[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas
Olá Albert Bem, quando propus o problema, já adiantei que a resposta (numérica) era igual a 9,31% - veja minha mensagem original abaixo. Pensei que se tratava da resposta ao problema do círculo. Achei curioso o resultado ser o mesmo. Entretanto o desafio é resolver o problema analiticamente, para, depois, atacar o 2º problema - este, sim, é bastante difícil. Ah... sim, eu sei. É que não tenho muito talento para resoluções analíticas. Abraço, Adalberto = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas
Olá, Em 19 de janeiro de 2010 13:18, Albert Bouskela bousk...@msn.com escreveu: 1º Problema: Considere um triângulo equilátero. Calcule a probabilidade de um segmento de reta, determinado por um ponto qualquer de um dos lados desse triângulo e por outro ponto qualquer de um dos outros dois lados adjacentes, ser maior que a altura do triângulo. Algo entre 9,28% e 9,43%? Usei Monte Carlo... Abraço, Adalberto = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas
Olá Em 13 de janeiro de 2010 18:23, Albert Bouskela bousk...@msn.com escreveu: 1º Problema: Considere um triângulo equilátero. Calcule a probabilidade de um segmento de reta, determinado por um ponto qualquer de um dos lados desse triângulo e por outro ponto qualquer de um dos outros dois lados adjacentes, ser maior que a altura do triângulo. Algo entre 9,28% e 9,43%? Usei Monte Carlo... Abraço, Adalberto = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Probabilidades Geométricas
Olá! Já que todos estão falando sobre Probabilidades Geométricas, há tempos atrás, pensei em dois problemas. O primeiro é bastante difícil, um pouco trabalhoso, entretanto é possível resolvê-lo. Já o segundo é digno de um Buffon. Lá vão eles: 1º Problema: Considere um triângulo equilátero. Calcule a probabilidade de um segmento de reta, determinado por um ponto qualquer de um dos lados desse triângulo e por outro ponto qualquer de um dos outros dois lados adjacentes, ser maior que a altura do triângulo. Notas: 1)Paradoxo de Bertrand (Bertrand's Paradox): Given a circle. Find the probability that a chord chosen at random be longer than the side of an inscribed equilateral triangle. 2)Referência na Internet: http://www.cut-the-knot.com/bertrand.html Para os curiosos, a resposta (numérica) é 9,31%. 2º Problema: Considere uma caixa de base quadrada, cujos lados (da base) são unitários. Na base desta caixa, são traçados dois segmentos de reta: 1)A própria diagonal da base; e 2)O segmento de reta entre os pontos médios de dois lados opostos. Toma-se uma agulha de comprimento também unitário e joga-se, aleatoriamente, dentro da caixa. Pergunta-se: Qual é a probabilidade da agulha, então pousada horizontalmente na base da caixa (por hipótese!), interceptar (em um ponto qualquer) o segmento de reta de número 1, descrito acima? E o de número 2? Vejam um problema análogo (mas muito mais fácil) em: http://www.cut-the-knot.com/fta/Buffon/buffon9.html Ralph, você vai se aventurar no 2º problema? Saudações a todos, AB
[obm-l] Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 proble mas difíceis
estou reenviando pq acho que eu enviei e nao chegou --- Em sex, 11/7/08, Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sexta-feira, 11 de Julho de 2008, 12:07 vou postar a minha solução: Vc sorteia de maneira uniforme e independente dois pontos x e y no segmento [0,1], obtendo, as três únicas possibilidades seguintes: (I) x = y com probabilidade de 1/3; (II) x y com probabilidade de 1/3; (III) x y com probabilidade de 1/3; Vamos trabalhar o III: Obteremos então os subsegmentos x, y-x e 1-y. Para que esses subsegmentos formem lados de um triangulo é condição necessária e suficiente que as seguintes três condições ocorram: (a) x + y-x 1-y donde y 1/2; (b) x + 1-y y-x donde y - x 1/2; (c) y-x + 1-y x donde x 1/2; Como trata-se do intervalo [0, 1] e o sorteio é de maneira uniforme e independente não é difícil ver que a probabilidade tanto de a, como de b e de c é 1/2. Daí como o sorteio é de maneira uniforme e independente, III mais a,b e c ocorrem com a seguinte probabilidade : 1/3 vezes 1/2 vezes 1/2 vezes 1/2 = 1/24 Analogamente para que II ocorra e seus subsegmentos formem um triangulo deve ocorrer com probabilidade igual a 1/24. Como I não forma triângulo então deveremos apenas contabilizar II e III então a probabilidade será 1/24 + 1/24 = 1/12 !!! Ou eu errei ou vocês erraram ou nós erramos, peço para verificarem a minha solução, eu acho que vocês não levaram em consideração a probabilidade de x = y. O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. --- Em qui, 10/7/08, Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 10 de Julho de 2008, 18:34 E' verdade Ralph, nossas solucoes sao praticamente a mesma coisa, mas a sua esta' muuuito mais artistica que a minha...:) Abracao, Rogerio Ponce PS: e' por essas e outras que tenho certeza de que voce vai gostar de resolver o Barango... 2008/7/10 Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED]: Este problema eh legal, e jah apareceu um par de vezes na lista. A minha solucao eh igualzinha aa do Ponce, mas a **MII-NHA** tem uma figuri-inha, a do Pon-ce **NAO TE-EM!!**. :P Aqui estah ela, para que todos apreciem meus dotes artisticos: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200706/msg00182.html Abraco, Ralph. P.S.: Eh, por causa destes dotes artisticos eh que eu fui fazer Matematica :) 2008/7/10 Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED]: Eu fiz algo parecido e achei 1/12. Depois eu posto aqui na lista. O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ --- Em seg, 7/7/08, Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 7 de Julho de 2008, 20:38 Ola' Chicao, sem perda de generalidade, eu assumi que o segmento de reta do problema seria o segmento unitario [0 1], de forma que x pode ser qualquer real no intervalo [0, 1]. E para cada valor de x, o ponto y tambem pode estar em qualquer posicao no intervalo [0, 1]. Assim, usando o espaco cartesiano para plotar todos os pares (x,y) possiveis, voce obtera' um quadrado de lado unitario. Da mesma forma, se voce plotar todos os pares que satisfazem 'as exigencias do problema, voce obtera' os dois
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis
Ola' Chicao, reveja as 3 mensagens que mandei em resposta 'a sua solucao: http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg42361.html http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg42362.html http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg42374.html []'s Rogerio Ponce 2008/7/16 Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED]: estou reenviando pq acho que eu enviei e nao chegou --- Em sex, 11/7/08, Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED] escreveu: = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis
Oi Chicao,
o programinha abaixo serve para dar uma ideia aproximada do resultado correto.
