Re: [obm-l] Limites

[Anderson Torres]

Em sex., 25 de jun. de 2021 às 23:38, Israel Meireles Chrisostomo
 escreveu:
>
> Alguém aí consegue provar o teorema do confronto?Em caso afirmativo por favor 
>  prove-o
>

??

> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Limites

[Israel Meireles Chrisostomo]

muito obrigado por ser tão educado

Em sáb., 26 de jun. de 2021 às 11:27, Maikel Andril Marcelino <
maikel.marcel...@ifrn.edu.br> escreveu:

> https://www.youtube.com/watch?v=CWCVmgbePWY​
>
>
> Atenciosamente,
>
> *Maikel Andril Marcelino*
>
> *Assistente de Aluno - Secretaria Acadêmica -​ SEAC/SPP - Ramal: 7629 *
> *Coordenadoria de Apoio Acadêmico - COAPAC/IFRN-SPP*
> *Instituto Federal do Rio Grande do Norte*
> *Campus São Paulo do Potengi*
>
> *+55 **(84) 98851-3451*
> --
> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br  em nome de
> Israel Meireles Chrisostomo 
> *Enviado:* sexta-feira, 25 de junho de 2021 23:27
> *Para:* obm-l
> *Assunto:* [obm-l] Limites
>
> Alguém aí consegue provar o teorema do confronto?Em caso afirmativo por
> favor  prove-o
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>


-- 
Israel Meireles Chrisostomo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Limites

[Maikel Andril Marcelino]

https://www.youtube.com/watch?v=CWCVmgbePWY?


Atenciosamente,

Maikel Andril Marcelino
Assistente de Aluno - Secretaria Acadêmica -? SEAC/SPP - Ramal: 7629
Coordenadoria de Apoio Acadêmico - COAPAC/IFRN-SPP
Instituto Federal do Rio Grande do Norte
Campus São Paulo do Potengi

+55 (84) 98851-3451

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br  em nome de Israel 
Meireles Chrisostomo 
Enviado: sexta-feira, 25 de junho de 2021 23:27
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Limites

Alguém aí consegue provar o teorema do confronto?Em caso afirmativo por favor  
prove-o

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Limites

[Israel Meireles Chrisostomo]

Alguém aí consegue provar o teorema do confronto?Em caso afirmativo por
favor  prove-o

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Limites

[joao pedro b menezes]

Olá, boa noite, obrigado pela resposta( e pela dica)! Quanto ao meu
conhecimento de cálculo, embora saiba um pouco, ele é limitado e portanto
não conhecia esse teorema. Já li sobre ele durante o dia e entendi sua
demonstração. Mais uma vez, obrigado aos dois!

Re: [obm-l] Limites

[Pedro Angelo]

Em geral, sempre que você não sabe o que fazer com uma potência (por
exemplo nesse caso em que tanto a base quanto o expoente dependem de
x), a dica é trocar a base B por e^(log(B)).

Trocando (1+x) por e^(log(1+x)), vai ficar:

e^( ln(1+x) / x )

Como a função f(u)=e^u é contínua, basta saber calcular o limite de:

ln(1+x) / x

quando x tende a infinito. Esse é mais fácil?

On Fri, Jan 29, 2021 at 10:26 PM joao pedro b menezes
 wrote:
>
> Olá a todos, boa noite, estou com um pouco de dificuldade em encontrar uma 
> prova para esse limite
> lim x-> infinito (1 + x)^(1/x)
> Creio que ele seja 1, mas não conheço nenhuma maneira de provar isso
> Se alguém tiver uma dica ou souber como provar, ajudaria bastante
> Já agradeço pela ajuda :)

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Limites

[Ralph Costa Teixeira]

Oi, João Pedro. Voce sabe Calculo -- em particular, a Regra de L'Hopital?

Isso eh o que os livros chamam de "indeterminação do tipo Infinito^0". Ao
inves de achar o limite desta função, vamos passar o logaritmo primeiro,
lembrando que
ln (1+x)^(1/x) = 1/x * ln(1+x)
ou seja, ache primeiro este limite aqui:
lim x->Inf  (ln(1+x)) /x
Esse é do tipo "Inf/Inf" e sai por L^Hopital (vale 0); portanto o limite
que você pediu vale (para desfazer o logaritmo, que é uma função contínua)
e^0=1, como você suspeitava.

Abraço, Ralph.





On Fri, Jan 29, 2021 at 10:26 PM joao pedro b menezes <
joaopedrobmene...@gmail.com> wrote:

> Olá a todos, boa noite, estou com um pouco de dificuldade em encontrar uma
> prova para esse limite
> lim x-> infinito (1 + x)^(1/x)
> Creio que ele seja 1, mas não conheço nenhuma maneira de provar isso
> Se alguém tiver uma dica ou souber como provar, ajudaria bastante
> Já agradeço pela ajuda :)
>

[obm-l] Limites

[joao pedro b menezes]

Olá a todos, boa noite, estou com um pouco de dificuldade em encontrar uma
prova para esse limite
lim x-> infinito (1 + x)^(1/x)
Creio que ele seja 1, mas não conheço nenhuma maneira de provar isso
Se alguém tiver uma dica ou souber como provar, ajudaria bastante
Já agradeço pela ajuda :)

[obm-l] Limites

[Rogério Possi Júnior]

Prezados,


Aparentemente obtenho respostas equivocadas dos limites abaixo.


1) limite de b->1- de:


1/(2*sqrt(1-b^2))*(sqrt(1-b^2)-i*(1-b))*e^((-b-i*sqrt(1-b^2))*t)+1/(2*sqrt(1-b^2))*(sqrt(1-b^2)+i*(1-b))*e^((-b+i*sqrt(1-b^2))*t)


2) Limite de b->1+ de:


1/(2*sqrt(b^2-1))*(sqrt(b^2-1)-(b-1))*e^((-b-sqrt(b^2-1))*t)+1/(2*sqrt(b^2-1))*(sqrt(b^2-1)+(b-1))*e^((-b+sqrt(b^2-1))*t)


Qualquer ajuda será bem-vinda.


Sds,


Rogério

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Limites

[Israel Meireles Chrisostomo]

Obrigado Carlos Victor


Em 8 de setembro de 2015 21:24, Carlos Victor 
escreveu:

> Oi  Israel,
> lim(n!/((n^n).(e^(-n)).(sqrt(2.pi.n))) = 1( relação de Stirling)  e use  o
> fato de que lim (n^(1/n))=1.
>
> Abraços
>
> Carlos  Victor
>
> Em 8 de setembro de 2015 21:03, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Como posso provar de forma simples que ((2n)!/(n!)²)^{1/n}=4?Estou
>> dependendo desse resultado para calcular um outro limite...
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Limites

[Israel Meireles Chrisostomo]

Acho que pensei numa forma mais simples


Em 8 de setembro de 2015 21:33, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Obrigado Carlos Victor
>
>
> Em 8 de setembro de 2015 21:24, Carlos Victor 
> escreveu:
>
>> Oi  Israel,
>> lim(n!/((n^n).(e^(-n)).(sqrt(2.pi.n))) = 1( relação de Stirling)  e use
>>  o fato de que lim (n^(1/n))=1.
>>
>> Abraços
>>
>> Carlos  Victor
>>
>> Em 8 de setembro de 2015 21:03, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Como posso provar de forma simples que ((2n)!/(n!)²)^{1/n}=4?Estou
>>> dependendo desse resultado para calcular um outro limite...
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Limites

[Artur Costa Steiner]

Seja a_n a sequência dada. Pela fórmula de Stirling,

n! ~ raiz(2pi n) (n/e)^n

Assim,

(2n!)/((n!)^2 ~ (2 raiz(pi n))/(2pi n) 2^(2n) = 1/raiz(pi n) 4^n

e,  portanto,

a_n ~ 4 (pi)^(-1/(2n)) n^(-1/(2n)) = 4 (pi)^(-1/(2n)) 1/raiz(n^(1/n))

lim  (pi)^(-1/(2n)) = pi^0 = 1

Como sabenos que lim n^(1/n) = 1, segue-se que lim a_n = 4 . 1 . 1:raiz(1)
= 4

Artur




Em terça-feira, 8 de setembro de 2015, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Como posso provar de forma simples que ((2n)!/(n!)²)^{1/n}=4?Estou
> dependendo desse resultado para calcular um outro limite...
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Limites

[Israel Meireles Chrisostomo]

Me responda algo se eu definir uma sequência A_n então o limite no infinito
de A_n/A_n+1 =1?

Em 8 de setembro de 2015 22:33, Artur Costa Steiner 
escreveu:

> Seja a_n a sequência dada. Pela fórmula de Stirling,
>
> n! ~ raiz(2pi n) (n/e)^n
>
> Assim,
>
> (2n!)/((n!)^2 ~ (2 raiz(pi n))/(2pi n) 2^(2n) = 1/raiz(pi n) 4^n
>
> e,  portanto,
>
> a_n ~ 4 (pi)^(-1/(2n)) n^(-1/(2n)) = 4 (pi)^(-1/(2n)) 1/raiz(n^(1/n))
>
> lim  (pi)^(-1/(2n)) = pi^0 = 1
>
> Como sabenos que lim n^(1/n) = 1, segue-se que lim a_n = 4 . 1 . 1:raiz(1)
> = 4
>
> Artur
>
>
>
>
> Em terça-feira, 8 de setembro de 2015, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Como posso provar de forma simples que ((2n)!/(n!)²)^{1/n}=4?Estou
>> dependendo desse resultado para calcular um outro limite...
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Limites

[Israel Meireles Chrisostomo]

Ah essa pergunta não faz sentido pois A_n=1/2^n  lim A_n/A_n+1=2, mesmo
assim vlw

Em 8 de setembro de 2015 22:51, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Me responda algo se eu definir uma sequência A_n então o limite no
> infinito de A_n/A_n+1 =1?
>
> Em 8 de setembro de 2015 22:33, Artur Costa Steiner <
> steinerar...@gmail.com> escreveu:
>
>> Seja a_n a sequência dada. Pela fórmula de Stirling,
>>
>> n! ~ raiz(2pi n) (n/e)^n
>>
>> Assim,
>>
>> (2n!)/((n!)^2 ~ (2 raiz(pi n))/(2pi n) 2^(2n) = 1/raiz(pi n) 4^n
>>
>> e,  portanto,
>>
>> a_n ~ 4 (pi)^(-1/(2n)) n^(-1/(2n)) = 4 (pi)^(-1/(2n)) 1/raiz(n^(1/n))
>>
>> lim  (pi)^(-1/(2n)) = pi^0 = 1
>>
>> Como sabenos que lim n^(1/n) = 1, segue-se que lim a_n = 4 . 1 .
>> 1:raiz(1) = 4
>>
>> Artur
>>
>>
>>
>>
>> Em terça-feira, 8 de setembro de 2015, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Como posso provar de forma simples que ((2n)!/(n!)²)^{1/n}=4?Estou
>>> dependendo desse resultado para calcular um outro limite...
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Limites

[Artur Costa Steiner]

Não. Isto pode ou não ser verdade. Em a_n = 2^n, o limite é 1/2. Em a_n = n, o 
limite é 1.

Artur Costa Steiner

> Em 08/09/2015, às 22:51, Israel Meireles Chrisostomo 
>  escreveu:
> 
> Me responda algo se eu definir uma sequência A_n então o limite no infinito 
> de A_n/A_n+1 =1?
> 
> Em 8 de setembro de 2015 22:33, Artur Costa Steiner  
> escreveu:
>> Seja a_n a sequência dada. Pela fórmula de Stirling,
>> 
>> n! ~ raiz(2pi n) (n/e)^n
>> 
>> Assim,
>> 
>> (2n!)/((n!)^2 ~ (2 raiz(pi n))/(2pi n) 2^(2n) = 1/raiz(pi n) 4^n
>> 
>> e,  portanto, 
>> 
>> a_n ~ 4 (pi)^(-1/(2n)) n^(-1/(2n))Â = 4 (pi)^(-1/(2n)) 1/raiz(n^(1/n))
>> 
>> lim  (pi)^(-1/(2n)) = pi^0 = 1
>> 
>> Como sabenos que lim n^(1/n) = 1, segue-se que lim a_n = 4 . 1 . 1:raiz(1) = 
>> 4
>> 
>> Artur
>> 
>> 
>> 
>> 
>> Em terça-feira, 8 de setembro de 2015, Israel Meireles Chrisostomo 
>>  escreveu:
>>> Como posso provar de forma simples que ((2n)!/(n!)²)^{1/n}=4?Estou 
>>> dependendo desse resultado para calcular um outro limite...
>>> 
>>> 
>>> -- 
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Limites

[Carlos Victor]

Oi  Israel,
lim(n!/((n^n).(e^(-n)).(sqrt(2.pi.n))) = 1( relação de Stirling)  e use  o
fato de que lim (n^(1/n))=1.

