RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase
Muito obrigado ,joao.Entendi a ideia e isso é o principal,mas tenho duvidas em alguns detalhes.Por q ´´0 e 5 podem ser claramente eliminados´´?E na soma 1+4=5,se os quadrados teminam em 1 e 4,os numeros terminam em 1 ou 9 e 2 ou 8,não?Usando o mesmo raciocinio( a expressão é multipla de 4 e se é multipla de 5 tbm é de 25)eu faria mais ´´tentativas´´ do q as 5 apresentadas.No caso,1+4=5(1x2 diferente de 0 ou 5,1x8 diferente de 0 ou 5,9x2 termina em 8 tbm diferente de 0 ou 5 e 9x8 termina em 2,idem)Não entendi bem?Tais´´tentativas´´são desnecessárias? Abraço. From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase Date: Sun, 12 Apr 2009 16:50:58 -0300 Bem Marcone estava rabiscando um pouco, perdi uns minutinhos e consegui demostrar, a explicacao é muito facil, abaixo. Temos que para x2 + y2 + xy ser divisivel por 10, a expressao é par, consequentemente x e y sao pares (se os 2 forem impares o resultado é impar, se um for impar o resultado tbm é impar). Consequentemente fazendo x=2a e y=2b - x2 = 4a2, y2 = 4b2, xy = 4ab, para a,b inteiros. Consequentemente a expressao é multipla de 4. Para explicar que se ela é multipla de 5 tbm é de 25 é um pouco mais complicado, vamos ver... O ultimo digito de um quadrado pode ser: 0,1,4,5,6,9. Para o quadrado ser 0, o numero acaba com 0 1 - 1,9 4 - 8 5 - 5 6 - 4,6 9 - 7 O 0 e o 5 podem ser claramnete eliminados. Sobraram 1,4,6,9 Ultimo digito das somas possiveis entre os quadrados perfeitos e o produto entre eles (para ser multiplo de 5: 1+4 - 5 eliminado (1x4 diferente de 0 ou 5) 1+6 - 7 eliminado (1x6 diferente de 3 ou 8) 1+9 = 10 (0)eliminado (1x9 diferente de 0 ou 5) 2+6 = 10 (0) eliminado (2x6 (2) diferente de 0 ou 5) 6,9 = 15 (5) eliminado (6x9 (4) diferente de 0 ou 5) Ou seja, para quaisquer numeros nao multiplos de 5 nao ha solucao inteira positiva para a equacao x2 + y2 + xy = 10z Assim, x e y sao multiplos de 5. Consequentemente fazendo x=5c e y=5d - x2 = 25c2, y2 = 25d2, xy = 25cd, para c,d inteiros. Consequentemente a expressao é multipla de 25. Vimos que x2 + y2 + xy é multiplo de 4 e 25, ou seja, tambem é multiplo de 4x25 = 100. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase Date: Sun, 12 Apr 2009 13:10:46 + Oi,nehab,o problema correto é se xx+yy+xy é divisível por 10 então é divisível por 100.Desculpe e obrigado. Date: Sat, 11 Apr 2009 20:29:19 -0300 From: ne...@infolink.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Problema OBM 3a fase Oi, Marcone, Acho que este problema tem um quê de pegadinha, pois a menos que eu esteja MUITO distraído, a expressão Z = x^2 + xy + y^2 só será divisível por 5 se x e y também o forem e, neste caso, o problema fica muito simples... A menos que seja exatamente ESTA a sacação que quem propôs o problema deseja que se prove. Então, taí uma possível dica... Abraços, Nehab marcone augusto araújo borges escreveu: alguem poderia resolver esse:Se x^2 +x*y + y^2 divide 10,então tbm divide 100 From: fato...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase Date: Sat, 11 Apr 2009 15:32:31 +0300 Prove que existem infinitos inteiros positivos n tal que: 5^(n-2) -1 --- É um inteiro. n [1] Seja m um primo diferente de 5; [2] 5^(m-1) == 1 mod m (pelo Pequeno Teorema de Fermat) [3] 5^(2m-2) == 1 mod m (quadrando [2]) [4] 5^(2m-2) == 1 mod 2 (pois 5 eh impar) [5] m divide (5^(2m-2) - 1) (de [3]) [6] 2 divide (5^(2m-2) - 1) (de [4]) [7] 2m divide (5^(2m-2) - 1) (de [5] e [6] e porque mdc(m,2) = 1) [8] (5^(2m-2) - 1)/(2m) eh inteiro [9] para todo inteiro n=2m que eh o dobro de algum primo diferente de 5, tem-se que (5^(n-2) - 1)/n eh um inteiro (de [8] e [1]) [ ]'s - [ eric campos bastos guedes - matemático e educador ] [ ERIC PRESIDENTE 2010 - Pela Democracia Direta! -- ] [ O maior especialista do mundo em fórmulas para primos ] [ sites: http://fomedejustica.blogspot.com/ --- ] [ http://www.orkut.com.br/Main#Community.aspx?cmm=20551500 ] [ http://portaldovoluntario.org.br/people/58657-eric-campos-bastos-guedes ] [ http://www.publit.com.br/index.php?author_id=255 ] - _ Descubra seu lado desconhecido com o novo Windows Live! http://www.windowslive.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Imagem de exibição animada? Só com o novo Messenger. Baixe agora!= Instruções para entrar na lista
RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase
Oi,nehab,o problema correto é se xx+yy+xy é divisível por 10 então é divisível por 100.Desculpe e obrigado. Date: Sat, 11 Apr 2009 20:29:19 -0300 From: ne...@infolink.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Problema OBM 3a fase Oi, Marcone, Acho que este problema tem um quê de pegadinha, pois a menos que eu esteja MUITO distraído, a expressão Z = x^2 + xy + y^2 só será divisível por 5 se x e y também o forem e, neste caso, o problema fica muito simples... A menos que seja exatamente ESTA a sacação que quem propôs o problema deseja que se prove. Então, taí uma possível dica... Abraços, Nehab marcone augusto araújo borges escreveu: alguem poderia resolver esse:Se x^2 +x*y + y^2 divide 10,então tbm divide 100 From: fato...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase Date: Sat, 11 Apr 2009 15:32:31 +0300 Prove que existem infinitos inteiros positivos n tal que: 5^(n-2) -1 --- É um inteiro. n [1] Seja m um primo diferente de 5; [2] 5^(m-1) == 1 mod m (pelo Pequeno Teorema de Fermat) [3] 5^(2m-2) == 1 mod m (quadrando [2]) [4] 5^(2m-2) == 1 mod 2 (pois 5 eh impar) [5] m divide (5^(2m-2) - 1) (de [3]) [6] 2 divide (5^(2m-2) - 1) (de [4]) [7] 2m divide (5^(2m-2) - 1) (de [5] e [6] e porque mdc(m,2) = 1) [8] (5^(2m-2) - 1)/(2m) eh inteiro [9] para todo inteiro n=2m que eh o dobro de algum primo diferente de 5, tem-se que (5^(n-2) - 1)/n eh um inteiro (de [8] e [1]) [ ]'s - [ eric campos bastos guedes - matemático e educador ] [ ERIC PRESIDENTE 2010 - Pela Democracia Direta! -- ] [ O maior especialista do mundo em fórmulas para primos ] [ sites: http://fomedejustica.blogspot.com/ --- ] [ http://www.orkut.com.br/Main#Community.aspx?cmm=20551500 ] [ http://portaldovoluntario.org.br/people/58657-eric-campos-bastos-guedes ] [ http://www.publit.com.br/index.php?author_id=255 ] - _ Descubra seu lado desconhecido com o novo Windows Live! http://www.windowslive.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Imagem de exibição animada? Só com o novo Messenger. Baixe agora!= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = _ Emoticons e Winks super diferentes para o Messenger. Baixe agora, é grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase
Muito Obrigado Eric, até então eu desconhecia o teorema de Fermat. Vi que a demostracao do problema é bem facil. Grato. --- Em sáb, 11/4/09, Eric Campos Bastos Guedes fato...@hotmail.com escreveu: De: Eric Campos Bastos Guedes fato...@hotmail.com Assunto: RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 11 de Abril de 2009, 12:32 Prove que existem infinitos inteiros positivos n tal que: 5^(n-2) -1 --- É um inteiro. n [1] Seja m um primo diferente de 5; [2] 5^(m-1) == 1 mod m (pelo Pequeno Teorema de Fermat) [3] 5^(2m-2) == 1 mod m (quadrando [2]) [4] 5^(2m-2) == 1 mod 2 (pois 5 eh impar) [5] m divide (5^(2m-2) - 1) (de [3]) [6] 2 divide (5^(2m-2) - 1) (de [4]) [7] 2m divide (5^(2m-2) - 1) (de [5] e [6] e porque mdc(m,2) = 1) [8] (5^(2m-2) - 1)/(2m) eh inteiro [9] para todo inteiro n=2m que eh o dobro de algum primo diferente de 5, tem-se que (5^(n-2) - 1)/n eh um inteiro (de [8] e [1]) [ ]'s - [ eric campos bastos guedes - matemático e educador ] [ ERIC PRESIDENTE 2010 - Pela Democracia Direta! -- ] [ O maior especialista do mundo em fórmulas para primos ] [ sites: http://fomedejustica.blogspot.com/ --- ] [ http://www.orkut.com.br/Main#Community.aspx?cmm=20551500 ] [ http://portaldovoluntario.org.br/people/58657-eric-campos-bastos-guedes ] [ http://www.publit.com.br/index.php?author_id=255 ] - _ Descubra seu lado desconhecido com o novo Windows Live! http://www.windowslive.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase
Muito Obrigado Eric, até então eu desconhecia o teorema de Fermat. Vi que a demostracao do problema é bem facil. Grato. --- Em sáb, 11/4/09, Eric Campos Bastos Guedes fato...@hotmail.com escreveu: De: Eric Campos Bastos Guedes fato...@hotmail.com Assunto: RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 11 de Abril de 2009, 12:32 Prove que existem infinitos inteiros positivos n tal que: 5^(n-2) -1 --- É um inteiro. n [1] Seja m um primo diferente de 5; [2] 5^(m-1) == 1 mod m (pelo Pequeno Teorema de Fermat) [3] 5^(2m-2) == 1 mod m (quadrando [2]) [4] 5^(2m-2) == 1 mod 2 (pois 5 eh impar) [5] m divide (5^(2m-2) - 1) (de [3]) [6] 2 divide (5^(2m-2) - 1) (de [4]) [7] 2m divide (5^(2m-2) - 1) (de [5] e [6] e porque mdc(m,2) = 1) [8] (5^(2m-2) - 1)/(2m) eh inteiro [9] para todo inteiro n=2m que eh o dobro de algum primo diferente de 5, tem-se que (5^(n-2) - 1)/n eh um inteiro (de [8] e [1]) [ ]'s - [ eric campos bastos guedes - matemático e educador ] [ ERIC PRESIDENTE 2010 - Pela Democracia Direta! -- ] [ O maior especialista do mundo em fórmulas para primos ] [ sites: http://fomedejustica.blogspot.com/ --- ] [ http://www.orkut.com.br/Main#Community.aspx?cmm=20551500 ] [ http://portaldovoluntario.org.br/people/58657-eric-campos-bastos-guedes ] [ http://www.publit.com.br/index.php?author_id=255 ] - _ Descubra seu lado desconhecido com o novo Windows Live! http://www.windowslive.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase
Bem Marcone estava rabiscando um pouco, perdi uns minutinhos e consegui demostrar, a explicacao é muito facil, abaixo. Temos que para x2 + y2 + xy ser divisivel por 10, a expressao é par, consequentemente x e y sao pares (se os 2 forem impares o resultado é impar, se um for impar o resultado tbm é impar). Consequentemente fazendo x=2a e y=2b - x2 = 4a2, y2 = 4b2, xy = 4ab, para a,b inteiros. Consequentemente a expressao é multipla de 4. Para explicar que se ela é multipla de 5 tbm é de 25 é um pouco mais complicado, vamos ver... O ultimo digito de um quadrado pode ser: 0,1,4,5,6,9. Para o quadrado ser 0, o numero acaba com 0 1 - 1,9 4 - 8 5 - 5 6 - 4,6 9 - 7 O 0 e o 5 podem ser claramnete eliminados. Sobraram 1,4,6,9 Ultimo digito das somas possiveis entre os quadrados perfeitos e o produto entre eles (para ser multiplo de 5: 1+4 - 5 eliminado (1x4 diferente de 0 ou 5) 1+6 - 7 eliminado (1x6 diferente de 3 ou 8) 1+9 = 10 (0)eliminado (1x9 diferente de 0 ou 5) 2+6 = 10 (0) eliminado (2x6 (2) diferente de 0 ou 5) 6,9 = 15 (5) eliminado (6x9 (4) diferente de 0 ou 5) Ou seja, para quaisquer numeros nao multiplos de 5 nao ha solucao inteira positiva para a equacao x2 + y2 + xy = 10z Assim, x e y sao multiplos de 5. Consequentemente fazendo x=5c e y=5d - x2 = 25c2, y2 = 25d2, xy = 25cd, para c,d inteiros. Consequentemente a expressao é multipla de 25. Vimos que x2 + y2 + xy é multiplo de 4 e 25, ou seja, tambem é multiplo de 4x25 = 100. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase Date: Sun, 12 Apr 2009 13:10:46 + Oi,nehab,o problema correto é se xx+yy+xy é divisível por 10 então é divisível por 100.Desculpe e obrigado. Date: Sat, 11 Apr 2009 20:29:19 -0300 From: ne...@infolink.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Problema OBM 3a fase Oi, Marcone, Acho que este problema tem um quê de pegadinha, pois a menos que eu esteja MUITO distraído, a expressão Z = x^2 + xy + y^2 só será divisível por 5 se x e y também o forem e, neste caso, o problema fica muito simples... A menos que seja exatamente ESTA a sacação que quem propôs o problema deseja que se prove. Então, taí uma possível dica... Abraços, Nehab marcone augusto araújo borges escreveu: alguem poderia resolver esse:Se x^2 +x*y + y^2 divide 10,então tbm divide 100 From: fato...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase Date: Sat, 11 Apr 2009 15:32:31 +0300 Prove que existem infinitos inteiros positivos n tal que: 5^(n-2) -1 --- É um inteiro. n [1] Seja m um primo diferente de 5; [2] 5^(m-1) == 1 mod m (pelo Pequeno Teorema de Fermat) [3] 5^(2m-2) == 1 mod m (quadrando [2]) [4] 5^(2m-2) == 1 mod 2 (pois 5 eh impar) [5] m divide (5^(2m-2) - 1) (de [3]) [6] 2 divide (5^(2m-2) - 1) (de [4]) [7] 2m divide (5^(2m-2) - 1) (de [5] e [6] e porque mdc(m,2) = 1) [8] (5^(2m-2) - 1)/(2m) eh inteiro [9] para todo inteiro n=2m que eh o dobro de algum primo diferente de 5, tem-se que (5^(n-2) - 1)/n eh um inteiro (de [8] e [1]) [ ]'s - [ eric campos bastos guedes - matemático e educador ] [ ERIC PRESIDENTE 2010 - Pela Democracia Direta! -- ] [ O maior especialista do mundo em fórmulas para primos ] [ sites: http://fomedejustica.blogspot.com/ --- ] [ http://www.orkut.com.br/Main#Community.aspx?cmm=20551500 ] [ http://portaldovoluntario.org.br/people/58657-eric-campos-bastos-guedes ] [ http://www.publit.com.br/index.php?author_id=255 ] - _ Descubra seu lado desconhecido com o novo Windows Live! http://www.windowslive.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Imagem de exibição animada? Só com o novo Messenger. Baixe agora!= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Quer deixar seu Messenger turbinado de emoticons? Clique aqui e baixe agora. É grátis! _ Faça já uma busa e ganhe um wink do Messenger. Está esperando o que? É grátis! http://www.ibud.com.br/
RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase
Prove que existem infinitos inteiros positivos n tal que: 5^(n-2) -1 --- É um inteiro. n [1] Seja m um primo diferente de 5; [2] 5^(m-1) == 1 mod m (pelo Pequeno Teorema de Fermat) [3] 5^(2m-2) == 1 mod m (quadrando [2]) [4] 5^(2m-2) == 1 mod 2 (pois 5 eh impar) [5] m divide (5^(2m-2) - 1) (de [3]) [6] 2 divide (5^(2m-2) - 1) (de [4]) [7] 2m divide (5^(2m-2) - 1) (de [5] e [6] e porque mdc(m,2) = 1) [8] (5^(2m-2) - 1)/(2m) eh inteiro [9] para todo inteiro n=2m que eh o dobro de algum primo diferente de 5, tem-se que (5^(n-2) - 1)/n eh um inteiro (de [8] e [1]) [ ]'s - [ eric campos bastos guedes - matemático e educador ] [ ERIC PRESIDENTE 2010 - Pela Democracia Direta! -- ] [ O maior especialista do mundo em fórmulas para primos ] [ sites: http://fomedejustica.blogspot.com/ --- ] [ http://www.orkut.com.br/Main#Community.aspx?cmm=20551500 ] [ http://portaldovoluntario.org.br/people/58657-eric-campos-bastos-guedes ] [ http://www.publit.com.br/index.php?author_id=255 ] - _ Descubra seu lado desconhecido com o novo Windows Live! http://www.windowslive.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase
alguem poderia resolver esse:Se x^2 +x*y + y^2 divide 10,então tbm divide 100 From: fato...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase Date: Sat, 11 Apr 2009 15:32:31 +0300 Prove que existem infinitos inteiros positivos n tal que: 5^(n-2) -1 --- É um inteiro. n [1] Seja m um primo diferente de 5; [2] 5^(m-1) == 1 mod m (pelo Pequeno Teorema de Fermat) [3] 5^(2m-2) == 1 mod m (quadrando [2]) [4] 5^(2m-2) == 1 mod 2 (pois 5 eh impar) [5] m divide (5^(2m-2) - 1) (de [3]) [6] 2 divide (5^(2m-2) - 1) (de [4]) [7] 2m divide (5^(2m-2) - 1) (de [5] e [6] e porque mdc(m,2) = 1) [8] (5^(2m-2) - 1)/(2m) eh inteiro [9] para todo inteiro n=2m que eh o dobro de algum primo diferente de 5, tem-se que (5^(n-2) - 1)/n eh um inteiro (de [8] e [1]) [ ]'s - [ eric campos bastos guedes - matemático e educador ] [ ERIC PRESIDENTE 2010 - Pela Democracia Direta! -- ] [ O maior especialista do mundo em fórmulas para primos ] [ sites: http://fomedejustica.blogspot.com/ --- ] [ http://www.orkut.com.br/Main#Community.aspx?cmm=20551500 ] [ http://portaldovoluntario.org.br/people/58657-eric-campos-bastos-guedes ] [ http://www.publit.com.br/index.php?author_id=255 ] - _ Descubra seu lado desconhecido com o novo Windows Live! http://www.windowslive.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = _ Messenger 2009: Instale já! http://download.live.com
Re: [obm-l] Problema OBM 3a fase
Oi, Marcone, Acho que este problema tem um qu de "pegadinha", pois a menos que eu esteja MUITO distrado, a expresso Z = x^2 + xy + y^2 s ser divisvel por 5 se x e y tambm o forem e, neste caso, o problema fica muito simples... A menos que seja exatamente ESTA a sacao que quem props o problema deseja que se prove. Ento, ta uma possvel dica... Abraos, Nehab marcone augusto arajo borges escreveu: alguem poderia resolver esse:Se x^2 +x*y + y^2 divide 10,ento tbm divide 100 From: fato...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase Date: Sat, 11 Apr 2009 15:32:31 +0300 Prove que existem infinitos inteiros positivos n tal que: 5^(n-2) -1 --- um inteiro. n [1] Seja m um primo diferente de 5; [2] 5^(m-1) == 1 mod m (pelo "Pequeno Teorema de Fermat") [3] 5^(2m-2) == 1 mod m (quadrando [2]) [4] 5^(2m-2) == 1 mod 2 (pois 5 eh impar) [5] m divide (5^(2m-2) - 1) (de [3]) [6] 2 divide (5^(2m-2) - 1) (de [4]) [7] 2m divide (5^(2m-2) - 1) (de [5] e [6] e porque mdc(m,2) = 1) [8] (5^(2m-2) - 1)/(2m) eh inteiro [9] para todo inteiro n=2m que eh o dobro de algum primo diferente de 5, tem-se que (5^(n-2) - 1)/n eh um inteiro (de [8] e [1]) [ ]'s - [ eric campos bastos guedes - matemtico e educador ] [ ERIC PRESIDENTE 2010 - Pela Democracia Direta! -- ] [ O maior especialista do mundo em frmulas para primos ] [ sites: http://fomedejustica.blogspot.com/ --- ] [ http://www.orkut.com.br/Main#Community.aspx?cmm=20551500 ] [ http://portaldovoluntario.org.br/people/58657-eric-campos-bastos-guedes ] [ http://www.publit.com.br/index.php?author_id=255 ] - _ Descubra seu lado desconhecido com o novo Windows Live! http://www.windowslive.com.br = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Imagem de exibio animada? S com o novo Messenger. Baixe agora! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase
alguem poderia resolver esse:Se x^2 +x*y + y^2 divide 10,então tbm divide 100 Se xx + xy + yy divide 10, entao dividirah 100 tambem, pois todo divisor de 10 divide 100 [ ]'s E. - [ eric campos bastos guedes - matemático e educador ] [ ERIC PRESIDENTE 2010 - Pela Democracia Direta! -- ] [ O maior especialista do mundo em fórmulas para primos ] [ sites: http://fomedejustica.blogspot.com/ --- ] [ http://www.orkut.com.br/Main#Community.aspx?cmm=20551500 ] [ http://portaldovoluntario.org.br/people/58657-eric-campos-bastos-guedes ] [ http://www.publit.com.br/index.php?author_id=255 ] - _ Faça já uma busa e ganhe um wink do Messenger. Está esperando o que? É grátis! http://www.ibud.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase
Desculpe Eric,mas o problema correto é :se x^2 + x*y +y^2 è divisível por 10 então é divisível por 100.Obrigado pela atenção.Um abraço. From: fato...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase Date: Sun, 12 Apr 2009 02:48:40 +0300 alguem poderia resolver esse:Se x^2 +x*y + y^2 divide 10,então tbm divide 100 Se xx + xy + yy divide 10, entao dividirah 100 tambem, pois todo divisor de 10 divide 100 [ ]'s E. - [ eric campos bastos guedes - matemático e educador ] [ ERIC PRESIDENTE 2010 - Pela Democracia Direta! -- ] [ O maior especialista do mundo em fórmulas para primos ] [ sites: http://fomedejustica.blogspot.com/ --- ] [ http://www.orkut.com.br/Main#Community.aspx?cmm=20551500 ] [ http://portaldovoluntario.org.br/people/58657-eric-campos-bastos-guedes ] [ http://www.publit.com.br/index.php?author_id=255 ] - _ Faça já uma busa e ganhe um wink do Messenger. Está esperando o que? É grátis! http://www.ibud.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = _ Novo Windows Live: Messenger 2009 e muito mais. Descubra! http://www.windowslive.com.br
RE: [obm-l] Problema de idades (socorro, estou apanhando muito nesse)
Alô marcelo costa,marcone quer saber se vc recebeu a solução do problema das idades(de maria e joão)...só pra lembrar, a idade de joão foi dada(36 anos) e a de maria,pedida.UM abraço. Date: Mon, 23 Mar 2009 08:02:23 -0300 Subject: [obm-l] Problema de idades (socorro, estou apanhando muito nesse) From: mat.mo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br João tem, hoje, 36 anos, idade que é igual a duas vezes a idade que Maria tinha quando João tinha a idade que Maria tem hoje. Qual a idade, hoje, de Maria? -- Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo Galileu Galilei _ Confira vídeos com notícias do NY Times, gols direto do Lance, videocassetadas e muito mais no MSN Video! http://video.msn.com/?mkt=pt-br
Re: [obm-l] Problema de idades (socorro, estou apanhando muito nesse)
Hoje: idade de João = 36, idade de Maria = x. Em algum momento no passado: idade de João = x, idade de Maria = 18. Como a diferença entre as idades de João e Maria é constante, então: 36 - x = x - 18, logo x = 27 (idade de Maria hoje). [ ]'s JOãO TEM, HOJE, 36 ANOS, IDADE QUE é IGUAL A DUAS VEZES A IDADE QUE MARIA TINHA QUANDO JOãO TINHA A IDADE QUE MARIA TEM HOJE. QUAL A IDADE, HOJE, DE MARIA?
