[obm-l] Demonstração do T. Fundamental da Álgebra pelo T. de Rouché

[Artur Costa Steiner]

Oi


Alguém me mandou um email pedindo que desse a demonstração do TFA com
base no T. de Rouché. Eu andei meio doente, me perdi, não sei quem
mandou. Foi
alguém aqui da lista?

Abraços.



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[obm-l] Demonstração do T. Fundamental da Álgebra pelo T. Dr Rouché

[Artur Costa Steiner]

Oi,

Alguém me mandou um email pedindo que desse a demonstração do TFA com base
no T. de Rouché. Eu andei meio doente, me perdi, não sei quem mandou. Foi
alguém aqui da lista?

Abraços.

Artur

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração com Geometria Plana?

[Anderson Torres]

Em sex, 23 de nov de 2018 às 22:47, Vanderlei Nemitz
 escreveu:
>
> Estamos aguardando o Carlos Victor...
> :)
>
> Em sex, 23 de nov de 2018 18:14, Mauricio de Araujo 
> >
>> Alguem conseguiu finalizar a demonstração?
>>
>> Em qua, 21 de nov de 2018 11:52, Vanderlei Nemitz > escreveu:
>>>
>>> Hummm...
>>> Parece que prolongando BF e DC, que se encontram num ponto Q, E é o 
>>> ortocentro do triângulo BDQ.
>>> O desenho sugere isso.
>>> Mas como mostrar isso?

Eu estava pensando em usar geometria projetiva, algo acerca de
conjugados harmônicos. Mas o máximo que consegui foi obter um ponto
médio...

>>>
>>> Em ter, 20 de nov de 2018 23:38, Carlos Victor >> escreveu:

 Oi Vanderlei,

 Uma dica : tente mostrar que o ponto E é o ortocentro de um triângulo " 
 estratégico". É muito legal que você descubra sozinho

 Abraços

 Carlos Victor

 Em 20/11/2018 17:33, Vanderlei Nemitz escreveu:

 Pessoal, o seguinte problema sai "tranquilamente" usando Geometria 
 Analítica.
 Tentei usar Geometria Plana, mas apenas girei bastante, sem concluir. Será 
 que é possível?

 Dado um ponto P situado no prolongamento do lado AB de um quadrado ABCD, 
 traçam-se as retas PC e PD. Pelo ponto E, intersecção de BC e PD, 
 conduzimos a reta AE cuja intersecção com PC é o ponto F. Provar que BF e 
 PD são perpendiculares.

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> acredita-se estar livre de perigo.

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração com Geometria Plana?

[Carlos Victor]

 

Oi Vanderlei, vamos lá: 

Seja ABCD o quadrado de diagonais AC e BD. Sejam os pontos P, E e F como
no enunciado. Tracemos a reta que passa por A e E encontrando o
prolongamento de DC em R.Seja também Q o ponto de interseção da reta que
passa por B e F com o prolongamento de DC.Seja T a interseção da reta
que passa por Q e E com o lado AB. 

Sejam BP=z, quadrado de lado AB=L, TB=k, CQ=x e QR=y. Por semelhança de
triângulos verifique que : 

x/k =L/z e y/L =x/z donde x^2=ky. Agora por semelhança veja que 

y/AT= x/k ou seja ky=x.AT e como ky=x^2 temos que x=AT ou seja CQ=AT. 

Como CQ é paralelo a AT e congruentes, temos que o quadrilátero ACQT é
um paralelogramo e já que as diagonais do quadrado são perpendiculares
temos que QT é perpendicular a BD. 

Temos então que no triângulo BDQ, BC e QH( H é a interseção de QT com
BD); 

ou seja E é o ortocentro de BDQ; donde PD é perpendicular a BQ. 

Verifiquem se há algum erro, ok? 

Abraços 

Carlos Victor 

Em 23/11/2018 22:38, Vanderlei Nemitz escreveu: 

> Estamos aguardando o Carlos Victor... 
> :) 
> 
> Em sex, 23 de nov de 2018 18:14, Mauricio de Araujo 
>  Alguem conseguiu finalizar a demonstração? 
> 
> Em qua, 21 de nov de 2018 11:52, Vanderlei Nemitz  escreveu: 
> Hummm... 
> Parece que prolongando BF e DC, que se encontram num ponto Q, E é o 
> ortocentro do triângulo BDQ. 
> O desenho sugere isso. 
> Mas como mostrar isso? 
> 
> Em ter, 20 de nov de 2018 23:38, Carlos Victor  escreveu: 
> 
> Oi Vanderlei, 
> 
> Uma dica : tente mostrar que o ponto E é o ortocentro de um triângulo " 
> estratégico". É muito legal que você descubra sozinho 
> 
> Abraços 
> 
> Carlos Victor 
> 
> Em 20/11/2018 17:33, Vanderlei Nemitz escreveu: 
> Pessoal, o seguinte problema sai "tranquilamente" usando Geometria Analítica. 
> Tentei usar Geometria Plana, mas apenas girei bastante, sem concluir. Será 
> que é possível? 
> 
> Dado um ponto P situado no prolongamento do lado AB de um quadrado ABCD, 
> traçam-se as retas PC e PD. Pelo ponto E, intersecção de BC e PD, conduzimos 
> a reta AE cuja intersecção com PC é o ponto F. Provar que BF e PD são 
> perpendiculares. 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração com Geometria Plana?

[Vanderlei Nemitz]

Estamos aguardando o Carlos Victor...
:)

Em sex, 23 de nov de 2018 18:14, Mauricio de Araujo <
mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

> Alguem conseguiu finalizar a demonstração?
>
> Em qua, 21 de nov de 2018 11:52, Vanderlei Nemitz  escreveu:
>
>> Hummm...
>> Parece que prolongando BF e DC, que se encontram num ponto Q, E é o
>> ortocentro do triângulo BDQ.
>> O desenho sugere isso.
>> Mas como mostrar isso?
>>
>> Em ter, 20 de nov de 2018 23:38, Carlos Victor > escreveu:
>>
>>> Oi Vanderlei,
>>>
>>> Uma dica : tente mostrar que o ponto E é o ortocentro de um triângulo "
>>> estratégico". É muito legal que você descubra sozinho
>>>
>>> Abraços
>>>
>>> Carlos Victor
>>>
>>> Em 20/11/2018 17:33, Vanderlei Nemitz escreveu:
>>>
>>> Pessoal, o seguinte problema sai "tranquilamente" usando Geometria
>>> Analítica.
>>> Tentei usar Geometria Plana, mas apenas girei bastante, sem concluir.
>>> Será que é possível?
>>>
>>> Dado um ponto P situado no prolongamento do lado AB de um quadrado ABCD,
>>> traçam-se as retas PC e PD. Pelo ponto E, intersecção de BC e PD,
>>> conduzimos a reta AE cuja intersecção com PC é o ponto F. Provar que BF e
>>> PD são perpendiculares.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração com Geometria Plana?

[Carlos Victor]

 

Desculpem, estou em trânsito. Até amanhã eu posto, ok ? 

Abraços 

Em 23/11/2018 18:05, Mauricio de Araujo escreveu: 

> Alguem conseguiu finalizar a demonstração? 
> 
> Em qua, 21 de nov de 2018 11:52, Vanderlei Nemitz  escreveu: 
> Hummm... 
> Parece que prolongando BF e DC, que se encontram num ponto Q, E é o 
> ortocentro do triângulo BDQ. 
> O desenho sugere isso. 
> Mas como mostrar isso? 
> 
> Em ter, 20 de nov de 2018 23:38, Carlos Victor  escreveu: 
> 
> Oi Vanderlei, 
> 
> Uma dica : tente mostrar que o ponto E é o ortocentro de um triângulo " 
> estratégico". É muito legal que você descubra sozinho 
> 
> Abraços 
> 
> Carlos Victor 
> 
> Em 20/11/2018 17:33, Vanderlei Nemitz escreveu: 
> Pessoal, o seguinte problema sai "tranquilamente" usando Geometria Analítica. 
> Tentei usar Geometria Plana, mas apenas girei bastante, sem concluir. Será 
> que é possível? 
> 
> Dado um ponto P situado no prolongamento do lado AB de um quadrado ABCD, 
> traçam-se as retas PC e PD. Pelo ponto E, intersecção de BC e PD, conduzimos 
> a reta AE cuja intersecção com PC é o ponto F. Provar que BF e PD são 
> perpendiculares. 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração com Geometria Plana?

[Mauricio de Araujo]

Alguem conseguiu finalizar a demonstração?

Em qua, 21 de nov de 2018 11:52, Vanderlei Nemitz  Hummm...
> Parece que prolongando BF e DC, que se encontram num ponto Q, E é o
> ortocentro do triângulo BDQ.
> O desenho sugere isso.
> Mas como mostrar isso?
>
> Em ter, 20 de nov de 2018 23:38, Carlos Victor  escreveu:
>
>> Oi Vanderlei,
>>
>> Uma dica : tente mostrar que o ponto E é o ortocentro de um triângulo "
>> estratégico". É muito legal que você descubra sozinho
>>
>> Abraços
>>
>> Carlos Victor
>>
>> Em 20/11/2018 17:33, Vanderlei Nemitz escreveu:
>>
>> Pessoal, o seguinte problema sai "tranquilamente" usando Geometria
>> Analítica.
>> Tentei usar Geometria Plana, mas apenas girei bastante, sem concluir.
>> Será que é possível?
>>
>> Dado um ponto P situado no prolongamento do lado AB de um quadrado ABCD,
>> traçam-se as retas PC e PD. Pelo ponto E, intersecção de BC e PD,
>> conduzimos a reta AE cuja intersecção com PC é o ponto F. Provar que BF e
>> PD são perpendiculares.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração com Geometria Plana?

[Vanderlei Nemitz]

Hummm...
Parece que prolongando BF e DC, que se encontram num ponto Q, E é o
ortocentro do triângulo BDQ.
O desenho sugere isso.
Mas como mostrar isso?

Em ter, 20 de nov de 2018 23:38, Carlos Victor  Oi Vanderlei,
>
> Uma dica : tente mostrar que o ponto E é o ortocentro de um triângulo "
> estratégico". É muito legal que você descubra sozinho
>
> Abraços
>
> Carlos Victor
>
> Em 20/11/2018 17:33, Vanderlei Nemitz escreveu:
>
> Pessoal, o seguinte problema sai "tranquilamente" usando Geometria
> Analítica.
> Tentei usar Geometria Plana, mas apenas girei bastante, sem concluir. Será
> que é possível?
>
> Dado um ponto P situado no prolongamento do lado AB de um quadrado ABCD,
> traçam-se as retas PC e PD. Pelo ponto E, intersecção de BC e PD,
> conduzimos a reta AE cuja intersecção com PC é o ponto F. Provar que BF e
> PD são perpendiculares.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração com Geometria Plana?

[Carlos Victor]

 

Oi Vanderlei, 

Uma dica : tente mostrar que o ponto E é o ortocentro de um triângulo "
estratégico". É muito legal que você descubra sozinho 

Abraços 

Carlos Victor 

Em 20/11/2018 17:33, Vanderlei Nemitz escreveu: 

> Pessoal, o seguinte problema sai "tranquilamente" usando Geometria Analítica. 
> Tentei usar Geometria Plana, mas apenas girei bastante, sem concluir. Será 
> que é possível? 
> 
> Dado um ponto P situado no prolongamento do lado AB de um quadrado ABCD, 
> traçam-se as retas PC e PD. Pelo ponto E, intersecção de BC e PD, conduzimos 
> a reta AE cuja intersecção com PC é o ponto F. Provar que BF e PD são 
> perpendiculares. 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

 
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[obm-l] Demonstração com Geometria Plana?

[Vanderlei Nemitz]

Pessoal, o seguinte problema sai "tranquilamente" usando Geometria
Analítica.
Tentei usar Geometria Plana, mas apenas girei bastante, sem concluir. Será
que é possível?

Dado um ponto P situado no prolongamento do lado AB de um quadrado ABCD,
traçam-se as retas PC e PD. Pelo ponto E, intersecção de BC e PD,
conduzimos a reta AE cuja intersecção com PC é o ponto F. Provar que BF e
PD são perpendiculares.

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[obm-l] Demonstração a ser corrigida pelos amigos

[Israel Meireles Chrisostomo]

Olá amigos,  estou com algumas dúvidas quanto a correção da
demonstração.Minha dúvida é exatamente quando eu provei que ou
F_1(alpha,beta,gamma)>=1 ou G_1(alpha,beta,gamma)>=1, isto implicaria que
ambas não podem ser simultaneamente menores do que 1, em outras palavras
quando uma é maior ou igual a 1 a outra pode ser menor, e isto me parece um
problema a ser resolvido.Eu realmente estou confuso com isso, o que vcs
podem me dizer?As vezes penso que provei que a desigualdade vale para um
conjunto infinito de valores, mas não para todos os valores em que eu
estava empenhado a demonstrar, isto é, que a desigualdade realmente vale
para qualquer triângulo acutângulo.


http://media.wix.com/ugd/3eea37_896e5b212a4842a9876ef1240e730422.pdf

Espero a sinceridade de vcs sobre a questão, a demonstração é pequena.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração sobre determinantes

[Walter Tadeu Nogueira da Silveira]

Valeu mesmo, Márcio.

Essa paridade que estava faltando perceber.

Grato.

Em 26 de setembro de 2014 08:47, Márcio Pinheiro 
escreveu:

> Supondo que n é a ordem da matriz da qual se está calculando o
> determinante, basta aplicar o teorema de Laplace indutivamente. A
> propriedade é trivialmente verificada para n =1. Suponha-se, apenas para
> fixar ideias, que todos os termos acima da diagonal secundária seja nulos.
> Assim, o determinante dado é igual ao elemento a_1,n (a_i,j representa o
> elemento na i-ésima linha e j-ésima coluna) multiplicado pelo respectivo
> cofator, já que todos os demais elementos da 1ª linha são nulos. Só que o
> cofator mencionado é igual ao produto de (-1)^(n+1), pelo menor
> complementar de a_1,n. De seu turno, tal menor complementar consiste em
> outro determinante da mesma natureza que o original, só que de ordem n - 1.
> Portanto, após n aplicações do raciocínio precedente, obtém-se o produto
> dos elementos da diagonal secundária por
> ((-1)^(n+1))*((-1)^(n))*((-1)^(n-1))*...*((-1)^(1+1)) =
> (-1)^((n+1)+(n)+(n-1)+...+2) = (-1)^((n+3)*n/2) = (-1)^((n-1)*n/2),
>  tendo em vista que n+3 e n têm a mesma paridade.
> Caso os zeros estejam abaixo da diagonal principal, o raciocínio é
> plenamente análogo, apenas aplicando Laplace a partir da última coluna,
> para a esquerda, ao invés da primeira linha para baixo, como feito aqui.
> Espero ter ajudado.
> Márcio Pinheiro.
> 
> Em qui, 25/9/14, Walter Tadeu Nogueira da Silveira 
> escreveu:
>
>  Assunto: [obm-l] Demonstração sobre determinantes
>  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>  Data: Quinta-feira, 25 de Setembro de 2014, 21:06
>
>  Boa
>  noite.
>
>  Gostaria de um encaminhamento para mostrar que:
>  Se uma matriz possui zeros acima ou abaixo da diagonal
>  secundária, o determinante é o produto dos elementos dessa
>  diagonal multiplicado por (-1)^(n.(n-1)/2).
>
>  Penso que essa potência do (-1) indica uma
>  combinação dois a dois, mas não cheguei a uma
>  conclusão.
>
>  Obrigado
>
>  --
>  Walter Tadeu Nogueira da Silveira
>
>
>
>
>  --
>
>  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e
>
>   acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>



-- 
Walter Tadeu Nogueira da Silveira
http://www.professorwaltertadeu.mat.br

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[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração sobre determinantes

[Márcio Pinheiro]

Supondo que n é a ordem da matriz da qual se está calculando o determinante, 
basta aplicar o teorema de Laplace indutivamente. A propriedade é trivialmente 
verificada para n =1. Suponha-se, apenas para fixar ideias, que todos os termos 
acima da diagonal secundária seja nulos. Assim, o determinante dado é igual ao 
elemento a_1,n (a_i,j representa o elemento na i-ésima linha e j-ésima coluna) 
multiplicado pelo respectivo cofator, já que todos os demais elementos da 1ª 
linha são nulos. Só que o cofator mencionado é igual ao produto de (-1)^(n+1), 
pelo menor complementar de a_1,n. De seu turno, tal menor complementar consiste 
em outro determinante da mesma natureza que o original, só que de ordem n - 1. 
Portanto, após n aplicações do raciocínio precedente, obtém-se o produto dos 
elementos da diagonal secundária por 
((-1)^(n+1))*((-1)^(n))*((-1)^(n-1))*...*((-1)^(1+1)) = 
(-1)^((n+1)+(n)+(n-1)+...+2) = (-1)^((n+3)*n/2) = (-1)^((n-1)*n/2),
 tendo em vista que n+3 e n têm a mesma paridade.
Caso os zeros estejam abaixo da diagonal principal, o raciocínio é plenamente 
análogo, apenas aplicando Laplace a partir da última coluna, para a esquerda, 
ao invés da primeira linha para baixo, como feito aqui.
Espero ter ajudado.
Márcio Pinheiro.

