RE: [obm-l] Re: [obm-l] Sobre as provas do ITA
Existe Física 1,2,3 e 4 do Halliday visto em faculdades e existe Fundamentos de Física1,2,3 e 4 tmb do Halliday, de qual vcs estão falando ? From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Sobre as provas do ITA Date: Mon, 9 Feb 2004 16:32:43 -0300 Valeu as dicas!!!Ah, eu ganhei de presente um Serway e um HALLIDAY. -- Mensagem original -- Vou colar aqui uma mensagem que enviaram para esta lista mesmo, falando sobre livros bons para vestibulares concorridos. Veja: [ ... Olá...bem...em matemática..para pegar base..estude pelo Fundamentos de Matematica do Gelson Iezzi da editora Atual...pra aprofundar estude pelo livro russo Lidski da Mir...em fisica...Topicos de Fisica pra base e Halliday e Saraeva pra aprofundar...quimica..use o Ricardo Feltre pra pegar base e Renato Garcia pra aprofundar... É isso ... ] Em uma mensagem de 6/2/2004 17:45:07 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola turma! bem, nesta segunda devo estar em Sao Carlos para confirmar matricula na USP.Provavelmente nao receberei este e-mail mas la vai...Voces tem alguma ideia de um bom livro de Quimica para o ITA? Ah,quanto as provas de 90 a 97, eu so tenho escritas, e por enquanto to na maior preguiça de escrever...Mas nao se preocupe,quando eu acordar eu mesmo vou e dou um help. Te mais!!!Ass.:Johann TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI INSIGNIA TRIBVUERE -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Numero de Napier
numero de Napier é o mesmo que numero de Euler? Defina numero de NapierJefferson Franca [EMAIL PROTECTED] wrote: Será q alguém sabe como calcular o valor numérico do número de Napier n, mas sem usar Taylor ?Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site!
[obm-l] livro
Alguem ai conhece um bom livro para introducao à geometria projetiva? preciso de algo mais geometrico do que algebrico, na verdade estou interessado em uma coisa bem particular: projetar curvas (solucoes de EDO) do plano na esfera e vice-versa...se eu nao estiver engando isso de chama compactificação de Poincaré. obrigadoYahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site!
[obm-l] livros
Olá caros colégas da lista. Queria saber se alguém aqui teria um dos seguintes livros, ou saberia em que biblioteca eu poderia encontrá-los (eu sou do Paraná): Geometría Elemental do Pogorélov A. V. Solving Problems in Geometry do Mordokovich Solving Problems in Algebra and Trigonometry do Litvinenko V. Obs: todos estes livros são da editora MIR Valeu, Daniel.
Re: [obm-l] Numero de Napier
numero de Napier é o mesmo que numero de Euler? Defina numero de Napier Sim, é o mesmo número irracional e ~ 2.71828... Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes Inversiveis
On Mon, Feb 09, 2004 at 03:10:49PM -0200, Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote: Apenas invertível está nos dicionários. Eu devo confessar nunca pesquisei de forma sistemática esta questão. Mas os dicionários não são perfeitos, uma edição do Aurélio não tinha a palavra desatualizado, mas estamos chegando muito perto de um tópico off-topic que gerou briga recentemente. De qualquer maneira a língua evolui. Eu acho meio boba a discussão inversível x invertível e uso de forma mais ou menos indiferente, com leve preferência pela forma inversível, mais popular e que também me parece mais coerente com palavras parecidas (conversível, reversível, irreversível). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Juros simples: isto existe?
On Mon, Feb 09, 2004 at 03:13:43PM -0200, Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote: Muito bem. Essa eh a unica situaçao em que juros simples sao usados. Neste outro caso, por outro lado, acho que o Morgado e eu concordamos. Este é o único exemplo de juros simples que eu já vi. Mesmo depois de ter visto este exemplo ainda acho muito estranha a idéia de ensinar juros simples e não ensinar juros compostos. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema Interessante
O Marcio Cohen propos, no ultimo domingo, um problema interessante, provar que x = arccos[((sqrt(5)-1)/2]/pi eh irracional. Eu achei que isto poderia ter solucao por fracoes continuas ou com base na divisao aurea. Mas por aih nao cheguei a nada. Depois eu notei que (sqrt(5)-1))/2 eh uma das dua raizes da equacao do segundo grau, de coeficientes inteiros, 2x^2 + x -1 =0, de modo que (sqrt(5)-1))/2 eh algebrico. Observamos ainda que cos(pi*x) =(sqrt(5)-1))/2, o que implica em que a parte real de e^(pi*x) seja Re[^(pi*x)] = sqrt(5)-1))/2. Neste ponto eu me lembrei que parece que hah um teorema (mao estou abolutamente certo) o qual diz que, com excecao de -1, 0 e 1, as partes reais das raizes inteiras da unidade sao transcendentes. Se alguem se lembrar deste teorema, caso efetivamente exista, e puder apresentar ou mesmo rascunhar uma prova, eu gostaria. Bom, assumindo-se que o citado teorema efetivamente exista, concluimos que Re[e^(pi*x)] ek algebrico e que, desta forma, e^(pi*x*i) nao eh raiz da unidade. Se x for racional, entao existem inteiros p0 e q0 tais que x =p/q. Logo pi*x*i = pi* p/q *i e e^(pi*x*i)= cos(p*pi/q) + i * sen(p*pi/q). Logo, [e^(pi*x*i]*q = cos(p*pi) + i * sen(p*pi). Mas eh sempre possivel escolhermos p/q = x de modo que p seja par e que, consequentemente, cos(p*pi) = 1 e sen(p*pi) =0. Isto nos mostra que existe q inteiro tal que [e^(pi*x*i]*q =1 . A conclusao eh que se x eh racional entao e^(pi*x*i) eh raiz da unidade para algum inteiro p. dado que, no caso prooposto, e^(pi*x*i) nao eh raiz da unidade, segue-se que x eh iracional. Supondo-se, eh claro, que o teorema que citei existe...Vou tentar demonstra-lo, se possivel. Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Numero de Napier
