RES: [obm-l] Problema Interessante de Geometria
Olá, Ralph,
O arquivo GeoGebra (“Hexagons.ggb”) foi bloqueado pelo sistema que administra
esta Lista, em face da possibilidade de vírus (por tratar-se de um arquivo
executável).
Peço, então, que envie o respectivo arquivo diretamente para o meu e-mail.
Prometo (como sempre…) tentar encontrar uma solução ainda mais complicada do
que as já disponíveis na literatura e (para compensar!) válida somente para uns
poucos casos particulares.
Sds.,
_
Albert Bouskelá
mailto:bousk...@gmail.com bousk...@gmail.com
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de
Ralph Teixeira
Enviada em: segunda-feira, 8 de junho de 2015 21:03
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] {Filename?} Problema Interessante de Geometria
Ola a todos.
Eu e minha aluna de Mestrado Fabiola encontramos um problema bem facil de
enunciar que esclareceria um ponto da dissertacao de mestrado dela... No
entanto, a gente soh encontrou umas solucoes bem complicadas na literatura, e
mesmo assim parecem ser apenas para alguns casos particulares simetricos...
Entao coloco aqui -- quem tiver uma solucao elegante ganha um agradecimento na
dissertacao! :) :)
(Eu pensei ateh em sugerir esse problema para alguma OBM, mas como ainda nao
sei resolver e acabei mostrando a alguns alunos, vou soltar logo ele aqui.)
Sao dados dois poligonos convexos P1P2...Pn e Q1Q2...Qn (onde n4) contendo a
origem O em seu interior. Sabe-se que:
-- Eles tem lados respectivamente paralelos (isto eh, PiP_{i+1} // QiQ_{i+1}
para i=1,2,...,n, indices modulo n);
-- Triangulos com vertice em O e um lado do poligono tem areas respectivamente
iguais (isto eh, Area(OPiP_{i+1}) = Area(OQiQ_{i+1}) para i=1,2,...n, indices
modulo n).
Pergunta-se: os poligonos tem que ser congruentes?
Quem quiser brincar, vide o Geogebra anexo que ilustra o caso n=6 (fiz uma
copia de Q longe da origem para facilitar a visualizacao -- a origem para Q
eh O_1). Pode brincar como quiser com os Q's, e com P_1 -- os outros pontos sao
calculados para satisfazer as condicoes acima... Mas alguem consegue fazer o
poligono P fechar (isto eh, P1=P7) sem que ele seja congruente ao Q (mas
mantendo ambos convexos e mantendo a origem O dentro de P?)
Nota: se n=4, dois paralelogramos distintos de mesma area centrados na origem
sao contra-exemplo!
Abraco, Ralph.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema da Olimpíada de Matemática de Moscou
é o antigo noves fora que minha mãe usava... 2014-09-04 21:25 GMT-03:00 Albert Bouskela bousk...@ymail.com: Olá! Pois é! Problemas (equações) que envolvem um determinado número (natural) e a soma dos algarismos que o compõem, geralmente, são resolvidos através da propriedade mencionada pelo Ralph: S(x) = x (mod. 9) Ou, o que dá no mesmo, mas as vezes pode ser mais útil: “x” e S(x) deixam o mesmo resto na divisão por 9. Exemplo: Mostre que a soma da soma da soma (3 vezes) dos algarismos de 50^50 e 770^770 são iguais. Albert Bouskelá bousk...@ymail.com *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em nome de *Ralph Teixeira *Enviada em:* quarta-feira, 3 de setembro de 2014 21:27 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Assunto:* [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema da Olimpíada de Matemática de Moscou Ah, eh verdade, dah para acelerar MUITO notando que: S(x) = x (mod 9) Entao x+S(x)+S(S(x)) = 3x (mod 9) Isto eh, x+S(x)+S(S(x)) eh sempre divisivel por 3 -- e portanto nunca pode ser 1993. Abraco, Ralph 2014-09-03 19:42 GMT-03:00 Mauricio de Araujo mauricio.de.ara...@gmail.com: não tem solução!! hehehe 2014-09-03 19:07 GMT-03:00 Albert Bouskela bousk...@ymail.com: Olá! A melhor solução é pelo “cheiro” 1) x1899 | 1899+S(1899)+SS(1899)=19351993 2) x1959 | 1959+S(1959)+SS(1959)=19891993 3) S≥16 (x=1960) e SS≥2 (S=20) 4) x=1993-16-2=1975 5) 1960=x=1975 6) Agora é no braço… 7) Mas há uma surpresa no final! Albert Bouskelá bousk...@ymail.com *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em nome de *Mauricio de Araujo *Enviada em:* quarta-feira, 3 de setembro de 2014 11:36 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Assunto:* [obm-l] Problema da Olimpíada de Matemática de Moscou Seja S(x) a soma dos dígitos de um inteiro positivo x. Resolver: x + S(x) + S(S(x)) = 1993. -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema da Olimpíada de Matemática de Moscou
Existe uma questão muito legal que acabei de fazer desse mesmo assunto, caso seja do seu interesse praticar ai vai. A soma dos algarismos de um numero n vale 100, e a soma dos digitos do numero 44n vale 800, Calcular a soma dos digitos de 3n. Douglas Oliveira Em 4 de setembro de 2014 21:25, Albert Bouskela bousk...@ymail.com escreveu: Olá! Pois é! Problemas (equações) que envolvem um determinado número (natural) e a soma dos algarismos que o compõem, geralmente, são resolvidos através da propriedade mencionada pelo Ralph: S(x) = x (mod. 9) Ou, o que dá no mesmo, mas as vezes pode ser mais útil: “x” e S(x) deixam o mesmo resto na divisão por 9. Exemplo: Mostre que a soma da soma da soma (3 vezes) dos algarismos de 50^50 e 770^770 são iguais. Albert Bouskelá bousk...@ymail.com *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em nome de *Ralph Teixeira *Enviada em:* quarta-feira, 3 de setembro de 2014 21:27 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Assunto:* [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema da Olimpíada de Matemática de Moscou Ah, eh verdade, dah para acelerar MUITO notando que: S(x) = x (mod 9) Entao x+S(x)+S(S(x)) = 3x (mod 9) Isto eh, x+S(x)+S(S(x)) eh sempre divisivel por 3 -- e portanto nunca pode ser 1993. Abraco, Ralph 2014-09-03 19:42 GMT-03:00 Mauricio de Araujo mauricio.de.ara...@gmail.com: não tem solução!! hehehe 2014-09-03 19:07 GMT-03:00 Albert Bouskela bousk...@ymail.com: Olá! A melhor solução é pelo “cheiro” 1) x1899 | 1899+S(1899)+SS(1899)=19351993 2) x1959 | 1959+S(1959)+SS(1959)=19891993 3) S≥16 (x=1960) e SS≥2 (S=20) 4) x=1993-16-2=1975 5) 1960=x=1975 6) Agora é no braço… 7) Mas há uma surpresa no final! Albert Bouskelá bousk...@ymail.com *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em nome de *Mauricio de Araujo *Enviada em:* quarta-feira, 3 de setembro de 2014 11:36 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Assunto:* [obm-l] Problema da Olimpíada de Matemática de Moscou Seja S(x) a soma dos dígitos de um inteiro positivo x. Resolver: x + S(x) + S(S(x)) = 1993. -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema da Olimpíada de Matemática de Moscou
Boa tarde! O número de algarismos x não nulos de 50^50 é igual ao número de algarismos de 5^50 seja t = [x], t Ɛ e x - 1 t = x x = [50*log(5)]+1 = 35 == S (50^50) = 9*35 = 315 == S(S(50^50)) = 2+9 +9 = 13 == S(S(S50^50) 10 == == S(S(50^50)) só tem um algarismo S(S(S(50^50))) ≡ 3* (50^50) mod 9 50^50 ≡ 5^50 * 10^50 ≡ 5^50 mod 9 pois, 10 ≡ 1 mod9 5^50 ≡ (5^6)^8 * 5^2 ≡ 7 mod 9 (pois, 5^6 ≡ 1 mod 9) == S(S(S(50^50))) ≡ 3* 7 ≡ 3 mod9. Como 0= S(S(S(50^50))) 10 == == S(S(S(50^50))) = 3 (i) O número de algarismos y não nulos de 770^770 é gual ao número de algarismos de 77^770 y = [770* log (77)] + 1 == y = 1453 == S(770^770) = 13077 (9*1453) == S(S(770^770)) = 30 (1 + 2 + 9 + 9 + 9) == S(S(S(770^770))) = 11 (2+9) Se S(S(S(770^770))) possui dois algarismos 770^770 ≡ 1 mod 9 ou 770^770 ≡ 2 mod 9 770^770 ≡ 77^770 * 10^770 ≡ 77^770 mod 9 pois 10 ≡ 1 mod9 77^770 ≡ (77^6)^128 * 7^2 ≡ 4 mod9 (pois, 5^6 ≡ 1 mod 9) == S(S(S(770^770))) só possui um algarismo == 0= S(S(S(770^770))) 10 == S(S(S(770^770))) 3* 4 ≡ 3 mod9. Como 0= S(S(S(770^770)))10 == S(S(S(770^770))) = 3 (ii) (i) e (ii) == S(S(S(50^50))) = S(S(S(770^770))) Saudações, PJMS. Em 4 de setembro de 2014 21:25, Albert Bouskela bousk...@ymail.com escreveu: Olá! Pois é! Problemas (equações) que envolvem um determinado número (natural) e a soma dos algarismos que o compõem, geralmente, são resolvidos através da propriedade mencionada pelo Ralph: S(x) = x (mod. 9) Ou, o que dá no mesmo, mas as vezes pode ser mais útil: “x” e S(x) deixam o mesmo resto na divisão por 9. Exemplo: Mostre que a soma da soma da soma (3 vezes) dos algarismos de 50^50 e 770^770 são iguais. Albert Bouskelá bousk...@ymail.com *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em nome de *Ralph Teixeira *Enviada em:* quarta-feira, 3 de setembro de 2014 21:27 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Assunto:* [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema da Olimpíada de Matemática de Moscou Ah, eh verdade, dah para acelerar MUITO notando que: S(x) = x (mod 9) Entao x+S(x)+S(S(x)) = 3x (mod 9) Isto eh, x+S(x)+S(S(x)) eh sempre divisivel por 3 -- e portanto nunca pode ser 1993. Abraco, Ralph 2014-09-03 19:42 GMT-03:00 Mauricio de Araujo mauricio.de.ara...@gmail.com: não tem solução!! hehehe 2014-09-03 19:07 GMT-03:00 Albert Bouskela bousk...@ymail.com: Olá! A melhor solução é pelo “cheiro” 1) x1899 | 1899+S(1899)+SS(1899)=19351993 2) x1959 | 1959+S(1959)+SS(1959)=19891993 3) S≥16 (x=1960) e SS≥2 (S=20) 4) x=1993-16-2=1975 5) 1960=x=1975 6) Agora é no braço… 7) Mas há uma surpresa no final! Albert Bouskelá bousk...@ymail.com *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em nome de *Mauricio de Araujo *Enviada em:* quarta-feira, 3 de setembro de 2014 11:36 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Assunto:* [obm-l] Problema da Olimpíada de Matemática de Moscou Seja S(x) a soma dos dígitos de um inteiro positivo x. Resolver: x + S(x) + S(S(x)) = 1993. -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RES: [obm-l] Problema da Olimpiada de Matemática de Moscou
Olá! A melhor solução é pelo “cheiro” 1) x1899 | 1899+S(1899)+SS(1899)=19351993 2) x1959 | 1959+S(1959)+SS(1959)=19891993 3) S≥16 (x=1960) e SS≥2 (S=20) 4) x≤1993-16-2=1975 5) 1960≤x≤1975 6) Agora é no braço… 7) Mas há uma surpresa no final! _ Albert Bouskelá mailto:bousk...@ymail.com bousk...@ymail.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Mauricio de Araujo Enviada em: quarta-feira, 3 de setembro de 2014 11:36 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema da Olimpiada de Matemática de Moscou Seja S(x) a soma dos dígitos de um inteiro positivo x. Resolver: x + S(x) + S(S(x)) = 1993. -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�s e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema da Olimpiada de Matemática de Moscou
não tem solução!! hehehe 2014-09-03 19:07 GMT-03:00 Albert Bouskela bousk...@ymail.com: Olá! A melhor solução é pelo “cheiro” 1) x1899 | 1899+S(1899)+SS(1899)=19351993 2) x1959 | 1959+S(1959)+SS(1959)=19891993 3) S≥16 (x=1960) e SS≥2 (S=20) 4) x≤1993-16-2=1975 5) 1960≤x≤1975 6) Agora é no braço… 7) Mas há uma surpresa no final! -- *Albert Bouskelá* bousk...@ymail.com *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em nome de *Mauricio de Araujo *Enviada em:* quarta-feira, 3 de setembro de 2014 11:36 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Assunto:* [obm-l] Problema da Olimpiada de Matemática de Moscou Seja S(x) a soma dos dígitos de um inteiro positivo x. Resolver: x + S(x) + S(S(x)) = 1993. -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?s e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema da Olimpiada de Matemática de Moscou
Ah, eh verdade, dah para acelerar MUITO notando que: S(x) = x (mod 9) Entao x+S(x)+S(S(x)) = 3x (mod 9) Isto eh, x+S(x)+S(S(x)) eh sempre divisivel por 3 -- e portanto nunca pode ser 1993. Abraco, Ralph 2014-09-03 19:42 GMT-03:00 Mauricio de Araujo mauricio.de.ara...@gmail.com : não tem solução!! hehehe 2014-09-03 19:07 GMT-03:00 Albert Bouskela bousk...@ymail.com: Olá! A melhor solução é pelo “cheiro” 1) x1899 | 1899+S(1899)+SS(1899)=19351993 2) x1959 | 1959+S(1959)+SS(1959)=19891993 3) S≥16 (x=1960) e SS≥2 (S=20) 4) x≤1993-16-2=1975 5) 1960≤x≤1975 6) Agora é no braço… 7) Mas há uma surpresa no final! -- *Albert Bouskelá* bousk...@ymail.com *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em nome de *Mauricio de Araujo *Enviada em:* quarta-feira, 3 de setembro de 2014 11:36 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Assunto:* [obm-l] Problema da Olimpiada de Matemática de Moscou Seja S(x) a soma dos dígitos de um inteiro positivo x. Resolver: x + S(x) + S(S(x)) = 1993. -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?s e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
RES: [obm-l] Problema do Cavalo
OK Bernado. Vou dar uma olhada. Obrigado. Benedito -Mensagem original- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa Enviada em: terça-feira, 18 de fevereiro de 2014 18:00 Para: Lista de E-mails da OBM Assunto: Re: [obm-l] Problema do Cavalo 2014-02-18 14:30 GMT-03:00 Benedito bened...@ufrnet.br: É infinito nos quatro quadrantes, que é para permitir muitos movimentos. De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de terence thirteen Enviada em: segunda-feira, 17 de fevereiro de 2014 08:16 Para: obm-l Assunto: Re: [obm-l] Problema do Cavalo Ele é infinito nos quatro quadrantes? Eu tentaria algo como construir um grafo infinito, mas vou pensar antes... Eu tenho uma idéia de solução no braço. Supondo que a questão seja: Qual é o número de casas diferentes em que um cavalo pode terminar uma seqüência de N movimentos. Assim, para n = 1, temos 8 casas (brancas), e para n = 2 temos 33 casas (pretas, incluindo a casa preta original!). Para n maior, a seqüência fica assim (feito num computador, na marra): 8; 33; 76; 129; 196; 277; 372; 481; 604; 741; 892; 1057; 1236; 1429; ... Agora, vem o chute principal (que é o que vai ajudar a gente a fazer indução): Calcule as diferenças sucessivas dos elementos! Isso dá: 25; 43; 53; 67; 81; 95; 109; 123; 137; 151; 165; 179; 193; ... Ainda não parece bom ? Não tem problema... Mais uma vez, faça as diferenças: 18; 10; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; ... Ah ! Parece que é uma PA de segunda ordem, a partir de um certo ponto... Vamos entender essa idéia. No longo prazo, o cavalo vai se afastando do centro, e portanto ele pode cobrir uma área no máximo proporcional a N^2. Isso por si só já justifica tentar achar uma PA de segunda ordem. O que é interessante é que a parte perto do centro (depois do início, onde ainda há um monte de buracos meio aleatórios) estará completamente coberta depois de um certo tempo, e o que interessa é o que acontece nas coroas. Agora, tem que justificar que as coroas têm uma espessura constante depois de passada a parte transiente inicial. Como eu usei um computador, e posso calcular mais do que n = 10 (por exemplo n = 100) e os 14 continuam até esse ponto. Para mim, isso é mais do que suficiente para eu ter certeza que a resposta é essa, mas admito que falta um argumento garantindo que basta observar um número finito de passos para acertar a recorrência. Eu diria que, como um cavalo completa a vizinhança do ponto inicial (o 3x3 em volta da origem) em uma quantidade finita de passos (basta chegar na profundidade 3 do grafo do Torres) a recorrência não pode ser de ordem muito maior do que isso. Para melhorar, veja que a partir de 3 passos, o que temos é um octógono, TODO preenchido, dos quadrados brancos (que são os únicos em que o cavalo pode estar!). Daí pra frente, não é difícil ver que a cada etapa teremos um octógono com lado aumentando de 1 a cada vez. Veja também que a partir do 3o termo da segunda diferença, só tem 14. Não é coincidência. Agora, eu deixo a indução para você completar! Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = --- Este email está limpo de vírus e malwares porque a proteção do avast! Antivírus está ativa. http://www.avast.com -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RES: [obm-l] Problema do Cavalo
É infinito nos quatro quadrantes, que é para permitir muitos movimentos. De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de terence thirteen Enviada em: segunda-feira, 17 de fevereiro de 2014 08:16 Para: obm-l Assunto: Re: [obm-l] Problema do Cavalo Ele é infinito nos quatro quadrantes? Eu tentaria algo como construir um grafo infinito, mas vou pensar antes... Em 10 de fevereiro de 2014 09:11, Benedito bened...@ufrnet.br mailto:bened...@ufrnet.br escreveu: Estou tentando uma solução para o problema seguinte, usando Indução. Alguém pode me ajudar? Problema Num tabuleiro infinito, um cavalo (peça do jogo de xadrez) está situado na origem, digamos numa casa preta, e começa a se movimentar. No total, quantas casas possíveis o cavalo pode atingir depois de n movimentos? Nota - O movimento de um cavalo no jogo de xadrez é em forma de L (formado por 4 casas, a partir da casa em que se encontra) _ http://www.avast.com/ Este email está limpo de vírus e malwares porque a proteção do avast! Antivírus http://www.avast.com/ está ativa. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�s e acredita-se estar livre de perigo. --- Este email está limpo de vírus e malwares porque a proteção do avast! Antivírus está ativa. http://www.avast.com -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
RES: [obm-l] problema
Olá! Faça o gráfico das 2 funções [ f(x)=2^x; g(x)=x ] e você verá o que acontece _ Albert Bouskela mailto:bousk...@ymail.com bousk...@ymail.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de saulo nilson Enviada em: sexta-feira, 13 de dezembro de 2013 17:58 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] problema encontre todas as soluçoes de 2^x=x -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
RES: [obm-l] Problema 4 Cone Sul 1996
Se entendi seu argumento podemos trocar os primeiros 998 números pela média dos primeiros 998 números. O enunciado claramente não permite essa operação. Apenas um deles deve ser trocado pela média. Sem querer abusar da sua bondade, poderia esclarecer esse ponto. Abraço. Osmundo. -Mensagem original- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Carlos Yuzo Shine Enviada em: terça-feira, 30 de abril de 2013 13:11 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Problema 4 Cone Sul 1996 O erro foi supor que na situação anterior os números na sequência ficariam a,b,b,b,...,b. Poderia muito bem ser, digamos, 997/998, 1, 1995/1996, 1995/1996, ..., 1995/1996. Se você ainda quer pensar no problema, pare de ler aqui. Caso contrário, continue. O que você pode fazer para resolver o problema é fazer a média dos primeiros 998 números, obtendo 998 números iguais a 997/998 e depois fazer pares com 997/998 e 1 (fazendo a operação mais 998 vezes). Note que esse argumento funciona para qualquer número composto no lugar do 1996. E no caso em que trocamos 1996 por um primo p (um 0 e p-1 uns)? Aí não dá, porque no final o denominador tem que p (todo mundo teria que ser igual a (p-1)/p, já que a soma de todos nunca muda), e isso obrigaria a gente a, em algum momento, dividir tudo por p, o que não é possível. Mas e se a soma dos p números é múltiplo de p? Mais uma boa pergunta, não? []'s Shine From: EPVN barz...@dglnet.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, April 22, 2013 11:57 AM Subject: [obm-l] Problema 4 Cone Sul 1996 O enunciado é: A seqüência 0, 1, 1, 1, ... , 1 contém 1996 números, sendo o primeiro zero e todos os demais um. Se escolhem dois ou mais números da seqüência (mas não todos) e se sustitui um deles pela média aritmética dos números escolhidos, obtendo-se assim uma nova seqüência de 1996 números. Provar que, com a repetição desta operação, é possível obter uma seqüência na qual os 1996 números são iguais. NOTA: Não é necessário escolher a mesma quantidade de números em cada operação. Um colega apresentou a seguinte argumentação: Se essa operação levasse a uma seqüência com todos os números idênticos então no penúltimo estágio teríamos algo assim: a,b,b,b,..,b , com um único número diferente que deve ser tornado igual aos demais com mais um passo. Bem, se tomarmos p números b e mais o número a, obteremos o número (a + pb)/ (p + 1 ), igualando a b teríamos a=b. Parece que isso prova que esse penúltimo estágio nunca é atingido e, portanto, o último também não. Se algum colega puder nos ajudar a esclarecer a situação ficamos muito gratos. Um abraço. Osmundo Bragança. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RES: [obm-l] Problema 4 Cone Sul 1996
Então há, de fato, um erro na tradução. Isso, é claro, muda tudo. Agora vamos trabalhar com essa versão e mais as suas perguntas. Obrigado pela atenção. Osmundo Bragança -Mensagem original- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Carlos Yuzo Shine Enviada em: terça-feira, 30 de abril de 2013 16:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Problema 4 Cone Sul 1996 Ah, no enunciado original trocamos cada um deles pela média aritmética (talvez houve algum erro na hora de transcrever o problema para o site). Eu sei porque eu fui nessa Cone Sul, e exatamente por isso eu nem li o enunciado que foi enviado pela lista. A solução que postei foi a que dei na prova. []'s Shine - Original Message - From: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Sent: Tuesday, April 30, 2013 1:24 PM Subject: Re: [obm-l] Problema 4 Cone Sul 1996 Se escolhem dois ou mais números da seqüência (mas não todos) e se sustitui um deles pela média aritmética dos números escolhidos, obtendo-se assim uma nova seqüência de 1996 números. 2013/4/30 Carlos Yuzo Shine cysh...@yahoo.com: já que a soma de todos nunca muda Confesso que não entendi direito. Imagine que você escolhe os 4 primeiros números, 0, 1, 1, 1. Qual é o resultado da operação? Da forma como o enunciado parece indicar, isso DEPENDE de uma OUTRA escolha, a saber a do um deles a ser substituído por 3/4. Ou seja, podemos ficar com 3/4, 1, 1, 1; ou 0, 3/4, 1, 1 (ou uma permutação). O Shine parece argumentar que o resultado será 3/4, 3/4, 3/4, 3/4. Mas isso só seria o caso se estivesse escrito .. se substitui CADA UM deles ..., não? -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RES: [obm-l] Problema
A idéia é usar Cálculo (Coordenadas Polares). Mas, fazer na região descrita no problema eu acho mais interessante. Benedito De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de João Maldonado Enviada em: sexta-feira, 22 de março de 2013 17:13 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: RE: [obm-l] Problema Eu consegui fazer para o caso geral (M e Q pode estar em qualquer região do círculo, não apenas em regiões opostas determinadas por um diâmetro) E a resolução ficou bem feia também (tive que usar cálculo) *Sendo P1 um ponto a uma distância x fixa do centro do círculo, qual a probabilidade de escolhermos outro ponto no círculo tal que a distância entre P1 e P2 seja menor que um? Podemos tracejar um círculo de raio 1 em torno de P1. A intersecção desse círculo com o círculo original é a região dos pontos cuja a distância a P1 é 1. A área dessa região sobre a área do círculo simboliza a probabilidade de escolhermos outro ponto P2 no círculo tal que a distância entre P1 e P2 seja menor que um. A área pode ser facilmente calculada por matemática básica A/Atotal = 1/Pi (2 ArcCos[x/2] - x sqrt (1- (x/2)²)) O peso dessa probabilidade é proporcional à área que ela ocupa (temos muito mais pontos a uma distância 1 do que a uma distância 1/2 por exemplo) O peso vale 2 Pi x dx/Pi = 2 x dx Integrando de 0 a 1 P = Integral[ 2 x dx/Pi (2 ArcCos[x/2] - x sqrt (1- (x/2)²))] de 0 a 1 P = 58.6% []'s João _ From: bened...@ufrnet.br mailto:bened...@ufrnet.br To: obm-l@mat.puc-rio.br mailto:obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Problema Date: Fri, 22 Mar 2013 05:16:50 -0300 Problema Dois pontos, M e Q, são escolhidos aleatoriamente num disco unitário, mas em regiões opostas, determinadas por um diâmetro AB. Qual é a probabilidade de que a distância entre M e Q seja menor do que 1?
