RE: [obm-l] Res: surpresa no R4

[Murilo Péres]

mas por que isso


Date: Tue, 26 May 2009 09:44:31 -0700
From: nilton1...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] Res: surpresa no R4
To: obm-l@mat.puc-rio.br





Alguém fez?





De: benedito 
Para: nilton1...@yahoo.com.br
Enviadas: Segunda-feira, 20 de Abril de 2009 15:38:15
Assunto: surpresa no R4




Nilton,
 
Estou interessado em ver suas contas. 
Vou me arriscar: acho pouco provável. Três planos talvez pudesse acontecer. 
Quatro planos com certeza: basta tomar quatro planos passando pela origem, de 
modo que o sistema formado pelas equações lineares dos 4 planos, visto na forma 
matricial AX = 0, tenha  a matriz A (4 por 4 ) invertível.
Você trabalhou com dois planos de quais dimensões? Quais as equações?
Vamos imaginar, passando pela origem, no R4 tem planos de dimensões 2  e 3. (Os 
subespaços de R4 tem dimemsões  0 (a origem), 1 (retas passando pela origem) , 
2 (planos de dimensões 2 passando pela origem),  3 (hiperplanos passando pela 
origem) e  4 (o próprio R4). A interseção de dois subespaçõs é um subespaço.
Benedito

- Original Message - 
From: nilton rr 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Monday, April 20, 2009 9:26 AM
Subject: [obm-l] surpresa no R4







--- Em seg, 13/4/09, nilton rr  escreveu:

De: nilton rr 
Assunto: Re: surpresa no R4
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Segunda-feira, 13 de Abril de 2009, 10:29






Up

--- Em sex, 3/4/09, nilton rr  escreveu:

De: nilton rr 
Assunto: surpresa no R4
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 3 de Abril de 2009, 17:22







Aos amigos da lista, estava resolvendo alguns exercícios de álgebra linear, e 
me deparei com o seguinte: Quais as possiveis interseções de dois planos no R4? 
Após os cálculos vi que pode ser até  "um ponto", refiz os cálculos e não 
encontrei erro, será realmente isso verdade? aguardo a opinião amigos, grato a 
todos.


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[obm-l] prove que MAX => CUT

[Murilo Krell]

Pessoal,

alguem poderia me ajudar nessa?

prove que MAX => CUT. Mais precisamente, prove que num corpo ordenado toda
funcao continua num intervalo compacto tem um ponto de maximo, entao o corpo
e completo no sentido de dedekind, isto e, todo corte e realizado,

estou apanhando,
abs,

Murilo

[obm-l] formalização

[Murilo Krell]

Pessoal estou com dificuldades em formalizar as seguintes questões, alguém
poderia me dar uma forcinha?

a - Se AC R é aberto e a E A então A - {a} é aberto

b - Considere as funções f,g,h: R->R, dadas por f(x) = ax+b (a#0), g(x) =
x^2 e h(x) = x^3. Mostre que para cada A C R aberto, f-1(A), g-1(A) e h-1(A)
são abertos,

desde já agredeço,
abraços,

Murilo

[obm-l] questões topologia da reta

[Murilo Krell]

prezados,
estou apanhando nessas duas questões, alguém poderia me dar uma força?


 Seja X C R. Uma funcão f : X -> R chama-se locamente limitada quando para
cada
x pertencente a X existe um intervalo aberto Ix, contendo x, talque f I Ix
(interseção) X e limitada. Mostre que
se X é compacto, toda função f : X -> R localmente limitada e limitada.

 Prove que a soma da serie cujos termos são os comprimentos dos intervalos
omitidos para
formar o conjunto de Cantor é igual a 1.

abraços,
Murilo

[obm-l] formalização

[Murilo Krell]

Pessoal,
numa prova de análise, para eu no meio da questão por exemplo, considerar
lim (logn) -> +00
posso justificar isso de que forma?
bastaria eu dizer que a função log é crescente?

abs,
Murilo

[obm-l] Aritmetica de limites

[Murilo Krell]

Colegas da lista,
estou quebrando a cabeça nesses problemas, mas não estou conseguindo fazer,
são os primeiros exercícios do Elon (projeto euclides) do capítulo de
sequências e séries;

1) Seja a#0. Se lim(yn/a) = 1 então  então lim(yn) é igual  a a;

2) Seja b#0. Se lim(xn) = a e lim(xn/yn) = b , então lim(yn) = a/b;

3) Se limxn=a # 0 e lim(xn.yn)=b então lim (yn) = b/a

abraços e muito obrigado,
Murilo,

[obm-l] sequências Elon / Análise 1

[Murilo Krell]

prezados amigos da lista,

Poderiam me ajudar com algumas questões de séries?

1) dados a,b pertencente a R+ defina indutivamente as sequências (xn)
e (yn) pondo x1=(a.b)^(1/2) e y1 = (a+b)/2 e xn+1=(xn.yn)^1/2 e yn+1=
(xn+yn)/2. Prove  que xn e yn convergem para o mesmo limite.

2) seja a >=0, b>=0, prove que lim(a^n + b^n)^(1/n) = max { a, b}


abs,
Murilo

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] avalição de resolução Análise

[Murilo Krell]

Oi Paulo,

muito obrigado pela solução,

porém uma dúvida que eu fiquei é, não é preciso construir explicitamente a a
sequência que não vai constar na lista?,

grande abraço e obrigado novamente,

Murilo

2009/1/13 Paulo Santa Rita 

> Ola Murilo,
> Por que a sequencia g:N->N nao pertence a "lista (enumeracao) desequencias"
> ? Acho que faltou tornar isto MAIS CLARO. Alem disso,faltou enunciar
> claramente  que "suponhamos que as sequencias denumeros naturais seja
> enumeravel". Eis aqui uma demonstracao :
> Seja S o conjunto das sequencias de numeros naturais. SUPONHAMOS queeste
> conjunto seja enumeravel. Seja entao (s1, s2, ..., sn,...) umaenumeracao
> qualquer dos elementos deste conjunto. Vamos mostrar queexiste uma sequencia
> T de numeros naturais que nao esta na enumeracaoanterior :
> Facamos :
> T(1)=n1, tal que n1 # s1(1)T(2)=n2, tal que n2 # s2(2)...T(i)=ni, tal que
> n1 # si(i)
> Assim definida, T e uma sequencia de numeros naturais e, portanto,necessita
> estar na enumeracao que fizemos, mas esta sequencia T naoesta na enumeracao
> pois ela e diferente de qualquer sequencia sn,n=1,2,... precisamente no
> ponto "n". o que e um absurdo, poisestavamos supondo que o conjunto S e
> enumeravel e que (s1, s2, ... )seria uma enumeracao dos seus elementos,
> abrigando portando TODAS assequencias de numeros naturais.
> Assim, a nossa tese e insustentavel e somos obrigados a admitir que
> oconjunto das sequencias de numeros naturais nao e enumeravel.
> EXERCICIO DE ANALISE : Mostre que QUALQUER CONJUNTO INFINITO pode
> serexpresso como uma uniao enumeravel de conjunto infinitos, dois a
> doisdisjuntos.
> Um AbracoPSR, 31301090847
>
>
> 2009/1/12 Murilo Krell :> Pessoal,> continuando na
> labuta com a análise, fiz um exercício e queria colocar minha> resolução
> para um julgamento, acho que é a melhor forma de aprender.> (estou tentando
> deixar a construção de soluções e o formalismo apurado, por> favor,
> sugestões são muito bem vindas)>> Enunciado: Prove que o conjunto das
> sequências de números natureais> (n1>
> resolução:>> Sendo X(N,N) o conjunto de todas as sequências crescentes de
> números> naturais. vamos mostrar que nenhuma função F; N-> X (N,N) pode ser>
> sobrejetiva.> Indicando por fm o valor de f no ponto m pertencente a N>>
> Isto significa que fm pertence a X(N,N), ou seja, é uma sequência crescente>
> de naturais. Assim, para cada n pertencente a N, fm(n) é um número
> natural.>> Temos:>> f1:= ( f1(1) < f1(2 )< f1(3) << f1(n) < ... ) =
> F1(N)> f2:= ( f2(1) < f2(2 )< f2(3) << f2(n) < ... ) = F2(N)> .> .> fm:=
> ( fm(1) < fm(2 )< f!
> m(3) << fm(n) < ... ) = Fm(N)> .> .>> Agora, vamos "construir"uma
> sequência crescente g: N -> N que não esteja na> imagem de f.> Como N é
> infinito e ordenado, para n=1, coloque g(1) = f1(2) > f1(1)> No conjunto
> f2(N) coloque g(2) como sendo f2(1), ou seja, para g(n) vamos> tomar g(n) =
> fn(n-1)> assim formamos uma nova sequência g que não pertence a lista de
> sequências> fn.>> Assim nenhuma lista enumerável pode esgotar todas as
> funções em X (N,N)>> abraços e muito obrigado,> Murilo>>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

[obm-l] avalição de resolução Análise

[Murilo Krell]

Pessoal,
continuando na labuta com a análise, fiz um exercício e queria colocar minha
resolução para um julgamento, acho que é a melhor forma de aprender.
(estou tentando deixar a construção de soluções e o formalismo apurado, por
favor, sugestões são muito bem vindas)

Enunciado: Prove que o conjunto das sequências de números natureais
(n1 X (N,N) pode ser
sobrejetiva.
Indicando por fm o valor de f no ponto m pertencente a N

Isto significa que fm pertence a X(N,N), ou seja, é uma sequência crescente
de naturais. Assim, para cada n pertencente a N, fm(n) é um número natural.

Temos:

f1:= ( f1(1) < f1(2 )< f1(3) << f1(n) < ... ) = F1(N)
f2:= ( f2(1) < f2(2 )< f2(3) << f2(n) < ... ) = F2(N)
.
.
fm:= ( fm(1) < fm(2 )< fm(3) << fm(n) < ... ) = Fm(N)
.
.

Agora, vamos "construir"uma sequência crescente g: N -> N que não esteja na
imagem de f.
Como N é infinito e ordenado, para n=1, coloque g(1) = f1(2) > f1(1)
No conjunto f2(N) coloque g(2) como sendo f2(1), ou seja, para g(n) vamos
tomar g(n) = fn(n-1)
assim formamos uma nova sequência g que não pertence a lista de sequências
fn.

Assim nenhuma lista enumerável pode esgotar todas as funções em X (N,N)

abraços e muito obrigado,
Murilo

[obm-l] indução

[Murilo Krell]

Pessoal, alguém poderia dar uma ajudinha?

já quebrei a cabeça, mas não consigo achar

Explique, com palavras, o erro da seguinte indução:

Afirmação: Dado um conjunto de n bolas, se uma delas é azul, então todas são
azuis.
Demonstração: para n=1, como pelo menos uma bola é azul e há apenas um
elemento, então todas as bolas são azuis. Suponha a afirmação válida para um
dado n. Tome um conjunto de n + 1 bolas, onde pelo menos uma é azul. Tire um
elemento do conjunto que não seja esta bola azul fixada. Pela hipótese de
indução, todas as bolas desse conjunto com n elementos são azuis. Retire uma
bola desse conjunto e reponha a bola tirada inicialmente. Novamente pela
hipótese de indução temos que todas as n + 1 bolas são azuis.

