RES: [obm-l] Problema Interessante de Geometria

2015-06-09 Por tôpico Albert Bouskela
Olá, Ralph,

 

O arquivo GeoGebra (“Hexagons.ggb”) foi bloqueado pelo sistema que administra 
esta Lista, em face da possibilidade de vírus (por tratar-se de um arquivo 
executável).

 

Peço, então, que envie o respectivo arquivo diretamente para o meu e-mail.

 

Prometo (como sempre…) tentar encontrar uma solução ainda mais complicada do 
que as já disponíveis na literatura e (para compensar!) válida somente para uns 
poucos casos particulares.

 

Sds.,

  _  

Albert Bouskelá

  bousk...@gmail.com

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de 
Ralph Teixeira
Enviada em: segunda-feira, 8 de junho de 2015 21:03
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] {Filename?} Problema Interessante de Geometria

 

Ola a todos.

 

Eu e minha aluna de Mestrado Fabiola encontramos um problema bem facil de 
enunciar que esclareceria um ponto da dissertacao de mestrado dela... No 
entanto, a gente soh encontrou umas solucoes bem complicadas na literatura, e 
mesmo assim parecem ser apenas para alguns casos particulares simetricos... 
Entao coloco aqui -- quem tiver uma solucao elegante ganha um agradecimento na 
dissertacao! :) :)

 

(Eu pensei ateh em sugerir esse problema para alguma OBM, mas como ainda nao 
sei resolver e acabei mostrando a alguns alunos, vou soltar logo ele aqui.)

 

"Sao dados dois poligonos convexos P1P2...Pn e Q1Q2...Qn (onde n>4) contendo a 
origem O em seu interior. Sabe-se que:

-- Eles tem lados respectivamente paralelos (isto eh, PiP_{i+1} // QiQ_{i+1} 
para i=1,2,...,n, indices modulo n);

-- Triangulos com vertice em O e um lado do poligono tem areas respectivamente 
iguais (isto eh, Area(OPiP_{i+1}) = Area(OQiQ_{i+1}) para i=1,2,...n, indices 
modulo n).

Pergunta-se: os poligonos tem que ser congruentes?"

 

Quem quiser brincar, vide o Geogebra anexo que ilustra o caso n=6 (fiz uma 
copia de Q longe da origem para facilitar a visualizacao -- a "origem" para Q 
eh O_1). Pode brincar como quiser com os Q's, e com P_1 -- os outros pontos sao 
calculados para satisfazer as condicoes acima... Mas alguem consegue fazer o 
poligono P fechar (isto eh, P1=P7) sem que ele seja congruente ao Q (mas 
mantendo ambos convexos e mantendo a origem O dentro de P?)

 

Nota: se n=4, dois paralelogramos distintos de mesma area centrados na origem 
sao contra-exemplo!

 

Abraco, Ralph.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.



[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema da Olimpíada de Matemática de Moscou

2014-09-05 Por tôpico Pedro José
Boa tarde!

O número de algarismos "x" não nulos de 50^50 é igual ao número de
algarismos de 5^50

seja t = [x], t Ɛ e  x - 1 < t  =< x

x = [50*log(5)]+1 = 35 ==> S (50^50) =< 9*35 = 315 ==> S(S(50^50)) =< 2+9
+9 = 13 ==> S(S(S50^50) <10 ==>

==> S(S(50^50)) só tem um algarismo

S(S(S(50^50))) ≡ 3* (50^50) mod 9

50^50 ≡ 5^50 * 10^50 ≡  5^50 mod 9 pois, 10 ≡ 1 mod9

5^50 ≡ (5^6)^8 * 5^2 ≡ 7 mod 9 (pois, 5^6 ≡  1 mod 9)  ==> S(S(S(50^50)))
≡  3* 7 ≡ 3 mod9. Como  0<= S(S(S(50^50))) <10 ==>

==>  S(S(S(50^50))) = 3 (i)

O número de algarismos "y"  não nulos de 770^770 é gual ao número de
algarismos de 77^770

y =  [770* log (77)] + 1 ==> y = 1453 ==> S(770^770) <= 13077 (9*1453)  ==>
S(S(770^770)) =< 30 (1 + 2 + 9 + 9 + 9) ==>

S(S(S(770^770))) =< 11 (2+9)

Se S(S(S(770^770))) possui dois algarismos 770^770 ≡ 1 mod 9 ou 770^770 ≡ 2
mod 9

770^770 ≡ 77^770 * 10^770 ≡  77^770 mod 9 pois 10 ≡ 1 mod9

77^770 ≡ (77^6)^128 * 7^2 ≡ 4 mod9  (pois, 5^6 ≡  1 mod 9) ==>
S(S(S(770^770))) só possui um algarismo ==> 0<= S(S(S(770^770))) 10

==> S(S(S(770^770))) 3* 4 ≡ 3 mod9. Como  0<= S(S(S(770^770)))<10 ==>
S(S(S(770^770))) = 3 (ii)

(i) e (ii) ==> S(S(S(50^50))) = S(S(S(770^770)))

Saudações,
PJMS.



Em 4 de setembro de 2014 21:25, Albert Bouskela 
escreveu:

> Olá!
>
>
>
> Pois é! Problemas (equações) que envolvem um determinado número (natural)
> e a soma dos algarismos que o compõem, geralmente, são resolvidos através
> da propriedade mencionada pelo Ralph:
>
>
>
> S(x) = x (mod. 9)
>
>
>
> Ou, o que dá no mesmo, mas as vezes pode ser mais útil:
>
>
>
> “x” e S(x) deixam o mesmo resto na divisão por 9.
>
>
>
> Exemplo:
>
>
>
> Mostre que a soma da soma da soma (3 vezes) dos algarismos de 50^50 e
> 770^770 são iguais.
>
>
>
> 
>
> Albert Bouskelá
>
> bousk...@ymail.com
>
>
>
> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em
> nome de *Ralph Teixeira
> *Enviada em:* quarta-feira, 3 de setembro de 2014 21:27
> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Assunto:* [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema da
> Olimpíada de Matemática de Moscou
>
>
>
> Ah, eh verdade, dah para acelerar MUITO notando que:
>
>
>
> S(x) = x (mod 9)
>
>
>
> Entao x+S(x)+S(S(x)) = 3x (mod 9)
>
>
>
> Isto eh, x+S(x)+S(S(x)) eh sempre divisivel por 3 -- e portanto nunca pode
> ser 1993.
>
>
>
> Abraco,
>
>  Ralph
>
>
>
> 2014-09-03 19:42 GMT-03:00 Mauricio de Araujo <
> mauricio.de.ara...@gmail.com>:
>
> não tem solução!! hehehe
>
>
>
> 2014-09-03 19:07 GMT-03:00 Albert Bouskela :
>
> Olá!
>
>
>
> A melhor solução é pelo “cheiro”
>
>
>
> 1) x>1899 | 1899+S(1899)+SS(1899)=1935<<1993
>
> 2) x>1959 | 1959+S(1959)+SS(1959)=1989<1993
>
> 3) S≥16 (x=1960) e SS≥2 (S=20)
>
> 4) x=<1993-16-2=1975
>
> 5) 1960=
> 6) Agora é no braço…
>
> 7) Mas há uma surpresa no final!
>
>
>
> 
>
> Albert Bouskelá
>
> bousk...@ymail.com
>
> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em
> nome de *Mauricio de Araujo
> *Enviada em:* quarta-feira, 3 de setembro de 2014 11:36
> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Assunto:* [obm-l] Problema da Olimpíada de Matemática de Moscou
>
>
>
> Seja S(x) a soma dos dígitos de um inteiro positivo x.
>
>
>
> Resolver: x + S(x) + S(S(x)) = 1993.
>
>
>
> --
>
> Abraços
>
>
> oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.



[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema da Olimpíada de Matemática de Moscou

2014-09-05 Por tôpico Douglas Oliveira de Lima
Existe uma questão muito legal que acabei de fazer desse mesmo assunto,
caso seja do seu interesse praticar ai vai.
A soma dos algarismos de um numero n vale 100, e a soma dos digitos do
numero 44n vale 800, Calcular a soma dos digitos de 3n.
Douglas Oliveira


Em 4 de setembro de 2014 21:25, Albert Bouskela 
escreveu:

> Olá!
>
>
>
> Pois é! Problemas (equações) que envolvem um determinado número (natural)
> e a soma dos algarismos que o compõem, geralmente, são resolvidos através
> da propriedade mencionada pelo Ralph:
>
>
>
> S(x) = x (mod. 9)
>
>
>
> Ou, o que dá no mesmo, mas as vezes pode ser mais útil:
>
>
>
> “x” e S(x) deixam o mesmo resto na divisão por 9.
>
>
>
> Exemplo:
>
>
>
> Mostre que a soma da soma da soma (3 vezes) dos algarismos de 50^50 e
> 770^770 são iguais.
>
>
>
> 
>
> Albert Bouskelá
>
> bousk...@ymail.com
>
>
>
> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em
> nome de *Ralph Teixeira
> *Enviada em:* quarta-feira, 3 de setembro de 2014 21:27
> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Assunto:* [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema da
> Olimpíada de Matemática de Moscou
>
>
>
> Ah, eh verdade, dah para acelerar MUITO notando que:
>
>
>
> S(x) = x (mod 9)
>
>
>
> Entao x+S(x)+S(S(x)) = 3x (mod 9)
>
>
>
> Isto eh, x+S(x)+S(S(x)) eh sempre divisivel por 3 -- e portanto nunca pode
> ser 1993.
>
>
>
> Abraco,
>
>  Ralph
>
>
>
> 2014-09-03 19:42 GMT-03:00 Mauricio de Araujo <
> mauricio.de.ara...@gmail.com>:
>
> não tem solução!! hehehe
>
>
>
> 2014-09-03 19:07 GMT-03:00 Albert Bouskela :
>
> Olá!
>
>
>
> A melhor solução é pelo “cheiro”
>
>
>
> 1) x>1899 | 1899+S(1899)+SS(1899)=1935<<1993
>
> 2) x>1959 | 1959+S(1959)+SS(1959)=1989<1993
>
> 3) S≥16 (x=1960) e SS≥2 (S=20)
>
> 4) x=<1993-16-2=1975
>
> 5) 1960=
> 6) Agora é no braço…
>
> 7) Mas há uma surpresa no final!
>
>
>
> 
>
> Albert Bouskelá
>
> bousk...@ymail.com
>
> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em
> nome de *Mauricio de Araujo
> *Enviada em:* quarta-feira, 3 de setembro de 2014 11:36
> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Assunto:* [obm-l] Problema da Olimpíada de Matemática de Moscou
>
>
>
> Seja S(x) a soma dos dígitos de um inteiro positivo x.
>
>
>
> Resolver: x + S(x) + S(S(x)) = 1993.
>
>
>
> --
>
> Abraços
>
>
> oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema da Olimpíada de Matemática de Moscou

2014-09-05 Por tôpico Mauricio de Araujo
é o antigo "noves fora" que minha mãe usava...


2014-09-04 21:25 GMT-03:00 Albert Bouskela :

> Olá!
>
>
>
> Pois é! Problemas (equações) que envolvem um determinado número (natural)
> e a soma dos algarismos que o compõem, geralmente, são resolvidos através
> da propriedade mencionada pelo Ralph:
>
>
>
> S(x) = x (mod. 9)
>
>
>
> Ou, o que dá no mesmo, mas as vezes pode ser mais útil:
>
>
>
> “x” e S(x) deixam o mesmo resto na divisão por 9.
>
>
>
> Exemplo:
>
>
>
> Mostre que a soma da soma da soma (3 vezes) dos algarismos de 50^50 e
> 770^770 são iguais.
>
>
>
> 
>
> Albert Bouskelá
>
> bousk...@ymail.com
>
>
>
> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em
> nome de *Ralph Teixeira
> *Enviada em:* quarta-feira, 3 de setembro de 2014 21:27
> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Assunto:* [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema da
> Olimpíada de Matemática de Moscou
>
>
>
> Ah, eh verdade, dah para acelerar MUITO notando que:
>
>
>
> S(x) = x (mod 9)
>
>
>
> Entao x+S(x)+S(S(x)) = 3x (mod 9)
>
>
>
> Isto eh, x+S(x)+S(S(x)) eh sempre divisivel por 3 -- e portanto nunca pode
> ser 1993.
>
>
>
> Abraco,
>
>  Ralph
>
>
>
> 2014-09-03 19:42 GMT-03:00 Mauricio de Araujo <
> mauricio.de.ara...@gmail.com>:
>
> não tem solução!! hehehe
>
>
>
> 2014-09-03 19:07 GMT-03:00 Albert Bouskela :
>
> Olá!
>
>
>
> A melhor solução é pelo “cheiro”
>
>
>
> 1) x>1899 | 1899+S(1899)+SS(1899)=1935<<1993
>
> 2) x>1959 | 1959+S(1959)+SS(1959)=1989<1993
>
> 3) S≥16 (x=1960) e SS≥2 (S=20)
>
> 4) x=<1993-16-2=1975
>
> 5) 1960=
> 6) Agora é no braço…
>
> 7) Mas há uma surpresa no final!
>
>
>
> 
>
> Albert Bouskelá
>
> bousk...@ymail.com
>
> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em
> nome de *Mauricio de Araujo
> *Enviada em:* quarta-feira, 3 de setembro de 2014 11:36
> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Assunto:* [obm-l] Problema da Olimpíada de Matemática de Moscou
>
>
>
> Seja S(x) a soma dos dígitos de um inteiro positivo x.
>
>
>
> Resolver: x + S(x) + S(S(x)) = 1993.
>
>
>
> --
>
> Abraços
>
>
> oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>



-- 
Abraços

oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ

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[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema da Olimpíada de Matemática de Moscou

2014-09-04 Por tôpico Albert Bouskela
Olá!

 

Pois é! Problemas (equações) que envolvem um determinado número (natural) e a 
soma dos algarismos que o compõem, geralmente, são resolvidos através da 
propriedade mencionada pelo Ralph:

 

S(x) = x (mod. 9)

 

Ou, o que dá no mesmo, mas as vezes pode ser mais útil:

 

“x” e S(x) deixam o mesmo resto na divisão por 9.

 

Exemplo:

 

Mostre que a soma da soma da soma (3 vezes) dos algarismos de 50^50 e 770^770 
são iguais.

 



Albert Bouskelá

bousk...@ymail.com

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de 
Ralph Teixeira
Enviada em: quarta-feira, 3 de setembro de 2014 21:27
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema da Olimpíada de 
Matemática de Moscou

 

Ah, eh verdade, dah para acelerar MUITO notando que:

 

S(x) = x (mod 9)

 

Entao x+S(x)+S(S(x)) = 3x (mod 9)

 

Isto eh, x+S(x)+S(S(x)) eh sempre divisivel por 3 -- e portanto nunca pode ser 
1993.

 

Abraco,

 Ralph

 

2014-09-03 19:42 GMT-03:00 Mauricio de Araujo :

não tem solução!! hehehe

 

2014-09-03 19:07 GMT-03:00 Albert Bouskela :

Olá!

 

A melhor solução é pelo “cheiro”

 

1) x>1899 | 1899+S(1899)+SS(1899)=1935<<1993

2) x>1959 | 1959+S(1959)+SS(1959)=1989<1993

3) S≥16 (x=1960) e SS≥2 (S=20)

4) x=<1993-16-2=1975

5) 1960=mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de 
Mauricio de Araujo
Enviada em: quarta-feira, 3 de setembro de 2014 11:36
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Problema da Olimpíada de Matemática de Moscou

 

Seja S(x) a soma dos dígitos de um inteiro positivo x.

 

Resolver: x + S(x) + S(S(x)) = 1993.

 

-- 

Abraços


oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ 


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.



[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema da Olimpiada de Matemática de Moscou

2014-09-03 Por tôpico Ralph Teixeira
Ah, eh verdade, dah para acelerar MUITO notando que:

S(x) = x (mod 9)

Entao x+S(x)+S(S(x)) = 3x (mod 9)

Isto eh, x+S(x)+S(S(x)) eh sempre divisivel por 3 -- e portanto nunca pode
ser 1993.

Abraco,
 Ralph


2014-09-03 19:42 GMT-03:00 Mauricio de Araujo 
:

> não tem solução!! hehehe
>
>
> 2014-09-03 19:07 GMT-03:00 Albert Bouskela :
>
>> Olá!
>>
>>
>>
>> A melhor solução é pelo “cheiro”
>>
>>
>>
>> 1) x>1899 | 1899+S(1899)+SS(1899)=1935<<1993
>>
>> 2) x>1959 | 1959+S(1959)+SS(1959)=1989<1993
>>
>> 3) S≥16 (x=1960) e SS≥2 (S=20)
>>
>> 4) x≤1993-16-2=1975
>>
>> 5) 1960≤x≤1975
>>
>> 6) Agora é no braço…
>>
>> 7) Mas há uma surpresa no final!
>>
>>
>> --
>>
>> *Albert Bouskelá*
>>
>> bousk...@ymail.com
>>
>>
>>
>> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em
>> nome de *Mauricio de Araujo
>> *Enviada em:* quarta-feira, 3 de setembro de 2014 11:36
>> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
>> *Assunto:* [obm-l] Problema da Olimpiada de Matemática de Moscou
>>
>>
>>
>> Seja S(x) a soma dos dígitos de um inteiro positivo x.
>>
>>
>>
>> Resolver: x + S(x) + S(S(x)) = 1993.
>>
>>
>>
>> --
>>
>> Abraços
>>
>>
>> oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
>>
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?s e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
>
> --
> Abraços
>
> oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.



[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema da Olimpiada de Matemática de Moscou

2014-09-03 Por tôpico Mauricio de Araujo
não tem solução!! hehehe


2014-09-03 19:07 GMT-03:00 Albert Bouskela :

> Olá!
>
>
>
> A melhor solução é pelo “cheiro”
>
>
>
> 1) x>1899 | 1899+S(1899)+SS(1899)=1935<<1993
>
> 2) x>1959 | 1959+S(1959)+SS(1959)=1989<1993
>
> 3) S≥16 (x=1960) e SS≥2 (S=20)
>
> 4) x≤1993-16-2=1975
>
> 5) 1960≤x≤1975
>
> 6) Agora é no braço…
>
> 7) Mas há uma surpresa no final!
>
>
> --
>
> *Albert Bouskelá*
>
> bousk...@ymail.com
>
>
>
> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em
> nome de *Mauricio de Araujo
> *Enviada em:* quarta-feira, 3 de setembro de 2014 11:36
> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Assunto:* [obm-l] Problema da Olimpiada de Matemática de Moscou
>
>
>
> Seja S(x) a soma dos dígitos de um inteiro positivo x.
>
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> Resolver: x + S(x) + S(S(x)) = 1993.
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> Abraços
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> oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?s e
> acredita-se estar livre de perigo.
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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Abraços

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[obm-l] RES: [obm-l] Problema da Olimpiada de Matemática de Moscou

2014-09-03 Por tôpico Albert Bouskela
Olá!

 

A melhor solução é pelo “cheiro”

 

1) x>1899 | 1899+S(1899)+SS(1899)=1935<<1993

2) x>1959 | 1959+S(1959)+SS(1959)=1989<1993

3) S≥16 (x=1960) e SS≥2 (S=20)

4) x≤1993-16-2=1975

5) 1960≤x≤1975

6) Agora é no braço…

7) Mas há uma surpresa no final!

 

  _  

Albert Bouskelá

  bousk...@ymail.com

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de 
Mauricio de Araujo
Enviada em: quarta-feira, 3 de setembro de 2014 11:36
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Problema da Olimpiada de Matemática de Moscou

 

Seja S(x) a soma dos dígitos de um inteiro positivo x.

 

Resolver: x + S(x) + S(S(x)) = 1993.

 

-- 

Abraços


oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ

 


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RES: [obm-l] Problema do Cavalo

2014-02-19 Por tôpico Benedito
OK Bernado.
Vou dar uma olhada.
Obrigado.
Benedito

-Mensagem original-
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Bernardo Freitas Paulo da Costa
Enviada em: terça-feira, 18 de fevereiro de 2014 18:00
Para: Lista de E-mails da OBM
Assunto: Re: [obm-l] Problema do Cavalo

2014-02-18 14:30 GMT-03:00 Benedito :
>
> É infinito nos quatro quadrantes, que é para permitir muitos movimentos.
>
> De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em
> nome de terence thirteen Enviada em: segunda-feira, 17 de fevereiro de
> 2014 08:16
> Para: obm-l
> Assunto: Re: [obm-l] Problema do Cavalo
>
> Ele é infinito nos quatro quadrantes?
>
> Eu tentaria algo como construir um grafo infinito, mas vou pensar antes...

Eu tenho uma idéia de solução no braço. Supondo que a questão seja:
"Qual é o número de casas diferentes em que um cavalo pode terminar uma
seqüência de N movimentos". Assim, para n = 1, temos 8 casas (brancas), e
para n = 2 temos 33 casas (pretas, incluindo a casa preta original!).

Para n maior, a seqüência fica assim (feito num computador, na marra):

8; 33; 76; 129; 196; 277; 372; 481; 604; 741; 892; 1057; 1236; 1429; ...

Agora, vem o chute principal (que é o que vai ajudar a gente a fazer
indução): Calcule as diferenças sucessivas dos elementos! Isso dá:

25; 43; 53; 67; 81; 95; 109; 123; 137; 151; 165; 179; 193; ...

Ainda não parece bom ? Não tem problema... Mais uma vez, faça as diferenças:

18; 10; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; ...

Ah ! Parece que é uma PA de segunda ordem, a partir de um certo
ponto...

Vamos entender essa idéia. No "longo prazo", o cavalo vai se afastando do
centro, e portanto ele pode cobrir uma área no máximo proporcional a N^2.
Isso por si só já justifica tentar achar uma PA de segunda ordem. O que é
interessante é que a parte perto do centro (depois do início, onde ainda há
um monte de buracos meio aleatórios) estará completamente coberta depois de
um certo tempo, e o que interessa é o que acontece nas "coroas". Agora, tem
que justificar que as coroas têm uma espessura constante depois de passada a
parte "transiente"
inicial.

Como eu usei um computador, e posso calcular mais do que n = 10 (por exemplo
n = 100) e os 14 continuam até esse ponto. Para mim, isso é mais do que
suficiente para eu ter certeza que a resposta é essa, mas admito que falta
um argumento garantindo que "basta observar um número finito de passos" para
acertar a recorrência. Eu diria que, como um cavalo "completa" a vizinhança
do ponto inicial (o 3x3 em volta da
origem) em uma quantidade finita de passos (basta chegar na profundidade 3
do grafo do Torres) a recorrência não pode ser de ordem muito maior do que
isso. Para melhorar, veja que a partir de 3 passos, o que temos é um
octógono, TODO preenchido, dos quadrados brancos (que são os únicos em que o
cavalo pode estar!). Daí pra frente, não é difícil ver que a cada etapa
teremos um octógono com lado aumentando de 1 a cada vez. Veja também que a
partir do 3o termo da segunda diferença, só tem 14. Não é coincidência.

Agora, eu deixo a indução para você completar!

Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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RES: [obm-l] Problema do Cavalo

2014-02-18 Por tôpico Benedito
É infinito nos quatro quadrantes, que é para permitir muitos movimentos.



De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de 
terence thirteen
Enviada em: segunda-feira, 17 de fevereiro de 2014 08:16
Para: obm-l
Assunto: Re: [obm-l] Problema do Cavalo



Ele é infinito nos quatro quadrantes?

Eu tentaria algo como construir um grafo infinito, mas vou pensar antes...





Em 10 de fevereiro de 2014 09:11, Benedito mailto:bened...@ufrnet.br> > escreveu:

Estou tentando uma solução para o problema seguinte, usando Indução. Alguém 
pode me ajudar?

Problema

Num tabuleiro infinito, um cavalo (peça do jogo de xadrez) está situado na 
origem, digamos numa casa preta, e começa a se movimentar.

No total, quantas casas possíveis o cavalo pode atingir depois de n movimentos?

Nota - O movimento de um cavalo no jogo de xadrez é em forma de L (formado por 
4 casas, a partir da casa em que se encontra)



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RES: [obm-l] problema

2013-12-13 Por tôpico Albert Bouskela
Olá!

 

Faça o gráfico das 2 funções [ f(x)=2^x; g(x)=x ] e você verá o que
acontece…

 

  _  

Albert Bouskela

  bousk...@ymail.com

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de saulo nilson
Enviada em: sexta-feira, 13 de dezembro de 2013 17:58
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] problema

 

encontre todas as soluçoes de 2^x=x


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RES: [obm-l] Problema 4 Cone Sul 1996

2013-04-30 Por tôpico EPVN
Então há, de fato, um erro na tradução.
Isso, é claro, muda tudo.
Agora vamos trabalhar com essa versão e mais as suas perguntas.
Obrigado pela atenção.
Osmundo Bragança

-Mensagem original-
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Carlos Yuzo Shine
Enviada em: terça-feira, 30 de abril de 2013 16:34
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Problema 4 Cone Sul 1996

Ah, no enunciado original trocamos cada um deles pela média aritmética
(talvez houve algum erro na hora de transcrever o problema para o site). Eu
sei porque eu fui nessa Cone Sul, e exatamente por isso eu nem li o
enunciado que foi enviado pela lista. A solução que postei foi a que dei na
prova.