[obm-l] Re: [obm-l] Problema da EPCAR 1986... será erro no enunciado ou problema do operador?
Rauryson, tentei refazer o exercício e cai nessa mesma resposta, deve ser erro do enunciado? Talvez, mas o que eu fiz e o que você fez está correto. Vamos esperar pra ver novas respostas. Amplexo 2009/2/27 Rauryson Alves raury...@yahoo.com.br ENUNCIADO: Um conjunto A tem m elementos e a subconjuntos; um conjunto B tem n elementos e b subconjuntos e um conjunto C p elementos e c subconjuntos. Se b = 8, a = c - b e m = 2p - 2n, então a + b + c vale? RESOLUÇÃO A partir dos dados temos que 2^m = a ; 2^n = b e 2^p = c 2^m = 2^(2p-2n) = 2^2p / 2^2n Assim a =(c/b)^2 Mas se b = 8, a = c - b = c - 8 c - 8 = c^2/64 O que nos dará: c = 32 +- 16*sqrt(2) MAS c NÃO DEVERIA SER NATURAL!!! Aguardo ajuda! -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/- Celebridadeshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/- Músicahttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/- Esporteshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/
Re: [obm-l] problema análise
Olá,
Começando pela letra a):
Vamos assumir, sem perda de generalidade, que a sequência é crescente (estou
admitindo aqui sequências
constantes; talvez alguns prefiram o termo não-decrescentes). O outro caso
é inteiramente análogo.
Vou denotar o limite da subsequência convergente de {Xn} por L.
Note primeiro que devemos ter Xn = L, para todo n natural.
Se não fosse assim, existiria um p natural tal que L Xp. Ou seja, Xp - L
0.
Como a sequência é crescente, temos na verdade Xn - L = Xp - L 0, para
TODO n maior ou igual a p.
Ora, em algum momento os índices da SUBSEQUÊNCIA ultrapassam o índice p. A
partir daí, a distância
entre os termos da subsequência e L nunca fica menor do que (Xp - L), pelo
argumento acima.
Isto, é claro, contradiz a hipótese de que a subsequência converge para L.
Absurdo.
Voltando, temos então Xn = L, para todo n natural.
Em outras palavras, a sequência {Xn} é limitada. Um dos teoremas que está no
livro do Elon garante
que toda sequência monótona e limitada é convergente.
Letra b):
Acredito que o Elon defina valor de aderência de {Xn} como sendo um número
real a tal que
existe uma subsequência de {Xn} convergindo para a.
Neste caso, vamos construir uma tal subsequência.
Você dispõe do seguinte: Para todo eps0 e todo k pertencente a N dados,
existe
n k tal que |Xn - a| eps.
Podemos começar então escolhendo eps = 1, k = 1. Nossa hipótese garante a
existência de
algum n, que vou denotar por n1, satisfazendo n1 1 e |X(n1) - a| 1.
A seguir, escolhemos eps = 1/2, k = 2.
Temos agora n2 2 tal que |X(n2) - a| 1/2.
Depois eps = 1/3, k = 3.
E assim por diante.
Fazendo isso, obtivemos uma sequência n1 n2 n3 ... de números naturais
que certamente não é limitada, dado que nk k. Estes são os índices da
subsequência que montamos.
Correspondendo a cada um deles, temos um termo X(nk), extraído da sequência
original,
que satisfaz |X(nk) - a| 1/k, por construção.
É fácil ver que esta subsequência converge para a. De fato, dado eps 0,
basta escolher
um p natural suficiente grande de modo que 1/p eps. (Propriedade
Arquimediana)
Então, para todo k p, é claro que 1/k 1/p. Como |X(nk) - a| 1/k, por
construção,
temos |X(nk) - a| 1/k 1/p eps.
Conclusão: {X(nk)} - a. a é ponto de aderência de {Xn}.
Abraço,
- Leandro.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema 63 do Livro do Morgado - Geometria 1 - Página 111
Valeu Fabrício, ok pode deixar vou melhorar da próxima vez...obrigado pelo site e a resolução do problema. Valeu, obrigado, abração, Marcelo. 2008/11/10 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Em casos como este, tente enviar uma figura ou descrever o problema, para que mesmo os que não tenham acesso ao livro possam participar. O problema é bastante conhecido, uma olhada no seguinte link deve ajudar: http://agutie.homestead.com/FiLEs/LangleyProblem.html É isso. Marcelo Gomes wrote: Olá pessoal, bom dia. Alguém teria a solução ou as soluções do problema do Triângulo isósceles do livro Geometria 1 página 111 do Morgado ? A resposta é trinta graus para o ângulo alfa - Problema 63 - letra D. Se alguém já passou por ele, por favor me dê uma ajudinha , ok ? Um abração, Marcelo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Problema 63 do Livro do Morgado - Geometria 1 - Página 111
Em casos como este, tente enviar uma figura ou descrever o problema, para que mesmo os que não tenham acesso ao livro possam participar. O problema é bastante conhecido, uma olhada no seguinte link deve ajudar: http://agutie.homestead.com/FiLEs/LangleyProblem.html É isso. Marcelo Gomes wrote: Olá pessoal, bom dia. Alguém teria a solução ou as soluções do problema do Triângulo isósceles do livro Geometria 1 página 111 do Morgado ? A resposta é trinta graus para o ângulo alfa - Problema 63 - letra D. Se alguém já passou por ele, por favor me dê uma ajudinha , ok ? Um abração, Marcelo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de Mecânica
Olá Raphael, olá Davi.Muito obrigado pela ajuda.Eu também encontrei o problema no livro do Moysés.Abração!!!Luiz. 2008/10/22 Davi Costa [EMAIL PROTECTED]: É preciso utilizar o conceito de momento de inércia do cilindro, o momento de inércia é definido como o somatório do produto cada elemento de massa pela distancia ao seu eixo de rotação ao quadrado: I = Somatório(Mi*ri²) ou, em cálculo diferencial I = integral(r²,dm) No caso do cilindro temos I = (1/2) * (MR²) Bom vamos lá: Sem perda de generalidade vamos assumir que o bloco A é mais pesado que o bloco B Força resultando em A: Ma*g - T1 = Ma*a (I) T2 - Mb*g = Mb*a (II) E agora utilizamos a segunda lei de Newton na forma de torque T1*R - T2*R = I*a/R (pois a = α*R, onde α é a aceleração angular) T1*R - T2*R = a*Mp*R/2 T1 - T2 = a*Mp*/2 (III) Somando as 3 equações temos Ma*g - Mb*g = (Ma + Mb + Mp/2)*a a = g*(Ma - Mb)/(Ma + Mb + Mp/2) Essa é a aceleraração linear dos blocos, para encontrar a angular da polia basta dividi-la por R α = g*(Ma + Mb)/[R*(Ma + Mb + Mp/2)] Pa! ra conseguir as tensões também basta voltar as equações I e II e substituir a O Halliday 1 tem vários exercícios semelhantes, da uma olhada lá. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de Mecânica
É preciso utilizar o conceito de momento de inércia do cilindro, o momento de inércia é definido como o somatório do produto cada elemento de massa pela distancia ao seu eixo de rotação ao quadrado: I = Somatório(Mi*ri²) ou, em cálculo diferencial I = integral(r²,dm) No caso do cilindro temos I = (1/2) * (MR²) Bom vamos lá: Sem perda de generalidade vamos assumir que o bloco A é mais pesado que o bloco B Força resultando em A: Ma*g - T1 = Ma*a (I) T2 - Mb*g = Mb*a (II) E agora utilizamos a segunda lei de Newton na forma de torque T1*R - T2*R = I*a/R (pois a = α*R, onde α é a aceleração angular) T1*R - T2*R = a*Mp*R/2 T1 - T2 = a*Mp*/2 (III) Somando as 3 equações temos Ma*g - Mb*g = (Ma + Mb + Mp/2)*a a = g*(Ma - Mb)/(Ma + Mb + Mp/2) Essa é a aceleraração linear dos blocos, para encontrar a angular da polia basta dividi-la por R α = g*(Ma + Mb)/[R*(Ma + Mb + Mp/2)] Para conseguir as tensões também basta voltar as equações I e II e substituir a O Halliday 1 tem vários exercícios semelhantes, da uma olhada lá.
Re: [obm-l] Problema de Mecânica
Bom, sou de ensino médio, mas no meu nível de mecânica não tenho errado: Pelo que entendi, são 2 corpos presos em cada ponta do fio, e a massa desse fio é desprezível. Pa=ma.g Pb=mb.g Como estão em mesma direção e sentidos contrários: F.R.=|Pa-Pb| F.R.=|ma-mb|*g Agora essa força moverá o sistema inteiro, incluindo a polia. Já que é um cilindro, eu não sei qual é a forma mais correta de determinar a força necessária pra o fazer girar, mas, tendo o cilindro massa uniforme calcularei a fração do raio que, havendo um cilindro oco imaginário de espessura mínima e mesma massa, os efeitos seriam iguais. Se o cilindro fosse composto por 2 peças, um cilindro oco e um cilindro dentro deste, ambos de mesma massa, o raio do cilindro interno seria o cilindro oco equivalente. volume do cilindro oco: V = (π / 4) h (D2 − d2) volume do cilindro: V = (π / 4) D2 h (π / 4) h ((2R)2 − (2r)2)=(π / 4) (2r)2 h (2R)2 − (2r)2=(2r)2 4R² - 4r² = 4r² 4R²=8r² 1/2*R²=r² r=√1/2*R²) r=R*√2/2) Então, se a massa do cilindro estivesse toda concentrada no raio R√2)/2, os efeitos de torque seriam os mesmos. Calculando a força para girar o cilindro, por torque:, sendo F a força que será aplicada pelo fio e Fp*R=f*R*√2/2) Fp=f*R√2/2)/R Fp=f*√2/2) Acho que posso assumir que uma força aplicada no cilindro em r causaria uma aceleração tangencial inversamente proporcional à massa, como em sistemas lineares. Mas essa aceleração não é a mesma causada pela tração na corda. f=ap*Mp Fp=ap*Mp*√2/2) No estudo do movimento circular, temos que γ*R=a , sendo γ=aceleração angular. Então γ=a/R: ap/R*√2)/2=a/R ap=a*√2/2) Substituindo, Fp=a*√2/2*Mp*√2/2) Fp=a*Mp*(√2/2)² Fp=a*Mp/2 Voltando para o cálculo da aceleração: F.R.=Fa+Fb+Fp F.R.=Ma*a+Mb*a+Mp*a/2 F.R.=(Ma+Mb+Mp/2)*a F.R.=|ma-mb|*g |Ma-Mb|*g=a*(Ma+Mb+Mp/2) *Aceleração nos blocos é a= |Ma-Mb|*g Ma+Mb+Mp/2** *Lógico, uma no sentido contrário a outra. Agora a aceleração angular na polia é fácil: γ*R=a γ=a/R *γ=|Ma-Mb|*g R*(Ma+Mb+Mp/2)** * Acho que a tração seria igual a o que chamei de F.R.: F.R.=|ma-mb|*g Mas não tenho certeza. Vê se alguém cursando física ou engenharia reponde. Além do mais, é provável que eu tenha cometido erros. Nesse caso, sr. que responder, me corrija, por favor. Abraço! Raphael 2008/10/20 Luiz Rodrigues [EMAIL PROTECTED] OLá pessoal!!! Tudo bem??? Será que alguém pode me ajudar com o problema abaixo? Dois blocos de massas Ma e Mb estão presos ao mesmo fio. O fio está sobre uma polia de massa Mp, com a forma de um cilindro sólido de raio R, presa ao teto. Determinar: a) as acelerações dos blocos; b) a aceleração angular da polia; c) as trações. Muito obrigado!!! Abração para todos. Luiz. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- __ Raphael L. Bertoche (21)9162 5605
Re: [obm-l] Problema - Campeonato Paulista
20*19/2 = 190 2008/8/21 Dória [EMAIL PROTECTED] Olá! Podem me ajudar nesse exercício, por favor? No Campeonato Paulista de Futebol, participam 20 clubes. Se todas as equipes jogam entre si uma única vez, qual o total de partidas deste campeonato? [ ]'s
Re: [obm-l] Problema - Campeonato Paulista
Quando faço 20*19 o que eu encontro? Obrigada. 2008/8/21 Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED] 20*19/2 = 190 2008/8/21 Dória [EMAIL PROTECTED] Olá! Podem me ajudar nesse exercício, por favor? No Campeonato Paulista de Futebol, participam 20 clubes. Se todas as equipes jogam entre si uma única vez, qual o total de partidas deste campeonato? [ ]'s
Re: [obm-l] Problema - Campeonato Paulista
Na primeira escolha vc tem 20 times pra escolher. Na segunda, tem 19, já que um deles foi escolhido anteriormente. Como escolher primeiro o time A e depois o time B ou primeiro escolher o time B e depois o time A são a mesma coisa, vc divide o resultado por 2. On Thu, Aug 21, 2008 at 7:18 PM, Dória [EMAIL PROTECTED] wrote: Quando faço 20*19 o que eu encontro? Obrigada. 2008/8/21 Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED] 20*19/2 = 190 2008/8/21 Dória [EMAIL PROTECTED] Olá! Podem me ajudar nesse exercício, por favor? No Campeonato Paulista de Futebol, participam 20 clubes. Se todas as equipes jogam entre si uma única vez, qual o total de partidas deste campeonato? [ ]'s
Re: [obm-l] Problema - Campeonato Paulista
Encontra todas as combinações, importando a ordem. Assim, tem que X - Y é diferente de Y - X. Quando se divide por 2, tem-se apenas uma combinação. Ou seja, para a primeira opção, temos 20 times. Para a segunda, 19. Assim, haveria 380 jogos (20x19) se os jogos fossem de ida e de volta. Como é apenas uma partida entre cada time, temos q diviidr por 2. Abraços, 2008/8/21 Dória [EMAIL PROTECTED] Quando faço 20*19 o que eu encontro? Obrigada. 2008/8/21 Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED] 20*19/2 = 190 2008/8/21 Dória [EMAIL PROTECTED] Olá! Podem me ajudar nesse exercício, por favor? No Campeonato Paulista de Futebol, participam 20 clubes. Se todas as equipes jogam entre si uma única vez, qual o total de partidas deste campeonato? [ ]'s
Re: [obm-l] Problema - Campeonato Paulista
Veja, Dória, se são 20 clubes, cada um joga 19 vezes, certo? Então seriam 20*19 jogos! Seriam, porque, fazendo a conta desse modo cada jogo foi contado duas vezes; para corrigir isso, divid-se o total por 2: 20*19/2, 190 jogos. Compreendeu? Um abraço, João Luís - Original Message - From: Dória To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, August 21, 2008 7:18 PM Subject: Re: [obm-l] Problema - Campeonato Paulista Quando faço 20*19 o que eu encontro? Obrigada. 2008/8/21 Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED] 20*19/2 = 190 2008/8/21 Dória [EMAIL PROTECTED] Olá! Podem me ajudar nesse exercício, por favor? No Campeonato Paulista de Futebol, participam 20 clubes. Se todas as equipes jogam entre si uma única vez, qual o total de partidas deste campeonato? [ ]'s
Re: [obm-l] Problema - Campeonato Paulista
Vc encontra 380.
Brincadeira, não resisti.
Esse 20*19 é o que chamamos de *arranjo*.
A(n, r) = arranjos de n elementos, tomados r a r = n! / (n - r)!
O número A(n, r) é a quantidade de r-uplas (ordenadas) distintas que podemos
formar a partir dos elementos de um conjunto de n elementos.
No nosso caso, n = 20, r = 2. Então esse é o número de *pares ordenados* que
podemos formar a partir dos 20 elementos (clubes).
A divisão por 2 é para desconsiderarmos pares que difiram apenas na ordem de
seus elementos, o que nos leva a outro conceito importante, o de *
combinações*.
C(n, r) = combinações de n elementos, tomados r a r = n! / (r! (n-r)!)
Esse número é a quantidade de subconjuntos de tamanho r que podemos formar a
partir dos elementos de um *conjunto *de tamanho n. A diferença sutil é que
antes fazíamos r-uplas, nas quais a ordem é importante ( (A, B) é diferente
de (B, A)), e agora fazemos conjuntos, objeto no qual não importa a ordem (
{A, B} é o mesmo que {B, A} ).
