Re: [obm-l] CN-97_
Se escrever 147 algarismos você terá 31707 vinte e nove vezes e, a seguir, 3 e 1 que somam 526. Para exceder de 530 é necessário o próximo dígito: 7. Resp: E Em 20 Jan 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Um aluno, efetuando a divisão de 13 por 41, foi determinando o quociente até a soma de todos os algarismos por ele escritos, na parte decimal, foi imediatamente maior ou igual a 530. Quantas casas decimais ele escreveu? (A) 144 (D) 147 (B) 145 (E) 148 (C) 146 13/41 = 0.31707317073... É uma dízima períodica. Temos que 3 + 1 + 7 + 0 + 7 = 18 Então temos 530/18 = 29.44... Então, 5*29.4... = 147.22 Achei letra (D). Abraço, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br
Re: [obm-l] uma qustao simples
x*11 425 x 425/11 x 38,636 x = 39 (alternativa C) O que daria em R$ 4,00 de lucro. elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote: Um vendedor comprou 50 camisetas por R$ 425,00.Quantas camisetas, no mínimo, ele deverá vender a R$11,00 cada, para obter lucro?(A) 37 (D) 40(B) 38 (E) 41(C) 39__Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis!http://br.geocities.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
Re: [obm-l] CN-97
temos que b1+b2 = 127 então b2 = 127-b1 Como 3b1 = 0,10 b1 = 0,10/3 temos que. (0,10/3)(b1) + (0,15)(b2) = 5,75 Substituindo b2 por 127-b1 (0,10/3)(b1) + (0,15)(127-b1) = 5,75 (0,10/3)(b1) - (0,15)(b1) = -13,30 (0,10/3 - 0,15)(b1) = -13,30 (0,10-0,45)(b1) = -39,90 -0,35(b1) = -39,90 Logo temos que b1 = 114 Alternativa ( A ) elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote: olá pessoal, tentei por sistemas e n consegui resolvereste problema ai, será q vcs conseguem?!Um baleiro vende dois tipos de balas: b1 e b2. Trêsbalas do tipo b1 custam R$ 0,10 e a unidade da bala b2custa R$ 0,15. No final de um dia de trabalho, elevendeu 127 balas e arrecadou R$ 5,75. O número debalas do tipo b1 vendidas foi:(A) 114 (D) 111(B) 113 (E) 110(C) 112__Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis!http://br.geocities.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
[obm-l] CN_98
Um professor elaborou 3 modelos de prova. No primeiro 1º modelo, colocou uma equação do 2º grau; no 2º modelo, colocou a mesma equação trocando apenas os coeficientes do termo do 2º grau; e no 3º modelo, colocou a mesma equação do 1º modelo trocando apenas o termo independente. Sabendo que as raízes da equação do 2º modelo são 2 e 3 e que as raízes do 3º modelo são 2 e 7, pode-se afirmar sobre a equação do 1º modelo, que: (A) não tem raízes reais. (B) a diferença entre a sua maior e a sua menor raiz é 7. (C) a sua maior raiz é 6. (D) a sua menor raiz é 1. (E) A soma dos inversos das suas raízes é . __ Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis! http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Uma belissima demonstracao
Ola Pessoal ! Alguem, recentemente, me enviou uma demonstracao da existencia de infinitos numeros primos que e muito simples e bela e que eu nao conhecia. Segundo esta pessoa, esta prova foi encontrada independentemente por Kumer e Hermite, dois Matematicos do passado. Vou repassa-la pra voces : Uma maneira de mostrar que ha infinitos primos e provar que, dado um natural N qualquer, existe um numero primo P maior que N, isto e, P N. Prova : Para um natural N qualquer, seja M = 1*2*3*...*N + 1 = N ! + 1. Se M for primo entao facamos P=M. Logo : P e primo e P N. Se M nao for primo entao existe um primo P que divide M. Esse primo P e necessariamente maior que N, pois nenhum numero Q = N divide M=N! + 1. Logo : P e primo e P N Assim, seja M = N ! + 1 primo ou nao, existe P primo tal que P N. Portanto, existem infinitos numeros primos. Belissima, nao ? Um abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1123,210104 _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Uma belissima demonstracao
Paulo Santa Rita wrote: Alguem, recentemente, me enviou uma demonstracao da existencia de infinitos numeros primos que e muito simples e bela e que eu nao conhecia. Segundo esta pessoa, esta prova foi encontrada independentemente por Kumer e Hermite, dois Matematicos do passado. Eu sempre aprendi que essa prova foi feita pelo Euclides, e o site do Wolfram parece confirmar isso: http://mathworld.wolfram.com/EuclidsTheorems.html -- Ricardo Bittencourt = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Uma belissima demonstracao