[]'s

Murilo

[obm-l] problema análise

[Murilo Krell]

Prezados amigos,poderiam me ajudar com esses problemas?

a) Se uma sequência é monótona tem uma subsequência convergente, prove que a
sequência é, ela própria convergente.

b) A fim de que o número real a seja valor de aderência de (xn) é necessário
e suficiente, que, para todo eps>0 e todo k pertencente a N dados, exista
n>k tal que o modulo de xn-a

[obm-l] Re: [obm-l] Olimpíada de Matemática E. P.

[Murilo RFL]

366/7 = 52*7 + 2 significa dizer que dois dias na semana tem numero de vantagem 
no ano perante os outros dias. Se o número de sabados é maior, logo serão sexta 
e sábado estes dias em maior quantidade, ou seja, o ano começou na sexta. 
Concluimos entao que dia 20/01 é quarta-feira.

Bons estudos

Murilo
  - Original Message - 
  From: JOSE AIRTON CARNEIRO 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, August 29, 2008 7:55 PM
  Subject: [obm-l] Olimpíada de Matemática E. P.


  Em certo ano bissexto (isto é, um ano que tem 366 dias) o número de sábados 
foi maior que o número de domingos. Em que dia da semana caiu o dia 20 de 
janeiro desse ano?
  a) segunda-feira
  b) terça-feira
  c) quarta-feira  Resposta: quarta-feira
  d) quinta-feira
  e) sexta-feira

Re: [obm-l] Material de Congruência

[Murilo Giacometti]

Congruência módulo ou congruência de figuras geométricas?

On 16/03/2008, Pedro Júnior <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Oá pessoal, estou preparando algumas crianças para OBM na escola em que
> trabalho, e queria saber de vocês se alguém tem um bom material (didático)
> sobre congruências.
> Se alguém tiver, por favor se puder me enviar, desde já agradeço!
>  Pedro Júnior
> João Pessoa - PB
>

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[obm-l] Essa voce precisa VER

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[obm-l] Re: [obm-l] fórmula geral para a soma S

[Murilo RFL]

An = A(n+1) + r

1/A1xA2 = 1/rA1 - 1/rA2 = (A2 - A1)/rA1A2 = r/rA1A2 = 1/A1A2
1/A2xA3 = 1/rA2 - 1/rA3
1/A3xA4 = 1/rA3 - 1/rA4
1/A4xA5 = 1/rA4 - 1/rA5

1/n(n+1) = 1/rAn - 1/rA(n+1)

Soma seria= 1/rA1 - 1/rA(n+1) = (A(n+1) - A(1))/rA1A(n+1)
A(n+1) = A1 + nr
n/A1A(n+1)

desta forma difere apenas o termo r da razão no denominador: e tal soma 
seria:


- Original Message - 
From: "Tales Prates Correia" <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Wednesday, May 23, 2007 8:02 PM
Subject: [obm-l] fórmula geral para a soma S




Olá integrantes da lista,

Eu me deparei com um problema - talvez bastante conhecido de vocês -

o qual pedia para determinar a seguinte soma:

S(1) = 1/1x2 + 1/2x3 + 1/3x4 + 1/4x5 + . . . + 1/n(n+1)

Conseguintemente, eu encontrei o seguintes exercícios análogos:

S(2) = 1/1x3 + 1/3x5 + 1/5x7 + 1/7x9 + . . . + 1/(2n-1)(2n+1)

S(3) = 1/1x4 + 1/4x7 + 1/7x10 + 1/10x13 + . . . + 1/(3n-2)(3n+1)

Depois de os ter resolvido, eu procurei achar uma fórmula geral para a 
soma


das n primeiras parcelas do seguinte tipo de somatório:

S = 1/(A1)x(A2) + 1/(A2)x(A3) + . . . + 1/(An-1)x(An) + . . .

onde a seqüência f = (A1, A2, A3, . . . , An, . . .) constitui uma

progressão aritmética de primeiro termo A1 = A e razão r tal que r é
diferente

-A/q , com q natural não nulo.

E após raciocionar um pouco, cheguei a seguinte fórmula:

S = (n-1)/(A1)x(An)

Todavia, não fiquei satisfeito com a dedução por mim realizada.

Por isso, peço encarecidamente que alguém me mostre o seu raciocínio para 
o

mesmo problema.

Agradeço desde já,

Átila Prates Correia.

_
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On 5/23/07, Anselmo Alves de Sousa <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Pensei em alguma coisa assim:

1)
Considerando que em cada tentativa, cada chave tem a mesma chance de ser
escolhida. Seja
X é a variável aleatória número de tentativas até que a porta se abra pela
primeira vez.

P(X=1)=1/n
P(X=2)=1/n*1/(n-1)
P(X=3)=1/n*1/(n-1)*1/(n-2)

.
.
.
P(X=k)=1/n*1/(n-1)*1/(n-2)* ...*1/(n+1-k)



Anselmo, pela sua resposta reparei um descuido tremendo na minha... Na
primeira, fiz besteira.

2) Encontrei 0,037 e 0,2702




Na segunda, concordamos.

3) Encontrei [p - (1-p)/m] e (1-p)/m




No segundo item da 3 também concordamos, mas quanto ao primeiro (que está
errada na minha resposta anterior)...
A chance dele responder corretamente é p ou não p e 1/m, certo? Não 
entendi

a razão do menos na sua resposta, ali não seria um mais?

Um abraço.

Valdoir Wathier.

ALguém confirma esses valores?!


--
Date: Wed, 23 May 2007 14:21:32 -0300
From: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Três Problemas de Probabilidade

On 5/23/07, *Anselmo Alves de Sousa* <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

Companheiros, gostaria de auxílio nas seguintes questões:

1) Um indivíduo tem n chaves, das quais somente uma abre uma porta. Ele
seleciona, a cada tentativa,
uma chave ao acaso sem reposição e tenta abrir a porta. Qual a
probabilidade de que ele abra a porta
na k-ésima tentativa (k=1,2,3...,n).


Todas têm exatamente a mesma chance de abrir a porta, que corresponde a
1/n e de não abrir a porta, por consequencia, a chance é de (n-1)/n, para
qualquer chave.
A probabilidade de que uma dada chave abra a porta é de que nenhuma das
anteriores abra a porta e que ela abra.
Por exemplo: Qual a probabilidade de a terceira chave abrir a porta?
A primeira chave não abre: (n-1)/n.
A segunda chave não abre: (n-1)/n.
A terceira chave abre: 1/n.
A probabilidade, então, seria de [(n-1)/n]^2 * 1/n

Por este mesmo raciocínio, para saber o resultado geral, basta pensar que
teremos k-1 portas que não devem abrir a chave e então uma porta que abre,
ou seja:
[(n-1)/n]^(k-1) * 1/n... isso pode ser simplificado ficando algo como (n -
1)^(k-1) / n^k

Acho que é algo nessa linha.

 2) Três máquina A, B e C produzem 50%, 30% e 20%, respectivamente, do
total de peças de uma fábrica.
As porcentagens de produção defeituosa destas máquinas são 3%, 4% e 5%. Se
uma peça é selecionada
aleatoriamente, ache a probabilidade de ela ser defeituosa. Se a peça
selecionada é defeituosa, encontre a
probabilidade de ter sido produzida pela máquina C.


Probabilidade de  ser defeituosa:  Para isso você pega o percentual de
produção de cada máquina e multiplica pelo percentual de peças com defeito
que cada uma produs.
ATENÇÃO: estou considerando que os 3% significam que do total de peças
produzidas pela máquina A, 3% apresentam defeito (acho que isto não está
bem
claro no enunciado, pois pode referir-se ao total de peças também).
Máquina A: 0,5 * 0,03 = 0,015 (1,5% das peças possuem defeito E foram
produzidas pela máquina A).
Máquina B: 0,3 * 0,04 = 0,012 (1,2% das peças possuem defeito E foram
produzidas pela máquina B).
Máquina C: 0,2*0,05 = 0,01 (1% das peças 

[obm-l] Re: [obm-l] fórmula geral para a soma S

[Murilo RFL]

S(1) = 1/1x2 + 1/2x3 + 1/3x4 + 1/4x5 + . . . + 1/n(n+1)

Este eh um problema clássico.

é soh fazer:

1/1x2 = 1/1 - 1/2
1/2x3 = 1/2 - 1/3
1/3x4 = 1/3 -1/4
1/4x5 = 1/4 -1/5
. . .
1/n(n+1) = 1/n - 1/(n+1)

somando tudo temos : 1 - 1/(n+1) = n/(n+1)

Espero ter ajudado. Os outros problemas ficam como desafios. Abraços
- Original Message - 
From: "Tales Prates Correia" <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Wednesday, May 23, 2007 8:02 PM
Subject: [obm-l] fórmula geral para a soma S




Olá integrantes da lista,

Eu me deparei com um problema - talvez bastante conhecido de vocês -

o qual pedia para determinar a seguinte soma:

S(1) = 1/1x2 + 1/2x3 + 1/3x4 + 1/4x5 + . . . + 1/n(n+1)

Conseguintemente, eu encontrei o seguintes exercícios análogos:

S(2) = 1/1x3 + 1/3x5 + 1/5x7 + 1/7x9 + . . . + 1/(2n-1)(2n+1)

S(3) = 1/1x4 + 1/4x7 + 1/7x10 + 1/10x13 + . . . + 1/(3n-2)(3n+1)

Depois de os ter resolvido, eu procurei achar uma fórmula geral para a 
soma


das n primeiras parcelas do seguinte tipo de somatório:

S = 1/(A1)x(A2) + 1/(A2)x(A3) + . . . + 1/(An-1)x(An) + . . .

onde a seqüência f = (A1, A2, A3, . . . , An, . . .) constitui uma

progressão aritmética de primeiro termo A1 = A e razão r tal que r é
diferente

-A/q , com q natural não nulo.

E após raciocionar um pouco, cheguei a seguinte fórmula:

S = (n-1)/(A1)x(An)

Todavia, não fiquei satisfeito com a dedução por mim realizada.

Por isso, peço encarecidamente que alguém me mostre o seu raciocínio para 
o

mesmo problema.

Agradeço desde já,

Átila Prates Correia.

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On 5/23/07, Anselmo Alves de Sousa <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Pensei em alguma coisa assim:

1)
Considerando que em cada tentativa, cada chave tem a mesma chance de ser
escolhida. Seja
X é a variável aleatória número de tentativas até que a porta se abra pela
primeira vez.

P(X=1)=1/n
P(X=2)=1/n*1/(n-1)
P(X=3)=1/n*1/(n-1)*1/(n-2)

.
.
.
P(X=k)=1/n*1/(n-1)*1/(n-2)* ...*1/(n+1-k)



Anselmo, pela sua resposta reparei um descuido tremendo na minha... Na
primeira, fiz besteira.

2) Encontrei 0,037 e 0,2702




Na segunda, concordamos.

3) Encontrei [p - (1-p)/m] e (1-p)/m




No segundo item da 3 também concordamos, mas quanto ao primeiro (que está
errada na minha resposta anterior)...
A chance dele responder corretamente é p ou não p e 1/m, certo? Não 
entendi

a razão do menos na sua resposta, ali não seria um mais?

Um abraço.

Valdoir Wathier.

ALguém confirma esses valores?!