Abraço
Bruno
On Fri, Aug 22, 2008 at 12:18 AM, Dória [EMAIL PROTECTED] wrote:
Quando faço 20*19 o que eu encontro?
Obrigada.
2008/8/21 Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED]
20*19/2 = 190
2008/8/21 Dória [EMAIL PROTECTED]
Olá!
Podem me ajudar nesse exercício, por favor?
No Campeonato Paulista de Futebol, participam 20 clubes. Se todas as
equipes jogam entre si uma única vez, qual o total de partidas deste
campeonato?
[ ]'s
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
msn: [EMAIL PROTECTED]
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16
e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] PROBLEMA DO CAVALO
Olá Maurizio! Parece que esse problema não é tão trivial não. Dá uma olhada nessa página abaixo com a descrição de uma solução. http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/burro/burro.htm Abraços! On Wed, Apr 23, 2008 at 7:20 PM, MauZ [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá a todos, Um cavalo come muito e fica preso numa cerca circular de raior r. Para ele comer toda a grama daonde fica em 2 dias ele foi preso por uma corda em um ponto da circunferencia da cerca e comeu toda a grama que pode alcançar, no segundo dia foi solto e comeu a outra metade. (metade no primeiro dia e metade no segundo dia). Qual o tamanho da corda que o prende? Agradeço! Maurizio -- Henrique
Re: [obm-l] PROBLEMA DO CAVALO
Oi Maurício. Acho que estava enganado quanto ao resultado que dei. Errei nas contas. Desculpas. Tenho uma nova solução elementar. Dê uma olhada. http://www.linux.ime.usp.br/~arlane/elet.pdf inté, Citando MauZ [EMAIL PROTECTED]: Boa noite Arlane, Eu pensei um pouco sobre o problema e tudo que você disse eu pensei, o dificil pra mim foi realmente fazer as contas... Eu pensei também da seguinte forma: pego um semi circulo e fixo o seu ponto P numa extremidade, como se o corte fosse feito no diametro que contem P. Ai eu fiz um segmento dividindo o semicirculo em 2, como se fosse 1/4 do cirtuclo total. Ao traçar o arco de raio R ele cruza esse segmento. Criando 2 secções pequenas, chamo de R1 e R2, essas duas partes devem ser iguais... Mas mesmo assim eu travei. não consegui fazer os calculos Obrigado, aguardo sua ajuda!!! 2008/4/24 Arlane Manoel S Silva [EMAIL PROTECTED]: Considere a circunferência de raio r e seja P pertencente a esta circunferência, o ponto onde está amarrada a tal corda de comprimento R, o qual devemos calcular. Agora considere a cirncuferencia de raio R centrada no ponto P. Então, a área entre as duas circunferências deve ser pi.r^2/2 pelo enunciado. Assim, basta determinar tal área em função de R e r. Caso não consiga verificar os detalhes é só pedir que faço com cuidado. Resolvendo para R, concluimos que R=r.sqrt(pi/2 + 1) (se tiver errada nas contas!) inté, Citando MauZ [EMAIL PROTECTED]: Olá a todos, Um cavalo come muito e fica preso numa cerca circular de raior r. Para ele comer toda a grama daonde fica em 2 dias ele foi preso por uma corda em um ponto da circunferencia da cerca e comeu toda a grama que pode alcançar, no segundo dia foi solto e comeu a outra metade. (metade no primeiro dia e metade no segundo dia). Qual o tamanho da corda que o prende? Agradeço! Maurizio -- Arlane Manoel S Silva Departamento de Matemática Instituto de Matemática e Estatística-USP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Arlane Manoel S Silva Departamento de Matemática Instituto de Matemática e Estatística-USP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] PROBLEMA DO CAVALO
Obrigado! Adorei os links 2008/4/25 Arlane Manoel S Silva [EMAIL PROTECTED]: Oi Maurício. Acho que estava enganado quanto ao resultado que dei. Errei nas contas. Desculpas. Tenho uma nova solução elementar. Dê uma olhada. http://www.linux.ime.usp.br/~arlane/elet.pdfhttp://www.linux.ime.usp.br/%7Earlane/elet.pdf inté, Citando MauZ [EMAIL PROTECTED]: Boa noite Arlane, Eu pensei um pouco sobre o problema e tudo que você disse eu pensei, o dificil pra mim foi realmente fazer as contas... Eu pensei também da seguinte forma: pego um semi circulo e fixo o seu ponto P numa extremidade, como se o corte fosse feito no diametro que contem P. Ai eu fiz um segmento dividindo o semicirculo em 2, como se fosse 1/4 do cirtuclo total. Ao traçar o arco de raio R ele cruza esse segmento. Criando 2 secções pequenas, chamo de R1 e R2, essas duas partes devem ser iguais... Mas mesmo assim eu travei. não consegui fazer os calculos Obrigado, aguardo sua ajuda!!! 2008/4/24 Arlane Manoel S Silva [EMAIL PROTECTED]: Considere a circunferência de raio r e seja P pertencente a esta circunferência, o ponto onde está amarrada a tal corda de comprimento R, o qual devemos calcular. Agora considere a cirncuferencia de raio R centrada no ponto P. Então, a área entre as duas circunferências deve ser pi.r^2/2 pelo enunciado. Assim, basta determinar tal área em função de R e r. Caso não consiga verificar os detalhes é só pedir que faço com cuidado. Resolvendo para R, concluimos que R=r.sqrt(pi/2 + 1) (se tiver errada nas contas!) inté, Citando MauZ [EMAIL PROTECTED]: Olá a todos, Um cavalo come muito e fica preso numa cerca circular de raior r. Para ele comer toda a grama daonde fica em 2 dias ele foi preso por uma corda em um ponto da circunferencia da cerca e comeu toda a grama que pode alcançar, no segundo dia foi solto e comeu a outra metade. (metade no primeiro dia e metade no segundo dia). Qual o tamanho da corda que o prende? Agradeço! Maurizio -- Arlane Manoel S Silva Departamento de Matemática Instituto de Matemática e Estatística-USP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Arlane Manoel S Silva Departamento de Matemática Instituto de Matemática e Estatística-USP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] PROBLEMA DO CAVALO
Considere a circunferência de raio r e seja P pertencente a esta circunferência, o ponto onde está amarrada a tal corda de comprimento R, o qual devemos calcular. Agora considere a cirncuferencia de raio R centrada no ponto P. Então, a área entre as duas circunferências deve ser pi.r^2/2 pelo enunciado. Assim, basta determinar tal área em função de R e r. Caso não consiga verificar os detalhes é só pedir que faço com cuidado. Resolvendo para R, concluimos que R=r.sqrt(pi/2 + 1) (se tiver errada nas contas!) inté, Citando MauZ [EMAIL PROTECTED]: Olá a todos, Um cavalo come muito e fica preso numa cerca circular de raior r. Para ele comer toda a grama daonde fica em 2 dias ele foi preso por uma corda em um ponto da circunferencia da cerca e comeu toda a grama que pode alcançar, no segundo dia foi solto e comeu a outra metade. (metade no primeiro dia e metade no segundo dia). Qual o tamanho da corda que o prende? Agradeço! Maurizio -- Arlane Manoel S Silva Departamento de Matemática Instituto de Matemática e Estatística-USP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] PROBLEMA DO CAVALO
Boa noite Arlane, Eu pensei um pouco sobre o problema e tudo que você disse eu pensei, o dificil pra mim foi realmente fazer as contas... Eu pensei também da seguinte forma: pego um semi circulo e fixo o seu ponto P numa extremidade, como se o corte fosse feito no diametro que contem P. Ai eu fiz um segmento dividindo o semicirculo em 2, como se fosse 1/4 do cirtuclo total. Ao traçar o arco de raio R ele cruza esse segmento. Criando 2 secções pequenas, chamo de R1 e R2, essas duas partes devem ser iguais... Mas mesmo assim eu travei. não consegui fazer os calculos Obrigado, aguardo sua ajuda!!! 2008/4/24 Arlane Manoel S Silva [EMAIL PROTECTED]: Considere a circunferência de raio r e seja P pertencente a esta circunferência, o ponto onde está amarrada a tal corda de comprimento R, o qual devemos calcular. Agora considere a cirncuferencia de raio R centrada no ponto P. Então, a área entre as duas circunferências deve ser pi.r^2/2 pelo enunciado. Assim, basta determinar tal área em função de R e r. Caso não consiga verificar os detalhes é só pedir que faço com cuidado. Resolvendo para R, concluimos que R=r.sqrt(pi/2 + 1) (se tiver errada nas contas!) inté, Citando MauZ [EMAIL PROTECTED]: Olá a todos, Um cavalo come muito e fica preso numa cerca circular de raior r. Para ele comer toda a grama daonde fica em 2 dias ele foi preso por uma corda em um ponto da circunferencia da cerca e comeu toda a grama que pode alcançar, no segundo dia foi solto e comeu a outra metade. (metade no primeiro dia e metade no segundo dia). Qual o tamanho da corda que o prende? Agradeço! Maurizio -- Arlane Manoel S Silva Departamento de Matemática Instituto de Matemática e Estatística-USP = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema envolvendo conjuntos
Olá João, você foi muito bem claro na explicação, valeu! Eu estava fazendo 3 diagramas, o terceiro era para as pessoas que não estudavam e nem praticavam esporte. Iria ficar todo o tempo do mundo e não iria conseguir achar a resposta. Até! On 4/4/08, João Luís [EMAIL PROTECTED] wrote: Emanuel, Desenhe um diagrama de Euler-Venn para 2 conuntos A e B. O conjunto A representa o conjunto de pessoas que praticam esporte. O conjunto B representa o conjunto de pessoas que estudam. Se 12 estudam e nao praticam esporte, existem 12 elementos na regiao do conjunto B que estah fora da interseccao AinterB. Consideremos agora que ha x elementos em AinterB. Se 52 praticam esporte, existem 52-x pessoas que praticam esporte e nao estudam. Esse eh o numero procurado. Va completando seu diagrama ai. Se 56 pessoas nao estudam, ha 56 elementos no complementar de B em relacao ao universo (que tem 100 elementos). Note que B tem x+12 elementos e que seu complementar tem 56 elementos. Logo, x+12+56 = 100, portanto x = 32. Como procuramos pela quantidade 52-x, conclui-se que ha 20 pessoas que praticam esporte e nao estudam. Fui claro? Um abraco, Joao Luis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema Combinatória
Olá pessoal eu montei um esquema usando binomio de newton. Ficou da seguinte forma a resposta: Vou usar (a//b) como binomio a!/b!(a-b)! temos todas as combinações como: (n//p) e as que tem consecutivos como: (n-1//p-1)+(n-2//p-2)...(n-p+1//n-p), somando pela regra da diagonal: (n//p-1)-1 (sendo o primeiro binomio como pelo menos 2 consecutivos, o segundo com pelo menos 3, etc... Da segunte forma. a primeira escolha pego 1 livro e imediatamente o seu da direita. Num grupo de 24 livros por ex, tenho 23 maneiras de fazer isso, pelo fato do ultimo livro nao ter nada à sua direita) logo a solução é: (n//p)-(n//p-1) + 1 testei para alguns valores e tá OK,, O que vocês acham? []'s Maurizio Em 27/03/08, Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola' Mauricio e colegas da lista, os 5 livros retirados determinam 6 intervalos , dos quais o mais 'a esquerda e o mais 'a direita podem ter o valor minimo de 0, e os outros quatro valem no minimo 1. Para uniformizar tudo, podemos imaginar que exista um livro a mais do lado direito, e outro do lado esquerdo da estante, de forma que agora precisamos determinar 6 intervalos, todos maiores que zero, somando um total de 24+2-5 = 21. Em outras palavras, o que procuramos e' o numero de solucoes inteiras positivas para a+b+c+d+e+f=21 que vale C(21-1, 6-1) = C(20,5) Ou seja, (20*19*18*17*16) / (5*4*3*2*1) = 15504 []'s Rogerio Ponce Em 26/03/08, MauZ[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá a todos! Numa estante com 24 livros, de quantas maneiras posso retirar 5 livros sem ter nenhum consecutivo? E no caso de n livros, quantas maneiras retiro p livros sem ter nenhum consecutivo? Pra completar vou colocar parte da minha tentativa de solução, preciso de ajuda pra saber se está certo até onde fiz e como finalizar pois empaquei. Fiz dessa forma: Todas Combinações - Combinações c/ Consecutivos Todas: 24!/5!19! Consecutivos: 23!/4!19! + 22!/3!19! + 21!/2!19! + 20!/1!19! Fiz uma formula geral com n e p e deu o seguinte: n!/p!(n-p!) - [(n-1)!/(p-1)!(n-p)! + (n-2)!/(p-2)!(n-p)!+...+(n-p+1)!/(n-p)!] Fatorando deu: (1/(n-p)!)[n!/p!-(n-1)!/(p-1)!-(n-2)!/(p-2)-...-(n-p+1)!/(n-p)!] Dae empaquei de vez... Não consegui continuar! Quem souber fazer por favor me dê a luz! Ou simplesmente indique o erro no meu raciocínio. Agradeço antecipadamente, Maurizio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema Combinatória
São 24 livros de assuntos distintos? E os livros estão grudados na
estante (se o de Teoria da Computação está do lado de Linguagens
Formais, eles sempre estarão lado a lado?)
Bem, seria algo como escolher cinco números não-consecutivos do conjunto
{1,2,3,4\ldots,24}.
Acho que dá pra usar alguma recursão.
Vou pensar um pouco antes de continuar...
Em 26/03/08, MauZ[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá a todos!
Numa estante com 24 livros, de quantas maneiras posso retirar 5 livros sem
ter nenhum consecutivo? E no caso de n livros, quantas maneiras retiro p
livros sem ter nenhum consecutivo?
Pra completar vou colocar parte da minha tentativa de solução, preciso de
ajuda pra saber se está certo até onde fiz e como finalizar pois empaquei.
Fiz dessa forma: Todas Combinações - Combinações c/ Consecutivos
Todas: 24!/5!19!
Consecutivos: 23!/4!19! + 22!/3!19! + 21!/2!19! + 20!/1!19!
Fiz uma formula geral com n e p e deu o seguinte:
n!/p!(n-p!) - [(n-1)!/(p-1)!(n-p)! +
(n-2)!/(p-2)!(n-p)!+...+(n-p+1)!/(n-p)!]
Fatorando deu:
(1/(n-p)!)[n!/p!-(n-1)!/(p-1)!-(n-2)!/(p-2)-...-(n-p+1)!/(n-p)!]
Dae empaquei de vez... Não consegui continuar!
Quem souber fazer por favor me dê a luz! Ou simplesmente indique o erro no
meu raciocínio.
Agradeço antecipadamente,
Maurizio
--
Ideas are bulletproof.