Abraços

Carlos  Victor

Em 8 de setembro de 2015 21:03, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Como posso provar de forma simples que ((2n)!/(n!)²)^{1/n}=4?Estou
> dependendo desse resultado para calcular um outro limite...
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Limites

[Israel Meireles Chrisostomo]

Como posso provar de forma simples que ((2n)!/(n!)²)^{1/n}=4?Estou
dependendo desse resultado para calcular um outro limite...

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Limites

[Israel Meireles Chrisostomo]

Já vi uma maneira mais simples é só definir A_n=((2n)!/n!)^{1/n}  e usar
que (A_n+1)^{n+1}/(A_n)^{n}=A_n(A_n+1/A_n)^{n+1} e observar que
lim (A_n+1/A_n)^{n+1} =1, essa é uma boa técnica ehehehe

Em 8 de setembro de 2015 21:42, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Acho que pensei numa forma mais simples
>
>
> Em 8 de setembro de 2015 21:33, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Obrigado Carlos Victor
>>
>>
>> Em 8 de setembro de 2015 21:24, Carlos Victor 
>> escreveu:
>>
>>> Oi  Israel,
>>> lim(n!/((n^n).(e^(-n)).(sqrt(2.pi.n))) = 1( relação de Stirling)  e use
>>>  o fato de que lim (n^(1/n))=1.
>>>
>>> Abraços
>>>
>>> Carlos  Victor
>>>
>>> Em 8 de setembro de 2015 21:03, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Como posso provar de forma simples que ((2n)!/(n!)²)^{1/n}=4?Estou
 dependendo desse resultado para calcular um outro limite...


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Limites

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2015-09-08 22:24 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo
:
> Já vi uma maneira mais simples é só definir A_n=((2n)!/n!)^{1/n}  e usar que
> (A_n+1)^{n+1}/(A_n)^{n}=A_n(A_n+1/A_n)^{n+1} e observar que lim
> (A_n+1/A_n)^{n+1} =1, essa é uma boa técnica ehehehe

É. Se eu entendi direito, você "substituiu o teste da raiz pelo teste
da razão". Mais explicitamente, se a_n é uma seqüência de números
reais positivos, então se existir o limite a_{n+1} / a_n (quando n ->
infinito), então também existe o limite (a_n)^{1/n} e eles são iguais.
(Acho que você esqueceu de dizer que o lado ESQUERDO da sua equação
tende a 4 quando n -> infinito)

> Em 8 de setembro de 2015 21:42, Israel Meireles Chrisostomo
>  escreveu:
>>
>> Acho que pensei numa forma mais simples

Tem uma outra forma "bem simples". Enfim, super-mágica, mas como eu
estou usando números de Catalan de montão, esses truques acabam
aparecendo. Seja C_n = binom(2n,n). Considere a função 1/raiz(1 - z).
Pelo binômio de Newton, a série de potências dela é

1/raiz(1 - z) = soma (-1)^n (2n+1)!/(4^n n! n!) z^n = soma (-1)^n
(2n+1) C_n/4^n z^n = soma a_n z^n

Como o raio de convergência desta função é 1, sabemos (pelo critério
de Hadamard) que o limite |a_n|^{1/n} é igual a 1. Daí, basta ver que
tem um (2n+1) "sobrando" (mas cuja raiz n-ésima tende a 1) para obter
(C_n)^{1/n} / 4 -> 1.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
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=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Limites de funções

[Sávio Ribas]

Não, isso é falso. Olhe para a sequência pi/n.
Em 02/08/2015 18:49, Israel Meireles Chrisostomo 
israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Tem algum teorema falando sobre sequência de a_k de irracionais, que
 quando se toma o limite tendendo ao infinito de um termo dessa sequência
 implique que o limite desse termo seja irracional?Isto é, se eu conseguir
 provar por indução que qualquer termo dessa sequência é  irracional, tem
 algum teorema que me garanta, sob certas condições, que se tomarmos um
 termo de ordem infinita dessa sequência, então esse termo também é
 irracional?

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Limites de funções

[Israel Meireles Chrisostomo]

Tem algum teorema falando sobre sequência de a_k de irracionais, que quando
se toma o limite tendendo ao infinito de um termo dessa sequência implique
que o limite desse termo seja irracional?Isto é, se eu conseguir provar por
indução que qualquer termo dessa sequência é  irracional, tem algum teorema
que me garanta, sob certas condições, que se tomarmos um termo de ordem
infinita dessa sequência, então esse termo também é irracional?

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Limites de funções

[Israel Meireles Chrisostomo]

Ah sim ok, achei que pudesse haver algum caso onde isso fosse verdade mesmo
com o contra-exemplo


Em 2 de agosto de 2015 20:01, Sávio Ribas savio.ri...@gmail.com escreveu:

 Não, isso é falso. Olhe para a sequência pi/n.
 Em 02/08/2015 18:49, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Tem algum teorema falando sobre sequência de a_k de irracionais, que
 quando se toma o limite tendendo ao infinito de um termo dessa sequência
 implique que o limite desse termo seja irracional?Isto é, se eu conseguir
 provar por indução que qualquer termo dessa sequência é  irracional, tem
 algum teorema que me garanta, sob certas condições, que se tomarmos um
 termo de ordem infinita dessa sequência, então esse termo também é
 irracional?

 --
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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Limites de funções

[Artur Costa Steiner]

Certamente existem casos. Tudo pode acontecer.:

(raiz(2) + 1/n) é uma sequencia de irracionais que converge para o irracional 
raiz(2).  

(raiz(2)/n) é uma sequencia de irracionais que converge para o racional 0

(1/n) é uma  sequencia de racionais que converge para o racional 0

A sequencia definida recursivamente por a_1 = 1, a_n = 1/(1 + a_(n - 1)) para n 
= 2, tem todos os termos racionais e converge para o irracional (raiz(5) - 
1)/2.


Artur Costa Steiner

 Em 02/08/2015, às 21:33, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:
 
 Ah sim ok, achei que pudesse haver algum caso onde isso fosse verdade mesmo 
 com o contra-exemplo
 
 
 Em 2 de agosto de 2015 20:01, Sávio Ribas savio.ri...@gmail.com escreveu:
 Não, isso é falso. Olhe para a sequência pi/n.
 
 Em 02/08/2015 18:49, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:
 Tem algum teorema falando sobre sequência de a_k de irracionais, que 
 quando se toma o limite tendendo ao infinito de um termo dessa sequência 
 implique que o limite desse termo seja irracional?Isto é, se eu conseguir 
 provar por indução que qualquer termo dessa sequência é  irracional, 
 tem algum teorema que me garanta, sob certas condições, que se tomarmos 
 um termo de ordem infinita dessa sequência, então esse termo também é 
 irracional?
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Limites

[Hugo Botelho]

Sejam f e g duas funcoes definidas em R tais que, para todo x pertencente
aos reais:
f^2 + g^2 = 4
Calcule:
a) lim (x^3)g(x), x - 0
b) lim f(x) * (x^2 - 9)^(1/3), x- 3

alguem sabe?
grato.

Re: [obm-l] Limites

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Hugo,
como f^2 + g^2 = 4, então: |f| = 2 e |g| = 2, para todo x.
Desta maneira, como são funções limitadas, temos:

a) lim {x-0} (x^3)g(x) = 0
b) lim {x-3} f(x) * (x^2 - 9)^(1/3) = 0

Para provar, seja h(x), tal que lim{x-a} h(x) = 0, vamos mostrar que, se
f(x) é limitada, então lim{x-a} h(x)f(x) = 0.
Temos que mostrar que para todo eps0 existe um delta0 tal que |x-a|delta
implica |h(x)g(x)|eps.

Sabemos que lim{x-a} h(x) = 0, isto é, para todo eps10 existe um delta10
tal que |x-a|delta1 implica |h(x)|eps1.
Como f(x) é limitada, temos que |f(x)|L para todo x. Assim: Para todo
L*eps10 existe um delta20 tal que |x-a|delta1 implica |h(x)||f(x)| =
|h(x)f(x)|L*eps1. Basta fazermos L*eps1 = eps. (cqd)

abraços,
Salhab


2009/9/5 Hugo Botelho hugob2...@gmail.com

 Sejam f e g duas funcoes definidas em R tais que, para todo x pertencente
 aos reais:
 f^2 + g^2 = 4
 Calcule:
 a) lim (x^3)g(x), x - 0
 b) lim f(x) * (x^2 - 9)^(1/3), x- 3

 alguem sabe?
 grato.

[obm-l] Limites: um problema realmente MUITO difícil

[Albert Bouskela]

Olá!
 
Pra quem gosta de limites, este problema é, sem dúvida, um grande desafio!
 
Seja   f(x) = ( cos( ln(x) / x ) ) / x
 
Seja   g(a) = Integral f(x) dx , de a até 1
 
Calcule, analiticamente, lim g(a) , para  a--0+
 
O Ralph - é claro! - vai calcular de cabeça e achar a resposta correta 
(0,323367432...) .

Obs.: se alguém quiser (e conseguir) aplicar L'Ho(s)pital, tá valendo!
 
Saudações,
AB
bousk...@gmail.com
bousk...@ymail.com


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[obm-l] Limites com 2 variáveis

[rgc]

Olá
Estou começando a estudar cálculo com várias variaveis e estava com uma dúvida 
em alguns limites.
Meu professor disse que em alguns casos uma estratégia boa pra cálcular o 
limite quando trabalhamos com 2 variaveis é substituir por coordenadas polares 
fazendo x=r*cos t e y=r*sen t. Então segundo ele, é suficiente mostrar que o 
valor do limite existe e independe de t, ou que o limite não existe.
Mas outro professor que dá aula pra um amigo meu falou que essa estratégia só 
serve pra provar que o limite não existe, porque pra provar que um limite 
existe é necessário mostrar que o valor é o mesmo para qualquer caminho que 
usamos para se aproximar de um certo ponto e, usando as coordenadas polares 
consideramos apenas as retas e ignoramos todos os outros caminhos.
Só pra citar um exemplo, caso não tenha ficado muito claro:
lim(x,y)-(0,0)[(x³+y³)/(x²+y²)]. Fazendo essa substituição: lim r-0+ 
[(r³(sen³t+cos³t))/(r²(sen²t+cos²t))] = lim r-0+ [r(sen³t+cos³t)]. Como r-0+, 
r(sen³t+cos³t)-0 e o limite independe de t. A dúvida é: isso é suficiente pra 
provar que o limite é 0?

Obrigado

Rafael.

Re: [obm-l] Limites com 2 variáveis

[saulo nilson]

tagt^3=-1
tgt=(-1)^1/3=-1
logo olimite e dependente de t tambem.
acho que nesse caso vc tem que resolver o limite em relação a x ou y
primeiro e depois resolver em relação a outra variavel.


On 9/2/07, rgc [EMAIL PROTECTED] wrote:

  Olá
 Estou começando a estudar cálculo com várias variaveis e estava com uma
 dúvida em alguns limites.
 Meu professor disse que em alguns casos uma estratégia boa pra cálcular o
 limite quando trabalhamos com 2 variaveis é substituir por coordenadas
 polares fazendo x=r*cos t e y=r*sen t. Então segundo ele, é suficiente
 mostrar que o valor do limite existe e independe de t, ou que o limite não
 existe.
 Mas outro professor que dá aula pra um amigo meu falou que essa estratégia
 só serve pra provar que o limite não existe, porque pra provar que um limite
 existe é necessário mostrar que o valor é o mesmo para qualquer caminho que
 usamos para se aproximar de um certo ponto e, usando as coordenadas polares
 consideramos apenas as retas e ignoramos todos os outros caminhos.
 Só pra citar um exemplo, caso não tenha ficado muito claro:
 lim(x,y)-(0,0)[(x³+y³)/(x²+y²)]. Fazendo essa substituição: lim r-0+
 [(r³(sen³t+cos³t))/(r²(sen²t+cos²t))] = lim r-0+ [r(sen³t+cos³t)]. Como
 r-0+, r(sen³t+cos³t)-0 e o limite independe de t. A dúvida é: isso é
 suficiente pra provar que o limite é 0?

 Obrigado

 Rafael.

[obm-l] Limites

[Klaus Ferraz]

Os limites são pra n-- infinito

1) a^n / n^k , a1 e k natural
2) a^n / n! a1
3) n! / n^n.

outro...
 Mostrar que  2,71e2,72. Calcular e com cinco decimas exatas.
ps.: Eu só sei mostrar que está entre 2 e 3. 

Vlw.
[]'s.

__
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[obm-l] Limites

[Ariel de Silvio]

Se alguém puder me ajudar nesses limites:

1) lim ( 2 - x ) ^ tg( pi * x / 2) , x-1 (x tende a 1)


2) Para um certo valor de c, o limite

lim [ (x^5 + 7x^4 + 2)^c - x ] , x - +inf

é finito e não nulo. Determine c e calcule o valor do limite.


Fiz x = 1/t, então t-0
Cheguei em:

lim [ ( (1+ 7t + 2t^5) / t^5 ) ^ c  -  1/t ], t-0

A partir daí, se eu quiser forçar para usar L'Hopital, é fácil ver que
c=1/5 resolve o problema, e tem-se lim = 7/5
Mas queria uma maneira mais formal de fazer isso. Até por que como sei
que esse c é único?