o legal é que ela já te permite emendar na demonstraçao de que é possível encontrar primos consecutivos arbitrariamente distantes :-) Will - Original Message - From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 21, 2004 10:23 AM Subject: [obm-l] Uma belissima demonstracao Ola Pessoal ! Alguem, recentemente, me enviou uma demonstracao da existencia de infinitos numeros primos que e muito simples e bela e que eu nao conhecia. Segundo esta pessoa, esta prova foi encontrada independentemente por Kumer e Hermite, dois Matematicos do passado. Vou repassa-la pra voces : Uma maneira de mostrar que ha infinitos primos e provar que, dado um natural N qualquer, existe um numero primo P maior que N, isto e, P N. Prova : Para um natural N qualquer, seja M = 1*2*3*...*N + 1 = N ! + 1. Se M for primo entao facamos P=M. Logo : P e primo e P N. Se M nao for primo entao existe um primo P que divide M. Esse primo P e necessariamente maior que N, pois nenhum numero Q = N divide M=N! + 1. Logo : P e primo e P N Assim, seja M = N ! + 1 primo ou nao, existe P primo tal que P N. Portanto, existem infinitos numeros primos. Belissima, nao ? Um abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1123,210104 _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Uma belissima demonstracao
Eu sempre aprendi que essa prova foi feita pelo Euclides, e o site do Wolfram parece confirmar isso: http://mathworld.wolfram.com/EuclidsTheorems.html Na verdade a demonstração de Euclides usa o produto de n primos +1 , essa usa n!+1 ... []s Wendel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] CN_98
1º ax^2 + bx + c 2º a ( x - 2 ) ( x - 3 ) = a ( x^2 - 5x + 6 ) --- (a = -1) 3º a ( x - 2 ) ( x + 7 ) = a ( x^2 + 5x - 14 ) --- (a = 1) na segunda equação vamos considerar a = -1, então ficaria -x^2 + 5x - 6. Obs.: Se eu multiplicar uma equação do 2º grau por -1 eu não altero as raízes apenas altero sua concavidade. Então temos a 1º equação da seguinte maneira x^2 + 5x - 6 as raízes são - 6 e 1 1 - (-6) = 7 Alternativa B. Dúvidas que me surgiram na resolução. Eu achei meio vago o enunciado ele não deveria informar ao mínimo a concavidade de pelo menos 1 equação? Tem como saber nesse exercício se a concavidade da 2º equação é para cima ou para baixo? Carlos elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote: Um professor elaborou 3 modelos de prova. No primeiro1º modelo, colocou uma equação do 2º grau; no 2ºmodelo, colocou a mesma equação trocando apenas oscoeficientes do termo do 2º grau; e no 3º modelo,colocou a mesma equação do 1º modelo trocando apenas otermo independente. Sabendo que as raízes da equaçãodo 2º modelo são 2 e 3 e que as raízes do 3º modelosão 2 e 7, pode-se afirmar sobre a equação do 1ºmodelo, que:(A) não tem raízes reais.(B) a diferença entre a sua maior e a sua menor raiz é7.(C) a sua maior raiz é 6.(D) a sua menor raiz é 1.(E) A soma dos inversos das suas raízes é .__Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis!http://br.geocities.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
Re: [obm-l] Uma belissima demonstracao
nao é de Euclides nao, observe que na prova de euclides , ele faz o produto dos i-esimos primos p1p2...pi + 1 enquanto que na prova apresentada pelo colega ele faz N! + 1.Alem do mais, a prova de Kumer apresentada nao é a mesma que esta no site.Aproveitando a oportunidade, ja vi uma prova que usa o anel Z((-5)^1/2) mas nunca havia entendido direito, se alguem souber explicar por favor fique a vontade. Eu sempre aprendi que essa prova foi feita pelo Euclides, e o site do Wolfram parece confirmar isso: http://mathworld.wolfram.com/EuclidsTheorems.html -- Ricardo Bittencourt __ Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis! http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Uma belissima demonstracao
Ola Ricardo e demais colegas desta lista ... OBM-L, Ou voce nao leu a demonstracao que apresentei com atencao ou voce nao conhece a demonstracao de Euclides ... Na prova de Euclides ele considera o PRODUTO DE TODOS OS PRIMOS, supostos em numero finito, isto e : M = 2*3*5*7*11*13*17*19*...*Pn + 1. Na demonstracao que apresentei eu considero O PRODUTO DE TODOS OS NUMEROS, PRIMOS OU NAO, isto e : M= N! + 1. Veja bem : N !. Isto e : M=1*2*3*4*5*6*7*8*9*...*N + 1. Sao, portanto, provas distintas. Aqui vai outra, que eu ja conhecia ( nao sei quem fez ) : Suponha que o numero de numeros primos e finito. Seja P1, P2, ..., Pn uma enumeracao destes numeros e faca N = P1*P2*P3*...