On Tue, Feb 10, 2004 at 01:12:39PM -0300, Henrique Patrício Sant'Anna Branco wrote: numero de Napier é o mesmo que numero de Euler? Defina numero de Napier Sim, é o mesmo número irracional e ~ 2.71828... Que tal a fração contínua de e? Veja http://www.microsoft.com/research/~cohn/Papers/e.ps []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema Interessante
On Tue, Feb 10, 2004 at 01:50:10PM -0200, Artur Costa Steiner wrote: Neste ponto eu me lembrei que parece que hah um teorema (mao estou abolutamente certo) o qual diz que, com excecao de -1, 0 e 1, as partes reais das raizes inteiras da unidade sao transcendentes. Se alguem se lembrar deste teorema, caso efetivamente exista, e puder apresentar ou mesmo rascunhar uma prova, eu gostaria. Você certamente está confundindo o enunciado. Se z^n = 1 então z é um inteiro algébrico, o conjugado z^(n-1) também é, e a parte real dele, (z + z^(n-1))/2 é a metade de um inteiro algébrico logo um número algébrico. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] livro
Bruno Lima wrote: Alguem ai conhece um bom livro para introducao à geometria projetiva? Procure o livro do prof. Carlos B. Marmo. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski When we ask advice, we are usually looking for an accomplice. Joseph Louis LaGrange = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Numero de Napier
Jefferson Franca wrote: Será q alguém sabe como calcular o valor numérico do número de Napier n, mas sem usar Taylor ? Pô, mais Taylor converge tão rápido pra e^x... Lembro-me que em minha infância pobre, eu fazia colégio técnico e era o único da turma com calculadora de quatro operações ao invés de científica. Aí tinha lá que calcular tempo de descarga de capacitor, e^x eu fazia por Taylor mesmo! E às vezes ainda acabava a prova antes do resto da sala hehehe. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Juros simples: isto existe?
Professor Nicolau. O sr. disse que acha inutil ensinar as criancas juros simples pq afinal as criancas nao vao usa-las já que as aplicacoes sao beem limitadas. Por outro lado as criancas que nao vao seguir o caminho das ciencas exatas nunca vao usar tb conceitos como binomio de newton (por exemplo). Nesse aspetco como vc pode justificar por que é a favor que tirem juros simples do curriculo e mantenham o binomio de newton? obs: de qq forma eu sou a favor de que se mantenham os dois ponderando-se as importancias dos assuntos Nicolau C. Saldanha wrote: On Mon, Feb 09, 2004 at 03:13:43PM -0200, Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote: Muito bem. Essa eh a unica situaçao em que juros simples sao usados. Neste outro caso, por outro lado, acho que o Morgado e eu concordamos. Este é o único exemplo de juros simples que eu já vi. Mesmo depois de ter visto este exemplo ainda acho muito estranha a idéia de ensinar juros simples e não ensinar juros compostos. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski When we ask advice, we are usually looking for an accomplice. Joseph Louis LaGrange = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema Interessante
- Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED]Para: "[EMAIL PROTECTED]" [EMAIL PROTECTED]Assunto: Re: [obm-l] Problema InteressanteData: 10/02/04 15:11On Tue, Feb 10, 2004 at 01:50:10PM -0200, Artur Costa Steiner wrote: Neste ponto eu me lembrei que parece que hah um teorema (mao estou abolutamente certo) o qual diz que, com excecao de -1, 0 e 1, as partes reais das raizes inteiras da unidade sao transcendentes. Se alguem se lembrar deste teorema, caso efetivamente exista, e puder apresentar ou mesmo rascunhar uma prova, eu gostaria. Você certamente está confundindo o enunciado. Se z^n = 1 então z é um inteiroalgébrico, o conjugado z^(n-1) também é, e a parte real dele, (z + z^(n-1))/2é a metade de um inteiro algébrico logo um número algébrico.Obrigado. Entao, a prova que apresentei deixa de valer.Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Numero de Napier
Eu posso estar enganado mas acho que menos de 1% dos matemáticos se referem ao e como número de Napier ou número de Euler. Este último, inclusive, empresta seu nome a uma outra constante - justamente a constante de Euler - igual a lim(n-inf) (1 + 1/2 + ... + 1/n - ln(n)) e chamar o e de número de Euler pode dar confusão. Para calcular o valor numérico de e sem usar série de Taylor, acho que a melhor forma é usar frações contínuas: e = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,...] Para uma demonstração (arquivo pdf), entre em: http://research.microsoft.com/~cohn/publications.html e vá até o final da página. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Henrique Patrício Sant'Anna Branco [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, February 10, 2004 1:12 PM Subject: Re: [obm-l] Numero de Napier numero de Napier é o mesmo que numero de Euler? Defina numero de Napier Sim, é o mesmo número irracional e ~ 2.71828... Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Descubra os lados do Triangulo
Pessoal Alguem consegue resolver este problema sem usar cardano tartaglia, somente usando pura geometria. Considere um trianguloretangulo com hipotenusa 12 e com umquadrado inscrito de lado 4. A perguntaqual é o valor total de seus catetos ? PersioYahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site!