Grato
Ariel


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] LIMITES

[Marcio Cohen]

 É verdade, obrigado pela correção!
 Marcio

- Original Message - 
From: Ricardo Bittencourt [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, May 22, 2006 1:12 AM
Subject: Re: [obm-l] LIMITES



Marcio Cohen wrote:


 Oi Marcelo.
 Você pode multiplicar S por (1-1/2)/(1-1/2) e concluir que S não só 
converge, mas tem forma fechada simples.
 Usando que (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 repetidas vezes (ou por indução), 
S(n) =  2*(1 - 1/2^(n+1)), logo S tende a 2.


Na verdade S(3)=3*5*9/(2*4*8)=135/64=2.109375  2, e como
S(n)S(n+1) com certeza ela converge pra algo maior que 2.

O erro no seu raciocínio é que você gera termos
da forma (1+1/2^2^n), e não (1+1/2^n) como você gostaria.

Numericamente, esse limite converge para aproximadamente 2.384231.


Ricardo Bittencourt   http://www.mundobizarro.tk
[EMAIL PROTECTED]  kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita
-- União contra o forward - crie suas proprias piadas --
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] LIMITES

[Klaus Ferraz]

1)Determine lim(n-+inf) (1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n).  2)Determine lim(x--+inf) sen(x^1000)/xGrato.
		 
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Re: [obm-l] LIMITES

[Carlos Victor]

Olá ,
Para o segundo limite temos :
lim(x--+inf) sen(x^1000)/x = lim(
1/x.sen(x^1000) , como sendo uma função
infitesima multiplicada por um limitada ; ou
seja a resposta é zero .
Tem certeza que a questão (1)
esta correta ?
[]´s Carlos Victor

At 10:37 21/5/2006, Klaus Ferraz wrote:
1)Determine lim(n-+inf)
(1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n).
2)Determine lim(x--+inf) sen(x^1000)/x

Grato.

Yahoo!
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Re: [obm-l] LIMITES

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá

2)
-1/x = sen(x^1000)/x = 1/x

qdo x - +inf.. -1/x e 1/x tendem para 0.. pelo 
teorema do confronto (sanduiche), o limite de sen(x^1000)/x - 0 quando 
x- 0.

abraços,
Salhab

  - Original Message - 
  From: 
  Klaus 
  Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, May 21, 2006 10:37 AM
  Subject: [obm-l] LIMITES
  
  1)Determine lim(n-+inf) 
  (1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n).
  2)Determine lim(x--+inf) sen(x^1000)/x
  
  Grato.
  
  
  Yahoo! 
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Re: [obm-l] LIMITES

[Klaus Ferraz]

Porque -1/x = sen(x^1000)/x = 1/x é verdade??Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu:  Olá2)  -1/x = sen(x^1000)/x = 1/xqdo x - +inf.. -1/x e 1/x tendem para 0.. pelo teorema do confronto (sanduiche), o limite de sen(x^1000)/x - 0 quando x- 0.abraços,  Salhab- Original Message -   From: Klaus Ferraz   To: obm-l@mat.puc-rio.br   Sent: Sunday, May 21, 2006 10:37 AM  Subject: [obm-l] LIMITES1)Determine lim(n-+inf) (1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n).  2)Determine lim(x--+inf) sen(x^1000)/xGrato.  Yahoo! Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de
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Re: [obm-l] LIMITES

[Klaus Ferraz]

Ola Carlos,   A questao 1 estah ok. eh isso mesmo. tem algumas opcoes:  a)1/2 b)1 c)3/2 d)2 e)4Carlos Victor [EMAIL PROTECTED] escreveu:  Olá ,Para o segundo limite temos :lim(x--+inf) sen(x^1000)/x = lim( 1/x.sen(x^1000) , como sendo uma função infitesima multiplicada por um limitada ; ou seja a resposta é zero .Tem certeza que a questão (1) esta correta ?[]´s Carlos VictorAt 10:37 21/5/2006, Klaus Ferraz wrote:  1)Determine lim(n-+inf) (1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n).2)Determine lim(x--+inf)
 sen(x^1000)/xGrato.Yahoo! Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de graça. 
		 
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Re: [obm-l] LIMITES

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

pq -1 = sen(a) = 1.. para qualquer 
a...
dividindo por x, temos:

-1/x = sen(a)/x = 1/x

abracos,
Salhab

  - Original Message - 
  From: 
  Klaus 
  Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, May 21, 2006 6:43 PM
  Subject: Re: [obm-l] LIMITES
  Porque -1/x = sen(x^1000)/x = 1/x é 
  verdade??Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: 
  



Olá

2)
-1/x = sen(x^1000)/x = 1/x

qdo x - +inf.. -1/x e 1/x tendem para 0.. 
pelo teorema do confronto (sanduiche), o limite de sen(x^1000)/x - 0 
quando x- 0.

abraços,
Salhab

  - Original Message - 
  From: 
  Klaus Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, May 21, 2006 10:37 
  AM
  Subject: [obm-l] LIMITES
  
  1)Determine lim(n-+inf) 
  (1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n).
  2)Determine lim(x--+inf) sen(x^1000)/x
  
  Grato.
  
  
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Re: [obm-l] LIMITES

[Marcio Cohen]

Para ser mais preciso (e chato), 
 -1/|x| = sen(a)/x = 
1/|x|

  - Original Message - 
  From: 
  Marcelo Salhab 
  Brogliato 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, May 21, 2006 9:10 PM
  Subject: Re: [obm-l] LIMITES
  
  Olá,
  
  pq -1 = sen(a) = 1.. para qualquer 
  a...
  dividindo por x, temos:
  
  -1/x = sen(a)/x = 1/x
  
  abracos,
  Salhab
  
- Original Message - 
From: 
Klaus Ferraz 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Sunday, May 21, 2006 6:43 
PM
Subject: Re: [obm-l] LIMITES
Porque -1/x = sen(x^1000)/x = 1/x é 
verdade??Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: 

  
  

  Olá
  
  2)
  -1/x = sen(x^1000)/x = 
  1/x
  
  qdo x - +inf.. -1/x e 1/x tendem para 0.. 
  pelo teorema do confronto (sanduiche), o limite de sen(x^1000)/x - 0 
  quando x- 0.
  
  abraços,
  Salhab
  
- Original Message - 
From: 
Klaus Ferraz 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Sunday, May 21, 2006 10:37 
AM
Subject: [obm-l] LIMITES

1)Determine lim(n-+inf) 
(1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n).
2)Determine lim(x--+inf) sen(x^1000)/x

Grato.


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Abra 
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Re: [obm-l] LIMITES

[Marcelo Salhab Brogliato]

exatamente cohen! é que x-inf.. dai caguei pro 
modulo.. hehe

abraços,
Salhab

  - Original Message - 
  From: 
  Marcio Cohen 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, May 21, 2006 9:55 PM
  Subject: Re: [obm-l] LIMITES
  
  Para ser mais preciso (e chato), 
   -1/|x| = sen(a)/x = 
  1/|x|
  
- Original Message - 
From: 
Marcelo Salhab 
Brogliato 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Sunday, May 21, 2006 9:10 
PM
Subject: Re: [obm-l] LIMITES

Olá,

pq -1 = sen(a) = 1.. para qualquer 
a...
dividindo por x, temos:

-1/x = sen(a)/x = 1/x

abracos,
Salhab

  - Original Message - 
  From: 
  Klaus Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, May 21, 2006 6:43 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] LIMITES
  Porque -1/x = sen(x^1000)/x = 1/x é 
  verdade??Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: 
  



Olá

2)
-1/x = sen(x^1000)/x = 
1/x

qdo x - +inf.. -1/x e 1/x tendem para 
0.. pelo teorema do confronto (sanduiche), o limite de sen(x^1000)/x 
- 0 quando x- 0.

abraços,
Salhab

  - Original Message - 
  From: 
  Klaus Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, May 21, 2006 10:37 
  AM
  Subject: [obm-l] LIMITES
  
  1)Determine lim(n-+inf) 
  (1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n).
  2)Determine lim(x--+inf) sen(x^1000)/x
  
  Grato.
  
  
  Yahoo! 
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  Abra 
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  e anti-spam realmente eficaz. 

Re: [obm-l] LIMITES

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,
consegui algumas coisas na 1.. mas ainda nao 
cheguei a uma resposta..

1)
Seja S = (1 + 1/2)(1+1/2^2)(1+1/2^3)...(1+1/2^n), 
temos que:

lnS = ln(1+1/2) + ln(1+1/2^2) + ln(1+1/2^3) + ... + 
ln(1+1/2^n)

é fácil mostrar que o somátorio a direita, quando 
n-inf, converge. Pois aplicando o teste da raiz obtemos 1/2  
1.

sabemos que ln(1+x) = x .. x=0

assim: ln(1+1/2^k) = 1/2^k

logo, Sum(k=1..n, ln(1+1/2^k))  1/2 * (1 - 
1/2^n)/1/2= 1 - 1/2^n

qdo n-inf, temos: Sum(k=1..inf, 
ln(1+1/2^k))= 1

assim, lnS = 1, qdo n-inf
logo: S = e, qdo n-inf

bom, talvez conseguindo mostrar que S = e... ou 
entao utilizando outra ideia pra concluir a questao.

abraços,
Salhab


  - Original Message - 
  From: 
  Klaus 
  Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, May 21, 2006 6:45 PM
  Subject: Re: [obm-l] LIMITES
  
  Ola Carlos,
   A questao 1 estah ok. eh isso mesmo. tem algumas opcoes:
  a)1/2 b)1 c)3/2 d)2 e)4Carlos Victor [EMAIL PROTECTED] 
  escreveu:
  Olá 
,Para o segundo limite temos :lim(x--+inf) 
sen(x^1000)/x = lim( 1/x.sen(x^1000) , como 
sendo uma função infitesima multiplicada por 
um limitada ; ou seja a resposta é zero 
.Tem certeza que a questão 
(1) esta correta ?[]´s Carlos 
VictorAt 10:37 21/5/2006, Klaus Ferraz wrote:
1)Determine lim(n-+inf) 
  (1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n).2)Determine lim(x--+inf) 
  sen(x^1000)/xGrato.Yahoo! 
  Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de graça. 
  
  
  
  Abra 
  sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e 
  anti-spam realmente eficaz. 

Re: [obm-l] LIMITES

[Marcelo Salhab Brogliato]

continuando minha outra mensagem (q ainda nao 
chegou na lista)..
temos tb que:

ln(1+x) = x/(1+x) ... assim:

ln(1+1/2^k) = 1/(1+2^k)

Sum(k=1..inf, ln(1+1/2^k)) = Sum(k=1..inf, 
1/(1+2^k)) = 0,75 (fazendo os primeiros termos, vemos que vai dar maior que 
isso, e tb provamos q a serie converge)

logo: lnS = 0,75 ... S = 
e^(0,75)

assim: e^(0,75) = S = e

ou: 2,11 = S = 2,72

rsrs... parece q nao cheguei a nenhuma das 
alternativas :)

abraços,
Salhab

  - Original Message - 
  From: 
  Klaus 
  Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, May 21, 2006 6:45 PM
  Subject: Re: [obm-l] LIMITES
  
  Ola Carlos,
   A questao 1 estah ok. eh isso mesmo. tem algumas opcoes:
  a)1/2 b)1 c)3/2 d)2 e)4Carlos Victor [EMAIL PROTECTED] 
  escreveu:
  Olá 
,Para o segundo limite temos :lim(x--+inf) 
sen(x^1000)/x = lim( 1/x.sen(x^1000) , como 
sendo uma função infitesima multiplicada por 
um limitada ; ou seja a resposta é zero 
.Tem certeza que a questão 
(1) esta correta ?[]´s Carlos 
VictorAt 10:37 21/5/2006, Klaus Ferraz wrote:
1)Determine lim(n-+inf) 
  (1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n).2)Determine lim(x--+inf) 
  sen(x^1000)/xGrato.Yahoo! 
  Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de graça. 
  
  
  
  Abra 
  sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e 
  anti-spam realmente eficaz. 

Re: [obm-l] LIMITES

[Marcio Cohen]

Oi Marcelo. 
Você pode multiplicar S por (1-1/2)/(1-1/2) e 
concluir que S não só converge, mas temforma fechada simples. 

Usando que (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 repetidas 
vezes (ou por indução),S(n) 
=2*(1 - 1/2^(n+1)), logo S tende a 2. 






  - Original Message - 
  From: 
  Marcelo Salhab 
  Brogliato 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, May 22, 2006 12:32 AM
  Subject: Re: [obm-l] LIMITES
  
  Olá,
  consegui algumas coisas na 1.. mas ainda nao 
  cheguei a uma resposta..
  