V
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Problema Combinatória
Ola' Mauricio e colegas da lista, os 5 livros retirados determinam 6 intervalos , dos quais o mais 'a esquerda e o mais 'a direita podem ter o valor minimo de 0, e os outros quatro valem no minimo 1. Para uniformizar tudo, podemos imaginar que exista um livro a mais do lado direito, e outro do lado esquerdo da estante, de forma que agora precisamos determinar 6 intervalos, todos maiores que zero, somando um total de 24+2-5 = 21. Em outras palavras, o que procuramos e' o numero de solucoes inteiras positivas para a+b+c+d+e+f=21 que vale C(21-1, 6-1) = C(20,5) Ou seja, (20*19*18*17*16) / (5*4*3*2*1) = 15504 []'s Rogerio Ponce Em 26/03/08, MauZ[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá a todos! Numa estante com 24 livros, de quantas maneiras posso retirar 5 livros sem ter nenhum consecutivo? E no caso de n livros, quantas maneiras retiro p livros sem ter nenhum consecutivo? Pra completar vou colocar parte da minha tentativa de solução, preciso de ajuda pra saber se está certo até onde fiz e como finalizar pois empaquei. Fiz dessa forma: Todas Combinações - Combinações c/ Consecutivos Todas: 24!/5!19! Consecutivos: 23!/4!19! + 22!/3!19! + 21!/2!19! + 20!/1!19! Fiz uma formula geral com n e p e deu o seguinte: n!/p!(n-p!) - [(n-1)!/(p-1)!(n-p)! + (n-2)!/(p-2)!(n-p)!+...+(n-p+1)!/(n-p)!] Fatorando deu: (1/(n-p)!)[n!/p!-(n-1)!/(p-1)!-(n-2)!/(p-2)-...-(n-p+1)!/(n-p)!] Dae empaquei de vez... Não consegui continuar! Quem souber fazer por favor me dê a luz! Ou simplesmente indique o erro no meu raciocínio. Agradeço antecipadamente, Maurizio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema das Vigas
AB=CD??? On 3/6/08, Eduardo Estrada [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, Alguém conhece uma solução simples para o Problema das Vigas? Consiste no seguinte: Imagine a seguinte figura: || A || || || || D || || |__| B C AC = 30 m, BD = 20 m, AC e BD interceptam-se em P, que dista 8 m de BC. Pede-se, calcular o tamanho de BC. Aparentemente simples, para resolver este problema, caímos numa equação de grau maior do que 2. Então, a pergunta, existe alguma solução simples? Um abraço, Eduardo -- Abra sua conta no Yahoo! Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] problema de cálculo
Interpretacao geometrica: mostre que existe um ponto p na esfera |p|=c onde o gradiente de f eh normal aa dita esfera (portanto, paralelo a p) Dica para resolver o problema: o gradiente da f eh normal aa esfera meio que significa que a funcao f restrita aa esfera deve ter um ponto critico ali, certo? Em outras palavras: como a superficie da esfera E:|p|=c eh compacta, a funcao f restrita a dita esfera deve assumir maximo local em algum ponto p. **Acho** que este p deve resolver o problema. Abraco, Ralph 2008/1/18 Francisco [EMAIL PROTECTED]: Olá Pessoal! Alguém pode me ajudar no problema abaixo? Não parece difícil, mas não consigo o truque!!! Problema: Seja f: IR^n -- IR diferenciável não constante. Dado c 0, mostre que existe p em IR^n tal que |p| = c e p é paralelo ao gradiente de f em p. Obrigado desde já, Francisco. PS.: Aliás, não consigo nenhuma possível interpretação (geométrica) para o enunciado! -- Veja mapas e encontre as melhores rotas para fugir do trânsito com o Live Search Maps! Experimente já!http://www.livemaps.com.br/index.aspx?tr=true
Re: [obm-l] Problema com polinômios
Olá Igor, estou tentando encontrar um contra-exemplo (pra mim, é um ótimo jeito de se encontrar uma demonstração.. hehe!) p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n vamos supor que: p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, e p(k) = 8 onde a, b, c, d, k sao primos entre si dois a dois. deste modo: p(a) = 5 = a_n (mod a) p(b) = 5 = a_n (mod b) p(c) = 5 = a_n (mod c) p(d) = 5 = a_n (mod d) p(k) = 8 = a_n (mod k) pelo teorema chines do resto, conseguimos determinar a_n (mod a.b.c.d.k) fazendo: g(x) = [p(x) - a_n]/x, temos que: g(a), g(b), g(c), g(d) e g(k) estão definidos.. então, usando a mesma idéia, determinamos a_(n-1). seguindo esta idéia, conseguimos determinar todos os coeficientes do polinômio! qual o erro nesta idéia? não encontrei... abraços, Salhab 2008/1/12 Igor Battazza [EMAIL PROTECTED]: Olá pessoal, estou com dúvidas na seguinte questão: Dado o polinômio p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n com coeficientes inteiros a_1, a_2, ..., a_n, e dado que também existem 4 inteiros distintos a, b, c e d tal que p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, mostre que não existe inteiro k tal que p(k) = 8. Não consigo pensar em nenhuma restrição que implique nisso. Obrigado, Igor. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Problema com polinômios
Olá Salhab, Não entendi muito bem... As congruências que você usou saem do teorema das raizes racionais certo? Mas por que elas valem para os outros coeficientes? E esse método não vai acabar num coeficiente diferente de 1 para x^n? abraços - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, January 14, 2008 9:22 AM Subject: Re: [obm-l] Problema com polinômios Olá Igor, estou tentando encontrar um contra-exemplo (pra mim, é um ótimo jeito de se encontrar uma demonstração.. hehe!) p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n vamos supor que: p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, e p(k) = 8 onde a, b, c, d, k sao primos entre si dois a dois. deste modo: p(a) = 5 = a_n (mod a) p(b) = 5 = a_n (mod b) p(c) = 5 = a_n (mod c) p(d) = 5 = a_n (mod d) p(k) = 8 = a_n (mod k) pelo teorema chines do resto, conseguimos determinar a_n (mod a.b.c.d.k) fazendo: g(x) = [p(x) - a_n]/x, temos que: g(a), g(b), g(c), g(d) e g(k) estão definidos.. então, usando a mesma idéia, determinamos a_(n-1). seguindo esta idéia, conseguimos determinar todos os coeficientes do polinômio! qual o erro nesta idéia? não encontrei... abraços, Salhab 2008/1/12 Igor Battazza [EMAIL PROTECTED]: Olá pessoal, estou com dúvidas na seguinte questão: Dado o polinômio p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n com coeficientes inteiros a_1, a_2, ..., a_n, e dado que também existem 4 inteiros distintos a, b, c e d tal que p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, mostre que não existe inteiro k tal que p(k) = 8. Não consigo pensar em nenhuma restrição que implique nisso. Obrigado, Igor. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema com polin�mios
Oi gente, O enunciado está certo sim. Só lembrando o enunciado: Seja P(x) um polinômio mônico (coeficiente no termo de maior grau 1) com coeficientes inteiros. Sabe-se que existem quatro inteiros distintos a, b, c e d tais que P(a) = P(b) = P(c) = P(d) = 5. Mostre que não existe inteiro k tal que P(k) = 8. Vamos à resolução: Seja Q(x) = P(x) - 5. Então a, b, c e d são raízes de Q, de modo que Q(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)R(x), sendo que o polinômio R(x) tem coeficientes inteiros também (isso decorre do algoritmo de Briot-Ruffini: nunca dividimos no meio do algoritmo, então todos os resultados são inteiros). Suponha que existe k inteiro tal que P(k) = 8, que é o mesmo que Q(k) = 3. Então 3 = Q(k) = (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)R(x) Note que, como a, b, c e d são inteiros distintos, k-a, k-b, k-c e k-d são inteiros distintos também. Então 3 deve ser escrito como o produto de pelo menos quatro números inteiros distintos, o que não é possível, pois 3 tem quatro divisores distintos (-3, -1, 1, 3), cujo produto infelizmente não é 3. Absurdo, então o problema está resolvido. Note que se fossem 3 inteiros a,b,c no lugar de a,b,c,d, seria possível construir P(x). De fato, fazendo as mesmas contas (sem o d, claro) obtemos 3 = Q(k) = (k-a)(k-b)(k-c)R(x) e podemos tomar k-a = -3, k-b = -1 e k-c = 1. Tomando k=0, temos a = 3, b = 1 e c = -1. Tomando ainda R(x) = 1, obtemos Q(x) = (x-3)(x-1)(x+1) = x^3 - 3x^2 - x + 3 ou, mudando para P(x), P(x) = Q(x) + 5 = x^3 - 3x^2 - x + 8. Temos P(3) = P(1) = P(-1) = 5 (verifique!) e P(0) = 8. Você conseguiria encontrar *todos* os polinômios P(x) desse novo problema? []'s Shine --- Rafael Cano [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Salhab, Não entendi muito bem... As congruências que você usou saem do teorema das raizes racionais certo? Mas por que elas valem para os outros coeficientes? E esse método não vai acabar num coeficiente diferente de 1 para x^n? abraços - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, January 14, 2008 9:22 AM Subject: Re: [obm-l] Problema com polinômios Olá Igor, estou tentando encontrar um contra-exemplo (pra mim, é um ótimo jeito de se encontrar uma demonstração.. hehe!) p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n vamos supor que: p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, e p(k) = 8 onde a, b, c, d, k sao primos entre si dois a dois. deste modo: p(a) = 5 = a_n (mod a) p(b) = 5 = a_n (mod b) p(c) = 5 = a_n (mod c) p(d) = 5 = a_n (mod d) p(k) = 8 = a_n (mod k) pelo teorema chines do resto, conseguimos determinar a_n (mod a.b.c.d.k) fazendo: g(x) = [p(x) - a_n]/x, temos que: g(a), g(b), g(c), g(d) e g(k) estão definidos.. então, usando a mesma idéia, determinamos a_(n-1). seguindo esta idéia, conseguimos determinar todos os coeficientes do polinômio! qual o erro nesta idéia? não encontrei... abraços, Salhab 2008/1/12 Igor Battazza [EMAIL PROTECTED]: Olá pessoal, estou com dúvidas na seguinte questão: Dado o polinômio p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n com coeficientes inteiros a_1, a_2, ..., a_n, e dado que também existem 4 inteiros distintos a, b, c e d tal que p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, mostre que não existe inteiro k tal que p(k) = 8. Não consigo pensar em nenhuma restrição que implique nisso. Obrigado, Igor. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Never miss a thing. Make Yahoo your home page. http://www.yahoo.com/r/hs = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema
2 -35 - 48 2 -5- -3- x 1 -1 - -9- 45 T*(k1P+k2A)=N 3*(2k1+k2*5)=48 9(k1+k2)=45 2k1+5k2=16 2k1+2k2=10 k2=2 k1=3 N=5(6+6)=60 On 11/16/07, Antonio Manuel Castro del Rio [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém teria a solução do seguinte problema. Dois profissionais e cinco aprendizes, produzem 48 peças em 3 dias; um profissional e um aprendiz produzem 45 peças em 9 dias. Quantas peças são produzidas por 2 profissionais e 3 aprendizes em 5 dias? Resposta 60 peças.
Re: [obm-l] Problema de contagem
João Pedro de Gusmão Silva [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caro Henrique, em momento algum foi dito que os algarismos são distintos. A tua solução só é válida no caso em que os dígitos são distintos, no entanto, o problema pede todos os números possíveis, você deve considerar o caso em que os dígitos podem se repetir. Mesmo assim, obrigado!!! Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] escreveu: Com os dígitos 1,2,3,4,5 e 6, quantos números de 6 algarismo podemos formar, nos quais o 1 e o 2 não ficam juntos? Pode-se calcular o total de números de 6 algarismos com 1,2,3,4,5,6 menos o total de números em que o 1,2 estão juntos. 6! -- números de 6 algarismos com 1,2,3,4,5,6 2!*5! -- números em que o 1,2 estão juntos -- 2! porque pode ser 12 ou 21 e 5! porque considera-se os dois juntos como um só. Ex: 12,5,3,4,6 e 21,5,3,4,6 onde 12,21 são considerados como 1 algarismo Total = 6! - 2!*5! = 6*5! - 2*5! = (6-2)*5! = 4*5! = 4*120 = 480 números de 6 algarismos nos quais 1,2 não ficam juntos -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] Problema de contagem
Caro Henrique, em momento algum foi dito que os algarismos são distintos. A tua solução só é válida no caso em que os dígitos são distintos, no entanto, o problema pede todos os números possíveis, você deve considerar o caso em que os dígitos podem se repetir. Mesmo assim, obrigado!!! Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] escreveu: Com os dígitos 1,2,3,4,5 e 6, quantos números de 6 algarismo podemos formar, nos quais o 1 e o 2 não ficam juntos? Pode-se calcular o total de números de 6 algarismos com 1,2,3,4,5,6 menos o total de números em que o 1,2 estão juntos. 6! -- números de 6 algarismos com 1,2,3,4,5,6 2!*5! -- números em que o 1,2 estão juntos -- 2! porque pode ser 12 ou 21 e 5! porque considera-se os dois juntos como um só. Ex: 12,5,3,4,6 e 21,5,3,4,6 onde 12,21 são considerados como 1 algarismo Total = 6! - 2!*5! = 6*5! - 2*5! = (6-2)*5! = 4*5! = 4*120 = 480 números de 6 algarismos nos quais 1,2 não ficam juntos -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] Problema de contagem
Com os dígitos 1,2,3,4,5 e 6, quantos números de 6 algarismo podemos formar, nos quais o 1 e o 2 não ficam juntos? Pode-se calcular o total de números de 6 algarismos com 1,2,3,4,5,6 menos o total de números em que o 1,2 estão juntos. 6! -- números de 6 algarismos com 1,2,3,4,5,6 2!*5! -- números em que o 1,2 estão juntos -- 2! porque pode ser 12 ou 21 e 5! porque considera-se os dois juntos como um só. Ex: 12,5,3,4,6 e 21,5,3,4,6 onde 12,21 são considerados como 1 algarismo Total = 6! - 2!*5! = 6*5! - 2*5! = (6-2)*5! = 4*5! = 4*120 = 480 números de 6 algarismos nos quais 1,2 não ficam juntos -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema!
Ola' pessoal, inicialmente, durante M horas (correspondentes a meio dia) , N pessoas trabalharam no campo grande. Em seguida, durante M horas, N/2 pessoas ainda trabalharam no campo grande. Enquanto isso, no campo pequeno, N/2 pessoas trabalharam durante M horas, e, no dia seguinte, 1 pessoa trabalhou por M horas. Entao, como o trabalho total realizado no campo grande deve ser o dobro do trabalho realizado no campo pequeno, temos que: N * M + N/2 * M = 2 * ( N/2 * M + 1 * M ) de onde N=4 Portanto, havia 4 trabalhadores no grupo. []'s Rogerio Ponce --- Um grupo de trabalhadores tinha a tarefa de realizar a colheita de dois campos de trigo, um dos quais tinha o dobro da área do outro. Durante meio dia todo o pessoal do grupo trabalhou no campo de trigo grande. Depois do almoço, metade do pessoal continuou no campo de trigo grande e a outra metade trabalhou no campo de trigo pequeno. Durante a tarde acabaram ambos as tarefas exceto uma pequena área do campo de trigo menor, em cuja colheita se ocupou todo o dia seguinte apenas um trabalhador. Quantos trabalhadores haviam neste grupo? Claudio. Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais.
Re: [obm-l] Problema de matematica!
Chame de x a qtd retirada do primeiro barril e y a do segundo. Agora é só escrever exatamente o que diz o enunciado: x + y = 14 12/(12 + 18)*x + 9/(9+3)*y = 7 Agora vc resolve o sistema: x + y = 14 2/5 * x + 3/4 * y = 7 ... Abraço Bruno 2007/8/29, jose silva [EMAIL PROTECTED]: Se possivel, gostaria que me ajudem a resolver o seguinte problema Num barril ha 12 litros de vinho e 18 de agua. Num segundo barril ha 9 litros de vinho e 3 litros de agua. Sabe-se que todas as misturas sao homogeneas. As quantidades, em litros, que devemos retirar, respectivamente, dos primeiro e segundo barris, para que juntas perfaçam 14 litros, sendo 7 de agua e 7 de vinho, sao: Resposta:10 e 4 _ Descubra como mandar Torpedos SMS do seu Messenger para o celular dos seus amigos. http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Problema de matematica!
Parabens, companheiro! Muito obrigado. Claudio. From: Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Problema de matematica! Date: Wed, 29 Aug 2007 20:59:48 +0200 Chame de x a qtd retirada do primeiro barril e y a do segundo. Agora é só escrever exatamente o que diz o enunciado: x + y = 14 12/(12 + 18)*x + 9/(9+3)*y = 7 Agora vc resolve o sistema: x + y = 14 2/5 * x + 3/4 * y = 7 ... Abraço Bruno 2007/8/29, jose silva [EMAIL PROTECTED]: Se possivel, gostaria que me ajudem a resolver o seguinte problema Num barril ha 12 litros de vinho e 18 de agua. Num segundo barril ha 9 litros de vinho e 3 litros de agua. Sabe-se que todas as misturas sao homogeneas. As quantidades, em litros, que devemos retirar, respectivamente, dos primeiro e segundo barris, para que juntas perfaçam 14 litros, sendo 7 de agua e 7 de vinho, sao: Resposta:10 e 4 _ Descubra como mandar Torpedos SMS do seu Messenger para o celular dos seus amigos. http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com e^(pi*i)+1=0 _ Verifique já a segurança do seu PC com o Verificador de Segurança do Windows Live OneCare! http://onecare.live.com/site/pt-br/default.htm = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de Geometria
Ola' Benedito e colegas da lista, acho que deve ter um jeito mais simples de fazer isso, mas vamos la'... Inicialmente, vamos estabelecer um conceito e um teorema (que poderiam ser formalizados, mas o texto fica muito longo. Como e' quase intuitivo, vou apenas mostrar a ideia) Conceito: Em relacao a um ponto P (que funcionara' como nosso ponto de vista), vou dizer que um segmento r de reta esta' atras de outro segmento s caso s intercepte nossa visao de algum ponto de r. Tambem direi que s esta' na frente de r. Teorema: Para um ponto de vista P, se t esta' na frente de s, e s esta' na frente de r, entao t esta' na fente de r, dado que r, s e t nao se cruzam. Em outras palavras, a propriedade de estar na frente (ou atras) e' transitiva. Agora vamos ao problema propriamente dito: Escolha os vertices A,B e C contiguos,tais que o angulo interno em B seja inferior a 180. Caso nao exista aresta interna ao triangulo ABC, entao a diagonal AC pode ser tracada sem cortar nenhuma outra aresta, satisfazendo ao problema. E caso haja alguma aresta interna a ABC, entao, existe pelo menos um vertice V1, interno a ABC, correspondente a uma das extremidades desta aresta. Considere a linha BV1. Se ela nao corta nenhuma outra aresta, entao ela e' uma diagonal contida no poligono. E se BV1 corta alguma aresta, entao considere a aresta da frente, e descarte todas as arestas atras. Esta nova aresta necessariamente tem pelo menos um vertice V2 dentro de ABC. Tome o vertice V2. Considerando agora a linha BV2, repetimos o procedimento, sabendo que todas as arestas atras nao mais interceptam BV2 (pelo teorema inicial). Como o poligono tem um numero limitado de arestas, necessariamente chegaremos a uma linha BVn que nao e' mais interceptada por nenhuma outra aresta. Entao, esta e' uma diagonal que satisfaz ao problema. Bem, por enquanto, essa foi a demonntracao que me ocorreu... []'s Rogerio Ponce Benedito [EMAIL PROTECTED] escreveu: Problema Todo polígono de n lados, com n 3, possui uma diagonal inteiramente contida na região do plano limitado por ele. (O polígono não é necessariamente convexo). Benedito Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais.
[obm-l] Re: [obm-l] Problema nº 8 NIVEL 3 OBM 2007
valeu rogerio
From: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED]
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Subject: Re: [obm-l] Problema nº 8 NIVEL 3 OBM 2007
Date: Wed, 27 Jun 2007 01:48:30 -0300 (ART)
Ola' Fabio,
numa PA generica temosAn = A1 + (n-1)*r
Quando r=1 , entao
An = A1 + (n-1)
de forma que o numero n de termos e' igual a
An - A1 + 1
E, obviamente, o termo medio e' (A1 + An)/2 , de forma que a soma dos
termos e'
(A1+An) * (An-A1+1) / 2
Repare que a divisao por 2 nao tem absolutamente nada a ver com o numero de
ternos, como voce supos, mas com o termo medio.
Substitua A1 por 4, e An por (n^4-4) para descobrir que
n^4 * (n^4 - 7) / 2 = 309 * n^4
Portanto,
( n^4 - 7 ) / 2 = 309
E o resto voce pode completar...
[]'s
Rogerio Ponce
---
Fábio Jesus Moreira de Almeida wrote:
Porquê (n^4-4) - 4 + 1
por causa da formula da soma da PA? (an + a1)n/2
a formula que vc usou para obtenção do número de termos foi:
[ (an - a1) + 1 ]/2
de qual teorema ou análise vc tirou esta?
Felipe Sardinha [EMAIL PROTECTED] escreveu: Bom dia Fábio.
Eis aqui meu raciocínio:
Seja S = 4/n^4 + 5/n^4 + 6/n^4 + ... + (n^4 - 5)/n^4 + (n^4 - 4)/n^4
Somando parcelas equidistantes, temos:
4/n^4 + (n^4 - 4)/n^4 = 1
5/n^4 + (n^4 - 5)/n^4 = 1
6/n^4 + (n^4 - 6)/n^4 = 1
...
(e assim, sucessivamente)
Basta agora calcularmos quantas parcelas com soma 1 possuem na
expressão: {(n^4 - 4) - 4 + 1)}/2 = (n^4 - 7)/2
Substituindo, encontramos a seguinte expressão:
S = (n^4 - 7)/2
309x2 = n^4 - 7
625 = n^4 == n = 5
Espero ter ajudado.
Grande Abraço a todos.
Felipe Marinho de Oliveira Sardinha
Fábio Jesus Moreira de Almeida [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá, meu nome é Fábio, e gostaria que alguém me auxiliasse no problema nº8
nivel 3 da OBM 2007 1ªfase.
Depois de muitos anos trabalhando com matemática aqui na USP, participando
de competições e inscrevendo meus alunos, fazia um bom tempo que eu não
errava um exercício.
E ainda não me conformo com o erro,, eu não entendo a resolução colocada no
site.
Alguém poderia me explicar de onde saiu o (n^4 - 7) que está no gabarito?
Obrigado pela ajuda,
Fábio
_
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Re: [obm-l] Problema nº 8 NIVEL 3 OBM 2007
Olá Fábio, o n^4 - 7 que aparece é o número de termos da PA (4, 5, 6, ..., n^4 - 6 , n^4 - 5, n^4 - 4) de razão 1. Basta usar a fórmula do termo geral: aN = a1 + (N -1)*r = n^4 - 4 = 4 + (N - 1) = N = n^4 - 7. André Araújo. Em 26/06/07, Fábio Jesus Moreira de Almeida [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, meu nome é Fábio, e gostaria que alguém me auxiliasse no problema nº8 nivel 3 da OBM 2007 1ªfase. Depois de muitos anos trabalhando com matemática aqui na USP, participando de competições e inscrevendo meus alunos, fazia um bom tempo que eu não errava um exercício. E ainda não me conformo com o erro,, eu não entendo a resolução colocada no site. Alguém poderia me explicar de onde saiu o (n^4 - 7) que está no gabarito? Obrigado pela ajuda, Fábio _ Mande torpedos SMS do seu messenger para o celular dos seus amigos http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema nº 8 NIVEL 3 OBM 2007
Olá Fábio, o n^4 - 7 é o numero de elementos da sequencia n=n^4 - 4 -3 , -3 pq a sequencia já começa no 4 (1...23...4),então devemos tirar o 1, o 2 e o 3 Tue, 26 Jun 2007 16:16:31 +, Fábio Jesus Moreira de Almeida [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, meu nome é Fábio, e gostaria que alguém me auxiliasse no problema nº8 nivel 3 da OBM 2007 1ªfase. Depois de muitos anos trabalhando com matemática aqui na USP, participando de competições e inscrevendo meus alunos, fazia um bom tempo que eu não errava um exercício. E ainda não me conformo com o erro,, eu não entendo a resolução colocada no site. Alguém poderia me explicar de onde saiu o (n^4 - 7) que está no gabarito? Obrigado pela ajuda, Fábio _ Mande torpedos SMS do seu messenger para o celular dos seus amigos http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema nº 8 NIVEL 3 OBM 20 07
Bom dia Fábio.
Eis aqui meu raciocínio:
Seja S = 4/n^4 + 5/n^4 + 6/n^4 + ... + (n^4 - 5)/n^4 + (n^4 - 4)/n^4
Somando parcelas equidistantes, temos:
4/n^4 + (n^4 - 4)/n^4 = 1
5/n^4 + (n^4 - 5)/n^4 = 1
6/n^4 + (n^4 - 6)/n^4 = 1
...
(e assim, sucessivamente)
Basta agora calcularmos quantas parcelas com soma 1 possuem na expressão:
{(n^4 - 4) - 4 + 1)}/2 = (n^4 - 7)/2
Substituindo, encontramos a seguinte expressão:
S = (n^4 - 7)/2
309x2 = n^4 - 7
625 = n^4 == n = 5
Espero ter ajudado.
Grande Abraço a todos.
Felipe Marinho de Oliveira Sardinha
Fábio Jesus Moreira de Almeida [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá, meu nome é Fábio, e gostaria que alguém me auxiliasse no problema nº8
nivel 3 da OBM 2007 1ªfase.
