Res: RE: [obm-l] Problema
Não está claro no enunciado, mas a solução oficialnão considerava a hipótese dos números serem iguais, nem a possibilidade da quantidade de pares ou ímparesserem nula. Desse modo, o valor máximo pedido é (evidentemente) muito menor. Benedito ---Mensagem original--- De: [EMAIL PROTECTED] Data: terça-feira, 10 de fevereiro de 2004 22:50:37 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: RE: [obm-l] Problema -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Claudio Buffara De uma prova da olimpíada chinesa (1986/1987), um problema interessante: A soma de m inteiros positivos pares e n inteiros positivos ímpares é igual 1987. Qual é o valor máximo de 3m + 4n? Benedito Observamos que um aumento de uma unidade em n aumenta a funcao objetivo (que eh linear em m e n) de 4 unidades, ao passo que o aumento de uma unidade em m a aumenta de apenas 3 unidades. Assim, o otimo eh alcancado tornado-se n tao grande quanto possivel, o que significa atribuir a m o estritamente necessario para atender aa restricao. O maior valor que n pode alcancar sem violar a restricao eh obtido escolhendo para os impares o menor valor possivel - isto eh, 1 - e forcando que 1 X n = n = 1987. Logo, temos justamente n = 1987. Dado que isto atende aa restricao, estabelecemos simplesmente m=0, nao tomamos nenhum numero par. O valor otimo da funcao eh 0 X 1 + 4X 1987 = 7948. O problema ficaria um pouco mais interessante se m fosse o numero de impares e n o de pares. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = . IncrediMail - O mundo do correio eletrônico finalmente desenvolveu-se - Clique aqui
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Outra sobre álgebra
on 13.02.04 03:23, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
on 12.02.04 23:43, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Oi colegas da lista.
Seja K um corpo, K[t] o anel de polinômios sobre K e dois polinômios P e
Q
de K[t] ambos irredutíveis de mesmo grau. É verdade que os aneis
quocientes
(são corpos, na verdade) F = K[t] / (P) e G = K[t] / (Q) são isomorfos?
Eu imagino que sim pelo isomorfismo h : F -- G que leva (P) + f em (Q)
+ f.
Não tenho boa visão sobre como se corportam esses aneis quocientes do
tipo
de F e G. Alguém sabe um bom livro para ler sobre isto, ou artigo na
internet?
Um abraço e obrigado por qualquer ajuda.
Duda.
Oi, Duda:
Se P pertence a K[t] e grau(P) = n, entao K[t] / (P) eh um espaco vetorial
de dimensao n sobre K. Alem disso, dois espacos vetoriais de mesma
dimensao
sobre um mesmo corpo sao isomorfos. Isso prova o resultado. Acho inclusive
que P nao precisa ser irredutivel (mas nesse caso, o anel quociente nao
serah um corpo)
Uma boa fonte on-line sobre algebra em geral estah aqui:
http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/
Um abraco,
Claudio.
Eu ACHO que você está se confundindo. Pelo que entendo, há dois conceitos de
isomorfismo envolvidos neste caso. O primeiro é o conceito de isomorfismo
entre espaços vetoriais e o segundo, isomorfismo entre corpos (ou entre
anéis). Como os dois espaços vetoriais sobre K tem a mesma dimensão, fica
fácil de estabelecer um isomorfismo, mas isto não implica que este
isomorfismo preserve a multiplicação.
Voce tem toda a razao. Eu misturei os dois conceitos e o problema estah
justamente na multiplicacao.
Por enquanto o que eu fiz foi o seguinte:
Como K eh um corpo, podemos supor s.p.d.g. que P(x) e Q(x) sao monicos de
grau n+1 (n+1 e nao n pra facilitar a notacao mais adiante).
Seja a uma raiz de P(x). Como P(x) eh irredutivel, P(x) serah o polinomio
minimo de a. Entao K[a] eh uma extensao algebrica (e portanto finita) de K e
(isso eu tenho certeza) K[x]/(P(x)) eh isomorfo a K[a].
Da mesma forma, se b eh uma raiz de Q(x), entao K[x]/(Q(x)) eh isomorfo a
K[b].
Mas:
K[a] = {u_0 + u_1*a + u_2*a^2 + ... + u_n*a^n | u_i pertence a K}
e
K[b] = {v_0 + v_1*b + v_2*b^2 + ... + v_n*b^n | v_i pertence a K}.
Serah que K[a] e K[b] sao isomorfos?
Eu acho que sim. O que voce acha?
Posso estar dizendo uma grande bobagem, mas o exemplo abaixo me sugere que
não:
Se P e Q são polinômios em t sobre K, P é irredutível e Q não é então F =
K[t] / (P) é um corpo mas G = K[t] / (Q) não é. É impossível que haja um
isomorfismo (de anél) entre F e G, pois neste caso ambos seriam corpos. O
que me sugere que neste caso eles não são isomorfos.