Ele simula 10 sorteios de x,y , e imprime a razao entre o numero
de triangulos obtidos e o total de experimentos.
Para ser compilado em Linux (ou outro Unix) utilize gcc prog.c -lm.
Para ser compilado em algum outro SO, provavelmente voce precisara'
acrescentar/alterar alguma linha no codigo, mas sera' tudo muito
simples.
[]'s
Rogerio Ponce
=== prog.c =
#include stdio.h
#include stdlib.h
#define TOTAL_EXPERIMENTOS 10
main()
{
int i,count_ok;
float x,y,a,b,c;
/* Inicializa o gerador de numeros pseudorandomicos com um
inteiro qualquer */
srand48( (long int) 65269);
/* Executa os experimentos */
for(count_ok=0,i=0;iTOTAL_EXPERIMENTOS;i++){
/* Faz o sorteio de 2 pontos em [0,1] */
x = (float)drand48();
y = (float)drand48();
/* Calcula os 3 segmentos a,b,c definidos pelo sorteio */
if(xy) {
a=x;
b=y-x;
c=1.-y;
} else {
a=y;
b=x-y;
c=1.-x;
}
/* Testa se a,b,c definem um triangulo. Caso
afirmativo incrementa o contador */
if( (ab+c) (ba+c) (ca+b) ) count_ok++;
}
/* Imprime a relacao entre os experimentos com sucesso e o
total de experimentos */
fprintf(stdout,Relacao = %.4f\n, count_ok/(float)TOTAL_EXPERIMENTOS );
}
==
Em 11/07/08, Rogerio Ponce[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Ola' Chicao,
na mesma solucao, voce ainda se engana ao considerar que as condicoes
a, b e c sejam independentes entre si, com probabilidade 1/2
cada uma.
Acontece que elas nao sao independentes!
Exemplo: voce nao consegue ter, simultaneamente, as condicoes a e b
falsas.
[]'s
Rogerio Ponce.
2008/7/11 Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED]:
Oi Chicao,
o caso I tem probabilidade ZERO.
So' pra deixar sua intuicao trabalhar, imagine que a maneira
uniforme de obter um ponto no intervalo [0,1] signifique obter um
numero real com 6 casas decimais neste intervalo. Portanto, existe um
milhao de resultados diferentes para um sorteio. Sera' que a
possibilidade de se obter duas vezes o mesmo valor e' 1/3?
Agora imagine que em vez de apenas um milhao, isso tenda para infinito...
[]'s
Rogerio Ponce
2008/7/11 Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED]:
vou postar a minha solução:
Vc sorteia de maneira uniforme e independente dois pontos x e y no
segmento [0,1], obtendo, as três únicas possibilidades seguintes:
(I) x = y com probabilidade de 1/3;
(II) x y com probabilidade de 1/3;
(III) x y com probabilidade de 1/3;
Vamos trabalhar o III:
Obteremos então os subsegmentos x, y-x e 1-y.
Para que esses subsegmentos formem lados de um triangulo é condição
necessária e suficiente que as seguintes três condições ocorram:
(a) x + y-x 1-y donde y 1/2;
(b) x + 1-y y-x donde y - x 1/2;
(c) y-x + 1-y x donde x 1/2;
Como trata-se do intervalo [0, 1] e o sorteio é de maneira uniforme e
independente não é difícil ver que a probabilidade tanto de a, como de b
e
de c é 1/2.
Daí como o sorteio é de maneira uniforme e independente, III mais a,b e
c ocorrem com a seguinte probabilidade :
1/3 vezes 1/2 vezes 1/2 vezes 1/2 = 1/24
Analogamente para que II ocorra e seus subsegmentos formem um triangulo
deve ocorrer com probabilidade igual a 1/24.
Como I não forma triângulo então deveremos apenas contabilizar II e III
então a probabilidade será 1/24 + 1/24 = 1/12 !!!