  1)
  Seja S = (1 + 1/2)(1+1/2^2)(1+1/2^3)...(1+1/2^n), 
  temos que:
  
  lnS = ln(1+1/2) + ln(1+1/2^2) + ln(1+1/2^3) + ... 
  + ln(1+1/2^n)
  
  é fácil mostrar que o somátorio a direita, quando 
  n-inf, converge. Pois aplicando o teste da raiz obtemos 1/2  
  1.
  
  sabemos que ln(1+x) = x .. 
  x=0
  
  assim: ln(1+1/2^k) = 1/2^k
  
  logo, Sum(k=1..n, ln(1+1/2^k))  1/2 * (1 - 
  1/2^n)/1/2= 1 - 1/2^n
  
  qdo n-inf, temos: Sum(k=1..inf, 
  ln(1+1/2^k))= 1
  
  assim, lnS = 1, qdo n-inf
  logo: S = e, qdo n-inf
  
  bom, talvez conseguindo mostrar que S = e... 
  ou entao utilizando outra ideia pra concluir a questao.
  
  abraços,
  Salhab
  
  
- Original Message - 
From: 
Klaus Ferraz 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Sunday, May 21, 2006 6:45 
PM
Subject: Re: [obm-l] LIMITES

Ola Carlos,
 A questao 1 estah ok. eh isso mesmo. tem algumas opcoes:
a)1/2 b)1 c)3/2 d)2 e)4Carlos Victor [EMAIL PROTECTED] 
escreveu:
Olá 
  ,Para o segundo limite temos :lim(x--+inf) 
  sen(x^1000)/x = lim( 1/x.sen(x^1000) , como 
  sendo uma função infitesima multiplicada por 
  um limitada ; ou seja a resposta é 
  zero .Tem certeza que a 
  questão (1) esta correta ?[]´s 
  Carlos VictorAt 10:37 21/5/2006, Klaus Ferraz wrote:
  1)Determine lim(n-+inf) 
(1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n).2)Determine 
lim(x--+inf) sen(x^1000)/xGrato.Yahoo! 
Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de graça. 
  


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sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e 
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Re: [obm-l] LIMITES

[Ricardo Bittencourt]

Marcio Cohen wrote:


 Oi Marcelo.
 Você pode multiplicar S por (1-1/2)/(1-1/2) e concluir que S não só 
converge, mas tem forma fechada simples.
 Usando que (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 repetidas vezes (ou por indução),  
S(n) =  2*(1 - 1/2^(n+1)), logo S tende a 2.  


Na verdade S(3)=3*5*9/(2*4*8)=135/64=2.109375  2, e como
S(n)S(n+1) com certeza ela converge pra algo maior que 2.

O erro no seu raciocínio é que você gera termos
da forma (1+1/2^2^n), e não (1+1/2^n) como você gostaria.

Numericamente, esse limite converge para aproximadamente 2.384231.


Ricardo Bittencourt   http://www.mundobizarro.tk
[EMAIL PROTECTED]  kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita
-- União contra o forward - crie suas proprias piadas --
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] LIMITES

[Ojesed Mirror]

a) Fazendo x=1/y quando x-0+ 
y-+inf.
x^x = (1/y)^(1/y) = 
exp(-ln(y)/y)
Observe que y cresce mais rápido 
que ln(y), logo o expoente tende a zero e o limite de x^x tende a 1

Ojesed.

  - Original Message - 
  From: 
  Klaus 
  Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, April 28, 2006 2:42 
PM
  Subject: [obm-l] LIMITES
  
  a) lim(x-0+) x^x
  b)lim(x-a) (x^n-a^n)/((lnx)^n-(lna)^n)
  
  
  
  Abra 
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  anti-spam realmente eficaz. 
  
  

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  27/4/2006

Re: [obm-l] LIMITES

[Marcelo Salhab Brogliato]

b)
aplicando L'Hopital, temos:

nx^(n-1)/[n(lnx)^n . (1/x)] = (x/lnx)^n - 
(a/lna)^n, qdo x-a, para "a" finito a diferente de 0.
se a = 0, (x/lnx)^n - 0
se a = +inf, (x/lnx)^n - +inf

abraços,
Salhab


  - Original Message - 
  From: 
  Ojesed Mirror 
  
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, May 02, 2006 12:50 
AM
  Subject: Re: [obm-l] LIMITES
  
  a) Fazendo x=1/y quando x-0+ 
  y-+inf.
  x^x = (1/y)^(1/y) = 
  exp(-ln(y)/y)
  Observe que y cresce mais rápido 
  que ln(y), logo o expoente tende a zero e o limite de x^x tende a 
  1
  
  Ojesed.
  
- Original Message - 
From: 
Klaus Ferraz 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Friday, April 28, 2006 2:42 
PM
Subject: [obm-l] LIMITES

a) lim(x-0+) x^x
b)lim(x-a) (x^n-a^n)/((lnx)^n-(lna)^n)



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27/4/2006

Re: [obm-l] LIMITES (sem L'Hospital)

[Eduardo Wilner]

 a) Seja y = x^x = lny = x lnx , lim(x-0) lny é indeterminado, logo o limite de  y também é.   b) Aquí y = (x^n-a^n)/((lnx)^n-(lna)^n) e fazendo  z = lnx = x = e^z e  b = lna = a = e^b, teremos y = [e^(nz) - e^(nb)]/(z^n - b^n) ou  y = e^(nb){e^[n(z-b)] -1}/{(z -b)[z^(n-1)+bz^(n-2)+b^2z^(n-3)+...+zb^(n-2)+b^(n-1) Assim,  lim(x-a) y = [e^(nb)/b^(n-1)] * lim(z-b){e^[n(z-b)]-1}/[n(z-b)].  O limite ainda a ser determinado é fundamenta, tipo lim(w-0)(B^w-1)/w=ln B e no caso B = e = ln B = 1.  Portanto, lim(x-a)y = e^(nb)/b^(n-1) = a^n/(lna)^(n-1)  Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] escreveu: a) lim(x-0+) x^x  b)lim(x-a) (x^n-a^n)/((lnx)^n-(lna)^n)   Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz. 
		 
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[obm-l] LIMITES

[Klaus Ferraz]

a) lim(x-0+) x^x  b)lim(x-a) (x^n-a^n)/((lnx)^n-(lna)^n)  
		 
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RES: [obm-l] limites

[Artur Costa Steiner]

Nao precisafazer um buzilhao de 
vezes. Basta fazer 5 vezes. Vc obtem lim (x - oo) 120/((ln(2)^5 *2^x) = 
0
Artur
1) lim x^5/2^x, para x - +ooOu vc sabe que exponencial é 
  mais rápida que polinomial, e portanto o denominador cresce mais rapidamente e 
  o limite vai pra zero, ou vc faz l'hopital um buzilhao de vezes até chegar em 
  algo da forma a/b*2^x, aí é claro que vai pra 
0.

Re: [obm-l] limites

[Valter Rosa]

5) lim (x^2+x)^(1/(2x+1)) x-- +oo 


aplicando logaritmo temos:

= e^(lim (ln(x^2+x))/(2x+1)) aplicando l´Hopital no 
expoente duas vezes temos:

= e^0 = 1

Bruno, não entendi qual é o problema em se usar 
L´Hopital para simplificar as soluções !!
Acho que as soluções mais elegantes são as mais 
simples.

Valter Rosa

  - Original Message - 
  From: 
  Bruno França dos 
  Reis 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, February 21, 2006 11:19 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] limites
  1) lim x^5/2^x, para x - +ooOu vc sabe que exponencial 
  é mais rápida que polinomial, e portanto o denominador cresce mais rapidamente 
  e o limite vai pra zero, ou vc faz l'hopital um buzilhao de vezes até chegar 
  em algo da forma a/b*2^x, aí é claro que vai pra 0.2) O mesmo. Para 
  justificar, faça l'hopital OU (acho mais bonito) u = x+1, e o limite vira u^5 
  / 2^(u-1) = 2u^5/2^u, e lim 2 u^5 / 2^u = 2 lim u^5 / 2^u, que tende para 0, 
  como já sabemos do exemplo anterior.3) lim x^(1/x), x - 
  +oox^(1/x) = e^(1/x * ln x)Como e^x é contínua, vamos achar o limite 
  do expoente para calcular o resultadolim 1/x * lnx = 0, pois: 1) ou vc 
  sabe que ln é mais lerda que qualquer polinomial, entao o denominador cresce 
  mais rapidamente e o limite vai pra 0, ou vc faz, sei lá, l'hopital.Então 
  o limite procurado vale, como a exponencial é continua, e^(lim 1/x * lnx) = 
  e^0 = 1AbraçoBruno
  On 2/21/06, Guilherme 
  Neves [EMAIL PROTECTED] 
  wrote:
  

Calcular os seguintes limites: 


lim x^5/2^x quando x-- mais infinito
lim (x+1)^5/2^x quando x-- mais infinito
lim raiz x-ésima de x quando x-- mais infinito 
lim raiz (2x+1)-ésima de x^2+x quando x-- a mais 
infinito= 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
= 
  -- Bruno França dos 
  Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: 
  http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key 
  icq: 12626000e^(pi*i)+1=0 
  
  

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  21/2/2006

Re: [obm-l] limites

[Tio Cabri st]

Para os índios mais de dois é buzilhao 
(rsrsrs...)

  - Original Message - 
  From: 
  Artur 
  Costa Steiner 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, February 22, 2006 10:18 
  AM
  Subject: RES: [obm-l] limites
  
  Nao precisafazer 
  um buzilhao de vezes. Basta fazer 5 vezes. Vc obtem lim (x - oo) 
  120/((ln(2)^5 *2^x) = 0
  Artur
  1) lim x^5/2^x, para x - +ooOu vc sabe que exponencial é 
mais rápida que polinomial, e portanto o denominador cresce mais rapidamente 
e o limite vai pra zero, ou vc faz l'hopital um buzilhao de vezes até chegar 
em algo da forma a/b*2^x, aí é claro que vai pra 0.
  
  

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  21/2/2006

Re: [obm-l] limites

[Bruno França dos Reis]

E já li que para algumas tribos africanas, mais de 3 é um buzilhão também!!

Bom, piadinhas a parte, Valter, acho que no exercício 2, no lugar de
aplicar L'Hopital, pode-se utilizar o exercício 1, onde L'H já foi
aplicado, pois com a mudança de variável chega-se no mesmo caso, então
não precisamos aplicar um buzilhao ( = 5  3 (se vc estiver no
meio da tribo africana a que me refiro (que nao lembro qual!))  2
(se vc for índio, segundo Tio Cabri)) vezes L'Hopital.
Mas digo isto da mudança de variável não porque eu ache ruim usar
L'Hopital, mas pq como já foi usado no exercício 1, podemos atacar o
segundo de uma forma, que, na minha opinião, é menos braçal. Só troque
de variável (uma mudança muito simples, diga-se de passagem), e então
vc obtem um caso de limite análogo ao exercício 1, que, como já foi
resolvido, não se tem a necessidade de recalcular o limite!

Não vejo nenhum problema em aplicar L'Hopital. Tá aí pra ser usado!

Abraço,
Bruno

On 2/22/06, Tio Cabri st [EMAIL PROTECTED] wrote:







Para os índios mais de dois é buzilhao 
(rsrsrs...)

  - Original Message - 
  
From: 
  Artur 
  Costa Steiner 
  To: 
obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, February 22, 2006 10:18 
  AM
  Subject: RES: [obm-l] limites

  
  Nao precisafazer 
  um buzilhao de vezes. Basta fazer 5 vezes. Vc obtem lim (x - oo) 
  120/((ln(2)^5 *2^x) = 0
  Artur
  1) lim x^5/2^x, para x - +ooOu vc sabe que exponencial é 
mais rápida que polinomial, e portanto o denominador cresce mais rapidamente 
e o limite vai pra zero, ou vc faz l'hopital um buzilhao de vezes até chegar 
em algo da forma a/b*2^x, aí é claro que vai pra 0.
  
  

  No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free 
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  21/2/2006

-- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000e^(pi*i)+1=0

RES: [obm-l] limites

[Artur Costa Steiner]

Talvez 
tenhamos que, por definicao, 1 buzilhao = 5

  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Tio Cabri 
  stEnviada em: quarta-feira, 22 de fevereiro de 2006 
  11:36Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Re: [obm-l] 
  limites
  Para os índios mais de dois é buzilhao 
  (rsrsrs...)
  
- Original Message - 
From: 
Artur Costa Steiner 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Wednesday, February 22, 2006 
10:18 AM
Subject: RES: [obm-l] limites

Nao 
precisafazer um buzilhao de vezes. Basta fazer 5 vezes. Vc obtem lim 
(x - oo) 120/((ln(2)^5 *2^x) = 0
Artur
1) lim x^5/2^x, para x - +ooOu vc sabe que exponencial 
  é mais rápida que polinomial, e portanto o denominador cresce mais 
  rapidamente e o limite vai pra zero, ou vc faz l'hopital um buzilhao de 
  vezes até chegar em algo da forma a/b*2^x, aí é claro que vai pra 
  0.