Concordo com o argumento.
Obrigado pela resposta e pela indicação do site.
Você já leu o livro Galois Theory, do Ian Stewart? Estou estudando por
ele, e me surgiu esta dúvida em um dos exercícios do livro. Na verdade, esta
é a segunda, a outra foi sobre Zn*.
Ainda nao. Esse semestre eu pretendo fazer um curso sobre esse assunto na
USP. Espero estar mais afiado em julho...
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Derivadas
Por gentiliza se alguem puder me ajudar ficarei grato. Estou com essa questão há três dias e não consegui resolver. Pedi pro meu prof. de Cálculo pra me ajudar, mas sabe como é, ele olhou a questão e como não conseguiu fazer de primeira disse q depois me dava a resposta. Sendo que na próxima aula é prova, e eu não duvido nada ele colocar uma questão semelhante e pedir pra gente resolver. Temos o seguinte problema: A área A de um triangulo está crescendo à razão de 0,5 metros quadrados por minuto, enquanto o comprimento x de sua base está decrescendo a uma razão de 0,25 metros por minuto. Quão rápido estará a altura y do triangulo variando no instante em que x=2 metros e A = 1 metro quadrado? A resposta do livro deu: 5/8* m/min. Obs.:Por favor meus conhecimentos se retringem a limites e derivadas, portanto gostaria q vcs me ajudassem sem usar o conceito de integral. Desde já grato, Raniere Luna _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: Res: RE: [obm-l] Problema
Bom, continua sendo interessante tornar n o maior possivel. Se impusermos a restricoes de que os numeros sejam distintos 2 a 2, entao, para numeros impares, o melhor que podemos fazer eh estabelece_los em 1, 3...2n-1. Feito isto, devemos escolher m pares, 2,42m de modo a complementar a soma em 1987. A soma dos impares eh n^2 e a dos pares eh m^2 + m. Precisamos assim maximizar 3m + 4n sujeito a m^2 + m + n^2 = 1987, me e n naturais -- se isto for possivel. Nao me parece que haja uma solucao simples de se fazer na mao. Com um computador cheguei a m =17, n=41 e 3m + 4n =215. Observamos que, como 1987 eh impar e m^2 + m = m(m+1) eh sempre par, n tem que ser impar. Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: Res: RE: [obm-l] Problema
Nao me parece que haja uma solucao simples de se fazer na mao. Bom, na realidade, neste caso particular, ateh que dava pra sair na mao. Temos que maximizar n observando n^2 =1987. Isto nos conduz a n=43 e n^2 = n^2 = 1849. Para 1987, faltam 138. Mas nao existe um natural m tal que m(m+1) = 138. Descartamos n= 43 e vamos para a solucao imdiatamente abaixo, que h n=41, pois n tem que ser impar. Temos que n^2 = 1681. Para 1987, faltam agora 306. Resolvendo a equacao do segundo grau m^2 +m = 306, que com umpouc de paciencia da pra fazer na mao, vemos que uma das solucooes eh 17 e a outra que nao serve eh -16. Logo, chegamos em computador a n=41 , m= 17 e a funcao objetivo no valor otimo de 215 Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Números Pitagóricos
Voce sabe onde encontrar este livro??? - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, December 19, 2003 4:22 PM Subject: [obm-l] Números Pitagóricos No livro: Episódios da História Antiga da Matemática, de Asger Aaboe, traduzido por João Pitomberia de Carvalho, SBM, há em sua pág.32 o seguinte teorema: Se p e q tomam todos os valores inteiros, restritos somente pelas seguintes condições: 1) p q 0; 2) p e q não possuem divisor comum (distinto de 1) e 3) p e q não são ambos ímpares. Então as expressões: x=p^2 ? q^2; y=2pq e z=p^2 + q^2 fornecerão todos os ternos pitagóricos reduzidos, e cada terno somente uma vez. Pergunto: Como demonstrar tal teorema? Nas notas de rodapé, há afirmação que uma demonstração para tal teorema está em H.Rademacher e O.Toeplitz, secção 14, p.88, porém, não tenho tal livro. Assim, solicito, por obséquio, uma demonstração. ATT. João Carlos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Pitagóricos
Este libro é vendido pela própria SBM. O site é http://www.sbm.org.br. Daniel Melo Wanzeller [EMAIL PROTECTED] Enviado Por: [EMAIL PROTECTED] 13/02/2004 11:48 Favor responder a obm-l Para:[EMAIL PROTECTED] cc: Assunto:[obm-l] Re: [obm-l] Números Pitagóricos Voce sabe onde encontrar este livro??? - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, December 19, 2003 4:22 PM Subject: [obm-l] Números Pitagóricos No livro: Episódios da História Antiga da Matemática, de Asger Aaboe, traduzido por João Pitomberia de Carvalho, SBM, há em sua pág.32 o seguinte teorema: Se p e q tomam todos os valores inteiros, restritos somente pelas seguintes condições: 1) p q 0; 2) p e q não possuem divisor comum (distinto de 1) e 3) p e q não são ambos ímpares. Então as expressões: x=p^2 ? q^2; y=2pq e z=p^2 + q^2 fornecerão todos os ternos pitagóricos reduzidos, e cada terno somente uma vez. Pergunto: Como demonstrar tal teorema? Nas notas de rodapé, há afirmação que uma demonstração para tal teorema está em H.Rademacher e O.Toeplitz, secção 14, p.88, porém, não tenho tal livro. Assim, solicito, por obséquio, uma demonstração. ATT. João Carlos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Outra sobre álgebra
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
on 13.02.04 03:23, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
on 12.02.04 23:43, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Oi colegas da lista.