Ou eu errei ou vocês erraram ou nós erramos, peço para verificarem a
minha solução, eu acho que vocês não levaram em consideração a
probabilidade de
x = y.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re : [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problema s difíceis
vou postar a minha solução: Vc sorteia de maneira uniforme e independente dois pontos x e y no segmento [0,1], obtendo, as três únicas possibilidades seguintes: (I) x = y com probabilidade de 1/3; (II) x y com probabilidade de 1/3; (III) x y com probabilidade de 1/3; Vamos trabalhar o III: Obteremos então os subsegmentos x, y-x e 1-y. Para que esses subsegmentos formem lados de um triangulo é condição necessária e suficiente que as seguintes três condições ocorram: (a) x + y-x 1-y donde y 1/2; (b) x + 1-y y-x donde y - x 1/2; (c) y-x + 1-y x donde x 1/2; Como trata-se do intervalo [0, 1] e o sorteio é de maneira uniforme e independente não é difícil ver que a probabilidade tanto de a, como de b e de c é 1/2. Daí como o sorteio é de maneira uniforme e independente, III mais a,b e c ocorrem com a seguinte probabilidade : 1/3 vezes 1/2 vezes 1/2 vezes 1/2 = 1/24 Analogamente para que II ocorra e seus subsegmentos formem um triangulo deve ocorrer com probabilidade igual a 1/24. Como I não forma triângulo então deveremos apenas contabilizar II e III então a probabilidade será 1/24 + 1/24 = 1/12 !!! Ou eu errei ou vocês erraram ou nós erramos, peço para verificarem a minha solução, eu acho que vocês não levaram em consideração a probabilidade de x = y. O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. --- Em qui, 10/7/08, Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 10 de Julho de 2008, 18:34 E' verdade Ralph, nossas solucoes sao praticamente a mesma coisa, mas a sua esta' muuuito mais artistica que a minha...:) Abracao, Rogerio Ponce PS: e' por essas e outras que tenho certeza de que voce vai gostar de resolver o Barango... 2008/7/10 Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED]: Este problema eh legal, e jah apareceu um par de vezes na lista. A minha solucao eh igualzinha aa do Ponce, mas a **MII-NHA** tem uma figuri-inha, a do Pon-ce **NAO TE-EM!!**. :P Aqui estah ela, para que todos apreciem meus dotes artisticos: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200706/msg00182.html Abraco, Ralph. P.S.: Eh, por causa destes dotes artisticos eh que eu fui fazer Matematica :) 2008/7/10 Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED]: Eu fiz algo parecido e achei 1/12. Depois eu posto aqui na lista. O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ --- Em seg, 7/7/08, Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 7 de Julho de 2008, 20:38 Ola' Chicao, sem perda de generalidade, eu assumi que o segmento de reta do problema seria o segmento unitario [0 1], de forma que x pode ser qualquer real no intervalo [0, 1]. E para cada valor de x, o ponto y tambem pode estar em qualquer posicao no intervalo [0, 1]. Assim, usando o espaco cartesiano para plotar todos os pares (x,y) possiveis, voce obtera' um quadrado de lado unitario. Da mesma forma, se voce plotar todos os pares que satisfazem 'as exigencias do problema, voce obtera' os dois triangulos internos ao quadrado unitario, conforme descrito na solucao. Repare que os tais dois triangulos sao simplesmente o conjunto de pares (x,y) capazes de definir um triangulo sobre o segmento unitario, conforme o enunciado. Para isso, e' necessario e suficiente que x e y satisfacam 'as seguintes condicoes: - o menor deles e' menor (ou igual**) que 1/2 - o maior deles e' maior (ou igual**) que 1/2 - a diferenca entre eles e' menor (ou igual**) que 1/2 ** OBS: quando acontece um
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis
Oi Chicao, o caso I tem probabilidade ZERO. So' pra deixar sua intuicao trabalhar, imagine que a maneira uniforme de obter um ponto no intervalo [0,1] signifique obter um numero real com 6 casas decimais neste intervalo. Portanto, existe um milhao de resultados diferentes para um sorteio. Sera' que a possibilidade de se obter duas vezes o mesmo valor e' 1/3? Agora imagine que em vez de apenas um milhao, isso tenda para infinito... []'s Rogerio Ponce 2008/7/11 Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED]: vou postar a minha solução: Vc sorteia de maneira uniforme e independente dois pontos x e y no segmento [0,1], obtendo, as três únicas possibilidades seguintes: (I) x = y com probabilidade de 1/3; (II) x y com probabilidade de 1/3; (III) x y com probabilidade de 1/3; Vamos trabalhar o III: Obteremos então os subsegmentos x, y-x e 1-y. Para que esses subsegmentos formem lados de um triangulo é condição necessária e suficiente que as seguintes três condições ocorram: (a) x + y-x 1-y donde y 1/2; (b) x + 1-y y-x donde y - x 1/2; (c) y-x + 1-y x donde x 1/2; Como trata-se do intervalo [0, 1] e o sorteio é de maneira uniforme e independente não é difícil ver que a probabilidade tanto de a, como de b e de c é 1/2. Daí como o sorteio é de maneira uniforme e independente, III mais a,b e c ocorrem com a seguinte probabilidade : 1/3 vezes 1/2 vezes 1/2 vezes 1/2 = 1/24 Analogamente para que II ocorra e seus subsegmentos formem um triangulo deve ocorrer com probabilidade igual a 1/24. Como I não forma triângulo então deveremos apenas contabilizar II e III então a probabilidade será 1/24 + 1/24 = 1/12 !!! Ou eu errei ou vocês erraram ou nós erramos, peço para verificarem a minha solução, eu acho que vocês não levaram em consideração a probabilidade de x = y. O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. --- Em qui, 10/7/08, Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 10 de Julho de 2008, 18:34 E' verdade Ralph, nossas solucoes sao praticamente a mesma coisa, mas a sua esta' muuuito mais artistica que a minha...:) Abracao, Rogerio Ponce PS: e' por essas e outras que tenho certeza de que voce vai gostar de resolver o Barango... 2008/7/10 Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED]: Este problema eh legal, e jah apareceu um par de vezes na lista. A minha solucao eh igualzinha aa do Ponce, mas a **MII-NHA** tem uma figuri-inha, a do Pon-ce **NAO TE-EM!!**. :P Aqui estah ela, para que todos apreciem meus dotes artisticos: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200706/msg00182.html Abraco, Ralph. P.S.: Eh, por causa destes dotes artisticos eh que eu fui fazer Matematica :) 2008/7/10 Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED]: Eu fiz algo parecido e achei 1/12. Depois eu posto aqui na lista. O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ --- Em seg, 7/7/08, Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 7 de Julho de 2008, 20:38 Ola' Chicao, sem perda de generalidade, eu assumi que o segmento de reta do problema seria o segmento unitario [0 1], de forma que x pode ser qualquer real no intervalo [0, 1]. E para cada valor de x, o ponto y tambem pode estar em qualquer posicao no intervalo [0, 1]. Assim, usando o espaco cartesiano para plotar todos os pares (x,y) possiveis, voce obtera' um quadrado de lado unitario. Da mesma forma, se voce plotar todos os pares que satisfazem 'as exigencias do problema, voce obtera' os