[]'s
Shine


- Original Message -
From: Bernardo Freitas Paulo da Costa 
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc: 
Sent: Tuesday, April 30, 2013 1:24 PM
Subject: Re: [obm-l] Problema 4 Cone Sul 1996

> > Se escolhem
> > dois ou mais números da seqüência (mas não todos) e se sustitui um deles
pela
> > média aritmética dos números escolhidos, obtendo-se assim uma nova
seqüência de
> > 1996 números.
> >
2013/4/30 Carlos Yuzo Shine :
> já que a soma de todos nunca muda

Confesso que não entendi direito. Imagine que você escolhe os 4
primeiros números, 0, 1, 1, 1. Qual é o resultado da operação? Da
forma como o enunciado parece indicar, isso DEPENDE de uma OUTRA
escolha, a saber a do "um deles" a ser substituído por 3/4. Ou seja,
podemos ficar com 3/4, 1, 1, 1; ou 0, 3/4, 1, 1 (ou uma permutação). O
Shine parece argumentar que o resultado será 3/4, 3/4, 3/4, 3/4. Mas
isso só seria o caso se estivesse escrito ".. se substitui CADA UM
deles ...", não?

-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=


RES: [obm-l] Problema 4 Cone Sul 1996

2013-04-30 Por tôpico EPVN
Se entendi seu argumento podemos trocar os primeiros 998 números pela média
dos primeiros 998 números. O enunciado claramente não permite essa operação.
Apenas um deles deve ser trocado pela média.
Sem querer abusar da sua bondade, poderia esclarecer esse ponto.
Abraço.
Osmundo.

-Mensagem original-
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Carlos Yuzo Shine
Enviada em: terça-feira, 30 de abril de 2013 13:11
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Problema 4 Cone Sul 1996

O erro foi supor que na situação anterior os números na sequência ficariam
a,b,b,b,...,b.
 
Poderia muito bem ser, digamos, 997/998, 1, 1995/1996, 1995/1996, ...,
1995/1996.
 
Se você ainda quer pensar no problema, pare de ler aqui. Caso contrário,
continue.
 
O que você pode fazer para resolver o problema é fazer a média dos primeiros
998 números, obtendo 998 números iguais a 997/998 e depois fazer pares com
997/998 e 1 (fazendo a operação mais 998 vezes). Note que esse argumento
funciona para qualquer número composto no lugar do 1996.
 
E no caso em que trocamos 1996 por um primo p (um 0 e p-1 uns)? Aí não dá,
porque no final o denominador tem que p (todo mundo teria que ser igual a
(p-1)/p, já que a soma de todos nunca muda), e isso obrigaria a gente a, em
algum momento, dividir tudo por p, o que não é possível.
 
Mas e se a soma dos p números é múltiplo de p? Mais uma boa pergunta, não?
 
[]'s
Shine
 

From: EPVN 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Monday, April 22, 2013 11:57 AM
Subject: [obm-l] Problema 4 Cone Sul 1996




O enunciado é: 

A seqüência 0, 1, 1, 1,
... , 1 contém 1996 números, sendo o primeiro zero e todos os demais um. Se
escolhem
dois ou mais números da seqüência (mas não todos) e se sustitui um deles
pela
média aritmética dos números escolhidos, obtendo-se assim uma nova seqüência
de
1996 números.  
Provar que, com a
repetição desta operação, é possível obter uma seqüência na qual os 1996
números são iguais.  

NOTA: Não é necessário
escolher a mesma quantidade de números em cada operação. 

Um colega apresentou a seguinte argumentação: 

Se essa operação levasse a uma seqüência com todos os números
idênticos então no penúltimo estágio teríamos algo assim: 

a,b,b,b,..,b , com um único número diferente que
deve ser tornado igual aos demais com mais um passo. Bem, se tomarmos p
números
b e mais o número a, 
obteremos o número (a + pb)/ (p + 1 ), igualando a b teríamos
a=b. 
Parece que isso prova que esse penúltimo estágio nunca é
atingido e, portanto, o último também não. 

Se algum colega puder nos ajudar a esclarecer a situação
ficamos muito gratos. 

Um abraço. 

Osmundo Bragança.   

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=


RES: [obm-l] Problema

2013-03-22 Por tôpico Benedito
A idéia é usar Cálculo (Coordenadas Polares). Mas, fazer na região descrita
no problema eu acho mais interessante.

Benedito

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de João Maldonado
Enviada em: sexta-feira, 22 de março de 2013 17:13
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RE: [obm-l] Problema

 

Eu consegui fazer para o caso geral (M e Q pode estar em qualquer região do
círculo, não apenas em regiões opostas determinadas por um diâmetro)
E a resolução ficou bem "feia"" também (tive que usar cálculo)

*Sendo P1 um ponto a uma distância x fixa do centro do círculo, qual a
probabilidade de escolhermos outro ponto no círculo tal que a distância
entre P1 e P2 seja menor que um?
Podemos tracejar um círculo de raio 1 em torno de P1. A intersecção desse
círculo com o círculo original é a região dos pontos cuja a distância a P1 é
< 1.
A área dessa região sobre a área do círculo simboliza a probabilidade de
escolhermos outro ponto P2 no círculo tal que a distância entre P1 e P2 seja
menor que um.
A área pode ser facilmente calculada por matemática básica

A/Atotal = 1/Pi (2 ArcCos[x/2] - x sqrt (1- (x/2)²))

O "peso" dessa probabilidade é proporcional à área que ela ocupa (temos
muito mais pontos a uma distância 1 do que a uma distância 1/2 por exemplo)
O peso vale 2 Pi x dx/Pi = 2 x dx
Integrando de 0 a 1

P = Integral[ 2 x dx/Pi (2 ArcCos[x/2] - x sqrt (1- (x/2)²))]  de 0 a 1

P = 58.6%

[]'s
João

  _  

From: bened...@ufrnet.br  
To: obm-l@mat.puc-rio.br  
Subject: [obm-l] Problema
Date: Fri, 22 Mar 2013 05:16:50 -0300

Problema

Dois pontos, M e Q, são escolhidos aleatoriamente num disco unitário, mas em
regiões opostas, determinadas por um diâmetro AB. 

Qual é a probabilidade de que a distância entre M e Q seja menor do que 1?



Re: RES: [obm-l] problema

2013-02-17 Por tôpico grego
Obrigado, grande mestre!
A coisa é, de fato, violenta.
Um abraço!
Grego




 De: Albert Bouskela 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
Enviadas: Sábado, 16 de Fevereiro de 2013 0:54
Assunto: RES: [obm-l] problema
 

Olá!
 
Este é um problema da Teoria dos Números bastante conhecido. Acredito (a 
confirmar!) que não exista uma solução analítica – o jeito é fazer “no braço” 
(“brute force”).
 
Bem, na Internet, encontrei a solução abaixo (bastante “arrumadinha”): – 
http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=6370 
 
Bonjour,
Je n'ai trouvé qu'une méthode empirique et dichotomique aboutissant à 14 
solutions.
Supposons 1 < a ≤ b ≤ c ≤ d.
Alors 1/a + 1/b + 1/c + 1/d ≤ 4/a donc 1 ≤ 4/a donc a ≤ 4 (et a > 1). D'où 3 
cas à analyser : a=4, a=3 et a=2.

1) a = 4
Alors 1/4 + 1/b + 1/c + 1/d = 1 ≤ 1/4 + 3/b donc 3/4 ≤ 3/b donc b ≤ 4.
Et comme b ≥ a, on voit que b=4. De la même façon c=4 et d=4.
Solution1 : 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1

2) a = 3 
Alors 1/3 + 1/b + 1/c + 1/d = 1 ≤ 1/3 + 3/b donc 2/3 ≤ 3/b donc b ≤ 9/2.
Et comme b ≥ a, on voit que b=4 ou b=3.

2a) b = 4
Alors 1/3 + 1/4 + 1/c + 1/d = 7/12 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 7/12 + 2/c donc 5/12 ≤ 2/c 
donc c ≤ 24/5.
Et comme c ≥ b, on voit que c=4
Solution2 : 1/3 + 1/4 + 1/4 + 1/6 = 1

2b) b = 3
Alors 1/3 + 1/3 + 1/c + 1/d = 2/3 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 2/3 + 2/c donc 1/3 ≤ 2/c 
donc c ≤ 6.
Et comme c ≥ b, on voit que c=3, c=4, c=5 ou c=6.
Solution3 : 1/3 + 1/3 + 1/4 + 1/12 = 1
Solution4 : 1/3 + 1/3 + 1/6 + 1/6 = 1

3) a = 2
Alors 1/2 + 1/b + 1/c + 1/d = 1 ≤ 1/2 + 3/b donc 1/2 ≤ 3/b donc b ≤ 6.
Et comme b ≥ a, on voit que b=6, b=5, b=4 ou b=3 (b=2 ne marche pas).

3a) b = 6
Alors 1/2 + 1/6 + 1/c + 1/d = 2/3 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 2/3 + 2/c donc 1/3 ≤ 2/c 
donc c ≤ 6.
Et comme c ≥ b, on voit que c=6 et par suite que d=6.
Solution5 : 1/2 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1

3b) b = 5
Alors 1/2 + 1/5 + 1/c + 1/d = 7/10 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 7/10 + 2/c donc 3/10 ≤ 2/c 
donc c ≤ 20/3.
Et comme c ≥ b, on voit que c=5 ou c=6.
Si c=5, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/5 - 1/5 = 1/10
Solution6 : 1/2 + 1/5 + 1/5 + 1/10 = 1
Si c= 6, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/5 - 1/6 = 4/30 = 2/15 non réductible

3c) b = 4
Alors 1/2 + 1/4 + 1/c + 1/d = 3/4 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 3/4 + 2/c donc 1/4 ≤ 2/c 
donc c ≤ 8.
Et comme c ≥ b, on voit que c=8, c=7, c=6 ou c=5 (c=4 ne marche pas).
Si c=8, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/8 = 1/8
Solution7 : 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8 = 1
Si c=7, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/7 = 3/28 non réductible
Si c=6, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/6 = 1/12
Solution8 : 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12 = 1
Si c=5, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/5 = 1/20
Solution9 : 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/20 = 1

3d) b = 3
Alors 1/2 + 1/3 + 1/c + 1/d = 5/6 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 5/6 + 2/c donc 1/6 ≤ 2/c 
donc c ≤ 12.
Et comme 1/2 + 1/3 + 1/c < 1 donc 1/c < 1/6 donc c > 6, on voit que c=12, c= 
11, c=10, c= 9, c=8 ou c=7.
Si c=12, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/12 = 1/12
Solution10 : 1/2 + 1/3 + 1/12 + 1/12 = 1
Si c=11, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/11 = 5/66 non réductible
Si c=10, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/10 = 2/30 = 1/15
Solution11 : 1/2 + 1/3 + 1/10 + 1/15 = 1
Si c=9, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/9 = 1/18
Solution12 : 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/18 = 1
Si c=8, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/8 = 1/24
Solution13 : 1/2 + 1/3 + 1/8 + 1/24 = 1
Si c=7, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/7 = 1/42
Solution14 : 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42 = 1

FIN de la démonstration *** ouf... ***



J'ai tellement besoin de temps pour ne rien faire, qu'il ne m'en reste plus 
assez pour travailler.
 



Albert Bouskela
bousk...@msn.com
 
De:owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de 
grego
Enviada em: sexta-feira, 15 de fevereiro de 2013 22:31
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] problema
 
Olá, companheiros!
Um aluno me perguntou o seguinte:
a <=b<=c<=d
1/a+1/b+1/c+1/d=1
Quantas quádruplas ordenadas (a, b, c, d) de naturais satisfazem a igualdade?
Um abraço!
Grego

RES: [obm-l] problema

2013-02-15 Por tôpico Albert Bouskela
Olá!

 

Este é um problema da Teoria dos Números bastante conhecido. Acredito (a 
confirmar!) que não exista uma solução analítica – o jeito é fazer “no braço” 
(“brute force”).

 

Bem, na Internet, encontrei a solução abaixo (bastante “arrumadinha”): – 
http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=6370 

 

Bonjour,
Je n'ai trouvé qu'une méthode empirique et dichotomique aboutissant à 14 
solutions.
Supposons 1 < a ≤ b ≤ c ≤ d.
Alors 1/a + 1/b + 1/c + 1/d ≤ 4/a donc 1 ≤ 4/a donc a ≤ 4 (et a > 1). D'où 3 
cas à analyser : a=4, a=3 et a=2.

1) a = 4
Alors 1/4 + 1/b + 1/c + 1/d = 1 ≤ 1/4 + 3/b donc 3/4 ≤ 3/b donc b ≤ 4.
Et comme b ≥ a, on voit que b=4. De la même façon c=4 et d=4.
Solution1 : 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1

2) a = 3 
Alors 1/3 + 1/b + 1/c + 1/d = 1 ≤ 1/3 + 3/b donc 2/3 ≤ 3/b donc b ≤ 9/2.
Et comme b ≥ a, on voit que b=4 ou b=3.

2a) b = 4
Alors 1/3 + 1/4 + 1/c + 1/d = 7/12 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 7/12 + 2/c donc 5/12 ≤ 2/c 
donc c ≤ 24/5.
Et comme c ≥ b, on voit que c=4
Solution2 : 1/3 + 1/4 + 1/4 + 1/6 = 1

2b) b = 3
Alors 1/3 + 1/3 + 1/c + 1/d = 2/3 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 2/3 + 2/c donc 1/3 ≤ 2/c 
donc c ≤ 6.
Et comme c ≥ b, on voit que c=3, c=4, c=5 ou c=6.
Solution3 : 1/3 + 1/3 + 1/4 + 1/12 = 1
Solution4 : 1/3 + 1/3 + 1/6 + 1/6 = 1

3) a = 2
Alors 1/2 + 1/b + 1/c + 1/d = 1 ≤ 1/2 + 3/b donc 1/2 ≤ 3/b donc b ≤ 6.
Et comme b ≥ a, on voit que b=6, b=5, b=4 ou b=3 (b=2 ne marche pas).

3a) b = 6
Alors 1/2 + 1/6 + 1/c + 1/d = 2/3 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 2/3 + 2/c donc 1/3 ≤ 2/c 
donc c ≤ 6.
Et comme c ≥ b, on voit que c=6 et par suite que d=6.
Solution5 : 1/2 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1

3b) b = 5
Alors 1/2 + 1/5 + 1/c + 1/d = 7/10 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 7/10 + 2/c donc 3/10 ≤ 2/c 
donc c ≤ 20/3.
Et comme c ≥ b, on voit que c=5 ou c=6.
Si c=5, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/5 - 1/5 = 1/10
Solution6 : 1/2 + 1/5 + 1/5 + 1/10 = 1
Si c= 6, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/5 - 1/6 = 4/30 = 2/15 non réductible

3c) b = 4
Alors 1/2 + 1/4 + 1/c + 1/d = 3/4 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 3/4 + 2/c donc 1/4 ≤ 2/c 
donc c ≤ 8.
Et comme c ≥ b, on voit que c=8, c=7, c=6 ou c=5 (c=4 ne marche pas).
Si c=8, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/8 = 1/8
Solution7 : 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8 = 1
Si c=7, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/7 = 3/28 non réductible
Si c=6, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/6 = 1/12
Solution8 : 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12 = 1
Si c=5, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/5 = 1/20
Solution9 : 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/20 = 1

3d) b = 3
Alors 1/2 + 1/3 + 1/c + 1/d = 5/6 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 5/6 + 2/c donc 1/6 ≤ 2/c 
donc c ≤ 12.
Et comme 1/2 + 1/3 + 1/c < 1 donc 1/c < 1/6 donc c > 6, on voit que c=12, c= 
11, c=10, c= 9, c=8 ou c=7.
Si c=12, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/12 = 1/12
Solution10 : 1/2 + 1/3 + 1/12 + 1/12 = 1
Si c=11, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/11 = 5/66 non réductible
Si c=10, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/10 = 2/30 = 1/15
Solution11 : 1/2 + 1/3 + 1/10 + 1/15 = 1
Si c=9, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/9 = 1/18
Solution12 : 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/18 = 1
Si c=8, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/8 = 1/24
Solution13 : 1/2 + 1/3 + 1/8 + 1/24 = 1
Si c=7, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/7 = 1/42
Solution14 : 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42 = 1

FIN de la démonstration *** ouf... ***

  _  

J'ai tellement besoin de temps pour ne rien faire, qu'il ne m'en reste plus 
assez pour travailler.

 

  _  

Albert Bouskela

  bousk...@msn.com

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de 
grego
Enviada em: sexta-feira, 15 de fevereiro de 2013 22:31
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] problema

 

Olá, companheiros!

Um aluno me perguntou o seguinte:

a <=b<=c<=d

1/a+1/b+1/c+1/d=1

Quantas quádruplas ordenadas (a, b, c, d) de naturais satisfazem a igualdade?

Um abraço!

Grego



Res: [obm-l] Problema

2009-09-24 Por tôpico Joel Castro
usa soma de uma pa que deve sair a resposta





De: Paulo Barclay Ribeiro 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 24 de Setembro de 2009 13:54:40
Assunto: [obm-l] Problema


Prezados, 

Peço uma ajuda (orientação)na resolução do seguinte problema:
Qual o valor da soma de todos os numeros naturais de três algarismos?

Desde  já agradeço a gentileza

Paulo Barclay  

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Res: Res: [obm-l] problema interessante!!!

2009-05-04 Por tôpico Cleuber Eduardo
Bom, então vamos lá:
Fazendo o desenho e construindo o triangulo equilátero auxiliar que te falei 
vamos precisar provar que AD=BE. Mas ai é simples pois sendo P a instersecção 
da circunferência circunscrita aos triangulos BCD e ACE, então D^MC=60º, 
A^PC=120º, vemos que P está em BE e de também em AD. Agora aplica-se ptlomeu 
nos respectivos quadriláteros APCE,  BPCD temos as seguintes relações:PE=AP+CP, 
PD= PB+PC, temos que: AD=AP+CP+PB=AE. Agora apliquemos o lei dos cossenos no 
triangulo ABE, BE^2=AB^2+AE^2+AB*AE*3^1/2, como AD=AE, de forma análoga AE=AC. 
Temos: AD^2=AB^2+AC^2+AB*AC*3^1/2 

 




De: Márcio Pinheiro 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009 12:33:47
Assunto: Re: Res: [obm-l] problema interessante!!!


De nada.
Fiquei curioso quanto à tua solução por Ptolomeu.
Qual é o ponto P?
Valeu, Cleuber.

--- Em qui, 30/4/09, Cleuber Eduardo  escreveu:

De: Cleuber Eduardo 
Assunto: Res: [obm-l] problema interessante!!!
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc: cleubersa...@yahoo.com.br
Data: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009, 10:18


Valeu Márcio!!. Quando eu peguei esse problema a princípio  eu tratei o 
problema de uma forma parecida com a tua. Mas ontem eu percebi que se 
construíssemos  um triangulo equilátero auxiliar ACE e depois  ptlolomeu no 
quadriátero APCE e BPCD. E so no final usa-se a lei dos cossenos pra terminar. 

Obrigado





De: Márcio Pinheiro 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009 8:39:51
Assunto: Re: [obm-l] problema interessante!!!


A idéia inicial pode ser expressar AD em função de AB = c e de AC = b (essa é a 
parte realmente enfadonha). Um caminho (não acessível a quem ainda não tem 
conhecimentos razoáveis de números complexos) é adotar um plano de Argand-Gauss 
em que A é a origem e os eixos contêm os catetos. Em um tal plano, sejam A (0, 
0), B (0, c) e C (b, 0), por exemplo. O vetor CB pode ser obtido por meio de 
uma rotação do vetor CD de pi/3 em torno de C. Lembrando que o vetor PQ, com P 
(m, n) e Q (p, q), pode ser associado biunivocamente tanto a P - Q (m - p, n - 
q) quanto ao complexo (m - p) + (n - q)i, i^2 = -1, conclui-se que:
(vetor CD)*(cospi/3 + isenpi/3) = (vetor CB), o que equivale a [(x - b) + 
iy]*[(1/2) + i(sqrt3)/2] = - b + ci, sendo D (x, y).
Da igualdade das partes real e imaginária, impõe-se que x = (b + csqrt3)/2 e y 
= (c + bsqrt3)/2 (espero não ter errado as contas, feitas "de cabeça" :D).
Finalmente, obtém-se que AD^2 = b^2 + c^2 + bcsqrt3, através da distância entre 
os pontos A e D. Supondo que b e c sejam racionais, conclui-se que b^2, c^2 e 
bc também o 
são. Logo AD^2 seria irracional. Mas, caso AD fosse racional, AD^2 deveria 
acompanhar essa racionalidade. Por conseguinte, AD não pode ser, também, 
racional.
É possível obter AD por caminhos sintéticos, usando a Lei dos Cossenos, por 
exemplo, nos triângulos ABD e ACD, juntamente com mais alguma trigonometria. 
Entretanto, aí sim a solução fica bem mais bizarra...
Espero ter contribuído.
Márcio Pinheiro.

--- Em qua, 29/4/09, Cleuber Eduardo  escreveu:

De: Cleuber Eduardo 
Assunto: [obm-l] problema interessante!!!
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc: cleubersa...@yahoo.com.br
Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 16:06


Bom, amigos da lista estou pensando nesse problema a alguns dias, no entanto a 
forma como o fiz é bastante enfadonha.1.Let ABC be a right triangle (∠A = 
90◦). On the hypotenuse BC constructBCD. Prove that the lengths of the segments 
AB,AC, and AD cannot all be rational. donha. Obrigado desde já.

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Res: Res: [obm-l] problema interessante!!!

2009-05-02 Por tôpico Cleuber Eduardo
Então, vamos lá:
 
Fazendo o desenho e que te disse e a construção auxiliar do triangulo 
equilátero ACE. Vamos usar um colorário.
COLORÁRIO: BE=AD
DEMONSTRAÇÃO: Sendo P a intersecção da circunferência circunscrita aos 
respectivos triangulos ACE e BCD. Logo D^PC=pi/3 e A^MC=2pi/3. Então P está em 
AD, e de forma análoga P está em BE. Finalmente aplicando 
Ptolomeu!!! temos as relações  PE=AP +PC, PD=PB+PC. 
Logo AD=PM+PB+PC=BE cqd. Em ABE aplica-se lei dos cossenos BE^2= AB^2+AE^2 
+AE*AB*3^1/2. No entanto, BE=AD, AE=AC. Então: AD^2=AB^2+AC^2+AB.AC*3^1/2 cqd. 
Bom cheguei no mesmo resultado que vc obteve praticament. É um bom problema, 
enfim"!!! 
 



De: Márcio Pinheiro 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009 12:33:47
Assunto: Re: Res: [obm-l] problema interessante!!!


De nada.
Fiquei curioso quanto à tua solução por Ptolomeu.
Qual é o ponto P?
Valeu, Cleuber.

--- Em qui, 30/4/09, Cleuber Eduardo  escreveu:

De: Cleuber Eduardo 
Assunto: Res: [obm-l] problema interessante!!!
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc: cleubersa...@yahoo.com.br
Data: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009, 10:18


Valeu Márcio!!. Quando eu peguei esse problema a princípio  eu tratei o 
problema de uma forma parecida com a tua. Mas ontem eu percebi que se 
construíssemos  um triangulo equilátero auxiliar ACE e depois  ptlolomeu no 
quadriátero APCE e BPCD. E so no final usa-se a lei dos cossenos pra terminar. 

Obrigado





De: Márcio Pinheiro 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009 8:39:51
Assunto: Re: [obm-l] problema interessante!!!


A idéia inicial pode ser expressar AD em função de AB = c e de AC = b (essa é a 
parte realmente enfadonha). Um caminho (não acessível a quem ainda não tem 
conhecimentos razoáveis de números complexos) é adotar um plano de Argand-Gauss 
em que A é a origem e os eixos contêm os catetos. Em um tal plano, sejam A (0, 
0), B (0, c) e C (b, 0), por exemplo. O vetor CB pode ser obtido por meio de 
uma rotação do vetor CD de pi/3 em torno de C. Lembrando que o vetor PQ, com P 
(m, n) e Q (p, q), pode ser associado biunivocamente tanto a P - Q (m - p, n - 
q) quanto ao complexo (m - p) + (n - q)i, i^2 = -1, conclui-se que:
(vetor CD)*(cospi/3 + isenpi/3) = (vetor CB), o que equivale a [(x - b) + 
iy]*[(1/2) + i(sqrt3)/2] = - b + ci, sendo D (x, y).
Da igualdade das partes real e imaginária, impõe-se que x = (b + csqrt3)/2 e y 
= (c + bsqrt3)/2 (espero não ter errado as contas, feitas "de cabeça" :D).
Finalmente, obtém-se que AD^2 = b^2 + c^2 + bcsqrt3, através da distância entre 
os pontos A e D. Supondo que b e c sejam racionais, conclui-se que b^2, c^2 e 
bc também o 
são. Logo AD^2 seria irracional. Mas, caso AD fosse racional, AD^2 deveria 
acompanhar essa racionalidade. Por conseguinte, AD não pode ser, também, 
racional.
É possível obter AD por caminhos sintéticos, usando a Lei dos Cossenos, por 
exemplo, nos triângulos ABD e ACD, juntamente com mais alguma trigonometria. 
Entretanto, aí sim a solução fica bem mais bizarra...
Espero ter contribuído.
Márcio Pinheiro.