Re: [obm-l] Problema Interessante
Oi, Artur: Tem também um teorema que diz que se x e cos(pi*x) são ambos racionais, então x = k/2 ou x = k/3 para algum k inteiro, mas não se aplica a este problema pois (raiz(5)-1)/2 é irracional. Mesmo não sendo aplicável, acho que é um resultado interessante por si mesmo e cuja demonstração não é difícil. A idéia é mostrar, por indução, que cos(n*pi*x) pode ser expresso como um polinômio: p(t) = a_0 + a_1*t + ... + a_n*t^n, de grau n, em cos(pi*x) tal que: a_n = 2^(n-1) e para 2 = k = n, 2^(k-1) divide a_k. Isso implica que 2*cos(pi*x) é raiz de um polinômio mônico de grau n e coeficientes inteiros. Logo, se 2*cos(pi*x) é racional, então 2*cos(pi*x) só pode ser inteiro (pelo bom e velho teorema das raízes racionais) == cos(pi*x) = -1, -1/2, 0, 1/2 ou 1 == x = k/2 ou x = k/3 com k inteiro. Um corolário que eu acho interessante é que se as medidas dos lados e dos ângulos (em graus) de um triângulo são todas racionais, então esse triângulo é equilátero. * De qualquer forma talvez dê pra aproveitar alguma idéia do teorema acima pra resolver o problema do Márcio. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, February 10, 2004 12:50 PM Subject: Re: [obm-l] Problema Interessante O Marcio Cohen propos, no ultimo domingo, um problema interessante, provar que x = arccos[((sqrt(5)-1)/2]/pi eh irracional. Eu achei que isto poderia ter solucao por fracoes continuas ou com base na divisao aurea. Mas por aih nao cheguei a nada. Depois eu notei que (sqrt(5)-1))/2 eh uma das dua raizes da equacao do segundo grau, de coeficientes inteiros, 2x^2 + x -1 =0, de modo que (sqrt(5)-1))/2 eh algebrico. Observamos ainda que cos(pi*x) =(sqrt(5)-1))/2, o que implica em que a parte real de e^(pi*x) seja Re[^(pi*x)] = sqrt(5)-1))/2. Neste ponto eu me lembrei que parece que hah um teorema (mao estou abolutamente certo) o qual diz que, com excecao de -1, 0 e 1, as partes reais das raizes inteiras da unidade sao transcendentes. Se alguem se lembrar deste teorema, caso efetivamente exista, e puder apresentar ou mesmo rascunhar uma prova, eu gostaria. Bom, assumindo-se que o citado teorema efetivamente exista, concluimos que Re[e^(pi*x)] ek algebrico e que, desta forma, e^(pi*x*i) nao eh raiz da unidade. Se x for racional, entao existem inteiros p0 e q0 tais que x =p/q. Logo pi*x*i = pi* p/q *i e e^(pi*x*i)= cos(p*pi/q) + i * sen(p*pi/q). Logo, [e^(pi*x*i]*q = cos(p*pi) + i * sen(p*pi). Mas eh sempre possivel escolhermos p/q = x de modo que p seja par e que, consequentemente, cos(p*pi) = 1 e sen(p*pi) =0. Isto nos mostra que existe q inteiro tal que [e^(pi*x*i]*q =1 . A conclusao eh que se x eh racional entao e^(pi*x*i) eh raiz da unidade para algum inteiro p. dado que, no caso prooposto, e^(pi*x*i) nao eh raiz da unidade, segue-se que x eh iracional. Supondo-se, eh claro, que o teorema que citei existe...Vou tentar demonstra-lo, se possivel. Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema Interessante
Neste ponto eu me lembrei que parece que hah um teorema (mao estou abolutamente certo) o qual diz que, com excecao de -1, 0 e 1, as partes reais das raizes inteiras da unidade sao transcendentes. Se alguem se lembrar deste teorema, caso efetivamente exista, e puder apresentar ou mesmo rascunhar uma prova, eu gostaria. Você certamente está confundindo o enunciado. Se z^n = 1 então z é um inteiro algébrico, o conjugado z^(n-1) também é, e a parte real dele, (z + z^(n-1))/2 é a metade de um inteiro algébrico logo um número algébrico. []s, N. Eh, confundi mesmo. O teorema certo atesta justamente o contrario do do que admiti na minha demosntracao - que, eh claro, estah totalmente errada. Nao eh dificil provar o teorema acima. Se z^n =1, entao as propriedades dos polinomios de coeficientes reais assegura que z'^(n) =1, sendo z' o conjugado de z. Logo, z' eh um inteiro algebrico, o que implica que Re(z) = z+z')/2 tambem o seja. Alem disto, temos que z^(n-1) = z^(n)/z = 1/z = z'/zz' = z'/|z|^2 = z'. Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] area de triangulo
Salvo engano sua área é 32[2sqrt(3) + 3] Bom, o ângulo formado entre um lado do triangulo e um dos vértices do triangulo até o centro da circunferência mais próxima desse vértice é 30°. Desse centro até o lado são 4cm, pois ela é tangente. Como o ângulo é de 30° então do ponto de tangência até o vértice do triangulo vai ser 4sqrt(3) cm. Isso obviamente vale pro outro lado do triângulo. Logo pra descobrir o tamanho do lado falta só o meio do lado que é um segmento de 8cm, formado pela união dos centros das circunferências internas de raio 4cm. Logo o lado do triângulo vale 4sqrt(3) + 8 + 4sqrt(3) = 8(sqrt(3) +1) cm. Daí: A= L²sqrt(3)/4 Desenvolvendo dá 32[2sqrt(3) + 3] cm² Avisem-me se por acaso saiu algo errado... Douglas Ribeiro -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED]com Enviada em: terça-feira, 10 de fevereiro de 2004 00:29 Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br Assunto: [obm-l] area de triangulo Ola pessoal, Imaginem um triangulo equilatero com 3 circunferencias de raio 4 cm inscritas neste triangulo. Cada lado do triangulo eh tangente a 2 circunferencia . Qual a area do triangulo ?