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis
Ola' Chicao, na mesma solucao, voce ainda se engana ao considerar que as condicoes a, b e c sejam independentes entre si, com probabilidade 1/2 cada uma. Acontece que elas nao sao independentes! Exemplo: voce nao consegue ter, simultaneamente, as condicoes a e b falsas. []'s Rogerio Ponce. 2008/7/11 Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED]: Oi Chicao, o caso I tem probabilidade ZERO. So' pra deixar sua intuicao trabalhar, imagine que a maneira uniforme de obter um ponto no intervalo [0,1] signifique obter um numero real com 6 casas decimais neste intervalo. Portanto, existe um milhao de resultados diferentes para um sorteio. Sera' que a possibilidade de se obter duas vezes o mesmo valor e' 1/3? Agora imagine que em vez de apenas um milhao, isso tenda para infinito... []'s Rogerio Ponce 2008/7/11 Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED]: vou postar a minha solução: Vc sorteia de maneira uniforme e independente dois pontos x e y no segmento [0,1], obtendo, as três únicas possibilidades seguintes: (I) x = y com probabilidade de 1/3; (II) x y com probabilidade de 1/3; (III) x y com probabilidade de 1/3; Vamos trabalhar o III: Obteremos então os subsegmentos x, y-x e 1-y. Para que esses subsegmentos formem lados de um triangulo é condição necessária e suficiente que as seguintes três condições ocorram: (a) x + y-x 1-y donde y 1/2; (b) x + 1-y y-x donde y - x 1/2; (c) y-x + 1-y x donde x 1/2; Como trata-se do intervalo [0, 1] e o sorteio é de maneira uniforme e independente não é difícil ver que a probabilidade tanto de a, como de b e de c é 1/2. Daí como o sorteio é de maneira uniforme e independente, III mais a,b e c ocorrem com a seguinte probabilidade : 1/3 vezes 1/2 vezes 1/2 vezes 1/2 = 1/24 Analogamente para que II ocorra e seus subsegmentos formem um triangulo deve ocorrer com probabilidade igual a 1/24. Como I não forma triângulo então deveremos apenas contabilizar II e III então a probabilidade será 1/24 + 1/24 = 1/12 !!! Ou eu errei ou vocês erraram ou nós erramos, peço para verificarem a minha solução, eu acho que vocês não levaram em consideração a probabilidade de x = y. O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. --- Em qui, 10/7/08, Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 10 de Julho de 2008, 18:34 E' verdade Ralph, nossas solucoes sao praticamente a mesma coisa, mas a sua esta' muuuito mais artistica que a minha...:) Abracao, Rogerio Ponce PS: e' por essas e outras que tenho certeza de que voce vai gostar de resolver o Barango... 2008/7/10 Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED]: Este problema eh legal, e jah apareceu um par de vezes na lista. A minha solucao eh igualzinha aa do Ponce, mas a **MII-NHA** tem uma figuri-inha, a do Pon-ce **NAO TE-EM!!**. :P Aqui estah ela, para que todos apreciem meus dotes artisticos: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200706/msg00182.html Abraco, Ralph. P.S.: Eh, por causa destes dotes artisticos eh que eu fui fazer Matematica :) 2008/7/10 Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED]: Eu fiz algo parecido e achei 1/12. Depois eu posto aqui na lista. O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ --- Em seg, 7/7/08, Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 7 de Julho de 2008, 20:38 Ola' Chicao, sem perda de generalidade, eu assumi que o segmento de reta do problema seria o segmento unitario [0 1], de forma que x pode ser qualquer real no intervalo
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis
Este problema eh legal, e jah apareceu um par de vezes na lista. A minha solucao eh igualzinha aa do Ponce, mas a **MII-NHA** tem uma figuri-inha, a do Pon-ce **NAO TE-EM!!**. :P Aqui estah ela, para que todos apreciem meus dotes artisticos: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200706/msg00182.html Abraco, Ralph. P.S.: Eh, por causa destes dotes artisticos eh que eu fui fazer Matematica :) 2008/7/10 Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED]: Eu fiz algo parecido e achei 1/12. Depois eu posto aqui na lista. O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. --- Em seg, 7/7/08, Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 7 de Julho de 2008, 20:38 Ola' Chicao, sem perda de generalidade, eu assumi que o segmento de reta do problema seria o segmento unitario [0 1], de forma que x pode ser qualquer real no intervalo [0, 1]. E para cada valor de x, o ponto y tambem pode estar em qualquer posicao no intervalo [0, 1]. Assim, usando o espaco cartesiano para plotar todos os pares (x,y) possiveis, voce obtera' um quadrado de lado unitario. Da mesma forma, se voce plotar todos os pares que satisfazem 'as exigencias do problema, voce obtera' os dois triangulos internos ao quadrado unitario, conforme descrito na solucao. Repare que os tais dois triangulos sao simplesmente o conjunto de pares (x,y) capazes de definir um triangulo sobre o segmento unitario, conforme o enunciado. Para isso, e' necessario e suficiente que x e y satisfacam 'as seguintes condicoes: - o menor deles e' menor (ou igual**) que 1/2 - o maior deles e' maior (ou igual**) que 1/2 - a diferenca entre eles e' menor (ou igual**) que 1/2 ** OBS: quando acontece um igual , temos um triangulo degenerado (com area zero). []'s Rogerio Ponce. 2008/7/7 Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED]: Os valores possiveis de x e y equivalem a area do quadrado unitario, que vale 1. Nao entendi, seria o produto xy que equivaleria a área? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis
E' verdade Ralph, nossas solucoes sao praticamente a mesma coisa, mas a sua esta' muuuito mais artistica que a minha...:) Abracao, Rogerio Ponce PS: e' por essas e outras que tenho certeza de que voce vai gostar de resolver o Barango... 2008/7/10 Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED]: Este problema eh legal, e jah apareceu um par de vezes na lista. A minha solucao eh igualzinha aa do Ponce, mas a **MII-NHA** tem uma figuri-inha, a do Pon-ce **NAO TE-EM!!