[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Como faz exercícios desse tipo?
Infelizmente vi que errei na última linha, peço desculpas!! *(x^12 + 1) = (x^4 + 1)(x^8 - x^4 +1)* Perdão Em 12 de maio de 2015 08:21, Marcelo de Moura Costa mat.mo...@gmail.com escreveu: Não sei se raciocinei certo, peço ajuda aos colegas para verificarem os meus passos: g(x) = (x-1).(x^4 + x^2 + 1) g(x) = (x-1).(x^2 - x + 1).*(x^2 + x + 1)* g(x^12) = x^60 + x^48 + x^36 + x^24 + x^12 + 1 g(x^12) = x^12(x^48 + x^36 + x^24 + x^12 +1) + 1 g(x^12) = x^12(x^12(x^36 + x^24 + x^12 + 1) + 1) +1 g(x^12) = x^12(x^12(x^12(x^24 + x^12 +1) +1) +1) +1 g(x^12) = x^12(x^12(x^12(x^12(x^12 + 1) +1 ) +1) +1) +1 g(x^12) = x^12(x^12(x^12(x^12(x^4 +1)*(x^2 + x +1)* +1 ) +1) +1) +1 Logo o resto é zero!! Em 11 de maio de 2015 13:49, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Hum, vamos tentar algo aqui, faça f(x^5)=x^20-x^15+2x^15-2x^10+3x^10-3x^5+4x^5-4+5 logo o resto é 5. Os dois devem sair do mesmo jeito. Abraco Douglas Oliveira Em 09/05/2015 19:47, Gabriel Tostes gtos...@icloud.com escreveu: (EUA/83) Sabendo que g(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1. Calcule o resto da divisão entre polinômios g(x^12) e g(x) Dado f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, o resto da divisão de f(x^5) por f(x) é: -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Como faz exercícios desse tipo?
Não sei se raciocinei certo, peço ajuda aos colegas para verificarem os meus passos: g(x) = (x-1).(x^4 + x^2 + 1) g(x) = (x-1).(x^2 - x + 1).*(x^2 + x + 1)* g(x^12) = x^60 + x^48 + x^36 + x^24 + x^12 + 1 g(x^12) = x^12(x^48 + x^36 + x^24 + x^12 +1) + 1 g(x^12) = x^12(x^12(x^36 + x^24 + x^12 + 1) + 1) +1 g(x^12) = x^12(x^12(x^12(x^24 + x^12 +1) +1) +1) +1 g(x^12) = x^12(x^12(x^12(x^12(x^12 + 1) +1 ) +1) +1) +1 g(x^12) = x^12(x^12(x^12(x^12(x^4 +1)*(x^2 + x +1)* +1 ) +1) +1) +1 Logo o resto é zero!! Em 11 de maio de 2015 13:49, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Hum, vamos tentar algo aqui, faça f(x^5)=x^20-x^15+2x^15-2x^10+3x^10-3x^5+4x^5-4+5 logo o resto é 5. Os dois devem sair do mesmo jeito. Abraco Douglas Oliveira Em 09/05/2015 19:47, Gabriel Tostes gtos...@icloud.com escreveu: (EUA/83) Sabendo que g(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1. Calcule o resto da divisão entre polinômios g(x^12) e g(x) Dado f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, o resto da divisão de f(x^5) por f(x) é: -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Como faz exercícios desse tipo?
Hum, vamos tentar algo aqui, faça f(x^5)=x^20-x^15+2x^15-2x^10+3x^10-3x^5+4x^5-4+5 logo o resto é 5. Os dois devem sair do mesmo jeito. Abraco Douglas Oliveira Em 09/05/2015 19:47, Gabriel Tostes gtos...@icloud.com escreveu: (EUA/83) Sabendo que g(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1. Calcule o resto da divisão entre polinômios g(x^12) e g(x) Dado f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, o resto da divisão de f(x^5) por f(x) é: -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Como faz exercícios desse tipo?
Hum, vamos tentar algo aqui, faça f(x^5)=x^20-x^15+2x^15-2x^10+3x^10-3x^5+4x^5-4+5 logo o resto é 5. Os dois devem sair do mesmo jeito. Abraco Douglas Oliveira Em 09/05/2015 19:47, Gabriel Tostes gtos...@icloud.com escreveu: (EUA/83) Sabendo que g(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1. Calcule o resto da divisão entre polinômios g(x^12) e g(x) Dado f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, o resto da divisão de f(x^5) por f(x) é: -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Como faz exercícios desse tipo?
Obrigado! Eu n conheço mto bem essa de razões da unidade, pode me indicar algum pdf que explica isso? Em 10/05/2015, às 10:53, Jeferson Almir jefersonram...@gmail.com escreveu: OBs: w^k= cis(2kPi/6) Em domingo, 10 de maio de 2015, Jeferson Almir jefersonram...@gmail.com escreveu: RaÃzes da unidade!! ... Pelo algoritmo da divisão temos g(x^12) = g(x)q(x) + r(x) , onde grau(r(x)) 5 agora vc analisa as raÃzes da unidade de x^6=1 : que serão w^k=1 onde k=0,1,2,3,4,5 e monta o sistema sobre r(x) aplicando o valor dessas raÃzes pois r(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e  elas irão zerar g(x) agora é resolver o sistema utilizando as propriedades das raÃzes da unidade. Em domingo, 10 de maio de 2015, Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com escreveu: Talvez vc poderia observar que -1 é raiz do polinômio,daà vc pode  fatorar o polinômio como (x-(-1))Q(x) e talvez procurar outras raÃzes, pq aà vc pode fazer a divisão por binômios do tipo (x+1) pois assim  vc resolve facilmente pelo algoritmo de briott ruffini, conhece? Em 9 de maio de 2015 18:42, Gabriel Tostes gtos...@icloud.com escreveu: (EUA/83) Sabendo que g(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1. Calcule o resto da divisão entre polinômios g(x^12) e g(x) Dado f(x) =  x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, o resto da divisão de f(x^5) por f(x) é: -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Como faz exercícios desse tipo?
Talvez vc poderia observar que -1 é raiz do polinômio,daí vc pode fatorar o polinômio como (x-(-1))Q(x) e talvez procurar outras raízes, pq aí vc pode fazer a divisão por binômios do tipo (x+1) pois assim vc resolve facilmente pelo algoritmo de briott ruffini, conhece? Em 9 de maio de 2015 18:42, Gabriel Tostes gtos...@icloud.com escreveu: (EUA/83) Sabendo que g(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1. Calcule o resto da divisão entre polinômios g(x^12) e g(x) Dado f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, o resto da divisão de f(x^5) por f(x) é: -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Como faz exercícios desse tipo?
OBs: w^k= cis(2kPi/6) Em domingo, 10 de maio de 2015, Jeferson Almir jefersonram...@gmail.com escreveu: Raízes da unidade!! ... Pelo algoritmo da divisão temos g(x^12) = g(x)q(x) + r(x) , onde grau(r(x)) 5 agora vc analisa as raízes da unidade de x^6=1 : que serão w^k=1 onde k=0,1,2,3,4,5 e monta o sistema sobre r(x) aplicando o valor dessas raízes pois r(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e elas irão zerar g(x) agora é resolver o sistema utilizando as propriedades das raízes da unidade. Em domingo, 10 de maio de 2015, Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com javascript:_e(%7B%7D,'cvml','israelmchrisost...@gmail.com'); escreveu: Talvez vc poderia observar que -1 é raiz do polinômio,daí vc pode fatorar o polinômio como (x-(-1))Q(x) e talvez procurar outras raízes, pq aí vc pode fazer a divisão por binômios do tipo (x+1) pois assim vc resolve facilmente pelo algoritmo de briott ruffini, conhece? Em 9 de maio de 2015 18:42, Gabriel Tostes gtos...@icloud.com escreveu: (EUA/83) Sabendo que g(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1. Calcule o resto da divisão entre polinômios g(x^12) e g(x) Dado f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, o resto da divisão de f(x^5) por f(x) é: -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Como faz exercícios desse tipo?
Raízes da unidade!! ... Pelo algoritmo da divisão temos g(x^12) = g(x)q(x) + r(x) , onde grau(r(x)) 5 agora vc analisa as raízes da unidade de x^6=1 : que serão w^k=1 onde k=0,1,2,3,4,5 e monta o sistema sobre r(x) aplicando o valor dessas raízes pois r(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e elas irão zerar g(x) agora é resolver o sistema utilizando as propriedades das raízes da unidade. Em domingo, 10 de maio de 2015, Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com escreveu: Talvez vc poderia observar que -1 é raiz do polinômio,daí vc pode fatorar o polinômio como (x-(-1))Q(x) e talvez procurar outras raízes, pq aí vc pode fazer a divisão por binômios do tipo (x+1) pois assim vc resolve facilmente pelo algoritmo de briott ruffini, conhece? Em 9 de maio de 2015 18:42, Gabriel Tostes gtos...@icloud.com javascript:_e(%7B%7D,'cvml','gtos...@icloud.com'); escreveu: (EUA/83) Sabendo que g(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1. Calcule o resto da divisão entre polinômios g(x^12) e g(x) Dado f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, o resto da divisão de f(x^5) por f(x) é: -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Como faz exercícios desse tipo?
(EUA/83) Sabendo que g(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1. Calcule o resto da divisão entre polinômios g(x^12) e g(x) Dado f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, o resto da divisão de f(x^5) por f(x) é: -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Exercícios - Geo Analítica
Olá, Poderiam me ajudar nestes exercícios? Esses foram os 3 de 23 que não consegui fazer. *01*- Determinar o vetor v, sabendo que |vetor v|=5, vetor v é ortogonal ao eixo Oz, vetor v.vetor w = 6 e vetor w = 2vetor j + 3vetor k. *02*- Determinar um vetor unitário ortogonal ao vetor v=(2,-1,1). *03*- Determinar o vetor projeção do vetor u=(1,2,-3) na direção de vetor v=(2,1,-2). [ ]'s
[obm-l] Dois exercícios de Dinâmica
Olá pessoal!!! Tudo bem??? Peço ajuda para esses dois exercícios que aparentemente são bem simples. 1) Um projétil é lançado num ângulo de 30 graus acima da horizontal, com velocidade de 20m/s. Num dado instante, ele explode, dividindo-se em duas partes, tendo uma das partes o dobro da massa da outra. Os dois fragmentos atingem o solo simultaneamente, caindo, o mais leve, num ponto distante 20m do ponto de lançamento, na mesma direção do lançamento. Onde cai o outro fragmento? 2) Em um cruzamento, um pequeno carro compacto com massa de 950kg que se deslocava de oeste para leste, colide com uma picape com massa de 1900kg que se deslocava do sul para o norte, avançando o sinal vermelho. Em virtude da colisão, os dois veículos ficam engavetados e após a colisão eles se deslocam a 16m/s na direção A 24 GRAUS NORDESTE. Calcule o módulo da velocidade de cada veículo antes da colisão. Desprezar os atritos entre os pneus e a estrada. Eu fiz o segundo e obtive os valores 19,2m/s e 21,6m/s, mas o problema é a expressão A 24 GRAUS NORDESTE. Parece idiotice, mas o que isso significa??? Já tentei o Google e nada... Muito obrigado e um abração para todos. Luiz. P.S.: Eu ainda vou apresentar outros problemas, pois estou tendo dificuldades... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Exercícios Resolvidos - Teoria dos Números
Olá pessoal, Vocês sabem me dizer se existe algum material (livro, apostila, etc), em português, espanhol ou inglês, com exercícios de teoria dos números resolvidos? Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercícios - Períodos de Funções Trigonométricas
Nehab, Grato pela sua atenção. Luiz Miletto. Em 11/02/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi Luiz Se você olhar a coisa mais de longe um pouquinho pode perceber que seu argumento usado no caso da soma pode ir além dela... Se f e g são funções reais tais que: - possuem períodos p e q respectivamente; - p/q é racional - ou seja, há m e n inteiros (escolha-os primos entre si) tais que mp = nq; Então se e r e s são reais arbitrários, então mp=nq é um período das funções r.f + s.g, f x g e f/g (embora não necessariamente o menor período, mas já ajuda e muito na solução do problema).Aplique isto no item c, como você já aplicou nos itens a e b. Obs: Teste na situação marota f(x) = sen (x/3) + cos (x/2) e g(x) = - cos (x/2) (aproveitando seu exemplo) Abraços, Nehab At 19:58 11/2/2007, you wrote: I - Qual é o período das seguintes funções? a) f(x) = sen(x/3) + cos(x/2) período de sen(x/3) = 2pi/ (1/3) = 6pi período de cos(x/2) = 2pi/ (1/2) = 4pi período da soma das funções é m.m.c.entre 6pi e 4pi = 12pi b) f(x) = 1 + 3.sen(x + pi/2) período de f(x) = 1 + 3.sen(x + pi/2) = período de sen(x) = 2pi c) f(x) = [1 + tg(x)]/[sen(2x)] Não sei ,vou precisar pensar. Qdo souber me informe se tem periodicidade. Luiz Miletto
[obm-l] Exercícios - Períodos de Funções Trigonométricas
I - Qual é o período das seguintes funções? a) f(x) = sen(x/3) + cos(x/2) b) f(x) = 1 + 3.sen(x + pi/2) c) f(x) = [1 + tg(x)]/[sen(2x)] -- Atenciosamente Júlio Sousa
Re: [obm-l] Exercícios - Períodos de Funções Trigonométricas
I - Qual é o período das seguintes funções? a) f(x) = sen(x/3) + cos(x/2) *período de sen(x/3) = 2pi/ (1/3) = 6pi* *período de cos(x/2) = 2pi/ (1/2) = 4pi* ** *período da soma das funções é m.m.c.entre 6pi e 4pi = 12pi* b) f(x) = 1 + 3.sen(x + pi/2) *período de f(x) = 1 + 3.sen(x + pi/2) = período de sen(x) = 2pi* c) f(x) = [1 + tg(x)]/[sen(2x)] Não sei ,vou precisar pensar. Qdo souber me informe se tem periodicidade. Luiz Miletto
[obm-l] Re: [obm-l] Exercícios - Períodos de Funções T rigonométricas
Olá, [1+tgx]/sen(2x) = cossec(2x) + senx/[cosx 2senxcosx] = cossec(2x) + 1/2 * [secx]^2 fica mais facil agora né? bom, continuem ai! abraços, Salhab - Original Message - From: Luiz Miletto To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, February 11, 2007 6:58 PM Subject: Re: [obm-l] Exercícios - Períodos de Funções Trigonométricas I - Qual é o período das seguintes funções? a) f(x) = sen(x/3) + cos(x/2) período de sen(x/3) = 2pi/ (1/3) = 6pi período de cos(x/2) = 2pi/ (1/2) = 4pi período da soma das funções é m.m.c.entre 6pi e 4pi = 12pi b) f(x) = 1 + 3.sen(x + pi/2) período de f(x) = 1 + 3.sen(x + pi/2) = período de sen(x) = 2pi c) f(x) = [1 + tg(x)]/[sen(2x)] Não sei ,vou precisar pensar. Qdo souber me informe se tem periodicidade. Luiz Miletto
Re: [obm-l] Exercícios - Períodos de Funções Trigonométricas
f(x) = [1 + tg(x)]/[sen(2x)] 1/sen2x + 1/2cosx^2=1/sen2x +1/(1+cos2x)=(1+cos2x+sen2x)/(sen2x+sen4x/2)= =2(sen45+sen(2x+45) )/(sen2x+2*sen3x*cosx)=2sen(x+45)*cos(x)/cosx(senx+sen3x)= =2sen(x+45)/(senx+sen3x) periodo de sen(x+45)=2pi periodo da funçao de baixo e mmc de 1 e 1/3 =1 de forma que a funçao do denominador se repete a cada 2pi e a funçao do denominador se repete a cada 2pi tambem logo a funçao completa se repete a cada 2pi. On 2/11/07, Julio Sousa [EMAIL PROTECTED] wrote: I - Qual é o período das seguintes funções? a) f(x) = sen(x/3) + cos(x/2) b) f(x) = 1 + 3.sen(x + pi/2) c) f(x) = [1 + tg(x)]/[sen(2x)] -- Atenciosamente Júlio Sousa
[obm-l] exercícios de análise combinatória
Poderiam me ajudar com esses exercícios , grato
23. (UEM-2004) Quinze garotas estão posicionadas numa quadra esportiva para uma apresentação de ginástica, de modo que não se encontram três em uma linha reta, com exceção das garotas que trazem uma letra estampada na camiseta e que estão alinhadas formando a palavra AERÓBICA. O número de retas determinadas pelas posições das quinze garotas é...