Depois de muitos anos trabalhando com matemática aqui na USP, participando
de competições e inscrevendo meus alunos, fazia um bom tempo que eu não
errava um exercício.
E ainda não me conformo com o erro,, eu não entendo a resolução colocada no
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Alguém poderia me explicar de onde saiu o (n^4 - 7) que está no gabarito?
Obrigado pela ajuda,
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Re: [obm-l] Problema do ourives
Ola' Raphael, X gramas da primeira liga equivalem a 4 X / (4+3) gramas de ouro 3 X / (4+3) gramas de prata Y gramas da segunda liga equivalem a 2 Y / (2+5) gramas de ouro 5 Y / (2+5) gramas de prata Assim, a liga produzida tem (4X + 2Y) / 7 gramas de ouro (3X + 5Y) / 7 gramas de prata Como a relacao e' 1:1 , entao 4X + 2Y = 3X + 5Y ou seja, X = 3Y []'s Rogerio Ponce PS: Como X + Y = 400 e X = 3Y entao 3Y + Y = 400 Logo Y = 100 (e X = 300 ) Portanto foram necessarios 300g da primeira liga e 100g da segunda liga. []'s Rogerio Ponce Raphael Henrique Pereira dos Santos [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal!!! Vejam se podem me ajudar a provar matematicamente este problema. Consegui chegar a resposta, mas não de maneira clara e sim por tentativas. Um ourives dispõem de duas ligas. A primeira delas é formada por ouro e prata na proporção de 4 para 3, respectivamente. A outra liga também é formada por ouro e prata, só que na prorpoção de 2 para 5, respectivamente. Para produzir 400g de uma terceira liga de ouro e prata na proporção de 1 para 1, o ourives juntou X gramas da 1º liga a Y gramas da 2º liga. A resposta é: x=3y Grato. _ Descubra como mandar Torpedos SMS do seu Messenger para o celular dos seus amigos. http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
[obm-l] Re: [obm-l] Problema nº 8 NIVEL 3 OBM 2007
Porquê (n^4-4) - 4 + 1
por causa da formula da soma da PA? (an + a1)n/2
a formula que vc usou para obtenção do número de termos foi: [ (an - a1) +
1 ]/2
de qual teorema ou análise vc tirou esta?
Obrigado Felipe..
Gostei da olimpiada deste ano..
adoro os problemas desta lista, estou abrindo uma lista na USP, de problemas
e teoremas, divulgo em breve
bom falar com vcs
From: Felipe Sardinha [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Problema nº 8 NIVEL 3 OBM 2007
Date: Tue, 26 Jun 2007 14:49:40 -0300 (ART)
Bom dia Fábio.
Eis aqui meu raciocínio:
Seja S = 4/n^4 + 5/n^4 + 6/n^4 + ... + (n^4 - 5)/n^4 + (n^4 - 4)/n^4
Somando parcelas equidistantes, temos:
4/n^4 + (n^4 - 4)/n^4 = 1
5/n^4 + (n^4 - 5)/n^4 = 1
6/n^4 + (n^4 - 6)/n^4 = 1
...
(e assim, sucessivamente)
Basta agora calcularmos quantas parcelas com soma 1 possuem na
expressão: {(n^4 - 4) - 4 + 1)}/2 = (n^4 - 7)/2
Substituindo, encontramos a seguinte expressão:
S = (n^4 - 7)/2
309x2 = n^4 - 7
625 = n^4 == n = 5
Espero ter ajudado.
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Felipe Marinho de Oliveira Sardinha
Fábio Jesus Moreira de Almeida [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá, meu nome é Fábio, e gostaria que alguém me auxiliasse no problema nº8
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Depois de muitos anos trabalhando com matemática aqui na USP, participando
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Obrigado pela ajuda,
Fábio
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[obm-l] Re: [obm-l] Problema nº 8 NIVEL 3 OBM 2007
Valeu ADELMAN porém a lei de formação fica assim: SOMATÓRIA de (n^4 -4)/n^4 e o primeiro termo não pode ser zero, assim sendo fica SOMATORIAn=1 de (n^4-5)/n^4, o que não respeitaria a série quando expandida. Por isso eu não concordo que o número de elementos seja (n^4-7), o denominador barraria a expansão da fórmula From: Adélman de Barros Villa Neto [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Problema nº 8 NIVEL 3 OBM 2007 Date: Tue, 26 Jun 2007 14:10:06 -0300 Olá Fábio, o n^4 - 7 é o numero de elementos da sequencia n=n^4 - 4 -3 , -3 pq a sequencia já começa no 4 (1...23...4),então devemos tirar o 1, o 2 e o 3 Tue, 26 Jun 2007 16:16:31 +, Fábio Jesus Moreira de Almeida [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, meu nome é Fábio, e gostaria que alguém me auxiliasse no problema nº8 nivel 3 da OBM 2007 1ªfase. Depois de muitos anos trabalhando com matemática aqui na USP, participando de competições e inscrevendo meus alunos, fazia um bom tempo que eu não errava um exercício. E ainda não me conformo com o erro,, eu não entendo a resolução colocada no site. Alguém poderia me explicar de onde saiu o (n^4 - 7) que está no gabarito? Obrigado pela ajuda, Fábio _ Mande torpedos SMS do seu messenger para o celular dos seus amigos http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Mande torpedos SMS do seu messenger para o celular dos seus amigos http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Problema nº 8 NIVEL 3 OBM 2007
OBRIGADO ANDRE, mas Sim, por PA sai. mas analiticamente toda PA tem uma lei de formação, que não pode ser SOMATORIA de (n^4-7)/n^4 From: Andre Araujo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Problema nº 8 NIVEL 3 OBM 2007 Date: Tue, 26 Jun 2007 14:02:05 -0300 Olá Fábio, o n^4 - 7 que aparece é o número de termos da PA (4, 5, 6, ..., n^4 - 6 , n^4 - 5, n^4 - 4) de razão 1. Basta usar a fórmula do termo geral: aN = a1 + (N -1)*r = n^4 - 4 = 4 + (N - 1) = N = n^4 - 7. André Araújo. Em 26/06/07, Fábio Jesus Moreira de Almeida [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, meu nome é Fábio, e gostaria que alguém me auxiliasse no problema nº8 nivel 3 da OBM 2007 1ªfase. Depois de muitos anos trabalhando com matemática aqui na USP, participando de competições e inscrevendo meus alunos, fazia um bom tempo que eu não errava um exercício. E ainda não me conformo com o erro,, eu não entendo a resolução colocada no site. Alguém poderia me explicar de onde saiu o (n^4 - 7) que está no gabarito? Obrigado pela ajuda, Fábio _ Mande torpedos SMS do seu messenger para o celular dos seus amigos http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Verificador de Segurança do Windows Live OneCare: verifique já a segurança do seu PC! http://onecare.live.com/site/pt-br/default.htm = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Problema do ourives
OI RAPHAEL, por proporção, o OURIVES sai resolvido assim: na primeira liga x 4(ouro)/7(4ouro + 3prata) + 3(prata)/7(4ouro + 3prata) e na segunda liga Y 2(ouro)/7(2ouro+5prata) + 5(prata)/7(5prata+2ouro) assim temos: OURO = 4x/7 + 2y/7 = 3x/7 + 5y/7 = PRATA multiplicando em cuz, temos 4x + 2y = 3x + 5y isolando x, x = 3y VALEU ABRAÇAO FÁBIO From: Raphael Henrique Pereira dos Santos [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Problema do ourives Date: Mon, 25 Jun 2007 21:33:38 -0300 Olá pessoal!!! Vejam se podem me ajudar a provar matematicamente este problema. Consegui chegar a resposta, mas não de maneira clara e sim por tentativas. Um ourives dispõem de duas ligas. A primeira delas é formada por ouro e prata na proporção de 4 para 3, respectivamente. A outra liga também é formada por ouro e prata, só que na prorpoção de 2 para 5, respectivamente. Para produzir 400g de uma terceira liga de ouro e prata na proporção de 1 para 1, o ourives juntou X gramas da 1º liga a Y gramas da 2º liga. A resposta é: x=3y Grato. _ Descubra como mandar Torpedos SMS do seu Messenger para o celular dos seus amigos. http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Chegou o Windows Live Spaces com rede social. Confira http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema nº 8 NIVEL 3 OBM 20 07
Ola' Fabio,
numa PA generica temosAn = A1 + (n-1)*r
Quando r=1 , entao
An = A1 + (n-1)
de forma que o numero n de termos e' igual a
An - A1 + 1
E, obviamente, o termo medio e' (A1 + An)/2 , de forma que a soma dos termos e'
(A1+An) * (An-A1+1) / 2
Repare que a divisao por 2 nao tem absolutamente nada a ver com o numero de
ternos, como voce supos, mas com o termo medio.
Substitua A1 por 4, e An por (n^4-4) para descobrir que
n^4 * (n^4 - 7) / 2 = 309 * n^4
Portanto,
( n^4 - 7 ) / 2 = 309
E o resto voce pode completar...
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Rogerio Ponce
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Fábio Jesus Moreira de Almeida wrote:
Porquê (n^4-4) - 4 + 1
por causa da formula da soma da PA? (an + a1)n/2
a formula que vc usou para obtenção do número de termos foi:
[ (an - a1) + 1 ]/2
de qual teorema ou análise vc tirou esta?
Felipe Sardinha [EMAIL PROTECTED] escreveu: Bom dia Fábio.
Eis aqui meu raciocínio:
Seja S = 4/n^4 + 5/n^4 + 6/n^4 + ... + (n^4 - 5)/n^4 + (n^4 - 4)/n^4
Somando parcelas equidistantes, temos:
4/n^4 + (n^4 - 4)/n^4 = 1
5/n^4 + (n^4 - 5)/n^4 = 1
6/n^4 + (n^4 - 6)/n^4 = 1
...
(e assim, sucessivamente)
Basta agora calcularmos quantas parcelas com soma 1 possuem na expressão:
{(n^4 - 4) - 4 + 1)}/2 = (n^4 - 7)/2
Substituindo, encontramos a seguinte expressão:
S = (n^4 - 7)/2
309x2 = n^4 - 7
625 = n^4 == n = 5
Espero ter ajudado.
Grande Abraço a todos.
Felipe Marinho de Oliveira Sardinha
Fábio Jesus Moreira de Almeida [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá, meu nome é Fábio, e gostaria que alguém me auxiliasse no problema nº8
nivel 3 da OBM 2007 1ªfase.
Depois de muitos anos trabalhando com matemática aqui na USP, participando
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errava um exercício.
E ainda não me conformo com o erro,, eu não entendo a resolução colocada no
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Re: [obm-l] problema do livro
Oi Vanderlei, Pode. A resposta no livro está imprecisa. Fique com a solução apresentada na lista. Acho que do Rogério. Um abraço, Luís From: vandermath [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] problema do livro Date: Wed, 20 Jun 2007 10:54:41 -0300 Prezado Luis Lopes A minha dúvida é a seguinte: Não pode acontecer de uma pessoa ser desconhecida de todas, mas todas as outras conheceram pelo menos uma pessoa? Como se esse pessoa fosse um penetra da festa? Um abraço, Vanderlei Em (14:17:58), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: Sauda,c~oes, Oi Vanderlei, Não está dito mas supõe-se que se eu não conheço você então você também não me conhece. Talvez aí esteja a sua dúvida. Um abraço, Luís From: Bruno França dos Reis Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] problema do livro é divertido resolver problemas Date: Wed, 13 Jun 2007 23:32:31 -0300 Talvez fosse legal vc colocar detalhes sobre esse problema... se não quem não conhece o livro terá que ir atrás dele pra responder pra vc! 2007/6/13, vandermath : Caros colegas da lista! Não entendi a explicação do problema número 14 (o teorema da amizade) do livro do Luís Lopes cujo título é: É divertido resolver problemas. Ele diz que no caso de uma das pessoas ter zero amigos, pelo menos mais uma outra pessoa terá zero amigos. Porque? Não pode acontecer de apenas uma pessoa ter nenhum amigo? Se alguém puder ajudar, talvez o próprio autor, eu agradeço... Um abraço, Vanderlei _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html -- _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] problema do livro é divertido resolver problemas
Sauda,c~oes, Oi Vanderlei, Não está dito mas supõe-se que se eu não conheço você então você também não me conhece. Talvez aí esteja a sua dúvida. Um abraço, Luís From: Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] problema do livro é divertido resolver problemas Date: Wed, 13 Jun 2007 23:32:31 -0300 Talvez fosse legal vc colocar detalhes sobre esse problema... se não quem não conhece o livro terá que ir atrás dele pra responder pra vc! 2007/6/13, vandermath [EMAIL PROTECTED]: Caros colegas da lista! Não entendi a explicação do problema número 14 (o teorema da amizade) do livro do Luís Lopes cujo título é: É divertido resolver problemas. Ele diz que no caso de uma das pessoas ter zero amigos, pelo menos mais uma outra pessoa terá zero amigos. Porque? Não pode acontecer de apenas uma pessoa ter nenhum amigo? Se alguém puder ajudar, talvez o próprio autor, eu agradeço... Um abraço, Vanderlei _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] problema do livro
Prezado Luis Lopes A minha dúvida é a seguinte: Não pode acontecer de uma pessoa ser desconhecida de todas, mas todas as outras conheceram pelo menos uma pessoa? Como se esse pessoa fosse um penetra da festa? Um abraço, Vanderlei Em (14:17:58), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: Sauda,c~oes, Oi Vanderlei, Não está dito mas supõe-se que se eu não conheço você então você também não me conhece. Talvez aí esteja a sua dúvida. Um abraço, Luís From: Bruno França dos Reis Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] problema do livro é divertido resolver problemas Date: Wed, 13 Jun 2007 23:32:31 -0300 Talvez fosse legal vc colocar detalhes sobre esse problema... se não quem não conhece o livro terá que ir atrás dele pra responder pra vc! 2007/6/13, vandermath : Caros colegas da lista! Não entendi a explicação do problema número 14 (o teorema da amizade) do livro do Luís Lopes cujo título é: É divertido resolver problemas. Ele diz que no caso de uma das pessoas ter zero amigos, pelo menos mais uma outra pessoa terá zero amigos. Porque? Não pode acontecer de apenas uma pessoa ter nenhum amigo? Se alguém puder ajudar, talvez o próprio autor, eu agradeço... Um abraço, Vanderlei _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html --
Re: [obm-l] problema do livro
Que eu saiba o teorema da amizade diz que num grupo de 2 ou mais pessoas pelo menos 2 tem exatamente o mesmo numero de amizades. O que e diferente de dizer que todos os numeros de amizades aparecem em dobro. From: vandermath [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] problema do livro Date: Wed, 20 Jun 2007 10:54:41 -0300 Prezado Luis Lopes A minha dúvida é a seguinte: Não pode acontecer de uma pessoa ser desconhecida de todas, mas todas as outras conheceram pelo menos uma pessoa? Como se esse pessoa fosse um penetra da festa? Um abraço, Vanderlei Em (14:17:58), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: Sauda,c~oes, Oi Vanderlei, Não está dito mas supõe-se que se eu não conheço você então você também não me conhece. Talvez aí esteja a sua dúvida. Um abraço, Luís From: Bruno França dos Reis Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] problema do livro é divertido resolver problemas Date: Wed, 13 Jun 2007 23:32:31 -0300 Talvez fosse legal vc colocar detalhes sobre esse problema... se não quem não conhece o livro terá que ir atrás dele pra responder pra vc! 2007/6/13, vandermath : Caros colegas da lista! Não entendi a explicação do problema número 14 (o teorema da amizade) do livro do Luís Lopes cujo título é: É divertido resolver problemas. Ele diz que no caso de uma das pessoas ter zero amigos, pelo menos mais uma outra pessoa terá zero amigos. Porque? Não pode acontecer de apenas uma pessoa ter nenhum amigo? Se alguém puder ajudar, talvez o próprio autor, eu agradeço... Um abraço, Vanderlei _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html -- _ Hotmail to go? Get your Hotmail, news, sports and much more! http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] problema do livro é divertido resolver problemas
Ola' Luiz, Vanderlei, e colegas da lista, conforme o Bruno apontou, eu e varios participantes nao poderemos contribuir porque o enunciado nao foi explicitado. Se o problema estivesse publicado em algum site, com certeza seria suficiente fornecer o endereco do mesmo. Mas dizer em que livro esta' nao me adianta (e nem a varios de nos) de nada... Entao, tenham pena dos sem-livro e digam : QUAL E' O ENUNCIADO ??? Grande abraco a todos, Rogerio Ponce PS: existem diferentes enunciados com o titulo de Teorema da Amizade... Luís Lopes [EMAIL PROTECTED] escreveu: Sauda,c~oes, Oi Vanderlei, Não está dito mas supõe-se que se eu não conheço você então você também não me conhece. Talvez aí esteja a sua dúvida. Um abraço, Luís From: Bruno França dos Reis Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] problema do livro é divertido resolver problemas Date: Wed, 13 Jun 2007 23:32:31 -0300 Talvez fosse legal vc colocar detalhes sobre esse problema... se não quem não conhece o livro terá que ir atrás dele pra responder pra vc! 2007/6/13, vandermath : Caros colegas da lista! Não entendi a explicação do problema número 14 (o teorema da amizade) do livro do Luís Lopes cujo título é: É divertido resolver problemas. Ele diz que no caso de uma das pessoas ter zero amigos, pelo menos mais uma outra pessoa terá zero amigos. Porque? Não pode acontecer de apenas uma pessoa ter nenhum amigo? Se alguém puder ajudar, talvez o próprio autor, eu agradeço... Um abraço, Vanderlei _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
Re: [obm-l] problema do livro é divertido resolver problemas