--
Date: Wed, 23 May 2007 14:21:32 -0300
From: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Três Problemas de Probabilidade

On 5/23/07, *Anselmo Alves de Sousa* <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

Companheiros, gostaria de auxílio nas seguintes questões:

1) Um indivíduo tem n chaves, das quais somente uma abre uma porta. Ele
seleciona, a cada tentativa,
uma chave ao acaso sem reposição e tenta abrir a porta. Qual a
probabilidade de que ele abra a porta
na k-ésima tentativa (k=1,2,3...,n).


Todas têm exatamente a mesma chance de abrir a porta, que corresponde a
1/n e de não abrir a porta, por consequencia, a chance é de (n-1)/n, para
qualquer chave.
A probabilidade de que uma dada chave abra a porta é de que nenhuma das
anteriores abra a porta e que ela abra.
Por exemplo: Qual a probabilidade de a terceira chave abrir a porta?
A primeira chave não abre: (n-1)/n.
A segunda chave não abre: (n-1)/n.
A terceira chave abre: 1/n.
A probabilidade, então, seria de [(n-1)/n]^2 * 1/n

Por este mesmo raciocínio, para saber o resultado geral, basta pensar que
teremos k-1 portas que não devem abrir a chave e então uma porta que abre,
ou seja:
[(n-1)/n]^(k-1) * 1/n... isso pode ser simplificado ficando algo como (n -
1)^(k-1) / n^k

Acho que é algo nessa linha.

 2) Três máquina A, B e C produzem 50%, 30% e 20%, respectivamente, do
total de peças de uma fábrica.
As porcentagens de produção defeituosa destas máquinas são 3%, 4% e 5%. Se
uma peça é selecionada
aleatoriamente, ache a probabilidade de ela ser defeituosa. Se a peça
selecionada é defeituosa, encontre a
probabilidade de ter sido produzida pela máquina C.


Probabilidade de  ser defeituosa:  Para isso você pega o percentual de
produção de cada máquina e multiplica pelo percentual de peças com defeito
que cada uma produs.
ATENÇÃO: estou considerando que os 3% significam que do total de peças
produzidas pela máquina A, 3% apresentam defeito (acho que isto não está
bem
claro no enunciado, pois pode referir-se ao total de peças também).
Máquina A: 0,5 * 0,03 = 0,015 (1,5% das peças possuem defeito E foram
produzidas pela máquina A).
Máquina B: 0,3 * 0,04 = 0,012 (1,2% das peças possuem defeito E foram
produzidas pela máquina B).
Máquina C: 0,2*0,05 = 0,01 (1% das peças possuem defeito E foram
produzida

Re: [obm-l] BUG MENTAL!

[mURILO]

Acredito que como o atleta corre a velocidades constantes ao percorrer a 
pista oq conta eh o tempo em que farao os 4 metros restantes. O Atleta mais 
lento os 4 metros da pista e o atleta rapido os 4 metros a mais. como o 
atleta a corre mais, sempre ganhara.
Agora generalizando, para x metros. O atleta pecorrendo uma distancia d 
qualquer soh poderia chegar obviamente ao maximo uma distancia d a frente do 
outro logo o x se limita a valores entre 0 e d. onde 0 seria o ponto de 
empate e d o valor maximo no qual o atleta mais lento estaria parado no 
ponto de partida.
Para o atleta lento ganhar teria de diminuir de seu percurso uma distancia 
de x metros.


- Original Message - 
From: "Filipe de Carvalho Hasché" <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Wednesday, January 24, 2007 6:06 PM
Subject: Re: [obm-l] BUG MENTAL!



> >> Um atleta após ganhar uma prova com 4 metros de
> >> vantagem, se propôs começar
> >> 4 metros antes da linha de partida. Quem ganhará
> o novo páreo?


===

Seja "d" o comprimento em metros da pista de corrida.

Supondo velocidade constante de ambos, lembremos da famosa formulinha: v = 
s / t   ou   t = s / v


1°) Em um intervalo de tempo "t1":

--> O atleta "A" completa os d metros imprimindo uma velocidade "vA": 
vA = d/t1


--> O atleta "B" completa apenas (d-4) metros imprimindo sua velocidade 
"vB":  vB =(d-4)/t1



2°) Na revanche, supondo que cada um imprimirá a mesma velocidade da 
corrida anterior, temos:


--> O atleta A precisa percorrer (d+4) metros:

tA = (d+4) / vA  ou  tA = (d+4) / (d/t1)


--> O atleta B precisa percorrer d metros:

tB = d / vB  ou  tB = d / [(d-4)/t1]


3°) Agora falta descobrir qual tempo foi menor: tA ou tB ?

Basta estudarmos o comportamento das funções:

tA =  (d+4)/d   e   tB = d/(d-4)  **

** Já que a intenção é apenas comparar, podemos suprimir o "t1" de ambas 
as sentenças.


O gráfico de ambas é uma hipérbole.

Analisando o comportamento desses gráficos e levando em conta de que d>4, 
concluímos (Eu e o Cabri, hehehe) que a função tA é menor.


Logo, o corredor B é um prego, mesmo!! Nem com 4m de lambuja consegue 
ganhar.


Quanto maior for a pista (d --> +inf.), o 2° páreo tende ao empate.
O corredor B nunca vencerá.

Agora vem a indagação:

E se em vez de 4 metros, o enunciado generalizasse para x metros?
Ou seja: se um cara ganhar com x metros de vantagem, começaria o 2° páreo 
com os mesmos x metros antes da partida.


Divirtam-se!
Abraços,
FC.

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Re: [obm-l] EN-90/91

[Murilo]

ABC e ABD são equiláteros atribuir L ao tamanho do lado logo teremos o 
triangulo CAD que possui lados: L, L, e X
X^2 = h^2 + "h^2, sendo h altura do triangulo equilatero: L*sqrt(3)/2 portanto 
X^2 = (3/2)*L^2
usando a lei dos cossenos no triangulo CAD temos que: X^2 = L^2 + L^2 - 
2*L^2*[cos CÂD]
cancelando L^2 temos:
3/2 = 2 - 2 [cos CÂD]
[cos CÂD] = 1/4
  - Original Message - 
  From: cleber vieira 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, January 09, 2007 11:10 AM
  Subject: Re: [obm-l] EN-90/91


  Olá Arkon, a equação da reta tangente a essa curva num ponto (a,f(a)) é y-a^2 
= 2a(x-a), onde 2a é coeficiente angular da reta tangente a curva no ponto de 
abcissa a, basta derivar y=x^2. Como esta reta tangente também passa pelo ponto 
P=(-2,0) tiramos que a = - 4 ou a = 0 ,logo, são duas retas tengentes a curva 
que passam por P e formam um ângulo alfha e seus coeficientes angulares são 
2*(-4) = -8  e 2* 0 = 0. Então tg(alfha) = | (-8 - 0)/ 1+ (-8)*0 | , tg(alfha) 
= 8. Esta última expressão vem da fórmula para calcular ângulo entre retas.

  Abraços
  Cleber   

  arkon <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
POR FAVOR ME ENVIEM AS RESOLUÇÕES, POR FAVOR:

1) Os triângulos ABC e ABD são equiláteros e estão situados em planos 
perpendiculares. O cos CÂD é igual a?

a) 1/2. b) 1/4.c) 1/6.  d) 1/8. 

2) As tangentes à curva de equação y=x2  que passam pelo ponto  P (-2,0) 
formam ângulo alfa. Determine tg de alfa.
a) 1. b) 2.  c) 4.   d) 6. e) 8.  

Desde já agradeço.


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[obm-l] Re: [obm-l] questão para provar - IME

[Murilo]

vamos lah:
...1.25
(n-1 vezes) (n vezes)

numero = ...1.11 + .11 + 3 = 
(100*10^2n -1)/9 + (100*10^n -1)/9 + 27/9


numero = (100*10^2n + 100*10^n + 25)/9 = [(10*10^n + 5)/3]^2

provamos q o numero eh sempre um quadrado perfeito e sua raiz eh um numero 
inteiro = (10*10^n + 5)/3, sempre q n>=1.



- Original Message - 
From: "João Nestares" <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Wednesday, January 03, 2007 6:39 PM
Subject: [obm-l] questão para provar - IME



opa galera, tudo bom com vcs?
escuta, eu encontrei essa questão do IME de 2004, se não me engano, e não 
tava com idéia, e tava precisando de um help aqui

a questão é a seguinte

prove que esse número:

...1.25 é quadrado para todos os números N>=1
(n-1 vezes) (n vezes)

agradeço desde já :D
renato

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[obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria morgado

[Murilo RFL]

Desculpe pela questao errada provavelmente estava de ressaca rsrs.

bom, como DGCE eh um losangulo por suas diagonais cruzarem em 90 graus, 
conluimos q DCG == DCE == y


no triangulo ABC isocele eh facil ver q os angulos medem 20 80 80

logo DBE = 20 graus

como DE // BC, DEB == 60 graus

no triangulo DEB possui angulos 20 60 e BDE == 100 graus

como DGEC eh um losangulo o angulo CDE == GDC == 50 (soma = 100 == GDE)

DEC == 100 pois DEA == 80 (triangulo semelhante a ABC)

logo y = 30 pois esta no triangulo de angulos 100 50 30

bom, finalmente 2y + x = 80

x = 20

Desculpe as más explicaçoes de antes e desculpe o erro cometido

Abraços!


- Original Message - 
From: "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]>

To: "obm-l" 
Sent: Thursday, November 16, 2006 9:38 AM
Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria morgado



-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Thu, 16 Nov 2006 06:18:46 -0200
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria morgado


Como DC corta o segmento GE em 90º

concluimos q DCG == DCE == y



Como voce conclui isso? Isso soh serah verdade se CEG for isosceles, mas 
voce nao provou que eh.




2y + x = 80

EDG == EBC == 60

y + 60 + 100 = 180 no triangulo DEC

y = 20

x= 40
  - Original Message - 
  From: mentebrilhante brilhante

  To: obm-l@mat.puc-rio.br
  Sent: Thursday, November 16, 2006 12:58 AM
  Subject: [obm-l] Questão de geometria morgado


  Quem puder  ajuda  agradeço


http://img127.imagevenue.com/img.php?image=47375_geometria_122_568lo.jpg





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[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Quest ão de geometria morgado

[Murilo RFL]

Eu conclui q sim pelo fato de o quadrilatero DECG ser um losangulo. Pois 
suas diagonais se cruzam em 90º


- Original Message - 
From: "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]>

To: "obm-l" 
Sent: Thursday, November 16, 2006 9:38 AM
Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria morgado



-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Thu, 16 Nov 2006 06:18:46 -0200
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria morgado


Como DC corta o segmento GE em 90º

concluimos q DCG == DCE == y



Como voce conclui isso? Isso soh serah verdade se CEG for isosceles, mas 
voce nao provou que eh.




2y + x = 80

EDG == EBC == 60

y + 60 + 100 = 180 no triangulo DEC

y = 20

x= 40
  - Original Message - 
  From: mentebrilhante brilhante

  To: obm-l@mat.puc-rio.br
  Sent: Thursday, November 16, 2006 12:58 AM
  Subject: [obm-l] Questão de geometria morgado


  Quem puder  ajuda  agradeço


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[obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria morgado

[Murilo RFL]

Como DC corta o segmento GE em 90º

concluimos q DCG == DCE == y

2y + x = 80

EDG == EBC == 60

y + 60 + 100 = 180 no triangulo DEC

y = 20

x= 40 
  - Original Message - 
  From: mentebrilhante brilhante 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, November 16, 2006 12:58 AM
  Subject: [obm-l] Questão de geometria morgado


  Quem puder  ajuda  agradeço

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Re: [obm-l] numeros primos

[Murilo RFL]

31 acho q nao hein...

veja:

3^0 - 2^5 = -31 q em modulo eh  31. Abraços
- Original Message - 
From: "Rodrigo Augusto" <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Wednesday, December 14, 2005 1:39 PM
Subject: RE: [obm-l] numeros primos


pessoal, falei bobeira... sao inteiros nao negativos, ou seja, a e b podem 
ser nulos...
assim, para a=1 e b=o, p=3^a - 2^b seria igual a 2. fui testando aqui e 
consegui representar ateh o numero 29, seria 31 o menor primo que nao eh 
expresso dessa forma?