--- Em qua, 29/4/09, Cleuber Eduardo  escreveu:

De: Cleuber Eduardo 
Assunto: [obm-l] problema interessante!!!
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc: cleubersa...@yahoo.com.br
Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 16:06


Bom, amigos da lista estou pensando nesse problema a alguns dias, no entanto a 
forma como o fiz é bastante enfadonha.1.Let ABC be a right triangle (∠A = 
90◦). On the hypotenuse BC constructBCD. Prove that the lengths of the segments 
AB,AC, and AD cannot all be rational. donha. Obrigado desde já.

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Re: Res: [obm-l] problema interessante!!!

2009-05-02 Por tôpico Márcio Pinheiro
De nada.
Fiquei curioso quanto à tua solução por Ptolomeu.
Qual é o ponto P?
Valeu, Cleuber.

--- Em qui, 30/4/09, Cleuber Eduardo  escreveu:

De: Cleuber Eduardo 
Assunto: Res: [obm-l] problema interessante!!!
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc: cleubersa...@yahoo.com.br
Data: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009, 10:18






Valeu Márcio!!. Quando eu peguei esse problema a princípio  eu tratei o 
problema de uma forma parecida com a tua. Mas ontem eu percebi que se 
construíssemos  um triangulo equilátero auxiliar ACE e depois  ptlolomeu no 
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Obrigado





De: Márcio Pinheiro 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009 8:39:51
Assunto: Re: [obm-l] problema interessante!!!






A idéia inicial pode ser expressar AD em função de AB = c e de AC = b (essa é a 
parte realmente enfadonha). Um caminho (não acessível a quem ainda não tem 
conhecimentos razoáveis de números complexos) é adotar um plano de Argand-Gauss 
em que A é a origem e os eixos contêm os catetos. Em um tal plano, sejam A (0, 
0), B (0, c) e C (b, 0), por exemplo. O vetor CB pode ser obtido por meio de 
uma rotação do vetor CD de pi/3 em torno de C. Lembrando que o vetor PQ, com P 
(m, n) e Q (p, q), pode ser associado biunivocamente tanto a P - Q (m - p, n - 
q) quanto ao complexo (m - p) + (n - q)i, i^2 = -1, conclui-se que:
(vetor CD)*(cospi/3 + isenpi/3) = (vetor CB), o que equivale a [(x - b) + 
iy]*[(1/2) + i(sqrt3)/2] = - b + ci, sendo D (x, y).
Da igualdade das partes real e imaginária, impõe-se que x = (b + csqrt3)/2 e y 
= (c + bsqrt3)/2 (espero não ter errado as contas, feitas "de cabeça" :D).
Finalmente, obtém-se que AD^2 = b^2 + c^2 + bcsqrt3, através da distância entre 
os pontos A e D. Supondo que b e c sejam racionais, conclui-se que b^2, c^2 e 
bc também o 
são. Logo AD^2 seria irracional. Mas, caso AD fosse racional, AD^2 deveria 
acompanhar essa racionalidade. Por conseguinte, AD não pode ser, também, 
racional.
É possível obter AD por caminhos sintéticos, usando a Lei dos Cossenos, por 
exemplo, nos triângulos ABD e ACD, juntamente com mais alguma trigonometria. 
Entretanto, aí sim a solução fica bem mais bizarra...
Espero ter contribuído.
Márcio Pinheiro.

--- Em qua, 29/4/09, Cleuber Eduardo  escreveu:

De: Cleuber Eduardo 
Assunto: [obm-l] problema interessante!!!
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc: cleubersa...@yahoo.com.br
Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 16:06






Bom, amigos da lista estou pensando nesse problema a alguns dias, no entanto a 
forma como o fiz é bastante enfadonha. 
1.Let ABC be a right triangle (∠A = 90◦). On the hypotenuse BC construct
in the exterior the equilateral triangle BCD. Prove that the lengths of the 
segments AB,
AC, and AD cannot all be rational.donha. Obrigado desde já.


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Res: [obm-l] problema interessante!!!

2009-04-30 Por tôpico Cleuber Eduardo
Valeu Márcio!!. Quando eu peguei esse problema a princípio  eu tratei o 
problema de uma forma parecida com a tua. Mas ontem eu percebi que se 
construíssemos  um triangulo equilátero auxiliar ACE e depois  ptlolomeu no 
quadriátero APCE e BPCD. E so no final usa-se a lei dos cossenos pra terminar. 

Obrigado





De: Márcio Pinheiro 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009 8:39:51
Assunto: Re: [obm-l] problema interessante!!!


A idéia inicial pode ser expressar AD em função de AB = c e de AC = b (essa é a 
parte realmente enfadonha). Um caminho (não acessível a quem ainda não tem 
conhecimentos razoáveis de números complexos) é adotar um plano de Argand-Gauss 
em que A é a origem e os eixos contêm os catetos. Em um tal plano, sejam A (0, 
0), B (0, c) e C (b, 0), por exemplo. O vetor CB pode ser obtido por meio de 
uma rotação do vetor CD de pi/3 em torno de C. Lembrando que o vetor PQ, com P 
(m, n) e Q (p, q), pode ser associado biunivocamente tanto a P - Q (m - p, n - 
q) quanto ao complexo (m - p) + (n - q)i, i^2 = -1, conclui-se que:
(vetor CD)*(cospi/3 + isenpi/3) = (vetor CB), o que equivale a [(x - b) + 
iy]*[(1/2) + i(sqrt3)/2] = - b + ci, sendo D (x, y).
Da igualdade das partes real e imaginária, impõe-se que x = (b + csqrt3)/2 e y 
= (c + bsqrt3)/2 (espero não ter errado as contas, feitas "de cabeça" :D).
Finalmente, obtém-se que AD^2 = b^2 + c^2 + bcsqrt3, através da distância entre 
os pontos A e D. Supondo que b e c sejam racionais, conclui-se que b^2, c^2 e 
bc também o 
são. Logo AD^2 seria irracional. Mas, caso AD fosse racional, AD^2 deveria 
acompanhar essa racionalidade. Por conseguinte, AD não pode ser, também, 
racional.
É possível obter AD por caminhos sintéticos, usando a Lei dos Cossenos, por 
exemplo, nos triângulos ABD e ACD, juntamente com mais alguma trigonometria. 
Entretanto, aí sim a solução fica bem mais bizarra...
Espero ter contribuído.
Márcio Pinheiro.

--- Em qua, 29/4/09, Cleuber Eduardo  escreveu:

De: Cleuber Eduardo 
Assunto: [obm-l] problema interessante!!!
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc: cleubersa...@yahoo.com.br
Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 16:06


Bom, amigos da lista estou pensando nesse problema a alguns dias, no entanto a 
forma como o fiz é bastante enfadonha.1.Let ABC be a right triangle (∠A = 
90◦). On the hypotenuse BC constructBCD. Prove that the lengths of the segments 
AB,AC, and AD cannot all be rational.donha. Obrigado desde já.

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RES: [obm-l] problema análise

2009-01-08 Por tôpico Artur Costa Steiner


-Mensagem original-
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br]em nome de 
Murilo Krell
Enviada em: quarta-feira, 7 de janeiro de 2009 17:10
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] problema análise


Prezados amigos,
poderiam me ajudar com esses problemas?

a) Se uma sequência é monótona tem uma subsequência convergente, prove que a 
sequência é, ela própria convergente.

  Sejam x_n uma sequencia monotona crescente e x_n_k uma subsequencia 
convergente de x_n. Por ser convergente, x_n_k é limitada, havendo assim M > 0 
tal que x_n_k < M para todo k =1,2,3. Pela definicao de subsequencia, para 
todo n existe k tal que n_k > n. Como x_n eh monotona crescente, temos então 
que x_n <= x_n_k < M, do que deduzimos que x_n, alem de monotona crescente, eh 
limitada superiormente por M. Logo, x_n eh convergente.
Se x_n for monotona decrescente, o raciocinio eh similar.

b) A fim de que o número real a seja valor de aderência de (xn) é necessário e 
suficiente, que, para todo eps>0 e todo k pertencente a N dados, exista
n>k tal que o modulo de xn-a0, temos entao 
que, com possivel excecao de um numero finito de termos, a bola aberta de 
centro em a e raio eps contem todos os termos de x_n_i. Para todo k de N, 
existe entao, pela definicao de subsequencia, i pertencente a N tal que n_i > k 
e x_n_i esta na citada bola. Fazendo-se n = n_i, obtemos n > k tal que |x_n - 
a| < eps.



Suponhamos agora, por outro lado, que, para todo eps>0 e todo k pertencente a N 
dados, exista n tal que |x_n - a| < eps. Fazendo-se eps = 1/1 e k = 1, obtemos 
n_1 > 1 tal que |x_n_1 - a| < 1. De forma indutiva, suponhamos que, para algum 
i de N, existam n_1 < n_2 n_i tal que |x_n_(i + 1) - a| < eps. Com isto, construimos uma subsequencia 
x_n_i de x_n tal que, para todo i, |x_n_i - a| < 1/i. Como 1/i  -> 0, x_n_i -> 
a. Concluimos, assim, que a eh ponto de aderencia de x_n.

Artur

Problemas do livro de análise do Elon


desde já agradeço imensamente a ajuda,
abraços,

Jhonata



RES: [obm-l] Problema - Campeonato Paulista

2008-08-22 Por tôpico Dória
Pessoal, muito obrigada pela ajuda!
Um abraço.


From: *Dória* <[EMAIL PROTECTED]>
Date: 2008/8/21
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá!
 Podem me ajudar nesse exercício, por favor?

No Campeonato Paulista de Futebol, participam 20 clubes. Se todas as equipes
jogam entre si uma única vez, qual o total de partidas deste campeonato?

[ ]'s

--
From: *Fernando Lima Gama Junior* <[EMAIL PROTECTED]>
Date: 2008/8/21
To: obm-l@mat.puc-rio.br


20*19/2 = 190


2008/8/21 Dória <[EMAIL PROTECTED]>


--
From: *Dória* <[EMAIL PROTECTED]>
Date: 2008/8/21
To: obm-l@mat.puc-rio.br


 Quando faço 20*19 o que eu encontro?

Obrigada.

2008/8/21 Fernando Lima Gama Junior <[EMAIL PROTECTED]>


--
From: *Iuri* <[EMAIL PROTECTED]>
Date: 2008/8/21
To: obm-l@mat.puc-rio.br


Na primeira escolha vc tem 20 times pra escolher. Na segunda, tem 19, já que
um deles foi escolhido anteriormente. Como escolher primeiro o time A e
depois o time B ou primeiro escolher o time B e depois o time A são a mesma
coisa, vc divide o resultado por 2.

--
From: *Fernando Lima Gama Junior* <[EMAIL PROTECTED]>
Date: 2008/8/21
To: obm-l@mat.puc-rio.br


Encontra todas as combinações, importando a ordem. Assim, tem que X - Y é
diferente de Y - X. Quando se divide por 2, tem-se apenas uma combinação.

Ou seja, para a primeira opção, temos 20 times. Para a segunda, 19. Assim,
haveria 380 jogos (20x19) se os jogos fossem de ida e de volta. Como é
apenas uma partida entre cada time, temos q diviidr por 2.

Abraços,

--
From: *João Luís* <[EMAIL PROTECTED]>
Date: 2008/8/21
To: obm-l@mat.puc-rio.br


 Veja, Dória, se são 20 clubes, cada um joga 19 vezes, certo? Então seriam
20*19 jogos!

Seriam, porque, fazendo a conta desse modo cada jogo foi contado duas vezes;
para corrigir isso, divid-se o total por 2: 20*19/2, 190 jogos.

Compreendeu?

Um abraço,

João Luís

--
From: *Bruno França dos Reis* <[EMAIL PROTECTED]>
Date: 2008/8/21
To: obm-l@mat.puc-rio.br


Vc encontra 380.

Brincadeira, não resisti.

Esse 20*19 é o que chamamos de *arranjo*.
A(n, r)  =  arranjos de  n elementos, tomados r a r = n! / (n - r)!
O número A(n, r) é a quantidade de r-uplas (ordenadas) distintas que podemos
formar a partir dos elementos de um conjunto de n elementos.
No nosso caso, n = 20, r = 2. Então esse é o número de *pares ordenados* que
podemos formar a partir dos 20 elementos (clubes).

A divisão por 2 é para desconsiderarmos pares que difiram apenas na ordem de
seus elementos, o que nos leva a outro conceito importante, o de *
combinações*.

C(n, r) = combinações de n elementos, tomados r a r = n! / (r! (n-r)!)
Esse número é a quantidade de subconjuntos de tamanho r que podemos formar a
partir dos elementos de um *conjunto *de tamanho n. A diferença sutil é que
antes fazíamos r-uplas, nas quais a ordem é importante ( (A, B) é diferente
de (B, A)), e agora fazemos conjuntos, objeto no qual não importa a ordem (
{A, B} é o mesmo que {B, A} ).



Abraço
Bruno
-- 
Bruno FRANÇA DOS REIS

msn: [EMAIL PROTECTED]
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16

e^(pi*i)+1=0


Res: [obm-l] Problema das Vigas

2008-03-06 Por tôpico Eduardo Estrada
Não, pois os ângulos inferiores, na figura, são retos.

- Mensagem original 
De: Joao Victor Brasil <[EMAIL PROTECTED]>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 6 de Março de 2008 15:46:26
Assunto: Re: [obm-l] Problema das Vigas

AB=CD???

On 3/6/08, Eduardo Estrada <[EMAIL PROTECTED]> wrote:Olá,

Alguém conhece uma solução simples para o Problema das Vigas? Consiste no 
seguinte:

"Imagine a seguinte figura:

 ||
A  ||
 ||
 ||
 || D
 ||
 ||
 |__|
B   C
   

AC = 30 m, BD = 20 m, AC e BD interceptam-se em P, que dista 8 m de BC. 
Pede-se, calcular o tamanho de BC. Aparentemente simples, para resolver este 
problema, caímos numa equação de grau maior do que 2. Então, a pergunta, existe 
alguma solução simples?

Um abraço,
Eduardo



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RE: RES: [obm-l] problema de cálculo

2008-01-21 Por tôpico Francisco

Olá Artur.

Acho que realmente escrevi errado, o problema é que existe alguns livros de 
cálculo que escreve para norma de um vetor simplesmente  |.|

|p| = ||p|| , ou seja, |p| significa norma de do vetor p.

Francisco 

From: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Date: Mon, 21 Jan 2008 09:44:11 -0200
Subject: RES: [obm-l] problema de cálculo











Não entendi este enunciado. |p| eh o valor absoluto do vetor, nao um vetor de 
R^n. Nao estou vendo sentindo
Artur  

-Mensagem original-

De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de
Francisco

Enviada em: sexta-feira, 18 de janeiro de 2008 15:47

Para: Lista de discursão

Assunto: [obm-l] problema de cálculo




Olá Pessoal!



Alguém pode me ajudar no problema abaixo? Não parece difícil, mas não consigo o 
"truque"!!!



Problema: Seja f: IR^n --> IR diferenciável não constante. Dado c > 0, mostre 
que existe p em IR^n tal que |p| = c e p é paralelo ao gradiente de f em p.



Obrigado desde já,

  Francisco.



PS.: Aliás, não consigo nenhuma possível interpretação (geométrica) para o 
enunciado!


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RES: [obm-l] problema de cálculo

2008-01-21 Por tôpico Artur Costa Steiner
Não entendi este enunciado. |p| eh o valor absoluto do vetor, nao um vetor de 
R^n. Nao estou vendo sentindo
Artur

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Francisco
Enviada em: sexta-feira, 18 de janeiro de 2008 15:47
Para: Lista de discursão
Assunto: [obm-l] problema de cálculo


Olá Pessoal!

Alguém pode me ajudar no problema abaixo? Não parece difícil, mas não consigo o 
"truque"!!!

Problema: Seja f: IR^n --> IR diferenciável não constante. Dado c > 0, mostre 
que existe p em IR^n tal que |p| = c e p é paralelo ao gradiente de f em p.

Obrigado desde já,
  Francisco.

PS.: Aliás, não consigo nenhuma possível interpretação (geométrica) para o 
enunciado!

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RES: RES: [obm-l] Problema com polinômios

2008-01-15 Por tôpico Artur Costa Steiner
Eh, tem toda a razao, pode haver outras raizes. Obrigado pela correcao.

Mas creio que dah para aproveitar o raciocinio anterior.

Temos que Q(x) = (x -a)(x - b)(x -c)(x - d).T(x).

O polinomio (x -a)(x - b)(x -c)(x - d) eh monico e tem coeficientes inteiros. 
Como Q tem tambem coeficientes inteiros e eh monico, o algoritmo da divisao de 
polinomios implica que T seja monico e tenha coeficiente inteiros. Se p(k) = 8 
para algum inteiro k, entao Q(k) = 3 e

3 = (k -a)(k - b)(k -c)(k - d) T(k)

Como T(k) eh inteiro, vemos que 3 eh dado por um produto de 5 inteiros, dos 
quais 4 sao distintos 2 a 2. Isto implica que 3 tenha pelo menos 4 divisores, 
contrariando o fato de que 3 eh primo.

Agora estah certo, nao estah?

Artur


-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Carlos Nehab
Enviada em: segunda-feira, 14 de janeiro de 2008 19:20
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] Problema com polinômios


Oi, Arthur,

Acho que podem existir outras raízes e, como conseqüência, Q(x) = (x -a)(x - 
b)(x -c)(x - d).T(x), onde o polinômio quociente T(x) não seria identicamente 
igual a 1...   Confesso que dei uma tentada por ai mas empaquei, pois não achei 
contra exemplo nem tampouco provei que T(k) seria inteiro...  Onde será que 
estou voando?

Abração,
Nehab

Artur Costa Steiner escreveu:

Definamos Q(x) = P(x) - 5. Entao, Q eh um polinomio monico (pois P eh monico) e 
admite a, b, c e d como raizes, distintas 2 a 2. Segue-se que

Q(x) = (x -a) (x -b ) (x -c ) (x - d). Se P(k) = 8 para algum inteiro k, entao 
Q(k) = 3 e

Q(k)  = 3 = (k-a) (k -b) (k -c) (k -d). Como k eh inteiro e a, b, c e d sao 
inteiros distintos 2 a 2, isto signfica que 3 eh dado pelo produto de 4 numeros 
inteiros distintos 2 a 2.  Mas isto é impossivel, pois 3 eh primo. Logo, nao 
existe nenhum inteiro k com P(k) = 8.

Accho que estah certo.


[Artur Costa Steiner]
 -Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]<mailto:[EMAIL PROTECTED]> [ mailto:[EMAIL PROTECTED] nome 
de Marcelo Salhab Brogliato
Enviada em: segunda-feira, 14 de janeiro de 2008 10:23
Para: obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: Re: [obm-l] Problema com polinômios



Olá Igor,

estou tentando encontrar um contra-exemplo (pra mim, é um ótimo jeito de se 
encontrar uma demonstração.. hehe!)

p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n

vamos supor que: p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, e p(k) = 8
onde a, b, c, d, k sao primos entre si dois a dois.
deste modo:
p(a) = 5 = a_n (mod a)
p(b) = 5 = a_n (mod b)
p(c) = 5 = a_n (mod c)
p(d) = 5 = a_n (mod d)
p(k) = 8 = a_n (mod k)

pelo teorema chines do resto, conseguimos determinar a_n (mod a.b.c.d.k)
fazendo: g(x) = [p(x) - a_n]/x, temos que: g(a), g(b), g(c), g(d) e g(k) estão 
definidos..
então, usando a mesma idéia, determinamos a_(n-1).
seguindo esta idéia, conseguimos determinar todos os coeficientes do polinômio!

qual o erro nesta idéia? não encontrei...

abraços,
Salhab







2008/1/12 Igor Battazza < [EMAIL PROTECTED]<mailto:[EMAIL PROTECTED]>>:


Olá pessoal,
estou com dúvidas na seguinte questão:

Dado o polinômio p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... +
a_(n-1)*x + a_n com coeficientes inteiros a_1, a_2, ..., a_n, e dado
que também existem 4 inteiros distintos a, b, c e d tal que p(a) =
p(b) = p(c) = p(d) = 5, mostre que não existe inteiro k tal que p(k) =
8.

Não consigo pensar em nenhuma restrição que implique nisso.

Obrigado,
Igor.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html>
=



= 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
=



Re: RES: [obm-l] Problema com polinômios

2008-01-14 Por tôpico Carlos Nehab




Oi, Arthur, 

Acho que podem existir outras raízes e, como conseqüência, Q(x) = (x
-a)(x - b)(x -c)(x - d).T(x), onde o polinômio quociente T(x) não seria
identicamente igual a 1...   Confesso que dei uma tentada por ai mas
empaquei, pois não achei contra exemplo nem tampouco provei que T(k) seria inteiro...  Onde será que estou voando?

Abração,
Nehab 

Artur Costa Steiner escreveu:

  
  
  Definamos Q(x) = P(x) - 5. Entao, Q eh um
polinomio monico (pois P eh monico) e admite a, b, c e d como raizes,
distintas 2 a 2. Segue-se que
  
   
  Q(x) = (x -a) (x -b ) (x -c ) (x - d). Se P(k) =
8 para algum inteiro k, entao Q(k) = 3 e 
   
  Q(k)  = 3 = (k-a) (k -b) (k -c) (k -d). Como k
eh inteiro e a, b, c e d sao inteiros distintos 2 a 2, isto signfica
que 3 eh dado pelo produto de 4 numeros inteiros distintos 2 a 2.  Mas isto é impossivel, pois 3 eh
primo. Logo, nao existe nenhum inteiro k com P(k) = 8.
   
  Accho que estah certo.
   
  
  [Artur Costa Steiner] 
   -Mensagem original-
  De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de
  Marcelo Salhab Brogliato
  Enviada em: segunda-feira, 14 de janeiro de 2008 10:23
  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
  Assunto: Re: [obm-l] Problema com polinômios
  
  
  Olá Igor,

estou tentando encontrar um contra-exemplo (pra mim, é um ótimo jeito
de se encontrar uma demonstração.. hehe!)

p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n

vamos supor que: p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, e p(k) = 8 
onde a, b, c, d, k sao primos entre si dois a dois.
deste modo:
p(a) = 5 = a_n (mod a)
p(b) = 5 = a_n (mod b)
p(c) = 5 = a_n (mod c)
p(d) = 5 = a_n (mod d)
p(k) = 8 = a_n (mod k)

pelo teorema chines do resto, conseguimos determinar a_n (mod a.b.c.d.k)
fazendo: g(x) = [p(x) - a_n]/x, temos que: g(a), g(b), g(c), g(d) e
g(k) estão definidos..
então, usando a mesma idéia, determinamos a_(n-1).
seguindo esta idéia, conseguimos determinar todos os coeficientes do
polinômio! 

qual o erro nesta idéia? não encontrei...

abraços,
Salhab






2008/1/12 Igor Battazza <[EMAIL PROTECTED]>:

Olá pessoal,
estou com dúvidas na seguinte questão:
  
Dado o polinômio p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + 
a_(n-1)*x + a_n com coeficientes inteiros a_1, a_2, ..., a_n, e dado
que também existem 4 inteiros distintos a, b, c e d tal que p(a) =
p(b) = p(c) = p(d) = 5, mostre que não existe inteiro k tal que p(k) =
8. 
  
Não consigo pensar em nenhuma restrição que implique nisso.
  
Obrigado,
Igor.
  
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=



  



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RES: [obm-l] Problema com polinômios

2008-01-14 Por tôpico Artur Costa Steiner
Definamos Q(x) = P(x) - 5. Entao, Q eh um polinomio monico (pois P eh monico) e 
admite a, b, c e d como raizes, distintas 2 a 2. Segue-se que

Q(x) = (x -a) (x -b ) (x -c ) (x - d). Se P(k) = 8 para algum inteiro k, entao 
Q(k) = 3 e

Q(k)  = 3 = (k-a) (k -b) (k -c) (k -d). Como k eh inteiro e a, b, c e d sao 
inteiros distintos 2 a 2, isto signfica que 3 eh dado pelo produto de 4 numeros 
inteiros distintos 2 a 2.  Mas isto é impossivel, pois 3 eh primo. Logo, nao 
existe nenhum inteiro k com P(k) = 8.

Accho que estah certo.