Re: RES: [obm-l] problema
Obrigado, grande mestre! A coisa é, de fato, violenta. Um abraço! Grego De: Albert Bouskela bousk...@msn.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 16 de Fevereiro de 2013 0:54 Assunto: RES: [obm-l] problema Olá! Este é um problema da Teoria dos Números bastante conhecido. Acredito (a confirmar!) que não exista uma solução analítica – o jeito é fazer “no braço” (“brute force”). Bem, na Internet, encontrei a solução abaixo (bastante “arrumadinha”): – http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=6370 Bonjour, Je n'ai trouvé qu'une méthode empirique et dichotomique aboutissant à 14 solutions. Supposons 1 a ≤ b ≤ c ≤ d. Alors 1/a + 1/b + 1/c + 1/d ≤ 4/a donc 1 ≤ 4/a donc a ≤ 4 (et a 1). D'où 3 cas à analyser : a=4, a=3 et a=2. 1) a = 4 Alors 1/4 + 1/b + 1/c + 1/d = 1 ≤ 1/4 + 3/b donc 3/4 ≤ 3/b donc b ≤ 4. Et comme b ≥ a, on voit que b=4. De la même façon c=4 et d=4. Solution1 : 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1 2) a = 3 Alors 1/3 + 1/b + 1/c + 1/d = 1 ≤ 1/3 + 3/b donc 2/3 ≤ 3/b donc b ≤ 9/2. Et comme b ≥ a, on voit que b=4 ou b=3. 2a) b = 4 Alors 1/3 + 1/4 + 1/c + 1/d = 7/12 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 7/12 + 2/c donc 5/12 ≤ 2/c donc c ≤ 24/5. Et comme c ≥ b, on voit que c=4 Solution2 : 1/3 + 1/4 + 1/4 + 1/6 = 1 2b) b = 3 Alors 1/3 + 1/3 + 1/c + 1/d = 2/3 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 2/3 + 2/c donc 1/3 ≤ 2/c donc c ≤ 6. Et comme c ≥ b, on voit que c=3, c=4, c=5 ou c=6. Solution3 : 1/3 + 1/3 + 1/4 + 1/12 = 1 Solution4 : 1/3 + 1/3 + 1/6 + 1/6 = 1 3) a = 2 Alors 1/2 + 1/b + 1/c + 1/d = 1 ≤ 1/2 + 3/b donc 1/2 ≤ 3/b donc b ≤ 6. Et comme b ≥ a, on voit que b=6, b=5, b=4 ou b=3 (b=2 ne marche pas). 3a) b = 6 Alors 1/2 + 1/6 + 1/c + 1/d = 2/3 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 2/3 + 2/c donc 1/3 ≤ 2/c donc c ≤ 6. Et comme c ≥ b, on voit que c=6 et par suite que d=6. Solution5 : 1/2 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1 3b) b = 5 Alors 1/2 + 1/5 + 1/c + 1/d = 7/10 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 7/10 + 2/c donc 3/10 ≤ 2/c donc c ≤ 20/3. Et comme c ≥ b, on voit que c=5 ou c=6. Si c=5, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/5 - 1/5 = 1/10 Solution6 : 1/2 + 1/5 + 1/5 + 1/10 = 1 Si c= 6, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/5 - 1/6 = 4/30 = 2/15 non réductible 3c) b = 4 Alors 1/2 + 1/4 + 1/c + 1/d = 3/4 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 3/4 + 2/c donc 1/4 ≤ 2/c donc c ≤ 8. Et comme c ≥ b, on voit que c=8, c=7, c=6 ou c=5 (c=4 ne marche pas). Si c=8, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/8 = 1/8 Solution7 : 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8 = 1 Si c=7, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/7 = 3/28 non réductible Si c=6, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/6 = 1/12 Solution8 : 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12 = 1 Si c=5, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/5 = 1/20 Solution9 : 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/20 = 1 3d) b = 3 Alors 1/2 + 1/3 + 1/c + 1/d = 5/6 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 5/6 + 2/c donc 1/6 ≤ 2/c donc c ≤ 12. Et comme 1/2 + 1/3 + 1/c 1 donc 1/c 1/6 donc c 6, on voit que c=12, c= 11, c=10, c= 9, c=8 ou c=7. Si c=12, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/12 = 1/12 Solution10 : 1/2 + 1/3 + 1/12 + 1/12 = 1 Si c=11, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/11 = 5/66 non réductible Si c=10, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/10 = 2/30 = 1/15 Solution11 : 1/2 + 1/3 + 1/10 + 1/15 = 1 Si c=9, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/9 = 1/18 Solution12 : 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/18 = 1 Si c=8, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/8 = 1/24 Solution13 : 1/2 + 1/3 + 1/8 + 1/24 = 1 Si c=7, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/7 = 1/42 Solution14 : 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42 = 1 FIN de la démonstration *** ouf... *** J'ai tellement besoin de temps pour ne rien faire, qu'il ne m'en reste plus assez pour travailler. Albert Bouskela bousk...@msn.com De:owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de grego Enviada em: sexta-feira, 15 de fevereiro de 2013 22:31 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] problema Olá, companheiros! Um aluno me perguntou o seguinte: a =b=c=d 1/a+1/b+1/c+1/d=1 Quantas quádruplas ordenadas (a, b, c, d) de naturais satisfazem a igualdade? Um abraço! Grego
RES: [obm-l] problema
Olá! Este é um problema da Teoria dos Números bastante conhecido. Acredito (a confirmar!) que não exista uma solução analítica – o jeito é fazer “no braço” (“brute force”). Bem, na Internet, encontrei a solução abaixo (bastante “arrumadinha”): – http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=6370 Bonjour, Je n'ai trouvé qu'une méthode empirique et dichotomique aboutissant à 14 solutions. Supposons 1 a ≤ b ≤ c ≤ d. Alors 1/a + 1/b + 1/c + 1/d ≤ 4/a donc 1 ≤ 4/a donc a ≤ 4 (et a 1). D'où 3 cas à analyser : a=4, a=3 et a=2. 1) a = 4 Alors 1/4 + 1/b + 1/c + 1/d = 1 ≤ 1/4 + 3/b donc 3/4 ≤ 3/b donc b ≤ 4. Et comme b ≥ a, on voit que b=4. De la même façon c=4 et d=4. Solution1 : 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1 2) a = 3 Alors 1/3 + 1/b + 1/c + 1/d = 1 ≤ 1/3 + 3/b donc 2/3 ≤ 3/b donc b ≤ 9/2. Et comme b ≥ a, on voit que b=4 ou b=3. 2a) b = 4 Alors 1/3 + 1/4 + 1/c + 1/d = 7/12 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 7/12 + 2/c donc 5/12 ≤ 2/c donc c ≤ 24/5. Et comme c ≥ b, on voit que c=4 Solution2 : 1/3 + 1/4 + 1/4 + 1/6 = 1 2b) b = 3 Alors 1/3 + 1/3 + 1/c + 1/d = 2/3 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 2/3 + 2/c donc 1/3 ≤ 2/c donc c ≤ 6. Et comme c ≥ b, on voit que c=3, c=4, c=5 ou c=6. Solution3 : 1/3 + 1/3 + 1/4 + 1/12 = 1 Solution4 : 1/3 + 1/3 + 1/6 + 1/6 = 1 3) a = 2 Alors 1/2 + 1/b + 1/c + 1/d = 1 ≤ 1/2 + 3/b donc 1/2 ≤ 3/b donc b ≤ 6. Et comme b ≥ a, on voit que b=6, b=5, b=4 ou b=3 (b=2 ne marche pas). 3a) b = 6 Alors 1/2 + 1/6 + 1/c + 1/d = 2/3 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 2/3 + 2/c donc 1/3 ≤ 2/c donc c ≤ 6. Et comme c ≥ b, on voit que c=6 et par suite que d=6. Solution5 : 1/2 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1 3b) b = 5 Alors 1/2 + 1/5 + 1/c + 1/d = 7/10 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 7/10 + 2/c donc 3/10 ≤ 2/c donc c ≤ 20/3. Et comme c ≥ b, on voit que c=5 ou c=6. Si c=5, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/5 - 1/5 = 1/10 Solution6 : 1/2 + 1/5 + 1/5 + 1/10 = 1 Si c= 6, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/5 - 1/6 = 4/30 = 2/15 non réductible 3c) b = 4 Alors 1/2 + 1/4 + 1/c + 1/d = 3/4 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 3/4 + 2/c donc 1/4 ≤ 2/c donc c ≤ 8. Et comme c ≥ b, on voit que c=8, c=7, c=6 ou c=5 (c=4 ne marche pas). Si c=8, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/8 = 1/8 Solution7 : 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8 = 1 Si c=7, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/7 = 3/28 non réductible Si c=6, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/6 = 1/12 Solution8 : 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12 = 1 Si c=5, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/5 = 1/20 Solution9 : 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/20 = 1 3d) b = 3 Alors 1/2 + 1/3 + 1/c + 1/d = 5/6 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 5/6 + 2/c donc 1/6 ≤ 2/c donc c ≤ 12. Et comme 1/2 + 1/3 + 1/c 1 donc 1/c 1/6 donc c 6, on voit que c=12, c= 11, c=10, c= 9, c=8 ou c=7. Si c=12, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/12 = 1/12 Solution10 : 1/2 + 1/3 + 1/12 + 1/12 = 1 Si c=11, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/11 = 5/66 non réductible Si c=10, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/10 = 2/30 = 1/15 Solution11 : 1/2 + 1/3 + 1/10 + 1/15 = 1 Si c=9, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/9 = 1/18 Solution12 : 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/18 = 1 Si c=8, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/8 = 1/24 Solution13 : 1/2 + 1/3 + 1/8 + 1/24 = 1 Si c=7, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/7 = 1/42 Solution14 : 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42 = 1 FIN de la démonstration *** ouf... *** _ J'ai tellement besoin de temps pour ne rien faire, qu'il ne m'en reste plus assez pour travailler. _ Albert Bouskela mailto:bousk...@msn.com bousk...@msn.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de grego Enviada em: sexta-feira, 15 de fevereiro de 2013 22:31 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] problema Olá, companheiros! Um aluno me perguntou o seguinte: a =b=c=d 1/a+1/b+1/c+1/d=1 Quantas quádruplas ordenadas (a, b, c, d) de naturais satisfazem a igualdade? Um abraço! Grego
Res: [obm-l] Problema
usa soma de uma pa que deve sair a resposta De: Paulo Barclay Ribeiro paulobarc...@yahoo.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 24 de Setembro de 2009 13:54:40 Assunto: [obm-l] Problema Prezados, Peço uma ajuda (orientação)na resolução do seguinte problema: Qual o valor da soma de todos os numeros naturais de três algarismos? Desde já agradeço a gentileza Paulo Barclay Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Res: Res: [obm-l] problema interessante!!!
Bom, então vamos lá: Fazendo o desenho e construindo o triangulo equilátero auxiliar que te falei vamos precisar provar que AD=BE. Mas ai é simples pois sendo P a instersecção da circunferência circunscrita aos triangulos BCD e ACE, então D^MC=60º, A^PC=120º, vemos que P está em BE e de também em AD. Agora aplica-se ptlomeu nos respectivos quadriláteros APCE, BPCD temos as seguintes relações:PE=AP+CP, PD= PB+PC, temos que: AD=AP+CP+PB=AE. Agora apliquemos o lei dos cossenos no triangulo ABE, BE^2=AB^2+AE^2+AB*AE*3^1/2, como AD=AE, de forma análoga AE=AC. Temos: AD^2=AB^2+AC^2+AB*AC*3^1/2 De: Márcio Pinheiro profmar...@yahoo.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009 12:33:47 Assunto: Re: Res: [obm-l] problema interessante!!! De nada. Fiquei curioso quanto à tua solução por Ptolomeu. Qual é o ponto P? Valeu, Cleuber. --- Em qui, 30/4/09, Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br escreveu: De: Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br Assunto: Res: [obm-l] problema interessante!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: cleubersa...@yahoo.com.br Data: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009, 10:18 Valeu Márcio!!. Quando eu peguei esse problema a princípio eu tratei o problema de uma forma parecida com a tua. Mas ontem eu percebi que se construíssemos um triangulo equilátero auxiliar ACE e depois ptlolomeu no quadriátero APCE e BPCD. E so no final usa-se a lei dos cossenos pra terminar. Obrigado De: Márcio Pinheiro profmar...@yahoo.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009 8:39:51 Assunto: Re: [obm-l] problema interessante!!! A idéia inicial pode ser expressar AD em função de AB = c e de AC = b (essa é a parte realmente enfadonha). Um caminho (não acessível a quem ainda não tem conhecimentos razoáveis de números complexos) é adotar um plano de Argand-Gauss em que A é a origem e os eixos contêm os catetos. Em um tal plano, sejam A (0, 0), B (0, c) e C (b, 0), por exemplo. O vetor CB pode ser obtido por meio de uma rotação do vetor CD de pi/3 em torno de C. Lembrando que o vetor PQ, com P (m, n) e Q (p, q), pode ser associado biunivocamente tanto a P - Q (m - p, n - q) quanto ao complexo (m - p) + (n - q)i, i^2 = -1, conclui-se que: (vetor CD)*(cospi/3 + isenpi/3) = (vetor CB), o que equivale a [(x - b) + iy]*[(1/2) + i(sqrt3)/2] = - b + ci, sendo D (x, y). Da igualdade das partes real e imaginária, impõe-se que x = (b + csqrt3)/2 e y = (c + bsqrt3)/2 (espero não ter errado as contas, feitas de cabeça :D). Finalmente, obtém-se que AD^2 = b^2 + c^2 + bcsqrt3, através da distância entre os pontos A e D. Supondo que b e c sejam racionais, conclui-se que b^2, c^2 e bc também o são. Logo AD^2 seria irracional. Mas, caso AD fosse racional, AD^2 deveria acompanhar essa racionalidade. Por conseguinte, AD não pode ser, também, racional. É possível obter AD por caminhos sintéticos, usando a Lei dos Cossenos, por exemplo, nos triângulos ABD e ACD, juntamente com mais alguma trigonometria. Entretanto, aí sim a solução fica bem mais bizarra... Espero ter contribuído. Márcio Pinheiro. --- Em qua, 29/4/09, Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br escreveu: De: Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] problema interessante!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: cleubersa...@yahoo.com.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 16:06 Bom, amigos da lista estou pensando nesse problema a alguns dias, no entanto a forma como o fiz é bastante enfadonha.1.Let ABC be a right triangle (∠A = 90◦). On the hypotenuse BC constructBCD. Prove that the lengths of the segments AB,AC, and AD cannot all be rational. donha. Obrigado desde já. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes in the exterior the equilateral triangle Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: Res: [obm-l] problema interessante!!!