From: "Rodrigo Augusto" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] numeros primos
Date: Tue, 13 Dec 2005 13:31:05 -0200

preciso de ajuda com essa questão:

Qual o menor número primo P que NAO pode ser representado na forma 3^a - 
2^b (em módulo) ? onde a e b são inteiros positivos.


por favor, apresentem a resolucao!

valeu

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Re: [obm-l] numeros primos

[Murilo RFL]

Sabemos q o menor numero q pode ser representado por 3^a é 3 e por 2^b é 2
Logo 3^a sempre será impar e 2^b sempre par
como um impar - um par eh sempre impar, 2 nao pode ser representado. Sendo o 
menor primo.


Bom.. talvez fossem os numeros inteiros nao negativos... mas esta ai uma 
solução


- Original Message - 
From: "Rodrigo Augusto" <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Tuesday, December 13, 2005 1:31 PM
Subject: [obm-l] numeros primos



preciso de ajuda com essa questão:

Qual o menor número primo P que NAO pode ser representado na forma 3^a - 
2^b (em módulo) ? onde a e b são inteiros positivos.


por favor, apresentem a resolucao!

valeu

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Re: [obm-l] Integral dupla

[Murilo RFL]

vc pode integrar z em relação ao plano 
xy
 
int ( int ( 2z dx dy , x ) , y)
 
z^2 + y^2 + x^2 = R^2
z = sqrt ( R^2 - y^2 - x^2 )
 
int ( int ( 2z dx dy , x ) , y)
 

no plano xy vc converte a integral dupla 
para coordenadas polares em função de r e teta (t).
 
x = r cos t
y = r sen t
z = sqrt ( R^2 - y^2 - x^2 ) = sqrt (R^2 - 
r^2) [somente a parte positiva]
dx dy = r dr dt
 
int ( int ( 2 sqrt (R^2 - r^2) r dr , r = 
0..R ) , t = 0..2Pi)
 
R^2 - r^2 = a
da = -2rdr
 
int ( int ( - sqrt (a) da , a = 
R^2..0 ) dt, t = 0..2Pi)
int ( - (2/3) a^(3/2) , a = 
R^2..0 ) dt, t = 0..2Pi)
int ( - (2/3) R^3 ) dt, t = 
0..2Pi)
(- (2/3) R^3 ) t , t = 
0..2Pi)
- (2/3) R^3 ) 0 - 2 (- (2/3) 
R^3 ) 2Pi) = (4/3)Pi R^3
 
cqd
 
 
 
 

- Original Message - 

  From: 
  Jan Sousa 
  
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, December 12, 2005 4:00 
  PM
  Subject: [obm-l] Integral dupla
  
  Alguém pode ajudar?
   
  Questão: Mediante integral dupla calcule o volume da esfera 
  tridimensional de raio R>0.

[obm-l] Re: [obm-l] Questão

[Murilo RFL]

  Se a + b + c = 
0 e   a^2 + b^2 + c^n = 1  , 
então   
  a^4 + b^4 + c^4 
= ?
 
(a + b + c)^2 = 0 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 (ab + bc + ac) 
 
0 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 (ab + bc + ac) 
a^2 + b^2 + c^n = 1
 
0 = 1+ 2 (ab + bc + ac) 
(ab + bc + ac) = -1/2
(ab + bc + ac)^2 = 1/4
( (ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 + 2 ( abcb + aabc + abcc )) = 1/4
( (ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 + 2abc (a + b + c) ) = 1/4
( (ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 + 2abc (0) ) = 1/4
( (ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 ) = 1/4
 
 
(a^2 + b^2 + c^2)^2=1^2
a^4 + b^4 + c^4 + 2((ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2)=1
a^4 + b^4 + c^4 + 2(1/4)=1
a^4 + b^4 + c^4 + 1/2=1
a^4 + b^4 + c^4 =1/2
 
 
Longo mas funcional... rsrs espero q esteja certo. 
Abraços
 
MuriloRFL
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  Charles 
  Barbosa 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, December 12, 2005 1:28 
  PM
  Subject: [obm-l] Questão
  
    Se a + b + c = 
  0 e   a^2 + b^2 + c^n = 1  , 
  então   
    a^4 + b^4 + 
  c^4 = ?

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Uma questão de fatorial

[Murilo RFL]

Eaqueci de provar q A é menor d q 1 
tmb
 
Depois tento resolver.
 
[]'s
MuriloRFL

  - Original Message - 
  From: 
  Murilo 
  RFL 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, November 10, 2005 1:00 
  PM
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Uma questão 
  de fatorial
  
  x(x+1)(x+2)(x+3)...(x+2006) = 1
  n=2007 termos (0..2006)
   
  Desenvolvendo o polinomio
  x(x+1)(x+2)(x+3)...(x+2006) = 1 =>
  x^2007 +(1+2+3+...+2006)x^2006+ ... + (1*2*3*...*2006)x - 1 
  = 0.
  x^2007 +(sum(1..2006))x^2006+ ... + (2006!)x - 1 = 
  0.
   
  seja x>0 eh facil ver q [ x^2007 +(sum(1..2006))x^2006+ 
  ... ] = A tal q A > 0
  logo a equaçao eh:
  A + (2006!)x - 1 = 0.
  x = 1/(2006!) - A/2006!
   
  como A>0 => A/2006!>0
  e logo x, alguma raiz positiva do polinomio, eh menor de q 
  1/(2006!) 
   
  cqd.
   
  []'s 
  MuriloRFL
   
   
   
  
- Original Message - 
From: 
Robÿe9rio Alves 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Thursday, November 10, 2005 11:36 
AM
Subject: [obm-l] Uma questão de 
fatorial

x(x+1)(x+2)(x+3)...(x+2006) = 1 Seja menor menor raiz 
positiva dessa equaçÃo. Prove que ela seja menor que 1/2006!.


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[obm-l] Re: [obm-l] Uma questão de fatorial

[Murilo RFL]

x(x+1)(x+2)(x+3)...(x+2006) = 1
n=2007 termos (0..2006)
 
Desenvolvendo o polinomio
x(x+1)(x+2)(x+3)...(x+2006) = 1 =>
x^2007 +(1+2+3+...+2006)x^2006+ ... + (1*2*3*...*2006)x - 1 = 
0.
x^2007 +(sum(1..2006))x^2006+ ... + (2006!)x - 1 = 
0.
 
seja x>0 eh facil ver q [ x^2007 +(sum(1..2006))x^2006+ ... 
] = A tal q A > 0
logo a equaçao eh:
A + (2006!)x - 1 = 0.
x = 1/(2006!) - A/2006!
 
como A>0 => A/2006!>0
e logo x, alguma raiz positiva do polinomio, eh menor de q 
1/(2006!) 
 
cqd.
 
[]'s 
MuriloRFL
 
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  Robÿe9rio Alves 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, November 10, 2005 11:36 
  AM
  Subject: [obm-l] Uma questão de 
  fatorial
  
  x(x+1)(x+2)(x+3)...(x+2006) = 1 Seja menor menor raiz 
  positiva dessa equaçÃo. Prove que ela seja menor que 1/2006!.
  
  
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[obm-l] Re: [obm-l] valor máximo

[Murilo RFL]

Harry. Acho q isso resolve. Forçar a soma de 
seno e cos ser o cosseno de uma soma.
[]'s Bart indo pra terra maravilhosa. Bom feriadao 
a todo! :P 
 
PARECE MALDITOS FASORES!
Essa vai em homenagem ao Fi.
 
y=3sen(x) +4cos(x)
 
triangulo 3,4,5 => sen(fi)=3/5, 
cos(fi)=4/5.
 
dividindo por sqrt(3^2+4^2)
y/5=(3/5)sen(x)+(4/5)cos(x)
 
y/5=sen(fi)sen(x)+cos(fi)cos(x)
y/5=cos(x-fi)
y=5*cos(x-fi)
logo: função eh maxima quando x=fi => cos(x-fi)=1
 
Ymax = 5.
 
Coisinha linda de Deus!
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Original Message - 

  From: 
  Guilherme Neves 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, November 09, 2005 6:35 
  PM
  Subject: [obm-l] valor máximo
  
  
  encontrar o valor máximo da função y=3sen(x) +4cos(x).
  Usando derivadas, achei que o valor máximo de uma função do tipo 
  y=a.sen(x) + b.cos(x) é 
  sqrt(a^2+b^2), mas essa questão foi de um vestibular e a resolução 
  oferecida pela comissão não utilizava cálculo.Alguma 
  sugestão?= 
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
  = 

Re: [obm-l] Anagramas

[Murilo RFL]

Em probabilidade nao da pra fugir dos problemas. 
Logo tratemos os SS como conjuntos de S. Logo a palavra 
MISSISSIPI 
pode ser agrupada em MI(SS)I(SS)IPI ou 
MI(SSS)I(S)IPI ou MI()IIPI. É facil percber q ao fazer a permutação 
de
MI(SS)I(SS)IPI jah englobamos o quarto caso 
MI()IIPI. Contudo, nao agrupamos os Casos de MI(SSS)I(S)PI 

não contidos em MI()IIPI.
 
logo, bata fazer  Permutação de MI(SS)I(SS)IPI 
+ ( Permutação de MI(SSS)I(S)PI - Permutação de MI()IIPI 
)
Os casos a Serem excluidos entao sao: 8!/(4!2!) + 
8!/(4!) - 7!/(4!) 
 
Fazendo o numero de Permutaçoes total - Exclusao 
temos:
 
10!/(4!4!) - ( 8!/(4!2!) + 8!/(4!) - 
7!/(4!) ) =
10!/(4!4!) -  8!/(4!2!) - 8!/(4!) + 
7!/(4!) =
6300 - 840 - 1680 + 210 = 3990
 
 
Bom... Espero q seja isso... na esperança de 
ajuda,
 
[]'s
 
MuriloRFL
 

  - Original Message - 
  From: 
  Alexandre Oliveira 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, October 24, 2005 8:52 
  PM
  Subject: [obm-l] Anagramas
  
  Pessoal,
  Sei que esta dúvida deve ser básica para a maioria dos senhores mas 
  agradeceria muitíssimo se alguém pudesse me ajudar. A dúvida é :
  quantos anagramas existem na palavra MISSISSIPI nos quais não há 2 letras 
  S consecutivas? O número de permutações total é 10!/(4!4!)=6300 certo? Daí 
  como é que eu consigo excluir os SS? Já tentei entender esse negócio, mas nada 
  parece muito conclusivo para mim. Desde já, agradeço
  Alexandre.
  