Re: [obm-l] Numero de Napier
- Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Numero de Napier Data: 10/02/04 15:40 Jefferson Franca wrote: Será q alguém sabe como calcular o valor numérico do número de Napier n, mas sem usar Taylor ? O que vc estah chamando de Taylor, e = 1+ 1 +1/2+1/n!, parece-me que, na realidade, eh mais propriamente a propria definicao do numero e. A definicao usual de e eh como o valor em x= 1 da funcao e^x, e esta eh definida pela serie de potencias e^x = 1 + x + x^2/2! + x^n/n!. Se vc aplicar a expansao de Taylor a esta funcao chega exatamente aaa mesma serie. Uma outra forma de definirmos e eh pelo limite da sequencia (1+1/n)^n Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo
Title: Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo on 10.02.04 14:31, persio ca at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal Alguem consegue resolver este problema sem usar cardano tartaglia, somente usando pura geometria. Considere um triangulo retangulo com hipotenusa 12 e com um quadrado inscrito de lado 4. A pergunta qual é o valor total de seus catetos ? Persio Oi, Persio: Eu assumi que um dos lados do quadrado estah contido na hipotenusa e achei que o triangulo retangulo eh tambem isosceles, com catetos medindo 6*raiz(2). Eu usei apenas semelhanca e o teorema de Pitagoras. A saber, chamando o triangulo de ABC (A = angulo reto) e o quadrado de MNPQ (MN sobre a hipotenusa BC e os vertices considerados no sentido anti-horario, com M sendo o mais proximo de B) temos, inicialmente: Sejam AQ = a, AP = b. Triangulo AQP ~ Triangulo ABC == AQ/AB = AP/AC = QP/BC = 4/12 = 1/3 == AB = 3a, AC = 3b e QB = 2a, PC = 2b Pitagoras no triangulo AQP: AQ^2 + AP^2 = PQ^2 a^2 + b^2 = 16 (*) Seja BM = x. Entao, como MN = 4, temos que NC = 8 - x. Pitagoras no triangulo MQB: MQ^2 + BM^2 = QB^2 16 + x^2 = 4a^2 (**) Pitagoras no triangulo NPC: NP^2 + NC^2 = PC^2 16 + (8-x)^2 = 4b^2 (***) Somando as equacoes (**) e (***), usando (*) e rearranjando, obtemos: x^2 - 8x + 16 = 0 == x = 4 == 8 - x = 4 == BM = MQ = PN = NC = 4 == QB = PC = 4*raiz(2) == AB = AC = 6*raiz(2) Minha maior duvida eh: Onde voce encaixa Cardano-Tartaglia (que imagino ser a formula das raizes de uma equacao do 3o. grau) nesse problema? Um abraco, Claudio.
Re: [obm-l] Juros simples: isto existe?
On Tue, Feb 10, 2004 at 01:13:58PM -0300, niski wrote: Professor Nicolau. O sr. disse que acha inutil ensinar as criancas juros simples pq afinal as criancas nao vao usa-las já que as aplicacoes sao beem limitadas. Por outro lado as criancas que nao vao seguir o caminho das ciencas exatas nunca vao usar tb conceitos como binomio de newton (por exemplo). Nesse aspetco como vc pode justificar por que é a favor que tirem juros simples do curriculo e mantenham o binomio de newton? Eu não sou contra ensinar juros bem ensinado: sou totalmente a favor. O que eu sou contra é ensinar juros simples, que têm uma aplicação limitadíssima, e parar aí (dando ao aluna a impressão errada de que ele sabe calcular juros). Acho que isto responde sua pergunta: também sou a favor de ensinar as duas coisas. De qq maneira os dois assuntos têm personalidades muito diferentes um do outro, pode-se dizer que um é matemática pura e outro é uma aplicação, então acho difícil comparar. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema Interessante
On Tue, Feb 10, 2004 at 09:42:38AM -0800, Artur Costa Steiner wrote: Obrigado Claudio. Mas eu lembrei errado, o teorema que eu citei nao existeNa realidade, conforme o Nicolau afirmou, as partes reais de raizes inteiras da unidade sao sempre inteiros algebricos. Não tenho certeza se o erro foi meu, mas a parte real é um número algébrico, mas em geral não é um inteiro algébrico; por outro lado o dobro da parte real é um inteiro algébrico (tome z = 1/2 + i sqrt(3)/2). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema Interessante
on 10.02.04 18:21, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: N?o tenho certeza se o erro foi meu, mas a parte real ? um n?mero alg?brico, mas em geral n?o ? um inteiro alg?brico; por outro lado o dobro da parte real ? um inteiro alg?brico (tome z = 1/2 + i sqrt(3)/2). []s, N. Nao Nicolau, na sua mensagem nao estava escrito que era um inteiro algebrico, mas apenas um numero algebrico. Eu estou me confundindo porque eu acho que uma vez vi a seguinte afirmacao: Com excecao de -1, 0 e 1, a parte real de uma raiz da unidade nao eh um inteiro algebrico . Esta afirmacao eh falsa, certo? Artur Se for verdadeira, entao o problema do Marcio acabou. Se arccos((raiz(5)-1)/2)/(2*Pi) = m/n, com m, n inteiros e n 0, entao (raiz(5)-1)/2 = cos(2*Pi*m/n) = parte real de uma raiz n-esima da unidade. Mas (raiz(5)-1)/2 eh um inteiro algebrico (raiz de p(x) = x^2 + x - 1) e eh claramente diferente de -1, 0 ou 1 == (raiz(5)-1)/2 nao pode ser a parte real de uma raiz da unidade == contradicao == arccos((raiz(5)-1)/2)/(2*Pi) eh irracional Assim, talvez seja mais interessante tentar provar (ou achar um contra-exemplo) pra afirmacao acima. De qualquer forma, acho que exemplo do Nicolau pode ser generalizado: o dobro da parte real de uma raiz da unidade eh sempre um inteiro algebrico. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] area de triangulo
bem ñ entendi bem o enunciado da questao e por isto ela me pareceu facil poderia mandar uma figura?Douglas Ribeiro Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Salvo engano sua área é 32[2sqrt(3) + 3] Bom, o ângulo formado entre um lado do triangulo e um dos vértices do triangulo até o centro da circunferência mais próxima desse vértice é 30°. Desse centro até o lado são 4cm, pois ela é tangente. Como o ângulo é de 30° então do ponto de tangência até o vértice do triangulo vai ser 4sqrt(3) cm. Isso obviamente vale pro outro lado do triângulo. Logo pra descobrir o tamanho do lado falta só o meio do lado que é um segmento de 8cm, formado pela união dos centros das circunferências internas de raio 4cm. Logo o lado do triângulo vale 4sqrt(3) + 8 + 4sqrt(3) = 8(sqrt(3) +1) cm. Daí: A= L²sqrt(3)/4 Desenvolvendo dá 32[2sqrt(3) + 3] cm² Avisem-me se por acaso saiu algo errado... Douglas Ribeiro -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED]puc--rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED]comEnviada em: terça-feira, 10 de fevereiro de 2004 00:29Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.brAssunto: [obm-l] area de triangulo Ola pessoal, Imaginem um triangulo equilatero com 3 circunferencias de raio 4 cm inscritas neste triangulo. Cada lado do triangulo eh tangente a 2 circunferencia . Qual a area do triangulo ?Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
Re: [obm-l] Problema Interessante
On Tue, Feb 10, 2004 at 12:21:02PM -0800, Artur Costa Steiner wrote:
Eu estou me confundindo porque eu acho que uma vez vi
a seguinte afirmacao: Com excecao de -1, 0 e 1, a
parte real de uma raiz da unidade nao eh um inteiro
algebrico . Esta afirmacao eh falsa, certo?