*Pn. Entao o numero N-1 sera composto, pois ele e maior que qualquer dos primos. Segue que existe Pi que divide N-1. Ora, Pi divide N e divide N-1, logo Pi divide N - (N-1), isto e, Pi divide 1 . ABSURDO ! Aqui vai outra, que eu tambem ja conhecia ( foi Euler que descobriu ) : Suponha que o numero de numeros primos e finito. Seja P1, P2, ..., Pn uma enumeracao destes numeros. Sabemos que a progressao geometrica infinita : Si =1 + (1/Pi) + (1/(Pi^2)) + (1/(Pi^2)) + ... tem soma 1/(1 - (1/Pi)) Isto e : Si =1 + (1/Pi) + (1/(Pi^2)) + (1/(Pi^2)) + ... = 1/(1 - (1/Pi)) Fazendo i varia de 1 ate N e multiplicando membro a membro as N igualdades que obtemos, chegaremos a : S1*S2*S3*...*Sn =[1/(1 - (1/P1))]*[1/(1 - (1/P2))]*...*[1/(1 - (1/Pn))] Como o numero dos numeros primos e finito e TODO NUMERO PODE SER EXPRESSO COMO UM PRODUTO DE PRIMOS, do lado esquerdo surgira, necessariamente, a serie harmonica : 1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + ... que sabemos que DIVERGE e, consequentemente, o lado esquerdo diverge e SE TORNA MAIOR QUE QUALQUER NUMERO REAL FIXO. Ja o lado direito e um produto finito de numeros reais, isto e, UM NUMERO REAL FIXO ... ABSURDO !!! Aqui vai outra, que eu tambem ja conhecia ( foi Goldback que descobriu ) Os numeros da forma : Fn=(2^(2^n)) + 1 sao chamados NUMEROS DE FERMAT, pois Fermat conjecturou que eles eram primos. Euler mostrou que a conjectura era falsa, pois calculou F5 e mostrou que 641 divide F5. OBS1 : Talvez Fermat tenha feito tal conjectura motivado pelo fato ( verdadeiro ) de que se 2^N + 1 e primo entao N = 2^K para algum K Os numeros de Fermat tem uma propriedade simples e interessante, qual seja : Fn - 2 = (Fn-1)*(Fn-2)*...*(F1)*(F0). OBS2 : Para ver como se chega a esta propriedade, basta notar que : (Fn) - 2 = (2^(2^n)) - 1 = [(2^(2^(n-1)) + 1]*[(2^(2^(n-1))) e aplicar esta fatoracao reiteradamente N vezes Suponha agora que Fn e Fm sao dois numeros de Fermat distintos. Sem perda de generalidade podemos supor m n. Seja p um fator primo comum a Fm e Fn, digamos, p. Ora, como m n entao Fm divide (Fn) - 2, pois (Fn)-2= (Fn-1)*(Fn-2)*...*(F1)*(F0). Assim, p divide Fm e Fn e, alem disso, Fm divide (Fn) - 2. Segue que p divide (Fn) - 2. Portanto, p divide Fn e (Fn)-2. Logo : p divide Fn - ( (Fn) - 2 ). Isto e : p divide 2. Isto e : p=2 ... ABSURDO ! Pois qualquer numero de Fermat e necessariamente impar e, portanto, nenhum deles pode ter 2 como fator primo. Fica portanto provado que dois numeros de Fermat sao primos entre si. Ora, o numero de numeros de Fermat e infinito. Logo : existem infinitos numeros primos. Bom, vou ficar por aqui. Existem muitas provas sobre a infinitude de primos e eu devo conhecer apenas cerca de uma duzia. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1252,210104 i. From: Ricardo Bittencourt [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Uma belissima demonstracao Date: Wed, 21 Jan 2004 11:39:12 -0300 Paulo Santa Rita wrote: Alguem, recentemente, me enviou uma demonstracao da existencia de infinitos numeros primos que e muito simples e bela e que eu nao conhecia. Segundo esta pessoa, esta prova foi encontrada independentemente por Kumer e Hermite, dois Matematicos do passado. Eu sempre aprendi que essa prova foi feita pelo Euclides, e o site do Wolfram parece confirmar isso: http://mathworld.wolfram.com/EuclidsTheorems.html -- Ricardo Bittencourt _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] CN_98
1) ax^2 + bx + c 2) ax^2 + dx + c 3) ax^2 + bx + e (2) = (x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6 (3) = (x-2)(x+7) = x^2 + 5x - 14 a=1, b=5, c=6 [, d=-5, e=-14 (1) = x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3) = raizes -2 e -3 eu chutaria resposta (E) ja que parece estar faltando o fim. - (E) A soma dos inversos das suas raízes é *?* . todas as outras respostas nao batem com a solucao encontrada -Auggy From: elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] CN_98 Date: Wed, 21 Jan 2004 09:25:39 -0300 (ART) Um professor elaborou 3 modelos de prova. No primeiro 1º modelo, colocou uma equação do 2º grau; no 2º modelo, colocou a mesma equação trocando apenas os coeficientes do termo do 2º grau; e no 3º modelo, colocou a mesma equação do 1º modelo trocando apenas o termo independente. Sabendo que as raízes da equação do 2º modelo são 2 e 3 e que as raízes do 3º modelo são 2 e 7, pode-se afirmar sobre a equação do 1º modelo, que: (A) não tem raízes reais. (B) a diferença entre a sua maior e a sua menor raiz é 7. (C) a sua maior raiz é 6. (D) a sua menor raiz é 1. (E) A soma dos inversos das suas raízes é . __ Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis! http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Check out the new MSN 9 Dial-up fast reliable Internet access with prime features! http://join.msn.com/?pgmarket=en-uspage=dialup/homeST=1 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] CN_98