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21/2/2006

[obm-l] limites

[Guilherme Neves]

Calcular os seguintes limites:


lim x^5/2^x quando x-- mais infinito
lim (x+1)^5/2^x quando x-- mais infinito
lim raiz x-ésima de x quando x-- mais infinito 
lim raiz (2x+1)-ésima de x^2+x quando x-- a mais infinito

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] limites

[Bruno França dos Reis]

1) lim x^5/2^x, para x - +oo
Ou vc sabe que exponencial é mais rápida que polinomial, e portanto o
denominador cresce mais rapidamente e o limite vai pra zero, ou vc faz
l'hopital um buzilhao de vezes até chegar em algo da forma a/b*2^x, aí
é claro que vai pra 0.

2) O mesmo. Para justificar, faça l'hopital OU (acho mais bonito) u =
x+1, e o limite vira u^5 / 2^(u-1) = 2u^5/2^u, e lim 2 u^5 / 2^u = 2
lim u^5 / 2^u, que tende para 0, como já sabemos do exemplo anterior.

3) lim x^(1/x), x - +oo
x^(1/x) = e^(1/x * ln x)
Como e^x é contínua, vamos achar o limite do expoente para calcular o resultado
lim 1/x * lnx = 0, pois: 1) ou vc sabe que ln é mais lerda que qualquer
polinomial, entao o denominador cresce mais rapidamente e o limite vai
pra 0, ou vc faz, sei lá, l'hopital.
Então o limite procurado vale, como a exponencial é continua, e^(lim 1/x * lnx) = e^0 = 1

Abraço
Bruno
On 2/21/06, Guilherme Neves [EMAIL PROTECTED] wrote:
Calcular os seguintes limites:


lim x^5/2^x quando x-- mais infinito
lim (x+1)^5/2^x quando x-- mais infinito
lim raiz x-ésima de x quando x-- mais infinito 
lim raiz (2x+1)-ésima de x^2+x quando x-- a mais infinito

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
-- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000e^(pi*i)+1=0

[obm-l] Limites

[Klaus Ferraz]

lim(x--2) ((5x-2)^1/3-2)/((x-1)^1/2-1) R:5/6lim(x--8)((9+2x)^1/2-5)/(x^1/3-2) R:12/5
		 
Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.

Re:[obm-l] Limites

[Luiz H\. Barbosa]

lim(x--2) ((5x-2)^1/3-2)/((x-1)^1/2-1) 
Como ha um caso de indeterminação 0/0 .Deriva-se o numerador e o denominador.
10/{(3)*[(5x-2)^2/3]*[x-1]} = 10/12 = 5/6

Faz o mesmo para o segunda que da certo!

lim(x--8)((9+2x)^1/2-5)/(x^1/3-2) R:12/5 

[]'s
Luiz H. Barbosa 

Re:[obm-l] Limites

[Salhab \[ k4ss \]]

Ólá,
bom, vc conhece L'Hopital?
Como ambos os limites são do tipo 0/0, basta aplicar L'Hopital para resolve-los.

1) Lim(x-2) 1/2 * (9 + 2x)^(-1/2) * 2 / [1/3 * x^(-2/3)]
agora é só terminar que da a resposta...
para o segundo é identico..
na hora de derivar, não esquece da regra da cadeia!

abraços,
Salhab



 lim(x--2) ((5x-2)^1/3-2)/((x-1)^1/2-1) R:5/6 
 
 lim(x--8)((9+2x)^1/2-5)/(x^1/3-2) R:12/5 
 
 
 - 
 Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.

Re: [obm-l] Limites radiciação

[Akira Kaneda]

ta muito facil ou ninguem soube fazer ?








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=
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=

[obm-l] Limites radiciação

[Akira Kaneda]

Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado
e determine :

lim x - 2 / ((x + 2)^0.5) - 2
x - 2

lim (x^0.5) - 2 / x - 4
x - 4

[]`s







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=

[obm-l] limites de sequencias de conjuntos

[Artur Costa Steiner]

Achei estes problemas interessantes. Sugiro-os aos colegas.

Sendo A_n uma sequencia de subconjuntos de um conjunto A, definimos como
limite superior de A_n, limsup A_n, ao conjunto formado pelos elementos de A
que peretencam a uma infinidade de conjuntos A_n; definimos como limite
inferior de A_n, lim inf A_n, ao conjunto formado pelos elementos de A que,
com possível excecao de um numero finito de conjuntos,  pertencam a todos os
conjuntos A_n. 

1) Mostre que 

1.1  lim sup A_n = Interseccao (n =1, oo) (Uniao(m=n, oo) A_m)
1.2  lim inf  A_n =  Uniao(n =1, oo) (Interseccao(m=n, oo) A_m)
1.3 0 = lim inf A_n = lim sup A_n = AAqui, 0 significa o conjunto
vazio e = significa esta propriamente contido ou eh igual. 
1.4  Se A_n for uma sequencia monotonicamente crescente, no sentido de que
A_n = A_(n+1) para todo n, entao   lim inf A_n = lim sup A_n = Uniao (n=1,
oo) A_n
1.5  Se A_n for uma sequencia monotonicamente decrescente, no sentido de que
A_(n+1) = A_n para todo n, entao   lim inf A_n = lim sup A_n = Interseccao
(n=1, oo) A_n


2) Em analogia com sequencias de numeros reais, dizemos que, se  lim inf A_n
= lim sup A_n = L,  entao L = lim A_n (limite de A_n) e A_n converge para L.

2.1 De exemplo de uma sequencia de conjuntos tal que lim inf A_n = 0 (vazio)
e lim sup A_n = A (A um conjunto qualquer)
2.2 De exemplo de uma sequencia A_n que nao seja monotonica mas seja
convergente.

Artur


 

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Limites, Derivadas e Integral

[r_c_d]

Preciso aprender muito sobre Limites, Derivadas e Integral, principalmente, 
intepretar os graficos e deduzir funções.. 
Alguem pode me ajudar com algum site ou livro??? 
Muito obrigado 

Re: [obm-l] Limites, Derivadas e Integral

[Fabio Niski]

r_c_d wrote:
Preciso aprender muito sobre Limites, Derivadas e Integral, principalmente, 
intepretar os graficos e deduzir funções.. 
Alguem pode me ajudar com algum site ou livro??? 
Muito obrigado 


Gosto de Courant ou Guidorizzi.
Estou começando a apreciar tb os livros do Marsden.


--
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski

sin^2(X) is odious to me, even thoug Laplace made use of it; shoud it
be feared that sin^2(x) might become ambiguous, which would perhaps
never occur ... well then, let us write (sin(x))^2, but not sin^2(X), which
by analogy should signify sin(sin(x))

Carl Friedrich Gauss
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Limites, Derivadas e Integral

[Júnior]

Essas notas de aula podem te ajudar inicialmente
http://www.mat.ua.pt/vneves/ami/notas/ami.pdf

Em 22/07/05, r_c_d[EMAIL PROTECTED] escreveu:
 Preciso aprender muito sobre Limites, Derivadas e Integral, principalmente,
 intepretar os graficos e deduzir funções..
 Alguem pode me ajudar com algum site ou livro???
 Muito obrigado
 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Limites, Derivadas e Integral

[Bruno França dos Reis]

Eu gosto desses aqui:

Guidorizzi, Um curso de Cálculo, Vol 1
Calculus, Michael Spivak (cuidado: não é o Calculus on Manifolds, que vende em várias livrarias! ehehe)

Se vc quiser também estudar os números reais de verdade, pra ver as
entranhas do cálculo de uma variável, eu gostei do livro do Elon, Um
curso de Análise.

Abraço
BrunoOn 7/22/05, r_c_d [EMAIL PROTECTED] wrote:
Preciso aprender muito sobre Limites, Derivadas e Integral, principalmente,intepretar os graficos e deduzir funções..Alguem pode me ajudar com algum site ou livro???Muito obrigado
-- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000e^(pi*i)+1=0

Re: [obm-l] Limites, Derivadas e Integral(***aproveitando)

[SiarJoes]

Caros amigos, aproveitando o embalo , alguém teria algum site onde eu poderia encontrar as demonstrações das integrais de :

£=integral

£sen^n(x)
£cos^n(x)
£tg^n(x)
£cotg^n(x)

Alguém saberia de algum site com suas fórmulas(que já tenho) e com as demonstrações?

Desde já agradeço, aproveito também pra agradecer ao pessoal que me indicou programas de digitalização com caracteres matemáticos, consegui baixar um programa e estou conseguindo fazer meu resumo, obrigado mesmo a todos que me sugeriram!

RES: [obm-l] limites

[Artur Costa Steiner]

Isso eh uma consequencia da definicao de limite. Se c = g(b), entao g eh
continua em b e estah tudo OK. 
Mas se g nao for definida em b ou g for definida mas descontinua em b (caso
em que g(b)c), entao sao necessarias algumas hipoteses adicionais para
garantir que lim(x tende a a)g(f(x))= c. Isto talvez fique mais claro
atraves de um exemplo. Definamos f(x) = x*sen(1/x) para x0 e g(y) =
sen(y)/y para y0. Entao f nao eh definida em x=0, mas lim (x-0) f(x) =0.
g tambem nao eh definida em y =0, mas lim(y - 0) g(y) =1. Observamos ainda
que f se anula em qualquer vizinhanca deletada de x=0 (isto eh qualquer
vizinhanca de x=0 exclusive o proprio 0), de modo que em qualquer destas
vizinhancas deletadas existem uma infinidade de valores para os quais g(f)
= g o f nao eh definida. Assim , pela definicao de limite, temos que nao
existe lim (x-0) g(f)x).  Da mesma forma, este limite continua nao
existindo se definirmos g(0) de modo que g nao seja continua em x=0.  Se,
por exemplo, se definirmos g(0) =2, entao em qualquer vizinhanca deletada de
x=0 teremos |g(f(x)) - 1| = |2-1| =1 0 para uma infinidade de elementos x,
de modo que nao poderemos tornar  |g(f(x)) - 1|  eps se eps0 for arbitrado
em valores menores que 1. Dado que 1 eh o unico candidato a limite de g o f
em x=0, segue-se que lim (x-0) g(f)x nao existe. Mas se definirmos g(0) =1,
entao g eh continua em y=0 e de fato temos lim (x-0) g(f(x) = 1.

Suponhamos agora que f(x) = x^2, x real, e g(y) = sen(y)/y para y0. Entao
g nao eh definida em y=0 e lim(y - 0) g(y) =1. Mas temos que a condicao
x0 implica f(x) 0, e temos de fato que temos lim (x-0) g(f(x) = 1.
Neste caso, o fato de g ser definida ou nao em y=0 em nada afeta o limite.
Poderiamos tambem definit g(0) como qualquer valor e tambem em nada
afetariamos o limite. Pela sua definicao, limites dependem do comportamento
da funcao em uma vizinahnaca de um ponto de acumulacao de seu dominio, mas
independem totalmente do valor da funcao no ponto ou mesmo da existencia ou
nao da funcao no ponto.

Espero ter ajudado e nao complicadado, este pontos sao de fato um pouco
confusos.
Artur
 

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de fabiodjalma
Enviada em: Saturday, February 19, 2005 6:29 PM
Para: obm-l@mat.puc-rio.br; obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] limites



Acabei de ler que 

sejam f de X em R e g de Y em R, com f(X)contido em Y, a pertencente ao 
conjunto X´ e b pertencente ao conjunto Y´inter Y. 
Se lim(x tende a a)f(x)= b e lim(y tende a b)g(y)= c 
entao lim(x tende a a)g(f(x))= c desde que c = g(b) ou que x diferente de a 
implique f(x) diferente de b. 
Nao entendi estas condiçoes. 




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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

[obm-l] limites

[fabiodjalma]

Acabei de ler que 

sejam f de X em R e g de Y em R, com f(X)contido em Y, a pertencente ao 
conjunto X´ e b pertencente ao conjunto Y´inter Y. 
Se lim(x tende a a)f(x)= b e lim(y tende a b)g(y)= c 
entao lim(x tende a a)g(f(x))= c desde que c = g(b) ou que x diferente de a 
implique f(x) diferente de b. 
Nao entendi estas condiçoes. 

RE: [obm-l] Limites bom material

[saulo bastos]

O demidovitch, um livro russo, e muito bom, nao sei se escreve desse jeito 
nome do autor. Os professores do Ita recomendavam ele.
Ate mais, saulo.

From: André Barreto [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Limites bom material
Date: Wed, 24 Nov 2004 22:30:05 -0300 (ART)
Oi amigos da lista.
Alguem pode indicar alguma lista de exercicios na internet ou algum livro 
ou algo do genero que tenha boas questões de limite e derivada a nível de 
um curso de cálculo 1. As questões do meu material  já estão muito 
faceis... queria ter um maior desafio!

Obrigado antecipadamente.
Atenciosamente
André Sento Sé Barreto
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Re: [obm-l] Limites bom material

[Artur Costa Steiner]

Os livros do Erlon, do Bartle e do Rudin sao prodigos em exercicios
interessantes e instrutivos. Alguns muito dersfiadores.
Artur

- Mensagem Original 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Limites bom material
Data: 25/11/04 00:44


Oi amigos da lista.