Em qui, 25/9/14, Walter Tadeu Nogueira da Silveira  
escreveu:

 Assunto: [obm-l] Demonstração sobre determinantes
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Data: Quinta-feira, 25 de Setembro de 2014, 21:06
 
 Boa
 noite.
 
 Gostaria de um encaminhamento para mostrar que:
 Se uma matriz possui zeros acima ou abaixo da diagonal
 secundária, o determinante é o produto dos elementos dessa
 diagonal multiplicado por (-1)^(n.(n-1)/2).
 
 Penso que essa potência do (-1) indica uma
 combinação dois a dois, mas não cheguei a uma
 conclusão.
 
 Obrigado 
 
 -- 
 Walter Tadeu Nogueira da Silveira
 
 
 
 
 --
 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e 
 
  acredita-se estar livre de perigo.


-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Demonstração sobre determinantes

[Walter Tadeu Nogueira da Silveira]

Boa noite.

Gostaria de um encaminhamento para mostrar que:
Se uma matriz possui zeros acima ou abaixo da diagonal secundária, o
determinante é o produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por
(-1)^(n.(n-1)/2).

Penso que essa potência do (-1) indica uma combinação dois a dois, mas não
cheguei a uma conclusão.

Obrigado

-- 
Walter Tadeu Nogueira da Silveira

-- 
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[obm-l] Demonstração

[Eduardo Henrique]

E ai pessoal, to aqui vendo um pouquinho de Análise e tem o seguinte teorema 
(cuja demonstração oficial está aqui e eu entendi) que eu dei uma demonstração. 
Gostaria que me dissessem se há algo de errado com a argumentação e se sim, 
dicas de como melhorar ela.
OBS1: Escrevi em linguagem de Latex pois é costume meu, qualquer dúvida quanto 
a linguagem só perguntar.

Teorema: Seja A \subset I_{n} ( I_{n} = {p \in N tal que 1 \leq p \leq n} ) tal 
que A \neq I_{n}. (Aqui uma observação, o número de elementos de I_{n} é n 
enquanto que o número de elementos de A e m, com m < n). Provar que não existe 
uma bijeção entre I_{n} e A.
Demonstração.
Seja f:I_{n} \rightarrow A uma função tal que f(1)=x_{1}, ... , f(m)=x_{m}, ... 
, f(n)=x_{n}.Se x_{i} \neq x_{j} quando i \neq j, então temos que o conjunto A 
tem, pelo menos, n elementos distintos, e como A \subset I_{n} e A \neq I_{n} 
temos uma primeira contradição.Se x_{i} = x_{j} quando i \neq j então temos que 
a função não é injetiva, logo não é bijetiva. Também contradição. Se x_{i} \neq 
x_{j} quando i = j, f não é função.
Logo, segue a tese.
OBS2: Dicas de como melhorar minha escrita são super bem vindas também.
Att.Eduardo   
-- 
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[obm-l] DEMONSTRAÇÃO DE ESPACIAL

[Marcelo Costa]

GOSTARIA DE SABER SE ALGUÉM POSSUI ALGUM ARTIGO QUE TENHA AS DEMONSTRAÇÕES:

TODO POLIEDRO REGULAR É INSCRITÍVEL E CIRCUNSCRITÍVEL A UMA ESFERA.

TODO POLIEDRO REGULAR PODE SER DECOMPOSTO EM UM NÚMERO DE PIRÂMIDES IGUAL
AO SEU NÚMERO DE FAZES, ONDE O VÉRTICE DE CADA PIRÂMIDE É COINSCIDENTE COM
O CENTRO DA ESFERA INSCRITA E SUA ALTURA COM O RAIO DA ESFERA E O SEU
VOLUME PODE SER DETERMINADO PELA SOMA DOS VOLUMES DAS PIRÂMIDES.

AGRADEÇO DESDE JÁ.

OBRIGADO

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues]

Valeu Ralph

Em 17 de agosto de 2011 15:09, Ralph Teixeira  escreveu:

> Oi, Marcus.
>
> Eh, o jeito que voce escreveu estah estranho. Voce partiu do que queria
> provar, e chegou na hipotese -- isto nao demonstra o teorema.
>
> Isto dito, eh facil consertar a sua ideia:
>
> i) PRIMEIRA OPCAO: basta escrever o que voce fez, mas na ordem correta:
>
> "Suponha a>b>0.
> Como a e b sao positivos, podemos dividir ambos os lados de a>b por ab.
> Entao a/(ab)>b/(ab), isto eh, 1/b>1/a."
>
> ii) SEGUNDA OPCAO: se voce escrever as coisas na ordem que voce escreveu,
> mas usando claramente EQUIVALENCIAS, sua demonstracao eh valida. Em suma,
> usando o simbolo <=> para a seta dupla do "se e somente se":
>
> "Suponha a, b positivos. Entao:
> 1/b>1/a <=>
> <=> (ab)(1/b)>(ab)(1/a) <=>
> <=> a>b
>
> Como a>b eh verdadeiro e usamos EQUIVALENCIAS (isto eh, implicacoes
> REVERSIVEIS), estah provado que 1/a>1/b."
>
> Abraco,
>   Ralph
>
> 2011/8/17 Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues 
>
>> Galera acho que estou fazendo alguma coisa errada
>> nessa demonstração alguém pode da uma olhada para mim.
>>
>> Proposi ção: Se a > b > 0 então 1/b > 1/a
>>
>> Demonstra ção:
>>  1/b > 1/a
>>
>> (ab) . 1/b > (ab) .1/a
>>
>> a> b e b > 0 porque como a e b são positivos todos os números envolvidos
>> são positivos. Então conclu mos que a > b > 0 que~ e verdade por hip otese,
>> logo tamb em e verdade que 1/b > 1/a
>>
>>
>>
>> --
>> Prof Marcus
>>
>
>


-- 
Prof Marcus

[obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Ralph Teixeira]

Oi, Marcus.

Eh, o jeito que voce escreveu estah estranho. Voce partiu do que queria
provar, e chegou na hipotese -- isto nao demonstra o teorema.

Isto dito, eh facil consertar a sua ideia:

i) PRIMEIRA OPCAO: basta escrever o que voce fez, mas na ordem correta:

"Suponha a>b>0.
Como a e b sao positivos, podemos dividir ambos os lados de a>b por ab.
Entao a/(ab)>b/(ab), isto eh, 1/b>1/a."

ii) SEGUNDA OPCAO: se voce escrever as coisas na ordem que voce escreveu,
mas usando claramente EQUIVALENCIAS, sua demonstracao eh valida. Em suma,
usando o simbolo <=> para a seta dupla do "se e somente se":

"Suponha a, b positivos. Entao:
1/b>1/a <=>
<=> (ab)(1/b)>(ab)(1/a) <=>
<=> a>b

Como a>b eh verdadeiro e usamos EQUIVALENCIAS (isto eh, implicacoes
REVERSIVEIS), estah provado que 1/a>1/b."

Abraco,
  Ralph

2011/8/17 Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues 

> Galera acho que estou fazendo alguma coisa errada nessa demonstração alguém
> pode da uma olhada para mim.
>
> Proposi ção: Se a > b > 0 então 1/b > 1/a
>
> Demonstra ção:
>  1/b > 1/a
>
> (ab) . 1/b > (ab) .1/a
>
> a> b e b > 0 porque como a e b são positivos todos os números envolvidos
> são positivos. Então conclu mos que a > b > 0 que~ e verdade por hip otese,
> logo tamb em e verdade que 1/b > 1/a
>
>
>
> --
> Prof Marcus
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues]

Não dá a mesma coisa? to ponto de vista lógico.

Em 17 de agosto de 2011 12:40, Julio Teixeira escreveu:

> pega a>b e multiplica por ( 1/ab) e simplifica
>
> Em 17 de agosto de 2011 10:54, Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues <
> marcusaureli...@globo.com> escreveu:
>
> Galera acho que estou fazendo alguma coisa errada nessa demonstração alguém
>> pode da uma olhada para mim.
>>
>> Proposi ção: Se a > b > 0 então 1/b > 1/a
>>
>> Demonstra ção:
>>  1/b > 1/a
>>
>> (ab) . 1/b > (ab) .1/a
>>
>> a> b e b > 0 porque como a e b são positivos todos os números envolvidos
>> são positivos. Então conclu mos que a > b > 0 que~ e verdade por hip otese,
>> logo tamb em e verdade que 1/b > 1/a
>>
>>
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Prof Marcus

[obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Julio Teixeira]

pega a>b e multiplica por ( 1/ab) e simplifica

Em 17 de agosto de 2011 10:54, Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues <
marcusaureli...@globo.com> escreveu:

> Galera acho que estou fazendo alguma coisa errada nessa demonstração alguém
> pode da uma olhada para mim.
>
> Proposi ção: Se a > b > 0 então 1/b > 1/a
>
> Demonstra ção:
>  1/b > 1/a
>
> (ab) . 1/b > (ab) .1/a
>
> a> b e b > 0 porque como a e b são positivos todos os números envolvidos
> são positivos. Então conclu mos que a > b > 0 que~ e verdade por hip otese,
> logo tamb em e verdade que 1/b > 1/a
>
>
>
> --
> Prof Marcus
>

[obm-l] demonstração

[Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues]

Galera acho que estou fazendo alguma coisa errada nessa demonstração alguém
pode da uma olhada para mim.

Proposição: Se a > b > 0 então 1/b > 1/a

Demonstração:
 1/b > 1/a

(ab) . 1/b > (ab) .1/a

a> b e b > 0 porque como a e b são positivos todos os números envolvidos são
positivos. Então conclumos que a > b > 0 que~e verdade por hipotese,
logo tambem e verdade que 1/b > 1/a



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Prof Marcus

[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração

[Prof Marcus]

Seja a^2. Mostre que se a^2 for divisível por 3, então a também o

será. ?

 

Acho que faltou alguma coisa... não múltiplo mas divisível

 

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Ricardo Lopes
Enviada em: sexta-feira, 5 de agosto de 2011 14:49
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração

 

Multiplo de 3?

 

Abraços

Em 5 de agosto de 2011 14:33, Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues
 escreveu:

Alguém da uma forcinha?

 

se a^2 e divisível por 3, então a também é?

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Prof Marcus




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Ricardo Shydo
(71)8126-2111
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Re: [obm-l] Demonstração

[Arlane Manoel S Silva]

  Solução alternativa:

  Veja que ´a´ é da forma 3k, 3k+1 ou 3k+2, para algum k inteiro.  
Elevando ao quadrado, temos que a^2 é da forma 3k ou 3k+1, onde o  
último ocorre apenas nos casos a=3k+1 e a=3k+2. Como 3 divide a^2,  
segue-se que ´a´ é da forma 3k. E acabou.


  A.


Citando Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues :


Alguém da uma forcinha?

se a^2 e divisível por 3, então a também é?

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Prof Marcus





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Arlane Manoel S Silva
  Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática e Estatística-USP

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=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração

[Johann Dirichlet]

a^2=3^k*b, em que 3 não divide b.

Sabemos que k>1, pois 3 é divisor de a^2.
Mas k deve ser necessariamente par, pois os expoentes da foatoração de
um quadrado perfeito são pares. Logo k=2l, com l>1.
Então a^2=3^(2l)*b, o que acarreta (a/(3^l))^2 = b. Portanto, como b é
inteiro, b é quadrado perfeito:

(a/(3^l))^2 = c^2
(a/(3^l)) = c
a = 3^l*c
Como l>1, está provado: 3 é divisor de a.

Em 05/08/11, Ricardo Lopes escreveu:
> Multiplo de 3?
>
> Abraços
>
> Em 5 de agosto de 2011 14:33, Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues <
> marcusaureli...@globo.com> escreveu:
>
>> Alguém da uma forcinha?
>>
>> se a^2 e divisível por 3, então a também é?
>>
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[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração

[Ricardo Lopes]

Multiplo de 3?

Abraços

Em 5 de agosto de 2011 14:33, Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues <
marcusaureli...@globo.com> escreveu:

> Alguém da uma forcinha?
>
> se a^2 e divisível por 3, então a também é?
>
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[obm-l] Demonstração

[Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues]

Alguém da uma forcinha?

se a^2 e divisível por 3, então a também é?

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Prof Marcus

[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração de somatório

[Rodrigo Renji]

Olá
Então , nessa última perceba que

k.(k!)= (k+1)!-k!

aplique a soma de ambos os lados a soma no segundo termo é telescópica
( os termos vão se anulando)

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

[obm-l] Demonstração de somatório

[Henrique Rennó]

Como pode ser demonstrada a igualdade abaixo?

1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n+1)! - 1

-- 
Henrique
=
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=

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Demonstração de somatório

[Henrique Rennó]

Não estou decorando fórmulas, encontrei as duas fórmulas fechadas para
os somatórios utilizando o binômio cúbico, se bem que o 4 multiplicado
é muito mais simples. Obrigado pela demonstração anterior.

2011/3/3 João Maldonado :
>
>
>
> Henrique, pessoalmente eu acho o meu método (não sei se você já recebeu),
> mais fácil do que ficar decorando fórmulas, mas se você  quiser fazer do
> seu jeito,   tente para n par e n ímpar 2 casos distintos, e além disso o
> n' da segunda expressão  serian/2 ou (n-1)/2, já que a
> fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 é a soma até 2n,  repare que:
> 2² + 4² +... +(2n)² = 4.(1² + 2² +...+n²) =    4 (n) (n+1)(2n +1)/6 =
> 2(n)(n+1(2n+1)/3
>
> []'s
> João
>
>> Date: Thu, 3 Mar 2011 14:01:59 -0300
>> Subject: [obm-l] Demonstração de somatório
>> From: henrique.re...@gmail.com
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>
>> Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada?
>>
>> 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1)
>>
>> Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2
>> + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 +
>> ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...,
>> mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas
>> duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo:
>>
>> Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2)
>>
>> n: 1, soma: 1^2
>> n: 2, soma: 1^2 + 2^2
>> n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2
>> ...
>>
>> Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3)
>>
>> n: 1, soma: 2^2
>> n: 2, soma: 2^2 + 4^2
>> n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2
>> ...
>>
>> Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em
>> (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 +
>> 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a
>> soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas
>> em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para
>> aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e
>> (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou
>> ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a
>> soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2
>> + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não.
>>
>> --
>> Henrique
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>



-- 
Henrique

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re:[obm-l] Demonstração de somatório

[Eduardo Wilner]

A soma dos m/2 primeiros pares ( de 2 à m) ou dos (m+1)/2 impares (de 1 à m) é 
dada por 

[m+2)(m+1)m]/6.   Assim, seu somatório, para n par será 

[(n+1)n(n-1) - (n+2)(n+1)n]/6 = (n-1-n-2)n(n+1)/6 = -n(n+1)/2 

(onde para os impares m=n-1), e para n impar

 [(n+2)(n+1)n - (n+1)n(n-1)]/6 = [(n+2-n+1)(n+1)n]/6 = n(n+1)/2 .