De nada. Fiquei curioso quanto à tua solução por Ptolomeu. Qual é o ponto P? Valeu, Cleuber. --- Em qui, 30/4/09, Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br escreveu: De: Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br Assunto: Res: [obm-l] problema interessante!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: cleubersa...@yahoo.com.br Data: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009, 10:18 Valeu Márcio!!. Quando eu peguei esse problema a princípio eu tratei o problema de uma forma parecida com a tua. Mas ontem eu percebi que se construíssemos um triangulo equilátero auxiliar ACE e depois ptlolomeu no quadriátero APCE e BPCD. E so no final usa-se a lei dos cossenos pra terminar. Obrigado De: Márcio Pinheiro profmar...@yahoo.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009 8:39:51 Assunto: Re: [obm-l] problema interessante!!! A idéia inicial pode ser expressar AD em função de AB = c e de AC = b (essa é a parte realmente enfadonha). Um caminho (não acessível a quem ainda não tem conhecimentos razoáveis de números complexos) é adotar um plano de Argand-Gauss em que A é a origem e os eixos contêm os catetos. Em um tal plano, sejam A (0, 0), B (0, c) e C (b, 0), por exemplo. O vetor CB pode ser obtido por meio de uma rotação do vetor CD de pi/3 em torno de C. Lembrando que o vetor PQ, com P (m, n) e Q (p, q), pode ser associado biunivocamente tanto a P - Q (m - p, n - q) quanto ao complexo (m - p) + (n - q)i, i^2 = -1, conclui-se que: (vetor CD)*(cospi/3 + isenpi/3) = (vetor CB), o que equivale a [(x - b) + iy]*[(1/2) + i(sqrt3)/2] = - b + ci, sendo D (x, y). Da igualdade das partes real e imaginária, impõe-se que x = (b + csqrt3)/2 e y = (c + bsqrt3)/2 (espero não ter errado as contas, feitas de cabeça :D). Finalmente, obtém-se que AD^2 = b^2 + c^2 + bcsqrt3, através da distância entre os pontos A e D. Supondo que b e c sejam racionais, conclui-se que b^2, c^2 e bc também o são. Logo AD^2 seria irracional. Mas, caso AD fosse racional, AD^2 deveria acompanhar essa racionalidade. Por conseguinte, AD não pode ser, também, racional. É possível obter AD por caminhos sintéticos, usando a Lei dos Cossenos, por exemplo, nos triângulos ABD e ACD, juntamente com mais alguma trigonometria. Entretanto, aí sim a solução fica bem mais bizarra... Espero ter contribuído. Márcio Pinheiro. --- Em qua, 29/4/09, Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br escreveu: De: Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] problema interessante!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: cleubersa...@yahoo.com.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 16:06 Bom, amigos da lista estou pensando nesse problema a alguns dias, no entanto a forma como o fiz é bastante enfadonha. 1.Let ABC be a right triangle (∠A = 90◦). On the hypotenuse BC construct in the exterior the equilateral triangle BCD. Prove that the lengths of the segments AB, AC, and AD cannot all be rational.donha. Obrigado desde já. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Res: Res: [obm-l] problema interessante!!!
Então, vamos lá: Fazendo o desenho e que te disse e a construção auxiliar do triangulo equilátero ACE. Vamos usar um colorário. COLORÁRIO: BE=AD DEMONSTRAÇÃO: Sendo P a intersecção da circunferência circunscrita aos respectivos triangulos ACE e BCD. Logo D^PC=pi/3 e A^MC=2pi/3. Então P está em AD, e de forma análoga P está em BE. Finalmente aplicando Ptolomeu!!!quadriláteros BPCD e APCE temos as relações PE=AP +PC, PD=PB+PC. Logo AD=PM+PB+PC=BE cqd. Em ABE aplica-se lei dos cossenos BE^2= AB^2+AE^2 +AE*AB*3^1/2. No entanto, BE=AD, AE=AC. Então: AD^2=AB^2+AC^2+AB.AC*3^1/2 cqd. Bom cheguei no mesmo resultado que vc obteve praticament. É um bom problema, enfim!!! De: Márcio Pinheiro profmar...@yahoo.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009 12:33:47 Assunto: Re: Res: [obm-l] problema interessante!!! De nada. Fiquei curioso quanto à tua solução por Ptolomeu. Qual é o ponto P? Valeu, Cleuber. --- Em qui, 30/4/09, Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br escreveu: De: Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br Assunto: Res: [obm-l] problema interessante!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: cleubersa...@yahoo.com.br Data: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009, 10:18 Valeu Márcio!!. Quando eu peguei esse problema a princípio eu tratei o problema de uma forma parecida com a tua. Mas ontem eu percebi que se construíssemos um triangulo equilátero auxiliar ACE e depois ptlolomeu no quadriátero APCE e BPCD. E so no final usa-se a lei dos cossenos pra terminar. Obrigado De: Márcio Pinheiro profmar...@yahoo.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009 8:39:51 Assunto: Re: [obm-l] problema interessante!!! A idéia inicial pode ser expressar AD em função de AB = c e de AC = b (essa é a parte realmente enfadonha). Um caminho (não acessível a quem ainda não tem conhecimentos razoáveis de números complexos) é adotar um plano de Argand-Gauss em que A é a origem e os eixos contêm os catetos. Em um tal plano, sejam A (0, 0), B (0, c) e C (b, 0), por exemplo. O vetor CB pode ser obtido por meio de uma rotação do vetor CD de pi/3 em torno de C. Lembrando que o vetor PQ, com P (m, n) e Q (p, q), pode ser associado biunivocamente tanto a P - Q (m - p, n - q) quanto ao complexo (m - p) + (n - q)i, i^2 = -1, conclui-se que: (vetor CD)*(cospi/3 + isenpi/3) = (vetor CB), o que equivale a [(x - b) + iy]*[(1/2) + i(sqrt3)/2] = - b + ci, sendo D (x, y). Da igualdade das partes real e imaginária, impõe-se que x = (b + csqrt3)/2 e y = (c + bsqrt3)/2 (espero não ter errado as contas, feitas de cabeça :D). Finalmente, obtém-se que AD^2 = b^2 + c^2 + bcsqrt3, através da distância entre os pontos A e D. Supondo que b e c sejam racionais, conclui-se que b^2, c^2 e bc também o são. Logo AD^2 seria irracional. Mas, caso AD fosse racional, AD^2 deveria acompanhar essa racionalidade. Por conseguinte, AD não pode ser, também, racional. É possível obter AD por caminhos sintéticos, usando a Lei dos Cossenos, por exemplo, nos triângulos ABD e ACD, juntamente com mais alguma trigonometria. Entretanto, aí sim a solução fica bem mais bizarra... Espero ter contribuído. Márcio Pinheiro. --- Em qua, 29/4/09, Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br escreveu: De: Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com..br Assunto: [obm-l] problema interessante!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: cleubersa...@yahoo.com.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 16:06 Bom, amigos da lista estou pensando nesse problema a alguns dias, no entanto a forma como o fiz é bastante enfadonha.1.Let ABC be a right triangle (∠A = 90◦). On the hypotenuse BC constructBCD. Prove that the lengths of the segments AB,AC, and AD cannot all be rational. donha. Obrigado desde já. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes in the exterior the equilateral triangle Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Res: [obm-l] problema interessante!!!
Valeu Márcio!!. Quando eu peguei esse problema a princípio eu tratei o problema de uma forma parecida com a tua. Mas ontem eu percebi que se construíssemos um triangulo equilátero auxiliar ACE e depois ptlolomeu no quadriátero APCE e BPCD. E so no final usa-se a lei dos cossenos pra terminar. Obrigado De: Márcio Pinheiro profmar...@yahoo.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009 8:39:51 Assunto: Re: [obm-l] problema interessante!!! A idéia inicial pode ser expressar AD em função de AB = c e de AC = b (essa é a parte realmente enfadonha). Um caminho (não acessível a quem ainda não tem conhecimentos razoáveis de números complexos) é adotar um plano de Argand-Gauss em que A é a origem e os eixos contêm os catetos. Em um tal plano, sejam A (0, 0), B (0, c) e C (b, 0), por exemplo. O vetor CB pode ser obtido por meio de uma rotação do vetor CD de pi/3 em torno de C. Lembrando que o vetor PQ, com P (m, n) e Q (p, q), pode ser associado biunivocamente tanto a P - Q (m - p, n - q) quanto ao complexo (m - p) + (n - q)i, i^2 = -1, conclui-se que: (vetor CD)*(cospi/3 + isenpi/3) = (vetor CB), o que equivale a [(x - b) + iy]*[(1/2) + i(sqrt3)/2] = - b + ci, sendo D (x, y). Da igualdade das partes real e imaginária, impõe-se que x = (b + csqrt3)/2 e y = (c + bsqrt3)/2 (espero não ter errado as contas, feitas de cabeça :D). Finalmente, obtém-se que AD^2 = b^2 + c^2 + bcsqrt3, através da distância entre os pontos A e D. Supondo que b e c sejam racionais, conclui-se que b^2, c^2 e bc também o são. Logo AD^2 seria irracional. Mas, caso AD fosse racional, AD^2 deveria acompanhar essa racionalidade. Por conseguinte, AD não pode ser, também, racional. É possível obter AD por caminhos sintéticos, usando a Lei dos Cossenos, por exemplo, nos triângulos ABD e ACD, juntamente com mais alguma trigonometria. Entretanto, aí sim a solução fica bem mais bizarra... Espero ter contribuído. Márcio Pinheiro. --- Em qua, 29/4/09, Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br escreveu: De: Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] problema interessante!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: cleubersa...@yahoo.com.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 16:06 Bom, amigos da lista estou pensando nesse problema a alguns dias, no entanto a forma como o fiz é bastante enfadonha.1.Let ABC be a right triangle (∠A = 90◦). On the hypotenuse BC constructBCD. Prove that the lengths of the segments AB,AC, and AD cannot all be rational.donha. Obrigado desde já. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes in the exterior the equilateral triangle Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
RES: [obm-l] problema análise
-Mensagem original- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br]em nome de Murilo Krell Enviada em: quarta-feira, 7 de janeiro de 2009 17:10 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] problema análise Prezados amigos, poderiam me ajudar com esses problemas? a) Se uma sequência é monótona tem uma subsequência convergente, prove que a sequência é, ela própria convergente. Sejam x_n uma sequencia monotona crescente e x_n_k uma subsequencia convergente de x_n. Por ser convergente, x_n_k é limitada, havendo assim M 0 tal que x_n_k M para todo k =1,2,3. Pela definicao de subsequencia, para todo n existe k tal que n_k n. Como x_n eh monotona crescente, temos então que x_n = x_n_k M, do que deduzimos que x_n, alem de monotona crescente, eh limitada superiormente por M. Logo, x_n eh convergente. Se x_n for monotona decrescente, o raciocinio eh similar. b) A fim de que o número real a seja valor de aderência de (xn) é necessário e suficiente, que, para todo eps0 e todo k pertencente a N dados, exista nk tal que o modulo de xn-aeps Suponhamos que a seja ponto de aderencia de x_n. Existe, entao, uma subsequencia x_n_i de x_n que converge para a. Para todo eps 0, temos entao que, com possivel excecao de um numero finito de termos, a bola aberta de centro em a e raio eps contem todos os termos de x_n_i. Para todo k de N, existe entao, pela definicao de subsequencia, i pertencente a N tal que n_i k e x_n_i esta na citada bola. Fazendo-se n = n_i, obtemos n k tal que |x_n - a| eps. Suponhamos agora, por outro lado, que, para todo eps0 e todo k pertencente a N dados, exista n tal que |x_n - a| eps. Fazendo-se eps = 1/1 e k = 1, obtemos n_1 1 tal que |x_n_1 - a| 1. De forma indutiva, suponhamos que, para algum i de N, existam n_1 n_2n_i tais que |x_n_1 - a| 1, |x_n_2 - a| 1/2...|x_n_i - a| 1/i. Fazendo-se k = n_i e eps = 1/(i +1), obtemos n_(i + 1) n_i tal que |x_n_(i + 1) - a| eps. Com isto, construimos uma subsequencia x_n_i de x_n tal que, para todo i, |x_n_i - a| 1/i. Como 1/i - 0, x_n_i - a. Concluimos, assim, que a eh ponto de aderencia de x_n. Artur Problemas do livro de análise do Elon desde já agradeço imensamente a ajuda, abraços, Jhonata
RES: [obm-l] Problema - Campeonato Paulista
Pessoal, muito obrigada pela ajuda!
Um abraço.
From: *Dória* [EMAIL PROTECTED]
Date: 2008/8/21
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Olá!
Podem me ajudar nesse exercício, por favor?
No Campeonato Paulista de Futebol, participam 20 clubes. Se todas as equipes
jogam entre si uma única vez, qual o total de partidas deste campeonato?
[ ]'s
--
From: *Fernando Lima Gama Junior* [EMAIL PROTECTED]
Date: 2008/8/21
To: obm-l@mat.puc-rio.br
20*19/2 = 190
2008/8/21 Dória [EMAIL PROTECTED]
--
From: *Dória* [EMAIL PROTECTED]
Date: 2008/8/21
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Quando faço 20*19 o que eu encontro?
Obrigada.
2008/8/21 Fernando Lima Gama Junior [EMAIL PROTECTED]
--
From: *Iuri* [EMAIL PROTECTED]
Date: 2008/8/21
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Na primeira escolha vc tem 20 times pra escolher. Na segunda, tem 19, já que
um deles foi escolhido anteriormente. Como escolher primeiro o time A e
depois o time B ou primeiro escolher o time B e depois o time A são a mesma
coisa, vc divide o resultado por 2.
--
From: *Fernando Lima Gama Junior* [EMAIL PROTECTED]
Date: 2008/8/21
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Encontra todas as combinações, importando a ordem. Assim, tem que X - Y é
diferente de Y - X. Quando se divide por 2, tem-se apenas uma combinação.
Ou seja, para a primeira opção, temos 20 times. Para a segunda, 19. Assim,
haveria 380 jogos (20x19) se os jogos fossem de ida e de volta. Como é
apenas uma partida entre cada time, temos q diviidr por 2.
Abraços,
--
From: *João Luís* [EMAIL PROTECTED]
Date: 2008/8/21
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Veja, Dória, se são 20 clubes, cada um joga 19 vezes, certo? Então seriam
20*19 jogos!
Seriam, porque, fazendo a conta desse modo cada jogo foi contado duas vezes;
para corrigir isso, divid-se o total por 2: 20*19/2, 190 jogos.
Compreendeu?
Um abraço,
João Luís
--
From: *Bruno França dos Reis* [EMAIL PROTECTED]
Date: 2008/8/21
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Vc encontra 380.
Brincadeira, não resisti.
Esse 20*19 é o que chamamos de *arranjo*.
A(n, r) = arranjos de n elementos, tomados r a r = n! / (n - r)!
O número A(n, r) é a quantidade de r-uplas (ordenadas) distintas que podemos
formar a partir dos elementos de um conjunto de n elementos.
No nosso caso, n = 20, r = 2. Então esse é o número de *pares ordenados* que
podemos formar a partir dos 20 elementos (clubes).
A divisão por 2 é para desconsiderarmos pares que difiram apenas na ordem de
seus elementos, o que nos leva a outro conceito importante, o de *
combinações*.
C(n, r) = combinações de n elementos, tomados r a r = n! / (r! (n-r)!)
Esse número é a quantidade de subconjuntos de tamanho r que podemos formar a
partir dos elementos de um *conjunto *de tamanho n. A diferença sutil é que
antes fazíamos r-uplas, nas quais a ordem é importante ( (A, B) é diferente
de (B, A)), e agora fazemos conjuntos, objeto no qual não importa a ordem (
{A, B} é o mesmo que {B, A} ).
Abraço
Bruno
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
msn: [EMAIL PROTECTED]
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16
e^(pi*i)+1=0
Res: [obm-l] Problema das Vigas
Não, pois os ângulos inferiores, na figura, são retos. - Mensagem original De: Joao Victor Brasil [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 6 de Março de 2008 15:46:26 Assunto: Re: [obm-l] Problema das Vigas AB=CD??? On 3/6/08, Eduardo Estrada [EMAIL PROTECTED] wrote:Olá, Alguém conhece uma solução simples para o Problema das Vigas? Consiste no seguinte: Imagine a seguinte figura: || A || || || || D || || |__| B C AC = 30 m, BD = 20 m, AC e BD interceptam-se em P, que dista 8 m de BC. Pede-se, calcular o tamanho de BC. Aparentemente simples, para resolver este problema, caímos numa equação de grau maior do que 2. Então, a pergunta, existe alguma solução simples? Um abraço, Eduardo Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
RES: [obm-l] problema de cálculo
Não entendi este enunciado. |p| eh o valor absoluto do vetor, nao um vetor de R^n. Nao estou vendo sentindo Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Francisco Enviada em: sexta-feira, 18 de janeiro de 2008 15:47 Para: Lista de discursão Assunto: [obm-l] problema de cálculo Olá Pessoal! Alguém pode me ajudar no problema abaixo? Não parece difícil, mas não consigo o truque!!! Problema: Seja f: IR^n -- IR diferenciável não constante. Dado c 0, mostre que existe p em IR^n tal que |p| = c e p é paralelo ao gradiente de f em p. Obrigado desde já, Francisco. PS.: Aliás, não consigo nenhuma possível interpretação (geométrica) para o enunciado! _ Veja mapas e encontre as melhores rotas para fugir do trânsito com o Live Search Maps! Experimente já!http://www.livemaps.com.br/index.aspx?tr=true
RE: RES: [obm-l] problema de cálculo
Olá Artur. Acho que realmente escrevi errado, o problema é que existe alguns livros de cálculo que escreve para norma de um vetor simplesmente |.| |p| = ||p|| , ou seja, |p| significa norma de do vetor p. Francisco From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Date: Mon, 21 Jan 2008 09:44:11 -0200 Subject: RES: [obm-l] problema de cálculo Não entendi este enunciado. |p| eh o valor absoluto do vetor, nao um vetor de R^n. Nao estou vendo sentindo Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Francisco Enviada em: sexta-feira, 18 de janeiro de 2008 15:47 Para: Lista de discursão Assunto: [obm-l] problema de cálculo Olá Pessoal! Alguém pode me ajudar no problema abaixo? Não parece difícil, mas não consigo o truque!!! Problema: Seja f: IR^n -- IR diferenciável não constante. Dado c 0, mostre que existe p em IR^n tal que |p| = c e p é paralelo ao gradiente de f em p. Obrigado desde já, Francisco. PS.: Aliás, não consigo nenhuma possível interpretação (geométrica) para o enunciado! Veja mapas e encontre as melhores rotas para fugir do trânsito com o Live Search Maps! Experimente já! _ Confira vídeos com notícias do NY Times, gols direto do Lance, videocassetadas e muito mais no MSN Video! http://video.msn.com/?mkt=pt-br
RES: RES: [obm-l] Problema com polinômios
Eh, tem toda a razao, pode haver outras raizes. Obrigado pela correcao. Mas creio que dah para aproveitar o raciocinio anterior. Temos que Q(x) = (x -a)(x - b)(x -c)(x - d).T(x). O polinomio (x -a)(x - b)(x -c)(x - d) eh monico e tem coeficientes inteiros. Como Q tem tambem coeficientes inteiros e eh monico, o algoritmo da divisao de polinomios implica que T seja monico e tenha coeficiente inteiros. Se p(k) = 8 para algum inteiro k, entao Q(k) = 3 e 3 = (k -a)(k - b)(k -c)(k - d) T(k) Como T(k) eh inteiro, vemos que 3 eh dado por um produto de 5 inteiros, dos quais 4 sao distintos 2 a 2. Isto implica que 3 tenha pelo menos 4 divisores, contrariando o fato de que 3 eh primo. Agora estah certo, nao estah? Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Carlos Nehab Enviada em: segunda-feira, 14 de janeiro de 2008 19:20 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: RES: [obm-l] Problema com polinômios Oi, Arthur, Acho que podem existir outras raízes e, como conseqüência, Q(x) = (x -a)(x - b)(x -c)(x - d).T(x), onde o polinômio quociente T(x) não seria identicamente igual a 1... Confesso que dei uma tentada por ai mas empaquei, pois não achei contra exemplo nem tampouco provei que T(k) seria inteiro... Onde será que estou voando? Abração, Nehab Artur Costa Steiner escreveu: Definamos Q(x) = P(x) - 5. Entao, Q eh um polinomio monico (pois P eh monico) e admite a, b, c e d como raizes, distintas 2 a 2. Segue-se que Q(x) = (x -a) (x -b ) (x -c ) (x - d). Se P(k) = 8 para algum inteiro k, entao Q(k) = 3 e Q(k) = 3 = (k-a) (k -b) (k -c) (k -d). Como k eh inteiro e a, b, c e d sao inteiros distintos 2 a 2, isto signfica que 3 eh dado pelo produto de 4 numeros inteiros distintos 2 a 2. Mas isto é impossivel, pois 3 eh primo. Logo, nao existe nenhum inteiro k com P(k) = 8. Accho que estah certo. [Artur Costa Steiner] -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED]mailto:[EMAIL PROTECTED] [ mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Marcelo Salhab Brogliato Enviada em: segunda-feira, 14 de janeiro de 2008 10:23 Para: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Problema com polinômios Olá Igor, estou tentando encontrar um contra-exemplo (pra mim, é um ótimo jeito de se encontrar uma demonstração.. hehe!) p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n vamos supor que: p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, e p(k) = 8 onde a, b, c, d, k sao primos entre si dois a dois. deste modo: p(a) = 5 = a_n (mod a) p(b) = 5 = a_n (mod b) p(c) = 5 = a_n (mod c) p(d) = 5 = a_n (mod d) p(k) = 8 = a_n (mod k) pelo teorema chines do resto, conseguimos determinar a_n (mod a.b.c.d.k) fazendo: g(x) = [p(x) - a_n]/x, temos que: g(a), g(b), g(c), g(d) e g(k) estão definidos.. então, usando a mesma idéia, determinamos a_(n-1). seguindo esta idéia, conseguimos determinar todos os coeficientes do polinômio! qual o erro nesta idéia? não encontrei... abraços, Salhab 2008/1/12 Igor Battazza [EMAIL PROTECTED]mailto:[EMAIL PROTECTED]: Olá pessoal, estou com dúvidas na seguinte questão: Dado o polinômio p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n com coeficientes inteiros a_1, a_2, ..., a_n, e dado que também existem 4 inteiros distintos a, b, c e d tal que p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, mostre que não existe inteiro k tal que p(k) = 8. Não consigo pensar em nenhuma restrição que implique nisso. Obrigado, Igor. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RES: [obm-l] Problema com polinômios
Definamos Q(x) = P(x) - 5. Entao, Q eh um polinomio monico (pois P eh monico) e admite a, b, c e d como raizes, distintas 2 a 2. Segue-se que Q(x) = (x -a) (x -b ) (x -c ) (x - d). Se P(k) = 8 para algum inteiro k, entao Q(k) = 3 e Q(k) = 3 = (k-a) (k -b) (k -c) (k -d). Como k eh inteiro e a, b, c e d sao inteiros distintos 2 a 2, isto signfica que 3 eh dado pelo produto de 4 numeros inteiros distintos 2 a 2. Mas isto é impossivel, pois 3 eh primo. Logo, nao existe nenhum inteiro k com P(k) = 8. Accho que estah certo. [Artur Costa Steiner] -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Marcelo Salhab Brogliato Enviada em: segunda-feira, 14 de janeiro de 2008 10:23 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Problema com polinômios Olá Igor, estou tentando encontrar um contra-exemplo (pra mim, é um ótimo jeito de se encontrar uma demonstração.. hehe!) p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n vamos supor que: p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, e p(k) = 8 onde a, b, c, d, k sao primos entre si dois a dois. deste modo: p(a) = 5 = a_n (mod a) p(b) = 5 = a_n (mod b) p(c) = 5 = a_n (mod c) p(d) = 5 = a_n (mod d) p(k) = 8 = a_n (mod k) pelo teorema chines do resto, conseguimos determinar a_n (mod a.b.c.d.k) fazendo: g(x) = [p(x) - a_n]/x, temos que: g(a), g(b), g(c), g(d) e g(k) estão definidos.. então, usando a mesma idéia, determinamos a_(n-1). seguindo esta idéia, conseguimos determinar todos os coeficientes do polinômio! qual o erro nesta idéia? não encontrei... abraços, Salhab 2008/1/12 Igor Battazza [EMAIL PROTECTED]mailto:[EMAIL PROTECTED]: Olá pessoal, estou com dúvidas na seguinte questão: Dado o polinômio p(x) = x^n + a_1*x^(n-1) + a_2*x^(n-2) + ... + a_(n-1)*x + a_n com coeficientes inteiros a_1, a_2, ..., a_n, e dado que também existem 4 inteiros distintos a, b, c e d tal que p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 5, mostre que não existe inteiro k tal que p(k) = 8. Não consigo pensar em nenhuma restrição que implique nisso. Obrigado, Igor. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Problema de funções do Artur
Muito obrigado
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Nicolau C. Saldanha
Enviada em: sexta-feira, 31 de agosto de 2007 11:28
Para: [EMAIL PROTECTED]; obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Problema de funções do Artur
On Thu, Aug 23, 2007 at 01:47:08PM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
Seja f definida em (0, oo), nao negativa e monotonicamente decrescente.