Alguem pode indicar alguma lista de exercicios na internet ou algum livro ou
algo do genero que tenha boas questões de limite e derivada a nível de um
curso de cálculo 1. As questões do meu material  já estão muito faceis...
queria ter um maior desafio!

Obrigado antecipadamente.

Atenciosamente 

André Sento Sé Barreto 
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[obm-l] Limites bom material

[André Barreto]

Oi amigos da lista.

Alguem pode indicar alguma lista de exercicios na internet ou algum livro ou algo do genero que tenha boas questões de limite e derivada a nível de um curso de cálculo 1.As questões do meu material já estão muito faceis... queria ter um maior desafio!

Obrigado antecipadamente.

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Re: [obm-l] Limites bom material

[Fabio Niski]

André Barreto wrote:
Lembro que vi na biblioteca um livro do Boulos exclusivamente sobre 
exercicios de limites e derivadas.
Tambem recomendo o livro do Demidovich e o do Ginzburg.


Oi amigos da lista.
 
Alguem pode indicar alguma lista de exercicios na internet ou algum 
livro ou algo do genero que tenha boas questões de limite e derivada a 
nível de um curso de cálculo 1. As questões do meu material  já estão 
muito faceis... queria ter um maior desafio!
 
Obrigado antecipadamente.
 
Atenciosamente
 
André Sento Sé Barreto 

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Re: [obm-l] limites iterados

[Artur Costa Steiner]

Oi Eric
Isto naum eh propriamente dificil, mas exige alguma
pratica com o manuseio de limites.
De lim f(x,y) = L quando (x,y) - (a,b), segue-se que,
para todo eps0, existe d10 tal que, se 0 |(x,y) -
(a,b)|  d1 entao |f(x,y) - L|  eps (1), com  (x,y)
no dominio de f, o que sempre admitiremos. Sendo d=
raiz(d1)/2, entao 1 serah satisfeita sempre que
0|x-a|  d e 0|y-b|  d.  Fixemos um y que satisfaca
a esta ultima desigualdade e facamos x-a. Entao, a
existencia para este y de g(y) = lim f(x,y) quando x
- a implica que |f(x,y) - L| - |g(y) - L|. E, de
(1), segue-se das propriedades de limites que |g(y) -
L| =eps. Concluimos assim, em ultima analise que,
para todo eps 0, existe d0 tal que |g(y) - L| =eps
para 0 |y-b| d, ou seja g(y) - L quando x- b.
Artur



--- Eric [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Ola
 
 Gostaria de saber como provar com epsilons e deltas
 o
 seguinte resultado sobre limites iterados:
 
 Se lim f(x,y) = L quando (x,y) - (a,b) e se
 existem os limites g(y) = lim f(x,y) quando x - a
 e h(x) = lim f(x,y) quando y - b entao
 lim (  lim f(x,y)) = L
 y-b  x-a
 
 Este eh o exercicio 2 da secao 8.5 do livro 
 de Calculo de Tom Apostol, volume 2.
 
 Deve ser facil, mas tentei fazer de varios
 modos e cada prova que conseguia
 tinha algum erro que a invalidava.
 
 Ninguem da turma fez e a professora falou
 que realmente nao tinhamos entendido limites.
 
 -
 Uma ideia que tive foi:
 
 Como existe o limite bidimensional entao,
 por definicao, para todo eps0, existe d0
 tal que
 
 [1] - 0||(x,y)-(a,b)||d implica em
 [2] - |f(x,y)-L|eps. 
 
 Suponha que vale [1] entao 'Claramente'
 lim f(x,y) = g(y) esta no intervalo
 x-a
 [L - eps, L + eps]
 sempre que 0|y-b|d
 Nao sei provar isto, principalmente a parte do
 'sempre que', alguma dica? Fazendo
 uma figura fica mais ou menos evidente, ateh
 porque [2] significa que f(x,y) esta no intervalo
 ]L-eps,L+eps[ sempre que vale [1], daih, g(y)
 deve estar no intervalo [L-eps,L+eps]
 
 Mas dizer que g(y) esta em [L-eps, L+eps]
 sempre que 0|y-b|d eh afirmar que
 0|y-b|d acarreta |g(y)-L|eps,
 que significa que
 lim g(y) = L
 y-b
 
 isto eh
 
 lim (  lim f(x,y)) = L
 y-b x-a
 
 que eh o que quero mostrar.
 
 ---
 Agradeco qualquer dica, inclusive de onde posso
 encontrar essa demonstracao na WWW.
 
 [ ]'s
 
 Eric
 

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[obm-l] limites iterados

[Eric]

Ola

Gostaria de saber como provar com epsilons e deltas o
seguinte resultado sobre limites iterados:

Se lim f(x,y) = L quando (x,y) - (a,b) e se
existem os limites g(y) = lim f(x,y) quando x - a
e h(x) = lim f(x,y) quando y - b entao
lim (  lim f(x,y)) = L
y-b  x-a

Este eh o exercicio 2 da secao 8.5 do livro 
de Calculo de Tom Apostol, volume 2.

Deve ser facil, mas tentei fazer de varios
modos e cada prova que conseguia
tinha algum erro que a invalidava.

Ninguem da turma fez e a professora falou
que realmente nao tinhamos entendido limites.

-
Uma ideia que tive foi:

Como existe o limite bidimensional entao,
por definicao, para todo eps0, existe d0
tal que

[1] - 0||(x,y)-(a,b)||d implica em
[2] - |f(x,y)-L|eps. 

Suponha que vale [1] entao 'Claramente'
lim f(x,y) = g(y) esta no intervalo
x-a
[L - eps, L + eps]
sempre que 0|y-b|d
Nao sei provar isto, principalmente a parte do
'sempre que', alguma dica? Fazendo
uma figura fica mais ou menos evidente, ateh
porque [2] significa que f(x,y) esta no intervalo
]L-eps,L+eps[ sempre que vale [1], daih, g(y)
deve estar no intervalo [L-eps,L+eps]

Mas dizer que g(y) esta em [L-eps, L+eps]
sempre que 0|y-b|d eh afirmar que
0|y-b|d acarreta |g(y)-L|eps,
que significa que
lim g(y) = L
y-b

isto eh

lim (  lim f(x,y)) = L
y-b x-a

que eh o que quero mostrar.

---
Agradeco qualquer dica, inclusive de onde posso
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Eric

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Re: [obm-l] limites iterados

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Bom, eu acho que você entendeu o suficiente de limite para ter a idéia
certa, mas apenas faltou traduzir o desenho em epsilons e deltas.

Uma idéia é a seguinte: você quer provar que lim y-b g(y) = L, então
basta calcular a diferença g(y) - L e ver se ela vai dar pequena o
suficiente para y suficientemente próximo de b. Com isto, prova-se a
existência e o valor do limite.
Vamos achar delta para que | g(y) - L |  eps quando | y - b |  delta

A idéia para provar isso será de fazer primeiro g(y) bem proximo de
f(x,y), e depois aproximar g(y) de L pela desigualdade triangular,
pois f(x,y) estará (se tudo der certo) perto de L. Esta tática é muito
usada para resolver este tipo de problemas de limites e coisas
parecidas.

Tome, então, delta 1 (vou usar d1) para que | f(x,y) - L |  eps/2
para | (x,y) - (a,b) |  d1
Tome, em seguida, d2 tal que | f(x,y) - g(y) |  eps/2 para | x - a |
 d2 (esta é a existência do segundo limite)
Fazendo g(y) - L = g(y) - f(x,y) + f(x,y) - L e separando os termos,
temos, pela desigualdade triangular, | g(y) - L | = | g(y) - f(x,y) |
+ | f(x,y) - L |  eps/2 + eps/2 = eps, sempre que
1- |x-a|  d2
2- |(x,y) - (a,b)|  d1

Ora, as duas ocorrem quando |y-b|  (d1)/2 e |x-a|  min{d2, (d1)/2},
e portanto podemos escolher delta igual a (d1)/2 que teremos garantido
que podemos escrever as duas desigualdades  eps/2 (o passo
fundamental)

E isso.

Qualquer coisa, pergunte
Bernardo Costa

On Sun, 19 Sep 2004 14:10:58 -0300, Eric [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Ola
 
 Gostaria de saber como provar com epsilons e deltas o
 seguinte resultado sobre limites iterados:
 
 Se lim f(x,y) = L quando (x,y) - (a,b) e se
 existem os limites g(y) = lim f(x,y) quando x - a
 e h(x) = lim f(x,y) quando y - b entao
 lim (  lim f(x,y)) = L
 y-b  x-a
 
 Este eh o exercicio 2 da secao 8.5 do livro
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 Deve ser facil, mas tentei fazer de varios
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 -
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 Como existe o limite bidimensional entao,
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 [1] - 0||(x,y)-(a,b)||d implica em
 [2] - |f(x,y)-L|eps.
 
 Suponha que vale [1] entao 'Claramente'
 lim f(x,y) = g(y) esta no intervalo
 x-a
 [L - eps, L + eps]
 sempre que 0|y-b|d
 Nao sei provar isto, principalmente a parte do
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 uma figura fica mais ou menos evidente, ateh
 porque [2] significa que f(x,y) esta no intervalo
 ]L-eps,L+eps[ sempre que vale [1], daih, g(y)
 deve estar no intervalo [L-eps,L+eps]
 
 Mas dizer que g(y) esta em [L-eps, L+eps]
 sempre que 0|y-b|d eh afirmar que
 0|y-b|d acarreta |g(y)-L|eps,
 que significa que
 lim g(y) = L
 y-b
 
 isto eh
 
 lim (  lim f(x,y)) = L
 y-b x-a
 
 que eh o que quero mostrar.
 
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 Eric
 
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Re: [obm-l] Limites

[Artur Costa Steiner]

Tem toda a razão, eu me enganei.
Artur

- Mensagem Original 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] Limites
Data: 29/07/04 00:04

Oi, Artur

Assim como eu, você considerou [log(x+1)]^[log(a)/log(x)].

Mas cometeu um errinho na derivação... Quando, ao fazer g(x) = log(a)*[log
(log(x+1)]/log(x) e aplicar L'Hopital, temos que a derivada de ambos é
log(a)
*x/[(x+1)*log(x+1)], e não com o x multiplicando embaixo.

Novamente, numerador e denominador tendem a zero, e logo derivamos outra vez
para achar log(a)*1/[1 + log(x+1)], que tende a log(a).

Agora, se K é a expressão original, temos portanto que log(k) = log(a), e,
portanto, quando x- 0, k - a, como eu havia mostrado de uma outra maneira.

[]s,

Daniel

Artur Costa Steiner ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Pessoal, gostaria de uma ajuda.Estou com dificuldades
em provar as seguintes afirmações.

1)prove que o lim ln((x+1)) ^(lna/lnx), qdo x tende a
zero é igual a Lna.

para x0, definamos g(x) como o ln da expressao acima. Entao g(x) = ln(a) *
[ln(ln(x+1))]/ln(x). Quando x-0, o numerador e o denominador tendem a -
inf. Se derivarmos ambos, obtemos ln(a) * 1/[(x+1)*ln(x+1)] * x = ln(a) *
x/[(x+1)*ln(x+1)] = x/(x+1) * 1/ln(x+1) * ln(a), que tende a inf quando
x-0+. Por L´Hopital, concluimos que g(x) - inf quando x- 0+. Logo, a
expressao dada tende a inf, e naum a ln(a), a menos que eu tenha cometido
algum engano.
Artur








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Re:[obm-l] Limites

[kleinad]

Outra maneira seria tomar f(x) = log [(a^x)/x] = x*log a - log x, com a  1.
Se isso tende a infinito, então (a^x)/x também tende.

f'(x) = log a - (1/x).

Se x  2/log a, f'(x) é sempre maior que (1/2)*log a pois é crescente.

Assim, f(x) - f(c) = I(x,c)[f'(x)] = I(x,c)[(1/2)*log a] = (1/2)*(log a)*
(x - c), onde I(x,c)[f(x)] denota a integral definida de f(x) de c até x.

Logo, f(x) = (1/2)*(log a)*(x-c) + f(c), e obviamente f(x) tende a
infinito, e, como conseqüência, (x/e^x) tende a zero, tomando a = e.

Resta mostrar que x^a/e^x tende a zero. Para isso, basta mostrar que e^x/x^a
tende a infinito.

De fato, tomando e = b^a (b  1), temos que a a-ésima raiz de e^x/x^a será

b^x/x, e, como b  1, temos b^x/x - +oo. Logo, e^x/x^a - +oo.

Como p(x) eu creio que seja um polinômio qualquer, então podemos separá-lo
em frações simples da forma x^a/e^x, que tendem todas a zero.

[]s,
Daniel



Osvaldo ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Olá.

 2) Prove que Lim p(x)/e^x = 0 quando x tende a
infinito.

Temos uma indeterminação do tipo +oo/+oo.
Aplica-se L'Hospital até zerar o numerador, e observe
que o denominador permanece inalterado, por se tratar
da função exponencial. Assim teremos o limite da
constante 0, que dá zero. Acho que é isso, falou.













