Re: [obm-l] Convergencia e ponto fixo
Oi Bruno, Nao li a sua sol., que deve estar certa, mas e so pensar que como phi eh continua, tome o limite n tendendo a infinito dos dois lados: xn+1=phi(xn) Da a=phi(a), pois phi eh continua e se xn converge para a, entao xn+1 tbem converge para a. Abraco, Salvador On Thu, 8 Sep 2005, Bruno França dos Reis wrote: Oi, gente. Eu tava fazendo minha lista de cálculo numérico, quando chego a este exercício: Prove ou dê um contra-exemplo: Se phi é uma função contínua definida nos reais, e a sequência x[n+1] = phi(x[n]) converge, então x[n] converge para um ponto fixo de phi. Acredito que seja verdade. Aqui vai minha demo: Se x[n] converge, podemos dizer que converge a um numero a. Isto é equivalente a: Para todo delta 0, existe N natural tq n N == |x[n] - a| delta. Pela continuidade de phi, temos: para todo eps 0, existe delta 0, que podemos tomar delta eps, tal que x \in [a - delta, a + delta] == |phi(x) - phi(a)| eps. Podemos escrever que phi(a) = a + c, para algum c real. Então temos: Para todo eps 0, existe delta, 0 delta eps, e existe N natural, tal que: n N == |x[n] - a| delta == x[n] \in [a - delta, a + delta] == |phi(x[n]) - phi(a)| eps == == |x[n+1] - (a + c)| eps == |c + (a - x[n+1])| eps == -eps c + (a - x[n+1]) eps == == -eps -(a - x[n+1]) = -(eps + (a-x[n+1]) c eps + (x[n+1] - a) Mas como |x[n+1] - a| delta eps == -eps -delta x[n+1] - a delta eps == 0 eps + (x[n+1] - a) 2eps, e também -(2eps) -(eps + (a - x[n+1])) 0 Logo, -2eps c 2eps. Como isso vale para qualquer eps real positivo, não importando quão pequeno seja, c só pode ser 0 (por intervalos encaixantes). Então phi(a) = a. Então x[n] converge para um ponto fixo de phi. Tá certo isso aí? Tem algum jeito mais direto? Ou a idéia tem que ser essa mesma? Abraço Bruno -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com http://gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_RECREAÇÃO!
Nao eh. Se a mesa for redonda e o furo for no centro, eh so dar uma rotacao pequena na toalha. On Thu, 20 May 2004, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: A nao ser que a toalha seja furada tambem! :) E, ai ja temos outra questao: sera que ser a mesa e a toalha forem furadas isto ainda e verdade? --- Salvador Addas Zanata [EMAIL PROTECTED] escreveu: Se a sua mesa tiver buracos, isso nao eh verdade! Abraco, Salvador - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RECREAÇÃO! Data: 20/05/04 16:17 E qual seria uma solução aceitável pra esse aqui? Uma mesa é coberta por uma toalha de papel de mesma forma e área. Naturalmente, podemos fazer cada ponto da toalha corresponder ao ponto da mesa que ele cobre e essa correspondencia é uma bijeção. A toalha é então retirada, amassada, e colocada de volta sobre a mesa (sem nenhum pedacinho pra fora - ou seja, a toalha amassada está totalmente contida no interior da mesa). Novamente podemos fazer cada ponto da toalha corresponder ao ponto da mesa que ele cobre, só que a correspondencia não é mais uma bijeção. Prove que, apesar disso, existe um ponto da toalha que continua a corresponder ao mesmo ponto de mesa que correspondia antes da toalha ser amassada. []s, Claudio. - Original Message - From: Ricardo Bittencourt [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, May 19, 2004 7:34 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RECREAÇÃO! Ricardo Bittencourt wrote: Perdoe-me a insistência, mas quando você fez f(t) tal que f(0)=0 e f(24)=L, e também g(0)=L e g(24)=0, você não está só modelando em matematiquês a mesma resposta que ele deu? O raciocínio usado me parece exatamente o mesmo, só muda o nome façanha pra teorema do valor intermediário. Ele pode não ter sido totalmente formal ao descrever a solução, mas eu ainda não consigo ver onde a solução dele é logicamente inconsistente. Aliás deixe eu colocar a dúvida de outra maneira: se fosse essa uma questão de olimpíada, a resposta do Will seria aceita ou não? Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) N.F.C. (Ne Fronti Crede) __ Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RECREAÇÃO!
Se a sua mesa tiver buracos, isso nao eh verdade! Abraco, Salvador - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RECREAÇÃO! Data: 20/05/04 16:17 E qual seria uma solução aceitável pra esse aqui? Uma mesa é coberta por uma toalha de papel de mesma forma e área. Naturalmente, podemos fazer cada ponto da toalha corresponder ao ponto da mesa que ele cobre e essa correspondencia é uma bijeção. A toalha é então retirada, amassada, e colocada de volta sobre a mesa (sem nenhum pedacinho pra fora - ou seja, a toalha amassada está totalmente contida no interior da mesa). Novamente podemos fazer cada ponto da toalha corresponder ao ponto da mesa que ele cobre, só que a correspondencia não é mais uma bijeção. Prove que, apesar disso, existe um ponto da toalha que continua a corresponder ao mesmo ponto de mesa que correspondia antes da toalha ser amassada. []s, Claudio. - Original Message - From: Ricardo Bittencourt [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, May 19, 2004 7:34 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RECREAÇÃO! Ricardo Bittencourt wrote: Perdoe-me a insistência, mas quando você fez f(t) tal que f(0)=0 e f(24)=L, e também g(0)=L e g(24)=0, você não está só modelando em matematiquês a mesma resposta que ele deu? O raciocínio usado me parece exatamente o mesmo, só muda o nome façanha pra teorema do valor intermediário. Ele pode não ter sido totalmente formal ao descrever a solução, mas eu ainda não consigo ver onde a solução dele é logicamente inconsistente. Aliás deixe eu colocar a dúvida de outra maneira: se fosse essa uma questão de olimpíada, a resposta do Will seria aceita ou não? Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RECREAÇÃO!
Esse problema eh um caso particular do teorema do ponto fixo de Brouwer: Toda funcao continua do disco tem pelo menos 1 ponto fixo. []s, Salvador On Thu, 20 May 2004, Cláudio (Prática) wrote: Eu estava pensando no teorema do ponto fixo para contrações, mas sua sugestão não deixa de ser interessante. []s, Claudio. - Original Message - From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, May 20, 2004 5:52 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RECREAÇÃO! Isto eh uma aplicacao do principio da casa dos pombos, certo? Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RECREAÇÃO! Data: 20/05/04 16:17 E qual seria uma solução aceitável pra esse aqui? Uma mesa é coberta por uma toalha de papel de mesma forma e área. Naturalmente, podemos fazer cada ponto da toalha corresponder ao ponto da mesa que ele cobre e essa correspondencia é uma bijeção. A toalha é então retirada, amassada, e colocada de volta sobre a mesa (sem nenhum pedacinho pra fora - ou seja, a toalha amassada está totalmente contida no interior da mesa). Novamente podemos fazer cada ponto da toalha corresponder ao ponto da mesa que ele cobre, só que a correspondencia não é mais uma bijeção. Prove que, apesar disso, existe um ponto da toalha que continua a corresponder ao mesmo ponto de mesa que correspondia antes da toalha ser amassada. []s, Claudio. - Original Message - From: Ricardo Bittencourt [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, May 19, 2004 7:34 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RECREAÇÃO! Ricardo Bittencourt wrote: Perdoe-me a insistência, mas quando você fez f(t) tal que f(0)=0 e f(24)=L, e também g(0)=L e g(24)=0, você não está só modelando em matematiquês a mesma resposta que ele deu? O raciocínio usado me parece exatamente o mesmo, só muda o nome façanha pra teorema do valor intermediário. Ele pode não ter sido totalmente formal ao descrever a solução, mas eu ainda não consigo ver onde a solução dele é logicamente inconsistente. Aliás deixe eu colocar a dúvida de outra maneira: se fosse essa uma questão de olimpíada, a resposta do Will seria aceita ou não? Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Particao do Quadrado
Se A U B = Quadrado e A inter B = vazio e A e B sao conexos, entao chegamos num absurdo, pois o Quadrado e conexo. Se A inter B nao eh vazio, o problema nao tem sentido, ou nao entendi o enunciado. Alias acho que nao entendi mesmo... Explique novamente, por favor. Abraco, Salvador On Fri, 5 Mar 2004, Claudio Buffara wrote: Essa discussao recente sobre conjuntos conexos me fez lembrar de um problema que vi ha tempos e nunca resolvi: Um quadrado pode ser particionado em dois conjuntos conexos A e B tais que A contem pontos de dois lados opostos do quadrado e B contem pontos dos dois lados restantes? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Divisao de um Quadrilatero
Acho que se voce escolher um vertice, tracar a diagonal por ele, temos 2 triangulos. Trace agora as mediatrizes por esse vertice, uma em cada triangulo. Dai da pra continuar e mostrar que e possivel construir uma reta passando por esse vertice, dentro do triangulo de maior area, que divide o quad. em 2 de mesma area. Eh claro que essa solucao esta longe de ser bonita, provavelmente pior que a sua. Um abraco, Salvador On Thu, 4 Mar 2004, Claudio Buffara wrote: Esqueci de dizer uma coisa: eu nao consegui resolver este problema e, portanto, qualquer ajuda serah bem vinda. []'s, Claudio. on 04.03.04 10:31, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, pessoal: Aqui vai um de geometria: Dado um quadrilatero convexo, mostre como construir uma reta que bissecte a sua area usando apenas regua e compasso. O problema pode ser genertalizada para um n-gono convexo. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Parece mas nao eh
Oi gente, Acabei de resolver um probleminha, que a primeira vista me pareceu impossivel, mas na verdade eh facil. Dado um natural, digamos 13, o proximo eh 1²+3²=10, depois vem 0²+1²=1 e ficamos no 1,1,1, Se comecarmos com 4, vamos para 16, depois 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89, , 20, 4, 16, e indefinidamente nesta sequencia. O problema eh: Prove que todo numero, ou termina no 1, ou nessa seq. 4,16,37,58,89,145,42,20,4,... Disse que parecia impossivel, pois me lembrou na hora o seguinte problema: se n for par, divida por 2, se for impar, multiplique por 3 e some 1. Exemplo: 7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,4,2,1,... Prove que todo n converge para o loop 4,2,1,4,2,1,... Esse esta em aberto, e pelo que eu sei longe de ser resolvido. Abraco, Salvador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: Fwd: [obm-l] GMAT / Dúvidas .