Seja K um corpo, K[t] o anel de polinômios sobre K e dois polinômios P
e
Q
de K[t] ambos irredutíveis de mesmo grau. É verdade que os aneis
quocientes
(são corpos, na verdade) F = K[t] / (P) e G = K[t] / (Q) são
isomorfos?
Eu imagino que sim pelo isomorfismo h : F -- G que leva (P) + f em
(Q)
+ f.
Não tenho boa visão sobre como se corportam esses aneis quocientes do
tipo
de F e G. Alguém sabe um bom livro para ler sobre isto, ou artigo na
internet?
Um abraço e obrigado por qualquer ajuda.
Duda.
Oi, Duda:
Se P pertence a K[t] e grau(P) = n, entao K[t] / (P) eh um espaco
vetorial
de dimensao n sobre K. Alem disso, dois espacos vetoriais de mesma
dimensao
sobre um mesmo corpo sao isomorfos. Isso prova o resultado. Acho
inclusive
que P nao precisa ser irredutivel (mas nesse caso, o anel quociente nao
serah um corpo)
Uma boa fonte on-line sobre algebra em geral estah aqui:
http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/
Um abraco,
Claudio.
Eu ACHO que você está se confundindo. Pelo que entendo, há dois
conceitos de
isomorfismo envolvidos neste caso. O primeiro é o conceito de
isomorfismo
entre espaços vetoriais e o segundo, isomorfismo entre corpos (ou entre
anéis). Como os dois espaços vetoriais sobre K tem a mesma dimensão,
fica
fácil de estabelecer um isomorfismo, mas isto não implica que este
isomorfismo preserve a multiplicação.
Voce tem toda a razao. Eu misturei os dois conceitos e o problema estah
justamente na multiplicacao.
Por enquanto o que eu fiz foi o seguinte:
Como K eh um corpo, podemos supor s.p.d.g. que P(x) e Q(x) sao monicos de
grau n+1 (n+1 e nao n pra facilitar a notacao mais adiante).
Seja a uma raiz de P(x). Como P(x) eh irredutivel, P(x) serah o polinomio
minimo de a. Entao K[a] eh uma extensao algebrica (e portanto finita) de K
e
(isso eu tenho certeza) K[x]/(P(x)) eh isomorfo a K[a].
Da mesma forma, se b eh uma raiz de Q(x), entao K[x]/(Q(x)) eh isomorfo a
K[b].
Mas:
K[a] = {u_0 + u_1*a + u_2*a^2 + ... + u_n*a^n | u_i pertence a K}
e
K[b] = {v_0 + v_1*b + v_2*b^2 + ... + v_n*b^n | v_i pertence a K}.
Serah que K[a] e K[b] sao isomorfos?
Eu acho que sim. O que voce acha?
Oi, Cláudio.
Eu acho o mesmo que você. Eu acho também que o desejado isomorfismo entre
corpos é aquele mais natural possível que leva os coeficientes u_i nos
mesmos coeficientes v_i. Mas aí surge o problema de que não sei onde vou
entrar com a informação de que P e Q são irredutíveis. O que me indica que
eu não estou sabendo ENTENDER direito estes conceitos e corpos.
Bom, como estou de férias e fui convidado para ir à praia (aqui em Porto
Alegre, não há praia ;) ), vou passar este final de semana nela, e não vou
ler mais as mensagens. Só segunda-feira, quando voltar. Até lá, não
responderei portanto, mas vou pensar mais na questão e assim que chegar vou
ver as mensagens da lista.
Não sei se você concorda comigo. Mas acho que os livros (pelo menos os que
eu já li) passam rápido demais por anéis do tipo R[x] / (P) e não esclarecem
grande coisa, ou será que somos nós com uma dificuldade boba...?