Podemos provar, sem maiores dificuldades, que lim (n -- oo) [f(1) +
f(2)+ f(n) - Int (1 a n) f(t) dt ] existe. Isto é decorrência direta do
carater monotonicamente decrescente de f. Mesmo que a serie e a integral
infinita divirjam, o limite sempre existe. A sequencia é limitada
inferiormente por 0 e eh monotica decrescente. Como f eh monotonica a
integral existe em qualquer intervalo compacto.
Suponhamos agora que, para cada x = 0 fixo, f_x seja definida em [1, oo) por
f_x(t) = 1/t^x. Entao, f_x eh estritamente decrescente para x 0 e constante
em 1 pra x = 0. Definamos g(x) = lim (n -- oo) [1/1^x + 1/2^x .1/n^x -
Int (1 a n) f_x(t) dt ]. Pelo que vimos, este limite existe para todo x e g
estah bem definida. Se x1,
g(x) = lim (n -- oo) [1/1^x + 1/2^x .1/n^x - (n^(1 - x) - 1)/(1 - x) ]
e , se x=1
g(1) = lim (n -- oo) [1/1 + 1/2 .1/nx - ln(n)] , que é a famosa
constante de Euler/Mascheroni, pouco maior que 0, 5
Se x 1, na definição de g a série e a integral convergem, e temos que
g(x) = lim (n -- oo) [1/1^x + 1/2^x .1/n^x - 1/(x -1)] = Z(x) - 1/(x
-1), sendo Z a funcao zeta de Riemann. Da análise complexa, sabe-se que Zé
analítica, apresentando assim derivadas de todas as ordens também na reta
real. Logo, g é difrenciavel em (1, oo) e g'(x) = Z'(x) + 1/(x-1)^2
Se x estiver em (0, 1], entao a integral e serie divergem. Ttentei provar que
g é derivável tambem em [0,1], mas nap consegui.
Escreva
g(s) = SOMA_{n=1}^{infinito} h_n(s),
h_n(s) = 1/n^s - (int_n^(n+1) dt/t^s)
= n^(-s) - (int_n^(n+1) t^(-s) dt)
= exp(-s log n) - (int_n^(n+1) exp(-s log t) dt).
Assim g fica escrita como uma série de funções.
Note que a função t^(-s) é decrescente em t logo
0 = h_n(s) = n^(-s) - (n+1)^(-s)
e um argumento telescópico prova a convergência da série para s 0.
Para verificar que g é derivável devemos estimar as derivadas h_n'(s):
h_n'(s) = H(s,n) - int_n^(n+1) H(s,t) dt,
H(s,t) = - log t exp(-s log t).
A derivada parcial de H em relação a t é
H_t(s,t) = (s log t - 1) exp(-s log t) / t
donde H_t(s,t) 0 para t exp(1/s).
Ou seja, em qualquer intervalo compacto contido em (0,infinito)
existe um N a partir do qual
H(s,n) - H(s,n+1) = h_n'(s) = 0
e novamente por um argumento telescópico a série SOMA h_n'(s)
converge uniforme e absolutamente para uma função contínua
que será g'(s).
Mas o melhor mesmo é provar que a sua função g é *inteira*.
Considere a fórmula que você provou para s 1: g(s) = Z(s) - 1/(s-1).
Ora, é sabido que a função zeta tem uma única singularidade em C:
um polo simples em s=1. Ao subtrair 1/(s-1), você obteve uma função
inteira g_1(s) = Z(s) - 1/(s-1). O que você quer provar portanto
é que o limite que você usou para definir g continua convergindo para
o valor correto g_1(s) para s no intervalo (0,1].
Tudo isso pode ser feito estimando as funções h_n(s) acima
em vizinhanças compactas apropriadas de reais x em (0,infinito).
Note finalmente que o ponto s = 0 não pode ser tratado desta
forma e tenho quase certeza que o seu limite original dá a resposta errada.
[]s, N.
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
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[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Problema de maximiza ção
Obrigado amigo, pelos esclarecimentos. [ ]'s To: obm-l@mat.puc-rio.br From: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Problema de maximização Date: Thu, 7 Jun 2007 00:00:41 -0300 X é o número total de novilhos. E não o número de novilhos q excedem os 20... O modelo q usei pro P só vale pra x = 20. É basado no texto q fala: - Permite 20 novilhos. - A cada novilho acrescentado, o peso médio (nesse caso, o peso médio entre os novilhos) cai 22,5 kg. Ou seja, até x=20, o peso médio por novilho é 900 kg. Após isso, perdem-se 22,5 Kg por cada novilho q exceder os 20, ou seja, perdem-se 22,5*(x-20). Logo: P = 900 - 22,5*(x-20) Na sua conta, tem um erro. O coeficiente de x é (900 + 450) e não (900 - 450). Corrigindo isso, o x q maximiza a função é 30 mesmo, como tinha falado. Falou! Em (00:08:55), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu:Interessante esse seu raciocínio do pesso com relação à área. Não havia pensado nisso...Não consigo entender o modelo feito para o peso de cada novilho: P = 900 - 22,5(x-20).x seriam os novilhos que se acrescenta no pasto além dos 20 que já estão lá? Se for isso, quando se acrescenta 1 novilho, por exemplo, vai se ter um ganho no peso e não perda, como o problema dizCaso esse modelo esteja correto, o que estaria errado se eu fizesseP = x[900 - 22,5(x-20)]P = 450x- 22,5 x^2 Se P'=0 então, x = 10 e P = 2250 ?Obrigado por qualquer esclarecimento.[ ] ' s:31 -0300 Eu acho q a idéia pode ser maximizar o peso médio com relação a área (e não com relação ao número de novilhos). Vc coloca um novilho, o peso médio com relação a área pode aumentar ou diminuir. Até os 20, qnd não há perda, com certeza aumenta... Resolveria assim: Número de novilhos: x Peso de cada novilho (considerando 20 ou mais): P = 900 -22,5*(x-20) Kg Peso médio na área: Pm = x*P/50 Maximizando o peso médio na área, temos x=30, P = 675 e Pm = 20250. Era isso? Em (15:28:34), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: Este enunciado deve estar errado. Da maneira como foi formulado, o peso médio decresce com o número de novilhos e o ideal é colocar so 1 novilho, jah que peso medio para 0 novilhos nao eh definido. Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED][mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de RhilbertRiveraEnviada em: terça-feira, 5 de junho de 200717:30Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] Problemade maximização Olá Colegas A solução dada aoproblema abaixo não me convenceu (isso pode se dever a minha ignorânciamesmo), por isso peço uma ajuda na solução do problema. Quem sabe dessa vez euentenda. Uma fazenda de gado permite 20 novilhos por 50 metrosquadrados de pasto. O peso médio de seus novilhos no mercado é de 900 kg.Estimativas do Departamento de Agricultura (EUA) indicam que o peso médioficará reduzido em 22,5 kg para cada novilho que for acrescentado nos 50metros quadrados de pasto. Quantos novilhos devem ser colocados nos 50 metrosquadrados para que o peso médio deles seja o maiorpossível? Obrigado [ ]'s Obtenha o novo Windows Live Messenger! Experimente! -- Instale o novo Windows Live Messenger! É grátis! Experimente!-- _ Receba as últimas notícias do Brasil e do mundo direto no seu Messenger com Alertas MSN! É GRÁTIS! http://alertas.br.msn.com/
[obm-l] RES: [obm-l] Problema de maximização
Este enunciado deve estar errado. Da maneira como foi formulado, o peso médio decresce com o número de novilhos e o ideal é colocar so 1 novilho, jah que peso medio para 0 novilhos nao eh definido. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rhilbert Rivera Enviada em: terça-feira, 5 de junho de 2007 17:30 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema de maximização Olá Colegas A solução dada ao problema abaixo não me convenceu (isso pode se dever a minha ignorância mesmo), por isso peço uma ajuda na solução do problema. Quem sabe dessa vez eu entenda. Uma fazenda de gado permite 20 novilhos por 50 metros quadrados de pasto. O peso médio de seus novilhos no mercado é de 900 kg. Estimativas do Departamento de Agricultura (EUA) indicam que o peso médio ficará reduzido em 22,5 kg para cada novilho que for acrescentado nos 50 metros quadrados de pasto. Quantos novilhos devem ser colocados nos 50 metros quadrados para que o peso médio deles seja o maior possível? Obrigado [ ]'s _ Obtenha o novo Windows Live Messenger! Experimente! http://get.live.com/messenger/overview
Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema de maximiza�
Eu acho q a idéia pode ser maximizar o peso médio com relação a área (e não com relação ao número de novilhos). Vc coloca um novilho, o peso médio com relação a área pode aumentar ou diminuir. Até os 20, qnd não há perda, com certeza aumenta... Resolveria assim: Número de novilhos: x Peso de cada novilho (considerando 20 ou mais): P = 900 -22,5*(x-20) Kg Peso médio na área: Pm = x*P/50 Maximizando o peso médio na área, temos x=30, P = 675 e Pm = 20250. Era isso? Em (15:28:34), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: Este enunciado deve estar errado. Da maneira como foi formulado, o peso médio decresce com o número de novilhos e o ideal é colocar so 1 novilho, jah que peso medio para 0 novilhos nao eh definido. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Rhilbert Rivera Enviada em: terça-feira, 5 de junho de 2007 17:30 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema de maximização Olá Colegas A solução dada ao problema abaixo não me convenceu (isso pode se dever a minha ignorância mesmo), por isso peço uma ajuda na solução do problema. Quem sabe dessa vez eu entenda. Uma fazenda de gado permite 20 novilhos por 50 metros quadrados de pasto. O peso médio de seus novilhos no mercado é de 900 kg. Estimativas do Departamento de Agricultura (EUA) indicam que o peso médio ficará reduzido em 22,5 kg para cada novilho que for acrescentado nos 50 metros quadrados de pasto. Quantos novilhos devem ser colocados nos 50 metros quadrados para que o peso médio deles seja o maior possível? Obrigado [ ]'s Obtenha o novo Windows Live Messenger! Experimente! --
[obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Problema de maximização
Interessante esse seu raciocínio do pesso com relação à área. Não havia pensado nisso... Não consigo entender o modelo feito para o peso de cada novilho: P = 900 - 22,5(x-20). x seriam os novilhos que se acrescenta no pasto além dos 20 que já estão lá? Se for isso, quando se acrescenta 1 novilho, por exemplo, vai se ter um ganho no peso e não perda, como o problema diz Caso esse modelo esteja correto, o que estaria errado se eu fizesse P = x[900 - 22,5(x-20)] P = 450x- 22,5 x^2 Se P'=0 então, x = 10 e P = 2250 ? Obrigado por qualquer esclarecimento. [ ] ' s:31 -0300 Eu acho q a idéia pode ser maximizar o peso médio com relação a área (e não com relação ao número de novilhos). Vc coloca um novilho, o peso médio com relação a área pode aumentar ou diminuir. Até os 20, qnd não há perda, com certeza aumenta... Resolveria assim: Número de novilhos: x Peso de cada novilho (considerando 20 ou mais): P = 900 -22,5*(x-20) Kg Peso médio na área: Pm = x*P/50 Maximizando o peso médio na área, temos x=30, P = 675 e Pm = 20250. Era isso? Em (15:28:34), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu:Este enunciado deve estar errado. Da maneira como foi formulado, o peso médio decresce com o número de novilhos e o ideal é colocar so 1 novilho, jah que peso medio para 0 novilhos nao eh definido. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Rhilbert Rivera Enviada em: terça-feira, 5 de junho de 2007 17:30 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema de maximização Olá ColegasA solução dada ao problema abaixo não me convenceu (isso pode se dever a minha ignorância mesmo), por isso peço uma ajuda na solução do problema. Quem sabe dessa vez eu entenda. Uma fazenda de gado permite 20 novilhos por 50 metros quadrados de pasto. O peso médio de seus novilhos no mercado é de 900 kg. Estimativas do Departamento de Agricultura (EUA) indicam que o peso médio ficará reduzido em 22,5 kg para cada novilho que for acrescentado nos 50 metros quadrados de pasto. Quantos novilhos devem ser colocados nos 50 metros quadrados para que o peso médio deles seja o maior possível?Obrigado[ ]'s Obtenha o novo Windows Live Messenger! Experimente!-- _ Instale o novo Windows Live Messenger! É grátis! http://get.live.com/messenger/overview
Re: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Problema de maximiza�
X é o número total de novilhos. E não o número de novilhos q excedem os 20... O modelo q usei pro P só vale pra x = 20. É basado no texto q fala: - Permite 20 novilhos. - A cada novilho acrescentado, o peso médio (nesse caso, o peso médio entre os novilhos) cai 22,5 kg. Ou seja, até x=20, o peso médio por novilho é 900 kg. Após isso, perdem-se 22,5 Kg por cada novilho q exceder os 20, ou seja, perdem-se 22,5*(x-20). Logo: P = 900 - 22,5*(x-20) Na sua conta, tem um erro. O coeficiente de x é (900 + 450) e não (900 - 450). Corrigindo isso, o x q maximiza a função é 30 mesmo, como tinha falado. Falou! Em (00:08:55), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: Interessante esse seu raciocínio do pesso com relação à área. Não havia pensado nisso... Não consigo entender o modelo feito para o peso de cada novilho: P = 900 - 22,5(x-20). x seriam os novilhos que se acrescenta no pasto além dos 20 que já estão lá? Se for isso, quando se acrescenta 1 novilho, por exemplo, vai se ter um ganho no peso e não perda, como o problema diz Caso esse modelo esteja correto, o que estaria errado se eu fizesse P = x[900 - 22,5(x-20)] P = 450x- 22,5 x^2 Se P'=0 então, x = 10 e P = 2250 ? Obrigado por qualquer esclarecimento. [ ] ' s :31 -0300 Eu acho q a idéia pode ser maximizar o peso médio com relação a área (e não com relação ao número de novilhos). Vc coloca um novilho, o peso médio com relação a área pode aumentar ou diminuir. Até os 20, qnd não há perda, com certeza aumenta... Resolveria assim: Número de novilhos: x Peso de cada novilho (considerando 20 ou mais): P = 900 -22,5*(x-20) Kg Peso médio na área: Pm = x*P/50 Maximizando o peso médio na área, temos x=30, P = 675 e Pm = 20250. Era isso? Em (15:28:34), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: Este enunciado deve estar errado. Da maneira como foi formulado, o peso médio decresce com o número de novilhos e o ideal é colocar so 1 novilho, jah que peso medio para 0 novilhos nao eh definido. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Rhilbert Rivera Enviada em: terça-feira, 5 de junho de 2007 17:30 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema de maximização Olá Colegas A solução dada ao problema abaixo não me convenceu (isso pode se dever a minha ignorância mesmo), por isso peço uma ajuda na solução do problema. Quem sabe dessa vez eu entenda. Uma fazenda de gado permite 20 novilhos por 50 metros quadrados de pasto. O peso médio de seus novilhos no mercado é de 900 kg. Estimativas do Departamento de Agricultura (EUA) indicam que o peso médio ficará reduzido em 22,5 kg para cada novilho que for acrescentado nos 50 metros quadrados de pasto. Quantos novilhos devem ser colocados nos 50 metros quadrados para que o peso médio deles seja o maior possível? Obrigado [ ]'s Obtenha o novo Windows Live Messenger! Experimente! -- Instale o novo Windows Live Messenger! É grátis! Experimente! --
Re: RES: [obm-l] Problema sobre valor minimo
Arthur e demais amigos da lista. mais uma vez agradeço a atenção e a consideração de vocês. Muito obrigado. Um abraço grande. Bruno Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Uma forma de resolver isso eh por multiplicadores de Lagrange. Seja g(x,y,z) = x + y + z - L ( x.y^2.z^3 - 864). L eh o multiplicador de Lagrange Igualando a 0 as derivadas parciais de g com relacao a x, y, z e L, obtemos 1 - L y^2 z^3 =0 1 - 2L xy z^3 =0 1 - 3L x y^2 z^2 =0 x.y^2.z^3 - 864 = 0 Da 1a equacao, L = 1/(y^2z^3). Substituindo nas demais, vem 1 - 2 x/y = 0 = y = 2x 1 - 3x/z = 0 = z = 3x Substituindo na ultima, vem entao x . 4 x^2 . 27 x^3 = 864 = 108 x^6 = 864 = x^6 = 8 = x = raiz(2), y = 2 raiz(2), z = 3 raiz(2) Veja que, mantendo y constante num valor positivo e fazendo x - oo, podemos sempre encontrar um valor positivo para z tal que x.y^2.z^3 = 864. Assim, atendendo-se à restricao, eh possivel fazer x + y + z - oo. Desta forma, a solucao encontrada nao eh maximo global, o problema nao tem isso. A solucao encontrada eh unica e as diferenciabilidades da funcao objetivo e da restricao indicam que, se houvesse outro ponto extremo, haveria outra solucao para o sistema acima (o que fizemos foi anular o chamado Lagrangeano). Como x + y + z 0 para todos (x,y,z) viaveis, a funcao objetivo tem infimo. Acho que isso nospermiter garantir que eh minimo global sem entrarmos na matriz Hessiana. Assim, o valor minimo eh 6 raiz(2). Eh possivel que haja uma outra solucao sem usar o calculo, talvez ateh mais facil Artur l [Artur Costa Steiner] sagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bruno Carvalho Enviada em: quinta-feira, 10 de maio de 2007 13:06 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema sobre valor minimo Peço ajuda na resolução do seguinte problema. Se x,y e z são números reais positivos e x.y^2.z^3 = 864 , qual o mínimo valor possível para x+y+z ? Opções: a)6 raiz de 2 b)4raiz de três c)9 d)6raiz de três. Desde já agradeço a ajuda. Bruno __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
RES: [obm-l] Problema sobre valor minimo
Uma forma de resolver isso eh por multiplicadores de Lagrange. Seja g(x,y,z) = x + y + z - L ( x.y^2.z^3 - 864). L eh o multiplicador de Lagrange Igualando a 0 as derivadas parciais de g com relacao a x, y, z e L, obtemos 1 - L y^2 z^3 =0 1 - 2L xy z^3 =0 1 - 3L x y^2 z^2 =0 x.y^2.z^3 - 864 = 0 Da 1a equacao, L = 1/(y^2z^3). Substituindo nas demais, vem 1 - 2 x/y = 0 = y = 2x 1 - 3x/z = 0 = z = 3x Substituindo na ultima, vem entao x . 4 x^2 . 27 x^3 = 864 = 108 x^6 = 864 = x^6 = 8 = x = raiz(2), y = 2 raiz(2), z = 3 raiz(2) Veja que, mantendo y constante num valor positivo e fazendo x - oo, podemos sempre encontrar um valor positivo para z tal que x.y^2.z^3 = 864. Assim, atendendo-se à restricao, eh possivel fazer x + y + z - oo. Desta forma, a solucao encontrada nao eh maximo global, o problema nao tem isso. A solucao encontrada eh unica e as diferenciabilidades da funcao objetivo e da restricao indicam que, se houvesse outro ponto extremo, haveria outra solucao para o sistema acima (o que fizemos foi anular o chamado Lagrangeano). Como x + y + z 0 para todos (x,y,z) viaveis, a funcao objetivo tem infimo. Acho que isso nospermiter garantir que eh minimo global sem entrarmos na matriz Hessiana. Assim, o valor minimo eh 6 raiz(2). Eh possivel que haja uma outra solucao sem usar o calculo, talvez ateh mais facil Artur l [Artur Costa Steiner] sagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bruno Carvalho Enviada em: quinta-feira, 10 de maio de 2007 13:06 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema sobre valor minimo Peço ajuda na resolução do seguinte problema. Se x,y e z são números reais positivos e x.y^2.z^3 = 864 , qual o mínimo valor possível para x+y+z ? Opções: a)6 raiz de 2 b)4raiz de três c)9 d)6raiz de três. Desde já agradeço a ajuda. Bruno __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: RES: [obm-l] Problema sobre valor minimo