  
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Re: [obm-l] trigonometria

[Murilo RFL]

96(sen10)^5 + 16(sen10)^4 -52sen10 
+10, sabendo q sen3x = 3senx-4sen^3 x
sen30 = 3sen10-4sen^3 10
-24sen30 = -72sen10 + 96sen^3 10 => -24(1/2)*sen^2 10 = 
-72sen^3 10 + 96sen^5 10   (1)
-4sen30 = -12sen10 + 16sen^3 10 => -4(1/2)*sen 10 = -12sen^2 
10 +16sen^4 10  (2)
Somando (1) + (2) => 96(sen10)^5 + 16(sen10)^4 -72sen^3 10 
+2sen10 = 0 (3)
-18sen30 = -54sen 10 + 72sen^3 10 =>   
72sen^3 10 - 54sen 10 +9 =0 (4)
Somando (3) + (4) => 96(sen10)^5 + 16(sen10)^4 -52sen10 +9 
=0 
96(sen10)^5 + 16(sen10)^4 -52sen10 +9 +1=0 +1
96(sen10)^5 + 16(sen10)^4 -52sen10 +10 = 1
 

  - Original Message - 
  From: 
  Klaus 
  Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, October 24, 2005 4:50 
  PM
  Subject: [obm-l] trigonometria
  
  
  
  
  
  
  Calcule 96(sen10)^5 + 16(sen10)^4 -52sen10 +10, sabendo q 
  sen3x = 3senx-4sen^3 x
   
  []'s
    K.
  
  
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Re: [obm-l] Peso dos cachorros

[Murilo Rebouças Fernandes de Lima]

 eu tmb nao sei! Diz a lenda q eh assim hehheh o enunciado esta meio dubio.
 - Original Message - 
 From: "Qwert Smith" <[EMAIL PROTECTED]>

 To: 
 Sent: Thursday, June 02, 2005 2:28 PM
 Subject: Re: [obm-l] Peso dos cachorros


 > Pode estar certo, mas e meio que no chute.
 > De onde vc tirou que B+C = 950?
 > Pq nao B+C = 930 ou B+C=940?
 > Nada garante que a ordem va ser A+B,A+C,A+D,A+E,B+C,...
 > com A
 > O que e sempre verdade e que em ordem vem:
 > A+B,A+C,?,...,?,C+E,D+E .  O resto vc tem que mostrar.
 >
 >>From: Murilo Rebouças Fernandes de Lima <[EMAIL PROTECTED]>
 >>   (+)A+B=900
 >>   (+)A+C=920
 >>   (-)B+C=950
 >>
 >>   2A = 870 => A=435
 >>   B=465
 >>   C=485
 >>   D=495
 >>   E=505
 >>
 >>   Eh assim?
 >> - Original Message -
 >> From: [EMAIL PROTECTED]
 >>
 >> Em uma loja de animais há cinco cachorrinhos. O dono pesou os 
animais
 >>colocando dois de cada vez na balança, em todas as combinações 
possíveis.
 >>Por exemplo: Tico e Teco, depois Tico e Tuco, depois Teco e Tuco, e 
assim

 >>por diante. Os valores obtidos após todas as pesagens foram:
 >> 900g - 920g - 930g - 940g - 950g - 960g - 970g - 980g - 1000g - 
1010g

 >>
 >> A massa (peso) dos cinco cachorrinhos é:
 >>
 >
 >
 > 
=

 > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 > 
=

 >



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Clausula PROLOG para numeros primos

[Murilo Rebouças Fernandes de Lima]

 sempre o quadrado perfeito de dois primos ira dar errado... reveja a sua 
formula. nao precisa trestar sqrt(x) e sim de 2 ate parte inteira de sqrt(x) 
e no caso de ser inteiro sqrt(x)-1...



 - Original Message - 
 From: "Demétrius" <[EMAIL PROTECTED]>

 To: 
 Sent: Thursday, June 02, 2005 12:09 PM
 Subject: RE: [obm-l] Clausula PROLOG para numeros primos


 >> >DEVERIA Executar Assim:
 >> >?primo(9, 2).
 >> >no.
 >> >?primo(11, 2).
 >> >yes
 > Estes eram os resultados esperados, o que acontece é:
 > ?primo(3, 2).
 > yes.
 > ?primo(4, 2).
 > no.
 > ?primo(5, 2).
 > yes.
 > ?primo(6, 2).
 > no.
 > ?primo(7, 2).
 > yes
 > ?primo(8, 2).
 > no.
 > ?primo(9, 2).
 > yes.
 >
 > Parece que consegui determinar apenas se o número é
 > ímpar ou não!
 >
 > O algoritmo PROLOG executa em árvore com unificação.
 > Resumindo, de acordo com sua dedução de as
 > ramificações serem verdadeiras!
 >
 > Não tenho o compilador instalado na minha máquina aqui
 > no trabalho mas vou testar em casa e retorno depois!
 >
 > Obrigado!
 >
 >
 > --- Qwert Smith <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
 >
 >> >From: Demétrius <[EMAIL PROTECTED]>
 >> >
 >> >[...]
 >> >Verificar se existe divisão exata de X por todos os
 >> >números maiores que 1 e menores que X. Se não
 >> existir
 >> >o número é primo! (OK??!?!??!!!?)
 >> >
 >> >Alguém teria uma alguma outra sujestão?!?!?
 >> >
 >>
 >> Basta testar so os numeros ate sqrt(X).
 >>
 >> >A minha cláusula PROLOG meia boca é:
 >> >
 >> >% Entrada de um dado número X e o divisor de
 >> >% verificação par N = 2
 >> >primo(X, N):- N < X, A is (X mod N), A\=0, N1 is
 >> N+1,
 >> >primo(X, N1).
 >> >
 >> >DEVERIA Executar Assim:
 >> >?primo(9, 2).
 >> >no.
 >> >?primo(11, 2).
 >> >yes.
 >> >
 >> >Mas algo está errado Estou testando o 9 pois
 >> ele é
 >> >impar é pequeno e não é primo!!
 >> >[...]
 >>
 >> Vc nao diz oque te leva a creer que algo esta
 >> errado.
 >> Vc colocou o output esperado, mas nao colocou o que
 >> de fato retorna.
 >> Sera que ta retornando sempre no?
 >>
 >> Eu nao sei proplog mas acho que o yes ou no da
 >> resposta depende de todas
 >> as ramificacoes serem ou nao verdadeiras
 >>
 >> tente adicionar a seguinte clausula no comeco:
 >> primo(X,X):- true.
 >>
 >> Assim o seu programa mesmo que ineficiente deve te
 >> dar a resposta esperada.
 >>
 >> Faz:
 >> ?- trace
 >> ?- primo(9,2)
 >> ?-primo(11,2)
 >> ?- notrace
 >>
 >> Se vc quer uma ajuda mais detalhada em debugging o
 >> seu programa
 >>
 >>
 >>
 > 
=

 >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
 >> usar a lista em
 >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 >>
 > 
=

 >>
 >
 >
 >
 >
 >
 >
 > 
 > Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espaço grátis! 
http://mail.yahoo.com.br
 > 
=

 > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 > 
=

 >



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Peso dos cachorros

[Murilo Rebouças Fernandes de Lima]

  (+)A+B=900
  (+)A+C=920
  (-)B+C=950
   
  2A = 870 => A=435
  B=465
  C=485
  D=495
  E=505
   
  Eh assim?
  
- Original Message - 
From: 
[EMAIL PROTECTED] 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Wednesday, June 01, 2005 7:53 
PM
Subject: [obm-l] Peso dos 
cachorros
Olá, pessoal !Em uma loja de 
animais há cinco cachorrinhos. O dono pesou os animais colocando dois de 
cada vez na balança, em todas as combinações possíveis. Por exemplo: Tico e 
Teco, depois Tico e Tuco, depois Teco e Tuco, e assim por diante. Os valores 
obtidos após todas as pesagens foram: 900g - 920g - 930g - 940g - 950g - 
960g - 970g - 980g - 1000g - 1010g A massa (peso) dos cinco 
cachorrinhos é:Eu fiz e cheguei aos seguintes valores:A 
= 438,75B = 461,25C = 481,25D = 491,25E = 
518,75Primeiramente escrevi todas as equações:A + B = 
900A + C = 920A + D = 930...D + E = 
1010Depois somei as 4 primeiras equações ...A + B + C + D + 
E = 3690 - 4*A (I)Depois somei a 5ª, a 6ª e a 7ª equação 
...B + C + D + E = 2880 - 3*B (II)Substituindo (II) em (I), 
teremos:A + (2880 - 3*B) = 3690 - 4*A5*A - 3*B = 810 
(III)Com (III) e (I) encontraremos:A = 438,75B = 
461,25Depois é só substituir para encontrar os outros valores 
!Acertei ? []`sRafael 

 

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função

[Murilo Rebouças Fernandes de Lima]

f(3x+1)=x^2+3x+25 
    g(x+1)=2x+1
 
x=-2 temos:  g((-2)+1)=2(-2)+1
 g(-1)=-3
 
3x+1=-3
x=-4/3
f(3x+1)=x^2+3x+25 
f(3(-4/3)+1)=(-4/3)^2+3(-4/3)+25 
f(-3)=268/9
 
f(g(-1))=268/9

  From: 
  Viviane Silva 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, May 03, 2005 6:25 PM
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Função
  
  
  
  
  
  Como se resolve uma função do tipo. Este não é o exercício mas é parecido 
  com este
   
  1) f(3x+1)=x^2+3x+25
      g(x+1)=2x+1
      Encontre f(g(-1))
   
  Grata
  
  MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. Encontre o que você 
  quiser. Clique aqui. 
  = 
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
  = 

Re: [obm-l] ex.

[Murilo Rebouças Fernandes de Lima]

Wo = Força Peso = Gravidade - Força centrifuga(Ou 
centripeta, nao sei se vem o caso).
Wo = mg - m.(v^2)/r
Wo = mg - m.(w^2).r
 
w= v1/r
w1= (v1+- v)/r = w +- v/r (O sinal depende do 
sentido.)
 
W1= Gravidade - Força centrifuga
W1 = mg - m.(v1^2)/r
W1 = mg - m.(w1^2).r
W1 = mg - m.((w +- v/r)^2).r
W1 = mg - m.(w^2 +-2w.v/r 
+(v/r)^2).r
W1 = mg - m.(w^2).r +-2w.v.m 
+m.(v^2)/r
W1 = Wo +- 2w.v +(v^2)/r
 
como v eh uma velocidade muito pequena em relacao 
aa rotacao da tera ela ao quadrado pode ser desprezada. logo 
teremos:
 
W1 = Wo +- 2w.v.m
W1 = Wo(1 +- 2w.v.m/Wo)
 
Outra aproximacao conveniente eh fazer Wo = m.g 
(levando em conta as grandezas do termo ao qual ele vai dividir.)
 
dai temos: 
W1 = Wo(1 +- 2w.v.m/m.g)
W1 = Wo(1 +- 2w.v/g)
 
O sinal depende do sentido.

  - Original Message - 
  From: 
  Vinícius Meireles Aleixo 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, April 13, 2005 2:01 
  PM
  Subject: [obm-l] ex.
    
  Um corpo está suspenso numa balança de mola num 
  navio que viaja ao longo do equador com velocidade v. Mostre que a leitura da 
  balança será muito proxima de Wo(1+- 2wv/g), onde w é a velocidade angular da 
  Terra e Wo é a leitura da balança, quando o navio está em repouso. explique o 
  sinal de +-.
   