24. (UNICAMP-2004) Considere o conjunto dos dígitos {1, 2, 3, ..., 9} e forme com eles números de nove algarismos distintos. a) Quantos desses números são pares? b) Escolhendo-se ao acaso um dos números do item (a), qual a probabilidade de que este número tenha exatamente dois dígitos ímpares juntos?
30. (FUVEST-2005) Uma pessoa dispões de um dado honesto, que é lançado sucessivamente quatro vezes. Determine a probabilidade de que nenhum dos números sorteados nos dois primeiros lançamentos coincida com algum dos números sorteados nos dois últimos lançamentos.
40. (FGV-2003) Uma prova consta de 10 testes de múltipla escolha, cada um com 5 alternativas e apenas uma correta. Se um aluno chutartodas as respostas:
a) Qual a probabilidade dele acertar todos os testes?
b) Qual a probabilidade dele acertar exatamente 2 testes?
45. (FGV-2003) Uma Escola comprou computadors de 3 fabricantes: A, B e C. Trinta por cento foram comprados de A, trinta por cento de B, e o restante de C. A probabilidade de um computador fabricado por A apresentar algum tipo de problema, nos próximos 30 meses, é 0,1. As mesmas probabilidades dos fabricantes B e C são respectivamente 0,15 e 0,2.
a) Qual a probabilidade de que um computadror, escolhido ao acaso, seja fabricado por A e apresente algum problema
nos próximos 30 meses.
b) Se um comptuador apresentar algum problema nos próximos 30 meses, qual a probabilidade de que tenha sido
fabricado por A? Clique aqui
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[obm-l] Exercícios do E. Fundamental
Olá à todos da lista!Bem sei que muitos professores de matemática acompanham diariamente a lista. Me propus há algumas semanas a fazer um curso preparatório para uma grande escola aqui da região, mas me afastei da matemática do ensino fundamental, perdendo a noção do que é e do que não é capaz o aluno mediano de fazer. A ocasião me força agora a bolar uma prova de matemática para classificar os alunos em turmas de acordo com as notas, mas estou cum um pouco de receio sobre o nível das questões. Abaixo mostro 2 delas e peço que opinem... 1– Um piloto do avião Super-Tucano está realizando uma operação de busca. Junto dele está um co-piloto, necessário atodas as operações. O avião parte da base até a cidade B, demorando 1 hora e 40 minutos para chegar.Depois, levanta vôo novamente e segue até a cidade A, demorando 1 hora e 20 minutos. Quando chegam a cidade A, o piloto e o co-piloto são surpreendidos por um ataque e o co-piloto é forçado a seguir sozinho a viagem, fugindo as pressas. O co-piloto sabe que a distância entre a base e a cidade B, que é de 500 km, sabe que o ângulo formado entre a base, a cidade A e a cidade B corresponde a 90º e que o avião consegue voar 10.000 m com um litro de gasolina. Sabendo que o avião tem 29 litros de gasolina e que a velocidade dele é constante em todas essas viagens, marque a alternativa que indica, respectivamente, se ele conseguirá chegar ou não até a base e o tempo que demora a viagem a) Não, 50 minutosb) Não, 1 horac) Sim, 40 minutosd) Sim, 1 hora e 202 -Considere a equação x² + bx + c=0. Sabendo que m e n são as raízes dessa equação e que m e n são dois números naturais consecutivos e primos (com mn), assinale a alternativa correta: a) b+c = 5b) b-c = 11c) b = -b + m*nd) (-b)² – c² = -11Vocês acham que essas questões separam conseguem avaliar com eficácia o conhecimento dos alunos? Acham que as questões exigem mais do que deveria? Agradeço desde já pela ajuda pessoal, abraços!
[obm-l] Ajuda - Exercícios de álgebra
Caros colegas da lista...
Nao estou conseguindo resolver os seguintes exercicios:
1 - Se A e B forem domínios de ideais principais será que A intersecção com
B também é domínio de ideais principais.
2 - Exemplo de um anel de Gauss que não seja domínio de ideais principais e
demonstração como o respectivo anel é anel de Gauss e não é domínio de
ideais principais.
3. Prove que qualquer corpo é domínio euclideano.
Observação: (Definições)
- A é um anel de Gauss se o conjunto dos seus elementos diferentes de zero
constitui um semigrupo de Gauss relativamente à multiplicação.
- Um anel é um domínio de ideais principais se:
i) A é um D.I. comutativo co identidade
ii) Qualquer ideal é principal.
- Um ideal A é um domínio euclideano se satisfazer as seguintes condições:
i) A é um D.I. comutativo
ii) Está definida uma aplicaçao
d:A-IN
a-d(a)
onde d(a) designa-se por valor absoluto de a e representa-se por |a|.
iii) Qualquer a,b pertencente a A\{0} tais que b|a, tem-se |b|=|a|
iv) Qualquer a pertencente A, b pertencente A\{0} existe um q,r
pertencente a A tal que a=bq+r, d(r)d(b)
Xau
beijos Marta
_
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[obm-l] Exercícios
Alguém ae pode me ajudar o mais rápido possível com as questões abaixo?? 1)Sejam a,b e c números reais não nulos tais que a+b+c=0. Podemos afirmar que [(a^3 + b^3 +c^3)^2 * (a^4 + b^4 + c^4)]/ (a^5 + b^5 + c^5)^2 é igual a quanto??? 2) O número máximo de divisores positivos do número natural 48*2^(-x^2 + 2x), com x pertencendo aos naturais é. Grato, Diego P.S.: Sou novo na lista, qualquer problema de notação se puderem me corrigir, agradeço tbm... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercícios
1) Teorema: Se a+b+c=0 = a³+b³+c³=3abc(a+b+c)²=a²+b²+c² +2(ab+ac+bc)=a²+b²+c²+2[a(b+c)+bc]=0Como b+c=-a temos: a²+b²+c²+2[bc-a²]=0 = a²+b²+c²=2(a²-bc) = b²+c²=a²-2bcElevando ambos os lados ao quadrado: b^4+c^4 +2(bc)^2=a^4+4(bc)^2-4(a^2)bc = a^4+b^4+c^4=2[a^4+ (bc)^2 - 2(a^2)bc] = a^4+b^4+c^4=2(a^2-bc)^2 (a^3+b^3+c^3)*(a²+b²+c²)=3abc * 2(a^2-bc)a^5+b^5+c^5 + a^3*b^2 + a^3*c^2 + b^3*c^2 + b^3*a^2 + c^3*a^2 + c^3*b^2= a^5+b^5+c^5 + a^2*b^2(a+b) + c^2(a+b)(a^2+b^2 -ab) + c^3(a^2 + b^2) = a^5+b^5+c^5 - a^2*b^2*c -c^3(a^2+b^2 -ab) + c^3(a^2 + b^2) = a^5+b^5+c^5 - a^2*b^2*c + c^3(a^2 + b^2 - a^2 - b^2 +ab) = a^5+b^5+c^5 - a^2*b^2*c + (c^3)*ab = 3abc * 2(a^2-bc) = 6abc(a^2-bc) = a^5+b^5+c^5 = abc(ab-c^2) +abc(6a^2-6bc)=abc(6a^2-6bc+ab-c^2) Substituindo tudo na equacao inicial: [(a^3 + b^3 +c^3)^2 * (a^4 + b^4 + c^4)]/ (a^5 + b^5 + c^5) = (3abc)^2 *2(a^2-bc) / [abc(6a^2-6bc+ab-c^2)] = 18(a^2-bc)/(5a^2-6bc+ab+a^2-c^2)=18(a^2-bc)/(5a^2-6bc+ab-(a-c)*b)=18(a^2-bc)/(5a^2-5bc)=18/5 Ficou um tanto complicado... A questao original eh um teste, entao bastaria substituir um a+b+c=0 qualquer, por exemplo (1,1,-2) que chegaria ao resultado.2) 48*2^(-x²+2x)=(2^4)*3*2^(-x²+2x) O valor maximo de uma equacao ax²+bx+c=0 é -b/2a, entao o valor maximo de -x²+2x é -2/2*(-1)=1O maior numero de divisores ocorre quando o expoente for o maior possivel, portanto teremos para x=1: (2^4)*3*2^(-x²+2x)=(2^5)*(3^1) O numero de divisores é 6*2=12On 3/6/06, Diego Alex [EMAIL PROTECTED] wrote:Alguém ae pode me ajudar o mais rápido possível com as questões abaixo?? 1)Sejam a,b e c números reais não nulos tais que a+b+c=0. Podemosafirmar que [(a^3 + b^3 +c^3)^2 * (a^4 + b^4 + c^4)]/ (a^5 + b^5 +c^5)^2 é igual a quanto???2)O número máximo de divisores positivos do número natural 48*2^(-x^2 + 2x), com x pertencendo aos naturais é.Grato,DiegoP.S.: Sou novo na lista, qualquer problema de notação se puderem mecorrigir, agradeço tbm...= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] Exercícios
2) O número máximo de divisores positivos do número natural 48*2^(-x^2+ 2x), com x pertencendo aos naturais é. 2^4*3*2^(-x^2+2x) Temos a função f(x)=-x^2+2x, que representa uma parábola, cujo vértice é:(1,1) o vértice é formado por valores naturais, q será então o máximo a f(x). logo,temos: 2^4*3*2^(1)q tem 12 divisores abraçosVinícius Meireles Aleixo Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] RES: [obm-l] exercícios do Iezzi
Foi em algum lugar entre S/21 e m5/2 que você errou. Devia ser: S2 (2-m)/(m-3)2 (tem OUTRO 2 por aí!) (2-m)/(m-3) - 2 0 (8-3m)/(m-3) 0 m8/3 ou m3 Aí, na interseção, vai aparecer o m 3/2. Lembre-se, você não pode simplesmente multiplicar por m-3 pois m-3 pode ser negativo --caso em que você teria de inverter o sinal da desigualdade. Abraço, Ralph -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Emanuel Carlos de A. Valente Enviada em: sexta-feira, 28 de outubro de 2005 10:21 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] exercícios do Iezzi Determinar m de modo que a equação (m-3)x^2 + 2(m-2)x + m + 1 = 0 tenha raízes reais rais que x1 x2 1. encontrei: a*f(1) 0 = m 3/2 e m 3 delta 0 = m 7/2 S/2 1 = m 5/2 fazendo a intersecção de tudo fica: 3 m 7/2 mas a resposta é: m 3/2 e 3 m 7/2. pq o m 3/2 está na resposta?? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] exercícios do Iezzi
Determinar m de modo que a equação (m-3)x^2 + 2(m-2)x + m + 1 = 0 tenha raízes reais rais que x1 x2 1. encontrei: a*f(1) 0 = m 3/2 e m 3 delta 0 = m 7/2 S/2 1 = m 5/2 fazendo a intersecção de tudo fica: 3 m 7/2 mas a resposta é: m 3/2 e 3 m 7/2. pq o m 3/2 está na resposta?? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] exercícios do Iezzi
Acredito que seja por que S/2 Maior que 1 - Original Message - From: Emanuel Carlos de A. Valente [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, October 28, 2005 11:20 AM Subject: [obm-l] exercícios do Iezzi Determinar m de modo que a equação (m-3)x^2 + 2(m-2)x + m + 1 = 0 tenha raízes reais rais que x1 x2 1. encontrei: a*f(1) 0 = m 3/2 e m 3 delta 0 = m 7/2 S/2 1 = m 5/2 fazendo a intersecção de tudo fica: 3 m 7/2 mas a resposta é: m 3/2 e 3 m 7/2. pq o m 3/2 está na resposta?? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] exercícios do Iezzi
S/2 tem que ser menor que 1, pois 1 está `a direita das raízes, portanto a media aritmética das somas das raízes tem que ser menor. S/2 1 = -b/2a 1 = -(2m -4)/2(m-3) -1 0 = m 5/2. bom, pode ser um errinho bobomas ainda não consegui achá-lo. On Fri, 28 Oct 2005 14:20:06 -0200, Brunno Fernandes wrote Acredito que seja por que S/2 Maior que 1 - Original Message - From: Emanuel Carlos de A. Valente [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, October 28, 2005 11:20 AM Subject: [obm-l] exercícios do Iezzi Determinar m de modo que a equação (m-3)x^2 + 2(m-2)x + m + 1 = 0 tenha raízes reais rais que x1 x2 1. encontrei: a*f(1) 0 = m 3/2 e m 3 delta 0 = m 7/2 S/2 1 = m 5/2 fazendo a intersecção de tudo fica: 3 m 7/2 mas a resposta é: m 3/2 e 3 m 7/2. pq o m 3/2 está na resposta?? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercícios
vc tem que olhar o diagrama, ou entao desenvolver as relaçoes abaixo, n(A - (B união C))+n(B- (A união C))+n(C-(A união B))+ N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C)) n(A - (B união C))=n(A)-n(A IB)-n(A IC) +n(AIBIC) para achar esta formula, basta vc unir B com C ai vc vai ter basicamente tres areas em comum com A, a AIB, AIC e AIBI, para achar o numero de elementos de A-(BUC), vc tira de A o numero de elementos de AIB, repare que quando vc faz isso, vc tira tambem a intercessao dos 3 conjuntos, depois, vc tem que tirar tambem a intercessao de A e C, reparando na formula, ja temos, n(A)-AIB(tiramos a intercessao dos 3 conjuntos)-n(AIC)(tiramos a intercessao dos 3 conjuntos de novo), sendo assim, vc tem que somar a intercessao dos 3 conjuntos de novo, dai a formula. desenvolvendo o restante de formula. N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C)) repare que esta formula e identica ao de baixo, bastando substituir A, B e C, por AIB, AIC e BIC =n(A) +n(B)+n(C)-n(AIB)-n(A IC)-n*(BIC)+n(AIBIC) substituindo N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C)) =n(AIB)+n(AIC)+n(BIC)-n((AIB)I(AIC))-n((AIB)I(BIC))-n((AIC)I(BIC))+n((AIB)I(AIC)IBIC) =n(AIB)+n(AIC)+n(BIC)-3n(AIBIC)+n(AIBIC)= =n(AIB)+n(AIC)+n(BIC)-2n(AIBIC) da primeira formula deduzida: n(A - (B união C))=n(A)-n(A IB)-n(A IC) +n(AIBIC) n(B-(AUC))=n(B)-n(BIA)-n(BIC)+n(AIBIC) n(C-(AUB))=n(C)-n(CIA)-n(CIB)+n(AIBIC) somando as tres equaçoes: n(A-(BUC))+n(B-(AUC))+n(C-(AUB))=n(A)+n(B)+n(C)-2n(AIB)-2n(BIC)-2n(AIC)+ +3n(AIBIC) (*) lembrando da formula da uniao dos 3 conjuntos e da uniao das interecessoes tomadas duas a duas: n(AUBUC)=n(A) +n(B)+n(C)-n(AIB)-n(A IC)-n*(BIC)+n(AIBIC) n(AIBUAICUBIC)=n(AIB)+n(AIC)+n(BIC)-2n(AIBIC) diminuindo essas duas n(AUBUC)-n(AIBUAICUBIC)=n(A) +n(B)+n(C)-2n(AIB)-2n(A IC)-2n*(BIC)+3n(AIBIC) logo, substituindo em () n(AUBUC)-n(AIBUAICUBIC)=n(A-(BUC))+n(B-(AUC))+n(C-(AUB)) que e a formula pedida, abraço, saulo. 8/14/05, admath [EMAIL PROTECTED] wrote: Já tentei a partir desta relação chegar em: n(A união B união C) = n(A - (B união C))+n(B- (A união C))+n(C-(A união B))+ N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C)) Só que não consegui...como faço? Obrigado. saulo nilson [EMAIL PROTECTED] escreveu: no vestibular e mais rapido vc fazer o diagrama de venn, a nao ser que vc tenha a formula decorada n(A união B união C)=n((AuB)uC) lembrando que n*(AuB)=n(A)+n(B)-n(A I B) I = intercessao entao teremos que : n((AuB)uC) = n(AuB)+n(C)-n(AUB I C )= = =n(A)+n(B) -n(AIB)+n(C)-n(A I C U BIC)= =n(A)+n(B) -n(AIB)+n(C)- n(A IC)-n*(BIC)+n(AIBIC) agrupando os termos: =n(A) +n(B)+n(C)-n(AIB)-n(A IC)-n*(BIC)+n(AIBIC) trabalhando um pouco mais vc chega ao resultado final, olhando o diagrama o resultado e imediato. On 8/13/05, admath wrote: Saulo, obrigado pela ajuda. A primeira eu entendi..só que na segunda, tem alguma maneira de demonstrar sem utilizar Diagrama de Venn? No vestibular posso utilizar este diagrama pra demontrar? Obrigado. ! saulo nilson escreveu: 1- A = numero de alunos que tem pais professores n(A) = n-120 B = numero de alunos que tem mae professor n(B) = n-130 Aintercessao com B = mae e pai professor , n(AinterB)=5 Auniao com B = soma do numero de alunos que possuem um pai ou uma mae professores ou os dois. n(AuniaoB)= n(A)+n(B)-n(AinterB) 55 = n-120 +n-130-5 2n = 310 n= 155 2- n(A - (B união C)) = 15 n(B- (A união C)) = 20 n(C-(A união B)) =35 n(A união B união C) = 120 N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C)) U =uniao I= intercessao Se vc fizer o diagrama de Venn, vc vai ver que: n(A união B união C)= n(A - (B união C))+n(B- (A união C))+n(C-(A união B))+ N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C)) 120=15+20+35+ N((A inter B) união ! (A inter C) união (B inter C)) N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C))=50 O dado estranho e erro de impressao On 8/11/05, admath wrote: 1) Num colégio verificou-se que 120 alunos não tem pai professor, 130 não tem mãe professora e 5 tem mãe e pai professores. Qual o número de alunos do colégio, sabendo-se que 55 alunos possuem pelo menos um dos pais professor e que não existem alunos irmãos? Resp: 155 2) Se A, B e C são conjuntos tais que n(A - (B união C)) = 15, n(B-A (A união C)) = 20, n(C-(A união B)) =35 e n(A união B união C) = 120, então, N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C)) é igual a quanto? Resp: 50 esse exercício é do livro do iezzi (volume ! 1)..esse dado: n(B-A (A união C)) = 20 não está estranho? Obrigado. __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar
Re: [obm-l] Exercícios
no vestibular e mais rapido vc fazer o diagrama de venn, a nao ser que vc tenha a formula decorada n(A união B união C)=n((AuB)uC) lembrando que n*(AuB)=n(A)+n(B)-n(A I B) I = intercessao entao teremos que : n((AuB)uC) = n(AuB)+n(C)-n(AUB I C )= = =n(A)+n(B) -n(AIB)+n(C)-n(A I C U BIC)= =n(A)+n(B) -n(AIB)+n(C)- n(A IC)-n*(BIC)+n(AIBIC) agrupando os termos: =n(A) +n(B)+n(C)-n(AIB)-n(A IC)-n*(BIC)+n(AIBIC) trabalhando um pouco mais vc chega ao resultado final, olhando o diagrama o resultado e imediato. On 8/13/05, admath [EMAIL PROTECTED] wrote: Saulo, obrigado pela ajuda. A primeira eu entendi..só que na segunda, tem alguma maneira de demonstrar sem utilizar Diagrama de Venn? No vestibular posso utilizar este diagrama pra demontrar? Obrigado. saulo nilson [EMAIL PROTECTED] escreveu: 1- A = numero de alunos que tem pais professores n(A) = n-120 B = numero de alunos que tem mae professor n(B) = n-130 Aintercessao com B = mae e pai professor , n(AinterB)=5 Auniao com B = soma do numero de alunos que possuem um pai ou uma mae professores ou os dois. n(AuniaoB)= n(A)+n(B)-n(AinterB) 55 = n-120 +n-130-5 2n = 310 n= 155 2- n(A - (B união C)) = 15 n(B- (A união C)) = 20 n(C-(A união B)) =35 n(A união B união C) = 120 N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C)) U =uniao I= intercessao Se vc fizer o diagrama de Venn, vc vai ver que: n(A união B união C)= n(A - (B união C))+n(B- (A união C))+n(C-(A união B))+ N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C)) 120=15+20+35+ N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C)) N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C))=50 O dado estranho e erro de impressao On 8/11/05, admath wrote: 1) Num colégio verificou-se que 120 alunos não tem pai professor, 130 não tem mãe professora e 5 tem mãe e pai professores. Qual o número de alunos do colégio, sabendo-se que 55 alunos possuem pelo menos um dos pais professor e que não existem alunos irmãos? Resp: 155 2) Se A, B e C são conjuntos tais que n(A - (B união C)) = 15, n(B-A (A união C)) = 20, n(C-(A união B)) =35 e n(A união B união C) = 120, então, N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C)) é igual a quanto? Resp: 50 esse exercício é do livro do iezzi (volume 1)..esse dado: n(B-A (A união C)) = 20 não está estranho? Obrigado. __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercícios
Já tentei a partir desta relação chegar em: n(A união B união C) = n(A - (B união C))+n(B- (A união C))+n(C-(A união B))+ N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C))Só que não consegui...como faço?Obrigado.saulo nilson [EMAIL PROTECTED] escreveu: no vestibular e mais rapido vc fazer o diagrama de venn, a nao ser quevc tenha a formula decoradan(A união B união C)=n((AuB)uC)lembrando que n*(AuB)=n(A)+n(B)-n(A I B)I = intercessaoentao teremos que :n((AuB)uC) = n(AuB)+n(C)-n(AUB I C )===n(A)+n(B) -n(AIB)+n(C)-n(A I C U BIC)==n(A)+n(B) -n(AIB)+n(C)- n(A IC)-n*(BIC)+n(AIBIC)agrupando os termos:=n(A) +n(B)+n(C)-n(AIB)-n(A IC)-n*(BIC)+n(AIBIC)trabalhando um pouco mais vc chega ao resultado final, olhando odiagrama o resultado e imediato.On 8/13/05, admath <[EMAIL PROTECTED]>wrote: Saulo, obrigado pela ajuda. A primeira eu entendi..só que na segunda, tem alguma maneira de demonstrar sem utilizar Diagrama de Venn? No vestibular posso utilizar este diagrama pra demontrar? Obrigado.! saulo nilson <[EMAIL PROTECTED]>escreveu: 1- A = numero de alunos que tem pais professores n(A) = n-120 B = numero de alunos que tem mae professor n(B) = n-130 Aintercessao com B = mae e pai professor , n(AinterB)=5 Auniao com B = soma do numero de alunos que possuem um pai ou uma mae professores ou os dois. n(AuniaoB)= n(A)+n(B)-n(AinterB) 55 = n-120 +n-130-5 2n = 310 n= 155 2- n(A - (B união C)) = 15 n(B- (A união C)) = 20 n(C-(A união B)) =35 n(A união B união C) = 120 N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C)) U =uniao I= intercessao Se vc fizer o diagrama de Venn, vc vai ver que: n(A união B união C)= n(A - (B união C))+n(B- (A união C))+n(C-(A união B))+ N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C)) 120=15+20+35+ N((A inter B) união ! (A inter C) união (B inter C)) N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C))=50 O dado estranho e erro de impressao On 8/11/05, admath wrote: 1) Num colégio verificou-se que 120 alunos não tem pai professor, 130 não tem mãe professora e 5 tem mãe e pai professores. Qual o número de alunos do colégio, sabendo-se que 55 alunos possuem pelo menos um dos pais professor e que não existem alunos irmãos?Resp: 1552) Se A, B e C são conjuntos tais que n(A - (B união C)) = 15, n(B-A (A união C)) = 20, n(C-(A união B)) =35 e n(A união B união C) = 120, então, N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C)) é igual a quanto?Resp: 50 esse exercício é do livro do iezzi (volume ! 1)..esse dado: n(B-A (A união C)) = 20 não está estranho?Obrigado.__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: [obm-l] Exercícios
Saulo, obrigado pela ajuda. A primeira eu entendi..só que na segunda, tem alguma maneira de demonstrar sem utilizar Diagrama de Venn? No vestibular posso utilizar este diagrama pra demontrar? Obrigado. saulo nilson [EMAIL PROTECTED] escreveu: 1-A = numero de alunos que tem pais professores n(A) = n-120B = numero de alunos que tem mae professor n(B) = n-130Aintercessao com B = mae e pai professor , n(AinterB)=5Auniao com B = soma do numero de alunos que possuem um pai ou uma maeprofessores ou os dois.n(AuniaoB)= n(A)+n(B)-n(AinterB)55 = n-120 +n-130-52n = 310n= 1552-n(A - (B união C)) = 15n(B- (A união C)) = 20n(C-(A união B)) =35n(A união B união C) = 120N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C))U =uniaoI= intercessaoSe vc fizer o diagrama de Venn, vc vai ver que:n(A união B união C)= n(A - (B união C))+n(B- (A união C))+n(C-(Aunião B))+ N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C))120=15+20+35+ N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C))N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C))=50O dado estranho e erro de impressaoOn 8/11/05, admath <[EMAIL PROTECTED]>wrote: 1) Num colégio verificou-se que 120 alunos não tem pai professor, 130 não tem mãe professora e 5 tem mãe e pai professores. Qual o número de alunos do colégio, sabendo-se que 55 alunos possuem pelo menos um dos pais professor e que não existem alunos irmãos? Resp: 1552) Se A, B e C são conjuntos tais que n(A - (B união C)) = 15, n(B-A (A união C)) = 20, n(C-(A união B)) =35 e n(A união B união C) = 120, então, N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C)) é igual a quanto?Resp: 50 esse exercício é do livro do iezzi (volume 1)..esse dado: n(B-A (A união C)) = 20 não está estranho?Obrigado. __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: [obm-l] Exercícios