**. :P Aqui estah ela, para que todos apreciem meus dotes artisticos: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200706/msg00182.html Abraco, Ralph. P.S.: Eh, por causa destes dotes artisticos eh que eu fui fazer Matematica :) 2008/7/10 Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED]: Eu fiz algo parecido e achei 1/12. Depois eu posto aqui na lista. O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ --- Em seg, 7/7/08, Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 7 de Julho de 2008, 20:38 Ola' Chicao, sem perda de generalidade, eu assumi que o segmento de reta do problema seria o segmento unitario [0 1], de forma que x pode ser qualquer real no intervalo [0, 1]. E para cada valor de x, o ponto y tambem pode estar em qualquer posicao no intervalo [0, 1]. Assim, usando o espaco cartesiano para plotar todos os pares (x,y) possiveis, voce obtera' um quadrado de lado unitario. Da mesma forma, se voce plotar todos os pares que satisfazem 'as exigencias do problema, voce obtera' os dois triangulos internos ao quadrado unitario, conforme descrito na solucao. Repare que os tais dois triangulos sao simplesmente o conjunto de pares (x,y) capazes de definir um triangulo sobre o segmento unitario, conforme o enunciado. Para isso, e' necessario e suficiente que x e y satisfacam 'as seguintes condicoes: - o menor deles e' menor (ou igual**) que 1/2 - o maior deles e' maior (ou igual**) que 1/2 - a diferenca entre eles e' menor (ou igual**) que 1/2 ** OBS: quando acontece um igual , temos um triangulo degenerado (com area zero). []'s Rogerio Ponce. 2008/7/7 Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED]: Os valores possiveis de x e y equivalem a area do quadrado unitario, que vale 1. Nao entendi, seria o produto xy que equivaleria a área? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis
Ola' Chicao, sem perda de generalidade, eu assumi que o segmento de reta do problema seria o segmento unitario [0 1], de forma que x pode ser qualquer real no intervalo [0, 1]. E para cada valor de x, o ponto y tambem pode estar em qualquer posicao no intervalo [0, 1]. Assim, usando o espaco cartesiano para plotar todos os pares (x,y) possiveis, voce obtera' um quadrado de lado unitario. Da mesma forma, se voce plotar todos os pares que satisfazem 'as exigencias do problema, voce obtera' os dois triangulos internos ao quadrado unitario, conforme descrito na solucao. Repare que os tais dois triangulos sao simplesmente o conjunto de pares (x,y) capazes de definir um triangulo sobre o segmento unitario, conforme o enunciado. Para isso, e' necessario e suficiente que x e y satisfacam 'as seguintes condicoes: - o menor deles e' menor (ou igual**) que 1/2 - o maior deles e' maior (ou igual**) que 1/2 - a diferenca entre eles e' menor (ou igual**) que 1/2 ** OBS: quando acontece um igual , temos um triangulo degenerado (com area zero). []'s Rogerio Ponce. 2008/7/7 Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED]: Os valores possiveis de x e y equivalem a area do quadrado unitario, que vale 1. Nao entendi, seria o produto xy que equivaleria a área? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis
Ola' Chicao e colegas da lista, considerando 2 pontos de coordenadas x e y, com distribuicao uniforme de probabilidade sobre o segmento unitario [0,1], temos o seguinte (a respeito de x e y): Os valores possiveis de x e y equivalem 'a area do quadrado unitario, que vale 1. Reparem que, para formar um triangulo, quando x1/2 , o valor minimo de y seria 1/2, e o maximo seria 1-x. E quando x1/2 , o valor maximo de y seria 1/2, e o minimo seria 1-x. Assim, os valores favoraveis de x e y equivalem 'a soma das areas dos triangulos (0,1/2) (1/2,1) (1/2, 1/2) e (1/2, 1/2) (1/2, 0) (1, 1/2), que vale 1/8 + 1/8 = 1/4. Portanto, a probabilidade de formarmos um triangulo e' (1/4) / (1) = 1/4. []'s Rogerio Ponce Em 04/07/08, Chicao Valadares[EMAIL PROTECTED] escreveu: existe tambem um problema interessante: Calcule a probabilidade de dado um segmento de reta, sortear-se dois pontos pertencentes a esse segmento e os 3 subsegmentos formados formarem os lados de um triangulo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis
Corrigindo a ultima mensagem: ...quando x1/2 , o valor maximo de y seria 1/2, e o minimo seria x-1/2. []'s Rogerio Ponce Em 06/07/08, Rogerio Ponce[EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola' Chicao e colegas da lista, considerando 2 pontos de coordenadas x e y, com distribuicao uniforme de probabilidade sobre o segmento unitario [0,1], temos o seguinte (a respeito de x e y): Os valores possiveis de x e y equivalem 'a area do quadrado unitario, que vale 1. Reparem que, para formar um triangulo, quando x1/2 , o valor minimo de y seria 1/2, e o maximo seria 1-x. E quando x1/2 , o valor maximo de y seria 1/2, e o minimo seria 1-x. Assim, os valores favoraveis de x e y equivalem 'a soma das areas dos triangulos (0,1/2) (1/2,1) (1/2, 1/2) e (1/2, 1/2) (1/2, 0) (1, 1/2), que vale 1/8 + 1/8 = 1/4. Portanto, a probabilidade de formarmos um triangulo e' (1/4) / (1) = 1/4. []'s Rogerio Ponce Em 04/07/08, Chicao Valadares[EMAIL PROTECTED] escreveu: existe tambem um problema interessante: Calcule a probabilidade de dado um segmento de reta, sortear-se dois pontos pertencentes a esse segmento e os 3 subsegmentos formados formarem os lados de um triangulo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 pr oblemas difíceis
existe tambem um problema interessante: Calcule a probabilidade de dado um segmento de reta, sortear-se dois pontos pertencentes a esse segmento e os 3 subsegmentos formados formarem os lados de um triangulo. O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. --- Em sáb, 28/6/08, Bouskela [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Bouskela [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 28 de Junho de 2008, 10:41 1º Problema - este é MUITO difícil! Considere uma caixa de base quadrada, cujos lados (da base) são unitários. Na base desta caixa, são traçados dois segmentos de reta: 1) A própria diagonal da base; e 2) O segmento de reta entre os pontos médios de dois lados opostos. Toma-se uma agulha de comprimento também unitário e joga-se, aleatoriamente, dentro da caixa. Pergunta-se: Qual é a probabilidade da agulha, então pousada horizontalmente na base da caixa (por hipótese!), interceptar (em um ponto qualquer) o segmento de reta de número “1”, descrito acima? E o de número “2”? Veja um problema análogo (mas, mais fácil!) em: http://www.cut-the-knot.com/fta/Buffon/buffon9.html http://www.cut-the-knot.com/fta/Buffon/buffon9.html 2º Problema - este também é difícil, mas não tanto quanto o primeiro. Considere um triângulo eqüilátero. Calcule a probabilidade de um segmento de reta, determinado por um ponto qualquer de um dos lados desse triângulo e por outro ponto qualquer de um dos outros dois lados adjacentes, ser maior do que a altura do triângulo. Paradoxo de Bertrand (Bertrand's Paradox): “Given a circle. Find the probability that a chord chosen at random be longer than the side of an inscribed equilateral triangle”. Referência na Internet: http://www.cut-the-knot.com/bertrand.html http://www.cut-the-knot.com/bertrand.html Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis
Olá,
estou tentando a seguinte abordagem:
Seja f(x, y, theta) uma função que é igual a 1 se a agulha com extremo no
ponto (x,y) e ângulo theta em relação ao eixo das abscissas tocar na
diagonal. E é 0 nos outros casos (quando não toca, ou quando a agulha
estiver fora do quadrado).