[Artur Costa Steiner]
 -Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Marcelo Salhab Brogliato
Enviada em: segunda-feira, 14 de janeiro de 2008 10:23
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Problema com polinômios



Olá Igor,

estou tentando encontrar um contra-exemplo (pra mim, é um ótimo jeito de se 
encontrar uma demonstração.. hehe!)

p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n

vamos supor que: p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, e p(k) = 8
onde a, b, c, d, k sao primos entre si dois a dois.
deste modo:
p(a) = 5 = a_n (mod a)
p(b) = 5 = a_n (mod b)
p(c) = 5 = a_n (mod c)
p(d) = 5 = a_n (mod d)
p(k) = 8 = a_n (mod k)

pelo teorema chines do resto, conseguimos determinar a_n (mod a.b.c.d.k)
fazendo: g(x) = [p(x) - a_n]/x, temos que: g(a), g(b), g(c), g(d) e g(k) estão 
definidos..
então, usando a mesma idéia, determinamos a_(n-1).
seguindo esta idéia, conseguimos determinar todos os coeficientes do polinômio!

qual o erro nesta idéia? não encontrei...

abraços,
Salhab







2008/1/12 Igor Battazza < [EMAIL PROTECTED]>:


Olá pessoal,
estou com dúvidas na seguinte questão:

Dado o polinômio p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... +
a_(n-1)*x + a_n com coeficientes inteiros a_1, a_2, ..., a_n, e dado
que também existem 4 inteiros distintos a, b, c e d tal que p(a) =
p(b) = p(c) = p(d) = 5, mostre que não existe inteiro k tal que p(k) =
8.

Não consigo pensar em nenhuma restrição que implique nisso.

Obrigado,
Igor.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=





[obm-l] RES: [obm-l] Problema de funções do Artur

2007-08-31 Por tôpico Artur Costa Steiner
Muito obrigado
Artur

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Nicolau C. Saldanha
Enviada em: sexta-feira, 31 de agosto de 2007 11:28
Para: [EMAIL PROTECTED]; obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Problema de funções do Artur


On Thu, Aug 23, 2007 at 01:47:08PM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
> Seja f definida em (0, oo), nao negativa e monotonicamente decrescente.
> Podemos provar, sem maiores dificuldades, que lim (n --> oo)  [f(1) +
> f(2)+  f(n) - Int (1 a n) f(t) dt ] existe. Isto é decorrência direta do
> carater monotonicamente decrescente de f. Mesmo que a serie e a integral
> infinita divirjam, o limite sempre existe. A sequencia é limitada
> inferiormente por 0 e eh monotica decrescente. Como f eh monotonica a
> integral existe em qualquer intervalo compacto.
> 
> Suponhamos agora que, para cada x >= 0 fixo, f_x seja definida em [1, oo) por
> f_x(t) = 1/t^x. Entao, f_x eh estritamente decrescente para x > 0 e constante
> em 1 pra x = 0. Definamos g(x) = lim (n --> oo)  [1/1^x + 1/2^x .1/n^x -
> Int (1 a n) f_x(t) dt ]. Pelo que vimos, este limite existe para todo x e g
> estah bem definida. Se x<>1,
> 
> g(x) = lim (n --> oo)  [1/1^x + 1/2^x .1/n^x -  (n^(1 - x) - 1)/(1 - x) ] 
> > e , se x=1
> 
> g(1) = lim (n --> oo)  [1/1 + 1/2 .1/nx - ln(n)] , que é a famosa
> constante de Euler/Mascheroni, pouco maior que 0, 5
> 
> Se x >1, na definição de g a série e a integral convergem, e temos que 
> 
> g(x) =  lim (n --> oo)  [1/1^x + 1/2^x .1/n^x -  1/(x -1)] = Z(x) - 1/(x
> -1), sendo Z a funcao zeta de Riemann. Da análise complexa, sabe-se que Zé
> analítica, apresentando assim derivadas de todas as ordens também na reta
> real. Logo, g é difrenciavel em (1, oo) e g'(x) = Z'(x) + 1/(x-1)^2
> 
> Se x estiver em (0, 1], entao a integral e serie divergem. Ttentei provar que 
> > g é derivável tambem em [0,1], mas nap consegui.

Escreva

g(s) = SOMA_{n=1}^{infinito} h_n(s),
h_n(s) = 1/n^s - (int_n^(n+1) dt/t^s)
   = n^(-s) - (int_n^(n+1) t^(-s) dt)
   = exp(-s log n) - (int_n^(n+1) exp(-s log t) dt).

Assim g fica escrita como uma série de funções.
Note que a função t^(-s) é decrescente em t logo

0 <= h_n(s) <= n^(-s) - (n+1)^(-s)

e um argumento telescópico prova a convergência da série para s > 0.
Para verificar que g é derivável devemos estimar as derivadas h_n'(s):

h_n'(s) = H(s,n) - int_n^(n+1) H(s,t) dt,
H(s,t) = - log t exp(-s log t).

A derivada parcial de H em relação a t é

H_t(s,t) = (s log t - 1) exp(-s log t) / t

donde H_t(s,t) > 0 para t > exp(1/s).
Ou seja, em qualquer intervalo compacto contido em (0,infinito)
existe um N a partir do qual

H(s,n) - H(s,n+1) <= h_n'(s) <= 0

e novamente por um argumento telescópico a série SOMA h_n'(s)
converge uniforme e absolutamente para uma função contínua
que será g'(s).

Mas o melhor mesmo é provar que a sua função g é *inteira*.
Considere a fórmula que você provou para s > 1: g(s) = Z(s) - 1/(s-1).
Ora, é sabido que a função zeta tem uma única singularidade em C:
um polo simples em s=1. Ao subtrair 1/(s-1), você obteve uma função
inteira g_1(s) = Z(s) - 1/(s-1). O que você quer provar portanto
é que o limite que você usou para definir g continua convergindo para
o valor "correto" g_1(s) para s no intervalo (0,1].
Tudo isso pode ser feito estimando as funções h_n(s) acima
em vizinhanças compactas apropriadas de reais x em (0,infinito).

Note finalmente que o ponto s = 0  não pode ser tratado desta
forma e tenho quase certeza que o seu limite original dá a resposta errada.

[]s, N.



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=


[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Problema de maximiza ção

2007-06-07 Por tôpico Rhilbert Rivera

 
Obrigado amigo, pelos esclarecimentos. 
 
[ ]'s> To: obm-l@mat.puc-rio.br> From: [EMAIL PROTECTED]> Subject: Re: [obm-l] 
RE: [obm-l] RES: [obm-l] Problema de maximização> Date: Thu, 7 Jun 2007 
00:00:41 -0300> > X é o número total de novilhos. E não o número de novilhos q 
excedem os > 20... > > O modelo q usei pro P só vale pra x >= 20. É basado no 
texto q fala: > - Permite 20 novilhos. > - A cada novilho acrescentado, o peso 
médio (nesse caso, o peso médio entre > os novilhos) cai 22,5 kg. > > Ou seja, 
até x<=20, o peso médio por novilho é 900 kg. Após isso, perdem-se > 22,5 Kg 
por cada novilho q exceder os 20, ou seja, perdem-se 22,5*(x-20). > Logo: > P = 
900 - 22,5*(x-20) > > Na sua conta, tem um erro. O coeficiente de x é (900 + 
450) e não (900 - > 450). Corrigindo isso, o x q maximiza a função é 30 mesmo, 
como tinha > falado. > > Falou! > > Em (00:08:55), obm-l@mat.puc-rio.br 
escreveu: > > > >Interessante esse seu raciocínio do pesso com relação à área. 
Não havia > pensado nisso... > > > >Não consigo entender o modelo feito para o 
peso de cada novilho: P = 900 - > 22,5(x-20). > > > >x seriam os novilhos que 
se acrescenta no pasto além dos 20 que já estão > lá? Se for isso, quando se 
acrescenta 1 novilho, por exemplo, vai se ter um > ganho no peso e não perda, 
como o problema diz > > > >Caso esse modelo esteja correto, o que estaria 
errado se eu fizesse > > > >P = x[900 - 22,5(x-20)] > > > >P = 450x- 22,5 x^2 > 
> > >Se P'=0 então, x = 10 e P = 2250 ? > > > >Obrigado por qualquer 
esclarecimento. > > > >[ ] ' s > > > >:31 -0300 > >> > >> Eu acho q a idéia 
pode ser maximizar o peso médio com relação a área (e > não > >> com relação ao 
número de novilhos). > >> Vc coloca um novilho, o peso médio com relação a área 
pode aumentar ou > >> diminuir. Até os 20, qnd não há perda, com certeza 
aumenta... > >> > >> Resolveria assim: > >> > >> Número de novilhos: x > >> 
Peso de cada novilho (considerando 20 ou mais): P = 900 -22,5*(x-20) Kg > >> 
Peso médio na área: Pm = x*P/50 > >> > >> Maximizando o peso médio na área, 
temos x=30, P = 675 e Pm = 20250. > >> > >> Era isso? > >> > >> Em (15:28:34), 
obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: > >> > >> > >> >Este enunciado deve estar 
errado. Da > >> >maneira como foi formulado, o peso médio decresce com o número 
de > >> >novilhos e o ideal é colocar so 1 novilho, jah que peso medio para 0 > 
>> >novilhos nao eh definido. > >> > > >> > Artur > >> > > >> > -Mensagem > 
>> > original- > >> > De: [EMAIL PROTECTED] > >> > [mailto:[EMAIL 
PROTECTED] Em nome de Rhilbert > >> > Rivera > >> > Enviada em: terça-feira, 5 
de junho de 2007 > >> > 17:30 > >> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > >> > Assunto: 
[obm-l] Problema > >> > de maximização > >> > > >> >Olá Colegas > >> > > >> >A 
solução dada ao > >> > problema abaixo não me convenceu (isso pode se dever a 
minha ignorância > >> > mesmo), por isso peço uma ajuda na solução do problema. 
Quem sabe dessa > >> vez eu > >> > entenda. > >> > > >> >" Uma fazenda de gado 
permite 20 novilhos por 50 metros > >> > quadrados de pasto. O peso médio de 
seus novilhos no mercado é de 900 > kg. > >> > Estimativas do Departamento de 
Agricultura (EUA) indicam que o peso > médio > >> > ficará reduzido em 22,5 kg 
para cada novilho que for acrescentado nos > 50 > >> > metros quadrados de 
pasto. Quantos novilhos devem ser colocados nos 50 > >> metros > >> > quadrados 
para que o peso médio deles seja o maior > >> > possível?" > >> > > >> 
>Obrigado > >> > > >> >[ ]'s > >> > > >> > Obtenha o novo Windows Live 
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Re: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Problema de maximiza�

2007-06-06 Por tôpico edneiramaral
 X é o número total de novilhos. E não o número de novilhos q excedem os 
20... 

O modelo q usei pro P só vale pra x >= 20. É basado no texto q fala: 
- Permite 20 novilhos. 
- A cada novilho acrescentado, o peso médio (nesse caso, o peso médio entre 
os novilhos) cai 22,5 kg. 

Ou seja, até x<=20, o peso médio por novilho é 900 kg. Após isso, perdem-se 
22,5 Kg por cada novilho q exceder os 20, ou seja, perdem-se 22,5*(x-20). 
Logo: 
P = 900 - 22,5*(x-20) 

Na sua conta, tem um erro. O coeficiente de x é (900 + 450) e não (900 - 
450). Corrigindo isso, o x q maximiza a função é 30 mesmo, como tinha 
falado. 

Falou! 

Em (00:08:55), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: 


>Interessante esse seu raciocínio do pesso com relação à área. Não havia 
pensado nisso... 
> 
>Não consigo entender o modelo feito para o peso de cada novilho: P = 900 - 
22,5(x-20). 
> 
>x seriam os novilhos que se acrescenta no pasto além dos 20 que já estão 
lá? Se for isso, quando se acrescenta 1 novilho, por exemplo, vai se ter um 
ganho no peso e não perda, como o problema diz 
> 
>Caso esse modelo esteja correto, o que estaria errado se eu fizesse 
> 
>P = x[900 - 22,5(x-20)] 
> 
>P = 450x- 22,5 x^2 
> 
>Se P'=0 então, x = 10 e P = 2250 ? 
> 
>Obrigado por qualquer esclarecimento. 
> 
>[ ] ' s 
> 
>:31 -0300 
>> 
>> Eu acho q a idéia pode ser maximizar o peso médio com relação a área (e 
não 
>> com relação ao número de novilhos). 
>> Vc coloca um novilho, o peso médio com relação a área pode aumentar ou 
>> diminuir. Até os 20, qnd não há perda, com certeza aumenta... 
>> 
>> Resolveria assim: 
>> 
>> Número de novilhos: x 
>> Peso de cada novilho (considerando 20 ou mais): P = 900 -22,5*(x-20) Kg 
>> Peso médio na área: Pm = x*P/50 
>> 
>> Maximizando o peso médio na área, temos x=30, P = 675 e Pm = 20250. 
>> 
>> Era isso? 
>> 
>> Em (15:28:34), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: 
>> 
>> 
>> >Este enunciado deve estar errado. Da 
>> >maneira como foi formulado, o peso médio decresce com o número de 
>> >novilhos e o ideal é colocar so 1 novilho, jah que peso medio para 0 
>> >novilhos nao eh definido. 
>> > 
>> > Artur 
>> > 
>> > -Mensagem 
>> > original- 
>> > De: [EMAIL PROTECTED] 
>> > [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Rhilbert 
>> > Rivera 
>> > Enviada em: terça-feira, 5 de junho de 2007 
>> > 17:30 
>> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
>> > Assunto: [obm-l] Problema 
>> > de maximização 
>> > 
>> >Olá Colegas 
>> > 
>> >A solução dada ao 
>> > problema abaixo não me convenceu (isso pode se dever a minha ignorância 
>> > mesmo), por isso peço uma ajuda na solução do problema. Quem sabe dessa 
>> vez eu 
>> > entenda. 
>> > 
>> >" Uma fazenda de gado permite 20 novilhos por 50 metros 
>> > quadrados de pasto. O peso médio de seus novilhos no mercado é de 900 
kg. 
>> > Estimativas do Departamento de Agricultura (EUA) indicam que o peso 
médio 
>> > ficará reduzido em 22,5 kg para cada novilho que for acrescentado nos 
50 
>> > metros quadrados de pasto. Quantos novilhos devem ser colocados nos 50 
>> metros 
>> > quadrados para que o peso médio deles seja o maior 
>> > possível?" 
>> > 
>> >Obrigado 
>> > 
>> >[ ]'s 
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[obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Problema de maximização

2007-06-06 Por tôpico Rhilbert Rivera

Interessante esse seu raciocínio do pesso com relação à área. Não havia pensado 
nisso...
 
Não consigo entender  o modelo feito para o peso de cada novilho: P = 900 - 
22,5(x-20).
 
x seriam os novilhos que se acrescenta no pasto além dos 20 que já estão lá? Se 
for isso, quando se acrescenta 1 novilho, por exemplo,  vai se ter um ganho no 
peso e não perda, como o problema diz
 
Caso esse modelo esteja correto, o que estaria errado se eu fizesse
 
P = x[900 - 22,5(x-20)]
P = 450x- 22,5 x^2 
Se P'=0 então, x = 10  e P = 2250 ?
Obrigado por qualquer esclarecimento.
 
[ ] ' s:31 -0300> > Eu acho q a idéia pode ser maximizar o peso médio com 
relação a área (e não > com relação ao número de novilhos). > Vc coloca um 
novilho, o peso médio com relação a área pode aumentar ou > diminuir. Até os 
20, qnd não há perda, com certeza aumenta... > > Resolveria assim: > > Número 
de novilhos: x > Peso de cada novilho (considerando 20 ou mais): P = 900 
-22,5*(x-20) Kg > Peso médio na área: Pm = x*P/50 > > Maximizando o peso médio 
na área, temos x=30, P = 675 e Pm = 20250. > > Era isso? > > Em (15:28:34), 
obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: > > > >Este enunciado deve estar errado. Da > 
>maneira como foi formulado, o peso médio decresce com o número de > >novilhos 
e o ideal é colocar so 1 novilho, jah que peso medio para 0 > >novilhos nao eh 
definido. > > > > Artur > > > > -Mensagem > > original- > > De: [EMAIL 
PROTECTED] > > [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Rhilbert > > Rivera > > 
Enviada em: terça-feira, 5 de junho de 2007 > > 17:30 > > Para: 
obm-l@mat.puc-rio.br > > Assunto: [obm-l] Problema > > de maximização > > > 
>Olá Colegas > > > >A solução dada ao > > problema abaixo não me convenceu 
(isso pode se dever a minha ignorância > > mesmo), por isso peço uma ajuda na 
solução do problema. Quem sabe dessa > vez eu > > entenda. > > > >" Uma fazenda 
de gado permite 20 novilhos por 50 metros > > quadrados de pasto. O peso médio 
de seus novilhos no mercado é de 900 kg. > > Estimativas do Departamento de 
Agricultura (EUA) indicam que o peso médio > > ficará reduzido em 22,5 kg para 
cada novilho que for acrescentado nos 50 > > metros quadrados de pasto. Quantos 
novilhos devem ser colocados nos 50 > metros > > quadrados para que o peso 
médio deles seja o maior > > possível?" > > > >Obrigado > > > >[ ]'s > > > > 
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Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema de maximiza�

2007-06-06 Por tôpico edneiramaral
Eu acho q a idéia pode ser maximizar o peso médio com relação a área (e não 
com relação ao número de novilhos). 
Vc coloca um novilho, o peso médio com relação a área pode aumentar ou 
diminuir. Até os 20, qnd não há perda, com certeza aumenta... 

Resolveria assim: 

Número de novilhos: x 
Peso de cada novilho (considerando 20 ou mais): P = 900 -22,5*(x-20) Kg 
Peso médio na área: Pm = x*P/50 

Maximizando o peso médio na área, temos x=30, P = 675 e Pm = 20250. 

Era isso? 

Em (15:28:34), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: 


>Este enunciado deve estar errado. Da 
>maneira como foi formulado, o peso médio decresce com o número de 
>novilhos e o ideal é colocar so 1 novilho, jah que peso medio para 0 
>novilhos nao eh definido. 
> 
> Artur 
> 
> -Mensagem 
> original- 
> De: [EMAIL PROTECTED] 
> [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Rhilbert 
> Rivera 
> Enviada em: terça-feira, 5 de junho de 2007 
> 17:30 
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
> Assunto: [obm-l] Problema 
> de maximização 
> 
>Olá Colegas 
> 
>A solução dada ao 
> problema abaixo não me convenceu (isso pode se dever a minha ignorância 
> mesmo), por isso peço uma ajuda na solução do problema. Quem sabe dessa 
vez eu 
> entenda. 
> 
>" Uma fazenda de gado permite 20 novilhos por 50 metros 
> quadrados de pasto. O peso médio de seus novilhos no mercado é de 900 kg. 
> Estimativas do Departamento de Agricultura (EUA) indicam que o peso médio 
> ficará reduzido em 22,5 kg para cada novilho que for acrescentado nos 50 
> metros quadrados de pasto. Quantos novilhos devem ser colocados nos 50 
metros 
> quadrados para que o peso médio deles seja o maior 
> possível?" 
> 
>Obrigado 
> 
>[ ]'s 
> 
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[obm-l] RES: [obm-l] Problema de maximização

2007-06-06 Por tôpico Artur Costa Steiner
Este enunciado deve estar errado. Da maneira como foi formulado, o peso médio 
decresce com o número de novilhos e o ideal é colocar so 1 novilho, jah que 
peso medio para 0 novilhos nao eh definido.
 
Artur

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rhilbert Rivera
Enviada em: terça-feira, 5 de junho de 2007 17:30
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Problema de maximização



Olá Colegas
 
A solução dada ao problema abaixo não me convenceu (isso pode se dever a minha 
ignorância mesmo), por isso peço uma ajuda na solução do problema. Quem sabe 
dessa vez eu entenda.
 
" Uma fazenda de gado permite 20 novilhos por 50 metros quadrados de pasto. O 
peso médio de seus novilhos no mercado é de 900 kg. Estimativas do Departamento 
de Agricultura (EUA) indicam que o peso médio ficará reduzido em 22,5 kg para 
cada novilho  que for acrescentado nos 50 metros quadrados de pasto. Quantos 
novilhos devem ser colocados nos 50 metros quadrados para que o peso médio 
deles seja o maior possível?"
 
Obrigado
 
[ ]'s
 
 


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Re: RES: [obm-l] Problema sobre valor minimo

2007-05-15 Por tôpico Bruno Carvalho
Arthur e demais amigos da lista. mais uma vez agradeço a atenção e a 
consideração de vocês.
   
  Muito obrigado.
   
  Um abraço grande.
   
  Bruno
   
  

Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
  Uma forma de resolver isso eh por multiplicadores de Lagrange.
   
  Seja g(x,y,z) = x + y + z - L ( x.y^2.z^3 - 864). L eh o multiplicador de 
Lagrange
   
  Igualando a 0 as derivadas parciais de g com relacao a x, y, z e L, obtemos
   
  1 - L y^2 z^3 =0
  1 - 2L xy z^3 =0
  1 - 3L x y^2 z^2 =0
   x.y^2.z^3 - 864 = 0 
   
  Da 1a equacao, L = 1/(y^2z^3). Substituindo nas demais, vem
   
  1 - 2 x/y = 0 => y = 2x
   
  1 - 3x/z = 0 => z = 3x
   
  Substituindo na ultima, vem entao
   
  x . 4 x^2 . 27 x^3 = 864 => 108 x^6 = 864 => x^6 = 8 => x = raiz(2), y = 2 
raiz(2), z = 3 raiz(2) 
   
  Veja que, mantendo y constante num valor positivo e fazendo x -> oo, podemos 
sempre encontrar um valor positivo para z tal que  x.y^2.z^3 =  864. Assim, 
atendendo-se à restricao, eh possivel  fazer x + y + z -> oo. Desta forma, a 
solucao encontrada nao eh maximo global, o problema nao tem isso. A solucao 
encontrada eh unica e as diferenciabilidades da funcao objetivo e da restricao 
indicam que, se houvesse outro ponto extremo, haveria outra solucao para o 
sistema acima (o que fizemos foi anular o chamado Lagrangeano).  Como x + y + z 
>0 para todos (x,y,z) viaveis, a funcao objetivo tem infimo. Acho que isso 
nospermiter garantir que eh minimo global sem entrarmos na matriz Hessiana. 
   
  Assim, o valor minimo eh 6 raiz(2). Eh possivel que haja uma outra solucao 
sem usar o calculo, talvez ateh mais facil
   
  Artur
   
   
   
   
  l
   
   
   
  
[Artur Costa Steiner] 
   sagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bruno Carvalho
Enviada em: quinta-feira, 10 de maio de 2007 13:06
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Problema sobre valor minimo


Peço ajuda na resolução do seguinte problema.
   
  Se x,y e z são números reais positivos  e  x.y^2.z^3 = 864 , qual o mínimo 
valor possível para x+y+z ?
   
  Opções:
  a)6 raiz de 2
  b)4raiz de três
  c)9
  d)6raiz de três.
   
  Desde já agradeço a ajuda.
   
  Bruno
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Re: RES: [obm-l] Problema sobre valor minimo

2007-05-10 Por tôpico Rafael

Mas se MA>=MG seu valor minimo é MG. Preciso da igualdade, que ocorre
se x=y=z , nao é?

On 5/10/07, Henrique Rennó <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

On 5/10/07, Rafael <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> Gostaria de saber porque nao da certo resolver desse jeito (sei que
> nao da, por causa da resposta acima, que deve ser a correta):
>
> S = x+y+z >= 3(raiz cubica de xyz) (media aritm >=media geom.)
> igualdade em x=y=z


Por que você considera x=y=z ???