Em portugues eu nao conheco, mas em ingles tem milhares. Entre na pagina do Toefl, ou na do gmat mesmo, deve ter uma do gmat. O gmat eh um exame, tipo gre, so que pra mba e similares, ao contrario do gre que eh pra quem quer fazer doutorado nos eua. Abraco, Salvador On Thu, 23 Oct 2003, fabio niski wrote: Marcos, a sua pergunta foi alguém conhece alguma literatura , em português se possível, com características das questões GMAT ? Pense um pouco. Se voce perguntou se alguém conhece e ninguem respondeu então obvio então que é porque NINUGUEM conhece e não por que todos os elementos da lista não responderam de birra, como voce deixou a entender (Tá bom, não pergunto mais). A não ser que voce estava esperando que todos os usuarios respondessem não eu não conheco mas dai Marcos Braga wrote: Caramba !! Fui totalmente ignorado , ninguém respondeu ... Tá bom , não pergunto mais ...:)) Mesmo assim se alguma alma caridosa puder me respoder ficarei muito feliz. Marcos . X-Sender: [EMAIL PROTECTED] X-Mailer: QUALCOMM Windows Eudora Version 5.2.1 Date: Wed, 22 Oct 2003 18:20:56 -0200 To: [EMAIL PROTECTED] From: Marcos Braga [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] GMAT X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by sucuri.mat.puc-rio.br id RAA14433 Sender: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] Oi Galera , Sou novo na lista e uma apaixonado por Matemática e Filosofia . Com certeza meu conhecimento de matemática não é tão bom como de vcs, e sendo assim prometo não fazer perguntas idiotas . :)) Estou para prestar uma prova no estilo GMAT , alguém conhece alguma literatura , em português se possível, com características das questões GMAT ? Abraços . Marcos . = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] limite de sin(n)^n
Caro Claudio, Essa problema eh f... Para que sin(n)^n de problema, temos que escolher um n tal que |n-(pi/2+2pik)| seja pequeno. Isso eh equivalente a: |2/pi.n-(1+4k)| seja pequeno. Como 2/pi eh irracional, se existirem convergentes pn/qn de 2/pi, tais que pn = 1+4kn, entao, |2/pi.qn-(1+4kn)|1/qn. Aqui vou fazer uma hipotese perigosa, que nao pensei se eh verdade. Vamos supor que existem infinitos convergentes tais que pn == 1 mod 4. Isto vai implicar, fazendo umas majoracoes chatas, que sin(qn) eh aprox. igual a (1-c/qn^2), para um c real que nao depende de n. Assim, (sin(qn))^qn ~= (1-c/qn^2)^qn, que me parece que vai a 1. Nao conferi todos os passos, muito menos sei se a hipotese sobre os convergentes eh verdade, mas parece que esse limite nao existe. Abraco, Salvador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] obm
Voces estao recebendo esses milhares de emails, vindo como se fossem do Nicolau, sem nada? Ou sera que eh pau no meu micro? On Thu, 16 Oct 2003, wrote: = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] obm
Desculpem, agora vi que alguns e-mails tem conteudo e vi o e-mail de um colega dizendo do que se trata. Abraco, Salvador On Thu, 16 Oct 2003, Salvador Addas Zanata wrote: Voces estao recebendo esses milhares de emails, vindo como se fossem do Nicolau, sem nada? Ou sera que eh pau no meu micro? On Thu, 16 Oct 2003, wrote: = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequência Equidistribuída
Oi pessoal, Desculpem a ausencia da lista. O problema e que estou com virose ha uns 6 dias, que esta acabando comigo. Depois eu mando o resultado sobre seq. unif. distr. (Teo. de Weyl) O problema que o Claudio falou eh muito bonito, achei ele num paper dos anos 50: Se voce tiver uma figura convexa plana, tal que uma reta passando pelo baricentro seja dividida em uma razao 1:2, entao a figura eh um triangulo. Se a razao for maior que 1:2, entao a figura nao existe. A dem. que eu conheco eh elementar. Abraco a todos e ate logo, Salvador On Fri, 19 Sep 2003, Cláudio (Prática) wrote: Oi, Salvador: Esse teorema é bem interessante. Acho que ele está relacionado ao seguinte fato: Na sequência x(n) = 2^n, a probabilidade do algarismo da esquerda da representação decimal de x(n) ser igual a k (1=k=9) é igual a log_10((k+1)/k). Ou seja, nessa sequência, pouco mais de 30% dos termos começam com o algarismo 1. Por outro lado, menos de 5% deles começam com 9. Essa é a tal lei de Benford. Claro que, como log_10(2) é irracional, a sequência y(n) = log_10(x(n)) mod 1 = n*log_10(2) mod 1 é equidistribuida. Será que x(n) = cos(n) é equidistribuída? Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Salvador Addas Zanata [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, September 19, 2003 11:56 AM Subject: Re: [obm-l] Valores de aderencia Oi amigos, Existe um troco chamado teorema da equidistribuicao de Weyl, que diz o seguinte: Se uma sequencia a_n em [0,1] por exemplo, satisfizer uma serie de relacoes, entao ela eh equidistribuida. Por exemplo, a_n=n.w mod 1, com w irracional eh equidistribuida, o que quer dizer que ela se espalha uniformemente em [0,1]. Se alguem quiser, posso dar as condicoes precisas que a seq. deve satisfazer. Eh claro que dizer que uma seq. eh equidistribuida eh muito mais forte que dizer que ela eh densa. Um abraco, Salvador On Thu, 18 Sep 2003, Claudio Buffara wrote: Oi, pessoal: Sabemos que x(n) = cos(n) tem subsequencias que convergem para qualquer ponto no intervalo [-1,1]. Pergunta: O que eh que a funcao cosseno tem de especial para que isso aconteca, ou seja, que propriedade(s) uma funcao real precisa ter para gerar sequencias com subsequencias convergindo para qualquer ponto da imagem da funcao? Sobre a funcao cosseno eu consigo pensar em 4 coisas: 1) Ela eh limitada; 2) Ela eh periodica de periodo irracional; 3) Ela eh continua; 4) Ela eh uma sobrejecao em [-1,1]. O meu chute eh que (1) e (3) sao irrelevantes, que (2) eh uma condicao suficiente mas nao necessaria, pois acho que y(n) = cos(n^2) tambem tem subsequencias convergindo para qualquer ponto de [-1,1], e que (4) eh uma condicao necessaria mas nao suficiente, pois f(x) = sen(pi*x) tambem eh uma sobrejecao em [-1,1] mas z(n) = sen(pi*n) eh constante e igual a zero. Como sempre, qualquer ajuda serah bem-vinda. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Valores de aderencia
Oi amigos, Existe um troco chamado teorema da equidistribuicao de Weyl, que diz o seguinte: Se uma sequencia a_n em [0,1] por exemplo, satisfizer uma serie de relacoes, entao ela eh equidistribuida. Por exemplo, a_n=n.w mod 1, com w irracional eh equidistribuida, o que quer dizer que ela se espalha uniformemente em [0,1]. Se alguem quiser, posso dar as condicoes precisas que a seq. deve satisfazer. Eh claro que dizer que uma seq. eh equidistribuida eh muito mais forte que dizer que ela eh densa. Um abraco, Salvador On Thu, 18 Sep 2003, Claudio Buffara wrote: Oi, pessoal: Sabemos que x(n) = cos(n) tem subsequencias que convergem para qualquer ponto no intervalo [-1,1]. Pergunta: O que eh que a funcao cosseno tem de especial para que isso aconteca, ou seja, que propriedade(s) uma funcao real precisa ter para gerar sequencias com subsequencias convergindo para qualquer ponto da imagem da funcao? Sobre a funcao cosseno eu consigo pensar em 4 coisas: 1) Ela eh limitada; 2) Ela eh periodica de periodo irracional; 3) Ela eh continua; 4) Ela eh uma sobrejecao em [-1,1]. O meu chute eh que (1) e (3) sao irrelevantes, que (2) eh uma condicao suficiente mas nao necessaria, pois acho que y(n) = cos(n^2) tambem tem subsequencias convergindo para qualquer ponto de [-1,1], e que (4) eh uma condicao necessaria mas nao suficiente, pois f(x) = sen(pi*x) tambem eh uma sobrejecao em [-1,1] mas z(n) = sen(pi*n) eh constante e igual a zero. Como sempre, qualquer ajuda serah bem-vinda. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Valores de aderencia de cos(n)
A parte do n que importa eh n mod 2.pi, que eh denso no intervalo
[0,2.pi], porque n/2.pi eh irracional. Logo cos(n) eh denso em
cos([0,2.pi])=[-1,1]. Acho que eh so isso.
Abraco,
Salvador
On Tue, 16 Sep 2003, Claudio Buffara wrote:
E pra completar a serie de problemas sobre conjuntos densos em R, aqui vai
mais um problema do livro Curso de Analise - vol. 1 do Elon (cap. IV - ex.
46 da 6a. edicao):
Prove que o conjunto dos valores de aderencia da sequencia x(n) = cos(n) eh
o intervalo fechado [-1,1].
OBS: a eh valor de aderencia de x(n) == a eh limite de alguma subsequencia
de x(n).
Sugestao: Use o fato de que se b eh irracional, entao o conjunto {m + n*b;
m,n: inteiros} eh denso em R (o que uma coisa tem a ver com a outra???)
Um abraco,
Claudio.
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Re: [obm-l] Fatorial Quadrado
d(24)=8 d(6)=4 d(4)=3 Logo, d(24)d(6)*d(4). A igualdade so vale, se os fatores forem primos entre si. Abraco, Salvador On Wed, 17 Sep 2003, Eduardo Azevedo wrote: Oi, pessoal: Alguem conhece alguma demonstracao de que nenhum fatorial 1 eh quadrado perfeito que nao use o postulado de Bertrand? É só a gente ver que os quadrados são os números que tem uma quantidade ímpar de divisores. Afinal, os divisores de n vem em pares n e n/d. A única exceção é, se existir, raiz de n. Agora, se chamarmos de d(n) o número de divisores de n temos d(n!) = d(n)*d(n-1)*...d(2)*d(1), que é par pois d(2) é par. Então n! não pode ser quadrado. abrc -ed = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjunto denso em R - Domingos
Se x for um ponto de acumulacao de C, entao existe uma seq. de elementos
distintos de C convergindo para x. Mas qualquer seq. de elementos de C vai
para infinito, ne? Logo me parece que nao temos pontos de acumulacao.
Abraco,
Salvador
Agora, uma questao interessante:
Se a eh um irracional positivo e C = {n*a + m; m,n: inteiros nao-negativos},
serah que C tem algum ponto de acumulacao ou todos os seus pontos sao
isolados?
Um abraco,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Polinômio
Oi gente, alguem tentou fazer esse problema? Nao eh bolinho... Um abraco, Salvador On Tue, 19 Aug 2003, fnicks wrote: Olá pessoal, Poderiam me ajudar no problema a seguir ? Considere o polinômio f(x) = A0 +A1(x) +A2(x^2) +A3(x^3)+...+ An(x^n) tal que f(x) está o intervalo [-1,1] ; para todo x no intervalo [- 1,1]. Prove que a derivada de f(x) está no intervalo [-n^2 ,n^2] . Nota : A0 , A1 , A2 , ..., An são os coeficientes do polinômio . []´s Nicks --- Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencias
Pessoal,
Disse bobagem no item c).
Obrigado pela correcao, Manoel.
Segue o e-mail dele abaixo com a correcao.
Mais uma vez obrigado ao Manoel.