Ola' pessoal, vamos resolver o problema indicado pelo Qwert : ...o teorema da amizade diz que num grupo de 2 ou mais pessoas pelo menos 2 tem exatamente o mesmo numero de amizades. Solucao: A) Se o grupo tem somente 2 pessoas, entao: ou as 2 se conhecem (e portanto cada uma tem 1 amigo) , ou as 2 nao se conhecem ( e cada uma tem 0 amigos). Logo, ha' 2 pessoas com exatamente o mesmo numero de amigos. B) Se o grupo tem n2 pessoas: Sabemos que o numero de amigos de qualquer pessoa esta' entre 0 inclusive e (n-1) inclusive. Suponhamos que fosse possivel, que ninguem tivesse o mesmo numero de amigos que outra pessoa. Assim, ha' n numeros diferentes a serem distribuidos entre n pessoas. Entao, uma e apenas uma pessoa tem 0 amigos, e ninguem se relaciona com ela. Consideremos o grupo formado pelas outras (n-1) pessoas. Já que mais ninguem pode ter 0 amigos, cada uma das pessoas desse novo grupo deve ter entre 1 inclusive e (n-2) inclusive amigos. Como sao (n-2) numeros distribuidos entre (n-1) pessoas, entao pelo menos uma pessoa tera' o mesmo numero de amigos que outra pessoa, o que e' uma contradicao. Logo, alguem tem o mesmo numero de amigos que outra pessoa. Assim, por A e B, ha' pelo menos 2 pessoas com exatamente o mesmo numero de amigos. []'s Rogerio Ponce. Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola' Luiz, Vanderlei, e colegas da lista, conforme o Bruno apontou, eu e varios participantes nao poderemos contribuir porque o enunciado nao foi explicitado. Se o problema estivesse publicado em algum site, com certeza seria suficiente fornecer o endereco do mesmo. Mas dizer em que livro esta' nao me adianta (e nem a varios de nos) de nada... Entao, tenham pena dos sem-livro e digam : QUAL E' O ENUNCIADO ??? Grande abraco a todos, Rogerio Ponce PS: existem diferentes enunciados com o titulo de Teorema da Amizade... Luís Lopes [EMAIL PROTECTED] escreveu: Sauda,c~oes, Oi Vanderlei, Não está dito mas supõe-se que se eu não conheço você então você também não me conhece. Talvez aí esteja a sua dúvida. Um abraço, Luís From: Bruno França dos Reis Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] problema do livro é divertido resolver problemas Date: Wed, 13 Jun 2007 23:32:31 -0300 Talvez fosse legal vc colocar detalhes sobre esse problema... se não quem não conhece o livro terá que ir atrás dele pra responder pra vc! 2007/6/13, vandermath : Caros colegas da lista! Não entendi a explicação do problema número 14 (o teorema da amizade) do livro do Luís Lopes cujo título é: É divertido resolver problemas. Ele diz que no caso de uma das pessoas ter zero amigos, pelo menos mais uma outra pessoa terá zero amigos. Porque? Não pode acontecer de apenas uma pessoa ter nenhum amigo? Se alguém puder ajudar, talvez o próprio autor, eu agradeço... Um abraço, Vanderlei - Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
Re: [obm-l] problema do livro é divertido resolver problemas
Talvez fosse legal vc colocar detalhes sobre esse problema... se não quem não conhece o livro terá que ir atrás dele pra responder pra vc! 2007/6/13, vandermath [EMAIL PROTECTED]: Caros colegas da lista! Não entendi a explicação do problema número 14 (o teorema da amizade) do livro do Luís Lopes cujo título é: É divertido resolver problemas. Ele diz que no caso de uma das pessoas ter zero amigos, pelo menos mais uma outra pessoa terá zero amigos. Porque? Não pode acontecer de apenas uma pessoa ter nenhum amigo? Se alguém puder ajudar, talvez o próprio autor, eu agradeço... Um abraço, Vanderlei -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Problema 2 nível 1 - 1998
Olá Hugo. É só falta de treino. Ninguém é burro. Jacira consegue datilografar 20 páginas de um manuscrito em 4 horas e Joana o faz em 5 horas. Ainda restam 900 páginas do manuscrito para datilografar. Se as duas começarem a datilografar no mesmo instante essas páginas, quantas páginas deverá pegar a mais lenta, de forma que ambas terminem juntas?Cheguei na resposta certa por tentativa e erro, mas queria algo mais elaborado. Alguém poderia ajudar? -- []'s Há várias formas de fazer. Pensando fisicamente: Jacira datilografa v1 = 20/4 = 5 paginas por hora Joana datilografa v2 = 20/5 = 4 paginas por hora Jacira + Joana juntas datilografam v1+v2 = 5 + 4 = 9 paginas por hora. Ora, se faltam 900 páginas as duas juntas conseguem datilografá-las em 100 horas. Nestas 100 horas a mais lenta (Joana) percorre 100 * 4 = 400 páginas e a mais rápida (Jacira) 100 * 5 = 500 páginas que somadas dão 900 páginas. Comece treinando com exercíos simples como esse e tente resolvê-los sozinho. Depois vá para os mais e mais complexos. Não importa se você está fazendo faculdade ou se já a terminou. O avião para decolar precisa vencer a inércia e receber comandos do piloto. Depois que estiver voando pode usar o piloto automático :) Mas ... Oopss... não entendo nada de aviação ... :) Posso ter dito besteira, mas enfim a idéia eh essa. Abraço! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Problema 2 nível 1 - 1998
Vou montar as funções horárias da quantidade de páginas. P' - Jacira P - Joana P'=5t P=4t Sabemos que P+P'=900 = 9t=900 = t=100 horas P=4t = P=400 páginas. R: Deverá pegar 400 páginas. Deve ser isso. Abraço. | Alexandre Salim | From: Hugo Canalli [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Problema 2 nível 1 - 1998 Date: Sun, 27 May 2007 18:02:49 -0300 Pode alguém fazendo faculdade não saber resolver um exercício tão simples como esse ? Acho que é falta de treino ou por que sou burro... :) Jacira consegue datilografar 20 páginas de um manuscrito em 4 horas e Joana o faz em 5 horas. Ainda restam 900 páginas do manuscrito para datilografar. Se as duas começarem a datilografar no mesmo instante essas páginas, quantas páginas deverá pegar a mais lenta, de forma que ambas terminem juntas? Cheguei na resposta certa por tentativa e erro, mas queria algo mais elaborado. Alguém poderia ajudar? -- []'s _ Descubra como mandar Torpedos SMS do seu Messenger para o celular dos seus amigos. http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Problema da Eureka 25
alguem sabe onde eu baixo o lidski obrigado _ Verificador de Segurança do Windows Live OneCare: verifique já a segurança do seu PC! http://onecare.live.com/site/pt-br/default.htm = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema da Eureka 25
Olá Saulo! Não entendi. Você poderia explicar com mais detalhes? Se você também puder apontar onde errei na solução. Obrigado! On 5/18/07, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote: a1a2a,,,an nao precisa terminar em zero, ja que ele e multiplicado por 100 que e divisivel portodos os numeros xyi. um numero par em baixo, cancela com 100 ficando um outro nuymero em baixo. -- Henrique
Re: [obm-l] Problema da Eureka 25
Acho que resolvi. Já que temos que achar o número a1a2...an00 que seja divisível por XY, onde 1 = X = 9 e 1 = Y = 4, e o número a1a2...an é divisível por 100, nos fatores de 100 temos 2,2,5,5, ou seja, de todos os números de dois dígitos que podemos formar com os fatores de 100 o único que estaria nas condições da seqüência iniciada em XY é 25. Dessa forma, qualquer seqüência de 6 números consecutivos que tenha entre um deles os dois últimos dígitos 25 é uma seqüência válida. Portanto a1a2...an poderia assumir os seguintes valores: 21*22*23*24*26 = 6630624 22*23*24*26*27 = 8525088 23*24*26*27*28 = 10850112 24*26*27*28*29 = 13680576 As possíveis seqüências seriam: 663062421, 663062422, 663062423, 663062424, 663062425, 663062426 852508822, 852508823, 852508824, 852508825, 852508826, 852508827 1085011223, 1085011224, 1085011225, 1085011226, 1085011227, 1085011228 1368057624, 1368057625, 1368057626, 1368057627, 1368057628, 1368057629 Acredito que sejam essas as respostas. Abraços! On 5/18/07, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Saulo! Não entendi. Você poderia explicar com mais detalhes? Se você também puder apontar onde errei na solução. Obrigado! On 5/18/07, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote: a1a2a,,,an nao precisa terminar em zero, ja que ele e multiplicado por 100 que e divisivel portodos os numeros xyi. um numero par em baixo, cancela com 100 ficando um outro nuymero em baixo. -- Henrique -- Henrique
Re: [obm-l] Problema da Eureka 25
a1a2a,,,an nao precisa terminar em zero, ja que ele e multiplicado por 100 que e divisivel portodos os numeros xyi. um numero par em baixo, cancela com 100 ficando um outro nuymero em baixo. On 5/17/07, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá!!! Estou tentando resolver o segundo problema da XI Olimpíada de Maio - Primeiro Nível. Problema: Um número inteiro chama-se autodivi se é divisível pelo número de dois algarismos formado por seus dois últimos dígitos (dezenas e unidades). Por exemplo, 78013 é autodivi pois é divisível por 13, 8517 é autodivi pois é divisível por 17. Encontre 6 números inteiros consecutivos que sejam autodivi e que tenham os dígitos das unidades, das dezenas e das centenas distintos de 0. Solução: Como os três últimos dígitos dos números devem ser diferentes de 0, o último dígito do primeiro número da seqüência só poderá ser 1, 2, 3 ou 4 já que se for 5, 6, 7, 8 ou 9 um dos outros cinco terão como último dígito zero, já que são consecutivos. Considerando apenas o primeiro número dos 6 e seja este número na forma a1a2...anXY, onde 1 = X = 9, 1 = Y = 4, 0 = a1, a2, ..., an-1 = 9 e 1 = an = 9. Este número pode ser escrito como a1a2...an00 + XY. Nesta soma XY é divisível por XY e a1a2...an00 é divisível por 100. Portanto, se a1a2...an for divisível por XY, XY+1, XY+2, XY+3, XY+4, XY+5 então teremos a seqüência de números em que cada número é divisível pelo número composto por seus 2 últimos dígitos. O problema é que o número a1a2...an sempre terminará em 0, pois ele deve ser divisível por um número par X2,X4,X6 ou X8 e também divisível por X5. Mas o problema pede que o dígito das centenas não seja 0. Caso não fosse informado que o dígito das centenas não pode ser zero, qualquer seqüência de número consecutivos de 2 algarismos diferentes de 0 seria uma resposta. Gostaria de saber onde errei e qual seria a solução correta para o problema. Muito obrigado! -- Henrique
Re: [obm-l] problema do elevador
nao e que esse livro e famoso , muita gente tem e e facil de achar, achei que vc nao sabia que tinha la, nao tem resluçao , so da a resposta final. On 5/13/07, fernandobarcel [EMAIL PROTECTED] wrote: Ué Saulo, então não é com resposta e tudo - tem apenas uma resposta. E qual é a resposta? Pensando bem, quase todos problemas daqui devem estar resolvidos em algum lugar. Mas saber disso não adianta nada pra maioria de nós, a não ser que o lugar seja em algum site da internet, concorda? Saulo Nilson wrote: esse problema e classico, tem no livro fundamentos da fisica com resposta e tudo, mas nao com resoluçao. On 5/5/07, Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola' Emanuel, Como a plataforma exerce uma forca Fn sobre o homem, entao o homem exerce uma forca igual e de sentido contrario no elevador. Portanto, sobre o elevador atuam as forcas Fn e M*g para baixo, e uma forca T (tensao na corda) para cima, cuja resultante acelera o elevador de a . Portanto T - (Fn + M*g) = M*a ou seja, T = Fn + M*g + M*a Por outro lado, o homem, que sobe com aceleracao a , sofre a acao das seguintes forcas: o seu proprio peso (g*m) , a tensao na corda (T) , e a forca da plataforma (Fn) . Assim, a*m = T + Fn - g*m Substituindo o valor de T: a*m = Fn + M*g + M*a + Fn - g*m ou seja Fn = (a+g) * (m-M) / 2 []'s Rogerio Ponce *Emanuel Valente [EMAIL PROTECTED]* escreveu: Olá a todos da lista, estou empacado nesse problema de mecânica da segunda fase da ufscar. O sistema esquematizado compõe de um elevador de massa M e um homem de massa m. O elevador está suspenso por uma corda que passa por uma polia fixa e vem às mãos do operador, a corda e a roldana são supostas ideais. O operador puxa a corda e sobe com aceleração constante a, juntamente com o elevador. São supostos conhecidos M, m, a e g. Determine a intensidada da força Fn que a plataforma exerce no operador. Protótipo do desenho: http://epaduel.org/tmp/252.jpg (by paint). Agradeço desde já a ajuda de vocês! __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] problema do elevador
Olá, eu tenho o livro e a resposta está correta. Abraços, Emanuel Valente. fernandobarcel escreveu: Ué Saulo, então não é com resposta e tudo - tem apenas uma resposta. E qual é a resposta? Pensando bem, quase todos problemas daqui devem estar resolvidos em algum lugar. Mas saber disso não adianta nada pra maioria de nós, a não ser que o lugar seja em algum site da internet, concorda? Saulo Nilson wrote: esse problema e classico, tem no livro fundamentos da fisica com resposta e tudo, mas nao com resoluçao. On 5/5/07, Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola' Emanuel, Como a plataforma exerce uma forca Fn sobre o homem, entao o homem exerce uma forca igual e de sentido contrario no elevador. Portanto, sobre o elevador atuam as forcas Fn e M*g para baixo, e uma forca T (tensao na corda) para cima, cuja resultante acelera o elevador de a . Portanto T - (Fn + M*g) = M*a ou seja, T = Fn + M*g + M*a Por outro lado, o homem, que sobe com aceleracao a , sofre a acao das seguintes forcas: o seu proprio peso (g*m) , a tensao na corda (T) , e a forca da plataforma (Fn) . Assim, a*m = T + Fn - g*m Substituindo o valor de T: a*m = Fn + M*g + M*a + Fn - g*m ou seja Fn = (a+g) * (m-M) / 2 []'s Rogerio Ponce *Emanuel Valente [EMAIL PROTECTED]* escreveu: Olá a todos da lista, estou empacado nesse problema de mecânica da segunda fase da ufscar. O sistema esquematizado compõe de um elevador de massa M e um homem de massa m. O elevador está suspenso por uma corda que passa por uma polia fixa e vem às mãos do operador, a corda e a roldana são supostas ideais. O operador puxa a corda e sobe com aceleração constante a, juntamente com o elevador. São supostos conhecidos M, m, a e g. Determine a intensidada da força Fn que a plataforma exerce no operador. Protótipo do desenho: http://epaduel.org/tmp/252.jpg (by paint). Agradeço desde já a ajuda de vocês! __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
Sejam *x*, *y*,* z* reais positivos tais que *xy* + *yz* + *zx* = 1. Prove que: 2x (1 - x²) + 2y (1 - y²) + 2z (1 - z²) x+ y+z (1+x²)² (1+y²)² (1+z²)² 1+x² 1+y² 1+z²] o problema equivalente a demonstrar que 2-2x^2=1+x^2 x=1/raiz3 (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(1) x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2 x+y+z=rq2 x e maximo para x0 e z0 logo x=rq2=1/rq3 On 5/5/07, Lucas Daniel [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá. Sou aluno do 1.º ano do Ensino Médio e ontem meu professor de Matemática para a OBM me passou um problema sobre desigualdade o qual ainda não consegui resolver. Seria possível me passar a resolução? Obrigado, Lucas. O problema é o seguinte: Sejam *x*, *y*,* z* reais positivos tais que *xy* + *yz* + *zx* = 1. Prove que: 2x (1 - x²) + 2y (1 - y²) + 2z (1 - z²) x+ y+z (1+x²)² (1+y²)² (1+z²)² 1+x² 1+y² 1+z² Obrigado! __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] problema do elevador
esse problema e classico, tem no livro fundamentos da fisica com resposta e tudo, mas nao com resoluçao. On 5/5/07, Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola' Emanuel, Como a plataforma exerce uma forca Fn sobre o homem, entao o homem exerce uma forca igual e de sentido contrario no elevador. Portanto, sobre o elevador atuam as forcas Fn e M*g para baixo, e uma forca T (tensao na corda) para cima, cuja resultante acelera o elevador de a . Portanto T - (Fn + M*g) = M*a ou seja, T = Fn + M*g + M*a Por outro lado, o homem, que sobe com aceleracao a , sofre a acao das seguintes forcas: o seu proprio peso (g*m) , a tensao na corda (T) , e a forca da plataforma (Fn) . Assim, a*m = T + Fn - g*m Substituindo o valor de T: a*m = Fn + M*g + M*a + Fn - g*m ou seja Fn = (a+g) * (m-M) / 2 []'s Rogerio Ponce *Emanuel Valente [EMAIL PROTECTED]* escreveu: Olá a todos da lista, estou empacado nesse problema de mecânica da segunda fase da ufscar. O sistema esquematizado compõe de um elevador de massa M e um homem de massa m. O elevador está suspenso por uma corda que passa por uma polia fixa e vem às mãos do operador, a corda e a roldana são supostas ideais. O operador puxa a corda e sobe com aceleração constante a, juntamente com o elevador. São supostos conhecidos M, m, a e g. Determine a intensidada da força Fn que a plataforma exerce no operador. Protótipo do desenho: http://epaduel.org/tmp/252.jpg (by paint). Agradeço desde já a ajuda de vocês! __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] problema do elevador
Ué Saulo, então não é com resposta e tudo - tem apenas uma resposta. E qual é a resposta? Pensando bem, quase todos problemas daqui devem estar resolvidos em algum lugar. Mas saber disso não adianta nada pra maioria de nós, a não ser que o lugar seja em algum site da internet, concorda? Saulo Nilson wrote: esse problema e classico, tem no livro fundamentos da fisica com resposta e tudo, mas nao com resoluçao. On 5/5/07, Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola' Emanuel, Como a plataforma exerce uma forca Fn sobre o homem, entao o homem exerce uma forca igual e de sentido contrario no elevador. Portanto, sobre o elevador atuam as forcas Fn e M*g para baixo, e uma forca T (tensao na corda) para cima, cuja resultante acelera o elevador de a . Portanto T - (Fn + M*g) = M*a ou seja, T = Fn + M*g + M*a Por outro lado, o homem, que sobe com aceleracao a , sofre a acao das seguintes forcas: o seu proprio peso (g*m) , a tensao na corda (T) , e a forca da plataforma (Fn) . Assim, a*m = T + Fn - g*m Substituindo o valor de T: a*m = Fn + M*g + M*a + Fn - g*m ou seja Fn = (a+g) * (m-M) / 2 []'s Rogerio Ponce *Emanuel Valente [EMAIL PROTECTED]* escreveu: Olá a todos da lista, estou empacado nesse problema de mecânica da segunda fase da ufscar. O sistema esquematizado compõe de um elevador de massa M e um homem de massa m. O elevador está suspenso por uma corda que passa por uma polia fixa e vem às mãos do operador, a corda e a roldana são supostas ideais. O operador puxa a corda e sobe com aceleração constante a, juntamente com o elevador. São supostos conhecidos M, m, a e g. Determine a intensidada da força Fn que a plataforma exerce no operador. Protótipo do desenho: http://epaduel.org/tmp/252.jpg (by paint). Agradeço desde já a ajuda de vocês! __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