S = 3x
> x . y^2 . z^3 = x^6 = 864
> S = 3(raiz sexta de 864) ~ 9,26 que nao é a resposta certa.
>
>
> On 5/10/07, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > Uma forma de resolver isso eh por multiplicadores de Lagrange.
> >
> > Seja g(x,y,z) = x + y + z - L ( x.y^2.z^3 - 864). L eh o multiplicador
> de
> > Lagrange
> >
> > Igualando a 0 as derivadas parciais de g com relacao a x, y, z e L,
> obtemos
> >
> > 1 - L y^2 z^3 =0
> > 1 - 2L xy z^3 =0
> > 1 - 3L x y^2 z^2 =0
> >  x.y^2.z^3 - 864 = 0
> >
> > Da 1a equacao, L = 1/(y^2z^3). Substituindo nas demais, vem
> >
> > 1 - 2 x/y = 0 => y = 2x
> >
> > 1 - 3x/z = 0 => z = 3x
> >
> > Substituindo na ultima, vem entao
> >
> > x . 4 x^2 . 27 x^3 = 864 => 108 x^6 = 864 => x^6 = 8 => x = raiz(2), y =
> 2
> > raiz(2), z = 3 raiz(2)
> >
> > Veja que, mantendo y constante num valor positivo e fazendo x -> oo,
> podemos
> > sempre encontrar um valor positivo para z tal que  x.y^2.z^3 =  864.
> Assim,
> > atendendo-se à restricao, eh possivel  fazer x + y + z -> oo. Desta
> forma, a
> > solucao encontrada nao eh maximo global, o problema nao tem isso. A
> solucao
> > encontrada eh unica e as diferenciabilidades da funcao objetivo e da
> > restricao indicam que, se houvesse outro ponto extremo, haveria outra
> > solucao para o sistema acima (o que fizemos foi anular o chamado
> > Lagrangeano).  Como x + y + z >0 para todos (x,y,z) viaveis, a funcao
> > objetivo tem infimo. Acho que isso nospermiter garantir que eh minimo
> global
> > sem entrarmos na matriz Hessiana.
> >
> > Assim, o valor minimo eh 6 raiz(2). Eh possivel que haja uma outra
> solucao
> > sem usar o calculo, talvez ateh mais facil
> >
> > Artur
> >
> >
> >
> >
> > l
> >
> >
> >
> >
> > [Artur Costa Steiner]
> >  sagem original-
> > De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
> nome de
> > Bruno Carvalho
> > Enviada em: quinta-feira, 10 de maio de 2007 13:06
> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Assunto: [obm-l] Problema sobre valor minimo
> >
> >
> >
> > Peço ajuda na resolução do seguinte problema.
> >
> > Se x,y e z são números reais positivos  e  x.y^2.z^3 = 864 , qual o
> mínimo
> > valor possível para x+y+z ?
> >
> > Opções:
> > a)6 raiz de 2
> > b)4raiz de três
> > c)9
> > d)6raiz de três.
> >
> > Desde já agradeço a ajuda.
> >
> > Bruno
> >
> > __
> > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger
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=


Re: RES: [obm-l] Problema sobre valor minimo

2007-05-10 Por tôpico Henrique Rennó

On 5/10/07, Rafael <[EMAIL PROTECTED]> wrote:


Gostaria de saber porque nao da certo resolver desse jeito (sei que
nao da, por causa da resposta acima, que deve ser a correta):

S = x+y+z >= 3(raiz cubica de xyz) (media aritm >=media geom.)
igualdade em x=y=z



Por que você considera x=y=z ???

S = 3x

x . y^2 . z^3 = x^6 = 864
S = 3(raiz sexta de 864) ~ 9,26 que nao é a resposta certa.


On 5/10/07, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Uma forma de resolver isso eh por multiplicadores de Lagrange.
>
> Seja g(x,y,z) = x + y + z - L ( x.y^2.z^3 - 864). L eh o multiplicador
de
> Lagrange
>
> Igualando a 0 as derivadas parciais de g com relacao a x, y, z e L,
obtemos
>
> 1 - L y^2 z^3 =0
> 1 - 2L xy z^3 =0
> 1 - 3L x y^2 z^2 =0
>  x.y^2.z^3 - 864 = 0
>
> Da 1a equacao, L = 1/(y^2z^3). Substituindo nas demais, vem
>
> 1 - 2 x/y = 0 => y = 2x
>
> 1 - 3x/z = 0 => z = 3x
>
> Substituindo na ultima, vem entao
>
> x . 4 x^2 . 27 x^3 = 864 => 108 x^6 = 864 => x^6 = 8 => x = raiz(2), y =
2
> raiz(2), z = 3 raiz(2)
>
> Veja que, mantendo y constante num valor positivo e fazendo x -> oo,
podemos
> sempre encontrar um valor positivo para z tal que  x.y^2.z^3 =  864.
Assim,
> atendendo-se à restricao, eh possivel  fazer x + y + z -> oo. Desta
forma, a
> solucao encontrada nao eh maximo global, o problema nao tem isso. A
solucao
> encontrada eh unica e as diferenciabilidades da funcao objetivo e da
> restricao indicam que, se houvesse outro ponto extremo, haveria outra
> solucao para o sistema acima (o que fizemos foi anular o chamado
> Lagrangeano).  Como x + y + z >0 para todos (x,y,z) viaveis, a funcao
> objetivo tem infimo. Acho que isso nospermiter garantir que eh minimo
global
> sem entrarmos na matriz Hessiana.
>
> Assim, o valor minimo eh 6 raiz(2). Eh possivel que haja uma outra
solucao
> sem usar o calculo, talvez ateh mais facil
>
> Artur
>
>
>
>
> l
>
>
>
>
> [Artur Costa Steiner]
>  sagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de
> Bruno Carvalho
> Enviada em: quinta-feira, 10 de maio de 2007 13:06
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: [obm-l] Problema sobre valor minimo
>
>
>
> Peço ajuda na resolução do seguinte problema.
>
> Se x,y e z são números reais positivos  e  x.y^2.z^3 = 864 , qual o
mínimo
> valor possível para x+y+z ?
>
> Opções:
> a)6 raiz de 2
> b)4raiz de três
> c)9
> d)6raiz de três.
>
> Desde já agradeço a ajuda.
>
> Bruno
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Henrique


Re: RES: [obm-l] Problema sobre valor minimo

2007-05-10 Por tôpico Rafael

Gostaria de saber porque nao da certo resolver desse jeito (sei que
nao da, por causa da resposta acima, que deve ser a correta):

S = x+y+z >= 3(raiz cubica de xyz) (media aritm >=media geom.)
igualdade em x=y=z
S = 3x
x . y^2 . z^3 = x^6 = 864
S = 3(raiz sexta de 864) ~ 9,26 que nao é a resposta certa.


On 5/10/07, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

Uma forma de resolver isso eh por multiplicadores de Lagrange.

Seja g(x,y,z) = x + y + z - L ( x.y^2.z^3 - 864). L eh o multiplicador de
Lagrange

Igualando a 0 as derivadas parciais de g com relacao a x, y, z e L, obtemos

1 - L y^2 z^3 =0
1 - 2L xy z^3 =0
1 - 3L x y^2 z^2 =0
 x.y^2.z^3 - 864 = 0

Da 1a equacao, L = 1/(y^2z^3). Substituindo nas demais, vem

1 - 2 x/y = 0 => y = 2x

1 - 3x/z = 0 => z = 3x

Substituindo na ultima, vem entao

x . 4 x^2 . 27 x^3 = 864 => 108 x^6 = 864 => x^6 = 8 => x = raiz(2), y = 2
raiz(2), z = 3 raiz(2)

Veja que, mantendo y constante num valor positivo e fazendo x -> oo, podemos
sempre encontrar um valor positivo para z tal que  x.y^2.z^3 =  864. Assim,
atendendo-se à restricao, eh possivel  fazer x + y + z -> oo. Desta forma, a
solucao encontrada nao eh maximo global, o problema nao tem isso. A solucao
encontrada eh unica e as diferenciabilidades da funcao objetivo e da
restricao indicam que, se houvesse outro ponto extremo, haveria outra
solucao para o sistema acima (o que fizemos foi anular o chamado
Lagrangeano).  Como x + y + z >0 para todos (x,y,z) viaveis, a funcao
objetivo tem infimo. Acho que isso nospermiter garantir que eh minimo global
sem entrarmos na matriz Hessiana.

Assim, o valor minimo eh 6 raiz(2). Eh possivel que haja uma outra solucao
sem usar o calculo, talvez ateh mais facil

Artur




l




[Artur Costa Steiner]
 sagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de
Bruno Carvalho
Enviada em: quinta-feira, 10 de maio de 2007 13:06
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Problema sobre valor minimo



Peço ajuda na resolução do seguinte problema.

Se x,y e z são números reais positivos  e  x.y^2.z^3 = 864 , qual o mínimo
valor possível para x+y+z ?

Opções:
a)6 raiz de 2
b)4raiz de três
c)9
d)6raiz de três.

Desde já agradeço a ajuda.

Bruno

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RES: [obm-l] Problema sobre valor minimo

2007-05-10 Por tôpico Artur Costa Steiner
Uma forma de resolver isso eh por multiplicadores de Lagrange.
 
Seja g(x,y,z) = x + y + z - L ( x.y^2.z^3 - 864). L eh o multiplicador de 
Lagrange
 
Igualando a 0 as derivadas parciais de g com relacao a x, y, z e L, obtemos
 
1 - L y^2 z^3 =0
1 - 2L xy z^3 =0
1 - 3L x y^2 z^2 =0
 x.y^2.z^3 - 864 = 0 
 
Da 1a equacao, L = 1/(y^2z^3). Substituindo nas demais, vem
 
1 - 2 x/y = 0 => y = 2x
 
1 - 3x/z = 0 => z = 3x
 
Substituindo na ultima, vem entao
 
x . 4 x^2 . 27 x^3 = 864 => 108 x^6 = 864 => x^6 = 8 => x = raiz(2), y = 2 
raiz(2), z = 3 raiz(2) 
 
Veja que, mantendo y constante num valor positivo e fazendo x -> oo, podemos 
sempre encontrar um valor positivo para z tal que  x.y^2.z^3 =  864. Assim, 
atendendo-se à restricao, eh possivel  fazer x + y + z -> oo. Desta forma, a 
solucao encontrada nao eh maximo global, o problema nao tem isso. A solucao 
encontrada eh unica e as diferenciabilidades da funcao objetivo e da restricao 
indicam que, se houvesse outro ponto extremo, haveria outra solucao para o 
sistema acima (o que fizemos foi anular o chamado Lagrangeano).  Como x + y + z 
>0 para todos (x,y,z) viaveis, a funcao objetivo tem infimo. Acho que isso 
nospermiter garantir que eh minimo global sem entrarmos na matriz Hessiana. 
 
Assim, o valor minimo eh 6 raiz(2). Eh possivel que haja uma outra solucao sem 
usar o calculo, talvez ateh mais facil
 
Artur
 
 
 
 
l
 
 
 

[Artur Costa Steiner] 
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De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bruno Carvalho
Enviada em: quinta-feira, 10 de maio de 2007 13:06
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Problema sobre valor minimo



Peço ajuda na resolução do seguinte problema.
 
Se x,y e z são números reais positivos  e  x.y^2.z^3 = 864 , qual o mínimo 
valor possível para x+y+z ?
 
Opções:
a)6 raiz de 2
b)4raiz de três
c)9
d)6raiz de três.
 
Desde já agradeço a ajuda.
 
Bruno

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RES: [obm-l] Problema

2007-01-30 Por tôpico Ralph Teixeira
Eu chutei o balde: fiz um diagrama com todas as possibilidades de vizinhos, 
ficou assim (use texto de largura fixa para ver isto):

-- -- -- -- -- -- -- 01 08 15 22 29 36 43
-- -- -- -- -- -- 03 10 17 24 31 38 45
-- -- -- -- -- 05 12 19 26 33 40 47
-- -- -- -- 07 14 21 28 35 42 49
-- -- 02 09 16 23 30 37 44
-- 04 11 18 25 32 39 46
06 13 20 27 34 41 48
15 22 29 36 43

(Note que a última linha repete um pedaço da lá de cima).
Agora é fazer um caminho com segmentos horizontais ou verticais andando pelas 
células numeradas acima, passando por cada célula apenas uma vez.

Se eu me lembro bem, este é o clássico problema de encontrar um caminho 
Hamiltoniano para um grafo. E "clássico" não é "fácil" -- apesar de muito 
pesquisado, encontrar este caminho num grafo geral é um problema NP ou 
NP-completo ou algo assim (eu não sei quase nada de Teoria dos Grafos; quem 
souber mais, como o Nicolau, por exemplo, pode me corrigir). :)

Mas nosso problema não é o caso geral, então há esperança: comece olhando os 
cantos, onde só há uma opção (por exemplo, só passo pelo 05 se for fazendo 12 
05 14)... faça o desenho com as conexões, marque as absolutamente necessárias 
por causa dos cantos, corte conexões com números que já foram gastos, aparecem 
novos cantos que só tem uma opção, etc. Fica melhor no papel do que no 
computador.

Quem quiser tentar agora por conta própria, pare de ler aqui...

Até este diagrama abaixo, não há opções (hmmm mentira, um dos tais "cantos" 
poderia ser uma "ponta"... vou ignorar isto e torcer para achar UMA resposta):
   ||||||
 01=08 15 22=29 36=43
 ||   ||||
  03=10 17 24=31 38=45
  || ||
   05=12 19=26 33 40=47
   ||||   ||
07=14 21=28 35 42=49
||||||
  02=09 16 23=30 37=44
  || ||
   04=11 18 25 32 39=46
   || ||
06=13 20=27 34 41=48
||||||
15 22=29 36=43

Agora há opções eu tentei juntar 09 com 16 e me dei mal... então tentei 
juntar 09 com 18 e 41 com 32... Fiz umas outras escolhas arbitrárias, mantendo 
a simetria por razões puramente estéticas, e cheguei numa possibilidade 
bonitinha:

   ||||||
 01=08=15 22=29 36=43
 ||   ||||
  03=10 17=24=31 38=45
  || ||
   05=12 19=26=33 40=47
   ||||   ||
07=14 21=28 35=42=49
||||||
  02=09 16 23=30 37=44
  || || || ||||
   04=11 18 25 32 39=46
   |||| || || ||
06=13 20=27 34 41=48
||||||

Então uma solução possível é:
17-24-31-22-29-20-27-18-09-02-11-04-13-06-15-08-01-10-03-12-05-14-07-16-25)
25)-34-43-36-45-38-47-40-49-42-35-44-37-46-39-48-41-32-23-30-21-28-19-26-33.

Uff!

Perguntas adicionais:

i) Há outras respostas? (Sim: troque 17-24 e 26-33 por 17-26 e 24-33...)
ii) 17 e 33 têm de ser as pontas? (Não: troque 49-40 por 40-33 e você tem um 
outro caminho; aliás, trocando também 1-10 por 10-17, dá uma solução COMEÇANDO 
no 1 e TERMINANDO no 49!! Vou escrever esta só de farra:

01-08-15-06-13-04-11-02-09-18-27-20-29-22-31-24-17-10-03-12-05-14-07-16-25)
(25-34-43-36-45-38-47-40-33-26-19-28-21-30-23-32-41-48-39-46-37-44-35-42-49

Legal!

Abraço,
Ralph

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Carlos Gomes
Enviada em: segunda-feira, 29 de janeiro de 2007 14:44
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Problema


Vê se alguém tem alguma sugestão para essa questao;
Disponha em linha reta, numa ordem, os números inteiros de 1 até 49, de modo 
que o valor absoluto da diferença de quaisquer dois vizinhos, nessa ordem, seja 
ou 7 ou 9.

Obg
C.Gomes

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


RE: RES: [obm-l] Problema de teoria dos numeros

2006-12-05 Por tôpico Paulo Santa Rita

Ola carissimo artur e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

O Ronaldo Alonso estava com a mesma duvida  e eu enviei um esclarecimento mas 
nao deve ter chegado na lista. Quando eu disse que se N nao e potencia de 2 
entao N e da forma (2^P)*i com P INTEIRO NAO-NEGATIVO e "i" um impar maior que 
1 estou admitindo P=0 para incluir todos os impares. Exemplo : N=13 => 
N=(2^0)*13 ; N=28 => N=(2^2)*7.

Um Abracao
Paulo Santa Rita
3,1100,051206


> From: [EMAIL PROTECTED]
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: RES: [obm-l] Problema de teoria dos numeros
> Date: Tue, 5 Dec 2006 10:34:55 -0200
> 
> Oi Paulo,
> Vc nao tinha que considera tambem os numeros impares?
> A prova que eu encontrei foi a seguinte:
> Suponhamos que n seja impar. Entao a(n) = 2^n +1 eh divisivel por 3.
> Para n=1, a(n) =3 e a condicao eh satisfeita. Suponhamos que, para algum 
> impar n, a(n) seja multiplo de 3. Para o impar subsequente, n+2, temos que 
> a(n+2) = 2^(n+2) + 1 = 4* 2^n + 1 = 4(a(n) -1) + 1 = 4a(n) - 3. Dado que, 
> pela hipotese indutiva, 3|a(n), temos que 3|a(n+2), completando-se assim a 
> prova.
> Suponhamos agora quer n seja par. Ai vale a sua solucao, alias muito bonita. 
> Uma outra possibilidade, noa tao bo quanto a sua, eh a seguinte: Se n for da 
> forma n=2k, com k impar, entao a(n) = 4^k +1. Potências impares de 4 tem, na 
> base decimal,  algarismo das unidades 4. Logo a(n) = 4^k + 1 tem algarismo 
> das unidades 5, sendo portanto divisivel por 5.
> Vemos assim que, se a(n) for primo e n se enquadrar num dos casos acima, 
> entao n=1 = 2^0 ou n= 2*1 = 2, casos em que n eh potencia de 2 
> (considerando-se 1 como potencia 0 de 2). Nos casos acima, outros valores de 
> n levam a numeros compostos. Se, a(n) for primo e n nao se enquadrar nos 
> casos acima, entao n eh par e não eh multiplo de nenhum impar >1, sendo 
> portanto potencia de 2. Isso conclui a prova.
> Uma outra prova da infinitude dos primos eh a seguinte:  Para todo 
> n=1,2,3, n! eh divisivel por 2,3.n. Entao, nenhum destes numeros 
> divide n! + 1. Pelo teorema fundamental da aritmetica, n! + 1 pode ser 
> representado por um produto de primos, dentre os quais, em virtude do que 
> vimos, não se enquadra nenhum primo <= n. Logo, para todo n existe um primo p 
> >n, do que concluimos que o conjunto dos primos eh ilimitado e, portanto, 
> infinito.
> Abracos
> Artur
> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Paulo Santa Rita
> Enviada em: segunda-feira, 4 de dezembro de 2006 21:46
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: RE: [obm-l] Problema de teoria dos numeros
> Ola carissimo Artur e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
> Seja M um primo tal que M = (2^N) + 1 e suponhamos que N nao e potencia de 2. 
> Neste caso N e da forma : (2^P)*i, onde P e um inteiro nao-negativo e "i" um 
> impar maior que 1. Segue daqui que M = (2^A)^ i  + 1 com A= 2^P . Fazendo 2^A 
> = X teremos que M = X^i + 1. Este polinomio e claramente divisivel  por X + 1 
> em virtude do teorema D'Alembert, pois  sendo "i" impar temos que (-1)^i + 1 
> = 0. Assim :  M = X^i + 1 = (X + 1)*Q(X)   =>  M nao e primo  ... ABSURDO  !
> A nossa tese e portanto insustentavel e somos obrigados a admitir que N e 
> potencia de 2, como queriamos demonstrar. Eis aqui outro bonitinho, porem nao 
> tao simples como este : (Fermat propoe, Euler resolve ) Mostre que  a equacao 
> X^3 = Y^2 + 2 tem uma unica solucao no anel dos inteiros.
> Estas questoes de Teoria dos Numeros me levaram a alguns anos atras, quando 
> eu me correspondia sobre topologia com um colega que esta atualmente fazendo 
> doutorado em Bio-Matematica na Alemanha. Ele conclui o doutorado agora. Mas o 
> que importa e que naquela epoca, quando ele ainda fazia Mestrado na Unicamp, 
> nos combinamos que em cada carta era obrigatorio haver uma prova da 
> existencia de uma infinidade de numeros primos. O Marcelo mostrou uma prova 
> muito simples, mas belissima e que eu passo pra vocês :
> EXISTEM INFINITOS NUMEROS PRIMOS :
> Suponha que a quantidade de numeros primos e finita. Digamos : p1 < p2 < ... 
> < pn. Consideremos agora o numero P=p1*p2*...*pn, claramente maior que 
> qualquer dos primos pi. O numero P - 1 e portanto composto. Segue que existe 
> pi que divide  P - 1. Mas pi tambem divide P, logo, pi deve dividir P - (P - 
> 1 ) = 1 ... ABSURDO !
> A todos,  com  os melhores
> votos de paz profunda, sou
> Paulo Santa Rita
> 1,1540,041206
> 
> From: [EMAIL PROTECTED]
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] Problema de teoria dos numeros
> Date: Mon, 4 Dec 2006 20:14:35 -0200
> Achei este problema de teoris dos

RES: [obm-l] Problema de teoria dos numeros

2006-12-05 Por tôpico Artur Costa Steiner
Oi Paulo, 
Vc nao tinha que considera tambem os numeros impares?
 
A prova que eu encontrei foi a seguinte:
 
Suponhamos que n seja impar. Entao a(n) = 2^n +1 eh divisivel por 3.
Para n=1, a(n) =3 e a condicao eh satisfeita. Suponhamos que, para algum
impar n, a(n) seja multiplo de 3. Para o impar subsequente, n+2, temos que
a(n+2) = 2^(n+2) + 1 = 4* 2^n + 1 = 4(a(n) -1) + 1 = 4a(n) - 3. Dado que,
pela hipotese indutiva, 3|a(n), temos que 3|a(n+2), completando-se assim a
prova.
 
Suponhamos agora quer n seja par. Ai vale a sua solucao, alias muito bonita.
Uma outra possibilidade, noa tao bo quanto a sua, eh a seguinte: Se n for da
forma n=2k, com k impar, entao a(n) = 4^k +1. Potências impares de 4 tem, na
base decimal,  algarismo das unidades 4. Logo a(n) = 4^k + 1 tem algarismo
das unidades 5, sendo portanto divisivel por 5.   
 
Vemos assim que, se a(n) for primo e n se enquadrar num dos casos acima,
entao n=1 = 2^0 ou n= 2*1 = 2, casos em que n eh potencia de 2
(considerando-se 1 como potencia 0 de 2). Nos casos acima, outros valores de
n levam a numeros compostos. Se, a(n) for primo e n nao se enquadrar nos
casos acima, entao n eh par e não eh multiplo de nenhum impar >1, sendo
portanto potencia de 2. Isso conclui a prova.
 
Uma outra prova da infinitude dos primos eh a seguinte:  Para todo
n=1,2,3, n! eh divisivel por 2,3.n. Entao, nenhum destes numeros
divide n! + 1. Pelo teorema fundamental da aritmetica, n! + 1 pode ser
representado por um produto de primos, dentre os quais, em virtude do que
vimos, não se enquadra nenhum primo <= n. Logo, para todo n existe um primo
p >n, do que concluimos que o conjunto dos primos eh ilimitado e, portanto,
infinito.
 
Abracos
Artur
  

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de
Paulo Santa Rita
Enviada em: segunda-feira, 4 de dezembro de 2006 21:46
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RE: [obm-l] Problema de teoria dos numeros


Ola carissimo Artur e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Seja M um primo tal que M = (2^N) + 1 e suponhamos que N nao e potencia de
2. Neste caso N e da forma : (2^P)*i, onde P e um inteiro nao-negativo e "i"
um impar maior que 1. Segue daqui que M = (2^A)^ i  + 1 com A= 2^P . Fazendo
2^A = X teremos que M = X^i + 1. Este polinomio e claramente divisivel  por
X + 1 em virtude do teorema D'Alembert, pois  sendo "i" impar temos que
(-1)^i + 1 = 0. Assim :  M = X^i + 1 = (X + 1)*Q(X)   =>  M nao e primo  ...
ABSURDO  ! 

A nossa tese e portanto insustentavel e somos obrigados a admitir que N e
potencia de 2, como queriamos demonstrar. Eis aqui outro bonitinho, porem
nao tao simples como este : (Fermat propoe, Euler resolve ) Mostre que  a
equacao X^3 = Y^2 + 2 tem uma unica solucao no anel dos inteiros.

Estas questoes de Teoria dos Numeros me levaram a alguns anos atras, quando
eu me correspondia sobre topologia com um colega que esta atualmente fazendo
doutorado em Bio-Matematica na Alemanha. Ele conclui o doutorado agora. Mas
o que importa e que naquela epoca, quando ele ainda fazia Mestrado na
Unicamp, nos combinamos que em cada carta era obrigatorio haver uma prova da
existencia de uma infinidade de numeros primos. O Marcelo mostrou uma prova
muito simples, mas belissima e que eu passo pra vocês :

EXISTEM INFINITOS NUMEROS PRIMOS :

Suponha que a quantidade de numeros primos e finita. Digamos : p1 < p2 < ...
< pn. Consideremos agora o numero P=p1*p2*...*pn, claramente maior que
qualquer dos primos pi. O numero P - 1 e portanto composto. Segue que existe
pi que divide  P - 1. Mas pi tambem divide P, logo, pi deve dividir P - (P -
1 ) = 1 ... ABSURDO !

A todos,  com  os melhores
votos de paz profunda, sou
Paulo Santa Rita
1,1540,041206







  _  

From: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Problema de teoria dos numeros
Date: Mon, 4 Dec 2006 20:14:35 -0200


Achei este problema de teoris dos numeros (nao eh dos mais dificeis) bem
bonitinho.
 
Mostre que, se 2^n +1, n=0, 1,2for primo, entao n eh potencia de 2 
 
Artur


  _  

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[obm-l] RES: [obm-l] Problema de Cálculo

2006-05-15 Por tôpico Artur Costa Steiner
Facamos f(x) = e^(2x) - k*sqrt(x). Para todo real k, temos que f(0) = 1 e
que f(x) --> oo quando x --> oo.
Se k<=0, f eh estritamente postiva em [0, oo). Logo, f so podera admitir
zeros se k>0. Temos que f'(x) = 2*e^(2x) - k/(2*sqrt(x). A funcao 2*e^(2x)
eh estritamente crescente em (o, oo) ao passo que k/(2*sqrt(x) eh
estritamente decrescente. A primeira tende a 2 en x=0+ e a segunda tende a
oo. Quando x ---> oo, a primeira tende a oo e a sgunda tende a zero.  Assim,
temos f'(a) = 0 para um e somente um a>0 e, neste ponto x=a, f passo por um
minimo global.   Se em x=a tivermos f(a) = 0, entao  f se anula neste ponto
e apenas nele.