1- A = numero de alunos que tem pais professores n(A) = n-120 B = numero de alunos que tem mae professor n(B) = n-130 Aintercessao com B = mae e pai professor , n(AinterB)=5 Auniao com B = soma do numero de alunos que possuem um pai ou uma mae professores ou os dois. n(AuniaoB)= n(A)+n(B)-n(AinterB) 55 = n-120 +n-130-5 2n = 310 n= 155 2- n(A - (B união C)) = 15 n(B- (A união C)) = 20 n(C-(A união B)) =35 n(A união B união C) = 120 N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C)) U =uniao I= intercessao Se vc fizer o diagrama de Venn, vc vai ver que: n(A união B união C)= n(A - (B união C))+n(B- (A união C))+n(C-(A união B))+ N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C)) 120=15+20+35+ N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C)) N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C))=50 O dado estranho e erro de impressao On 8/11/05, admath [EMAIL PROTECTED] wrote: 1) Num colégio verificou-se que 120 alunos não tem pai professor, 130 não tem mãe professora e 5 tem mãe e pai professores. Qual o número de alunos do colégio, sabendo-se que 55 alunos possuem pelo menos um dos pais professor e que não existem alunos irmãos? Resp: 155 2) Se A, B e C são conjuntos tais que n(A - (B união C)) = 15, n(B-A (A união C)) = 20, n(C-(A união B)) =35 e n(A união B união C) = 120, então, N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C)) é igual a quanto? Resp: 50 esse exercício é do livro do iezzi (volume 1)..esse dado: n(B-A (A união C)) = 20 não está estranho? Obrigado. __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Exercícios
1) Num colégio verificou-se que 120 alunos não tem pai professor, 130 não tem mãe professora e 5 tem mãe e pai professores. Qual o número de alunos do colégio, sabendo-se que 55 alunos possuem pelo menos um dos pais professor e que não existem alunos irmãos? Resp: 155 2) Se A, B e C são conjuntos tais que n(A - (B união C)) = 15, n(B-A (A união C)) = 20, n(C-(A união B)) =35 e n(A união B união C) = 120, então, N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C)) é igual a quanto? Resp: 50 esse exercício é do livro do iezzi (volume 1)..esse dado: n(B-A (A união C)) = 20 não está estranho? Obrigado.__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
[obm-l] mais exercícios fáceis de trigo
1) Determinar f(x) para que a fração
f(x)/(2.cos60-sen x) inverta quando se troca,
no denominador, a diferença por soma (o sinal -
pelo sinal +);
2) Calcular [10.sen50°((cos40°+sen30°)/sen²80°]+
+{8.sen80°.cos10°/[cos40°(sen50°+cos60°)]}
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Re: [obm-l] Exercícios elementares de Trgo
Quanto ao problema 1... esse item c me deu dor de cabeça pra fazer... tive que usar uma identidade bizarra que descobri enquanto resolvia o exercício: cos 36 - cos 72 = 0.5 (*) (dem.: cos36 - cos72 = -2 * sen54 * sen(-18) = 2 * sen54 * sen18 = 2* cos36 * cos72 = 2 * sen36 * cos36 * cos72 / sen36 = sen72 * cos72 / sen36 = sen144 / (2 * sen36) = sen36 / 2sen36 = 1/2) Enfim, o problema 1c, conforme o resolvi: (4 * cotg 36° - sec 54 °) / (4 * sen 72°) = (4cos36/sen36 - 1/cos54 ) / 4sen72) = (4cos36/sen36 - 1/sen36 ) / 4sen72) = (4*cos36 - 1) / (4*sen36*sen72) =(*)= (4*cos36 - (2cos36 - 2cos72)) / (4sen36*sen72) = (2cos36 + 2cos72) / (4 sen36 sen72) = (cos36 + cos72) / (2 sen36 sen72) = 2 cos54 cos18 / (2 sen36 sen72) = 2 sen36 sen72 / (2 sen36 sen72) = 1 (o símbolo =(*)= é pra indicar que usei aquele fato do início nessa passagem) Algum jeito mais simples? Abraço Bruno On 7/7/05, Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguns exercícios de trigonometria que podemajudar os recém-iniciados na arte...1) Calcular (claro que sem calculadora ou tabela):1a) sen 18° * sen 54° ;1b) cotg 36° + cossec 36° * cos 72° - 2 * sen 72° ; 1c) (4 * cotg 36° - sec 54 °) / (4 * sen 72°) ;2) Demonstrar que:2a) sen 72° + 0,5* sen 36° =(cos 36° + 0,5)* sen72°;2b) 1,25 * cotg 36° = 1,5 * sen 72° + 0,5 * cos 54°; __Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messengerhttp://br.download.yahoo.com/messenger/ =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =-- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyicq: 12626000e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Exercícios elementares de Trgo
cara, tem uma saída muito legal...se vc chamar 36 de x, 72 de 2x, 108 de 3x, sen2x = sen3x pq 108 + 72 = 180 sen2x = sen3x 2senx.cosx = sen(2x+x) 2senx.cosx = sen2x.cosx+senx.cos2x 2senx.cosx = 2senx.cos²x + senx.cos2x Como sen36 é diferente de 0, podemos cortar os termos senx 2cosx=2cos²x + cos2x 2cosx=4cos²x-1 4cos²x-2cosx-1 =0 cos36= [1+sqrt(5)]/4 pois cos360 agora o problema: cosx - cos2x = cosx - 2cos²x + 1 = -1/2 (4cos²x-2cosx) + 1 (ali em cima: 4cos²x-2cosx = 1) cosx-cos2x = -1/2 ( 1) + 1 = 1/2 Em 09/07/05, Bruno França dos Reis[EMAIL PROTECTED] escreveu: Quanto ao problema 1... esse item c me deu dor de cabeça pra fazer... tive que usar uma identidade bizarra que descobri enquanto resolvia o exercício: cos 36 - cos 72 = 0.5 (*) (dem.: cos36 - cos72 = -2 * sen54 * sen(-18) = 2 * sen54 * sen18 = 2* cos36 * cos72 = 2 * sen36 * cos36 * cos72 / sen36 = sen72 * cos72 / sen36 = sen144 / (2 * sen36) = sen36 / 2sen36 = 1/2) Enfim, o problema 1c, conforme o resolvi: (4 * cotg 36° - sec 54 °) / (4 * sen 72°) = (4cos36/sen36 - 1/cos54 ) / 4sen72) = (4cos36/sen36 - 1/sen36 ) / 4sen72) = (4*cos36 - 1) / (4*sen36*sen72) =(*)= (4*cos36 - (2cos36 - 2cos72)) / (4sen36*sen72) = (2cos36 + 2cos72) / (4 sen36 sen72) = (cos36 + cos72) / (2 sen36 sen72) = 2 cos54 cos18 / (2 sen36 sen72) = 2 sen36 sen72 / (2 sen36 sen72) = 1 (o símbolo =(*)= é pra indicar que usei aquele fato do início nessa passagem) Algum jeito mais simples? Abraço Bruno On 7/7/05, Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguns exercícios de trigonometria que podem ajudar os recém-iniciados na arte... 1) Calcular (claro que sem calculadora ou tabela): 1a) sen 18° * sen 54° ; 1b) cotg 36° + cossec 36° * cos 72° - 2 * sen 72° ; 1c) (4 * cotg 36° - sec 54 °) / (4 * sen 72°) ; 2) Demonstrar que: 2a) sen 72° + 0,5* sen 36° =(cos 36° + 0,5)* sen 72°; 2b) 1,25 * cotg 36° = 1,5 * sen 72° + 0,5 * cos 54°; __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Exercícios elementares de Trgo
Alguns exercícios de trigonometria que podem ajudar os recém-iniciados na arte... 1) Calcular (claro que sem calculadora ou tabela): 1a) sen 18° * sen 54° ; 1b) cotg 36° + cossec 36° * cos 72° - 2 * sen 72° ; 1c) (4 * cotg 36° - sec 54 °) / (4 * sen 72°) ; 2) Demonstrar que: 2a) sen 72° + 0,5* sen 36° =(cos 36° + 0,5)* sen 72°; 2b) 1,25 * cotg 36° = 1,5 * sen 72° + 0,5 * cos 54°; __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercícios - Fatoração
Boa noite! 1) No segundo parênteses soma e subtraia b, e no terceiro soma e subtraia a. Minha forma fatorada foi (a-b)*(a-c)*(b-c)*(a+b+c). 2) Coloque a em evidência e chame a^2 de x. Em seguida fatore o polinômio x^3-14*x^2+49*x-36, cujas raízes são 9, 4 e 1. Encontrei como resposta o seguinte a*(a+3)*(a-3)*(a+2)*(a-2)*(a+1)*(a-1). 3) Parta do que você quer provar e utilizando relações de equivalência verifique que basta provar o seguinte a^5+b^5+c^5=-5*(a^2*b^2*c+a^2*c^2*b+b^2*c^2*a). Desenvolva (a+b)^5 através do binômio de Newton, suponha a0 e b0 (se um deles fosse 0 deveríamos examinar esse caso particular) e verifique que agora basta provar que a^3+2*a^2*b+2*a*b^2+b^3=c*(a*b+a*c+b*c). Jogue o valor de c=-(a+b) e obtenha a identidade desenvolvendo (a+b)^3. 4)Do enunciado temos a*(c-a)*(a-b)+b*(b-c)*(a-b)+c*(b-c)*(c-a)=0. Multiplique essa equação primeiramente por (c-a)*(a-b), obtendo uma outra equação (1). Depois multiplique a equação original por (b-c)*(a-b), obtendo uma equação (2). E finalmente, multiplique a original por (b-c)*(c-a), obtendo uma equação (3). Some (1), (2) e (3) e verifique o pedido do problema, fatorando os diversos termos em comum. Abraços! Em 03/07/05, Daniela Yoshikawa[EMAIL PROTECTED] escreveu: Alguém pode me ajudar nestes exercícios? Fatorar: 1) (a-b)c^3 - (a-c)b^3 + (b-c)a^3 2) a^3(a^2 - 7)^2 - 36a 3) a+b+c = 0 - (a^5 + b^5 + c^5)/5 = (a^3 + b^3 + c^3)/3 . (a^2 + b^2 + c^2)/2 4) Prove that if a/(b-c) + b/(c-a) + c/(a-b) = 0, where ab, ac, bc, then a/(b-c)^2 + b/(c-a)^2 + c/(a-b)^2 = 0 Obrigada! __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Exercícios *****AJUDA*******
Amigos, preciso novamente da ajuda de vocês. Desde já, agradeço-lhes. 1) Na cidade de Itapipoca, alguns animais são realmente estranhos. Dez por cento dos cães pensam que são gatos e dez por cento dos gatos pensam que são cães . Todos os outros cães e gatos são perfeitamente normais. Certo dia, todos os cães e gatos de Itapipoca foram testados por um psicólogo verificando-se então 20% deles pensavam que eram gatos. Que percentagem dos animais eram realmente gatos ? R: 12,5% 3) 10% de uma certa população está infectada por um vírus. Um teste para identificar ou não a presença do vírus dá 90% de acertos quando aplicado a uma pessoa infectada e dá 80% de acertos quando aplicado a uma pessoa sadia. Qual a porcentagem de pessoas realmente infectadas entre as pessoas que o teste classificou como infectadas ? Muito obrigado, abraços, Victor. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercícios *****AJUDA*******
1) C = numero de cãesG = numero de gatos Pensam que sao cães: 0,9C + 0,1G Pensam que sao gatos: 0,9G + 0,1 C = 0,2 G+C = 1= C = 1-G 0,9G + 0,1(1 - G) = 0,2 0,9G + 0,1 - 0,1G = 0,2 0,8G = 0,1 G = 1/8 = 0,125 = 12,5% 3) Pessoas identificadas como infectadas: 0,1*0,9 + 0,2*0,9 = 0,09 + 0,18 = 0,27 P = 0,09/0,27 = 1/3 On Wed, 2 Mar 2005 21:08:01 -0300, Machado [EMAIL PROTECTED] wrote: Amigos, preciso novamente da ajuda de vocês. Desde já, agradeço-lhes. 1) Na cidade de Itapipoca, alguns animais são realmente estranhos. Dez por cento dos cães pensam que são gatos e dez por cento dos gatos pensam que são cães . Todos os outros cães e gatos são perfeitamente normais. Certo dia, todos os cães e gatos de Itapipoca foram testados por um psicólogo verificando-se então 20% deles pensavam que eram gatos. Que percentagem dos animais eram realmente gatos ? R: 12,5% 3) 10% de uma certa população está infectada por um vírus. Um teste para identificar ou não a presença do vírus dá 90% de acertos quando aplicado a uma pessoa infectada e dá 80% de acertos quando aplicado a uma pessoa sadia. Qual a porcentagem de pessoas realmente infectadas entre as pessoas que o teste classificou como infectadas ? Muito obrigado, abraços, Victor. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercícios...