Eu não entendi isso: tgA tgB + tgA tgC + tgB tgC = 1 - A+B+C = Pi/2 Poderia esclarer para mim, por favor? Em 06/05/07, charles[EMAIL PROTECTED] escreveu: Sejam x, y, z reais positivos tais que xy + yz + zx = 1. Prove que: 2x (1 - x²) + 2y (1 - y²) + 2z (1 - z²) x+ y+z (1+x²)² (1+y²)² (1+z²)² 1+x² 1+y² 1+z² De a função tangente ser bijetora no intervalo [0,pi/2], nos reais positivos, existe apenas um tgA=x, tgB=y e TgC=z. Da formula da soma da tangente de trs termos(calcule) temos que tgATgB +TgBTgC +TgATgC=1 se e só se A + B + C= pi/2 aí de (tga)^2 +1=(secx)^2 e de 1-(tgx)^2=cos(2x)/(cosx)^2, a des fica: depois fica um negocio assim: sen(4A) + sen(4B)+sen(4C) = sen(2A) +sen(2B)+sen(2C) lado direito: 2sen(a+b)cos(a-b)+sen(2(a+b))=2sen(a+b)[cos(a-b)+cos(a+b)]=4sen(a+b)[cosacosb] lado esquerdo: 2sen(2a+2b)cos(2a-2b)-2sen[2a+2B]cos(2a+2b)=2sen(2a+2b)[cos(2a-2b)-cos(2a+2b)]=4sena+bcos(a+b)2sen(2a)sen(2b) fica, cancelando: sena.senb.senc=1/8 que sai por JENSEN, senx é concava em 0,pi/2 derivada segunda é menor que zero (-cosx, x pertencente a 0,pi/2) logo: sena.senb.senc=(sena+senb+senc)^3/3^3 (média aritmética-geométrica) =(3.sen(pi/6))^3/3^3(des.jensen)=1/8, pronto. provavelmente tem algum erro ae mas ali no meio da parte de trigonometria eu usei as fórmulas de tranformar soma em produto algumas vezes. Mas cara na tua escola voce tem um professor só para obm? eu queria estudar numa escola assim.voce tem sorte! Obrigado! __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
Sejam *x*, *y*,* z* reais positivos tais que *xy* + *yz* + *zx* = 1. Prove que: 2x (1 - x²) + 2y (1 - y²) + 2z (1 - z²) x+ y+ z (1+x²)² (1+y²)² (1+z²)² 1+x² 1+y² 1+z² De a função tangente ser bijetora no intervalo [0,pi/2], nos reais positivos, existe apenas um tgA=x, tgB=y e TgC=z. Da formula da soma da tangente de trs termos(calcule) temos que tgATgB +TgBTgC +TgATgC=1 se e só se A + B + C= pi/2 aí de (tga)^2 +1=(secx)^2 e de 1-(tgx)^2=cos(2x)/(cosx)^2, a des fica: depois fica um negocio assim: sen(4A) + sen(4B)+sen(4C) = sen(2A) +sen(2B)+sen(2C) lado direito: 2sen(a+b)cos(a-b)+sen(2(a+b))=2sen(a+b)[cos(a-b)+cos(a+b)]=4sen(a+b)[cosacosb] lado esquerdo: 2sen(2a+2b)cos(2a-2b)-2sen[2a+2B]cos(2a+2b)=2sen(2a+2b)[cos(2a-2b)-cos(2a+2b)]=4sena+bcos(a+b)2sen(2a)sen(2b) fica, cancelando: sena.senb.senc=1/8 que sai por JENSEN, senx é concava em 0,pi/2 derivada segunda é menor que zero (-cosx, x pertencente a 0,pi/2) logo: sena.senb.senc=(sena+senb+senc)^3/3^3 (média aritmética-geométrica) =( 3.sen(pi/6))^3/3^3(des.jensen)=1/8, pronto. provavelmente tem algum erro ae mas ali no meio da parte de trigonometria eu usei as fórmulas de tranformar soma em produto algumas vezes. Mas cara na tua escola voce tem um professor só para obm? eu queria estudar numa escola assim.voce tem sorte! Obrigado! __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
Olá, se x 1/sqrt(3), y 1/sqrt(3), z 1/sqrt(3) ... xy 1/3 ... xz 1/3 ... yz 1/3 xy + xz + yz 1 ... opz! absurdo! entao, pelo menos 1 tem que ser menor ou igual a 1/sqrt(3)... se x 1/sqrt(3), y 1/sqrt(3), z 1/sqrt(3)... xy 1/3 .. xz 1/3 ... yz 1/3 ... xy + xz + yz 1 ... opz! absurdo! entao, pelo menos 1 tem que ser maior ou igual a 1/sqrt(3)... sem perda de generalidade, vamos supor que x = 1/sqrt(3) e z = 1/sqrt(3) e y pode assumir qualquer valor... mas.. y(x+z) = 1 - xz y = (1-xz)/(x+z) ... como y0, temos: 1-xz 0... xz 1 sabemos que: x 0 e z = 1/sqrt(3) ... logo xz 0 e x+z 1/sqrt(3) logo: y = (1-xz)/(x+z) (1-xz)*sqrt(3) sqrt(3) por enquanto, temos: x = 1/sqrt(3) ...y sqrt(3) ... z = 1/sqrt(3) legal.. achei algumas restricoes.. talvez isso ajude.. vamos analisar esta expressao: - 2x(1-x^2)/(1+x^2)^2 + x(1+x^2)/(1+x^2)^2 = -(2x - 2x^3 - x - x^3)/(1+x^2)^2 = -(-3x^3 + x)/(1+x^2)^2 = x(3x^2 - 1)/(1+x^2)^2 assim, o que é pedido é equivalente a provar que: x(3x^2 - 1)/(1+x^2)^2 + y(3y^2 - 1)/(1+y^2)^2 + z(3z^2 - 1)/(1+z^2)^2 = 0 como x = 1/sqrt(3) ... x(3x^2 - 1)/(1+x^2)^2 = 0 como z = 1/sqrt(3) ... z(3z^2 - 1)/(1+z^2)^2 = 0 pra y, pode ser negativo ou positivo... hehe bom.. nao cheguei em lugar nenhum estou enviando pra ver se ajuda alguem.. vou tentar outra solucao.. realmente, nao gostei do q fiz! hehe abracos, Salhab On 5/5/07, Lucas Daniel [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá. Sou aluno do 1.º ano do Ensino Médio e ontem meu professor de Matemática para a OBM me passou um problema sobre desigualdade o qual ainda não consegui resolver. Seria possível me passar a resolução? Obrigado, Lucas. O problema é o seguinte: Sejam x, y, z reais positivos tais que xy + yz + zx = 1. Prove que: 2x (1 - x²) + 2y (1 - y²) + 2z (1 - z²) x+ y+z (1+x²)² (1+y²)² (1+z²)² 1+x² 1+y² 1+z² Obrigado! __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de Desigualdade
linda solucao!!! :) abracos, Salhab On 5/6/07, charles [EMAIL PROTECTED] wrote: Sejam x, y, z reais positivos tais que xy + yz + zx = 1. Prove que: 2x (1 - x²) + 2y (1 - y²) + 2z (1 - z²) x+ y+z (1+x²)² (1+y²)² (1+z²)² 1+x² 1+y² 1+z² De a função tangente ser bijetora no intervalo [0,pi/2], nos reais positivos, existe apenas um tgA=x, tgB=y e TgC=z. Da formula da soma da tangente de trs termos(calcule) temos que tgATgB +TgBTgC +TgATgC=1 se e só se A + B + C= pi/2 aí de (tga)^2 +1=(secx)^2 e de 1-(tgx)^2=cos(2x)/(cosx)^2, a des fica: depois fica um negocio assim: sen(4A) + sen(4B)+sen(4C) = sen(2A) +sen(2B)+sen(2C) lado direito: 2sen(a+b)cos(a-b)+sen(2(a+b))=2sen(a+b)[cos(a-b)+cos(a+b)]=4sen(a+b)[cosacosb] lado esquerdo: 2sen(2a+2b)cos(2a-2b)-2sen[2a+2B]cos(2a+2b)=2sen(2a+2b)[cos(2a-2b)-cos(2a+2b)]=4sena+bcos(a+b)2sen(2a)sen(2b) fica, cancelando: sena.senb.senc=1/8 que sai por JENSEN, senx é concava em 0,pi/2 derivada segunda é menor que zero (-cosx, x pertencente a 0,pi/2) logo: sena.senb.senc=(sena+senb+senc)^3/3^3 (média aritmética-geométrica) =(3.sen(pi/6))^3/3^3(des.jensen)=1/8, pronto. provavelmente tem algum erro ae mas ali no meio da parte de trigonometria eu usei as fórmulas de tranformar soma em produto algumas vezes. Mas cara na tua escola voce tem um professor só para obm? eu queria estudar numa escola assim.voce tem sorte! Obrigado! __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] problema do elevador
Ola' Emanuel, Como a plataforma exerce uma forca Fn sobre o homem, entao o homem exerce uma forca igual e de sentido contrario no elevador. Portanto, sobre o elevador atuam as forcas Fn e M*g para baixo, e uma forca T (tensao na corda) para cima, cuja resultante acelera o elevador de a . Portanto T - (Fn + M*g) = M*a ou seja, T = Fn + M*g + M*a Por outro lado, o homem, que sobe com aceleracao a , sofre a acao das seguintes forcas: o seu proprio peso (g*m) , a tensao na corda (T) , e a forca da plataforma (Fn) . Assim, a*m = T + Fn - g*m Substituindo o valor de T: a*m = Fn + M*g + M*a + Fn - g*m ou seja Fn = (a+g) * (m-M) / 2 []'s Rogerio Ponce Emanuel Valente [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá a todos da lista, estou empacado nesse problema de mecânica da segunda fase da ufscar. O sistema esquematizado compõe de um elevador de massa M e um homem de massa m. O elevador está suspenso por uma corda que passa por uma polia fixa e vem às mãos do operador, a corda e a roldana são supostas ideais. O operador puxa a corda e sobe com aceleração constante a, juntamente com o elevador. São supostos conhecidos M, m, a e g. Determine a intensidada da força Fn que a plataforma exerce no operador. Protótipo do desenho: http://epaduel.org/tmp/252.jpg (by paint). Agradeço desde já a ajuda de vocês! __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] Problema de Física
Ola, se ela sobe h, entao: v = (2*g*h)^(1/2) a) v = v0 + at ... v - v0 = at .. a = (v - v0)/t (vetorialmente) passando pra escalares, temos: a = (v + v0)/t b) a = [ 1,5 + sqrt(2*9,8*1,2) ] / 0,01 abracos, Salhab On 4/8/07, Diego Alex [EMAIL PROTECTED] wrote: Deixa-se cair uma bola da altura de 1,5 metros. Após colidir com o chão a bola sobe 1,2 metros. Sabendo que o tempo de colisão entre a bola e o solo foi de 0,01. Pede-se: a)Determinar uma fórmula para a aceleração média da bola. b)Calcular a aceleração média da bola P.S.: Enviei a questão pq li em uma msg que o moderador havia liberado as questões de física. Caso, eu esteja enganado, peço desculpas = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de contagem
Muito obrigado Hermann, eu entendi bem a sua suposta 'bagunça', estava bem explicado valeu e boa pascoa Tio Cabri st [EMAIL PROTECTED] escreveu: Graciliano, espero que vc entenda a minha bagunça: 720=2^4 3^2 5^1 (fatoração) 720= x y z (onde x=2^a1 3^b1 5^c1; y=2^a2 3^b2 5^c2; z=2^a3 3^b3 5^c3) temos que a1+a2+a3=4 (15 modos) b1+b2+b3=2 (6 modos) c1+c2+c3=1 (3modos) temos assim 15.6.3=270 modos de colocar xyz só que temos que excluir os iguais a) três iguais(não existe) b) dois iguais e outro diferente (cada um desse tipo foi contado 3 vezes) c) três diferentes (cada um desse tipo foi contado 6 vezes) dos 30 divisores de 720 queremos os quadrados perfeitos para dois iguais logo os expoentes tem de ser par (0,2,4) ou (0,2) ou (0) temos então 6 270-(6.3)=252 como esses 252 são diferentes eles foram contados 6 vezes cada um 252/6=42 distintos resposta 42 + 6 =48 (se incluir os dois iguais) Pergunto: faça o mesmo exercício com 144 em três fatores resposta 12+6 30 em 3 fatores resposta 4+1=5 6 em 3 fatores 1+1=2 Abraços Hermann - Original Message - From: Graciliano Antonio Damazo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, April 03, 2007 7:54 PM Subject: [obm-l] Problema de contagem Galera da lista estou com um problema nessa questao e se alguem puder me ajudar eu desde de já agradeço: 1) De quantos modos o numero 720 pode ser decomposto em um produto de três inteiros positivos. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] Problema de Física
Salhab, agradeço o interesse, mas ainda restaram algumas dúvidas:
1° No gabarito é dado o valor de 1026.
2° Como vc chegou na equação da parte b. {a=[d1 +
sqrt(2*g*d2)]/t_colis,solo} (suponho).
Grato,
Diego
Em 08/04/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Ola,
se ela sobe h, entao: v = (2*g*h)^(1/2)
a) v = v0 + at ... v - v0 = at .. a = (v - v0)/t (vetorialmente)
passando pra escalares, temos: a = (v + v0)/t
b) a = [ 1,5 + sqrt(2*9,8*1,2) ] / 0,01
abracos,
Salhab
On 4/8/07, Diego Alex [EMAIL PROTECTED] wrote:
Deixa-se cair uma bola da altura de 1,5 metros. Após colidir com o chão
a
bola sobe 1,2 metros. Sabendo que o tempo de colisão entre a bola e o
solo
foi de 0,01. Pede-se:
a)Determinar uma fórmula para a aceleração média da bola.
b)Calcular a aceleração média da bola
P.S.: Enviei a questão pq li em uma msg que o moderador havia liberado
as
questões de física. Caso, eu esteja enganado, peço desculpas
=
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=
Re: [obm-l] Problema de Física
O Marcelo deve ter se atrapalhado um pouco : em vez de d1 coloque a velocidade
com que a bola chega ao solo ,i.e., novamente Torricelli - sqrt(2gd1)^(1/2) ,
já que vc. preferiu d a h.
Obs: o problema devia ter especificado: aceleração média durante a colisão...
Diego Alex [EMAIL PROTECTED] escreveu: Salhab, agradeço o interesse, mas
ainda restaram algumas dúvidas:
1° No gabarito é dado o valor de 1026.
2° Como vc chegou na equação da parte b. {a=[d1 +
sqrt(2*g*d2)]/t_colis,solo} (suponho).
Grato,
Diego
Em 08/04/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola,
se ela sobe h, entao: v = (2*g*h)^(1/2)
a) v = v0 + at ... v - v0 = at .. a = (v - v0)/t (vetorialmente)
passando pra escalares, temos: a = (v + v0)/t
b) a = [ 1,5 + sqrt(2*9,8*1,2) ] / 0,01
abracos,
Salhab
On 4/8/07, Diego Alex [EMAIL PROTECTED] wrote:
Deixa-se cair uma bola da altura de 1,5 metros. Após colidir com o chão a
bola sobe 1,2 metros. Sabendo que o tempo de colisão entre a bola e o solo
foi de 0,01. Pede-se:
a)Determinar uma fórmula para a aceleração média da bola.
b)Calcular a aceleração média da bola
P.S.: Enviei a questão pq li em uma msg que o moderador havia liberado as
questões de física. Caso, eu esteja enganado, peço desculpas
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Re: [obm-l] Problema de contagem
Graciliano, espero que vc entenda a minha bagunça: 720=2^4 3^2 5^1 (fatoração) 720= x y z (onde x=2^a1 3^b1 5^c1; y=2^a2 3^b2 5^c2; z=2^a3 3^b3 5^c3) temos que a1+a2+a3=4 (15 modos) b1+b2+b3=2 (6 modos) c1+c2+c3=1 (3modos) temos assim 15.6.3=270 modos de colocar xyz só que temos que excluir os iguais a) três iguais(não existe) b) dois iguais e outro diferente (cada um desse tipo foi contado 3 vezes) c) três diferentes (cada um desse tipo foi contado 6 vezes) dos 30 divisores de 720 queremos os quadrados perfeitos para dois iguais logo os expoentes tem de ser par (0,2,4) ou (0,2) ou (0) temos então 6 270-(6.3)=252 como esses 252 são diferentes eles foram contados 6 vezes cada um 252/6=42 distintos resposta 42 + 6 =48 (se incluir os dois iguais) Pergunto: faça o mesmo exercício com 144 em três fatores resposta 12+6 30 em 3 fatores resposta 4+1=5 6 em 3 fatores 1+1=2 Abraços Hermann - Original Message - From: Graciliano Antonio Damazo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, April 03, 2007 7:54 PM Subject: [obm-l] Problema de contagem Galera da lista estou com um problema nessa questao e se alguem puder me ajudar eu desde de já agradeço: 1) De quantos modos o numero 720 pode ser decomposto em um produto de três inteiros positivos. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
RE: [obm-l] Problema... Olimpiada Argentina
Olá pessoal! Suponha que a quadrúpla ordenada que resolve 2^n=a^2+b^2+c^2+d^2, seja (a_n, b_n, c_n, d_n). Existem duas possibilidades para n natural, n ímpar e n par: Se n é ímpar, n=2k+1 (k=0), 2^n = 2^(2k+1) = 2*2^(2k) = (2^k)^2 + (2^k)^2 = 0 + 0 + (2^k)^2 + (2^k)^2, portanto a quádrupla que soluciona essa equação seria (a_n, b_n, c_n, d_n) = (0, 0, 2^k, 2^k). Se n é par, n=2k (k=1), 2^n = 2^(2k) = 2*2^(2k-1), existe um k', tal que k'=k-1 (k'=0), substituindo dá: 2^n = 2*2^(2k'+1) = 2*2*2^(2k') = 4*2^(2k') = (2^k')^2 + (2^k')^2 + (2^k')^2 + (2^k')^2, portanto a quádrupla que soluciona essa equação seria (a_n, b_n, c_n, d_n) = (2^k', 2^k', 2^k', 2^k'). Dessa forma todas as quádruplas (a, b, c, d) ficam determinadas para todos os valores possíveis de n natural. Um abraço pra todo mundo, Jorge Armando From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Problema... Olimpiada ArgentinaDate: Mon, 26 Mar 2007 21:45:28 -0300 Não consigo resolver: Para cada número natural, n, n diferente de zero, determinar os inteiros a, b, c e d, 0=a=b=c=d, tais que 2^n=a^2+b^2+c^2+d^2. Desde já, Agradeço. João. _ Ligue para os seus amigos grátis. Faça chamadas de PC-para-PC pelo messenger-- GRÁTIS http://get.live.com/messenger/overview
Re:[obm-l] Problema... Olimpiada Argentina
De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Mon, 26 Mar 2007 21:45:28 -0300 Assunto:[obm-l] Problema... Olimpiada Argentina Não consigo resolver: Para cada número natural, n, n diferente de zero, determinar os inteiros a, b, c e d, 0=a=b=c=d, tais que 2^n=a^2+b^2+c^2+d^2. Desde já, Agradeço. João. Pra n par: d = 2^(n/2); c = b = a = 0. Pra n ímpar: d = c = 2^((n-1)/2); b = a = 0. Pra n par, a solução acima não é única pois: 2^(2m) = 4*(2^(m-1))^2. E pra n ímpar? []s, Claudio.
RE: [obm-l] Problema... Olimpiada Argentina
Dessa forma todas as quádruplas (a, b, c, d) ficam determinadas para todos
os valores possíveis de n natural.
Todas as quadruplas? Nao, nao ficam determinadas.
Para n=8 (2^8 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2) , por exemplo, ha' solucoes como
(a,b,c,d) = (0, 0, 0, 2^4)
ou (a,b,c,d) = (2^6, 2^6, 2^6, 2^6)
ou (a,b,c,d) = (0, 0, 2^7, 2^7)
[]'s
Rogerio Ponce
Jorge Armando Rehn Casierra [EMAIL PROTECTED] escreveu:P { margin:0px;
padding:0px } body { FONT-SIZE: 10pt; FONT-FAMILY:Tahoma } Olá pessoal!
Suponha que a quadrúpla ordenada que resolve 2^n=a^2+b^2+c^2+d^2, seja (a_n,
b_n, c_n, d_n). Existem duas possibilidades para n natural, n ímpar e n par:
Se n é ímpar, n=2k+1 (k=0), 2^n = 2^(2k+1) = 2*2^(2k) = (2^k)^2 + (2^k)^2 =
0 + 0 + (2^k)^2 + (2^k)^2, portanto a quádrupla que soluciona essa equação
seria (a_n, b_n, c_n, d_n) = (0, 0, 2^k, 2^k).
Se n é par, n=2k (k=1), 2^n = 2^(2k) = 2*2^(2k-1), existe um k', tal que
k'=k-1 (k'=0), substituindo dá: 2^n = 2*2^(2k'+1) = 2*2*2^(2k') = 4*2^(2k') =
(2^k')^2 + (2^k')^2 + (2^k')^2 + (2^k')^2, portanto a quádrupla que soluciona
essa equação seria (a_n, b_n, c_n, d_n) = (2^k', 2^k', 2^k', 2^k').
Dessa forma todas as quádruplas (a, b, c, d) ficam determinadas para todos os
valores possíveis de n natural.
Um abraço pra todo mundo,
Jorge Armando
-
From: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Problema... Olimpiada Argentina
Date: Mon, 26 Mar 2007 21:45:28 -0300
Não consigo resolver:
Para cada número natural, n, n diferente de zero, determinar os inteiros a, b,
c e d, 0=a=b=c=d, tais que 2^n=a^2+b^2+c^2+d^2.
Desde já, Agradeço.
João.
-
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RE: [obm-l] Problema... Olimpiada Argentina
Corrigindo meu email anterior:
Dessa forma todas as quádruplas (a, b, c, d) ficam determinadas para todos
os valores possíveis de n natural.
Todas as quadruplas? Nao, nao ficam determinadas.
Para n=8 (2^8 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2) , por exemplo, ha' solucoes como
(a,b,c,d) = (0, 0, 0, 2^4)
ou (a,b,c,d) = (2^3, 2^3, 2^3, 2^3)
[]'s
Rogerio Ponce
Jorge Armando Rehn Casierra [EMAIL PROTECTED] escreveu:P { margin:0px;
padding:0px } body { FONT-SIZE: 10pt; FONT-FAMILY:Tahoma } Olá pessoal!
Suponha que a quadrúpla ordenada que resolve 2^n=a^2+b^2+c^2+d^2, seja (a_n,
b_n, c_n, d_n). Existem duas possibilidades para n natural, n ímpar e n par:
Se n é ímpar, n=2k+1 (k=0), 2^n = 2^(2k+1) = 2*2^(2k) = (2^k)^2 + (2^k)^2 =
0 + 0 + (2^k)^2 + (2^k)^2, portanto a quádrupla que soluciona essa equação
seria (a_n, b_n, c_n, d_n) = (0, 0, 2^k, 2^k).
Se n é par, n=2k (k=1), 2^n = 2^(2k) = 2*2^(2k-1), existe um k', tal que
k'=k-1 (k'=0), substituindo dá: 2^n = 2*2^(2k'+1) = 2*2*2^(2k') = 4*2^(2k') =
(2^k')^2 + (2^k')^2 + (2^k')^2 + (2^k')^2, portanto a quádrupla que soluciona
essa equação seria (a_n, b_n, c_n, d_n) = (2^k', 2^k', 2^k', 2^k').
Dessa forma todas as quádruplas (a, b, c, d) ficam determinadas para todos os
valores possíveis de n natural.
Um abraço pra todo mundo,
Jorge Armando
-
From: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Problema... Olimpiada Argentina
Date: Mon, 26 Mar 2007 21:45:28 -0300
Não consigo resolver:
Para cada número natural, n, n diferente de zero, determinar os inteiros a, b,
c e d, 0=a=b=c=d, tais que 2^n=a^2+b^2+c^2+d^2.