Gostaria de saber porque nao da certo resolver desse jeito (sei que nao da, por causa da resposta acima, que deve ser a correta): S = x+y+z = 3(raiz cubica de xyz) (media aritm =media geom.) igualdade em x=y=z S = 3x x . y^2 . z^3 = x^6 = 864 S = 3(raiz sexta de 864) ~ 9,26 que nao é a resposta certa. On 5/10/07, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Uma forma de resolver isso eh por multiplicadores de Lagrange. Seja g(x,y,z) = x + y + z - L ( x.y^2.z^3 - 864). L eh o multiplicador de Lagrange Igualando a 0 as derivadas parciais de g com relacao a x, y, z e L, obtemos 1 - L y^2 z^3 =0 1 - 2L xy z^3 =0 1 - 3L x y^2 z^2 =0 x.y^2.z^3 - 864 = 0 Da 1a equacao, L = 1/(y^2z^3). Substituindo nas demais, vem 1 - 2 x/y = 0 = y = 2x 1 - 3x/z = 0 = z = 3x Substituindo na ultima, vem entao x . 4 x^2 . 27 x^3 = 864 = 108 x^6 = 864 = x^6 = 8 = x = raiz(2), y = 2 raiz(2), z = 3 raiz(2) Veja que, mantendo y constante num valor positivo e fazendo x - oo, podemos sempre encontrar um valor positivo para z tal que x.y^2.z^3 = 864. Assim, atendendo-se à restricao, eh possivel fazer x + y + z - oo. Desta forma, a solucao encontrada nao eh maximo global, o problema nao tem isso. A solucao encontrada eh unica e as diferenciabilidades da funcao objetivo e da restricao indicam que, se houvesse outro ponto extremo, haveria outra solucao para o sistema acima (o que fizemos foi anular o chamado Lagrangeano). Como x + y + z 0 para todos (x,y,z) viaveis, a funcao objetivo tem infimo. Acho que isso nospermiter garantir que eh minimo global sem entrarmos na matriz Hessiana. Assim, o valor minimo eh 6 raiz(2). Eh possivel que haja uma outra solucao sem usar o calculo, talvez ateh mais facil Artur l [Artur Costa Steiner] sagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bruno Carvalho Enviada em: quinta-feira, 10 de maio de 2007 13:06 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema sobre valor minimo Peço ajuda na resolução do seguinte problema. Se x,y e z são números reais positivos e x.y^2.z^3 = 864 , qual o mínimo valor possível para x+y+z ? Opções: a)6 raiz de 2 b)4raiz de três c)9 d)6raiz de três. Desde já agradeço a ajuda. Bruno __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ -- - RAFAEL = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Problema sobre valor minimo
On 5/10/07, Rafael [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria de saber porque nao da certo resolver desse jeito (sei que nao da, por causa da resposta acima, que deve ser a correta): S = x+y+z = 3(raiz cubica de xyz) (media aritm =media geom.) igualdade em x=y=z Por que você considera x=y=z ??? S = 3x x . y^2 . z^3 = x^6 = 864 S = 3(raiz sexta de 864) ~ 9,26 que nao é a resposta certa. On 5/10/07, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Uma forma de resolver isso eh por multiplicadores de Lagrange. Seja g(x,y,z) = x + y + z - L ( x.y^2.z^3 - 864). L eh o multiplicador de Lagrange Igualando a 0 as derivadas parciais de g com relacao a x, y, z e L, obtemos 1 - L y^2 z^3 =0 1 - 2L xy z^3 =0 1 - 3L x y^2 z^2 =0 x.y^2.z^3 - 864 = 0 Da 1a equacao, L = 1/(y^2z^3). Substituindo nas demais, vem 1 - 2 x/y = 0 = y = 2x 1 - 3x/z = 0 = z = 3x Substituindo na ultima, vem entao x . 4 x^2 . 27 x^3 = 864 = 108 x^6 = 864 = x^6 = 8 = x = raiz(2), y = 2 raiz(2), z = 3 raiz(2) Veja que, mantendo y constante num valor positivo e fazendo x - oo, podemos sempre encontrar um valor positivo para z tal que x.y^2.z^3 = 864. Assim, atendendo-se à restricao, eh possivel fazer x + y + z - oo. Desta forma, a solucao encontrada nao eh maximo global, o problema nao tem isso. A solucao encontrada eh unica e as diferenciabilidades da funcao objetivo e da restricao indicam que, se houvesse outro ponto extremo, haveria outra solucao para o sistema acima (o que fizemos foi anular o chamado Lagrangeano). Como x + y + z 0 para todos (x,y,z) viaveis, a funcao objetivo tem infimo. Acho que isso nospermiter garantir que eh minimo global sem entrarmos na matriz Hessiana. Assim, o valor minimo eh 6 raiz(2). Eh possivel que haja uma outra solucao sem usar o calculo, talvez ateh mais facil Artur l [Artur Costa Steiner] sagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bruno Carvalho Enviada em: quinta-feira, 10 de maio de 2007 13:06 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema sobre valor minimo Peço ajuda na resolução do seguinte problema. Se x,y e z são números reais positivos e x.y^2.z^3 = 864 , qual o mínimo valor possível para x+y+z ? Opções: a)6 raiz de 2 b)4raiz de três c)9 d)6raiz de três. Desde já agradeço a ajuda. Bruno __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ -- - RAFAEL = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Henrique
Re: RES: [obm-l] Problema sobre valor minimo
Mas se MA=MG seu valor minimo é MG. Preciso da igualdade, que ocorre se x=y=z , nao é? On 5/10/07, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote: On 5/10/07, Rafael [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria de saber porque nao da certo resolver desse jeito (sei que nao da, por causa da resposta acima, que deve ser a correta): S = x+y+z = 3(raiz cubica de xyz) (media aritm =media geom.) igualdade em x=y=z Por que você considera x=y=z ??? S = 3x x . y^2 . z^3 = x^6 = 864 S = 3(raiz sexta de 864) ~ 9,26 que nao é a resposta certa. On 5/10/07, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Uma forma de resolver isso eh por multiplicadores de Lagrange. Seja g(x,y,z) = x + y + z - L ( x.y^2.z^3 - 864). L eh o multiplicador de Lagrange Igualando a 0 as derivadas parciais de g com relacao a x, y, z e L, obtemos 1 - L y^2 z^3 =0 1 - 2L xy z^3 =0 1 - 3L x y^2 z^2 =0 x.y^2.z^3 - 864 = 0 Da 1a equacao, L = 1/(y^2z^3). Substituindo nas demais, vem 1 - 2 x/y = 0 = y = 2x 1 - 3x/z = 0 = z = 3x Substituindo na ultima, vem entao x . 4 x^2 . 27 x^3 = 864 = 108 x^6 = 864 = x^6 = 8 = x = raiz(2), y = 2 raiz(2), z = 3 raiz(2) Veja que, mantendo y constante num valor positivo e fazendo x - oo, podemos sempre encontrar um valor positivo para z tal que x.y^2.z^3 = 864. Assim, atendendo-se à restricao, eh possivel fazer x + y + z - oo. Desta forma, a solucao encontrada nao eh maximo global, o problema nao tem isso. A solucao encontrada eh unica e as diferenciabilidades da funcao objetivo e da restricao indicam que, se houvesse outro ponto extremo, haveria outra solucao para o sistema acima (o que fizemos foi anular o chamado Lagrangeano). Como x + y + z 0 para todos (x,y,z) viaveis, a funcao objetivo tem infimo. Acho que isso nospermiter garantir que eh minimo global sem entrarmos na matriz Hessiana. Assim, o valor minimo eh 6 raiz(2). Eh possivel que haja uma outra solucao sem usar o calculo, talvez ateh mais facil Artur l [Artur Costa Steiner] sagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bruno Carvalho Enviada em: quinta-feira, 10 de maio de 2007 13:06 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema sobre valor minimo Peço ajuda na resolução do seguinte problema. Se x,y e z são números reais positivos e x.y^2.z^3 = 864 , qual o mínimo valor possível para x+y+z ? Opções: a)6 raiz de 2 b)4raiz de três c)9 d)6raiz de três. Desde já agradeço a ajuda. Bruno __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ -- - RAFAEL = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Henrique -- - RAFAEL = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Problema
Eu chutei o balde: fiz um diagrama com todas as possibilidades de vizinhos, ficou assim (use texto de largura fixa para ver isto): -- -- -- -- -- -- -- 01 08 15 22 29 36 43 -- -- -- -- -- -- 03 10 17 24 31 38 45 -- -- -- -- -- 05 12 19 26 33 40 47 -- -- -- -- 07 14 21 28 35 42 49 -- -- 02 09 16 23 30 37 44 -- 04 11 18 25 32 39 46 06 13 20 27 34 41 48 15 22 29 36 43 (Note que a última linha repete um pedaço da lá de cima). Agora é fazer um caminho com segmentos horizontais ou verticais andando pelas células numeradas acima, passando por cada célula apenas uma vez. Se eu me lembro bem, este é o clássico problema de encontrar um caminho Hamiltoniano para um grafo. E clássico não é fácil -- apesar de muito pesquisado, encontrar este caminho num grafo geral é um problema NP ou NP-completo ou algo assim (eu não sei quase nada de Teoria dos Grafos; quem souber mais, como o Nicolau, por exemplo, pode me corrigir). :) Mas nosso problema não é o caso geral, então há esperança: comece olhando os cantos, onde só há uma opção (por exemplo, só passo pelo 05 se for fazendo 12 05 14)... faça o desenho com as conexões, marque as absolutamente necessárias por causa dos cantos, corte conexões com números que já foram gastos, aparecem novos cantos que só tem uma opção, etc. Fica melhor no papel do que no computador. Quem quiser tentar agora por conta própria, pare de ler aqui... Até este diagrama abaixo, não há opções (hmmm mentira, um dos tais cantos poderia ser uma ponta... vou ignorar isto e torcer para achar UMA resposta): |||||| 01=08 15 22=29 36=43 || |||| 03=10 17 24=31 38=45 || || 05=12 19=26 33 40=47 |||| || 07=14 21=28 35 42=49 |||||| 02=09 16 23=30 37=44 || || 04=11 18 25 32 39=46 || || 06=13 20=27 34 41=48 |||||| 15 22=29 36=43 Agora há opções eu tentei juntar 09 com 16 e me dei mal... então tentei juntar 09 com 18 e 41 com 32... Fiz umas outras escolhas arbitrárias, mantendo a simetria por razões puramente estéticas, e cheguei numa possibilidade bonitinha: |||||| 01=08=15 22=29 36=43 || |||| 03=10 17=24=31 38=45 || || 05=12 19=26=33 40=47 |||| || 07=14 21=28 35=42=49 |||||| 02=09 16 23=30 37=44 || || || |||| 04=11 18 25 32 39=46 |||| || || || 06=13 20=27 34 41=48 |||||| Então uma solução possível é: 17-24-31-22-29-20-27-18-09-02-11-04-13-06-15-08-01-10-03-12-05-14-07-16-25) 25)-34-43-36-45-38-47-40-49-42-35-44-37-46-39-48-41-32-23-30-21-28-19-26-33. Uff! Perguntas adicionais: i) Há outras respostas? (Sim: troque 17-24 e 26-33 por 17-26 e 24-33...) ii) 17 e 33 têm de ser as pontas? (Não: troque 49-40 por 40-33 e você tem um outro caminho; aliás, trocando também 1-10 por 10-17, dá uma solução COMEÇANDO no 1 e TERMINANDO no 49!! Vou escrever esta só de farra: 01-08-15-06-13-04-11-02-09-18-27-20-29-22-31-24-17-10-03-12-05-14-07-16-25) (25-34-43-36-45-38-47-40-33-26-19-28-21-30-23-32-41-48-39-46-37-44-35-42-49 Legal! Abraço, Ralph -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Carlos Gomes Enviada em: segunda-feira, 29 de janeiro de 2007 14:44 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema Vê se alguém tem alguma sugestão para essa questao; Disponha em linha reta, numa ordem, os números inteiros de 1 até 49, de modo que o valor absoluto da diferença de quaisquer dois vizinhos, nessa ordem, seja ou 7 ou 9. Obg C.Gomes = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Problema de teoria dos numeros
Oi Paulo, Vc nao tinha que considera tambem os numeros impares? A prova que eu encontrei foi a seguinte: Suponhamos que n seja impar. Entao a(n) = 2^n +1 eh divisivel por 3. Para n=1, a(n) =3 e a condicao eh satisfeita. Suponhamos que, para algum impar n, a(n) seja multiplo de 3. Para o impar subsequente, n+2, temos que a(n+2) = 2^(n+2) + 1 = 4* 2^n + 1 = 4(a(n) -1) + 1 = 4a(n) - 3. Dado que, pela hipotese indutiva, 3|a(n), temos que 3|a(n+2), completando-se assim a prova. Suponhamos agora quer n seja par. Ai vale a sua solucao, alias muito bonita. Uma outra possibilidade, noa tao bo quanto a sua, eh a seguinte: Se n for da forma n=2k, com k impar, entao a(n) = 4^k +1. Potências impares de 4 tem, na base decimal, algarismo das unidades 4. Logo a(n) = 4^k + 1 tem algarismo das unidades 5, sendo portanto divisivel por 5. Vemos assim que, se a(n) for primo e n se enquadrar num dos casos acima, entao n=1 = 2^0 ou n= 2*1 = 2, casos em que n eh potencia de 2 (considerando-se 1 como potencia 0 de 2). Nos casos acima, outros valores de n levam a numeros compostos. Se, a(n) for primo e n nao se enquadrar nos casos acima, entao n eh par e não eh multiplo de nenhum impar 1, sendo portanto potencia de 2. Isso conclui a prova. Uma outra prova da infinitude dos primos eh a seguinte: Para todo n=1,2,3, n! eh divisivel por 2,3.n. Entao, nenhum destes numeros divide n! + 1. Pelo teorema fundamental da aritmetica, n! + 1 pode ser representado por um produto de primos, dentre os quais, em virtude do que vimos, não se enquadra nenhum primo = n. Logo, para todo n existe um primo p n, do que concluimos que o conjunto dos primos eh ilimitado e, portanto, infinito. Abracos Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Paulo Santa Rita Enviada em: segunda-feira, 4 de dezembro de 2006 21:46 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: RE: [obm-l] Problema de teoria dos numeros Ola carissimo Artur e demais colegas desta lista ... OBM-L, Seja M um primo tal que M = (2^N) + 1 e suponhamos que N nao e potencia de 2. Neste caso N e da forma : (2^P)*i, onde P e um inteiro nao-negativo e i um impar maior que 1. Segue daqui que M = (2^A)^ i + 1 com A= 2^P . Fazendo 2^A = X teremos que M = X^i + 1. Este polinomio e claramente divisivel por X + 1 em virtude do teorema D'Alembert, pois sendo i impar temos que (-1)^i + 1 = 0. Assim : M = X^i + 1 = (X + 1)*Q(X) = M nao e primo ... ABSURDO ! A nossa tese e portanto insustentavel e somos obrigados a admitir que N e potencia de 2, como queriamos demonstrar. Eis aqui outro bonitinho, porem nao tao simples como este : (Fermat propoe, Euler resolve ) Mostre que a equacao X^3 = Y^2 + 2 tem uma unica solucao no anel dos inteiros. Estas questoes de Teoria dos Numeros me levaram a alguns anos atras, quando eu me correspondia sobre topologia com um colega que esta atualmente fazendo doutorado em Bio-Matematica na Alemanha. Ele conclui o doutorado agora. Mas o que importa e que naquela epoca, quando ele ainda fazia Mestrado na Unicamp, nos combinamos que em cada carta era obrigatorio haver uma prova da existencia de uma infinidade de numeros primos. O Marcelo mostrou uma prova muito simples, mas belissima e que eu passo pra vocês : EXISTEM INFINITOS NUMEROS PRIMOS : Suponha que a quantidade de numeros primos e finita. Digamos : p1 p2 ... pn. Consideremos agora o numero P=p1*p2*...*pn, claramente maior que qualquer dos primos pi. O numero P - 1 e portanto composto. Segue que existe pi que divide P - 1. Mas pi tambem divide P, logo, pi deve dividir P - (P - 1 ) = 1 ... ABSURDO ! A todos, com os melhores votos de paz profunda, sou Paulo Santa Rita 1,1540,041206 _ From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Problema de teoria dos numeros Date: Mon, 4 Dec 2006 20:14:35 -0200 Achei este problema de teoris dos numeros (nao eh dos mais dificeis) bem bonitinho. Mostre que, se 2^n +1, n=0, 1,2for primo, entao n eh potencia de 2 Artur _ Ligue para os seus amigos grátis. Faça chamadas de PC-para-PC pelo messenger-- GRÁTIS Experimente agora! http://get.live.com/messenger/overview
RE: RES: [obm-l] Problema de teoria dos numeros
Ola carissimo artur e demais colegas desta lista ... OBM-L, O Ronaldo Alonso estava com a mesma duvida e eu enviei um esclarecimento mas nao deve ter chegado na lista. Quando eu disse que se N nao e potencia de 2 entao N e da forma (2^P)*i com P INTEIRO NAO-NEGATIVO e i um impar maior que 1 estou admitindo P=0 para incluir todos os impares. Exemplo : N=13 = N=(2^0)*13 ; N=28 = N=(2^2)*7. Um Abracao Paulo Santa Rita 3,1100,051206 From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RES: [obm-l] Problema de teoria dos numeros Date: Tue, 5 Dec 2006 10:34:55 -0200 Oi Paulo, Vc nao tinha que considera tambem os numeros impares? A prova que eu encontrei foi a seguinte: Suponhamos que n seja impar. Entao a(n) = 2^n +1 eh divisivel por 3. Para n=1, a(n) =3 e a condicao eh satisfeita. Suponhamos que, para algum impar n, a(n) seja multiplo de 3. Para o impar subsequente, n+2, temos que a(n+2) = 2^(n+2) + 1 = 4* 2^n + 1 = 4(a(n) -1) + 1 = 4a(n) - 3. Dado que, pela hipotese indutiva, 3|a(n), temos que 3|a(n+2), completando-se assim a prova. Suponhamos agora quer n seja par. Ai vale a sua solucao, alias muito bonita. Uma outra possibilidade, noa tao bo quanto a sua, eh a seguinte: Se n for da forma n=2k, com k impar, entao a(n) = 4^k +1. Potências impares de 4 tem, na base decimal, algarismo das unidades 4. Logo a(n) = 4^k + 1 tem algarismo das unidades 5, sendo portanto divisivel por 5. Vemos assim que, se a(n) for primo e n se enquadrar num dos casos acima, entao n=1 = 2^0 ou n= 2*1 = 2, casos em que n eh potencia de 2 (considerando-se 1 como potencia 0 de 2). Nos casos acima, outros valores de n levam a numeros compostos. Se, a(n) for primo e n nao se enquadrar nos casos acima, entao n eh par e não eh multiplo de nenhum impar 1, sendo portanto potencia de 2. Isso conclui a prova. Uma outra prova da infinitude dos primos eh a seguinte: Para todo n=1,2,3, n! eh divisivel por 2,3.n. Entao, nenhum destes numeros divide n! + 1. Pelo teorema fundamental da aritmetica, n! + 1 pode ser representado por um produto de primos, dentre os quais, em virtude do que vimos, não se enquadra nenhum primo = n. Logo, para todo n existe um primo p n, do que concluimos que o conjunto dos primos eh ilimitado e, portanto, infinito. Abracos Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Paulo Santa Rita Enviada em: segunda-feira, 4 de dezembro de 2006 21:46 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: RE: [obm-l] Problema de teoria dos numeros Ola carissimo Artur e demais colegas desta lista ... OBM-L, Seja M um primo tal que M = (2^N) + 1 e suponhamos que N nao e potencia de 2. Neste caso N e da forma : (2^P)*i, onde P e um inteiro nao-negativo e i um impar maior que 1. Segue daqui que M = (2^A)^ i + 1 com A= 2^P . Fazendo 2^A = X teremos que M = X^i + 1. Este polinomio e claramente divisivel por X + 1 em virtude do teorema D'Alembert, pois sendo i impar temos que (-1)^i + 1 = 0. Assim : M = X^i + 1 = (X + 1)*Q(X) = M nao e primo ... ABSURDO ! A nossa tese e portanto insustentavel e somos obrigados a admitir que N e potencia de 2, como queriamos demonstrar. Eis aqui outro bonitinho, porem nao tao simples como este : (Fermat propoe, Euler resolve ) Mostre que a equacao X^3 = Y^2 + 2 tem uma unica solucao no anel dos inteiros. Estas questoes de Teoria dos Numeros me levaram a alguns anos atras, quando eu me correspondia sobre topologia com um colega que esta atualmente fazendo doutorado em Bio-Matematica na Alemanha. Ele conclui o doutorado agora. Mas o que importa e que naquela epoca, quando ele ainda fazia Mestrado na Unicamp, nos combinamos que em cada carta era obrigatorio haver uma prova da existencia de uma infinidade de numeros primos. O Marcelo mostrou uma prova muito simples, mas belissima e que eu passo pra vocês : EXISTEM INFINITOS NUMEROS PRIMOS : Suponha que a quantidade de numeros primos e finita. Digamos : p1 p2 ... pn. Consideremos agora o numero P=p1*p2*...*pn, claramente maior que qualquer dos primos pi. O numero P - 1 e portanto composto. Segue que existe pi que divide P - 1. Mas pi tambem divide P, logo, pi deve dividir P - (P - 1 ) = 1 ... ABSURDO ! A todos, com os melhores votos de paz profunda, sou Paulo Santa Rita 1,1540,041206 From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Problema de teoria dos numeros Date: Mon, 4 Dec 2006 20:14:35 -0200 Achei este problema de teoris dos numeros (nao eh dos mais dificeis) bem bonitinho. Mostre que, se 2^n +1, n=0, 1,2for primo, entao n eh potencia de 2 Artur Ligue para os seus amigos grátis. Faça chamadas de PC-para-PC pelo messenger-- GRÁTIS Experimente agora!http://get.live.com/messenger/overview