Abração e valeu!
Duda.
Posso estar dizendo uma grande bobagem, mas o exemplo abaixo me sugere
que
não:
Se P e Q são polinômios em t sobre K, P é irredutível e Q não é então F
=
K[t] / (P) é um corpo mas G = K[t] / (Q) não é. É impossível que haja um
isomorfismo (de anél) entre F e G, pois neste caso ambos seriam corpos.
O
que me sugere que neste caso eles não são isomorfos.
Concordo com o argumento.
Obrigado pela resposta e pela indicação do site.
Você já leu o livro Galois Theory, do Ian Stewart? Estou estudando por
ele, e me surgiu esta dúvida em um dos exercícios do livro. Na verdade,
esta
é a segunda, a outra foi sobre Zn*.
Ainda nao. Esse semestre eu pretendo fazer um curso sobre esse assunto na
USP. Espero estar mais afiado em julho...
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Derivadas
on 13.02.04 11:09, Raniere Luna Silva at [EMAIL PROTECTED] wrote: Por gentiliza se alguem puder me ajudar ficarei grato. Estou com essa questão há três dias e não consegui resolver. Pedi pro meu prof. de Cálculo pra me ajudar, mas sabe como é, ele olhou a questão e como não conseguiu fazer de primeira disse q depois me dava a resposta. Sendo que na próxima aula é prova, e eu não duvido nada ele colocar uma questão semelhante e pedir pra gente resolver. Temos o seguinte problema: A área A de um triangulo está crescendo à razão de 0,5 metros quadrados por minuto, enquanto o comprimento x de sua base está decrescendo a uma razão de 0,25 metros por minuto. Quão rápido estará a altura y do triangulo variando no instante em que x=2 metros e A = 1 metro quadrado? A resposta do livro deu: 5/8* m/min. Obs.:Por favor meus conhecimentos se retringem a limites e derivadas, portanto gostaria q vcs me ajudassem sem usar o conceito de integral. Desde já grato, Raniere Luna A = (1/2)*x*y. Derivando em relacao ao tempo (e usando a regra do produto), fica: dA/dt = (1/2)*(y*dx/dt + x*dy/dt) (***) Do enunciado: dA/dt = 0,5 m^2/min dx/dt = -0,25 m/min A = 1 m^2, x = 2 m == y = 1 m. Substituindo esses valores em (***), ficamos com: 0,5 = (1/2)*(1*(-0,25) + 2*dy/dt). Finalmente, resolvendo pra dy/dt, obtmemos: dy/dt = +0,625 = +5/8 m/min. Um abraco e boa prova. Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Outra sobre álgebra
On Thu, Feb 12, 2004 at 10:43:17PM -0300, Eduardo Casagrande Stabel wrote: Seja K um corpo, K[t] o anel de polinômios sobre K e dois polinômios P e Q de K[t] ambos irredutíveis de mesmo grau. É verdade que os aneis quocientes (são corpos, na verdade) F = K[t] / (P) e G = K[t] / (Q) são isomorfos? Não. Seja K = Q, p = t^2 - 2 e q = t^2 - 3. F = K[t]/(p) = Q[sqrt(2)] e G = K[t]/(q) = Q[sqrt(3)] (eu mudei os nomes dos polinômios para minúsculas para que não haja confusão entre o corpo Q e o polinômio q). Os dois corpos são claramente não isomorfos pois qualquer isomorfismo obrigatoriamente leva 2 em 2 mas num corpo 2 admite raiz quadrada e no outro não. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Pitagóricos
On Fri, Feb 13, 2004 at 10:48:58AM -0300, Daniel Melo Wanzeller wrote: Voce sabe onde encontrar este livro??? Que tal você tentar a home page da SBM (www.sbm.org.br)? (Dica: clique em livros, depois em Coleção do Professor de Matemática.) []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Questão de conjuntos
Como se faz essa? Numa pesquisa para se avaliar a leitura de tres revistas A , B e C , descobriu-se que 81 pessoas leem , pelo menos , uma das revistas; 61 pessoas leem somente uma delas e 17 pessoas leem duas das tres revistas.Assim sendo , o numero de pessoas mais informadas dentre as 81 eh : a) 3 b)5 c)12 d)29 e)37 __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Dúvidas
Oi pessoal, Estou enrolado com esses dois. Ajudem-me por favor. Desde já agradeço. 1) Seja N=abcdef um número com 6 algarismos diferentes. Quando se multiplica N por 2,3,4,5,6, obtém-se os mesmos números com algarismos permutados ciclicamente. Determine N. 2) Escrevendo-se todos os naturais de 1 a 289, quantas vezes aparece o algarismo 7?
[obm-l] PROBABILOMANÍACO!