Desde já, Agradeço.
João.
-
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Re:[obm-l] Problema de algebra vetorial.
Oi, Ronaldo:
Chame de u o vetor de coordenadas (x1,y1,z1) e de v o segundo vetor.
Gire os seus eixos coordenados de modo que as coordenadas de u passem a ser
(0,0,L) e as de v (L*sen(theta),0,L*cos(theta)).
Ou seja, u gera o novo eixo z e {u,v} gera o novo plano xz.
Ao girar v de um angulo phi em torno do eixo de u, voce obterah um vetor w
cujas coordenadas na base nova serao:
(L*sen(theta),L*cos(theta)*sen(phi),L*cos(theta)*cos(phi))
O ponto desejado eh P = u+w, de coordenadas:
(L*sen(theta),L*cos(theta)*sen(phi),L*(1+cos(theta)*cos(phi))
Agora soh falta calcular a matriz A (Aij) de mudanca de coordenadas.
Como os novos eixos coordenados tambem sao mutuamente ortogonais e os modulos
dos vetores das coordenadas nao mudam, A
eh uma matriz ortogonal.
Dado um vetor x qualquer, cujas coordenadas numa dada base sao dadas por
[x]_base, teremos:
[x]_velha = A*[x]_nova
[u]_velha = (x1,y1,z1) e [u]_nova = (0,0,L) ==
x1 = A13*L; x2 = A23*L; x3 = A33*L ==
A13 = x1/L; A23 = x2/L; A33 = x3/L (cossenos diretores de (x1,x2,x3)).
O enunciado implica que:
[v]_velha = (k*x1,k*y1,z); |u| = |v| = L; u,v = L^2*cos(theta)
Com essas tres relacoes e conhecendo A13, A23 e A33, voce acha k e z e,
portanto, [v]_velha.
Isso permite que voce ache A11, A21 e A31 (a 2a. coordenada de [v]_nova eh
igual a zero)
Finalmente, usando o fato de que A eh ortogonal, voce acha A21, A22 a A23.
O que voce quer eh [P]_velha = A*[p]_nova.
Admito que eh bracal, mas nao achei outra forma.
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Tue, 13 Mar 2007 15:10:02 -0300
Assunto: [obm-l] Problema de algebra vetorial.
O problema abaixo parece simples mas está me consomindo um bocado
de tempo e não consigo enxergar uma forma rápida de resolver. Se alguém
puder me ajudar eu agradeço.
Problema: Um vetor, de módulo L, cujo ponto inicial está localizado na
origem
e cujo ponto final tem coordenadas em (x1,y1,z1) forma um ângulo theta
com outro
vetor de mesmo módulo partindo de sua extremidade. A projeção deste segundo
vetor no plano xy
tem a mesma diração do primeiro vetor.
Se fizermos uma rotação de ângulo phi em torno do eixo definido pelo
primeiro vetor,
quais serão as coordenadas (x2,y2,z2) do segundo vetor em função de
x1,x2,x3, L, theta e phi ?
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Problema de algebra vetorial.
Oi Cláudio:
Obrigado por sua resposta. Andei pesquisando na internet sobre esse
problema e
parece que não tem mesmo outro jeito de fazer a não ser aquele que você
apresentou abaixo.
Muito obrigado por sua contribuição!
[]s
Ronaldo.
On 3/14/07, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi, Ronaldo:
Chame de u o vetor de coordenadas (x1,y1,z1) e de v o segundo vetor.
Gire os seus eixos coordenados de modo que as coordenadas de u passem a
ser (0,0,L) e as de v (L*sen(theta),0,L*cos(theta)).
Ou seja, u gera o novo eixo z e {u,v} gera o novo plano xz.
Ao girar v de um angulo phi em torno do eixo de u, voce obterah um vetor w
cujas coordenadas na base nova serao:
(L*sen(theta),L*cos(theta)*sen(phi),L*cos(theta)*cos(phi))
O ponto desejado eh P = u+w, de coordenadas:
(L*sen(theta),L*cos(theta)*sen(phi),L*(1+cos(theta)*cos(phi))
Agora soh falta calcular a matriz A (Aij) de mudanca de coordenadas.
Como os novos eixos coordenados tambem sao mutuamente ortogonais e os
modulos dos vetores das coordenadas nao mudam, A
eh uma matriz ortogonal.
Dado um vetor x qualquer, cujas coordenadas numa dada base sao dadas por
[x]_base, teremos:
[x]_velha = A*[x]_nova
[u]_velha = (x1,y1,z1) e [u]_nova = (0,0,L) ==
x1 = A13*L; x2 = A23*L; x3 = A33*L ==
A13 = x1/L; A23 = x2/L; A33 = x3/L (cossenos diretores de (x1,x2,x3)).
O enunciado implica que:
[v]_velha = (k*x1,k*y1,z); |u| = |v| = L; u,v = L^2*cos(theta)
Com essas tres relacoes e conhecendo A13, A23 e A33, voce acha k e z e,
portanto, [v]_velha.
Isso permite que voce ache A11, A21 e A31 (a 2a. coordenada de [v]_nova eh
igual a zero)
Finalmente, usando o fato de que A eh ortogonal, voce acha A21, A22 a A23.
O que voce quer eh [P]_velha = A*[p]_nova.
Admito que eh bracal, mas nao achei outra forma.
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Tue, 13 Mar 2007 15:10:02 -0300
Assunto: [obm-l] Problema de algebra vetorial.
O problema abaixo parece simples mas está me consomindo um bocado
de tempo e não consigo enxergar uma forma rápida de resolver. Se alguém
puder me ajudar eu agradeço.
Problema: Um vetor, de módulo L, cujo ponto inicial está localizado
na
origem
e cujo ponto final tem coordenadas em (x1,y1,z1) forma um ângulo
theta
com outro
vetor de mesmo módulo partindo de sua extremidade. A projeção deste
segundo
vetor no plano xy
tem a mesma diração do primeiro vetor.
Se fizermos uma rotação de ângulo phi em torno do eixo definido pelo
primeiro vetor,
quais serão as coordenadas (x2,y2,z2) do segundo vetor em função de
x1,x2,x3, L, theta e phi ?
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
--
Ronaldo Luiz Alonso
--
Computer Engeener
LSI-TEC/USP - Brazil.
Re: [obm-l] Problema sobre volume
Não verifiquei se é o único poliedro possível, no problema, nem, se for, como demonstrá-lo; mas lá vai. Consideremos o poliedro com dois lados opostos do quadrado formando com as bases menores dos trapézios duas arestas e as bases maiores destes coincidindo numa terceira aresta. Os dois triângulos devem fechar o poliedro, com um lado coincidindo com o lado do quadrado e os outros dois com os lados não paralelos de cada um dos trapézios, definindo 3 novas arestas, cada um (opostos entre sí). Depreende-se então que os lados não paralelos dos trapézios medem 6 e sua altura sqrt(6^2 -3^2) =3sqrt3. Podemos então considerar o poliedro como um prisma de secção transversal em forma de triângulo de lados 3sqrt3, 3sqrt3 e 6 (ou base 6 e altura 3sqrt2) e 12 de comprimento, de cujas extremidades foram retiradas duas pirâmides (oblíquas) cada uma com base retangulare de lados 3 e 6 e altura sqrt(27 - 9) = 3sqrt2. Assim o volume será 12*3*3sqrt2 - 2*(6*3*3sqrt2)/3 = 72sqrt2 []'s Bruno Carvalho [EMAIL PROTECTED] escreveu: Pessoal, peço a ajuda para o seguinte problema. Qual o volume de água que pode caber numa caixa d'água que é um poliedro cujas faces são determinadas por dois triângulos equiláteros de lado igual a 6 , um quadrado de lado igual a 6 e dois trapézios isósceles , cujas bases são 12 e 6. ? Desde já agradeço a orientação. Um abraço. Bruno __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] Problema
Olá, cara, acredito eu q temos q seguir a seguinte linha de raciocinio... comecamos com 1, subimos de 9 em 9.. voltamos com 7, e assim por diante.. 1 10 19 28 37 46 39 32 25 18 11 4 13 22 31 40 49 42 35 28 21 14 7 16 fiz 24 numeros.. acredito que caso siga essa ideia, dê certo.. ou, suba de 7 em 7, e volte de 9 em 9.. outra possibilidade tb é alternar: 7, 9, 7, 9 ... tem q testar.. mas nao encontrei um modo de provar que o metodo funciona :) abraços, Salhab - Original Message - From: Carlos Gomes To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, January 29, 2007 3:43 PM Subject: [obm-l] Problema Vê se alguém tem alguma sugestão para essa questao; Disponha em linha reta, numa ordem, os números inteiros de 1 até 49, de modo que o valor absoluto da diferença de quaisquer dois vizinhos, nessa ordem, seja ou 7 ou 9. Obg C.Gomes
Re: [obm-l] Problema Legal
Que bonito Benéeste problema é um dos meus preferidos...vou tentar explicá-la para quem por acaso não a conheça Suponha que a tal transformação seja possível. Imagine que uma vez feita a decomposição do círculo original você pegue cada parte e pinte de branco as linhas cercam uma região convexa e de preto as as linhas cercam um região côncava. Sejam B e P as somas das medidas de todas as linhas pintadas de branco e de preto, respectivamente. Quando todas as peças são agrupadas para formar o quadrado, cada parte branca deve ser emparelhada com uma parte preta, assim temos que B=P. Por outro lado quando todas as peças são emparelhadas para formar o círculo cada parte parte preta deve encontrar uma parte branca, enquanto que a linha da circunferência deve ser branca, então BP, o que contradiz o fato de que B=P, Logo a trasformação proposta é impossível. acho que é isso, Valew...Cgomes - Original Message - From: Bené To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, January 24, 2007 12:57 PM Subject: [obm-l] Problema Legal Adaptado de um dos problemas do Troneio das Cidades (1996): Tem-se um papel em forma de círculo e pretende-se cortá-lo em pedaços, com um número finito de cortes, feitos ao longo de segmentos de retas ou em arcos circulares, de modo a formar um quadrado de mesma área. Diga, justificando, se é possível fazer isto. Benedito -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.410 / Virus Database: 268.17.8/649 - Release Date: 23/1/2007
Re: [obm-l] Problema de teoria dos numeros
On 12/4/06, Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola carissimo Artur e demais colegas desta lista ... OBM-L, Seja M um primo tal que M = (2^N) + 1 e suponhamos que N nao e potencia de 2. Neste caso N e da forma : (2^P)*i, onde P e um inteiro nao-negativo e i um impar maior que 1. Segue daqui que M = (2^A)^ i + 1 com A= 2^P . Fazendo 2^A = X teremos que M = X^i + 1. Este polinomio e claramente divisivel por X + 1 em virtude do teorema D'Alembert, pois sendo i impar temos que (-1)^i + 1 = 0. Assim : M = X^i + 1 = (X + 1)*Q(X) = M nao e primo ... ABSURDO ! Olá Paulo: Não certeza se entendi a parte que você diz que se N não é potência de 2 então N é da forma (2^P)*i. Você quer dizer mais precisamente que todo número que não é potência de 2 mas é par pode ser escrito assim? Se for, você implicitamente assume que N tem que ser par e neste caso desconsidera os primos desta forma em que N é impar. Acho que falta consider este caso não? Em relação ao material que eu havia lhe prometido na sexta-feira durante o almoço, devo lhe mandar em breve. Estou soh esperando me mudar para perto do novo trabalho, pois o transito de São Paulo me faz perder muito tempo (3 horas ontem)... []s
RE: [obm-l] Problema de teoria dos numeros
Ola Ronaldo e demais colegas desta lista ... OBM-L, Note que eu disse : onde P e um inteiro NAO-NEGATIVO ... , assim, estou admitindo que podemos ter P=0 justamente para incluir todos os impares Ok ! Fico aguardando o trabalho. Envie a descricao fisica do problema o mais detalhadamente possivel. A Matematica usada ate agora nao e importante Um Abracao Paulo santa Rita 3,1123,051206 Date: Tue, 5 Dec 2006 07:55:29 -0200 From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Problema de teoria dos numeros On 12/4/06, Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]mailto:[EMAIL PROTECTED] wrote: Ola carissimo Artur e demais colegas desta lista ... OBM-L, Seja M um primo tal que M = (2^N) + 1 e suponhamos que N nao e potencia de 2. Neste caso N e da forma : (2^P)*i, onde P e um inteiro nao-negativo e i um impar maior que 1. Segue daqui que M = (2^A)^ i + 1 com A= 2^P . Fazendo 2^A = X teremos que M = X^i + 1. Este polinomio e claramente divisivel por X + 1 em virtude do teorema D'Alembert, pois sendo i impar temos que (-1)^i + 1 = 0. Assim : M = X^i + 1 = (X + 1)*Q(X) = M nao e primo ... ABSURDO ! Olá Paulo: Não certeza se entendi a parte que você diz que se N não é potência de 2 então N é da forma (2^P)*i. Você quer dizer mais precisamente que todo número que não é potência de 2 mas é par pode ser escrito assim? Se for, você implicitamente assume que N tem que ser par e neste caso desconsidera os primos desta forma em que N é impar. Acho que falta consider este caso não? Em relação ao material que eu havia lhe prometido na sexta-feira durante o almoço, devo lhe mandar em breve. Estou soh esperando me mudar para perto do novo trabalho, pois o transito de São Paulo me faz perder muito tempo (3 horas ontem)... []s _ Descubra e experimente alguns novos serviços online no Windows Live Ideas http://ideas.live.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema Interessante
Podemos fazer o seguinte. Primeiro inserimos as peças, anotando com um lápis ou giz em cada casa quantas inversões aquela casa deve sofrer, no estilo prisioneiro contando os dias na parede da cela. Depois de colocadas todas as peças, fazem-se as inversões. Após ter colocado todas as peças, antes de por em prática a segunda parte do plano, teremos n2-1 peças brancas e 1 preta no tabuleiro. Existe uma correspondência biunívoca entre o número de arestas e o número de inversões previstas, pois cada aresta implicará exatamente uma inversão, quando for colocada a segunda peça ao redor dela, afetando a primeira. Teremos portanto número total de inversões = número de arestas = 2.n.(n-1) = par. Ora, cada inversão vai alterar a paridade do número de peças de cada cor no tabuleiro. Como serão 2k inversões, a paridade final do número de peças de cada cor, em particular da cor preta, será igual à inicial, portanto teremos um número ímpar de pretas. --- benedito [EMAIL PROTECTED] escreveu: Problema Um tabuleiro n x n é preenchido com peças brancas e pretas, de acordo com as seguintes regras: (i) Inicialmente (i. e. tabuleiro vazio) uma peça preta é colocada sobre uma casa qualquer; (ii) nos movimentos posteriores, uma peça branca é colocada em uma casa vazia e todas as peças, se houver alguma, situadas em casas vizinhas (i. e. com aresta comum) são trocadas por peças de cor oposta. Este processo se prolonga até o tabuleiro estar completamente preenchido. Prove que, ao final do processo, restará pelo menos uma peça preta sobre o tabuleiro. Benedito ___ O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir! http://br.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Problema Interessante
Cada nova peça colocada causa um número de mudanças de cor igual ao número de peças adjacentes a ela. Como, ao final do jogo, o tabuleiro está totalmente preenchido, o número total de mudanças de cor ocorridas é igual ao número total de pares de peças adjacentes, o qual, por sua vez, é igual ao número total de arestas (entre duas casas adjacentes) do tabuleiro, ou seja, 2n(n-1), um número par (pois temos n-1 linhas verticais e n-1 linhas horizontais, cada uma com n arestas). Como o jogo começa com 1 peça preta e termina após um número par de mudanças de cor, o número de peças pretas ao final será ímpar e, portanto, não nulo. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Sat, 2 Dec 2006 10:39:31 -0300 Assunto:[obm-l] Problema Interessante Problema Um tabuleiro n x n é preenchido com peças brancas e pretas, de acordo com as seguintes regras: (i) Inicialmente (i. e. tabuleiro vazio) uma peça preta é colocada sobre uma casa qualquer; (ii) nos movimentos posteriores, uma peça branca é colocada em uma casa vazia e todas as peças, se houver alguma, situadas em casas vizinhas (i. e. com aresta comum) são trocadas por peças de cor oposta. Este processo se prolonga até o tabuleiro estar completamente preenchido. Prove que, ao final do processo, restará pelo menos uma peça preta sobre o tabuleiro. Benedito
RE: [obm-l] Problema de teoria dos numeros
Ola carissimo Artur e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,Seja M um primo tal que M = (2^N) + 1 e suponhamos que N nao e potencia de 2. Neste caso N e da forma : (2^P)*i, onde P e um inteiro nao-negativo e i um impar maior que 1. Segue daqui que M = (2^A)^ i + 1 com A= 2^P . Fazendo 2^A = X teremos que M = X^i + 1. Este polinomio e claramente divisivel por X + 1 em virtude do teorema D'Alembert, pois sendo i impar temos que (-1)^i + 1 = 0. Assim : M = X^i + 1 = (X + 1)*Q(X) = M nao e primo ... ABSURDO ! A nossa tese e portanto insustentavel e somos obrigados a admitir que N e potencia de 2, como queriamos demonstrar. Eis aqui outro bonitinho, porem nao tao simples como este : (Fermat propoe, Euler resolve ) Mostre que a equacao X^3 = Y^2 + 2 tem uma unica solucao no anel dos inteiros.Estas questoes de Teoria dos Numeros me levaram a alguns anos atras, quando eu me correspondia sobre topologia com um colega que esta atualmente fazendo doutorado em Bio-Matematica na Alemanha. Ele conclui o doutorado agora. Mas o que importa e que naquela epoca, quando ele ainda fazia Mestrado na Unicamp, nos combinamos que em cada carta era obrigatorio haver uma prova da existencia de uma infinidade de numeros primos. O Marcelo mostrou uma prova muito simples, mas belissima e que eu passo pra vocês :EXISTEM INFINITOS NUMEROS PRIMOS :Suponha que a quantidade de numeros primos e finita. Digamos : p1 p2 ... pn. Consideremos agora o numero P=p1*p2*...*pn, claramente maior que qualquer dos primos pi. O numero P - 1 e portanto composto. Segue que existe pi que divide P - 1. Mas pi tambem divide P, logo, pi deve dividir P - (P - 1 ) = 1 ... ABSURDO !A todos, com os melhoresvotos de paz profunda, souPaulo Santa Rita1,1540,041206From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Problema de teoria dos numerosDate: Mon, 4 Dec 2006 20:14:35 -0200 Achei este problema de teoris dos numeros (nao eh dos mais dificeis) bem bonitinho. Mostre que, se 2^n +1, n=0, 1,2for primo, entao n eh potencia de 2 Artur _ Ligue para os seus amigos grátis. Faça chamadas de PC-para-PC pelo messenger-- GRÁTIS http://get.live.com/messenger/overview
[obm-l] Re:[obm-l] Problema da Olimpiada Piauie nse de Matemática
-- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 28 Nov 2006 18:26:48 -0200 Assunto: [obm-l] Problema da Olimpiada Piauiense de Matemática Prove que a³/bc + b³/ac + c³/ab = a + b + c De uma olhada no enunciado original. Ele deve dizer que a, b e c sao positivos. Por exemplo, se a = b = 1 e c = -2, entao a desigualdade acima ficaria: -1/2 - 1/2 - 8 = 1 + 1 - 2 ou -9 = -1 == absurdo. Tambem eh claro que abc 0, dado o lado esquerdo. Suponhamos, assim, que a = b = c 0. Entao, a^3 = b^3 = c^3 e tambem bc = ac = ab. Portanto, 1/(bc) = 1/(ac) = 1/(ab). Desigualdade do rearranjo == a^3/(bc) + b^3/(ac) + c^3/(ab) = a^3/(ab) + b^3/(bc) + c^3/(ac) = a^2/b + b^2/c + c^2/a. Pela nossa hipotese, a^2 = b^2 = c^2 e 1/c = 1/b = 1/a. Usando rearranjo mais uma vez, obtemos, finalmente: a^2/b + b^2/c + c^2/a = a^2/a + b^2/b + c^2/c = a+b+c. E pra saber que raio de desigualdade do rearranjo eh essa, de uma olhada em: http://www.obm.org.br/eureka/artigos/desigualdades.pdf []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