[ ]'s  



  

[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração de somatório

[saulo nilson]

1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1)
(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)...+(-1^n(n-1)-(-1)^(n+1)n)((-1)^n(n-1)+(-1)^(n+1)n)=
n par
-(1+2+3+..+n)=-n(1+n)/2
n impar
-(n-1)n/2+ [(-1)^(n+1)]n^2=-(n-1)n/2+n^2=(n/2)(n+1)
logo
sn=(-1)^(n+1)n(n+1)/2


2011/3/3 Henrique Rennó 

> Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada?
>
> 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1)
>
> Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2
> + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 +
> ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...,
> mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas
> duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo:
>
> Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2)
>
> n: 1, soma: 1^2
> n: 2, soma: 1^2 + 2^2
> n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2
> ...
>
> Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3)
>
> n: 1, soma: 2^2
> n: 2, soma: 2^2 + 4^2
> n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2
> ...
>
> Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em
> (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 +
> 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a
> soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas
> em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para
> aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e
> (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou
> ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a
> soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2
> + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não.
>
> --
> Henrique
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

[obm-l] RE: [obm-l] Demonstração de somatório

[João Maldonado]

  
 
 
Henrique, pessoalmente eu acho o meu método (não sei se você já recebeu), mais 
fácil do que ficar decorando fórmulas, mas se você  quiser fazer do seu jeito,  
 tente para n par e n ímpar 2 casos distintos, e além disso o n' da segunda 
expressão  serian/2 ou (n-1)/2, já que a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 é a soma 
até 2n,  repare que:
2² + 4² +... +(2n)² = 4.(1² + 2² +...+n²) =4 (n) (n+1)(2n +1)/6 =  
2(n)(n+1(2n+1)/3
 
[]'s
João
 
> Date: Thu, 3 Mar 2011 14:01:59 -0300
> Subject: [obm-l] Demonstração de somatório
> From: henrique.re...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada?
> 
> 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1)
> 
> Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2
> + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 +
> ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...,
> mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas
> duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo:
> 
> Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2)
> 
> n: 1, soma: 1^2
> n: 2, soma: 1^2 + 2^2
> n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2
> ...
> 
> Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3)
> 
> n: 1, soma: 2^2
> n: 2, soma: 2^2 + 4^2
> n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2
> ...
> 
> Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em
> (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 +
> 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a
> soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas
> em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para
> aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e
> (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou
> ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a
> soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2
> + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não.
> 
> -- 
> Henrique
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
  

[obm-l] RE: [obm-l] Demonstração de somatório

[João Maldonado]

Olá, 
 
Chamando a expressão de S, 
 
x² - (x+1)² = -2x - 1, com x = 2k+1, -4k  - 3   
se n é par, S= -4.(0+1+2+3+...+ (n-2)/2) -  3n/2 = 
-4.((n-2)/2)  (n/2)/2 - n/2 =  - (n-2)(n)/2 - 3n/2 = -(n)(n+1)/2
 
Se n é impar, n-1 é par, logo S= -(n-1.(n)/2 + n² = n.(n+1)/2
 
[]s,
João
 
> Date: Thu, 3 Mar 2011 14:01:59 -0300
> Subject: [obm-l] Demonstração de somatório
> From: henrique.re...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada?
> 
> 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1)
> 
> Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2
> + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 +
> ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...,
> mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas
> duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo:
> 
> Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2)
> 
> n: 1, soma: 1^2
> n: 2, soma: 1^2 + 2^2
> n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2
> ...
> 
> Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3)
> 
> n: 1, soma: 2^2
> n: 2, soma: 2^2 + 4^2
> n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2
> ...
> 
> Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em
> (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 +
> 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a
> soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas
> em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para
> aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e
> (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou
> ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a
> soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2
> + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não.
> 
> -- 
> Henrique
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
  

[obm-l] Demonstração de somatório

[Henrique Rennó]

Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada?

1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1)

Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2
+ ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 +
... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...,
mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas
duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo:

Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2)

n: 1, soma: 1^2
n: 2, soma: 1^2 + 2^2
n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2
...

Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3)

n: 1, soma: 2^2
n: 2, soma: 2^2 + 4^2
n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2
...

Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em
(1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 +
2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a
soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas
em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para
aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e
(3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou
ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a
soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2
+ 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não.

-- 
Henrique

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Demonstração

[Henrique Rennó]

Como posso demonstrar o seguinte teorema da lógica proposicional
utilizando os 3 axiomas abaixo?

Teorema:

(P')' -> P

Axiomas:

1. A -> (B -> A)
2. [A -> (B -> C)] -> [(A -> B) -> (A -> C)]
3. (A -> B) -> (B' -> A')

-- 
Henrique

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] DEMONSTRAÇÃO DE MATRIZES

[Robério Alves]

3) Demonstre que a única matriz
semelhante à matriz nula é a própria. Idem para a matriz identidade.


  

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[obm-l] Re: [obm-l] DEMONSTRAÇÃO DE MATRIZES

[Artur Costa Steiner]

Se A for semelhante à matriz nula O, então existe uma matriz inversível T tal 
que
A = T^(-1) O T. Logo, A = O T = O.

Se A for semelhante aa matriz identidade I, então A = T(-1) I T = T(-1) T = I.

Artur


From: Robério Alves 
To: OBM Matemática Matemática 
Sent: Mon, November 23, 2009 7:31:59 AM
Subject: [obm-l] DEMONSTRAÇÃO DE MATRIZES


3) Demonstre que a única matriz semelhante à matriz nula é a própria. Idem para 
a matriz identidade.  

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[obm-l] DEMONSTRAÇÃO DE MATRIZES

[Robério Alves]

3) Demonstre que a única matriz
semelhante à matriz nula é a própria. Idem para a matriz identidade. 




  

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[obm-l] Demonstração Geométrica do Porismo de Steiner

[Marcelo Gomes]

Olá pessoal da lista, boa tarde.

Estou realizando algumas construções geométricas utilizando o software Régua
e Compasso. E por várias vezes tenho pesquisado na Internet e também  em
livros sobre como construir geometricamente círculos tangentes dois a dois,
três a três , etc...dentro de outros círculos.

Já encontrei sites excelentes que mostram as construções até animações.
Entretanto o procedimento geométrico para obter tais círculos, ainda não
achei. Também tentei construir estes círculos tangentes no software mas
também não obtive êxito.

Alguém teria o procedimento geométrico para se construir estes círculos ?

Desde já muito obrigado,

Abração, Marcelo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração do seno da so ma / diferença (feita geometricamente)

[Marcelo Gomes]

Oi Raphael,

Valeu...pela dica...comecei a reproduzir a sugestão que você me enviou
ontem, mas quando vi ...já estava desenvolvendo
algebricamente...rsrsrsrecomeçarei  hoje novamente...depois te envio o
desenho.

Grande abraço, e muito obrigado pela ajuda,

Marcelo.

2009/6/14 Raphael Alcaires de Carvalho 

> Olá Marcelo vi uma demonstração bem legal.
> Seja ABC um triângulo cujo ângulo A vale (a+b) e tal que a altura traçada
> do vértice A divida esse ângulo A em dois ângulos de medidas a e b. Utilize
> a fórmula de área de triângulo:
> S = 1/2 xysen(alfa), onde alfa é o ângulo formado pelos lados x e y.
> Use essa fórmula para os dois triângulos formados e para o triângulo ABC.
>
> Espero ter ajudado, qualquer dúvida pode me perguntar.
> []s Raphael Alcaires
>
>
> --- Em *sáb, 13/6/09, Marcelo Gomes * escreveu:
>
>
> De: Marcelo Gomes 
> Assunto: [obm-l] Demonstração do seno da soma / diferença (feita
> geometricamente)
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Data: Sábado, 13 de Junho de 2009, 23:47
>
> Olá pessoal da lista, muito boa noite.
>
> Tenho procurado mas não achei muita coisa sobre isto. Estou garimpando para
> *ver se encontro a demonstração do seno da soma, feita Geometricamente*.
> Quase sempre ou sempre, as demonstrações trigonométricas deste tipo são bem
> algébricas.
>
> Pessoal se alguém puder me ajudar, agradeço muito.
>
>
>
> --
> Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 
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>

[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração do seno da soma / difer ença (feita geometricamente)

[Raphael Alcaires de Carvalho]

Olá Marcelo vi uma demonstração bem legal.
Seja ABC um triângulo cujo ângulo A vale (a+b) e tal que a altura traçada do 
vértice A divida esse ângulo A em dois ângulos de medidas a e b. Utilize a 
fórmula de área de triângulo:
S = 1/2 xysen(alfa), onde alfa é o ângulo formado pelos lados x e y.
Use essa fórmula para os dois triângulos formados e para o triângulo ABC.

Espero ter ajudado, qualquer dúvida pode me perguntar.
[]s Raphael Alcaires


--- Em sáb, 13/6/09, Marcelo Gomes  escreveu:

De: Marcelo Gomes 
Assunto: [obm-l] Demonstração do seno da soma / diferença (feita 
geometricamente)
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sábado, 13 de Junho de 2009, 23:47

Olá pessoal da lista, muito boa noite.

Tenho procurado mas não achei muita coisa sobre isto. Estou garimpando para ver 
se encontro a demonstração do seno da soma, feita Geometricamente. Quase sempre 
ou sempre, as demonstrações trigonométricas deste tipo são bem algébricas.


Pessoal se alguém puder me ajudar, agradeço muito.






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[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração do seno da soma / diferen ça (feita geometricamente)

[Paulo Cesar]

Olá Marcelo

Dê uma olhada no livro "Meu Professor de Matemática e outras histórias" do
Elon Lages Lima. Tem uma demonstração lá bem simples. O livro é bem legal e,
como toda a Coleção do Professor, não é caro.

Um abraço

PC

2009/6/13 Marcelo Gomes 

> Olá pessoal da lista, muito boa noite.
>
> Tenho procurado mas não achei muita coisa sobre isto. Estou garimpando para
> *ver se encontro a demonstração do seno da soma, feita Geometricamente*.
> Quase sempre ou sempre, as demonstrações trigonométricas deste tipo são bem
> algébricas.
>
> Pessoal se alguém puder me ajudar, agradeço muito.
>
>
>

[obm-l] Demonstração do seno da soma / diferença (feita g eometricamente)

[Marcelo Gomes]

Olá pessoal da lista, muito boa noite.

Tenho procurado mas não achei muita coisa sobre isto. Estou garimpando para
*ver se encontro a demonstração do seno da soma, feita Geometricamente*.
Quase sempre ou sempre, as demonstrações trigonométricas deste tipo são bem
algébricas.

Pessoal se alguém puder me ajudar, agradeço muito.

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] demonstração(números prim os)

[Denisson]

Suponha que vc já testou todos os números 2,3,5, ... , Pn e obteve que o
quociente é Q > Pi e o resto era diferente de 0 (caso contrário teríamos
divisores e observe que basta testar os primos pois todo inteiro positivo
pode ser fatorado como produto de primos). Porém, Pn+1 (o próximo número da
sua sequencia) retornou um quociente Qn+1 < Pn+1. Nesse ponto vc deve
observar que nenhum número menor ou igual que Pn+1 divide N. Mas Pn+2 > Pn+1
implica Qn+2 < Qn+1 então Qn+2 < Pn+1 daí Qn+2 não divide N.

Esse procedimento é geral, Qn+3 

>  eu gostaria ver a justificativa do seguinte procedimento para saber se um
> numero é ou não primo:dividí-lo por 2, por 3, por 5...pelos primos.Se o
> quociente se tornar menor q o divisor,com resto diferente de zero,o numero é
> primo.Quem poderia ajudar?Tal procedimento eu vi em livros de quinta série.
>
> --
> From: bened...@ufrnet.br
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] demonstração
> Date: Sun, 3 May 2009 18:47:24 -0300
>
> Marcone,
>
> Outra demonstração você pode obter usando a identidade (x + 1)^4 = x^4 +
> 4x^3 + 6x^2 + 4x^+ 1,  fazendo sucessivamente x = 1, 2, 3, ..., n. Depois
> soma, membro a membro, as n equações e usa os valores da soma dos primeiros
> n números naturais e da soma dos quadrados dos primeiros n quadrados
> perfeitos de números naturais.
> Benedito
>
> - Original Message -
> *From:* marcone augusto araújo borges 
> *To:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Sent:* Sunday, May 03, 2009 9:44 AM
> *Subject:* [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re:
> [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
>
> Eu consegui por indução.Obrigado.Descobri q tem uma demostração usando
> figuras geométricas,mas eu gostaria de ver outra demonstração... se
> posssivel.Um abraço
>
> --
> Date: Sat, 2 May 2009 23:22:39 -0300
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:
> [obm-l] demonstração
> From: msbro...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Olá Marcone,
> utilize indução finita.
>
> Caso vc não conheça, aqui tem uma introdução:
> http://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica
> (não li o site, mas normalmente a wikipedia dá uma idéia inicial)
>
> abraços,
> Salhab
>
>
> 2009/5/2 marcone augusto araújo borges 
>
> Como demonstrar q 1^3+2^3+3^3+...n^3 = (1+2+3+...+n)^2 ?
>
> --
> Date: Sat, 2 May 2009 13:21:10 -0300
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
> From: msbro...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
>
> Olá Vanderlei,
>
> eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas vezes o
> mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)!  [ta certo
> que este fator aparece mais vezes, conforme provamos mais abaixo. Mas
> naquele momento não achei trivial ver isso hehehe, dai eu dividi em outro
> caso pra continuar a solucao ;)]
>
> abraços,
> Salhab
>
>
>
> 2009/5/1 Vandelei Nemitz 
>
> Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem:
>  mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
> entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
>
> Obrigado,
>
> Vanderlei
>
> 2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato 
>
> Fala Vanderlei,
>
> como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então:
> n = p1^a1 . p2^a2  pk^(a_k)
>
> vamos supor que k>1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores
> primos.
> entao: p1^a1 < n, p2^a2 < n, ..., pk^(a_k) < n e todos distintos..
> logo, todos eles estão em (n-1)!
> desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um
> múltiplo de n.
>
> falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor primo..
> neste caso, p^(a-1) < n, logo, ele está em (n-1)!
> e também temos p < n, logo, ele tbem está em (n-1)!
> mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
> entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
>
> falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2)
> n = p^2... vamos ver: p < n ... então p está em (n-1)!
> mas veja que 2p < p^2 para p>2, logo: 2p < n, logo 2p também está em (n-1)!
> logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p>2 (por isso temos n>4)
>
> espero ter ajudado,
> abraços,
> Salhab
>
>
>
>
> 2009/5/1 Vandelei Nemitz 
>
>  Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa?
> **
> *Seja n um número inteiro e não primo. Se n > 4, prove que (n-1)! é
> múltiplo de n.*
> **
> Obrigado
>
> Vanderlei
>
>
>
>
>
> --
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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] demonstração(números prim os)

[Denisson]

N é o número a ser testado.
Suponha que vc já testou todos os números 2,3,5, ... , Pn e obteve que o
quociente é Q > Pi e o resto era diferente de 0 (caso contrário teríamos
divisores e observe que basta testar os primos pois todo inteiro positivo
pode ser fatorado como produto de primos). Porém, Pn+1 (o próximo número da
sua sequencia) retornou um quociente Qn+1 < Pn+1. Nesse ponto vc deve
observar que nenhum número menor ou igual que Pn+1 divide N. Mas Pn+2 > Pn+1
implica Qn+2 < Qn+1 então Qn+2 < Pn+1 daí Qn+2 não divide N e portanto Pn+2
também não divide N .