Eu não conhecia, ou pelo menos não me lembro de conhecer, mas é verdadeira.
Segue abaixo o esboço da demonstração que me ocorreu.
Talvez exista outra mais simples.
A parte real é algo da forma cos(a*pi/b). Como sabemos
que (cos(a*pi/b) + i*sin(a*pi/b)) é um inteiro algébrico,
cos(...) é inteiro algébrico se e somente se sin(...) o é.
Vamos provar que estes números reais só são inteiros algébricos
casos triviais que você citou. Para ver isso vamos determinar
o polinômio de coeficientes inteiros irredutível com raiz
cos(a*pi/b) ou sin(a*pi/b).
Primeiro vou construir os polinômios de Chebyshev:
T0(x) = 1, T1(x) = x, Tn(x) = 2*x*T{n-1}(x) - T{n-2}(x),
assim T2(x) = 2x^2 - 1, T3(x) = 4x^3 - 3x, T4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1,
T5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x, T6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1.
É fácil provar que Tn(x) = 2^(n-1)x^n + (termos de grau mais baixo),
T{2n}(x) = (-1)^n + (termos de grau par mais alto),
T{2n+1}(x) = (-1)^n (2n+1) x + (termos de grau ímpar mais alto)
Também não é difícil provar que que as raízes de T{2n}(x) são
sin((2k+1)*pi/4n) e que as raízes de T{2n+1} são sin(k*pi/(2n+1)).
Em particular, Tn/Tm é um polinômio se e somente se n=lm, l inteiro ímpar.
A partir daí não é difícil provar que
Yn = Produto_{l divisor ímpar de n} (T{n/l})^(mobius(l))
é um polinômio e que
Tn = Produto_{m divisor de n, n/m ímpar} Ym.
Temos Y2 = T2, Y3(x) = 4x^2 - 3, Y4 = T4, Y5 = 16x^4 - 20x^2 + 5,
Y6(x) = 16x^4 - 16x^2 + 1, ...,
Y15(x) = 256 x^8 - 448 x^6 + 224 x^4 - 32 x^2 + 1.
Claramente, para n 1, Yn é um polinômio com coeficiente líder
uma potência de 2 e coeficiente do termo independente ímpar:
em particular, Yn nunca é múltiplo de um inteiro (em Z[x]).
É consideravelmente mais difícil provar que Yn é irredutível:
se você já viu a prova de que o grau de uma raiz primitiva de
ordem n é euler(n), segue daí, ou é análogo.
Os polinômios Yn são os nosso heróis:
é bem claro (se você acreditar nas coisas que eu afirmei)
que uma raiz de um Yn não é um inteiro algébrico.
Sejam a e b são primos entre si, b 0. Vamos dividir em casos.
Se b é ímpar então sin(a*pi/b) é raiz de Yb.
Se a é ímpar e b é múltiplo de 4 então sin(a*pi/b) é raiz de Y{b/2}.
Se a é ímpar e b é par mas não múltiplo de 4,
então ao invés de sin(a*pi/b) considere
cos(a*pi/b) = sin(pi/2 - a*pi/b) = sin((b/2 - a)*pi/b).
Mas b/2 - a é par. Faça a' = (b/2 - a)/2, b' = b/2 e temos
cos(a*pi/b) = sin(a'*pi/b') com b' ímpar, portanto raiz de Yn.
[]s, N.
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Problema Interessante
On Tue, Feb 10, 2004 at 08:21:45PM -0200, Claudio Buffara wrote: Eu estou me confundindo porque eu acho que uma vez vi a seguinte afirmacao: Com excecao de -1, 0 e 1, a parte real de uma raiz da unidade nao eh um inteiro algebrico . Esta afirmacao eh falsa, certo? Artur Se for verdadeira, entao o problema do Marcio acabou. Se arccos((raiz(5)-1)/2)/(2*Pi) = m/n, com m, n inteiros e n 0, entao (raiz(5)-1)/2 = cos(2*Pi*m/n) = parte real de uma raiz n-esima da unidade. Mas (raiz(5)-1)/2 eh um inteiro algebrico (raiz de p(x) = x^2 + x - 1) e eh claramente diferente de -1, 0 ou 1 == (raiz(5)-1)/2 nao pode ser a parte real de uma raiz da unidade == contradicao == arccos((raiz(5)-1)/2)/(2*Pi) eh irracional É mesmo, eu resolvi o problema do Marcio sem notar. :-) Bem, certamente dá para simplificar consideravelmente o que eu fiz para este caso particular. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problema
De uma prova da olimpíada chinesa (1986/1987), um problema interessante: A soma de m inteiros positivos pares e n inteiros positivos ímpares é igual 1987. Qual é o valor máximo de 3m + 4n? Benedito = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] O PARADOXO DE BERTRAND!
Turma! Alguma idéia a respeito do problema dos dados? Eu, particularmente, continuo na mesma, apesar de achar o raciocínio muito parecido com o da Penélope x Olívia, elucidado recentemente pelo Ralph. Enquanto isso, vejam abaixo um famoso paradoxo em que incrivelmente um problema sobre probabilidades passa a ter diversas respostas. Escolhendo ao acaso uma corda de uma circunferência, qual é a probabilidade de que ela seja maior que o lado do triângulo equilátero inscrito nessa circunferência? NOTA: O enfoque negativo sobre juros simples, pegou muita gente de surpresa! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Juros simples: isto existe?