Olá! Meus Colegas! Vale salientar que minha insistência em assuntos aleatórios me rendeu extra-lista a simpática alcunha. Desde já, agradeço a participação dos interessados, mas sem querer abusar da boa vontade gostaria de ajuda. OK! João e Helena moram em duas margens opostas de um rio de razoável largura. Eles sabem que a probabilidade de que a sua mãe saia à noite é 0,6. Helena só define essa situação às 18h 15min quando ela grita uma de suas palavras em código através do rio para João. Porém Helena tem voz muito macia e o rio está sujeito a um tráfego pesado de barcaças de forma que ela está frente a um canal de ruído. Resolveram então utilizar um código contendo apenas as letras A e B. O canal é descrito por P(a/A)=2/3;P(a/B)=1/4;P(b/A)=1/3;P(b/B)=3/4 onde a é o evento João pensa que a mensagem é A e b é o evento João pensa que a mensagem é B. Com o intuito de minimizar a probabilidade de erro entre as mensagens transmitidas e recebidas devem Helena e João usar o código I ou o código II? Código I: A=Mãe em casa; B=Mãe fora de casa. Código II: A=Mãe fora de casa; B=Mãe em casa. Ocorre erro quando Mãe está em casa e João vem ou quando Mãe está fora e João não vem. Um abraço e Bom Final de Semana! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Questão de conjuntos
O total de pessoas que le revistas é: Pessoas que lêem SOMENTE 1 revista + Pessoas que lêem EXATAMENTE 2 revistas + Pessoas que lêem AS TRES revistas Tudo isso somado tem que dar 81 Logo: 61 + 17 + X = 81 X = 3 -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de thor-oliveira Enviada em: sexta-feira, 13 de fevereiro de 2004 18:31 Para: obm-l Assunto: [obm-l] Questão de conjuntos Como se faz essa? Numa pesquisa para se avaliar a leitura de tres revistas A , B e C , descobriu-se que 81 pessoas leem , pelo menos , uma das revistas; 61 pessoas leem somente uma delas e 17 pessoas leem duas das tres revistas.Assim sendo , o numero de pessoas mais informadas dentre as 81 eh : a) 3 b)5 c)12 d)29 e)37 __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Produto de comutadores
On Thu, Feb 12, 2004 at 02:07:22PM -0300, Cláudio (Prática) wrote:
Alguém poderia dar um exemplo de um grupo onde o produto de dois comutadores
NÃO É necessariamnete um comutador?
Outro exemplo é SL(2,R). Afirmo que -I não é um comutador.
Vou escrever A' em vez de A^{-1}.
Suponha ABA'B' = -I. Seja v um autovetor de B associado ao
autovalor l (real ou complexo). Então
ABA'B'v = (1/l) ABA'v = -v
donde
B(A'v) = -l (A'v)
e -l também é autovalor.
Como estamos supondo det B = 1 isto significa que os autovalores são +-i.
Uma conta parecida mostra que a mesma coisa vale para A.
Assim A' = -A e B' = -B e ABA'B' = ABAB = (AB)^2 = -I
e a matriz AB também tem autovalores +-i.
Podemos conjugar tudo por X e supor que
(0 -1)
A = ( )
(1 0)
Uma matrix 2x2 de det 1 tem estes autovals se e somente se seu traço é 0,
assim
(a b)
B = ()
(c -a)
com a^2 + bc = -1. Mas
(-c a)
AB = ( )
( a b)
e tr(AB) = 0 implica b = c. Assim a^2 + b^2 = -1, absurdo.