Um abraco,
Salvador
On Wed, 16 Jul 2003, Manuel Valentim Pera wrote:
Salvador,
Mande um email para a lista dizendo que isso foi um engano, e' falso...
Eu procuro voce amanha e mostro um contra-exemplo.
A ideia e' comecar em 1 diminuir de 1/2 em 1/2 ate' ficar negativo
depois cresca de 1/3 em 1/3 ate' passar 1, depois diminuir de 1/4 em 1/4
ate' ficar negativo, ai' cresce de 1/5 em 1/5 ate'...
Essa sequencia tem a propriedade desejada, e todos os pontos do
intervalo [0,1] sao pontos limite da sequencia.
Valem algumas coisas mais.
Abraco,
Mane'
On Wed, 16 Jul 2003, Salvador Addas Zanata wrote:
On Wed, 16 Jul 2003 [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja x_{k} uma sequencia de numeros reais tal que
lim | x_{k+1} - x_{k} | = 0
para cada item, demonstre ou dê um contra-exemplo:
a) x_{k} é limitada.
Se x_{k}=x_{k-1}+1/k, com x_{0}=0, entao x_{k} nao e limitada.
b) x_{k} é convergente.
Nao eh, pelo exemplo acima.
c) se x_{k} é limitada então x_{k} é convergente.
Isso eh verdade, e so imaginar que se ela nao fosse convergente, teria 2
pontos de acumulacao pelo menos e isso implica um absurdo com a sua
hipotese. Lembre que num compacto, toda seq. tem pontos de acumulacao.
Abraco,
Salvador
agradeço qualquer ajuda !
--
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Re: [obm-l] Sequencias
On Wed, 16 Jul 2003 [EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja x_{k} uma sequencia de numeros reais tal que
lim | x_{k+1} - x_{k} | = 0
para cada item, demonstre ou dê um contra-exemplo:
a) x_{k} é limitada.
Se x_{k}=x_{k-1}+1/k, com x_{0}=0, entao x_{k} nao e limitada.
b) x_{k} é convergente.
Nao eh, pelo exemplo acima.
c) se x_{k} é limitada então x_{k} é convergente.
Isso eh verdade, e so imaginar que se ela nao fosse convergente, teria 2
pontos de acumulacao pelo menos e isso implica um absurdo com a sua
hipotese. Lembre que num compacto, toda seq. tem pontos de acumulacao.
Abraco,
Salvador
agradeço qualquer ajuda !
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Re: [obm-l] Problema da Tesoura(O Retorno???) e sqrt(pi)
Nao e sabido nem se os cortes sao feitos em um conjunto mensuravel, quanto mais como sao esses conjuntos. Veja o livro Unsolved problems in geometry. Abraco, Salvador On Mon, 31 Mar 2003, Nicolau C. Saldanha wrote: On Mon, Mar 31, 2003 at 03:07:34PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: Turma,alguem sabe demonstrar esse teorema estranho que me apareceu na Semana Olimpica? Mostre que e possivel recortar um circulo em varios mas finitos pedaços e rearranjar os pedaços sem falhas de modo a formar um quadrado.Cada corte deve ser ou um arco de circulo ou um segmento de reta. Que tal se esse fosse pra Eureka!? Isto me cheira ao problema da quadratura do círculo, versão século XX. O teorema (que não é fácil) é que é possível cortar um quadrado em um número finito de peças e juntá-las para formar um disco redondo de mesma área. Mas as peças são muito complicadas, não é possível resolver o problema se os cortes forem limitados a curvas bem comportadas. Isso parece o paradoxo de Banach-Tarski: é possível decompor uma bola em um número finito de pedaços e juntá-los para formar duas bolas, cada uma igual à bola original. O teorema mais geral é que se A e B são dois subconjuntos de R^3 limitados e de interior nào vazio então é possível recortar A em um número finito de pedaços e juntá-los para montar B. Note em particular que não existe preservação de volume; em R^2 existe, não é possível recortar uma bola pequena para montar uma bola grande. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RE: [obm-l] Tres belos problemas
2) Suponha que a PA tenha primeiro termo a e razao q: b^2=a+q.n (b+m.q)^2=b^2+2.b.m.q+m^2.q^2=a+q(n+2.b.m+m^2.q) Abraco, Salvador On Tue, 11 Feb 2003, Paulo Santa Rita wrote: Ola Joao Gilberto e demais colegas desta lista ... OBM-L, Muito Bom. Vejam como a aplicacao inteligente do principio das casas dos pontos resolveu o problema dois. O esboco de solucao do problema 3 e satisfatorio, em minha opiniao. E quanto ao primeiro problema ? E criacao minha e de forma alguma e uma questao dificil. Apenas exige um raciocinio original ... Aqui vai duas outras questoes olimpicas, simples, de rapida resolucao, mas que nao deixam de ter os seus encantos : 1) Caracterize todas as PA's nas quais qualquer soma de um numero qualquer de termos consecutivos e ainda um termo desta PA. 2)( Olimpiada Argentina ) Mostre que se numa PA ha um quadrado perfeito, enta0 existirao infinitos outros quadrado perfeitos nesta PA. Um Grande abraco a Todos Paulo Santa Rita 3,1731,110203 EM TEMPO : Esta lista, A Nossa Lista, foi originalmente criada pelo Prof Nicolau Saldanha com o objetivo de ser uma LISTA DE DISCUSSAO DE PROBLEMAS DE MATEMATICA OLIMPICA. Repetindo : MATEMATICA OLIMPICA ! E portanto um forum adeguado, sobretudo, aqueles que se preparam para as Olimpiadas de Matematica e para as pessoas amantes e entusiasmadas com este Movimento Olimpico. Estas pessoas, em geral, nao se entusiasmam com as questoes que tipicamente caem na maioria dos vestibulares brasileiros, triviais e rotineiras. Dar a esta lista o carater de tira-duvidas de vestibulares e descaracteriza-la, desviando-a de seu objetivo original... Mas compete a todos nos - e nao somente ao Prof Nicolau - cuidar para que este caracter olimpico seja o preponderante ! Nao estou dizendo que nao se deve propor uma questao que caiu em algum vestibular. Quem pode dizer o que se deve ou nao fazer e o Moderador. Mas a minha consciencia me diz que tenho uma parcela de responsabilidade com a qualidade daquilo de que participo e a fidelidade que tenho a ela me obrigou a dizer isso ... Pouco ! Porem, com qualidade ! From: João Gilberto Ponciano Pereira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: '[EMAIL PROTECTED]' [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] Tres belos problemas Date: Tue, 11 Feb 2003 16:38:08 -0300 2) Em uma reuniao existem exatamente 201 pessoas de 5 nacionalidades diferentes. Sabe-se que em cada grupo de 6 pessoas, ao menos duas tem a mesma idade. Demonstrar que existem ao menos 5 pessoas do mesmo pais, da mesma idade e do mesmo sexo. Primeiramente podemos distribuir todas as pessoas em apenas 5 grupos de idade, pois se tivermos 6 grupos, não vale a afirmação Sabe-se que em cada grupo de 6 pessoas, ao menos duas tem a mesma idade. Basta utilizar sucessivamente o teorema da casa dos pombos... Ou seja, das 201, sabemos que existe um grupo de 51 pessoas com a mesma idade. Dessas, sabemos que existe um grupo de 11 pessoas do mesmo país. Dessas, 6 tem o mesmo sexo. 3) Achei o mais interessante... Vamos dividir o retângulo em 12 quadrados de lado 1 (4x3). Agora pintamos os quadrados de preto e branco, como um tabuleiro de xadrez. Se tivermos dois pontos na mesma casa, o problema está resolvido, pois a distância máxima seria sqrt(2). Se tivermos pontos em casas vizinha, o problema também está resolvido, pois a distância máxima seria sqrt(5). Teria que enrolar mais, mas o fato é que os pontos caem ou todos em casas brancas ou todos em casas pretas. O fato é que existe um quadrado 3x3 que contém 5 pontos, e novamente pela casa dos pombos, pelo menos 1 quadrado 1.5 x 1.5 contém 2 ou mais pontos, cuja distância neste caso é inferior a sqrt(4.5) -Original Message- From: Paulo Santa Rita [mailto:[EMAIL PROTECTED]] Sent: Tuesday, February 11, 2003 1:59 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Tres belos problemas Ola Pessoal, Seguem abaixo tres problemas : 1) Um quadrado e um triangulo estao circunscritos a um circulo de lado unitario. Prove que, qualquer que seja a posicao do quadrado e do triangulo, a area comum aos dois e maior que 17/5. E possivel afirmar que ela e maior que 7/2 ? 2) ( Olimpiada Espanhola ) Em uma reuniao existem exatamente 201 pessoas de 5 nacionalidades diferentes. Sabe-se que em cada grupo de 6 pessoas, ao menos duas tem a mesma idade. Demonstrar que existem ao menos 5 pessoas do mesmo pais, da mesma idade e do mesmo sexo. 3) ( Olimpiada Russa ) Na regiao delimitada por um retangulo de largura 4 e altura 3 sao marcados 6 pontos. Prove que existe ao menos um par destes pontos cuja distancia entre eles nao e maior que Raiz_Quad(5). Estes problemas nao precisam de sugestao. Um Grande Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 3,1455,110203 _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online.
Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável
Caro Artur, Quando voce disse que f era diferenciavel, imaginei que voce estivesse supondo que f' fosse continua. Eh isso que garante que a G da minha provinha seja continua em I^2. Na verdade, fora da diagonal identidade, ela eh sempre continua, basta f ser continua. Pra provar a continuidade de G em um ponto da forma (x,x), usamos que f' eh funcao continua. G(x,x)=f'(x), assim: G(a,b)-G(x,x)=[G(a,b)-G(x,b)]+[G(x,b)-G(x,x)]. Agora e so usar a definicao de continuidade e tentar encontrar o delta que sirva para um epsilon dado. A f que o seu amigo exibiu tem derivada 0 em x=0, mas a derivada nao eh continua em x=0, pois a derivada de f eh (p/ x0): x^2(9/2-3/2cos(2/x^2))-2sin(2/x^2) Assim, para valores convenientes de x arbitrariamente proximos do zero, essa funcao fica maior que 1, por exemplo, logo f'nao pode ser continua. Mas se voce queria saber se a afirmacao era verdade para f apenas diferenciavel, a resposta como voce provou exibindo esse exemplo eh nao. Um abraco, Salvador On Fri, 7 Feb 2003, Artur Costa Steiner wrote: Caro Artur, Observe que uma hipotese crucial para a provinha abaixo eh que f'(z) nao seja nem maximo, nem minimo da derivada de f no intervalo. E x^3 tem por derivada 3x^2, logo o zero nao se aplica ao teorema, pois eh minimo da derivada da f, qualquer que seja o intervalo que contenha a origem. Acho que a prova esta correta. Abraco, Salvador OK, de fato vc fez esta hipótese e me passou desapercebido. Eu realmente me confundi na sua prova. A função G é de fato contínua em I^2? Eu conversei sobre esta questão com uns amigos e um deles me deu como contra-exemplo a função f(x) = x^3 + x^3*[sin(1/x^2)]^2, se x0, e 0 se x=0. (não sei como que ele sacou esta função). Verificamos que f(0)=0. Verificamos também que f é positiva para x0 e negativa para x0, do que deduzimos que não existem x e y que satisfaçam à condicão procurada. Com algum algebrismo podemos constatar que em qualquer vizinhança de 0 f assume valores positivos e negativos, de modo que f(0)=0 não é ponto extremo de f. Um abraço Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável
Caro Artur,
Observe que uma hipotese crucial para a provinha abaixo eh que f'(z) nao
seja nem maximo, nem minimo da derivada de f no intervalo. E x^3 tem por
derivada 3x^2, logo o zero nao se aplica ao teorema, pois eh minimo da
derivada da f, qualquer que seja o intervalo que contenha a origem. Acho
que a prova esta correta.