Seja g(x, y, theta) uma função que é igual a 1 se a agulha está dentro do
quadrado, e 0 se ela estiver fora do quadrado.
A probabilidade desejada é:
[ int{-inf ... +inf} int{-inf ... +inf} int {0 ... 2pi} f(x, y, theta)
d(theta) dy dx ] / [ int{-inf ... +inf} int{-inf ... +inf} int {0 ... 2pi}
g(x, y, theta) d(theta) dy dx ]
naturalmente, temos que se x 1 ou x 0 ou y 1 ou y 0, a agulha estará
fora do quadrado. Portanto, podemos reduzir os intervalos de 0 a 1... mais
que isso, se conseguirmos relacionar x, y e theta de modo que pegue todos os
pontos em que a agulha está no quadrado, basta integrarmos dentro desta
região.
As simplificações iniciais são:
[ int{0 ... 1} int{0 ... 1} int {0 ... 2pi} f(x, y, theta) d(theta) dy dx ]
/ [ int{0 ... 1} int{0 ... 1} int {0 ... 2pi} g(x, y, theta) d(theta) dy dx
]
seja z = cis(theta) a nossa agulha na origem.
e seja p = x + yi o ponto do extrema de nossa agulha.
p+z = (x+cos(theta)) + (y+sen(theta))i é o outro extremo da nossa agulha.
Para determinarmos se a agulha toca ou não na diagonal, temos 2 casos:
i) x y e x+cos(theta) y+sen(theta)
ii) x y e x+cos(theta) y+sen(theta)
Para determinar a região em que a agulha está dentro do quadrado, temos:
Re(p+z) = 1 e Im(p+z) = 1
isto é:
x + cos(r) = 1 e y + sen(r) = 1
ainda não cheguei a nenhuma conclusão... analisei a região em um programa
gráfico e estou tentando encontrar uma equação fechada para ela (para
integrarmos nessa região... e passarmos a nos preocupar somente com a agulha
tocar ou nao a diagonal).
abraços,
Salhab
2008/6/28 Bouskela [EMAIL PROTECTED]:
1º Problema - este é MUITO difícil!
Considere uma caixa de base quadrada, cujos lados (da base) são unitários.
Na base desta caixa, são traçados dois segmentos de reta:
1) A própria diagonal da base; e
2) O segmento de reta entre os pontos médios de dois lados opostos.
Toma-se uma agulha de comprimento também unitário e joga-se,
aleatoriamente, dentro da caixa.
Pergunta-se:
Qual é a probabilidade da agulha, então pousada horizontalmente na base da
caixa (por hipótese!), interceptar (em um ponto qualquer) o segmento de reta
de número 1, descrito acima? E o de número 2?
Veja um problema análogo (mas, mais fácil!) em:
http://www.cut-the-knot.com/fta/Buffon/buffon9.html
2º Problema - este também é difícil, mas não tanto quanto o primeiro.
Considere um triângulo eqüilátero. Calcule a probabilidade de um segmento
de reta, determinado por um ponto qualquer de um dos lados desse triângulo e
por outro ponto qualquer de um dos outros dois lados adjacentes, ser maior
do que a altura do triângulo.
Paradoxo de Bertrand (Bertrand's Paradox): Given a circle. Find the
probability that a chord chosen at random be longer than the side of an
inscribed equilateral triangle.
Referência na Internet: http://www.cut-the-knot.com/bertrand.html
Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis
Opa,
acho que consegui determinar a região... vamos lá:
0 = x = 1
0 = y = 1
0 = x + cos(theta) = 1
0 = y + sen(theta) = 1
logo:
0 = x = 1
0 = y = 1
-cos(theta) = x = 1 - cos(theta)
-sen(theta) = y = 1 - sen(theta)
portanto, podemos escrever nossas integrais do seguinte modo:
int {0 ... 2pi} int { 1-cos(theta) ... max(-cos(theta), 0) } int { 1 -
sen(theta) ... max( -sen(theta), 0) } dy dx dtheta
veja que nesta região, g(x, y, theta) = 1... portanto, basta integrarmos
mesmo!
Falta apenas determinarmos f(x, y, theta).. o que não está parecendo muito
difícil.
Antes, vamos apenas dividir esta integral em 4, para retirarmos os max...
int {0 ... pi/2} int {1-cos(theta) ... 0} int {1-sen(theta) ... 0} dy dx
d(theta) +
int {pi/2 ... pi} int {1-cos(theta) ... -cos(theta)} int {1-sen(theta) ...
0} dy dx d(theta) +
int {pi ... 3pi/2} int {1-cos(theta) ... -cos(theta)} int {1-sen(theta) ...
-sen(theta)} dy dx d(theta) +
int {3pi/2 ... 2pi} int {1-cos(theta) ... 0} int {1-sen(theta) ...
-sen(theta)} dy dx d(theta)
resolvendo, temos:
(pi/2 - 3/2) + (pi/2 - 1) + (pi/2) + (1 + pi/2) = 2pi - 3/2
[posso ter errado conta..]
vou pensar no f agora.. acredito que seja apenas dividir mais ainda nossas
integrais...
assim que concluir algo mando outra mensagem..
abraços,
Salhab
2008/6/30 Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED]:
Olá,
estou tentando a seguinte abordagem:
Seja f(x, y, theta) uma função que é igual a 1 se a agulha com extremo no
ponto (x,y) e ângulo theta em relação ao eixo das abscissas tocar na
diagonal. E é 0 nos outros casos (quando não toca, ou quando a agulha
estiver fora do quadrado).