Qwert Smith (2) = (x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6(3) = (x-2)(x+7) = x^2 + 5x - 14 a segunda e a terceira equação não poderia ficar assim, pois o termo de grau 1 deveria ser o mesmo nas duas equações. E o termo de grau2 na 2º equação analisando o enunciado não poderia ficar idêntica a 3º equação. O que levaria a supor que a 2º equação seria: -x^2 + 5x - 6 E a 1º equação ficaria: x^2 + 5x - 6 que teria raízes, -6, 1 e a diferença seria 1 - (-6) = 7 Corrija-me se eu estiver errado!!! Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] wrote: 1) ax^2 + bx + c2) ax^2 + dx + c3) ax^2 + bx + e(2) = (x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6(3) = (x-2)(x+7) = x^2 + 5x - 14a=1, b=5, c=6 [, d=-5, e=-14(1) = x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3) = raizes -2 e -3eu chutaria resposta (E) ja que parece estar faltando o fim.- (E) A soma dos inversos das suas raízes é *?* .todas as outras respostas nao batem com a solucao encontrada-AuggyFrom: elton francisco ferreira <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Subject: [obm-l] CN_98Date: Wed, 21 Jan 2004 09:25:39 -0300 (ART)Um professor elaborou 3 modelos de prova. No primeiro1º modelo, colocou uma equação do 2º grau; no 2ºmodelo, colocou a mesma equação trocando apenas oscoeficientes do termo do 2º grau; e no 3º modelo,colocou a mesma equação do 1º modelo trocando apenas otermo independente. Sabendo que as raízes da equaçãodo 2º modelo são 2 e 3 e que as raízes do 3º modelosão 2 e 7, pode-se afirmar sobre a equação do 1ºmodelo, que:(A) não tem raízes reais.(B) a diferença entre a sua maior e a sua menor raiz é7.(C) a sua maior raiz é 6.(D) a sua menor raiz é 1.(E) A soma dos inversos das suas raízes é .__Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis!http://br.geocities.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=_Check out the new MSN 9 Dial-up fast reliable Internet access with prime features! http://join.msn.com/?pgmarket=en-uspage=dialup/homeST=1=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
[obm-l] Numeros de Fermat
Ola Pessoal, Numa mensagem anterior eu mencionei duas propriedades. Vou apresentar as demonstracoes agora. PROVA 1) Se Fn=(2^(2^n)) + 1 entao (Fn) - 2 = (Fn-1)*(Fn-2)*...*(F1)*(F0). A expressao e valida para N=1, pois : (F1) - 2 =(2^(2^1)) - 1 = 4 - 1 = 3 = 2 + 1 = (2^(2^0)) + 1 = (F0) Suponha valida para N=P, isto e : (Fp) - 2 = (Fp-1)*(Fp-2)*...*(F1)*(F0). Entao : (Fp)*[ (Fp) - 2 ]= (Fp)*[ (Fp-1)*(Fp-2)*...*(F1)*(F0) ] (Fp)^2 - 2*(Fp) = (Fp)*(Fp-1)*(Fp-2)*...*(F1)*(F0) [ (2^(2^p))+1 ]^2 - 2*[ (2^(2^p)) + 1 ] = (Fp)*(Fp-1)*(Fp-2)*...*(F1)*(F0) (2^(2^(p+1))) + 2*(2^(2^p)) +1 - 2*(2^(2^p)) - 2 = (Fp)*(Fp-1)*(Fp-2)*...*(F1)*(F0) (2^(2^(p+1))) - 1 = (Fp)*(Fp-1)*(Fp-2)*...*(F1)*(F0) (Fp+1) - 2 = (Fp)*(Fp-1)*(Fp-2)*...*(F1)*(F0) (Fp+1) - 2 = (Fp)*(Fp-1)*(Fp-2)*...*(F1)*(F0) Potanto, supondo valer para N=P = vale para N=P+1. Como ja verificamos que vale para N=1 segue que vale para todo N. PROVA 2 ) Se 2^K + 1 e primo entao K=2^N, para algum N Considere o polinomio F(a)=(a^i) + 1, onde a e um numero impar. Como F(-1)=0 entao, pelo Teorema D'lambert, a+1 divide F(a), isto e : F(a) = (a^i) + 1 = (a+1)*( UM POLINOMIO EM a ) Se algum impar i dividisse K entao K=i*M, para algum numero M. E teriamos : 2^K + 1=2^(i*M) + 1= (2^M)^i + 1=(2^M + 1)*(UMA EXPRESSAO EM 2^M) Logo, 2^K+1 nao seria primo. Portanto, K nao pode ser divisivel por qualquer impar, isto e, K = 2^N para algum N. OBS : Na mensagem anterior ha um erro na fatoracao dos numeros de Fermat. Eu queria dizer e que : (Fp) - 2 = [(2^(2^p)) - 1]=[(2^(2^(p-1))) + 1]*[(2^(2^(p-1))) - 1] Ao fator [(2^(2^(p-1))) - 1] pode ser aplicada a mesma fatoracao, o que reduzira mais uma vez o expoente. Este processo, reiterado p vezes leva a : (Fp) - 2 = (Fp-1)*(Fp-2)*...*(F1)*(F0) Esta e uma tecnica que leva a outra demonstracao desta propriedade, diferente da que apresentei acima ( que e burocratica ). Peco desculpas a todo pelo erro. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1606,210104 _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Numero transcendente