Abraco,
Salvador
On Thu, 6 Feb 2003, Artur Costa Steiner wrote:
Oi Claudio,
Seja I=[a,b] e z em I.
Defina G(x,y)=(f(x)-f(y))/(x-y) uma funcao de 2 variaveis em
IxI da seguinte forma:
Se xy, nao ha problema.
Se x=y, G(x,x)=f'(x).
Eh claro que G eh continua, porque f eh derivavel, G(x,x)=f'(x) e
G(x,y)=G(y,x).
Vamos supor que {min f' em I} f'(z) {max f' em I}.
Nesse caso existe (x0,y0) e (x1,y1) tais que:
1) G(x0,y0)f'(z)G(x1,y1).
2) x0y0 e x1y1.
Una agora os pontos (x0,y0) e (x1,y1) por uma reta. Como essa reta
nao
cruza a diagonal, pelo teorema do valor intermediario segue o que
voce
quer. O ponto crucial eh garantir que a reta nao cruza a diagonal.
Abraco,
Salvador
Há algum engano aí , Salvador. Considere como contra exemplo f(x) = x^3
no ponto 0. Verificamos facilmente que a condição procurada jamais é
atendida. Certo?
Um abraço
Artur
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[obm-l] Probleminha bonito
Imagine 2 cidades, A e B, tais que existem 2 caminhos ligando elas. Joao e Maria saem da cidade A, cada um por um caminho, com um barbante de comprimento 2 com uma extremidade amarrada no pulso de cada um deles. E eles conseguem chegar ate a cidade B, sem quebrar o barbante. Sejam agora 2 carrocas que podem ser representadas por cilindros verticais de raio 1, uma em A e a outra em B. Eh possivel que a primeira carroca va de A pra B, a segunda de B pra A, cada uma por uma estrada, sem se chocarem? Esse probleminha esta na 1 pagina do livro do Arnold de equacoes diferenciais. Mas obviamente, a sua solucao eh elementar. Abraco, Salvador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável
Caro Claudio, Observe a minha mensagem. Basta que a derivada de f em z nao seja nem maximo, nem minimo da derivada de f em I para que o que voce quer valha. x^3 tem derivada 3x^2, cujo minimo global eh no zero, assim qualquer intervalo que contenha o zero nao pode ter essa propriedade. Abraco, Salvador On Fri, 7 Feb 2003, Cláudio (Prática) wrote: Sim. Até agora só fiz metade de cada um. Também gostei do seu exemplo de f(x) = raiz(x) em [0,1]. Continue mandando... Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 06, 2003 11:20 PM Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm- [EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Cláudio (Prática) Sent: Wednesday, February 05, 2003 12:40 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável Caro Artur: Tentando resolver os seus problemas (especificamente, com as voltas dos se e somente se) eu me deparei com uma dúvida: Tome uma função f, diferenciável num intervalo aberto I. É verdade que dado qualquer z em I, existem x e y em I tais que: f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y) ? Este seria uma espécie de recíproco do teorema do valor médio. Não, não é verdade. Considere, por exemplo, f dada por f(x) = x^3, no ponto z=0 . É fácil verificar que se y0x, então f(x)-f(y)]/(x-y)0 e jamais se iguala a f'(0)=0. Observe que, para termos uma recíproca do teorema do valor médio, deveríamos ter z entre x e y. PS. Vc achou interessantes os problemas que eu propus? Abraços Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia
Um jeito de analisar esses problemas eh o seguinte: tire o log(2^x*3^y)=xlog(2)+ylog(3). Ai, da irracionalidade de log(2) e log(3), segue que log((2^a*3^b)/(2^c*2^d))=(a-c)log(2)+(b-c)log(3), pode ser feita tao pequena quanto voce quiser, assim a razao dos 2 numeros fica tao proxima de 1 quanto voce quiser... Abraco, Salvador On Fri, 7 Feb 2003, Cláudio (Prática) wrote: Caro Ricardo: Não entendi direito o que você quis dizer. Por acaso seria: suponha que os números da forma 2^x * 3^y são colocados em ordem crescente. Então existem termos consecutivos - digamos 2^a * 3^b e 2^c * 3^d - tais que um dos números | a - c | ou | b - d | é tão grande quanto se queira? Também o que é OMR (imagino que seja olimpíada de matemática de R)? Um abraço, Claudio. - Original Message - From: RICARDO CHAVES To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 06, 2003 1:45 PM Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia Cara de boa,isto e dificil...Um problema da OMR pedia pra provar que o troço tinha termos cada vez mais longe entre si.E nao tive nenhum lampejo de ideias. From: Cláudio \(Prática\) Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia Date: Wed, 5 Feb 2003 18:30:35 -0200 Caro Matteus: Infelizmente tenho que admitir que o algoritmo abaixo está furado. Ele produz uma sequência crescente de números da forma desejada, mas não todos eles - de fato, ele produz a sequência 1, 2, 4, 8, 16,. Eu pensei um pouco mais sobre o problema e cheguei à conclusão de que é bem mais difícil do que eu imaginava. Por exemplo, com o caso mais simples - nos. da forma 2^a * 3^b, a sequência será: N 1 2 3 4 6 8 9 12 16 18 24 27 32 36 48 54 64 72 a 0 1 0 2 1 3 0 2 4 1 3 0 5 2 4 1 6 3 b 0 0 1 0 1 0 2 1 0 2 1 3 0 2 1 3 0 2 Repare que a sequência de pares (a,b) que produzem todos os N em ordem crescente não parece obedecer nenhuma lei de formação óbvia. Por enquanto, só o que dá pra sugerir é um algoritmo extremamente ineficiente que toma cada número natural, remove os fatores 2, 3 e 5 e, se estes forem os únicos fatores, adiciona este número à sequência. Em seguida toma o número natural seguinte, e assim por diante. Problema interessante. Vou pensar mais um pouco. Um abraço, Claudio - Original Message - From: Cláudio (Prática) To: Sent: Tuesday, February 04, 2003 8:37 AM Subject: Re: [obm-l] k-esimo numero da sequencia Caro Matteus: O algoritmo abaixo cria uma sequência X tal que X(1) = 1 ( = 2^0 * 3^0 * 5^0 ) e X(N) = N-ésimo inteiro positivo da forma 2^a * 3^b * 5^c. A ordenação é a usual (m n == X(m) X(n) ) Input N a = 0 b = 0 c = 0 K = 1 (***) X(K) = 1 P = 2^(a+1) * 3^b * 5^c Flag = 1 Se P 2^a * 3^(b+1) * 5^c então ( P = 2^a * 3^(b+1) * 5^c e Flag = 2 ) Se P 2^a * 3^b * 5^(c+1) então ( P = 2^a * 3^b * 5^(c+1) e Flag = 3 ) Se Flag = 1 então a = a+1 Se Flag = 2 então b = b+1 Se Flag = 3 então c = c+1 K = K+1 Se K = N então Retorna para (***) Fim Espero que isso ajude. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: matteus barreto To: Sent: Monday, February 03, 2003 6:04 PM Subject: [obm-l] k-esimo numero da sequencia Sera que alguem poderia me sugerir, se nao uma forma fechada, um passo a passo (um algoritmo) para se encontrar o k-esimo numero da sequencia: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15..., ou seja, os números da forma (2^a)*(3^b)*(5^c), com a, b, c pertencentes ao conjunto dos inteiros nao negativos. Ja pensei bastante a respeito mas sem resultados mais concludentes. ___ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador
[obm-l] Re: [obm-l] Máximos_e_Mínimos_SEM_DERIVADAS
Pode ser assim tambem: E=5x+16/x+21 = 2*sqrt(80)+21, usando a desigualdade das medias. On Wed, 5 Feb 2003, Helder Suzuki wrote: --- Thyago Alexandre Kufner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá colegas da lista Recebi o seguinte exercício de um aluno: Sendo x um nº positivo determine o menor valor de E= 5x + 16/x + 21 Normal, um exercício simples. Deriva, iguala a zero ... Mas o que quero propor para a lista é o seguinte: tem como chegar ao resultado SEM UTILIZAR CÁLCULO? Proponho esta discussão por causa do seguinte artigo: http://mathcircle.berkeley.edu/BMC4/Handouts/MaxMin.pdf Aguardo resposta Atenciosamente Prof. Thyago WebMaster cursinho.hpg.com.br vejamos y = 5x + 16/x + 21 multiplicando tudo por x, temos que xy = 5x^2 + 21x + 16 = 5x^2 + (21-y)x + 16 = 0 Como X é real, o delta não pode ser menor que zero. portanto: Delta = (y-21)^2 - 16*5 = 0 y^2 - 42y + 441 - 16*4 = 0 y^2 - 42y + 347 = 0 se voce resolver essa inequação vc encontrará os intervalos em que não há raiz de números negativos: os invevalos em que y existe. (você vai encontrar algo como y = ... e y = ..., daí fica fácil ver o máximo e mínimo locais) ___ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável
Oi Claudio,
Seja I=[a,b] e z em I.
Defina G(x,y)=(f(x)-f(y))/(x-y) uma funcao de 2 variaveis em
IxI da seguinte forma:
Se xy, nao ha problema.
Se x=y, G(x,x)=f'(x).
Eh claro que G eh continua, porque f eh derivavel, G(x,x)=f'(x) e
G(x,y)=G(y,x).
Vamos supor que {min f' em I} f'(z) {max f' em I}.
Nesse caso existe (x0,y0) e (x1,y1) tais que:
1) G(x0,y0)f'(z)G(x1,y1).
2) x0y0 e x1y1.
Una agora os pontos (x0,y0) e (x1,y1) por uma reta. Como essa reta nao
cruza a diagonal, pelo teorema do valor intermediario segue o que voce
quer. O ponto crucial eh garantir que a reta nao cruza a diagonal.
Abraco,
Salvador
On Wed, 5 Feb 2003, Cláudio (Prática) wrote:
Caro Artur:
Tentando resolver os seus problemas (especificamente, com as voltas dos se
e somente se) eu me deparei com uma dúvida:
Tome uma função f, diferenciável num intervalo aberto I.
É verdade que dado qualquer z em I, existem x e y em I tais que:
f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y) ?