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Atenciosamente,

Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira
Osvaldo Mello Sponquiado
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Re:[obm-l] Limites

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Acho este modo um pouco mais elementar...Na verdade foi uma questao da Olimpiada Paulista...
Veja que para x0 vale:(e^x)1+x.
Entao e^x=((e^(x/2))^2)(1+(x/2))^2=1+x+((x^2)/4), e assim vemos que exp cresce mais rapido que x.
Podemos, no lugar de x/2, usar x/ke ver que e^x cresce mais rapido que qualquer monomio em x. Com isso, e facil concluir![EMAIL PROTECTED] wrote:
Outra maneira seria tomar f(x) = log [(a^x)/x] = x*log a - log x, com a  1.Se isso tende a infinito, então (a^x)/x também tende.f'(x) = log a - (1/x).Se x  2/log a, f'(x) é sempre maior que (1/2)*log a pois é crescente.Assim, f(x) - f(c) = I(x,c)[f'(x)] = I(x,c)[(1/2)*log a] = (1/2)*(log a)*(x - c), onde I(x,c)[f(x)] denota a integral definida de f(x) de c até x.Logo, f(x) = (1/2)*(log a)*(x-c) + f(c), e obviamente f(x) tende ainfinito, e, como conseqüência, (x/e^x) tende a zero, tomando a = e.Resta mostrar que x^a/e^x tende a zero. Para isso, basta mostrar que e^x/x^atende a infinito.De fato, tomando e = b^a (b  1), temos que a a-ésima raiz de e^x/x^a seráb^x/x, e, como b  1, temos b^x/x - +oo. Logo, e^x/x^a - +oo.Como p(x) eu creio que seja um polinômio qualquer, então
 podemos separá-loem frações simples da forma x^a/e^x, que tendem todas a zero.[]s,DanielOsvaldo ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:Olá. 2) Prove que Lim p(x)/e^x = 0 quando x tende ainfinito.Temos uma indeterminação do tipo +oo/+oo.Aplica-se L'Hospital até zerar o numerador, e observeque o denominador permanece inalterado, por se tratarda função exponencial. Assim teremos o limite daconstante 0, que dá zero. Acho que é isso, falou.__ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis!
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TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)

N.F.C. (Ne Fronti Crede)
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Re:[obm-l] Limites

[kleinad]

1) Mostrar que lim [log (x+1)]^[(log a)/(log x)] = log a quando x - 0.

Pra ser sincero, não consegui fazer isso não; só posso mostrar que a
expressão equivale a a, e não log a. (O Winplot concorda comigo :)).

Também acredito que lim log(x+1)^[log(a)/log(x)] (x- 0)seja zero por
valores negativos, por isso tomei a liberdade de fazer a modificação dos
parênteses.

Ok. Se x - 0, então faça x = 1/k, com k - + oo (visto que x tem de ser
positivo).

Vamos mostrar que [log (x+1)]^[1/log(x)] = e.

[log(x+1)]^[1/log(x)] = [log[(1/k) + 1]^[1/log(1/k)] =
 = [(1/k)*log[(1/k) + 1]^k]^[-1/log(k)]

Como lim k-oo de [(1/k) + 1]^k = e, temos que a expressão acima fica

(1/k)^[-1/log(k)].

Temos k = 1/x. Substituindo, vem

x^[-1/log(1/x)] = x^log(x). Ora, mas x = e^a e logo

x^log(x) = e^[a/log(e^a)] = e^(a/a) = e.

Assim, a expressão original equivale a e^log(a) = a.

Ah, eu escrevo log a = logaritmo de a na base e !!!

[]s,
Daniel

=
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=

Re:[obm-l] Limites

[kleinad]

Ops... Um errinho no final:

x^[-1/log(1/x)] = x^[1/log(x)] e não x^log(x) ! Engraçado é que depois, na
hora de substituir x por e^a, eu escrevi tudo certinho...

E antes que surjam perguntas, o a de e^a = x não é o mesmo a da
expressão a ser calculada. Fui apenas infeliz na escolha de e^a = x. Isso é
sanado tomando-se e^b = x.

[]s,
Daniel

[EMAIL PROTECTED] escreveu:

1) Mostrar que lim [log (x+1)]^[(log a)/(log x)] = log a quando x - 0.

Pra ser sincero, não consegui fazer isso não; só posso mostrar que a
expressão equivale a a, e não log a. (O Winplot concorda comigo :)).

Também acredito que lim log(x+1)^[log(a)/log(x)] (x- 0)seja zero por
valores negativos, por isso tomei a liberdade de fazer a modificação dos
parênteses.

Ok. Se x - 0, então faça x = 1/k, com k - + oo (visto que x tem de ser
positivo).

Vamos mostrar que [log (x+1)]^[1/log(x)] = e.

[log(x+1)]^[1/log(x)] = [log[(1/k) + 1]^[1/log(1/k)] =
 = [(1/k)*log[(1/k) + 1]^k]^[-1/log(k)]

Como lim k-oo de [(1/k) + 1]^k = e, temos que a expressão acima fica

(1/k)^[-1/log(k)].

Temos k = 1/x. Substituindo, vem

x^[-1/log(1/x)] = x^log(x). Ora, mas x = e^a e logo

x^log(x) = e^[a/log(e^a)] = e^(a/a) = e.

Assim, a expressão original equivale a e^log(a) = a.

Ah, eu escrevo log a = logaritmo de a na base e !!!

[]s,
Daniel

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Re:[obm-l] Limites

[Artur Costa Steiner]

A forma mais simples de mostrar isto talvez seja por L'Hopital. Mas hah uma
outra forma, tambem simples e elegante, baseada na definicao da funcao
exponencial, por serie de potências. 
Eh suficiente mostrar que a condicao vale para polinomios simples do tipo
P(x) = x^n. Temos que e^x = 1+ x...+x^n/n!.Para todo inteiro n=1 e todo
x0, temos entao que e^x  (x^(n+1))/(n+1)!. Logo, e^x/x^n 
((x^(n+1))/(n+1)!)/x^n = x/(n+1)! . Fixando-se n, eh imediato que o segundo
menbro tende a inf quando x- inf. E como o primeiro membro domina o
segundo, temos a conclusao desejada, que vale para todo inteiro n. E eh
facil concluir que isto permanece valido para todo real n. 
Artur


- Mensagem Original 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re:[obm-l] Limites
Data: 28/07/04 12:46


Acho este modo um pouco mais elementar...Na verdade foi uma questao da
Olimpiada Paulista...
Veja que para x0 vale: (e^x)1+x.
Entao e^x=((e^(x/2))^2)(1+(x/2))^2=1+x+((x^2)/4), e assim vemos que exp
cresce mais rapido que x.
Podemos, no lugar de x/2, usar x/k e ver que e^x cresce mais rapido que
qualquer monomio em x. Com isso, e facil concluir!

[EMAIL PROTECTED] wrote:
Outra maneira seria tomar f(x) = log [(a^x)/x] = x*log a - log x, com a  1.
Se isso tende a infinito, então (a^x)/x também tende.

f'(x) = log a - (1/x).

Se x  2/log a, f'(x) é sempre maior que (1/2)*log a pois é crescente.

Assim, f(x) - f(c) = I(x,c)[f'(x)] = I(x,c)[(1/2)*log a] = (1/2)*(log a)*
(x - c), onde I(x,c)[f(x)] denota a integral definida de f(x) de c até x.

Logo, f(x) = (1/2)*(log a)*(x-c) + f(c), e obviamente f(x) tende a
infinito, e, como conseqüência, (x/e^x) tende a zero, tomando a = e.

Resta mostrar que x^a/e^x tende a zero. Para isso, basta mostrar que e^x/x^a
tende a infinito.

De fato, tomando e = b^a (b  1), temos que a a-ésima raiz de e^x/x^a será

b^x/x, e, como b  1, temos b^x/x - +oo. Logo, e^x/x^a - +oo.

Como p(x) eu creio que seja um polinômio qualquer, ! então podemos separá-lo
em frações simples da forma x^a/e^x, que tendem todas a zero.

[]s,
Daniel



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Re: [obm-l] Limites

[Artur Costa Steiner]

Pessoal, gostaria de uma ajuda.Estou com dificuldades 
em provar as seguintes afirmações.

1)prove que o lim ln((x+1)) ^(lna/lnx), qdo x tende a 
zero é igual a Lna.

para x0, definamos g(x) como o ln da expressao acima. Entao g(x) = ln(a) *
[ln(ln(x+1))]/ln(x). Quando x-0, o numerador e o denominador tendem a -
inf. Se derivarmos ambos, obtemos ln(a) * 1/[(x+1)*ln(x+1)] * x = ln(a) * 
x/[(x+1)*ln(x+1)] = x/(x+1) * 1/ln(x+1) * ln(a), que tende a inf quando
x-0+. Por L´Hopital, concluimos que g(x) - inf quando x- 0+. Logo, a
expressao dada tende a inf, e naum a ln(a), a menos que eu tenha cometido
algum engano.
Artur 








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Re: [obm-l] Limites

[kleinad]

Oi, Artur

Assim como eu, você considerou [log(x+1)]^[log(a)/log(x)].

Mas cometeu um errinho na derivação... Quando, ao fazer g(x) = log(a)*[log
(log(x+1)]/log(x) e aplicar L'Hopital, temos que a derivada de ambos é log(a)
*x/[(x+1)*log(x+1)], e não com o x multiplicando embaixo.

Novamente, numerador e denominador tendem a zero, e logo derivamos outra vez
para achar log(a)*1/[1 + log(x+1)], que tende a log(a).

Agora, se K é a expressão original, temos portanto que log(k) = log(a), e,
portanto, quando x- 0, k - a, como eu havia mostrado de uma outra maneira.

[]s,

Daniel

Artur Costa Steiner ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Pessoal, gostaria de uma ajuda.Estou com dificuldades
em provar as seguintes afirmações.

1)prove que o lim ln((x+1)) ^(lna/lnx), qdo x tende a
zero é igual a Lna.

para x0, definamos g(x) como o ln da expressao acima. Entao g(x) = ln(a) *
[ln(ln(x+1))]/ln(x). Quando x-0, o numerador e o denominador tendem a -
inf. Se derivarmos ambos, obtemos ln(a) * 1/[(x+1)*ln(x+1)] * x = ln(a) *
x/[(x+1)*ln(x+1)] = x/(x+1) * 1/ln(x+1) * ln(a), que tende a inf quando
x-0+. Por L´Hopital, concluimos que g(x) - inf quando x- 0+. Logo, a
expressao dada tende a inf, e naum a ln(a), a menos que eu tenha cometido
algum engano.
Artur








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[obm-l] Limites

[paulobarclay]

Pessoal, gostaria de uma ajuda.Estou com dificuldades 
em provar as seguintes afirmações.
 
1)prove que o lim ln((x+1)) ^(lna/lnx), qdo x tende a 
zero é igual a Lna.

2) Prove que Lim p(x)/e^x = 0 quando x tende a infinito.

Muito obrigado.

paulo barclay


 





 
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RE: [obm-l] Limites

[Leandro Lacorte Recova]

Paulo,

Na sua notacao do numero 1, quem esta elevado a lna/lnx ? E somente o
argumento de ln(x+1) ou o termo todo ln(x+1) ? 

Leandro.

-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of paulobarclay
Sent: Tuesday, July 27, 2004 1:18 PM
To: obm-l
Subject: [obm-l] Limites

Pessoal, gostaria de uma ajuda.Estou com dificuldades 
em provar as seguintes afirmações.
 
1)prove que o lim ln((x+1)) ^(lna/lnx), qdo x tende a 
zero é igual a Lna.

2) Prove que Lim p(x)/e^x = 0 quando x tende a infinito.

Muito obrigado.

paulo barclay


 





 
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Re:[obm-l] Limites

[Osvaldo]

Olá.

 2) Prove que Lim p(x)/e^x = 0 quando x tende a 
infinito.

Temos uma indeterminação do tipo +oo/+oo.
Aplica-se L'Hospital até zerar o numerador, e observe 
que o denominador permanece inalterado, por se tratar 
da função exponencial. Assim teremos o limite da 
constante 0, que dá zero. Acho que é isso, falou.