Ola Pessoal, Refletindo sobre a nova prova da infinitude de primos ( que eu apresentei aqui na lista ) e relacionando-a a prova do Euler ( sobre o mesmo tema ) e por outras razoes mais ligadas a Teoira dos numeros, eu me deparei com o numero abaixo e estou precisando saber se ele e trancendente ou nao : NIC = Somatorio(N=1 ate +INF)(1/(( N ! ) + 1) ). Isto e : NIC = (1/2) + (1/3) + (1/7) + (1/25) + ... + (1/(( N ! ) + 1) ) + ... Eu estou suspeitando fortemente disso devido aos conhecidos argumentos do teorema de Liouville, mas nao estou conseguindo avancar na demonstracao. Alguem saberia demonstrar essa transcedencia ou provar que esse numero e algebrico ? Alguem sabe algum fato interessante sobre esse numero ? Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1646,210104 _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Dilema dos prisioneiros-Probabilidade
Um colega me deu esse problema para mim e eu nao soube responder. -Tres prisioneiros X,Y,Z sao informados por seu carcereiro que um deles foi escolhido aleatoriamente para ser eliminado e os outros 2 liberados.O prisioneiro X pede ao carcereiro para que diga confidencialmente para ele qual dos 2 prisioneiros(Y ou Z) foi escolhido para ser liberado, dizendo ao carcereiro que não ha problema nisso, pois ele já sabe que um dos 2(Y ou Z) sera liberado.O carcereiro recusa-se a dizer, argumentando que se ele(o prisioneiro X) souber se Y ou Z foi liberado, entao a sua probabilidade de ser eliminado aumentaria de 1/3 para 1/2.O que voce acha do raciocinio do carcereiro?? __ Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis! http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dilema dos prisioneiros-Probabilidade
On Wed, Jan 21, 2004 at 04:01:06PM -0300, Carlos Maçaranduba wrote: Um colega me deu esse problema para mim e eu nao soube responder. -Tres prisioneiros X,Y,Z sao informados por seu carcereiro que um deles foi escolhido aleatoriamente para ser eliminado e os outros 2 liberados.O prisioneiro X pede ao carcereiro para que diga confidencialmente para ele qual dos 2 prisioneiros(Y ou Z) foi escolhido para ser liberado, dizendo ao carcereiro que não ha problema nisso, pois ele já sabe que um dos 2(Y ou Z) sera liberado.O carcereiro recusa-se a dizer, argumentando que se ele(o prisioneiro X) souber se Y ou Z foi liberado, entao a sua probabilidade de ser eliminado aumentaria de 1/3 para 1/2.O que voce acha do raciocinio do carcereiro?? O carcereiro pode ter vários bons motivos para não dar esta informação, mas o raciocínio do carcereiro é obviamente incorreto (se é que ele realmente acha o que diz; parece-me muito plausível que ele diga qq coisa, mesmo que não faça sentido nenhum, apenas para livrar-se de X). Esta é ainda mais uma outra variação do problema dos bodes. Se o carcereiro concordasse em revelar a X que, digamos, Y vai ser libertado, pelo ponto de vista de X a probabilidade de X ser eliminado não mudou, continua igual a 1/3, mas a probabilidade de Z ser eliminado passou de 1/3 para 2/3. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] teoria dos numeros
Pessoal da lista , eu estou enviando para de vocês quatro proposições minhas que eu mesmo demonstrei e no entanto eu não sei se constam dentro da Teoria dos Números. Gostaria da ajuda de vocês. Proposição 1: Se p 3e p+2 são primos gêmeos então p +1 = 6k, para algum k inteiro Como pé primo ímpar então p+1 é par, daí 2 divide p+1. Basta provar que 3 divide p+1. vamos supor que 3 não divide p+1, daí temos duas situações possíveis: p+1= 3.k +1 para algum k inteiro, daí p = 3.k absurdo pois p é primo ou, p+1 = 3.k +2, para algum k inteiro, então p + 1 + 1 = 3.k + 2 +1, entãop+2 = 3.k +3 = 3( k+1) = 3.m, absurdo pois p+2 é primo. logo por (a) e (b) temos que 3 divide p+1. Como 2 divide p+1 e 3 divide p+1, então 6 divide p+1, daí p+1= 6.k. Como queríamos demonstrar! Proposição 2: Sep3 e p+2são primos gêmeos então p= 6.k +5, para algum k inteiro De fato, pela proposição 1 temos que : p+1 = 6.m, para algum m inteiro p = 6.m - 1= 6.m + 5 - 6 = 6.( m-1) + 5 = 6.k +5 . Proposição 3: Se p3e 2.p +1 são primos então p+1=6.n , para algum n inteiro. Comop é primo ímpar então p+1 é par, daí 2 divide p+1. Basta provar que 3 divide p+1. vamos supor que 3 não divide p+1, daí temos duas situações possíveis: a) p+1= 3.k +1, para algum k inteiro, então p = 3.k absurdo pois p é primo, ou p+1 = 3.k +2, par algum k inteiro, então p = 3.k +1, logo 2p = 6.k + 2 , daí2p +1 = 6.k + 3 = 3( 2.k + 1) = 3.m, absurdo pois 2.p +1 é primo por hipótese. então por (a) e (b) temos que 3 divide p+1. Como 2 divide p+1, então 6 divide p+1. Daí , p+1 = 6.n, para algum n inteiro. Proposição 4 : Sep3 e 2p +1 são primos então p= 6.k +5, para algum k inteiro. Pela proposição 3 temos que : p+1 = 6.m, para algum m inteiro, então p = 6.m - 1= 6.m + 5 - 6 = 6.( m-1) + 5 = 6.k +5, como queríamos demonstrar. Atenciosamente , Levi Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis!