Seja g(x, y, theta) uma função que é igual a 1 se a agulha está dentro do
quadrado, e 0 se ela estiver fora do quadrado.
A probabilidade desejada é:
[ int{-inf ... +inf} int{-inf ... +inf} int {0 ... 2pi} f(x, y, theta)
d(theta) dy dx ] / [ int{-inf ... +inf} int{-inf ... +inf} int {0 ... 2pi}
g(x, y, theta) d(theta) dy dx ]
naturalmente, temos que se x 1 ou x 0 ou y 1 ou y 0, a agulha
estará fora do quadrado. Portanto, podemos reduzir os intervalos de 0 a 1...
mais que isso, se conseguirmos relacionar x, y e theta de modo que pegue
todos os pontos em que a agulha está no quadrado, basta integrarmos dentro
desta região.
As simplificações iniciais são:
[ int{0 ... 1} int{0 ... 1} int {0 ... 2pi} f(x, y, theta) d(theta) dy dx ]
/ [ int{0 ... 1} int{0 ... 1} int {0 ... 2pi} g(x, y, theta) d(theta) dy dx
]
seja z = cis(theta) a nossa agulha na origem.
e seja p = x + yi o ponto do extrema de nossa agulha.
p+z = (x+cos(theta)) + (y+sen(theta))i é o outro extremo da nossa agulha.
Para determinarmos se a agulha toca ou não na diagonal, temos 2 casos:
i) x y e x+cos(theta) y+sen(theta)
ii) x y e x+cos(theta) y+sen(theta)
Para determinar a região em que a agulha está dentro do quadrado, temos:
Re(p+z) = 1 e Im(p+z) = 1
isto é:
x + cos(r) = 1 e y + sen(r) = 1
ainda não cheguei a nenhuma conclusão... analisei a região em um programa
gráfico e estou tentando encontrar uma equação fechada para ela (para
integrarmos nessa região... e passarmos a nos preocupar somente com a agulha
tocar ou nao a diagonal).
abraços,
Salhab
2008/6/28 Bouskela [EMAIL PROTECTED]:
1º Problema - este é MUITO difícil!
Considere uma caixa de base quadrada, cujos lados (da base) são unitários.
Na base desta caixa, são traçados dois segmentos de reta:
1) A própria diagonal da base; e
2) O segmento de reta entre os pontos médios de dois lados opostos.
Toma-se uma agulha de comprimento também unitário e joga-se,
aleatoriamente, dentro da caixa.
Pergunta-se:
Qual é a probabilidade da agulha, então pousada horizontalmente na base da
caixa (por hipótese!), interceptar (em um ponto qualquer) o segmento de reta
de número 1, descrito acima? E o de número 2?
Veja um problema análogo (mas, mais fácil!) em:
http://www.cut-the-knot.com/fta/Buffon/buffon9.html
2º Problema - este também é difícil, mas não tanto quanto o primeiro.
Considere um triângulo eqüilátero. Calcule a probabilidade de um segmento
de reta, determinado por um ponto qualquer de um dos lados desse triângulo e
por outro ponto qualquer de um dos outros dois lados adjacentes, ser maior
do que a altura do triângulo.
Paradoxo de Bertrand (Bertrand's Paradox): Given a circle. Find the
probability that a chord chosen at random be longer than the side of an
inscribed equilateral triangle.
Referência na Internet: http://www.cut-the-knot.com/bertrand.html
Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis
Salhab, saudações!
1º - Enviei-lhe uma mensagem, apontando que, em relação ao problema
concernente à eq. x^2 - xy + y^2 = Cte , é necessário fazer alguns ajustes
na sua solução qdo. uma das raízes é igual a 0:
P.ex., se a=0 , então o par (-a, -b) é igual ao par (a, a-b) .
2º - Quanto a este problema de Probabilidades Geométricas, acredito que vc.
esteja indo por um caminho correto, mas tortuoso! É mais simples criar
faixas infinitesimais, paralelas a um dos lados da base e à linha que divide
a base em 2 áreas iguais; fazer com que uma das extremidades da agulha caia
nestas faixas infinitesimais; verificar qual é a condição de contorno em que
a agulha não intercepta a linha supracitada; dividir o range desta
condição de contorno pela condição de contorno possível (a agulha está
pousada horizontalmente sobre a base); integrar e...
Sds.,
AB!
2008/6/30 Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED]:
Opa,
acho que consegui determinar a região... vamos lá:
0 = x = 1
0 = y = 1
0 = x + cos(theta) = 1
0 = y + sen(theta) = 1
logo:
0 = x = 1
0 = y = 1
-cos(theta) = x = 1 - cos(theta)
-sen(theta) = y = 1 - sen(theta)
portanto, podemos escrever nossas integrais do seguinte modo:
int {0 ... 2pi} int { 1-cos(theta) ... max(-cos(theta), 0) } int { 1 -
sen(theta) ... max( -sen(theta), 0) } dy dx dtheta
veja que nesta região, g(x, y, theta) = 1... portanto, basta integrarmos
mesmo!
Falta apenas determinarmos f(x, y, theta).. o que não está parecendo muito
difícil.
Antes, vamos apenas dividir esta integral em 4, para retirarmos os max...
int {0 ... pi/2} int {1-cos(theta) ... 0} int {1-sen(theta) ... 0} dy dx
d(theta) +
int {pi/2 ... pi} int {1-cos(theta) ... -cos(theta)} int {1-sen(theta) ...
0} dy dx d(theta) +
int {pi ... 3pi/2} int {1-cos(theta) ... -cos(theta)} int {1-sen(theta) ...
-sen(theta)} dy dx d(theta) +
int {3pi/2 ... 2pi} int {1-cos(theta) ... 0} int {1-sen(theta) ...