Por outro lado, tomando a = 2, c = sqrt(17)/3, s = sqrt(8)/3,
(a0)
A = ( )
(0 1/a)
e
(c s)
B = ( )
(s c)
temos (ABA'B')^2 = -I.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] RE: [obm-l] dúvida1
Oi Victor, Esta eh a sequencia das somas parciais da famosissima serie cujo limite eh o numero e. Eh crescente porque, para cada natural n=2, 1/n 0, de modo que a_n = a_n-1 + 1/n a_n-1. A sequencia eh estritamente crescente. Para chegarmos aa conclusao do Elon, observemos que, para n2, n! =1*2*n 2*2...*2 (n-1 vezes) = 2^(n-1). Logo, 1/n! 1/(2^(n-1)) e 1 +1/1 + 1/2! ...+1/n! 1 +1/1 +1/2 + 1/(2^2)...+ 1/(2^(n-1)) 1+ 1/1 +1/2 + 1/4...+ 1/(2^n). Mas 1/1 +1/2 + 1/(2^n) eh uma serie geometrica cuja razao eh 1/2 1. Logo, esta serie converge para 1/(1-1/2) =2, do que concluimos que 1 + 1 +1/2!+1/n!1+2 =3. Assim, a_n eh limitada e monotonicamente crescente, logo convergente. Converge para o famoso e = 2,71828..., um numero nao apenas irracional mas transcendente. De fato, como vimos tem tudo a ver com majorar a soma, ou seja, encontrar para ela um majorante, termo que atualmente nao eh muito usado e que tem sido substituido por limite superior. Se uma ex[pressao eh majorada por um numero L, entao L eh um limite superior dad mesma. Abracos. Artur -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of victorvale Sent: Thursday, February 12, 2004 2:58 PM To: obm-l Subject: [obm-l] dúvida1 Olá, alguém poderia me provar isso que eu vi no livro Curso de análise do Elon? Seja a seqüência an = 1+1/1!+1/2!+...+1/n! O Elon diz que ela é evidentemente cresente e além disso é limitada, pois an 1+1+1/2+1/2*2+ ...+1/2n-1 3 , para todo n. Gostaria de saber se isso tem a ver com majorar a soma e que alguém me explicasse o que é majorar. Obrigado, Victor. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções inversas
Nicolau, Embora tenha eu aprendido o método de Tartaglia de outra forma, devo elogiá-lo pela didática ao explicar. Não querendo resgatar a discussão anterior sobre o ensino da Matemática para o Ensino Médio, faço um comentário breve após ler a sua aula: infelizmente, quando um professor atinge certa proficiência na arte de ensinar, tornando-se claro até para um leigo, ele adquire outros objetivos -- avançar nos estudos, dar aulas para o Ensino Superior, examinar temas de Olimpíadas, fazer pesquisas etc. --, o que é muitíssimo louvável evidentemente, mas não deixa de ser também uma perda para aqueles que não terão um professor tão hábil logo de início, e muitos (ou a maioria) adquirem o misterioso desinteresse. Veja, não é minha intenção criticar isto ou aquilo, e sim observar que muitas falhas não pertencem aos alunos somente, mas ao que há de mais natural tanto para o aluno quanto para o professor: o amadurecimento ao aprender e ao ensinar (simultâneo para ambos). A confiança que um professor demonstre por aquilo que ensina certamente é capaz de cativar a curiosidade dos alunos, os quais encontrariam motivação de estudo na Matemática. O trabalho de longos anos do Prof. Luiz Barco (USP) é um exemplo a ser considerado: o interesse por mostrar que qualquer assunto dentro da Matemática, seja ele de nível elevadíssimo ou não, pode ser explicado e entendido por qualquer pessoa desde que a *linguagem* seja trabalhada nesse sentido. E eis o maior crime a que muitos matemáticos não se furtam: abusar da linguagem em detrimento da clareza. Sinceramente, Rafael de A.Sampaio - Original Message - From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 12, 2004 12:25 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Funções inversas On Thu, Feb 12, 2004 at 10:54:31AM -0200, Claudio Buffara wrote: Por outro lado, eh possivel achar uma expressao para a inversa de k:R _ R dada por k(x) = x^3 + 3x. Voce consegue? A dica para resolver este problema é ler a minha mensagem de ontem. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Financas
Rafael,
Infelizmente, creio que eu não esteja conseguindo
obter a clareza que gostaria. Não há dúvidas quanto à interpretação do problema:
é dito claramente que as aplicaçõessão feitas ao final de cadamês e
que a taxa de remuneração é de 3% ao mês. Ora, se você aplicauma certa
quantia ao final de ummês qualquer,e só haverá rendimento após um
mês, você só obterá remuneração ao final do próximo mês, não? Tais remunerações
são acumuladas (não há operações sobre elas) e o problema pergunta qual é o
montante ("a quantia total") obtida ao final do décimo oitavo mês.Qual
seria? A remuneração de dezessete meses daprimeira aplicação, de dezesseis
meses da segunda aplicação, de quinze meses daterceira aplicação e assim
por diante. Em outras palavras, ao final do oitavo mês, o cidadão comparece ao
banco e solicita a quantia que obteve dos R$ 72.000,00 aplicados. Dessa maneira,
se entendi bem as suas "opções de interpretação", a que me parece mais coerente
é a 2/1a, fazendo-se duas ressalvas: o que você chama de "último pagamento" é a
última aplicação (décima oitava), que não gera qualquer remuneração, pois esta
ocorreria no décimo nono mês e a "solicitação da quantia" ocorre antes (no
décimo oitavo mês); e, por fim,dizer "aumento de 1,03" é, no mínimo,
redundante, pois x*1,03significa x*103%, o que é claramente x*(100 + 3)%,
ouainda, x*100% + x*3%, que é x + x*3%. Assim, ficaria melhor e mais
coerente dizer somente "aumento de 3%".
Se ainda houver dúvidas, espero que alguém que
esteja acompanhando as mensagens possa explicar-lhe melhor.