[obm-l] Funcao distancia
Oi pra todos dessa honrosa lista, estava resolvendo um problema proposto por um amigo que dizia o seguinte: dada uma sequencia de n pontos nalgum plano, ache qual o ponto cuja soma das distancias para os pontos dados eh minima. Nao consegui chegar a algum resultado muito 'matematico' (com esse sentido quero dizer q n cheguei a uma formula fechada). E gostaria d pedir ajuda a vcs na mesma. Antes, obrigado por tudo. Eduardo __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] teoria dos numeros
On Wed, Jan 21, 2004 at 04:46:28PM -0300, levi queiroz wrote: Pessoal da lista , eu estou enviando para de vocês quatro proposições minhas que eu mesmo demonstrei e no entanto eu não sei se constam dentro da Teoria dos Números. Gostaria da ajuda de vocês. Proposição 1: Se p 3 e p+2 são primos gêmeos então p +1 = 6k, para algum k inteiro ... Proposição 2: Se p3 e p+2 são primos gêmeos então p= 6.k +5, para algum k inteiro ... Proposição 3: Se p3 e 2.p +1 são primos então p+1=6.n , para algum n inteiro. ... Proposição 4 : Se p3 e 2p +1 são primos então p= 6.k +5, para algum k inteiro. Eu não entendi direito que tipo de ajuda você quer. As proposições estão corretas, as demonstrações tanto quanto eu verifiquei também estão. Este assunto é teoria dos números; é isso que você queria perguntar? Ou talvez você estivesse perguntando se os resultados são conhecidos? Sim, são bem conhecidos. Não se sabe por outro lado se existem infinitos pares de primos gêmeos. Se p é primo e 2p+1 também é primo, então p é chamado um primo de Sophie Germain. Também não se sabe se existem infinitos primos de Sophie Germain. Para saber mais sobre números primos eu recomendo que você dê uma olhada em http://www.utm.edu/research/primes ou http://primes.utm.edu Para primos gêmeos veja http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=1 Tem uma curiosidade lá sobre o infame bug do pentium. Para primos de Sophie Germain veja http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=2 []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Uma belissima demonstracao
Paulo Santa Rita wrote: Ou voce nao leu a demonstracao que apresentei com atencao ou voce nao conhece a demonstracao de Euclides ... Ah, tem razão, são diferentes mesmo. Curiosamente, a primeira que eu aprendi foi justamente essa do fatorial! (provavelmente num livro de matemática discreta, tipo o concrete, agora não me lembro qual foi). --- Ricardo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_como_faço?!
Olá Bruno! O posto pelo colega é verdade sim. Confira o livro "Matemática: contextos e aplicações" do prof. Dante , Vol. 1. Lá vc poderá obter mais detalhes. Cordialmente, Valdery Sousa. _Bruno Souza [EMAIL PROTECTED] wrote: Elton,Eu não sei se eh verdade, mas um professor meu me disse que essa questãofoi resolvida por Gauss quando ele ainda era criança.S= 1 + 2 + 3+ 4 + 5+ ...+99+100S=100+99+98+97+96+ ...+ 2 +1Somando o termo de baixo com o de cima:2S=101+101+101+101+...+101(cem vezes, pq são cem números)2S=101*100S=5050Até,Bruno- Original Message -From: "elton francisco ferreira" <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>>Sent: Saturday, January 17, 2004 1:12 PMSubject: [obm-l] como faço?!olá pessoal, quero q vcs me mandem calculosdemonstrando com resolvo esta questáo aíOBS: História de matemáticaQual é a soma de todos os números inteiros de 1 a 100?__Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis!http://br.geocities.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis!
Re: [obm-l] Funcao distancia
On Wed, Jan 21, 2004 at 07:48:46PM -0200, Eduardo Lourenco Apolinario wrote: Oi pra todos dessa honrosa lista, estava resolvendo um problema proposto por um amigo que dizia o seguinte: dada uma sequencia de n pontos nalgum plano, ache qual o ponto cuja soma das distancias para os pontos dados eh minima. Nao consegui chegar a algum resultado muito 'matematico' (com esse sentido quero dizer q n cheguei a uma formula fechada). E gostaria d pedir ajuda a vcs na mesma. Eu não vou dar uma fórmula para o seu problema, mas observe que mesmo para n=3 há dois casos bem diferentes: Se os três pontos p1, p2, p3 formam um triângulo com todos os ângulos internos menores do que 120 graus, o ponto desejado q é o único ponto no interior do triângulo para o qual os ângulos p1-q-p2, p2-q-p3 e p3-q-p1 são todos iguais a +- 120 graus, onde o sinal depende da orientação do triângulo. Se os pontos p1, p2, p3 formam um um triângulo com o ângulo em p1 maior do que 120 graus, q será o próprio p1. Uma maneira física de resolver o problema (e de verificar o que eu falei acima) é a seguinte. Tome uma mesa e faça furos nos pontos p1, p2, ..., pn. Passe por cada furo um barbante e amarre na ponta do barbante que fica abaixo da mesa um peso de 1 kg. Amarre todos os n barbantes que ficam acima da mesa em um único ponto, o nó. Agora solte o nó: ele buscará a posição em que a energia potencial dos pesos é mínima, logo aquela em que a soma das distâncias é mínima. Ou seja, o nó acabará parando no ponto que você procura. Mas o ponto de vista matemático é antes de mais nada perguntar se a solução existe e é única. Mais precisamente, seja f: R^2 - R a função dada por f(q) = f1(q) + ... + fn(q) onde fi(q) = d(q,pi). Eu afirmo que a função f tem um único ponto de mínimo local (logo global) *exceto* se n for par e todos os ponto pi estiverem sobre uma linha reta. Neste caso muito especial, supondo os pontos indexados em ordem de p1 até pn com n = 2m, qualquer ponto no segmento de pm até p(m+1) é um mínimo. Para verificar isso, observe que cada função fi é convexa logo f também é. Assim, f assume seu valor mínimo em um subconjunto convexo Q de R^2. Por outro lado cada fi é estritamente convexa sobre qq segmento que não estiver alinhado com pi. Assim, se o conjunto Q for mais do que um ponto ele contem um segmento e este segmento deve estar alinhado com todos os pontos pi, donde estamos no caso especial que descrevi acima. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Apresentacao e duvidas...
Olá pessoal! Tenho uma dúvida: recentemente , em um vestibular caiu a seguinte questão: Sen(5x)+Cos (3x). Não soube como resolve-lo e gostaria de pedir por favor uma ajuda para resolve-lo. Grato antes de tudo, Valdery Sousa. P.S.: gostaria que me explicassem aqueles símbolos matemáticos "adaptados para a escrita" como "(mod 100)" e outros. Grato. Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis!