Temos assim que resolver o sistema de equacoes: 

e^(2a) = k*sqrt(a)
2*e^(2a) =k/(2*sqrt(a))

Dividindo membro a membro, jah que nao sao nulos, temos 1/2 = sqrt(a) * 2 *
sqrt(a) = 2a => a = 1/4.

Logo, e^(1/2) = k * sqrt(1/4) => k = 2*e^(1/2).

Faca um grafico para ver se nao hah nenhum engano.

Artur


-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de bernardoakino
Enviada em: domingo, 14 de maio de 2006 03:16
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Problema de Cálculo


Caros colegas da lista, 
   Eu não sei se esse problema já foi discutido anteriormente aqui, mas ele 
esta me tirando algumas horas de sono... Se alguem puder me dar uma 
ajudinha, eu ficaria bastante agradecido: 

Para quais valores de k a equação e^(2x)=k.sqrt(x) tem exatamente uma 
solução? 

Um abraço a todos 
Bernardo 



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] Problema dos Remédios

2006-03-08 Por tôpico David Cardoso

É verdade.. E se uma décupla assim existir? Resolve o problema?

[]'s

> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED] 
> [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Eduardo Wilner
> Enviada em: quarta-feira, 8 de março de 2006 17:35
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema dos Remédios
> 
> 
>   A caixa de remédios é defeituosa ou não funciona?   Brincadeira...
> 
>   Mas acho que não funciona; por exemplo:
> 
>  (7+11+13)*9+31*10=(7+11+13)*10+31*9.
> 
>  Entretanto, pode ter remédio, pois existem mais do que 10 
> números primos entre 6 e 100. Talvez seja o caso de 
> selecionar a decupla que não possue somas parciais iguais 
> (incluindo, como no exemplo acima, o número isolado). 
> 
> 
> David Cardoso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> 
> 
>   Realmente fica bem mais interessante.
>   Eu tive uma idéia, não tenho certeza se daria certo pra 
> qualquer caso:
>   
>   Enumera todos os primos menores que 100, exceto o 2, 3 
> e 5 (pq sao fatores
>   de 10g e 9g).
>   Ou seja, a sequência S seria 7, 11, 17, 23, ...
>   
>   Pesaria S_1 comprimidos da caixa 1, junto com S_2 
> comprimidos da caixa 2,
>   ..., até S_10.
>   Se eu tiver pensando certo, o resultado da pesagem vai 
> poder ser fatorado
>   assim:
>   
>   S_1 * K_1 + S_2 * K_2 + ... + S_10 * K_10
>   
>   Cada K_i da fatoração deveria ser ou 9g ou 10g, o que 
> indicaria se a caixa
>   correspondente é defeituosa ou não.. funciona?!
>   
>   []'s
>   
>   David
>   
>   
>   > -Mensagem original-
>   > De: [EMAIL PROTECTED] 
>   > [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de 
> Nicolau C. Saldanha
>   > Enviada em: quarta-feira, 8 de março de 2006 07:19
>   > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>   > Assunto: Re: [obm-l] Problema dos Remédios
>   > 
>   > On Tue, Mar 07, 2006 at 02:39:37PM -0300, David Cardoso wrote:
>   > > 
>   > > Há 10 caixas de um tipo de remédio, cada caixa com 100 
>   > comprimidos, cada
>   > > comprimido pesando 10g.
>   > > Uma(exatamente uma) destas caixas é oriunda de um lote 
>   > defeituoso, onde os
>   > > comprimidos pesam 9 g.
>   > &! gt; Você tem acesso a uma balança digital, que só pode ser 
>   > usada uma vez, e tem
>   > > precisão suficiente para lhe dar o resultado exato de qqr 
>   > pesagem com esses
>   > > remédios.
>   > > 
>   > > Qual a sua estratégia de pesagem pra determinar, com 
>   > certeza, qual a caixa
>   > > de remédio defeituosa?
>   > 
>   > Já resolveram o problema como proposto, mas na verdade é 
>   > possível resolver
>   > uma versão bem mais forte:
>   > 
>   > Há 10 caixas de um tipo de remédio, cada caixa com 100 
>   > comprimidos, cada
>   > comprimido pesando 10g.
>   > Algumas destas caixas (você não sabe quantas nem 
> quais) são oriundas
>   > de um lote defeituoso, onde os comprimidos pesam 9 g.
>   > Você tem acesso a uma balança digital, que só pode ser usada 
>   > uma vez, e tem
>   > precisão suficiente para lhe dar o resultado exato de qqr 
>   > pesagem com esses
>   > remédios.
>   > 
>   > Qual a sua es! tratégia de pesagem para determinar, com 
>   > certeza, exatamente
>   > quais caixas de remédio são defeituosas?
>   > 
>   > []s, N.
>   > ==
>   > ===
>   > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar 
> a lista em
>   > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>   > ==
>   > ===
>   > 
>   > __ NOD32 1.1425 (20060302) Information __
>   > 
>   > This message was checked by NOD32 antivirus system.
>   > http://www.eset.com
>   > 
>   > 
>   
>   
>   
>   
> ==
> ===
>   Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>   http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>   
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Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema dos Remédi os

2006-03-08 Por tôpico Eduardo Wilner
    A caixa de remédios é defeituosa ou não funciona?   Brincadeira...  Mas acho que não funciona; por exemplo: (7+11+13)*9+31*10=(7+11+13)*10+31*9. Entretanto, pode ter remédio, pois existem mais do que 10 números  primos entre 6 e 100. Talvez seja o caso de selecionar a decupla que  não possue somas parciais iguais (incluindo, como no exemplo acima, o  número isolado).   David Cardoso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:  Realmente fica bem mais interessante.Eu tive uma idéia, não tenho certeza se daria certo pra qualquer caso:Enumera todos os primos menores que 100, exceto o 2, 3 e 5 (pq sao fatoresde 10g e 9g).Ou seja, a sequência S seria 7, 11, 17, 23, ...Pesaria S_1 comprimidos da caixa 1, junto com S_2 comprimidos da caixa
 2,..., até S_10.Se eu tiver pensando certo, o resultado da pesagem vai poder ser fatoradoassim:S_1 * K_1 + S_2 * K_2 + ... + S_10 * K_10Cada K_i da fatoração deveria ser ou 9g ou 10g, o que indicaria se a caixacorrespondente é defeituosa ou não.. funciona?![]'sDavid > -Mensagem original-> De: [EMAIL PROTECTED] > [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Nicolau C. Saldanha> Enviada em: quarta-feira, 8 de março de 2006 07:19> Para: obm-l@mat.puc-rio.br> Assunto: Re: [obm-l] Problema dos Remédios> > On Tue, Mar 07, 2006 at 02:39:37PM -0300, David Cardoso wrote:> > > > Há 10 caixas de um tipo de remédio, cada caixa com 100 > comprimidos, cada> > comprimido pesando 10g.> > Uma(exatamente uma) destas caixas é oriunda de um lote > defeituoso, onde os> > comprimidos pesam 9 g.> &!
gt; Você
 tem acesso a uma balança digital, que só pode ser > usada uma vez, e tem> > precisão suficiente para lhe dar o resultado exato de qqr > pesagem com esses> > remédios.> > > > Qual a sua estratégia de pesagem pra determinar, com > certeza, qual a caixa> > de remédio defeituosa?> > Já resolveram o problema como proposto, mas na verdade é > possível resolver> uma versão bem mais forte:> > Há 10 caixas de um tipo de remédio, cada caixa com 100 > comprimidos, cada> comprimido pesando 10g.> Algumas destas caixas (você não sabe quantas nem quais) são oriundas> de um lote defeituoso, onde os comprimidos pesam 9 g.> Você tem acesso a uma balança digital, que só pode ser usada > uma vez, e tem> precisão suficiente para lhe dar o resultado exato de qqr > pesagem com esses> remédios.> > Qual a sua es!
tratégia
 de pesagem para determinar, com > certeza, exatamente> quais caixas de remédio são defeituosas?> > []s, N.> ==> ===> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> ==> ===> > __ NOD32 1.1425 (20060302) Information __> > This message was checked by NOD32 antivirus system.> http://www.eset.com> > =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
		 
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Re: [obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] Problema dos Remédios

2006-03-08 Por tôpico Chicao Valadares
ótima sacada!!
dah pra facilitar as coisas aqui...
nao precisa por a caixa escolhida na balança basta
enumerar as restantes e tirar os comprimidos do jeito
que o amigo citou...depois olha o valor resultante e
tira o módulo 10.. 
se for 0 é a caixa escolhida..
se for 1 é a caixa numero 9...
...
...
...
se for 9 é a caixa número 1...

O que me chamou atençao é a injetividade
metodo-resposta...isso tah com cara que tem teoria dos
numeros no meio...o nicolau poderia fazer o favor de
formalizar melhor as coisas aqui p/ ficar mais
claro... 



--- David Cardoso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:

> 
> Isso mesmo! Sendo que se a caixa ecolhida fosse
> defeituosa tudo pesaria
> 1350g.
> 
> Abraço,
> 
> David
> 
> > -Mensagem original-
> > De: [EMAIL PROTECTED] 
> > [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de
> Felipe Avelino
> > Enviada em: terça-feira, 7 de março de 2006 19:23
> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema dos
> Remédios
> > 
> > ah eh facil!!
> >  
> > escolhe uma caixa qualquer..
> > e numera as restantes...
> >  
> >  
> > tira um comprimido da caixa numero 1 e coloca
> junto tira dois 
> > comprimidos da caixa numero 2 ..
> > e assim por diante..
> > ateh a caixa numero 9
> >  
> > junta todos esses comprimidos e coloca pra pesar
> junto com a 
> > caixa escolhida primeiramente
> >  
> > se pesar 1449g  a caixa defeituosa eh a numero 1
> se pesar 
> > 1448g a caixa defeituosa eh a numero 2 
> > se pesar 1450g a caixa defeituosa eh a escolhida .
> >  
> > 
> >  
> > Em 07/03/06, David Cardoso
> <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: 
> > 
> > 
> > Pesar uma vez significa fazer apenas uma leitura
> do 
> > peso no visor da
> > balança.. uma vez lido qualquer número no visor
> da 
> > balança, ela quebra.. :P 
> > 
> > 
> > > -Mensagem original-
> > > De: [EMAIL PROTECTED]
> > > [mailto:[EMAIL PROTECTED] ] Em nome de
> 
> > Chicao Valadares
> > > Enviada em: terça-feira, 7 de março de 2006
> 16:38
> > > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> > > Assunto: Re: [obm-l] Problema dos Remédios
> > > 
> > > Pesar uma unica vez???Se vc supor que o ato de
> pesar é
> > > colocar alguma coisa e depois tirar, vc somente
> deve ir
> > > colocando sem tirar cada caixa e se a variaçao
> do peso nao
> > > for conforme esperado tai sua caixa. 
> > >
> > >
> > > --- David Cardoso <[EMAIL PROTECTED]>
> escreveu:
> > >
> > > >
> > > > Há 10 caixas de um tipo de remédio, cada
> caixa com 
> > 100 comprimidos, 
> > > > cada comprimido pesando 10g.
> > > > Uma(exatamente uma) destas caixas é oriunda
> de um 
> > lote defeituoso,
> > > > onde os comprimidos pesam 9 g.
> > > > Você tem acesso a uma balança digital, que só
> pode ser 
> > > usada uma vez,
> > > > e tem precisão suficiente para lhe dar o
> resultado 
> > exato de qqr
> > > > pesagem com esses remédios.
> > > >
> > > > Qual a sua estratégia de pesagem pra
> determinar, com
> > > certeza, qual a
> > > > caixa de remédio defeituosa?
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > -- 2a. parte, generalização: ---
> > > >
> > > > Qual o número mínimo pesagens necessárias
> para se descobrir 
> > > k caixas
> > > > defeituosas dentro de uma amostragem de n
> caixas?
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > >
>
==
> > > === 
> > > > Instruções para entrar na lista, sair da
> lista e 
> > usar a lista em
> > > >
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > > > 
> > >
>
==
> > > ===
> > > >
> > >
> > >
> > > "O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de
> Milo.
> > > O que há é pouca gente para dar por isso... " 
> > > Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos
> > >
> > > 
> >
>
_

[obm-l] RES: [obm-l] Problema dos Remédios

2006-03-08 Por tôpico David Cardoso

Realmente fica bem mais interessante.
Eu tive uma idéia, não tenho certeza se daria certo pra qualquer caso:

Enumera todos os primos menores que 100, exceto o 2, 3 e 5 (pq sao fatores
de 10g e 9g).
Ou seja, a sequência S seria 7, 11, 17, 23, ...

Pesaria S_1 comprimidos da caixa 1, junto com S_2 comprimidos da caixa 2,
..., até S_10.
Se eu tiver pensando certo, o resultado da pesagem vai poder ser fatorado
assim:

S_1 * K_1 + S_2 * K_2 + ... + S_10 * K_10

Cada K_i da fatoração deveria ser ou 9g ou 10g, o que indicaria se a caixa
correspondente é defeituosa ou não.. funciona?!

[]'s

David
 

> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED] 
> [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Nicolau C. Saldanha
> Enviada em: quarta-feira, 8 de março de 2006 07:19
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] Problema dos Remédios
> 
> On Tue, Mar 07, 2006 at 02:39:37PM -0300, David Cardoso wrote:
> > 
> > Há 10 caixas de um tipo de remédio, cada caixa com 100 
> comprimidos, cada
> > comprimido pesando 10g.
> > Uma(exatamente uma) destas caixas é oriunda de um lote 
> defeituoso, onde os
> > comprimidos pesam 9 g.
> > Você tem acesso a uma balança digital, que só pode ser 
> usada uma vez, e tem
> > precisão suficiente para lhe dar o resultado exato de qqr 
> pesagem com esses
> > remédios.
> > 
> > Qual a sua estratégia de pesagem pra determinar, com 
> certeza, qual a caixa
> > de remédio defeituosa?
> 
> Já resolveram o problema como proposto, mas na verdade é 
> possível resolver
> uma versão bem mais forte:
> 
> Há 10 caixas de um tipo de remédio, cada caixa com 100 
> comprimidos, cada
> comprimido pesando 10g.
> Algumas destas caixas (você não sabe quantas nem quais) são oriundas
> de um lote defeituoso, onde os comprimidos pesam 9 g.
> Você tem acesso a uma balança digital, que só pode ser usada 
> uma vez, e tem
> precisão suficiente para lhe dar o resultado exato de qqr 
> pesagem com esses
> remédios.
> 
> Qual a sua estratégia de pesagem para determinar, com 
> certeza, exatamente
> quais caixas de remédio são defeituosas?
> 
> []s, N.
> ==
> ===
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> ==
> ===
> 
> __ NOD32 1.1425 (20060302) Information __
> 
> This message was checked by NOD32 antivirus system.
> http://www.eset.com
> 
> 



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] Problema dos Remédios

2006-03-07 Por tôpico David Cardoso

Isso mesmo! Sendo que se a caixa ecolhida fosse defeituosa tudo pesaria
1350g.

Abraço,

David

> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED] 
> [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Felipe Avelino
> Enviada em: terça-feira, 7 de março de 2006 19:23
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema dos Remédios
> 
> ah eh facil!!
>  
> escolhe uma caixa qualquer..
> e numera as restantes...
>  
>  
> tira um comprimido da caixa numero 1 e coloca junto tira dois 
> comprimidos da caixa numero 2 ..
> e assim por diante..
> ateh a caixa numero 9
>  
> junta todos esses comprimidos e coloca pra pesar junto com a 
> caixa escolhida primeiramente
>  
> se pesar 1449g  a caixa defeituosa eh a numero 1 se pesar 
> 1448g a caixa defeituosa eh a numero 2 
> se pesar 1450g a caixa defeituosa eh a escolhida .
>  
> 
>  
> Em 07/03/06, David Cardoso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: 
> 
> 
>   Pesar uma vez significa fazer apenas uma leitura do 
> peso no visor da
>   balança.. uma vez lido qualquer número no visor da 
> balança, ela quebra.. :P 
>   
>   
>   > -Mensagem original-
>   > De: [EMAIL PROTECTED]
>   > [mailto:[EMAIL PROTECTED] ] Em nome de 
> Chicao Valadares
>   > Enviada em: terça-feira, 7 de março de 2006 16:38
>   > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>   > Assunto: Re: [obm-l] Problema dos Remédios
>   > 
>   > Pesar uma unica vez???Se vc supor que o ato de pesar é
>   > colocar alguma coisa e depois tirar, vc somente deve ir
>   > colocando sem tirar cada caixa e se a variaçao do peso nao
>   > for conforme esperado tai sua caixa. 
>   >
>   >
>   > --- David Cardoso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>   >
>   > >
>   > > Há 10 caixas de um tipo de remédio, cada caixa com 
> 100 comprimidos, 
>   > > cada comprimido pesando 10g.
>   > > Uma(exatamente uma) destas caixas é oriunda de um 
> lote defeituoso,
>   > > onde os comprimidos pesam 9 g.
>   > > Você tem acesso a uma balança digital, que só pode ser 
>   > usada uma vez,
>   > > e tem precisão suficiente para lhe dar o resultado 
> exato de qqr
>   > > pesagem com esses remédios.
>   > >
>   > > Qual a sua estratégia de pesagem pra determinar, com
>   > certeza, qual a
>   > > caixa de remédio defeituosa?
>   > >
>   > >
>   > >
>   > > -- 2a. parte, generalização: ---
>   > >
>   > > Qual o número mínimo pesagens necessárias para se descobrir 
>   > k caixas
>   > > defeituosas dentro de uma amostragem de n caixas?
>   > >
>   > >
>   > >
>   > >
>   > ==
>   > === 
>   > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e 
> usar a lista em
>   > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>   > > 
>   > ==
>   > ===
>   > >
>   >
>   >
>   > "O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
>   > O que há é pouca gente para dar por isso... " 
>   > Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos
>   >
>   > 
> _
>   > As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s)
>   > anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido 
>   > por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura,
>   > divulgação ou cópia são proibidas.
>   > Favor
>   > apagar as informações e notificar o remetente. O uso
>   > impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a 
>   > legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração.
>   >
>   >
>   > The information mentioned in this message and in the archives
>   > attached are of restricted use, and its privacy is protected
>   > by law. If you are not the addressee, be aware that reading, 
>   > disclosure or copy are forbidden.
>   > Please
>   > delete this information and notify the sender. Inappropriate
>   >

Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema dos Remédios

2006-03-07 Por tôpico Felipe Avelino
ah eh facil!!
 
escolhe uma caixa qualquer..
e numera as restantes...
 
 
tira um comprimido da caixa numero 1 e coloca junto 
tira dois comprimidos da caixa numero 2 ..
e assim por diante..
ateh a caixa numero 9
 
junta todos esses comprimidos e coloca pra pesar junto com a caixa escolhida primeiramente
 
se pesar 1449g  a caixa defeituosa eh a numero 1
se pesar 1448g a caixa defeituosa eh a numero 2

se pesar 1450g a caixa defeituosa eh a escolhida
.
  
Em 07/03/06, David Cardoso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Pesar uma vez significa fazer apenas uma leitura do peso no visor dabalança.. uma vez lido qualquer número no visor da balança, ela quebra.. :P
> -Mensagem original-> De: [EMAIL PROTECTED]> [mailto:[EMAIL PROTECTED]
] Em nome de Chicao Valadares> Enviada em: terça-feira, 7 de março de 2006 16:38> Para: obm-l@mat.puc-rio.br> Assunto: Re: [obm-l] Problema dos Remédios>
> Pesar uma unica vez???Se vc supor que o ato de pesar é> colocar alguma coisa e depois tirar, vc somente deve ir> colocando sem tirar cada caixa e se a variaçao do peso nao> for conforme esperado tai sua caixa.
>>> --- David Cardoso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:>> >> > Há 10 caixas de um tipo de remédio, cada caixa com 100 comprimidos,
> > cada comprimido pesando 10g.> > Uma(exatamente uma) destas caixas é oriunda de um lote defeituoso,> > onde os comprimidos pesam 9 g.> > Você tem acesso a uma balança digital, que só pode ser
> usada uma vez,> > e tem precisão suficiente para lhe dar o resultado exato de qqr> > pesagem com esses remédios.> >> > Qual a sua estratégia de pesagem pra determinar, com
> certeza, qual a> > caixa de remédio defeituosa?> >> >> >> > -- 2a. parte, generalização: ---> >> > Qual o número mínimo pesagens necessárias para se descobrir
> k caixas> > defeituosas dentro de uma amostragem de n caixas?> >> >> >> >> ==> ===
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> >
> ==> ===>  "O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.> O que há é pouca gente para dar por isso... "
> Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos>> _> As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s)> anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido
> por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura,> divulgação ou cópia são proibidas.> Favor> apagar as informações e notificar o remetente. O uso> impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a
> legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração.>>> The information mentioned in this message and in the archives> attached are of restricted use, and its privacy is protected> by law. If you are not the addressee, be aware that reading,
> disclosure or copy are forbidden.> Please> delete this information and notify the sender. Inappropriate> use will be tracted according to company's rules and valid> laws. Thank you for your cooperation.
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[obm-l] RES: [obm-l] Problema dos Remédios

2006-03-07 Por tôpico David Cardoso

Pesar uma vez significa fazer apenas uma leitura do peso no visor da
balança.. uma vez lido qualquer número no visor da balança, ela quebra.. :P
 

> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED] 
> [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Chicao Valadares
> Enviada em: terça-feira, 7 de março de 2006 16:38
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] Problema dos Remédios
> 
> Pesar uma unica vez???Se vc supor que o ato de pesar é 
> colocar alguma coisa e depois tirar, vc somente deve ir 
> colocando sem tirar cada caixa e se a variaçao do peso nao 
> for conforme esperado tai sua caixa.
> 
> 
> --- David Cardoso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> 
> > 
> > Há 10 caixas de um tipo de remédio, cada caixa com 100 comprimidos, 
> > cada comprimido pesando 10g.
> > Uma(exatamente uma) destas caixas é oriunda de um lote defeituoso, 
> > onde os comprimidos pesam 9 g.
> > Você tem acesso a uma balança digital, que só pode ser 
> usada uma vez, 
> > e tem precisão suficiente para lhe dar o resultado exato de qqr 
> > pesagem com esses remédios.
> > 
> > Qual a sua estratégia de pesagem pra determinar, com 
> certeza, qual a 
> > caixa de remédio defeituosa?
> > 
> > 
> > 
> > -- 2a. parte, generalização: ---
> > 
> > Qual o número mínimo pesagens necessárias para se descobrir 
> k caixas 
> > defeituosas dentro de uma amostragem de n caixas?
> > 
> > 
> > 
> >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
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> O que há é pouca gente para dar por isso... "
> Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos
> 
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> Favor
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RES: [obm-l] Problema

2006-01-02 Por tôpico Artur Costa Steiner
O primeiro matematico recebeu o produto P e concluiu que nao lhe era
possivel precisar quais eram os dois numeros dados. Disto podemos concluir
que (1) - P nao eh o quadrado de um numero primo e (2) - P nao eh o produto
de exatamente dois primos distintos. Se (1) ou (2) ocorressem, seria entao
possivel precisar quais eram os numeros.  

Se P = p^3 para algum primo p, entao os numeros estao perfeitamente
determinados, um eh p e o outro eh p^2. Mas observamos tambem que, se P
puder ser decomposto no produto de pelo menos 3 primos distintos, entao hah
sempre mais de um par de inteiros cujo produto eh P. Ocorrendo esta ultima
situacao, nao hah como identificar os numeros. E se p for uma potencia
inteira n>=4 de um primo p, entao hah tambem mais de uma opcao para os
numeros.

Assim, como o 1o matematico nao identificou os numeros, podemos afirmar que
P nao eh o produto de 2 primos distintos, nem o quadrado de um primo e nem o
cubo de um primo. Qualquer outra situacao leva a mais de uma possibilidade
para o par de numeros.


Pela soma S do 2 numeros, o segundo matematico concluiu que o produto P
satisfazia aas condicoes citadas. 

Eh o que pude concluir por ora.

Artur



   



-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: quinta-feira, 29 de dezembro de 2005 00:38
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Problema



Me lembrei de outro velho problema que me passaram com dados novos:

Um gênio matemático recebe, num papel, a soma de dois números inteiros entre
2 e
100. Um outro gênio recebe o produto dos mesmos dois números. Os dois
iniciam o
diálogo:
   
- Este produto não é o suficiente para achar os dois números.
- Eu sabia.
- Então, eu conheço estes números.
- Nesse caso, eu também.
- Quais são os dois números?






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RE: [obm-l] RES: [obm-l] Problema das Alian�as...

2005-08-30 Por tôpico Qwert Smith
Como o prof. Nicolau ja falou esse assunto ja foi mais que discutido.  O 
problema e interessante...atente pro fato que nao se sabe se a alianca e 
mais pesada ou leve.  A primeira pesagem no caso apenas eliminaria 4.   
Tente um pouco mais e sigua os links que o prof. indicou.