   

Re: [obm-l] soma de termos

[Murilo Rebouças Fernandes de Lima]

eu sei demonstrar assim:
 
(1+0)^3 = 1 + 3(0) + 3(0)^2 + (0)^3 = 
1
(1+1)^3 = 1 + 3(1) + 3(1)^2 + (1)^3 = 
2^3
(1+2)^3 = 1 + 3(2) + 3(2)^2 + (2)^3 = 
3^3
(1+3)^3 = 1 + 3(3) + 3(3)^2 + (3)^3 = 
4^3
 
 
...
(1+n-1)^3 = 1+ 3(n-1) + 3(n-1)^2 + (n-1)^3 = 
n^3
(1+n)^3 = 1+ 3(n) + 3(n)^2 + (n)^3 = 
(n+1)^3
 
 
fazendo a soma e cancelando os termos ao cubo vc 
chega no somatorio desejado
 
abraços
 
MuriloRFL
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  Brunno 
  
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, April 04, 2005 1:07 
PM
  Subject: [obm-l] soma de termos
  
  Boa tarde pessoal da lista
  dentro de uma exercício, cheguei a soma de 
  
  soma de = 1^2 + 2^2 + 3^2 
  ...n^2
  e vi que tinha uma formula 
especifica
  n^3/3 + n^2/2 +n/6
  mas como se chega a esta formula???
  Um abraco

[obm-l] Re: [obm-l] questãp de física

[Murilo Rebouças Fernandes de Lima]

Realmente. Me atentei ao fato de estar conta a gravidade (-10 m/s^2) e 
querer lançar-se a 20 m/s^2 e nessessario assim a aparentes 30m/s^2. 
resultando os almejados 180kg/s de propuçlção. Valeus obrigado pela dica ai 
abraços!
- Original Message - 
From: "Brunno" <[EMAIL PROTECTED]>
To: 
Sent: Tuesday, March 29, 2005 1:52 PM
Subject: [obm-l] questãp de física


Ola pessoal do grupo
poderiam me ajudar nesta questão?
Um foguete de massa 6 TONELADAS é colocado em posição vertical para
lançamento. Se a velocidade de escape dos gases vale 1km/s, a quantidade 
de
gases expelida por segundo, a fim de proporcionar o empuxo necessário para
dar ao foguete uma aceleração para cima de 20 m/s^2
é

Obrigado
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] questãp de física

[Murilo Rebouças Fernandes de Lima]

sim sim. Atribuo a velocidade do foguete igaul a zero e a velocidade de 
ejecao do gas de 1km/s

eu pensei em adotar o tempo igual a 1 segundo para facilitar as contas.
De onde eh o exercicio? abraços. Ate mais!!!
Atenciosamente,
Do amigo
Murilo
- Original Message - 
From: "Brunno" <[EMAIL PROTECTED]>
To: 
Sent: Tuesday, March 29, 2005 10:59 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] questãp de física


Ola Murilo tudo bem?
então o gabarito não bateu, a resposta correta seria 180 Kg
mas eu achei alguns possíveis erros na sua resolução
por exemplo qdo vc coloca
v0=0m/s
v1=1km/s=1000m/s
vc diz que a velocidade de um é 0 e de outro é 1000m/s
ou seja nessa "explosão" a velocidade do foguete depois de ejetar os gases 
é
0 m/s e o gás é 1000m/s, estranho neh???

Outra coisa, é adotar uma variação de tempo de 1segundos, ele não menciona
tempo
Mas eu vou tentar aqui, qualquer coisa eu te mando email, mas se vc tiver
outra ideia, me manda outro email
Muito obrigado
Um abraco
do amigi
Brunno

- Original Message -
From: "Murilo Rebouças Fernandes de Lima" <[EMAIL PROTECTED]>
To: 
Sent: Tuesday, March 29, 2005 7:08 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] questãp de física
v0=0m/s
v1=1km/s=1000m/s
t0=0s
t1=1s
Mg=Massa do gas.
Mf=Massa do foguete=6ton=6000kg
A=20m/s^2
Impulso = Mg.(v1-v0) = Mg.(1000 - 0) = 1000.Mg
Impulso = F.(t1-t0) = F.(1 - 0) = F = Mf.A = 6000.20
1000.Mg = 6000.20 => Mg=120kg
Conclui-se q o foguete ejeta uma massa de gas de 120kg/s. Considerando a
massa do foguete constante.

- Original Message -
From: "Brunno" <[EMAIL PROTECTED]>
To: 
Sent: Tuesday, March 29, 2005 1:52 PM
Subject: [obm-l] questãp de física

Ola pessoal do grupo
poderiam me ajudar nesta questão?
Um foguete de massa 6 TONELADAS é colocado em posição vertical para
lançamento. Se a velocidade de escape dos gases vale 1km/s, a quantidade
de
gases expelida por segundo, a fim de proporcionar o empuxo necessário 
para
dar ao foguete uma aceleração para cima de 20 m/s^2
é

Obrigado
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] questãp de física

[Murilo Rebouças Fernandes de Lima]

v0=0m/s
v1=1km/s=1000m/s
t0=0s
t1=1s
Mg=Massa do gas.
Mf=Massa do foguete=6ton=6000kg
A=20m/s^2
Impulso = Mg.(v1-v0) = Mg.(1000 - 0) = 1000.Mg
Impulso = F.(t1-t0) = F.(1 - 0) = F = Mf.A = 6000.20
1000.Mg = 6000.20 => Mg=120kg
Conclui-se q o foguete ejeta uma massa de gas de 120kg/s. Considerando a 
massa do foguete constante.


- Original Message - 
From: "Brunno" <[EMAIL PROTECTED]>
To: 
Sent: Tuesday, March 29, 2005 1:52 PM
Subject: [obm-l] questãp de física


Ola pessoal do grupo
poderiam me ajudar nesta questão?
Um foguete de massa 6 TONELADAS é colocado em posição vertical para
lançamento. Se a velocidade de escape dos gases vale 1km/s, a quantidade 
de
gases expelida por segundo, a fim de proporcionar o empuxo necessário para
dar ao foguete uma aceleração para cima de 20 m/s^2
é

Obrigado
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Re: [obm-l] Raciocinio logico

[Murilo Rebouças Fernandes de Lima]

( -)   ChuvaManha + ChuvaTarde = 
7

(+)   ChuvaManha + NaoChuvaManha = n
(+)   
ChuvaTarde + NaoChuvaTarde = n
( -)   NaoChuvaManha = 5
( -)   NaoChuvaTarde = 6
 
Somando tudo de acordo com os parenteses temos:
 
0 = 2n - 7 - 6 - 5 = 2n - 18
n = 9
 

  - Original Message - 
  From: 
  Anna 
  Luisa 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Saturday, March 12, 2005 5:25 
  PM
  Subject: [obm-l] Raciocinio logico
  
  Oie!
  Quem sabe raciocínio lógica pra dar uma maozinha 
  aki?
  Depois de n dias de férias, um estudante observa 
  que:
  (1) Choveu 7 vezes, de manhã ou à 
  tarde
  (2) Quando chove de manhã não chove 
  atarde
  (3) Houve 5 tardes sem chuva
  (4) Houve 6 manhãs sem chuva
  Então n é igual a?
   
  Quem souber ajuda por favor!
  obrigada
  Anninha.

[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida do livro da SBM

[Murilo Rebouças Fernandes de Lima]

7. Mostre que, para todo m > 0, a equação x^1/2 + m = x tem exatamente 
uma raiz
 
x^1/2 + m = x
x^1/2  = x - m
Elevando ao quadrado:
x = x^2 - 2mx +m^2

x^2 - (2m+1)x + m^2 = 0
 Calculado o delta:
 
4m^2 + 4m +1 - 4m^2 = Delta
4m + 1 = Delta 
 
so tera valou unico se Delta = 0 ou 
seja:
 
m = -1/4.
 
Enunciado esta errado ou incompleto.
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  André Barreto 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, February 24, 2005 5:55 
  AM
  Subject: [obm-l] Dúvida do livro da 
  SBM
  
  Estou com algumas dúvidas em umas questões do livro A Matemática do 
  Ensino Médio da SBM. Vou mandar a que tentei mais e vou guardar algumas 
  para caso eu não consiga mesmo.
   
  7. Mostre que, para todo m > 0, a equação x^1/2 + m = x tem exatamente 
  uma raiz.
  Essa eu pensei na representação destas no plano cartesiano, y = 
  x^1/2 + m e y = x, desenhei a primeira bissetriz no plano cartesiano e se y = 
  x^1/2 haveriam duas raizes, mas como soma com um m > 0 só há uma 
  raiz.
  Usando o formato geometrico de y = x^1/2, bláblá. Será isso plausível 
  para mostrar? Eu posso utilizar um conhecimento previo do comportamento y = 
  x^1/2 + m dessa expressão para mostrar??, 
   
  me ajudem nessa.
   
  Obrigado
   
  Atenciosamente
   
  André Sento Sé Barreto
  
  
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Re: [obm-l] Re- listinha boa

[Murilo Rebouças Fernandes de Lima]

1)As provas de um detonador de granadas efetuam-se 
no cemtro dofundo de um poço cilindrico de profundidade H.Os estilhaços 
dagranada, que se produzem depois da explosão e cujas velocidades 
nãoultrapassam Vo, não devem cair na superfície da terra.Qual deveráser 
o diametro minimo d do poço?
 
 
Suponha que um estilhaço sai com velocidade inicial 
que forma umângulo w com o plano do fundo do poço. Sejam x e y 
osdeslocamentos horizontal e vertical nos pontos onde o estilhaço está 
acima dasuperfície da terra. Considere ainda o plano cartesiano com 
origem no centro do fundo do poço.
g a aceleracao da gravidade.
 
 
(1) x = v0 * (cos w) * t
(2) y = v0 * (sen w) * t - (g * t^2 
)/2
 
(3) fazendo (x,y) a borda do poço temos o 
par (D/2,H)  
 
de (1) e (3) temos:
 
(4) t = D / (2 * v0 * (cos w))
 
de (2) , (3) e (4) temos:
 
H = (sen w) * D / (2 * (cos w)) - g * D^2 / (8 
* (v0^2) * (cos w)^2)
 
(5) H = D * (tan w) / 2 - g * D^2 * ((sec 
w)^2) / (8 * (v0^2))
 
(6) (sec w)^2 = 1 + (tan w)^2
 
de (5) e (6)
 
H = D * (tan w) / 2 - g * D^2 *  (1 + (tan 
w)^2) / (8 * (v0^2))
 
(7) { g*D^2/(8*(v0^2)) } 
*  (tan w)^2 -  {D/2} * (tan w) + { H+g*D^2/(8 * (v0^2)) } = 0
 
(7) é uma equacao do segundo grau em funcao de w. 
Para que D tenha o valor minimo é necessário que w (o argumento) tenha 
valor unico ou seja: raiz dupla. Delta = 0.
 
Fazendo as cxontas do delta e isolando D 
temos:
 
D = 2*v0*sqrt((v0/g)^2 - 2*H/g )
 
D = 2 v0 sqrt( (v0/g)^2 - 2H/g )
 
Talvez a parte do Delta ou alguma continha esteja 
errada pq to com pressa. Confiram ai. 
 
Abraços,
 
Murilo.
 