[obm-l] Primos
Boa noite galera da lista!!! Paulo Santa Rita, Em relação as provas da infinitude dos números primos, a prova em que sendo N = p1*p2*p3*...*pn e (N - 1) é composto; esta prova eh praticamente analoga a do velho Euclides. Nao eh, ou estou enganado ?!?!?! Abraços __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Apresentacao e duvidas...
Valdery, Daria pra voce escrever o enunciado da questao ??? Seria resolver que equacao ? sin(5x) + cos(3x) = 0 ? Seria simplificar a expressao Quanto a notacao de modulo, dizemos a=b (mod c) se e somente c divide a-b. Em simbolos, diriamos que existe r natural tal que r.c = a - b ou c | a-b (le-se: c divide a-b). Exemplo: 5=3 (mod 2) = Ou seja, existe r=1 tal que 2.r = (5 3). Dizemos que 3 e o resto da divisao de 5 por 2. Na notacao anterior, dizemos que b e o resto da divisao de a por c.. Um livro introdutorio para o assunto poderia ser o livro do Jaci Monteiro, ou um vermelho do Iezzi sobre Algebra. Leandro. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Valdery Sousa Sent: Wednesday, January 21, 2004 3:43 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Apresentacao e duvidas... Olá pessoal! Tenho uma dúvida: recentemente , em um vestibular caiu a seguinte questão: Sen(5x)+Cos (3x). Não soube como resolve-lo e gostaria de pedir por favor uma ajuda para resolve-lo. Grato antes de tudo, Valdery Sousa. P.S.: gostaria que me explicassem aqueles símbolos matemáticos adaptados para a escrita como (mod 100) e outros. Grato. Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis!
Re: [obm-l] Apresentacao e duvidas...
Em 21 Jan 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal! Tenho uma dúvida: recentemente , em um vestibular caiu a seguinte questão: Sen(5x)+Cos (3x). Não soube como resolve-lo e gostaria de pedir por favor uma ajuda para resolve-lo. Caro Valderi. Não entendi exatamente qual era a questão. Procurar o máximo da fun#263;ão sen(5x)+cos(3x)? Colocar esta funcão somente em termos de cossenos ou senos? Se for achar o máximo há duas formas de resolver: A primeira é calcular a derivada, fazê-la igual a zero e resolver a equacao trigonometrica resultante.A segunda maneira é achar uma expressão equivalente do tipo A*sen(y) ou B*cos(y). O máximo será A (primeiro caso) ou B (segundo caso). No caso que vc apresentou ainda não pensei em como chegar a uma dessas expressões, mas há vários macetes conhecidos para conseguir isso. Por exemplo: Suponha que a expressão fosse y= 3sen(x)+4cos(x). Multiplicando e dividindo por 5 temos: y=5(3/5*sen(x) +4/5cos(x)). Chame 3/5 de cos(p) e 4/5 de sen(p). Neste caso a expressão se torna y=5*sen(x+p) que possui máximo 5. -- Ronaldo L. Alonso Grato antes de tudo, _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Congruencia
Olá Ricardo e demais colegas da lista Hah dois dias atras voce me mandou a solucao do exercicio que era para saber quais sao os dois ultimos algarismos de 2^1997. Obs.: Quando existe espaco entre o sinal de igual e o numero, este sinal significa igual; mas quando naum hah espaco , ele significa o sinal de congruencia. Vc usou um artificio de congruencias interesante, porem observe: 2^(20k + n)=2^n (mod 100) k = 1(sempre) e quando k = 1, n deve ser =2, ok ?!?!?! Mas 2^40: 2^(20*2 + 0)=2^0 = 1 (mod 100)= Absurdo . 2^20 = 1048576 e 76^2 = 5776 = 2^40 termina em 76 Analisando o fato, tirei uma conclusao( acho q está errada): quando k = 2 e n for igual a 0 ou 20 deve-se fazer o seguinte: 2^(20k + 0) = 2^(20(k - 1) + 20)=2^20 (mod 100) 2^(20k + 20), neste caso naum se deve fazer isto: 20(k +1), pois recairiamos no caso acima Valeu !!! Abraços __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] teoria dos numeros - parte II
Obrigado Professor Nicolau Saldanha! Eu queria saber se os resultados eram conhecidos. Eu cheguei a estes resultados sem saber que eles já eram de domínio público. De qualquer maneira para mim foi um grande prazer ter encontrado estes resultados. Foi procurar nas fontes indicadas pelo senhor para ver as provas apresentadas para as proposições que eu mandei para lista.Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis!
[obm-l] 1/2 off: Cientistas alemães dizem ter demonstrado pela primeira vez que o cérebro humano continua analisando os problemas do dia anterior, mesmo durante o sono.