On Sun, Feb 06, 2005 at 03:05:43AM -0300, Fábio Dias Moreira wrote: Vinícius Meireles Aleixo wrote: 2-Prove que a mais curta distancia de um ponto (X_1, Y_1) ao gráfico de uma função diferenciável f é medida ao longo de uma normal ao gráfico, isto é, uma perpendicular à tangente. [...] Isso é falso: Tome f: (0, 1) - (0, 1), f(x) = x e (x_1, y_1) = (2, 2). Acho que ele queria dizer f: R - R, f(x_1) diferente de y_1. Assim fica verdadeiro. O que não é verdade (mas também não foi dito) é que a normal seja única, ou que todas as normais tenham o mesmo comprimento. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Exercícios...
Oi, boa noite Aqui vão alguns exercicios do meu livro de cálculo(derivadas) que não consegui fazer, caso possam da uma ajudinha... 1- Uma cerca de 8 pés de altura, num terreno plano, é paralela a um edificio alto.Se a cerca está a1 pé do edificio, determine o comprimento da escada mais curta que se apóie, por sobre a cerca , no solo e na parede do edificio. 2-Prove que a mais curta distancia de um ponto (X_1, Y_1) ao gráfico de uma função diferenciável "f" é medida ao longo de uma normal ao gráfico, isto é, uma perpendicular à tangente. 3- Se f(x)= x^n , n1, prove que o gráfico de f ou tem um, ou nenhum ponto de inflexão, conforme "n" seja ímpar ou par, respectivamente.Dê exemplos de algumas curvas. 4-Deve-se construir uma caixa aberta com uma folha retangular de cartolina de 40cm de largura e 60cm de comprimento, cortando-se um quadrado de s cm de lado em cada canto e dobrando-se a cartolina.Expresse o volume V da caixa em função de s e determine a taxa de variação de V em relação a s. 5-Uma longa folha retangular de 12 polegadas de largura vai ser utilizada para formar uma calha, dobrando-se em angulo reto as duas bordas.Quantas polegadas devem ser dobradas, de forma que a capacidade da calha seja máxima?E se os lados da calha fizerem um angulo de 120º com a base? bem...esses problemas são simples, mas é que estou começando meus estudos de cálculo agora e ficarei muito grato com a ajuda de vcs...se puder explique mais detalhadamente..:) Abraços Vinícius Meireles Aleixo
Re: [obm-l] Exercícios...
Vinícius Meireles Aleixo wrote: Oi, boa noite Aqui vão alguns exercicios do meu livro de cálculo(derivadas) que não consegui fazer, caso possam da uma ajudinha... [...] [...] 2-Prove que a mais curta distancia de um ponto (X_1, Y_1) ao gráfico de uma função diferenciável f é medida ao longo de uma normal ao gráfico, isto é, uma perpendicular à tangente. [...] Isso é falso: Tome f: (0, 1) - (0, 1), f(x) = x e (x_1, y_1) = (2, 2). []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Exercícios de Análise
Ola Cicero e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
Aqui vai uma dica : Suponha que a quantidade vetores unitarios seja finita,
digamos U1,...,Un. Mostre que sempre sera possivel construir um novo vetor
U', unitario, diferente de Ui, qualquer que seja i=1,...,N. Diga riquissima,
certo ? ...
Bom. Falando serio : cada Ui esta em R^N, logo Ui = (X1,...,Xn) com
X1,...,Xn nao todos nulos. Analisando os Ui e IMAGINANDO-OS um embaixo do
outro, lembramos do raciocinio da diagonal de Cantor, vale dizer, e possivel
construir um vetor U', diferente de cada Ui ao menos em uma coordenada e tal
que U' e unitario.
Bom, a ideia esta lancada. O resto e burocracia e voce preenche os detalhes.
E agora realmente eu me retiro.
A todos, com os melhores
votos de paz profunda, sou
Paulo Santa Rita
6,0950,170904
From: [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Exercícios de Análise
Date: Thu, 16 Sep 2004 23:00:22 -0300
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---BeginMessage---
Qualquer que
seja a norma em R^n (n 1), a esfera unitária S = { x pertence ao R^n/
|x| = 1} é um conjunto infinito.
Eu não consegui resolver este... Alguém pode ajudar?
Cícero
=
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---End Message---
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Exercícios de Análise
Sejam u1 e u2 vetores nao nulos e linearmente independentes de R^n (nao
proporcionais). Definamos A = {x em R^n : x = u1 + t*u2, t em R}. Entao, A
nao contem 0 e nao hah dois elementos distintos de A que sejam proporcionais
(pois n1). Para todo x de A, |x|0 (definicao de norma) e, portanto,
podemos definir y = x/|x|, tendo-se |y| =1 qualquer que seja a definicao da
norma || (novamente, decorrencia da definicao de norma). Se x1 e x2 sao
elementos distintos de A, entao y1 e y2 sao distintos, pois, do contrario,
seriam proporcionais, contrariamente aa definicao de A.
Existe assim uma bijecao entre A e um subconjunto da esfera unitaria. Como A
eh infinito (A nem mesmo eh enumeravel, pois eh homorfo a R), concluimos que
a esfera unitaria contem um subconjunto infinito, sendo ela propria infinita
(e naum enumeravel).
Artur
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[obm-l] Exercícios de Análise
Qualquer que
seja a norma em R^n (n 1), a esfera unitária S = { x pertence ao R^n/
|x| = 1} é um conjunto infinito.
Eu não consegui resolver este... Alguém pode ajudar?
Cícero
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[obm-l] Lista de exercícios - Análise Combinatória
Olá a todos! Alguém possui lista de exercícios (fácil, médio e difícil) sobre PFC, combinação, permutação, arranjo? Se tiverem, manda pra mim! Desde já agradeço, Daniele *-_-* Yahoo! Acesso Grátis - navegue de graça com conexão de qualidade!
[obm-l] Lista de exercícios - Análise Combinatória
Prezada Daniela, O livro do Morgado et all: "Análise Combinatória e Probabilidade" tem uma coleção de problemas estimulantes e desafiadores. A nova edição, com soluções dos exercícios ficou ainda melhor. Benedito - Original Message - From: Daniela Yoshikawa To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, September 04, 2004 11:37 AM Subject: [obm-l] Lista de exercícios - Análise Combinatória Olá a todos! Alguém possui lista de exercícios (fácil, médio e difícil) sobre PFC, combinação, permutação, arranjo? Se tiverem, manda pra mim! Desde já agradeço, Daniele *-_-* -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] exercícios
Olá, Questão: Quantos são os números com 10 algarismo diferentes entresi e divisível por 1. Dizer que eles estão incluídos entre os númerosinteressantes está correto? Obrigado!- Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, May 16, 2004 9:09 PM Subject: Re: [obm-l] exercícios a=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] exercícios
Oi, Fabio: Jah vi voce dar solucoes mais bonitinhas pra outros problemas! De qualquer forma, muito obrigado. O mais importante eh voce ter resolvido o problema. Realmente, eu me esqueci da outra raiz de x(x+1) = 30 ao formular a conjectura. []s, Claudio. on 16.05.04 22:38, Fabio Dias Moreira at [EMAIL PROTECTED] wrote: Claudio Buffara said: on 14.05.04 11:53, biper at [EMAIL PROTECTED] wrote: alguém pode me ajudar nessas duas: 1)Achar todos pares ordenados (x,y), que satisfaçam a relação abaixo x^2 + x = y^4 + y^3 + y^2 + y. Supondo que estamos interessados apenas nas solucoes inteiras, eu faco a seguinte conjectura: As unicas solucoes sao (0,0), (-1,0), (0,-1), (-1,-1) e (5,2). No entanto, nao consegui provar isso. Imagino que envolva alguma fatoracao macetosa. Alguem tem alguma ideia? [...] Note que a equação equivale a x^2 + x - (y^4 + y^3 + y^2 + y) = 0. Para que x seja inteiro, é necessário e suficiente que o discriminante da equação seja um quadrado perfeito (é necessário pois x é racional, é suficiente pois x é inteiro algébrico, e todo inteiro algébrico é inteiro). Logo 4y^4 + 4y^3 + 4y^2 + 4^y + 1 = z^2 = (2y^2 + y + 1)^2 - y^2 + 2y = z^2 = (2y^2 + y + 1)^2 - z^2 = y^2 - 2y = (2y^2 + y + 1 + z)(2y^2 + y + 1 - z) = y^2 - 2y. Se y = 0, 1, 2, então a equação original equivale a x(x+1) = 0, x(x+1) = 4, x(x+1) = 30, respectivamente. A segunda equação não tem solução, a primeira dá duas soluções (0, 0) e (-1, 0); a terceira dá outras duas, (5, 2) e (-6, 2). Caso y 0 ou y 2, y está fora do intervalo das raízes de y^2 - 2y, logo y^2 - 2y 0. Como z é não-negativo sem perda de generalidade, 2y^2 + y + 1 + z = (7/4)*y^2 + (y/2 + 1)^2 + z 0, pois é soma de termos positivos (y/2 + 1 e y não podem ser ambos zero). Logo 2y^2 + y + 1 - z 0, pois quando multiplicado por um número positivo (2y^2 + y + 1 + z) dá como resultado um número positivo (y^2 - 2y). Logo 2y^2 + y + 1 - z = 1, pois é inteiro. Mas então 2y^2 + y + 1 = 2y^2 + y + 1 + z = (2y^2 + y + 1 + z)(2y^2 + y + 1 - z) = y^2 - 2y = y^2 + 3y + 1 = 0 = (-3-sqrt(5))/2 = y = (-3+sqrt(5))/2 = -2 = y = -1. Logo y = -1 ou y = -2. Substituindo na equação original, x(x+1) = 0 ou x(x+1) = 10, respectivamente. O primeiro caso dá duas soluções, (0, -1) e (-1, -1). A segunda não tem soluções. Logo a equação tem exatamente seis soluções inteiras: (-1, -1), (-1, 0), (0, -1), (0, 0), (-6, 2) e (5, 2). []s, = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] exercícios
on 14.05.04 11:53, biper at [EMAIL PROTECTED] wrote: alguém pode me ajudar nessas duas: 1)Achar todos pares ordenados (x,y), que satisfaçam a relação abaixo x^2 + x = y^4 + y^3 + y^2 + y. Supondo que estamos interessados apenas nas solucoes inteiras, eu faco a seguinte conjectura: As unicas solucoes sao (0,0), (-1,0), (0,-1), (-1,-1) e (5,2). No entanto, nao consegui provar isso. Imagino que envolva alguma fatoracao macetosa. Alguem tem alguma ideia? []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] exercícios
Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 14.05.04 11:53, biper at [EMAIL PROTECTED] wrote: alguém pode me ajudar nessas duas: 1)Achar todos pares ordenados (x,y), que satisfaçam a relação abaixo x^2 + x = y^4 + y^3 + y^2 + y. Supondo que estamos interessados apenas nas solucoes inteiras, eu faco aseguinte conjectura:As unicas solucoes sao (0,0), (-1,0), (0,-1), (-1,-1) e (5,2).No entanto, nao consegui provar isso. Imagino que envolva alguma fatoracaomacetosa. Alguem tem alguma ideia?[]s,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) N.F.C. (Ne Fronti Crede)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] exercícios