Esse procedimento é geral, Qn+3 

> Suponha que vc já testou todos os números 2,3,5, ... , Pn e obteve que o
> quociente é Q > Pi e o resto era diferente de 0 (caso contrário teríamos
> divisores e observe que basta testar os primos pois todo inteiro positivo
> pode ser fatorado como produto de primos). Porém, Pn+1 (o próximo número da
> sua sequencia) retornou um quociente Qn+1 < Pn+1. Nesse ponto vc deve
> observar que nenhum número menor ou igual que Pn+1 divide N. Mas Pn+2 > Pn+1
> implica Qn+2 < Qn+1 então Qn+2 < Pn+1 daí Qn+2 não divide N.
>
> Esse procedimento é geral, Qn+3  por aí vai...
>
> 2009/5/9 marcone augusto araújo borges 
>
>  eu gostaria ver a justificativa do seguinte procedimento para saber se um
>> numero é ou não primo:dividí-lo por 2, por 3, por 5...pelos primos.Se o
>> quociente se tornar menor q o divisor,com resto diferente de zero,o numero é
>> primo.Quem poderia ajudar?Tal procedimento eu vi em livros de quinta série.
>>
>> ----------
>> From: bened...@ufrnet.br
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> Subject: [obm-l] demonstração
>> Date: Sun, 3 May 2009 18:47:24 -0300
>>
>> Marcone,
>>
>> Outra demonstração você pode obter usando a identidade (x + 1)^4 = x^4 +
>> 4x^3 + 6x^2 + 4x^+ 1,  fazendo sucessivamente x = 1, 2, 3, ..., n. Depois
>> soma, membro a membro, as n equações e usa os valores da soma dos primeiros
>> n números naturais e da soma dos quadrados dos primeiros n quadrados
>> perfeitos de números naturais.
>> Benedito
>>
>> - Original Message -
>>  *From:* marcone augusto araújo borges 
>> *To:* obm-l@mat.puc-rio.br
>> *Sent:* Sunday, May 03, 2009 9:44 AM
>> *Subject:* [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re:
>> [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
>>
>> Eu consegui por indução.Obrigado.Descobri q tem uma demostração usando
>> figuras geométricas,mas eu gostaria de ver outra demonstração... se
>> posssivel.Um abraço
>>
>> --
>> Date: Sat, 2 May 2009 23:22:39 -0300
>> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:
>> [obm-l] demonstração
>> From: msbro...@gmail.com
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>
>> Olá Marcone,
>> utilize indução finita.
>>
>> Caso vc não conheça, aqui tem uma introdução:
>> http://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica
>> (não li o site, mas normalmente a wikipedia dá uma idéia inicial)
>>
>> abraços,
>> Salhab
>>
>>
>> 2009/5/2 marcone augusto araújo borges 
>>
>> Como demonstrar q 1^3+2^3+3^3+...n^3 = (1+2+3+...+n)^2 ?
>>
>> --
>> Date: Sat, 2 May 2009 13:21:10 -0300
>> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
>> From: msbro...@gmail.com
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>
>>
>> Olá Vanderlei,
>>
>> eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas vezes
>> o mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)!  [ta
>> certo que este fator aparece mais vezes, conforme provamos mais abaixo. Mas
>> naquele momento não achei trivial ver isso hehehe, dai eu dividi em outro
>> caso pra continuar a solucao ;)]
>>
>> abraços,
>> Salhab
>>
>>
>>
>> 2009/5/1 Vandelei Nemitz 
>>
>> Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem:
>>  mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
>> entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
>>
>> Obrigado,
>>
>> Vanderlei
>>
>> 2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato 
>>
>> Fala Vanderlei,
>>
>> como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então:
>> n = p1^a1 . p2^a2  pk^(a_k)
>>
>> vamos supor que k>1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores
>> primos.
>> entao: p1^a1 < n, p2^a2 < n, ..., pk^(a_k) < n e todos distintos..
>> logo, todos eles estão em (n-1)!
>> desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, port

[obm-l] demonstração

[benedito]

Marcone,

Outra demonstração você pode obter usando a identidade (x + 1)^4 = x^4 + 4x^3 + 
6x^2 + 4x^+ 1,  fazendo sucessivamente x = 1, 2, 3, ..., n. Depois soma, membro 
a membro, as n equações e usa os valores da soma dos primeiros n números 
naturais e da soma dos quadrados dos primeiros n quadrados perfeitos de números 
naturais.
Benedito
  - Original Message - 
  From: marcone augusto araújo borges 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, May 03, 2009 9:44 AM
  Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] 
Re: [obm-l] demonstração


  Eu consegui por indução.Obrigado.Descobri q tem uma demostração usando 
figuras geométricas,mas eu gostaria de ver outra demonstração... se 
posssivel.Um abraço
   

--
  Date: Sat, 2 May 2009 23:22:39 -0300
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] 
demonstração
  From: msbro...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br

  Olá Marcone,
  utilize indução finita.

  Caso vc não conheça, aqui tem uma introdução: 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica
  (não li o site, mas normalmente a wikipedia dá uma idéia inicial)

  abraços,
  Salhab



  2009/5/2 marcone augusto araújo borges 

Como demonstrar q 1^3+2^3+3^3+...n^3 = (1+2+3+...+n)^2 ?
 


Date: Sat, 2 May 2009 13:21:10 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br 


Olá Vanderlei,

eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas vezes o 
mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)!  [ta certo 
que este fator aparece mais vezes, conforme provamos mais abaixo. Mas naquele 
momento não achei trivial ver isso hehehe, dai eu dividi em outro caso pra 
continuar a solucao ;)]

abraços,
Salhab




2009/5/1 Vandelei Nemitz 

  Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem:
  mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
  entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
   
  Obrigado,

  Vanderlei


  2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato  


Fala Vanderlei,

como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então:
n = p1^a1 . p2^a2  pk^(a_k)

vamos supor que k>1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores 
primos.
entao: p1^a1 < n, p2^a2 < n, ..., pk^(a_k) < n e todos distintos..
logo, todos eles estão em (n-1)!
desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um 
múltiplo de n.

falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor 
primo..
neste caso, p^(a-1) < n, logo, ele está em (n-1)!
e também temos p < n, logo, ele tbem está em (n-1)!
mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n

falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2)
n = p^2... vamos ver: p < n ... então p está em (n-1)!
mas veja que 2p < p^2 para p>2, logo: 2p < n, logo 2p também está em 
(n-1)!
logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p>2 (por isso temos n>4)

espero ter ajudado,
abraços,
Salhab





2009/5/1 Vandelei Nemitz  


  Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa?

  Seja n um número inteiro e não primo. Se n > 4, prove que (n-1)! é 
múltiplo de n.

  Obrigado

  Vanderlei









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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Carlos Nehab]

Oi, Macone,

Para desenvolver a intuição dos alunos ainda jovens, eu sou adepto de 
"mostrações geométricas" para várias relações desta natureza.  Evito 
indução, pois muitas vezes mecaniza demais as coisas, sem mostrar a 
beleza dos "inteiros" e suas relações maravilhosas.
Há uma "mostração" para a relação que você enviou que é simples e que 
faz parte de uma família de problemas clássicos que é a disposição de 
inteiros em um "triângulo".  Veja: escreva os impares como no 
"triângulo" indicado...


*Linha  Soma na Linha   Triângulo
*


*1 *1 = 1^3 = 1 *1   *

*2 *3+5 = 2^3 = 8 *35
*


*3 *7+9+11 = 3^3 = 27  *79 11  
 *


*4 *13+15+17+19 = 4^3 = 64  *13  15   17   19 *

*5 *21+23+25+27+29 = 5^3 = 125   *21  23   25   27   29   *

*...*  
  

*n *   
  ...  



Observe que nesta arrumação, a soma dos inteiros da k-esima linha vale 
k^3 e a mostração é imediata:
a) a soma dos X primeiros impares vale X^2,  
b) até a linha n há 1+2+...+n impares, ou seja, n(n+1)/2 impares cuja 
soma vale [n(n+1)/2]^2. 
c) Até a linha n+1 há 1+2+...+(n+1) impares, cuja soma então vale 
[(n+1)(n+2)/2]^2.

d) É fácil ver que a diferença entre estas duas soma vale  n^3...

Abraços,
Nehab

marcone augusto araújo borges escreveu:

Como demonstrar q 1^3+2^3+3^3+...n^3 = (1+2+3+...+n)^2 ?
 


Date: Sat, 2 May 2009 13:21:10 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá Vanderlei,

eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas 
vezes o mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)! 
 [ta certo que este fator aparece mais vezes, conforme provamos 
mais abaixo. Mas naquele momento não achei trivial ver isso hehehe, 
dai eu dividi em outro caso pra continuar a solucao ;)]


abraços,
Salhab



2009/5/1 Vandelei Nemitz <mailto:vanderm...@brturbo.com.br>>


Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem:
mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
 
Obrigado,
 
Vanderlei


2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato mailto:msbro...@gmail.com>>

Fala Vanderlei,

como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então:
n = p1^a1 . p2^a2  pk^(a_k)

vamos supor que k>1.. isto é, o número possui pelo menos 2
dividores primos.
entao: p1^a1 < n, p2^a2 < n, ..., pk^(a_k) < n e todos distintos..
logo, todos eles estão em (n-1)!
desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto,
(n-1)! é um múltiplo de n.

falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único
divisor primo..
neste caso, p^(a-1) < n, logo, ele está em (n-1)!
e também temos p < n, logo, ele tbem está em (n-1)!
mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n

falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2)
n = p^2... vamos ver: p < n ... então p está em (n-1)!
mas veja que 2p < p^2 para p>2, logo: 2p < n, logo 2p também
está em (n-1)!
logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p>2 (por isso temos n>4)

espero ter ajudado,
abraços,
Salhab




2009/5/1 Vandelei Nemitz mailto:vanderm...@brturbo.com.br>>

Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa?
 
*Seja n um número inteiro e não primo. Se n > 4, prove que

(n-1)! é múltiplo de n.*
 
Obrigado
 
Vanderlei







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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Marcone,
utilize indução finita.

Caso vc não conheça, aqui tem uma introdução:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica
(não li o site, mas normalmente a wikipedia dá uma idéia inicial)

abraços,
Salhab


2009/5/2 marcone augusto araújo borges 

>  Como demonstrar q 1^3+2^3+3^3+...n^3 = (1+2+3+...+n)^2 ?
>
> --
> Date: Sat, 2 May 2009 13:21:10 -0300
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
> From: msbro...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
>
> Olá Vanderlei,
>
> eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas vezes o
> mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)!  [ta certo
> que este fator aparece mais vezes, conforme provamos mais abaixo. Mas
> naquele momento não achei trivial ver isso hehehe, dai eu dividi em outro
> caso pra continuar a solucao ;)]
>
> abraços,
> Salhab
>
>
>
> 2009/5/1 Vandelei Nemitz 
>
> Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem:
>  mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
> entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
>
> Obrigado,
>
> Vanderlei
>
> 2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato 
>
> Fala Vanderlei,
>
> como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então:
> n = p1^a1 . p2^a2  pk^(a_k)
>
> vamos supor que k>1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores
> primos.
> entao: p1^a1 < n, p2^a2 < n, ..., pk^(a_k) < n e todos distintos..
> logo, todos eles estão em (n-1)!
> desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um
> múltiplo de n.
>
> falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor primo..
> neste caso, p^(a-1) < n, logo, ele está em (n-1)!
> e também temos p < n, logo, ele tbem está em (n-1)!
> mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
> entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
>
> falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2)
> n = p^2... vamos ver: p < n ... então p está em (n-1)!
> mas veja que 2p < p^2 para p>2, logo: 2p < n, logo 2p também está em (n-1)!
> logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p>2 (por isso temos n>4)
>
> espero ter ajudado,
> abraços,
> Salhab
>
>
>
>
> 2009/5/1 Vandelei Nemitz 
>
>  Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa?
> **
> *Seja n um número inteiro e não primo. Se n > 4, prove que (n-1)! é
> múltiplo de n.*
> **
> Obrigado
>
> Vanderlei
>
>
>
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> --
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>

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[marcone augusto araújo borges]

Como demonstrar q 1^3+2^3+3^3+...n^3 = (1+2+3+...+n)^2 ?
 


Date: Sat, 2 May 2009 13:21:10 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá Vanderlei,

eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas vezes o 
mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)!  [ta certo 
que este fator aparece mais vezes, conforme provamos mais abaixo. Mas naquele 
momento não achei trivial ver isso hehehe, dai eu dividi em outro caso pra 
continuar a solucao ;)]

abraços,
Salhab




2009/5/1 Vandelei Nemitz 


Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem:

mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
 
Obrigado,
 
Vanderlei


2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato 




Fala Vanderlei,

como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então:
n = p1^a1 . p2^a2  pk^(a_k)

vamos supor que k>1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores primos.
entao: p1^a1 < n, p2^a2 < n, ..., pk^(a_k) < n e todos distintos..
logo, todos eles estão em (n-1)!
desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um 
múltiplo de n.

falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor primo..
neste caso, p^(a-1) < n, logo, ele está em (n-1)!
e também temos p < n, logo, ele tbem está em (n-1)!
mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n

falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2)
n = p^2... vamos ver: p < n ... então p está em (n-1)!
mas veja que 2p < p^2 para p>2, logo: 2p < n, logo 2p também está em (n-1)!
logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p>2 (por isso temos n>4)

espero ter ajudado,
abraços,
Salhab





2009/5/1 Vandelei Nemitz  





Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa?
 
Seja n um número inteiro e não primo. Se n > 4, prove que (n-1)! é múltiplo de 
n.
 
Obrigado
 
Vanderlei



_
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Vanderlei,

eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas vezes o
mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)!  [ta certo
que este fator aparece mais vezes, conforme provamos mais abaixo. Mas
naquele momento não achei trivial ver isso hehehe, dai eu dividi em outro
caso pra continuar a solucao ;)]

abraços,
Salhab



2009/5/1 Vandelei Nemitz 

> Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem:
> mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
> entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
>
> Obrigado,
>
> Vanderlei
>
> 2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato 
>
> Fala Vanderlei,
>>
>> como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então:
>> n = p1^a1 . p2^a2  pk^(a_k)
>>
>> vamos supor que k>1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores
>> primos.
>> entao: p1^a1 < n, p2^a2 < n, ..., pk^(a_k) < n e todos distintos..
>> logo, todos eles estão em (n-1)!
>> desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um
>> múltiplo de n.
>>
>> falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor primo..
>> neste caso, p^(a-1) < n, logo, ele está em (n-1)!
>> e também temos p < n, logo, ele tbem está em (n-1)!
>> mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
>> entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
>>
>> falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2)
>> n = p^2... vamos ver: p < n ... então p está em (n-1)!
>> mas veja que 2p < p^2 para p>2, logo: 2p < n, logo 2p também está em
>> (n-1)!
>> logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p>2 (por isso temos n>4)
>>
>> espero ter ajudado,
>> abraços,
>> Salhab
>>
>>
>>
>>
>> 2009/5/1 Vandelei Nemitz 
>>
>>  Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa?
>>> **
>>> *Seja n um número inteiro e não primo. Se n > 4, prove que (n-1)! é
>>> múltiplo de n.*
>>> **
>>> Obrigado
>>>
>>> Vanderlei
>>>
>>
>>
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Vandelei Nemitz]

Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem:
mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n

Obrigado,

Vanderlei

2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato 

> Fala Vanderlei,
>
> como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então:
> n = p1^a1 . p2^a2  pk^(a_k)
>
> vamos supor que k>1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores
> primos.
> entao: p1^a1 < n, p2^a2 < n, ..., pk^(a_k) < n e todos distintos..
> logo, todos eles estão em (n-1)!
> desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um
> múltiplo de n.
>
> falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor primo..
> neste caso, p^(a-1) < n, logo, ele está em (n-1)!
> e também temos p < n, logo, ele tbem está em (n-1)!
> mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
> entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
>
> falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2)
> n = p^2... vamos ver: p < n ... então p está em (n-1)!
> mas veja que 2p < p^2 para p>2, logo: 2p < n, logo 2p também está em (n-1)!
> logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p>2 (por isso temos n>4)
>
> espero ter ajudado,
> abraços,
> Salhab
>
>
>
>
> 2009/5/1 Vandelei Nemitz 
>
>  Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa?
>> **
>> *Seja n um número inteiro e não primo. Se n > 4, prove que (n-1)! é
>> múltiplo de n.*
>> **
>> Obrigado
>>
>> Vanderlei
>>
>
>

[obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Pacini Bores]

Olá  Vanderlei ,
Seja n =ab , já  que n não é primo.Tente observar  que  os fatores  a  e b
aparecem  em (n-1)! , ok ?