Abraços,
Rafael de A. Sampaio
- Original Message -
From:
[EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, February 12, 2004 5:01
PM
Subject: Re: [obm-l] Financas
Ola,
Vou novamente postar o problema aqui, pois esta se estendendo este
topico. Calcule o valor mais proximo do montante ao fim de dezoito
meses do seguinte fluxo de aplicacoes realizadas ao fim de cada mes: dos
meses 1 a 6, cada aplicacao eh de R$ 2.000,00; dos meses 7 a 12, cada
aplicacao eh de R$ 4.000,00 e dos meses 13 a 18, cada aplicacao eh de R$
6.000,00. Considere juros compostos e que a taxa deremuneracao das
aplicacoes eh de 3% ao mes. a) R$ 94.608,00 b) R$ 88.149,00 c)
R$ 82.265,00 d) R$ 72.000,00 e) R$ 58.249,00 Vou
delinear as varias interpretacoes que tive deste enunciado: 1)
Considerando como renda antecipada (Ex: Ele aplicou 2000 em janeiro e neste
mesmo mes houve um aumento de 1,03 sobre 2000) 1a- o montante (valor
futuro) sera pago um mes apos o ultimo pagamento 1a- o montante (valor
futuro) sera pago *imediatamente* apos o ultimo pagamento 2)
Considerando como renda postecipada (Ex: Ele aplicou 2000 em janeiro e no mes
de fevereiro eh que houve um aumento de 1,03 sobre 2000) 2a- o
montante (valor futuro) sera pago um mes apos o ultimo pagamento 1a- o
montante (valor futuro) sera pago *imediatamente* apos o ultimo pagamento
Primeiramente diga-me qual destas 4 interpretacoes vc teve. Vamos
nos esclarecer por partes: Primeiro a interpretacao do enunciado e depois a
solucao.
[obm-l] Re: [obm-l] Funções inversas
Cláudio,
Muito obrigado pela explicação. Gostaria ainda de perguntar se você conhece
algum teorema sobre uma função ter ou não a sua função inversa em termos de
funções elementares. Afinal, isso seria de grande utilidade para funções não
polinomiais: por exemplo, já sabemos que uma equação de quinto grau só pode
ser resolvida em casos particulares, e não de forma geral, como provaram
Abel e Galois.
Já sobre o seu desafio, vamos lá. Tomando y = f(x) = x^3 + 3x, o
conjunto-verdade é {0 ; i*sqrt(3) ; -i*sqrt(3)}. Claramente, após a
construção gráfica, observa-se que a função é bijetora, portanto, a sua
função inversa existe.
Como obtê-la? Simples: y = x^3 + 3x = x^3 + 3x - y = 0, que já é uma
equação reduzida do terceiro grau. Para resolvê-la, cada um usa o método que
preferir, convier ou souber. Creio que o método de Tartaglia é o que melhor
se aplique, sem o uso de qualquer variação.
Assim, dada uma equação do tipo x^3 + px = q, temos p = 3 e q = y. Uma das
soluções é obtida diretamente por x = cbrt(q/2 + sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)) +
cbrt(q/2 - sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)) = cbrt(y/2 + sqrt((y/2)^2+1)) +
cbrt(y/2 - sqrt((y/2)^2+1)). Permutando as variáveis, a função inversa de
f(x) é dada por y = cbrt(x/2 + sqrt((x/2)^2+1)) + cbrt(x/2 -
sqrt((x/2)^2+1)). Talvez, a expressão ainda possa ser simplificada, mas não
creio que seja essa a intenção.
De todo modo, fiquei com uma dúvida: a função inversa de f(x) = x^3 + 3x é
única se considerarmos f: R - R, certo? E se considerássemos f: C - C? Se
não estou errado, teríamos um gráfico de 4 dimensões e estudar a função
não me parece fácil definitivamente. E o que me pergunto é exatamente: o
conceito de bijeção vale, de forma semelhante, para C? No caso de ser
válido, faz sentido (e é útil) considerar que a função f: C - C tenha mais
do que uma função inversa?
Ficarei grato se você puder esclarecer, Cláudio, embora imaginar tais 4
dimensões já me pareça um tanto difícil...
Abraços,
Rafael de A. Sampaio
- Original Message -
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, February 12, 2004 9:54 AM
Subject: Re: [obm-l] Funções inversas
Infelizmente nao ha nada a se fazer. Ha certas funcoes que nao podem ser
expressas como combinacao de funcoes elementares, mas que no entanto
existem
e podem ateh ser bijetoras, tais com as inversas das funcoes acima
(imagino
que voce queira dizer que a segunda eh uma bijecao entre o conjunto dos
reais positivos e o conjunto dos reais). A mesma coisa ocorre ateh com
algumas funcoes polinomiais. Por exemplo, qual a inversa de h:R - R dada
por h(x) = x^5 + 6x + 3? Por outro lado, eh possivel achar uma expressao
para a inversa de k:R _ R dada por k(x) = x^3 + 3x. Voce consegue?