[obm-l] RES: [obm-l] Problema de Cálculo
Facamos f(x) = e^(2x) - k*sqrt(x). Para todo real k, temos que f(0) = 1 e que f(x) -- oo quando x -- oo. Se k=0, f eh estritamente postiva em [0, oo). Logo, f so podera admitir zeros se k0. Temos que f'(x) = 2*e^(2x) - k/(2*sqrt(x). A funcao 2*e^(2x) eh estritamente crescente em (o, oo) ao passo que k/(2*sqrt(x) eh estritamente decrescente. A primeira tende a 2 en x=0+ e a segunda tende a oo. Quando x --- oo, a primeira tende a oo e a sgunda tende a zero. Assim, temos f'(a) = 0 para um e somente um a0 e, neste ponto x=a, f passo por um minimo global. Se em x=a tivermos f(a) = 0, entao f se anula neste ponto e apenas nele. Temos assim que resolver o sistema de equacoes: e^(2a) = k*sqrt(a) 2*e^(2a) =k/(2*sqrt(a)) Dividindo membro a membro, jah que nao sao nulos, temos 1/2 = sqrt(a) * 2 * sqrt(a) = 2a = a = 1/4. Logo, e^(1/2) = k * sqrt(1/4) = k = 2*e^(1/2). Faca um grafico para ver se nao hah nenhum engano. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de bernardoakino Enviada em: domingo, 14 de maio de 2006 03:16 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema de Cálculo Caros colegas da lista, Eu não sei se esse problema já foi discutido anteriormente aqui, mas ele esta me tirando algumas horas de sono... Se alguem puder me dar uma ajudinha, eu ficaria bastante agradecido: Para quais valores de k a equação e^(2x)=k.sqrt(x) tem exatamente uma solução? Um abraço a todos Bernardo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] Problema dos Remédios
ótima sacada!! dah pra facilitar as coisas aqui... nao precisa por a caixa escolhida na balança basta enumerar as restantes e tirar os comprimidos do jeito que o amigo citou...depois olha o valor resultante e tira o módulo 10.. se for 0 é a caixa escolhida.. se for 1 é a caixa numero 9... ... ... ... se for 9 é a caixa número 1... O que me chamou atençao é a injetividade metodo-resposta...isso tah com cara que tem teoria dos numeros no meio...o nicolau poderia fazer o favor de formalizar melhor as coisas aqui p/ ficar mais claro... --- David Cardoso [EMAIL PROTECTED] escreveu: Isso mesmo! Sendo que se a caixa ecolhida fosse defeituosa tudo pesaria 1350g. Abraço, David -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Felipe Avelino Enviada em: terça-feira, 7 de março de 2006 19:23 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema dos Remédios ah eh facil!! escolhe uma caixa qualquer.. e numera as restantes... tira um comprimido da caixa numero 1 e coloca junto tira dois comprimidos da caixa numero 2 .. e assim por diante.. ateh a caixa numero 9 junta todos esses comprimidos e coloca pra pesar junto com a caixa escolhida primeiramente se pesar 1449g a caixa defeituosa eh a numero 1 se pesar 1448g a caixa defeituosa eh a numero 2 se pesar 1450g a caixa defeituosa eh a escolhida . Em 07/03/06, David Cardoso [EMAIL PROTECTED] escreveu: Pesar uma vez significa fazer apenas uma leitura do peso no visor da balança.. uma vez lido qualquer número no visor da balança, ela quebra.. :P -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] ] Em nome de Chicao Valadares Enviada em: terça-feira, 7 de março de 2006 16:38 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Problema dos Remédios Pesar uma unica vez???Se vc supor que o ato de pesar é colocar alguma coisa e depois tirar, vc somente deve ir colocando sem tirar cada caixa e se a variaçao do peso nao for conforme esperado tai sua caixa. --- David Cardoso [EMAIL PROTECTED] escreveu: Há 10 caixas de um tipo de remédio, cada caixa com 100 comprimidos, cada comprimido pesando 10g. Uma(exatamente uma) destas caixas é oriunda de um lote defeituoso, onde os comprimidos pesam 9 g. Você tem acesso a uma balança digital, que só pode ser usada uma vez, e tem precisão suficiente para lhe dar o resultado exato de qqr pesagem com esses remédios. Qual a sua estratégia de pesagem pra determinar, com certeza, qual a caixa de remédio defeituosa? -- 2a. parte, generalização: --- Qual o número mínimo pesagens necessárias para se descobrir k caixas defeituosas dentro de uma amostragem de n caixas? == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == === O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com http://br.acesso.yahoo.com == === Instruções para entrar na lista
Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema dos Remédi os
A caixa de remédios é defeituosa ou não funciona? Brincadeira... Mas acho que não funciona; por exemplo:(7+11+13)*9+31*10=(7+11+13)*10+31*9.Entretanto, pode ter remédio, pois existem mais do que 10 números primos entre 6 e 100. Talvez seja o caso de selecionar a decupla que não possue somas parciais iguais (incluindo, como no exemplo acima, o número isolado). David Cardoso [EMAIL PROTECTED] escreveu: Realmente fica bem mais interessante.Eu tive uma idéia, não tenho certeza se daria certo pra qualquer caso:Enumera todos os primos menores que 100, exceto o 2, 3 e 5 (pq sao fatoresde 10g e 9g).Ou seja, a sequência S seria 7, 11, 17, 23, ...Pesaria S_1 comprimidos da caixa 1, junto com S_2 comprimidos da caixa 2,..., até S_10.Se eu tiver pensando certo, o resultado da pesagem vai poder ser fatoradoassim:S_1 * K_1 + S_2 * K_2 + ... + S_10 * K_10Cada K_i da fatoração deveria ser ou 9g ou 10g, o que indicaria se a caixacorrespondente é defeituosa ou não.. funciona?![]'sDavid -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Nicolau C. Saldanha Enviada em: quarta-feira, 8 de março de 2006 07:19 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Problema dos Remédios On Tue, Mar 07, 2006 at 02:39:37PM -0300, David Cardoso wrote:Há 10 caixas de um tipo de remédio, cada caixa com 100 comprimidos, cada comprimido pesando 10g. Uma(exatamente uma) destas caixas é oriunda de um lote defeituoso, onde os comprimidos pesam 9 g. &! gt; Você tem acesso a uma balança digital, que só pode ser usada uma vez, e tem precisão suficiente para lhe dar o resultado exato de qqr pesagem com esses remédios.Qual a sua estratégia de pesagem pra determinar, com certeza, qual a caixa de remédio defeituosa? Já resolveram o problema como proposto, mas na verdade é possível resolver uma versão bem mais forte: Há 10 caixas de um tipo de remédio, cada caixa com 100 comprimidos, cada comprimido pesando 10g. Algumas destas caixas (você não sabe quantas nem quais) são oriundas de um lote defeituoso, onde os comprimidos pesam 9 g. Você tem acesso a uma balança digital, que só pode ser usada uma vez, e tem precisão suficiente para lhe dar o resultado exato de qqr pesagem com esses remédios. Qual a sua es! tratégia de pesagem para determinar, com certeza, exatamente quais caixas de remédio são defeituosas? []s, N. == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == === __ NOD32 1.1425 (20060302) Information __ This message was checked by NOD32 antivirus system. http://www.eset.com =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] Problema dos Remédios
É verdade.. E se uma décupla assim existir? Resolve o problema? []'s -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Eduardo Wilner Enviada em: quarta-feira, 8 de março de 2006 17:35 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema dos Remédios A caixa de remédios é defeituosa ou não funciona? Brincadeira... Mas acho que não funciona; por exemplo: (7+11+13)*9+31*10=(7+11+13)*10+31*9. Entretanto, pode ter remédio, pois existem mais do que 10 números primos entre 6 e 100. Talvez seja o caso de selecionar a decupla que não possue somas parciais iguais (incluindo, como no exemplo acima, o número isolado). David Cardoso [EMAIL PROTECTED] escreveu: Realmente fica bem mais interessante. Eu tive uma idéia, não tenho certeza se daria certo pra qualquer caso: Enumera todos os primos menores que 100, exceto o 2, 3 e 5 (pq sao fatores de 10g e 9g). Ou seja, a sequência S seria 7, 11, 17, 23, ... Pesaria S_1 comprimidos da caixa 1, junto com S_2 comprimidos da caixa 2, ..., até S_10. Se eu tiver pensando certo, o resultado da pesagem vai poder ser fatorado assim: S_1 * K_1 + S_2 * K_2 + ... + S_10 * K_10 Cada K_i da fatoração deveria ser ou 9g ou 10g, o que indicaria se a caixa correspondente é defeituosa ou não.. funciona?! []'s David -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Nicolau C. Saldanha Enviada em: quarta-feira, 8 de março de 2006 07:19 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Problema dos Remédios On Tue, Mar 07, 2006 at 02:39:37PM -0300, David Cardoso wrote: Há 10 caixas de um tipo de remédio, cada caixa com 100 comprimidos, cada comprimido pesando 10g. Uma(exatamente uma) destas caixas é oriunda de um lote defeituoso, onde os comprimidos pesam 9 g. ! gt; Você tem acesso a uma balança digital, que só pode ser usada uma vez, e tem precisão suficiente para lhe dar o resultado exato de qqr pesagem com esses remédios. Qual a sua estratégia de pesagem pra determinar, com certeza, qual a caixa de remédio defeituosa? Já resolveram o problema como proposto, mas na verdade é possível resolver uma versão bem mais forte: Há 10 caixas de um tipo de remédio, cada caixa com 100 comprimidos, cada comprimido pesando 10g. Algumas destas caixas (você não sabe quantas nem quais) são oriundas de um lote defeituoso, onde os comprimidos pesam 9 g. Você tem acesso a uma balança digital, que só pode ser usada uma vez, e tem precisão suficiente para lhe dar o resultado exato de qqr pesagem com esses remédios. Qual a sua es! tratégia de pesagem para determinar, com certeza, exatamente quais caixas de remédio são defeituosas? []s, N. == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == === __ NOD32 1.1425 (20060302) Information __ This message was checked by NOD32 antivirus system. http://www.eset.com == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == === Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://us.rd.yahoo.com/mail/br/tagline/homepage_set/*http://b r.acesso.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Problema dos Remédios
Pesar uma vez significa fazer apenas uma leitura do peso no visor da balança.. uma vez lido qualquer número no visor da balança, ela quebra.. :P -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Chicao Valadares Enviada em: terça-feira, 7 de março de 2006 16:38 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Problema dos Remédios Pesar uma unica vez???Se vc supor que o ato de pesar é colocar alguma coisa e depois tirar, vc somente deve ir colocando sem tirar cada caixa e se a variaçao do peso nao for conforme esperado tai sua caixa. --- David Cardoso [EMAIL PROTECTED] escreveu: Há 10 caixas de um tipo de remédio, cada caixa com 100 comprimidos, cada comprimido pesando 10g. Uma(exatamente uma) destas caixas é oriunda de um lote defeituoso, onde os comprimidos pesam 9 g. Você tem acesso a uma balança digital, que só pode ser usada uma vez, e tem precisão suficiente para lhe dar o resultado exato de qqr pesagem com esses remédios. Qual a sua estratégia de pesagem pra determinar, com certeza, qual a caixa de remédio defeituosa? -- 2a. parte, generalização: --- Qual o número mínimo pesagens necessárias para se descobrir k caixas defeituosas dentro de uma amostragem de n caixas? == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == === O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == === = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema dos Remédios
ah eh facil!! escolhe uma caixa qualquer.. e numera as restantes... tira um comprimido da caixa numero 1 e coloca junto tira dois comprimidos da caixa numero 2 .. e assim por diante.. ateh a caixa numero 9 junta todos esses comprimidos e coloca pra pesar junto com a caixa escolhida primeiramente se pesar1449g a caixa defeituosa eh a numero 1 se pesar 1448g a caixa defeituosa eh a numero 2 se pesar 1450g a caixa defeituosa eh a escolhida . Em 07/03/06, David Cardoso [EMAIL PROTECTED] escreveu: Pesar uma vez significa fazer apenas uma leitura do peso no visor dabalança.. uma vez lido qualquer número no visor da balança, ela quebra.. :P -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] ] Em nome de Chicao Valadares Enviada em: terça-feira, 7 de março de 2006 16:38 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Problema dos Remédios Pesar uma unica vez???Se vc supor que o ato de pesar é colocar alguma coisa e depois tirar, vc somente deve ir colocando sem tirar cada caixa e se a variaçao do peso nao for conforme esperado tai sua caixa. --- David Cardoso [EMAIL PROTECTED] escreveu: Há 10 caixas de um tipo de remédio, cada caixa com 100 comprimidos, cada comprimido pesando 10g. Uma(exatamente uma) destas caixas é oriunda de um lote defeituoso, onde os comprimidos pesam 9 g. Você tem acesso a uma balança digital, que só pode ser usada uma vez, e tem precisão suficiente para lhe dar o resultado exato de qqr pesagem com esses remédios. Qual a sua estratégia de pesagem pra determinar, com certeza, qual a caixa de remédio defeituosa? -- 2a. parte, generalização: --- Qual o número mínimo pesagens necessárias para se descobrir k caixas defeituosas dentro de uma amostragem de n caixas? == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == === O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] Problema dos Remédios
Isso mesmo! Sendo que se a caixa ecolhida fosse defeituosa tudo pesaria 1350g. Abraço, David -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Felipe Avelino Enviada em: terça-feira, 7 de março de 2006 19:23 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] Problema dos Remédios ah eh facil!! escolhe uma caixa qualquer.. e numera as restantes... tira um comprimido da caixa numero 1 e coloca junto tira dois comprimidos da caixa numero 2 .. e assim por diante.. ateh a caixa numero 9 junta todos esses comprimidos e coloca pra pesar junto com a caixa escolhida primeiramente se pesar 1449g a caixa defeituosa eh a numero 1 se pesar 1448g a caixa defeituosa eh a numero 2 se pesar 1450g a caixa defeituosa eh a escolhida . Em 07/03/06, David Cardoso [EMAIL PROTECTED] escreveu: Pesar uma vez significa fazer apenas uma leitura do peso no visor da balança.. uma vez lido qualquer número no visor da balança, ela quebra.. :P -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] ] Em nome de Chicao Valadares Enviada em: terça-feira, 7 de março de 2006 16:38 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Problema dos Remédios Pesar uma unica vez???Se vc supor que o ato de pesar é colocar alguma coisa e depois tirar, vc somente deve ir colocando sem tirar cada caixa e se a variaçao do peso nao for conforme esperado tai sua caixa. --- David Cardoso [EMAIL PROTECTED] escreveu: Há 10 caixas de um tipo de remédio, cada caixa com 100 comprimidos, cada comprimido pesando 10g. Uma(exatamente uma) destas caixas é oriunda de um lote defeituoso, onde os comprimidos pesam 9 g. Você tem acesso a uma balança digital, que só pode ser usada uma vez, e tem precisão suficiente para lhe dar o resultado exato de qqr pesagem com esses remédios. Qual a sua estratégia de pesagem pra determinar, com certeza, qual a caixa de remédio defeituosa? -- 2a. parte, generalização: --- Qual o número mínimo pesagens necessárias para se descobrir k caixas defeituosas dentro de uma amostragem de n caixas? == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == === O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com http://br.acesso.yahoo.com == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == === == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
RES: [obm-l] Problema
O primeiro matematico recebeu o produto P e concluiu que nao lhe era possivel precisar quais eram os dois numeros dados. Disto podemos concluir que (1) - P nao eh o quadrado de um numero primo e (2) - P nao eh o produto de exatamente dois primos distintos. Se (1) ou (2) ocorressem, seria entao possivel precisar quais eram os numeros. Se P = p^3 para algum primo p, entao os numeros estao perfeitamente determinados, um eh p e o outro eh p^2. Mas observamos tambem que, se P puder ser decomposto no produto de pelo menos 3 primos distintos, entao hah sempre mais de um par de inteiros cujo produto eh P. Ocorrendo esta ultima situacao, nao hah como identificar os numeros. E se p for uma potencia inteira n=4 de um primo p, entao hah tambem mais de uma opcao para os numeros. Assim, como o 1o matematico nao identificou os numeros, podemos afirmar que P nao eh o produto de 2 primos distintos, nem o quadrado de um primo e nem o cubo de um primo. Qualquer outra situacao leva a mais de uma possibilidade para o par de numeros. Pela soma S do 2 numeros, o segundo matematico concluiu que o produto P satisfazia aas condicoes citadas. Eh o que pude concluir por ora. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de [EMAIL PROTECTED] Enviada em: quinta-feira, 29 de dezembro de 2005 00:38 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema Me lembrei de outro velho problema que me passaram com dados novos: Um gênio matemático recebe, num papel, a soma de dois números inteiros entre 2 e 100. Um outro gênio recebe o produto dos mesmos dois números. Os dois iniciam o diálogo: - Este produto não é o suficiente para achar os dois números. - Eu sabia. - Então, eu conheço estes números. - Nesse caso, eu também. - Quais são os dois números? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Problema das Alianças...