Cientistas alemães dizem ter demonstrado pela primeira vez que o cérebro humano continua analisando os problemas do dia anterior, mesmo durante o sono. Além disso, segundo eles, as soluções para estas questões surgem mais facilmente após oito horas de descanso. O estudo, que será publicado na edição desta quinta-feira (22) da revista Nature, é considerado a primeira prova científica de que a criatividade e a solução de problemas parecem estar diretamente relacionadas a um sono adequado. Outros cientistas, que não contribuíram para este trabalho, consideram que ele constitui um valioso aviso aos trabalhadores e estudantes que trabalham em excesso. Para eles, é um alerta de que o sono é muitas vezes o melhor medicamento. Estudos anteriores já tinham apontado que a falta de sono contribui para o aumento dos acidentes, faz mal à saúde e baixa o rendimento das pessoas. A novidade do estudo alemão é que o sono pode ajudar a converter um problema de ontem numa solução de hoje. Um estudo por si só nunca resolve um assunto de uma vez por todas, mas eu diria que este representa um avanço significativo neste campo, diz Carl E. Hunt, diretor do Centro Nacional de Investigação sobre Desordens do Sono nos Institutos Nacionais da Saúde. Vai ter resultados potencialmente importantes no desempenho escolar das crianças e no profissional dos adultos, acrescentou. Voluntários Usando um grupo de voluntários que aceitaram submeter-se a um teste de matemática, cientistas da Universidade de Luebeck, na Alemanha, constataram que os que tinham dormido oito horas tinham três vezes mais probabilidades de resolver o teste do que os que não tinham dormido antes. O estudo envolveu 106 pessoas divididas em cinco grupos, separados com igual número de homens e mulheres com idades entre os 18 e os 32. Um grupo dormiu, outro ficou acordado toda a noite e o terceiro ficou acordado durante o dia por períodos de oito horas antes de responder ao teste. Os dois grupos restantes foram usados em outra experiência. Jan Born, responsável pelo estudo, disse que os resultados obtidos apoiam estudos bioquímicos do cérebro, segundo os quais as memórias são reestruturadas antes de ser armazenadas, e a criatividade também parece sair reforçada neste processo. Porém, ainda é pouco claro o processo exato do cérebro para apurar estas capacidades, segundo Born. Sabe-se que as alterações ligadas à criatividade e à solução de problemas ocorrem durante a onda lenta, ou sono profundo, que acontece normalmente durante as primeiras quatro horas do ciclo do sono. Os resultados também explicam os problemas de memória associados ao envelhecimento, já que as pessoas mais idosas costumam ter problemas em dormir o suficiente, e sobretudo em conseguir o tipo de sono profundo necessário ao processamento das memórias, disse Born. Mesmo diminuições graduais do tempo total de sono de onda lenta e sono profundo estão relacionadas com uma espécie de diminuição da função da memória, e por sua vez com uma diminuição da capacidade de reconhecer estruturas escondidas ou ter consciência dessas coisas, acrescentou. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski When we ask advice, we are usually looking for an accomplice. Joseph Louis LaGrange = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Producao de latas
Ola pessoal, A questao abaixo me parece que pode ser resolvida por sistemas, mas nao estou conseguindo fazer a montagem (make-up)... 1) 72% do aluminio utilizado na fabricacao de latas de oleo e refrigerante pode ser reciclado. Com uma quantidade determinada de aluminio, produziram-se 700 latas de oleo e 1.200 latas de refrigerantes. Quantas latas de refrigerantes poderao ser produzidas, ser for utilizado o aluminio reciclado das primeiras latas e diminuir-se em 340 unidades a quantidade de oleo produzida?
[obm-l] Coleção do Professor de Matemática e algumas dúvidas
Olá pessoal. Sou professor de matemática em Belém do Pará, voltado principalmente para concursos militares. Além disso, sou obviamente novo na lista, embora já a conheça e acesse seus arquivos há muitos anos (preguiça de inscrever-me). No ano retrasado adquiri a Coleção do Professor de Matemática, a qual é principal responsável por profundas mudanças tanto em minhas aulas, quanto em meus pontos de vista sobre educação. Minha opinião é que tal Coleção é a melhor referência em língua portuguesa para professores do Ensino Médio , e procuro disseminá-la entre vários colegas de profissão (eventualmente, até mesmo para alunos mais interessados e amantes da educação, não necessariamente matemática). Entretanto, apesar de ajudar-me muito em correções conceituais e melhoria no ensino de diversos tópicos, pretendo deixar uma observação relativamente à postura adotada pelos autores, principalmente dos volumes A Matemática no Ensino Médio, alguns dos quais, participantes desta lista. Resumindo, concordo com grande maioria daquilo que chamo o que o aluno deve saber e como estimulá-lo a aprender e pôr em prática, noutros termos, com a metodologia e o conteúdo propriamente ditos. No entanto, há de levar-se em conta que algumas instituições possuem vestibulares (sem dúvida importantes e necessárias peocupações do educador, ou antes, do profissional professor) que ainda mantêm uma visão tradicionalista de vários aspectos do ensino de Matemática. Só para citar alguns exemplos, considere-se a 2ª etapa do processo seletivo seriado da UFPA deste ano. Numa das questões, de combinatória, era imprescindível que o aluno soubesse a definição de arranjos simples, uma vez que alternativa correta era A (300,3), isto é, número de arranjos simples de 300 elementos, tomados três a três. No segundo volume de A Matemática no Ensino Médio, ocorre um total descaso (justificado) com a definição de arranjos. Gostaria, nesta primeira aproximação da opinião de professores em relação a situações como a apresentada. Além disso, tenho dúvidas relativas a alguns tópicos sobre os quais, infelizmente, não são tratados a fundo na Coleção, devido ao próprio nível de dificuldade, mas que ainda são freqüentes, principalmente, em concursos militares, como o ITA e o IME, como determinadas propriedades de funções periódicas, por exemplo . Porém, como esta mensagem já está demasiada grande, postarei tais dúvidas em mensagens subseqüentes. Obrigado. Márcio Pinheiro. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