Caro Prof. Nicolau, São vários os tópicos de matemática que ensinamos no Ensino Básico que têm aplicação limitadíssima e que passam a impressão de que ensinamos tudo. Números complexos, matrizes e determinantes são apenas alguns exemplos. Acho que o problema é que os professores de matemática não sabem para que servem os juros simples. Não se comenta sobre o juros que incidem em multas, descontos de duplicatas e promissórias, compra e venda de títulos públicos. Onde está o problema ? Laurito Alves From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Juros simples: isto existe? Date: Tue, 10 Feb 2004 17:06:03 -0200 On Tue, Feb 10, 2004 at 01:13:58PM -0300, niski wrote: Professor Nicolau. O sr. disse que acha inutil ensinar as criancas juros simples pq afinal as criancas nao vao usa-las já que as aplicacoes sao beem limitadas. Por outro lado as criancas que nao vao seguir o caminho das ciencas exatas nunca vao usar tb conceitos como binomio de newton (por exemplo). Nesse aspetco como vc pode justificar por que é a favor que tirem juros simples do curriculo e mantenham o binomio de newton? Eu não sou contra ensinar juros bem ensinado: sou totalmente a favor. O que eu sou contra é ensinar juros simples, que têm uma aplicação limitadíssima, e parar aí (dando ao aluna a impressão errada de que ele sabe calcular juros). Acho que isto responde sua pergunta: também sou a favor de ensinar as duas coisas. De qq maneira os dois assuntos têm personalidades muito diferentes um do outro, pode-se dizer que um é matemática pura e outro é uma aplicação, então acho difícil comparar. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema
on 10.02.04 20:15, benedito at [EMAIL PROTECTED] wrote: De uma prova da olimpíada chinesa (1986/1987), um problema interessante: A soma de m inteiros positivos pares e n inteiros positivos ímpares é igual 1987. Qual é o valor máximo de 3m + 4n? Benedito Me parece claro que a solucao otima eh obtida quando os m pares e os n impares sao tao pequenos quanto possivel, de forma que pelo menos um dentre m e n seja tao grande quanto possivel. O enunciado nao diz que os numeros precisam ser distintos dois a dois. Assim, a solucao otima serah obtida com m numeros 2 e n numeros 1, de forma que 2m + n = 1987. 3m + 4n = 3m + 4(1987 - 2m) = 7948 - 5m. Como m = 1, temos que 3m + 4n serah maximo e igual a 7943 para m = 1 e n = 1985. Serah que tah certo isso? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Juros simples
Caros colegas da lista: Pra mim, essa discussao sobre juros simples jah deu o que tinha que dar. A diferenca entre juros simples e compostos eh, antes de mais nada, uma convencao. Em outras palavras, trata-se de uma formula que deve ser combinada entre as partes de uma dada transacao financeira. O que importa sao os fluxos de caixa (valores dos pagamentos e recebimentos) e as datas em que eles ocorrem. Por exemplo, se eu aplico R$ 1000 num banco hoje, e o banco me promete R$ 1100 daqui a 180 dias corridos (123 dias uteis), qual a taxa de juros da minha aplicacao? Resposta: Depende da convencao que eu e o banco adotamos. Se for juros simples, ano de 360 dias, a taxa serah (1100/1000-1)*360/180 = 20% ao ano; Se for juros simples, ano de 365 dias, a taxa serah (1100/1000-1)*365/180 = 20,28% ao ano; Se for juros compostos, ano de 360 dias, a taxa serah (1100/1000)^(360/180)-1 = 21% aa; Se for juros compostos, ano de 252 dias uteis, a taxa serah (1100/1000)^(252/123)-1 = 21,56% aa. Em suma, quatro convencoes diferentes e quatro taxas diferentes, mas os mesmos fluxos de caixa. Pra terminar, um lembrete: esta eh uma lista de discussao de PROBLEMAS E TEMAS RELACIONADOS A OLIMPIADAS DE MATEMATICA. Eu posso estar muito enganado, mas juros simples nao se enquadram nessa categoria. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Complexos e Matrizes
on 10.02.04 21:58, Laurito Alves at [EMAIL PROTECTED] wrote: São vários os tópicos de matemática que ensinamos no Ensino Básico que têm aplicação limitadíssima e que passam a impressão de que ensinamos tudo. Números complexos, matrizes e determinantes são apenas alguns exemplos. Caro Laurito: Eu sinto muito, mas sou forcado a discordar da sua mencao de numeros complexos e matrizes como exemplos de matematica com aplicacoes limitadissimas. O que pode ocorrer eh um professor do ensino medio nao ter ideia do quao amplamente utilizados eles sao. Pergunte a qualquer engenheiro eletricista envolvido em projetos se numeros complexos servem pra alguma coisa (soh que pra eles, raiz(-1) atende pelo nome de j e nao i) Sobre matrizes, eu chutaria que as CPUs de todos os computadores envolvidos em processamento de dados cientificos e tecnicos (mas nao comerciais) passam a maior parte do tempo resolvendo sistemas lineares ou entao problemas de otimizacao linear, ambos atraves justamente de operacoes com matrizes. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Problema
-Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Claudio Buffara De uma prova da olimpíada chinesa (1986/1987), um problema interessante: A soma de m inteiros positivos pares e n inteiros positivos ímpares é igual 1987. Qual é o valor máximo de 3m + 4n? Benedito Observamos que um aumento de uma unidade em n aumenta a funcao objetivo (que eh linear em m e n) de 4 unidades, ao passo que o aumento de uma unidade em m a aumenta de apenas 3 unidades. Assim, o otimo eh alcancado tornado-se n tao grande quanto possivel, o que significa atribuir a m o estritamente necessario para atender aa restricao. O maior valor que n pode alcancar sem violar a restricao eh obtido escolhendo para os impares o menor valor possivel - isto eh, 1 - e forcando que 1 X n = n = 1987. Logo, temos justamente n = 1987. Dado que isto atende aa restricao, estabelecemos simplesmente m=0, nao tomamos nenhum numero par. O valor otimo da funcao eh 0 X 1 + 4X 1987 = 7948. O problema ficaria um pouco mais interessante se m fosse o numero de impares e n o de pares. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: RES: [obm-l] area de triangulo
Acho que é isso: http://www.klystron.kit.net/triangulo.jpg -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Guilherme Carlos Moreira e Silva Enviada em: terça-feira, 10 de fevereiro de 2004 19:52 Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br Assunto: Re: RES: [obm-l] area de triangulo bem ñ entendi bem o enunciado da questao e por isto ela me pareceu facil poderia mandar uma figura? Douglas Ribeiro Silva [EMAIL PROTECTED]com.br wrote: Salvo engano sua área é 32[2sqrt(3) + 3] Bom, o ângulo formado entre um lado do triangulo e um dos vértices do triangulo até o centro da circunferência mais próxima desse vértice é 30°. Desse centro até o lado são 4cm, pois ela é tangente. Como o ângulo é de 30° então do ponto de tangência até o vértice do triangulo vai ser 4sqrt(3) cm. Isso obviamente vale pro outro lado do triângulo. Logo pra descobrir o tamanho do lado falta só o meio do lado que é um segmento de 8cm, formado pela união dos centros das circunferências internas de raio 4cm. Logo o lado do triângulo vale 4sqrt(3) + 8 + 4sqrt(3) = 8(sqrt(3) +1) cm. Daí: A= L²sqrt(3)/4 Desenvolvendo dá 32[2sqrt(3) + 3] cm² Avisem-me se por acaso saiu algo errado... Douglas Ribeiro -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED]com Enviada em: terça-feira, 10 de fevereiro de 2004 00:29 Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br Assunto: [obm-l] area de triangulo Ola pessoal, Imaginem um triangulo equilatero com 3 circunferencias de raio 4 cm inscritas neste triangulo. Cada lado do triangulo eh tangente a 2 circunferencia . Qual a area do triangulo ? Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
Re: RES: RES: [obm-l] area de triangulo
Ola Douglas, Obrigado. Eh exatamente isso. Tambem poderiamos achar calcular a altura para achar a area. Mas aplicando a formula da area para triangulos equilateros da no mesmo. Em uma mensagem de 10/2/2004 23:49:59 Hora padro leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Acho que isso: http://www.klystron.kit.net/triangulo.jpg -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Guilherme Carlos Moreira e Silva Enviada em: tera-feira, 10 de fevereiro de 2004 19:52 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: RES: [obm-l] area de triangulo bem entendi bem o enunciado da questao e por isto ela me pareceu facil poderia mandar uma figura? Douglas Ribeiro Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Salvo engano sua rea 32[2sqrt(3) + 3] Bom, o ngulo formado entre um lado do triangulo e um dos vrtices do triangulo at o centro da circunferncia mais prxima desse vrtice 30. Desse centro at o lado so 4cm, pois ela tangente. Como o ngulo de 30 ento do ponto de tangncia at o vrtice do triangulo vai ser 4sqrt(3) cm. Isso obviamente vale pro outro lado do tringulo. Logo pra descobrir o tamanho do lado falta s o meio do lado que um segmento de 8cm, formado pela unio dos centros das circunferncias internas de raio 4cm. Logo o lado do tringulo vale 4sqrt(3) + 8 + 4sqrt(3) = 8(sqrt(3) +1) cm. Da: A= Lsqrt(3)/4 Desenvolvendo d 32[2sqrt(3) + 3] cm Avisem-me se por acaso saiu algo errado... Douglas Ribeiro -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED] Enviada em: tera-feira, 10 de fevereiro de 2004 00:29 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] area de triangulo Ola pessoal, Imaginem um triangulo equilatero com 3 circunferencias de raio 4 cm inscritas neste triangulo. Cada lado do triangulo eh tangente a 2 circunferencia . Qual a area do triangulo ?
Re: [obm-l] Financas
Artur, Sobre o investimento no décimo oitavo mês, considerar que o investimento foi ou não feito não traz diferença, pois não haverá rendimento (o qual só ocorreria no décimo nono mês). Se escrevermos a aplicação para o décimo oitavo mês, que desconsiderei especificamente antes e somei diretamente no final da operação, A_18 = 6000*(1,03)^0 = 6000. Assim, não há mesmo qualquer diferença para o problema. E, revendo os cálculos, vejo que você raciocinou exatamente assim e, excetuando as distrações, inclusive minhas nos cálculos, temos: Ao final do mês 1 é feita a aplicação de R$ 2000,00; Ao final do mês 2 é feita a aplicação de R$ 2000,00 e há a remuneração de 3% da aplicação do mês 1; Ao final do mês 3 é feita a aplicação de R$ 2000,00 e há a remuneração de 3% das aplicações dos meses 1 e 2; e, assim, sucessivamente. Ao final do mês 18 seria feita a aplicação de R$ 6000,00 e há a remuneração de 3% das aplicações dos meses 1 a 17. Seja A_n a aplicação feita no mês n, temos: A_1 = 2000*1,03^17 A_2 = 2000*1,03^16 A_3 = 2000*1,03^15 A_4 = 2000*1,03^14 A_5 = 