Este seria uma espécie de recíproco do teorema do valor médio.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, February 05, 2003 6:09 AM
Subject: [obm-l] Função uniformemente diferenciável
Aos amigos que curtem Análise Real proponho o seguinte problema, que
acho bastante interessante. Antes, porém, lembro o conceito não muito
difundido de função uniformemente diferenciável. Dizemos que f é
uniformemente diferenciável em um intervalo I se, dado qualquer eps0,
existir d0 tal que, se x e y estiverem em I e se 0 |x-y| d, então
|[f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x)| eps. Observamos aqui a similaridade com
continuidade uniforme. O delta depende apenas do eps, vale dizer, um
mesmo delta é bom para todos os elementos do intervalo.
Mostre que f uniformemnte diferenciável em um intervalo I se, e somente
se, f' for uniformemente contínua em I.
Ah, outra conclusão simples mas interessante. Mostre que se f for
diferenciável em I, então f' é limitada em I se, e somente se, f
satisfizer neste intervalo à condicão de Lipschitz. Lembro que f
satisfaz à condicão de Lipschitz em I se existir uma constante K0 tal
que |f(x) - f(y)| = K |x-y| para todos x e y em I.
Ah, para terminar, espero não estar sendo chato... É imediato que se f
satisfizer à condicão de Lipschitz em I então f é uniformemente contínua
em I. Basta fazer delta = eps/K. Mas a recíproca não é verdadeira. Um
contra exemplo interessante é f(x) = raiz(x) em [0, 1].
Abraços.
Artur
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Re: [obm-l] O armario e o corredor
Oi Paulo, Encontrei esse problema num livrinho chamado Unsolved Problems in Geometry, ou coisa parecida. Eh da editora Springer. O livro e bem legal, tem um colecao enorme de problemas intuitivos, todos MUITO dificeis. Faz bastante tempo que li, mas pelo que me lembro, o Conway provou que esse maximo existe, mas o valor exato nao e conhecido. Ele deu tambem estimativas e sugeriu formas para este objeto (formas parecidas com alteres, coisa razoavelmente natural). Imagino que os metodos sejam variacionais, mas nao vi nada sobre esse problema. Se voce morar em Sao Paulo, na biblioteca do IMEUSP, voce encontrara esse livro. Em cada problema, sao citadas referencias com resultados parciais. Boa sorte, Salvador On Fri, 31 Jan 2003, Paulo Santa Rita wrote: Hi Salvador e demais colegas desta lista ... OBM-L, Gostei do problema. Voce pode falar mais um pouco sobre ele ? Se eu resolve-lo ou conseguir algum progresso significativo mostro ao Conway e publico aqui nesta lista. Desde agradeco. Um abraco Paulo Santa Rita 6,1043,310103 From: Salvador Addas Zanata [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] O armario e o corredor Date: Thu, 30 Jan 2003 22:45:50 -0200 (EDT) Caros amigos, Um problema pelo que eu sei, em aberto, relacionado a esse consiste no seguinte: Dado um corredor com 1 metro de largura, que faz uma curva de 90 graus e continua com a mesma largura, qual e a maior area possivel que pode fazer essa curva? Observe que o formato dessa area pode ser qualquer, e obviamente ela e suposta rigida. E claro que o maior segmento que essa area contem e limitado, mas isso nao ajuda muito. O John Conway fez algumas coisas parciais sobre isso. Abraco, Salvador On Thu, 30 Jan 2003, Paulo Santa Rita wrote: Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Resposta correta ! Com sinceridade alertei que o problema, nao obstante simples, tinha uma solucao surpreendente ! Em verdade esse problema me foi sugerido em uma mudanca la em casa, quando eu ainda era menino : meu pai e tios tentavam arrastar um grande armario atraves de um corredor em forma de L, quando entao os sucessivos fracassos os levaram a suspeitar que era impossivel, sem saberem justificar. Provando ( Garantindo ! Ele nao conhecem Calculo. ) que era impossivel, eu os convenci a desmontarem o armario, previamente. So depois de muitos anos vim a saber que havia um problema de Calculo Diferencial muito parecido. Eu nao acompanhei todos os calculos que voce efetuou, mas a ideia contida no fragmento abaixo esta correta e e o insight que mata a questao. Se eventualmente houver algum erro no algebrismos ( na burocracia ) e sem duvida apenas uma desatencao. Vou propor agora um problema que nao e facil. Para que ele possa ser digerido, vou coloca-lo na forma de sub-problemas : PROBLEMA : Seja Q um quadrado de lado unitario. Mostre que, qualquer que seja a forma como colocarmos no interio de Q dois outros quadrados de lados L1 e L2, se L1 + L2 1 entao estes dois outros quadrados terao ao menos um ponto em comum. Esse e um dos problemas do Paul Erdos. Ja foi proposto aqui nesta lista. A ideia e encontrar uma demonstracao rigorosa, analitica, que nao lance mao de intuicoes geometricas contestaveis. SUGESTAO : Podemos representar Q como a regiao do R^2 na qual as coordenas (X,Y) de qualquer ponto obedece as condicoes : 0 = X = 1 0 = Y = 1 Precisamos encontrar uma maneira de garantir que os quadrados de lados L1 e L2 estejam confinados em Q. Convencionemos, pois, que : 1) O quadrado de lado L1 (L2) tem vertices ABCD (EFGH) com o lado AD (EH) inclinado de ALF (BET) em relacao aos eixo das abscissas. 2) A (E) e o vertice de menor ordenada. Se dois vertices tiverem a mesma menor ordenada, A (E) sera o de menor abscissa 3) As coordenadas de um vertice serao indexadas pela letra do vertice que representam. Assim : A=(Xa,Ya), E=(Xe,Ye) Note que acima fizemos tao somente convencoes, vale dizer, essas notacoes nao impoe nenhuma restricao a generalidade que o problema requer, dado que serao adotadas apos o desenho dos quadrados. por outro lado, e claro que : 0 = ALF,BET pi/2. Isto posto, adotamos qualquer vertice como referencia e exprimimos os demais em funcao dele. Assim ( adotando A como origem ) : D-A=L1*(cos(ALF),sen(ALF)) C-A=L1*(cos(ALF)-sen(ALF),cos(ALF)+sen(ALF)) B-A=L1*(-sen(ALF),cos(ALF)) Substituindo os vertices por suas coordenadas, exprimindo todas em funcao das coordenadas do vertice A e lembrando que estes vertices devem estar na regiao Q, isto e, entre 0 e 1, a intersecao das inequecoes resultantes fornecera : L1*sen(ALF) = Xa = 1 - L1*cos(ALF) 0 = Ya = 1 - L1*(sen(ALF) + cos(ALF)) Estas sao
Re: [obm-l] O armario e o corredor
Caros amigos, Um problema pelo que eu sei, em aberto, relacionado a esse consiste no seguinte: Dado um corredor com 1 metro de largura, que faz uma curva de 90 graus e continua com a mesma largura, qual e a maior area possivel que pode fazer essa curva? Observe que o formato dessa area pode ser qualquer, e obviamente ela e suposta rigida. E claro que o maior segmento que essa area contem e limitado, mas isso nao ajuda muito. O John Conway fez algumas coisas parciais sobre isso. Abraco, Salvador On Thu, 30 Jan 2003, Paulo Santa Rita wrote: Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Resposta correta ! Com sinceridade alertei que o problema, nao obstante simples, tinha uma solucao surpreendente ! Em verdade esse problema me foi sugerido em uma mudanca la em casa, quando eu ainda era menino : meu pai e tios tentavam arrastar um grande armario atraves de um corredor em forma de L, quando entao os sucessivos fracassos os levaram a suspeitar que era impossivel, sem saberem justificar. Provando ( Garantindo ! Ele nao conhecem Calculo. ) que era impossivel, eu os convenci a desmontarem o armario, previamente. So depois de muitos anos vim a saber que havia um problema de Calculo Diferencial muito parecido. Eu nao acompanhei todos os calculos que voce efetuou, mas a ideia contida no fragmento abaixo esta correta e e o insight que mata a questao. Se eventualmente houver algum erro no algebrismos ( na burocracia ) e sem duvida apenas uma desatencao. Vou propor agora um problema que nao e facil. Para que ele possa ser digerido, vou coloca-lo na forma de sub-problemas : PROBLEMA : Seja Q um quadrado de lado unitario. Mostre que, qualquer que seja a forma como colocarmos no interio de Q dois outros quadrados de lados L1 e L2, se L1 + L2 1 entao estes dois outros quadrados terao ao menos um ponto em comum. Esse e um dos problemas do Paul Erdos. Ja foi proposto aqui nesta lista. A ideia e encontrar uma demonstracao rigorosa, analitica, que nao lance mao de intuicoes geometricas contestaveis. SUGESTAO : Podemos representar Q como a regiao do R^2 na qual as coordenas (X,Y) de qualquer ponto obedece as condicoes : 0 = X = 1 0 = Y = 1 Precisamos encontrar uma maneira de garantir que os quadrados de lados L1 e L2 estejam confinados em Q. Convencionemos, pois, que : 1) O quadrado de lado L1 (L2) tem vertices ABCD (EFGH) com o lado AD (EH) inclinado de ALF (BET) em relacao aos eixo das abscissas. 2) A (E) e o vertice de menor ordenada. Se dois vertices tiverem a mesma menor ordenada, A (E) sera o de menor abscissa 3) As coordenadas de um vertice serao indexadas pela letra do vertice que representam. Assim : A=(Xa,Ya), E=(Xe,Ye) Note que acima fizemos tao somente convencoes, vale dizer, essas notacoes nao impoe nenhuma restricao a generalidade que o problema requer, dado que serao adotadas apos o desenho dos quadrados. por outro lado, e claro que : 0 = ALF,BET pi/2. Isto posto, adotamos qualquer vertice como referencia e exprimimos os demais em funcao dele. Assim ( adotando A como origem ) : D-A=L1*(cos(ALF),sen(ALF)) C-A=L1*(cos(ALF)-sen(ALF),cos(ALF)+sen(ALF)) B-A=L1*(-sen(ALF),cos(ALF)) Substituindo os vertices por suas coordenadas, exprimindo todas em funcao das coordenadas do vertice A e lembrando que estes vertices devem estar na regiao Q, isto e, entre 0 e 1, a intersecao das inequecoes resultantes fornecera : L1*sen(ALF) = Xa = 1 - L1*cos(ALF) 0 = Ya = 1 - L1*(sen(ALF) + cos(ALF)) Estas sao as CONDICOES DE CONFINAMENTO, vale dizer, qualquer que seja L1 e qualquer que seja L1, as coordenadas do vertice A devem satisfazer as condicoes acima para que o quadrado ABCD esteja contido na regiao Q. Claramente que uma relacao analogo vale para o quadrado EFGH, isto e : L2*sen(BET) = Xe = 1 - L2*cos(BET) 0 = Ye = 1 - L2*(sen(BET) + cos(BET)) Bom, agora nos temos quase tudo para dar uma solucao elegante ao problema do Erdos. Vamos mostrar que L1+L2 1 e contaditorio com as condicoes de confinamento. PRIMEIRO SUB-PROBLEMA : Prove que existe um intervalo fechado [m,n], [m,n] contido em [0,1], tal que qualquer reta vertical X=K que passa por [m,n] passa tambem no interior dos dois quadrados. SUGESTAO : Observe que provar a afirmacao acima e o mesmo que dizer que os quadrados tem pontos com a mesma abscissa. Para provar isso suponha que Xa e diferente de Xe ( Se Xa = Xe, X=Xa e uma reta que atende as condicoes e a demonstracao esta conluida ). Sem perda de generalidade suponha Xa Xe. Calcule a abscissa do ponto de maior abscissa de ABCD e a abscissa do ponto de menor abscissa de EFGH. Monte dois intervalos : [Xa, maior abscissa], [menor abscissa, Xe]. Prove que se L1+L2 1 os intervalos nao podem ser disjuntos. O segundo sub-problema e tomar todas as retas que passam pela regiao de mesmas abscissas e mostrar que alguma(s) passa(m) SIMULTANEAMENTE no
Re: [obm-l] Re:
Como eu falei num e-mail anterior, se fosse p(p(x))=x, nao zero, ai o
problema e possivel. Nesse caso, so se usa a continuidade da funcao (caso
particular do teorema de Scharkowsky)
Abraco,
Salvador
On Sat, 21 Dec 2002, A. C. Morgado wrote:
Vou tentar encerrar a discussao. Tome p(x) = x^2 + 4x + 3. A equaçao
p(x) = x reduz-se a x^2 + 3x + 3 = 0 ue nao tem raiz real pois seu
discriminante eh negativo (-3). Como p(-2) = -1, p(p(-2)) = p(-1) = 0,
NAO EH VERDADE que p(p(x))=0 nao possua raiz real, pois -2 eh raiz da
referida equaçao. Assim como esse, ha muitos contraexemplos que podem
ser dados (vejam mensagem de Salvador Addas Zanata).