Pacini

2009/5/1 Vandelei Nemitz 

> Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa?
> **
> *Seja n um número inteiro e não primo. Se n > 4, prove que (n-1)! é
> múltiplo de n.*
> **
> Obrigado
>
> Vanderlei
>

[obm-l] Re: [obm-l] demonstração

[Marcelo Salhab Brogliato]

Fala Vanderlei,

como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então:
n = p1^a1 . p2^a2  pk^(a_k)

vamos supor que k>1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores primos.
entao: p1^a1 < n, p2^a2 < n, ..., pk^(a_k) < n e todos distintos..
logo, todos eles estão em (n-1)!
desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um
múltiplo de n.

falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor primo..
neste caso, p^(a-1) < n, logo, ele está em (n-1)!
e também temos p < n, logo, ele tbem está em (n-1)!
mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n

falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2)
n = p^2... vamos ver: p < n ... então p está em (n-1)!
mas veja que 2p < p^2 para p>2, logo: 2p < n, logo 2p também está em (n-1)!
logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p>2 (por isso temos n>4)

espero ter ajudado,
abraços,
Salhab




2009/5/1 Vandelei Nemitz 

> Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa?
> **
> *Seja n um número inteiro e não primo. Se n > 4, prove que (n-1)! é
> múltiplo de n.*
> **
> Obrigado
>
> Vanderlei
>

[obm-l] demonstração

[Vandelei Nemitz]

Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa?
**
*Seja n um número inteiro e não primo. Se n > 4, prove que (n-1)! é múltiplo
de n.*
**
Obrigado

Vanderlei

[obm-l] Re: [obm-l] demonstração Geom Plana

[Paulo Santa Rita]

Olá Thelio de demais
colegas desta lista ... OBM-L,
(escreverei sem acentos)

As medianas de um triangulo qualquer se encontram no centro de
gravidade do triangulo, tambem chamado de baricentro. Esse baricentro,
portanto, divide cada mediana em duas partes, a saber  : a primeira
parte, que vai do vertice onde se origina a mediana ate o baricentro,
a segunda, que vai do baricentro até o ponto medio do lado oposto. E
bem sabido que a primeira parte tem medida igual ao dobro da segunda
... Assim, chamando de "Ma" a medida da mediana que termina no ponto
medio do lado "a", segue que :

(2/3)*(Ma) + (2/3)*(Mb) > c( pela desigualdade triangular )
(2/3)*(Ma) + (2/3)*(Mc) > b( idem )
(2/3)*(Mb) + (2/3)*(Mc) > a( idem )

Somando tudo : Ma + Mb + Mc > (3/4)*(a+b+c)

Um abraco a todos
PSR, 21304091430

2009/3/13 Thelio Gama :
> Caros professores
> gostaria de uma ajuda na seguinte demonstração:
> "Mostre que a soma das três medianas de um triângulo é maior do que os 3/4
> do perímetro"
> Tentei resolver por desigualdade triangular, mas não consegui.
> Obrigado
> Thelio

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] demonstração Geom Plana

[Thelio Gama]

Caros professores
gostaria de uma ajuda na seguinte demonstração:

"Mostre que a soma das três medianas de um triângulo é maior do que os 3/4
do perímetro"

Tentei resolver por desigualdade triangular, mas não consegui.

Obrigado

Thelio

Re: [obm-l] Demonstração Geom Plana

[Carlos Nehab]

Oi, Thelio.

Mais que isto, a soma das medianas está entre 3/4 e 3/2 do perímetro.

Mas vamos lá que eu usei exatamente a desigualdade triangular em 3
triângulos... 

Use o  baricentro G e aplique nos 3 triângulos ABG, BCG e CAG a
"desigualdade triangular", onde m(X) é a mediana que chega ao vértice X:

No triang GAB:  2.m(A)/3 + 2.m(B)/3 >= AB    
No triang GBC:  2.m(B)/3
+ 2.m(C)/3 >= BC,  e
No triang GCA:  2.m(C)/3
+ 2.m(A)/3 >= CA.

Somando chega-se ao resultado e a igualdade vale no caso de um
triângulo degenerado, onde C é o ponto médio de AB, por exemplo.

Abraços,
Nehab

helio Gama escreveu:
Caros professores
  
  
  gostaria de uma ajuda na seguinte demonstração:
  
  
  "Mostre que a soma das três medianas de um
triângulo é maior do que os 3/4 do
perímetro"
  
  
  Tentei resolver por desigualdade triangular, mas não consegui.
  
  
  Obrigado
   
  Thelio
  


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração Geom Plana

[Luís Junior]

Acho que por vatores também sái. Tentarei aqui.

2009/3/13 Thelio Gama 

> Caros professores
> gostaria de uma ajuda na seguinte demonstração:
>
> "Mostre que a soma das três medianas de um triângulo é maior do que os 3/4
> do perímetro"
>
> Tentei resolver por desigualdade triangular, mas não consegui.
>
> Obrigado
>
> Thelio
>

[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Demonstração Geom Plana

[Ralph Teixeira]

Concordo com o Osmundo: pense num triangulo beeem degenerado, com A
praaaticamente no meio do segmento BC. Os lados deste triangulo sao
quaaase a=2x, b=c=x, portanto o perimetro eh quaaase 4x.

Bom, as medianas sao praaaticamente 3x/2, 3x/2 e 0, com soma 3x ,que
eh 3/4 do perimetro. Entao 3/4 eh a melhor cota possivel.

Abrco,
 Rlph

2009/3/14 Osmundo Caboclo :
> Caro Thelio a desigualdade triangular se presta para essa demonstração. Seja
> ABC um triângulo e seja G seu baricentro. Olhemos para o triângulo BGC,
> podemos escrever 2/3xm_b + 2/3xm_c > a. Fazendo o mesmo para os triângulos
> AGC e AGB e somando as desigualdades ( elas são coerentes para essa soma )
> sai o resultado que você quer.
>
> Uma boa pergunta é: seria ¾  a melhor cota possível para comparar esses
> elementos ( soma das medianas com o perímetro ) no conjunto de todos os
> triângulos euclidianos ? Eu chutaria que sim, mas não sei responder.
>
> Um abraço
>
> Osmundo Caboclo
>
>
>
> 
>
> De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
> de Thelio Gama
> Enviada em: sexta-feira, 13 de março de 2009 21:23
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: [obm-l] Demonstração Geom Plana
>
>
>
> Caros professores
>
>
>
> gostaria de uma ajuda na seguinte demonstração:
>
>
>
> "Mostre que a soma das três medianas de um triângulo é maior do que os 3/4
> do perímetro"
>
>
>
> Tentei resolver por desigualdade triangular, mas não consegui.
>
>
>
> Obrigado
>
>
>
> Thelio

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RES: [obm-l] Demonstração Geom Plana

[Osmundo Caboclo]

Caro Thelio a desigualdade triangular se presta para essa demonstração. Seja
ABC um triângulo e seja G seu baricentro. Olhemos para o triângulo BGC,
podemos escrever 2/3xm_b + 2/3xm_c > a. Fazendo o mesmo para os triângulos
AGC e AGB e somando as desigualdades ( elas são coerentes para essa soma )
sai o resultado que você quer. 

Uma boa pergunta é: seria ¾  a melhor cota possível para comparar esses
elementos ( soma das medianas com o perímetro ) no conjunto de todos os
triângulos euclidianos ? Eu chutaria que sim, mas não sei responder.

Um abraço

Osmundo Caboclo

 

  _  

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Thelio Gama
Enviada em: sexta-feira, 13 de março de 2009 21:23
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Demonstração Geom Plana

 

Caros professores

 

gostaria de uma ajuda na seguinte demonstração:

 

"Mostre que a soma das três medianas de um triângulo é maior do que os 3/4
do perímetro"

 

Tentei resolver por desigualdade triangular, mas não consegui.

 

Obrigado

 

Thelio

[obm-l] Demonstração Geom Plana

[Thelio Gama]

Caros professores
gostaria de uma ajuda na seguinte demonstração:

"Mostre que a soma das três medianas de um triângulo é maior do que os 3/4
do perímetro"

Tentei resolver por desigualdade triangular, mas não consegui.

Obrigado

Thelio

[obm-l] Demonstração do volume de um tronco

[regis barros]

Olá Pessoal
 
Venho tendo um problema que não estou encontrando solução como fazer a 
demonstração usando ou não integral para um tronco de piramide de base 
quadrada? Como posso usar a integral para resolver o problema e como encontrar 
a relação de 1/3?
 
regis
regisgbar...@yahoo.com.br


  Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com

[obm-l] Demonstração de Gaus

[Marcelo Gomes]

Olá pessoal bom dia de novo.

Esqueci de perguntar aos senhores sobre a demosntração do Teorema
fundamental da álgebra feita por Gauss. Se alguém possuí-la pro favor entre
em contato comigo, ok ?

Forte abraço, Marcelo.

Re: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT

[rbdantas]

>
Certa vez vi uma prova da convergencia  na revista professor de matematica
mas não lembro qual foi o numero.

Abs.

  Rivaldo
pensei ter escrito n^p == n+ 1 mod p, desculpe.
>
> aproveitando, vc sabe de alguma prova de convergência da sequência de
> fibonacci? ou sequências com a mesma regra de formação (a de lucas, por
> exemplo: 1,3,4,7,11,18...)
>
> Dei uma prova de convergência "feia"  a partir da sequência de lucas (mas
> o mesmo argumento vale para a sequência de fibonacci e qualquer outra)
>
> Repare que achar a razão áurea (pelo menos pelo método tradicional***) não
> prova a convergência da sequência
>
> seja an = an-1 + an-2 a regra de formação; SE a sequência das razões
> an/an-1converge para um limite L, então quando n--> infinito, an/an-1 -->
> L
>
> na verdade, no limite an/an-1 = L,  como an+1 = an + an-1, an/an-1 = (an +
> an-1)/an = 1+an-1/an, oq implica L = 1 + 1/L ==> L^2 - L - 1 = 0 ==> L =
> (1 +ou- 5^1/2)/2, desprezando-se o caso do sinal negativo (pois an é
> sempre maior que an-1 e no caso negativo L seria < 1)
>
> Mas tudo isso baseado na suposição, gostaria de ver uma prova da
> convergência
>
> - Mensagem original 
> De: Maurício Collares <[EMAIL PROTECTED]>
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Enviadas: Terça-feira, 27 de Novembro de 2007 19:10:51
> Assunto: Re: [obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] RES: [obm-l] Res: [obm-l]
> demonstração: pequeno teorema de FERMAT
>
> On Nov 27, 2007 12:11 PM, Rodrigo Cientista
> <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>>
>> Só uma pequena correção, na útima passagem eu coloquei (n+1)^p == n + 1
>> mod
>> p mas foi por acidente que o 1 ficou ali, esqueci de apagá-lo.
>
> Não vejo nenhum "1" extra na prova... De qual "1" você está falando?
>
> --
> Abraços,
> Maurício
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
>
>   Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para
> armazenamento!
> http://br.mail.yahoo.com/
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT

[saulo nilson]

n^p=(n-1+1)^p=c(p,0)(n-1)^p+c(p,1)(n-1)^(p-1)+1=
=(n-1)^p+1modp=
=(n-2+1)^p+1modp=(n-2)^p+2modp
continundo desta maneira encontramos
n^p=nmodp


On 11/28/07, Rodrigo Cientista <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> Fernando, tem razão, não quis dar um tom pejorativo, ok?!
>
> Aproveitando a oportunidade, certa vez um astrônomo, um físico e um
> matemático estavam andando de trem pela Escócia quando viram, de perfil, uma
> ovelha negra pastando num campo.
>
> O astrônomo diz:
>
> - na escócia todas as ovelhas são negras.
>
> O físico o corrige:
>
> - não, na verdade na escócia existe pelo menos uma ovelha negra!
>
> E o matemático, sem conseguir se conter, diz:
>
> - não, não!! em pelo menos um dos campos da escócia existe pelo menos uma
> ovelha que possui pelo menos um dos lados com pêlos negros
>
> forte abraço!
>
>
>
> ***
> fernandobarcel
> Tue, 27 Nov 2007 17:37:55 -0800
> Rodrigo,
> matematicamente falando, acho que você só poderia, no máximo, concluir que
> "Na
> lista não houve muito entusiasmo por ESTA prova", certo?
> Até porque, em mais de 1/3 de todas as mensagens da lista, a palavra
> "prove"
> está presente.
> Abraços
>
> -- Início da mensagem original ---
> De: Rodrigo Cientista
> > Só uma pequena correção, na útima passagem eu coloquei (n+1)^p == n + 1
> mod p
> > mas foi por acidente que o 1 ficou ali, esqueci de apagá-lo
> > (vejo que na lista não há muitos entusiastas por provas)
>
>
>  Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para
> armazenamento!
> http://br.mail.yahoo.com/
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

[obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT

[Rodrigo Cientista]

Fernando, tem razão, não quis dar um tom pejorativo, ok?!

Aproveitando a oportunidade, certa vez um astrônomo, um físico e um matemático 
estavam andando de trem pela Escócia quando viram, de perfil, uma ovelha negra 
pastando num campo.

O astrônomo diz:

- na escócia todas as ovelhas são negras.

O físico o corrige:

- não, na verdade na escócia existe pelo menos uma ovelha negra!

E o matemático, sem conseguir se conter, diz:

- não, não!! em pelo menos um dos campos da escócia existe pelo menos uma 
ovelha que possui pelo menos um dos lados com pêlos negros

forte abraço!


***
fernandobarcel
Tue, 27 Nov 2007 17:37:55 -0800
Rodrigo,
matematicamente falando, acho que você só poderia, no máximo, concluir que "Na 
lista não houve muito entusiasmo por ESTA prova", certo?
Até porque, em mais de 1/3 de todas as mensagens da lista, a palavra "prove" 
está presente.
Abraços

-- Início da mensagem original ---
De: Rodrigo Cientista
> Só uma pequena correção, na útima passagem eu coloquei (n+1)^p == n + 1 mod p 
> mas foi por acidente que o 1 ficou ali, esqueci de apagá-lo
> (vejo que na lista não há muitos entusiastas por provas)


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[obm-l] Re:[obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT

[fernandobarcel]

Rodrigo,
matematicamente falando, acho que você só poderia, no máximo, concluir que "Na 
lista não houve muito entusiasmo por ESTA prova", certo?

Até porque, em mais de 1/3 de todas as mensagens da lista, a palavra "prove" 
está presente.

Abraços


-- Início da mensagem original ---
De: Rodrigo Cientista

> Só uma pequena correção, na útima passagem eu coloquei (n+1)^p == n + 1 mod p 
> mas foi por acidente que o 1 ficou ali, esqueci de apagá-lo
> (vejo que na lista não há muitos entusiastas por provas)



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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT

[Rodrigo Cientista]

pensei ter escrito n^p == n+ 1 mod p, desculpe. 

aproveitando, vc sabe de alguma prova de convergência da sequência de 
fibonacci? ou sequências com a mesma regra de formação (a de lucas, por 
exemplo: 1,3,4,7,11,18...)