 
 
 
- Original Message - 

  From: 
  Vinícius Meireles Aleixo 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, February 23, 2005 10:55 
  PM
  Subject: [obm-l] Re- listinha boa
  
  >> 1)As provas de um detonador de 
  granadas efetuam-se no cemtro do>> fundo de um poço cilindrico de 
  profundidade H.Os estilhaços da>> granada, que se produzem depois da 
  explosão e cujas velocidades não>> ultrapassam Vo, não devem cair na 
  superfície da terra.Qual deverá>> ser o diametro minimo d do 
  poço?
   
  >Suponha que um estilhaço sai com velocidade 
  inicial que forma um>ângulo w com o plano do fundo do poço. Sejam x_1 e 
  x_2 os>deslocamentos horizontais nos pontos onde o estilhaço está acima 
  da>superfície da terra. Seja ainda r = d/2.
   
  [...]
   
  >Chamando k^2 de 2*g*H/v_0^2, o nosso problema 
  se reduz a achar o máximo>de
   
  >cos w*[sen w + sqrt(sen^2 w - k^2)]. Esse 
  máximo será o valor de r.>Como 0 < w < pi/2, os extremos não 
  maximizam a função e cos w = sqrt(1>- sen^2 w). Chamando sen w de u 
  (logo 0 < u < 1), temos que maximizar
   
  >sqrt(1 - u^2)*(u + sqrt(u^2 - 
  k^2)).
   
  >Apesar que eu não fiz a conta, não parece ser 
  muito fácil achar esse>máximo -- igualar a derivada a zero na mão é 
  impraticável.
   
   
  Oi,
   
  Cara, eu empaquei aí também...
  Caso alguém aí tenha uma solução mais inusitada 
  ficarei grato.
   
  Abraços
   
  Vinícius Meireles 
Aleixo

[obm-l] RE: [obm-l] Algoritmo do Calendário

[Murilo Rebouças Fernandes de Lima]

Alguns algoritmos podem ser achados em:
http://5dspace-time.org/Calendar/Algorithm.html
http://klausler.com/new-dayofweek.html
Agora como diria um amigo quando o professor indagava se poderia colocar a 
formula no quadro ou era necessario provar: PROVA!
- Original Message - 
From: "Ralph Teixeira" <[EMAIL PROTECTED]>
To: 
Sent: Thursday, February 24, 2005 12:27 AM
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Algoritmo do Calendário

Sabe o que eh curioso? Como ha 4800 dias 13 neste periodo de 400 anos, e 
4800 nao eh divisivel por 7, descobrimos que a distribuicao dos dias 13 com 
relacao aos dias da semana nao pode ser exatamente uniforme! Ou seja, dado 
um dia 13 qualquer, **nao** podemos dizer imediatamente que a probabilidade 
de ele cair numa Sexta eh exatamente igual aa probabilidade de ele cair num 
Domingo (mas espera-se que a diferenca seja bem pequenina).

O mesmo raciocinio pode ser feito sobre os dias de 1 a 28 Pergunta: 
podem ser uniformes as distribuicoes dos dias 29, 30 e 31? Sao?

Eu vi a analise detalhada uma vez. Se eu nao me engano, descobre-se que, 
dado um dia 13, o mais provavel dia da semana para ele (por uma 
pequeninissima margem) eh exatamente a Sexta-Feira.   :O   ;)

Abraco,
  Ralph
P.S.: Ah, tem aqui uma analise computacional deste fato: 
http://www.stats.uwo.ca/computing/MatLab/friday13.html. Com a ajuda do 
MatLab, eles calculam que, neste ciclo de 400 anos, ha (687, 685, 685, 687, 
684, 688, 684) dias 13 que caem nos dias (Dom, Seg, Ter, Qua, Qui, Sex, 
Sab), respectivamente. Ou seja, para o dia 13, Sextas sao 1/1200 mais 
provaveis do que Quintas. :P

on 22.02.05 11:34, Alan Pellejero at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Pessoal da lista!
Fiquei sabendo da existência de um algoritmo matemático que trabalha com os 
dias do calendário.
Por exemplo, eu quero saber qual dia da semana caiu 22 de abril de 1872. Eu 
sei que o calendário gregoriando se repete de 400 em 400 anos e tal, já 
procurei no google, pedi auxílio a muita gente e até tentei montar esse 
'algoritmo', entretanto, sem sucesso...Alguém poderia me ajudar?
Obrigado!

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[obm-l] Re: [obm-l] QUESTÃO DO IME

[Murilo Rebouças Fernandes de Lima]

sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x.
sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - x = x.
sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - x)) = x.
sqrt(5 - sqrt(5 - ... )) = x.
sqrt(5 - ...) = x.
sqrt(5 - x) = x.
5 - x = x^2
x^2 + x - 5 = 0
(Resolveu. Equacao do segundo grau.)
A tecnica consiste em substituir o valor de x infinitamente pela expressão 
que o equivale. Ate vc perceber q todas as parcelas de {sqrt(y)} podem ser 
equivalente a x. Onde y sao as substituicoes infinitas.


 Original Message - 
From: "Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet" 
<[EMAIL PROTECTED]>
To: 
Sent: Wednesday, February 23, 2005 11:19 PM
Subject: Re: [obm-l] QUESTÃO DO IME


raiz quadrada de {5 - raiz quadrada de (5-x) }=x,
(5-(5-x)^1/2)^1/2 = x
Se x = (5-x)^1/2 entao x e solucao.Ou seja,
x^2 + x - 5 = 0
Tente resolver esta equacao.
Depois disso, abra a expressao original:
x^2 = 5 - (5-x)^1/2
(x^2 - 5)^2 = 5-x
x^4 - 10x^2 + x + 20 =0
Basta escrever x^4 - 10x^2 + x + 20 como o produto de
x^2 + x - 5 com outro polinomio. Voce fica com a parte
bracal e depois confira que solucoes sao validas.
Ha talvez um modo de resolver com trigonometria mas
hoje nao to a fim...
--- [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Qual é a saída?
Resolva:
raiz quadrada de {5 - raiz quadrada de (5-x) }=x,
com x positivo.
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Re: [obm-l] Listinha boa!!

[Murilo Rebouças Fernandes de Lima]

Essa questao eh fuderosa. 
 
Da ate preguiça de descrever.
 
1)As provas de um detonador de granadas efetuam-se 
no cemtro do fundo de um poço cilindrico de profundidade H.Os estilhaços da 
granada, que se produzem depois da explosão e cujas velocidades não ultrapassam 
Vo, não devem cair na superfície da terra.Qual deverá ser o diametro minimo d do 
poço?
 

Re: [obm-l] Listinha boa!!

[Murilo Rebouças Fernandes de Lima]

***2)Numa linha dupla que une duas estações A e B, 
movimentam-se bondes em ambos os sentidos, com velocidades ctes e iguais em 
valor absoluto, de forma que, de 15 em 15 minutos, em cada estação, cruzam-se 2 
bondes.Um observador passa por uma das estações e assiste ao 
cruzamento;segue com movimento uniforme uma trajetória paralela aos trilhos e 
chega à outra estação no instante em que 2 outros bondes se cruzam. Incluídos os 
4 vistos nas estações, pelo observador passaram 22 bondes em todo o percurso AB, 
sendo que 7 movimentando-se no mesmo sentido e 15 no sentido contrario 
ao observador.Que tempo gasta cada bonde de A a B???
 
 
"de 15 em 15 minutos, em cada estação, cruzam-se 2 
bondes" Logo sabemos que os bondes saem de 15 em 15 minutos e que eles saem 
simultaneamente em duas estaçoes de largardas e chegam simultaneamente nas 
outras duas estações. 
 
O observador assiste em um sentido 7 bondes 
passando.

O observador assiste no outro sentido 15 
bondes passando.
 
7= Numero de bondes q ultrapassaram o observador = 
Numero de bondes q saiu da estaçao(N) - Numero de bondes q estao na 
pista(N1)
15= Numero de bondes q saiu da estaçao(N) + Numero 
de bondes q jah estavam na pista(N1)
 
N+N1=15
N-N1=7
N1=4
N=11.
 
Como N1=4. Existem 4 bondes na pista, sem contar o 
que acaba de chegar. Cada qual com uma diferença de 15 min logo o tempo = N1x15 
= 60 min.
 
 
Mais desafios nessa hp.
http://www.fisicaju.com.br/fisica/desafios.htm
 

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[obm-l] Res: Variância Zero

[Murilo Neves]

Olá
Primeiro, vou corrigir a besteira que escrevi: Var(X)=E(X^2)- E^2(X) =0 
(tinha escrito ao contrário)
Agora, uma passagem do livro de probabilidade do Barry James(pg.125):"..se 
Var(X)=0 então X é constante , com probabilidade 1 (é constante quase 
certamente)..."

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[obm-l] mais de probabilidade

[Murilo Neves]

Olá
Continuo aqui estudando e surgiram mais duas dúvidas. Se alguém puder me 
ajudar... Vamos lá:

1)Sabendo-se que E(X)=2 e que E(X^2)=4, calcule o menor valor possível para 
P(-10
Meu gabarito dá que a resposta é aproximadamente 0.9. Tentei usar Chebyshev, 
mas como Var(X)=E^2(X) - E(X^2)=0, chegaria a resposta 1. Tentei usar 
Markov, mas também não consegui.

2) Três cruzadores A, B e C, atacam um navio inimigo. Na primeira leva de 
tiros, o cruzador A tem 0.2 de probabilidade de atingir o alvo; enquanto os 
cruzadores B e C têm, respectivamente, 0.4 e 0.1 de probabilidade. Se o 
navio inimigo receber tiros de apenas um dos navios, ele tem prob 0.05 de 
afundar imediatamente; se receber de dois, a prob aumenta para 0.2 e se 
receber de três, a prob é de 0.4. Qual a prob. do navio inimigo afundar na 
primeira leva de tiros?

Obrigado
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[obm-l] probabilidade e estatística

[Murilo Neves]

Olá
 Estou com dúvida em dois exercícios do tipo Verdadeiro ou Falso ( 
justificando):

1)Sejam: X uma v.a. contínua com fdp f e fda F e X1,...,Xn uma amostra 
aleátória de X. Se M é o valor mínimo da amostra, então a fdp de M será dada 
por g(m)=n{[F(m)]^(n-1)]}*f(m)

2) Seja o modelo de regressão yt=B1+B2*yt + et, onde xt é não estocástica e 
et satisfaz as hipóteses usuais do modelo de regressão. O R^2 dessa 
regressão será extamente igual a 1 se, e só se, o valor do estimador de MQO 
de D2 da equação xt = D1 + D2*yt + ut for exatamente igual ao inverso do 
valor do estimador de MQO de B2.

Tinha uma cujo enunciado era:
Seja X um va contínua com fdp f e fda F. Defina Y como outra va tal que 
Y=F(X). Então F será uniformemente distribuida sobre [0,1]

Minha resposta: Como X é contínua e F é não decrescente, temos que existe a 
inversa de F, F^-1. Seja Fy a fda de Y. Daí 
Fy(a)=P(Y

Obrigado por qualquer ajuda.
Murilo
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[obm-l] Re: [obm-l] Questão

[Murilo RFL]

1)
a=b=c=d=x (x um valor minimo)
e=y (y um valor maximo)

 
a+b+c+d+e = 8 = 4x+y
a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 = 16 = 4x^2+y^2
y=8-4x
16 = 4x^2+(8-4x)^2
16 = 4x^2+16(4-4x+x^2)
4=x^2+16-16x+4x^2
5x^2-16x+12=0
x=2 ou x=1,2
 
y=8-4x
y=0 ou y=3,2
e=3,2
 
Alternativa e
 
2)
x/2002 = sen(x)
x/2002 eh uma reta crescente 
sen(x) varia de 1 a -1.
O intervalo que x/2002 varia de -1 a 1 eh de -2002 a 2002
como sabemos q a cada Pi*x (x E Z) o valor de sen(x) percorre todo o seu 
contra dominio eh facil interpretar a reta cruzando a senoide. 
2002/Pi = 637,2
entre 0 e 2002 temos 637 intervalos.
logo de -2002 a 2002 teremos 2*637 + 1 (x=0) encontros 
dara, portanto 1275 encontros...