Peço desculpas a todos pelo contraexemplo que mandei em mensagens
anteriores, pois ele estah errado.
Morgado
Eder wrote:
Esse problema foi retirado do site do John Scholes e o enunciado é:
Define p(x)=ax²+bx+c.If p(x)=x has no real roots,prove that p(p(x))=0
has no real roots.
- Original Message -
From: A. C. Morgado mailto:[EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, December 20, 2002 5:12 PM
Subject: Re: [obm-l] Re:
Wagner wrote:
Oi pessoal !
2)Vou supor que a,b,c,x sejam números reais e que a é diferente
de zero.
Prove que se p(x)=x não tem nenhuma raiz real, então o módulo da
ordenada do máximo ou do mínimo de f(x)=p(p(x)) é maior que o
módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de g(x)=p(x) -x e
depois prove que o sinal da derivada de segunda ordem de
f(x)=p(p(x)) e de g(x)=p(x) -x é o mesmo, assim se a segunda
função não tem raiz real a primeira também não tem.
Prova: Primeiro vou provar a segunda hipótese: g '' (x) =2a ;
f(x)= a(ax^2 +bx +c)^2 +b(ax^2 +bx +c) +c =
f ' (x) =2a(ax^2 +bx +c)(2ax +b) +b(2ax +b) = f '' (x)
=4(a^2)(ax^2 +bx +c) +2a(2ax +b)^2 +2ab.
Se a segunda hipótese é verdadeira então f '' (x)/g '' (x) 0
= 2a(ax^2 +bx +c) +(2ax +b)^2 +b 0 =
2(a^2)(x^2) +2abx +2ac + 4(a^2)(x^2) +4abx +b^2 +b 0 = h(x) =
6(a^2)(x^2) +6abx +b^2 +2ac +b 0.
Como o coeficiente dominante de h(x) é positivo, devemos apenas
provar que h(x) não possui raízes reais.
Se h(x) não possui raízes reais então : 36(a^2)(b^2)
-24{(a^2)(b^2) + 2(a^3)c + (a^2)b} 0 =
12(a^2)(b^2) -48(a^3)c -24(a^2)b 0 = 12b^2 -48ac -24b 0 =
b^2 -4ac -2b 0 = b^2-4ac 2b ( 1 )
Para provar ( 1 ) vou fazer algumas considerações:
Devemos ter que p(x)=x não tem raízes reais. Logo (b-1)^2 -4ac
0 = b^2 -2b +1 -4ac 0 = b^2 -4ac 2b -1,
logo ( 1 ) é verdadeira se p(x) = x não possui raízes reais CQD.
Devemos provar agora a primeira hipótese. g ' (x) = 0 = 2ax +b-1
=0 = x = (1-b)/2a = g ((1-b)/2a) =((b^2-2b+1)/4a) +(-b^2/2a) +c =
=c +(-b^2-2b+1)/4a = (4ac -b^2-2b+1)/4a =
módulo da ordenada de máximo ou mínimo de g (x) é |
{-(b^2+2b-1-4ac)/(4a)} | = y
f ' (x) = 2a(ax^2 +bx +c)(2ax+b) +b(2ax +b) = f ' (x) = (2ax
+b)(2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) ; f ' (x) =0 =
(2ax +b) =0 ou (2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) =0.
O primeiro caso implica em: x= -b/2a
O segundo caso implica em: delta= 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c + 2(a^2)b).
Vamos provar que delta 0 : 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c +2(a^2)b)
0 = b^2 -4ac -2b 0 = b^2-4ac 2b ( 1 ).
Como ( 1 ) já foi provado, então ficamos só com o caso x= -b/2a =
f(-b/2a) = a((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)^2 +b((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)
+c = a(c -(b^2/4a))^2 +b(c -(b^2/4a)) +c =
=a{c^2 -c(b^2)/2a +(b^4/16a^2)}+b(c -(b^2/4a)) +c = a(c^2)
-c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c =
módulo da ordenada de máximo ou mínimo de f (x) é | {a(c^2)
-c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c} | = z.
Como a segunda hipótese é verdadeira então se g(x) tem máximo
definido f(x) também tem, e se g(x)
tem mínimo definido f(x) também tem. Temos que se p(x) =x não tem
raiz real f '(x) e g'(x) só tem uma
raiz real, note que se a 0, g(x) tem mínimo e se a 0, g(x)
tem máximo. Logo para provar a primeira hipótese, temos
que considerar 2 casos : a 0 e a 0.
Suponha que a primeira hipótese seja falsa:
a 0 = y z e y,z 0 = g((1-b)/2a) f(-b/2a) = -b^2/4a
-b/2a +1/4a +c a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c =
-4b^2 -8b +4 16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4 +16bc -4b^3 =
16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4 +16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4 =h(a) 0
Considere ( 2 ) uma função do 2º grau de variável a. Temos a 0,
logo:
64(b^4)(c^2) -64(b^4)(c^2) -64(c^2)(16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4) 0
= 16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4 0 ( 3 ).
De ( 2 ) vem que: (b^2 -4ac)^2 -(16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4) 0 .
Absurdo !
Para o caso a 0 = y z, temos um raciocínio
Re: [obm-l] Re:
2) Do jeito que esta, eh facil ver que eh impossivel, e so fazer uma figura esperta. Raizes negativas, mas pequenas, concavidade para cima e minimo grande (eh claro que o minimo nao pode ser muito grande, senao a parabola cruza com a identidade). Acho que o enunciado correto seria p(p(x))=x. Ai fica facil: Suponha que existe x tal que p(p(x))=x. Seja y=p(x). Entao eh claro que p(x)=y e p(y)=x. Seja I o intervalo I=[x,y]. Pela escolha do x e do y, p(I) contem (ou eh igual a) I. Logo por continuidade, p tem ponto fixo, absurdo. Na verdade, isso eh um caso muitissimo particular do teorema de Scharkowsky, que da uma serie de implicacoes nos periodos de pontos periodicos de funcoes continuas. Abraco, Salvador On Thu, 19 Dec 2002, A. C. Morgado wrote: 2) Tenho a impressao de que isso eh falso. Experimentei p(x) = x^2 +3x+2 e a equaçao p(p(x))=0 parece ter (se nao errei contas) uma raiz real entre -1 e 0. Eder wrote: Gostaria da ajuda de vcs nestes problemas russos: 1)Um triângulo tem área 1 e lados a = b = c.Prove que b² = 2. 2)Defina p(x)=ax²+bx+c.Se p(x)=x não tem nenhuma raiz real, prove que p(p(x)) = 0 também não tem nenhuma raiz real. Grato pela ajuda. Eder = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Existência e Unicidade
Nao tenho certeza absoluta (ja faz um tempo que vi isso), mas existe uma condicao um pouco mais fraca que Lipschitz que garante a unicidade, conhecida como criterio de Osgood: x'=f(x,t) x(t0)=x0 tem solucao unica se |f(x1,t)-f(x2,t)|=G(|x1-x2|), onde G e uma funcao definida dos reais positivos nos reais positivos e satisfaz integral de 1/G(s) de 0 ate 1 = +oo (mais infinito) Na verdade me parece que essa condicao e necessaria e suficiente. Um excelente livro sobre o assunto e o de P. Hartman, Ordinary Differential equations. Mas nao e um livro pra ler gostoso, acho que e mais pra consultas... Abraco, Salvador On Thu, 28 Nov 2002, Nicolau C. Saldanha wrote: On Thu, Nov 28, 2002 at 11:07:49AM -0300, bruno lima wrote: Nao vou ser formal ! Sendox' =f(x) um campo vetorial no R^n. Se f(x) é uma aplicação de Lipschitz, ie, D( f(x),f(y) )=KD(x-y) pra todos x,y no R^n .D é a distancia entao dado qualquer ponto do R^n existe uma única solução que num certo instante passa por esse ponto (Condição inicial ou Problema de Cauchy) Quero saber se a condição Lipschitz é necessária?? Me parece que não.. É necessária sim. Considere no caso n=1 a função f(x) = x^(1/3). Considere as soluções x0(t) = 0 e x1(t) = 0 para t = 0 x1(t) = (sqrt(6)/3) t^(3/2) para t 0 E se eu trocar aplicação de Lipschitz por aplicação de Holder?? Isso é necessário?? O exemplo acima é Hölder. Você pode trocar 1/3 no expoente por qq outro racional p/q com p e q ímpares, 0 p/q 1, e obter exemplos similares. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] ---- Questão IME
Eh verdade, foi mal. De A(A^2-kI)=0 so da pra tirar que ou det(A)=0, ou det(A^2-kI)=0. Mas me parece que eu nao precisava desse primeiro passo. Se A+I nao for inversivel, entao (A+I)x=0, para algum x nao nulo. E isto e equivalente a Ax=-x. Que implica A^3x=-A^2x=Ax=-x. Mas por outro lado, A^3x=kAx=-kx. Logo, x=kx, o que contradiz k1. Salvador On Tue, 19 Nov 2002, Augusto César Morgado wrote: Epa! A pode não ser identicamente nula e A^3 = kA e A^2 diferente de kI. Por exemplo, considere A 2x2 com primeira coluna 2 2e segunda coluna 0 0. A não é identicamente nula, A^3 = 4A e A^2 não é igual a 4I. Morgado Salvador Addas Zanata wrote: Se A^3=kA, entao se A nao for identicamente nula, A^2=kI. Suponha que (A+I) nao seja inversivel. Entao o sistema (A+I)x=0 tem uma solucao x nao-identicamente nula. Assim, Ax=-x = A^2x=-Ax=x Mas por outro lado, A^2x=kx, logo kx=x, absurdo pois x nao e identicamente nulo e k1. Abraco, Salvador On Tue, 19 Nov 2002, cfgauss77 wrote: Ficaria muito agradecido se alguém me ajudasse na qustão do IME abaixo. -- Considere uma matriz A, nxn, de coeficientes reais, e k um número real diferente de 1. Sabendo que A^3=kA, prove que a matriz A+I é invertível, onde I é a matriz identidade nxn. __ Venha para a VilaBOL! O melhor lugar para você construir seu site. Fácil e grátis! http://vila.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] ---- Questão IME