Dei uma prova de convergência "feia"  a partir da sequência de lucas (mas o 
mesmo argumento vale para a sequência de fibonacci e qualquer outra)

Repare que achar a razão áurea (pelo menos pelo método tradicional***) não 
prova a convergência da sequência

seja an = an-1 + an-2 a regra de formação; SE a sequência das razões 
an/an-1converge para um limite L, então quando n--> infinito, an/an-1 --> L

na verdade, no limite an/an-1 = L,  como an+1 = an + an-1, an/an-1 = (an + 
an-1)/an = 1+an-1/an, oq implica L = 1 + 1/L ==> L^2 - L - 1 = 0 ==> L = (1 
+ou- 5^1/2)/2, desprezando-se o caso do sinal negativo (pois an é sempre maior 
que an-1 e no caso negativo L seria < 1)

Mas tudo isso baseado na suposição, gostaria de ver uma prova da convergência

- Mensagem original 
De: Maurício Collares <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Terça-feira, 27 de Novembro de 2007 19:10:51
Assunto: Re: [obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] RES: [obm-l] Res: [obm-l] 
demonstração: pequeno teorema de FERMAT

On Nov 27, 2007 12:11 PM, Rodrigo Cientista
<[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> Só uma pequena correção, na útima passagem eu coloquei (n+1)^p == n + 1 mod
> p mas foi por acidente que o 1 ficou ali, esqueci de apagá-lo.

Não vejo nenhum "1" extra na prova... De qual "1" você está falando?

--
Abraços,
Maurício

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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] RES: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT

[Maurício Collares]

On Nov 27, 2007 12:11 PM, Rodrigo Cientista
<[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> Só uma pequena correção, na útima passagem eu coloquei (n+1)^p == n + 1 mod
> p mas foi por acidente que o 1 ficou ali, esqueci de apagá-lo.

Não vejo nenhum "1" extra na prova... De qual "1" você está falando?

--
Abraços,
Maurício

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] RES: [obm-l] R es: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de F ERMAT

[Rodrigo Cientista]

Só uma pequena correção, na útima passagem eu coloquei (n+1)^p == n + 1 mod p 
mas foi por acidente que o 1 ficou ali, esqueci de apagá-lo (vejo que na lista 
não há muitos entusiastas por provas)

abraços



- Mensagem original 
De: Rodrigo Cientista <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 26 de Novembro de 2007 21:54:53
Assunto: [obm-l] Res: [obm-l] RES: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno 
teorema de FERMAT




Por indução, é simples!!
 
Sabemos que n^p == n mop p para algum n(n=1, por exemplo), queremos saber se é 
válido para todo n.
 
expandindo, (n+1)^p = n^p + C_p,1*a^p-1 + ... + C_p,k*a^p-k + ... + 1
 
obs*** C_x,y = combinação de x e y
 
Como p divide C_p,k (pois o numerador é p! = p(p-1)(p-2)...), segue (n+1)^p == 
n^p + 1 mod p
 
Mas por hipótese de indução, já estava provado que n^p == n mop p oq implica 
n^p +1 == n + 1 mop p
 
Assim, (n+1)^p == n + 1 mod p, provando Fermat por indução sobre n
 
Realmente, essa é a prova mais simples, mas não é minha
 
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rodrigo Cientista
Enviada em: segunda-feira, 26 de novembro de 2007 13:41
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT


Salhab, realmente houve uma falha
 
o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos...
 
seja x um resto qualquer da divisão de n por p, tal que n == x mod p
 
seja um k qualquer tal que x-k = 1 (chamarei de r) e n-k = w, assim n == x mop 
p é equivalente a n - k == x - k mop p que pode ser reescrito como w == r mod p 
 
w == r mod p implica w^p == r^p mod p 
 
w^p -w == r^p - r == 0 mod p, assim w^p == w == 1 mod p (oq só demonstra o 
teorema quando w deixa resto 1 na divisão por p, tentei provar por indução para 
w+1, mas não saiu...)


 
- Mensagem original 
De: Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Sábado, 24 de Novembro de 2007 20:16:58
Assunto: Re: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT

Olá Rodrigo,

não entendi essa passagem: x^p - x == n^p - n == 0 mod p ...
de onde veio o 0?

abraços,
Salhab



On Nov 24, 2007 6:01 PM, Rodrigo Cientista < [EMAIL PROTECTED]> wrote:

Em primeiro lugar olá a todos, sou novo na lista, e gostaria de saber se uma 
demonstração que dei para o pequeno teorema de fermat está equivocada ou não, 
conforme segue: 

o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos...

escreverei n == x mod p, assim n == x mod p implica n^p == x^p mod p (das 
propriedades de congruência)

n^p == x^p mod p equivale a x^p == n^p mod p (das propriedades de congruência) 

se n == x mod p e x^p == n^p mod p então n + x^p == x+ n^p mod p (das 
propriedades de congruência)

assim x^p - x == n^p - n == 0 mod p implica n^p == n mod p como queríamos 
demonstrar


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Re: [obm-l] RES: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT

[ralonso]

qual link?

Artur Costa Steiner wrote:

> Neste limk há uma provaArtur
>
>  -Mensagem original-
>  De: [EMAIL PROTECTED]
>  [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rodrigo
>  Cientista
>  Enviada em: segunda-feira, 26 de novembro de 2007 13:41
>  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>      Assunto: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema
>  de FERMAT
>
>  Salhab, realmente houve uma falha
>
>  o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos...
>
>  seja x um resto qualquer da divisão de n por p, tal que n ==
>  x mod p
>
>  seja um k qualquer tal que x-k = 1 (chamarei de r) e n-k =
>  w, assim n == x mop p é equivalente a n - k == x - k mop p
>  que pode ser reescrito como w == r mod p
>
>  w == r mod p implica w^p == r^p mod p
>
>
>
>  w^p -w == r^p - r == 0 mod p, assim w^p == w == 1 mod p (oq
>  só demonstra o teorema quando w deixa resto 1 na divisão por
>  p, tentei provar por indução para w+1, mas não saiu...)
>
>
>  - Mensagem original 
>  De: Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]>
>      Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>  Enviadas: Sábado, 24 de Novembro de 2007 20:16:58
>  Assunto: Re: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT
>
>  Olá Rodrigo,
>
>  não entendi essa passagem: x^p - x == n^p - n == 0 mod p ...
>
>  de onde veio o 0?
>
>  abraços,
>  Salhab
>
>
>  On Nov 24, 2007 6:01 PM, Rodrigo Cientista <
>  [EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
>   Em primeiro lugar olá a todos, sou novo na lista,
>   e gostaria de saber se uma demonstração que dei
>   para o pequeno teorema de fermat está equivocada
>   ou não, conforme segue:
>
>   o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não
>   sabemos...
>
>   escreverei n == x mod p, assim n == x mod p
>   implica n^p == x^p mod p (das propriedades de
>   congruência)
>
>   n^p == x^p mod p equivale a x^p == n^p mod p (das
>   propriedades de congruência)
>
>   se n == x mod p e x^p == n^p mod p então n + x^p
>   == x+ n^p mod p (das propriedades de congruência)
>
>   assim x^p - x == n^p - n == 0 mod p implica n^p ==
>   n mod p como queríamos demonstrar
>
>
>Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem
>   limite de espaço para armazenamento!
>   http://br.mail.yahoo.com/
>
>
>   
> 
>
>   Instruções para entrar na lista, sair da lista e
>   usar a lista em
>   http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>
>   
> 
>
>
>
>
>  -
>  Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço
>  para armazenamento!
>

[obm-l] RES: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração : pequeno teorema de FERMAT

[Artur Costa Steiner]

Neste limk há uma prova
Artur

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rodrigo Cientista
Enviada em: segunda-feira, 26 de novembro de 2007 13:41
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT


Salhab, realmente houve uma falha
 
o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos...
 
seja x um resto qualquer da divisão de n por p, tal que n == x mod p
 
seja um k qualquer tal que x-k = 1 (chamarei de r) e n-k = w, assim n == x mop 
p é equivalente a n - k == x - k mop p que pode ser reescrito como w == r mod p 
 

w == r mod p implica w^p == r^p mod p 

 

w^p -w == r^p - r == 0 mod p, assim w^p == w == 1 mod p (oq só demonstra o 
teorema quando w deixa resto 1 na divisão por p, tentei provar por indução para 
w+1, mas não saiu...)



 
- Mensagem original 
De: Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Sábado, 24 de Novembro de 2007 20:16:58
Assunto: Re: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT

Olá Rodrigo,

não entendi essa passagem: x^p - x == n^p - n == 0 mod p ...
de onde veio o 0?

abraços,
Salhab



On Nov 24, 2007 6:01 PM, Rodrigo Cientista <  <mailto:[EMAIL PROTECTED]> [EMAIL 
PROTECTED]> wrote:


Em primeiro lugar olá a todos, sou novo na lista, e gostaria de saber se uma 
demonstração que dei para o pequeno teorema de fermat está equivocada ou não, 
conforme segue: 

o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos...

escreverei n == x mod p, assim n == x mod p implica n^p == x^p mod p (das 
propriedades de congruência)

n^p == x^p mod p equivale a x^p == n^p mod p (das propriedades de congruência) 

se n == x mod p e x^p == n^p mod p então n + x^p == x+ n^p mod p (das 
propriedades de congruência)

assim x^p - x == n^p - n == 0 mod p implica n^p == n mod p como queríamos 
demonstrar


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único sem limite de espaço para armazenamento! 

[obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT

[Rodrigo Cientista]

Salhab, realmente houve uma falha

o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos...

seja x um resto qualquer da divisão de n por p, tal que n == x mod p

seja um k qualquer tal que x-k = 1 (chamarei de r) e n-k = w, assim n == x mop 
p é equivalente a n - k == x - k mop p que pode ser reescrito como w == r mod p 

w == r mod p implica w^p == r^p mod p 

w^p -w == r^p - r == 0 mod p, assim w^p == w == 1 mod p (oq só demonstra o 
teorema quando w deixa resto 1 na divisão por p, tentei provar por indução para 
w+1, mas não saiu...)



- Mensagem original 
De: Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Sábado, 24 de Novembro de 2007 20:16:58
Assunto: Re: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT

Olá Rodrigo,

não entendi essa passagem: x^p - x == n^p - n == 0 mod p ...
de onde veio o 0?

abraços,
Salhab



On Nov 24, 2007 6:01 PM, Rodrigo Cientista < [EMAIL PROTECTED]> wrote:

Em primeiro lugar olá a todos, sou novo na lista, e gostaria de saber se uma 
demonstração que dei para o pequeno teorema de fermat está equivocada ou não, 
conforme segue: 

o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos...

escreverei n == x mod p, assim n == x mod p implica n^p == x^p mod p (das 
propriedades de congruência)

n^p == x^p mod p equivale a x^p == n^p mod p (das propriedades de congruência) 

se n == x mod p e x^p == n^p mod p então n + x^p == x+ n^p mod p (das 
propriedades de congruência)

assim x^p - x == n^p - n == 0 mod p implica n^p == n mod p como queríamos 
demonstrar


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=


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armazenamento!
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Re: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Rodrigo,

não entendi essa passagem: x^p - x == n^p - n == 0 mod p ...
de onde veio o 0?

abraços,
Salhab


On Nov 24, 2007 6:01 PM, Rodrigo Cientista <[EMAIL PROTECTED]>
wrote:

> Em primeiro lugar olá a todos, sou novo na lista, e gostaria de saber se
> uma demonstração que dei para o pequeno teorema de fermat está equivocada ou
> não, conforme segue:
>
> o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos...
>
> escreverei n == x mod p, assim n == x mod p implica n^p == x^p mod p (das
> propriedades de congruência)
>
> n^p == x^p mod p equivale a x^p == n^p mod p (das propriedades de
> congruência)
>
> se n == x mod p e x^p == n^p mod p então n + x^p == x+ n^p mod p (das
> propriedades de congruência)
>
> assim x^p - x == n^p - n == 0 mod p implica n^p == n mod p como queríamos
> demonstrar
>
>
>  Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para
> armazenamento!
> http://br.mail.yahoo.com/
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

[obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT

[Rodrigo Cientista]

você tem razão, eu teria que continuar checando congruências pelo mesmo 
processo até chegar a alguma que o resto fosse = 1, daí poderia concluir que 
x^p - x é côngruo a zero modulo p, mas a priori acho que não necessariamente 
essa congruência apareceria.

assim, eu teria que a partir do mesmo ponto escolher x == y mop p e realizar 
todo o processo novamente, se concluísse que y = 1 o teorema estaria provado em 
virtude de y^p - y ser côngruo a zero modulo p, como se fosse uma "descida" até 
encontrar uma sentença verdadeira.

pensei num atalho: o que poderia ser feito seria inserir forçosamente um número 
k qualquer tal que x-k = 1 (chamarei de r) e n-k = w, assim n == x mop p é 
equivalente a n - k == x - k mop p que pode ser reescrito como w == r mod p e o 
resto do argumento seria idêntico, com a diferença de que poderei concluir que 
r^p - r == 0 mod p e consequentemente w^p == w mop p


- Mensagem original 
De: Maurício Collares <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Sábado, 24 de Novembro de 2007 17:19:54
Assunto: Re: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT

On Nov 24, 2007 5:01 PM, Rodrigo Cientista
<[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> assim x^p - x == n^p - n == 0 mod p implica n^p == n mod p como queríamos 
> demonstrar

Qual a passagem que permite concluir que x^p - x é côngruo a zero modulo p?

--
Abraços,
Maurício

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  Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
armazenamento!
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Re: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT

[Maurício Collares]

On Nov 24, 2007 5:01 PM, Rodrigo Cientista
<[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> assim x^p - x == n^p - n == 0 mod p implica n^p == n mod p como queríamos 
> demonstrar

Qual a passagem que permite concluir que x^p - x é côngruo a zero modulo p?

--
Abraços,
Maurício

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[obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT

[Rodrigo Cientista]

Em primeiro lugar olá a todos, sou novo na lista, e gostaria de saber se uma 
demonstração que dei para o pequeno teorema de fermat está equivocada ou não, 
conforme segue:

o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos...

escreverei n == x mod p, assim n == x mod p implica n^p == x^p mod p (das 
propriedades de congruência)

n^p == x^p mod p equivale a x^p == n^p mod p (das propriedades de congruência)

se n == x mod p e x^p == n^p mod p então n + x^p == x+ n^p mod p (das 
propriedades de congruência)

assim x^p - x == n^p - n == 0 mod p implica n^p == n mod p como queríamos 
demonstrar


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[obm-l] Demonstração sobre os números naturais

[J. Renan]

Olá lista!

Vi um problema que achei realmente interessante:

" Mostre que todo inteiro positivo é uma soma de um ou mais números na forma
2^a * 3^b, se a e b são inteiros não-negativos e nenhum dos termos da soma
divide o(s) outro(s) "

Parece que foi originalmente proposto por Paul Erdös.
--
Abraços,
J.Renan

Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração antiga

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Outra ideia mais interessante seria calcular cada termo em funcao das funcoes elementares simétricas

Se escrevermos 
S1=a+b+c
S2=ab+ac+bc
S3=abc

podemos escrever qualquer polinomio simetrico em funcao deles, e só deles.

Agora, escrever cada Pi=a^i+b^i+c^i é um pouco chato. Na verdade este
resultado é razoavelmente conhecido mas (pelo que vi aqui e em varios
lugares) pouco usado.