Claudio Buffara said: on 14.05.04 11:53, biper at [EMAIL PROTECTED] wrote: alguém pode me ajudar nessas duas: 1)Achar todos pares ordenados (x,y), que satisfaçam a relação abaixo x^2 + x = y^4 + y^3 + y^2 + y. Supondo que estamos interessados apenas nas solucoes inteiras, eu faco a seguinte conjectura: As unicas solucoes sao (0,0), (-1,0), (0,-1), (-1,-1) e (5,2). No entanto, nao consegui provar isso. Imagino que envolva alguma fatoracao macetosa. Alguem tem alguma ideia? [...] Note que a equação equivale a x^2 + x - (y^4 + y^3 + y^2 + y) = 0. Para que x seja inteiro, é necessário e suficiente que o discriminante da equação seja um quadrado perfeito (é necessário pois x é racional, é suficiente pois x é inteiro algébrico, e todo inteiro algébrico é inteiro). Logo 4y^4 + 4y^3 + 4y^2 + 4^y + 1 = z^2 = (2y^2 + y + 1)^2 - y^2 + 2y = z^2 = (2y^2 + y + 1)^2 - z^2 = y^2 - 2y = (2y^2 + y + 1 + z)(2y^2 + y + 1 - z) = y^2 - 2y. Se y = 0, 1, 2, então a equação original equivale a x(x+1) = 0, x(x+1) = 4, x(x+1) = 30, respectivamente. A segunda equação não tem solução, a primeira dá duas soluções (0, 0) e (-1, 0); a terceira dá outras duas, (5, 2) e (-6, 2). Caso y 0 ou y 2, y está fora do intervalo das raízes de y^2 - 2y, logo y^2 - 2y 0. Como z é não-negativo sem perda de generalidade, 2y^2 + y + 1 + z = (7/4)*y^2 + (y/2 + 1)^2 + z 0, pois é soma de termos positivos (y/2 + 1 e y não podem ser ambos zero). Logo 2y^2 + y + 1 - z 0, pois quando multiplicado por um número positivo (2y^2 + y + 1 + z) dá como resultado um número positivo (y^2 - 2y). Logo 2y^2 + y + 1 - z = 1, pois é inteiro. Mas então 2y^2 + y + 1 = 2y^2 + y + 1 + z = (2y^2 + y + 1 + z)(2y^2 + y + 1 - z) = y^2 - 2y = y^2 + 3y + 1 = 0 = (-3-sqrt(5))/2 = y = (-3+sqrt(5))/2 = -2 = y = -1. Logo y = -1 ou y = -2. Substituindo na equação original, x(x+1) = 0 ou x(x+1) = 10, respectivamente. O primeiro caso dá duas soluções, (0, -1) e (-1, -1). A segunda não tem soluções. Logo a equação tem exatamente seis soluções inteiras: (-1, -1), (-1, 0), (0, -1), (0, 0), (-6, 2) e (5, 2). []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] exercícios
Fabio Dias Moreira said: Claudio Buffara said: on 14.05.04 11:53, biper at [EMAIL PROTECTED] wrote: alguém pode me ajudar nessas duas: 1)Achar todos pares ordenados (x,y), que satisfaçam a relação abaixo x^2 + x = y^4 + y^3 + y^2 + y. Supondo que estamos interessados apenas nas solucoes inteiras, eu faco a seguinte conjectura: As unicas solucoes sao (0,0), (-1,0), (0,-1), (-1,-1) e (5,2). No entanto, nao consegui provar isso. Imagino que envolva alguma fatoracao macetosa. Alguem tem alguma ideia? [...] Note que a equação equivale a x^2 + x - (y^4 + y^3 + y^2 + y) = 0. Para que x seja inteiro, é necessário e suficiente que o discriminante da equação seja um quadrado perfeito (é necessário pois x é racional, é suficiente pois x é inteiro algébrico, e todo inteiro algébrico é inteiro). [...] Desculpem, eu quis dizer todo inteiro algébrico *racional* é inteiro. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercícios sobre máximos e mínimos
Marcelo Augusto Pereira said: [...] 43) Um corredor de largura a forma um ângulo reto com um segundo corredor de largura b. Uma barra longa, fina e pesada deve ser empurrada do piso do primeiro corredor para o segundo. Qual o comprimento da maior barra que pode passar a esquina? [...] Pense no corredor como se suas paredes fossem as retas (x=0,y0), (x0,y=0), (x=a,yb) e (xa,y=b). Suponha que a barra tem inclinação t 0. Ela conseguirá passar pelo corredor se, e somente se, a interseção da reta de inclinação t que passa por (a, b) com o primeiro quadrante for grande o suficiente para conter a barra (porquê?). Basta achar o menor dos comprimentos à medida que t varia entre -infinito e 0. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] exercícios
on 14.05.04 11:53, biper at [EMAIL PROTECTED] wrote: 2)Encontre as soluções inteiras de. x^3 - y^3 = 999 A primeira observacao eh que se (a,b) eh solucao, entao (-b,-a) tambem eh. Logo, podemos nos limitar ao caso em que x 0. Caso 1: x y 0. A equacao pode ser re-escrita como: (x - y)(x^2 + xy + y^2) = 3^3*37 Temos 4 sub-casos a considerar: 1) x - y = 1 e x^2 + xy + y^2 = 999 2) x - y = 3 e x^2 + xy + y^2 = 333 3) x - y = 9 e x^2 + xy + y^2 = 111 4) x - y = 27 e x^2 + xy + y^2 = 37 Repare que cada um desses sub-casos se reduz a uma equacao do 2o. grau, da qual buscamos raizes inteiras. As unicas solucoes obtidas correspondem aos casos 2 e 3. Sao, respectivamente, (12,9) e (10,1). Da observacao inicial obtemos as solucoes (-9,-12) e (-1,-10). Caso 2: x 0 y. Nesse caso, fazendo z = -y 0, obtemos a equacao: x^3 + z^3 = 999 == (x + z)*(x^2 - xz + z^2) = 3^3*37 Novamente, temos 4 sub-casos a considerar: 1) x + z = 1 e x^2 - xz + z^2 = 999 2) x + z = 3 e x^2 - xz + z^2 = 333 3) x + z = 9 e x^2 - xz + z^2 = 111 4) x + z = 27 e x^2 - xz + z^2 = 37 Nenhuma das 4 equacoes do 2o. grau resultantes tem raizes inteiras (o que eh mais ou menos obvio, jah que x e z sao positivos) Logo, as unicas solucoes sao: (12,9), (-9,-12), (10,1) e (-1,-10). []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Exercícios sobre máximos e mínimos
Se possível, mandem a resolução detalhada. Desde já, obrigado. 40) Uma pirâmide tem base quadrada e quatro faces triangulares com igual inclinação. Se a área total da base e das faces é dada, mostre que o volume é máximo quando a altura é sqrt(2) vezes a aresta da base. 41) Um cilindro é gerado girando-se um retângulo ao redor do eixo x, onde a base do retângulo está apoiada. Seus vértices superiores estão sobre a curva y=x/(x²+1). Qual é o maior volume que tal cilindro pode ter? 43) Um corredor de largura a forma um ângulo reto com um segundo corredor de largura b. Uma barra longa, fina e pesada deve ser empurrada do piso do primeiro corredor para o segundo. Qual o comprimento da maior barra que pode passar a esquina?
[obm-l] exercícios
alguém pode me ajudar nessas duas: 1)Achar todos pares ordenados (x,y), que satisfaça a relação abaixo x^2 + x = y^4 + y^3 + y^2 + y. 2)Encontre as soluções inteiras de. x^3 - y^3 = 999 Muito obrigado desde já. Felipe Santana __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] exercícios
Não sei se vai ajudar , mais tente olhar para o fato de que 999=3.3.111 e também para a diferença de cubos . Abraços __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] exercícios
Esse segundo, eu tenho quase certeza que caiu em alguma OBM. Ele deve estar em alguma Eureka! mas como aqui em Sao Carlos eu to sem nada, tente procurar na rede.biper [EMAIL PROTECTED] wrote: alguém pode me ajudar nessas duas:1)Achar todos pares ordenados (x,y), que satisfaça a relação abaixox^2 + x = y^4 + y^3 + y^2 + y.2)Encontre as soluções inteiras de.x^3 - y^3 = 999Muito obrigado desde já.Felipe Santana__Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.AntiPop-up UOL - É grátis!http://antipopup.uol.com.br/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) N.F.C. (Ne Fronti Crede)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] exercícios de topologia
--- Carlos bruno Macedo [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Gostaria de ajuda nesses dois exercícios
Provar que
1) O conjunto das matrizes n x n com determinante 1
é um fechado ilimitado
com interior vazio em R^n x n
2) As matrizes ortogonais n x n formam um
subcontunto compacto de R^n x n
2) O conjunto R^(n^2) eh Euclidiano, logo um
subconjunto do mesmo eh compacto se, e somente se, for
limitado e fechado (Teorema de Heine Borel).
Seja O o conjunto das matrizes ortogonais n x n. Se M
pertence a O, entao a norma de cada um de seus vetores
linha ou coluna eh 1(um conhecido fato da algebra
linear). Se definirmos a norma || de uma matriz como a
raiz quadrada da soma dos quadrados de seus termos,
entao ||M|| = sqrt(n) para toda M de O. Segue-se
automaticamente que O eh limitado.
Suponhamos agora que N seja uma matriz pertencente ao
fecho de O. Existe entao uma sequencia de matrizes
{N_n} em O que converge para N. A sequencia dos
vetores linha e coluna das matrizes de {N_n} converge,
portanto, para o correspondente vetor linha ou coluna
de N.
A norma Euclidiana de um vetor do R^n eh uma funcao
continua de R^n em R. Assim, se {v_n} eh uma
sequencia de vetores linhas ou colunas das matrizes de
{N_n}, temos que ||v_n|| - ||v||, sendo v o
correspondente vetor de N. Mas como ||v_n|| =1 para
todo n, ||v_n|| -1 e ||v|| =1. Todos os vetores linha
e coluna de N tem portanto norma 1. Da Algebra Linear,
isto implica que N seja ortogonal e pertenca a O. .
Logo, O confunde-se com o seu fecho e eh fechado.
Concluimos assim que O eh fechado e limitado, logo
compacto.
Artur
__
Do you Yahoo!?
Yahoo! Tax Center - File online by April 15th
http://taxes.yahoo.com/filing.html
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] exercícios de topologia
On Mon, 12 Apr 2004, Artur Costa Steiner wrote:
1) O conj das matrizes nxn com det=1 é fechado pois é imagem inversa de
1 da funcao continua determinante.É ilimitado pois é facil construir
matrizes An com detAn=1 e norma(An)=n.
--- Carlos bruno Macedo [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Gostaria de ajuda nesses dois exercícios
Provar que
1) O conjunto das matrizes n x n com determinante 1
é um fechado ilimitado
com interior vazio em R^n x n
2) As matrizes ortogonais n x n formam um
subcontunto compacto de R^n x n
2) O conjunto R^(n^2) eh Euclidiano, logo um
subconjunto do mesmo eh compacto se, e somente se, for
limitado e fechado (Teorema de Heine Borel).
Seja O o conjunto das matrizes ortogonais n x n. Se M
pertence a O, entao a norma de cada um de seus vetores
linha ou coluna eh 1(um conhecido fato da algebra
linear). Se definirmos a norma || de uma matriz como a
raiz quadrada da soma dos quadrados de seus termos,
entao ||M|| = sqrt(n) para toda M de O. Segue-se
automaticamente que O eh limitado.
Suponhamos agora que N seja uma matriz pertencente ao
fecho de O. Existe entao uma sequencia de matrizes
{N_n} em O que converge para N. A sequencia dos
vetores linha e coluna das matrizes de {N_n} converge,
portanto, para o correspondente vetor linha ou coluna
de N.
A norma Euclidiana de um vetor do R^n eh uma funcao
continua de R^n em R. Assim, se {v_n} eh uma
sequencia de vetores linhas ou colunas das matrizes de
{N_n}, temos que ||v_n|| - ||v||, sendo v o
correspondente vetor de N. Mas como ||v_n|| =1 para
todo n, ||v_n|| -1 e ||v|| =1. Todos os vetores linha
e coluna de N tem portanto norma 1. Da Algebra Linear,
isto implica que N seja ortogonal e pertenca a O. .
Logo, O confunde-se com o seu fecho e eh fechado.
Concluimos assim que O eh fechado e limitado, logo
compacto.
Artur
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Good bye!
Mario Salvatierra Junior
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Brazil
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[obm-l] exercícios de topologia
Gostaria de ajuda nesses dois exercícios Provar que 1) O conjunto das matrizes n x n com determinante 1 é um fechado ilimitado com interior vazio em R^n x n 2) As matrizes ortogonais n x n formam um subcontunto compacto de R^n x n Desejo feliz páscoa a todos Carlos _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] 2 exercícios simples.
Olá pessoal. Me ajudem com esses 2 exercícios por favor. 145. NO triângulo retângulo de catetos 6 e 8 cm e hipotenusa = 10cm, calcule o raio r da circunferência inscrita. 147.(FUVEST) Os pontos A,B e C pertencem a uma circunferência de centro O. Sabe-se que OA é perpendicular a OB e forma com BC um ângulo de 70 graus. Então, a tangente à circunferência no ponto C forma com a reta OA um ângulo de: Obrigado. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] 2 exercícios simples.