2000*1,03^13 A_6 = 2000*1,03^12 A_7 = 4000*1,03^11 A_8 = 4000*1,03^10 A_9 = 4000*1,03^9 A_10 = 4000*1,03^8 A_11 = 4000*1,03^7 A_12 = 4000*1,03^6 A_13 = 6000*1,03^5 A_14 = 6000*1,03^4 A_15 = 6000*1,03^3 A_16 = 6000*1,03^2 A_17 = 6000*1,03 Prefiro tão somente simplicar o cálculo, separá-las em três somas de progressões geométricas: S_1 = 2000*1,03^12*(1,03^6-1)/0,03 = 18444,81 S_2 = 4000*1,03^6*(1,03^6-1)/0,03 = 30894,48 S_3 = 6000*1,03*(1,03^5-1)/0,03 = 32810,46 O montante M é dado pelo que foi remunerado no décimo oitavo mês somado ao que não foi investido até então. M = S_1 + S_2 + S_3 + 6000,00 = 88149,75 Dessa forma, o resultado que você obteve pelo Excel e estes meus cálculos concordam entre si. Já sobre o segundo problema, não me ficou muito clara a idéia sobre ágio. Pelo que sei, ágio é a diferença entre o valor pago por um título e o seu valor nominal. É mesmo isso? Abraços, Rafael de A. Sampaio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Inversíveis de Z/nZ
Olá pessoal da lista. Muitas vezes já li sobre o grupo multiplicativa dos elementos inversíveis de Z/nZ para n inteiro positivo, contudo nunca me perguntei sobre a estrutura desse grupo. Ainda nem pensei na questão e estou propondo ela na lista para que outras pessoas também pensem sobre isto. Se alguém tiver algum comentário, ficarei grato. Abração, Duda. PS. Raramente, eu dou sinal de vida quando respondem a uma mensagem minha. Mas isto não quer dizer que eu não leia as respostas. Eu sempre leio. Acho que não cabe ficar enchendo a lista com mensagens de agradecimento. Eu assumo, também, que quando respondo a alguém este alguém lê. A maioria deve agir assim. Não entendo por que algumas pessoas ficam sentidas por não terem resposta... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Financas
Ola Rafael Rafael (xara), quanto a sua definicao de agio acho que vc esta certo. Seria uma especie de juro, remuneracao, pode significar tbem (dependendo do contexto) usura, desconto. Eh so lembram de agiota: *aquele que empresta uma quantia para alguem e depois cobra *juros* exorbitantes* Quanto ao primeiro problema nao seria o que esta abaixo ? Se estiver errado me corrija. P.G (1) A_1 = 2000*1,03 A_2 = 2000*1,03^2 A_3 = 2000*1,03^3 A_4 = 2000*1,03^4 A_5 = 2000*1,03^5 A_6 = 2000*1,03^6 P.G (2) A_7 = 4000*1,03 A_8 = 4000*1,03^2 A_9 = 4000*1,03^3 A_10 = 4000*1,03^4 A_11 = 4000*1,03^5 A_12 = 4000*1,03^6 P.G (3) A_13 = 6000*1,03 A_14 = 6000*1,03^2 A_15 = 6000*1,03^3 A_16 = 6000*1,03^4 A_17 = 6000*1,03^5 A_18 = 6000*1,03^6 Logo o montante seria P.G (1) + P.G (2) + P.G (3) Ps: Vc esta considerando que a aplicacao eh feita no mes m e a remuneracao no mes m+1 (renda postecipada). Por que nao considerar a remuneracao no proprio mes m (renda antecipada) ? O enunciado fala que a aplicacao eh feita ao fim de cada mes. Se levarmos com muito rigor nossa analise considerariamos este *fim de cada mes* como 23:59 horas do dia 31 (de um mes que termine em 31), neste caso a renda seria mesmo postecipada. Caso este *fim de cada mes* seja antes de 23:59 horas entao poderia ocorrer a taxa de remuneracao neste exiguo intervalo de tempo depois da aplicacao, neste caso teriamos um caso de rendas antecipadas. Mas como o enunciado nao fala isso ... Em uma mensagem de 11/2/2004 01:09:20 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Artur, Sobre o investimento no décimo oitavo mês, considerar que o investimento foi ou não feito não traz diferença, pois não haverá rendimento (o qual só ocorreria no décimo nono mês). Se escrevermos a aplicação para o décimo oitavo mês, que desconsiderei especificamente antes e somei diretamente no final da operação, A_18 = 6000*(1,03)^0 = 6000. Assim, não há mesmo qualquer diferença para o problema. E, revendo os cálculos, vejo que você raciocinou exatamente assim e, excetuando as distrações, inclusive minhas nos cálculos, temos: Ao final do mês 1 é feita a aplicação de R$ 2000,00; Ao final do mês 2 é feita a aplicação de R$ 2000,00 e há a remuneração de 3% da aplicação do mês 1; Ao final do mês 3 é feita a aplicação de R$ 2000,00 e há a remuneração de 3% das aplicações dos meses 1 e 2; e, assim, sucessivamente. Ao final do mês 18 seria feita a aplicação de R$ 6000,00 e há a remuneração de 3% das aplicações dos meses 1 a 17. Seja A_n a aplicação feita no mês n, temos: A_1 = 2000*1,03^17 A_2 = 2000*1,03^16 A_3 = 2000*1,03^15 A_4 = 2000*1,03^14 A_5 = 2000*1,03^13 A_6 = 2000*1,03^12 A_7 = 4000*1,03^11 A_8 = 4000*1,03^10 A_9 = 4000*1,03^9 A_10 = 4000*1,03^8 A_11 = 4000*1,03^7 A_12 = 4000*1,03^6 A_13 = 6000*1,03^5 A_14 = 6000*1,03^4 A_15 = 6000*1,03^3 A_16 = 6000*1,03^2 A_17 = 6000*1,03 Prefiro tão somente simplicar o cálculo, separá-las em três somas de progressões geométricas: S_1 = 2000*1,03^12*(1,03^6-1)/0,03 = 18444,81 S_2 = 4000*1,03^6*(1,03^6-1)/0,03 = 30894,48 S_3 = 6000*1,03*(1,03^5-1)/0,03 = 32810,46 O montante M é dado pelo que foi remunerado no décimo oitavo mês somado ao que não foi investido até então. M = S_1 + S_2 + S_3 + 6000,00 = 88149,75 Dessa forma, o resultado que você obteve pelo Excel e estes meus cálculos concordam entre si. Já sobre o segundo problema, não me ficou muito clara a idéia sobre ágio. Pelo que sei, ágio é a diferença entre o valor pago por um título e o seu valor nominal. É mesmo isso? Abraços, Rafael de A. Sampaio