From: "David Cardoso" <[EMAIL PROTECTED]>

Divida as 12 em 3 grupos de 4.
Compara dois grupos na balança.
Com isso, vc determina em qual dos 4 grupos a aliança está.
Pegue esse grupo que vc acabou de terminar, com 4 alianças,  compare duas
elas.
Caso tenha empatado, faça a 3a. pesagem com as 2 alianças restantes e
descubra qual é.

[]'s
David



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[obm-l] RES: [obm-l] Problema das Alianças...

2005-08-30 Por tôpico David Cardoso

Divida as 12 em 3 grupos de 4.
Compara dois grupos na balança.
Com isso, vc determina em qual dos 4 grupos a aliança está.
Pegue esse grupo que vc acabou de terminar, com 4 alianças,  compare duas
elas.
Caso tenha empatado, faça a 3a. pesagem com as 2 alianças restantes e
descubra qual é.

[]'s
David

> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
> de filipe junqueira
> Enviada em: domingo, 28 de agosto de 2005 23:34
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: [obm-l] Problema das Alianças...
> 
> Ola caros amigos da lista...
> Um amigo de meu pai me desafio com o seguinte problema e não consigo obter
> resposta la vai:
> Um homem muito rico tinha 12 alianças de ouro uma delas entretanto era
> mais leve ou mais pesada que as demais.Como descobrir qual aliança é a
> mais
> leve ou pesada com apenas tres pesagens em uma balança tradicional...(
> Aquelas que simbolizam a justiça onde se compara apenas dois pesos).
> (Creio eu que 3 pesagens não são sufucientesmas espero que esteja
> enganado)
> Muito obrigado e boa sorte com o problema
> Filipe Junqueira
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: RES: RES: [obm-l] Problema do casal de filhos

2005-08-23 Por tôpico claudio\.buffara
 




De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Tue, 23 Aug 2005 10:05:18 -0300




Assunto:
Re: RES: RES: [obm-l] Problema do casal de filhos
> On Mon, Aug 22, 2005 at 09:31:55PM -0300, Luiz Viola wrote:
> > Intuitivamente pra mim é 1/2. Acho que para a maioria das pessoas a quem
> > eu propus o problema também responderam 1/2. O livro porém apresenta a
> > resposta 1/3, tal como propuseram a solução aqui na lista... eu não
> > consigo aceitar 1/3...nem fazendo força...
> 
> O livro dá alguma explicação? Seria interessante se você pudesse transcrever
> enunciado e resolução para que pudéssemos saber exatamente de que estamos
> falando. Pelo que você escreveu até agora, não acho implausível que o livro
> esteja simplesmente errado.
> 
> []s, N.
> 
 
Isso me faz lembrar o problema das três caixas fechadas.
A primeira delas contém duas moedas de ouro, a segunda, uma de ouro e uma de prata, e a terceira, duas de prata.
Tomamos uma caixa ao acaso e dela retiramos uma moeda.
Dado que a moeda retirada é de ouro, qual a probabilidade de que a outra moeda desta caixa também seja de ouro?
 
A resposta é 2/3, apesar de muita gente achar que é 1/2.
 
[]s,
Claudio.
 
 


Re: RES: RES: [obm-l] Problema do casal de filhos

2005-08-23 Por tôpico Nicolau C. Saldanha
On Mon, Aug 22, 2005 at 09:31:55PM -0300, Luiz Viola wrote:
> Intuitivamente pra mim é 1/2. Acho que para a maioria das pessoas a quem
> eu propus o problema também responderam 1/2. O livro porém apresenta a
> resposta 1/3, tal como propuseram a solução aqui na lista... eu não
> consigo aceitar 1/3...nem fazendo força...

O livro dá alguma explicação? Seria interessante se você pudesse transcrever
enunciado e resolução para que pudéssemos saber exatamente de que estamos
falando. Pelo que você escreveu até agora, não acho implausível que o livro
esteja simplesmente errado.

[]s, N.
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RES: RES: [obm-l] Problema do casal de filhos

2005-08-22 Por tôpico Luiz Viola
Intuitivamente pra mim é 1/2. Acho que para a maioria das pessoas a quem
eu propus o problema também responderam 1/2. O livro porém apresenta a
resposta 1/3, tal como propuseram a solução aqui na lista... eu não
consigo aceitar 1/3...nem fazendo força...

Abraço!
Viola

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de Nicolau C. Saldanha
Enviada em: segunda-feira, 22 de agosto de 2005 13:29
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: RES: [obm-l] Problema do casal de filhos

On Sun, Aug 21, 2005 at 10:37:09PM -0300, Luiz Viola wrote:
>  Um homem visita um casal que tem dois filhos. Uma das crianças, um
> menino, vem à sala. Encontre a probabilidade (p) de o outro ser
> também um
> menino, se
> 
>  (i) sabe-se que a outra criança é mais nova
> 
> (ii) nada se sabe sobre a outra criança
> 
>  A resposta do item (ii) não é 1/2 Alguém consegue enxergar por
> que

Para mim a resposta correta é 1/2 sim (para ambos os itens) e
o raciocínio que foi apresentado para chegar a outro valor está
equivocado.
Tudo isto com suposições que me parecem naturais e que não vou
explicitar.
Pq exatamente você acha que a resposta deveria ser diferente de 1/2?

[]s, N. 


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Re: RES: [obm-l] Problema do casal de filhos

2005-08-22 Por tôpico Nicolau C. Saldanha
On Sun, Aug 21, 2005 at 10:37:09PM -0300, Luiz Viola wrote:
>  Um homem visita um casal que tem dois filhos. Uma das crianças, um
> menino, vem à sala. Encontre a probabilidade (p) de o outro ser
> também um
> menino, se
> 
>  (i) sabe-se que a outra criança é mais nova
> 
> (ii) nada se sabe sobre a outra criança
> 
>  A resposta do item (ii) não é 1/2 Alguém consegue enxergar por
> que

Para mim a resposta correta é 1/2 sim (para ambos os itens) e
o raciocínio que foi apresentado para chegar a outro valor está equivocado.
Tudo isto com suposições que me parecem naturais e que não vou explicitar.
Pq exatamente você acha que a resposta deveria ser diferente de 1/2?

[]s, N. 

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RES: [obm-l] Problema do casal de filhos

2005-08-21 Por tôpico Luiz Viola
Caramba...chegamos a um consenso?

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de Fábio Dias Moreira
Enviada em: domingo, 21 de agosto de 2005 21:54
Para: Thyago A. Kufner
Assunto: Re: [obm-l] Problema do casal de filhos

[21/08/2005, [EMAIL PROTECTED]:
> [21/08/2005, [EMAIL PROTECTED]:
>> 
>>  Um homem visita um casal que tem dois filhos. Uma das crianças, um
>> menino, vem à sala. Encontre a probabilidade (p) de o outro ser
também um
>> menino, se
>> 
>>  (i) sabe-se que a outra criança é mais nova
>> 
>> (ii) nada se sabe sobre a outra criança
>> 
>>  A resposta do item (ii) não é 1/2 Alguém consegue enxergar por
>> que
>> 
> Digamos que H representa um filho homem e M uma filha mulher.
> Como o casal teve dois filhos, as possibilidades são (na ordem mais
velha,
> mais nova):

> H, H
> H, M
> M, H
> M, M

> Na primeira situação descrita no problema, sabemos que a criança mais
velha
> é um menino. Só podemos ter duas das quatro situações acima:

> H, M
> H, H

> Ou seja, para a outra criança (a mais nova) ser um menino, só há uma
> situação entre duas possíveis. Por isso que a probabilidade é 1/2.

> Na segunda situação, só sabemos que uma das duas crianças é menino. Ou
seja,
> das quatro situações possíveis, estamos lidando com apenas três (as
que
> possuem no mínimo um H):

> H, H
> H, M
> M, H

> Assim, temos apenas 1 entre 3 possibilidades que satisfazem o
enunciado.
> Portanto, para a situação 2, a probabilidade é 1/3.

> []'s
> Kufner
> www.cursinho.hpg.com.br 

Sim, mas nos casos (H, M) e (M, H) a probabilidade do menino, e não a
menina, entrar na sala, é 1/2 (afinal de contas, o enunciado não diz
nada que poderia sugerir uma assimetria entre um eventual menino e uma
eventual menina). Logo os três casos que você mostrou *não têm* a
mesma probabilidade -- a probabilidade desses dois casos é, digamos,
x, e, como a probabilidade de um menino entrar no caso (H, H) é o
dobro da dos outros casos, a probabilidade de (H, H) é 2x. Como a soma
das probabilidades é 1,

x + x + 2*x = 1 <=>
x = 1/4 <=>
2*x = 1/2.

Essa é, na realidade, uma aplicação do Teorema de Bayes -- o argumento
que eu fiz acima foi uma versão intuitiva da demonstração formal:

http://mathworld.wolfram.com/BayesTheorem.html

(E, de fato,

(1/4*1)/(1/4*1/2+1/4*1/2+1/4*1) = 1/2

como se poderia esperar.)

[]s,

-- 
Fábio Dias Moreira


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Re: RES: [obm-l] Problema Subconjuntos

2004-07-22 Por tôpico Poncio
Olá Artur!!!
O 1° lema de Kaplansky diz que o número de p-subconjuntos (isto é, um
subconjunto com p elementos) de {1,2,...,n} nos quais não há números
consecutivos é:
f (n,p) = Combinação(n-p+1,p).
Para maiores detalhes consulte Análise Combinatória e Probabilidade de
Morgado, Pitombeira, P.C.Pinto Carvalho e Pedro Fernandez, da coleção do
Professor de Matemática.
Espero ter ajudado,um grande abraço,
Poncio
- Original Message -
From: Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Wednesday, July 21, 2004 8:14 PM
Subject: Re: RES: [obm-l] Problema Subconjuntos


> >C(n-2;3). Basta usar o primeiro lema de Kaplansky.
>
> Eu nunca ouvi falar deste lema (ignorancia minha). Alguem poderia
> enuncia-lo?
> Obrigado.
> Artur
>
> 
> OPEN Internet
> @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =


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Re: RES: [obm-l] Problema Subconjuntos

2004-07-21 Por tôpico Helder Suzuki
achei isso no arquivo da lista:

Kaplansky.
Primeiro lema:
O número de subconjuntos de tamanho p do conjunto {1,
2,..., n} no qual nao figuram numeros consecutivos eh
C(n-p+1, p)
Segundo lema:
Igual ao anterior, mas considerando 1 e n como
consecutivos. O numero de subconjuntos eh 
[n/(n-p)]*C(n-p, p).


--- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu: > >C(n-2;3). Basta usar o primeiro lema de
Kaplansky.
> 
> Eu nunca ouvi falar deste lema (ignorancia minha).
> Alguem poderia
> enuncia-lo?
> Obrigado.
> Artur





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Re: RES: [obm-l] Problema Subconjuntos

2004-07-21 Por tôpico Artur Costa Steiner
>C(n-2;3). Basta usar o primeiro lema de Kaplansky.

Eu nunca ouvi falar deste lema (ignorancia minha). Alguem poderia
enuncia-lo?
Obrigado.
Artur


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Re: RES: [obm-l] Problema Subconjuntos

2004-07-20 Por tôpico Helder Suzuki
Eh, eu fiz uma confusao ali


imagine que temos os subconjnutos de {1, 2, ..., n-3}
e 
queremos adicionar os elementos n-1 e n-2 a esses
subconjuntos ao mesmo tempo, nesse caso só nao
poderemos adicionar n-1 e n-2 aos subconjuntos que tem
o elemento n-3, 

entao teremos T[n-3] - T[n-4] subconjuntos com os
elementos n-1 e n-2: 
X = T[n-3] - T[n-4]
 



T[n-3] - T[n-4] eh o numero de subconjuntos que tem o
elemento n-3. podemos adicionar n-1 e n-2 a todos os
outros subconjuntos, entao podemos adicionar n-1 e n-2
a T[n-3] - (T[n-3] - T[n-4]) = T[n-4]
entao X = T[n-4]
e T[n] = 2*T[n-1] - T[n-4]


--- "David M. Cardoso" <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu: > 
> Cara, muito obrigado..
> Sendo que ta dando trabalho pra eu entender algumas
> coisas,
> como "teremos T[n-3] - T[n-4] subconjuntos com os
> elementos n-1 e n-2"..
> hora eu penso que entendi, hora eu não entendo mais
> e fico tentando lembrar
> pq eu fico entendido antes, talvez seja o
> nervosismo, talvez seja apenas
> porque o raciocinio eh complicado demais pra mim..
> 
> Outra duvida que tenho é se é possível transformar a
> recorrência num
> "polinomiozinho" em função de n ou se uma resposta
> desse tipo já esta
> completa o suficiente..
> 
> []'s
> David
> 
> > -Mensagem original-
> > De: [EMAIL PROTECTED] 
> > [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de
> Helder Suzuki
> > Enviada em: terça-feira, 20 de julho de 2004 19:30
> > Para: [EMAIL PROTECTED]
> > Assunto: Re: [obm-l] Problema Subconjuntos
> > 
> > vamos ver, seguindo a dica de usar recorrencia
> > 
> > se T[n] for igual ao numero de subconjuntos do
> conjunto {1, 
> > 2, ..., n} que nao contem 3 inteiros consecutivos.
> > temos que:
> > T[0] = 1
> > {}
> > 
> > T[1] = 2
> > {} e {1}
> > 
> > T[2] = 4
> > {}, {1},
> > {2} e {1, 2}
> > 
> > T[3] = 7
> > {}, {1}, {2}, {1, 2},
> > {3}, {1, 3}, {2, 3}
> > 
> > T[4] = 13
> > {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {4},
> {1, 4}, {2, 
> > 4}, {3, 4}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}
> > 
> > bom, suponha que sabemos o valor de T[n-1],
> T[n-2], ..., 
> > T[1]; como podemos achar T[n] em funcao de T[n-1]?
> humm...
> > considere todos subconjuntos de {1, 2, 3, 4, ...,
> n-1} que 
> > satisfazem a condicao do enunciado.
> > se adicionarmos um elemento n, em quais desses
> subconjuntos o 
> > n pode entrar e quais ele nao pode(para manter a
> condicao do 
> > enunciado)?
> > se n nao pode entrar em X subconjuntos, temos que
> T[n] = 
> > T[n-1] + T[n-1] - X T[n] = 2*T[n-1] - X mas X eh o
> numero de 
> > subconjuntos que tem os elementos
> > n-1 e n-2.
> > 
> > imagine que temos os subconjnutos de {1, 2, ...,
> n-3} e 
> > queremos adicionar os elementos n-1 e n-2 a esses 
> > subconjuntos ao mesmo tempo, nesse caso só nao
> poderemos 
> > adicionar n-1 e n-2 aos subconjuntos que tem o
> elemento n-3, 
> > entao teremos T[n-3] - T[n-4] subconjuntos com os
> elementos n-1 e n-2:
> > X = T[n-3] - T[n-4]
> > 
> > entao nossa recorrencia fica:
> > T[n] = 2*T[n-1] - T[n-3] + T[n-4]
> > 
> > []'s,
> > Helder
> > 
> > --- "David M. Cardoso" <[EMAIL PROTECTED]>
> > escreveu: > 
> > > 
> > > Olá,
> > > 
> > > Alguem pode me ajudar? Não consegui resolver o
> seguinte problema:
> > > 
> > > "Quantos subconjuntos o conjunto {1,2,3,...,n}
> tais que não contêm 
> > > três inteiros consecutivos?"
> > > 
> > > A dica dada na questão é: "Encontre uma
> recorrência." 
> > Porém, qualquer 
> > > solução (sem/com recorrência) vai ajudar.
> > > 
> > > []'s
> > > David
> > 
> > 
> > 
> > 
> > 
> >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista 
> > em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
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> > 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: RES: [obm-l] Problema Subconjuntos

2004-07-20 Por tôpico Augusto Cesar de Oliveira Morgado
C(n-2;3). Basta usar o primeiro lema de Kaplansky.

==
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-- Original Message ---
From: "David M. Cardoso" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Tue, 20 Jul 2004 20:57:24 -0300
Subject: RES: [obm-l] Problema Subconjuntos

> Cara, muito obrigado..
> Sendo que ta dando trabalho pra eu entender algumas coisas,
> como "teremos T[n-3] - T[n-4] subconjuntos com os elementos n-1 e n-2"..
> hora eu penso que entendi, hora eu não entendo mais e fico tentando lembrar
> pq eu fico entendido antes, talvez seja o nervosismo, talvez seja apenas
> porque o raciocinio eh complicado demais pra mim..
> 
> Outra duvida que tenho é se é possível transformar a recorrência num
> "polinomiozinho" em função de n ou se uma resposta desse tipo já esta
> completa o suficiente..
> 
> []'s
> David
> 
> > -Mensagem original-
> > De: [EMAIL PROTECTED] 
> > [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Helder Suzuki
> > Enviada em: terça-feira, 20 de julho de 2004 19:30
> > Para: [EMAIL PROTECTED]
> > Assunto: Re: [obm-l] Problema Subconjuntos
> > 
> > vamos ver, seguindo a dica de usar recorrencia
> > 
> > se T[n] for igual ao numero de subconjuntos do conjunto {1, 
> > 2, ..., n} que nao contem 3 inteiros consecutivos.
> > temos que:
> > T[0] = 1
> > {}
> > 
> > T[1] = 2
> > {} e {1}
> > 
> > T[2] = 4
> > {}, {1},
> > {2} e {1, 2}
> > 
> > T[3] = 7
> > {}, {1}, {2}, {1, 2},
> > {3}, {1, 3}, {2, 3}
> > 
> > T[4] = 13
> > {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {4}, {1, 4}, {2, 
> > 4}, {3, 4}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}
> > 
> > bom, suponha que sabemos o valor de T[n-1], T[n-2], ..., 
> > T[1]; como podemos achar T[n] em funcao de T[n-1]? humm...
> > considere todos subconjuntos de {1, 2, 3, 4, ..., n-1} que 
> > satisfazem a condicao do enunciado.
> > se adicionarmos um elemento n, em quais desses subconjuntos o 
> > n pode entrar e quais ele nao pode(para manter a condicao do 
> > enunciado)?
> > se n nao pode entrar em X subconjuntos, temos que T[n] = 
> > T[n-1] + T[n-1] - X T[n] = 2*T[n-1] - X mas X eh o numero de 
> > subconjuntos que tem os elementos
> > n-1 e n-2.
> > 
> > imagine que temos os subconjnutos de {1, 2, ..., n-3} e 
> > queremos adicionar os elementos n-1 e n-2 a esses 
> > subconjuntos ao mesmo tempo, nesse caso só nao poderemos 
> > adicionar n-1 e n-2 aos subconjuntos que tem o elemento n-3, 
> > entao teremos T[n-3] - T[n-4] subconjuntos com os elementos n-1 e n-2:
> > X = T[n-3] - T[n-4]
> > 
> > entao nossa recorrencia fica:
> > T[n] = 2*T[n-1] - T[n-3] + T[n-4]
> > 
> > []'s,
> > Helder
> > 
> > --- "David M. Cardoso" <[EMAIL PROTECTED]>
> > escreveu: > 
> > > 
> > > Olá,
> > > 
> > > Alguem pode me ajudar? Não consegui resolver o seguinte problema:
> > > 
> > > "Quantos subconjuntos o conjunto {1,2,3,...,n} tais que não contêm 
> > > três inteiros consecutivos?"
> > > 
> > > A dica dada na questão é: "Encontre uma recorrência." 
> > Porém, qualquer 
> > > solução (sem/com recorrência) vai ajudar.
> > > 
> > > []'s
> > > David
> > 
> > 
> > 
> > 
> > 
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> > em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] RES: [obm-l] Problema - Recorrência / Fibonacci

2004-07-20 Por tôpico David M. Cardoso

Entendi.. entendi.. obrigado.

[]'s

> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED] 
> [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Domingos Jr.
> Enviada em: terça-feira, 20 de julho de 2004 23:44
> Para: [EMAIL PROTECTED]
> Assunto: Re: [obm-l] Problema - Recorrência / Fibonacci
> 
> David M. Cardoso wrote:
> 
> >Olá novamente,
> >
> >Seja F_n a recorrência definida por F_(n+1) = F_n + F_(n-1).
> >Com F_1 = 1, F_2 = 1, ... (sequencia de fibonacci)
> >
> >"Qual é o maior: 2^100 ou F_100 ?"
> >
> >deu pra perceber, testando, que 2^100 é maior.
> >Ateh porque 2^(n+1) / 2^n = 2
> >Enquanto que F_(n+1) / F_(n) ~ 1,618 quando n é grande.
> >
> >Mas não sei formalizar/mostrar que 2^100 é de fato o maior.
> >
> Você pode provar o resultado por indução para todo n, veja:
> para n = 1, 2, F_n = 1 < 2^n
> 
> F_{n+1} = F_n + F{n-1} < 2^n + 2^{n-1} = 3*2^{n-1} < 
> 4*2^{n-1} = 2^{n+1}
> 
> e o resultado segue por indução.
> ==
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> em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> 


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RES: [obm-l] Problema - Primos

2004-07-20 Por tôpico David M. Cardoso
> 
> "Mostre que um número com 30 dígitos não pode ter mais que 
> 100 fatores primos."
> 

Bem.. talvez eu tenha feito, acho que eh soh mostrar que
Piso[Log_10[2^100]+1] = 31
e que portanto 2^100, que é o menor produto de 100 fatores primos, tem 31
dígitos.

[]'s
David


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RES: RES: [obm-l] Problema de Divisibilidade / Primos

2004-07-20 Por tôpico David M. Cardoso

Realmente.. realmente.. o vazio conta como o numero 1..
ok .. obrigado!

[]'s
David

> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED] 
> [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Bernardo 
> Freitas Paulo da Costa
> Enviada em: terça-feira, 20 de julho de 2004 21:29
> Para: [EMAIL PROTECTED]
> Assunto: Re: RES: [obm-l] Problema de Divisibilidade / Primos
> 
> Oi, David,
> 
> Enumere os primos menores do que 20:
> 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19: são 8.
> 
> Um número que satisfaça as condições do enunciado pode ter, 
> no máximo, um de cada um destes fatores, pela segunda parte, 
> e nenhum outro fator, pela primeira parte.
> Assim, temos um problema de combinatória, agora:
> quantos números podemos formar utilizando apenas o produto de 
> 8 primos, onde não podemos incluir um primo duas vezes. Ou, 
> mais combinatória ainda, quantos subconjuntos de um conjunto 
> de 8 elementos existem?
> Para ver que as soluções são iguais, associe a cada 
> subconjunto o número correspondente ao produto de seus 
> elementos, e ao subconjunto vazio o número 1 (eis aqui mais 
> uma boa justificativa para termos um produtório vazio valendo 1!!)
> 
> Bom, para este problema a resposta é conhecida: vale 2^8 = 256.
> Pronto, são 256 números.
> 
> Abraços,
> Bernardo Costa
> 
> 
> On Tue, 20 Jul 2004, David M. Cardoso wrote:
> 
> > 
> > Droga droga droga !!!
> > Na pressa, errei o enunciado da questão!
> > Mil desculpas!
> > 
> > Segue o enunciado correto:
> > 
> > "Quantos inteiros existem que não são divisíveis por 
> qualquer que seja 
> > o primo maior que 20 e não são divisíveis pelo quadrado de qualquer 
> > que seja o primo?"
> > 
> > Puxa vida... tenho prova amanha cedo, vou tentar tirar 
> minhas duvidas 
> > de ultima hora, tenho a sorte de voces existirem e ainda erro o 
> > enunciado da questao... :~(
> > 
> > []'s
> > David
> > 
> > > -Mensagem original-
> > > De: [EMAIL PROTECTED]
> > > [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Bruno 
> França dos Reis 
> > > Enviada em: terça-feira, 20 de julho de 2004 18:53
> > > Para: [EMAIL PROTECTED]
> > > Assunto: Re: [obm-l] Problema de Divisibilidade / Primos
> > > 
> > > -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
> > > Hash: SHA1
> > > 
> > > On Tuesday 20 July 2004 18:26, David M. Cardoso wrote:
> > > > Mais duas questoes que não consigo me mecher:
> > > >
> > > > Quantos inteiros existem que não são divisíveis por
> > > qualquer que seja
> > > > o primo maior que 20 e não são divisiveis por qualquer que
> > > seja o primo?
> > > 
> > > a) infinitos: 2^n não é divisível por qualquer que seja o primo 
> > > maior que 20, pois é divisível apenas pelo primo 2, qualquer que 
> > > seja n natural.
> > > 
> > > b) apenas o 1, pois qualquer outro número é divisível por 
> ao menos 
> > > um primo:
> > > se ele for composto, sabemos que ele é múltiplo de 
> primos, e se ele 
> > > é primo, ele é divisível por si próprio, um número primo. 
> Já o 1 é 
> > > divisível apenas por 1, que não é primo (e não me venham 
> com essa de 
> > > que 1 é primo também!)
> > > 
> > > acho que é isso!
> > > 
> > > abraço
> > > 
> > > - --
> > > Bruno França dos Reis
> > > brunoreis at terra com br
> > > icq: 12626000
> > > gpg-key: 
> > > http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
> > > 
> > > -BEGIN PGP SIGNATURE-
> > > Version: GnuPG v1.2.4 (GNU/Linux)
> > > 
> > > iD8DBQFA/ZREsHdDIT+qyroRAhQFAKDOZm/uCMp38TYe+uXT2rL+lkNPWQCfWTdb
> > > iMrCfq37UfF/7EZvrP6Qm3g=
> > > =qpSy
> > > -END PGP SIGNATURE-
> > > 
> > > ==
> > > ===
> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
> > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > > ==
> > > ===
> > > 
> > 
> > 
> > 
> ==
> > === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a 
> lista em 
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > 
> ==
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> > 
> 
> ==
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
> em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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RES: [obm-l] Problema Subconjuntos

2004-07-20 Por tôpico David M. Cardoso

Cara, muito obrigado..
Sendo que ta dando trabalho pra eu entender algumas coisas,
como "teremos T[n-3] - T[n-4] subconjuntos com os elementos n-1 e n-2"..
hora eu penso que entendi, hora eu não entendo mais e fico tentando lembrar
pq eu fico entendido antes, talvez seja o nervosismo, talvez seja apenas
porque o raciocinio eh complicado demais pra mim..