  - Original Message - 
  From: 
  Fábio Bernardo 
  
  To: OBM 
  Sent: Sunday, August 22, 2004 10:19 
  PM
  Subject: [obm-l] Questão
  
  Amigos, tô enrolado nesses:
   
  1) Sabe-se que:
   
  a+b+c+d+e = 8
  e
  a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 = 16
   
  Qual é o maior valor de e?
   
  a) 2,5
  b) 2,8
  c) 3
  d) 3,1
  e) 3,2
   
  2) Quantas soluções reais possui a 
  equação:
   
  x/2002 = sen(x)
   
   
   
  ---Outgoing mail is certified Virus 
  Free.Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).Version: 6.0.742 
  / Virus Database: 495 - Release Date: 
19/8/2004

[obm-l] SORTEIO!

[Murilo]

Seja A=vermelha e E=verdeSupunhetemos q A seja 
sorteada primeiro.A+E => AA+E1*AAAE(2/3) = 
0.6671*AAEE(1/3) = 0.3332*E(2/3)(3/4) = 0.500   4A = 
0.5002*AAAEE(2/3)(1/4) = 0.167   3A = 0.3332*AAAEE(1/3)(1/2) = 
0.167   2A = 0.1672*AAEEE(1/3)(1/2) = 
0.1673*AE(2/3)(3/4)(4/5) = 0.400   5A = 
0.4003*EE(2/3)(3/4)(1/5) = 0.100   4A = 
0.3003*EE(2/3)(1/4)(3/5) = 0.100   3A = 
0.2003*AAAEEE(2/3)(1/4)(2/5) = 0.067   2A = 
0.1003*EE(1/3)(1/2)(3/5) = 0.1003*AAAEEE(1/3)(1/2)(2/5) = 
0.0673*AAAEEE(1/3)(1/2)(2/5) = 0.0673*AA(1/3)(1/2)(3/5) = 
0.1004*AAE(2/3)(3/4)(4/5)(5/6) = 0.333   6A = 
0.3334*AEE(2/3)(3/4)(4/5)(1/6) = 0.067   5A = 
0.2004*AEE(2/3)(3/4)(1/5)(4/6) = 0.067   4A = 
0.2334*EEE(2/3)(3/4)(1/5)(2/6) = 0.033   3A = 
0.1674*EEE(2/3)(1/4)(3/5)(3/6) = 0.033   2A = 
0.0674*EEE(2/3)(1/4)(3/5)(3/6) = 0.0334*EEE(2/3)(1/4)(2/5)(3/6) 
= 0.0334*AAA(2/3)(1/4)(2/5)(3/6) = 
0.0334*AEE(1/3)(1/2)(3/5)(4/6) = 0.0674*EEE(1/3)(1/2)(3/5)(2/6) 
= 0.0334*EEE(1/3)(1/2)(2/5)(3/6) = 
0.0334*AAA(1/3)(1/2)(2/5)(3/6) = 0.0334*EEE(1/3)(1/2)(2/5)(3/6) 
= 0.0334*AAA(1/3)(1/2)(2/5)(3/6) = 
0.0334*AAA(1/3)(1/2)(3/5)(2/6) = 0.0674*AAE(1/3)(1/2)(3/5)(4/6) 
= 0.067Concluimos entao que apos 99 repeticoes o numero de bolas A 
serapreferencialmente e aproximadamente 2/3 e bolas E preferencialmente 
eaproximadamente 1/3- Original Message -From: 
"Maurizio" <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Friday, 
July 02, 2004 4:20 PMSubject: [obm-l] SORTEIO!> Uma urna tem 
inicialmente uma bolinha vermelha e outra verde.> A cada dia, uma bolinha 
é sorteada e devolvida à urna junto com mais uma> outra bolinha da mesma 
cor.> Por exemplo, se for sorteada uma bolinha vermelha, a bolinha volta 
e> mais uma bolinha vermelha é acrescentada à urna.>> É 
claro que o número de bolinhas no nonagésimo-nono dia é 100.> Pergunta: 
Quais resultados você considera mais prováveis para a> composição da 
urna, neste dia?> 

[obm-l] Quadrado perfeito

[Murilo]

O menor inteiro positivo n para o qual o 
número
 
N = 10.12.16.18+n
 
é um quadrado perfeito é:
a) 30
b) 32
c) 34
d) 36
e) 38
 

 

N = 
10.12.16.18+n
N=(14-4)(14-2)(14+2)(14+4)+nN=(14^2-16)(14^2-4)+nN=(14^4-20*14^2+64)+n
 
Como N é perfeito implica que:
 
N=(14^2-10)^2=(14^4-20*14^2+100)=> n=36 

  - Original Message - 
  From: 
  Fábio Bernardo 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Thursday, June 10, 2004 1:38 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] Quadrado 
  perfeito
  
  Tenho uns amigos que as vezes se reunem 
  para elaborar, propor e resolver questões interessantes. Essa é uma delas. Sei 
  que se resolve por produto notável, mais ainda não descobri 
  como.
   
  
- Original Message - 
From: 
Alan Pellejero 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Sent: Thursday, June 10, 2004 1:10 
PM
Subject: Re: [obm-l] Quadrado 
perfeito

oi,
Uma curiosidade:exercícios assim caem em vestibulares, olimpíadas, 
concursos?
Fábio_Bernardo <[EMAIL PROTECTED]> 
wrote:

  
  

   
  O meno inteiro positivo n para o qual o 
  número
   
  N = 
10.12.16.18+n
   
  é um quadrado perfeito é:
  a) 30
  b) 32
  c) 34
  d) 36
  e) 
38

[obm-l] sequencia

[Murilo]

Alguem se habilita a descobrir o proximo termo da 
sequencia?
1 . 11 . 21 . 1211 . 111221 . ? 

[obm-l] spam

[Murilo]

recebi 78 e-mails de spam no periodo compreendido 
entre 16/10/03 00:09 e 13:50
 
Alguem ae corrija isso!!!
 

Re: [obm-l] Teoria dos numeros

[Murilo]

a) a*(a^2 - 1) = a*(a-1)*(a+1)=(a+1)*a*(a-1)

Notamos que sao 3 numeros consecutivos, e seja a impar, a-1 e a+1 sao pares
q contem um multiplo de 2 e outro de 4, claramente. E em 3 numeros
consecutivos, a probabilidade de se encontrar um multiplo de 3 eh 100% logo
eh multiplo de 4*3*2=24

b) a^2 - b^2=(a+b)*(a-b)

Novamente, seja a e b dois numeros impares, (a+b) e (a-b) sao pares.
a=2*p+1
b=2*q+1

(a+b)*(a-b) = (2*p + 2*q + 2)*(2*p + 2*q) = 2*(p+q+1)*2*(p+q) =
2*2*(p+q+1)*(p+q)
como (p+q) e (p+q+1) sao consecutivos, um dos dois há de ser par logo
possuem o fator dois.
logo eh multiplo de 2*2*2 = 8

- Original Message -
From: "Henrique Patrício Sant'Anna Branco" <[EMAIL PROTECTED]>
To: "OBM" <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Sunday, September 14, 2003 8:37 PM
Subject: [obm-l] Teoria dos numeros


> Prove as seguintes afirmações:
> a) Se a é um inteiro ímpar, então 24 divide a*(a^2 - 1)
> b) Se a e b são inteiros impares, entao 8 divide a^2 - b^2
> No caso do item b) pensei em considerar a = 4k-1 e b = 4k+1. Eu perco a
> generalidade se fizer algo assim?
>
> Grato,
> Henrique.
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] E o Nivel Tres,ninguem faz nada??????

[Murilo Andrade]

 --- Eduardo Casagrande Stabel <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu: > Olá.
> 
> O Pessoal da Lista envelheceu junto com a Lista, por
> isso só se ouve sobre a Universitária.
> 
> Eu encontrei uma solução muito simples para essa
> questão.
> 
> Seja P > 1 + 2 + 3 + ... + 2002 um número primo.
> O conjunto A = { P, 2P, 3P, ..., 2002P } satisfaz o
> enunciado pois se x é a soma de alguns elementos de
> A então temos P <= x <= P + 2P + 3P + ... + 2002P <
> P.P = P^2. Portanto P <= x < P^2 e x é múltiplo de
> P, logo não é uma potência perfeita pois P^2 precisa
> dividir x.
> 
> Abraço,
> Eduardo.

Olá,
Eu dei exatamente este exemplo na minha solução. Outro

exemplo que eu citei foi o trivial A =
{2003,2003,2003,
...,2003} (ou outro primo qualquer maior que 2002).
Será que aceitam que existam elementos iguais no
conjunto?

[]'s,
Murilo Vasconcelos,
Maceió, AL

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Re: [obm-l] Trigonometria

[Murilo Andrade]

 --- Murilo Andrade <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> Eu achei a seguinte maneira de resolver:
> 
>  b = 60 - a
> 
> (sen a + sen b) / (cos a + cos b) = [sen a + sen
> (60-a)] / [cos a + cos (60-a) ]
> 
> Aplicando as formulas do seno da soma e do co-seno
> da 
> soma (que estao a nivel de ensino medio) dá
> 1/raiz(3).

Aqui o certo eh:

 Aplicando as formulas do seno da *diferença* e do
co-seno da  *diferença* (que estao a nivel de ensino
medio) dá 

 1/raiz(3)


> 
> 
> 
> 
> []'s,
>  Murilo
> 


>  --- Gabriel_Pérgola <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> >
> Se a +b = 60º, entao: sen a + sen b / cos a + cos b
> > = ?
> > 
> > É possivel resolver essa equação trigonometrica
> sem
> > usar a formula da
> > fatoracao (transformacao de soma em produto) a
> nível
> > de ensino médio? Tipo
> > deduzindo a formula...
> > Se for possivel, ficaria grato pela demonstracao.
> > 
> > Gabriel
> > 
> > 
> > 
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
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> >
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Trigonometria

[Murilo Andrade]

Eu achei a seguinte maneira de resolver:

 b = 60 - a

(sen a + sen b) / (cos a + cos b) = [sen a + sen
(60-a)] / [cos a + cos (60-a) ]

Aplicando as formulas do seno da soma e do co-seno da 
soma (que estao a nivel de ensino medio) dá 1/raiz(3).




[]'s,
 Murilo

 --- Gabriel_Pérgola <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: >
Se a +b = 60º, entao: sen a + sen b / cos a + cos b
> = ?
> 
> É possivel resolver essa equação trigonometrica sem
> usar a formula da
> fatoracao (transformacao de soma em produto) a nível
> de ensino médio? Tipo
> deduzindo a formula...
> Se for possivel, ficaria grato pela demonstracao.
> 
> Gabriel
> 
> 
> 
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