora tenho que mostrar (de novo) o meu valor!!!!
Pegue O, centro da circunferencia, e designe SPDG (WLOG) raio=1/2.Entao, tomando os menores angulos, MB=sen (MOB)/2=sen (36+e) MD=sen (MOD)/2=sen (108+e)=sen (72-e) MA=sen (MOA)/2=sen (e) MC=sen (MOC)/2=sen (72+e) ME=sen (MOE)/2=sen (144+e)=sen (36-e) SE MOA=2e, temos como achar os outros angulos rapidinho.Se tudo for em graus, temos os lados mais a direita das igualdades.E se alguns numeros sao grandes uma boa e reduzir 180 de cada. Pensando na simetria, vamos calcular MA-MB+MC-MD+ME Isto da sen (e)-sen (36+e)+sen (72+e)-sen (72-e)+sen (36-e) =sen (e)- 2*sen (e)*cos(36)+ 2*sen (e)*cos (72) =sen (e)*(2*cos (72)-2*cos (36)+1) =sen (e)*2*(1-4*sen(18)*sen(54))) Agora nao e mais necessario fazer muita coisa para provar que 4*sen (18)*sen (54)=1.Talvez usar geometria para calcular sen (36), algo que eu, o Claudio e muita gente ja fizemos aqui na lista, e usar como arma para provar isso ai. E entao, foi dificil?Ficou de algum modo deselegante? Ah, so para provocar mesmo:demonstre o Porisma de Poncelet para n=3 (se seis pontos sao tais que tres deles formam um triangulo com o mesmo incirculo do triangulo formado pelos outros tres pontos, e cinco desses pontos sao conciclicos, entao os seis pontos sao conciclicos).Vamos, demonstre ai, vai!!!!! --- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > on 14.03.04 01:36, Claudio Buffara at > [EMAIL PROTECTED] wrote: > > on 13.03.04 22:30, Guilherme Pimentel at > [EMAIL PROTECTED] wrote: > > ABCDE é um pentágono regular inscrito numa > circunferência e M é um ponto > qualquer do arco AE. Demonstrar que > MB+MD=MA+MC+ME > > > Tambem descobri uma solucao usando complexos. > > Suponha que o circulo eh unitario e centrado na > origem e que os vertices > sao: > A = 1, B = w^2, C = w^4, D = w^6 e E = w^8, > onde w = exp(i*Pi/5). > > Faca M = z e observe que: > (1) z - 1 = (MA/MA)*(z - 1) > (2) z - w^2 = (MB/MA)*(z - 1)*w > (3) z - w^4 = (MC/MA)*(z - 1)*w^2 > (4) z - w^6 = (MD/MA)*(z - 1)*w^3 > (5) z - w^8 = (ME/MA)*(z - 1)*w^4 > > Em seguida, elimine o fator w^k do lado direito > de cada equacao, levando em > conta que w^10 = 1 <==> w^(-1) = w^9 <==> > w^(-2) = w^8 <==> etc. > > Finalmente, some as equacoes 1, 3 e 5 e > subtraia delas as equacoes 2 e 4. > Um pouquinho de algebra e voce chega lah... > > []s, > Claudio. > > ===== TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) ______________________________________________________________________ Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: http://br.yahoo.com/info/mail.html ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================