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] um problema de geometria espacial
Olá pessoal. Estou com um problema na resolucao de uma questao de geometria espacial. Os pontos A,B,C e D estao na superficie de uma esfera. Os pontos A,B e C formam um triangulo equilatero com lado a. Uma perpendicular desenhada de D até o plano do triangulo ABC tem comprimento h e seu pé no centro do ABC. Dados a e h, ache o raio R da esfera Para resolver usei alguns conceitos intuitivos que nao sei justificar direito. Gostaria de ver a resolucao dos colegas. Muito obrigado -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski When we ask advice, we are usually looking for an accomplice. Joseph Louis LaGrange = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções inversas
on 14.02.04 01:46, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Cláudio,
Muito obrigado pela explicação. Gostaria ainda de perguntar se você conhece
algum teorema sobre uma função ter ou não a sua função inversa em termos de
funções elementares.
Nao conheco, mas sei que existe um algoritmo que testa se a integral
indefinida de alguma funcao pode ser expressa como combinacao de funcoes
elementares. Jah houve inclusive mensagens a respeito na lista.
Afinal, isso seria de grande utilidade para funções não
polinomiais: por exemplo, já sabemos que uma equação de quinto grau só pode
ser resolvida em casos particulares, e não de forma geral, como provaram
Abel e Galois.
Já sobre o seu desafio, vamos lá. Tomando y = f(x) = x^3 + 3x, o
conjunto-verdade é {0 ; i*sqrt(3) ; -i*sqrt(3)}. Claramente, após a
construção gráfica, observa-se que a função é bijetora, portanto, a sua
função inversa existe.
Um argumento que apela pra construcao grafica nao eh muito rigoroso. Talvez
seja mais facil observar que f eh ilimitada e a derivada f'(x) = 3x^2 + 3 eh
sempre positiva. Ou entao, voce pode provar no braco que para todo y em R,
existe x em R tal que x^3 + 3x = y (que foi o que voce fez mais abixo) e que
x^3 + 3x = y^3 + 3y (x e y reais) implica y = x (uma fatoracao facil).
Como obtê-la? Simples: y = x^3 + 3x = x^3 + 3x - y = 0, que já é uma
equação reduzida do terceiro grau. Para resolvê-la, cada um usa o método que
preferir, convier ou souber. Creio que o método de Tartaglia é o que melhor
se aplique, sem o uso de qualquer variação.
Assim, dada uma equação do tipo x^3 + px = q, temos p = 3 e q = y. Uma das
soluções é obtida diretamente por x = cbrt(q/2 + sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)) +
cbrt(q/2 - sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)) = cbrt(y/2 + sqrt((y/2)^2+1)) +
cbrt(y/2 - sqrt((y/2)^2+1)). Permutando as variáveis, a função inversa de
f(x) é dada por y = cbrt(x/2 + sqrt((x/2)^2+1)) + cbrt(x/2 -
sqrt((x/2)^2+1)). Talvez, a expressão ainda possa ser simplificada, mas não
creio que seja essa a intenção.
A ideia eh essa mesmo.
De todo modo, fiquei com uma dúvida: a função inversa de f(x) = x^3 + 3x é
única se considerarmos f: R - R, certo? E se considerássemos f: C - C?
Tambem seria. A inversa de uma funcao, se existir, eh unica.
Soh que f: C - C dada por f(x) = x^3 + 3x nao eh injetora. Por exemplo,
f(0) = f(i*raiz(3)) = f(-i*raiz(3)) = 0. Logo, f nao possui inversa.
Se não estou errado, teríamos um gráfico de 4 dimensões e estudar a função
não me parece fácil definitivamente. E o que me pergunto é exatamente: o
conceito de bijeção vale, de forma semelhante, para C?
O conceito de bijecao vale pra qualquer conjunto (mesmo nao numerico), assim
como sempre vale o fato de que f tem uma inversa se e somente se f eh uma
bijecao.
No caso de ser
válido, faz sentido (e é útil) considerar que a função f: C - C tenha mais
do que uma função inversa?
Nao. Veja acima.
Ficarei grato se você puder esclarecer, Cláudio, embora imaginar tais 4
dimensões já me pareça um tanto difícil...
A dificuldade de visualizacao nao tem nada a ver com a existencia de
inversas. Eh mais uma limitacao da mente humana. No mais, voce nao precisa
de graficos. Voce pode sempre trabalhar algebricamente (e, portanto, tratar
o R^4 ou o C^2 como um conjunto de quadruplas ordenadas de numeros reais).
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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