Vitor, Para o primeiro problema, sabemos que a área de um triângulo retângulo pode ser obtida pelo semiproduto de seus catetos e também pelo produto do semiperímetro e raio da circunferência inscrita. Assim: S = 6*8/2 = (6+8+10)/2*r == r = 48/24 = 2 cm Para o segundo problema, seja D o ponto de intersecção do segmento OA com o segmento BC, do enunciado sabemos que a med(ODB) = 70º e a med(DOB) = 90º. Como o triângulo DOB é retângulo em O, tem-se a med(DBO) = 20º, haja vista ao teorema angular de Tales (A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º). Entretanto, temos o triângulo isósceles BOC (OB = OC = raio), assim a med(OCD) = 20º. Visto que toda reta tangente é perpendicular ao seu ponto de tangência (cuidado: ela é perpendicular ao seu ponto de tangência C, e não ao segmento BC!), e seja E o ponto de intersecção da reta tangente a C com a reta OA, a med(DCE) = 90º - med(OCD) = 70º. Sabemos também que a med(CDE) = med(ODB) = 70º, pois são ângulos opostos pelo vértice D. Por fim, novamente pelo teorema angular de Tales, aplicado ao triângulo CED, med(DCE) + med(CDE) + med(CED) = 180º, o que implica med(CED) = 40º. Alternativa D, segundo o teste original da Fuvest. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Vitor Paizam [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, February 24, 2004 4:13 PM Subject: [obm-l] 2 exercícios simples. Olá pessoal. Me ajudem com esses 2 exercícios por favor. 145. NO triângulo retângulo de catetos 6 e 8 cm e hipotenusa = 10cm, calcule o raio r da circunferência inscrita. 147.(FUVEST) Os pontos A,B e C pertencem a uma circunferência de centro O. Sabe-se que OA é perpendicular a OB e forma com BC um ângulo de 70 graus. Então, a tangente à circunferência no ponto C forma com a reta OA um ângulo de: Obrigado. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] #Walter# Exercícios Simples de Vestibulares
Muito obrigado fábio! -- Walter Gongora Jr [EMAIL PROTECTED] ** [EMAIL PROTECTED] #8368573 -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Fabio Bernardo Enviada em: segunda-feira, 4 de agosto de 2003 23:57 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] #Walter# Exercícios Simples de Vestibulares No segundo exemplo vc esqueceu que existem 7 números que são comuns aos 2 conjuntos. Assim, subtraindo esses 7, ficam 11/20, que é a resposta. - Original Message - From: Walter Gongora Junior [EMAIL PROTECTED] To: Lista - Matemática (Probabilidade) [EMAIL PROTECTED]; Lista - Matemática (OBM Puc Rio) [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, August 04, 2003 10:12 PM Subject: [obm-l] #Walter# Exercícios Simples de Vestibulares 01. O dispositivo que aciona a abertura do cofre de uma joalheria, apresenta um teclado com nove teclas, sendo cinco algarismos (0,1,2,3,4) e quatro letras (x,y,z,w). O segredo do cofre é uma seqüencia de três algarismos seguidos de duas letras. Qual a probabilidade de uma pessoa numa única tentativa, ao acaso, abrir o cofre? Eu estou resolvendo assim: __ __ __*__ __ Algarismos Letras Probabilidades individuais: 1/5 * 1/5 * 1/5 * 1/4 * 1/4 = 1/2000 Porém o problema indica como solução 1/1500 . Onde estou interpretando / errando o problema? === 02. Um número inteiro é escolhido ao acaso entre aqueles pertencentes ao conjunto U = (2, 3, 4, ..., 19, 20, 21). A probabilidade do número escolhido ser um número primo ou um número ímpar é...? Este eu estou resolvendo desta maneira: O conjunto U dado no problema, tem 20 números (de 2 a 21). Eventos favoráveis para números PRIMOS: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 = 8 eventos; Eventos favoráveis para números ÍMPARES: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21 = 20/2 = 10 eventos. Logo, eu assinalaria a alternativa que exprime 18/20 como solução, entretanto, a solução CORRETA, indica 11/20. Novamente, onde estou interpretando / errando o meu problema? Tem algo a ver com os números repetidos, ou qualquer coisa do tipo? Por enquanto é isso. Obrigado desde já! -- Walter Gongora Jr [EMAIL PROTECTED] ** [EMAIL PROTECTED] #8368573 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: VirusScan / Atualizado em 01/08/2003 / Versão: 1.3.13 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] #Walter# Exercícios Simples de Vestibulares
01. O dispositivo que aciona a abertura do cofre de uma joalheria, apresenta um teclado com nove teclas, sendo cinco algarismos (0,1,2,3,4) e quatro letras (x,y,z,w). O segredo do cofre é uma seqüencia de três algarismos seguidos de duas letras. Qual a probabilidade de uma pessoa numa única tentativa, ao acaso, abrir o cofre? Eu estou resolvendo assim: __ __ __*__ __ Algarismos Letras Probabilidades individuais: 1/5 * 1/5 * 1/5 * 1/4 * 1/4 = 1/2000 Porém o problema indica como solução 1/1500 . Onde estou interpretando / errando o problema? === 02. Um número inteiro é escolhido ao acaso entre aqueles pertencentes ao conjunto U = (2, 3, 4, ..., 19, 20, 21). A probabilidade do número escolhido ser um número primo ou um número ímpar é...? Este eu estou resolvendo desta maneira: O conjunto U dado no problema, tem 20 números (de 2 a 21). Eventos favoráveis para números PRIMOS: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 = 8 eventos; Eventos favoráveis para números ÍMPARES: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21 = 20/2 = 10 eventos. Logo, eu assinalaria a alternativa que exprime 18/20 como solução, entretanto, a solução CORRETA, indica 11/20. Novamente, onde estou interpretando / errando o meu problema? Tem algo a ver com os números repetidos, ou qualquer coisa do tipo? Por enquanto é isso. Obrigado desde já! -- Walter Gongora Jr [EMAIL PROTECTED] ** [EMAIL PROTECTED] #8368573 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] exercícios
Olá Morgado, Já que vc está on-line vc pode resolver alguns exercícios comigo?
[obm-l] Re:[obm-l] Exercícios e q...PROPOSTA
Olá Rafael. Eu quero te propor, faz tempo já, pra vc pegar bons livros, como a coleção de FUNDAMENTOS DA MATEMMTICA ELEMENTAR DO IEZZI e os livros da COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMATICA da SBM. Estude por eles e tente fazer seus execícios, assim com certeza vc saberá resolver sozinho a maioria das questões que vc manda a lista. É claro que o pessoal aqui da lista responde a suas dúvidas (e a de qualquer outro membro) com o maior prazer. Mas se vc se aprofundar mais na teoria e tentar resolver sozinho os exercícios, desenvolverá muito mais sua habilidade e raciocínio. Bem, é isso que proponho a vc. OBS: Já vi vc responder a questões mais dífíceis do que as que vc manda. Engraçado. __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re:[obm-l] Exercícios e questões no computador
faelc, segue abaixo um link muito legal do professor paulo Marques , com teoria e muitos exercicios resolvidos , dá uma espiada e veja se te será útil. http://www.algosobre.com.br/professor/paulomarques.shtml ou http://www.terra.com.br/matematica/ tendo mais material envio pra você. um abraço, Amurpe. Olá pessoal, Gostaria de fazer um pedido, gentilmente, à aqueles que possuam exercícios e/ou questões resolvidos no computador, ou até mesmo no disquete pudessem disponibilizá-las para mim através de e- mails, pois iria ser de grande utilidade para mim...ah!?...de nível de ensino médio. __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Exercícios e questões no computador
Olá pessoal, Gostaria de fazer um pedido, gentilmente, à aqueles que possuam exercícios e/ou questões resolvidos no computador, ou até mesmo no disquete pudessem disponibilizá-las para mim através de e-mails, pois iria ser de grande utilidade para mim...ah!?...de nível de ensino médio.
Bons Exercícios
Olá amigos: 1) Seja ABCD um quadrilátero qualquer onde os lados opostos NÃO são paralelos . Se as medidas dos lados opostos AB e DC são, respectivamente ,igual a 12 e 16 , um valor possível para o segmento de extremo M ( ponto médio do lado AD ) e N ( ponto médio do lado BC ) é: 2)Suponha que 1 (um ) naval (símbolo n )seja a medida de um ângulo convexo , menor que um ângulo reto , inscrito em um círculo de raio r , cujos lados determinam , nesse círculo , um arco de comprimento r . Assim sendo , a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a : **Se puderem me ajudar , fico agradecido** -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
Exercícios
olá pessoal , vocês devem estar perguntando o que eram esses pontinhos ae num é? Foi mal galéra , é que eu não conseguia mandar uma mensagem para a lista ,dae eu testei aqui algumas mudanças e deu certo..por isso os pontos , era apenas um teste. -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
Continuação de(Olá amigos da lista , trago alguns exercícios bons.)
o outro é um problema de um triângulo inscrito em uma circunferência , mais que esta muito confuso , vou coloca-lo exatamente como esta aqui no livro , porque não tive praticamente nenhuma idéia , só consegui desenhar +/- e enxergar algumas coisinhas grato.. : ) 1) Seja ABCD um quadrilátero qualquer onde os lados opostos NÃO são paralelos . Se as medidas dos lados opostos AB e DC são, respectivamente ,igual a 12 e 16 , um valor possível para o segmento de extremo M ( ponto médio do lado AD ) e N ( ponto médio do lado BC ) é: 2)Suponha que 1 (um ) naval (símbolo n )seja a medida de um ângulo convexo , menor que um ângulo reto , inscrito em um círculo de raio r , cujos lados determinam , nesse círculo , um arco de comprimento r . Assim sendo , a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a : -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
Exercícios bons 1
Olá amigos da lista ,queria primeiramente agradecer aqueles que me ajudaram a esclarecer algumas duvidas , em segundo queria responder a algumas perguntas que me foram feitas a respeito das questões que enviei .Uma delas era se realmente na primeira questão se tratava de um quadrado ?Sim , é um quadrado , eu também tive dificuldades em traça-lo . A outra que não foi uma pergunta e sim uma sugestão que também me valeu muito foi a que o Ralph me passou a respeito da solução do Ponce, inverter os vértices também é uma solução bem pensada.Queria aproveitar a ocasião para pedir que se alguém possuir problemas desse tipo ou sugestões de livros (quadriláteros inscritos Obs: Com um bom grau de dificuldade ) que coloquem na lista se possível ou em meu e-mail. -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
Re: Continuação de(Olá amigos da lista , trago alguns exercícios bons.)
On Thu, 17 Jan 2002 [EMAIL PROTECTED] wrote: 2)Suponha que 1 (um ) naval (símbolo n )seja a medida de um ângulo convexo , menor que um ângulo reto , inscrito em um círculo de raio r , cujos lados determinam , nesse círculo , um arco de comprimento r . Assim sendo , a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a : Essa é mais fácil que parece. O valor do angulo com vértice na circunferência é metade do comprimento que ele delimita dividido pelo raio. Como o raio delimita uma curva de comprimento r e o raio é r, o angulo vale 1/2 radiano. Ou seja, 2 navais = 1 radiano Como a soma dos angulos internos do triângulo é pi radianos, isso é o mesmo que 2.pi navais! Bom, espero que eu tenha entendido o problema direito Até mais Vinicius José Fortuna
Re: Exercícios
Desculpem, mas eh claro que existe o circulo. Dados 3 pontos nao colineares, sempre existe um circulo que os contem. O centro deste está no ponto médio do segmento que liga os médios de AB e AD. Abracos, olavo From: Ricardo Miranda [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Exercícios Date: Tue, 15 Jan 2002 01:25:18 -0200 -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 15 de Janeiro de 2002 00:14 Assunto: Exercícios 1)Considere o círculo que passa pelo vértice A de um quadrado ABCD e pelos pontos médios dos lados AB e AD. Sendo L a medida do lado do quadrado, o segmento determinado pela tangente a esse círculo traçada por C tem comprimento: Tem certeza q é um quadrado? De modo algum to conseguindo fazer o tal círculo passar por A e pelos pontos médios de AB e AD. Se ele passa por A, nao passa por médios de AB e AD.. Se vc considerar o A o centro do círculo sim, ele passa pelos pontos médios (desde que AB = r/2). []s Ricardo Miranda _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp.
Re: Exercícios
Ola Pessoal, Me parece que e claro que um PEQUENO QUADRADO de lado L/2 pode ser inscrito no circulo. Isto implica que o raio do circulo e R*RAIZ_2(2)=L/2 = R=(L*RAIZ_2(2))/4 Usando agora aquele teorema O QUADRADO DA TANGENTE E IGUAL AO PRODUTO DA SECANTE PELA SUA PARTE EXTERNA, FICA x`2=L*RAIZ_2(2)*(L*RAIZ_2(2) - L*RAIZ_2(2)/2) logo X = L Ou seja O COMPRIMENTO E IGUAL AO LADO DO QUADRADO. UM ABRACO Paulo Santa Rita 4,1427,160102 De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 15 de Janeiro de 2002 00:14 Assunto: Exercícios 1)Considere o círculo que passa pelo vértice A de um quadrado ABCD e pelos pontos médios dos lados AB e AD. Sendo L a medida do lado do quadrado, o segmento determinado pela tangente a esse círculo traçada por C tem comprimento: _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br
Re: Exercícios
Caro Luiz, segue acima um esboo da figura, para o primeiro problema. At breve! Davidson Estanislau -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Tera-feira, 15 de Janeiro de 2002 09:05Assunto: ExercciosOl amigos da listaQueria pedir se possvel que me mandarem problemas de equaes do segundograu a nvel de Colgio Naval , queria tambm deixar aqui um probleminhaque eu comecei a resolver mais agarrei na hora de desenhar , no estou conseguindomontar a figura:1)Considere o crculo que passa pelo vrtice A de um quadrado ABCD e pelospontos mdios dos lados AB e AD. Sendo L a medida do lado do quadrado, osegmento determinado pela tangente a esse crculo traada por C tem comprimento:Um outro problema , que tambm estou com duvidas :2)Um quadriltero ABCD est inscrito em um circulo de raio 5 , tal que :AB=4 BC=6 CD=X AD=8 Qual o valor de X ?