Se A^3=kA, entao se A nao for identicamente nula, A^2=kI. Suponha que (A+I) nao seja inversivel. Entao o sistema (A+I)x=0 tem uma solucao x nao-identicamente nula. Assim, Ax=-x = A^2x=-Ax=x Mas por outro lado, A^2x=kx, logo kx=x, absurdo pois x nao e identicamente nulo e k1. Abraco, Salvador On Tue, 19 Nov 2002, cfgauss77 wrote: Ficaria muito agradecido se alguém me ajudasse na qustão do IME abaixo. -- Considere uma matriz A, nxn, de coeficientes reais, e k um número real diferente de 1. Sabendo que A^3=kA, prove que a matriz A+I é invertível, onde I é a matriz identidade nxn. __ Venha para a VilaBOL! O melhor lugar para você construir seu site. Fácil e grátis! http://vila.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Problema dos pontos e do circulo
Oi pessoal, Acho que o Eduardo Casagrande mandou um problema pra lista, mais ou menos assim: Dados dois pontos P e Q e um circulo C, achar o ponto X do circulo, tal que XP+XQ seja minimo. Com regua e compasso. E claro que podemos supor que PQ nao intersecta C, caso contrario X e qualquer ponto de interseccao. Por analitica, com um pouco de calculo sai. Primeiro, Coloque um sistema de coordenadas de forma que o centro do circulo seja a origem. Agora, escolha o eixo x de modo que ou P ou Q caia sobre ele. Isso so pra facilitar as contas. Ai e so escrever a expressao de XP+XQ, por exemplo como funcao de teta, angulo sobre o circulo. Dai derivando em rel. a teta, etc, voce consegue obter uma forma simples pra tan(teta), como funcao do raio do circulo e das coordenadas dos pontos. Ai e so tracar a radial correspondente a esse teta e obter X. Nao pensei muito, entao espero nao estar falando bobagem. Abraco, Salvador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Função Analítica
A definicao de analiticidade pra funcoes complexas implica no seguinte fato: Se uma funcao complexa f e analitica num ponto, entao o seu polinomio de taylor centrado nesse ponto converge para f numa bola suficientemente pequena, centrada nesse ponto. Esse fato se obtem por derivacoes da formula integral de Cauchy... Pra funcoes f de R^n em R, por exemplo, diz-se que uma tal e analitica (num ponto) se o seu polinomio de Taylor (centrado nesse ponto) converge para f (numa vizinhanca do ponto). Por exemplo, arctan(x) e analitica em x=0, apesar de que seu polinomio de Taylor: p(x)=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+x^9/9- so converge para |x|1. Por outro lado, f(x)=exp(-1/x^2), se x0 f(0)=0 E infinitamente diferenciavel no zero, se definirmos todas as derivadas no zero como sendo zero. (apesar das derivadas nao serem continuas no zero, o limite de todas f'(x)-0, para x-0). E claro que essa f nao e analitica, porque o seu polinomio de Taylor centrado no zero e identicamente nulo e a funcao f so se anula em x=0. Abraco, Salvador On Sat, 28 Sep 2002, Artur Costa Steiner wrote: Alguém poderia informar qual o verdadeiro significado do termo função analítica? Eu julgava que este termo só se aplicava a funções complexas e que significava uma função diferenciável em um subconjunto aberto do conjunto dos complexos. Mas já vi o termo ser aplicado a funções de R^n em R. Obrigado Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] ????????
Oi, Se valesse o que voce escreveu, entao 2^n == 6 mod 7. Como 2^3-1=7, dividindo n por 3 temos n=3m+r. 2^3 == 1 mod 7 = 2^n == 2^r mod 7, que e 6 para r=0,1,2. Abraco, Salvador On Thu, 13 Jun 2002, Eder wrote: Olá colegas de lista, Eu gostaria de ajuda no seguinte problema: Prove que não existe n natural tal que (2^n + 1) seja divisível por 7. Ah!Eu resolvi este outro utilizando congruências: Encontre todos os valores de n para os quais (2^n - 1)seja divisível por 7. Será que há outra maneira? São parecidos...Mas eu ainda não matei o último.Desde já,obrigado por qualquer comentário. Eder = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] t. dos nºs
O primeiro problema so pode ter solucao se p=4n+1. Para ver isso, observe que a deve ser par e b impar. Logo a^2+b^2 e da forma: 4c^2+4d^2+4c+1, que e da forma 4n+1. De fato todo primo da forma 4n+1 se escreve de um unico jeito como a soma de 2 quadrados. Tem um livro chamado 100 great elementary problems: Their history and solutions Heinrich Dorrie, que tem essa prova e muitas outras bacanas. Alias esse livro apresenta as melhores provas de cada problema. E da Dover e nao e dificil de achar. Abraco, Salvador On Tue, 11 Jun 2002, Adherbal Rocha Filho wrote: ajuda: Mostrar q se o primo p é tal q p==3(mod4), então a equação p^2= a^2 +b^2 possui solução inteira mostre q todo quadrado perfeito pode ser representado como soma dos quadrados de racionais ,naum inteiros, r e s. valeu! _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] t. dos nºs
Foi mal, nao vi que p ia ao quadrado... Desculpem, Salvador On Tue, 11 Jun 2002 [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Salvador, Vc confundiu o problema. A equação é p^2= a^2 = b^2 e não p= a^2 = b^2 De fato, no livro Introdução à Teoria dos Números, capítulo 7, existe um teorema que diz que um inteiro n é representado como soma de dois quadrados se e somente se os expoentes dos primos congruentes a 3 mod 4 que dividem n são pares. Logo, p^2 pode ser representado dessa forma Ateh mais -- Mensagem original -- O primeiro problema so pode ter solucao se p=4n+1. Para ver isso, observe que a deve ser par e b impar. Logo a^2+b^2 e da forma: 4c^2+4d^2+4c+1, que e da forma 4n+1. De fato todo primo da forma 4n+1 se escreve de um unico jeito como a soma de 2 quadrados. Tem um livro chamado 100 great elementary problems: Their history and solutions Heinrich Dorrie, que tem essa prova e muitas outras bacanas. Alias esse livro apresenta as melhores provas de cada problema. E da Dover e nao e dificil de achar. Abraco, Salvador On Tue, 11 Jun 2002, Adherbal Rocha Filho wrote: ajuda: Mostrar q se o primo p é tal q p==3(mod4), então a equação p^2= a^2 +b^2 possui solução inteira mostre q todo quadrado perfeito pode ser representado como soma dos quadrados de racionais ,naum inteiros, r e s. valeu! _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = []'s, Yuri ICQ: 64992515 -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] desigualdades e cone sul
Acho que um outro jeito e: x^2+(x^2+y^2)/2+y^2 = x^2+xy+y^23, pela desigualdade das medias. Ai da: x^2+y^22. Agora e so observar que x=y ou y=x. No primeiro caso, x^2+xy=x^2+y^22, o outro caso e igual. Abraco, Salvador On Fri, 31 May 2002, Lucelindo D. Ferreira wrote: Olá Fê! Td legal! Eu fiz mas acho q ñ concebi muito bem a solução. Eu fiz + - a terceira: Seja (x^2 + xy) + (y^2 + xy) = S Agora considere o conjunto dos máximos dos pares q satisfazem a eq acima.O valor mínimo desse conjunto deverá satisfazer x^2 + xy = y^2 + xy .: x = y Da desigualdade dada: x^2 + xx + x^2 3.: x 1. Se x 1 x^2 + xy 2 e y^2 + xy 2.: Todos os outros pares tem pelo menos um elemento maior q 2(máx). É mais ou menos isso aí. Ficou claro pra vc? Um abraço! - Original Message - From: Fernanda Medeiros [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, May 28, 2002 12:44 AM Subject: [obm-l] desigualdades e cone sul Olá pessoal,gostaria de um help nessas questões: 1.Seja n um nº natural ,n3. Demonstrar que entre os multiplos de 9 menores q 10^n há mais nºs com a soma de seus digitos igual a 9(n-2) que nºs com a soma de seus digitos igual a 9(n-1) 2.Sejam a,b e c os comprimentos dos lados de um triangulo.Mostre que a função f(x)=b^2x^2 +(b^2 +c^2 -a^2)x +c^2 é positiva ,pra todo real x. (ps. essa eu fiz assim,pra f(x)ser 0 devemos ter delta0 dae fica [(b^2+c^2-a^2)^2 - (2bc)^2] fatorando agumas vezes chegamos a [(b+c-a)(b+c+a)][(b-(c+a))(b-c+a)] daí por desigualdade triangular,vemos q esse produto é 0 ... tá certo?) 3.Sejam x,y reais positivos satisfazendo x^2+xy+y^23 .Prove q pelo menos um dos nºs x^2 +xy e y^2 +xy é maior que 2. Obrigada!! []´s Fê _ O MSN Photos é o modo mais fácil de compartilhar e imprimir suas fotos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: Sob que condiçoes uma deformacao preserva medidas
Caros Nicolau e demais membros, Faz um certo tempo o Nicolau mandou um e-mail que tinha o paragrafo abaixo. Ocorre que eu li isso em uma superinteressante quando estava na escola e ate hoje tenho isso na cabeca, nao sabia se tinha sonhado, ou se era besteira, etc. Se alguem souber qual e a refererencia onde isso foi provado, ou pelo menos quem provou, ia me ajudar muito. Pelo que eu me lembro, na revista falava-se algo em torno de 2^50 pedacos... Abraco a todos, Salvador On Sun, 4 Feb 2001, Nicolau C. Saldanha wrote: Aliás um grande problema da matemática do século XX foi o da quadratura do círculo: não aquele proposto pelos gregos e cuja demostração foi concluída com a prova da transcendência de pi. O problema século XX da quadratura do círculo é: será possível decompor um círculo de área 1 em um número finito de peças e rearrumá-las para formar um quadrado de área 1? A resposta é que sim, é possível. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] ..........