Divida as 12 em 3 grupos de 4. Compara dois grupos na balança. Com isso, vc determina em qual dos 4 grupos a aliança está. Pegue esse grupo que vc acabou de terminar, com 4 alianças, compare duas elas. Caso tenha empatado, faça a 3a. pesagem com as 2 alianças restantes e descubra qual é. []'s David -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de filipe junqueira Enviada em: domingo, 28 de agosto de 2005 23:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Problema das Alianças... Ola caros amigos da lista... Um amigo de meu pai me desafio com o seguinte problema e não consigo obter resposta la vai: Um homem muito rico tinha 12 alianças de ouro uma delas entretanto era mais leve ou mais pesada que as demais.Como descobrir qual aliança é a mais leve ou pesada com apenas tres pesagens em uma balança tradicional...( Aquelas que simbolizam a justiça onde se compara apenas dois pesos). (Creio eu que 3 pesagens não são sufucientesmas espero que esteja enganado) Muito obrigado e boa sorte com o problema Filipe Junqueira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] RES: [obm-l] Problema das Alian�as...
Como o prof. Nicolau ja falou esse assunto ja foi mais que discutido. O problema e interessante...atente pro fato que nao se sabe se a alianca e mais pesada ou leve. A primeira pesagem no caso apenas eliminaria 4. Tente um pouco mais e sigua os links que o prof. indicou. From: David Cardoso [EMAIL PROTECTED] Divida as 12 em 3 grupos de 4. Compara dois grupos na balança. Com isso, vc determina em qual dos 4 grupos a aliança está. Pegue esse grupo que vc acabou de terminar, com 4 alianças, compare duas elas. Caso tenha empatado, faça a 3a. pesagem com as 2 alianças restantes e descubra qual é. []'s David = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: RES: [obm-l] Problema do casal de filhos
On Mon, Aug 22, 2005 at 09:31:55PM -0300, Luiz Viola wrote: Intuitivamente pra mim é 1/2. Acho que para a maioria das pessoas a quem eu propus o problema também responderam 1/2. O livro porém apresenta a resposta 1/3, tal como propuseram a solução aqui na lista... eu não consigo aceitar 1/3...nem fazendo força... O livro dá alguma explicação? Seria interessante se você pudesse transcrever enunciado e resolução para que pudéssemos saber exatamente de que estamos falando. Pelo que você escreveu até agora, não acho implausível que o livro esteja simplesmente errado. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: RES: [obm-l] Problema do casal de filhos
De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 23 Aug 2005 10:05:18 -0300 Assunto: Re: RES: RES: [obm-l] Problema do casal de filhos On Mon, Aug 22, 2005 at 09:31:55PM -0300, Luiz Viola wrote: Intuitivamente pra mim é 1/2. Acho que para a maioria das pessoas a quem eu propus o problema também responderam 1/2. O livro porém apresenta a resposta 1/3, tal como propuseram a solução aqui na lista... eu não consigo aceitar 1/3...nem fazendo força... O livro dá alguma explicação? Seria interessante se você pudesse transcrever enunciado e resolução para que pudéssemos saber exatamente de que estamos falando. Pelo que você escreveu até agora, não acho implausível que o livro esteja simplesmente errado. []s, N. Isso me faz lembrar o problema das três caixas fechadas. A primeiradelas contém duas moedas de ouro, a segunda, uma de ouro e uma de prata, e a terceira, duas de prata. Tomamos uma caixa ao acaso e dela retiramos uma moeda. Dado que a moeda retirada é de ouro, qual a probabilidade de que a outra moeda desta caixa também seja de ouro? A resposta é 2/3, apesar de muita gente achar que é 1/2. []s, Claudio.
Re: RES: [obm-l] Problema do casal de filhos
On Sun, Aug 21, 2005 at 10:37:09PM -0300, Luiz Viola wrote: Um homem visita um casal que tem dois filhos. Uma das crianças, um menino, vem à sala. Encontre a probabilidade (p) de o outro ser também um menino, se (i) sabe-se que a outra criança é mais nova (ii) nada se sabe sobre a outra criança A resposta do item (ii) não é 1/2 Alguém consegue enxergar por que Para mim a resposta correta é 1/2 sim (para ambos os itens) e o raciocínio que foi apresentado para chegar a outro valor está equivocado. Tudo isto com suposições que me parecem naturais e que não vou explicitar. Pq exatamente você acha que a resposta deveria ser diferente de 1/2? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: RES: [obm-l] Problema do casal de filhos
Intuitivamente pra mim é 1/2. Acho que para a maioria das pessoas a quem eu propus o problema também responderam 1/2. O livro porém apresenta a resposta 1/3, tal como propuseram a solução aqui na lista... eu não consigo aceitar 1/3...nem fazendo força... Abraço! Viola -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Nicolau C. Saldanha Enviada em: segunda-feira, 22 de agosto de 2005 13:29 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: RES: [obm-l] Problema do casal de filhos On Sun, Aug 21, 2005 at 10:37:09PM -0300, Luiz Viola wrote: Um homem visita um casal que tem dois filhos. Uma das crianças, um menino, vem à sala. Encontre a probabilidade (p) de o outro ser também um menino, se (i) sabe-se que a outra criança é mais nova (ii) nada se sabe sobre a outra criança A resposta do item (ii) não é 1/2 Alguém consegue enxergar por que Para mim a resposta correta é 1/2 sim (para ambos os itens) e o raciocínio que foi apresentado para chegar a outro valor está equivocado. Tudo isto com suposições que me parecem naturais e que não vou explicitar. Pq exatamente você acha que a resposta deveria ser diferente de 1/2? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente Terra. Para alterar a categoria classificada, visite http://mail.terra.com.br/protected_email/imail/imail.cgi?+_u=lfviola_l= 1,1124729600.942542.12590.niassa.terra.com.br,3404,Des15,Des15 Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 22/08/2005 / Versão: 4.4.00/4564 Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Problema do casal de filhos
Caramba...chegamos a um consenso? -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Fábio Dias Moreira Enviada em: domingo, 21 de agosto de 2005 21:54 Para: Thyago A. Kufner Assunto: Re: [obm-l] Problema do casal de filhos [21/08/2005, [EMAIL PROTECTED]: [21/08/2005, [EMAIL PROTECTED]: Um homem visita um casal que tem dois filhos. Uma das crianças, um menino, vem à sala. Encontre a probabilidade (p) de o outro ser também um menino, se (i) sabe-se que a outra criança é mais nova (ii) nada se sabe sobre a outra criança A resposta do item (ii) não é 1/2 Alguém consegue enxergar por que Digamos que H representa um filho homem e M uma filha mulher. Como o casal teve dois filhos, as possibilidades são (na ordem mais velha, mais nova): H, H H, M M, H M, M Na primeira situação descrita no problema, sabemos que a criança mais velha é um menino. Só podemos ter duas das quatro situações acima: H, M H, H Ou seja, para a outra criança (a mais nova) ser um menino, só há uma situação entre duas possíveis. Por isso que a probabilidade é 1/2. Na segunda situação, só sabemos que uma das duas crianças é menino. Ou seja, das quatro situações possíveis, estamos lidando com apenas três (as que possuem no mínimo um H): H, H H, M M, H Assim, temos apenas 1 entre 3 possibilidades que satisfazem o enunciado. Portanto, para a situação 2, a probabilidade é 1/3. []'s Kufner www.cursinho.hpg.com.br http://www.cursinho.hpg.com.br Sim, mas nos casos (H, M) e (M, H) a probabilidade do menino, e não a menina, entrar na sala, é 1/2 (afinal de contas, o enunciado não diz nada que poderia sugerir uma assimetria entre um eventual menino e uma eventual menina). Logo os três casos que você mostrou *não têm* a mesma probabilidade -- a probabilidade desses dois casos é, digamos, x, e, como a probabilidade de um menino entrar no caso (H, H) é o dobro da dos outros casos, a probabilidade de (H, H) é 2x. Como a soma das probabilidades é 1, x + x + 2*x = 1 = x = 1/4 = 2*x = 1/2. Essa é, na realidade, uma aplicação do Teorema de Bayes -- o argumento que eu fiz acima foi uma versão intuitiva da demonstração formal: http://mathworld.wolfram.com/BayesTheorem.html (E, de fato, (1/4*1)/(1/4*1/2+1/4*1/2+1/4*1) = 1/2 como se poderia esperar.) []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Problema Subconjuntos
Olá Artur!!!
O 1° lema de Kaplansky diz que o número de p-subconjuntos (isto é, um
subconjunto com p elementos) de {1,2,...,n} nos quais não há números
consecutivos é:
f (n,p) = Combinação(n-p+1,p).
Para maiores detalhes consulte Análise Combinatória e Probabilidade de
Morgado, Pitombeira, P.C.Pinto Carvalho e Pedro Fernandez, da coleção do
Professor de Matemática.
Espero ter ajudado,um grande abraço,
Poncio
- Original Message -
From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, July 21, 2004 8:14 PM
Subject: Re: RES: [obm-l] Problema Subconjuntos
C(n-2;3). Basta usar o primeiro lema de Kaplansky.
Eu nunca ouvi falar deste lema (ignorancia minha). Alguem poderia
enuncia-lo?
Obrigado.
Artur
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Re: RES: [obm-l] Problema Subconjuntos
achei isso no arquivo da lista:
quote
Kaplansky.
Primeiro lema:
O número de subconjuntos de tamanho p do conjunto {1,
2,..., n} no qual nao figuram numeros consecutivos eh
C(n-p+1, p)
Segundo lema:
Igual ao anterior, mas considerando 1 e n como
consecutivos. O numero de subconjuntos eh
[n/(n-p)]*C(n-p, p).
/quote
--- Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
escreveu: C(n-2;3). Basta usar o primeiro lema de
Kaplansky.
Eu nunca ouvi falar deste lema (ignorancia minha).
Alguem poderia
enuncia-lo?
Obrigado.
Artur
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RES: [obm-l] Problema de Divisibilidade / Primos
Droga droga droga !!! Na pressa, errei o enunciado da questão! Mil desculpas! Segue o enunciado correto: Quantos inteiros existem que não são divisíveis por qualquer que seja o primo maior que 20 e não são divisíveis pelo quadrado de qualquer que seja o primo? Puxa vida... tenho prova amanha cedo, vou tentar tirar minhas duvidas de ultima hora, tenho a sorte de voces existirem e ainda erro o enunciado da questao... :~( []'s David -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Bruno França dos Reis Enviada em: terça-feira, 20 de julho de 2004 18:53 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Problema de Divisibilidade / Primos -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 On Tuesday 20 July 2004 18:26, David M. Cardoso wrote: Mais duas questoes que não consigo me mecher: Quantos inteiros existem que não são divisíveis por qualquer que seja o primo maior que 20 e não são divisiveis por qualquer que seja o primo? a) infinitos: 2^n não é divisível por qualquer que seja o primo maior que 20, pois é divisível apenas pelo primo 2, qualquer que seja n natural. b) apenas o 1, pois qualquer outro número é divisível por ao menos um primo: se ele for composto, sabemos que ele é múltiplo de primos, e se ele é primo, ele é divisível por si próprio, um número primo. Já o 1 é divisível apenas por 1, que não é primo (e não me venham com essa de que 1 é primo também!) acho que é isso! abraço - -- Bruno França dos Reis brunoreis at terra com br icq: 12626000 gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.4 (GNU/Linux) iD8DBQFA/ZREsHdDIT+qyroRAhQFAKDOZm/uCMp38TYe+uXT2rL+lkNPWQCfWTdb iMrCfq37UfF/7EZvrP6Qm3g= =qpSy -END PGP SIGNATURE- == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == === = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Problema de Divisibilidade / Primos
Oi, David, Enumere os primos menores do que 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19: são 8. Um número que satisfaça as condições do enunciado pode ter, no máximo, um de cada um destes fatores, pela segunda parte, e nenhum outro fator, pela primeira parte. Assim, temos um problema de combinatória, agora: quantos números podemos formar utilizando apenas o produto de 8 primos, onde não podemos incluir um primo duas vezes. Ou, mais combinatória ainda, quantos subconjuntos de um conjunto de 8 elementos existem? Para ver que as soluções são iguais, associe a cada subconjunto o número correspondente ao produto de seus elementos, e ao subconjunto vazio o número 1 (eis aqui mais uma boa justificativa para termos um produtório vazio valendo 1!!) Bom, para este problema a resposta é conhecida: vale 2^8 = 256. Pronto, são 256 números. Abraços, Bernardo Costa On Tue, 20 Jul 2004, David M. Cardoso wrote: Droga droga droga !!! Na pressa, errei o enunciado da questão! Mil desculpas! Segue o enunciado correto: Quantos inteiros existem que não são divisíveis por qualquer que seja o primo maior que 20 e não são divisíveis pelo quadrado de qualquer que seja o primo? Puxa vida... tenho prova amanha cedo, vou tentar tirar minhas duvidas de ultima hora, tenho a sorte de voces existirem e ainda erro o enunciado da questao... :~( []'s David -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Bruno França dos Reis Enviada em: terça-feira, 20 de julho de 2004 18:53 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Problema de Divisibilidade / Primos -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 On Tuesday 20 July 2004 18:26, David M. Cardoso wrote: Mais duas questoes que não consigo me mecher: Quantos inteiros existem que não são divisíveis por qualquer que seja o primo maior que 20 e não são divisiveis por qualquer que seja o primo? a) infinitos: 2^n não é divisível por qualquer que seja o primo maior que 20, pois é divisível apenas pelo primo 2, qualquer que seja n natural. b) apenas o 1, pois qualquer outro número é divisível por ao menos um primo: se ele for composto, sabemos que ele é múltiplo de primos, e se ele é primo, ele é divisível por si próprio, um número primo. Já o 1 é divisível apenas por 1, que não é primo (e não me venham com essa de que 1 é primo também!) acho que é isso! abraço - -- Bruno França dos Reis brunoreis at terra com br icq: 12626000 gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.4 (GNU/Linux) iD8DBQFA/ZREsHdDIT+qyroRAhQFAKDOZm/uCMp38TYe+uXT2rL+lkNPWQCfWTdb iMrCfq37UfF/7EZvrP6Qm3g= =qpSy -END PGP SIGNATURE- == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == === = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Problema de Divisibilidade / Primos
Aeee ... acabei de pensar na solucao, não sei se ta certo:
se n é o produto de k primos (i=k=8), entao
n = p_1 * p_2 * p_3 * ... * p_k
tal que p_i 20 (1 = i = k)
entao p_i pertence ao conjunto dos primos menores que 20 {
2,3,5,7,11,13,17,19 }
queremos contar os subconjuntos desse conjunto... menos o vazio..
temos entao 2^8 - 1 numeros deste tipo.
Ta certo?
[]'s
David
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de David M. Cardoso
Enviada em: terça-feira, 20 de julho de 2004 20:11
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: RES: [obm-l] Problema de Divisibilidade / Primos
Droga droga droga !!!
Na pressa, errei o enunciado da questão!
Mil desculpas!
Segue o enunciado correto:
Quantos inteiros existem que não são divisíveis por qualquer
que seja o primo maior que 20 e não são divisíveis pelo
quadrado de qualquer que seja o primo?
Puxa vida... tenho prova amanha cedo, vou tentar tirar minhas
duvidas de ultima hora, tenho a sorte de voces existirem e
ainda erro o enunciado da questao... :~(
[]'s
David
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Bruno França
dos Reis
Enviada em: terça-feira, 20 de julho de 2004 18:53
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] Problema de Divisibilidade / Primos
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1
On Tuesday 20 July 2004 18:26, David M. Cardoso wrote:
Mais duas questoes que não consigo me mecher:
Quantos inteiros existem que não são divisíveis por
qualquer que seja
o primo maior que 20 e não são divisiveis por qualquer que
seja o primo?
a) infinitos: 2^n não é divisível por qualquer que seja o
primo maior
que 20, pois é divisível apenas pelo primo 2, qualquer que seja n
natural.
b) apenas o 1, pois qualquer outro número é divisível por
ao menos um
primo:
se ele for composto, sabemos que ele é múltiplo de primos,
e se ele é
primo, ele é divisível por si próprio, um número primo. Já o 1 é
divisível apenas por 1, que não é primo (e não me venham
com essa de
que 1 é primo também!)
acho que é isso!
abraço
- --
Bruno França dos Reis
brunoreis at terra com br
icq: 12626000
gpg-key:
http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.2.4 (GNU/Linux)
iD8DBQFA/ZREsHdDIT+qyroRAhQFAKDOZm/uCMp38TYe+uXT2rL+lkNPWQCfWTdb
iMrCfq37UfF/7EZvrP6Qm3g=
=qpSy
-END PGP SIGNATURE-
==
===
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
==
===
==
===
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
==
===
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RES: [obm-l] Problema Subconjuntos
Cara, muito obrigado..
Sendo que ta dando trabalho pra eu entender algumas coisas,
como teremos T[n-3] - T[n-4] subconjuntos com os elementos n-1 e n-2..
hora eu penso que entendi, hora eu não entendo mais e fico tentando lembrar
pq eu fico entendido antes, talvez seja o nervosismo, talvez seja apenas
porque o raciocinio eh complicado demais pra mim..
Outra duvida que tenho é se é possível transformar a recorrência num
polinomiozinho em função de n ou se uma resposta desse tipo já esta
completa o suficiente..
[]'s
David
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Helder Suzuki
Enviada em: terça-feira, 20 de julho de 2004 19:30
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] Problema Subconjuntos
vamos ver, seguindo a dica de usar recorrencia
se T[n] for igual ao numero de subconjuntos do conjunto {1,
2, ..., n} que nao contem 3 inteiros consecutivos.
temos que:
T[0] = 1
{}
T[1] = 2
{} e {1}
T[2] = 4
{}, {1},
{2} e {1, 2}
T[3] = 7
{}, {1}, {2}, {1, 2},
{3}, {1, 3}, {2, 3}
T[4] = 13
{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {4}, {1, 4}, {2,
4}, {3, 4}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}
bom, suponha que sabemos o valor de T[n-1], T[n-2], ...,
T[1]; como podemos achar T[n] em funcao de T[n-1]? humm...
considere todos subconjuntos de {1, 2, 3, 4, ..., n-1} que
satisfazem a condicao do enunciado.
se adicionarmos um elemento n, em quais desses subconjuntos o
n pode entrar e quais ele nao pode(para manter a condicao do
enunciado)?
se n nao pode entrar em X subconjuntos, temos que T[n] =
T[n-1] + T[n-1] - X T[n] = 2*T[n-1] - X mas X eh o numero de
subconjuntos que tem os elementos
n-1 e n-2.
imagine que temos os subconjnutos de {1, 2, ..., n-3} e
queremos adicionar os elementos n-1 e n-2 a esses
subconjuntos ao mesmo tempo, nesse caso só nao poderemos
adicionar n-1 e n-2 aos subconjuntos que tem o elemento n-3,
entao teremos T[n-3] - T[n-4] subconjuntos com os elementos n-1 e n-2:
X = T[n-3] - T[n-4]
entao nossa recorrencia fica:
T[n] = 2*T[n-1] - T[n-3] + T[n-4]
[]'s,
Helder
--- David M. Cardoso [EMAIL PROTECTED]
escreveu:
Olá,
Alguem pode me ajudar? Não consegui resolver o seguinte problema:
Quantos subconjuntos o conjunto {1,2,3,...,n} tais que não contêm
três inteiros consecutivos?
A dica dada na questão é: Encontre uma recorrência.
Porém, qualquer
solução (sem/com recorrência) vai ajudar.
[]'s
David
___
Yahoo! Mail agora com 100MB, anti-spam e antivírus grátis!
http://br.info.mail.yahoo.com/
==
===
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
==
===
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RES: RES: [obm-l] Problema de Divisibilidade / Primos
Realmente.. realmente.. o vazio conta como o numero 1.. ok .. obrigado! []'s David -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa Enviada em: terça-feira, 20 de julho de 2004 21:29 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: RES: [obm-l] Problema de Divisibilidade / Primos Oi, David, Enumere os primos menores do que 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19: são 8. Um número que satisfaça as condições do enunciado pode ter, no máximo, um de cada um destes fatores, pela segunda parte, e nenhum outro fator, pela primeira parte. Assim, temos um problema de combinatória, agora: quantos números podemos formar utilizando apenas o produto de 8 primos, onde não podemos incluir um primo duas vezes. Ou, mais combinatória ainda, quantos subconjuntos de um conjunto de 8 elementos existem? Para ver que as soluções são iguais, associe a cada subconjunto o número correspondente ao produto de seus elementos, e ao subconjunto vazio o número 1 (eis aqui mais uma boa justificativa para termos um produtório vazio valendo 1!!) Bom, para este problema a resposta é conhecida: vale 2^8 = 256. Pronto, são 256 números. Abraços, Bernardo Costa On Tue, 20 Jul 2004, David M. Cardoso wrote: Droga droga droga !!! Na pressa, errei o enunciado da questão! Mil desculpas! Segue o enunciado correto: Quantos inteiros existem que não são divisíveis por qualquer que seja o primo maior que 20 e não são divisíveis pelo quadrado de qualquer que seja o primo? Puxa vida... tenho prova amanha cedo, vou tentar tirar minhas duvidas de ultima hora, tenho a sorte de voces existirem e ainda erro o enunciado da questao... :~( []'s David -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Bruno França dos Reis Enviada em: terça-feira, 20 de julho de 2004 18:53 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Problema de Divisibilidade / Primos -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 On Tuesday 20 July 2004 18:26, David M. Cardoso wrote: Mais duas questoes que não consigo me mecher: Quantos inteiros existem que não são divisíveis por qualquer que seja o primo maior que 20 e não são divisiveis por qualquer que seja o primo? a) infinitos: 2^n não é divisível por qualquer que seja o primo maior que 20, pois é divisível apenas pelo primo 2, qualquer que seja n natural. b) apenas o 1, pois qualquer outro número é divisível por ao menos um primo: se ele for composto, sabemos que ele é múltiplo de primos, e se ele é primo, ele é divisível por si próprio, um número primo. Já o 1 é divisível apenas por 1, que não é primo (e não me venham com essa de que 1 é primo também!) acho que é isso! abraço - -- Bruno França dos Reis brunoreis at terra com br icq: 12626000 gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.4 (GNU/Linux) iD8DBQFA/ZREsHdDIT+qyroRAhQFAKDOZm/uCMp38TYe+uXT2rL+lkNPWQCfWTdb iMrCfq37UfF/7EZvrP6Qm3g= =qpSy -END PGP SIGNATURE- == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == === == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == === == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == === = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Problema - Primos
Mostre que um número com 30 dígitos não pode ter mais que 100 fatores primos. Bem.. talvez eu tenha feito, acho que eh soh mostrar que Piso[Log_10[2^100]+1] = 31 e que portanto 2^100, que é o menor produto de 100 fatores primos, tem 31 dígitos. []'s David = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Problema - Recorrência / Fibonacci
Entendi.. entendi.. obrigado.