 
  
 
 
 
 
 
  
 
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Atenciosamente,

Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira
Osvaldo Mello Sponquiado 
Usuário de GNU/Linux


 
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[obm-l] limites superiores e inferiores de sequencias

[Artur Costa Steiner]

Boa tarde a todos. Diversas vezes eu vi a seguinte afirmacao, mas
nunca vi a demosnstracao:

Se (a_n) eh uma seqüência de números reais não negativos, entao lim
inf (a(n+1)/a(n)) = lim inf
(a(n)^(1/n) = lim sup
(a(n)^(1/n) = lim sup (a(n+1)//(a(n)). (A desigualdade do meio
vale, eh claro, para toda seqüência de números reais)

Vou
apresentar minha propria prova. – esperando que esteja certa. Inicialmente, vamosprovar que
lim sup (a(n)^(1/n) = lim
sup (a(n+1)/a(n).
Seja L = = lim sup (a(n+1)/a(n). Para todo pL, existe entao um natural k (dependente
de p) tal que a(n+1)/a(n)  p para todo n=k. Temos entao que

a(k+1)  p * a(k);
a(k+2)  p* a(k+1)  p^2 * a(k)De modo geral, temos
a(n)  p^(n-k) * a(k) =
(p^n)/(p^k) * a(k) = M *p^n, para n=k+1 e sendo M= a(k)/p^k. .. Logo, a(n)^(1/n)  p*
M^(1/n), também para n= k+1. Com possível exceção de um numero finito de
termos (os k primeiros), esta desigualdade vale para todos os termos das
duas seqüências que aparecem na ultima desigualdade. Logo, lim sup a(n)^(1/n) = lim sup p* M^(1/n). 
Como M eh independente de n, a seqüência do membro direito desta
ultima desigualdade converge para p, pois lim M^(1/n) = 1. Logo
lim sup (p * M^(1/n)). =
lim (p * M)^(1/n)) = p, do que
concluímos que lim sup
(a(n)^(1/n) = p. Como esta desigualdade vale para todo pL, temos
entao, necessariamente, que lim sup (a(n)^(1/n) = L lim sup
(a(n+1)/a(n).

Através de um raciocínio análogo, provamos que lim inf (a(n+1)/a(n)) = lim
inf (a(n)^(1/n). 
Como corolário, temos que (a(n+1)/a(n) for convergente, entao lim
(a(n+1)/a(n) = lim (a(n)^(1/n). 
Estas conclusões são muito usadas nos testes da raiz e da razão para
convergência absoluta de series O teste da razão eh mais conclusivo,
pois Soma (|a(n)|) pode convergir e, entretanto, termos lim
sup (|a(n+1)|/|a(n)| ) 1. 
AbraçosArtur


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[obm-l] Limites novamente

[amurpe]

Oi pessoal, gostaria de uma ajuda na resolução deste 
limite:

lim (( 1+raiz n-esima de x)/2)^n , quando n tende a 
infinito.

obrigado ,

Um abraço,

Amurpe

 
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Re: [obm-l] Limites novamente

[Roberto Gomes]

Acho que se resolve desta maneira:

x^(1/n) quando n tende a infinito = 1, então (1+1)/2=1, portanto 1^infinito =1.

espero ter ajudado

Roberto Gomesamurpe [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi pessoal, gostaria de uma ajuda na resolução deste limite:lim (( 1+raiz n-esima de x)/2)^n , quando n tende a infinito.obrigado ,Um abraço,Amurpe__Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.AntiPop-up UOL - É grátis!http://antipopup.uol.com.br/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!

Re: [obm-l] Limites novamente

[Claudio Buffara]

on 22.10.03 09:49, amurpe at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Oi pessoal, gostaria de uma ajuda na resolução deste
 limite:
 
 lim (( 1+raiz n-esima de x)/2)^n , quando n tende a
 infinito.
 
 obrigado ,
 
 Um abraço,
 
 Amurpe
 
 
Oi, Amurpe:

Legal esse!
Claro que x tem que ser = 0.
Algumas exploracoes numericas sugerem que o limite eh igual a raiz(x), o que
eh obvio pra x = 1.

Pra provar isso no caso geral, acho que uma ideia seria estabelecer uma cota
inferior e uma cota superior para a sequencia e provar que ambas convergem
pra raiz(x). 

Por exemplo, a desigualdade MG = MA implica que:
raiz(1*x^(1/n)) = (1 + x^(1/n))/2 ==
raiz(x)^(1/n) = (1 + x^(1/n))/2 ==
raiz(x) = ((1 + x^(1/n))/2)^n

Agora, falta achar uma cota superior.
(1 + x^(1/n))/2 = 1 + (x^(1/n) - 1)/2.
Tomando logaritmos naturais e usando a desigualdade ln(1 + a)  a, para a 
0, teremos:
ln((1 + x^(1/n))/2) = ln(1 + (x^(1/n) - 1)/2)  (x^(1/n) - 1)/2 ==
n*ln((1 + x^(1/n))/2)  n*(x^(1/n) - 1)/2 ==
((1 + x^(1/n))/2)^n  e^(n*(x^(1/n) - 1)/2) = raiz(e^(n*(x^(1/n) - 1))

Mas n*(x^(1/n) - 1) -- ln(x) quando n -- +infinito.
(se nao me engano, esse foi um resultado que voce mesmo mandou pra lista ha
algum tempo).
Logo, raiz(e^(n*(x^(1/n) - 1)) -- raiz(x) quando n -- +infinito.

Assim, as cotas inferior e superior da sequencia tem como limite raiz(x).

Isso implica que o limite da sequencia tambem eh raiz(x).

Um abraco,
Claudio.
 
raiz(x) = (1 + raiz(x)^(1/n) - 1)^n =
1 + n*(raiz(x)^(1/n) - 1))  n*(raiz(x)^(1/n) - 1)
 
(1 + x^(1/n))/2 = (1/2)*raiz(x)^(1/n)*(raiz(x)^(1/n) + 1/raiz(x)^(1/n))
1  1 - x^(2/n) = (1 - x^(1/n))*(1 + x^(1/n)) ==
1 - x^(1/n)  1/(1 + x^(1/n))
1 + x^(1/n) = (1 + raiz(x)^(1/n))^2 - 2*raiz(x)^(1/n) 
(1 + raiz(x)^(1/n))^2 ==

A desigualdade MA = MQ (media quadratica) implica que:
(1 + raiz(x)^(1/n))/2  raiz((1 + x^(1/n))/2) ==
(1 + raiz(x)^(1/n))^2  4*(1 + x^(1/n))/2 = 2*(1 + x^(1/n))

Como temos uma expressao elevada a n-esima potencia, acho que a desigualdade
de Bernoulli deve entrar em algum lugar.

Vou pensar um pouco e se achar uma demonstracao mando pra lista.


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[obm-l] limites

[amurpe]

Oi pessoal , gostaria que voces me ajudassem a resolver 
o limite

lim (Raiz(1+tgx)-raiz(1+senx))dividido por x^2.

quando x tende a zero.

tentei racionalizar mas a resposta que eu acho [e zero e 
a resposta do livro  `e um quarto.

desculpe a redacao, mas eh que estou digitando essa msg 
num shopping e o teclado est[a muito ruim. Desculpe

 ( nao tenho micro).

um abraco.

Amurpe



 
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Re: [obm-l] limites

[Claudio Buffara]

on 07.10.03 21:36, amurpe at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Oi pessoal , gostaria que voces me ajudassem a resolver
 o limite
 
 lim (Raiz(1+tgx)-raiz(1+senx))dividido por x^2.
 
 quando x tende a zero.
 
 tentei racionalizar mas a resposta que eu acho [e zero e
 a resposta do livro  `e um quarto.
 
 desculpe a redacao, mas eh que estou digitando essa msg
 num shopping e o teclado est[a muito ruim. Desculpe
 
 ( nao tenho micro).
 
 um abraco.
 
 Amurpe
 

Oi, Amurpe:

Voce tah certo e o livro errado. O limite de fato eh zero.

Mas se o denominador for x^3, o limite passa a ser 1/4. Veja soh:

(raiz(1+tgx) - raiz(1+senx))/x^3 =
((tgx - senx)/x^3) / (raiz(1+tgx) + raiz(1+senx))

O denominador tende a 2.

O numerador fica:
senx*(1 - cosx) / (x^3*cosx) =
(x + O(x^3))*(x^2/2 + O(x^4)) / (x^3 + O(x^5)) =
(x^3/2 + O(x^5)) / (x^3 + O(x^5))  -- 1/2.

Logo, a fracao tende a (1/2)/2 = 1/4.


Um abraco,
Claudio.


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[obm-l] Limites fundamentais.

[Luiz Ricardo Delgado]

Pessoal, vejam se voces podem me ajudar com essa 
duvida !

Todos conhecemos o limite fundamental com n no 
infinito que diz:

lim(1+1/n)^n=e.


Resolvendo um exercicio, vi a seguinte 
afirmacao:

lim(1+k/n)^n=e^k. comn no infinito. 


Isso e verdade 

Alguemconheceuma demonstracao disso 
?

Valeu,

Luiz

[obm-l] Limites

[Luiz Ricardo Delgado]

Pessoal, vejam se voces podem me ajudar com essa 
duvida !

Todos conhecemos o limite fundamental com n no 
infinito que diz:

lim(1+1/n)^n=e.


Resolvendo um exercicio, vi a seguinte 
afirmacao:

lim(1+k/n)^n=e^k. comn no infinito. 


Isso e verdade 

Alguemconheceuma demonstracao disso 
?

Valeu,

Luiz

RE: [obm-l] Limites fundamentais.

[Artur Costa Steiner]

Eh verdade sim. Basta observar que (1+k/n)^n= [(1+k/n)^(n/k]^k.  Se k0,
entao n/k = inf quando n = inf, de modo que a igualdade decorre do limite
fundamental e das propriedades basicas dos limites de sequencias. 
Se k=0, a igualdade eh trivialmente verificada. 
Para o caso k0, observemos inicialmente que, do limite fundamental,
segue-se que lim (1-1/n)^ (-n) = e. Logo, lim 1/[1-1/n)^n]  =e e, portanto,
lim (1-1/n)^n = 1/e. Considerando-se novamente que  que (1+k/n)^n=
[(1+k/n)^(n/k]^k e as propriedades dos limites, a igualdade eh constatada
tambem para k0.
Um abraco
Artur .
 
 
Pessoal, vejam se voces podem me ajudar com essa duvida !
 
Todos conhecemos o limite fundamental com n no infinito que diz:
 
lim(1+1/n)^n=e.
 
Resolvendo um exercicio, vi a seguinte afirmacao:
 
lim(1+k/n)^n=e^k. com n no infinito. 
 
Isso e verdade 
 
Alguem conhece uma demonstracao disso ?
 
Valeu,
 
Luiz
attachment: winmail.dat

Re: [obm-l] Limites

[Ricardo Knop]

lim (1 + 1/(n/k))^n, n - inf

fazendo y = n/k

(1 + 1/y)^ky = [(1 + 1/y)^y]^k

quando n tende a infinito, y também 
tende:

lim y - inf [(1 + 1/y)^y]^k = 
e^k

[]s

Ricardo


  - Original Message - 
  From: 
  Luiz 
  Ricardo Delgado 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Sunday, August 17, 2003 10:46 
  AM
  Subject: [obm-l] Limites
  
  
  Pessoal, vejam se voces podem me ajudar com essa 
  duvida !
  
  Todos conhecemos o limite fundamental com n no 
  infinito que diz:
  
  lim(1+1/n)^n=e.
  
  
  Resolvendo um exercicio, vi a seguinte 
  afirmacao:
  
  lim(1+k/n)^n=e^k. comn no infinito. 
  
  
  Isso e verdade 
  
  Alguemconheceuma demonstracao disso 
  ?
  
  Valeu,
  
  Luiz

[obm-l] Limites

[Thomas de Rossi]

Oi pessoal,gostaria de saber comoresolver o limite da funcao 
abaixo:lim x-1 (x-1)/(x^3-1)

Resposta = 1/3Sds, Thomas.

Re: [obm-l] Limites

[A. C. Morgado]

(x-1)/(x^3 -1) = 1/(x^2+x+1) e o limite vale 1/3

Thomas de Rossi wrote:
  
  
 
  
 

  Oi pessoal,
  
gostaria de saber comoresolver o limite da funcao  abaixo:
  
lim x-1 (x-1)/(x^3-1)
 
  
 
  Resposta = 1/3
  
Sds, Thomas.
  

Re: [obm-l] Limites

[Luis Lopes]

Sauda,c~oes,

(x^3-1) = (x-1)(x^2+x+1)

lim x-1 1/(x^2+x+1) = 1/3

[]'s
Luís


-Mensagem Original-
De: Thomas de Rossi
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: quinta-feira, 29 de maio de 2003 19:10
Assunto: [obm-l] Limites


Oi pessoal,

gostaria de saber como resolver o limite da funcao abaixo:

lim x-1 (x-1)/(x^3-1)

Resposta = 1/3

Sds, Thomas.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Limites

[Marcus Alexandre Nunes]

Eu usei a regra de L'Hopital: derivei a função de 
cima e a função de baixo.

limx-1 (x-1)/(x^3-1) =

limx-1 1/(3*x^2) = 

limx-1 1/(3*1^2) = 1/3

E era isso.

A propósito: tu és o Thomas de Rossi da 
UFRGS?

--Marcus Alexandre 
Nunes[EMAIL PROTECTED]UIN 
114153703

RE: [obm-l] Limites

[Leandro Lacorte Recôva]

Use a identidade 



X^3  1 = (x-1).(x^2+x+1) 







-Original Message-
From:
[EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Thomas de Rossi
Sent: Thursday, May 29, 2003 3:10
PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Limites





Oi pessoal,

gostaria de saber comoresolver o limite da funcao abaixo:

lim x-1 (x-1)/(x^3-1)











Resposta = 1/3

Sds, Thomas.