Depois eu posto, se conseguir achar um local aonde pesquisar sobre tal...
Em 13/11/06, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:







Olá,
 
acho que tem uma saída mais simples:
 
(a^5 + b^5 +c^5)/5 = [(a^3 + b^3 + c^3)/3]*[a^2 + b^2 + c^2)/2]
a + b + c = 0
 
 
a = - b - c
 
assim: a^3 + b^3 + c^3 = -(b+c)^3 + b^3 + c^3 = 
-3bc(b + c)
e: a^2 + b^2 + c^2 = (b+c)^2 + b^2 + c^2 = 2(b^2 + 
c^2 + bc)
 
logo, o lado direito da expressao fica: -3bc(b + c) 
* 2 * (b^2 + c^2 + bc) / 6 = - bc (b + c)(b^2 + c^2 + bc)
 
agora, o lado esquerdo:
 
(-b-c)^5 + b^5 + c^5 = -(b^5 + 5 b^4 c + 10 
b^3 c^2 + 10 b^2 c^3 + 5 b c^4 + c^5) + b^5 + c^5 = -(5 b^4 c + 10 b^3 c^2 
+ 10 b^2 c^3 + 5 b c^4) = -5(b^4 c + 2 b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + b 
c^4)
 
logo, o lado esquerdo fica: -5(b^4 c + 2 
b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + b c^4) = -(b^4 c + 2 b^3 c^2 + 2 b^2 
c^3 + b c^4) = - bc (b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 + c^3)
 
agora, falta só uma fatoradinha, ou abrir oq 
tivemos do lado esquerdo...
acho mais facil abrir, entao:
 
(b + c)(b^2 + c^2 + bc) = b^3 + b c^2 + b^2 c + b^2 
c + c^3 + b c^2 = b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 + c^3
 
logo, sao iguais.
 
abraços,
Salhab
 
 
 
 

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From: 
  GERALDO 
  FRANCISCO DE SOUZA REBOUÇAS 
  To: 
Lista _OBM 
  Sent: Sunday, November 12, 2006 9:41 
  PM
  Subject: [obm-l] demonstração 
antiga
  
  --- Ramon Carvalho escreveu:>> > 1) Provar que 
  (a-1)(a-3)(a-4)(a-6) + 10 é sempre> > positivo para a E R> 
  > 1.1) Achar o menor valor dessa função> >> > 2 ) Se 
  a+b+c = 0, Provar que (a^5 + b^5 +c^5)/5 => > (a^3 + b^3 + c^3)/3 
  .> > (a^2 + b^2 + c^2)/2> >> > Estou com 
  problemas nessas questões, qualquer ajuda> > seria bem vinda> 
  >> >> > Desde já, grato
   
  Como a 1ª questão ja foi feita vamos a 2ª, ela foi feita por um amigo 
  meu, JP:
   
  (a^5 + b^5 +c^5)/5 = [(a^3 + b^3 + c^3)/3]*[a^2 + b^2 + c^2)/2]  
  =>
   
  (a^5 + b^5 +c^5)/5 =  [(a^3 + b^3 + c^3)*(a^2 + b^2 + c^2)]/6 
  =>
   
  [(a^3 + b^3 + c^3)*(a^2 + b^2 + c^2)]/(a^5 + b^5 +c^5) = 6/5 =>
   
  [a^5 + (a^3)*b^2 + (a^3)*c^2 + b^5 + (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + c^5 + 
  (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)]/(a^5 + b^5 +c^5) = 6/5 =>
   
  5*{[a^5 + (a^3)*b^2 + (a^3)*c^2 + b^5 + (b^3)*a^2 + 
  (b^3)*c^2 + c^5 + (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)]} = 6*(a^5 + b^5 +c^5) 
  =>
   
  5*(a^5 + b^5 + c^5) + 5*[(a^3)*b^2 + 
  (a^3)*c^2 + (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)] = 6*(a^5 + 
  b^5 +c^5)  (i) =>
   
  a^5 + b^5 +c^5 = 5*[(a^3)*b^2 + (a^3)*c^2 + (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + 
  (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)]   (ii) =>
   
  substituindo (ii) em (i):
   
  5*(a^5 + b^5 +c^5) + (a^5 + b^5 +c^5) = 6*(a^5 + b^5 
  +c^5) =>
   
  6*(a^5 + b^5 +c^5) = 6*(a^5 + b^5 +c^5) =>
   
  1 = 1 (ufa )
  
  
  O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!
  
  

  No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free 
  Edition.Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.14.3/531 - Release Date: 
  12/11/2006

-- Ideas are bulletproof.V

[obm-l] Re: [obm-l]Re: [obm-l] demonstração antiga

[Carlos Yuzo Shine]

Hm, vamos lá.

1) Seja x = a - 3 + 1/2. Então (a-1)(a-3)(a-4)(a-6) + 10 = 
(x+5/2)(x-1/2)(x+1/2)(x+5/2) + 10 = (x^2 - 25/4)(x^2 - 1/4) + 10 = x^4 - 
(13/2)x^2 + 185/16 = (x^2 - 13/4)^2 + 1 > 0.
1.1) O valor mínimo é 1, pois (x^2 - 13/4)^2 >= 0, com igualdade para x = 
+-raiz(13)/2.

(só agora eu li que a primeira já foi feita, mas deixo a solução aí de qualquer 
jeito).

2) Uma maneira de expressar somas de potências de números é considerar uma 
equação polinomial que tem esses números como raízes. No nosso caso, considere 
a equação (x - a)(x - b)(x - c) = 0 <=> x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+ac+bc)x - abc = 
0. Como a + b + c = 0, temos na verdade x^3 = -(ab+ac+bc)x + abc. Para 
facilitar, sejam s = -(ab+ac+bc) e p = abc, de modo que x^3 = sx + p. 
Multiplicando por x^n, obtemos x^(n+3) = sx^(n+1) + px^n. Como a, b, c são 
raízes dessa equação,
  a^(n+3) = sa^(n+1) + pa^n
  b^(n+3) = sb^(n+1) + pb^n
  c^(n+3) = sc^(n+1) + pc^n
Somando, obtemos
  (a^(n+3)+b^(n+3)+c(n+3)) = s(a^(n+1)+b^(n+1)+c^(n+1)) + p(a^n+b^n+c^n)
Sendo S(k) = a^k + b^k + c^k, temos
  S(n+3) = sS(n+1) + pS(n).
Como S(0) = a^0 + b^0 + c^0 = 3, S(1) = a + b + c = 0 e S(-1) = 1/a + 1/b + 1/c 
= (ab+ac+bc)/abc = -s/p,
  S(2) = sS(0) + pS(-1) = 3s + p(-s/p) = 2s
  S(3) = sS(1) + pS(0) = 3p
  S(4) = sS(2) + pS(1) = 2s^2
  S(5) = sS(3) + pS(2) = s3p + p2s = 5ps
e o resultado segue: S(5)/5 = (S(2)/2)(S(3)/3).

Essa idéia também resolve um problema de uma OBM de alguns anos atrás: se a + b 
+ c = 0, quanto vale (a^5+b^5+c^5)^2/[(a^4+b^4+c^4)(a^3+b^3+c^3)^2]?

[]'s
Shine

--- Ramon Carvalho escreveu: 
> 
> > 1) Provar que (a-1)(a-3)(a-4)(a-6) + 10 é sempre 
> > positivo para a E R 
> > 1.1) Achar o menor valor dessa função 
> > 
> > 2 ) Se a+b+c = 0, Provar que (a^5 + b^5 +c^5)/5 = 
> > (a^3 + b^3 + c^3)/3 . 
> > (a^2 + b^2 + c^2)/2 
> > 
> > Estou com problemas nessas questões, qualquer ajuda 
> > seria bem vinda 
> > 
> > 
> > Desde já, grato



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] demonstração antiga

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,
 
acho que tem uma saída mais simples:
 
(a^5 + b^5 +c^5)/5 = [(a^3 + b^3 + c^3)/3]*[a^2 + b^2 + c^2)/2]
a + b + c = 0
 
 
a = - b - c
 
assim: a^3 + b^3 + c^3 = -(b+c)^3 + b^3 + c^3 = 
-3bc(b + c)
e: a^2 + b^2 + c^2 = (b+c)^2 + b^2 + c^2 = 2(b^2 + 
c^2 + bc)
 
logo, o lado direito da expressao fica: -3bc(b + c) 
* 2 * (b^2 + c^2 + bc) / 6 = - bc (b + c)(b^2 + c^2 + bc)
 
agora, o lado esquerdo:
 
(-b-c)^5 + b^5 + c^5 = -(b^5 + 5 b^4 c + 10 
b^3 c^2 + 10 b^2 c^3 + 5 b c^4 + c^5) + b^5 + c^5 = -(5 b^4 c + 10 b^3 c^2 
+ 10 b^2 c^3 + 5 b c^4) = -5(b^4 c + 2 b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + b 
c^4)
 
logo, o lado esquerdo fica: -5(b^4 c + 2 
b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + b c^4) = -(b^4 c + 2 b^3 c^2 + 2 b^2 
c^3 + b c^4) = - bc (b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 + c^3)
 
agora, falta só uma fatoradinha, ou abrir oq 
tivemos do lado esquerdo...
acho mais facil abrir, entao:
 
(b + c)(b^2 + c^2 + bc) = b^3 + b c^2 + b^2 c + b^2 
c + c^3 + b c^2 = b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 + c^3
 
logo, sao iguais.
 
abraços,
Salhab
 
 
 
 

  - Original Message - 
  From: 
  GERALDO 
  FRANCISCO DE SOUZA REBOUÇAS 
  To: Lista _OBM 
  Sent: Sunday, November 12, 2006 9:41 
  PM
  Subject: [obm-l] demonstração 
antiga
  
  --- Ramon Carvalho escreveu:>> > 1) Provar que 
  (a-1)(a-3)(a-4)(a-6) + 10 é sempre> > positivo para a E R> 
  > 1.1) Achar o menor valor dessa função> >> > 2 ) Se 
  a+b+c = 0, Provar que (a^5 + b^5 +c^5)/5 => > (a^3 + b^3 + c^3)/3 
  .> > (a^2 + b^2 + c^2)/2> >> > Estou com 
  problemas nessas questões, qualquer ajuda> > seria bem vinda> 
  >> >> > Desde já, grato
   
  Como a 1ª questão ja foi feita vamos a 2ª, ela foi feita por um amigo 
  meu, JP:
   
  (a^5 + b^5 +c^5)/5 = [(a^3 + b^3 + c^3)/3]*[a^2 + b^2 + c^2)/2]  
  =>
   
  (a^5 + b^5 +c^5)/5 =  [(a^3 + b^3 + c^3)*(a^2 + b^2 + c^2)]/6 
  =>
   
  [(a^3 + b^3 + c^3)*(a^2 + b^2 + c^2)]/(a^5 + b^5 +c^5) = 6/5 =>
   
  [a^5 + (a^3)*b^2 + (a^3)*c^2 + b^5 + (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + c^5 + 
  (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)]/(a^5 + b^5 +c^5) = 6/5 =>
   
  5*{[a^5 + (a^3)*b^2 + (a^3)*c^2 + b^5 + (b^3)*a^2 + 
  (b^3)*c^2 + c^5 + (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)]} = 6*(a^5 + b^5 +c^5) 
  =>
   
  5*(a^5 + b^5 + c^5) + 5*[(a^3)*b^2 + 
  (a^3)*c^2 + (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)] = 6*(a^5 + 
  b^5 +c^5)  (i) =>
   
  a^5 + b^5 +c^5 = 5*[(a^3)*b^2 + (a^3)*c^2 + (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + 
  (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)]   (ii) =>
   
  substituindo (ii) em (i):
   
  5*(a^5 + b^5 +c^5) + (a^5 + b^5 +c^5) = 6*(a^5 + b^5 
  +c^5) =>
   
  6*(a^5 + b^5 +c^5) = 6*(a^5 + b^5 +c^5) =>
   
  1 = 1 (ufa )
  
  
  O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!
  
  

  No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free 
  Edition.Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.14.3/531 - Release Date: 
  12/11/2006

[obm-l] demonstração antiga

[GERALDO FRANCISCO DE SOUZA REBOUÇAS]

--- Ramon Carvalho escreveu:>> > 1) Provar que (a-1)(a-3)(a-4)(a-6) + 10 é sempre> > positivo para a E R> > 1.1) Achar o menor valor dessa função> >> > 2 ) Se a+b+c = 0, Provar que (a^5 + b^5 +c^5)/5 => > (a^3 + b^3 + c^3)/3 .> > (a^2 + b^2 + c^2)/2> >> > Estou com problemas nessas questões, qualquer ajuda> > seria bem vinda> >> >> > Desde já, grato     Como a 1ª questão ja foi feita vamos a 2ª, ela foi feita por um amigo meu, JP:     (a^5 + b^5 +c^5)/5 = [(a^3 + b^3 + c^3)/3]*[a^2 + b^2 + c^2)/2]  =>     (a^5 + b^5 +c^5)/5 =  [(a^3 + b^3 + c^3)*(a^2 + b^2 + c^2)]/6 =>     [(a^3 + b^3 + c^3)*(a^2 + b^2 + c^2)]/(a^5 + b^5 +c^5) = 6/5 =>     [a^5 + (a^3)*b^2 + (a^3)*c^2 + b^5
 + (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + c^5 + (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)]/(a^5 + b^5 +c^5) = 6/5 =>     5*{[a^5 + (a^3)*b^2 + (a^3)*c^2 + b^5 + (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + c^5 + (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)]} = 6*(a^5 + b^5 +c^5) =>     5*(a^5 + b^5 + c^5) + 5*[(a^3)*b^2 + (a^3)*c^2 + (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)] = 6*(a^5 + b^5 +c^5)  (i) =>     a^5 + b^5 +c^5 = 5*[(a^3)*b^2 + (a^3)*c^2 + (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)]   (ii) =>     substituindo (ii) em (i):     5*(a^5 + b^5 +c^5) + (a^5 + b^5 +c^5) = 6*(a^5 + b^5 +c^5) =>     6*(a^5 + b^5 +c^5) = 6*(a^5 + b^5 +c^5) =>     1 = 1 (ufa ) 
		 
O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!

[obm-l] Re:[obm-l] Demonstração (Correcao )

[claudio\.buffara]

Errei uma fatoracao boba...

Segue abaixo a solucao corigida.

-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: "obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Mon, 23 Oct 2006 10:58:04 -0300
Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] Demonstração

> -- Cabeçalho original ---
> 
> De: [EMAIL PROTECTED]
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Cópia: 
> Data: Sun, 22 Oct 2006 11:22:23 -0200
> Assunto: [obm-l] Demonstração
> 
> > Bom dia a todos!
> > 
> > Como posso demonstrar que 2^p + 3^p, onde p é primo, somente pode ser 
> > n^1, onde n é natural. Isto é, não pode ser n^2 ou 
> n^3 ou...
> > 
 
Para p = 2, 3 e 5 o resultado eh obvio, pois: 
2^2 + 3^2 = 13 = 13^1, 
2^3 + 3^3 = 35 = 35^1, 
2^5 + 3^5 = 375 = 375^1

Assim, suponhamos que p > 5 e que 2^p + 3^p = n^k, para algum n natural e algum 
k >= 2.
 
Como p eh impar, existe a fatoracao:
>n^k = 2^p + 3^p = (2 + 3)(2^(p-1) - 2^(p-2)*3 + 2^(p-3)*3^2 - ... + 3^(p-1)) 
>==>
5 divide n^k ==> 
5 divide n ==> 
5^k divide n^k ==> 
5^k divide 2^p + 3^p ==>
5^(k-1) divide 2^(p-1) - 2^(p-2)*3 + 2^(p-3)*3^2 - ... + 3^(p-1) ==>
 
como, por hipotese, k >= 2,
2^(p-1) - 2^(p-2)*3 + 2^(p-3)*3^2 - ... + 3^(p-1) == 0 (mod 5) ==>
(usando 3 == -2 mod 5)
2^(p-1) - 2^(p-2)*(-2) + 2^(p-3)*(-2)^2 - ... + (-2)^(p-1) == 0 (mod 5) ==>
2^(p-1)*(1 + 1 + 1 + ... + 1) = 2^(p-1)*p == 0 (mod 5) ==>
contradicao, pois 5 nao divide 2 nem p (suposto > 5)

Logo, k nao pode ser >= 2.
 
[]s,
Claudio.
 