Errata: Exercícios
Considerar a figura acima. Davidson Estanislau -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Tera-feira, 15 de Janeiro de 2002 09:05Assunto: ExercciosOl amigos da listaQueria pedir se possvel que me mandarem problemas de equaes do segundograu a nvel de Colgio Naval , queria tambm deixar aqui um probleminhaque eu comecei a resolver mais agarrei na hora de desenhar , no estou conseguindomontar a figura:1)Considere o crculo que passa pelo vrtice A de um quadrado ABCD e pelospontos mdios dos lados AB e AD. Sendo L a medida do lado do quadrado, osegmento determinado pela tangente a esse crculo traada por C tem comprimento:Um outro problema , que tambm estou com duvidas :2)Um quadriltero ABCD est inscrito em um circulo de raio 5 , tal que :AB=4 BC=6 CD=X AD=8 Qual o valor de X ?--Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaruol.com.br
Re: Errata: Exercícios
Uma possvel soluol, Sejam B e D pontos mdios de AB e AD respectivamente e M ponto mdio de BD. Nestas condies decorre do enunciado que: - O tringulo ABD retngulo em A e AB= AD = L/2. Consequentemente, por Pitagoras r esulta BD= (L/2).sqrt(2). (sqrt(2)= raiz quadrada de 2) - O ponto M mdio de BD um ponto da diagonal AC, correspondente ao centro da circunferncia circunscrita (K) ao tringulo ABD. Consequentemente, sendo R o raio desta circunferncia, segue-se; R = AM = MB=MD= (B`D`) / 2 = (L/4).sqrt(2) ( I ) e. MC = AC - AM = L . sqrt(2)- (L/4).sqrt(2)= (3L/4).sqrt(2). ( II ) Por outro lado, sendo E ponto da circunferncia (K) tal que CE seja um segmento tangente a esta, ento o tringulo MEC retngulo em E e ME = R.Logo, do teorema de Pitagoras, CE^2 + ME^2=MC^2 ( III ) Portanto, de (I), (II) e (III), obtem-se CE = L. Resposta: O comprimento do segmento tangente traado a partir de C L. PONCE Davidson Estanislau wrote: Considerar a figura acima. Davidson Estanislau-Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]> Data: Tera-feira, 15 de Janeiro de 2002 09:05 Assunto: Exerccios Ol amigos da lista Queria pedir se possvel que me mandarem problemas de equaes do segundo grau a nvel de Colgio Naval , queria tambm deixar aqui um probleminha que eu comecei a resolver mais agarrei na hora de desenhar , no estou conseguindo montar a figura: 1)Considere o crculo que passa pelo vrtice A de um quadrado ABCD e pelos pontos mdios dos lados AB e AD. Sendo L a medida do lado do quadrado, o segmento determinado pela tangente a esse crculo traada por C tem comprimento: Um outro problema , que tambm estou com duvidas : 2)Um quadriltero ABCD est inscrito em um circulo de raio 5 , tal que : AB=4 BC=6 CD=X AD=8 Qual o valor de X ? -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
Re: Exercícios(figura para o exercicio 2)(correção)
Figura para o exercco 2 [EMAIL PROTECTED] wrote: Ol amigos da lista Queria pedir se possvel que me mandarem problemas de equaes do segundo grau a nvel de Colgio Naval , queria tambm deixar aqui um probleminha que eu comecei a resolver mais agarrei na hora de desenhar , no estou conseguindo montar a figura: 1)Considere o crculo que passa pelo vrtice A de um quadrado ABCD e pelos pontos mdios dos lados AB e AD. Sendo L a medida do lado do quadrado, o segmento determinado pela tangente a esse crculo traada por C tem comprimento: Um outro problema , que tambm estou com duvidas : 2)Um quadriltero ABCD est inscrito em um circulo de raio 5 , tal que : AB=4 BC=6 CD=X AD=8 Qual o valor de X ? -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
Exercícios
Olá amigos da lista Queria pedir se possível que me mandarem problemas de equações do segundo grau a nível de Colégio Naval , queria também deixar aqui um probleminha que eu comecei a resolver mais agarrei na hora de desenhar , não estou conseguindo montar a figura: 1)Considere o círculo que passa pelo vértice A de um quadrado ABCD e pelos pontos médios dos lados AB e AD. Sendo L a medida do lado do quadrado, o segmento determinado pela tangente a esse círculo traçada por C tem comprimento: Um outro problema , que também estou com duvidas é: 2)Um quadrilátero ABCD está inscrito em um circulo de raio 5 , tal que : AB=4 BC=6 CD=X AD=8 Qual o valor de X ? -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
Exercícios
Gostaria de ver solues para: 1) Em cada casa de um tabuleiro 8 x 8 escrevemos um dos nmeros 1 ou -1, de modo que a soma dos 64 nmeros escritos seja 0. Mostre que podemos partir o tabuleiro em dois pedaos de modo que a soma dos nmeros de cada pedao seja tambm O. 2) Um clube de 11 pessoas tem um comit. Em cada encontro um novo comit formado e difere do anterior por 1 pessoa (um novo membro includo ou um membro retirado). O comit deve ter sempre no mnimo trs membros e, de acordo com as regras do clube, um comit nunca pode ter os mesmos membros que um comit anterior. possvel que aps algum tempo todas as possveis composies do comit j tenham ocorrido? 3) Seja ABC um tringulo retngulo em A e P um ponto no interior de ABC, tal que PA = PB. Se E o p da altura relativa a BC e M o ponto mdio de BC, prove que PM bissetriz de HPC se e s se ABC = 60'.
Exercícios de Lógica
Aqui vo alguns problemas de Lgica para quem quiser resolver. Enviem as solues encontradas... Abrao, Elon. Os problemas seguintes requerem raciocnio para sua resoluo. A fim de provar que uma resposta correta, uma vez encontrada, necessita-se de um raciocnio cujas premissas estejam contidas no enunciado do problema, e cuja concluso seja a resposta ao mesmo. Voc solicitado, ao trabalhar com estes problemas, a preocupar-se no s em encontrar as respostas corretas, mas em formular tambm os raciocnios que provem a correo das respostas. 1. Num certo trem, os empregados se dividiam em trs pessoas: o guarda-freio, o foguista e o maquinista. Seus nomes, por ordem alfabtica, eram Jones, Robinson e Smith. No trem havia, tambm, trs passageiros com os mesmos nomes: Sr. Jones, Sr. Robinson e Sr. Smith. So conhecidos os seguintes fatos: O Sr. Robinson vive em Detroit. O guarda-freio vive a meio caminho entre Detroit e Chicago. O Sr. Jones ganha, exatamente, $ 20.000 dlares por ano. Smith, em certa ocasio, derrotou o foguista, jogando sinuca. Um vizinho do guarda-freio, que vive numa casa ao lado da casa deste e um dos trs passageiros mencionados, ganha exatamente o triplo do que ganha o guarda- freio. O passageiro que vive em Chicago tem o mesmo nome do guarda-freio. Pergunta-se: Qual o nome do maquinista? 2. As Sras. Adams, Baker, Catt, Dodge, Ennis e a desleixada Sra. Fisk foram todas ao emprio fazer compras, uma manh. Cada uma foi diretamente ao andar em que havia, o artigo que queria comprar e cada uma delas comprou um nico artigo. Compraram um livro, um vestido, uma bolsa, uma gravata, um chapu e um candeeiro. Todas as mulheres, exceto a Sra. Adams, entraram no elevador no andar trreo. Tambm entraram no elevador dois homens. Duas mulheres, a Sra. Catt e a que comprou a gravata, saram no segundo andar. No terceiro andar era a seo de vestidos. Os dois homens saram no quarto andar. A mulher que comprou o candeeiro saiu no quinto andar e deixou a desleixada senhora Fisk saltar sozinha no sexto andar. No dia seguinte, a Sra. Baker, que recebeu a bolsa como presente, de surpresa, de uma das mulheres que sara no segundo andar, encontrou seu marido agradecendo a gravata que uma das outras mulheres lhe tinha dado. Se os livros eram vendidos no andar trreo, e a Sra. Ennis foi a sexta pessoa a sair do elevador, que foi que cada uma dessas mulheres comprou?
Re: Exercícios de Lógica
1. Num certo trem, os empregados se dividiam em três pessoas: o guarda-freio, o foguista e o maquinista. Seus nomes, por ordem alfabética, eram Jones, Robinson e Smith. No trem havia, também, três passageiros com os mesmos nomes: Sr. Jones, Sr. Robinson e Sr. Smith. São conhecidos os seguintes fatos: O Sr. Robinson vive em Detroit. O guarda-freio vive a meio caminho entre Detroit e Chicago. O Sr. Jones ganha, exatamente, $ 20.000 dólares por ano. Smith, em certa ocasião, derrotou o foguista, jogando sinuca. Um vizinho do guarda-freio, que vive numa casa ao lado da casa deste e é um dos três passageiros mencionados, ganha exatamente o triplo do que ganha o guarda- freio. O passageiro que vive em Chicago tem o mesmo nome do guarda-freio. Pergunta-se: Qual é o nome do maquinista? Por c e e, saabemos que Sr.Jones não é vizinho do guarda-freio (o guarda-freio não pode ganhar exatamente um terço de $2); Se o Sr. Jones não é vizinho do guarda-freio e também não mora em Detroit (por a), ele mora em Chicago. Sendo assim, o nome do guarda-freio é Jones (por f). Se Smith não é o guarda-freio (é Jones) e nem o foguista (por d), Smith é o maquinista.
Re: Exercícios de Lógica
Problema 2 A Sra. Adams comprou um livro, pois permaneceu no térreo. A Sra. Ennis desceu no 5º andar, pois foi a sexta a sair do elevador, logo, ela comprou o candeeiro. Como a pessoa que comprou a bolsa saiu no 2º andar, conclui-se que esta pessoa é a Sra. Catt. A Sra. Fisk comprou o chapéu, pois as gravatas eram vendidas no 2º andar e os vestidos no 3º. A Sra. Baker não comprou a gravata, portanto ela comprou o vestido. Logo, quem comprou a gravata foi a Sra. Dodge. - Original Message - From: Elon Santos Corrêa To: Lista Sent: Saturday, February 12, 2000 9:28 PM Subject: Exercícios de Lógica Aqui vão alguns problemas de Lógica para quem quiser resolver. Enviem as soluções encontradas... Abraço, Elon. Os problemas seguintes requerem raciocínio para sua resolução. A fim de provar que uma resposta é correta, uma vez encontrada, necessita-se de um raciocínio cujas premissas estejam contidas no enunciado do problema, e cuja conclusão seja a resposta ao mesmo. Você é solicitado, ao trabalhar com estes problemas, a preocupar-se não só em encontrar as respostas corretas, mas em formular também os raciocínios que provem a correção das respostas. 1. Num certo trem, os empregados se dividiam em três pessoas: o guarda-freio, o foguista e o maquinista. Seus nomes, por ordem alfabética, eram Jones, Robinson e Smith. No trem havia, também, três passageiros com os mesmos nomes: Sr. Jones, Sr. Robinson e Sr. Smith. São conhecidos os seguintes fatos: O Sr. Robinson vive em Detroit. O guarda-freio vive a meio caminho entre Detroit e Chicago. O Sr. Jones ganha, exatamente, $ 20.000 dólares por ano. Smith, em certa ocasião, derrotou o foguista, jogando sinuca. Um vizinho do guarda-freio, que vive numa casa ao lado da casa deste e é um dos três passageiros mencionados, ganha exatamente o triplo do que ganha o guarda- freio. O passageiro que vive em Chicago tem o mesmo nome do guarda-freio. Pergunta-se: Qual é o nome do maquinista? 2. As Sras. Adams, Baker, Catt, Dodge, Ennis e a desleixada Sra. Fisk foram todas ao empório fazer compras, uma manhã. Cada uma foi diretamente ao andar em que havia, o artigo que queria comprar e cada uma delas comprou um único artigo. Compraram um livro, um vestido, uma bolsa, uma gravata, um chapéu e um candeeiro. Todas as mulheres, exceto a Sra. Adams, entraram no elevador no andar térreo. Também entraram no elevador dois homens. Duas mulheres, a Sra. Catt e a que comprou a gravata, saíram no segundo andar. No terceiro andar era a seção de vestidos. Os dois homens saíram no quarto andar. A mulher que comprou o candeeiro saiu no quinto andar e deixou a desleixada senhora Fisk saltar sozinha no sexto andar. No dia seguinte, a Sra. Baker, que recebeu a bolsa como presente, de surpresa, de uma das mulheres que saíra no segundo andar, encontrou seu marido agradecendo a gravata que uma das outras mulheres lhe tinha dado. Se os livros eram vendidos no andar térreo, e a Sra. Ennis foi a sexta pessoa a sair do elevador, que foi que cada uma dessas mulheres comprou?