Outra duvida que tenho é se é possível transformar a recorrência num
"polinomiozinho" em função de n ou se uma resposta desse tipo já esta
completa o suficiente..

[]'s
David

> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED] 
> [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Helder Suzuki
> Enviada em: terça-feira, 20 de julho de 2004 19:30
> Para: [EMAIL PROTECTED]
> Assunto: Re: [obm-l] Problema Subconjuntos
> 
> vamos ver, seguindo a dica de usar recorrencia
> 
> se T[n] for igual ao numero de subconjuntos do conjunto {1, 
> 2, ..., n} que nao contem 3 inteiros consecutivos.
> temos que:
> T[0] = 1
> {}
> 
> T[1] = 2
> {} e {1}
> 
> T[2] = 4
> {}, {1},
> {2} e {1, 2}
> 
> T[3] = 7
> {}, {1}, {2}, {1, 2},
> {3}, {1, 3}, {2, 3}
> 
> T[4] = 13
> {}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {4}, {1, 4}, {2, 
> 4}, {3, 4}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}
> 
> bom, suponha que sabemos o valor de T[n-1], T[n-2], ..., 
> T[1]; como podemos achar T[n] em funcao de T[n-1]? humm...
> considere todos subconjuntos de {1, 2, 3, 4, ..., n-1} que 
> satisfazem a condicao do enunciado.
> se adicionarmos um elemento n, em quais desses subconjuntos o 
> n pode entrar e quais ele nao pode(para manter a condicao do 
> enunciado)?
> se n nao pode entrar em X subconjuntos, temos que T[n] = 
> T[n-1] + T[n-1] - X T[n] = 2*T[n-1] - X mas X eh o numero de 
> subconjuntos que tem os elementos
> n-1 e n-2.
> 
> imagine que temos os subconjnutos de {1, 2, ..., n-3} e 
> queremos adicionar os elementos n-1 e n-2 a esses 
> subconjuntos ao mesmo tempo, nesse caso só nao poderemos 
> adicionar n-1 e n-2 aos subconjuntos que tem o elemento n-3, 
> entao teremos T[n-3] - T[n-4] subconjuntos com os elementos n-1 e n-2:
> X = T[n-3] - T[n-4]
> 
> entao nossa recorrencia fica:
> T[n] = 2*T[n-1] - T[n-3] + T[n-4]
> 
> []'s,
> Helder
> 
> --- "David M. Cardoso" <[EMAIL PROTECTED]>
> escreveu: > 
> > 
> > Olá,
> > 
> > Alguem pode me ajudar? Não consegui resolver o seguinte problema:
> > 
> > "Quantos subconjuntos o conjunto {1,2,3,...,n} tais que não contêm 
> > três inteiros consecutivos?"
> > 
> > A dica dada na questão é: "Encontre uma recorrência." 
> Porém, qualquer 
> > solução (sem/com recorrência) vai ajudar.
> > 
> > []'s
> > David
> 
> 
>   
>   
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RES: [obm-l] Problema de Divisibilidade / Primos

2004-07-20 Por tôpico David M. Cardoso
Aeee ... acabei de pensar na solucao, não sei se ta certo:

se n é o produto de k primos (i<=k<=8), entao
n = p_1 * p_2 * p_3 * ... * p_k

tal que p_i < 20 (1 <= i <= k)
entao p_i pertence ao conjunto dos primos menores que 20 {
2,3,5,7,11,13,17,19 }
queremos contar os subconjuntos desse conjunto... menos o vazio..

temos entao 2^8 - 1 numeros deste tipo.

Ta certo?

[]'s
David

> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED] 
> [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de David M. Cardoso
> Enviada em: terça-feira, 20 de julho de 2004 20:11
> Para: [EMAIL PROTECTED]
> Assunto: RES: [obm-l] Problema de Divisibilidade / Primos
> 
> 
> Droga droga droga !!!
> Na pressa, errei o enunciado da questão!
> Mil desculpas!
> 
> Segue o enunciado correto:
> 
> "Quantos inteiros existem que não são divisíveis por qualquer 
> que seja o primo maior que 20 e não são divisíveis pelo 
> quadrado de qualquer que seja o primo?"
> 
> Puxa vida... tenho prova amanha cedo, vou tentar tirar minhas 
> duvidas de ultima hora, tenho a sorte de voces existirem e 
> ainda erro o enunciado da questao... :~(
> 
> []'s
> David
> 
> > -Mensagem original-
> > De: [EMAIL PROTECTED]
> > [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Bruno França 
> dos Reis 
> > Enviada em: terça-feira, 20 de julho de 2004 18:53
> > Para: [EMAIL PROTECTED]
> > Assunto: Re: [obm-l] Problema de Divisibilidade / Primos
> > 
> > -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
> > Hash: SHA1
> > 
> > On Tuesday 20 July 2004 18:26, David M. Cardoso wrote:
> > > Mais duas questoes que não consigo me mecher:
> > >
> > > Quantos inteiros existem que não são divisíveis por
> > qualquer que seja
> > > o primo maior que 20 e não são divisiveis por qualquer que
> > seja o primo?
> > 
> > a) infinitos: 2^n não é divisível por qualquer que seja o 
> primo maior 
> > que 20, pois é divisível apenas pelo primo 2, qualquer que seja n 
> > natural.
> > 
> > b) apenas o 1, pois qualquer outro número é divisível por 
> ao menos um 
> > primo:
> > se ele for composto, sabemos que ele é múltiplo de primos, 
> e se ele é 
> > primo, ele é divisível por si próprio, um número primo. Já o 1 é 
> > divisível apenas por 1, que não é primo (e não me venham 
> com essa de 
> > que 1 é primo também!)
> > 
> > acho que é isso!
> > 
> > abraço
> > 
> > - --
> > Bruno França dos Reis
> > brunoreis at terra com br
> > icq: 12626000
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: RES: [obm-l] Problema de Divisibilidade / Primos

2004-07-20 Por tôpico Bernardo Freitas Paulo da Costa
Oi, David,

Enumere os primos menores do que 20:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19: são 8.

Um número que satisfaça as condições do enunciado pode ter,
no máximo, um de cada um destes fatores, pela segunda parte, e nenhum 
outro fator, pela primeira parte.
Assim, temos um problema de combinatória, agora:
quantos números podemos formar utilizando apenas o produto de 8 primos, 
onde não podemos incluir um primo duas vezes. Ou, mais combinatória ainda,
quantos subconjuntos de um conjunto de 8 elementos existem?
Para ver que as soluções são iguais, associe a cada subconjunto
o número correspondente ao produto de seus elementos, e ao subconjunto 
vazio o número 1 (eis aqui mais uma boa justificativa para termos um 
produtório vazio valendo 1!!)

Bom, para este problema a resposta é conhecida: vale 2^8 = 256.
Pronto, são 256 números.

Abraços,
Bernardo Costa


On Tue, 20 Jul 2004, David M. Cardoso wrote:

> 
> Droga droga droga !!!
> Na pressa, errei o enunciado da questão!
> Mil desculpas!
> 
> Segue o enunciado correto:
> 
> "Quantos inteiros existem que não são divisíveis por qualquer que seja o
> primo maior que 20 e não são divisíveis pelo quadrado de qualquer que seja o
> primo?"
> 
> Puxa vida... tenho prova amanha cedo, vou tentar tirar minhas duvidas de
> ultima hora, tenho a sorte de voces existirem e ainda erro o enunciado da
> questao... :~(
> 
> []'s
> David
> 
> > -Mensagem original-
> > De: [EMAIL PROTECTED] 
> > [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Bruno França dos Reis
> > Enviada em: terça-feira, 20 de julho de 2004 18:53
> > Para: [EMAIL PROTECTED]
> > Assunto: Re: [obm-l] Problema de Divisibilidade / Primos
> > 
> > -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
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> > 
> > On Tuesday 20 July 2004 18:26, David M. Cardoso wrote:
> > > Mais duas questoes que não consigo me mecher:
> > >
> > > Quantos inteiros existem que não são divisíveis por 
> > qualquer que seja 
> > > o primo maior que 20 e não são divisiveis por qualquer que 
> > seja o primo?
> > 
> > a) infinitos: 2^n não é divisível por qualquer que seja o 
> > primo maior que 20, pois é divisível apenas pelo primo 2, 
> > qualquer que seja n natural.
> > 
> > b) apenas o 1, pois qualquer outro número é divisível por ao 
> > menos um primo: 
> > se ele for composto, sabemos que ele é múltiplo de primos, e 
> > se ele é primo, ele é divisível por si próprio, um número 
> > primo. Já o 1 é divisível apenas por 1, que não é primo (e 
> > não me venham com essa de que 1 é primo também!)
> > 
> > acho que é isso!
> > 
> > abraço
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> > - --
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> > iMrCfq37UfF/7EZvrP6Qm3g=
> > =qpSy
> > -END PGP SIGNATURE-
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> > ==
> > ===
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
> > em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > ==
> > ===
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> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


RES: [obm-l] Problema de Divisibilidade / Primos

2004-07-20 Por tôpico David M. Cardoso

Droga droga droga !!!
Na pressa, errei o enunciado da questão!
Mil desculpas!

Segue o enunciado correto:

"Quantos inteiros existem que não são divisíveis por qualquer que seja o
primo maior que 20 e não são divisíveis pelo quadrado de qualquer que seja o
primo?"

Puxa vida... tenho prova amanha cedo, vou tentar tirar minhas duvidas de
ultima hora, tenho a sorte de voces existirem e ainda erro o enunciado da
questao... :~(

[]'s
David

> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED] 
> [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Bruno França dos Reis
> Enviada em: terça-feira, 20 de julho de 2004 18:53
> Para: [EMAIL PROTECTED]
> Assunto: Re: [obm-l] Problema de Divisibilidade / Primos
> 
> -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
> Hash: SHA1
> 
> On Tuesday 20 July 2004 18:26, David M. Cardoso wrote:
> > Mais duas questoes que não consigo me mecher:
> >
> > Quantos inteiros existem que não são divisíveis por 
> qualquer que seja 
> > o primo maior que 20 e não são divisiveis por qualquer que 
> seja o primo?
> 
> a) infinitos: 2^n não é divisível por qualquer que seja o 
> primo maior que 20, pois é divisível apenas pelo primo 2, 
> qualquer que seja n natural.
> 
> b) apenas o 1, pois qualquer outro número é divisível por ao 
> menos um primo: 
> se ele for composto, sabemos que ele é múltiplo de primos, e 
> se ele é primo, ele é divisível por si próprio, um número 
> primo. Já o 1 é divisível apenas por 1, que não é primo (e 
> não me venham com essa de que 1 é primo também!)
> 
> acho que é isso!
> 
> abraço
> 
> - --
> Bruno França dos Reis
> brunoreis at terra com br
> icq: 12626000
> gpg-key: 
> http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
> 
> -BEGIN PGP SIGNATURE-
> Version: GnuPG v1.2.4 (GNU/Linux)
> 
> iD8DBQFA/ZREsHdDIT+qyroRAhQFAKDOZm/uCMp38TYe+uXT2rL+lkNPWQCfWTdb
> iMrCfq37UfF/7EZvrP6Qm3g=
> =qpSy
> -END PGP SIGNATURE-
> 
> ==
> ===
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
> em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> ==
> ===
> 


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RES: [obm-l] Problema envolvendo sistema linear

2004-06-15 Por tôpico David M. Cardoso

> 
> L = nº laranjas
> P = nº peras
> X = nº pessoas
> 
> Faça:
> 3L = P
> 5X = L
> 8X + 21 = P
> 

Serei a calculadora:

-3L = -P
8x + 21 = P

8x - 3L = -21
5X - L  = 0 (vezes -3)
-15x +3L = 0

-7X = -21 ==> X = 3
  ==> L = 15
  ==> P = 45


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RES: [obm-l] Problema envolvendo sistema linear

2004-06-15 Por tôpico Wellington
L = nº laranjas
P = nº peras
X = nº pessoas

Faça:
3L = P
5X = L
8X + 21 = P



-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de Maurizio
Enviada em: Tuesday, June 15, 2004 7:17 PM
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Problema envolvendo sistema linear

Em uma cesta de frutas, há 3 vezes mais peras doq ue laranjas. Eu e meus

amigos vamos dividir as frutas. Se cada um de nós receber 5 laranjas e 8

peras, restarão 21 peras, e as laranjas serão todas distribuídas. 
Quantas laranjas há na cesta? Quantas pessoas somos?

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RES: [obm-l] Problema de Torneiras

2004-03-30 Por tôpico David M. Cardoso

Apertei control+enter e enviei a mensagem sem querer (desculpa!),
continuando:

> (1/4) + (x/25) + (x/40) - (x/20) = 1
> 
> [... contas ...]
> 
> x = 50 horas
> 
> 
> Princípio:
> 
> "A primeira enCHe o tanque em 25 horas"

25 horas -> 1 tanque
x horas  -> (x/25) tanque.


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RES: [obm-l] Problema de Torneiras

2004-03-30 Por tôpico David M. Cardoso

(1/4) + (x/25) + (x/40) - (x/20) = 1

[... contas ...]

x = 50 horas


Princípio:

"A primeira enxe o tanque em 25 horas"

25 -- 1


> -Mensagem original-
> De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome
> de Fabio Contreiras
> Enviada em: terça-feira, 30 de março de 2004 23:08
> Para: [EMAIL PROTECTED]
> Assunto: [obm-l] Problema de Torneiras
> 
> Esse é maneiro! Alguem sabe o caminho das pedras?
> 
> 
>  1 ) Um tanque tem 3 torneiras. A primeira enxe o tanque em 25 horas, a
> segunda em 40 horas, ja a terceira, o esvazia em 20 horas. O tanque está
> com 1 / 4 de água. Abrindo-se simultaneamente as três torneiras, ele
> ficará cheio em :
> 
> 


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RES: [obm-l] Problema estranho..

2004-03-25 Por tôpico Cloves Jr
Augurios,

Eu tb achava que naum tinha solucao da maneira que o professor passou... Eu
cheguei em uma solucao igual e dai resolvi colocar em discussao na lista pra
ver se alguem tinha alguma ideia diferente que talvez resolvese o
problema... A todos que ajudaram meu mto obrigado..

[]s

Cloves Jr

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Angelo Barone Netto
Enviada em: quinta-feira, 25 de março de 2004 16:45
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] Problema estranho..


Caro Cloves Jr <[EMAIL PROTECTED]>:

Claro que se a soma dos elementos de cada fila e 12 a soma dos
nove elementos da matriz e 36.
Por outro lado, se os nove elemntos sao naturais sua soma e, no minimo,
0+1+2+3+4+5+6+7+8=36, os naturais tem que incluir o zero (nada mais natural)
e sao necessariamente os que figuram na linha acima.
Existem poucas matrizes que satisfazem isto (calcule seu 3),
uma delas e
048
561
723.
Augurios.


Angelo Barone Netto <[EMAIL PROTECTED]>
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RES: [obm-l] Problema 05

2003-02-11 Por tôpico Eduardo
Elton,
Tente, antes de generalizar um sistema, estipular um outro problema.
Por exemplo, se você tivesse feito a prova, a quantidade de erros e acertos
somadas seria o total de questões?
Se você tivesse acertado 32 questões, ganharia quantos pontos com isto
(somente as certas)?
Que conta você fez para obter o resultado?
Se tivesse acertado 32 teria errado 28, quantos pontos perderia com isto?
Para saber sua nota, que conta faria?

as vezes fica mais fácil partir de uma resposta...

Segue a resolução do seu problema 5

A=Acerto
E=erro

A+E=60
2A-E=30

Donde A= 30 e E=30

Abraços

Edu

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de elton francisco
ferreira
Enviada em: terça-feira, 11 de fevereiro de 2003 20:03
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Problema 05


Numa prova de matemática, um aluno deve responder a 60
itens do tipo verdadeiro ou falso. para cada item
respondido corretamente, o aluno vai ganhar 2 pontos
e, para cada item que errar, vai perder 1 ponto. A
nota do aluno é função do número de itens que ele
acertar. Se o aluno obteve 30 pontos, quantos itens
ele acertou?



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RES: [obm-l] Problema 04

2003-02-10 Por tôpico Eduardo
Elton...faça um sistema

abraços

edu

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de elton francisco
ferreira
Enviada em: segunda-feira, 10 de fevereiro de 2003 16:10
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Problema 04


Um caixa automática de um banco só libera notas de R$
5,00 e R$ 10,00. Uma pessoa retirou dessa caixa a
importância de R$ 65,00, recebendo 10 notas. O produto
do número de notas de R$ 5,00 pelo número de notas de
R$ 10,00 é igual a

16
25
24
21


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RES: [obm-l] Problema 02

2003-02-07 Por tôpico Eduardo
Verifique esta "solução", ou pelo menos o início...

Bem, a posição do garoto quando a garota sobe na roda gigante e quando desce
é a mesma..., se a garota deu 20 voltas o garoto deu 20 voltas mais a
diferença inicial, de 6 cadeiras...o resto é conta.

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de elton francisco
ferreira
Enviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 21:18
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Problema 02

Um casal de namorados foi a um parque de diversões. A
roda-gigante tem 10 cadeiras e 8 m de raio. O garoto,
que foi o primeiro a entrar, sentou-se na cadeira
número 1. A garota sentou-se na cadeira número 7 e
desceu depois de dar 20 voltas completas. Quantos
metros o garoto percorreu, do instante em que subiu no
brinquedo até o momento em que a garota desceu?
pi: 3,14

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RES: [obm-l] Problema de LOg

2002-10-28 Por tôpico Ralph Teixeira

Como resolver? Acho que não resolve. Para começar, tem um montão de
raízes

De fato, sempre que x varia de 2KPi a 2Kpi+pi, o seno vai de 0 a 1 e
volta para 0, portanto sen(lnx) vai de -Inf a 0 e volta para -Inf. Então o
gráfico de sen(lnx) vai ser um bando de oscilações de -Inf a 0 e de volta a
-Inf, uma oscilação a cada 2Pi.

Por outro lado, sen(lnx) oscila a "períodos" cada vez maiores
Quer dizer, quando x vai de 1 a e^2Pi, tem uma oscilcao do seno (de 0 a 1 a
0 a -1 e de volta a 0). A próxima "oscilação" vai de e^2Pi a e^4Pi...
Oscilação demoraada Quer dizer que há vários locais onde sen(lnx)
vai ficar horizontal... Em particular, deve ter um bom pedação onde
sen(lnx) é um tanto negativo...

... e nesses pedaços, sen(lnx) deve cortar ln(senx) várias vezes (já
que este oscila rápido e é periódico).

Faça os gráficos e confira... :)

Abraço,
Ralph

-Mensagem original-
De: Marcos Eike Tinen dos Santos [mailto:mesantos@;uai.com.br]
Enviada em: quinta-feira, 20 de março de 2008 17:01
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Problema de LOg


Como calcular sen(log x) = log(sen x)

Ats,
Marcos Eike

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RES: [obm-l] Problema

2002-05-22 Por tôpico Ralph Teixeira

resolva a equação :

x^(sqrt x) = 1/2

Deixa eu ver... Note que temos de ter x>0. Então, vou fazer y=1/sqrt(x),
isto é,
x=1/y^2 para começar. Note que y>0 também.

(1/y^2)^(1/y)=1/2
y^2^(-1/y)=1/2
y^2=2^y

Ah-ha! Esse problema eu já vi por aqui Se eu me lembro bem, a gente tem
três soluções: y=2, y=4 e uma outra solução negativa que usava o
"Lambertiano" (eu já escrevi isso aqui antes). A solução negativa neste caso
não presta, então ficamos só com x=1/4 ou x=1/16.

Abraço,
Ralph
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[obm-l] RES: [obm-l] Re:[obm-l] RES: [obm-l] Problema de Função...

2002-04-14 Por tôpico Guilherme Pimentel

é m=6, escrevi errado.

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de adr.scr.m
Enviada em: domingo, 14 de abril de 2002 11:50
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] RES: [obm-l] Problema de Função...


Não seria m=6 no lugar de m=5?
 Adriano.

> Como eu respondi no forum do só matematica, resposta é
20 com
> m=5, x1=2 e x2=4
>
> []'s Guilherme Pimentel
> http://sites.uol.com.br/guigous
>
>   -Mensagem original-
>   De: [EMAIL PROTECTED]
> [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de
Igor Castro
>   Enviada em: sábado, 13 de abril de 2002 16:20
>   Para: [EMAIL PROTECTED]
>   Assunto: [obm-l] Problema de Função...
>
>
>   Olá colegas da lista,
>gostaria de ajuda neste problema por que na minha
resolução acho sempre
> 64... mas não está nas opções do problema, creio que
seja facil. Lá vai:
>   Seja A um conjunto de numeros reais tais que para
toda m pertencente a A a
> função: (m/2 -2).x^2  -mx + 8, terá sempre duas raizes
reais x1 e x2
> satisfazendo
>   0< x1 <= x2 < 5 . Tomando K como o menor numero
inteiro pertencente a A e
> fazendo na função m=K, as raizes obtidas x1 e x2 tem
por soma de seus
> quadrados:
>   a) 20b)25   c)30   d)41  e)49
>
>   agradeço desde já...
>   []'s
>   ps: <= significa maior ou igual...
>


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[obm-l] Re:[obm-l] RES: [obm-l] Problema de Função...

2002-04-14 Por tôpico adr.scr.m

Não seria m=6 no lugar de m=5?
 Adriano.
   
> Como eu respondi no forum do só matematica, resposta é 
20 com
> m=5, x1=2 e x2=4
> 
> []'s Guilherme Pimentel
> http://sites.uol.com.br/guigous
> 
>   -Mensagem original-
>   De: [EMAIL PROTECTED]
> [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de 
Igor Castro
>   Enviada em: sábado, 13 de abril de 2002 16:20
>   Para: [EMAIL PROTECTED]
>   Assunto: [obm-l] Problema de Função...
> 
> 
>   Olá colegas da lista,
>gostaria de ajuda neste problema por que na minha 
resolução acho sempre
> 64... mas não está nas opções do problema, creio que 
seja facil. Lá vai:
>   Seja A um conjunto de numeros reais tais que para 
toda m pertencente a A a
> função: (m/2 -2).x^2  -mx + 8, terá sempre duas raizes 
reais x1 e x2
> satisfazendo
>   0< x1 <= x2 < 5 . Tomando K como o menor numero 
inteiro pertencente a A e
> fazendo na função m=K, as raizes obtidas x1 e x2 tem 
por soma de seus
> quadrados:
>   a) 20b)25   c)30   d)41  e)49
> 
>   agradeço desde já...
>   []'s
>   ps: <= significa maior ou igual...
> 

 
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[obm-l] RES: [obm-l] Problema de Função...

2002-04-14 Por tôpico Guilherme Pimentel



Como 
eu respondi no forum do só matematica, resposta é 20 com
m=5, 
x1=2 e x2=4
 
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Guilherme Pimentel
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  -Mensagem original-De: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Igor 
  CastroEnviada em: sábado, 13 de abril de 2002 16:20Para: 
  [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] Problema de 
  Função...
  Olá colegas da lista,
   gostaria de ajuda neste problema por que na 
  minha resolução acho sempre 64... mas não está nas opções do problema, creio 
  que seja facil. Lá vai:
  Seja A um conjunto de numeros reais tais que para 
  toda m pertencente a A a função: (m/2 -2).x^2  -mx + 8, terá sempre duas 
  raizes reais x1 e x2 satisfazendo
  0< x1 <= x2 < 5 . Tomando K como o menor 
  numero inteiro pertencente a A e fazendo na função m=K, as raizes obtidas x1 e 
  x2 tem por soma de seus quadrados:
  a) 20    b)25   
  c)30   d)41  e)49
   
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