> =
> 
> 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração

[Raul]

    Olá,
 
    Quero provar que o resultado de 2^p + 
3^p, sendo p um primo, nunca será o quadrado de um número natural, nem o cubo de 
um número natural, nem... somente poderá ser n^1. Exemplo: 2^5+3^2=32+9=41, 
onde 41 só pode ser escrito como potência de um número natural na 
forma 41^1.
 
    Agradeço antecipadamente pelas 
ajudas,
 
    Raul

  - Original Message - 
  From: 
  Marcelo Salhab 
  Brogliato 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, October 23, 2006 12:14 
  AM
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] 
  Demonstração
  
  Olá,
   
  cara, nao entendi o q vc quer provar...
  explique diferente, de um exemplo... sei la 
  :)
   
  abraços,
  Salhab
  
- Original Message - 
From: 
Raul 

To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Sunday, October 22, 2006 11:22 
AM
Subject: [obm-l] Demonstração

    Bom dia a todos!
 
    Como posso demonstrar que 2^p + 
3^p, onde p é primo, somente pode ser n^1, onde n é natural. Isto é, não 
pode ser n^2 ou n^3 ou...
 
    Obrigado,
 
        
Raul



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  23/10/2006

[obm-l] Re:[obm-l] Demonstração

[claudio\.buffara]

-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Sun, 22 Oct 2006 11:22:23 -0200
Assunto: [obm-l] Demonstração

> Bom dia a todos!
> 
> Como posso demonstrar que 2^p + 3^p, onde p é primo, somente pode ser 
> n^1, onde n é natural. Isto é, não pode ser n^2 ou 
n^3 ou...
> 

Para p = 2, o resultado eh obvio, pois 2^2 + 3^2 = 13 = 13^1.

Assim, suponhamos que p >= 3 e que 2^p + 3^p = n^k, para algum n natural e 
algum k >= 2.

Como p eh impar, existe a fatoracao:
n^k = 2^p + 3^p = (2 + 3)(2^(p-1) + 2^(p-2)*3 + 2^(p-3)*3^2 + ... + 3^(p-1)) ==>
5 divide n^k ==> 
5 divide n ==> 
5^k divide n^k ==> 
5^k divide 2^p + 3^p ==>
5^(k-1) divide 2^(p-1) + 2^(p-2)*3 + 2^(p-3)*3^2 + ... + 3^(p-1) ==>

como, por hipotese, k >= 2,
2^(p-1) + 2^(p-2)*3 + 2^(p-3)*3^2+ ... + 3^(p-1) == 0 (mod 5) ==>
2^(p-1) + 2^(p-2)*(-2) + 2^(p-3)*(-2)^2 + ... + (-2)^(p-1) == 0 (mod 5) ==>
2^(p-1)*(1 - 1 + 1 - ... + (-1)^(p-1)) == 0 (mod 5) ==>
2^(p-1)*1 = 2^(p-1) == 0 (mod 5) ==>
contradicao.

Logo, k nao pode ser >= 2.

[]s,
Claudio.



=
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[obm-l] Re: [obm-l] Demonstração

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,
 
cara, nao entendi o q vc quer provar...
explique diferente, de um exemplo... sei la 
:)
 
abraços,
Salhab

  - Original Message - 
  From: 
  Raul 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, October 22, 2006 11:22 
  AM
  Subject: [obm-l] Demonstração
  
      Bom dia a todos!
   
      Como posso demonstrar que 2^p + 3^p, 
  onde p é primo, somente pode ser n^1, onde n é natural. Isto é, não pode ser 
  n^2 ou n^3 ou...
   
      Obrigado,
   
          Raul
  
  

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  Edition.Version: 7.1.408 / Virus Database: 268.13.9/490 - Release Date: 
  20/10/2006

[obm-l] Demonstração

[Raul]

    Bom dia a todos!
 
    Como posso demonstrar que 2^p + 3^p, 
onde p é primo, somente pode ser n^1, onde n é natural. Isto é, não pode ser n^2 
ou n^3 ou...
 
    Obrigado,
 
        
Raul

Re: [obm-l] DEMONSTRAÇÃO-LIMITE

[Rogerio Ponce]

Ola' Douglas,0<= sen (Pi/m^2) <= 1, logo0<= [sen(Pi/2^2). sen(Pi/3^2).sen(Pi/4^2)..sen(Pi/n^2)]  <= sen(Pi/n^2)Como  lim n->infin [sen(Pi/n^2)] = 0 , entao...[]sRogerio PonceDouglas Alexandre <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Como mostro que lim n->infin [sen(Pi/2^2). sen(Pi/3^2).sen(Pi/4^2)..sen(Pi/n^2)]=0  Você quer respostas para suas perguntas? Ou você sabe muito e quer compartilhar seu conhecimento? Experimente o Yahoo! Respostas! 
		 
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[obm-l] DEMONSTRAÇÃO-LIMITE

[Douglas Alexandre]

Como mostro que lim n->infin [sen(Pi/2^2). sen(Pi/3^2).sen(Pi/4^2)..sen(Pi/n^2)]=0 
		 
Você quer respostas para suas perguntas? Ou você sabe muito e quer compartilhar seu conhecimento? Experimente o Yahoo! Respostas!

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Demonstração de Integral

[Henrique Rennó]

Olás Luiz, Saulo e Marcelo!!!

Muito obrigado pelas demonstrações.

Abraços!!!

--
Henrique

=
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[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Demonstração de Integral

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,
então: u^v = e^(v ln u)
derivando, temos:

derivada(u^v) = derivada(e^(v ln u)) = e^(v ln u) * (dv ln u + v du/u) 
[aplicando regra da cadeia algumas vezes]

então:
derivada(u^v) = u^v * (derivada(v) ln u + v/u * derivada(u) )

abraços,
Salhab

- Original Message - 
From: "Henrique Rennó" <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Thursday, February 09, 2006 8:03 PM
Subject: Re: [obm-l] Re:[obm-l] Demonstração de Integral


Olá Luiz!!!

Primeiramente, agradeço deveras pela resposta. Agora, gostaria de
pedir desculpas, pois cometi um erro. Na verdade a fórmula não é
integral(u^v) e sim derivada(u^v). É que no momento que escrevi a
mensagem estava estudando integrais.

Novamente, se possível, peço uma demonstração da igualdade:

derivada(u^v) = u^v.(v.du/u + dv.ln(u))

Novamente peço desculpas pelo erro.

Abraços

On 2/9/06, Luiz H. Barbosa <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Bom, não entendi muito bem o que escreveu.Mas sempre utilizei ln para
linearizar exponenciais na hora de integrar:
Veja:
Se Integral{[f(x)^g(x)]dx} = I ,
Fazendo
u = f(x)^g(x) -> I = Integral{udx} (i)
Mas,
u = f(x)^g(x),tirando ln nos 2 lados:
ln(u) = g(x)*ln[f(x)] ,derivando:
(1/u)*du = g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)dx} + ln[f(x)]*{g'(x)dx},arrumando:
udx = du*{1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}  ,substituindo em 
(i):


I = Integral{udx} = Integral{du*{1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} +
ln[f(x)]*{g'(x)}} =
I = {1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}}*Integral{du} =
I = {1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}}*u =

I = {1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}}*{f(x)^g(x)}

A unica coisa util disso tudo é sacar que vc pode aplicar ln nos dois 
lados

da igualdade!

[]'s
Luiz H. Barbosa


--
Henrique

=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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=
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Re: [obm-l] Demonstração de Integral

[saulo nilson]

derivada(u^v) = u^v.(v.du/u + dv.ln(u))
 
f = u^v
ln f = vlnu
derivando dos dois lados
f`/f = v` *lnu +v*u`/u
 
f`= u^v( v` *lnu +v*u`/u)
 
On 2/9/06, Henrique Rennó <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Olá pessoal da lista!!!A integral de uma função elevada à outra função é de acordo comtabelas de integrais:
integral(u^v) = u^v.(v.du/u + dv.ln(u))Será que uma demonstração para chegar nessa igualdade é muito complicada?Abraços--Henrique=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

Re: [obm-l] Re:[obm-l] Demonstração de Integral

[Henrique Rennó]

Olá Luiz!!!

Primeiramente, agradeço deveras pela resposta. Agora, gostaria de
pedir desculpas, pois cometi um erro. Na verdade a fórmula não é
integral(u^v) e sim derivada(u^v). É que no momento que escrevi a
mensagem estava estudando integrais.

Novamente, se possível, peço uma demonstração da igualdade:

derivada(u^v) = u^v.(v.du/u + dv.ln(u))

Novamente peço desculpas pelo erro.

Abraços

On 2/9/06, Luiz H. Barbosa <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> Bom, não entendi muito bem o que escreveu.Mas sempre utilizei ln para
> linearizar exponenciais na hora de integrar:
> Veja:
> Se Integral{[f(x)^g(x)]dx} = I ,
> Fazendo
> u = f(x)^g(x) -> I = Integral{udx} (i)
> Mas,
> u = f(x)^g(x),tirando ln nos 2 lados:
> ln(u) = g(x)*ln[f(x)] ,derivando:
> (1/u)*du = g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)dx} + ln[f(x)]*{g'(x)dx},arrumando:
> udx = du*{1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}  ,substituindo em (i):
>
> I = Integral{udx} = Integral{du*{1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} +
> ln[f(x)]*{g'(x)}} =
> I = {1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}}*Integral{du} =
> I = {1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}}*u =
>
> I = {1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}}*{f(x)^g(x)}
>
> A unica coisa util disso tudo é sacar que vc pode aplicar ln nos dois lados
> da igualdade!
>
> []'s
> Luiz H. Barbosa

--
Henrique

=
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=

[obm-l] Re:[obm-l] Demonstração de Integr al

[Luiz H\. Barbosa]

Bom, não entendi muito bem o que escreveu.Mas sempre utilizei ln para linearizar exponenciais na hora de integrar:
Veja:
Se Integral{[f(x)^g(x)]dx} = I ,
Fazendo 
u = f(x)^g(x) -> I = Integral{udx} (i)
Mas,
u = f(x)^g(x),tirando ln nos 2 lados:
ln(u) = g(x)*ln[f(x)] ,derivando:
(1/u)*du = g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)dx} + ln[f(x)]*{g'(x)dx},arrumando:
udx = du*{1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}  ,substituindo em (i):
 
I = Integral{udx} = Integral{du*{1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}} =
I = {1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}}*Integral{du} =
I = {1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}}*u = 
 
I = {1/{g(x)*{[1/f(x)]*f'(x)} + ln[f(x)]*{g'(x)}}*{f(x)^g(x)}
  
A unica coisa util disso tudo é sacar que vc pode aplicar ln nos dois lados da igualdade!
 
[]'s
Luiz H. Barbosa
 
 
-- Início da mensagem original --- 

De: [EMAIL PROTECTED] 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
Cc: 
Data: Thu, 9 Feb 2006 14:15:06 -0200 
Assunto: [obm-l] Demonstração de Integral 

> Olá pessoal da lista!!! 
> 
> A integral de uma função elevada à outra função é de acordo com 
> tabelas de integrais: 
> 
> integral(u^v) = u^v.(v.du/u + dv.ln(u)) 
> 
> Será que uma demonstração para chegar nessa igualdade é muito complicada? 
> 
> Abraços 
> 
> -- 
> Henrique 
> 
> = 
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
> = 
> 

[obm-l] Demonstração de Integral

[Henrique Rennó]

Olá pessoal da lista!!!

A integral de uma função elevada à outra função é de acordo com
tabelas de integrais:

integral(u^v) = u^v.(v.du/u + dv.ln(u))

Será que uma demonstração para chegar nessa igualdade é muito complicada?

Abraços

--
Henrique

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Demonstração

[Marcos Martinelli]

   Obrigado!

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Demonstração

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Bem, acho que quanto a este ultimo ha um resultado na
ultima Eureka!

--- Marcos Martinelli <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu:

>E na verdade, basta demonstrar que cos(2n) é
> irracional para todo n
> natural. Pois, supondo, por absurdo mais uma vez,
> que tan(n) é
> racional chegaríamos a uma contradição se tivéssemos
> mostrado que
> cos(2n) é irracional. E minha sugestão para este
> último é utilizar
> série de fourier e tentar algo parecido com a
> demonstração de que e é
> irracional. Ainda estou tentando fazê-lo. Obrigado!
> 
>
=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
=
> 






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Re: [obm-l] Demonstração

[Marcos Martinelli]

   E na verdade, basta demonstrar que cos(2n) é irracional para todo n
natural. Pois, supondo, por absurdo mais uma vez, que tan(n) é
racional chegaríamos a uma contradição se tivéssemos mostrado que
cos(2n) é irracional. E minha sugestão para este último é utilizar
série de fourier e tentar algo parecido com a demonstração de que e é
irracional. Ainda estou tentando fazê-lo. Obrigado!

=
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Re: [obm-l] demonstração

[saulo nilson]

 
x0 e y0 sao inteiros e pertencem a reta
ax0 +by0 +c=0
isolando y0
y0 = -a/b *x0 -c/b
 
como y0 e inteiro
-c/b e inteiro
-x0*a/b =inteiro=I
 
-a/b =coeficiente angular da reta
-a/b = (yn-y0)/(xn-x0)=I/x0=razao entre dois numeros inteiros
multiplicando por dois numeros inteiros em cima e em baixo de I/x0, obteremos, lembrando que o produto de dois numeros inteiros e um numero inteiro.
 
 
yn-y0=I*I1
xn-x0=x0*I2
xn,yn, sao pontos quaisquer da reta, infinitos pontos gerados
 
yn = I*I1 +y0
xn = x0*(I2+1)
 
o que mostra que existem infinitos outros pontos de coordenadas inteiras na reta, abraço, saulo.
 
 
On 8/28/05, Renato G Bettiol <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Caríssimos,
Tal problema estava na terceira fase da olimpíada de matemática da Unicamp, elaborada por A. C. Patrocínio.
"Sejam a, b e c números naturais não-nulos e suponha que a reta ax+by+c=0 passe pelo ponto (xo,yo) com xo e yo inteiros. Mostre que a mesma reta passa por infinitos pontosde coordenadas inteiras."
Não sei se está correta minha resolução, que foi a de isolar xo e yo, afinal são raízes da equação. Somei então duas constantes inteiras, k' e k'', uma a xo e outra a yo. Isolando novamente xo e yo, acrescidos agora desta constante, e colocando-os de volta na equação, obtem-se

a(xo+2k') + b(yo+2k'') + c = 0
o que nitidamente mostra que (xo+2k';yo+2k'') é outra raiz da equaçao, outro ponto de inteiros pelo qual a reta passa. E assim, por indução, temos que ha infinitos pontos de coordenadas inteiras que satisfazem ax+by+c=0.

Será que poderiam comentar a resolução? Haveria uma interpretação geométrica? Pensei em semelhança de triângulos, para fazer a mesma demonstraçao de um modo pouco mais elegante...
Abraço a todos, agradeço previamente,
 
Renato

Re: [obm-l] Demonstração

[Marcos Martinelli]

   Não sei se será de grande valia, mas creio que basta demonstrar que
se n é natural então tg(n) é irracional, pois supondo, por absurdo,
que tg(p/q), com p e q naturais não-nulos é racional teríamos o
seguinte:
   Podemos mostrar, por indução, que:
   . 
tg(nx)=somatório(0<=k<=[(n-1)/2]){(-1)^k*Bin(n,2k+1)*(tg(a))^(2k+1)}/somatório(0<=k<=[n/2]){(-1)^k*Bin(n,2k)*(tg(a))^(2k)},
onde [x] representa a função menor inteiro e Bin(n,k) representa o
binomial de n, k a k.
   E assim na fórmula anterior poderíamos fazer n=q e x=p/q, obtendo
um quociente de dois números inteiros e, conseqüentemente que tg(q)
seria um racional, o que seria um absurdo se provássemos que tg(n) é
irracional para qualquer n natural. E isso ainda estou tentando fazer.
Se alguém tiver alguma sugestão, poste aqui, por favor. Obrigado!

=
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