-sen(theta)} dy dx d(theta)
resolvendo, temos:
(pi/2 - 3/2) + (pi/2 - 1) + (pi/2) + (1 + pi/2) = 2pi - 3/2
[posso ter errado conta..]
vou pensar no f agora.. acredito que seja apenas dividir mais ainda nossas
integrais...
assim que concluir algo mando outra mensagem..
abraços,
Salhab
2008/6/30 Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED]:
Olá,
estou tentando a seguinte abordagem:
Seja f(x, y, theta) uma função que é igual a 1 se a agulha com extremo no
ponto (x,y) e ângulo theta em relação ao eixo das abscissas tocar na
diagonal. E é 0 nos outros casos (quando não toca, ou quando a agulha
estiver fora do quadrado).
Seja g(x, y, theta) uma função que é igual a 1 se a agulha está dentro do
quadrado, e 0 se ela estiver fora do quadrado.
A probabilidade desejada é:
[ int{-inf ... +inf} int{-inf ... +inf} int {0 ... 2pi} f(x, y, theta)
d(theta) dy dx ] / [ int{-inf ... +inf} int{-inf ... +inf} int {0 ... 2pi}
g(x, y, theta) d(theta) dy dx ]
naturalmente, temos que se x 1 ou x 0 ou y 1 ou y 0, a agulha
estará fora do quadrado. Portanto, podemos reduzir os intervalos de 0 a 1...
mais que isso, se conseguirmos relacionar x, y e theta de modo que pegue
todos os pontos em que a agulha está no quadrado, basta integrarmos dentro
desta região.
As simplificações iniciais são:
[ int{0 ... 1} int{0 ... 1} int {0 ... 2pi} f(x, y, theta) d(theta) dy dx
] / [ int{0 ... 1} int{0 ... 1} int {0 ... 2pi} g(x, y, theta) d(theta) dy
dx ]
seja z = cis(theta) a nossa agulha na origem.
e seja p = x + yi o ponto do extrema de nossa agulha.
p+z = (x+cos(theta)) + (y+sen(theta))i é o outro extremo da nossa agulha.
Para determinarmos se a agulha toca ou não na diagonal, temos 2 casos:
i) x y e x+cos(theta) y+sen(theta)
ii) x y e x+cos(theta) y+sen(theta)
Para determinar a região em que a agulha está dentro do quadrado, temos:
Re(p+z) = 1 e Im(p+z) = 1
isto é:
x + cos(r) = 1 e y + sen(r) = 1
ainda não cheguei a nenhuma conclusão... analisei a região em um programa
gráfico e estou tentando encontrar uma equação fechada para ela (para
integrarmos nessa região... e passarmos a nos preocupar somente com a agulha
tocar ou nao a diagonal).
abraços,
Salhab
2008/6/28 Bouskela [EMAIL PROTECTED]:
1º Problema - este é MUITO difícil!
Considere uma caixa de base quadrada, cujos lados (da base) são
unitários. Na base desta caixa, são traçados dois segmentos de reta:
1) A própria diagonal da base; e
2) O segmento de reta entre os pontos médios de dois lados opostos.
Toma-se uma agulha de comprimento também unitário e joga-se,
aleatoriamente, dentro da caixa.
Pergunta-se:
Qual é a probabilidade da agulha, então pousada horizontalmente na base
da caixa (por hipótese!), interceptar (em um ponto qualquer) o segmento de
reta de número 1, descrito acima? E o de número 2?
Veja um problema análogo (mas, mais fácil!) em:
http://www.cut-the-knot.com/fta/Buffon/buffon9.html
2º Problema - este também é difícil, mas não tanto quanto o primeiro.
[obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis
1º Problema - este é MUITO difícil! Considere uma caixa de base quadrada, cujos lados (da base) são unitários. Na base desta caixa, são traçados dois segmentos de reta: 1) A própria diagonal da base; e 2) O segmento de reta entre os pontos médios de dois lados opostos. Toma-se uma agulha de comprimento também unitário e joga-se, aleatoriamente, dentro da caixa. Pergunta-se: Qual é a probabilidade da agulha, então pousada horizontalmente na base da caixa (por hipótese!), interceptar (em um ponto qualquer) o segmento de reta de número 1, descrito acima? E o de número 2? Veja um problema análogo (mas, mais fácil!) em: http://www.cut-the-knot.com/fta/Buffon/buffon9.html http://www.cut-the-knot.com/fta/Buffon/buffon9.html 2º Problema - este também é difícil, mas não tanto quanto o primeiro. Considere um triângulo eqüilátero. Calcule a probabilidade de um segmento de reta, determinado por um ponto qualquer de um dos lados desse triângulo e por outro ponto qualquer de um dos outros dois lados adjacentes, ser maior do que a altura do triângulo. Paradoxo de Bertrand (Bertrand's Paradox): Given a circle. Find the probability that a chord chosen at random be longer than the side of an inscribed equilateral triangle. Referência na Internet: http://www.cut-the-knot.com/bertrand.html http://www.cut-the-knot.com/bertrand.html
[obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 problemas difíceis
1º Problema - este é MUITO difícil! Considere uma caixa de base quadrada, cujos lados (da base) são unitários. Na base desta caixa, são traçados dois segmentos de reta: 1) A própria diagonal da base; e 2) O segmento de reta entre os pontos médios de dois lados opostos. Toma-se uma agulha de comprimento também unitário e joga-se, aleatoriamente, dentro da caixa. Pergunta-se: Qual é a probabilidade da agulha, então pousada horizontalmente na base da caixa (por hipótese!), interceptar (em um ponto qualquer) o segmento de reta de número 1, descrito acima? E o de número 2? Veja um problema análogo (mas, mais fácil!) em: http://www.cut-the-knot.com/fta/Buffon/buffon9.html 2º Problema - este também é difícil, mas não tanto quanto o primeiro. Considere um triângulo eqüilátero. Calcule a probabilidade de um segmento de reta, determinado por um ponto qualquer de um dos lados desse triângulo e por outro ponto qualquer de um dos outros dois lados adjacentes, ser maior do que a altura do triângulo. Paradoxo de Bertrand (Bertrand's Paradox): Given a circle. Find the probability that a chord chosen at random be longer than the side of an inscribed equilateral triangle. Referência na Internet: http://www.cut-the-knot.com/bertrand.html