Para o 1), tente fazer pro decagono, pegue um dos triangulos isoceles de angulo 36,72,72 tome a bissetriz de um dos angulos de 72 e observe relacoes de semelhanca. Ai, observe que dado o lado de um poligono de n lados, uma conta padrao permite obter o lado do poligono de 2n lados. Ai e so resolver isso as avessas. Existem jeitos mais bonitos de resolver esse prob., mas acho que isso funciona. Abraco, Salvador On Sat, 11 May 2002, rafaelc.l wrote: 1) Considere um pentágono regular de lado L inscrito numa circunferência de raio R. Existe alguma maneira de se obter o valor de L em função de R sem usar a tebela dos arcos? 2)(IME-2001) Resolva a equação [5-(5-x)^1/2]^1/2=x sendo x0. Obrigado __ Quer ter seu próprio endereço na Internet? Garanta já o seu e ainda ganhe cinco e-mails personalizados. DomíniosBOL - http://dominios.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Análise
Se f e derivavel em (a,b), entao vale o seguinte teorema, conhecido como do valor medio: Dado x,y em (a,b), com xy, entao existe z em (x,y), tal que : f(x)-f(y)=f'(z)(x-y) Aplicando isso ao seu problema, dado x em (a,b], entao existe z=z(x), tal que: f(x)-f(a)=f'(z)(x-a), com z em (a,x) Entao f'(z)=g(x). Agora, se o que voce queria mesmo era ver uma demonstracao do teorema do valor medio, e so olhar qualquer livro de calculo 1. Uma ideia besta e a seguinte: Primeiro voce pode provar que se f(a)=f(b), entao existe c em (a,b) com f'(c)=0, se f e derivavel. O teorema geral sai a partir desse com um truquinho besta. Pra provar esse, observe que em [a,b], f tem maximo e minimo, pelo teorema de Weierstrass. Se f' nao se anula, entao o maximo e minimo sao os pontos do bordo (aqui esta o ponto onde eu troco 6 por meia duzia), mas como f(a)=f(b), entao a funcao e constante. Isso e so uma ideia infame, mas a prova tem em qualquer livro. Abraco, Salvador On Sat, 15 Dec 2001, Hamilton Rodrigues wrote: Alguém pode me ajudar com esta? Seja uma função f, derivável no intervalo (a,b). Definimos uma nova função g(x)=[f(x)-f(a)]/(x-a) , xa, g(a)=f ´(a). Demonstrar que f ´ toma qualquer valor compreendido entre f ´(a) e g(b) no intervalo (a,b). = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re:
Se x^2=2^x, entao a raiz negativa desta eq. satisfaz x=-(2^x)^0.5... A partir dai, def xn+1=-(2^xn)^0.5, com x0=-1 (a escolha do x0 deve ser cautelosa...), obtemos a convergencia, que tem que ser pra sol negativa de x^2=2^x por def, pois o limite da xn satisfaz x=-(2^x)^0.5, por continuidade. da exponencial. Abraco, Salvador On Sun, 21 Apr 2002, Marcos Aurélio Almeida da Silva wrote: como se chega a esta seqüência ?? - Original Message - From: Augusto César Morgado [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, April 20, 2002 5:34 AM Subject: Re: [obm-l] Re: A terceira raix vale aproximadamente -0,766 664 696 e pode ser obtida como o limite da sequencia definida por f(0) = -1 e f(n+1) = - sqrt (2^f(n)). Fernanda Medeiros wrote: Já vi esta questão antes e são 3 soluções reais; 2 e 4 são fáceis de serem vistas, mas existe uma terceira...alguém consegue achar?? []´s Fê Essa eu já vi diversas similares mas até hoje não aprendi a fazer esse tipo de questão... Mas, se for te ajudar, x=2 é uma soluçào óbvia do equação. Olhando pelo gráfico de x^2 e 2^x (um tanto similar a da exp(x)), vemos que eles se cortam em apenas dois pontos. Resta agora achar o outro. Parêntesis Momento infame e infeliz daquele professor q não sabe responder: Pronto, já resolvi metade do prob com x=2 e indiquei o caminho para a segunda raiz. Agora o resto é com vc Fim do(s) parêntesis []'s Alexandre Tessarollo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ O MSN Photos é o modo mais fácil de compartilhar e imprimir suas fotos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Do You Yahoo!? Get your free @yahoo.com address at http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Equação diferencial
multiplique ambos os lados por x' e integre: Voce fica com 1/2x'^2 + a/x = c (conservacao da energia) Ai, isole x'=(2c-2a/x)^0.5 e integre: dx/(2c-2a/x)^0.5=dt Espero ter ajudado. Abraco, Salvador On Fri, 22 Feb 2002 [EMAIL PROTECTED] wrote: alguém poderia me ajudar a resolver a equação diferencial : x''=a/x^2 obrigado !! Mathematicus nascitur, non fit Matemáticos não são feitos, eles nascem -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: Exponenciais
A ideia e supor x fixo, a funcao e t^x, com x fixo. A derivada e em rel. a t. Ai da certo. 5^x-4^x, para x fixo e igual a x.t^x-1, para algum t entre 4 e 5, o mesmo pro outro caso. Abraco, Salvador On Tue, 16 Oct 2001, Jose Paulo Carneiro wrote: Sinto muito, mas nao entendi nada. Aproveito para lembrar que a derivada de 5^x nao eh x*5^(x-1), e sim 5^x * ln(5). JP - Original Message - From: Marcio [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, October 15, 2001 6:52 PM Subject: Re: Exponenciais Oi Luis! Essa eh interessante, e a solucao que eu vou escrever aqui eh do livro Mathematical Olympiad Problems: Considere a funcao f(t) = t^k (note que f ' (t) = kt^(k-1). ) A equacao eh: 5^x - 4^x = 3^x - 2^x Pelo teorema do valor medio, existe c em [4,5] tq 5^x - 4^x = f '(c) = x*c^(x-1). Idem para o lado direito (agora igual a um x*d^(x-1), d em [2,3]). Igualando, temos a primeira solucao x = 0, ou: c^(x-1) = d^(x-1) = (c/d)^(x-1) = 1 = x = 1 (c,d sao numeros distintos pois pertencem a intervalos distintos). Logo, as unicas solucoes sao x=0 e x=1. Abracos, Marcio PS: Fico devendo (na verdade esperando) uma solucao mais elementar.. - Original Message - From: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, October 15, 2001 5:42 PM Subject: Re: Exponenciais Sauda,c~oes, Oi Marcio, Faz esse pra gente. []'s Luís -Mensagem Original- De: Marcio [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Quinta-feira, 11 de Outubro de 2001 15:42 Assunto: Re: Exponenciais Ou ainda: 2^x + 5^x = 3^x + 4^x (essa eh um pouco mais complicada). - Original Message - From: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, October 11, 2001 1:35 PM Subject: Re: Exponenciais Sauda,c~oes, Não seria encontre x real tal que: 4^x+6^x=9^x ? Esse é mais fácil. []'s Luís
Re: ajuda
2^x-8^x=2^x(1-2^2x)=2^x(1-2^x)(1+2^x)=(-2^x)(-2^x+1)(-2^x-1), assim g(x)=-2^x. Deve ser isso. Abraco, Salvador On Wed, 9 May 2001 [EMAIL PROTECTED] wrote: Se f e g são funções reais de variáveis reais, definidas por: f(x) = x.(x+1)(x-1) (f o g)(x) = 2 ^ x - 8 ^ x Determinar a lei de formação da função g.
Re: Problema De Area
So com o valor dos lados nao e possivel calcular essa area. Pense num quadrado. Ele pode ser deformado num losango bem fino, que tera area bem menor. E preciso que se fixe um dos angulos internos, ai o quadrilatero sera indeformavel e a sua area estara bem definida. Esses quadrilateros costumam ser usados em engenharia, sao chamados mecanismos de 4-barras, funcionam basicamente como umas dobradicas espertas, voce os constroi (determina a dimensao dos lados) de acordo com os pontos onde voce quer que ele passe. Uma aplicacao comum e o mecanismo de abrir capo de carros, o Santana por exemplo e(ra) assim. Abraco, Salvador On Sun, 29 Apr 2001, Eduardo Quintas da Silva wrote: Existe alguma expressão que calcule a área de um quadrilátero convexo qualquer em função dos lados a,b,c e d ?.
Re: Ainda
Se a^2+b^2=c^2 e eles sao primos entre si, e claro que a e b nao podem ser ambos pares, pois c seria par. Suponha que sejam ambos impares. Isto implica c^2 par, o que implica c par. Logo c^2 e multiplo de 4. Agora e so observar que, se a =2p+1 e b=2m+1 : a^2+b^2=4p^2+4p+1+4m^2+4m+1= 4(p^2+m^2+p+m)+2 nao e multiplo de 4 ! Abraco, Salvador
Re: Divisibilidade por 8(correçao)
k^2+k-C^2-C=k(k+1)-C(C+1), logo e par, pois a(a+1) e par. On Sun, 11 Mar 2001, Alek wrote: Acabei de observar um "erro de sinal" mas acho que nao prejudica a soluao temos: (2k+1)^2 - (2C+1)^2 4k^2 + 4k + 1 -(4C^2 + 4C + 1) 4(k^2 + k - C^2 - C ) queremos: 4(k^2 + k - C^2 - C ) = 0 (mod8) supondo: 1 - k=2L e C=2D 2 - k=2L e C=2D+1 ou k=2L+1 e C=2D 3 - K=2L+1 e C=2D+1 tem-se: 1 - 4(4L^2 + 2L - 4D^2 - 2D) 8(2L^2 + L - 2D^2 - D) = 0 (mod8) 2 - 4(4L^2 + 2L - 4D^2 - 4D - 1 - 2D - 1) 4(4L^2 + 2L - 4D^2 - 6D - 2) 8(2L^2 + L - 2D^2 - 3D - 1) = 0(MOD8) 3 - 4(4L^2 + 4L + 1 + 2L + 1 - 4D^2 - 4D - 1 - 2D - 1) 4(4L^2 + 6L - 4D^2 - 6D) 8(2L^2 + 3L - 2D^2 - 3D) = 0(MOD8) Agora deve estar correto //--- At 09:36 11/03/01 -0300, you wrote: pura tecnica, no tem nem q pensar. temos: (2k+1)^2 - (2C+1)^2 4k^2 + 4k + 1 -(4C^2 + 4C + 1) 4(k^2 + k + C^2 + C ) queremos: 4(k^2 + k + C^2 + C ) = 0 (mod8) supondo: 1 - k=2L e C=2D 2 - k=2L e C=2D+1 ou k=2L+1 e C=2D 3 - K=2L+1 e C=2D+1 tem-se: 1 - 4(4L^2 + 2L + 4D^2 + 2D) 8(2L^2 + L + 2D^2 + D) = 0 (mod8) 2 - 4(4L^2 + 2L + 4D^2 + 4D + 1 + 2D + 1) 4(4L^2 + 2L + 4D^2 + 6D + 2) 8(2L^2 + L + 2D^2 + 3D + 1) = 0(MOD8) 3 - 4(4L^2 + 4L + 1 + 2L + 1 + 4D^2 + 4D + 1 + 2D + 1) 4(4L^2 + 6L + 4D^2 + 6D + 4) 8(2L^2 + 3L + 2D^2 + 3D + 2) = 0(MOD8) PROVADO Aleksander Medella At 12:46 10/03/01 -0300, you wrote: Mostre que a diferena dos quadrados de dois nmeros mpares sempre divisvel por 8. Um abrao. Fbio