[]'s
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Domingos Jr.
Enviada em: terça-feira, 20 de julho de 2004 23:44
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] Problema - Recorrência / Fibonacci
David M. Cardoso wrote:
Olá novamente,
Seja F_n a recorrência definida por F_(n+1) = F_n + F_(n-1).
Com F_1 = 1, F_2 = 1, ... (sequencia de fibonacci)
Qual é o maior: 2^100 ou F_100 ?
deu pra perceber, testando, que 2^100 é maior.
Ateh porque 2^(n+1) / 2^n = 2
Enquanto que F_(n+1) / F_(n) ~ 1,618 quando n é grande.
Mas não sei formalizar/mostrar que 2^100 é de fato o maior.
Você pode provar o resultado por indução para todo n, veja:
para n = 1, 2, F_n = 1 2^n
F_{n+1} = F_n + F{n-1} 2^n + 2^{n-1} = 3*2^{n-1}
4*2^{n-1} = 2^{n+1}
e o resultado segue por indução.
==
===
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
==
===
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: RES: [obm-l] Problema Subconjuntos
C(n-2;3). Basta usar o primeiro lema de Kaplansky.
==
Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1
CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br
Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978
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-- Original Message ---
From: David M. Cardoso [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tue, 20 Jul 2004 20:57:24 -0300
Subject: RES: [obm-l] Problema Subconjuntos
Cara, muito obrigado..
Sendo que ta dando trabalho pra eu entender algumas coisas,
como teremos T[n-3] - T[n-4] subconjuntos com os elementos n-1 e n-2..
hora eu penso que entendi, hora eu não entendo mais e fico tentando lembrar
pq eu fico entendido antes, talvez seja o nervosismo, talvez seja apenas
porque o raciocinio eh complicado demais pra mim..
Outra duvida que tenho é se é possível transformar a recorrência num
polinomiozinho em função de n ou se uma resposta desse tipo já esta
completa o suficiente..
[]'s
David
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Helder Suzuki
Enviada em: terça-feira, 20 de julho de 2004 19:30
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] Problema Subconjuntos
vamos ver, seguindo a dica de usar recorrencia
se T[n] for igual ao numero de subconjuntos do conjunto {1,
2, ..., n} que nao contem 3 inteiros consecutivos.
temos que:
T[0] = 1
{}
T[1] = 2
{} e {1}
T[2] = 4
{}, {1},
{2} e {1, 2}
T[3] = 7
{}, {1}, {2}, {1, 2},
{3}, {1, 3}, {2, 3}
T[4] = 13
{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {4}, {1, 4}, {2,
4}, {3, 4}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}
bom, suponha que sabemos o valor de T[n-1], T[n-2], ...,
T[1]; como podemos achar T[n] em funcao de T[n-1]? humm...
considere todos subconjuntos de {1, 2, 3, 4, ..., n-1} que
satisfazem a condicao do enunciado.
se adicionarmos um elemento n, em quais desses subconjuntos o
n pode entrar e quais ele nao pode(para manter a condicao do
enunciado)?
se n nao pode entrar em X subconjuntos, temos que T[n] =
T[n-1] + T[n-1] - X T[n] = 2*T[n-1] - X mas X eh o numero de
subconjuntos que tem os elementos
n-1 e n-2.
imagine que temos os subconjnutos de {1, 2, ..., n-3} e
queremos adicionar os elementos n-1 e n-2 a esses
subconjuntos ao mesmo tempo, nesse caso só nao poderemos
adicionar n-1 e n-2 aos subconjuntos que tem o elemento n-3,
entao teremos T[n-3] - T[n-4] subconjuntos com os elementos n-1 e n-2:
X = T[n-3] - T[n-4]
entao nossa recorrencia fica:
T[n] = 2*T[n-1] - T[n-3] + T[n-4]
[]'s,
Helder
--- David M. Cardoso [EMAIL PROTECTED]
escreveu:
Olá,
Alguem pode me ajudar? Não consegui resolver o seguinte problema:
Quantos subconjuntos o conjunto {1,2,3,...,n} tais que não contêm
três inteiros consecutivos?
A dica dada na questão é: Encontre uma recorrência.
Porém, qualquer
solução (sem/com recorrência) vai ajudar.
[]'s
David
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===
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
==
===
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
--- End of Original Message ---
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: RES: [obm-l] Problema Subconjuntos
Eh, eu fiz uma confusao ali
quote
imagine que temos os subconjnutos de {1, 2, ..., n-3}
e
queremos adicionar os elementos n-1 e n-2 a esses
subconjuntos ao mesmo tempo, nesse caso só nao
poderemos adicionar n-1 e n-2 aos subconjuntos que tem
o elemento n-3,
errado
entao teremos T[n-3] - T[n-4] subconjuntos com os
elementos n-1 e n-2:
X = T[n-3] - T[n-4]
/errado
/quote
correcao
T[n-3] - T[n-4] eh o numero de subconjuntos que tem o
elemento n-3. podemos adicionar n-1 e n-2 a todos os
outros subconjuntos, entao podemos adicionar n-1 e n-2
a T[n-3] - (T[n-3] - T[n-4]) = T[n-4]
entao X = T[n-4]
e T[n] = 2*T[n-1] - T[n-4]
/correcao
--- David M. Cardoso [EMAIL PROTECTED]
escreveu:
Cara, muito obrigado..
Sendo que ta dando trabalho pra eu entender algumas
coisas,
como teremos T[n-3] - T[n-4] subconjuntos com os
elementos n-1 e n-2..
hora eu penso que entendi, hora eu não entendo mais
e fico tentando lembrar
pq eu fico entendido antes, talvez seja o
nervosismo, talvez seja apenas
porque o raciocinio eh complicado demais pra mim..
Outra duvida que tenho é se é possível transformar a
recorrência num
polinomiozinho em função de n ou se uma resposta
desse tipo já esta
completa o suficiente..
[]'s
David
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de
Helder Suzuki
Enviada em: terça-feira, 20 de julho de 2004 19:30
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] Problema Subconjuntos
vamos ver, seguindo a dica de usar recorrencia
se T[n] for igual ao numero de subconjuntos do
conjunto {1,
2, ..., n} que nao contem 3 inteiros consecutivos.
temos que:
T[0] = 1
{}
T[1] = 2
{} e {1}
T[2] = 4
{}, {1},
{2} e {1, 2}
T[3] = 7
{}, {1}, {2}, {1, 2},
{3}, {1, 3}, {2, 3}
T[4] = 13
{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {4},
{1, 4}, {2,
4}, {3, 4}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}
bom, suponha que sabemos o valor de T[n-1],
T[n-2], ...,
T[1]; como podemos achar T[n] em funcao de T[n-1]?
humm...
considere todos subconjuntos de {1, 2, 3, 4, ...,
n-1} que
satisfazem a condicao do enunciado.
se adicionarmos um elemento n, em quais desses
subconjuntos o
n pode entrar e quais ele nao pode(para manter a
condicao do
enunciado)?
se n nao pode entrar em X subconjuntos, temos que
T[n] =
T[n-1] + T[n-1] - X T[n] = 2*T[n-1] - X mas X eh o
numero de
subconjuntos que tem os elementos
n-1 e n-2.
imagine que temos os subconjnutos de {1, 2, ...,
n-3} e
queremos adicionar os elementos n-1 e n-2 a esses
subconjuntos ao mesmo tempo, nesse caso só nao
poderemos
adicionar n-1 e n-2 aos subconjuntos que tem o
elemento n-3,
entao teremos T[n-3] - T[n-4] subconjuntos com os
elementos n-1 e n-2:
X = T[n-3] - T[n-4]
entao nossa recorrencia fica:
T[n] = 2*T[n-1] - T[n-3] + T[n-4]
[]'s,
Helder
--- David M. Cardoso [EMAIL PROTECTED]
escreveu:
Olá,
Alguem pode me ajudar? Não consegui resolver o
seguinte problema:
Quantos subconjuntos o conjunto {1,2,3,...,n}
tais que não contêm
três inteiros consecutivos?
A dica dada na questão é: Encontre uma
recorrência.
Porém, qualquer
solução (sem/com recorrência) vai ajudar.
[]'s
David
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==
===
Instruções para entrar na lista, sair da lista e
usar a lista
em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e
usar a lista em
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RES: [obm-l] Problema envolvendo sistema linear
L = nº laranjas P = nº peras X = nº pessoas Faça: 3L = P 5X = L 8X + 21 = P -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Maurizio Enviada em: Tuesday, June 15, 2004 7:17 PM Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Problema envolvendo sistema linear Em uma cesta de frutas, há 3 vezes mais peras doq ue laranjas. Eu e meus amigos vamos dividir as frutas. Se cada um de nós receber 5 laranjas e 8 peras, restarão 21 peras, e as laranjas serão todas distribuídas. Quantas laranjas há na cesta? Quantas pessoas somos? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- Incoming mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.693 / Virus Database: 454 - Release Date: 5/31/2004 --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.693 / Virus Database: 454 - Release Date: 5/31/2004 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Problema envolvendo sistema linear
L = nº laranjas P = nº peras X = nº pessoas Faça: 3L = P 5X = L 8X + 21 = P Serei a calculadora: -3L = -P 8x + 21 = P 8x - 3L = -21 5X - L = 0 (vezes -3) -15x +3L = 0 -7X = -21 == X = 3 == L = 15 == P = 45 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Problema de Torneiras
(1/4) + (x/25) + (x/40) - (x/20) = 1 [... contas ...] x = 50 horas Princípio: A primeira enxe o tanque em 25 horas 25 -- 1 -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Fabio Contreiras Enviada em: terça-feira, 30 de março de 2004 23:08 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Problema de Torneiras Esse é maneiro! Alguem sabe o caminho das pedras? 1 ) Um tanque tem 3 torneiras. A primeira enxe o tanque em 25 horas, a segunda em 40 horas, ja a terceira, o esvazia em 20 horas. O tanque está com 1 / 4 de água. Abrindo-se simultaneamente as três torneiras, ele ficará cheio em : = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Problema de Torneiras
Apertei control+enter e enviei a mensagem sem querer (desculpa!), continuando: (1/4) + (x/25) + (x/40) - (x/20) = 1 [... contas ...] x = 50 horas Princípio: A primeira enCHe o tanque em 25 horas 25 horas - 1 tanque x horas - (x/25) tanque. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Problema estranho..
Augurios, Eu tb achava que naum tinha solucao da maneira que o professor passou... Eu cheguei em uma solucao igual e dai resolvi colocar em discussao na lista pra ver se alguem tinha alguma ideia diferente que talvez resolvese o problema... A todos que ajudaram meu mto obrigado.. []s Cloves Jr -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Angelo Barone Netto Enviada em: quinta-feira, 25 de março de 2004 16:45 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Problema estranho.. Caro Cloves Jr [EMAIL PROTECTED]: Claro que se a soma dos elementos de cada fila e 12 a soma dos nove elementos da matriz e 36. Por outro lado, se os nove elemntos sao naturais sua soma e, no minimo, 0+1+2+3+4+5+6+7+8=36, os naturais tem que incluir o zero (nada mais natural) e sao necessariamente os que figuram na linha acima. Existem poucas matrizes que satisfazem isto (calcule seu 3), uma delas e 048 561 723. Augurios. Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Problema 05
Elton, Tente, antes de generalizar um sistema, estipular um outro problema. Por exemplo, se você tivesse feito a prova, a quantidade de erros e acertos somadas seria o total de questões? Se você tivesse acertado 32 questões, ganharia quantos pontos com isto (somente as certas)? Que conta você fez para obter o resultado? Se tivesse acertado 32 teria errado 28, quantos pontos perderia com isto? Para saber sua nota, que conta faria? as vezes fica mais fácil partir de uma resposta... Segue a resolução do seu problema 5 A=Acerto E=erro A+E=60 2A-E=30 Donde A= 30 e E=30 Abraços Edu -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de elton francisco ferreira Enviada em: terça-feira, 11 de fevereiro de 2003 20:03 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Problema 05 Numa prova de matemática, um aluno deve responder a 60 itens do tipo verdadeiro ou falso. para cada item respondido corretamente, o aluno vai ganhar 2 pontos e, para cada item que errar, vai perder 1 ponto. A nota do aluno é função do número de itens que ele acertar. Se o aluno obteve 30 pontos, quantos itens ele acertou? ___ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = --- Incoming mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 ___ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RES: [obm-l] Problema 04
Elton...faça um sistema abraços edu -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de elton francisco ferreira Enviada em: segunda-feira, 10 de fevereiro de 2003 16:10 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Problema 04 Um caixa automática de um banco só libera notas de R$ 5,00 e R$ 10,00. Uma pessoa retirou dessa caixa a importância de R$ 65,00, recebendo 10 notas. O produto do número de notas de R$ 5,00 pelo número de notas de R$ 10,00 é igual a 16 25 24 21 ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = --- Incoming mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 ___ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RES: [obm-l] Problema 02
Verifique esta solução, ou pelo menos o início... Bem, a posição do garoto quando a garota sobe na roda gigante e quando desce é a mesma..., se a garota deu 20 voltas o garoto deu 20 voltas mais a diferença inicial, de 6 cadeiras...o resto é conta. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de elton francisco ferreira Enviada em: sexta-feira, 7 de fevereiro de 2003 21:18 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Problema 02 Um casal de namorados foi a um parque de diversões. A roda-gigante tem 10 cadeiras e 8 m de raio. O garoto, que foi o primeiro a entrar, sentou-se na cadeira número 1. A garota sentou-se na cadeira número 7 e desceu depois de dar 20 voltas completas. Quantos metros o garoto percorreu, do instante em que subiu no brinquedo até o momento em que a garota desceu? pi: 3,14 ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = --- Incoming mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.449 / Virus Database: 251 - Release Date: 27/1/2003 ___ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RES: [obm-l] Problema de LOg
Como resolver? Acho que não resolve. Para começar, tem um montão de raízes De fato, sempre que x varia de 2KPi a 2Kpi+pi, o seno vai de 0 a 1 e volta para 0, portanto sen(lnx) vai de -Inf a 0 e volta para -Inf. Então o gráfico de sen(lnx) vai ser um bando de oscilações de -Inf a 0 e de volta a -Inf, uma oscilação a cada 2Pi. Por outro lado, sen(lnx) oscila a períodos cada vez maiores Quer dizer, quando x vai de 1 a e^2Pi, tem uma oscilcao do seno (de 0 a 1 a 0 a -1 e de volta a 0). A próxima oscilação vai de e^2Pi a e^4Pi... Oscilação demoraada Quer dizer que há vários locais onde sen(lnx) vai ficar horizontal... Em particular, deve ter um bom pedação onde sen(lnx) é um tanto negativo... ... e nesses pedaços, sen(lnx) deve cortar ln(senx) várias vezes (já que este oscila rápido e é periódico). Faça os gráficos e confira... :) Abraço, Ralph -Mensagem original- De: Marcos Eike Tinen dos Santos [mailto:mesantos;uai.com.br] Enviada em: quinta-feira, 20 de março de 2008 17:01 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Problema de LOg Como calcular sen(log x) = log(sen x) Ats, Marcos Eike = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RES: [obm-l] Problema
resolva a equação : x^(sqrt x) = 1/2 Deixa eu ver... Note que temos de ter x0. Então, vou fazer y=1/sqrt(x), isto é, x=1/y^2 para começar. Note que y0 também. (1/y^2)^(1/y)=1/2 y^2^(-1/y)=1/2 y^2=2^y Ah-ha! Esse problema eu já vi por aqui Se eu me lembro bem, a gente tem três soluções: y=2, y=4 e uma outra solução negativa que usava o Lambertiano (eu já escrevi isso aqui antes). A solução negativa neste caso não presta, então ficamos só com x=1/4 ou x=1/16. Abraço, Ralph = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] RES: [obm-l] Problema de Função...
Como eu respondi no forum do só matematica, resposta é 20 com m=5, x1=2 e x2=4 []'s Guilherme Pimentel http://sites.uol.com.br/guigous -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Igor CastroEnviada em: sábado, 13 de abril de 2002 16:20Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] Problema de Função... Olá colegas da lista, gostaria de ajuda neste problema por que na minha resolução acho sempre 64... mas não está nas opções do problema, creio que seja facil. Lá vai: Seja A um conjunto de numeros reais tais que para toda m pertencente a A a função: (m/2 -2).x^2 -mx + 8, terá sempre duas raizes reais x1 e x2 satisfazendo 0 x1 = x2 5 . Tomando K como o menor numero inteiro pertencente a A e fazendo na função m=K, as raizes obtidas x1 e x2 tem por soma de seus quadrados: a) 20 b)25 c)30 d)41 e)49 agradeço desde já... []'s ps: = significa maior ou igual...
[obm-l] Re:[obm-l] RES: [obm-l] Problema de Função...
Não seria m=6 no lugar de m=5? Adriano. Como eu respondi no forum do só matematica, resposta é 20 com m=5, x1=2 e x2=4 []'s Guilherme Pimentel http://sites.uol.com.br/guigous -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Igor Castro Enviada em: sábado, 13 de abril de 2002 16:20 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Problema de Função... Olá colegas da lista, gostaria de ajuda neste problema por que na minha resolução acho sempre 64... mas não está nas opções do problema, creio que seja facil. Lá vai: Seja A um conjunto de numeros reais tais que para toda m pertencente a A a função: (m/2 -2).x^2 -mx + 8, terá sempre duas raizes reais x1 e x2 satisfazendo 0 x1 = x2 5 . Tomando K como o menor numero inteiro pertencente a A e fazendo na função m=K, as raizes obtidas x1 e x2 tem por soma de seus quadrados: a) 20b)25 c)30 d)41 e)49 agradeço desde já... []'s ps: = significa maior ou igual... __ Quer ter seu próprio endereço na Internet? Garanta já o seu e ainda ganhe cinco e-mails personalizados. DomíniosBOL - http://dominios.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] RES: [obm-l] Re:[obm-l] RES: [obm-l] Problema de Função...
é m=6, escrevi errado. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de adr.scr.m Enviada em: domingo, 14 de abril de 2002 11:50 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] RES: [obm-l] Problema de Função... Não seria m=6 no lugar de m=5? Adriano. Como eu respondi no forum do só matematica, resposta é 20 com m=5, x1=2 e x2=4 []'s Guilherme Pimentel http://sites.uol.com.br/guigous -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Igor Castro Enviada em: sábado, 13 de abril de 2002 16:20 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Problema de Função... Olá colegas da lista, gostaria de ajuda neste problema por que na minha resolução acho sempre 64... mas não está nas opções do problema, creio que seja facil. Lá vai: Seja A um conjunto de numeros reais tais que para toda m pertencente a A a função: (m/2 -2).x^2 -mx + 8, terá sempre duas raizes reais x1 e x2 satisfazendo 0 x1 = x2 5 . Tomando K como o menor numero inteiro pertencente a A e fazendo na função m=K, as raizes obtidas x1 e x2 tem por soma de seus quadrados: a) 20b)25 c)30 d)41 e)49 agradeço desde já... []'s ps: = significa maior ou igual... __ Quer ter seu próprio endereço na Internet? Garanta já o seu e ainda ganhe cinco e-mails personalizados. DomíniosBOL - http://dominios.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
